Capítulo 3 El método de...

Capítulo 3

El método de colocación

3.1 El método de colocación para problemas en una variable mediante interpolantes de Lagrange con nodos de Chebyshev

En este capítulo se explicará e implementará para algunos problemas tipo el método numérico que se ha seleccionado en este trabajo para resolver el problema de la convección natural de Rayleigh-Bénard: el método de colocación. En primer lugar, se desarrollarán los fundamentos teóricos de dicho método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y, como aplicación, se implementará la resolución de una ecuación diferencial de segundo orden. A continuación, se explicará la aplicación de dicho método para resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que es el caso de mayor interés para este proyecto puesto que las ecuaciones de Saltzman son de este tipo. Como ejemplos de aplicación, se resolverán en la sección 3.2 mediante el método de colocación dos ecuaciones diferenciales cuya consideración resultará muy útil a la hora de aplicar el método a las ecuaciones de Saltzman: la ecuación de Poisson y la ecuación biharmónica.

En esencia, el método de colocación consiste en expresar las funciones incógnitas de un problema como combinaciones lineales de funciones conocidas (por ejemplo, interpolantes de Lagrange). Los coeficientes de dichas expansiones, que son desconocidos a priori, se determinan sustituyendo dichas expansiones y sus derivadas en las ecuaciones diferenciales y condiciones de contorno que gobiernan el problema e imponiendo que éstas se verifiquen en un conjunto especificado de puntos del dominio de integración: los puntos de colocación. De esta forma resulta un sistema de tantas ecuaciones como incógnitas que permite calcular los coeficientes y, por tanto, resolver el problema.

En efecto, considérese un problema diferencial en una variable independiente que se desea resolver en un cierto intervalo �a, b�, y sean f�, f�, …f los valores de la función incógnita en N puntos dados del intervalo, a=x� <x� ˂ x� ˂….˂ x�� < x = b. Entonces, se trata de obtener una aproximación [que se denotará por f(x)] a la solución del problema en el intervalo �a, b� mediante una expansión de la forma

f�x� = � L��x�f�

�� , �3.1�

Capítulo 3. El método de colocación

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donde, en lo que sigue, se elegirán las funciones L��x� como los polinomios interpolantes de Lagrange para cada i є �1, … N�, L��x� = � x − x�x� − x�

��

i = 1, … N , �3.2�

donde se observa que L�"x�# = δ��∀ i, j = 1, … N, siendo δ�� la delta de Kronecker.

A partir de (3.2) puede obtenerse de forma directa la expresión para la derivada de L��x�:

L�' �x� = � �x − x�� … �x − x��x − x�(�� … �x − x)��x − x)(�� … �x − x��x� − x�� … �x� − x��x� − x�(�� … �x� − x� )�� , �3.3�

que permite obtener el valor de la derivada de f(x) en cualquier nodo x� del intervalo

como:

f�' = � *dL��x�dx ,-�-.

�� f� = � L�'�x�� f� i = 1, … N . �3.4�

Obsérvese que si se denota g�x� como el polinomio de interpolación de Lagrange para la derivada de f(x),

g�x� = � L��x�fj′ ,��

puede obtenerse, en principio, una aproximación para los valores de la derivada segunda de f(x) en los nodos como

f�'' = g '�x�� = � L�'�x��f�'

�� = � 2� Lk′ "xj#Nk=1 fk4N

j=1 Lj′�xi� i = 1, … N . �3.5�

Observando las expresiones anteriores para las derivadas de primer y segundo orden de la función f(x ) se deduce que éstas pueden escribirse de una forma mucho más compacta en términos de vectores y matrices. En efecto, si se definen los vectores

ƒ7 = 8ƒ�ƒ�⋮ƒ:, ƒ7 ' = 8ƒ� 'ƒ�'⋮ƒ'

: y ƒ7 '' = 8ƒ� ''ƒ�''⋮ƒ'' : , se observa que la expresión (3.3) puede escribirse en forma compacta como

ƒ7 ' = L;- ƒ7 , (3.6)


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donde, L;- es la matriz:

L;- = <===>L1′ �x�� L2′ �x�� … LN′ �x��L1′ �x�� L2′ �x�� … LN′ �x��⋮L1′ �x� ⋮L2′ �x� ⋱… ⋮LN′ �x�@AA

AB , y, asimismo, la expresión (3.5) puede escribirse como

ƒ7 '' = L;- ƒ7 ' = L;- L;- ƒ7 = L;- � ƒ7 . (3.7)

Mediante el mismo procedimiento pueden obtenerse valores aproximados (en principio) de las derivadas de cualquier orden n de f(x) como:

ƒ7 C = L;- C ƒ7 . Hasta ahora, no se ha hecho ninguna consideración acerca de la elección de los N nodos x�, x�, … , x en el interior del intervalo [a,b], pudiendo estos puntos ser, por tanto, arbitrarios. No obstante, y como se verá a continuación, una elección adecuada de dichos nodos es crucial para que la función f(x) definida por (3.1) sea una buena aproximación en todo el intervalo [a b] a la función incógnita que sea desea determinar como solución del problema. En efecto, obsérvese que la función f(x) es el polinomio de Lagrange construido a partir de los valores que la función incógnita toma en los N nodos seleccionados. Si F(x) denota la función incógnita, se demuestra en la teoría de la interpolación (véase en el volumen 2 del libro “Calculus”, la sección 15.5 Polinomios de Chebyshev) que existe un punto c del intervalo [a, b] tal que para cualquier punto x de dicho intervalo se verifica que

f�x� − F�x� = A�x�N! f ��c� , siendo

A�x� = �x − x��x − x�� … �x − x� . Para estimar el error son necesarias cotas para la derivada f �� y para el producto A�x�. Como A�x� es un polinomio, su valor absoluto posee un máximo en algún punto del intervalo [a, b]. Este máximo dependerá de la elección de los puntos x�, x�, … , x, y es natural elegir estos puntos de manera que su valor sea lo menor posible. Por tanto, si se define la norma de A(x) como

‖A‖ = maxJKLKM|A�x�| , el problema consiste en encontrar la posición de los nodos tal que el polinomio �x − x��x − x�� … �x − x� tenga norma mínima. El primer investigador en resolver este problema fue Chebyshev, quien encontró que dicho polinomio de grado N debe ser el definido por la por la recurrencia:

T�x�

siendo T��x� � 1 y T��x�coincidir con los ceros del polinomio

x� �

y que a partir de ahora se denominarán el efecto que la posición de los nodos tiene sobre la calidad de la interpolación de Lagrange de una función. Este hechoChebyshev que se hará en el resto del trabajo.

Figura 3.1 Error de interpolación para dos equiespaciados y nodos de Chebyshev.

A continuación, se presenta elimplementado para dividir un intervalo [ellos los elementos de la matr

la eficiencia en la programación de dicha función, ni usar funciones al uso probablemente ya instaladas en MATLAB, sino que la programación se haacuerdo con las expresiones de los interpolantes de introducidas en el texto.

function [Lpx]=matrizLpx(x1,xN,N)% N es el número total de nodos en el que queremos dividir% el intervalo (x1,xN).x(1)=x1; %Es el punto inicial del intervalo a dividir en N nodos.x(N)=xN; %Es el punto final del intervalo a dividir. for cl=1:N x(cl)=(x(N)- x(1))/2end Lpx=[]; →


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� � � 2xT��x� � T��x� para N V 1,

� � � x . Por tanto, los puntos x�, x�, … , x los ceros del polinomio T�x� que están dados por:

W(X� Y X�W

� cos \] �� ^ i � 1, … N ,

y que a partir de ahora se denominarán nodos de Chebyshev. En la figurael efecto que la posición de los nodos tiene sobre la calidad de la interpolación de Lagrange de una función. Este hecho justifica el uso exclusivo de Chebyshev que se hará en el resto del trabajo.

rror de interpolación para dos elecciones de nodos de interpolación distintas:equiespaciados y nodos de Chebyshev.

A continuación, se presenta el listado de una función MATLAB que se ha implementado para dividir un intervalo [x�, x� en N nodos de Chebyshev y calcular en ellos los elementos de la matriz L;- conviene indicar que no se ha pretendido optimizar

la eficiencia en la programación de dicha función, ni usar funciones al uso probablemente ya instaladas en MATLAB, sino que la programación se haacuerdo con las expresiones de los interpolantes de Lagrange y de sus derivadas

[Lpx]=matrizLpx(x1,xN,N) % N es el número total de nodos en el que queremos dividir% el intervalo (x1,xN).

inicial del intervalo a dividir en N nodos.

%Es el punto final del intervalo a dividir.

x(1))/2 -(x(N)-x(1))/2*cos((cl-1)/(N- 1)*pi);

buscados deben

figura 3.1, se ilustra el efecto que la posición de los nodos tiene sobre la calidad de la interpolación de

justifica el uso exclusivo de los nodos de

odos de interpolación distintas: nodos

listado de una función MATLAB que se ha hebyshev y calcular en

conviene indicar que no se ha pretendido optimizar

la eficiencia en la programación de dicha función, ni usar funciones al uso probablemente ya instaladas en MATLAB, sino que la programación se ha hecho de

agrange y de sus derivadas

% N es el número total de nodos en el que queremos dividir

1)*pi);


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→for b=1:N z=x(b); %z nos sirve para evaluar las derivadas de los poli nomios de lagrange en los nodos de interpolación. for i=1:N m=1; for j=1:N if i==j m=m; else A(i,m)=(z-x(j))/(x(i)-x(j)); m=m+1; %La matriz A recoge a los términos de los polinomio s de Lagrange. end end end

for i=1:N m=1;

for j=1:N if j~=i denomin(i,m)=x(i)-x(j); m=m+1; %La matriz denomin está formada por los denominador es presentes en las derivadas de los polinomios de Lagrange. end end end for i=1:N c=1; P=1; for k=1:(N-1) for j=1:(N-1) if j==c c=c; else P=P*A(i,j); end end B(i,k)=P; c=c+1; P=1; %Los términos de la matriz B son los productos de c ada uno de los %sumandos de las derivadas de los polinomios de Lag range. end end for i=1:N suma=0; for j=1:(N-1) suma=suma+B(i,j)*1/denomin(i,j); end L(i,1)=suma; end Lpx=[Lpx,L]; %Es la matriz que alberga a las derivadas de los po linomios de %Lagrange.

end


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3.1.1 Ejemplo de aplicación del método de colocación para la resolución de una ecuación diferencial ordinaria

Como una primera aplicación del método de colocación, se va a explicar la resolución numérica de una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma

ƒ ''�x� + A�x�ƒ '�x� + B�x� ƒ�x� = F�x�,

sujeta a las condiciones de contorno:

x = a → ƒ�a� = fX , x = b → ƒ�b� = fW . Para ello, se introducen en el intervalo �a, b� donde se quiere resolver la ecuación un número N de nodos de Chebyshev:

x� = b + a2 + a − b2 cos `π�i − 1��N − 1�b i = 1, … N , y se particulariza la ecuación diferencial en cada uno de ellos.

Sea un nodo genérico x = x�, tenemos que:

ƒ''�x�� + A�x��ƒ'�x�� + B�x��ƒ�x�� = F�x��. Si f� ≡ ƒ�x�� denota el valor de la solución buscada en cada nodo x� , y los valores ƒ '�x�� y ƒ ''�x�� se aproximan por los obtenidos de (3.6)-(3.7) la ecuación anterior, extendida a todos los nodos, puede escribirse como:

� \"L;- � #�� + A�x��"L;- #�� + B�x��δ��^�� f� = F�x�� i = 1, … N ,

donde, "L;- � #��, "L;- #��,son respectivamente los términos correspondientes a la fila i y

columna j de las matrices L;- � y L;- . Por tanto, se tiene un sistema algebraico lineal de

N ecuaciones con N incógnitas, f�,… f , que puede ser expresado como un sistema matricial:

M ƒ7 = Fe7, donde la matriz del sistema es una matriz N×N en la que cada término genérico de la fila i y columna j es de la forma:

M�� = "L;- � #�� + A�x��"L;- #�� + B�x��δ��. Es importante señalar que antes de proceder a la resolución del sistema matricial anterior es necesario modificar la matriz M para asegurar que la solución obtenida


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verificará las condiciones de contorno impuestas. En efecto, para imponer la condición de contorno en el nodo x� se modifica la primera fila de la matriz M haciendo cero todos los elementos de esa fila excepto el elemento de la matriz de dicha fila que vaya multiplicando a f�, al que se le asigna el valor unidad; en este caso dicho elemento es el M��. Análogamente, para imponer la condición de contorno en x debe asignarse el valor cero a todos los elementos de la última fila de M excepto al que multiplica a f, que debe tomar el valor unidad (M =1). Asimismo, la primera y la última

componentes del vector Fe7 deben tomar los valores fX y fW respectivamente. De esta forma resulta el sistema:

<====> 1M21 0M22 … 0 ⋱ M2N⋮Mj1⋮

⋮Mj1⋮ ⋱⋱⋱ ⋮MjN⋮0 0 … 1 @AAAAB

<=====>f1f2⋮fj⋮fN@AA

AAAB

=<=====> faF�x2�⋮F"xj#⋮fb @AA

AAAB .

A continuación se presenta el listado de un programa MATLAB que implementa el procedimiento anterior para el caso particular de la ecuación

ƒ ''�x� + ƒ �x� = 0 , (3.8)

en el intervalo [0, 4π� con las condiciones de contorno ƒ (0)=1 y ƒ (4π�=1.

clear all ; close all ; clc; N=25; %Número total de nodos en el que vamos a dividir [0 ,4pi]. xmin=0; xmax=4*pi; x(1)=xmin; x(N)=xmax; for cl=1:N %Nodos de Chebyshev. x(cl)=(x(N)-x(1))/2-(x(N)-x(1))/2*cos((cl-1)/(N -1)*pi); end Lpx=sparse(N,N); [Lpx]=matrizLpx(xmin,xmax,N) %Llamada a la función Lpx. b=zeros(N,1); %vector de términos independientes. B=Lpx'; Lpx2=B*B; A=Lpx2+eye(N); %La matriz A va a ser la matriz del sistema. %___CONDICIONES DE CONTORNO__________ A(1,:)=0; A(1,1)=1; b(1,1)=1; A(N,:)=0; A(N,N)=1; b(N,1)=1; → %____________________________________


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→M=inv(A); f=M*b; %es la solución de la ecuación diferencial. t=0:0.001:4*pi; n=length(t); for i=1:n y(1,i)=cos(t(i)); end plot(x,f, 'b' ,t,y, 'r' ) axis([0 14 -1.5 1.5]); title( 'N=25' ) legend( 'método de colocación' , 'funcióncos(x)' )

En las figuras 3.3 y 3.4 se compara la solución exacta de la expresión (3.8), f=cos (x), con los resultados obtenidos mediante el método de colocación para N=10 y N=25, respectivamente. Se puede observar cómo el resultado que proporciona el método de colocación se aproxima cada vez más a la solución exacta al aumentar el número de nodos.

1. N=10.

Figura 3.2 Comparación de la solución dada por el Método de Colocación con la solución teórica para un número total de 10 nodos.

0 2 4 6 8 10 12 14-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5N=10

método de colocación

función cos(x)


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2. N=25.

Figura 3.3 Comparación de la solución proporcionada por el Método de Colocación con la solución teórica para un número total de 25 nodos.

3.2 El método de colocación mediante interpolación de Lagrange con nodos de Chebyshev en problemas bidimensionales.

En esta sección se extenderá lo expuesto anteriormente para problemas con una variable independiente a problemas bidimensionales, en los que el número de variables independientes es dos. Por tanto, los resultados que se presenta a continuación serán directamente aplicables para la resolución numérica de las ecuaciones de Saltzman (2.41)-(2.42), que es el objetivo primordial de este trabajo. En particular, se necesitarán expresiones que permitan calcular en términos de los valores de las funciones incógnitas en los puntos elegidos del dominio de integración las derivadas parciales de primer orden, que aparecen, por ejemplo, en los términos convectivos y, también, derivadas de segundo y cuarto orden como las que aparecen en los operadores laplaciano y biharmónico, respectivamente. Por tanto, en los subapartados 3.2.1 y 3.2.2 se presentarán como ejemplos de aplicación del método de colocación en dos dimensiones la resolución de las ecuaciones de Poisson y Biharmónica, respectivamente, en una cavidad rectangular.

Obsérvese que, dada una función de dos variables ϕ = ϕ�x, z� definida en una cavidad rectangular 0 ≤ x ≤ L y 0 ≤ z ≤ H en la que se ha elegido un conjunto de N- x Nm nodos ��xn, zC� ∶ m = 1 … N- , n = 1 … Nm�, para cualquier valor de x dado se puede

0 2 4 6 8 10 12 14-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5N=25

método de colocación

función cos(x)


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efectuar una interpolación de Lagrange para la dependencia en la coordenada z de la forma

ϕ�x, z� = � Lm,C�z�pC�� ϕ�x, zC�.

Haciendo uso ahora de la fórmula de interpolación de Lagrange para cada una de las funciones de la coordenada x, ϕ�x, zC�, que aprecen en la expresión anterior se obtiene

ϕ�x, z� = � � L-,n�x�pC��

qn�� Lm,C�z� ϕ�xn, zC�, �3.9�

donde ϕ�xn, zC� sería el valor que toma la función en el nodo �xn, zC�, y L-,n�x� y Lm,C�z� son los polinomios interpolantes en las variables x y z, es decir,

L-,n�x� = � x − x�xn − x�q��n

y Lm,C�z� = � z − z�zC − z�p��C

. Por tanto, la expresión (3.9) representa la fórmula de interpolación de Lagrange para funciones de dos variables.

La derivada parcial de la función ϕ�x, z� con respecto a la variable x es, por tanto,

ϕ-�x, z� ≡ ∂ϕ�x, z�∂x = � � pC��

qn�� Lx,m′ �x�Lm,C�z� ϕ�xn, zC� , �3.10�

donde la derivada L-,n' �x� ≡ dLx,m�x�dx está dada por la expresión (3.3), que puede

escribirse en forma compacta como:

L-,n' �x� = � 1�xn − x��q�� ∀��n t

uuv � � �x − x��q��∀��n∀��)

q)��∀)�n w

xxy. Análogamente, para la variable z se tiene que

ϕm�x, z� = � � pC��

qn�� Lx,m �x�Lz,n′ �z� ϕ�xn, zC� , �3.11�


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donde

Lm,C' �z� = � 1�zC − z��p�� ∀��C t

uuv � ��z − z��p��∀��C∀��)

p)��∀)�C w

xxy. Como se vio en el caso de una variable, resulta aquí también extremadamente conveniente desde el punto de vista numérico elegir nodos de Chebyshev tanto en la dirección x como en la z, es decir, seleccionar puntos (x�, z�) de la cavidad cuyas

coordenadas estén dadas por las expresiones:

x� = xnX- + xn�C2 + xn�C − xnX-2 cos ` �i − 1�π�N- − 1�b i = 1, … N-

y

z� = znX- + zn�C2 + zn�C − znX-2 cos `�j − 1�π�Nm − 1�b j = 1, … Nm. Una vez realizado el mallado de la cavidad en el conjunto especificado de N- x Nm

puntos "x�, z�#, como muestra el esquema de la figura 3.4, es conveniente enumerar

Figura 3.4 Representación del mallado de la cavidad.

cada nodo mediante un único índice, de forma análoga a cómo se hace en el método de los elementos finitos, lo que puede efectuarse mediante la asignación biunívoca


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"x�, z�# ↔ I = �i − 1�Nm + j . �3.12�

En la figura 3.5 se muestra un esquema de un mallado de la cavidad con N-=4 y Nm=3 donde cada nodo se ha enumerado según la regla (3.12).

Figura 3.5 Ejemplo de la enumeración de los nodos de un mallado de la cavidad, donde N- = 4 y Nm = 3.

Obsérvese que el uso de índices simples permite considerar los productos entre interpolantes de Lagrange y sus derivadas que aparecen, por ejemplo, en las expresiones (3.10) y (3.11), como elementos de matrices D- y Dm de orden �N- × Nm) × �N- × Nm) definidas por

D-�I, K� = L-,n' �x��Lz,n"zj# y Dm�I, K� = Lx,m�xi�Lm,C' "zj# I, K =1,... N~ , siendo I = �i − 1�Nm + j , K = �m − 1�Nm + n , y N~ = N- x Nm el número total de nodos. Una vez definidas las matrices D- y Dm, las expresiones (3.10) y (3.11) pueden escribirse de forma más simplificada como

*∂ϕ∂x�� = � Dx�I, K� ϕ��

�� y *∂ϕ∂z �� = � Dz�I, K�� ϕ� , �3.13�

donde se han definido los valores de la función en los nodos como ϕ� = ϕ�xn, zC� con K =1,... N~. Del mismo modo que en el caso de una variable, si se hace uso de las matrices D-, Dm y de los vectores,

ϕee7 ≡ 8 ϕ�ϕ�⋮ϕ�: , ϕee7- ≡ <==

> ϕ-� 'ϕ-�'⋮ϕ-�' @AAB y ϕee7m ≡ <==

> ϕm� 'ϕm�'⋮ϕm�' @AAB ,


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cuyas componentes son, respectivamente, los valores que toman las funciones ϕ, ϕ- y ϕm en los nodos�x�, z��, las expresiones (3.13) pueden escribirse en forma compacta

como

ϕee7- = D- ϕee7 y ϕee7m = Dz ϕee7. �3.14�

A continuación se presentan los listados de dos funciones MATLAB, completamente análogas, que realizan el cálculo de las matricesD- y Dm , respectivamente. Dichas funciones se usarán en el programa desarrollado en el capítulo 4 para la resolución de las ecuaciones de Saltzman.

function [Dx]=matrizDx(Lpx,Nx,Nz) for i=1:Nx for j=1:Nz I=(i-1)*Nz+j; for m=1:Nx for n=1:Nz if n==j lnz=1; else lnz=0; end K=(m-1)*Nz+n; Dx(I,K)=Lpx'(i,m)*lnz; end end end end

function [Dz]=matrizDz(Lpz,Nx,Nz) for i=1:Nx for j=1:Nz I=(i-1)*Nz+j; for m=1:Nx if m==i lnx=1; else lnx=0; end for n=1:Nz K=(m-1)*Nz+n; Dz(I,K)=Lpz’(j,n)*lnx; end end end end


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Obsérvese que el cálculo de la matriz Lpmse realiza mediante la función “matrizLpx” introducida en el apartado anterior sin más que introducir como argumentos de entrada el nodo inicial (zmin), el nodo final (zmax) y el número de nodos (Nz) que se han introducido en los lados verticales de la cavidad. Por tanto, la sentencia del programa principal que calcula la matriz Lpz será:

function [Lpz]=matrizLpx(zmin,zmax,Nz).

De forma análoga a como se realizó en la sección anterior para el caso de una variable, el cálculo (aproximado) de las derivadas parciales de orden superior puede realizarse a partir de las expresiones (3.14). En efecto, considérese, por ejemplo, el cálculo de ϕ--. Si ϕ-,� es el valor de la función ϕ- en un nodo genérico K, la fórmula de interpolación

de Lagrange proporciona

ϕ-�x, z� = � � L-,n�x�pC��

qn�� Lm,C�z�ϕ-,�

y, si se deriva con respecto de x haciendo uso de la primera expresión de (3.13),

*∂�ϕ∂x� ,� = � �� Dx�I, K� ϕ-,� . �3.15�

Si se aproxima ahora el valor ϕ-,� por la primera de las expresiones (3.13) evaluada en

el nodo K y se sustituye en (3.15) se obtiene:

*∂�ϕ∂x� ,� = � 2� Dx�I, K�� ϕ�4�

�� Dx�I, K� I = 1, … N~. �3.16� En términos de los vectores ϕee7 y ϕee7- introducidos más arriba y de la matriz D- la expresión (3.16) puede escribirse en forma compacta como

ϕee7-- = Dx ϕee7- = DxDx ϕee7 = D-� ϕee7 , �3.17�

donde ϕee7-- es el vector columna cuyas componentes son los valores (aproximados) de la función ϕ-- en los puntos del mallado de la cavidad.

Un procedimiento enteramente análogo al que se acaba de exponer proporciona las aproximaciones para la derivada segunda con respecto de z y la derivada mixta

ϕee7mm = DzDz ϕee7 = Dm�ϕee7 y ϕee7m- = Dz Dx ϕee7 = Dx Dz ϕee7 = ϕee7-m , �3.18�

así como para las derivadas de más alto orden. A modo de ejemplo, la biharmónica de una función ϕ, que aparece en las ecuaciones de Saltzman,


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∇�ϕ = ∇�∇�ϕ = ∂�ϕ∂x� + 2 ∂�ϕ∂x� ∂z� + ∂�ϕ∂z� , puede discretizarse como

∇�ϕee7 = � D-� + Dm�� D-� + Dm�� ϕee7 = �D-� + Dm� + 2D-�Dm�� ϕee7, �3.19�

donde ∇�ϕee7 denota el vector cuyas componente son los valores de ∇�ϕ en los puntos de la malla introducida en la cavidad.

3.2.1 Ejemplo de aplicación: la ecuación de Poisson

Considérese la ecuación de Poisson

∂�ϕ∂x� + ∂�ϕ∂z� = f�x, z�, para la cavidad rectangular de altura H y longitud L mostrada en la figura 3.4. El término fuente f�x, z� en dicha ecuación es conocido, y se supondrá que la ecuación debe resolverse sujeta a las siguientes condiciones de contorno:

ϕ �0, z� = 0, ϕ �L, z� = 0, ϕ �x, 0� = 0, ϕ �x, H� = 0.

Para resolver el problema es conveniente primero adimensionalizar la ecuación y las condiciones de contorno introduciendo las variables adimensionales

x� = xH , z� = zH y ϕ� = ϕϕ� , donde ϕ� es un valor de referencia de ϕ . El problema formulado en variables adimensionales resulta:

��-�� + ��m�� = f��x, z�, (3.20)

ϕ� �0, z�� = 0, ϕ� �xnX-, z�� = 0, ϕ� �x�, 0� = 0, ϕ� �x�, znX-� = 0 �3.21�

donde se han definido que, xnX- = L H � , znX- = H H � = 1 y f� = f H�/ ϕc. Introduciendo en la cavidad una malla con N~ = N-Nm puntos�"x�, z�# ∶ i =1, … N- , j = 1, … Nm� , y haciendo uso de las expresiones (3.17)-(3.18) la ecuación

(3.20) puede discretizarse de la forma

�D-� + Dm�� ϕee7 ≡ D�ϕee7 = f7 , �3.22�


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donde los vectores ϕee7 y f7 tienen como componentes los valores de las funciones ϕ��x�, z��

y f��x�, z�� en los puntos I = �i − 1�Nm + j de la malla,

ϕee7 =<=====> ϕ��1�ϕ��2�⋮ϕ��I�⋮ϕ��N~�@AA

AAAB

y f7 =<====> f��1�f��2�⋮f��I�⋮f��N~�@A

AAAB ,

y se ha definido la matriz del operador laplaciano como D� ≡ D-� + Dm�.

Análogamente a como se hizo en el subapartado 3.1.1 para el caso de una ecuación diferencial ordinaria, antes de resolver el sistema algebraico (3.22) se deben introducir en el mismo las condiciones de contorno (3.21). Para ello, se modificarán la matriz del

sistema, D�, y el vector f7 de manera que si el valor del índice I coincide con el de un nodo situado en algún lado de la cavidad, entonces todos los elementos de la fila I de la matriz D� se anulan excepto el correspondiente a la diagonal que toma el valor unidad, D��I, I� = 1, y se anula también la componente f��I� de f7 [puesto que, en este caso, se

ha impuesto que el valor ϕ� debe anularse en todo el contorno según (3.21)]. Como se observa en la figura 3.4, y se esquematiza en la figura 3.6, los índices de los nodos del mallado que pertenecen a los lados de la cavidad están determinados por las siguientes expresiones:

Lado vertical izquierdo: I=j , para j=1, …Nm. Lado vertical derecho: I= ��L − 1��+j , para j=1, …Nm. Lado horizontal superior: I= �� − 1��+1, para i=2, …N--1. Lado horizontal inferior: I= �� − 1��+��, para i=2, …N--1.

Figura 3.6 Nodos que integran los lados de la cavidad.

A continuación se muestra el listado de un programa MATLAB que lleva cabo la resolución numérica del problema considerado en esta sección y que hace uso de las funciones Lpx, Lpz, Dx y Dz para calcular la matriz del operador laplaciano D� .

Obsérvese que valores arbitrarios [no necesariamente nulos como en (3.21)] de ϕ�


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impuestos sobre el contorno pueden también considerarse sin más que cambiar apropiadamente los valores de las componentes del vector fv(1:��,1)en el bloque del programa donde se implementan las condiciones de contorno.

clear all close all clc %________NODOS DE CHEBYSHEV_______________________ Nx=10; xmin=0; xmax=3; for i=1:Nx xch(i)=(xmax-xmin)/2-(xmax-xmin)/2*cos((i-1)/( Nx-1)*pi); end Nz=8; zmin=0; zmax=1; for p=1:Nz zch(p)=(zmax-zmin)/2-(zmax-zmin)/2*cos((p-1)/(N z-1)*pi) end %__________________________________________________ _

Lpx=sparse(Nx,Nx); Lpz=sparse(Nz,Nz); Dx=sparse(Nt,Nt); Dz=sparse(Nt,Nt); DL=sparse(Nt,Nt); [Lpx]=matrizLpx(xmin,xmax,Nx); [Lpz]=matrizLpx(zmin,zmax,Nz); [Dx]=matrizDx(Lpx,Nx,Nz); [Dz]=matrizDz(Lpz,Nx,Nz); DL=Dx*Dx+Dz*Dz; %Cálculo del operador laplaciano. m=1; for i=1:Nx for j=1:Nz fv(m,1)=pi^2*((1/xmax^2)+(1/zmax^2))*sin(pi*xch( i)/xmax)* sin(pi*zch(j)/zmax); %fv es el vector de términos independientes de la e cuación de %Poisson. m=m+1; end end % ___________CONDICIONES DE CONTORNO_______________ _ % ________LADOS VERTICALES_________________________ _ for j=1:Nz I1=j; %Para el lado vertical izquierdo. DL(I1,:)=0; DL(I1,I1)=1; fv(I1,1)=0; I2=(Nx-1)*Nz+j; %Para el lado vertical derecho. DL(I2,:)=0; DL(I2,I2)=1; fv(I2,1)=0; end→ ________________________________________________


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% ________LADOS HORIZONTALES_______________________ _ →for i=2:(Nx-1) I3=(i-1)*Nz+1; %Para la base inferior. DL(I3,:)=0; DL(I3,I3)=1; fv(I3,1)=0; I4=(i-1)*Nz+Nz; %Para la base superior. DL(I4,:)=0; DL(I4,I4)=1; fv(I4,1)=0; end %__________________________________________________ __ fsol=DL\fv; %es la solución del sistema for i=1:Nx %para comparar por pantalla la solución real con la obtenida %mediante el método de colocación (fsol) [xch(i)] [-sin(pi*xch(i)/xmax)*sin(pi*zch(1:Nz)'/zmax)fs ol((i1)*Nz+(1:Nz),1)] pause(1) end

El programa se ha ejecutado para el caso particular de la función fuente

f��x�, z�� = π� � 1xnX-� + 1znX-�� sin �π x�xnX-� sin �π z�znX-�, que proporciona una solución analítica de (3. 20)-(3.21),

ϕ��x�, z�� = − sin �π x�xnX-� sin �π z�znX-� , permitiendo verificar los resultados numéricos. La geometría del recinto rectangular está definida por xnX- =3 y znX- =1, y se ha realizado un mallado de 80 nodos de Chebyshev con N- = 10 y Nm = 8. En las tabla 3.1 podemos observar como, incluso para el mallado de relativamente pocos puntos seleccionado, obtenemos una solución por el método de colocación que es muy próxima a la solución teórica del problema.


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Tabla 3.1 Comparación entre la solución teórica y la numérica obtenida mediante el método de colocación para el problema de Poisson (3.20)-(3.21).

3.2.2 Ejemplo de aplicación: la ecuación biharmónica

Considérese la ecuación biharmónica

∂�ϕ∂x� + 2 ∂�ϕ∂x� ∂x� + ∂�ϕ∂z� = f�x, z� , para la cavidad rectangular de altura H y longitud L mostrada en la figura 3.4. El término fuente f�x, z� en dicha ecuación es conocido, y se supondrá que la ecuación debe resolverse sujeta a las siguientes condiciones de contorno:

ϕ�0, z� = cos�π z H⁄ � , ϕ�L, z� = − cos�π z H⁄ �, ϕ�x, 0� = cos�π x L⁄ � , ϕ�x, H� = −cos�π x L⁄ �, ϕ-�0, z� = 0, ϕ-�L, z� = 0, ϕm�0, z� = 0, ϕm�H, z� = 0.

Para resolver el problema es conveniente primero adimensionalizar la ecuación y las condiciones de contorno introduciendo las variables adimensionales


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x� = xH , z� = zH y ϕ� = ϕϕ� , donde ϕ� es un valor de referencia de ϕ .El problema formulado en variables adimensionales resulta:

��-�� + 2 ��-�� m�� + ��m�� = f��x�, z��, (3.23)

ϕ��0, z�� = cos�π z� znX-⁄ �, ϕ��xnX-, z�� = −cos�π z� znX-⁄ �, �3.24� ϕ��x�, 0� = cos�π x� xmax⁄ � , ϕ��x�, zmax� = − cos�π x� xmax⁄ � , �3.25� ϕ�-�0, z�� = 0, ϕ�-�xnX-, z�� = 0, ϕ�m�x�, 0� = 0, ϕ�m�x�, znX-� = 0, �3.26� donde se han definido que, xnX- = L H � , znX- = H H � = 1 y f� = f H�/ ϕc . Introduciendo en la cavidad una malla con N~ = N-Nm puntos �"x�, z�# i =1, … N- , j = 1, … Nm�, y haciendo uso de la expresión (3.19) la ecuación (3.23) puede

discretizarse de la forma

D�� ϕee7 = f7 , �3.27�

donde los vectores ϕee7 y f7 tienen como componentes los valores de las funciones ϕ��x�, z��

y f��x�, z�� en los puntos I = �i − 1�Nm + j de la malla,

ϕee7 =<=====> ϕ��1�ϕ��2�⋮ϕ��I�⋮ϕ��N~�@AA

AAAB

y f7 =<====> f��1�f��2�⋮f��I�⋮f��N~�@A

AAAB .

Y la matriz del operador biharmónico es D�� = D� D� ≡ �D-� + Dm��D-� + Dm��.

Análogamente a como se hizo en el subapartado 3.2.1 para el caso de la ecuación de Poisson, antes de resolver el sistema algebraico (3.27) se deben introducir en el mismo las condiciones de contorno (3.24)-(3.26). En primer lugar, para implementar las condiciones (3.24)-(3.25), correspondientes a valores impuestos sobre el contorno, se procede de la misma forma que antes. Es decir, se modifica la matriz del sistema, D��, y

el vector de términos independientes, f7, de manera que si el valor del índice I coincide con el de un nodo situado en algún lado de la cavidad, entonces todos los elementos de la fila I de la matriz D�� se anulan excepto el correspondiente a la diagonal que toma el

valor unidad, D��I, I� = 1 ; además, se hace que f��I� = ±cos �π z� znX-⁄ � si el nodo

pertenece a un lado vertical, o f��I� = ±cos �π x� xnX-⁄ � , si pertenece a un lado horizontal. Los índices I de los nodos donde se tienen valores impuestos son, por tanto, los correspondientes al contorno de la cavidad representados en la figura 3.4. Para imponer las condiciones de derivada impuesta (3.26) es necesario usar nodos


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adicionales a los del contorno (ya usados). Para ello se utilizan los nodos del subcontorno de la cavidad representado en la figura 3.7 cuyos índices, que pueden deducirse por simple inspección del mallado de la figura 3.4, son:

Lado vertical izquierdo: I=(2-1) ��+j , para j=2, …Nm-1.

Lado vertical derecho: I=( �L-2) ��+j , para j=2, …Nm-1.

Lado horizontal inferior: I=(i-1) ��+2, para i=3, …N--2.

Lado vertical izquierdo: I=(i-1) ��+��-1, para i=3, …N--2.

Para imponer las condiciones de derivada nula, se sustituye la fila de la matriz D�� correspondiente a cada nodo I del subcontorno por la fila de la matriz D- (si el nodo I está en un tramo vertical) o Dm (si el nodo I se encuentra en un tramo horizontal)

correspondiente al nodo del contorno más cercano a I, y se hace también f��I� = 0.

Figura 3.7 Nodos que integran los lados del subcontorno.

A continuación se muestra el listado de un programa MATLAB que lleva cabo la resolución numérica del problema considerado en esta sección y que hace uso de las funciones Lpx, Lpz, Dx y Dz para calcular la matriz del operador biharmónico D�� .

Obsérvese que valores arbitrarios [no necesariamente los de (3.24)-(3.26))] de ϕ� y de sus derivadas sobre el contorno pueden también considerarse sin más que cambiar apropiadamente los valores de las componentes del vector fv(1:��,1)en el bloque del programa donde se implementan las condiciones de contorno.


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clear all close all clc %____________NODOS DE CHEBYSHEV_____________________ Nx=10; xmin=0; xmax=3; for i=1:Nx xch(i)=(xmax-xmin)/2-(xmax-xmin)/2*cos((i-1)/(Nx-1) *pi); end Nz=8; zmin=0; zmax=1; for p=1:Nz zch(p)=(zmax-zmin)/2-(zmax-zmin)/2*cos((p-1)/(Nz-1) *pi) end %__________________________________________________ _

Lpx=sparse(Nx,Nx); Lpz=sparse(Nz,Nz); Dx=sparse(Nt,Nt); Dz=sparse(Nt,Nt); DL=sparse(Nt,Nt); DL2=sparse(Nt,Nt); [Lpx]=matrizLpx(xmin,xmax,Nx); [Lpz]=matrizLpx(zmin,zmax,Nz); [Dx]=matrizDx(Lpx,Nx,Nz); [Dz]=matrizDz(Lpz,Nx,Nz); DL=zeros(Nt,Nt); DL=Dx*Dx+Dz*Dz; DL2=DL*DL; %________VECTOR DE TERMINOS INDEPENDIENTES (fv)____ ____ for i=1:Nx for j=1:Nz I=(i-1)*Nz+j;

fv(I,1)=pi^4*(1/xmax^4+1/zmax^4+2/xmax^2/zmax^ 2)* cos(pi*xch(i)/xmax)*cos(pi*zch(j)/zmax);

end end %__________________________________________________ __ % _______________CONDICIONES DE CONTORNO___________ __ Nt=Nx*Nz; %__VALOR DADO EN PAREDES VERTICALES: ______________ __ for j=1:Nz I1=j; %Lado vertical izquierdo. DL2(I1,:)=0; DL2(I1,I1)=1; fv(I1,1)=cos(pi*zch( I1)/zmax); I2=(Nx-1)*Nz+j; %Lado vertical derecho. DL2(I2,:)=0; DL2(I2,I2)=1; fv(1,I2)=-cos(pi*zch (I2)/zmax); end→ %__________________________________________________ __


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%__VALOR DADO EN PAREDES HORIZONTALES________________ →for i=2:(Nx-1) I3=(i-1)*Nz+1; %Lado horizontal inferior. DL2(I3,:)=0; DL2(I3,I3)=1; fv(I3,1)=cos(pi*zch( I1)/zmax); I4=(Nx-1)*Nz+j; %Lado horizontal superior. DL2(I4,:)=0; DL2(I4,I4)=1; fv(1,I4)=-cos(pi*zch (I2)/zmax); end %__________________________________________________ ___

% __DERIVADA NULA EN PAREDES VERTICALES____________ ___ for j=2:(Nz-1) I1=(2-1)*Nz+j; %Subcontorno vertical izquierdo. DL2(I1,:)=Dx(I1-Nz,:); fv(I1,1)=0; I2=(Nx-2)*Nz+j; %Subcontorno vertical derecho. DL2(I2,:)=Dx(I2+Nz,:); fv(I2,1)=0; end %__________________________________________________ ___ % __DERIVADA NULA EN PAREDES HORIZONTALES_____________ for i=3:(Nx-2) I3=(i-1)*Nz+2; %Subcontorno horizontal inferior. DL4(I3,:)=Dz(I3-1,:); fv(I3,1)=0; I4=(i-1)*Nz+Nz-1; %Subcontorno horizontal superior. DL2(I4,:)=Dz(I4+1,:); fv(I4,1)=0; end %__________________________________________________ __ fsol=DL2inv\fv; %fsol es la solución del sistema for i=1:Nx [xch(i)] [cos(pi*xch(i)/xmax)*cos(pi*zch(1:Nz)'/zmax)fsol((i 1)*Nz+(1:Nz),1)] pause end


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El programa se ha ejecutado para el caso particular de la función fuente

f��x�, z�� = π4 � 1xmax 4 + 1zmax 4 + 2xmax 2 zmax 2 � cos �π x�xmax� cos �π z�zmax� , que proporciona una solución analítica de (3.23)-(3.26),

ϕ�x�, z�� = cos �π x�xnX-� cos �π z�znX-�, permitiendo verificar los resultados numéricos. La geometría del recinto rectangular está definida por xnX- =3 y znX- =1, y se ha realizado un mallado de 80 nodos de Chebyshev con N- = 10 y Nm = 8. En las tabla 3.2 podemos observar como, incluso para el mallado de relativamente pocos puntos seleccionado, obtenemos una solución por el método de colocación que es bastante próxima a la solución teórica del problema.


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Tabla 3.2 Comparación entre la solución teórica y la que proporciona el método de colocación para el problema (3.23)-(3.26), para un mallado de 80 puntos.

A continuación, se va a mostrar los resultados que se obtiene mediante un mallado más fino que el anterior para la misma geometría, es decir, xnX-=3 y znX-=1. Para ello se ha elegido un mallado de puntos caracterizado por N- = 20 y Nm = 20, con lo que tenemos un total de 400 nodos. Como el número de nodos que define al dominio de integración, en este caso, es muy grande, vamos a representar los resultados que se obtendría para este mallado en cuatro puntos arbitrario donde la primera columnas de resultados pertenece a la solución exacta del problema, y la segunda a la que se obtiene mediante el método de colocación (véase tabla 3.3). Para este mallado observamos que los resultados son muy próximos a los que proporciona la solución exacta.


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Tabla 3.3 Comparación entre la solución teórica y la que proporciona el método de colocación para el problema (3.23)-(3.26), para un mallado caracterizado por un total de 400 puntos.

Capítulo 3 El método de...

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