Capítulo 23

Microscopios

1

Aumento angular

El aumento angularm(a) de una lente convergente viene dado por:

m(a) =tan θ rmim

tan θob=|q| 0.25

(d+ |q|)p

en donded es la separación entre la lente y el ojo, y|q| es la distanciaentre la imagen y la lente.

En la prácticad+ |q| = 0.25 y se tiene:

m(a) =|q|p

=0.25− d+ f

f

Microscopio óptico

El aumento angular de un microscopio es:

M = −0.25L

fbfc

El signo menos indica que la imagen final está invertida.

Si situamos el objeto a una distanciax del foco del objetivo, tenemos:

1

q1=

x

fb(fb + x)

en dondeq1 es la distancia de la imagen al objetivo. La imagen final seproduce enq dado por:

1

L+ fb − q1+

1

q=

1

fc

Poder de resolución

La mínima separación distinguible por un aparato que utilice luz con unalongitud de ondaλ viene dada por:

dmin =λ

2n sen θ

en dondeθ es la mitad del ángulo que forma el objeto con la apertura delobjetivo.

La cantidadn sen θ se denominaapertura numérica del objetivo.

Microscopios electrónicos

El poder de resolución de un microscopio electrónico está limitado por lalongitud de onda de los electrones que utiliza, dada por:

p =h

λ

El momento lineal y la energía están relacionados por:

E =p2

2m

La energía de los electrones necesaria se suministra mediante una dife-rencia de potencial:

E = |e|V.

Problema 23.1

¿Cuál es el aumento angular de una lupa con una potenciaóptica de 8 dioptrías?

Problema 23.2

Una lente convergente está construida con un cristal deíndice de refracción igual a 1.7. Los radios de curvaturade sus caras son de 16 cm. ¿Cómo hay que situar la lentey un objeto para que su imagen se produzca a 25 cm delojo? ¿En qué caso de los varios posibles se obtiene elmayor aumento angular?

Problema 23.3

¿Cuál es el aumento angular de un microscopio de 25 cmde longitud de tubo construido con dos lentes con unaspotencias ópticas de 20 y 12 dioptrías?

Problema 23.4

El objetivo y el ocular de un microscopio poseen distanciasfocales de 2 y 3 cm, respectivamente. La longitud del tubodel microscopio es de 20 cm. Determina el número deaumentos del microscopio y a qué distancia del foco delobjetivo hay que colocar la muestra.

Problema 23.5

El objetivo y el ocular de un microscopio poseen unas po-tencias ópticas de 50 y 60 dioptrías. La longitud del tubodel microscopio es de 18 cm, y con éste observamos unamuestra de 3 µm. Calcula:(a) el número de aumentos del microscopio,(b) a qué distancia del foco del objetivo hay que colocar

la muestra,(c) dónde se produce y qué tamaño tiene la imagen in-

termedia generada por el objetivo.

Problema 23.6

Tenemos un microscopio de 200 aumentos con el mismopoder de amplificación en el objetico y el ocular, y con unalongitud de tubo de 16 cm. ¿Dónde deberemos de situarla muestra para verla enfocada y a 25 cm de distancia delojo? ¿Qué tendríamos que hacer para poder fotografíar lamuestra con una película situada a 10 cm del ocular?

Problema 23.7

El ángulo de apertura de un objetivo de 50 dioptrías es de71◦. Si utilizamos luz de 480 nm, ¿cuál es el detalle míni-mo que podemos apreciar de una muestra en el aire? ¿Ysi sumergimos la muestra en aceite? ¿Cuál es la poten-cia óptica mínima del ocular que nos permite observar elgrado de detalle correspondiente al aire en un microscopiocon una longitud de tubo de 20 cm? Supón que con el ojodesnudo podemos apreciar hasta una décima de milíme-tro.

Problema 23.8

¿Qué diferencia de potencial ha de poseer un cañón deelectrones para que los electrones que emite tengan unalongitud de onda de 0.2 Å? ¿Con qué velocidad disparadicho cañón a los electrones?

Problema 23.9

Un electrón posee una velocidad de 5 ·107 m/s después deatravesar una determinada diferencia de potencial y haberpartido del reposo. Determina:(a) su momento lineal,(b) la diferencia de potencial que atraviesa,(c) su longitud de onda,

Problema 23.10

Obtén la relación entre la longitud de onda y la frecuenciade un electrón. La energía de una partícula con masa enreposo m0 viene dada por:

E2 = p2c2 +m20c

4.

Problema 23.11

La frecuencia de la onda asociada a un electrón dependede su velocidad. Calcula el índice de refracción efectivo(que nos determina la velocidad) de un electrón en funciónde su frecuencia.

Problema 23.12

Un microscopio electrónico de transmisión posee una lon-gitud de tubo de 0.4 m, una apertura numérica de 0.01y aplica a los electrones una diferencia de potencial de40.000 voltios. Calcula:(a) la longitud de onda de sus electrones,(b) el mínimo detalle que puede resolver,(c) el número de aumentos correspondiente,(d) la potencia del objetivo y del ocular, supuestas igua-

les.

23.1 ¿Cuál es el aumento angular de una lupa con una potencia óptica de 8dioptrías?

El aumento angular de una lupa viene dado por:

m(a) =0.25− d+ f

f=

0.25− d+ P−1

P−1

=0.375− d

0.125= 3− d

0.125,

en donded es la distancia de la lupa al ojo.

23.2 Una lente convergente está construida con un cristal de índice de refrac-ción igual a 1.7. Los radios de curvatura de sus caras son de 16 cm. ¿Cómohay que situar la lente y un objeto para que su imagen se produzca a 25 cmdel ojo? ¿En qué caso de los varios posibles se obtiene el mayor aumentoangular?

Deseamos que se verifiqued + |q| = 0.25 m. Podemos elegir und cual-quiera y situar el objeto enp dado por:

1

p+

1

q= P = (nL − 1)

(1

R1+

1

R2

)= (1.7− 1)

2

0.16= 8.75,

de donde deducimos:

p =

(8.75 +

1

0.25− d

)−1.

El aumento angular es:

m(a) =0.25− d+ f

f=

0.25− d+ 0.114

0.114,

cuyo máximo corresponde ad = 0 y

p =

(8.75 +

1

0.25− 0

)−1= 0.078 m.

23.3 ¿Cuál es el aumento angular de un microscopio de 25 cm de longitud detubo construido con dos lentes con unas potencias ópticas de 20 y 12 dioptrías?

El aumento angular de un microscopio viene dado por:

M = −0.25L

fbfc= −0.25LPbPc = −0.25 · 0.25 · 20 · 12 = −15.

23.4 El objetivo y el ocular de un microscopio poseen distancias focales de 2y 3 cm, respectivamente. La longitud del tubo del microscopio es de 20 cm.Determina el número de aumentos del microscopio y a qué distancia del focodel objetivo hay que colocar la muestra.

El número de aumentos del microscopio es igual a:

M = −0.25L

fbfc=−0.25 · 0.20.02 · 0.03

= −83.3.

Para que la imagen final esté a 25 cm del ocular, la imagen del objetivoha de formarse en unp dado por:

1

p+

1

−0.25=

1

fc=

1

0.03= 33.3.

Despejando llegamos a:

p = (33.3 + 4)−1 = 0.0268 m.

Esta distancia está medida respecto del ocular. Respecto del objetivoserá:

l = L+ fb + fc − p = 0.2 + 0.02 + 0.03− 0.0268 = 0.2232 m.

La separación entre la muestra y el foco del objetivo vendrá dada por:

1

x+ fb+

1

l=

1

fb=⇒ 1

x+ fb= 50− 4.48 = 45.52.

Despejandox tenemos:

x =1

45.52− 0.02 = 0.0020 m.

23.5 El objetivo y el ocular de un microscopio poseen unas potencias ópticasde 50 y 60 dioptrías. La longitud del tubo del microscopio es de 18 cm, y conéste observamos una muestra de 3 µm. Calcula:

(a) el número de aumentos del microscopio,

(b) a qué distancia del foco del objetivo hay que colocar la muestra,

(c) dónde se produce y qué tamaño tiene la imagen intermedia generada porel objetivo.

(a) Este microscopio posee un número de aumentos igual a:

M = −0.25L

fbfc= −0.25 · 0.18 · 50 · 60 = 135.

(b) La imagen del objetivo se ha de formar a una distancia del oculardada por:

1

p+

1

−0.25= Pc = 60.

O sea:p = (60 + 4)−1 = 0.0156 m.

Esta distancia está medida respecto del ocular. Cambiamos de re-ferencia al objetivo:

l = L+ fb + fc − p = 0.18 +1

50+

1

60− 0.0156 = 0.201 m.

La muestra se ha de colocar a una distancia del objetivo dada por:

1

p+

1

l= Pb = 50,

y despejando obtenemos:

p =

(50− 1

0.201

)−1= 0.022 m.

(c) La imagen intermedia se produce a 0.201 m del objetivo y posee untamaño:

h′ = −Mh = −qph = −0.201

0.0223 · 10−6 = −2.71 · 10−5 m.

23.6 Tenemos un microscopio de 200 aumentos con el mismo poder de ampli-ficación en el objetico y el ocular, y con una longitud de tubo de 16 cm. ¿Dóndedeberemos de situar la muestra para verla enfocada y a 25 cm de distancia delojo? ¿Qué tendríamos que hacer para poder fotografíar la muestra con unapelícula situada a 10 cm del ocular?

La potencia óptica del objetivo y del ocular verifica:

|M | = 200 = 0.25LP 2.

Luego tenemos:

P =

√√√√ 200

0.25 · 0.16= 70.7 dioptrías.

La imagen intermedia se produce en:

1

p+

1

−0.25= P = 70.7 =⇒ p = (70.7 + 4)−1 = 0.013 m.

Respecto del objetivo, esta posición está a una distancia igual a:

l = L+ fb + fc − p = 0.16 +2

70.7− 0.013 = 0.175 m.

La muestra se ha de colocar a una distancia del objetivo dada por:

1

p+

1

l= P = 70.0,

o sea a una distancia igual a:

p =

(70.7− 1

0.175

)−1= 0.01539 m.

Para fotografiar la muestra, hemos de hacer que el ocular produzca unaimagen real a 10 cm de él. Para ello, la imagen intermedia ha de estar en:

1

p+

1

0.1= P = 70.7 =⇒ p = (70.7− 10)−1 = 0.0165 m.

Respecto del objetivo, esta posición está a una distancia igual a:

l = L+ fb + fc − p = 0.16 +2

70.7− 0.0165 = 0.172 m.

La muestra se ha de colocar a una distancia del objetivo que ha de verifi-car:

1

p+

1

l= P = 70.0.

Luego,p vale:

p =

(70.7− 1

0.172

)−1= 0.01541 m.

23.7 El ángulo de apertura de un objetivo de 50 dioptrías es de 71◦. Si uti-lizamos luz de 480 nm, ¿cuál es el detalle mínimo que podemos apreciar deuna muestra en el aire? ¿Y si sumergimos la muestra en aceite? ¿Cuál es lapotencia óptica mínima del ocular que nos permite observar el grado de deta-lle correspondiente al aire en un microscopio con una longitud de tubo de 20cm? Supón que con el ojo desnudo podemos apreciar hasta una décima demilímetro.

El detalle mínimo que podemos apreciar con la muestra en el aire es:

dmin =λ

2n sen θ=

480 · 10−9

2 · 1 · sen 17◦= 2.54 · 10−7 m.

En aceite, comon = 1.5, el detalle mínimo es un 50 % menor:

d(aceite)min =

dmin

1.5=

2.54 · 10−7

1.5= 1.69 · 10−7 m.

Para observar con el grado de detalle mínimo, en el caso del aire, necesi-tamos un número de aumentos dado por:

|M | = dojo

dmin=

10−4

2.54 · 10−7 = 394 = 0.25LPbPc.

Despejando llegamos a:

Pc =394

0.25 · 0.2 · 50= 157 dioptrías.

23.8 ¿Qué diferencia de potencial ha de poseer un cañón de electrones paraque los electrones que emite tengan una longitud de onda de 0.2 Å? ¿Con quévelocidad dispara dicho cañón a los electrones?

El momento lineal de los electrones esp = h/λ, y su velocidad es iguala:

v =p

m=

h

mλ=

6.63 · 10−34

9.1 · 10−31 2 · 10−11 = 3.64 · 107 m.

La energía es igual a la carga por la diferencia de potencial. Para ha-cer que los electrones adquieran la anterior velocidad necesitaremos lasiguiente diferencia de potencial:

V =E

Q=

12 mV

2

e=

9.1 · 10−31 3.642 1014

2 · 1.6 · 10−19 = 3.77 · 103 V.

23.9 Un electrón posee una velocidad de 5 · 107 m/s después de atravesar unadeterminada diferencia de potencial y haber partido del reposo. Determina:

(a) su momento lineal,

(b) la diferencia de potencial que atraviesa,

(c) su longitud de onda,

(a) El momento lineal del electrón vale:

p = mv = 9.1 · 10−31 5 · 107 = 4.55 · 10−23 kg m/s.

(b) La diferencia de potencial que hace que el electrón adquiera la ve-locidad mencionada es:

V =E

Q=

12 mV

2

e=

9.1 · 10−31 52 1014

2 · 1.6 · 10−19 = 7.11 · 103 V.

(c) La longitud de onda del electrón es igual a:

λ =h

p=

6.63 · 10−34

4.55 · 10−23 = 1.46 · 10−11 m.

23.10 Obtén la relación entre la longitud de onda y la frecuencia de un electrón.La energía de una partícula con masa en reposo m0 viene dada por:

E2 = p2c2 +m20c

4.

La longitud de onda está relacionada con el moemnto lineal,λ = h/p,que a su vez está relacionado con la energía, y ésta con la frecuencia. Larelación entre energía y momento es:

E2 = p2c2 +m20c

4 =⇒ h2ν2 =h2

λ2c2 +m2

0c4.

De aquí despejamos la longitud de onda:

λ =

ν2

c2 −m20c2

h2

−1/2

.

23.11 La frecuencia de la onda asociada a un electrón depende de su veloci-dad. Calcula el índice de refracción efectivo (que nos determina la velocidad)de un electrón en función de su frecuencia.

Hemos de encontrar primero la relación entre la velocidad y la frecuenciade un electrón. La velocidad es igual al momento lineal dividido por lamasa, y la energía es igual a la masa porc2:

v =p

m=pc2

E.

Ahora relacionamos el momento lineal con la longitud de onda,p = h/λ,y la energía con la frecuencia,E = hν:

v =pc2

E=

c2

λν.

La longitud de onda en función de la frecuencia fue calculada en el pro-blema anterior. El índice de refracción es el cociente entre la velocidadde la luz y la velocidad:

n =c

v=λν

c=ν

c

ν2

c2 −m20c2

h2

−1/2

=

1− m20c

4

h2ν2

−1/2

.

23.12 Un microscopio electrónico de transmisión posee una longitud de tubo de0.4 m, una apertura numérica de 0.01 y aplica a los electrones una diferenciade potencial de 40.000 voltios. Calcula:

(a) la longitud de onda de sus electrones,

(b) el mínimo detalle que puede resolver,

(c) el número de aumentos correspondiente,

(d) la potencia del objetivo y del ocular, supuestas iguales.

(a) La longitud de onda depende del momento lineal, que a su vez estárelacionado con la energía. Despreciando la corrección relativistatenemos:

λ =h

p=

h√2mE

=h√

2meV

=6.63 · 10−34

√2 · 9.1 · 10−31 1.6 · 10−19 40000

= 6.14 · 10−12 m.

(b) El detalle más pequeño que puede resolver este microscopio elec-trónico es:

dmin =λ

2n sen θ=

6.14 · 10−12

2 · 0.01= 3.1 · 10−10 m.

(c) El número de aumentos para apreciar este detalle, suponiendo queel ojo desnudo aprecia una décima de milímetro, es:

|M | = 10−4

3.1 · 10−10 = 325000.

(d) El número de aumentos en función de las potencias ópticas vienedado por:

|M | = 325000 = 0.25LPbPc,

por lo que las potencias ópticas del objetivo y del ocular serán igua-les a:

Pb = Pc =

√√√√325000

0.25L= 1804 dioptrías.