Capítulo 2: Gí d d lí d t iióGuías de onda y líneas de transmisión · Teoría...

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Capítulo 2: d d d t i ió Guías de onda y neas de transmisn En el presente capítulo se va a analizar una solución general de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el iiál i i d i d l i d que se permitirá la existencia de variacn de las magnitudes con las tres coordenadas espaciales. Dada la complejidad del problema completo nos centraremos en problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos ortogonales con simetría de traslación. Microondas-2- 1 Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Transcript of Capítulo 2: Gí d d lí d t iióGuías de onda y líneas de transmisión · Teoría...

Capítulo 2:G í d d lí d t i ióGuías de onda y líneas de transmisión

En el presente capítulo se va a analizar una solución general de las ecuaciones de Maxwell, en un medio sin fuentes,en el

i i á l i i d i ió d l i dque se permitirá la existencia de variación de las magnitudes con las tres coordenadas espaciales.

Dada la complejidad del problema completo nos centraremos p j p pen problemas que pueden ser descritos sistemas curvilíneos

ortogonales con simetría de traslación.

Microondas-2- 1Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Transmisión de energía electromagnética por soporte físico Medios de Transmisión

Emisor ReceptorLínea Bifilar, Cable coaxial

Guías de onda metálicasEstructuras planaresEstructuras planares

Guías de onda dieléctricas: fibra óptica

Teoría electromagnética de las ondas guiadasField Theory of Guided WavesField Theory of Guided Waves

Microondas-2- 2Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Transparencia tomada de referencia 6

Frecuencias

1 KHz

λ Denominación

A di

Medio de TransmisiónDistancia Circuitería

TipoOnda Guiada

1 KHz

10 KHz

Audio

Muy BajaFrecuencia

Baja

100 Km

10 KmLíneaBifilar

Ci it100 KHz

1 MHz

BajaFrecuencia

FrecuenciasMedias

1 Km

100 m

CircuitosImpresosP.C.B.

10 MHz

100 MHz

AltaFrecuencia

Muy altaFrecuencia

100 m

10 m CableCoaxial

Lí t i1 GHz

10 GHz

Frecuencia

Ultra altaFrecuencia

Microondas

1 m

10 cm GuíasLínea μ strip

Línea strip

10 GHz

100 GHz

Microondas

Milimétricas

1 cm

1 mm

deonda

Líneascoplanares

100 THz InfrarrojosFibraÓ

guíasdi lé i

1 μm1 PHz Visible

Ultravioleta

Óptica dieléctricasplanas

μ

Transparencia tomada de referencia 6

CLASIFICACIÓN DE LOS MEDIOS DE TRANSMISIÓN

DieléctricoHomogéneo

CerradosCerrados

gGuía

rectangular Guíacircular

Guíacoaxial

Multi-dieléctricos Guía imagen Línea microstrip Fin-line

DieléctricoLínea bifilar Línea trifásica

Abiertos

Homogéneo

MultiLínea microstrip Línea coplanar

Multi-dieléctricos

Guía acanalada Fibra salto de índiceFibra salto de índice

Microondas-2- 4Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Transparencia tomada de referencia 6

INTRODUCCIÓN (I)

• Definición: medio sin fuentes donde pueden variar las magnitudes electromagnéticas con tres coordenadas espaciales. Limitaciones:– Complejidad del problema EM completo– Descripción del problema mediante sistema curvilíneo ortogonal (u u u )sistema curvilíneo ortogonal (u1, u2, u3)– Simetría de traslación: u3=cte, planos paralelos entre sí.– Los factores de escala quedan:

zuuh

uhh ˆˆ;0;1 3

3

2

3

13 ==

∂∂

=∂∂

=

• Ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia en un medio homogéneo caracterizado por ε y μ en donde no existen fuentes:

uu 33 ∂∂

⎫⋅−=×∇ HjErr

ωμ γ⎪⎧ =−Δ 2 0EErr

⎪⎪

⎪⎪

=⋅∇

⋅=×∇

⋅−=×∇

0E

EjH

HjE

r

rrωε

ωμTomando rotacionales en las dos primeras y considerando

las otras dos εμωγ

γ

γ

⋅⋅−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−Δ

Δ

22

2 0

0

o

o

o

HH

EErr (1)

Microondas-2- 5Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

⎪⎭=⋅∇ 0H

r las otras dos

INTRODUCCIÓN (II)

• Resolución de las ecuaciones (1) (tomamos la del campo eléctrico)S ió d l l i di l l– Separación del campo en componentes longitudinal y transversal:

– Sistema con simetría de traslación

022 =−−Δ+Δ zoTozT EEEErrrr

γγ

Sistema con simetría de traslación

( ) zzEEzEE

EE

EE zzTzz

zoz

ToT ˆˆ0

02

2

2

2

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂+Δ=⋅Δ=Δ⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−Δ

=−Δ rrr

rr

γ

γ

• Aplicando la técnica de separación de variables:

L i dif i l h d i l t t( ) ( )zZuuFE Ez ⋅= 21, 01 2

2

2=−

∂∂

oE

ET

zZ

ZFF

γ (2)

• Las ecuaciones diferenciales han de ser igual a una constante

( ) ( ) 22222222

22 ;4 1;3 ococc

E

ET

zZ

ZFF γγγγγγγγ =+⇒−=⇒=

∂∂

=Δ 222 β−= kkc

(Pozar)– constante en la dirección transversal– constante en la dirección longitudinal

E (Pozar)

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INTRODUCCIÓN (III)

• La solución de la ecuación (3) tiene sólo componentes transversales y (4) longitudinaleslongitudinales

• La forma de esta solución puede ser

( ) ( ) ( )zBzAzZ += γγ expexp( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )zDzCzZ

zBzAzZ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅−⋅=γγγγ

senhcoshexpexp

– Solución A: formada por ondas progresivas y regresivas: componente longitudinal

– Solución B: constituye una onda estacionaria : componente transversalSolución B: constituye una onda estacionaria.: componente transversal• El campo en la dirección longitudinal será:

( ) ( )⎪⎧ ⋅−⋅⋅= zuuFzE Ez γexp,ˆ 21r

d d h id d ól l d i

( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⋅−⋅⋅= zuuFzH

zuuFzE

Hz

Ez

γ

γ

exp,ˆ

exp,

21

21r

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donde se ha considerado sólo la onda progresiva

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (I)

• MODOS TEM: transversales electromagnéticos, no hay campo eléctrico ni magnético longitudinal 00 HE

vv HjErr

⋅⋅−=×∇ μωlongitudinal– las ecuaciones de Maxwell quedan– calculando el rotacional en sentido longitudinal y utilizando la otra ecuación

0;0 == zz HE

tt

tt

EjHHjErr

⋅⋅=×∇

=×∇

εωμω

( ) ( )zuuFE

EE

oETEM

ToTz

T⋅−⋅=

=⋅−Δ

γ

γ

exp,

0

21

2

rv

vv

– Introduciendo esta expresión en el correspondiente rotacional se puede extraer el valor del campo magnético transversal como:

( ) ( )oETEM Tγp21

μη ==×

= TEMT

T ZZ

EzH ;ˆr

r(3)

– Los vectores están contenidos en planos perpendiculares a z.– El vector se obtiene a partir de la expresión (3)

εTEMTEM

T ZHErr

,

Hr

( )

– No confundir la impedancia del modo TEM que coincide con la intrínseca del medio y sólo depende de las características del medio con la impedancia característica que depende del material que rellena la línea y de la forma de la

i

Microondas-2- 8Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

misma

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (II)

• MODOS TM: transversales magnéticos, no existe componente longitudinal del campo magnético por lo que también se les llama modos E: 0=H

vmagnético por lo que también se les llama modos E:

• La componente longitudinal es de la forma:

0=zH

( ) ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

Δ

⋅−⋅⋅=

0

exp,ˆ2

21Ez

FFF

zuuFzE γr

• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y tomando la segunda

( )⎪⎩ =−Δ 0:, 221 EcETE FFuuFcon γ

zTToTz EjHHrrr

×∇=−Δ ωεγ 2

– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM. – La solución para modos TM:

zTToTz jγ

jj ⎫ωεωε

TT

zTc

zTo

T

EzjHzEjEjH

rr

r

rr

×=⇒⎪

⎪⎪⎬

⎫×∇−=×∇−

=

ˆˆ222

γωε

γγωε

γγωε

– está contenido en planos perpendiculares a z

zTc

T EEr

⎪⎪⎭

∇= 2γ

γγ

Hv γ

jHEzZ T

TM =×

= rˆ

Microondas-2- 9Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

p p pωεjHT

TM

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (III)

• MODOS TE: transversales eléctricos, no existe componente longitudinal del campo eléctrico por lo que también se les llama modos H: 0E

rcampo eléctrico por lo que también se les llama modos H:

• La componente longitudinal es de la forma:

0=zE

( ) ( )( )⎪

⎪⎨⎧ ⋅−⋅⋅= exp,ˆ

221Hz zuuFzH γ

r

p g

• Tomando las expresiones de los rotacionales, multiplicando por jwε la primera y d l d

( )⎪⎩⎨

=−Δ 0:, 221 HcHTH FFuuFcon γ

HjEErrr

∇Δ 2tomando la segunda– Ecuación diferencial completa cuya solución homogénea es el modo TEM– La solución para modos TM:

zTToTz HjEE ×∇−=−Δ ωμγ 2

HjErr ⎫∇

ωμLa solución para modos TM:

TT

zTc

T

Ezj

HHH

HjErr

r×=⇒

⎪⎪⎬

×∇=

ˆ2

ωμγ

γγμ

– está contenido en planos perpendiculares a zS d d fi i i d i d l d

zTc

TjHH

⎪⎪⎭

∇= 2μ

γγ

Er

ωμjEzZ TTE =

×=

ˆ

Microondas-2- 10Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

– Se puede definir una impedancia del modo como γHZ

TTE r

CLASIFICACIÓN DE LAS SOLUCIONES (IV)

• Cuando no se satisface ninguna de las condiciones anteriores la solución se forma por i ió d l t i L té i d ió d i bl d j dsuperposición de los casos anteriores. La técnica de separación de variables deja de

ser válida cuando la sección no es un cilindro recto. • Las condiciones de contorno laterales definen la variación de los modos.• Las condiciones en planos z=cte determinan cuántos y cuáles son los modos. • La constante de propagación viene determinada

– Por las características del medio: modos TEM μεωγγ jo ==

– Por las características del medio y las condiciones de contorno• La constante de propagación es una función compleja de ω:

C t t d t ió d ib ó í l lit d d l

22co γγγ −=

( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=– Constante de atenuación describe cómo varían las amplitudes de los campos– Constante de fase la forma cómo varía la fase del campo– Longitud de onda: distancia entre dos puntos de igual fase:

( ) ( )( )

πω

ωωβπωλ

2

2 fv==

– Velocidad de fase: velocidad con que se desplazan los planos de fase constante– Dos situaciones:

• Modo no se propaga Modo se propaga

π2

( ) ( )ωβωα ≥ ( ) ( )ωβωα ≤

Microondas-2- 11Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

• Modo no se propaga. Modo se propaga( ) ( )ωβωα ≥ ( ) ( )ωβωα ≤

CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (I)

• Determinan cuántos y cuáles modos son necesarios considerar para obtener la solución completacompleta.

• Casos más comunes– Región limitada por un conductor perfecto sin discontinuidades.– Características de buen conductor– Parte de la superficie límite se encuentra en el infinito– Discontinuidades en el medio (línea microstrip)

n( p)

• Condiciones de conductor perfecto:– La región de contorno es un conductor perfecto:

τ

]⎧ × 0ˆ Enr

– Modos TE: la segunda condición la cumplen automáticamente

] ( )] ]⎩⎨⎧

=

=×⇒=+×⇒=×

00

0ˆ0ˆz

CTCzTC E

EnEEnEnrrr

(4)

• De la primera se deriva: ] ( )] ( ) ( )] ( )]

( ) 0ˆˆˆˆ

0ˆ0ˆˆˆˆˆˆˆ

=∂

=∂

⇒⋅⎟⎞

⎜⎛ ∂

+∂

⋅=⋅

=⋅⇒=⋅−⋅=××=×

FHnHnHHn

HnHnzznHzHnEn

Hzzz

CTCTTCTCT

τγr

rrrrr

Microondas-2- 12Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

( ) 02 =∂

=∂

⇒⋅⎟⎠

⎜⎝ ∂

+∂

⋅=⋅nn

nnn

Hnc

T ττγ

CONDICIONES DE CONTORNO LATERALES (II)

• Condiciones de conductor perfecto:– Modos TM:Modos TM:

• La condición Ez=0 supone C es una línea de Ez cte, su gradiente es normal• Tomando la segunda condición de (4): tiene dirección normal

– Modos TEM:TEr

Modos TEM:• Las condiciones coinciden con el planteamiento de un

problema estático.• Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores

] 0;0ˆ =×∇=×TETCT FEn

rr

Los campos transversales coinciden con los campos estáticos entre conductores

• El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático

( )⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅∇=⋅∇

Φ−∇=

ED

yxF TETrr

r

ε

, ( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=ΦΔ

cteyxyx

C

T

,0,

( ) 0=ΦΔ yxT

C1

C El campo TEM coincide con la solución de un problema electrostático• En una región limitada por un recinto simplemente conexo no puede haber modos TEM• En una región multiplemente conexa:• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1

( ) 0,ΦΔ yxT

∫ ⋅=Φ−Φ=2

12112 ldEVrr

C2

• El número de modos TEM independientes es el número de partes de la frontera menos 1. • La corriente que fluye viene dada por la ley de Ampere

• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente

∫ ⋅=C

ldHIrr

Microondas-2- 13Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

• En cada punto de la línea se puede definir unívocamente un voltaje y una corriente

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (I)

• Teorema de Green:– Sea un campo vectorial definido a partir de un potencial como: ( ) ( )yxFyxFA ,,* ∇⋅=

r

– Cálculo de la divergencia– Teorema de Green para dos dimensiones

( ) ( ) ( ) ( )yxFyxFyxFyxFA ,,,, ** Δ⋅+∇⋅∇=∇r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ∇Δ+∇∇⇒∇ ldFFFFFFldAArrrr ***( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ ⋅∇⋅=Δ⋅+∇⋅∇⇒⋅=∇

CSCSldyxFyxFyxFyxFyxFyxFldAA

tt

,,,,,,

∫∫ ⋅∂∂⋅=Δ⋅+∇⋅∇

CS TTT ldnFFFFFF

t

r***

• Condiciones de contorno de conductor perfecto

⇒⋅=Δ⎪⎬

=FFFTE

FTM

cTH

E2

0)(

0:)(γ ∫∫ ⋅⋅⋅−=∇⋅∇

ScS TT dsFFFF *2* γ

• Ambas integrales son positivas luego tiene que cumplirsel t t d ió l i < l l d tá l t

⎪⎭

⎬=∂n

TE cT

C

H 0:)(γ ∫∫

tt ScS TT

02 <cγ– la constante de propagación es real si ω< ωc luego no se propaga y el modo está al corte– la constante de propagación es imaginaria si ω> ωc , el modo se propaga

• La propagación es de tipo paso alto con γ 2cf

−=

Microondas-2- 14Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

μεπ2cf =

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (II)

• En función del valor de la frecuencia de corte se puede poner:22

2

2

2

22

2

1;1

;1ffZ

ff

Zff c

TMc

TEc

o −⋅±=

±=−⋅±= ηηγγ

– El signo + corresponde a f>fC. – El signo - corresponde a f<fc

• Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión

f

Así ZTE , por debajo del corte, será inductivo y ZTM capacitivo.Representación de la constante de propagación: diagrama de dispersión

• Existe un número infinito de soluciones (autofunciones) cada una correspondiéndose con un valor de (autovalores) El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TE2γ

Microondas-2- 15Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

un valor de (autovalores). El menor de dicho autovalor corresponde a un modo TEcγ

a 22

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE

CONDUCTOR PERFECTO (III)

Frec

uenc

ia

122c

2

22c

2=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ γ−

β−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

με

γ−

ω

μεωβ =

CONDUCTOR PERFECTO (III)

fc

β22 αω

2

2c

f

ff1

cv−

==βω

vf vg= c2c

α12

2c

22c

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ γ−

α+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

με

γ−

ω

6βfrec

uenc

iacf

)m/1(),m/nep( βα

3β4β

5βfc6fc5fc4fc3

Frecuenciaf 2 f 3 f

2

2c

g ff1cv −=

∂∂

=βω

2α 3α 4α 5α 6α

fc1

fc2Frecuenciafc 2 fc 3 fc

T i t d d f i 6

)m/1(),m/nep( βα

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Transparencia tomada de referencia 6

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (IV)

• Conclusiones: – Si se traza una recta ω=cte se verán inmediatamente los modos que se propagan.– También se puede obtener la velocidad de fase, que depende de la frecuencia

(dispersión) y es siempre mayor que la velocidad de la luz en el medio.– Si la frecuencia es menor que la frecuencia correspondiente al menor no existe 2

cγq pningún modo que se propague constituyendo dicha fc la frecuencia de corte absoluto.

– El modo de menor fc se denomina modo dominante y el resto modos superiores.En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta

– En los sistemas capaces de soportar modos TEM no existe frecuencia de corte absoluta• Medio con pérdidas (se supone que no hay pérdidas magnéticas):

– La constante de propagación será: ( ) ( ) ( )ωβωαωγ j+=– La permitividad se modifica como:– Luego queda:

''' εεε j−=

( ) ( ) ⎪⎨⎧ ⋅=

⇒−−⋅−=−=+=2

222222 ''2''' cco jj

μεωαβγεεμωγγβαγ

– Frecuencia de corte: valor de f que hace α=β( ) ( )

⎪⎩⎨

−⋅−=−⇒+

2222 ' ccco jj

γμεωβαγεεμωγγβαγ

2γ cf−

=εηηεγγ '1;;'1 2

2

22

2

⋅−⋅==⋅−⋅=ffZZ

ff c

TMTEc

o

Microondas-2- 17Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

'2 μεπcf εη

εεε

γγ'1

2

2

22

⋅−f

fff TMc

TEo

CARACTERÍSTICAS DE LOS MODOS PARA CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V)

• Las constantes de atenuación y fase quedan entonces:

CONDICIONES DE CONDUCTOR PERFECTO (V)

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+−⋅−+−⋅−⋅=

2222222 ''''21 μεωγμεωγμεωα ccd

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+−⋅−+−⋅−−⋅=

2222222 ''''21 μεωγμεωγμεωβ cc

''' εε <<

• En el caso que las pérdidas dieléctricas sean pequeñas:– La constante de fase coincide con la obtenida despreciando las pérdidas

L t t d t ió l 22– La constante de atenuación vale:

• Para modos TEM, considerando resulta:

δβμεω

εε

βμεωα tg

2'

'''

2' 22

⋅⋅

=⋅⋅

=d

''' εε <<Para modos TEM, considerando resulta: εε <<

δδμεω

εεμεω

α tgktgd ⋅=⋅⋅

=⋅⋅

=22

''''

2'

Microondas-2- 18Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

ε 222

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (I)

Condiciones de contorno para conductor perfecto

axx

HHTE

z

z

,0en 00: ⎪⎪

⎧ ==∂∂

⇒∂ ⎪

⎧=−

∂∂⋅+

∂∂⋅ 2

2

2

2

2

0)()()( c XYYXXY

YXFγ

byaxETM

byy

HnTE

z

z

,0;,0en 0 :

,0en 00:

===

⎪⎪⎩

⎨==

∂∂

⇒=∂

⎪⎩

⎪⎨

=−−

∂∂⇒=222

22)()(),(

cyx

c

kkyxyYxXyxF

γ

( )( ) nkmk

CA

ykDyCsenkyxYxkBxAsenkyxX xx

ππ⎪

⎪⎨⎧

==

==⇒

⎭⎬⎫

+=+=

;

0

cos)(cos),(

Aplicando separación de variables y las condiciones de contorno para despejarlas constantes, resulta:

⎧( )

( )

nm

zyb

nxa

mPzHTE

bk

akykDyCsenkyxY

mnmnz

yxyy

ππ

γππ−⋅⋅⋅=

⎪⎩==⎭+

expcoscosˆ :

;cos),(

,

r

222

22

220

, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⋅

−=

bn

am

kkj c

cnm

ππμεωγγ

γ

N l P

Microondas-2- 19Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

( )zyb

nsenxa

mQsenzETM mnmnz γππ−⋅⋅⋅= expˆ: ,

rNomenclatura Pozar

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (II)

Modo dominante TE10( )

EE

zxa

PajEy 1010,

0

expcos γππωμ

==

−⋅−=

μεafc 2

110 = ( )

H

zxa

senPaH

EE

y

x

zx

10,

1010,

10,10,

0

exp

0

γππγ

=

−⋅⋅=

==

Distribución de campo Distribución de corriente( )zx

aPH z 1010, expcos γπ

−⋅=Banda X: a=22.86 mm, b=10.16mm

Ubicación de modos para el caso a=2b

Microondas-2- 20Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (III)

Microondas-2- 21Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Tomado de referencia 4 Distribución de campos en la guía rectangular

ESTUDIO DE LA GUÍA RECTANGULAR (IV)

Microondas-2- 22Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

GUÍA ESTRANGULADA (REENTRANTE O RIDGED)

A h d b d d l í t l• Ancho de banda de la guía rectangularestá limitado a una octava.• Los “raíles” disminuyen la frecuencia de corte del fundamental.• La capacidad de transmitir potencia decrece• Posibilidad de adaptar impedancias

Microondas-2- 23Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

GUÍAS CIRCULARES (I)

Utilización de coordenadas cilíndricas.Condiciones de contorno para conductor perfecto

( ) ( ) ( ): 0

,z

a

HTEF R Pρρ ρ ϕ ρ ϕ=

⎫∂= ⎪∂ ⇒ = ⋅⎬ ( ) ( ) ( )

2 22 2

2 2 2

,: 0

1 1 10

a

z a

c

TM E

F F PF k

ρ

ρ

ϕ

ρ ϕ ρ ϕ

ρ γ

=

⎬⎪= ⎭

⎫ ⎧⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⋅ + − = − =⎪⎜ ⎟ ⎪

⎪ ⎪z

r

φ

zr

( )

2 2 2

2 22 2 22 2 22 2

22 2

1 0

c

cc

kP

R RR R P k RR RR R P

ϕ

ϕ

ρ γρ ρ ρ ρ ϕ ϕ

ρ ρρ ρ γ ργ ρρ ρρ ρ ϕ

⎪⎜ ⎟ ⎪∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎝ ⎠ ⇒⎬ ⎨∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎪ ⎪ + ⋅ − + ⋅ =+ ⋅ − =− ⎪ ⎪ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎩⎭

φ

Las soluciones de ambas ecuaciones son del tipo:

)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP += φφφ φφ

)()()( ργργρ cncn DYCJR +=Modos TE Modos TM

( ) )()cos()()( ργφφφρ JnBnAsenF += ( ) )()cos()(),( ρφφφρ cnE kJnBnAsenF +=

Microondas-2- 24Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

( ) )()cos()(),( ργφφφρ cnH JnBnAsenF += ( ) )()cos()(),( ρφφφρ cnE kJnBnAsenF +

GUÍAS CIRCULARES (II)Modos TE Modos TM

( )ργρ

JHcn

z 00'

'

⎪⎪⎫

=⇒=∂∂

Modos TE Modos TM

0)(0),( =⇒= akJaE cnz φpf nm=

μεπγγγ

ρ ρ

apf

ap

ap

nmnmc

nmnmnmc

a

2,2'20

'

,

=⇒

⎪⎪

⎪⎬

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒=

∂ =2

20

220 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=

apk nm

cnm γγγμεπa

fcmn 2

n p’n1 p’

n2 p’n3

0 3.832 7.016 10.174

1 1 841 5 331 8 536

n pn1 pn2 pn3

0 2.405 5.520 8.654

1 1.841 5.331 8.536

2 3.054 6.706 9.9701 3.832 7.016 10.174

2 5.135 8.417 11.620

Distribución de modos

Microondas-2- 25Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

GUÍAS CIRCULARES (III)

Distribución de campos en la guía circular

Tomado de referencia 4

p g

Microondas-2- 26Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

GUÍAS CIRCULARES (IV)

Microondas-2- 27Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

GUÍA DIELÉCTRICA

• Guía de permitividad εr2 sobre dieléctricop r2

de permitividad εr1. Todo sobre plancha Metálica.• Los campos quedan confinados en el• Los campos quedan confinados en el dieléctrico de mayor permitividad.• Soporta modos TE y TM en la medida que todal í l di lé ila energía se concentre en el dieléctrico.• Ventaja: poco peso, reducidas dimensiones• Problema: grandes pérdidas en empalmes yen dobleces.

Microondas-2- 28Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN

• Dos características importantes como sistemas de transmisión:– Capacidad de propagarse a cualquier frecuencia C1 C2p p p g q– Constancia de velocidad de fase lo que supone ausencia de dispersión

• Retomando la expresiónV d d d l t l id

( ) ( )zVzVldEV o ⋅−==⋅=Φ−Φ= ∫ γexp2

12112rr

– Vo no depende de los puntos elegidos– La magnitud V(z) define de forma unívoca el potencial entre los dos conductores

• Ambos conductores están recorridos por corrientes iguales en sentido contrario( )∫

• Se puede definir una impedancia característica– η depende del medio

( )zIldHI oC

⋅−⋅=⋅= ∫ γexprr

ldEV

⋅∫rr2

η depende del medio– k depende de la geometría de la línea– Resultado independiente de z

cteldHI

VZ

C

o ⋅=⋅

==∫

∫ηrr1

• El concepto de línea de transmisión se asocia a cualquier sistema transmitiendo un modo TEM.

• Permite introducir los sistemas funcionando como circuitos con las constantes R, G, L y C

Microondas-2- 29Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

cuando las dimensiones transversales sean pequeñas.

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (II)

• Consideremos un cuadripolo simétrico (a=d)I1 I2

Si í( )( )⎩

⎨⎧

−⋅=−⋅=

=−⇒⎭⎬⎫

+=+=

lIIlVV

bcaaIcVIbIaVV

o

o

γγ

expexp

112

122

221

221V1 V2

Si es recíproco

• Introduciendo las ecuaciones de propagación en las del cuadripolo( )⎧ lZb γsenh

( )( )

( )( )

⎪⎪⎨

=

=

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

+=Z

lc

lZb

bcal

bcal

o

o

oo

o γγ

γ

γ senhsenh

exp

exp2

2

• Formando la red en T:

( )( )⎪

⎪⎩ =

⎪⎩ −=−la

bcalo

ooγ

γcosh

exp

caz =11 1211 zz − 1211 zz −

ac

zz

c

bca ===− 21112

12 12z

Microondas-2- 30Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

cz =22

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (III)

• Introduciendo los valores: ( )l 1h( )

( )llZZo

oo γ

γsenh

1cosh −=

( )( )l

lZZo

oo γ

γsenh

1cosh −=

( )o

ZlY γsenh

=

• En el caso en que l sea muy pequeña:

oZ

εμη ⋅=⋅=

2

o ctecteZ( )2lZZ o

=( )olY γ

( )2lZZ o

=

εμωγ ⋅⋅−= 2o

ωμ lkjZ ⎪⎫⋅⋅=

( )o

o

ZY γ=

Carácter inductivo( )δεεεε

εωωε

ωμtg1''''

'''2 jj

lk

jk

Y

kjZ−⋅=−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=

=Carácter inductivo

Capacidad más conductancia

Microondas-2- 31Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

kk ⎪⎭⎠⎝

CONCEPTO DE LÍNEA DE TRANSMISIÓN (IV)

• El circuito equivalente (en ausencia de pérdidas en conductores) queda:

LCjZG

CLZ

o

o

⋅+⋅=

=

ωγCl2lL

2lL

⎪⎪⎪⎫

⋅= oZL

ηωεη

μ

'' LCjGo ⋅+⋅= ωγ2Gl Cl

⎪⎪⎪

⎪⎬

⋅=

⋅⋅==o

C

CZ

G

ηε

δωηωε

'

tanExpresiones sin pérdidas

en los conductores

• Simplificaciones adicionales:– A: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo

⎪⎭

⋅=oZ

C εy con bajas pérdidas

en el dieléctrico

LZA: Líneas de muy alta impedancia: carácter inductivo– B: Líneas de muy baja impedancia: carácter capacitivo– C: Pérdidas en los conductores βααωγ jLCj

ZRZG

CZ

cdo

o

++=⋅+⋅

+⋅=

=

22

LlCl

B Gl Cl2lL 2

lL2lR

2lR

C

Zo22

A

Microondas-2- 32Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

B C

LÍNEA COAXIAL (I)

• Dos formas de resolución: a partir del problema electrostático o a partir de la p p pecuación de Helmholtz.• Problema electrostático:

⎪⎪

⎧ ==

⇒⇒⇒bK

GbKZa

b

KCln

''2''

lnln''2

πεωωε

ηηεπε

• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM

⎪⎪

==

⇒=⋅=⇒=⇒==

abKL

aa

KZaKK

abC

ln2

ln22ln

0

πμμ

πη

π

Microondas-2- 33Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

• El cable coaxial es capaz de soportar modos superiores TE o TM

LÍNEA COAXIAL (II)

• Es necesario conocer los valores de la función potencial Φ(ρ,φ)E i id• Ecuaciones a considerar:

0),(1),(12

2

2 =∂Φ∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Φ∂∂∂

φφρ

ρρφρρ

ρρ

2

21φρ

ρρ

ρd

PdPd

dRR

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂⎠⎝ ∂∂ φρρρρ

)()(),( φρφρ PR=Φ 022

2

=+ Pkd

Pdφφ

02 =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

φρρ

ρρ k

ddR

R

abbV

ddR

lnln),(0 0 ρφρ

ρρ

ρ=Φ⇒=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

V

• Soluciones:

ρρ

φρφρ ˆln

),(),( 0

abVe t =Φ−∇=

φφρφρ ˆ)(ˆ1)( 0Iezh =×=

)cos()()( φφφ φφ kBkAsenP +=

φπρ

φρφρ2

),(),( ezZ

hTEM

=×=

η2

ln00

abI

VZ ==

Microondas-2- 34Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

π200 I

TECNOLOGÍAS PLANAS

• Características: C ó i Ch b d f b i ió ill di– Coste económico. Chapa barata y proceso de fabricación sencillo mediante fotograbado.

– Reducido peso que los hace ligeros.p q g– Dimensiones reducidas– Permiten la integración de circuitos MIC (Microwave integrated circuits) y

MMIC (M li hi Mi I d Ci i )MMIC (Monolithic Microwave Integrated Circuits)– Están formados por materiales metálicos y dieléctricos.

• Opciones tecnológicas:Opciones tecnológicas: – Línea stripline (triplaca)– Línea microstrip– Línea coplanar– Línea de ranura

Microondas-2- 35Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

LÍNEA STRIPLINE (TRIPLACA): INTRODUCCIÓN

• Se puede considerar derivada de la coaxial.• Proceso de construcción: superposición de• Proceso de construcción: superposición de

placas• Recinto doblemente conexo: modos TEM• También soporta modos TE y TM que

conviene eliminar– Tornillos entre los planos de masa– Separación entre planos menor de λ/4

• Análisis: – Expresiones semiempíricas– Expresiones semiempíricas– Ábacos y curvas– Aproximación electrostática.

• Formulación: 1 2

2p

p

vfvf

ϖ π λπβ με λ

⋅= = = ⇒ = rrv

εγεεμϖϖβ 000 ===CvC

LCCLZ

p

10 ===

Microondas-2- 36Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

fβ με λ pv p

LÍNEA STRIPLINE: FORMULACIÓN

Impedancia característica bZ 30=

π ⎪⎪⎨

⎧> 35.00

bWforWWepeda c a ca ac e s ca

bWZ

er 441.00 +=

ε⎪⎪⎩

⎪⎨

<−−=

35.0)35.0( 2

bWforbW

bbb

e

⎧Anchura de la línea

⎪⎩

⎪⎨

>−−

<=

1206.085.0

120

0

0

Zforx

ZforxbW

r

r

ε

ε441.030

0

−=Z

xrεπ

Atenuación en los conductores ( )⎪⎪⎨

⎧<

−⋅⋅

=

mNpR

ZAtb

ZRr

ors

c

επ

ε

α /160

120 para30107.2

0

3

( ) ( )−+⋅++=

⎪⎪⎩

⎨>

tbtbWA

pZB

bZR

rs

c

ε

2ln121

120 para16.00

0

( ) ( )

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅

++=

−⋅+

−+=

tW

Wt

tWbB

ttbtbA

ππ

π4ln

21414.05.0

7.05.01

ln1

Microondas-2- 37Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

( ) ⎠⎝+ tWtW π27.05.0

LÍNEA STRIPLINE: ÁBACOS

Impedancia característica de la línea triplaca en función de

Tomado de referencia 5

Microondas-2- 38Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

p psus parámetros: anchura (W), grosor (b) y espesor de metal (t)

LÍNEA MICROSTRIP: INTRODUCCIÓN

• Proceso de construcción: placa fotograbada• Recinto NO doblemente conexo*: no soportaRecinto NO doblemente conexo : no soporta

modos TEM sino cuasi TEM que son una superposición híbrida de modos TE y TM que conviene eliminar.

• Aplicaciones:– Estructuras de transmisión: pocos campos

desbordados, altas permitividades, bajos espesores.

– Estructuras radiantes: gran campo desbordado bajas permitividades, espesores grandesgrandes.

• Análisis: – Expresiones semiempíricas

Ábacos y curvaspcv

βϖ

===1

– Ábacos y curvas– * Recinto simplemente conexo es aquel en el

que se puede ir desde cualquier punto del recinto a otro por cualquier línea sin salirse

ep εμεβ

eep

kv

εεεμϖϖβ 000 ===

Microondas-2- 39Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

p qdel recinto

pv

LÍNEA MICROSTRIP (II)

εε <<1Concepto de permitividad efectiva

re εε <<1

Wdrr

e 1211

21

21

+−

++

=εεε

Modelo con medio homogéneo de permitividad efectiva εe

⎪⎧

≤⎟⎞

⎜⎛ + 18ln60 dWforWd

Impedancia característica

( )[ ]⎪⎪

⎪⎪

⎨≥

+++

≤⎟⎠

⎜⎝

+=

1444.1ln667.0393.1

120

14

ln

0

dWfordWdW

dWfordW

Z

e

e

επ

ε

Anchura de líneaAnchura de línea

⎪⎪⎨

⎤⎡ ⎫⎧

<−=

22

82 dWfor

ee

W A

A

rr

rrZAεε

εε0 11.023.011

21

60 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

=

( )⎪⎪⎩

⎨>⎥

⎤⎢⎣

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−+−−

+−−−=

261.039.0)1ln(2

112ln12 dWforBBBdrr

r

εεε

πrZ

Bεπ

02377

=

At ió mNpkk erer )1(tan)1(tan 0 −=

−=

εεδεεδα mNpRsc =α

ϖμ2

0=sR

Microondas-2- 40Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Atenuación mNprere

d )1(2)1(2 −=

−=

εεεεα mNp

WZc0

α σ2s

LÍNEA MICROSTRIP (III)

Tomado de referencia 5

Impedancia característica y permitividad efectiva de la línea microstrip en función de

Microondas-2- 41Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Impedancia característica y permitividad efectiva de la línea microstrip en función de sus parámetros: anchura (W), altura de substrato (h)

LÍNEA DE RANURA

• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos• Es la línea dual de la microstrip pero con campos magnéticos• Soporta modos cuasi TEM• La eficiencia es menor que la microstrip

M difi d l ió l i i l i d i S• Modificando la separación entre placas se consigue variar la impedancia. Se consiguen fácilmente impedancias altas aumentando la separación entre placas.

Microondas-2- 42Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

LÍNEA COPLANAR

• Es como una línea slotline pero con un conductor central• Es como una línea slotline pero con un conductor central• El voltaje de la señal es aplicado entre el conductor central y los planos de masa. • Soporta modos cuasi-TEM pares o impares

C t t di lé t i f ti1+

= rεε• Constante dieléctrica efectiva: • Menos dispersión que la microstrip en bajas frecuencias• Formulación:

2eε

⎪⎧

≤<⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

173002ln aWforaη

⎪⎪

⎪⎪

⎨<<

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

≤<⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

= −

1173.011

2ln4

173.002ln

10

aWforWa

aWaW

aWforW

Ze

επη

επ

Microondas-2- 43Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

⎪⎩ ⎥⎦⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝ −14 WaWeε

TABLA COMPARATIVA (I): tipos de estructuras de transmisiónde transmisión

Tomado de referencia 4

Microondas-2- 44Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

TABLA COMPARATIVA (II)

Características Coaxial Guía onda Stripline Microstrip

Modos: HabitualSecundario

TEMTM,TE

TE10TM,TE

TEMTM,TE

Cuasi-TEMHíbrido TM,TE

Dispersión No Media No Baja

Ancho de Banda Alto Bajo Alto Alto

Pérdidas Medias Bajas Altas Altas

Capacidad de Potencia

Media Alta Baja Baja

Tamaño Grande Grande Medio Pequeño

Dificultad de Fabricación

Media Media Fácil FácilFabricación

Integración con otros Elementos

Difícil Difícil Regular Fácil

Microondas-2- 45Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

MATERIALES EN MICROONDAS

Microondas-2- 46Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías

Tomado de referencia 1

BIBLIOGRAFÍA

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Microondas-2- 47Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 2: Líneas de transmisión y guías