Capítulo 19: Deformaciones. Jorge Bernal...

Capítulo 19: Deformaciones. Jorge Bernal

385

19 Deformación.

1. Teoría de la elástica.

1.1. Introducción.

Hasta ahora en pocas ocasiones nos hemos referido a las deformaciones de

las piezas. Realizamos referencias a ellas cuando describimos el método empírico

de "elásticas y rótulas" para establecer las solicitaciones que debe soportar una

viga, pero no se han efectuado análisis teóricos del fenómeno.

En este capítulo los analizamos y veremos que la teoría de la deformación

nos entrega expresiones matemáticas de un notable atractivo que pueden ser utili-

zadas para el correcto dimensionado de una pieza en flexión.

1.2. Tensión, flector y forma.

Comenzamos por estudiar la deformación de una viga en voladizo con una

carga en el extremo (figura 19.1). El voladizo en su posición original sin cargas y

con el supuesto de peso propio nulo, se mantiene horizontal sin giros ni desplaza-

mientos.

Figura 19.1.

Cuando se aplica la carga en el extremo, ese punto desciende una valor “f”

que la denominamos flecha y también en ese lugar se produce un giro que se mide

con el ángulo “α”, respecto de la horizontal. La sección de la viga en estudio es

rectangular (figura 19.2).


386

Figura 19.2

Estas dos evidencias; el descenso y el giro en el extremo es el objeto del pre-

sente estudio. En el análisis de la flexión (en el caso del voladizo) vimos las ecua-

ciones del flector externo y del flector resistente interno nominal:

Momento de flector externo:

𝑀𝑒 = 𝑃𝑙

Momento de resistencia del flector interno nominal:

𝑀𝑖 = 𝜍𝑊

En este último se relaciona la tensión con la distancia a la fibra neutra:

𝜍 =𝑀𝑖

𝐼𝑎 =

𝑀𝑖

𝑊

En el equilibrio estable imponemos que Mi > Me (resistencia interna mayor

que la solicitación externa).

σ: tensión de trabajo del material (daN/cm2).

Mi: cupla interna resistente (daNm).

Me: momento flector externo (daNm).

I: momento de inercia de la sección (cm4).

W: módulo resistente de la sección (cm3).

a: distancia entre el eje neutro y la fibra más alejada (cm).

ρ: radio de curvatura (cm).

Distinguimos las diferentes tipos de tensiones:

σrotura: tensión para la cual el material se rompe en tracción o com-

presión.

σtrabajo: tensión real que está sometido el material para un determi-

nado estado de cargas y en período elástico.

σadmisible: tensión utilizada para el dimensionado, es la tensión de ro-

tura afectada por un factor de reducción.

En nuestro estudio utilizamos la tensión de trabajo en período elástico de

proporcionalidad entre esfuerzos y deformaciones. La deformada del voladizo tiene

particularidades geométricas que las revisamos en los párrafos que siguen.

1.3. Radio de giro.

Imaginamos un sector de la viga de longitud diferencial “dx”, las fibras su-

periores se alargan y las de abajo se acortan (figura 19.3). El eje neutro es eje bari-

centro de la sección. El radio de giro "ρ" es la recta indicada en la imagen. Anali-

zamos el triángulo ABC y el CDE, donde DE es el alargamiento “δl”. Por seme-

janza de triángulos:


387

Figura 19.3

Los triángulos equivalentes: el grande ABC y el pequeño CDE.

𝜌

𝑑𝑥=

𝑎

𝛿𝑙 𝜌 =

𝑑𝑥

𝛿𝑙𝑎

𝛿𝑙

𝑑𝑥=

𝑎

𝜌

𝛿𝑙

𝑑𝑥= 휀 =

𝜍

𝐸=

𝑀

𝑊

1

𝐸=

𝑀𝑎

𝐸𝐼=

𝑎

𝜌 →

𝑀

𝐸𝐼=

1

𝜌

Entonces, la curvatura (inversa del radio) resulta:

1

𝜌=

𝑀

𝐸𝐼

El radio de curvatura:

𝜌 =𝐸𝐼

𝑀

Aumenta con la rigidez de la pieza “EI” y se reduce en la medida que se

acrecienta el M (momento flector externo). Es conveniente imaginar una viga en

proceso de flexión en las siguientes fases (figura 19.4):

a) Sin carga: el radio "ρ" → ∞ y la curvatura → 0. Las rectas del radio de

giro se cortan en el infinito.

b) Con carga reducida: el "ρ" puede ser muy grande, tanto que la flecha es

casi imperceptible.

c) Con carga elevada: el "ρ" se reduce, la extensión de los lados de la sección

se cortan a distancias medias.

Lo anterior se grafica en los esquemas de vigas de apoyos simples de un solo

tramo. Las deformaciones las estudiaremos desde el radio de curvatura porque es

función de la forma de la sección (I), de la característica del material (E) y de los

flectores de fuerzas externas (Me).


388

→ Radio infinito.

→ Radio medio.

→ Radio pequeño.

Figura 19.4

1.4. Ángulo de giro.

Volvemos al voladizo (figura 19.5), estudiamos la variación de la tangente

en los extremos de “dx, es tan pequeña que:

𝑡𝑔 𝑑𝛼 = 𝑑𝛼 =𝑑𝑥

𝜌=

𝑀

𝐸𝐼𝑑𝑥

𝛼 = 𝑑𝛼 =1

𝐸𝐼 𝑀𝑥𝑑𝑥 =

1

𝐸𝐼

𝑙

0

𝑙

0

𝑃𝑥𝑑𝑥 =1

𝐸𝐼

𝑃𝑙2

2

𝑙

0

Por lados perpendiculares:

𝑡𝑔 𝑑𝛼 =𝑑𝑥

𝜌=

𝑑𝑓

𝑥= 𝑑𝛼

La variación de la flecha en el extremo es función inversa del radio de curva-

tura.

Figura 19.5


389

Resumen ángulo de giro:

Si analizamos la expresión vemos que “Pl2/2” es la superficie del diagrama

flector (figura 19.6). Es triangular, el cateto menor “Pl” y el mayor “l”. De este

análisis surge que el ángulo total girado en el extremo de la viga en voladizo es

igual al diagrama de momento flector dividido por la rigidez “EI”. Este suceso no

debemos confundirlo con el que se analizará en los puntos siguientes para la elásti-

ca.

Figura 19.6

1.5. Elástica.

Para establecer el valor de la elástica en el extremo, hacemos uso otra vez de

la tangente a la curva en el punto “x” (figura 19.5):

𝑡𝑔𝑑𝛼 =𝑑𝑓

𝑥=

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Como el ángulo “dα” es muy pequeño podemos escribir:

𝑑𝛼 =𝑑𝑓

𝑥

𝑑𝑓 = 𝑥𝑑𝛼 =𝑀

𝐸𝐼𝑥𝑑𝑥

La flecha total:

𝑓 = 𝑑𝑓 = 𝑥𝑑𝛼 =1

𝐸𝐼 𝑥𝑀𝑑𝑥 =

𝑙

0

𝑙

0

𝑙

0

1

𝐸𝐼 𝑃𝑥2𝑑𝑥 =

𝑙

0

1

𝐸𝐼

𝑃𝑙3

3

En la gráfica se muestra la superficie y la distancia (figura 19.7):

Pl2/2: superficie del diagrama de momentos.

(2/3)l: distancia del baricentro del diagrama al extremo de viga.

Figura 19.7

𝑓 =1

𝐸𝐼

𝑃𝑙2

2

2

3𝑙 =

1

𝐸𝐼

𝑃𝑙3

3


390

Resumen elástica:

El descenso en el extremo de la viga en voladizo (flecha) es igual al momen-

to estático (momento de superficie) del diagrama de Mf respecto del extremo divi-

dido por la rigidez de la viga “EI”.

1.6. Tablas.

En Tablas 15 “Solicitaciones” encontramos las fórmulas de los valores

máximos de las elásticas de las vigas en función de las condiciones de borde. Por

ejemplo la de una viga de simple apoyo con carga concentrada al medio (figura

19.8):

Figura 19.8

También con la de una viga simple apoyo con carga uniforme repartida (fi-

gura 19.9):

Figura 19.9.

En el Capítulo 25 de “Ejemplos” se desarrollan aplicaciones numéricas de

las fórmulas anteriores.

2. Las fórmulas y el dimensionado.

2.1. Introducción.


391

En los párrafos que siguen, de manera resumida se realiza un inventario de

las fórmulas que surgieron de las teorías antes desarrolladas. Las estudiamos desde

los parámetros que siguen:

2.2. Desde las tensiones.

Compresión o tracción: relación de fuerza y superficie.

Las variables son dos: la carga y la sección, sin importar la forma; la incóg-

nita es la tensión. En una columna robusta (sin pandeo):

𝜍𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 =𝑃

𝑆=

𝑃

𝑏𝑕

P: carga sobre columna.

S: superficie transversal.

b y h: lados de columna

Alargamiento o acortamiento: Módulo "E" y deformación relativa "ε".

Las deformaciones de la pieza son alargamientos o acortamientos sobre el

eje axil (coincidente con la dirección de cargas) según el tipo de acción, hacemos

uso de la Ley de Hooke.

𝜍 = 𝐸휀 = 𝐸∆𝑙

𝑙 → ∆𝑙 =

𝜍𝑙

𝐸=

𝑃

𝑆

𝑙

𝐸

Las expresiones indicadas son de verificación. Realizando pasajes de térmi-

nos también sirven para el dimensionado teniendo como datos las tensiones admi-

sibles de trabajo del material.

Geometría longitudinal y transversal: Pandeo columnas esbeltas.

En el Capítulo 21 "Pandeo" se estudia para las columnas el caso de dos equi-

librios: uno el de rotura por agotamiento del material en compresión (columna ro-

busta) y el otro el equilibrio geométrico; la rotura de su configuración geométrica

original (columnas esbeltas), también llamado pandeo. Para evitar este último pro-

blema la tensión de trabajo de compresión en la columna no debe superar al valor:

𝜍𝑐𝑟𝑖𝑡 =𝑖2

𝑠𝑘2 𝜋

2𝐸

De la observación de la fórmula anterior surge una singularidad; en la

fórmula no aparece la carga "P" y tampoco la sección "S", solo están el radio de

giro y la longitud de la columna, ambas elevadas al cuadrado, valores que nos en-

tregan de manera matemática la geometría de la columna en longitudinal (sk) y en

transversal (i). El módulo de elasticidad "E" incorpora la característica mecánica

del material. Resulta interesante observar la expresión; tiene términos nuevos refe-

ridos a la forma longitudinal y transversal de la columna y abandona los clásicos de

las cargas y secciones.

Flexión pura: Relación de Me y W, solicitación y forma transversal.

Para la tensión de trabajo, además de los parámetros anteriores, en esta soli-

citación interesa la forma; eso nos entrega el módulo resistente "W". Desde la ten-

sión una viga en flexión no debe superar a:


392

𝜍𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 =𝑀𝑒

𝑊=

𝑀𝑒

𝑏𝑕2

6

Donde "b" y "h" son las dimensiones de las piezas, en el caso de sección rec-

tangular. Lo anterior es la tensión de trabajo de la pieza.

En vigas cortas que son las que poseen una distancia de apoyo igual o menor

a cuatro metros, la variable que comanda el dimensionado es la expresión matemá-

tica de las tensiones indicadas arriba. En vigas de mayor longitud el dimensionado

se lo realiza desde las ecuaciones de la elástica.

2.3. Desde las elásticas (deformadas).

Introducción.

En párrafos anteriores hemos estudiado la teoría y el origen de las expresio-

nes matemáticas para la determinación de las elásticas. Tanto las tensiones como

las elásticas de una viga están limitadas (las tensiones por el material y las elásticas

por el confort). Hacemos una aproximación de las luces de cálculo y la velocidad

de crecimiento de tensión y elástica.

Vigas largas.

Para vigas con longitudes superiores a los cuatro metros la variable de di-

mensionado es la elástica y después debe ser verificada con las fórmulas de tensio-

nes.

a) En el caso de una viga de apoyos simples de un tramo y carga uniforme

repartida la flecha se la controla con:

𝑓 =5

384

𝑞𝑙4

𝐸𝐼

Expresión indicada en la tabla de figura 19.9.

Esta maniobra es de verificación; la flecha que debe resultar menor a las exi-

gencias de servicio de la pieza en estudio.

b) Para el dimensionado utilizamos como dato la flecha límite máxima según

las disposiciones del reglamento, en este caso se dimensiona la pieza desde la elás-

tica:

𝐼 =5

384

𝑞𝑙4

𝐸𝑓𝑚 í𝑛

Desde la inercia (bh3/12) podemos obtener el ancho y alto de la pieza.

c) Por último controlar la tensión de trabajo con la ecuación que relaciona el

"Me" con el "W", la tensión obtenida debe ser menor que la admisible.

Resumen.

En el gráfico que sigue mostramos la "aceleración" que tienen las tensiones y

las elásticas en la medida que aumenta la longitud de la viga (figura 19.10). El

aumento de la tensión varía en función de la potencia segunda de la longitud, mien-

tras que la flecha o elástica lo hace desde la potencia cuarta. Esto se confirma desde

las ecuaciones:


393

Para la tensión: segunda potencia de la longitud.

𝜍 =𝑀

𝑊=

𝑞𝑙2

8

𝑏𝑕2

6

= 1,5𝑞𝑙2

8

1

𝑏𝑕2

Para la elástica: cuarta potencia de la longitud.

𝑓 =5

384

𝑞𝑙4

𝐸𝐼=

5

48

𝑞𝑙2

8

𝑙2

𝐸𝐼= 1,25𝑀

𝑙2

𝐸𝐼

Figura 19.10

Las curvas se cortan en la vertical de una longitud aproximada de los cuatro

a cinco metros. Estos resultados responden a viga de apoyos simples, sección rec-

tangular homogénea y cargas repartidas uniformes. Esta interpretación gráfica con-

firma la necesidad de la doble verificación (tensión de trabajo y elástica).

3. Variables de la elástica.

3.1. Entrada.

Realizamos un análisis de las variables que participan en la formación de las

deformadas o elásticas de las vigas.

3.2. Tiempo.

Los movimientos pueden ser instantáneos o a largo plazo. Las elásticas que

se producen en la viga en período elástico cuando se aplica la carga son instantáne-

as, simultáneas con la aplicación. Las deformaciones diferidas en el tiempo suce-

den durante varios años de carga, son las denominadas de fluencia lenta; que se dan

de manera especial en el hormigón armado.


394

Los suelos, como todos los materiales también tienen períodos elásticos; son

las partículas sólidas en contacto que se deforman frente a las cargas. Pero entre

partículas hay también agua o aire, que con la presión que ejercen las fuerzas se

retiran de manera lenta y con ello generan una deformación diferida en el tiempo.

Los dos movimientos los podemos observar; el instantáneo cuando la rueda

de un camión cargado transmite la carga, en su desplazamiento se observa un pe-

queño descenso del suelo bajo la cubierta. El otro movimiento, el diferido, en gene-

ral se da en terraplenes o en viviendas pesadas; con los meses o los años el suelo se

asienta de manera diferencial y las paredes muestran con fisuras el movimiento.

3.3. Cargas.

La carga es variable de primera potencia y es directamente proporcional; se

encuentra en el numerador. Es costumbre pensar que un elemento estructural some-

tido en su interior a tensiones menores o iguales que las admisibles, se encuentra en

buenas condiciones de uso. Es un error. Porque el cuerpo o la pieza puede estar en

equilibrio y con tensiones de trabajo reducidas, pero sus elásticas (descensos y

giros) son tan elevados que lo hacen inutilizables.

Vemos como ejemplo una viga de perfil laminado de 20 centímetros de altu-

ra (PNI 200) simplemente apoyada, con carga repartida y una longitud entre apo-

yos de 6,00 metros (figura 19.11).

Figura 19.11.

Hacemos el ensayo con cargas en paulatino aumento; medimos la flecha

máxima y calculamos la tensión de trabajo. Veamos:

Situación Cargas kN/ml

Tensiones MPa

Flechas máximas Cm

1 3,00 63,0 1,10

2 7,00 140,0 2,60

3 12,00 250,0 4,50

Las cargas fueron aumentando hasta llegar al límite de proporcionalidad del

acero (≈ 250 MPa), allí se detuvo el ensayo. En escala relativa dibujamos las mag-

nitudes de cada uno de los descensos (figura 19.12). Existe mucha diferencia entre

ellos.


395

Figura 19.12.

Las elásticas son proporcionales a las cargas. Esto lo vemos en la planilla del

ensayo. La misma relación de máxima carga y mínima (12/3=4), es igual a la rela-

ción de máxima flecha y mínima (4,5/1,1=4). Cada una de las flechas marcadas en

el dibujo anterior responde a situaciones que detallamos a continuación:

Situación (1): la viga descendió 1,10 centímetros, que comparados con los

600 cm de su longitud, es una cantidad muy pequeña y difícil de apreciar a simple

vista. En la tabla observamos que la tensión de trabajo del material solo llega a los

63,0 MPa, por debajo de la tensión admisible (140,0 MPa).

Situación (2): la viga desciende 2,60 centímetros, ahora esa alteración es de-

tectable en forma directa. Es perceptible y las tensiones de trabajo son las admisi-

bles (140,0 MPa). La viga sigue estable, pero su flecha es el doble que la anterior

(se duplicó la carga).

Situación (3): la viga desciende 4,50 con una flecha cuatro veces superior a

la inicial (la carga aumentó cuatro veces). Las deformaciones ya son inaceptables

para el uso correcto de la viga. Las tensiones ya se encuentran en la entrada del

período plástico. El sistema se mantiene estable.

También es condición de borde el tipo y posición de carga; para comparar

con las expresiones anteriores recordemos la flecha de una viga simple con carga

concentrada al medio:

𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎: 𝑓 =𝑃

48

𝑙3

𝐸𝐼= 0,02 ∙

𝑃𝑙3

𝐸𝐼

3.4. Longitud.

La longitud de la viga "l" es la variable de mayor peso en la ecuación porque

se encuentra a la cuarta potencia. Supongamos los sucesos cuando la longitud de la

viga pasa de 6,00 metros a la de 8,00. La relación entre luces es de 1,33.

Revisamos la expresión matemática de la elástica para la viga del ejemplo:

𝑓 =5

384

𝑞𝑙4

𝐸𝐼

La carga aparece con potencia uno, mientras que la longitud con potencia

cuarta:

Para los seis metros: 6,04 = 1.296

Para los ocho metros: 8,04 = 4.096

Entonces la relación es de ≈ 3,2. Para una flecha de 3,00 centímetros para la

primer viga, pasa a los ≈ 10 centímetros en la segunda.


396

3.5. Momento flector.

El flector es función de la carga y de la longitud, se ubican en el numerador.

La elástica es función directa del flector y cuadrática de la longitud.

𝑀 =𝑞𝑙2

8 → 𝑓 =

5

384

𝑞𝑙4

𝐸𝐼=

5

48

𝑀𝑙2

𝐸𝐼

En caso de flechas límites de la expresión anterior se puede colocar como

incógnita al flector :

𝑀 =48

5

𝐸𝐼

𝑙2 𝑓

3.6. Tensiones de trabajo.

Dibujamos el diagrama de tenso deformación del acero. Marcamos en él las

diferentes tensiones alcanzadas en el interior de la viga en cada una de las fases

anteriores. Imaginemos las grandes deformaciones que se producen en la viga si

ingresamos en el período plástico, por ejemplo si la obligamos a trabajar con ten-

siones de fluencia (σf) (figura 19.13).

Figura 19.13.

La expresión:

𝑓 =5

384

𝑞𝑙4

𝐸𝐼

Dentro de esta fórmula se encuentran las expresiones del Mf (ql2/8) y del W

(bh2/6). Como σ = M/ W se concluye que la elástica es función directa de la tensión

de trabajo de la pieza. La flecha es proporcional directa a la tensión. Una viga

metálica cuya tensión máxima llega a 140 MPa tiene una flecha el doble de aquella

que solo trabaja a tensión de 70 MPa.


397

3.7. Condiciones de borde (apoyos).

El nudo es la realidad de la condición de borde, puede oscilar entre una arti-

culación parcial hasta un empotramiento de alta rigidez. Es una de las principales

variables en la intensidad y curvatura de la elástica (figura 19.14).

Figura 19.14.

En el nudo participan tres piezas: las vigas, las losas y las columnas. En la

combinación de la rigidez de todas generan el tipo de empotramiento. No existe un

apoyo que tenga una condición de borde igual a otro, todos tienen algo de articula-

ción y también algo de rigidez.

Figura 19.15.

La elástica de una viga simple articulada tiene una elástica cinco veces ma-

yor que otra, también ideal con empotramiento perfecto (figura 19.15). Con esta

comparativa queremos mostrar que si las condiciones de borde de la viga varían en

su rigidez las deformaciones difieren. Esto ya lo vimos en el estudio del flector y la

elástica.

La condición de borde de los apoyos está expresada en las fórmulas de la

elástica mediante el factor "C" que expresa de manera numérica la rigidez del apo-

yo.

𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎: 𝑓 = 𝐶𝑞𝑙4

𝐸𝐼

En el caso de vigas con apoyos simples articulados C = 5/384, mientras que

con apoyos empotrados C = 1/384.

𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒: 𝑓 =5

384

𝑞𝑙4

𝐸𝐼= 0,013

𝑞𝑙4

𝐸𝐼

𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑜𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜: 𝑓 =1

384

𝑞𝑙4

𝐸𝐼= 0,0026 ∙

𝑞𝑙4

𝐸𝐼

Estos resultados nos indican que la viga simple tendrá una deformada cinco

veces superior al de una viga empotrada en sus dos extremos.

Desde las condiciones de borde se pueden dar casos donde las columnas pre-

sentan diferentes deformaciones por pandeo, esto solo en materiales con elevados

períodos elásticos. Las columnas son más sensibles a los cambios del tipo de apo-

yos. La longitud de pandeo depende de las características del apoyo. Podemos citar

los casos extremos (figura 19.16):


398

Apoyos empotrados en ambos extremos.

Apoyo empotrado y el otro libre.

En el primer caso, con el mismo material y sección resiste cargas cuatro ve-

ces mayores que en el segundo.

Figura 19.16.

Esto lo justificaremos al revisar el capítulo anterior de pandeo, veremos que

la columna de la izquierda tiene una longitud de pandeo cuatro veces menor que la

columna de derecha.

3.8. Dimensiones transversales.

La variable de la forma transversal está contenida en el momento de inercia

"I" que también se encuentra como denominador de la ecuación de elástica. Enton-

ces a mayor rigidez "EI" de viga, menor será la flecha.

Hacemos un análisis donde mantenemos la carga, la longitud y el ancho de

viga constante y solo hacemos variar las dimensiones de la sección transversal. Lo

vemos en la expresión para una viga en voladizo con carga concentrada en el ex-

tremo:

𝑓 =1

𝐸𝐼

𝑃𝑙3

3=

𝑃𝑙3

3𝐸 𝑏𝑕3

12

La flecha máxima es función de la relación inversa que los cubos de sus altu-

ras "h" y relación inversa directa de su ancho "b".

3.9. Tipo de material (módulo de elasticidad "E").

Del estudio de las fórmulas de la elástica sabemos que la única variable de

las características mecánicas del material es el módulo de elasticidad "E", los otros

parámetros variables responden a la geometría de la viga y las cargas.

Hacemos un análisis de los tres materiales clásicos de la construcción: made-

ra, hormigón y acero. Desde el módulo de elasticidad el valor de la elástica máxima

será función de su inversa. El valor “E” está como denominador en todas las

fórmulas de la deformación en vigas.

Madera dura homogénea: E ≈ 100.000 kg/cm2 ≈ 10.000 Mpa

Hormigón: E ≈ 200.000 kg/cm2 ≈ 20.000 Mpa

Hierro o acero: E ≈ 2.100.000 kg/cm2 ≈ 210.000 Mpa

Tres vigas de iguales condiciones geométricas y de carga pero diferentes ma-

teriales tendremos de manera aproximada la relación:

Viga de hierro: ≈ 1

Viga de hormigón armado: ≈ 10

Viga de madera: ≈ 20


399

La viga de hormigón tendrá un flecha 10 veces superior a la de hierro y la de

madera 20 veces superior. En largas vigas especiales que soportan entrepisos muy

sensibles a las vibraciones es conveniente diseñarlas del tipo reticulado metálico

para reducir las elásticas instantáneas.

4. Restricciones a las deformaciones.

4.1. Restricción por reglamento.

Las deformaciones, por cuestiones estéticas, por fisuras o por vibraciones

son contempladas por los reglamentos. Si bien es difícil establecer valores estándar

por las diferentes capacidades sensitivas de las personas, existen algunos paráme-

tros que los describimos como sigue.

En general se refiere a la capacidad que poseen algunos materiales de sopor-

tar deformaciones sin fracturas. El Cirsoc201 (hormigón armado) establece las

flechas mínimas aceptadas para cada situación entre pieza soporte y piezas sopor-

tadas.

Para acercar una idea, en el caso de una viga de 7,00 metros de distancia en-

tre apoyos los valores máximos y mínimos indicados en las normas:

l/180 = 700 / 180 ≈ 4 centímetros.

l/480 = 700 / 480 ≈ 1,5 centímetros.

La deformación no está limitada por la pieza misma, sino por el tipo de ele-

mentos (estructural o no estructural) que soporta. En el caso del ejemplo anterior de

la viga de 7,00 metros, es aceptable un descenso de 4 cm si no hay paredes, pero en

el caso de sostener paredes de ladrillos cerámicos se debe reducir la flecha, de los

contrario el descenso se transforma en fisuras de las paredes. El Reglamento Cirsco

201 establece las flechas mínimas:

Tabla de flechas mínimas según el uso (tabla 9.5b Cirsoc 201).

Tipo de elemento Flechas a considerar Flechas límites

Cubiertas planas que no soportan elementos no estruc-

turales que puedan sufrir

daños por grandes flechas.

Flecha instantánea debida a la sobrecarga “L”.

l / 180

Entrepisos que no soportan ni

están unidos a elementos no

estructurales que puedan sufrir daños por grandes

flechas.

Flecha instantánea debida a la

sobrecarga “L”.

l / 360

Cubiertas o entrepisos que

soportan o están unidos a

elementos no estructurales

que pueden sufrir daños por grandes flechas

Parte de la flecha total que

ocurre después de la cons-

trucción de los elementos no

estructurales. O sea, la suma de las flechas de largo y corto

plazo.

l / 480

Cubiertas o entrepisos que

soportan o están unidos a

elementos no estructurales

que pueden sufrir daños por grandes flechas

Ídem anterior.

l / 240


400

Las limitaciones indicadas en la tabla se refieren a las flechas instantáneas

elásticas, en elementos de hormigón armado a flexión se deben verificar las flechas

diferidas por fluencia lenta.

4.2. Restricción por asentamientos del suelo.

Los esfuerzos que actúan en las diferentes capas del subsuelo, debido a las

presiones de las zapatas, producen asentamientos que dependen de las propiedades

del terreno, así también de la manera que se aplica la carga y del tiempo de acción.

Los reglamentos fijan límites máximos admisibles para los hundimientos, los

que no deben superarse porque producen esfuerzos internos en las estructuras que

luego se muestran a través de las fisuras y grietas.

Valores límites:

Tipo de estructura Relación de asentamiento con largo pared

Estructura de acero. 0,006 Estructura de hormigón. 0,004 Muros de carga de ladrillos. 0,002 Muros con revoques (cal, yeso, otros) 0,001

La tabla anterior es función de la “resilencia” del material, es decir de su ca-

pacidad de acumular energía (deformación) sin fisuras. El hierro posee una resilen-

cia casi un millón de veces mayor que el del cerámico de ladrillos.

De la tabla se desprende que en el caso de un edificio cuya estructura fuera

de hierro, y de una longitud de 10 metros, se acepta un asentamiento diferencial de:

∆𝑙 = 10 𝑚𝑡𝑠 ∙ 100 𝑐𝑚

𝑚𝑡𝑠 ∙ 0,006 = 6 𝑐𝑚.

Mientras que una pared de ladrillos comunes con revoques a la cal, de igual

longitud admite solo:

∆𝑙 = 10 𝑚𝑡𝑠 ∙ 100 𝑐𝑚

𝑚𝑡𝑠 ∙ 0,001 = 1 𝑐𝑚.

Como se aprecia los elementos más sensibles a las distorsiones son las

mamposterías. La simple observación de construcciones existentes, revela clara-

mente que la gran mayoría de daños ocurren en muros de mampostería, que se fisu-

ran, frente a hundimientos diferenciales de pequeña magnitud.

4.3. Restricción por vibraciones y confort.

Las vibraciones pueden ser por causas externas al edificio (viento, sismo,

impactos) o internas producidas por movimiento rítmico de las sobrecargas; es el

caso de salones de baile o de reuniones donde las personas pueden moverse con

cierta libertad y a un ritmo determinado. Esas oscilaciones en muchos casos son

transmitidas al resto del edificio y pueden afectar tanto a personas como a equipos

de tecnología delicada.

La tabla que sigue, de uso internacional, se establecen los rangos de los mo-

vimientos y los efectos que causan a los usuarios. En general la unidad es la acele-

ración del desplazamiento que pude tener dirección vertical u horizontal.


401

Verticales: En aceleraciones verticales en el rango (2) de 0,10 m/s2 se puede

dar el ejemplo de entrepisos que vibran con el paso de los usuarios, y en el rango

(7) se ubican los arranques y frenadas de los ascensores en los edificios de altura.

Horizontales: En el rango (5) ingresan las aceleraciones que nos hacen per-

der el equilibrio, se puede dar el ejemplo de un ómnibus en arranque o frenada y

nosotros parados en el pasillo.

Rango Aceleración

m/s2

Efecto.

1 < 0,5 No se perciben movimientos.

2 0,05 – 0,10 Personas sensibles pueden percibir movimiento.

Objetos colgados (lámparas) pueden moverse de modo suave.

3 0,10 – 0,25 La mayoría de las personas lo perciben. Puede afectar el trabajo de escritorio. Movimientos por

largos períodos puede producir mareos.

4 0,25 – 0,40 Trabajos de escritorios difíciles o casi imposibles.

Caminar es posible sin caídas.

5 0,40 – 0,50 Fuertes movimientos. Dificultad para caminar de

manera natural. Personas quietas paradas pueden

perder el equilibrio.

6 0,50 – 0,60 La mayoría de las personas no toleran el movimien-

to. No es posible caminar de manera natural.

7 0,60 – 0,70 Las personas no pueden caminar.

8 Más de 0,85 Objetos caen y las personas pueden lastimarse.

Estos movimientos en edificios de hasta 20 o 30 pisos son reducidos ante el

efecto de viento o sismos pequeños. Pero en las súper torres que se están constru-

yendo en la actualidad que superan los 100 pisos de altura, los movimientos son

imposibles de controlar (por el costo). En estos edificios muy altos, según la velo-

cidad del viento se inhabilitan los pisos más altos para evitar riesgos de trabajo en

las oficinas.

4.4. Restricción por estética.

El ojo humano es muy sensible a la horizontal o a la vertical. Las vigas con

longitudes superiores a los cinco metros un descenso de 1,5 a 2,0 centímetros en su

parte media es detectada a visual directa, esto, traducido a la relación de longitud y

rango resulta ≈ l/300.

Figura 19.17.

Estas deformaciones son aceptables en el caso de estructuras escondidas, por

ejemplo los cabios y correas de una cubierta que permanecen ocultas por cielorra-

sos. Pero pueden resultar desagradables en elementos a la vista (figura 19.17).


402

5. Deformación desde los suelos.

Hemos visto las deformaciones de las piezas estructurales de un edificio, pe-

ro el suelo es un elemento más de toda la estructura. En el capítulo 9 "Suelos" ana-

lizamos las deformaciones que se producen en los suelos. Las principales anomal-

ías de los edificios son causadas por asentamientos de la masa de suelo o también

en el caso de arcillas muy activas por la expansión en presencia de agua.

6. Aplicaciones.

6.1. Deformación viga en voladizo.

Viga en voladizo de madera dura: dimensionado a flexión y verificado por

deformación (figura 19.18).

Figura 19.18

Datos:

Viga: voladizo

Carga: concentrada en el extremo

Material: madera dura

Tensión admisible: 100 kg/cm2

Destino del edificio: vivienda.

Longitud del voladizo: 2,50 metros

Carga en el extremo: P = 200 kg.

Módulo de elasticidad: E = 70.000 kg/cm2

Dimensionado:

Mf = Pl = 200 kg . 250 cm = 50.000 kgcm

Probamos con una ancho de viga: b = 7,5 cm

El alto lo calculamos con:

𝑕 = 6𝑀

𝜍𝑏=

6 ∙ 50000

100 ∙ 7,5= 20 𝑐𝑚

Cálculo de la flecha:

𝐼 =𝑏𝑕3

12= 5.000𝑐𝑚4

𝑓 =𝑃𝑙3

3𝐸𝐼=

200 ∙ 2503

3 ∙ 70000 ∙ 5000= 2,97 ≈ 3.00𝑐𝑚

El extremo del voladizo desciende de manera instantánea 3,0 centímetros al

aplicar la carga concentrada.

Control: En el caso de un voladizo que afecta la estética de la construcción

se establece como límite: f = l/300 = 240/300 = 0,83 cm. Es necesario redimensio-

nar la pieza.


403

Redimensionado:

De la ecuación de la elástica, la expresión que contiene los datos de la sec-

ción es la inercia. La despejamos de la ecuación de la elástica:

𝐼 =𝑃𝑙3

3𝐸𝑓=

200 ∙ 2503

3 ∙ 70000 ∙ 0,83= 17.969𝑐𝑚3

𝐼 =𝑏𝑕3

12 𝑕 =

17969 ∙ 12

7,5

3

= 30 𝑐𝑚

Para que cumpla con la condición impuesta de elástica la viga debe tener un

ancho de 7,5 cm y un alto 30 cm.

Tensión de trabajo final.

Esta exigencia reduce la tensión de trabajo de la viga:

𝑊 = 𝑏𝑕2

6=

7,5 ∙ 302

6= 1.125 𝑐𝑚3

𝜍 =𝑀

𝑊=

50000

1125= 44,5

𝑑𝑎𝑁

𝑐𝑚2

La viga trabaja a tensiones muy reducidas, menos de la mitad que las admi-

sibles. Esta cuestión del diseño por deformación disminuye la eficiencia de las

estructuras.

6.2. Deformación viga de un tramo y apoyos simples.

Dimensionamos a la flexión la viga simple con apoyos articulados (figura

19.19). Luego verificamos el descenso que se produce en el extremo.

Figura 19.19

Datos:

Viga: simple con apoyos articulados.

Carga: uniforme repartida.

Material: madera dura

Tensión admisible: 100 kg/cm2

Destino del edificio: vivienda.

Longitud del voladizo: 5,00 metros

Carga en el extremo: q = 200 daN/m.

Módulo de elasticidad: E = 70.000 daN/cm2

Dimensionado:

Mf = ql2/8 = 200 kg . 52 / 8 cm = 625 daNm

Probamos con una ancho de viga: b = 10 cm

El alto lo calculamos con:


404

𝑕 = 6𝑀

𝜍𝑏=

6 ∙ 62500

100 ∙ 10≈ 20 𝑐𝑚

Adoptamos: b = 10 cm y h = 20 cm. Revisamos la flecha que se produce con

estas dimensiones.

Cálculo de la flecha:

𝐼 =𝑏𝑕3

12≈ 6.700 𝑐𝑚4

𝑓 =5

384

𝑞𝑙4

𝐸𝐼=

5 ∙ 2 ∙ 5004

3 ∙ 70000 ∙ 6700≈ 3.5𝑐𝑚

La parte media de la viga de manera instantánea con la carga desciende un

valor de 3,5 centímetros. Si este valor supera los límites fijados por reglamentos o

por cuestiones de estética y confort (elásticas) es necesario redimensionar.

Control: En el caso de una simple que afecta la estética de la construcción se

establece como límite: f = l/250 = 500/250 = 2,0 cm < 3,5 cm → Redimensionar.

Redimensionado:

De la ecuación de la elástica, la expresión que contiene los datos de la sec-

ción es la inercia. La despejamos de la ecuación de la elástica:

𝐼 =5

384

𝑞𝑙4

𝐸𝑓=

5 ∙ 2 ∙ 5004

384 ∙ 70000 ∙ 2= 11.625𝑐𝑚3

𝐼 =𝑏𝑕3

12 𝑕 =

11625 ∙ 12

7,5

3

≈ 24 𝑐𝑚

Adoptamos: 25 cm Sección final: b = 10 cm h = 25 cm

Cumple con las condiciones de resistencia y deformación.

Tensión de trabajo final.

Esta exigencia reduce la tensión de trabajo de la viga:

𝑊 = 𝑏𝑕2

6=

10 ∙ 252

6= 1.041 𝑐𝑚3

𝜍 =𝑀

𝑊=

62500

1041= 60

𝑑𝑎𝑁

𝑐𝑚2 ≪ 100 𝑑𝑎𝑁

𝑐𝑚2

Como hemos visto, en general las vigas no cumplen con las condiciones

límites de elástica si son dimensionadas a la tensión en la primer fase. Es conve-

niente realizar el primer control con las ecuaciones de la elástica y luego verificar

las tensiones de trabajo. En vigas y losas de hormigón armado se utiliza el factor

“m” que divide la longitud entre apoyos y el resultado se denomina “altura mínima

de deformación”.

Capítulo 19: Deformaciones. Jorge Bernal...

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