Cap´ıtulo 13Semiconductores. M -...

FAMCJimenezUNAMCapıtulo 13

Semiconductores.

Recordemos que los electrones en un solido pueden ocupar niveles deenergıa agrupados en bandas, y que entre bandas disponibles hay brechas deenergıa. A la banda ocupada de mayor energıa se le llama banda de valencia, ya la banda desocupada de menor enerıa es la banda de conduccion. La energıade la brecha o energıa del gap Eg es la diferencia entre el extremo inferiorde la banda de conduccion y el extremo superior de la banda de valencia.Diremos que un solido es un semiconductor cuando Eg es menor a unoscuantos electron-Volts (digamos, 4 eV). Para T = 0 los electrones ocupanla banda de valencia, y la banda de conduccion esta totalmente desocupada.A una temperatura T > 0 hay excitaciones termicas de electrones de labanda de la banda de valencia a la banda de conduccion. Se puede haceruna estimacion de la ocupacion de la banda de conduccion por el factor deBoltzmann exp(−Eg/kBT ).

Tambien se pueden utilizar radiacion electromagnetica para excitar elec-trones de la banda de valencia a la banda de conduccion. En este caso serequiere que la energıa del foton sea mayor o igual a la energıa de la brecha.En un solido hay que considerar ademas las posiciones relativas en espacio

recıproco del maximo de la banda de valencia y el mınimo de la banda deconduccion. Cuando estos dos extremos ocurren en el mismo punto ~k se ha-bla de una brecha directa, cuando ocurren en puntos diferentes ~k se tieneuna brecha indirecta. En la figura 13.1 se muestra de manera esquematicala diferencia entre una brecha directa y una brecha indirecta. Para que ocu-rra una transicion electromagnetica se necesita ademas de conservar energıa(hν ≥ Eg) tambien conservar momento lineal. En una transicion indirecta el

momento del cristal cambia (∆~k 6= 0), y si este cambio en momento es signifi-

319

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320 CAPITULO 13. SEMICONDUCTORES.

∆k ≠ 0∆k = 0

k

E(k)

valencia

conducción

Figura 13.1: Brecha directa y brecha indirecta en un aislante.

cativo, no puede ser proporcionado por el foton1. Entonces, en una transicionindirecta se debe tambien producir una interaccion con fonones, que son loscuantos de las vibraciones de la red cristalina (ver siguiente capıtulo). Porconsiguiente la probabilidad de que ocurra una transicion indirecta es menora la probabilidad de una transicion directa.

Los semiconductores ocurren con distintas composiciones quımicas y condiversas estructuras cristalinas [32]. Sin embargo, en esta tratamiento basicodel tema utilizaremos ejemplos de semiconductores que tienen en comun sercompuestos (elementales, binarios, ternarios...)formados por elementos de losgrupos III a V de la tabla periodica. Ejemplos de semiconductores elementalesson el silicio y el germanio. Estos dos atomos tienen una configuracion p2 queda lugar a orbitales hıbridizados. Su estructura cristalina es la misma quela del diamante, en la que cada atomo tiene cuatro enlaces covalentes concuatro vecinos en las esquinas de un tetraedro (Fig. 11.9). Semiconductores

1El momento lineal de un foton de energıa hν es p = hν/c.

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13.1. MASA EFECTIVA. 321

Figura 13.2: Estructura cristalina tıpica de un semiconductor binario comoGaAs.

binarios tıpicos son los que se forman con atomos de los grupos III y V (GaAs,AlAs, por ejemplo). Su estructura espacial se muestra en la figura 13.2. Setrata de la misma estructura que la del diamante, pero con atomos diferentesocupando sitios diferentes (azul y amarillo en la figura).

13.1. Masa efectiva.

Consideremos la relacion de dispersion en una banda electronica E(k).Podemos definir una velocidad de grupo de un electron vg = dω/dk =(1/h)dE/dk. Esto suponemos que su funcion de onda es un paquete for-mado por la superposicion de ondas. Queremos describir el movimiento delelectron en presencia de un campo electrico E . La aceleracion de este electron

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es, utilizando la segunda ley de Newton,

eE =dp

dt= h

dk

dt(13.1)

Por otra parte, la aceleracion es la derivada temporal de la velocidad degrupo. Esto es:

a =dvgdt

=1

h

d2E

dtdk=

1

h

d2E

dk2dk

dt(13.2)

y de la ecuacion 13.1 dk/dt = eE/h por lo que tenemos la relacion

eE =h2

d2Edk2

a = m∗a (13.3)

que esta escrita en la forma de la segunda ley de Newton, con una masaefectiva

m∗ =h2

d2Edk2

(13.4)

Esto es, aun si tratamos a los electrones como ”libres” en el solido, el efectode la red cristalina es modificar su masa (inercia). Para electrones libres larelacion de dispersion es E = h2k2/(2me) y la masa efectiva que se obtienees m∗ = me. En general, la estructura de bandas determina la inercia de loselectrones en la red cristalina. Cerca del maximo en la banda de valencia lamasa efectiva esta dada por el recıproco de la curvatura de la relacion dedispersion E(~k).

13.2. Electrones y huecos.

13.3. Impurezas.

Las propiedades de transporte electrico de los semiconductores puedenser modificadas de manera muy controlada cuando se introducen atomos deimpurezas en el compuesto. Por ejemplo consideremos un semiconductor desilicio (3p2). Se le agregan impurezas de fosforo (3p3) que sustituyen a algunosatomos de silicio. En la figura 13.3 se muestra de manera esquematica la estasustitucion en un sitio de la red. Como fosforo tiene un electron 3p de mas,y ademas la banda de valencia esta totalmente llena (al menos para T = 0),ese electron ocupa un lugar en la banda de conduccion. Esto es, se tiene un

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13.3. IMPUREZAS. 323

electron movil mas en la red y tambien se tiene una carga positiva mas en elsitio ocupado por el ion de fosforo. En la figura 13.3 se muestra de maneraesquematica este sistema. La interaccion Coulombiana entre estas dos cargasda lugar a un estado de impureza que se parece mucho al atomo de hidrogeno.Sin embargo hay que tomar en cuenta dos diferencias respecto al hidrogeno.La primera es que la masa efectiva del electron en la red no es la masa delelectron que usamos en la formula de Bohr. La segunda es que la dinamica noocurre en vacıo, sino en un medio dielectrico formado por el resto del cristal.Estas dos diferencias se incluyen facilmente en la ecuacion 2.63 si se sustituyela masa del electron (o la masa reducida) por la masa efectiva m∗

e y se cambiala permitividad del vacıo ǫ0 por la permitividad del medio ǫrǫ0, donde ǫr esla permitividad relativa. Se obtiene ası la siguiente expresion para los nivelesde energıa de este estado de impureza.

En = −m∗

e

2h2

(

e2

4πǫrǫ0

)21

n2=

m∗

e

meǫ2r

(−13.6 eVn2

)

(13.5)

Con las mismas sustituciones tambien se obtiene el radio de Bohr del sistema(ecuacion 2.62) :

a =4πǫrǫ0h

2

m∗ee

2= a0

(

ǫrme

m∗e

)

(13.6)

Como la masa efectiva es menor que la masa del electron y el valor de lapermitividad relativa esta entre 10 y 20 (Tabla 13.1), la energıa del orbital1s de un estado de impureza es mucho menor que los 13.6 eV que se obtuvopara hidrogeno. De igual manera, el radio efectivo del estado 1s es bastantemayor que el radio de Bohr del atomo de hidrogeno. De hecho, la energıade amarre de un estado de impureza es comparable a la energıa termica atemperatura ambiente kBT . Por tanto, a temperatura ambiente los estadosde impureza estan ionizados y solo a bajas temperaturas es que se encuentranligados. Ademas, el nivel de un estado de impureza cambia de sitio en sitio,dependiendo de la presencia de otras impurezas. Estos dos efectos combinadosnos llevan a considerar mas bien una banda de impureza que se encuentradebajo de la banda de conduccion.

Esta discusion de estados y bandas de impureza se puede repetir cuandose introducen impurezas de atomos aceptores (por ejemplo aluminio) en elsemiconductor. En este caso se tiene un hueco movil en la banda de valencia,con masa efectiva m∗

h y un ion negativo en un sitio de la red. Las expresionesobtenidas para impurezas donadoras se pueden aplicar a impurezas aceptoras.

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Figura 13.3: Introduccion de un atomo donador (P) en un cristal de silicio.

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13.4. DENSIDAD ELECTRONICA. 325

Tabla 13.1: Propiedades de algunos semiconductores binarios III-V.Semiconductor Eg (eV) a 0 K m∗

e/m m∗

hl/m m∗

hp/m ǫrGaAs 1.52 0.066 0.082 0.5 13.13InP 1.42 0.073 0.078 0.4 12.37GaSb 0.81 0.047 0.06 0.3 15.69InAs 0.43 0.026 0.025 0.41 14.55InSb 0.23 0.015 0.021 0.39 17.88

Con los datos que se muestran en la tabla 13.1 se pueden calcular energıasde amarre y radios efectivos para impurezas en distintos compuestos binariosIII-V. Aquı hay que aclarar que electricamente estos semiconductores sonequivalentes a los semiconductores elementales del grupo IV (silicio y germa-nio). Por tanto un atomo de impureza del grupo V actua como donador yun atomo del grupo III se comporta como aceptor. Tambien es importantesenalar que se dan dos valores para las masas efectivas de los huecos. Haymasa efectiva para huecos ligeros m∗

hl y para huecos pesados m∗

hp. En reali-dad el comportamiento de las bandas de valencia de los semiconductores esbastante complicado y da lugar a distintos tipos de huecos, ademas de ligerosy pesados. Un tratamiento detallado de los huecos en semiconductores estafuera del alcance de este texto, y puede se consultado en los libros de Kittel[22] y Yu y Cardona [32].

13.4. Densidad electronica.

Recordemos que para el gas de electrones libres obtuvimos una densidadde estados (ecuacion 12.18):

g(E) = V

2π2h3(2m)3/2E1/2 (13.7)

que puede ser utilizada para calcular la densidad de estados electronicos cercadel mınimo de la banda de conduccion, siempre y cuando la energıa se midarespecto al vertice de la parabola, y en lugar de la masa se utilice la masaefectiva m∗

e. Se obtiene ası una densidad de estados para el semiconductor:

g(E) = V

2π2h3(2m∗

e)3/2 (E − Ec)1/2 (13.8)

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donde Ec es la mınima energıa de la banda de conduccion. Para obtener ladensidad electronica a una temperatura T hay que multiplicar esta densidadde estados por la ocupacion de Fermi-Dirac (ecuacion 12.21) e integrar sobrelos posibles valores de la energıa. Si suponemos que (E − µ) /kBT >> 1podemos aproximar la funcion de Fermi-Dirac como:

1

e(E−µ)/kBT + 1≈ e−(E−µ)/kBT (13.9)

Sustituyendo esta expresion se obtiene una densidad electronica:

n =N

V=∫

∞

Ec

g(E)e(E−µ)/kBT + 1

dE ≈∫

∞

Ec

(2m∗

e)3/2

2π2h3(E − Ec)1/2 e−(E−µ)/kBTdE

(13.10)Para calcular esta integral primero hacemos el cambio de variable y = (E −Ec)1/2 obteniendo

n =(2m∗

e)3/2

2π2h3e−(Ec−µ)/kBT

∫

∞

02y2e−y

2/kBTdy (13.11)

Esta ultima integral se puede calcular directamente, con lo que resulta unadensidad electronica en la banda de conduccion

n =1

4

(

2m∗

ekBT

πh2

)3/2

e−(Ec−µ)/kBT (13.12)

Se puede obtener la densidad de huecos en la banda de valencia de unamanera similar. En este caso la ocupacion de Fermi-Dirac para huecos es

fFD(E , h) = 1− fFD(E , e) = 1− 1

e(E−µ)/kBT + 1≈ e−(µ−E)/kBT (13.13)

El resto del calculo es identico al de la densidad electronica en la bandade conduccion, teniendo cuidado de utilizar la masa efectiva del hueco yconsiderando que los lımites de integracion son (−∞, Ec). Si llamamos p a ladensidad de huecos (numero de huecos por unidad de volumen), se obtiene:

p =1

4

(

2m∗

hkBT

πh2

)3/2

e−(µ−Ec)/kBT (13.14)

Es importante notar que tanto para los electrones en la banda de conduc-cion como para los huecos en la banda de valencia, las respectivas densidades

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13.4. DENSIDAD ELECTRONICA. 327

se escriben en terminos del potencial quımico µ. Sin embargo, si se toma elproducto de densidades se obtiene la expresion:

np =1

2

(

kBT

πh2

)3

(m∗

em∗

h)3/2 e−Eg/kBT (13.15)

que depende unicamente de la energıa de la brecha. Por su analogıa con unarelacion para reacciones quımicas a esta relacion se le conoce como ley de

masas2.

13.4.1. Semiconductor intrınseco.

Las densidades de electrones (conduccion) y huecos (valencia) y la ley demasas que acabamos de obtener no dependen de la composicion del semicon-ductor. Esto es, estas relaciones son validas para semiconductores intrınsecosy extrınsecos. Para semiconductores intrınsecos sabemos, ademas, que porcada electron en la banda de conduccion hay un hueco en la banda de valen-cia, por lo que n = p. Tomando en este caso el logaritmo del cociente de laecuacion 13.12 entre la ecuacion 13.14 se obiene:

µ =Ec + Ev

2+

3

4kBT ln

m∗

h

m∗e

(13.16)

Este resultado da la posicion del potencial quımico en funcion de la tempe-ratura. Para T = 0 el potencial quımico se encuentra exactamente a la mitadde la brecha.

Si llamamos I = ni = pi =√np a la densidad de portadores de carga de

un semiconductor intrınseco, se obtiene

I =√nipi =

1√2

(

kBT

πh2

)3/2

(m∗

em∗

h)3/4 e−Eg/2kBT (13.17)

Con este resultado y los datos que se encuentran en la tabla 13.1 se puedecalcular la densidad de portadores de carga en, por ejemplo, arseniuro deindio (InAs) sin dopar, obteniendose I = 9.7× 1019 m−3.

2Se puede encontrar una explicacion de este nombre en el texto de Simon [28].

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13.4.2. Semiconductor extrınseco.

En el caso de un semiconductor dopado las densidades de portadores decarga (electrones y huecos) tambien satisfacen la ley de masas. Dependiendodel tipo de dopaje (donador o aceptor) se tendra un tipo de portador mayori-tario, electron o hueco, y un tipo minoritario. Conocemos el producto de lasdensidades de portadores del semiconductor intrınseco nipi (ecuacion 13.17),que por la ley de masas es igual al producto np del semiconductor dopado.Para fijar ideas3 supongamos que n > p y llamamos dopaje a la diferenciaD = n− p. Entonces tenemos que resolver el sistema de ecuaciones:

n− p = D

np = I2 (13.18)

cuya solucion es

n =

√D2 + 4I2 +D

2

p =

√D2 + 4I2 −D

2(13.19)

Hay dos casos lımites de interes. Si el dopaje D es mucho menor que ladensidad de portadores del semiconductor intrınseco I entonces el dopajeno juega un papel importante y las densidades n = p =

√I. Bajo estas

condiciones el potencial quımico queda a la mitad de la brecha. En el casoopuesto, si D >> I entonces la densidad de portadores mayoritarios n = D ypara determinar la densidad de portadores minoritarios se utiliza la ecuacionde masas. La densidad total de portadores carga esta dada por D. Paradopado con donadores (D = n) la banda de impureza en conduccion se llenade electrones, y el potencial quımico se mueve hacia arriba, cerca de la bandade conduccion. Para dopado con aceptores (D = p) los huecos llenan la bandade impureza de valencia, desplazando el potencial quımico hacia abajo, cercade la banda de valencia.

13.5. Dispositivos semiconductores.

No hay mejor ejemplo del impacto directo de la fısica cuantica en el mundomoderno que el de la microelectronica, y los dispositivos semiconductores son

3Si p > n se obtiene la misma solucion si se invierten los papeles de n y p.

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13.5. DISPOSITIVOS SEMICONDUCTORES. 329

la base de la microelectronica. El progreso de la tecnologıa se mide a la par delavance de nuestra comprension de los dispositivos semiconductores y nuestrahabilidad para producir sistemas cada vez mas pequenos de manera precisay controlada.

13.5.1. Ingenierıa de bandas.

Un primer ejemplo de la capacidad de control en la fabricacion de dis-positivos es el diseno de la brecha prohibida. Por ejemplo, con escogiendolas proporciones de aluminio, galio y arsenico se pueden generar aleacionescon la brecha deseada. El arseniuro de galio (GaAs) es un semiconductor conuna brecha directa Eg ≈= 1.5 eV y con la estructura de la zincblenda (figura11.9. El arseniuro de aluminio (AlAs) tiene la misma estructura cristalina yes un semiconductor con una brecha indirecta de Eg ≈ 2.7 eV. Al produciruna aleacion en la que una fraccion x de los atomos de galio es sustituidapor aluminio (denotamos el compuesto como AlxGa1−xAs) se tendra un se-miconductor con una brecha controlada. La variacion de la brecha con laproporcion de aluminio x esta dada por (x ≤ 0.4) [14]:

Eg(x) = 1.42 + 1.087x+ 0.438x2 eV (13.20)

13.5.2. Heteroestructuras.

Las heteroestructuras son sistemas formados por capas muy delgadas, deespesor nanometrico, crecidas sobre un sustrato comun y con una estructuracristalina que cambia de manera continua a traves de las superficies de se-paracion. Esto permite el diseno y el control de las propiedades del sistema.Entre las tecnicas comunmente empleadas para producir capas delgadas demanera muy controlada se encuentran la epitaxia por haz molecular (MBE)y deposicion de vapor quımico metal-organico (MOCVD). Para una descrip-cion basica de estas tecnicas se pueden consultar los textos de de Fox [14] oMorrison [25].

Po ejemplo, en la figura 13.4(a) se muestra una heteroestructura formadapor una pelıcula delgada de GaAs crecida entre dos capas de espesores mayo-res de GaxAl1−xAs. El eje z se toma como la direccion de crecimiento de cadacapa. El comportamiento de la brecha a lo largo del eje z es el que se mues-tra en la figura 13.4(b), y se puede explicar de manera simple. Por una parteGaAs tiene una brecha fija de ≈ 1.5 eV, mientras que la brecha en las capas

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superior e inferior de AlGaAs son mayores y se controlan por la cantidad xde impurezas de aluminio. En la figura se muestra una transicion abruptaentre una region y otra, lo que se puede lograr gracias a la precision con laque se puede controlar el crecimiento de cada capa. Con una heteroestructurade este tipo se consigue entonces generar un pozo cuadrado de potencial enuna dimension para electrones en la banda de conduccion o para huecos en labanda de valencia. Es importante senalar que en el plano xy perpendicular ala direccion de crecimiento se sigue teniendo el comportamiento de partıculalibre de los electrones o huecos. Con esta heteroestructura es posible entoncesestudiar un gas de Fermi en dos dimensiones.

Consideremos ahora la solucion de la ecuacion de Schroedinger para loselectrones en el pozo cuadrado de potencial que resulta de esta heteroestruc-tura. Proponemos una solucion separable para la funcion de onda electronica:

ψ(x, y, z) = φ(x, y)u(z) (13.21)

La energıa de este sistema se obtiene como la suma de la energıa E(~k) departıcula libre en el plano xy y la energıa cuantizada por la barrera en ladireccion z.

E(n,~k) =h2~k2

2m∗+ En (13.22)

donde m∗ es la masa efectiva. La funcion de onda en el plano xy es de laforma

φ~k(x, y) =1√A

exp(i~k · ~r) (13.23)

donde A es el area de normalizacion4. Para la solucion en la direccion zsuponemos un pozo de potencial de espesor d y que esta centrado en z = 0.Tambien suponemos dentro del pozo V = 0 y que sus paredes en z = ±d/2son infinitas. La ecuacion que hay que resolver es

− h2

2m∗

d2u

dz2+ V (z)u = Enu (13.24)

nyevamente, m∗ es la masa efectiva de la partıcula. La condicion de paredesinfinitas se traduce en la condicion de frontera

u

(

±d2

)

= 0 (13.25)

4Se toma una ”caja” de area A en el plano xy de dimensiones suficientemente grandespara que en el sistema haya un numero muy grande de niveles de energıa.

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(b)

conducción

AlxGa

1-xAsAl

xGa

1-xAs

E

GaAs

z

valencia

(a)

Figura 13.4: Esquema de una hereroestructura formada por una capa deGaAs entre dos capas de GaxAl1−xAs.

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Si llamamos α2 = (2m∗E)/h2, es facil ver que las soluciones son, por separa-do:

uc(z) = cosαz

us(z) = senαz (13.26)

e imponiendo la condicion de frontera en z = ±d/2 da lugar a la regla decuantizacion

En =h2

2m∗

(

nπ

d

)2

(13.27)

donde n = 1, 2, 3 . . .. Para n par se utiliza la solucion coseno, y para n imparse debe usar la solucion seno. Es importante notar la dependencia de estosniveles de energıa en la masa efectiva m∗, en el espesor de confinamiento d yen el numero cuantico n.

Se puede relajar la suposicion de paredes infinitas. No presentaremosaquı la solucion. En el ejercicio 4 de este capıtulo se discute con detalle lasolucion para un pozo de paredes finitas y se comparan los resultados con losque se obtienen para el pozo de paredes infinitas.

Como un ejemplo, podemos utilizar estos resultados para calcular losprimeros niveles de energıa de un pozo de potencial de 10 nm de espesorpara un electron cuya masa efectiva es de 0.10 m0. Sustituyendo los valoresse obtiene h2/(2m∗)(π/d)2 = 37.6 meV, con lo que resultan los tres primerosniveles de energıa E1 = 37.6 meV, E2 = 150.4 meV y E3 = 338.5 meV.Cuando se considera un pozo con paredes finitas estos valores disminuyensignificativamente (ver ejemplos en [14]).

Recordemos que el pozo de potencial sirve de la misma manera para con-finar electrones en la banda de conduccion como para confinar huecos en labanda de valencia. Como las masas efectivas de electrones y huecos son dife-rentes, la estructura de los niveles de energıa de los huecos sera diferente. Losniveles seguiran descritos por la ecuacion 13.27, pero con la masa efectiva delhueco. Ademas, para los huecos los niveles de energıa se grafican hacia abajoen el escalon que sirve como pozo para los huecos. En la figura 13.5 se mues-tran los estados confinados en un pozo cuantico. En principio se puede tenerun sistema cuantico con un electron y un hueco confinados al mismo tiempo.A este par electron-hueco se le denomina exciton. El exciton puede decaercuando el electron ocupe el hueco, dando lugar a la emision de radiacionelectromagnetica. A este proceso se le llama recombinacion electron-hueco.

Los pozos cuanticos son ejemplos de sistemas confinados en una dimen-sion o, de manera equivalente, son sistemas libres en dos dimensiones. La

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E

z

electrón

hueco

Figura 13.5: Estados confinados de un electron o un hueco en un pozo cuanti-co. Se muestra tambien un exciton.

precision que se consigue en la preparacion de heteroestructuras a escalasnanometrics permite construir sistemas confinados en dos de las dimensio-nes y por tanto son sistemas libres en una dimension. Se trata en este casode alambres cuanticos. Tambien se pueden construir sistemas confinados enlas tres dimensiones, lo que constituye un sistema libre de dimension cero,o punto cuantico. En la figura 13.6 se muestran de manera esquematica es-tos sistemas cuanticos confinados. Por favor notar que para poder presentarlos sistemas confinados se tuvieron que quitar de la figura algunas de lassuperficies de confinamiento.

Podemos estudiar el confinamiento en un punto cuantico. En este casola ecuacion de Schroedinger es para una caja de potencial de dimensionesdx, dy y dz. Si suponemos paredes infinitas podemos utilizar los estados queobtenidos para el pozo cuantico. Extendiendo la ecuacion 13.27 a las tresdimensiones, se encuentran niveles de energıa dados por:

Enx,ny ,nz=π2h2

2m∗

(

nx

dx

)2

+

(

ny

dy

)2

+(

nz

dz

)2

(13.28)

donde nx, ny y nz son enteros positivos. Se tiene sistema con un conjunto

discreto de niveles de energ’ia, como en un atomo o una molecula. La gran

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Figura 13.6: Heteroestructuras de dimensiones 2, 1 y 0.

diferencia es que se puede controlar la estructura electronica de estos puntoscuanticos mediante las dimensiones de confinamiento.

13.5.3. La union p-n.

Recordemos que al anadir impurezas donadoras a semiconductor se gene-ra un material tipo n en el que hay iones positivo fijos en la red y un excesode electrones libres. De igual manera, si se agregan impurezas aceptoras setendra un semiconductor tipo p con iones negativos y un exceso de huecosmoviles. En la figura 13.7a se muestran de manera esquematica semicon-ductores tipo n y tipo p. Algo muy interesante ocurre cuando se unen unmaterial tipo n con un material tipo p de manera controlada (Figura 13.7b).Los electrones de la region tipo n tenderan a moverse hacia la region tipop donde podran recombinarse con los huecos disponibles. De igual manera,los huecos en la region p se moveran hacia la region n para recombinarsecon los electrones. En la union p-n se genera entonces toda una zona librede electrones y huecos, pero con presencia de iones positivos (hacia la regionn) y negativos (hacia la region p). Estos iones generan un campo electricoque se opone al movimiento de electrones y huecos. Se genera entonces en la

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union np una region con la carga espacial (SCR) de los iones. En esta regionse tiene una disminucion (merma) significativa del numero de portadores decarga libres, ya sean huecos o electrones. Nos referiremos entonces a estacomo la region de merma de portadores.

Podemos tambien describir la estructura de bandas en la union p-n. Re-cordemos que en un material n las impurezas donadoras, al agregar electroneslibres, generan una banda de impurezas. El potencial quımico, que para unsemiconductor intrınseco e encuentra a la mitad entre la banda de conduc-cion y valencia (ecuacion 13.16), se mueve hacia arriba, cerca de la banda deconduccion. De igual manera, el potencial quımico de un semiconductor tipop se encuentra cerca de la banda de valencia. La estructura de bandas de unmaterial tipo n y un material tipo p, por separado, se muestra en la Figura13.8a. Al formar la union p-n los potenciales quımicos se alinean tal comose muestra en la Figura 13.8b. La banda de conduccion en la region p quedapor encima de la banda de conduccion en la region n. Los electrones libres enel semiconductor n no se mueven hacia el material p porque tienen que subiruna ”colina” de potencial. La forma de esta colina se muestra de maneraesquematica mediante rectas, aunque para materiales reales la transicion essuave y sin esquinas. Entonces, se necesita proporcionar energıa para hacerque los electrones se muevan de la region n a la region p. Algo similar ocurrecon los huecos libres de la region p. En este caso cuesta energıa moverloshacia abajo de la colina que se forma en la banda de valencia. Esto tienesentido si se recuerda que huecos en la parte superior de la banda de valen-cia tienen menos energıa y hay que hacer un trabajo para moverlos haciaabajo en la banda. Se puede pensar entonces que los huecos en una unionp-n se comportan como pelotas llenas de aire flotando en el agua. Hay queempujarlas (hacer trabajo) para hundirlas.

Esta descripcion simple de la estructura de bandas de la union p-n sirvepara entender su utilidad en un gran numero de dispositivos. Consideremosahora que pasa cuando se agrega una diferencia de potencial V a la unionp-n, tal y como se muestra en la figura 13.9a. Para fijar ideas supongamosque medimos el potencial respecto a la terminal n de la union. Esta diferenciade potencial altera la situacion de equilibrio (V = 0) de la figura 13.9b en laque ambos lados (p y n) tienen el mismo potencial quımico µ. El potencialexterno V modifica las pendientes de las colinas que tienen que subir loselectrones o bajar los huecos. Si con el potencial aumenta esa pendiente (loque implica eV > 0 o V < 0) se reduce aun mas el flujo de electrones de laregion n hacia la region p y el flujo de huecos de p hacia n (figura 13.9c).

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Tipo p

ion donador ion aceptor

electrón hueco

Tipo n

Unión n-p

(a)

(b) región con

carga espacial

Figura 13.7: Union de un semiconductor tipo n con un semiconductor tipo p.

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(b)

electroneshuecos

E

z

(a)

EF

tipo p

EF

V

C

V

CEF

tipo n

Figura 13.8: Estructura de bandas en la union p-n.

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Si por el contrario la pendiente disminuye (eV < 0), aumenta el flujo deelectrones y huecos a traves de la union (figura 13.9d). 13.9.

Rectificadores.

Este comportamiento de la union p-n sometida a una diferencia de po-tencial V da lugar al primer dispositivo: el diodo o rectificador electrico.Consideremos en primer lugar el movimiento termico de portadores de car-ga a traves de la union p-n cuando V = 0 (figura 13.9b). Tomaremos comocorriente positiva al flujo de carga positiva (huecos) de derecha a izquierda oal flujo de carga negativa (electrones) de izquierda a derecha. Un electron enel material p puede ser excitado, con una probabilidad exp(−Eg/kT ), de labanda de valencia a la banda de conduccion. Una vez en la banda de conduc-cion el electron puede rodar ”cuesta abajo” hacia el material n produciendouna corriente (negativa) −Ie1 exp(−Eg/kT ), donde Ie1 es una constante. Deigual manera, un electron en n puede ser termicamente excitado y subir lacolina de altura Eg hacia el material p, produciendo una corriente (positi-va) Ie2 exp(−Eg/kT ), con una constante Ie2 . Como V = 0 la union esta enequlibrio, por lo que el numero de electrones que cruzan en una direcciones el mismo que el numero que cruza en la direccion opuesta. Por tanto lasconstantes tienen que ser iguales Ie1 = Ie2 , por lo que a ambas constantes lasllamaremos Ie. Podemos hacer un analisis similar para el comportamiento delos huecos. Un hueco en el material n puede ser termicamente excitado dela banda de conduccion a la banda de valencia, desde donde ”flota” haciael material p. Esto da lugar a una corriente (negativa) −Ih exp(−Eg/kT ).A su vez un hueco en el material p puede termicamente ”hundirse” haciael material n produciendo una corriente (positiva) Ih exp(−Eg/kT ). En estecaso ya hemos usado la misma constante Ih que garantiza el equlibrio delmovimiento de los huecos cuando V = 0.

Analicemos ahora el caso cuando se aplica una diferencia de potencialV a la union p-n. La excitacion termica de electrones en el material p ode huecos en el material n siguen siendo las mismas, ya que el potencialno modifica la energıa de la brecha. Se tiene entonces una corriente termica−(Ie+ Ih) exp(−Eg/kT ) Sin embargo, las pendientes que los electrones tieneque subir o que los huecos tienen que hundirse al pasar de un material alotro sı son modificadas por el potencial externo. Para calcular la corriente deelectrones y huecos se debe considerar este cambio en pendientes, haciendola sustitucion Eg → Eg + eV en el factor de Boltzmann. La corriente debida

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(a)

n p

µ

µ+eV (V>0)µ

µ

(d)

(c)

(b)

E

µ+eV (V<0)

pn

V

Figura 13.9: Union p-n sometida a una diferencia de potencial V.

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a electrones que suben y los huecos que bajan a traves de la union es ahora(Ie + Ih) exp[−(Eg + eV )/kT ]. Se tiene ahora una corriente neta que estadada por

I = − (Ie + Ih) exp(−Eg/kT ) + (Ie + Ih) exp [−(Eg + eV )/kT ]

= Is [exp(−eV/kT )− 1] (13.29)

donde Is = (Ie + Ih) exp(−Eg/kT ) es la corriente de saturacion. El compor-tamiento de la corriente en funcion del potencial V dado por esta ecuacinse muestra en la figura 13.10. Para valores negativos de V (por tanto −eVtambien es negativo) se tiene una corriente negativa pequea a traves de launion. Se dice que se aplica una polaridad invertida a la union. Con valorespositivos de V se generan corrientes positivas cada vez mayores. En este casose habla de que la union se somete a una polaridad directa. La union p-nse comporta entonces como un diodo o rectificador de corriente. Permite elpaso de corriente en una direccion solamente, cuando se aplica la polaridaddirecta.

13.5.4. Otros dispositivos semiconductores.

El numero y la variedad de dispositivos semiconductores crece dıa a dıa.Por tanto en esta seccion solo se puede hacer referencia a dispositivos basicos,pero que ademas son de gran utilidad practica. Su funcionamiento se basaen los conceptos que hemos desarrollado sobre la union p-n.

Fotodiodos. Celdas solares.

Supongamos que exponemos unsemiconductor a luz con una energıa defotones hν mayor que la energıa de la brecha. La luz podra ser absorbida,generando electrones en la banda de conduccion y huecos en la banda devalencia. Si ademas el proceso se realiza en una union p-n, los electronesy los huecos que se generen en la region de merma de portadores de cargase moveran con el potencial de la union a su favor. Esto es, los electronesse moveran ”cuesta abajo” hacia la region tipo n y los huecos se moveran”cuesta arriba” hacia la region tipo p. Si en el exterior se unen las terminalesp y n mediante un alambre conductor se tendra una corriente electrica quepuede ser medida. La corriente es proporcional a la intensidad de la luz. Estees el principio de funcionamiento de los fotodiodos. Por otra parte, entre

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-3 -2 -1 0 1 2 30

5

10

15

20

25

30

I/I0

-eV/kT

Figura 13.10: Comportamiento de la corriente en un rectificador.

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tipo p

Energía

huecos

electrones

Eg

tipo n

hν

Figura 13.11: Principio del funcionamiento de fotodiodos y celdas solares.

las terminales p y n se genera una diferencia de potencial, que puede serempleada en una celda solar. El proceso de generacion de una fotocorrienteen una union p-n se muestra de manera esquematica en la figura 13.11

Diodos emisores de luz. Diodos laser.

El principio inverso puede ser empleado para generar luz en una union p-n.Cuando se aplica un voltaje directo (esto es, la terminal p esta a un potencialmayor que la terminal n) se pueden forzar a los electrones en la parte n aingresar a la zona de merma de portadores. De igual manera, se inyectanhuecos de la region p a la zona de merma. Ahı se produce la recombinacionelectron-hueco dando lugar a la emision de luz con una frecuencia hν ≈ Eg.Este es el principio basico del diodo emisor de luz (LED) que se muestra enla figura 13.12. Por ejemplo, con GaAS se producen LEDs que emiten en elinfrarrojo cercano, con longitudes de onda λ ≈ 850 nm. Con Al1−xGaxAs sepuede cubrir el intervalo de emision entre 630 y 780 nm.

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+-

(b)tipo p

huecos

electronesrecombinación

hν

tipo n

(a)

Figura 13.12: Diodo emisor de luz.

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Muchos esfuerzos se han concentrado en lograr cubrir de manera eficientela region visible del espectro electromagnetico. El principal problema ha sidofabricar diodos con semiconductores de brecha mayor para producir LEDs enel azul. Se sabıa desde hace tiempo que entre los compuestos binarios III-V,los nitruros son los de brecha mayor. Por ejemplo, GaN tiene una brecha de≈ 3.4 eV a temperatura ambiente. En la figura 13.13 se muestran las brechasde distintos compuestos binarios III-V en funcion de la constante de red. Lossemiconductores con P, As y Sb cristalizan en la estructura de cinc-blenda dela figura 13.2. En cambio los nitruros forman una red cristalina hexagonal.Ademas, los nitruros presentan serias dificultades para formar semiconduc-tores tipo p estables, que son un ingrediente indispensable en la fabricacionde LEDs en el azul. Hacia mediados de la decada de 1990 se hicieron avancessignificativos en estabilizacion del dopaje p de nitruros de galio e indio, lo quesignifico la posibilidad de fabricar diodos emisores de luz azul. Ası como lainvencion del transitor revoluciono la industria electronica, la posibilidad decubrir la region del visible con diodos emisores de luz esta revolucionando laindustria de la iluminacion. Esto se debe, fundamentalmente, a que los LEDsson fuentes eficientes de luz, con bajo consumo de energıa. Los descubridoresde los LEDs azules recibieron el premio Nobel en fısica en 2014.

La inyeccion de electrones y huecos mediante una corriente electrica puedeser empleada para generar una inversion de poblacion en la region de mermaen una union p-n. Hay faltante de electrones en la parte superior de la bandade valencia, mientras que hay exceso de electrones en la parte baja de la bandade conduccion. Se puede aprovechar esta inversion de poblacion para generarradiacion laser a la frecuencia hν = Eg. Ademas se pueden pulir a calidadde espejo las caras de la union, formando ası la cavidad resonante. Comoen el caso de los LEDS, los primeros laseres semiconductores se fabricaroncon diodos de GaAs con una longitud de onda de emision de ≈ 850 nm.Estos laseres tuvieron una aplicacion directa en los reproductores de discoscompactos (CD). Con la familia de semiconductores ternarios Al1−xGaxAsse pueden fabricar diodos laser con longitudes de onda de emision entre 650y 1050 nm. Los laseres semiconductores a 650 nm son los que se empleanen los reproductores de discos de video digital (DVD). Nuevamente, con losprocesos de estabilizacion de dopado p en nitruros ha sido posible fabricarlaseres semiconductores con una longitud de onda de 405 nm, en el azul.Estos son los que se emplean en los reproductores Blu-Ray.

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4.5 5.0 5.5 6.0 6.5

2

4

6

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AlN

GaN

InN

GaP

AlP

GaAs

AlAs

InP

InAs

GaSb

AlSb

InSb

Eg(eV)

Constante de red (Å)

Figura 13.13: Comportamiento de la brecha para semiconductores con dife-rentes constantes de red.

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Transistores.

El transistor es sin duda el dispositivo semiconductor mas usado y quemas ha revolucionado nuestras vidas. Toda la electronica moderna se basa entransistores y su version miniaturizada, que permite contruir circuitos inte-grados con millones de transistores en volumenes cada vez mas pequenos.5 Enpocas palabras, un transistor es un elemento electronico en el que se controlala conductividad electrica entre dos puntos (fuente y sumidero) mediante elvoltaje que se aplica a un tercer punto, la compuerta.

Desde su invencion en 1947, el transistor ha evolucionado de maneracontinua. En la actualidad el transistor de uso mas comun el MOS-FET, quequiere decir transistor por efecto de campo de metal, oxido y semiconductor(Metal-Oxide-Semiconductor Field Effect Transistor). En la figura 13.14 semuestra la estructura basica de un MOS-FET tipo n sin voltaje aplicado ala compuerta. La fuente y el sumidero son conexiones electricas que estanen contacto con semiconductores tipo n. Estas dos regiones estan rodeadaspor el cuerpo del transistor, que es un semiconductor tipo p. Usualmenteel cuerpo se conecta a la tierra electrica del circuito. Sabemos que entre elcuerpo y las regiones n de fuente y sumidero se forma una region de merma deportadores de carga. La compuerta es una capa metalica separada de fuentey sumidero por una capa aislante de oxido. En los transistores comunes elmaterial semiconductor es silicio y la capa aislante es de dioxido de silicio(SiO2). Cuando la compuerta esta al mismo potencial que el cuerpo se tienela situacion de la figura. La zonas de merma impiden el paso de corrienteentre fuente y sumidero.

Cuando se aplica un voltaje positivo a la compuerta, la capa metalicaactua como la placa positiva de un capacitor, y el cuerpo funciona como laplaca negativa. La capa metalica atrae electrones del cuerpo justo debajode la capa de oxido. Por efecto del campo electrico de este capacitor, si elvoltaje en la capa metalica es mayor a un voltaje umbral V0 debajo de la capade oxido se forma una region semiconductora que se comporta como tipo n.La zona de merma se deforma extendiendose entre fuente y sumidero. Segenera ası un canal semiconductor tipo n que conecta fuente y sumidero. Elcomportamiento del MOS-FET en estas condiciones se muestra en la figura13.15. Por tanto, con el voltaje aplicado a la compuerta de un MOS-FET esposible controlar el flujo de corriente entre fuente y sumidero.

5Recordemos aquı la llamada Ley de Moore (1975), que dice que el numero de transis-tores en un circuito integrado se duplica cada dos anos.

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Figura 13.14: Transistor por efecto de campo con metal, oxido y semicon-ductor (MOSFET).

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Figura 13.15: MOSFET en operacion.

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Es posible fabricar tambien MOS-FET tipo p, en los que ahora el cuerpoes un semiconductor tipo n. En este caso la fuente y el sumidero son semicon-ductores tipo p, el voltaje que se debe aplicar a la compuerta es negativo, yson huecos los que se atraen hacia la pelıcula de oxido. Los circuitos digitalesde uso comun utilizan una combinacion de MOS-FET tipo n y MOS-FET ti-po p fabricados en la misma oblea de silicio. En electronica se habla entoncesde logica MOS complementaria, o CMOS.

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