Roberto Ucar Navarro 54 CAPITULO II ANALISIS DE LA ESTABILIDAD Y DEL SOPORTE MEDIANTE ANCLAJES EN TALUDES ROCOSOS CONSIDERANDO ROTURA PLANAR 2.1.-INTRODUCCION AplicandoelcriteriodefalladeMohr-Coulomb,conjuntamenteconlas ecuacionesdeequilibrioesttico,sehadesarrolladounaexpresinanalticaal minimizarelfactordeseguridad(FS),enlacualsedeterminalainclinacinmscrticadelasuperficie potencial de deslizamiento para el caso particular de roturaplanar en taludes rocosos. Alavezseanalizalaestabilidaddeltaludconsiderandolafuerzassmicayel efecto de la presin intersticial actuando sobre el plano de discontinuidad. Conelapoyodeejemplossencillosseaprecialaimportanciadeestanueva metodologa, de gran utilidad en eldiseodelsoporte artificial mediante tirantes anclados. Roberto Ucar Navarro 55Adicionalmente,atravsdegrficostambinsehacehincapisobrela variacindelcoeficientedeseguridadenfuncindelosparmetrosmsinfluyentesenel clculo de la estabilidad de la masa rocosa. Porotrolado,alutilizarestatcnicaes posibledistinguirtresaspectos fundamentales en el diseodetaludesen macizos rocosos: 1.-Permitedisearexcavacionesestablesparaun factordeseguridad previamente conocido. 2.-Aplicandounasimpleexpresinmatemtica,sedeterminaelplanopotencialdefallamscrtico,yporendeelmnimofactordeseguridadcorrespondiente a lamencionada superficie de discontinuidad. 3.-En el caso particular que el talud rocoso sea inestableocon un coeficiente de seguridad de baja confidencia, se obtienela fuerzade anclajeporunidadde longituddetalud,tantoparaelcasoactivocomopasivo,conlafinalidadde elevarelmnimofactordeseguridadpreviamentedeterminado,aunnuevo coeficientequegaranticelaestabilidaddelmacizorocoso,talcomosepodrapreciarendetalleenelpresentecaptuloatravsdelasecuacionesdesarrolladasyconlaayudade ejemplos numricos. Roberto Ucar Navarro 562.2.- GENERALIDADES Comosesabeelmecanismodefallarelacionadoconlaestabilidaddetaludesenmacizosrocososestcontroladopor estructuras geolgicas talescomodiaclasas,foliacin,estratificacin,ascomootrasdiscontinuidadesqueconjuntamente con las anteriores son las causantes de queexistandeslizamientos alllevarseacaboexcavacionesenobrascivilesymineras,tantoenla construccin de presas y obras viales como en las explotaciones a cielo abierto y subterrneas,conelresultadolamentableenmuchascircunstanciasdelaprdida devidashumanas,ademsdelcostohorarioadicionalquerepresentanlasinterrupcionesydemoras,conjuntamenteconlasinversionescuantiosasque debenrealizarlasempresasyorganismoscompetentesencargadosdelaremocindebloquesyfragmentosderocaydelaulteriorestabilizacindel macizo rocoso en caso de que se requiera. Lgicamente lo dichoanteriormenteindicaqueelingeniero geotcnico juegaunpapelpreponderanteenlatomadedecisionesconlafinalidaddepoder garantizar la seguridad de las excavaciones en macizos rocosos.

Enestascondiciones,esdefundamentalintersconocerlosmodosderoturaqueocurrenenlarocacuyomovimientoestcontroladopordiscontinuidadesgeolgicas,lascuales pueden dividirse en tres tipos:a)Deslizamiento planar, ver figura (2.1). Roberto Ucar Navarro 57 W ( 1+K )u ( Presin de poro )OHWKNTH1UBqnt, CChADPlanopotencial de fallaNF, v Figura2.1 Geometra del talud mostrando las fuerzas y el plano potencial dedeslizamiento (mtodo bidimensional)

b) Roturaporcuaocasionadaatravsde dosplanos de discontinuidad dispuestosoblicuamentealplanodeltalud,enelcualeldesplazamientoest gobernadoporlainclinacinydireccindelarectadeinterseccindelosdos planos, ver figura (2.2) Roberto Ucar Navarro 58 Figura 2.2Rotura por cua c)Vuelco Este tipo de rotura se caracteriza por una rotacin de la columna o bloque de roca sobresubase,bajoelefectodelaaccindelagravedadydelasfuerzas desarrolladasporlasrocasadyacentesoenciertoscasosdebidoalempujedel agua al penetrar en las discontinuidades (vase figura 2.3). Roberto Ucar Navarro 59 Plano 2 Planos de talud Figura 2.3 Disposicin de discontinuidades en rotura por vuelco de bloques Enelcasoparticulardelaroturaplanar,elbloquederocasedeslizasobreuna superficiedefractura.Eslamssimpledelasformasderotura,yseproduce cuandoexisteunadiscontinuidaddominanteenlaroca,buzandoensentido desfavorable. Lascondiciones geomtricas para la ocurrencia de la fallason las siguientes, tal como lo indican Hoek y Bray [1]. Roberto Ucar Navarro 60 1) < < Donde: = nguloqueformaelplanodefallacon la horizontal (buzamiento de la discontinuidad) =inclinacin de la cara del talud con la horizontal =j= ngulodefriccininternadelmacizorocosoenlasuperficiede deslizamiento. 2) Elplanodefalladebetenerunrumboaproximadamenteparalelo(20) con relacin al plano del talud. Esimportanteindicar,talcomolomencionaSalcedo[2],queeltrminofallaes aplicadoparaestecasoenparticularenelsentidoingenieril,enloreferentea movimientos o corrimientos delmacizo rocoso, y no a fallas geolgicas. Por otra parte, en la condicin especfica que no se considere el efectossmicoy la presin deporo,sedemuestraanalticamentequelaaltura crtica del talud correspondecuando=1/2(+),yporsupuestocuando=/2,seobtienela bien conocida expresin =(/4+ /2).Igualmente cuando se disean anclajes comosistemasdeestabilizacinpuededemostrarse segnBarronetal[3],Roberto Ucar Navarro 61que elesfuerzo cortante excedente ees un mximo cuando = 1/2( + ), al tomar en cuenta 0 =((

e. Paralacondicinenlacualexistasobrecarga,fuerzasssmicasyla presinintersticialUcar[4],determinrecientementequeelvaloreesmximo en el caso de deslizamiento planar cuando: ( ) ( )( ) ( )((

+ + + + + + = 211 `sec . tan . tan . cos . tan . cos .tan . sec tan . cos . tan . cos .) tan(sen sen k sensen k senhh Dicha frmula expresada en una forma ms simple es:(2.1) ( ) ( ) 0.. . . tan 2 . cos1= + + Ksen sen senSe observa claramente paraelcasoparticularqueH1=0 (1= 0) y Kh= 0 (= 0), elngulo crtico de falla = 1/2 ( + ). Siendo: Kh = coeficiente ssmico horizontal = (1 Kv) Kv= coeficiente ssmico vertical 1 = 1/ 1 = w H12 /2 H1= altura del nivel fritico (ver figura 2.1) = [q.H + (H2 - H12)/2 ]+ sat. H12 /2, kN/m Roberto Ucar Navarro 62H = altura del talud, mq = sobrecarga, kN/m2 | |2 2) 1 (v hk k k + + =21 ( )vhkktan+=1 = peso unitario del macizo rocoso (condicin natural), kN/m3 sat= peso unitario saturado, kN/m3 Losclculosobtenidosenelpresenteestudiosebasanenquelacuaderocase considera como un cuerpo rgido, analizndose el sistema de fuerzas aplicando el conceptodeequilibriolmite,conjuntamenteconelbienconocidocriteriode rotura de Mohr- Coulomb Por otro lado, en el mencionado anlisis nosehatomadoen cuenta el efecto del vuelco,esdecirnohaymomentosque generen rotacin del bloque por cuanto se consideraquetodaslas fuerzas pasan por el centro de gravedaddelacuapotencialdefalla.EnestesentidoHoekyBray[1]estimanqueelerrores pequeoalignorarlosmomentos,sinembargolosmencionadosautoresjuzgan convenientequeelanlisisdeestabilidadentaludesrocososconfuertes pendientesyplanosdediscontinuidadconbuzamientoelevados,sedeberaplicar la condicin de momentos. Roberto Ucar Navarro 63En relacin a lasfallasporvuelco previamente mencionadas,sepresentanen taludesconplanosdediscontinuidadesquetienen buzamientomuygrandeen sentido contrario al frente del talud. De acuerdo a Ayala et al [5]en muchoscasosseapreciala existencia de otra familia dediscontinuidadesdebuzamientomuy suaveenelmismosentidoqueeltaludyaproximadamenteperpendicularalaotradiscontinuidadpreviamentemencionada,demarcandolosbloquesyconfigurandolasuperficie de deslizamiento basal por donde ocurre la rotacin o deslizamiento. El movimiento comprendeelvuelco (toppling) de bloques de rocas que tratan de doblarseycaerporsupropiopeso,conjuntamenteconlosempujesdebidosaotrosbloques inestables. Laestabilidadpuedemejorarseutilizandoanclajesenunadeterminada direccin logrndose minimizar la fuerza del tirante. Finalmenteesnecesariomencionaraunqueseabrevemente,laroturacircular(verfigura2.4),lacualsecaracterizaporaproximarsebastantebienauna superficie cilndricacuyaseccin transversal seasemejaaunarcodecrculo. Estaclasededeslizamientoocurreconfrecuenciaensuelosomacizosrocososaltamentefracturadossindireccionespredominantesdelosplanosde discontinuidad. Adicionalmente debe cumplirse que laspartculasdesueloo roca deben tener untamaomuypequeoencomparacinconlas dimensiones del talud. Roberto Ucar Navarro 64 21i iR (Cos ) = R Sen aii TiNiS( ) XiS+ S= S( X+X)iiE+ E= E( X+X)iiCBE ( ) = E Xb (+ ) X X E (+) X X S (+) X XWiLiQiviQQ ( ) XX = XiQihiy(+)b ( ) X Figura2.4Rotura Circular Roberto Ucar Navarro 652.3.DESARROLLO ANALITICO- ROTURA PLANAR Acontinuacinsedescribeelprocedimientoparadeterminarlasuperficie crticadedeslizamiento yelmnimocoeficientedeseguridadaltomarencuenta elpesodelacuaWT,lasfuerzasssmicasFhyFv, conjuntamenteconla resultante U de las presiones intersticiales que actan sobre la superficie potencial derotura,lasobrecargaqylosparmetrosC=Cj y = jquegobiernanla resistencia al corte en el plano de discontinuidad. Dichas fuerzas pueden expresarse como sigue: Fuerza Ssmica Horizontal =h T hTh hk W agWa m F . . = = = (2.2) Fuerza Ssmica Vertical = vk WT. Adicionalmente gakhh= y h hk kvk43a21 (dependiendodeladistancia epicentral)* ( ) sec cot cot221 =wHUU= Fuerza total debida alaguaactuando sobre el plano de discontinuidad ( )( ) sec.sec cot cot1 1 ((

= =sen sensenU(2.3) *A.Malaver(1995),SismosDestructoresenVenezuelaenelPerodo1970-1990,InstitutodeMaterialesy Modelos Estructurales, Universidad Central de Venezuela, Vol. 33, No. 3, pp. 25-34. Roberto Ucar Navarro 66Siendo 2.211Hw =(2.4) El peso total de la cua de falla de acuerdo a la figura (2.1) es: ( ) ( )( ) ( ) cot cot . .21cot cot2121 + + + = H q H H BC AD H WsatT

(2.5) Observndose adems que: ( ) cot cot1 = H ADy( ) cot cot = H BC (2.6) Sacando factor comn a sen . sen) sen() cot (cot= ,resulta: ( ) ( ))` + + = H q H H H WsatT 212 21212cot cot(2.7) ( ))` + + = H q H H Hsen sensenWsatT 212 21212 .) ( Es decir: ( ) ((

=sen . sensenTW (2.8) Roberto Ucar Navarro 67 Siendo: ( ) H q H H Hsat + + = 212 21212,kN/ m (Factor de peso) (2.9) Al aplicar la condicin de equilibrio, se obtiene: Fn =0 N + U Rcos ( + ) = 0(2.10) Ft = 0T Rsen( + ) = 0(2.11) A travs de la figura (2.5) la inclinacin()queformala resultante (R) con la vertical se determina mediante la frmula:

( )vhkktan+=1 (2.12) A la vez, la expresin que define el coeficientedeseguridad al aplicar el criterio de rotura de Mohr-Coulomb es:

31movilizada Fuerzaresistente mxima Fuerzatan ..= =+=TNsenH CFS (2.13) Roberto Ucar Navarro 68Al sustituir (2.10) y (2.11) en (2.13) resulta:

( ) | |( )31tan cos. =+ + +=sen RU RsenH CFS (2.14) Siendo R la resultante de las fuerzas actuantes ( ) | |2 2 2 21v h Tk k W R + =(2.15) ( ) k W k k W RT v h T. 12 2= + + =(2.16) ( ) | |2 / 12 21v hk k k + + =(2.17) C=C j ,eslacohesin,oresistenciaalcortecuandotensinnormalesnula, medida en el plano de discontinuidad. Al dividir por R la ecuacin (2.14), se obtiene: ( )( ) +((

+ +||.|

\|=senRUsen RH CFStan cos. (2.18)Roberto Ucar Navarro 69 RSen( + )RCos( + )W ( 1 + K )T VK Wh TRTtNUnW (1+K )TRvK WhTtanK h(1 + K) vR Figura2.5 Fuerzas ssmicas actuando sobre la superficie potencial de rotura Roberto Ucar Navarro 70 Al reemplazar (2.8) en (2.16) queda: ( )k R .sen . sensen ((

= (2.19) Porotrolado,comopreviamentesehaindicado,lafuerzadebidaalagua corresponde: ( )1secsen . sensen ((

= U(2.20) y 2211Hw = (Factor debido al agua)(2.21) Reemplazando R y U/R en la ecuacin (2.18) se obtiene: ( )( )( ) +((

+ + =senk k sensen H CFStan sec cos.1 (2.22) Llamando: Roberto Ucar Navarro 71 =kk11ysen..2 =kH Ck La ecuacin anterior se transforma: ( )( ) | |( ) + + +=sensec . cossen12tan kkFS (2.23) En este punto es importanteresaltar,talcomolomenciona Salcedo [6], que al analizarlaestabilidaddetaludesenmacizosrocosos,esfundamental caracterizarlarocaenfuncindelos factores geolgicos y los procedimientos decampoconjuntamenteconlosensayosdelaboratorio,talescomolaspruebas de cortedirecto a lo largo de las discontinuidades. Adicionalmenteesprimordialentenderloscriteriosderesistenciaalcorte bajoelentornodeesfuerzosestablecidos, definiendo a la vez los mecanismos de rotura para la utilizacinde los mtodos de anlisis correspondientes. Este anlisis detallado permitirconocer:a) La resistencia al corte de las discontinuidades planas lisas. b) La resistencia al corte de las discontinuidades rugosas. c) La resistencia al corte de discontinuidades rellenas de suelo. Roberto Ucar Navarro 72 Enlaprctica,loimportanteesdeterminarlaresistenciaalcizallamientodel macizorocoso,tomandoencuentaquelaroturaseproducir enungran porcentaje a travs de estructuras geolgicas o planos de debilidad, y en otra parte menor por los "puentes de roca" que producirn una cohesin. Ladeterminacindeestacohesindepender delnmerodefamiliasque presentan planos de fracturas y su continuidad, la cual es fundamental y difcil de determinar. Muchasvecesjuegaunpapelpreponderanteelcriterioylaexperiencia,yla ayudaenmuchoscasosdeunanlisisregresivooretrospectivoentaludes fallados. Por otro lado,existentambinprocedimientosquepermiten cuantificar en una formaaproximadasuresistenciasinefectuarensayosdecorteenelmacizorocoso,vlidosparaclculosdeestabilidaddetaludes,considerndolos globalmenteentodasuextensin,permitiendoascalcularlosparmetrosque gobiernanla resistencia al corte C = Cjy = j. Estos mtodosson empricos ysuformadeaplicacinpara caracterizar la roca en el campo es sencilla a travs de los ndices de calidad de la roca basados en la Roberto Ucar Navarro 73clasificacingeomecnica,talescomoelndiceRMR(rockMassRating)de Bieniawski[7],delSouthCouncilforScientificandIndustrialResearch,yelndiceQde Barton, et al [8], del Norwegian Geotechnical Institute. Recientemente Hoek y Brown [9] han desarrollado una metodologa para calcular grficamentelaresistenciaalcorteenmacizosrocososatravsdelndiceGSI (Geological Strength Index) y los parmetros m y s del bien conocido criterio de roturapropuestoporlomencionadosinvestigadores[10],enelcualdeterminan los parmetros de corte equivalentes C y (ver apndice A). AlavezUcar[11]explicaendichoapndiceunprocedimientoanalticoconla finalidaddeobtenerconmayorexactitud losparmetrosequivalentes y por ende laresistenciaalcizallamientodelarocaparaunconocidocampodetensiones utilizandolaenvolventedefallanolinealobtenidaporUcar[12]conjuntamente con el criterio emprico de rotura de Hoek y Brown [10]. Cabedestacar,quetodaslasclasificacionesgeomecnicasdeterminanlacalidad de la roca dividindola en dominios estructurales, es decir, en sectores delimitados pordiscontinuidadesgeolgicas,dentrodelascualeslaestructurapuede considerarse aproximadamente homognea. Roberto Ucar Navarro 74La estructura del macizo toma en cuenta el conjunto de fallas, diaclasas,pliegues, foliacin y dems defectos mecnicos que caracterizan una determinada regin, en laqueexistengeolgicamentediferentesdominiosestructuralesclaramente definidos y diferenciados entre s. Enestesentido,serecomiendaleerloslibrosDiscontinuityAnalysisforRock Engineering por S. Priest [13] y Mohr Circles, Stress Paths and Geotechnics por R. Parry [14]. Igualmente dos artculos presentados por A. Palmstrm [15] sobre caracterizacin demacizosrocososempleandoelndicedemasarocosaRMi(TheRockMass Index). En resumen los parmetros involucrados en lasfrmulas(2.22) y(2.23) se especifican en la tabla anexa: TABLA No. 2.1 PARAMETROS INVOLUCRADOS PARA DETERMINAR (FS) ( ) | | k k k kv h. W R, 1T2 / 12 2= + + = ( ) .k ,sen sensenW ,211 T211kHw= ((

==( ) senkH CH q H H Hsat.k, .2122212 21=)`+ + = ( ),1vhkktan+= Kv = negativo cuando la fuerza ssmica es hacia arriba Roberto Ucar Navarro 75Laecuacin(2.23)puedetambinexpresarsedelaforma siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) ++++ =senksen senkFSsectan .tantan12 (2.24) El mnimo factor de seguridad se obtendral considerar0 =FS, es decir: ( ) ( ) ( ) ( ) | |( ) ( )( )( ) +++ + + 222 22tansec . tan cos cos .sen sensen sen k ( ) ( )( )0cos sec tan sectan21=((

++ + sensenk (2.25) Al simplificar y considerando que: [cos(+)sen(-)-sen(+)cos(-)] = { sen[(-)-(-)] = sen(-2-) } Resulta: ( )( ) ( )( )( )( )++ ++ 2222 22cossencossen sen2 . sen . tan k ( ) ( )( )0sencos sen .sec . .21=(((

++ + tantan k (2.26)

Roberto Ucar Navarro 76( )( )( ) ( ) 0 coscossec tan . tan2 .122=((

+ + sensenksensen k (2.27) Quedando finalmente:

( )( )( ) ( ) | | 0 tan cos . cos . . sec . tan .2 .2122=)`+ + + + sen sen ksensen k

(2.28)( )( )( ) 0 2 cos sec tan tan22122= + + ksensen k(2.29) 2.3.1.-Aplicacin Prctica Ejemplo No. 1 Se desea calcular el factor de seguridad de unaexcavacinen roca, en funcin de suscaractersticas geomtricas y parmetros resistentes, considerando adems los siguientes factoresdeterminantes enlaestabilidaddelmacizo rocoso como son la presiones intersticialesactuando sobre el plano potencial de deslizamiento , la sobrecarga y el efecto ssmico. H = 30,00 mH1= 20,00 m = 76 = j= 30 Parmetros de corte minorados C = Cj= 295 kN/m2 Roberto Ucar Navarro 77 = 24 kN/m3

sat = 25 kN/m3 q = 300 kN/m2 Kh= 0,20 yKv= 0,10 En el diseo de taludes, estructurasde retencin y en los diferentes proyectos de obras de tierra es prctica comn que los parmetros de corte deben ser reducidos medianteunfactordeminoracintalcomolomencionaRecomendations Clouterre[16]. En estas condiciones la resistencia al corte toma la forma: +=tan Cnc Los factores parciales de seguridad recomendados segn el Project Clouterre son: c= 1,50 = 1,30 Las razones de tomar en cuenta estos factores de minoracin son: 1.La existencia de desigualdades importantes entre los parmetros resistentes del suelo o roca en la zona en estudio. Roberto Ucar Navarro 782.Evitar cualquier consecuencia perjudicial para la estructura, como resultado queunsectordelterrenosedeterminenresistenciaslocalesinferioresal compararse con los valores caractersticos del material. 3.Laresistenciaalcortedelamasadesueloorocaesextremadamente sensitiva a los parmetros de corte, es especial la cohesin. A travs de la tabla No. 2.1 se obtiene: K = 1.1180, 00K1= 0,0894K2= 0,38401= 2.000,00 kN/m, = 10,30 = 20.000,00 kN/m Al utilizar la ecuacin (2.29) lainclinacindelplanoms crtico es 45,00,yelcorrespondientemnimofactordeseguridadconsiderandolafrmula (2.23) es FS=1,22. Igualmente,atravsdelafigura(2.6)seaprecialavariacindelfactorde seguridadenfuncindelngulopotencialdefalla, utilizandolospar metros arriba indicados conjuntamente con la ecuacin (2.23),obtenindose nuevamente que (FS)mnimo= 1,22 cuando = 45. Por otro lado las figuras (2.7) y (2.8) muestranlavariacin de FS en funcin de y H, considerando el casoparticularquela inclinacin del plano de falla () permanece constante. Roberto Ucar Navarro 79 FS1,81,61,41,21,015 304560 75 90 Figura2.6Variacindel factor de seguridad(FS) en funcin de la inclinacindel plano de falla Roberto Ucar Navarro 80 H (m)100 90 80 70 60 50 40 300,80,91,01,11,2FS Figura 2.7Variacin del factor de seguridad(FS)en funcin de la altura del talud(H), siendola inclinacin del plano de rotura constante Roberto Ucar Navarro 81 90 85 80 75 70 65 600.91.01.11.21.31.41.51.6FSFS= - 0,022 2,89 Figura2.8Variacin del factor de seguridad(FS) en funcin de la inclinacin del talud , considerando que el ngulo del planode roturaes constante. Roberto Ucar Navarro 82Ejemplo No. 2 Consideremosunaseccindeuntaludenunimportantetramovialenelque aflora una roca arenisca la cual se caracteriza por presentar los siguientes valores:H = 30,00 m , H1= 0,00 m = 76,talud 1/4: 1(v) = 25,00 kN/m3 sat= 26,50 KN/m3 q = 0 C = Cj = 200,00 KN/m2 = j= 35,00 Kh= 0,30yKv=-0,15(Lafuerzassmicaverticaltiendealevantarlacuapotencialde falla,esdecirestdirigidahaciaarribaenelsentidopositivodelejedelas ordenadas). Tomandoencuentadichosparmetros,yutilizandonuevamentelatabla(2.1), resulta: ( ) | | | | 90 , 0 85 , 0 3 , 0 12 22 / 12 2= + = + + =v hK K K / 00 , 250 . 1122m kNH= = Roberto Ucar Navarro 83 Adicionalmentenosehaconsideradolasobrecarga(q=0)ylaalturadelnivel fretico (H1= 0), por lo tanto se obtiene: 02211= =Hw011= =Kk5750 , 0 7690 , 0 / 00 , 250 . 1100 , 30 / 00 , 200 .22= = = senm kNm m kNsenKH Ck Utilizando las ecuaciones (2.29) y (2.24)losvaloresdela inclinacin del plano de falla ms crtico yelmnimofactorde seguridad son respectivamente: = crtico= 40,44(FS) = (FS)mnimo = 1,55 (estable) Nuevamente,otrodelosaspectosqueesnecesarioanalizar,eslavariacindel factor de seguridad con respecto al nguloal aplicar la ecuacin 2.23 As,manteniendotodoslosdemsfactoresconstantesydndolediferentes valores a , se obtiene la figura (2.9) con su respectiva tabla de datos, en elqueseapreciaqueelmnimofactorde seguridad,paraestecaso,correspondealngulo ()crtico previamente calculado. Roberto Ucar Navarro 84Delmismomodo,mediantegrficos,tambinesposibleinvestigarla variacin del coeficiente de seguridad mnimo(FSmin) en funcin de losfactores H, , C, K y H1,ver figuras (2.9), (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) y (2.14) en donde seobserva que los parmetros antesmencionadosnoafectanenigualmedidaalaestabilidad del macizo rocoso, notndose una mayor sensibilidaddel factor de seguridad ante la variacin de la altura del talud (H), de la cohesin del macizo rocoso (C = Cj) y delngulodeinclinacin de la cara del talud (). Tambinotradelasacotacionesquepodemoshacerenrelacinconlos grficos son las siguientes: a) Aldisminuirlacohesin,seapreciaunaumentodeyel correspondiente descenso del factor de seguridad(vergrfico No. 2.12). b) De manera diferente es el comportamiento enelgrficoNo. 2.10, en el cualseobservaquealaumentarHseelevaelvalordeydisminuyeel coeficiente de seguridad. c) En la figura(2.11)existeunarelacinprcticamente linealentre FS y , y como era de esperar alaumentarse incrementa , y por ende disminuye el factor de seguridad FS. Roberto Ucar Navarro 85 FS1,901,851,801,751,701,651,601,55 FS =20 25 30 35 40 45 50 55(grados)( 4 0, 4 4 )FS25 1,77303540,44455055 1,861,661,571,551,581,65 Figura2.9 Variacin del factor de seguridad en funcin del ngulo potencial de deslizamiento. Roberto Ucar Navarro 86 30 40506070 80H(m)= 48,52= 47,88= 47,20= 46,46= 45,66= 44,80= 43,86= 41,00= 40,44FS1,61,51,41,31,21,11,00,90,875 0,820,85 706560555045403530H(m) FS (mnimo)1,551,381,261,161,071,000,950,90 Figura2.10Variacin del mnimo factor de seguridad en funcin de la altura deltalud.Roberto Ucar Navarro 87 (grados)90 80 70 601,31,41,51,61,71,8= 50,00= 46,49= 43,11= 40,79FS - 0.025 3,445= 36,5= 8,00= 3,0090858075706560FS (min)1,951,851,691,571,461,351,252,01,9FS Figura2.11 Variacin del mnimo factor de seguridad en funcin del ngulo de inclinacin de la cara del talud . Roberto Ucar Navarro 88 Figura2.12 Variacin del mnimo factor de seguridad respecto a al cohesin del macizo rocosoRoberto Ucar Navarro 89

Figura2.13 Variacin del mnimo factor de seguridad en funcin de la altura delnivel fretico H 1. Roberto Ucar Navarro 90 0,9 0,95 1 1,051,10 1,15 1,20 1,25 1,301,21,31,41,51,.61,71,61,92,02,12,2FS= 43.54 = 43.54= 44.06= 38.22= 40.55= 44.81= 42.74= 45.01= 45.84Kv (positivo)Kv (negativo)KhKvKFS0,10-0,050,961,9245,010,20-0,10 0,921,7342,740,30-0,150,901,5540,550,40-0,200,89 1,3838,220,10 0,20 0,300,400,050,10 0,150,201,05 1,12 1,19 1,261,81 1,58 1,39 1,2445,84 44,81 44,0643,54K= K+(1+Kv)2h2 Figura2.15 Variacin del mnimo factor de seguridad en funcin del factor delsismo. Roberto Ucar Navarro 91d) Atravsdelgrfico(2.13)sepuededistinguirquenohayunavariacin muymarcadadelngulo,elcualaumentalevementeal incrementarse la alturadelnivelfreticoH1.Sinembargo,elcoeficiente deseguridad decrece en un31%alpasardelestadosecoalacondicinmsdesfavorablecuandoH1 alcanzala altura del talud, es decir H1= H, y por lo tanto la fuerza U debida a las presiones hidrostticas es mxima. e) EncuantoalavariacindeFSqueseproduceporelefectossmico actuando sobre la masa deslizante, lafuerza resultante R, cuyo valor aumenta al acrecentarse el factor ssmicoK, y disminuir elngulo , es ms influyente que elngulo,elcualforma dicharesultante( )ksen sensenR ((

= ,con la vertical. En definitiva se concluye queFS,decrecemsrpidamenteconRqueconla funcinsen(+),talcomoseapreciaatravsdeldenominadordela ecuacin (2.14). Porlotanto,lacondicinmsdesfavorableocurrecuandolafuerzassmica vertical (Kv) estdirigida en el mismosentidoque el peso de la masa potencial de deslizamiento.En estas circunstancias, la figura (2.14) muestra la variacin de FSenfuncindelcoeficientessmicoK,tomandoencuentaKvpositivoy negativo. Roberto Ucar Navarro 922.3.2. Anlisis de la Estabilidad Aplicando el Criterio de Rotura de Hoek y Brown EnelApndice(B)seanalizalaestabilidaddetaludesaplicandoelcriteriode roturadeHoekyBrown[10]conjuntamenteconlasecuacionesdeequilibrio esttico desarrolladas en el apartado 2.3.A travs de esta alternativa se determina con un aceptable rango de aproximacin el coeficiente de seguridadpara el caso particular de rotura planar. Estenuevoprocedimiento,elcualconsideralaenvolventenolinealobtenidapor Ucar[11]alaplicarelmencionadocriterioderotura,permitellevaracabo importantes comparaciones con la curva de resistencia intrnseca lineal de Mohr-Coulomb. 2.3.3. DeterminacindelMnimoFactordeSeguridadenTaludesRocosos con Grietas de Traccin. Vistalaimportanciaquetieneelefectodelasgrietasdetraccinsobrela estabilidad de taludes, se ha desarrollado una metodologa (ver apndice C), en la cual la superficie potencial de deslizamiento est constituida por dos bloques con inclinacionesdiferentes.Lapartesuperiorcolindanteconlacrestadeltalud caracterizada por la presencia de una grieta de traccin la cual se ha considerado Roberto Ucar Navarro 93verticalparasimplificarelproblema,ylaparteinferiorcuyageometraest formada por una superficie de discontinuidad de inclinacin con la horizontal. En estas condiciones se obtiene la profundidad mxima de la grieta de traccin, el ngulo crtico y el mnimo factor de seguridad del talud investigado. Sedemuestraigualmentelaimportanciadeestemtodoalcompararlos resultadosconlosotrosprocedimientosanalticospreviamenteindicadosenel apartado 2.3 y en el apndice (B). 2.4.-METODOAPROXIMADOPARAOBTENERELFACTORDESEGURIDADDINAMICO EN FUNCION DEL ESTATICO En muchos casos el ingenieronecesitaconocerenunaforma aproximada como disminuyeelcoeficientedeseguridadaltomarencuentalasfuerzasssmicas queactansobreelmacizorocoso.Estopermitir analizarytomarlasmedidas necesarias que garanticenla estabilidad del talud, contrarrestando as dicho efecto ssmico. A travs de la ecuacin (2.22) seapreciaqueelfactorde seguridad dinmico puede expresarse de la forma siguiente: Roberto Ucar Navarro 94( )( )( )( ))`+((

+ += tan cot 1 costan.cos11senKKsensen H CKFSd (2.30) (FS)d= factor de seguridad dinmico ( )( )( )||.|

\| ++= sensensen H CKFSdtan sec costan . cot 1 cos11 ( ) | |)` ++ senK tan cos cos(2.31) Seapreciaqueelprimertrminodentrodelas llaves corresponde al factor de seguridad esttico (K = 1).Porlotanto es posible escribir: ( )( )( )( ) | |)` +++= senKFSKFSe dtan cos costan . cot 1 cos1 (2.32) Siendo (FS)eel factor de seguridad esttico. Roberto Ucar Navarro 95Adems se observa que: ( )( )( ) cos11112 / 1222vvhvKKKK K+=)`(((

+++ = (2.33) Tomandoencuenta esta ltimaexpresin,yrealizandoloscorrespondientes cambiostrigonomtricos,laecuacindelfactordeseguridaddinmicose transforma: ( )( ) ( )( ) ( ) | | { } sen K K FSKFSevd ++ += 1 cos cot tantan . cot 1 . 11 (2.34) ( )( )( )( ) ( )( ) | | { }v vvdK K FSKFSe+ ++ += 1 tan cot tancot . cot 1 11 La ecuacin anteriorpuedeevaluarsetomandoencuentala variacin de (FS)enfuncinde,yconsiderandoalavezqueel nguloesconocidoy constante. Lgicamente crtico= f(, , ,1, ),porlotantopara determinar el mnimo factor de seguridaddinmicoenfuncindel esttico, el problema se complica Roberto Ucar Navarro 96porcuantoaamboscoeficientesdeseguridadlecorrespondeunplanodefalla crtico de inclinacin que difieren en magnitud. Unaformamuyaproximadaygrosamentederesolverelproblemaes considerandoquelavariablecotenlaecuacindelcoeficientedeseguridad (FS)d , se le determine su valor medio es decir: ( )=21cot1cot1 2 dpromedio Tomando como lmites aproximados 1= 30y2= 60se obtiene: ( ) | | 1 ln6cot6030 = senpromedio Resultando finalmente: ( )( )( ) | | { }v h ev hdK K FSK KFS + + tan11 (2.35) Roberto Ucar Navarro 97La tabla No. 2.2 muestra los resultados utilizando laecuacin (2.35), los cuales se aproximanbastantebienalcompararseconlosvalorescorrectosobtenidosa travs de la ecuacin (2.23). TABLA No. 2.2 COMPARACION DERESULTADOSENTREEL(FS) OBTENIDOPORMETODOS APROXIMADOS MEDIANTE LA ECUACION (2.35)YFS,SEGUNLAECUACION (2.23), UTILIZANDO LOS DATOS DEL EJEMPLO No. 2. Kh Kv Kcrtico (FS)min (FS)d 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,00 -0,05 -0,10 -0,15 -0,20 1,00 0,96 0,92 0,90 0,89 0,00 6,00 12,52 19,44 26,56 47,17 45,01 42,74 40,55 38,22 2,11=(FS)e 1,92 1,73 1,55 1,38 - - 1,90 1,71 1,53 1,37 0,10 0,20 0,30 0,40 0,05 0,10 0,15 0,20 1,05 1,12 1,19 1,16 5,44 10,30 14,62 18,43 45,84 44,81 44,06 43,54 1,81 1,58 1,39 1,24 1,80 1,56 1,37 1,22 2.5.- CALCULODELAFUERZADELANCLAJECONSIDERANDOEL CASOACTIVO Y PASIVO Los anclajes pueden ser activos, es decir se someten a traccin antes de que ocurra o exista cualquier movimiento de la masarocosa sobre la estructura.Estogeneralareaccininmediatadelasfuerzastangencialesresistentesdelarocaadyacentesalmiembroestructural(barraocables)pararesistirdichafuerzade traccin. Roberto Ucar Navarro 98 Lo anterior indica que la fuerzadeltiranteFareducelas fuerzasperturbadoraso actuantes, al ejercer una accin estabilizadora desde el mismo momento de su puesta en tensin. Enelcasopasivolosanclajesnosetensany actan exactamente como una fuerzaresistente,esdecirdichosanclajesentranenaccinoponindosealdeslizamientocuandoelmacizo rocoso ha comenzado a moverse. EnfuncindelafuerzapasivadesarrolladaFp ,sededucequelacomponente normaldelanclajeNp=Fpcos(-)multiplicadaporsucoeficientede rozamiento interno = tanactasimilarala fuerzadefriccinqueoponelaroca sobre el plano de discontinuidad. AdicionalmentelacomponentetangencialTp=Fpsen(-)intervieneen forma equivalente a la fuerza cohesiva de la roca. Bajo estas condicioneseltirantecomienzaaabsorberlas fuerzasdetraccin,justamentealiniciarseelmovimientoo desplazamiento de la masa de suelo o roca. Roberto Ucar Navarro 99Por otro lado, tomando en cuenta lo mencionadopreviamentese deducen ciertas ventajas de los anclajes activos con relacin alos pasivos, tal como lo menciona Ayala et al [5]. a)Los anclajes activos permiten utilizar laresistenciaintacta del terreno, por cuanto el desplazamientodelamasarocosa conduce a una disminucin de los parmetros de corte. Adicionalmentedichomovimientopuedellegaraproducirlaroturadel elemento que sirve de proteccin altirantecontrala corrosin, justamente en el instante en quelaresistencia delanclaje es completamente requerida. b) Los anclajes pasivosentranentraccinaloponerseala expansinodilatanciaqueseproduceenlosplanosde discontinuidaddelmacizorocoso cuando se inicia el desplazamiento a travs de dicho planos, dependiendo alavez de la existencia de las rugosidades. Por consiguiente la efectividad de un anclaje pasivo depender principalmente delamagnituddeladilatancia,lacualestrelacionadaconeltamaoylas durezasdelasrugosidades.Estoimplicaqueentaludesconstituidosporrocas blandasconplanosdediscontinuidadrelativamentelisos,losanclajespasivos son menos efectivos. Roberto Ucar Navarro 100 Enrelacinaesterelevantetema,esoportunomencionarladiscusiny comentarios sobre estos conceptos, que tuvieron lugar en la sesin No. 1,DesignofRockSlopesandFoundationsenel"SixteethSymposiumonRock MechanicsycelebradoenlaUniversidaddeMinnesotaenSeptiembrede1975 [17]. Igualmenteserecomiendaallectorelapndicetres,"FactorofSafetyfor Reinforced Rock Slopes", del excelente libroRockSlope EngineeringporHoeky Bray [1], conjuntamente conSeegmiller, B. [18]a travs del artculo "Artificial SupportofRockSlopes"(ThirdInternationalConferenceonStabilityin Surface Mining Society of MiningEngineers of AIME ). 2.5.1.-Caso Activo Alobservarlafigura(2.15)conjuntamenteconla(2.5),yaplicando nuevamente las condiciones de equilibrio resulta: = + + = 0 ) - sen( Fa - ) Rcos( - U N , 0 nF (2.36) = + + = 0 ) - cos( Fa ) sen( R - T, 0 tF(2.37) Siendo: Fa = fuerza activa del tirante =ngulo de inclinacin del anclaje con la horizontal Roberto Ucar Navarro 101 Ta NaFaSYohHPIOP = S0,15 H(mnimo)Zona de anclajeJky Figura 2.15 ) ( cos = a aF Ty = ( sen F Na a) , corresponden respectivamentea la componentetangencialynormaldelanclajeactuandosobreelplanode discontinuidad Roberto Ucar Navarro 102Observando la disposicin del anclajeindicadoenlafigura (2.15), y de acuerdo alsistemadeejescoordenadosescogido,elcualestubicadoenelprimer cuadrante,espositivocuandoelbarrenoperforadooanclajeestndirigidoshaciaarriba,ycuyo trmino en ingls es "up dip". Al reemplazar N y T en la ecuacin (2.13), se obtiene el factor de seguridad en la condicin activa (FS) , es decir: ( )( ) ( ) | |( ) ( ) + + + += costan . cos.Fa sen Rsen Fa U RsenH CFSa(2.38) Por otro lado en la frmula (2.14) se aprecia que el factorde seguridad previo al refuerzo es: ( ) | |( ) + + += =sen RU RsenH CFStan cos.31 Lo anterior implica que la expresin (2.38) se transforma: ( )( )( ) += costan .31Fasen FaFSa(2.39) Roberto Ucar Navarro 103 Al despejar Fa, queda: ( ) | |( ) ( ) ( )( ) | |( ) = + =fFS FSsen FSFSFaaaa 3 3 1 3tan cos/ (2.40) Siendo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tan cos + = = sen FS f fa a(2.41) Sustituyendo3=Rsen(+)yllamando(FS)=[FS)a-FS],laecuacin anterior indicada en forma adimensional es: ( )( )( ) =+ fFSsen RFa (2.42) Lgicamente habrun valor de la funcin f(), enlacualFa serun mnimo, y por ende f() serun mximo. Efectuando ( )( ) 0 ' = =fddf,yconsiderandoalavezque,y(FS)ason constantes resulta: Roberto Ucar Navarro 104 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 tan cos ' = = sen FS fa(2.43) Al simplificar se obtiene: ( )( )aFStantan = (2.44) De prrafos anteriores se sabe que unadelascondiciones de laroturaplanar esque>,porlotantoelvalorde ( ) )`((

= aFStanarctan siempreser positivo,loqueindica que la inclinacin ptima del anclaje estdirigida hacia arribaen (sentido ascendente). Desdeelpuntodevistaprcticoyconstructivosedificultanlaslaboresde instalacindelabarraocablesdeaceroaltratardecolocarlasdentrodelbarrenoencontradela gravedad, igualmente ocurre con lainyeccindelalechadaomorterode cemento. Seegmiller[18],recomiendaqueunaformadeevitarelmencionado obstculoescolocarelanclajebuzandohaciaabajo(downdip)convaloresdel ngulo = a= - 5 a -10de forma que la fuerzadel tirante se incremente poco Roberto Ucar Navarro 105con la relacin alamnimafuerzade traccin obtenido en funcin delnguloptimo = a. A pesar que no es la solucin idealelingenierogeotcnico, prefiere esta ltima alternativa, la cual esfcilmenteejecutableen el campo. Expresando f() = f( a ) en funcin de tan ( - ), se obtiene: ( ) ( ) ( ) ( ) | | tan tan cos + = aFS f(2.45) ( )( ) ( ) | |( ) | |2 / 12tan 1tan tan + += aFSf (2.46) Porotroladoatravsdelaecuacin(2.44),seapreciaqueelvalorptimodecorrespondecuandotan(-)=tan/(FS)a,logrndosedeterminarelmximovalordef()=f(a),alreemplazardichovaloren(2.46),porlo tanto: ( ) | |( )( )( )( ) | |212 22 / 1222maxtantan1tan+ =(((

++= aaaaaFSFSFSFSfimo (2.47) Roberto Ucar Navarro 106 Resultando por tanto, segn (2.42) : ( )( )( )( ) | |2 12 2mintan +=+aaFSFSsen RFima(2.48) 2.5.2.-Aplicacin Prctica Atravsdelaecuacin(2.40)sehaconstruidolafiguraNo.(2.16),lacualmuestralavariacindeFaenfuncinde, utilizando los datos del ejemploNo. 1,paraun nuevofactorde seguridad activo (FS)a. Por lo tanto a travs del mencionado ejemplo se tiene: FS = 1,22 (coeficiente de seguridad previo al anclaje) = critico= 45 = 10,30 , K = 1,118 , = 76, = 30y = 20.000,00kN/m ( )118 , 1 . / 00 , 000 . 2045 . 7631..m kNsen sensenKsen sensenR)` =)` = R = 16.785,02 kN/m (FS)=1,50,coeficientedeseguridadactivo,elcualseincrementadebidoal reparto de tensiones que se generan a travsdeltirante anclado dentro del macizo rocoso obtenindose por un lado un aumento enla resistencia al cizallamiento de laroca,yporotrocomoconsecuenciadelasustraccindelasfuerzas tangenciales actuantes. Roberto Ucar Navarro 107 Angulo de inclinacin(-ve)-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 (+v )24252627282930313233(Fa)x10 ,KN/m2eFUERZA DE ANCLAJE Figura 2.16VariacindelafuerzaactivaFa enfuncindelainclinacindel

tiranteanclado . El nguloes positivo

hacia arriba (up dip ) Roberto Ucar Navarro 108Al tomar en cuenta (2.42) se obtiene el valor ptimo de,es decir: ( ) 385 , 050 , 130 tan45 tan == = a= 24 Utilizandolaecuacin(2.42)larelacinFa /Rsen(+)=Fa /3,esla siguiente: ( )174 , 030 tan 21 21 cos . 5 , 128 , 0= + =+ sen sen RFa Es decir,se requiere una mnima fuerza del tiranteparaalcanzar un (FS)a=1,50 , del 17,4% de las fuerzas tangenciales movilizadas.Por tanto: Fa = 0,174 . 16.785,00 kN/m . sen55,3 Fa 2.400,00 kN/m de longitud de talud Finalmenteesimportantedestacar,queatravsdelaecuacin(2.38),elanclaje activoejercedosaccionesbeneficiosasparagarantizarlaestabilidaddelamasa rocosa potencialmente deslizante. Primeramente,sucomponentetangencialTaparalelaalplanodediscontinuidad se resta a las fuerzas que tiendenaprovocarlo,y por otra parte, la componente normaladichoplanoNa=Fasen(-)aumentalaresistenciaalcortedela discontinuidad. Roberto Ucar Navarro 109 Porlotantoenlaexpresinquedefineelnuevocoeficientedeseguridadactivo (FS)a,resultaenunadisminucindeldenominadoryenunaumentoenel numerador. La tabla 2.3, muestra igualmente la variacin de Fa enfuncin de , al emplear la ecuacinFa = R sen( + ) (FS)/f(). En la mencionada tabla se observa para el casoparticularque la inclinacin del anclaje = -20, la fuerza :(Fa)=-20= 1,388 . (Fa)=24 Es decir(Fa)=-20= 1,388 . 2.400,00 KN/m 3.331,00 kN/m. TABLA 2.3 VARIACION DE LA FUERZA DEL TIRANTE ANCLADO Fa EN FUNCION DE D, UTILIZANDO LA ECUACION (2.42) (Fa)activo, KN/m f(ptimo)/f() 40 35 30 = a = 24 (ptimo) 20 15 10 5 0 2.508,00 2.446,00 2.414,00 2.400,00 = (Fa)mnima 2.414,00 2.431,00 2.477,00 2.542,00 2.628,00 1,045 1,019 1,006 1,000 1,006 1,013 1,032 1,059 1,095 -5 -10 -15 -20 2.741,00 2.897,00 3.091,00 3.331,00 1,142 1,100 1,288 1,388 Roberto Ucar Navarro 110 2.5.3.-DeterminacindelaSeparacinentreAnclajesRequeridapara Garantizar la Estabilidad. El readeaccindecadatiranteanclado,ascomoelnmerorequeridopara estabilizar la masa rocosa, se determinanpartiendo delhecho que se conocen las caractersticasdelanclajetalescomodimetro,tipodeacero,cargaadmisibleotraccinadmisibleTa,(serviceloadodesignload).Igualmenteellmite elsticodelaceroTg(Ta=0,6Tg)quecorrespondeal0,1%dedeformacin,y latensindebloqueoTb,(Ta=Tb-prdidasporrelajacindelacero, deformacin del suelo o roca, etc.). Bajoestascondiciones,elnmerodeanclajesNenfuncindelalongitudtotal del taludLtFayTa,seobtienemediantela siguiente igualdad: FaLt= NTa (2.49) Para Fa en kN/m , Lten m y Ta en kN ||.|

\| =at aTL FN(2.50) Roberto Ucar Navarro 111 Al mismo tiempo, es posible escribir en funcindel readel talud a estabilizar, la expresin: (Sc Sf ) N = Lt (H/sen)(2.51) SiendoSclaseparacinenmetrosdelosanclajesentreunamismahilera (separacin lateral entre columnas)ySf ladistanciaen metrosentre filas. Eliminado (N) a travs de (2.50) y (2.51) y considerando adems que S = Sc = Sf

resulta: ||.|

\|=||.|

\| senHtLaTtLaFS2(2.52) Por tanto: ||.|

\| =aFaTsenHS(2.53) Roberto Ucar Navarro 112Tomandoencuentanuevamenteelproblema No. 1, en el cual H= 30,00 m, =76, Fa = 2.400,00 kN/m y sabiendo adems que Ta = 410 kN, barra 32DY, ST 85/105, se obtiene: mm kNkNsenmS 30 , 2/ 00 , 400 . 200 , 4107600 , 302 / 1=((

= De dicho resultado yanlisisseapreciaquelosanclajes deben colocarse sobre unacuadrculade2,30mpor2,30m,conunacargaadmisibledetrabajoigual a Ta = 410,00 kN. 2.5.4.-Caso Pasivo Talcomosemencionenelprrafo(2.6),enlosanclajespasivosnosepretensalaarmadurametlicaposteriora su instalacin. El anclaje reacciona al entrarentraccinaliniciarseel movimiento del terreno, produciendounincrementodelosesfuerzosnormalessobrelasuperficie potencial derotura,yporendeun aumento de la resistencia al corte en dicha superficie. En base a lo previamente mencionado, tanto la componentede la fuerzanormal delanclajeNp=Fpsen(-)comolacorrespondientecomponentetangencialTp=Fpcos(-)sondependientesdelafuerzapasivaFp,lacual justamente se desarrolla al ocurrir el movimiento de la masa rocosa, generando a Roberto Ucar Navarro 113lavezunaumentodevolumen,elcualestrelacionadoconlapresenciade rugosidades. En estas condiciones, laecuacin(2.14)querepresentael factor de seguridad FS=1 /3previoalrefuerzo,setransforma para el caso pasivo como sigue: ( )((

+ +=31tan p pN TFSp (2.54) Reemplazando Tp y Np por su valor, queda: ( )( ) ( ) | |31tan cos + +=sen FFSpp (2.55) Al despejar Fp, se obtiene: ( ) | |( ) ( )( ) | |( ) = + =fFS FSsenFSFp pp3 3 1 3tan cos/ (2.56) Siendo: ( ) ( ) ( ) ( ) tan cos + = = sen p f f(2.57) Roberto Ucar Navarro 114 Sustituyendo3=Rsen(+)(FS)=[(FS)p-FS]yexpresandoenforma adimensional la ecuacin (2.56), resulta: ( )( )( ) =+ fFSsen RFp (2.58) NuevamenteelmnimovalordeFpseobtendr alconsiderar ( )0 =ddf,es decir: ( ) ( ) ( ) 0 tan cos ' = = sen f (2.59) Simplificando (2.59) se transforma: tan( - ) = tan(2.60) Por lotanto, ( - ) = (2.61) y = p= ( - ) (2.62) Alreemplazarelptimovalorde=p=(-)enlaecuacinpreviamente conocidaf() = cos( - ) + sen( - )tan, resulta: ( ) | | ( ) cos1coscos2= + = = senf fmximo p Roberto Ucar Navarro 115 Esto implica que la mnima fuerza a desarrollarse en el anclaje para el caso pasivo seobtienealreemplazar( ) ( ) | | cos1max= = imopf f enlaecuacin(2.56),es decir:( )( )( ) FSRFpminima =+cossen (2.63) Conelobjetodeequipararamboscasos,setomarencuentanuevamenteel ejemplo No. 1, para determinar la mnimafuerzapara el caso pasivo Fp. Al considerar = 45y = 30, elngulo ptimoqueforma el anclaje con la horizontal es segn (2.62) p= ( - ) =15,y al considerar (2.63): ( )( )242 , 0 28 , 0 30 cosmin= =+ sen RFimap Estoimplica,alcompararseconelcasoactivoquelafuerzarequeridaes1,39 veces mayor. Porotrolado,siseexaminalarelacinentreFayFpatravsdelasecuaciones (2.42) y (2.58), se obtiene: Roberto Ucar Navarro 116( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ))` + + =((

= tan costan cosa a apapsen FSsenffFpFa p(2.64) Al observar dicha ecuacinseapreciaqueparavaloresde a = p ,se obtiene quef(a)>f(p),yporlotantoFaser menorqueFp,loqueresultaenuna economaalconsiderarelcasoactivo,puesimplicamenosperforacin,menos armadura metlica, reduccin en lalechada de cemento, etc. Por supuestolaresistenciadesarrolladaporlosanclajes pasivos es ms difcil de interpretar que los activosdebidoala expansin o dilatancia que se produce en la discontinuidad. EnestesentidoelCanadCentreforMineralandEnergyTechnology (CANMET) en el captulo6delPitSlopeManual[19] explica que la fuerza desarrollada en la barra o cordonesdeacero como consecuencia de la dilatacin al utilizarlaconocidaLey de Hookees|.|

\| =LA E Fpe, siendo A, elrea de laarmadurametlica,E,sumdulodeelasticidad(200x106kPa),e correspondealaexpansinyLlalongitudtensionadacomoresultadodela dilatancia. Roberto Ucar Navarro 117Lgicamente se aprecia lo complicado y difcil de calcularey L con precisin.Porelcontrariolaresistenciasuministrada porlosanclajesactivosest muchomsdefinida,proporcionandounafuerzadefinidaatravsdeunsoportems seguro y eficaz. 2.6.-DETERMINACION DE LA LONGITUD DEL ANCLAJE Lalongituddeunanclajeinyectadosedeterminaconociendolalongitudde interseccin entre el anclaje y la superficiepotencial de deslizamiento de la masa de suelooroca,quecorrespondeal tramoPI de la figura (2.15). Adicionalmente debe considerarselalongitudmnimaJ I que garantice que la zonadeanclajeseencuentrelocalizadaenlarocaestable,esdecirtodasu longitud debe quedar por detrs de la zona potencial de rotura. Esta condicin esdegranimportancia,sobretodoenlos anclajes inferiores. DeacuerdoalCanadianFoundationEngineeringManual[20],estalongitud medidaalolargodelaperforacinesdeun15%delaprofundidaddela excavacin o altura del talud (H). Enbasealopreviamenteindicadolalongitud( ) J I PI LL+ = correspondeala zonalibre,yeslaparteenquelaarmaduraseencuentraindependizadadel terrenoquelarodea,deformaquepuedadeformarseconplenalibertadal ponerse en tensin. Roberto Ucar Navarro 118Porotroladoatravsdelafigura(2.15)seobservaquelalongitudlibredel anclajeesladistanciaentrelacabezadelanclajeyeliniciodeltramo inyectado. Finalmente la zona de anclaje SL JK = , es la parte solidariaa la masa de suelo o deroca,encargadadetransferirlosesfuerzosalterreno,ycorrespondealalongituddelmiembroinyectadodel anclaje. De acuerdo a la mencionada figura se observa: ( ) ( ) = sen senOP PI (2.65) h OP = senEs decir: ( )( )((

= sensensenhPI(2.66) Quedando por tanto: Roberto Ucar Navarro 119( )( )( )S S LL HhL L L +((

+ = + = 15 , 0sensensen (2.67) Siendo h, la cota del anclaje en metros, medida a partir del pie del talud, ver figura (2.15). Como se sabe la longitud de la zona del anclaje vienedefinida por la adherencia cemento-aceroycemento-roca(osuelo),escogindoseparafinesde diseo la de mayor longitud. Siseconsideralacondicinmscrticaelcontactocemento-roca,lacual correspondealcasomsgeneral,talcomoseanalizenelcaptuloanterior,la longitud delbulboodelanclajeLSviene expresada a travs de la ecuacin (((

=r u pqSFL/ (2.68) Siendo: q= 1,40 a 2,00 = factor de mayoracin de la carga aplicada (vara dependiendo del tipo de riesgo y si es temporal o permanente). F= fuerza de traccin en el anclaje, kN Roberto Ucar Navarro 120Tomando en cuenta que es necesario obtener la mayor economa en el soporte, es aconsejableaplicareneldiseolacondicinenlacualF=Ta(traccin admisible). p=dimetro de perforacin (barreno), m u=resistencia alcorteen la interfase cemento - roca (adhesin + friccin),lacualparafinesprcticosseconsiderauniformementedistribuida, MPa. Muchosautoresserefierencomoresistenciaadherenteo"Bond"(trminoen ingls). r =factor de seguridad, el cual acta como elemento de minoracin o reduccin conrespectoalaresistenciaalcorteenelcontactobulbo-terreno.Dicho valorvaraentre1,30a1,50dependiendodelacategoradelanclaje (temporal o permanente). BalliviyMartin[21],mencionanquelasnormascanadiensesrecomiendan c u 101= o 'cf (elqueresultemenor),siendocy 'cf laresistenciaala compresindelaroca(condicinintacta)ydelalechadadecemento respectivamente. Considerando que la roca del ejemplo No. 1,seencuentramuy diaclasada (con separacinentre1015cm)ymeteorizada,siendoademslaresistencia Roberto Ucar Navarro 121promedio c = 8,00 MPa,elvalor de LS empleando un coeficiente mayoracin deq =1,80, p=7,50 cm, Ta= 410 kN y un factor de minoracin r = 1,5,resulta por lo tanto de acuerdoa la ecuacin (2.68): ( ) mm kN mkNLS00 , 6 87 , 5/ 1000 , 1500 , 8075 , 000 , 410 80 , 12 3 = |.|

\|= Utilizandola primera hilera de anclajes se observaa travs de la figura 2.15 que la separacinOP = S = 2,30 mcon respecto al pie del talud,siendo la ordenada analizada igual ah=S sen = 2,30 sen76 = 2,23 m.Por lo tanto, la longitud totaldelamencionada hilera al considerar los valores de = 76 ; = 45 ; = - 10y H = 30 m,se obtiene segn la ecuacin (2.67) como a continuacin se indica: ( )( )((

+ + + = 00 , 6 00 , 30 15 , 010 4545 767623 , 2msensensenmL L = (1,45 + 4,50 + 6,00) m 12,00 m (primera hilera) Roberto Ucar Navarro 122REFERENCIAS 1.-HOEK, E. y BRAY,J.(1981), "Rock Slope Engineering", The Institution of Mining and Metallurgy, London 358 p. 2.-SALCEDO,D.(1978),"ElUsodelasProyeccionesHemisfricascomo Tcnica de Prediccin y Anlisis de Problemas RelativosaEstabilidad deTaludesenMacizosRocosos",EscueladeGeologayMinas,Facultad de Ingeniera, U.C.V., 78 p. 3.-BARRON,K.COATS,F.yGYENGE,M.,(1971),"ArtificialSupportof RockSlopes",DepartmentofEnergy,MinesandResourcesMines Branch, Ottawa, 144 p. 4.-UCAR,R.(1988),"NewDesignMethodsofGroundAnchoring",PhD Thesis, Mc Gill University, Montreal, Canada, 288 p. 5.-AYALA,L.etal(1987),"ManualdeTaludes", InstitutoGeolgico y Minero de Espada, 450 p. 6.-SALCEDO,D.,(1983),"MacizosRocosos:Caracterizacin, ResistenciaalCorteyMecanismosdeRotura",Conferencia25 AniversarioSociedadVenezolanadeMecnicadeSueloseIngenierade Fundaciones, pp 143-215. 7.-BIENIAWSKI,Z.T.,(1976),"RockMassClasificationinRock Engineering",ProceedingsofTheSymposiumonExploration for Rock Engineering,Vol.1, A.A.Balkema, Rotterdam, pp 97-106. 8.-BARTON, N. LIEN, R.y LUNDE, J.,(1974), "Engineering Clasification of Rock Masses for the Design of Tunnel Support", Rock Mechanics, Vol. 6, No. 4, pp 189-236. 9.-HOEK,E.YBROWN,T.(1998)PracticalEstimatesofRockMass Strength,InternationalJournalofRockMechanicsandMiningSciences, Volume 34, No. 8, pp 1165-1186. 10.-HOEK,E.yBROWN,T.(1986),EmpiricalStrengthCriterionforRock Masses,JournaloftheGeotechnicalEngineeringDivision,Vol106,pp 1.013-1.035. Roberto Ucar Navarro 12311.-UCAR,R.(2000),DiseodelSostenimientodeTnelesatravsdela Energa de Distorsin Almacenada en el Terreno, Ingeo Tneles, Volumen 3, Entorno Grfico, S.L, Madrid, Espaa. 12.-UCAR,R.(1986),DeterminationofShearFailureEnvelopeinRock Masses, Journal of the Geotechnical Engineering Division, Vol 112, No. 3, pp 303-315. 13.-PRIEST,S.(1993),DiscontinuityAnalysisforRockEngineering, Chapman & Hall, 473 p. 14.-PARRY, R. (1995), Mohr Circles, Stress Paths and Geotechnics, E & FN SPON, 230 p. 15.-PALMSTRM,A.(1998),CharacterizingRockMassesbytheRMifor UseinPracticalRockEngineering,TunnellingandUndergroundSpace Technology,Part1:TheDevelopmentoftheRockMassIndex(RMi), Volumen II, No. 2, pp 175-188,Part 2:Some Practical Applications of the Rock Mass Index (RMi), Volume II, No. 3, pp 287-304. 16.-RecomendationsClouterre(EnglishTraslation)(1991),SoilNailing RecommendationsforDesign,Calculating,ConstructingandSupport SystemsUsingSoilNailing,ReportNo.FHWA-SA-93-026,Federal Highway Administration, Washington DC, 302 p. 17.-DESIGN METHODS IN ROCK MECHANICS, (1975), "Session 2, SlopesandFoundations,GeneralDiscussion,Proceedings,.Sixteenth SymposiumonrockMechanics,PublishedbyAmericanSocietyofCivil Engineers, pp 63-68. 18.- SEEGMILLER, B. L., 1982, "Artificial Support ofRockSlopes". 3rd Int. Conf.onStabilityinSurfaceMining,Soc.ofMiningEngineers,AIME, pp 249-288. 19.- CANADACENTREFORMINERALANDENERGYTECHNOLOGY,CANMET,(1977),PitSlopeManual,Captulo6, Mechanical Support,111p. 20.- CANADIAN GEOTECHNICALSOCIETY, 1985,"Canadian FoundationEngineering Manual", 2nd Edition, Vancouver, 3.c, 460 p. 21.- BALLIVY,G.yMARTIN,A.,(1984)."TheDimensioningofGrouted Anchors"ProceedingsoftheInt.SymposiumonRockBolting,Editedby Ove Stephansson, A.A. Balkema, Rotterdam, pp.353-365. Roberto Ucar Navarro 124 APNDICES Roberto Ucar Navarro 125 APENDICE A 1.DETERMINACIONDELARESISTENCIAALCORTEENMACIZOS ROCOSOSAPLICANDOELCRITERIOEMPIRICODEROTURADE HOEK Y BROWN AcontinuacinsedescribelanuevahiptesisderoturapropuestaporHoeky Browntantoenrocaintactacomoenmacizosqueexhibencaractersticas predominantes de diaclasamiento y metereorizacin. Atravsdeinnumerablesensayosdelaboratorio,conjuntamenteconlos fundamentos tericos que existen sobre fractura y propagacin de grietas en roca, Hoek y Brown [1], hallaron una nueva hiptesis emprica de rotura estableciendo la siguiente relacin entre los esfuerzos principales 1 y 3, es decir: 2 / 133 1 ((

+ + = s mcc En forma adimensional(A.1) 2 / 13 3 1((

+ + = s mc c c Roberto Ucar Navarro 126Donde: 1 = esfuerzo principal mayor en la rotura 3=esfuerzo principal menor en la rotura c =resistencia a la compresin simple de la roca intacta m,s = constantes que dependen de las propiedades de la roca Elparmetro(m)controlalacurvaturaentrelosesfuerzosprincipales,mientras que (s) regula la localizacin de la curva entre 1 y 3. EnlatablaA.1,sepuedenapreciarlosdiferentesvaloresdemys,dependiendo del grado de diaclasamiento y de meteorizacin del macizo. La resistencia a la compresin simple de la roca intacta c se obtiene al tomar en cuentaquenoexisteconfinamientolateral(3=0),yqueademss=1, resultando a travs de (A.1) que 1 = c. Cuando el macizo presenta planos de fracturas, s < 1.Por lo tanto la resistencia a la compresin de la masa rocosa cm es una fraccin de c, como podr apreciarse ms adelante. Roberto Ucar Navarro 127Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuacin (A.1) y despejando 3 resulta: ( )2 / 1212 21 34 4212c c c cs m mm + + ((

+ = (A.2) Tomandolaraznopositivade( )212 24 4c c cs m m + + yaque3 corresponde al esfuerzo principal menor, se tiene por tanto: ( )2 / 1212 21 34 4212c c c cs m mm + + ((

+ = (A.3) La resistencia de la traccin t se determina al considerar 1 = 0, as la ecuacin anterior toma la forma: ( )((

+ = =2 / 12342s m mct (A.4) A travs de (A.1) y (A.4) se aprecian los lmites de s, es decir: s = 1, 1 = croca intacta s = 0,3 = t = 0 roca muy fracturada De lo anterior resulta, que para otros estados intermedios del macizo rocoso, (s) se encontrara dentro del entorno 0 < s < 1. Roberto Ucar Navarro 128Elvalordemenrocaintactapuedehallarsemidiendoelnguloqueformala superficie de falla con la direccin del esfuerzo principal menor 3. Comoseobservaenlafigura(A.2)lamagnitudde()sedeterminamediantela siguiente expresin: 2 / 12 / 132 / 13121 tan)`||.|

\|+ + =((

=s mmc(A.5) Considerando que: s = 1roca intacta 3 = 0ensayo de compresin sin confinar Resulta: |.|

\|+ =212mtan (A.6) m = 2 (tan2-1)(A.7) Porotraparte,Ucar[2]aplicandodichocriterio,determinanalticamentela solucin exacta dela envolvente de rotura, es decir la ecuacin que gobiernala Roberto Ucar Navarro 129resistencia al corte , conjuntamentela tensin normal n tal como se especifica a continuacin: ((

=iicsen m tan18(A.8)

i =inclinacindelaenvolventedefalla.Seconocetambincomongulode friccin interna instantneo (ver figura A.1). ((

+ =2 4i =nguloentrelasuperficiedefallayladireccindelesfuerzo principal menos 3. ((

+(((

+=ms msensenmc iic n1632182 (A.9) Los valores de m y s en funcin de RMR, pueden obtenerse de acuerdo a Hoek y Brown[3]mediantelasiguienteexpresincuandolarocahasidocorrectamente excavadamediantevoladuracontrolada(sinserperturbada),ycuandohasido perturbada. Roberto Ucar Navarro 130 1,00 (rocaperturbada) ((

=miIRMRm m14100exp Im =(A10) 2,00 (roca no perturbada)

m i =valor de m en la condicin intacta, ver tabla anexa. 1,00 (rocaperturbada) ((

=sIRMRs6100exp Is = (A.11) 1,50 (rocano perturbada) Recientementedichosautores [4], han propuesto determinarmysenfuncinde unnuevondicedecalidaddelaroca,conocidocomondicederesistencia geolgicaGSI(GeologicalStrengthIndex),porconsiderarqueseobtienen valores ms reales (vase tabla A.2). Al tomar en cuenta este nuevo ndice resulta: ((

=28100exp .GSIm mi (A.12) ((

=9100expGSIs Roberto Ucar Navarro 131UtilizandolosgrficosA3yA4desarrolladosporHoekyBrownoempleando lasecuacionesderivadasporUcarenesteapndicelosvaloresequivalentesde cohesin y ngulo de friccin se obtienen fcilmente. CabedestacarquelosgrficosobtenidosporHoekyBrownparadeterminarlos mencionados parmetros, se basan en que el esfuerzo principal menor vara entre 3/c = 0 a 3/c = . En este sentido, lo ms lgico y correcto es emplear un rango de 3/c el cual se ajuste lo mejor posible a las condiciones de campo. DeacuerdoaHoek,KaiseryBawden[5],elndicederesistenciageolgica (GeologicalStrengthIndex)GSI=RMR76,paravaloresdeRMR76>18ypor otra parte ,GSI = (RMR89 5), cuando la calidad del macizo rocosoRMR89 > 23. Roberto Ucar Navarro 132 Tabla A.1.- Valores tpicos de los parmetros del criterio de rotura de Hoeky Brown. Roberto Ucar Navarro 133 13 311CCCt 12m24 S12tt t3m S C3 13CmESFUERZO PRINCIPAL MENOR ESFUERZO PRINCIPAL MAYOR C+ =+ Figura A.1 Relacinentre los esfuerzos principales de acuerdo al criterio de rotura de Hoek y Brown [1] Roberto Ucar Navarro 134 FiguraA2. Envolvente de rotura por cizallamiento representada a travs del diagrama de Mohr

Roberto Ucar Navarro 135 Tabla A.2 ndice de Resistencia Geolgica GSI, segn Hoek y Brown [4] GEOLOGICALSTRENGTHINDEXde la superficie de lamasa rocosa,seleccionar el intervaloA partir de la descripcin de la estructura y las condicionesapropiado deesta grfica.Estimarel valorpromedio del GeologicalStrengthIndex(GSI)dedicho intervalo. No intentarsertanpreciso.42 Escoger un rangode GSI de 36 a es msaceptable quefijarun GSI=38.Tambines importante reconocer queel criteriodeHoek-Brown deberaser aplicada solamenteen macizos rocosos donde el tamaode los bloquesofragmentos es pequeo comparado con eltamao de la excavacin aserevaluada.Cuandoeltamaodelosbloquesindividualeses aproximadamentemayor a un cuarto de la dimensin de la excavacin, generalmente la falla estara controlada por la estructurayel criteriode Hoek-Brown no debera ser utilizadoEXTRUCTURA INTACTAS O MASIVAS - rocas intactas o rocasmasiva in situ con pocas discontinuidadesseparadas ampliamente.FRACTURADA.- Macizo rocoso poco perturbadoconsistente de bloques cbicos formados por tressistemasortogonalesdediscontinuidades,muybin unidos estre s.Perturbado consistentedebloques angularesunidos MUY FRACTURADA.- Macizo rocoso parcialmenteentres,formadosporcuatrooms sistemasdediscontinuidadesplegado y/o fallado con bloques angulares formadosFRACTURADA / PERTURBADA - macizorocoso por lainterseccindevarios sistemasdediscontinuidades Fracturado con mezcla de fragmentos angularesDESINTEGRADA-macizo rocoso alternante yredondeados, pobremente unidos entre sFOLIADA/LAMINADA - macizo rocoso foliado, plegadoycizalladotectnicamente.LaesquistosidadprevaleceDiscontinuidades, completamente carente de bloques.CONDICION DE LA SUPERFICIEDISMINUCIN EN CALIDAD DE SUPERFICIEMUY BUENAMuy rugosa , superficies sin meteorizacinBUENARugosa, ligeramente meteorizada, superficiesteidas de xidoMEDIAPlana, moderadamente meteorizada, superficiealteradasMALAEspejos de falla, superficies muy meteorizadascon rellenos de arcilla blancaMUY MALAEspejos de falla, superficies muy meteorizadascon rellenos duros o de fragmentos angulares9080N/A N/A N/A706050403020105N/A N/ADISMINUCIN EN LA UNIN DE LOS BLOQUES DE ROCA Roberto Ucar Navarro 136 5550454035302520151010 20 30 40 50 60 70 80 905710131620253035miAngulo de friccin interna, gradosIndice de calidad de Resistencia Geolgica GSI. Figura A.3.Valores del ngulo de friccin interna equivalente ien funcindelndice GSI ymi segnHoek y Brown [4], correspondiente alintervalo 0 c3 0,25 Roberto Ucar Navarro 137 3530252016137105im20 10 30 40 50 60 70 80 900.0080.010.020.030.040.050.060.080.100.20Cohesin/Resistencia a la compresin simple de la roca intacta Figura A.4.Valores de la relacin cohesin equivalente /resistenciaala compresinsimple (C/c ) en funcindelndice GSIy mi ,

definidos en elintervalo 0 c3 0,25 Roberto Ucar Navarro 138 2.DETERMINACIONDELOSPARAMETROSDECORTE EQUIVALENTESCYENFUNCIONDELOSCOEFICIENTESmys DEL CRITERIO EMPIRICO DE ROTURA DE HOEK Y BROWN. Empleandolaecuacin(A.1)lapendientedelacurvaquevincula1y3al aplicar el criterio emprico de rotura de Hoek y Brown es: 2 / 133121||.|

\|+ + =||.|

\|s mmc(A.13) Tomandoencuentaque=3/c,elvalorpromediodelapendienteenel intervalo [1, 2] puede representarse a travs de la ecuacin: ((

++=||.|

\|21. 5 , 01) (11 2 31 ds mmpromedio(A.14) Llamando a la pendiente promedio tan, en integrando se convierte en: ( )211 1 tan1 2 ((

++ =sm s(A.15) Roberto Ucar Navarro 139Enestascondicionesesrecomendableconsiderar1=3/c=0y2variable. Lgicamenteelcoeficiente2debedeterminarseenfuncindelestadotensional existente en el macizo rocoso. Por lo tanto: )`((

+ + = 1 1 1 tan22sm s(A.16) Si 2 = , la ecuacin anterior toma la forma: )`((

+ + = sms44 1 tan(A.17) Al aplicar el bien conocido criterio de rotura de Mohr-Coulomb, la relacin entre los esfuerzos principales es: 1 = 3 . K + c(A.18) Siendo: ( )||.|

\|+= + =sensenK112 / 45 tan2 = pendiente de la lnea de resistencia intrnseca. Roberto Ucar Navarro 140Al considerar que tan = K, la ecuacin (A.17) puede expresarse en funcin de en el intervalo cerrado 0 3/c mediante la ecuacin: ((

+ + = + sms44 1 ) 2 / 45 ( tan2 (A.19) Deestaformaesposibleestimaraproximadamenteelngulodefriccininterna equivalenteaplicandoelcriterioderoturadeHoekyBrown,empleandoun conocido rango de valores de la tensin principal menor 3. El valor de la cohesin a travs de la tangente a la envolvente de rotura se obtiene considerando que: ((

||.|

\| =313 13121 C (A.20) Utilizando(A.1)ysuderivada ||.|

\|31,elvalorpromediodelacohesin equivalente es: )`||.|

\||.|

\|+ (((((

|.|

\|+ |.|

\|+ =||.|

\|122 211 221 2coscosln16245 tan . tan245 tan . tanln16 ) (180 mms m Cc

(A.21) Roberto Ucar Navarro 141Los valores de 1 y 2 se determinan empleando la ecuacin (A.5), es decir: 2 / 12 / 132 / 13121 tan((((((

||.|

\|+ + =||.|

\|=s mmc (A.22) Siendo: = (45 + i/2) = ngulo que forma el plano de falla con la direccin del esfuerzo principal menor 3. Por tanto:( )( ))`+ + = + 2 / 1221 45 tans mmi (A.23)

En estas circunstancias si031=||.|

\|= =c y ||.|

\|= =c 32 se obtiene: Roberto Ucar Navarro 142( ))`+ = + sm21 2 / 45 tan12 , cuando 1 = 3/c = 0 (A.24) ( ))`+ + = + s mm22221 2 / 45 tan Para el caso particular que 2 = 3/c = , resulta: ( ))`++ = + s mm41 2 / 45 tan22 Otra forma ms expedita es utilizando de acuerdo a Ucar [2] la siguiente ecuacin entre los esfuerzos principales: ( )2' 1 23 1 + = (A.25) Al reemplazar (A.1) y (A.8) en la ecuacin anterior y tomando en cuenta adems que intandd=||.|

\|= ' , resulta: iiiccsen ms m sectan1823||.|

\| = + (A.26) Roberto Ucar Navarro 143 Al simplificar la ecuacin anterior se transforma: )`+ + = =m s mmsen senci 34(A.27) Por tanto: Si031=||.|

\|=c y 4132=||.|

\|=c Resulta: |.|

\|+ =m sm4sen1 (A.28) )`+ + =m s mm4 2sen2 Siendo adems: )`((

||.|

\| =||.|

\|ssenmmc231141 (A.29) Roberto Ucar Navarro 144 Una vez conocidos los parmetros de corte equivalentes C y =i , el valor de la resistencia a la compresin simple de la masa rocosa cm puede calcularse a travs de la conocida expresin: cm = 2 C tan(45 + /2) La cual es equivalente a escribir:(A.30) ) 2 / 45 tan( 2 + ||.|

\| =||.|

\|c ccmC Hoek [6] en una forma aproximada ha determinado la siguiente ecuacin: GSIccme. 038 , 0022 , 0 =(A.31) De una manera ms general la ecuacin (A.1) puede expresarse en la forma: as mc c c||.|

\|+ + =3 3 1(A.32)Siendo: ((

|.|

\| =20065 , 0GSIa , si GSI 30(A.33) Roberto Ucar Navarro 145Cuando GSI 30, a =1/2 Por lo tanto, si (3/c) vara entre 0 a , se obtiene: )`(((

|.|

\|+ + = + =aas smK44 1 ) 2 / 45 ( tan2(A.34) Si GSI = 20s = 0 Porotrolado,unprocedimientoaproximadoparaobtenerlacohesindentrodel intervalo 0 3/c es a travs de las frmulas: ( ))`(((

|.|

\|++ +||.|

\|++114 ) 1 (1321 2aas sma mKKCc(A.35) Si a = 1/2, se obtiene: ( ))`(((

|.|

\|++||.|

\|2 / 32 / 34 32321 2s smmKKCc(A.36) Roberto Ucar Navarro 146Adicionalmente, como una primera aproximacin es recomendable considerar que 1 = 3/c = 0, debindose calcular 2 en funcin de la tensin principal mayor 1 o normal n. Tomandoencuentaporejemploqueseconoce(n/c)lospasosaseguirpara obtener 2 son los siguientes: 1.Representarlaecuacin(A.9)enfuncindeicomoacontinuacinse indica: 021sen sen2 3= + i i (A.37) 23 82+((

+||.|

\|= s mm cn (A.38) La solucin de (A.37) es segn Ucar [2]: ||.|

\|+)` +((

|.|

\| = 1344271 arccos31cos 233isen (A.39) 2.Unavezdeterminado i = 2,calcular2=(3/c)atravsdelaecuacin (A.29). Roberto Ucar Navarro 1473.En estas condiciones se obtiene: )`((

||.|

\| =||.|

\|= ssenmmc22321141 (A.40) Finalmente, conociendo 2 a travs de la ecuacin A.16 y tomando en cuenta que tan=tan2(45+/2),seobtieneelvalordeparaelrangoestablecidode tensiones. Empleando A.27 se determinan 1 y 2.Con dichos valores y los coeficientes m y s,conjuntamenteconlafrmula(A.21)secalculalaresistenciaaceroesfuerzo normal (C/c) en funcin del conocido campo de tensiones. 2.1.Aplicacin Prctica Conelobjetodeapreciarelprocedimientodeclculo,acontinuacinsellevaa caboelsiguienteejemploenuntaludconunaalturabastantesignificativade 50,00 m, en una roca ignimbrita (tobas soldadaso aglomeradas aunque de origen piroplstico estn constituidas casi exclusivamente por material magmtico).Este tipo de macizo rocoso aflora en las zonas de cimentacin de los puentes sobre el RoVirillayRoGrande,correspondientealproyectoCiudadColn-Orotinaen San Jos de Costa Rica. Roberto Ucar Navarro 148 El ndice de calidad de la roca y otras propiedades son las siguientes: GSI = 34 m = 1,70 mi = 18 s = 0,00065 c = 18,50 MPa = 20,00 KN/m3 Partiendodelhechoqueseconocepreviamenteelcampodetensioneselcual acta sobre el macizo rocoso, resulta: a)031=||.|

\|=c (cresta del talud) Al aplicar (A.27), se tiene: ((

+=+=70 , 1 00065 , 0 470 , 14sen1m sm1 = 70,63 n/c = 0,0088 (utilizando la ecuacin A.9) b)40 , 0 ||.|

\|Hn (base del talud) n= 0,40 . 0,020MN/m3 . 50,00 m n = 0,40 MPa y022 , 0 =||.|

\|cn Roberto Ucar Navarro 149Mediantelas ecuaciones (A.38) y (A.37), se obtiene que i= 2 = 50,97. Por lo tanto, al aplicar (A.40) el valor de 2 es: )`((

|.|

\|=||.|

\|= 00065 , 0 197 , 50 sen1470 , 170 , 11232c2 = 0,00838 Unavezconocidadicharelacin,elngulopromediodefriccininterna equivalentesedeterminaatravsde(A.16),tomandoencuentaademsla expresin tan = tan2 (45+/2), es decir: ( ) ( ))`((

+ + = + 1 00838 , 000065 , 070 , 1100838 , 000065 , 01 2 / 45 tan2( ) 52 , 12 2 / 45 tan2= + = 58,43 Elpasofinalesdeterminarlacohesinequivalente(resistenciaalcorteacero esfuerzo normal) en funcin de 1 = 70,63 y 2 = 50,97.Al considerar (A.21) y operar con varios decimales, resulta: ( ))` |.|

\| =||.|

\|898672 , 1 ln 106632 , 0644975 , 22352944 , 42ln1670 , 1) 66 , 19 (180 cC Roberto Ucar Navarro 150 ( ) { } 641155 , 0 106632 , 0 ) 626100 , 0 ( 106250 , 0) 66 , 19 (180 =||.|

\| cC 00537 , 0 =||.|

\|cCC = 0,00537 . 18,50 MPa 0,10 MPa 2.1.1. Anlisis de la Estabilidad de Taludes utilizando el Ajuste de los Parmetros de Corte Equivalentes Determinados Mediante Mnimos Cuadrados. En esta seccin se desea encontrar la mejor recta, es decir la mejor funcin con la forma tanCcnc c||.|

\|+||.|

\|=que se ajuste a una coleccin de datos dentro de un conocido intervalo a travs de la resistencia al corte ||.|

\| = tanmcsen 18. Estopermitirdeterminarlosparmetrosdecorteequivalentes(C/c)yenla cuallacurvaderesistenciaintrnsecaeslinealparaunrangoconocidode tensiones (n/c). Ademspodrcompararsedichosparmetrosconelprocedimientodesarrollado en los prrafos anteriores. Roberto Ucar Navarro 151Utilizando estos coeficientes se determinar el ngulo crtico de deslizamiento y el mnimo factor de seguridad empleando rotura planar. Acontinuacinseestudiarlaestabilidaddelarocaignimbritapreviamente mencionadaenlaseccin2.1enuntaludconunaalturadeH=50,00me inclinacin = 55.Siendo adems la sobrecarga q = 400,00 kN/m2 y = 0 (no se considera el efecto ssmico). a)Determinacin de los Parmetros Equivalentes Deacuerdoalafigura(A.5.),elesfuerzonormalpromedioconsiderandorotura planar puede calcularse a travs de las ecuaciones desarrolladas en la seccin 2.3, obtenindose: +

\|(((

|.|

\| +|.|

\|||.|

\|((

=||.|

\|212112) (HHHHsensenHsat n ( ))`|.|

\|||.|

\| + ||.| + sec cos221HHKHqw Si la altura del nivel fretico H1 = 0, resulta:(A.41) ( )( ) KHqsensenHn + ((

+=||.|

\| cos. 21 Al emplear la ecuacin (A.41), se posible observa que aproximadamente el valor promedioden/.H0,15a0,30,aunquetambinseencuentranvaloresde (n/H) menores al lmite inferior ya indicado. Roberto Ucar Navarro 152 Figura A.5. Tensin normal promedio actuando sobre la superficiepotencial dedeslizamiento . Roberto Ucar Navarro 153 Por otro lado, se ha considerado como una primera aproximacin que el esfuerzo normalactuandosobrelasuperficiepotencialdefallaeslineal,siendoadems dicho valor en la cresta del talud (n/.H) z =0relativamente bajo* , yen el pie del talud se encuentra poco ms o menos en el rango de (n/.H) z=H 0,20 a 0,40. Enestascircunstanciasseanalizarlaestabilidaddeltaluddentrodelsiguiente intervalo de tensiones: Cresta deltalud , z = 0valor de (n/c) cuando 3/c = 0 Piedeltalud,z=Hvalorde(n/c)correspondientean/.H0,40(valor estimado para efectos de clculo). Lgicamente,paradeterminarlaenvolventelinealyporendelasmagnitudes promedios de C y equivalentes, es necesario conocer previamente el intervalo de tensionesqueestactuandosobreelmediorocoso.Porlotanto,altomaren cuenta el mencionado campo de esfuerzos a lo largo de la superficie investigada, resulta: Valor de (n/c) cuando 3/c = (cresta del talud, z = 0) Valor de (n/c) cuando n/.H = 0,40, z = H = 50,00 m (base del talud) * La aplicacin del clculo variacional a la estabilidad de taludes ha demostrado que en la zona cercana a la cresta del talud es usual en ciertos casos obtener un campo de esfuerzos a traccin. Roberto Ucar Navarro 154n = 0,40 . 20,00 KN/m3 . 50,00 = 0,40 MPa 022 , 05 , 1840 , 0= =cn A la vez, es necesario conocer los valores de i para el entorno de n establecido.Por tanto, cuando 3/c = 0, el ngulo instantneo = i es al aplicar (A.27) |.|

\|+ = =m smi4sen sen (A.42) Al tomar en cuenta que m = 1,70 ys = 0,00065, resulta: = i = 70,63 (70) Por otro lado, la tensin normal es segn (A.9) 319132 , 0 00 , 7000 , 70 212125 , 02||.|

\| + =||.|

\|sensencn 00088 , 0 =||.|

\|cn , (3/c = 0, = i 70,z = 0 (cresta del talud) Cuando(n/c)=0,022,(n/.H0,40,z=H=50,00m),seobtieneal emplear (A.38) y (A.39) los valores de y i. es decir: Roberto Ucar Navarro 155 = 1,605329 sen = seni = 0,776816 = i = 50,97 Una vez conocido el intervalo de , es decir 50,97 70, el prximo paso es determinar (/C) dentro del mencionado entorno. Porlotanto,tomandoencuentay(n/c),conjuntamenteconlasecuaciones (A.8), (A.29) y (A.1) se ha elaborado la siguiente tabla la cual incorpora tambin los valores de (/c), (3/c) y (1/c) en el intervalopreviamente establecido. Tabla A.2 Resistencia al corte de la roca en funcin de un conocido rango de tensiones normales = 1 (n/c)(/c)(3/c)(1/c) 70*0,000880,0046600,0255 650,00280,009280,00075 0,0446 600,00660,016440,00216 0,0679 550,01310,02690,00497 0,09862 50,99**0,02200,038440,008380,13042 ||.|

\| =||.|

\|iictanm sen 18,m = 1,70s = 0,00065 )`((

||.|

\| =||.|

\|ssenmmc231141 s mc c c+||.|

\| +||.|

\|=||.|

\|3 3 1 *Valores en la cresta del talud(3/c = 0) , z = 0 **Valores correspondientes a la profundidad z = H = = 50,00 m (pie del del talud) n/.H 0,40 Roberto Ucar Navarro 156 ParadichointervalodeesfuerzoslosparmetrosequivalentesdeCyse determinan al emplear la bien conocida relacin lineal: tanCcnc c||.|

\|+||.|

\|= (A.43) Al emplear la tcnica de mnimos cuadrados, resulta: 00475 , 0 =||.|

\|cCC = 0,00475 . 18,50 MPa = 0,088 MPa tan = 1,578 = 57,63 Se aprecia que el ngulo difiere muy poco al compararse con el procedimiento indicado a travs de las ecuaciones (A.19) en el cual se obtiene que = 58,43. Sinembargo,seobservaquelaresistenciaalcorteaceroesfuerzonormal aplicando la tcnica de mnimos cuadrados es aproximadamente un 11,50% menor con respecto al valor con antelacin determinado (vase ecuacin A.21). Cabedestacarquelosresultadosobtenidoscorrespondientesalosvalores equivalentes del ngulo de friccin interna estn representados por el ngulo de Roberto Ucar Navarro 157friccinbsicob(determinadoenunasuperficiesuaveaparente)yelngulode rugosidadi,elcualdependedelasirregularidadesqueexhibalamasarocosa,es decir = (b + i). Por otro lado, de acuerdo al modelo propuesto por Barton [7] y ms recientemente por Barton y Bandis [8], se sabe que: ||.|

\| =ndJRC i'log10(A.44) Donde: JRC= Coeficiente de rugosidad en la discontinuidad. 0 JRC 20 JRC = 0 (superficie perfectamente suave) JRC = 20 (superficie muy rugosa) d =Resistencia a la compresin de la roca intacta adyacente a la discontinuidad, MPa n = Tensin normal efectiva, MPa Adicionalmente,esbienconocidoquepruebasdelaboratorioatravsde diferentes ensayos de corte han arrojado resultados del ngulo de rugosidad entre 40 a 50 los cuales estn relacionados con tensiones normales efectivas inferiores a los 0,70 MPa. Roberto Ucar Navarro 158 Estodemuestraclaramentequelosvaloresinstantneosdelngulodefriccin internasonmuyaltoscuandoelcampodetensionesnormalesefectivasesbajo, por el contrario dicho ngulo disminuye cuando el estado tensional aumenta. Esteltimoefectosedebecomoresultadodelaumentoprogresivodelatensin normal,loquegeneraquelasasperezasseancortadasocizalladasyporendese obtiene una inclinacin mucho menor de la envolvente de rotura. Por otra parte, si el campo de tensiones es bajo, el cizallamiento tiende a asociarse con el cabalgamiento de las asperezas. Enestascondiciones,paralosefectosdeclculodelcoeficientedeseguridadse tomarencuentalosparmetrosequivalentessinconsiderarlosfactoresde minoracinalaresistenciaalcorteC=0,088MPay=57,63,conjuntamente con H = 50,00 m, = 55, q = 400,00 KN/m2 y =0, obtenindose a travs de las ecuaciones (2.29 y 2.23) del captulo II los siguientes resultados: (FS)min = 2,23 = crtico = 45,14 La resistencia a la compresin simple de la masa rocosa, la cual es una fraccin de la resistencia intacta, se calcula a travs de la conocida expresin con anterioridad indicada a travs de (A.30). Es decir: cm = 2.C.tan(45 + /2) cm = 2 . 0,088 . tan73,82 = 0,61 MPa Roberto Ucar Navarro 159La cual en trminos de c es: 033 , 0 =||.|

\|ccm(c301),c = 18,50 MPa Expresandoenformaadimensionallarelacinlinealentrelosesfuerzos principales 1 y 3, se sabe que: ||.|

\|+||.|

\| =c cbK 331(A.45) Cuando 3 = 01 = b = cm Siendo la pendiente de la recta: ( ) 2 / 45 tan112+ =||.|

\|+=sensenKEmpleandonuevamentelosvaloresdelaTablaA.2yajustndolacurva1,3 por mnimos cuadrados da como resultado: ( ) 04 , 12 2 / 45 tan2= + = K = 57,84 034 , 0 =||.|

\|ccm Comopuedeapreciarseloscoeficientesquegobiernanlaresistenciaalcorteson prcticamente iguales, bien sea que se determinen a travs de la ecuacin (A.43) o (A.44).Por supuesto desde el punto de vista terico no deben existir diferencias, lascualesocurren,porlasaproximacionesrealizadasenlasoperaciones algebraicas. Roberto Ucar Navarro 160 Esdehacernotarquelosresultadosobtenidosrepresentanalosparmetros promediosequivalentesCyparaunconocidointervalodetensiones.Siel intervalo de esfuerzos cambia, lgicamente dichos coeficientes sern diferentes. Enrealidadloquesepersigueespoderaplicarunarelacinlinealparaun conocido entorno de esfuerzos, en el cual se determina la pendiente equivalente y laresistenciaalcorteacerotensinnormal.Porlotanto,atravsdedichos coeficientes se obtiene aproximadamente la misma resistencia al esfuerzo cortante alcompararseconlaenvolventederoturanolinealporcizallamientocuandose emplea el criterio de Hoek y Brown para un dominio de esfuerzos establecido. Tambin,cabedestacarquelosmencionadoscoeficientesequivalentesno corresponden con los parmetros de corte que se obtienen al emplear el criterio de roturadeMohr-Coulomb.Enestecaso,auncuandolacurvaderesistencia intrnsecaeslinealyestgobernadaporlaresistenciaalcorteaceroesfuerzo normal(cohesin)yelcoeficientedefriccininterna,susparmetrosresistentes son independientes del estado tensional que est actuando sobre el macizo rocoso. Enestesentidoespreferibleparaevitarconfusionesidentificaradichos parmetros obtenidos para un conocido intervalo de tensiones como la resistencia Roberto Ucar Navarro 161promedio al corte equivalente acero esfuerzo normal Ce y el ngulopromedio de friccin interna equivalente e. A la vez, se ha eliminado el trmino instantneo, por cuanto dicha condicin se refiereparaelcasoparticularenelcualseconoceunsolopuntodelestado tensional (n ,), perteneciente a la curva de resistencia intrnseca, mientras que la expresin promedio representa a unentorno de esfuerzosdondeexisten dos o ms puntos sobre la envolvente de rotura. Porotrolado,altomarencuentalosgrficosanexospropuestosporHoeky Brown [2] en el intervalo 0 3/c , se han determinado los siguientes valores equivalentes: GSI = 34 = 33 mi = 18C/c = 0,037,C = 0,68 MPa, (c = 18,50 MPa) Tambindichoscoeficientespuedenobtenerseaplicandodirectamentelas ecuaciones (A.19) y (A.21) para el intervalo recomendado por Hoek y Brown. Conelobjetodeapreciarlosaspectospreviamenteindicados,acontinuacinse determinaelnguloinstantneoicuando3/c=,valorstepropuestopor Hoek y Brown [2]. Roberto Ucar Navarro 162 Por lo tanto, si m = 1,70, s = 0,00065 y (3/c) = , al aplicar (A.27) resulta: 394 , 070 , 1 00065 , 0470 , 141=+ + = =isen sen = i = 23,30 Por lo tanto, al considerar (A.9) y (A.1) se obtiene: (n/c) = 0,444n = 8,21 MPa (1/c) = 0,9021 = 16,68 MPa Esdehacernotar,quelastensionesobtenidasdeny1sonexcesivamente elevadas para que existan dentro del entorno 0 z 50,00 m, siendo la altura del talud H = 50,00 m. Finalmente al comparar ambos procedimientos con la resistencia al corte no lineal aplicando el criterio de rotura de Hoek y Brown, se ha preparado la siguiente tabla de valores. Roberto Ucar Navarro 163 Tabla No. A.3 Comparacin de la Resistencia al Corte Utilizando los Parmetros Equivalentes C y , segn Ucar, Hoek y Brown Resistencia al corte segn Ucar aplicando el criterio de rotura de Hoek y Brown Parmetros Equivalentes segn Ucar [10] Parmetros Equivalentes segn Hoek y Brown [2] C/c = 0,00475 =57,63 C/c =0,037 = 33in/c/c /c/c 700,000880,004660,006130,0375 650,00280,009280,009160,0388 600,00660,016440,001520,04120 550,01310,026900,002540,0455 50,970,02200,038440,03940,0512 ||.|

\| =iictanmsen 18 m = 1,70s = 0,00065 tanCcnc c + = Tambin,seapreciaatravsdelamencionadatablaquelosparmetros equivalentesaplicandoelprocedimientodeHoekyBrown[4]danresultados superioresyporendeunaresistenciaalcortemayoralcompararseconlos obtenidos empleando la envolvente de rotura no lineal desarrollada por Ucar [2]. Roberto Ucar Navarro 164 REFERENCIAS 1.HOEK,E.yBROWN,T.(1980),EmpiricalStrengthCriterionforRock Masses,JournaloftheGeotechnicalEngineeringDivision,Vol.106,pp 1.013-1.035. 2.UCAR,R.(1986),DeterminationofShearFailureEnvelopeinRock Masses, Journal of the Geotechnical Engineering Division. Vo,. 112, No. 3, pp. 303-315. 3.HOEK,E.yBROWN,T.(1988),TheHoekBrownFailureCriterion, Proc. 15th Can. Roc. Mech. Symp. University of Toronto. 4.HOEK, E. y BROWN, T. (1998), Practical Stimates of Rock Mass Strength, Int. J. Rock. Mech. Min. Sci, Vol 34, No. 8, pp 1165-1186. 5.HOEK, E., KAISER P. y BAWDEN, W., (1995) Support of Underground Excavations in Hard Rock, A.A. Balkema, 215 p. 6.HOEK, E. (1998), Rock Engineering Course Notes, Chapter 12, Tunnels in Weak Rock, 313 p. 7.BARTON,N.(1976),TheShearStrengthofRockandRockJoints, InternationalJournalofRockMechanicsandMiningSciencesand Geomechanics Abstracts, Rock Mechanics Review, pp 255-279. 8.BARTON, N. y BANDIS, S. (1990), Review of Predective Copabilities of JRC-JCS Model in Engineering Practice.Proceedings of the International SymposiumonRockJoint,N.BartonandO.StephanssonEditors, Balkema, pp 603-610. Roberto Ucar Navarro 165 APENDICE B LA ESTABILIDAD DE TALUDES EN MACIZOS ROCOSOS APLICANDO EL CRITERIO DE ROTURA DE HOEK Y BROWN 1.Introduccin AplicandoelcriteriodefalladeHoekyBrown|1|conjuntamenteconlas ecuaciones de equilibrio esttico, se ha desarrollado una metodologa analtica, lacualpermitedeterminarconunaceptablerangodeaproximacinla estabilidaddetaludesenmacizosrocososparaelcasoparticularderotura planar. Enestascondicionesseobtieneelmnimofactordeseguridad(FS)yla inclinacin ms crtica de la superficie potencial de deslizamiento. Tambinseanalizalaestabilidaddelamasarocosaconsiderandolafuerza ssmica(casoseudo-esttico)yelefectodelapresinintersticialactuando sobre el plano de discontinuidad. Empleando el ndice de calidad GSI, se lleva a cabo un ejemplo prctico cuyo resultadosecomparaconlasecuacionespreviamenteindicadasenlaseccin Roberto Ucar Navarro 1662.3,conjuntamenteconlosparmetrosdecorteequivalentesCycuya obtencinseexplicaendetalleenelApndice(A).Seapreciaigualmentela importanciadeestesencillosistemadeclculo,elcualesdegranutilidad, cuandoserequieradisearelsoporteartificialdetaludesmediantetirantes anclados. 2.Generalidades Se analiza nuevamente la condicin ms sencilla como es la rotura planar, en la cualelplanodediscontinuidadsobreelcualocurreelmovimientodebetener un rumbo aproximadamente paralelo al plano del talud. Cabedestacarqueelplanodefalladebeinterceptarelplanodeltalud (daylight), es decir el buzamiento de la discontinuidad () debe ser menor que la inclinacin del talud (). Por otro lado, en el mencionado anlisis no se ha tomado en cuenta el efecto del vuelco, es decirno hay momentos que generen rotacin del bloque por cuanto seconsideraquetodaslasfuerzaspasanporelcentrodegravedaddelacua potencialdefalla.EnestesentidoHoekyBray|2|estimanqueelerrores pequeoalignorarlosmomentos,sinembargolosreferidosautoresjuzgan convenientequeelanlisisdeestabilidadentaludesrocososconfuertes Roberto Ucar Navarro 167pendientesyplanosdediscontinuidadconbuzamientoselevados,sedeber aplicar la condicin de momentos. Finalmente,sesuponeparasimplificarelproblemaqueladistribucinde tensionesnormales(n)sobrelasuperficiepotencialdedeslizamientoes constante, y por ende el ngulo de friccin interna instantneo i.Por supuesto elvalordenvaraencadaintervalodelplanodediscontinuidad,peropara efectosprcticosesunabuenaaproximacinconsiderarunatensinnormal promedio actuando sobre dicho plano. 3.Desarrollo analtico bidimensional de la rotura planar. Como previamente se haindicado,el anlisis de estabilidad en rotura planar se llevaacaboempleandolasecuacionesdeequilibrio,ytomandoencuentala geometradeltalud,lasfuerzasssmicasFhyFv,elpesodelacuaWT,la resultante(U)delaspresionesintersticialesqueactansobrelasuperficie potencialderotura,ylasobrecargaq,talcomoseindicaenlafigura2.1del captulo dos. Adicionalmente,elmtododeclculoparadeterminarelmnimofactorde seguridad incluye como criterio de rotura el propuesto por Hoek y Brown|1|, a travs de losparmetros m ys que gobiernan la resistencia al corte en el plano Roberto Ucar Navarro 168dediscontinuidad,conjuntamenteconlastensiones n y obtenidaspor Ucar [3] al utilizar dicho criterio. En estas condiciones se tiene: Fuerza ssmica horizontal h T hTh hk W agWa m F . = =(B.1) Fuerza ssmica vertical = WT.kv Por otra parte,gakhh = , y kv kh/2a 3/4 kh (para efectos prcticos) = = sec ) cot (cot221wHU Fuerza total debida al agua actuando sobre el plano de discontinuidad. secsen . sen) sen(sec ) cot .(cot1 1((

= = U (B.2) Siendo 2211Hw = (B.3) El peso total de la cua de falla de acuerdo a la mencionada figura (2.1) es: ) cot (cot .) )( (21) cot (cot2121 + + + =H qH H BC AD H WsatT (B.4) Se observa igualmente que: ) cot (cot1 = H ADy) cot (cot = H BC(B.5) Roberto Ucar Navarro 169Sacando factorcomn a ((

= sen . sen) sen() cot (cot , resulta: ( ))`+ + = H q H H H WsatT. .212) cot (cot212 21 (B.6) ( ))`+ += H q H H H WsatT.212 sen . sen) sen(212 21 Es decir: .sen . sen) sen(((

=TW (B.7) Comopuedeapreciarsealanalizarlaestabilidaddeuntalud bidimensionalmente,sehacalculadoelpesoWTtomandoencuentauna rebanadadeanchounitario,limitadaporplanosperpendicularesalplanodel talud. Donde: H q H H Hsat. ). (212212 21+ + = , kN/m (Factor de peso)(B.8) Al aplicar las condiciones de equilibrio, se obtiene: = + + = 0 ) cos( 0 R U N Fn(B.9) = + = 0 ) ( 0 sen R T Ft (B.10) Roberto Ucar Navarro 170 A travs de la figura 2.5 del captulo 2 la inclinacin () que forma la resultante (R) conla vertical se determina mediante la frmula: ) 1 (vhkktan+= (B.11) A la vez, la expresin que define el coeficiente de seguridad al aplicar el criterio de rotura de Hoek y Brown es: |.|

\|((((((

||.|

\| = senHTsen mFSii ctan18 (B.12) Es decir: 21movilizada Fuerzaresistente mxima Fuerza=|.|

\|= FS(B.13) AldeterminarFS,seconsideraquepermanececonstanteatravsdetodala superficiepotencialderotura.Dichasuposicinesunabuenaaproximacin,a sabiendas que no es rigurosamente cierta. Enlaecuacin(B.12)seobservaqueelreadelplanodefallaconsiderando una rebanada de ancho unidad es igual a H/sen. Roberto Ucar Navarro 171ComopreviamentesehamencionadoenelApndiceA,laresistenciaal esfuerzo cortante obtenida por Ucar|3| puede escribirse como sigue: ||.|

\| = =ii cfsen m tan18(B.14) Igualmente,segnelmencionadoautor,latensinnormalactuandosobreel plano potencial de deslizamiento, est representada por la ecuacin: |.|

\|+||.|

\|+=ms msensenmc iiCn1632182 (B.15) Atravsdedichaecuacinseapreciaquealvariarelesfuerzonormaln,se obtieneunnuevovalordelaenvolventedefallai(ngulodefriccininterna instantneo).Para fines prcticos seha considerado que la tensin normal n actuandosobrelasuperficiepotencialdedeslizamientocorrespondealvalor promedio, esto indica por supuesto que iy por ende , representan las mismas condiciones que n. Esta es una aproximacin aceptable cuando no se producen cambios tensionales considerables, a sabiendas que en determinadas condiciones se ha comprobado Roberto Ucar Navarro 172queexisteenlazonacercanadelacrestadeltaluduncampodeesfuerzosa traccin. Los parmetros involucrados en las dos ltimas ecuaciones son: c =resistencia a la compresin sin confinar de la roca en condicin intacta. i =ngulodefriccininternainstantneo(inclinacindelaenvolventede falla). m, s = constantes que dependen de las propiedades de la roca. Reemplazando el valor de T obtenido a travs de la ecuacin (B.10) en (B.12) resulta: ((

+|.|

\|= sen sen Rsen mFSii c) ( tan) 1 (8(B.16) Al considerar la figura (2.5) se observa que la resultante R es: 2 2) 1 ( .v h TK K W R + + =(B.17) Utilizandolaexpresin(B.7),ysustituyendoelpesoWTenlaresultanteR, queda: Roberto Ucar Navarro 173 2 2) 1 ( ..) (v hK Ksen sensenR + +((

= (B.18) Tomando en cuenta que: ( )2 21vhK K K + + =(B.19) La ecuacin (B.18) toma la forma: Ksen sensenR ..) ( ((

=(B.20) ReemplazandoRenlaecuacin(B.16),elcoeficientedeseguridadpuede expresarse como sigue: (((

+ ||.|

\|=) ( ) ( tan) 1 (. . 8. . . sen sensenKsen H mFSii c (B.21) ((

+ =) ( ) ( tan) 1 (1 sen sensenK FSii Siendo la constante: ||.|

\|=KH mKc. . 8sen . . .1 (B.22) Roberto Ucar Navarro 174Lacomponentenormalactuandosobreelplanopotencialdefalla,alemplear (B.9) es: N = Rcos( + ) U (B.23) Por lo tanto el esfuerzo normal efectivo es: senHU RsenHNn((

+ = =) cos( (B.24) Sustituyendo R y U en (B.24) queda: ((

+ |.|

\|= sec ) cos() ('1KH sensenn (B.25) ] sec ) cos( )[ sen( . '1 2 + = K Kn (B.26) Al comparar (B.25) y (B.26) se aprecia que: ||.|

\|=sen .2HK (B.27) ||.|

\|= 11 Porotrolado,alaplicarelcriterioderoturadenolineal,elesfuerzonormal efectivo determinado por Ucar [3], es segn (B.15) : Roberto Ucar Navarro 17512321' K sensenKiin((

+ = (B.28) Siendo: 83cmK = (B.29) |.|

\|+ =ms mKc1634 Igualando (26) y (28) se obtiene: 0. 21] sec . ) cos( )[ (423 1 2= +(((

+ + K sensenK K sen Kii (B.30) Lgicamente lo que interesa es determinar la inclinacin del plano potencial de falla ms crtico, el cual est vinculado con el mnimo factor de seguridad. Adicionalmente, la inclinacin de la envolvente de falla i depende del esfuerzo normalefectivon,ysteasuvezesunafuncinde,comopuedeapreciarse a travs de (B.26).Por lo tanto,para obtener el mnimo coeficiente de seguridad debe considerarse una nueva funcin f sujeta a la condicin de la ecuacin (B.30), obtenindose de acuerdo al mencionado autor [4] : Roberto Ucar Navarro 176((

+ =) sen( ). sen( .) sen 1 (11 iitanK f+ (B.31) )`+(((

+ + +4 1123 1 2sensen 21] sec ) cos( )[ sen( K K K K Siendo: = el multiplicador de Lagrange En estas condiciones para calcular (FS)min, se requiere llevar a cabo: 0 = =ff 0 = =iffi(B.32) 0 = =ff 0 =f | | | | { } 0 tan sec1) ( . ) ( ) ( cos sec1) ( cos2) (2) (2) 2 (tan) 1 (1=(((

+ + + + + sen K sen K Ksen senseniisen K (B.33)0 =if K1.seni - .K3. cosi. sen(-) sen(+) = 0 (B.34) Roberto Ucar Navarro 1770 =f | | 0sen 21sec ) cos( ) sen(423 1 2=)`+(((

+ K K K Ki 3.Aplicacin Prctica Ejemplo N 1 Conelobjetodecompararresultados,sehanempleadolosmismosdatosdel ejemplo de la seccin 2.1 y 2.1.1 del Apndice A para analizar la estabilidad de la roca ignimbrita, los cuales son los siguientes: H = 50,00m H1 = 0 (En los sondeos exploratorios no se encontr la presencia de agua) 55 mi = 15 (roca intacta)GSI 34 (Geological Strength Index/Indice de Resistencia Geolgica) m = 1,70 Parmetros que gobiernan la resistencia y corte aplicando el criterio de rotura de Hoek y Brown s = 0,00065 = 20,00 kN/m3 c = 18,50 MPa q = 400,00 kN/m2 (sobrecarga) 00 , 4522= + = H qH MN/m 1 = 0,1 = 0 , = 0 (no se considera el efecto ssmico) Para mayor detalle vase tabla anexa. Roberto Ucar Navarro 178TABLA No. B.1 RESUMENDE LAS CONSTANTES INVOLUCRADAS EN EL CALCULO DE LA ESTABILIDAD )`+ + = . ) (21.2212 21q H H Hsat,( ) =sen sensenTW 21 12Hw =R = WT.K11 = ) 1 (vhKKtan+= 22) 1 (v hK K K + + = ||.|

\|=KH mKc. . 8sen . . .1 ((

=miIRMRonencial m m1410