HIDRÁULICA IDISEÑO DE TUBERÍAS SIMPLES

Julio Cuesta Olave I.C, Esp, MSc ©

Adaptado de: Hidráulica de Tuberías Prof: Juan Saldarriaga

u

• Capítulo 2

Tipos de Problemas en Hidráulica de Conductos a Presión

Las variables que interactúan en un problema de tuberías son:

• Variables relacionadas con la Tubería en si: d, l, ks.• Variables relacionadas con el Fluido: r, m.• Variables relacionadas con el Esquema del Sistema: S km, H

o Pot.• Variables relacionadas con la Hidráulica: Q (V)

Se clasifican de acuerdo con la variable desconocida en el problema.

Tipos de Problemas en Hidráulica de Conductos a Presión

• COMPROBACIÓN DE DISEÑO:La tubería ya existe (material, diámetro, accesorios) y la potencia motora se conoce (gravedad o bomba).La incógnita es el caudal que pasa por la tubería. Este tipo de problema es el típico en el diseño de redes en el cual se predimensionan los diámetros.

Variables conocidas Incógnita d, ks , Skm, H(oP) Q (v)

r, m, g, l

a) CÁLCULO DE LA POTENCIA REQUERIDA:• Se conoce el caudal demandado y se tiene una • tubería conocida (material, diámetro, longitud,

accesorios). • Se desea calcular la potencia necesaria (bomba o • diferencia de nivel) para mover el caudal.

• Variables conocidas Incógnita

• d, ks, Skm, QD H (P =rQgH)

• r, m, g, l

Tipos de Problemas en Hidráulica de Conductos a Presión

a) DISEÑO EN SÍ DE LA TUBERÍA:Se conoce el caudal demandado, la potencia disponible y algunas características de la tubería (longitud, accesorios). Se desconoce el diámetro necesario. En cuanto al material de la tubería usualmente se tienen sólo 2 o 3 alternativas.

Variables conocidas Incógnita l, Skm, QD, H d r, m, g, (ks)

Tipos de Problemas en Hidráulica de Conductos a Presión

a) CALIBRACIÓN DE LA TUBERÍA:Se conoce el caudal demandado, la caída en la altura piezométrica que ocurre entre la entrada y la salida de la tubería, algunas de las características de la tubería y las propiedades del fluido. Se desconoce la rugosidad absoluta de la tubería que produce esa caída en la presión piezométrica para el caudal medido. En campo el caudal usualmente se mide a través de caudalímetros acústicos y la caída de presión utilizando transductores de presión.

Variables conocidas Incógnita d, l, Skm, Q(o v), ks

r, m, g, H

Tipos de Problemas en Hidráulica de Conductos a Presión

Ecuaciones para el Diseño de Tuberías Simples

hf=fldv2

2g(1.38)

(1.69)

f+k=

fs

Re2.51

3.7d2log1

10

1. Ecuación de Fricción:Utilizando la ecuación de Colebrook-White en conjuntocon la ecuación de Darcy-Weisbach:

2. Ecuación de Conservación de la Energía Si se plantea una ecuación de energía entre un embalse (bomba) y un punto en la tubería se obtendrá lo siguiente:

Si el punto 2 es la salida:

Luego:

mf h+h+ρgp+z+

v=z+h 2

222

11 2g

02g

0 222 =v

;=ρgp

mf h+h+z=H 2

Es claro que para el punto 1, h1 + z1 = H, donde H es la altura del nivel de la superficie del tanque con respecto al Datum. Luego:

De la última expresión se puede obtener la siguiente ecuación, la cual describe las pérdidas por fricción en función de las otras variables:

2g

222

vkzH=h mf (2.1)

Utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach Ecuación (1.38), que también predice las pérdidas por fricción, se puede despejar el factor de fricción f:

Sacando la raíz a los dos lados de la ecuación y al invertir la ecuación se obtiene:

2

2gvl

dh=f f

vl

dh=f f

2g

2g1

dh

vl=f f

(2.2)

2g

2vdlf=h f

Igualando la ecuación (2.2) con la ecuación (1.69) (Colebrook-White) se obtiene:

f+K=

fs

Re2.51

3.7d2log1

10(1.69)

d2ghlv+K=

dhvl

f

s

f Re2.51

3.7d2log

2g 10

2g1

dh

vl=f f

(2.2)

El número de Reynolds en esta última ecuación puede reemplazarse por:

Por consiguiente, se obtiene la siguiente expresión:

Finalmente, despejando la velocidad se encuentra una ecuación explícita para esa variable:

υvd=Re

f

s

f gdhvdlvυ

+k=gdh

lv2 2.51

3.7d 2log

2 10

f

sf

gdhdlυ+k

l

gdh=v

2 2.51

3.7dlog

2210 (2.3)

Esta última ecuación es la base para la solución de los tres tipos de problemas relacionados con tuberías simples mencionados anteriormente. Para el caudal, se multiplica la ecuación 2.3 y se obtiene la siguiente expresión:

f

sf

gdhdLυ+kA

L

gdh=Q

22.51

3.7dlog

2210

a) Comprobación de Diseño en Tuberías SimplesVariables conocidas

• Características de la tubería: longitud (l), diámetro (d), rugosidad absoluta (ks) y coeficientes de pérdidas menores (km).

• Propiedades del fluido: densidad (ρ) y viscosidad dinámica (µ).

• potencia (P) y eficiencia de la bomba(η).

Variables desconocidas

• velocidad (v) y caudal (Q).

Diagrama de flujo 1: Comprobación de diseño de

tuberías simples

INICIO

Leer d, ks, H, E, Skm, r, m, z2, l

Suponer hf1 = H- z2

Calcular ks/d

Calcular Vi en la ecuación (2.3)

Calcular hfii+1 en la ecuación (2.1)

│hfi – hfi-1 │ ≤ E

Q = Vi A

Imprima Q

PARE

NO

SI

1 20 3 4 5 6 7 8 9 10

V1V

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V8

V9

Número de iteraciones

Vc

= Vc = Vconvergencia

Ejemplo 1.Se desea calcular el caudal de agua que puede ser movido a través de una tubería de PVC, de 300 mm de diámetro nominal y 730 m de longitud, que conecta dos tanques de abastecimiento de agua potable con una diferencia de nivel de 43.5 m. El diámetro real de la tubería es de 293 mm y su rugosidad absoluta es de 1.5 x 10-6 m. Todos los accesorios que forman parte del sistema, incluyendo la entrada y la salida, implican un coeficiente global de pérdidas menores km de 11.8. El agua se encuentra a 20ºC.

Para el agua a 20ºC se tienen las siguientes características

sm=vsPa=μ

mkg=ρ

/101.007 101.005

/998.2263

3

Con los datos anteriores se puede seguir el procedimiento del Diagrama de Flujo 1; los resultados de las iteraciones se muestran en la siguiente tabla. Este procedimiento es fácilmente programable

12,918921530,58114,634730,58125,12E-0643,5

12,918921530,58124,634730,5815,12E-0643,5

12,918921530,5814,634730,58135,12E-0643,5

12,918921530,58134,634730,58065,12E-0643,5

12,91947930,58064,634830,58225,12E-0643,5

12,917806630,58224,634530,57875,12E-0643,5

12,921151630,57874,635130,58645,12E-0643,5

12,913347330,58644,633730,56945,12E-0643,5

12,930631430,56944,636830,60655,12E-0643,5

12,893289930,60654,630130,52565,12E-0643,5

12,974171730,52564,644630,70215,12E-0643,5

12,797675230,70214,612930,31715,12E-0643,5

13,18283230,31714,681831,15645,12E-0643,5

12,343460431,15644,530329,32415,12E-0643,5

14,175669629,32414,854933,31355,12E-0643,5

10,186575733,31354,115524,57115,12E-0643,5

18,928849124,57115,610143,55,12E-0643,5

 (m)(m/s)(m)(-)(m)

∑hmhf i+1vhfks/dH

Los resultados de este ejemplo se pueden resumir así:

sm=m=h

m=hH=h

=h=f

m

fm

f

/4.635 v12.92

30.58 43.5m

30.580.011211

Finalmente se calcula el caudal que pasa a través de la tubería:

ls=Qsm=Q

mπms=Q

vA=Q

312.40.3124

0.2934

4.635

3

2

b) Cálculo de la Potencia Requerida

En este caso todas las características de la tubería son conocidas, al igual que las del fluido. Se conoce un caudal demandado y se pregunta por la potencia requerida, ya sea de origen gravitacional o mecánico.

Para poder resolver el problema de la potencia requerida es necesario utilizar un método numérico con el fin de poder averiguar el valor del factor de fricción f de Darcy en la ecuación no explícita de Colebrook-White:

Con el fin de resolver la anterior ecuación existen muchos métodos numéricos. A continuación se explican dos de ellos; el primero es muy sencillo pero requiere muchas iteraciones. El segundo es más complejo, pero tiene la ventaja de que converge en dos o tres iteraciones.

(1.69)

f+k=

fs

Re2.51

3.7d2log1

10

i) Método de iteración de un punto Para que este método pueda ser aplicado la función no explícita debe ser de la siguiente forma:

x = g(x)

El algoritmo se desarrolla de tal manera que el valor arrojado por la función g(x) en la iteración i se utilice como argumento x en la iteración i+1. En el caso de la ecuación de Colebrook-White el método converge en 8 ó 10 aproximaciones y es muy sensible al valor inicial de f que se suponga (semilla). En la figura se esquematiza el proceso de convergencia. En tabla 2.1 se muestra el caso de una tubería con rugosidad relativa (ks/d) de 0.0001 y con números de Reynolds de 20000 y 200000.

Diagrama de flujo 2a. Cálculo del factor de fricción f por el método de iteración de un punto.

INICIO

Leer ks/d, Re, semilla de f, Ɛ

f1 = semilla de f

i = 1

?

│fi+1 - fi │≤ Ɛ

Imprima fi+1

PARE

NO

SI

2

101 Re2.51

3.7d2log

f+k=f s

+i

fi-+1 = fi

i=i+1

Re < 2200 f = 64/Re

PARE

SI

NO

Convergencia del método de iteración para el cálculo del factor de fricción de Darcy para una

tubería con Ks/d = 0.0001 y con números de Reynolds Re = 20000 y Re = 200000

0.01641039

780.621.469

780.621.3350.0164104

0.026101465

6.18967.088

6.1896.703

0.02610147

0.0164104780.621.44

8780.621.57

20.0164103

90.02610146

86.18967.05

56.1896.72

70.0261014

5

0.01641039

780.621.469

780.621.3350.0164104

0.026101454

618.967.216

6.1896.608

0.02610155

0.0164104780.621.40

6780.622.04

80.0164103

70.02610154

76.18966.12

3

6.1897.41

40.0261008

7

0.01641037

780.622.029

780.614.913

0.01641067

0.026100867

6.18974.178

6.1891.475

0.02610588

0.01641067

780.614.996

780.695.552

0.01640728

0.026105881

6.18914.733

6.1935.322

0.02606893

0.01640728

780.695.512

779.772.668

0.01644614

0.026068927

6.19353.252

6.1612.575

0.02634276

0.01644614

779.772.599

790.402.707

0.01600675

0.026342764

6.16125.706

6.4026.601

0.02439378

0.0160067579.040.267

674.548.725

0.02197725

0.024393777

6.40266.057

4.7968.174

0.04346039

0.02197725

674.548.777

316.227.7660.001

0.043460391

4.79.681.741

31.622.7770.001

  Re=20000

0   Re=20000 

fg(x)xffg(x)xf

La tabla muestra la rapidez del proceso de convergencia.

• En el primer caso (Re = 20000 ) el método convergió en 10 iteraciones con precisión a la octava cifra decimal.

• En el segundo caso (Re = 200000) convergió en 8 iteraciones con la misma precisión. Los resultados fueron f = 0.02610147 (Re = 20000) y f = 0.0164104 (Re = 200000) para una rugosidad relativa ks/d = 0.0001.

ii) Método de Newton-RaphsonEste método es una aceleración del método anterior por lo cual resulta ser más conveniente; por lo general se requieren solo 3 iteraciones. Sin embargo, la función:

x = g(x)debe cumplir 3 condiciones especiales para que exista convergencia.

• La primera condición es que exista un intervalo I = (a,b) tal que para todo x perteneciente a I, la función g(x) esté definida y pertenezca a I, lo cual significa que g(x) se aplica a sí misma.  

• La segunda condición es que la función de iteración g(x) sea continua en I.  

• La tercera condición de convergencia es que g(x) sea diferenciable en I y que la pendiente de g(x) sea siempre menor que 1 y mayor que -1.

La ecuación de Colebrook-White cumple con las tres.

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0

Cálculo del factor Método de Newton-Raphson

f

f

f, g(

f)

f = f R e = 20000

En la figura anterior se esquematizó el proceso de convergencia de este método. En este caso se utilizó una tubería con rugosidad relativa (ks/d) de 0.0001 y un número de Reynolds de 20.000. El valor semilla para f fue 0.002. A pesar de que este valor estaba bastante lejos del valor real (f = 0.0261) el método convergió muy rápidamente; sus ventajas sobre el método anterior saltan a la vista.

El Diagrama de Flujo No. 2-b corresponde al método de Newton-Raphson, algunas veces conocido como el método de Newton acelerado. Como se dijo anteriormente este método tiene la ventaja de una mayor velocidad de convergencia; sin embargo, no siempre se justifica debido a que su proceso de programación es más complejo.

INICIO

Leer ks/d, Re, semilla de f, Ɛ

f1 = semilla de f

i = 1

2

10 Re2.51

3.7d2log

is

ix+k=)F(x

Re2.51

3.7d

Re2.51

102

isi x+kLn

=)(x'F

x i1=x i−F xi −x i

F ' x i −1?

│Xi+1 – Xi │≤ Ɛ

xi-+1 = xi

f = 1/x2i+1

FIN

?Re < 2200

NO SI

FINxi = 1/f1

1/2

Diagrama de Flujo No. 2-b. Cálculo del factor f por el método de Newton- Raphson

i = i + 1

NO

SI

f = 64/Re

Una vez se pueda calcular el valor del factor de fricción de Darcy f en la ecuación de Colebrook-White el cálculo de la potencia requerida es bastante sencillo. En el Diagrama de Flujo No.3 se esquematiza dicho procedimiento de cálculo.

INICIO

Leer Q, d, ks, Skm, r, m, , l, z2

Calcular V = Q/A

Calcular Shm

Calcular Re y ks/d

Calcular f en la ecuación 1.67 utilizando algún método numérico

Calcular H total

Imprima Pot

FIN

Calcular hf en la ecuación 1.36

Pot=1ηρ QgH

Diagrama de flujo 3. Cálculo de la potencia en tuberías simples

Ejemplo 2

En un sistema de riego localizado de alta frecuencia para un cultivo de cítricos es necesario mover un caudal de agua de 42 L/s desde el sitio de toma a la planta de fertirrigación. Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia de 970 metros, estando la planta 16 metros por encima de la toma. Si existe una tubería de PVC de 150mm de diámetro nominal, con un coeficiente global de pérdidas menores de 9.4, ¿cuál es la altura que debe ser suministrada por la bomba en el sitio de toma?. ¿Cuál es la potencia?

L = 970 mQ = 0.042 m3/sz2 = 16 md = 150mm = 1.14 x 10-6 m2/s

Para una tubería de PVC de 150mm de diámetro el área es:

A = 1.77x10-2m2

Siguiendo el diagrama de flujo de No. 3 se obtienen los siguientes resultados:

• Cálculo de la velocidad media:

• Cálculo de las pérdidas menores:

• Cálculo del Re y la rugosidad relativa:

v=QA=2 .377m/ s

m=vk=h mm 2.7062g

2

Re=vd

υ=312725

k s

d =1×10−5

• Cálculo del factor de fricción mediante el método de Newton (Diagrama de flujo No. 2a):

Luego f = 0.01446

0,014468,31668,31650,01446

0,014468,31658,31780,01445

0,014458,31788,30440,01450

0,014508,30448,43870,01404

0,014048,43877,18180,01939

0,019397,181831,62280,00100

fg(x)xf

Cálculo de las pérdidas por fricción utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach:

Cálculo de la altura total que debe ser producida por la bomba:

m=vdlf=h f 26.92

2g

2

45.622 =h+h+z=H mf Cálculo de la potencia bomba: Se supone:

kW=η

ρQgH=Pot 18.78

75=η

El proceso de diseño es bastante simple porque la ecuación (2.3) es explícita para la velocidad. Dicho proceso se esquematiza en el Diagrama de Flujo No. 4. Sin embargo, para que converja tiene las siguientes restricciones:

i. El primer diámetro supuesto tiene ser menor que el diámetro que resulte en el diseño.

ii. La suma de las pérdidas menores debe ser inferior al 30% de las pérdidas por fricción.

c) Diseño de Tuberías Simples

Para que el diagrama de flujo No. 4 converja, se debe cumplir la siguiente ecuación:

Esta última restricción en la práctica resulta ser irrelevante ya que en la gran mayoría de los sistemas de tuberías esto se cumple con facilidad. Para diseñar un sistema con altas pérdidas, menores, como en el caso de la tubería de succión de una bomba, se debe seguir un algoritmo diferente.

∑ hm≤0.3h f(2.4)

INICIO

Leer Qd, ks, d, , z2, E, L, Skm, r, m

Suponer di “pequeño”

Calcular v en la ecuación 2.3

Q = vA

Calcular hf en la ecuación 2.1’

FIN

Suponer hf = H – z2

Q ≥ Qd

│hfi – hfi-1 │ ≤ E

Q ≥ Qd

Imprimir di+1

di+1 = di+d

Diám. comercial Siguiente dcomercial

Calcular V en la ecuación 2.3 Q = VA

Diám. comercial

di+1 = di+d hf = H – z2

Siguiente dcomercial

NO

?

?

?

?

?

Diagrama de flujo 4: Diseño de tuberías simples

SI

SI

SI

SI

SINO

NO

NO

NO

Ejemplo 3La tubería de descarga de la planta de tratamiento de aguas residuales del municipio de Ubaté tiene una longitud de 150 m y por ella debe pasar un caudal máximo de 120 l/s. La altura mínima de operación es 2.2 m y en la tubería se tienen pérdidas menores por entrada (km = 0.5), por un codo (km = 0.8), por uniones (km = 10 x 0.1), y por salida (km = 1.0).

Calcular el diámetro de la tubería comercial en hierro galvanizado requerido si la temperatura del agua es 14 ºC. Los datos del problema son:

l = 150 m km = 0.5 + 0.8 + 10x0.1 + 1.0 = 3.30

ks = 0.00015 m (14ºC) = 999.3 kg/m3

QD = 0.12 m3/s (14ºC) = 1.17x10-3 Pa.s

H = 2.2 m (14ºC) = 1.17x10-6 m2/s

Siguiendo la metodología de Darcy-Weisbach, la segunda ecuación de Colebrook-White y el diagrama de flujo 4, se tienen los siguientes resultados:

* 1a Convergencia** 2a Convergencia

0,598si0,13330,0711,8850,300

1,602**

0,598si0,13320,0711,8850,3001,602

0,598si0,13330,0711,8850,3001,603

0,597si0,13320,0711,8850,3001,602

0,598si0,13330,0711,8860,3001,604

0,596si0,13300,0711,8820,3001,597

0,603si0,13380,0711,8930,3001,615

0,585si0,13180,0711,8650,3001,569

0,631si0,13690,0711,9370,3001,690

0,510si0,12310,0711,7410,3001,373

0,827*si0,15670,0712,2170,3002,200

0,658no0,09710,0491,9770,2502,200

0,496no0,05390,0311,7170,2002,200

0,343no0,02520,0181,4290,1502,200

(m)(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

∑hmQ QdQAvdhf

Suponiendo que la planta de Ubaté se localiza a sólo 15 m del río Suta, sitio de descarga, la tubería tendría un total de 17 m de longitud. Si las uniones fueran roscadas, las pérdidas menores serían: entrada (km = 0.5), por un codo (km = 0.8), por uniones (Skm = 4 x 0.5), y por salida (km = 1.0). Calcular el diámetro de la tubería comercial en PVC requerido para la descarga.

Los datos del problema son: l = 17 m H = 2.2 m

ks = 0.00015 m Skm = 0.5 + 0.8 + 4x0.5 + 1.0 = 4.30

QD = 0.12 m3/s (14ºC) = 1.17x10-6 m2/s

En la 2a convergencia, hfi+1 = hfi con lo que para el proceso.El resultado indica que el diámetro a colocar es de 300mm y que el caudal que pasa por esta tubería es de 133.5 l/s, ligeramente superior al caudal de diseño.

Ejemplo 4

Siguiendo la metodología de Darcy-Weisbach, la cuación de Colebrook-White y el diagrama de flujo 4, se tienen los siguientes resultados:

El último hf indica que las pérdidas menores son superiores a la altura disponible. Se "gastan" 5.93 metros de los 2.2 metros disponibles para sobrepasar los accesorios con un caudal de 163 l/s. Claramente la metodología establecida en el Diagrama de Flujo No.4 no sirve para este diseño.

-3,73

5,934si0,1630,0315,2040,2002,20

4,137no0,0770,0184,3450,1502,20

2,474no0,0260,0083,3600,1002,20

(m)(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

∑hmQ QdQAvdhf

c) Diseño de Tuberías Simples con altas pérdidas menores

En el Ejemplo 2 los resultados mostraron que la velocidad obtenida en la iteración 1 para el diámetro de 200mm implicaba unas pérdidas menores superiores a la altura disponible lo cual no es posible y hace que el proceso no converja. Esto significa que de alguna forma hay que limitar la magnitud de la velocidad que sea producida en cada iteración. El proceso que permite tener en cuenta sistemas con pérdidas menores altas fue desarrollado por Saldarriaga y Ferrer (1989) y modificado por Camacho (1990). Consiste en definir una “velocidad de pérdida”, la cual, en esencia, es la velocidad que haría que la sumatoria de las pérdidas menores fuera igual a la altura disponible:

∑hm=∑ kmv2

2g ∑ hm=H

Además:

Mediante las dos ecuaciones anteriores se obtiene el siguiente resultado para la “velocidad” de pérdida:

m

p

kH=

v2g

2

Si se despeja vp en esta última ecuación se llega a :

mp k

gH=v 22

mp k

gH=v 2(2.5)

Si en alguna iteración la vi es mayor que la vp, ésto quiere decir que la velocidad vi implica unas pérdidas menores mayores a la altura disponible, lo cual es físicamente imposible. Si esto sucede, se debe limitar la altura disponible para ser perdida por fricción, dentro del procedimiento de diseño. El procedimiento se esquematiza en el Diagrama de Flujo No.5 el cual es más general que el Diagrama de Flujo No.4 ya que también sirve para el caso de tuberías con pérdidas menores bajas. Una vez se ha calculado la primera velocidad de pérdida, en las demás iteraciones esta velocidad se calcula de acuerdo con la siguiente ecuación:

m

fp k

)h(H=v

2g

(2.6)

INICIO

Leer Qd, ks, d, , z2, E, Ev, L, h

Suponer di “pequeño”

Calcular vi en la ecuación 2.3

Q = vA

Calcular hf en la ecuación 2.1’

FIN

Suponer hf = H – z2

Imprimir di+1

di+1 = di+d

Siguiente dcomercial

Calcular v en la ecuación 2.3

Q = vA

d comercial

di+1 = di+d hf = H – z2

Siguiente dcomercial

NO SINO

NO

NO

SI

NO│hfi – hfi-1 │ ≤ E?

Q ≥ Qd

?Q ≥ Qd

?

Calcular Vp en la ecuación 2.5

Vi < Vp? Procedimiento pérdidas

menores altasNO A

Diagrama de flujo 5: Diseño de tuberías simples con altas pérdidas menores

SI

SI

SI

SI

d comercial??

Calcular vi en la ecuación 2.3

Q = vA

FIN

Asignar a hf un valor pequeño

Imprimir d

di+1 = di+d

Siguiente dcomercial

NO SINO

Q ≥ Qd

?Diám. comercial?

vi < vp

Calcular vp en la ecuación 2.6

|vi - vp| < Ev

?

NO

hfi = hfi -1 - h

Suponer di “pequeño”

hfi = hfi -1 + h

SI

NO

SI

SI

A

?

Ejemplo 4 (Continuación)

La velocidad de pérdida inicial se calcula como: 

 Como:

Luego:

Con ayuda del Diagrama de Flujo No. 5 se obtienen los siguientes resultados para el diseño de la tubería de descarga de la planta de tratamiento del municipio de Ubaté, cuando su longitud se reduce a 17 metros en total.

mp k

gH=v 2

sm=vp /4.3

2.29.812

v p=3 . 168m /s

H = 2 . 2m ∑ km=4.3

2,7931,709si0,1370,0492,7930,2500,490

2,7931,291no0,0760,0312,4270,2000,490

2,8011,674si0,1360,0492,7630,2500,480

2,8011,264no0,0750,0312,4020,2000,480

2,7851,745si0,1380,0492,8210,2500,500

2,7851,318no0,0770,0312,4520,2000,500

3,1685,934si0,1630,0315,2040,2002,200

3,1684,137no0,0770,0184,3450,1502,200

3,1682,474no0,0260,0083,3600,1002,200

(m/s)(m)(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

vp∑hmQ QdQAvdhf

• En la última iteración se tiene lo siguiente:

•  • vi = vp

• 2.793 m/s = 2.799 m/s• d = 250mm• hf = 0.49 metros• ∑hm = 1.709 metros•   Q = 137 Lt/s

• La última igualdad significa que de los 2.2 metros de altura disponible, 0.49 metros se están gastando por fricción y 1.709m se gastan en las pérdidas menores. Es claro que en este caso esas pérdidas menores son más importantes que las de fricción.

H = hf + ∑hm

H = 0.49 m + 1.709 m

H = 2.199 m ≈ 2.20 m

De acuerdo con el diseño agronómico de un sistema de riego localizado de alta frecuencia, para un cultivo de mango es necesario transportar un caudal de 60 l/s entre la bocatoma, sobre una quebrada cercana a la finca, y la estación de fertirrigación. Con el fin de que el agua sea movida por gravedad, la bocatoma se localiza 890 m aguas arriba de la estación generándose de esta forma una diferencia de niveles de 15.2 m entre estos dos puntos. ¿Qué diámetros en PVC y en hierro galvanizado se requieren? Las rugosidades absolutas de éstos son: 0.0015 mm y 0.15 mm, respectivamente. La viscosidad cinemática del agua es 1.14 x 10 -6 m2/s. Para ambos casos, el coeficiente global de pérdidas menores es 11.9.

Diseño en PVC: Los diámetros disponibles comercialmente (en este caso se utilizan los diámetros internos reales) para este material son:

Ejemplo 5

d nominal (mm) d real (mm) 75 80.42 100 103.42 150 152.22 200 198.48 250 247.09 300 293.07

Con la metodología expuesta en este capítulo y el diagrama de flujo No. 4 se obtiene la siguiente tabla de resultados:

2,398si0,0620,0311,9890,1984812,802,398si0,0620,0311,9880,1984812,802,399si0,0620,0311,9890,1984812,812,394si0,0610,0311,9870,1984812,782,419si0,0620,0311,9970,1984812,902,296si0,0600,0311,9460,1984812,302,897si0,0680,0312,1850,1984815,202,046no0,0330,0181,8370,1522215,201,225no0,0120,0081,4210,1034215,200,873no0,0060,0051,2000,0804215,20(m)

(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

∑hmQ QdQAvd realhf

Los anteriores resultados indican que en el caso del PVC es necesario colocar una tubería de 200 mm de diámetro nominal.

- Diseño en hierro galvanizado: si se utilizan los mismos diámetros de PVC, dados en la parte a de este problema, y se sigue nuevamente el Diagrama de Flujo 4 se obtienen los siguientes resultados:

2.310si0.0935760.0481.9510.2470912.890

2.310si0.0935880.0481.9520.2470912.893

2.307si0.0935250.0481.9500.2470912.876

2.324si0.0938680.0481.9580.2470912.968

2.232si0.0919850.0481.9180.2470912.465

2.735si0.1018180.0482.1230.2470915.2

1,784no0.0530580,0311,7150,1984813,13

2,073no0.0572070,0311,8490,1984815,20

1,478no0.0284130,0181,5610,1522215,20

0,897no0.0102180,0081,2160,1034215,20

0,645no0.0052400,0051,0320,0804215,20

(m)(si o no)(m3/s)(m2)(m/s)(m)(m)

∑hmQ QdQAvd realhf

Ejemplo 6Se desea diseñar una tubería para mover agua a 21°C a través de una longitud de 365 m, con una diferencia de altura favorable de 33.2 m. Si el material que se debe utilizar es PVC (ks = 0.0000015 m) y se puede suponer un coeficiente global de pérdidas de 7.4 ¿cuál es el diámetro requerido para mover un caudal de 270 l/s? En caso de que se requiera una válvula al final de la tubería, ¿cuál debe ser el coeficiente de pérdidas menores que debe producir? En caso de que posteriormente se quiera duplicar el caudal en esta tubería ¿cuál es la potencia de la bomba que debería colocarse si se elimina la válvula antes colocada? Se debe utilizar la ecuación de Darcy-Weisbach para el análisis, conjuntamente con la ecuación de Colebrook-White.

Los datos del problema son:l = 365 m H = 33.2 m

ks = 0.0000015 m Skm = 7.4

Q = 270 l/s = 1.007x10-6 m2/s

El resultado del diseño se presenta a continuación:

12,0692213si0,412756665,656831830,30481221,0918113

12,1081887si0,413422455,665956440,30481221,1547133

12,0452867si0,412347195,651219980,30481221,0531685

12,1468315si0,414081635,674990590,30481221,2170774

11,9829226si0,411278345,636571480,30481220,9524551

12,2475449si0,415794735,698468630,30481221,3795492

11,8204508si0,408480655,598229020,30481220,6899017

12,5100983si0,420227845,759224440,30481221,8026647

11,3973353si0,40110325,49712110,30481220,0049466

13,1950534si0,431578745,914788480,30481222,9036085

10,2963915si0,381238715,224878130,30481218,2140658

14,9859342si0,459934916,303409950,30481225,7638979

7,43610205si0,323986664,440238640,30481213,4921663

19,7078337si0,527441037,228581570,30481233,2

10,2606606no0,264289335,215804480,2541022,4680115

10,7319885si0,27029135,334254620,2541023,4179414

9,78205858no0,258051925,092707950,2541021,5001937

11,6998063si0,282215795,56958680,2541025,3592902

7,84070978no0,231030684,559438170,2541017,536929

15,663071si0,326535526,444245840,2541033,2

11,8036269no0,181417715,594243650,2032833,2

8,1716396no0,084908094,654663010,1524633,2

∑hmQ>QdQ(m3/s)v(m/s)d(m)d(in)hf (m)

La tubería de 10” sólo alcanza a mover 254 l/s. Por consiguiente, se debe utilizar una tubería de 12”. Sin embargo, como el caudal que se puede mover (412 l/s) es superior al caudal demandado, es necesario colocar una válvula

• Cálculo del coeficiente de la válvula:

En este caso, los datos del problema son:

= 33.2 m ks = 0.0000015 m = 1.007 x 10-6 m2/s Q = 270 l/sd = 0.3048 m l = 365 m

Con estos datos se calcula el número de Reynolds, la rugosidad relativa y el factor de fricción de Darcy (f); los resultados (utilizando los diagramas de flujo 2a o 2b) son:

Re = 1120026,85 Ks/d=0.000005

0,011542831120026,850,270,30480,00000150,01154284

0,011542841120026,850,270,30480,00000150,0115428

0,01154281120026,850,270,30480,00000150,0115432

0,01154321120026,850,270,30480,00000150,01153863

0,011538631120026,850,270,30480,00000150,01159084

0,011590841120026,850,270,30480,00000150,01101037

0,011010371120026,850,270,30480,00000150,02

  (m3/s)(m)(m) fReQdksf

f = 0.0115

Cálculo del Factor de Fricción

Las pérdidas por fricción son:

Luego las pérdidas menores son:

hf=fldv2

2ghf=0.0115365

0.3 3.8202

2×9.81hf=10.406m

∑hm=H−hf∑hm=33.2m−10.406m∑hm=22.794m

El coeficiente global de pérdidas menores es:

Finalmente, el coeficiente de la válvula se calcula restando a este último valor el coeficiente global de pérdidas menores, sin incluir la válvula, dado en el enunciado ejemplo:

∑hm=∑ kmv2

2g

∑ km=2g∑ hmv2

∑ km=2gπ2d4∑ hm16Q2

∑ km=2∗9.81∗π2 0.3048 4∗22.79416 0.27 2

¿32.661

∑ k mv=32 .661−7 .40∑ kmv=25 .261

• Cálculo de la potencia de la bomba con el fin de duplicar el caudal: En este caso, los datos del problema son:

Skm = 7.4 ks = 0.0000015 m = 1.007 x 10-6 m2/s Q = 0.54m3/sd = 0.3048 m l = 365 m

Se considera que la válvula del literal anterior se elimina. Con estos datos se calcula el número de Reynolds, la rugosidad relativa y el factor de fricción de Darcy:

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,037E-022,24E+060,540,30480,00000151,04E-02

1,042E-022,24E+060,540,30480,00000159,87E-03

9,867E-032,24E+060,540,30480,00000150,02

  (m3/s)(m)(m)  

fReQdksf

Por consiguiente, el factor de fricción es:

f = 0.0103

Y las pérdidas por fricción son:hf=f

ldv2

2ghf=0.0103365

0.3 7.642

2×9.81hf=34.43m

Por último, se calcula la altura producida por la bomba y su potencia:HHB=hf∑hm

33.2HB=34.437.4v2

2gHB=34.43m20.66m−33.2mHB=21.89mPot=ρQgHPot=1000 kg /m3×0.54m3/s×9.81m / s2×21.89mPot=116kW

Calibración de tuberías simplesEl proceso de obtener la rugosidad absoluta real de una tubería se conoce como la calibración de la tubería. Para llevarlo a cabo es necesario medir diferentes condiciones de caudal en la tubería y para cada una de ellas la caída en la presión piezométrica a lo largo de una longitud previamente establecida. Las presiones se miden utilizando transductores de presión los cuales permiten precisiones de alrededor de 10 mm. El cálculo de la rugosidad absoluta o calibración de la tubería se hace mediante las siguientes ecuaciones; utilizando la ecuación de Darcy- Weisbach:

Se puede despejar el factor de fricción de Darcy para obtener:

hf=fldv2

2g

f=2gdhfl v2 (2.7)

Ahora, utilizando la ecuación de Colebrook-White se puede despejar la rugosidad absoluta de la tubería tal como se muestra en las siguientes ecuaciones:

1 f

=−2log ks

3.7d2.51Re f

−1

2 f=log10 k s

3.7d2.51Re f

10− 1

2 f=k s

3 .7d 2.51Re f

Y, finalmente:

k s=3.7d 10

− 12 f− 2.51

Re f (2.8)

a) Equipo ultrasónico para medición de caudal en una tubería de 250 mm. b) Mediciones de caudal en una tubería de 300 mm registradas con medidor ultrasónico de caudal. Medidas de 24 horas, a lo largo de 20 días, de lunes a viernes cada 5

minutos.

(a)

(b)

a) Manómetro tipo transductor de presión con data logger, con capacidad de 900 registros. b) Mediciones de presión en una tubería de 300 mm . Medidas de 24 horas, durante 21

días, de lunes a viernes cada 5 minutos.

(a)

(b)

Ejemplo 7En la red matriz del sistema de abastecimiento de agua de una ciudad se

tiene una tubería de concreto con una longitud de 2.8 km, un diámetro de 1200 mm y un coeficiente global de pérdidas menores de 16.4. En una determinada condición de operación se mide un caudal de 3.72 m3/s y una caída en la altura piezométrica de 32 metros a lo largo de toda la longitud. Calcular la rugosidad absoluta de la tubería. El agua se encuentra a una temperatura de 14°C.

Los datos del problema son:

Skm = 16.4 H = 32 m = 1.17 x 10-6 m2/s Q = 3.72 m3/sd = 1200 mm l = 2800 m

Siguiendo el Diagrama de Flujo No. 6 se calcula en primer lugar el área, la velocidad, las pérdidas menores y el número de Reynolds:

Con estos datos se calcula la pérdida por fricción:

A=π4 d2=π×1.22m2=1.13m2

v=QA=3.72m3/ s

1.13m2 =3.29m/s

hm=∑ kmv2

2g =16.4×3.292

2×9.81 m=9.05m

Re=vdv =3.29×1.21.17×10−6=3.374359 x106

h f=H−hm=32m−9 . 05 m=22 . 95m

Ahora se calcula el factor de fricción de Darcy utilizando la ecuación 2.7:

f=2gdhf

l v2 =2×9.81×1.2×22.952800×3.292

f=0.0178Finalmente, utilizando la ecuación 2.8 se calcula la rugosidad absoluta de

la tubería:

mm=k

=k

ff=k

s

s

s

0.78

0.017833743592.510.01782

1

101.23.7

Re2.512

1

103.7d