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CAPÍTUL0 1. COORDENADAS EN LA RECTA.

INTRODUCCIÓN 1. En este capítulo se introducen los términos primitivos que se usarán en Geometría junto con sus prime- ros cuatro axiomas. Se introducen las nociones de segmento, semirrectas y ángulos, junto con sus medidas. COMENTARIO 1.1. Considérese la definición “Una figura es un conjunto de puntos”. La palabra “figura” es el definiendum y “un conjunto de puntos” es el definiens. Surge la pregunta: ¿qué significados tienen las palabras conjunto y punto? La primera de ellas viene del latín coniungere que significa unir o juntar. Otras acepciones de esa palabra son colección, agregado, agrupación o clase, por lo que esa definición se convierte en “Una figura es una colección de puntos”. La palabra punto es diferente ya que “es el límite mínimo de la extensión, que se considera sin dimensión alguna”. Evidentemente se tendrán que analizar las palabras límite, extensión y dimensión y eso nos llevaría lejos de la Geometría. Por estas razones la Geometría acepta el punto como término primitivo. Lo propio ocurre con las palabras recta y plano. ¿Cómo podremos trabajar con figuras si no sabemos qué son ni cuáles elementos las forman? Damos a continuación nuestra respuesta Un plano es como una hoja de papel, colocada horizontalmente sobre el piso, que se extiende indefinidamente a lo largo de todos sus lados. Un punto es como la huella que deja la punta de un lápiz sobre un plano. Una recta es como la huella que deja la punta de un lápiz sobre el plano, al deslizarla a lo largo del borde de una regla, y se extiende indefinidamente en ambos lados. Los especialistas arguyen que las afirmaciones que acabamos de hacer no son definiciones matemáticas, y debo decir que estoy in toto de acuerdo con ellos, más nuestra experiencia indica que con esas explicaciones se pueden dibujar figuras de cualquier tamaño, y se nota que las rectas y los planos están formados por muchos puntos. Se tienen que hacer algunas concesiones para enseñar la Geometría elemental, y las explicaciones anteriores serán suficientes para que los alumnos aprendan la Geometría que se supone deben aprender. DEFINICIÓN 1.1.

Una figura es un conjunto de puntos. EJEMPLO 1.1.

recta punto

Un punto y una recta son ejemplos de figuras. EJEMPLO 1.2. Ésta es una figura.

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COMENTARIO 1.2. El conjunto que no posee elementos se llama conjunto vacío. A la luz de la definición 1.1 se sigue que el conjunto vacío es una figura. Nos preguntamos, ¿cómo puede formarse una figura sin puntos? Sean F el círculo rayado horizontalmente y G el círculo rayado verti- calmente como se indica en la figura superior a la derecha. La intersección o corte o parte común de F y G está doblemente rayada. Podemos decir en este caso que la intersección de dos figuras es una figura. En el dibujo inferior a la derecha hemos representado los conjuntos F y G de modo que no tengan puntos en común. Por ende, su intersección es el conjunto vacío. Si éste no fuese una figura tendríamos que decir que la intersección de dos figuras es, a veces, una figura. Para evitar esos casos excepcionales aceptamos

F G

G F

que el conjunto vacío es una figura. DEFINICIÓN 1.2. Si A es un punto de una recta m, diremos que m pasa por A; en caso contrario se dice que m no pasa por A. A

m pasa por A m no pasa por A COMENTARIO 1.3. En esta definición se pueden usar frases similares que tengan sentido como A está en m o A pertenece a m o m contiene a A. Lo importante es que cualquier persona entienda lo que se está diciendo. Al pie de la figura a la derecha en la definición 1.2 se lee "m no pasa por A". ¿es verdadera esta afirmación? ¿Por qué? Cualquier persona contestará a la primera pregunta que es verdadera, y en cuanto a la segunda pregunta un alumno mirará el dibujo y dirá que m no pasa por A ya que así lo indica la figura. Es necesario entonces advertir aquí que ninguna demostración debe basarse únicamente en un diagrama porque la vista es engañosa; si no cree esto vea los dos ejemplos que siguen a este comentario. Es obvio que las figuras pueden ser útiles para cualquier razonamiento. A la luz del comentario anterior puede argumentarse lo siguiente: coloque el borde de la regla hasta que coincida con m, y al deslizar la punta del lápiz sobre ese borde se verificará que la recta m no pasa por el punto A. Este argumento es ingenioso, pero no es válido en Geometría porque ninguna demostración puede hacerse usando los instrumentos de dibujo. La conclusión de no poder justificar matemáticamente lo afirmado antes es decepcionante, pero en descargo de ello, podemos adelantar que ese tipo de afirmaciones no es necesario para desarrollar la Geometría. EJEMPLO 1.3. ¿Cuál de los dos segmentos que forman la letra T en el dibujo a la derecha es más corto? Dar la respuesta usando solamente la vista y luego mídalas usando una regla graduada. EJEMPLO 1.4. Diga, usando sólo la vista, si en el dibujo que sigue m y n son rectas. Use luego una regla para verificar su respuesta.

m A

m

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COMENTARIO 1.4. Recordemos que todo teorema consta de una primera parte, llamada hipótesis, que consiste en las suposiciones, y de una segunda parte, llamada tesis, que es la conclusión y debe demostrarse. Si un teorema está dada en la forma condicional: "Si H, entonces T", entonces H es la hipótesis y T es la tesis. EJEMPLO 1.5. En el teorema "Si dos ángulos son adyacentes, entonces son suplementarios" la hipótesis es "Dos ángulos son adyacentes", y la tesis es "Esos dos ángulos son suplementarios". EJEMPLO 1.6.

Halle la hipótesis y la tesis en el teorema: "Por un punto dado pasa al menos una recta". Solución: Este teorema está dado en forma declarativa. Su forma condicional es: "Si A es un punto dado, entonces existe al menos una recta m que pasa por A". Así, la hipótesis es "Hay un punto A" y su tesis es "Existe al menos una recta que pasa por A".

AXIOMA 1 Por dos puntos distintos pasa una única recta.

COMENTARIO 1.5. Esta primera propiedad que aceptaremos verdadera, sin demostración alguna, establece que por dos puntos distintos siempre se puede trazar una recta, y si se dibuja otra por los mismos puntos debe coincidir con la anterior. A pesar de que el axioma 1 no apareció en Los Elementos, se cree que Euclides lo tenía en mente cuando en la demostración de la proposición 4 del Libro I escribió: "... dos rectas que pasan por dos puntos distintos no pueden encerrar un espacio". A

B

m

n

La "recta AB" denotará la recta que pasa por los puntos A y B y se dice, en general, que la recta queda determinada por A y B. "La recta ABC" denota la recta que pasa por los puntos A, B y C. EJEMPLO 1.7.

Demuestre el teorema dado en el ejemplo anterior. Solución:

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Hasta ahora solamente conocemos el axioma 1 y los comentarios anteriores. La hipótesis nos asegura la existencia de un punto A. Pero, para poder aplicar el axioma 1 se necesitan dos puntos distintos, y lo que haremos es tomar un punto B distinto de A. Por el axioma 1 existe una única recta que pasa por A y B, y en particular por A. Hemos demostrado que por cualquier punto pasa una recta. COMENTARIO 1.6. ¿Cómo se justifica la existencia de otro punto B? En un sentido estrictamente lógico habría que agregar otro axioma. Sin embargo, en el comentario 1.1 dejamos implícitamente claro que siempre hay más puntos y más rectas en el plano. Ya que la elección del punto B es arbitraria resulta que por un punto dado pasan infinitas rectas. El razonamiento inductivo sirve para descubrir nuevas proposiciones, pero no para hacer demostraciones matemáticas. Sin embargo, existe en Matemática un método de demostración llamado método de inducción matemática, que es útil para demostrar teoremas que involucren números enteros positivos n. Este método consta de dos pasos: (1) Se verifica el teorema para el mínimo valor de n. Es conveniente, aunque no necesario, verificar

el teorema para ciertos valores de n. (2) Se demuestra que si el teorema es verdadero para cierto valor k de n, entonces es verdadero para

k+1. De ambos pasos se concluye que el teorema es verdadero para todos los valores de n a partir de su mínimo valor. La suposición de que el teorema es verdadero para cierto valor k de n se llama la hipótesis inductiva. EJEMPLO 1.8. Hallar el número de rectas determinadas por n > 1 puntos donde tres cualesquiera de ellos no están en la misma recta. Solución: Estudiemos varios valores de n para ver si podemos hacer una conjetura.3 Si n = 2, entonces el axioma 1 asegura que pasa una única recta. Si S denota el número de rectas resulta en este caso que S = 1. Nótese que 2 es el mínimo valor de n. Si n = 3, entonces se tienen los tres puntos A1, A2, A3 que no están en la misma recta. Por A1 pasan las rectas distintas A1A2 y A1A3. Vea la figura siguiente a la izquierda.

AAA A 1

A3

2

A4

1

A3

2

Por A2 pasan dos rectas distintas A2A1 y A2A3, pero la primera de ellas ya estaba contada antes. Por A3 pasan dos rectas distintas ya contadas. En este caso el número de rectas es S = 2 + 1 = 3. Suponga que n = 4, es decir, hay cuatro puntos distintos A1, A2, A3, A4 donde tres cualesquiera de ellos no están en la misma recta. Vea la figura anterior derecha. Por A1 pasan las tres rectas distintas A1A2, A1A3, A1A4. Por A2 pasan las dos rectas distintas A2A3 y A2A4 no contadas antes, y por el punto A3 pasa la única recta no contada A3A4. Tendremos entonces que S = 3 + 2 + 1 = 6. Sean A1, A2, ..., An n puntos 3 Conjetura = juicio que se forma de las cosas mediante observaciones.

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distintos donde tres cualesquiera de ellos no están en la misma recta. Por A1 pasarán las n−1 rectas distintas A1A2, A1A3, ..., A1An. Por A2 pasarán las n−2 rectas distintas A2A3, A2A4, ..., A2An, hasta que finalmente, por el punto An−1 pasará la única recta An−1,An que no ha sido contada antes. Por ende, parece que tendremos que S = (n−1) + (n−2) + ... + 3 + 2 +1 4. Una fórmula para S se obtiene de la suma de una progresión aritmética y es

S =2

)1n(n − .........(*).

Advertimos que no hemos demostrado la fórmula (*) sino que hemos establecido una conjetura. Vamos a probar que efectivamente (*) es la respuesta adecuada y, para ello, recurriremos al método de inducción matemática. Al sustituir n = 2 en (*) se obtiene que S = 1 y concuerda con el axioma 1. Hemos verificado el primer paso. Supóngase ahora que k puntos, no tres cualesquiera de ellos en una

misma recta, determinan S = 2

)1k(k − rectas. Cuando se añade un punto más, que no esté en ninguna

de las rectas determinadas, y se une con los k puntos anteriores se obtienen k rectas nuevas. Por ende,

el número de rectas determinado por k+1 puntos es 2

)1k(kk2

)1k(k +=+

− . Luego, (*) es verdadera

para n = k+1 y se ha cumplido el segundo paso. El principio de inducción matemática asegura que (*) es verdadera para todo n > 1. EJEMPLO 1.9.

Dos rectas distintas tienen, a lo más, un punto en común. Solución: La forma condicional es "Si m y n son dos rectas distintas, entonces m y n tienen a lo más un punto en común". La hipótesis es "Hay dos rectas distintas m y n" y la tesis es "Las rectas m y n tienen a lo más un punto en común". Esta tesis nos dice que las rectas m y n tienen 0 ó 1 punto en común pero no pueden tener en común 2, 3, ..., etc5puntos. En las figuras anteriores hemos representado el caso en que m y n tienen 0 ó 1 punto en común. ¿Habrá más posibilidades?. Todas las posibilidades existentes se pueden resumir en: (i) m y n tienen 0 ó 1 punto en común, y (ii) m y n tienen 2, 3, ... puntos en común. Analicemos la posibilidad (ii). Supóngase que A y B son dos puntos distintos y comunes a m y n. El axioma 1 dice que por A y B pasa una única recta, y se concluye que m y n son iguales. Pero, esto es falso ya que la hipótesis dice que m y n son rectas distintas. Hemos demostrado que dos rectas distintas no pueden tener dos puntos en común, y así no podrán tener 3, 4, ..., etc puntos en común. Esta argumentación pone de manifiesto que la posibilidad (ii) no puede cumplirse y, por tanto, debe excluirse. En consecuencia, (i) es verdadera y hemos demostrado la proposición.

n m m

n

DEFINICIÓN 1.3. Se dice que dos rectas se cortan si tienen un solo punto en común. Varias rectas dícense concurrentes si todas pasan por el mismo punto.

4 Los puntos suspensivos indican que pueden existir más sumandos. 5 etc. es la abreviatura de la palabra de origen latino etcétera = sirve para sustituir el resto de una enumeración.

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Varios puntos dícense colineales si todos están en una misma recta. A D C B

EJEMPLO 1.10. Del ejemplo 1.6 vemos que un punto es siempre colineal, y del axioma 1 se deduce que dos puntos distintos siempre son colineales. COMENTARIO 1.7. Para comparar las formas y los tamaños de una figura Euclides usó el método de superposición, que consistía en colocar una figura sobre otra. No haremos uso de dicho método en estas notas. Los adjetivos grande y pequeño están relacionados con la lejanía y cercanía. En una figura pequeña dos puntos están cercanos entre sí, y en una figura grande hay puntos que están alejados entre sí. Pero, la cercanía y lejanía dependen a la vez del concepto de distancia entre dos puntos que es un término primitivo La distancia entre dos puntos es un número positivo y no depende del lugar desde el cual se empiece a hacer la medida. Le agregaremos la posibilidad de que la distancia sea cero y será en el caso, y sólo en el caso, en que los dos lugares coincidan. Estas características indican que la distancia entre dos puntos A y B es un número real AB que cumple las siguientes propiedades: (D1) AB ≥ 0 (D2) AB = 0 sii6 A = B (D3) AB = BA Una regla es un instrumento geométrico rectilíneo hecho de metal, de plástico o de madera y sirve para trazar rectas. Para trazar la recta que pasa por dos puntos distintos se coloca el borde de la regla hasta que coincida con ambos puntos, y se deja deslizar la punta del lápiz a lo largo de ese borde. A B

A B m

Una regla es graduada si tiene divisiones y con ella se miden distancias. Sean A y B dos puntos distintos de una recta m. Al colocar el borde de la regla graduada, coincidiendo con la recta m, a los puntos A y B le corresponderán dos números a y b de esa regla. La distancia AB entre A y B será la diferencia entre el número mayor y el número menor. En este caso se escribirá AB = a−b o AB = b−a dependiendo de cual de los números sea mayor o menor. En la figura a la derecha situada arriba se tiene que AB = 11−5 = 6.

11 5

Para evitar ambigüedades como la expresada arriba se introduce el valor absoluto de un número. Se escribe ⎮a⎮ para indicar a si a no es negativo y −a si a es negativo. Por ejemplo, ⎮5⎮ = 5, ⎮0⎮ = 0 y ⎮−2⎮ = 2. Es inmediato ver que el valor absoluto de un número no es negativo y que,

6 sii es la abreviatura de "si y sólo si".

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además, para todo número a se tiene que ⎮a⎮ = ⎮−a⎮. La distancia entre los puntos A y B será AB =⎮b−a⎮ = ⎮a−b⎮. A cada punto de la recta m le corresponde un único número real, y a cada número real le corresponde un único punto de m. Esto se expresa afirmando que existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y los números reales. Por consiguiente, la regla graduada sirve para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera.

AXIOMA 2

Los puntos de cualquier recta pueden numerarse de modo que la diferencia de números midan distancias. DEFINICIÓN 1.4. El número asignado a un punto de una recta se llama su coordenada. El punto de m asignado al número cero se llama origen de coordenadas. La correspondencia biunívoca entre los puntos de m y los números reales se llama sistema de coordenadas en m. Una recta junto con un sistema de coordenadas se llama recta real o eje de coordenadas. COMENTARIO 1.8. Salvo mención en contrario, si se usa una letra mayúscula para denotar un punto de una recta se usará su correspondiente letra minúscula para denotar su coordenada. A(a) se lee "A de a" denotará el punto A de coordenada el número a. Por razones prácticas e históricas se colocará la recta horizontalmente de modo que los números asignados vayan ascendiendo de izquierda a derecha. Esto quiere decir que el punto A(a) estará a la izquierda del punto B(b) sii a < b. De esta manera se establece un orden entre los puntos de un eje de coordenadas. EJEMPLO 1.11.

En la figura se ve que A(−1), B(1), C(4), D(9), AB = 1−(−1) = 2 y BD = 9−1 = 8.

A B D C m

4 9 –1 1 EJEMPLO 1.12.

En la figura que sigue hemos marcado algunos puntos de una recta y sus respectivas coordenadas. (a) ¿Cuál es la coordenada de B? ¿y la de F?

m A B C D E F G

1 0 -1 -2 2 3 4

(b) ¿Cuál es el nombre del punto de coordenada 1? ¿de coordenada −2? (c) Evalúense las distancias AC, BE y EG. Solución: (a) La coordenada de B es el número −1 porque es el número asignado a ese punto. Del mismo

modo se ve que la coordenada de F es 3. (b) El punto de coordenada 1 es C por la misma razón que en (a). De modo análogo se ve que el

punto de coordenada −2 es A. (c) AC = ⎮0−(−2)⎮ = 2, BE = ⎮2−(−1)⎮ = 3 y EG = ⎮4−2⎮ = 2.

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EJEMPLO 1.13. Describa en un eje de coordenadas el conjunto de los puntos P tales que p < 1. ¿Y si p ≥ 1?

Solución: Sea U el punto de coordenada 1. Como p<1 se sigue de lo anterior que el punto P está a la izquierda del punto U. Por tanto, el conjunto está formado por los puntos de la recta que están a la izquierda de U. En el otro caso se ve que el punto P coincide con U o está a su derecha. Vea las figuras que siguen. COMENTARIO 1.9. En la figura anterior hemos asignado en la parte superior los números 1 y 5 a los puntos A y B de una recta, y en la parte inferior los números −3 y 4. La distancia de A a B en la parte superior es ⎮5−1⎮ = 4 y ⎮4−(−3)⎮ en la parte inferior. ¿Cómo es posible que AB sean dos números distintos? Si la distancia de A a B se mide en metros y luego se mide en yardas, entonces se ve que los números obtenidos son distintos. Esta es la clave para contestar la pregunta anterior. El número que indica la distancia entre dos puntos depende de la unidad de medida. Un metro (1 m) es la unidad de distancia que sirve de base al sistema métrico decimal, y es igual a la diez millonésima parte de un cuadrante del meridiano terrestre que pasa por París. La palabra metro proviene del griego μετρον (metrón) que significa medida. Esta es la definición original. Hoy en día el metro se define como un múltiplo de la longitud de onda de la radiación anaranjada del criptón 86. Los múltiplos del metro son: 1 Decámetro (1 Dm) = 10 m 1 Hectómetro (1 Hm) = 100 m 1 Kilómetro (1 Km) = 1000 m Los submúltiplos del metro son: 1 decímetro (1 dm) = 0,1 m 1 centímetro (1 cm) = 0,01 m 1 milímetro (1 mm) = 0,001 m Las unidades del sistema inglés son: 1 yarda (1 yd) = 3 pies (ft) y 1 pie = 12 pulgadas (in). Se tiene además que la relación entre ambos sistemas de unidades es de 1 in = 2,54 cm.7

Las tres tablas que damos a continuación nos dan reglas mnemotécnicas8 para cambiar de unidades. Si se va de izquierda a derecha se van multiplicando por los números que van apareciendo hasta la unidad que se desee obtener; si se va de derecha a izquierda bastará efectuar la división en vez de la multiplicación.

Km Hm Dm m dm cm mm1 10 10 10 10 10 10

yd ft in 1 3 12

in cm 1 2,54

7 yd está formada por la primera y última letras de la palabra inglesa yard. Ft vienen del inglés foot = pie y feet = pies. In viene de la palabra inglesa inch = pulgada. 8 Mnemotécnica = que sirve para auxiliar la memoria.

U U

A B 5 1

4 -3

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EJEMPLO 1.14. 1. Transforme 1,726 Hm a cm. 2. ¿Cuántos Dm son 15,36 cm? 3. ¿Cuántas pulgadas son 7,5 yardas? 4. Transforme 5663 pulgadas a yardas. 5. Transforme 7 yardas a metros. 6. Transforme 6 metros a yardas. Solución: 1. 1,726 Hm = 1,726 x 10 x 10 x 10 x 10 cm = 17260 cm. Nótese que es lo mismo que correr la

coma cuatro lugares a la derecha.

2. 15,36 cm = 15,36 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 Dm = 0,01536 Dm. Basta "correr" la coma tres lugares a la izquierda.

3. 7,5 yd = 7,5 x 3 x 12 in = 270 in 4. 5663 m = 5663 ÷ 3 ÷ 12 yd = 157,31 yd 5. Lo que podemos hacer es transformar 7 yardas a pulgadas; éstas a centímetros y éstos a

metros. 7 yd = 7 x 3 x 12 in = 252 in = 252 x 2,54 cm = 640,08 cm = 6,4008 m 6. 6 m = 6 x 100 ÷ 2,54 ÷ 12 ÷ 3 yd = 6,5617 yd EJEMPLO 1.15.

La distancia entre los puntos A y B es 2,54 metros. ¿Cuál es su distancia en pulgadas? Solución:

Bastará reducir metros a pulgadas. 2,54 m = 2,54 x 10 x 10 cm = 254 cm = 254 ÷ 2,54 in = 100 in. EJEMPLO 1.16. La distancia AB medida en centímetros es 150 unidades mayor que 25 veces la misma distancia medida en metros. ¿Cuál es la distancia AB en metros? Solución: Se desea hallar un número que represente la distancia AB en metros. Como la cantidad es desconocida la denotaremos por la letra x que llamaremos incógnita (no conocida). Luego, 25x será veinticinco veces la distancia. Así, 150 + 25x es ciento cincuenta unidades mayor que veinticinco veces la distancia. Por otro lado 100x es la distancia AB medida en centímetros. Según las condiciones del problema se plantea la ecuación 100x = 150 + 25x. Al restar 25x se tiene que 75x = 150, y al dividir entre 75 vemos que x = 2. Esto indica que la distancia AB es 2 m. COMENTARIO 1.10. Es conveniente usar la misma unidad de medida en un problema, no importando la unidad escogida. Es lo que haremos en estas anotaciones, a excepción quizás en algunos ejercicios. EJEMPLO 1.17. Si A(a) y B(b) son dos puntos de una recta m, k es un número positivo, q = kb y p = ka, entonces los puntos P(p)0 y Q(q) están en m y PQ = k.AB. Solución: k.AB = k⎮b−a⎮ = ⎮k(b−a)⎮ = ⎮kb−ka⎮ = ⎮q − p⎮ = PQ. La segunda igualdad queda justificada porque al multiplicar b−a por el número positivo k no se altera el signo.

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COMENTARIO 1.11. Este ejemplo indica que si las coordenadas de dos puntos se multiplican por un número positivo, su distancia queda multiplicada por dicho número. Si se hace k = 1/AB en el ejemplo anterior resultará que PQ = 1 y esto indica que, dados dos puntos distintos A y B, es posible elegir una distancia de modo que AB sea la unidad de medida. EJEMPLO 1.18. Si A(0), B(4), C(8), E(16), A`C` es la distancia entre A y C para la cual se emplea AC como unidad de medida. ¿Cuál será la distancia A`E`? ¿y la distancia A`B`? Solución: Por el comentario anterior bastará dividir todas las coordenadas por el número positivo AC = ⎮8−0⎮ = 8. Así, A`(0), B`(4/8) y E`(16/8). Por tanto, se tiene que A`E` = ⎮2−0⎮ = 2 y A`B` = ⎮1/2 − 0⎮ = 1/2 TEOREMA 1.1. Sea P un punto de una recta m. Entonces existen exactamente dos puntos en m que están a una distancia dada d > 0 del punto P. Demostración: Este teorema nos pide mostrar que hay dos puntos X y Y en m de modo que PX = PY = d y que no hay más puntos de esos. De la igualdad XY = d se puede escribir que ⎮y−x⎮ = d. Si x ≤ y, entonces y−x = d y se tiene que y = x+d. Si x > y, entonces x−y = d y se tiene que y = q−d. Esto nos hace pensar que los puntos buscados son aquéllos cuyas coordenadas son x−d y x+d. Nótese que estos dos puntos son distintos ya que d > 0. Los puntos (x−d) y (x+d) de m cumplen con las condiciones dadas. Hemos demostrado así que existen dos puntos de m que están a la distancia d de P. Por otro lado, si X(x) es un punto de m tal que ⎮x−p⎮ = d, entonces resultará que x = p−d o x = p+d. Esto quiere decir que solamente hay dos puntos que cumplen con la condición dada. DEFINICIÓN 1.5. Diremos que el punto P está entre los puntos A y B si a < p < b o b < p < a. En este caso se dice también que B y P están del mismo lado de A o que A y B están en lados opuestos de P. B P A A B P

a p a a p b COMENTARIO 1.12.

En esta definición los puntos A, B y P son distintos. EJEMPLO 1.19. En el ejemplo anterior B está entre A y C ya que 0 < 4 < 16. Además, C no está entre E y F porque las desigualdades 16 < 12 < 20 y 20 < 12 < 16 son falsas. COMENTARIO 1.13. Si a, b, p son números distintos, entonces existen seis maneras de ordenarlos a < b < p, a < p < b, b < a < p, b < p < a, p < a < b y p < b < a. El segundo y cuarto casos indican que el punto P está entre los puntos A y B, mientras que los restantes casos niegan esa posibilidad. TEOREMA 1.2. Si P está entre A y B, entonces:

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1. AP + PB = AB 2. AP < AB y PB < AB Demostración: 1. Vamos a calcular las distancias indicadas en la igualdad. Como P está entre A y B se dan dos

posibilidades. CASO 1. a < p < b AP = p−a, PB = b−p y AB = b−a. O sea, AP + PB = (p−a) + (b−p) = b−a = AB. CASO 2. b < a < p AP = a−p, PB = p−b y AB = a−b. Así, AP + PB = (a−p) + (p−b) = a−b = AB.

2. De 1 se tiene que AP + PB = AB. Así, AB − AP = PB > 0 y AB−PB = AP > 0. COMENTARIO 1.14. Cada alumno debe tratar de hacer una demostración y ser capaz de redactarla. Una manera de lograrlo es escribir dos columnas: a la izquierda se van colocando las afirmaciones pertinentes, empezando con la hipótesis, y a su derecha se van colocando sus respectivas justificaciones. La demostración termina cuando la última afirmación coincida con la tesis. EJEMPLO 1.20. Si A, B, C y D son cuatro puntos colineales distintos colocados en ese mismo orden y AC = BD, entonces AB = CD. Solución: AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES 1. AC = BD 1. Hipótesis 2. B está entre A y C. 2. Hipótesis. 3. C está entre B y D. 3. Hipótesis 4. AB + BC = BC + CD 4. Teorema 1.2 5. AB = CD 5. Al simplificar por BC. La demostración termina aquí porque la última afirmación a la izquierda es la proposición que queríamos demostrar. EJEMPLO 1.21. Sean A, B, C tres puntos colineales distintos en ese orden. En cada caso indicado halle la distancia AC. (A) AB = 4 cm y BC = 10 cm (B) AB = 4m y BC = 10 m (C) AB = 4 Hm y BC = 10 Hm (D) AB = 4 ft y BC = 10 in (E) AB = 4 in y BC = 10 ft (F) AB = 4 yd y BC = 10 in Solución: De la hipótesis y el teorema 1.2 se ve que AB + BC = AC y se calcula AC. (A) AC = AB + BC = 4 cm + 10 cm = 14 cm (B) AC = AB + BC = 4 m + 10 m = 14 m (C) AC = AB + BC = 4 Hm + 10 Hm = 14 Hm (D) AB = 4 ft = 4.12 in = 48 in. Luego, AC = AB + BC = 48 in + 10 in = 58 in (E) BC = 10 ft = 10.12 in = 120 in. Así, AC = AB + BC = 4 in + 120 in = 130 in (F) AB = 4 yd = 4.3.12 in = 144 in. Así, AC = AB+BC = 144 in + 10 in = 154 in.

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DEFINICIÓN 1.6. Sean A y B dos puntos distintos. El conjunto formado por A, B y los puntos que están entre A y B se llama segmento AB. Los puntos A y B se llaman los extremos del segmento. Un punto de un segmento es interior si no es extremo. Se dice que el punto Q está en la prolongación del segmento AB si B está entre A y Q. La distancia AB se llama la longitud (o tamaño) del segmento. COMENTARIO 1.15.

B A Q m

Si X(x) es un punto que se mueve de A(a) a B(b), entonces x toma todos los valores reales entre a y b. Generalmente, esto se expresa diciendo que la recta es continua y no tiene huecos. Si a < b, entonces P(p) está en el segmento AB sii a ≤ p ≤ b. I(i) es un punto interior del segmento AB sii a < i < b. Q(q) está en la prolongación del segmento AB sii b < q. Aunque los segmentos AB y BA son iguales como conjuntos la prolongación de AB es distinta de la prolongación de BA. Algunos autores usan la notación AB con una rayita horizontal encima. Usaremos letras simples para denotar algunos segmentos. EJEMPLO 1.22.

En el ejemplo 1.18 el punto B es interior al segmento AC y E es un punto de su prolongación. EJEMPLO 1.23. (a) ¿Cuántos segmentos determinan cuatro puntos colineales distintos? (b) ¿Cuántos segmentos determinan n puntos colineales distintos? Solución: (a) Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos situados en una rectra m y en ese orden. Entonces los

segmentos determinados son AB, AC, AD. BC. BD y CD. Por ende, hay 6 segmentos. (b) Sean A1, A2; …, An n puntos distintos situados en una recta m y en ese orden. En este caso no

se pueden explicitar todos los segmentos determinados, como en el caso anterior, porque los puntos suspensivos no indican cuántos puntos hay. Sin embargo, el punto A1 es el extremo izquierdo de los n-1 segmentos que se forman con los n-1 restantes puntos a su derecha. El punto A2 es extremo izquierdo de n-2 segmentos. Siguiendo así vemos que hay 1 segmento cuyo extremo izquierdo es An-1. Por ende, hay (n-1) + (n-2) + … + 1 segmentos. Este número es

X = 2

n)1n( − según vimos en el ejemplo 1.8. Esta conjetura debe demostrarse y, para ello,

usaremos el método de inducción matemática. Si n = 2, entonces X = 1 y efectivamente dos puntos distintos determinan un único segmento. Supóngase que la fórmula es válida para n puntos de una recta m. Sea An+1 otro punto de esa recta distinto de los anteriores. Entonces este nuevo punto con los restantes forman n nuevos segmentos. Por ende, el total de segmentos es

2)1n(n

2nn

2n2nnn

2n)1n( 22 +

=+

=+−

=+− y se cumple la proposición para n+1. En

consecuencia, el número de segmentos buscados es X. DEFINICIÓN 1.7. Se dice que M es el punto medio del segmento AB si AM = MB y M está entre A y B. En este caso también se dice que A y B son puntos simétricos respecto de M o que A es el simétrico de B respecto de M o que M biseca al segmento AB.

81

Diremos que dos figuras F y F` son simétricas respecto de un punto O si para cada punto P de F existe un punto P` de F` de modo que O biseca al segmento PP`. El punto O se llama centro de simetría.

P M A B

O

P´

EJEMPLO 1.24.

Halle la coordenada del punto medio del segmento AB si sus extremos son los puntos A(1) y B(7). Solución: De la definición anterior se tiene que 1 < m < 7 y AM = MB. Así, AM = m−1, MB = 7−m. Popr ende, m−1 = 7−m. Al sumar m+1 se tiene que 2m = 8, y al dividir entre 2 resulta que m = 2. TEOREMA 1.3.

Si M es el punto medio del segmento AB, entonces 2m = a + b. Demostración:

a < m < b y m−a = b−m. Luego, 2m = a+b. COMENTARIO 1.16. El último teorema asegura que la coordenada del punto medio de un segmento es la media aritmética de las coordenadas de sus extremos. EJEMPLO 1.25. Sean A, B, C, D cuatro puntos colineales distintos colocados en ese orden. SI AD = 14 y BC = 8, halle AB + CD y calcule la distancia entre los puntos medios M y N de los segmentos AB y CD. Solución: Como B y C son puntos interiores de los segmentos AC y AD se sigue del teorema 1.2 que AB + BC = AC y AC + CD = AD. Sustituyendo la primera igualdad en la segunda se tiene que AB + BC + CD = AD. Colocando aquí los valores dados vemos que AB + 8 + CD = 10 y al restar 8 se tiene que AB + CD = 2 y hemos dado respuesta al primer requerimiento. Por otro lado, MN = MB + BC + ND = ½ AB + BC + ½ CD = ½ (AB + CD) + BC = 1+8 = 9 donde se han usado los teoremas 1.2 y 1.3.

A B C

M N

D

DEFINICIÓN 1.8 Se dice que el segmento AB es menor, igual o mayor que el segmento CD, y se escribe AB < CD, AB = CD o AB > CD, si la longitud de AB es menor, igual o mayor que la longitud de CD. COMENTARIO 1.17. La comparación de segmentos se reduce a la comparación de sus longitudes. Esto trae la ventaja de que al escribir AB < CD puede pensarse en la desigualdad de segmentos o de distancias. EJEMPLO 1.26.

Los segmentos que forman la letra T en la figura del ejemplo 1.3 son iguales.

82

COMENTARIO 1.18. Algunos autores usan la palabra congruencia para referirse a la igualdad de los segmentos. Así, igualdad = congruencia e iguales = congruentes.

Si AB < CD, entonces existe un único punto P tal que AB = CP y P está entre C y D. EJEMPLO 1.27.

Si A(1), B(7), C(5) y D(15), halle un punto P entre C y D de modo que AB = CP. Solución:

AB = 7−1 = 6 y CP = p−5. Así, 6 = p−5 y vemos que p = 11 es la coordenada del punto buscado. DEFINICIÓN 1.9. Sean O y A dos puntos distintos. Se llama semirrecta OA al conjunto formado por los puntos del segmento OA más los puntos de su prolongación. El punto O se llama el origen o vértice de la semirrecta. También se dice que la semirrecta OA parte de O. COMENTARIO 1.19. Si P es un punto de la semirrecta OA, entonces P está en el segmento OA o en su prolongación. Si A(a) es un punto de la recta m, entonces el conjunto de los puntos X(x) de modo que x ≥ a es una semirrecta de origen A, y el conjunto de los puntos Y(y) de m tales que y ≤ a es otra semirrecta de origen A. Luego, cada punto de una recta determina en ella dos semirrectas, que se dicen opuestas Si OA es una semirrecta y d > 0, entonces existe un único punto P en esa semirrecta tal que OP = d. Algunos autores usan la notación AB con una flecita encima para denotar una semirrecta. EJEMPLO 1.28. Sean A(1) y B(−3) dos puntos de una recta m. Halle las coordenadas de los puntos que están en la semirrecta AB. Halle un punto en ella que esté a la distancia 7 de A. Solución: Sea P(p) un punto de la semirrecta AB. Ya que −3 < 1 se sigue del comentario anterior que p ≤ 1. Si Q(q) es un punto de la semirrecta AB tal que AQ = 7, i.e.9⎮q−1⎮ = 7. Como q ≤ 1 se obtiene que 1−q = 7 y q = −6. COMENTARIO 1.20.

El cociente de dos números a y b se expresa mediante a:b o a ÷ b o a/b o ba y se lee "a sobre b". El

número a es el numerador y el número b es el denominador. Nótese que ba = k sii a = bk.

DEFINICIÓN 1.10.

Se llama razón entre dos segmentos al cociente de sus longitudes.

D C P B A

P A O

9 I.e. es la abreviatura de id est = esto es.

83

COMENTARIO 1.21.

Si k es la razón entre los segmentos AB y CD escribiremos kCDAB

= o AB/CD. Del comentario anterior

se sigue que kCDAB

= sii AB = k.CD. Por otro lado, x:y:z = a:b:c es la abreviatura de las igualdades

cz

by

ax

== .

EJEMPLO 1.29. Si A(1), B(3) y C(7), entonces AB = 3−1 = 2 y AC = 7−1 = 6. Luego, la razón entre los segmentos AB y AC es AB:AC = 2 : 6 = 1 : 3. EJEMPLO 1.30. Si A, B, C, D son cuatro puntos distintos y colineales, entonces la razón entre los segmentos AB y CD es AB:CD = ⎮b−a⎮ : ⎮d−c⎮ DEFINICIÓN 1.11.

Se dice que los segmentos a, b, c, d forman una proporción si dc

ba= . Los segmentos a y d se llaman

los extremos de la proporción, y los segmentos b y c se llaman sus medios. Cada uno de esos segmentos se llama la cuarta proporcional de los segmentos restantes. Se dice que el segmento b es media geométrica o media proporcional de los segmentos a y c si b2 = a.c. En este caso cualquiera de los dos factores del segundo miembro se llama una tercera proporcional. COMENTARIO 1.22. Una proporción es la igualdad de dos razones, y es verdadera sii el producto de los extremos es igual al

producto de los medios, es decir, yb

xa= si y sólo si a.y = b.x.

En el Libro V de los Elementos de Euclides se pueden leer las siguientes dos definiciones: 3. Una razón es determinada relación con respecto a su tamaño entre dos magnitudes

homogeneas. 6. Llámanse proporcionales las magnitudes que guardan la misma razón.

Se puede intuir de allí que la razón de dos cantidades es el cociente entre ellas y que una proporción es la igualdad de dos razones como se hizo en las dos definiciones anteriores. El inconveniente con el cociente es que no puede dividirse por cero. Por ejemplo, la razón entre el número de colores de la bandera venezolana y el número de circunferencias que ella contiene es de 3 a 0. Obviamente no se escribe 3/0. aunque puede escribirse como un par ordenado de números. Sin embargo, en este libro las distancias son positivas y no se presentará ningún incoveniente con el cociente. EJEMPLO 1.31.

Si AB = 2, CD = 7 y EF = 8, halle la longitud de la cuarta proporcional. Solución:

Si x es la cantidad buscada, entonces x8

72= . Luego, 2x = 56 y x = 28.

84

EJEMPLO 1.32. Halle la longitud del segmento que es media geométrica de los segmentos AB y CD de longitudes 1 y 2. Solución:

Si x es la cantidad deseada entonces x2 = 2 y así x = 2 es la solución. EJEMPLO 1.33.

Halle la longitud del segmento que es tercera proporcional entre los segmentos AB = 4 y CD = 8. Solución:

Si x es la cantidad buscada, entonces 42 = 8x. Luego, x = 2. DEFINICIÓN 1.12. Se dice que los segmentos a, b, c, ... son proporcionales a los segmentos x, y, z, ... si existe un número

k, llamado factor o razón de proporcionalidad, de modo que k...zc

yb

xa

==== Se dice que los seg-

mentos x, y, z, ... son inversamente proporcionales a los segmentos x, y, z, ... si a.x = b.y = c.z = … = k. EJEMPLO 1.34. Los segmentos a = 2, b= 3, c = 6 son proporcionales a los segmentos x = 4, y = 6 y z = 12 ya que

21

zc

yb

xa

===

EJEMPLO 1.35. Los segmentos a = 2, b = 3, c = 6 son inversamente proporcionales a los segmentos x = 18, y = 12 y z = 6 ya que a.x = b.y = c.z = 36. TEOREMA 1.4.

Si yb

xa= , entonces

1. by

ax=

2. y

ybx

xa +=

+

3. y

ybx

xa −=

−

4. yb

bxa

a+

=+

5. yb

bxa

a−

=−

Demostración: 1. De la hipótesis y el comentario 1.22 se ve que a.y = b.x Dividiendo por x.y se obtiene el resultado

deseado.

85

2. Al sumar 1 a la hipótesis se ve que 1yb1

xa

+=+ y al efectuar la suma se obtiene el resultado

esperado. 3. Bastará restar 1 en la hipótesis. 4. Aplíquese 1 a 2. 5. Aplíquese 1 a 3. EJEMPLO 1.36.

Halle las longitudes de tres segmentos si su suma es 72 y son proporcionales a los números 2, 3 y 7. Solución:

Si x, y, z son las cantidades buscadas, entonces x + y + z = 72 y 7z

3y

2x

== = k para cierto número k.

De las últimas expresiones se ve que x = 2k, y = 3k, z = 7k, y al sustituir en la primera igualdad resulta 12k = 72 y así k = 6. Por tanto, las longitudes buscadas son x = 2.6 = 12, y = 3.6 = 18 y z = 7.6 = 42. EJEMPLO 1.37. Si los segmentos a, b, c son inversamente proporcionales a los segmentos x, y, z y a ≤ b ≤ c, entonces z ≤ y ≤ x. Solución:

Por la primera hipótesis a.x = b.y = c.z = k para cierto número positivo k. Se tiene entonces que xka = ,

ykb = ,

zkc = . Así,

yk

xk≤ . Al multiplicar por

ky.x la desigualdad no cambia de sentido y se tiene que

y ≤ x. Por otro lado zk

yk≤ y al multiplicar por

kz.y se tiene que z ≤ y. Combinando las desigualdades

se obtiene la respuesta deseada. COMENTARIO 1.23. Dados dos puntos distintos A y B en una recta m existen muchas maneras en que un punto P de m pueda dividir al segmento AB. En el Libro VI de los Elementos de Euclides se lee la siguiente definición:

3. Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el (segmento) mayor es al menor.

Debemos advertir que aquí la palabra “recta” significa “segmento”. P

A B 1 x − 1

x

Sea P un punto entre A y B que esté más cerca de B que de A. Entonces lo que escribió Euclides en

notación moderna es PBAP

APAB

= . Se puede entonces escribir que AP2 = AB.PB . Esta igualdad dice

que el segmento mayor es media proporcional entre todo el segmento y el menor. Si se hace AP = 1 y AB = x, entonces PB = x − 1 y la igualdad se convierte en 1 = x(x − 1), es decir, x2 − x − 12 = 0. Su

86

raíz positiva es τ = 618033989.12

51≈

+ . Este número se conoce bajo el nombre de razón dorada o

divina proporción o número de Phidias. El girego Phidias (ca.490 – ca.431 AC) fue uno de los escultores más importantes de la antigua Grecia y decoró el partenón, que era el templo dedicado a la diosa Atenea. Su escultura Zeus de Olimpia es considerada como una de las siete maravillas del mundo. La manera más simple para dividir un segmento con un punto en su recta es considerar la razón entre las distancias del punto a los extremos. DEFINICIÓN 1.13. Sean A y B dos puntos distintos de una recta m y sea k un número real positivo. Diremos que el punto

P divide al segmento AB en la razón k si (ABP) = kPBAP

= . Se dice que la división es interna si el

punto P está entre A y B; y se dice que la división es externa si P está en m pero no está entre A y B. COMENTARIO 1.24.

De la definición dada se infiere que P no puede tomarse como uno de los extremos del segmento. En este capítulo se supondrá que la recta m está colocada horizontalmente y de ese modo podemos hablar de “izquierda” y de “derecha”. Al indicar un segmento AB se supondrá que A está a la izquierda de B. EJEMPLO 1.38. Supóngase que A(1), B(5), P(2) y Q(7). Como 1 < 2 < 5 y 1 < 5 < 7 vemos que P está entre A y B, y Q está en la prolongación del segmento AB. De AP = k.PB se sigue que 2−1 = k(5−2), i.e., k = 1/3. Esto indica que el punto P divide internamente al segmento AB en la razón 1/3. De la igualdad AQ = k`.QB se tiene que 7−1 = k`(7−5), i.e., k` = 3. Por ende, Q divide externamente al segmento AB en la razón 3. TEOREMA 1.5. Dados dos puntos distintos A y B de una recta m y k un número real positivo, existe un único punto P que divide internamente al segmento AB en la razón k. Demostración:

Este es un teorema de existencia y de unicidad. Probemos primero la existencia de ese punto.

Si AP = x, entonces PB = d-x. De (ABP) = k se ve que kxd

x=

− y así x = d

kk

1+. Bastará colocar el

punto P a la distancia x de A y este punto cumple con las condiciones del problema. Sean P y Q dos puntos que dividen internamente al segmento AB en la razón k. Entonces (ABP) = (ABQ) = k y vemos

que QBAQ

PBAP

= . Al sumar 1 en ambos miembros se tiene que 1QBAQ1

PBAP

+=+ , o sea, QBAB

PBAB

= . Se

deduce la igualdad PB = QB. Si P está entre Q y B, entonces PB < QB y no se cumple la igualdad anterior. Si Q está entre P y B, entonces PB > QB y tampoco se cumple la igualdad anterior. Por consiguiente, los puntos P y Q deben coincidir.

d-x x d

P A Q Q B

87

COMENTARIO 1.25.

A M

B El punto medio M del segmento AB lo divide internamente en la razón (ABM) = 1 al ser AM = MB. Si P está entre A y M, entonces AP < PB y (ABP) < 1. Si P está entre M y B, entonces AB > BP y se tiene que (ABP) > 1. Si P está a la derecha de B, entonces (ABP) > 1 y si está a la izquierda de A, entonces (ABP) < 1. Por tanto, no existe punto alguno en la recta AB que divida externamente al segmento AB en la razón k = 1. TEOREMA 1.6. Existe un único punto que divide externamente a un segmento dado según una razón dada distinta de uno Demostración:

d

Q A B

y

A B Q

x d .

Si (ABQ) = k > 1, entonces kx

xdQBAQ

=+

= y así 1k

dx−

= . Si (ABQ) = k < 1, entonces

kyd

yQBAQ

=+

= y así k1

kdy−

= . Hemos demostrado la existencia del punto Q.

A B Q S Q B A S Supóngase que hay dos puntos distintos Q y S en la prolongación del segmento AB tales que (ABQ) =

(ABS) = k > 1. Entonces SBAS

QBAQ

= y así SB

SBASQB

QBAQ −=

− . Luego SBAB

QBAB

= y se ve que

QB = SB. Pero, SB = BQ + QS > QB lo que contradice la igualdad anterior. Supóngase que hay dos puntos distintos Q y S en la prolongación del segmento BA tales que (ABQ) =

(ABS) = k < 1. Entonces SBAS

QBAQ

= . Al invertir esta igualdad se obtiene ASSB

AQQB

= , y al restar 1 se ve

que AS

ASSBAQ

AQQB −=

− . Por ende, ASAB

AQAB

= y se tiene que AQ = AS. Pero, AQ = AS + SQ > AS

lo que contradice la igualdad anterior. En ambos casos los puntos Q y S coinciden. TEOREMA 1.7. Si los puntos P y Q dividen interna y externamente al segmento AB en la razón k > 1, entonces los

puntos B y A dividen interna y externamente al segmento QP en la razón 1k1k

−+

Demostración:

A B

Q P

Supóngase que P y Q dividen interna y externamente al segmento AB en la misma razón k ≠ 1. Entonces

88

(ABP) = k = (ABQ) (a) Al sumar 1 a la primera igualdad de (a) se tendrá

)b(1kPBAB

L+=

Al restar 1 a la segunda igualdad de (a) obtenemos

)c(1kQBAB

L−=

Al dividir (b) entre (c) resulta

)d(1k1k

BPQB

L−+

=

Al invertir la primera igualdad de (a), sumarle 1 y volverla a invertir se tiene

)e(1k

kABAP

L+

=

Al invertir la segunda igualdad de (a), restarla de 1 y volverla a invertir se convierte en

)f(1k

kABAQ

LL−

=

Al dividir (f) entre (e) resulta

)g(1k1k

APQA

L−+

=

De (d) y (g) se deduce el teorema. COMENTARIO 1.26. La demostración anterior basada en la figura anterior está hecha para la razón k > 1 ya que Q está a la derecha de B. La demostración para k < 1 es similar y bastará cambiar k – 1 por 1 – k. En lo que sigue omitiremos las demostraciones para k < 1. DEFINICIÓN 1.14. Sean A y B dos puntos distintos de una recta m. Diremos que los puntos P y Q son conjugados armónicos de A y B si dividen interna y externamente al segmento AB en la misma razón. También se dice que los puntos P y Q dividen armónicamente al segmento AB o que los puntos P y Q separan armónicamente a los puntos A y B, o que los segmentos PQ y AB son armónicos o que los cuatro puntos A, B, P, Q forman una cuaterna armónica. EJEMPLO 1.39.

Halle el conjugado armónico del punto Q respecto de A y B en el ejemplo anterior. Solución: Ya vimos en ese ejemplo que el punto Q divide externamente al segmento AB en la razón 3. Debemos hallar un punto X(x) tal que 1< x <5 y AX = 3.XB. Así, x−1 = 3(5−x), y al efectuar las operaciones se tiene que x − 1 = 15 − 3x y se tiene que x = 4. En consecuencia, el conjugado armónico de Q respecto de AB es el punto de coordenada 4. COMENTARIO 1.27.

El calificativo armónico fue usado por los antiguos geómetras griegos.

89

TEOREMA 1.8. Para cada segmento y cada razón k ≠ 1 existe un único segmento armónico.

Demostración: Teoremas 1.5 y 1.6.

COMENTARIO 1.28. Del teorema 1.6 se deduce que el punto medio de un segmento es el único punto que no tiene conjugado armónico.

Escribiremos (ABPQ) = 1 para indicar que P y Q son conjugados armónicos respecto del segmento AB. Añadiremos “de razón k” cuando se desee enfatizar la razón común. TEOREMA 1.9.

Si (ABPQ) = 1 de razón k, entonces 1k

k2ABPQ

2 −=

Demostración:

A

P Q

B En la figura anterior se ve que PQ = AQ − AP. Al dividir cada término por AB, y usando (f) y (e) del

teorema 1.7 se obtiene 1k

k21k

k1k

kABPQ

2 −=

+−

−=

COMENTARIO 1.29.

Este teorema relaciona las longitudes de dos segmentos armónicos con la razón común. Si A(BPQ) = 1, entonces P y Q están del mismo lado del punto medio M del segmento AB. Por ende, el punto medio M está fuera del segmento PQ. De manera análoga el punto medio N del segmento PQ está fuera del segmento AB:

B M P A N Q

TEOREMA 1.10. Si (ABPQ) = 1 de razón k, entonces el punto medio N del segmento PQ divide externamente al segmento AB en la razón k2. Demostración: En la figura anterior se tiene que AN = AP + PN = AP + ½ PQ. Al dividir por AB, y usando los

teoremas 1.7 y 1.9 se obtieneABPQ

21

ABAP

ABAN

+= = 1k

k1k

k1k

k2

2

2 −=

−+

+. Es decir,

)a(1k

kABAN

2

2

L−

=

En la misma figura anterior se tiene que BN = PN − BP = ½ PQ − BP. Al dividir por AB, y usando el teorema 1.9 y el recíproco de (b) en el teorema 1.6 se obtiene

1k1

1k1

1kk

ABBP

ABPQ

21

ABBN

22 −=

+−

−=−= . Es decir,

)b(1k

1ABBN

2 L−

=

90

Al dividir (a) entre (b) se ve que 2kNBAN

= y queda demostrado el teorema.

TEOREMA 1.11. Si (ABPQ) = 1 de razón k y N es el punto medio del segmento PQ, entonces AN.BN = NP2

Demostración:

Al multiplicar (a) por (b) en el teorema anterior se obtiene ( )22

2

2 1kk

ABBN.AN

−= . Al elevar al cuadrado el

teorema 1.9 resulta 22

2

2

2

)1k(k4

ABPQ

−= . Al dividir las dos igualdades anteriores se ve que 4

BN.ANPQ2

= .

Luego. AN.BN = 22

2PQ

4PQ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= = NP2

TEOREMA 1.12.

Si (ABPQ) = 1 y M es el punto medio del segmento AB, entonces MP.MQ = AM2

Demostración: En la figura anterior se ve que MP = AP - AM = AP - ½ AB. Al dividir por AB y usar (e) del teorema

1.7 se tiene que )1k(2

1k21

1kk

21

ABAP

ABMQ

+−

=−+

=−= , es decir, )1k(2

1kABMP

+−

= . Se ve asímismo que

MQ = MB + BQ = ½ AB + BQ. Al dividir por AB y usar el recíproco de (b) en el teorema 1.7 se tiene

que )1k(2

1k1k

121

ABBQ

21

ABMQ

−+

=−

+=+= , o sea, )1k(2

1kABMQ

−+

= . Al multiplicar ambas igualdades

resulta 41

)1k)(1k(4)1k)(1k(

ABMQ.MP

2 =−+−+

= . Por consiguiente, se tiene que MP.MQ = 222

MA2

AB4

AB=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

TEOREMA 1.13. Si M es el punto medio del segmento AB y si P y Q son puntos de la recta AB que cumplen la igualdad MP.MQ = AM2, entonces (ABPQ) = 1. Demostración: Supóngase que A, B, P y Q son cuatro puntos colineales tales que MP.MQ = AM2. Supóngase que (ABP) = k y (ABQ) = t. Se tiene que AP = AM + MP = ½ AB + MP, PB = MB – MP = ½ AB – MP. AQ = AM + MQ = ½ AB + MQ y QB = MQ – MB = MQ – ½ AB. Luego,

t

2ABMQ

MQ2

AB

ykMP

2AB

MP2

AB

=−

+=

−

+. Despejando MP y MQ se ve que MP =

)1k(2)1k(AB

+− y MQ =

1t)1t(AB

−+ . Sustituyendo estos valores en la hipótesis y simplificando por AB2/4 se ve que kt + k – t – 1

= kt – k + t – 1, y al simplificar vemos que k = t. TEOREMA 1.14. La suma de los cuadrados de dos segmentos armónicos es igual a cuatro veces el cuadrado de la distancia entre sus puntos medios.

91

Demostración: En la figura anterior se ve que MN = AN − AM = AN − ½ AB. Al dividir entre AB y usar la

demostración del teorema 1.10 se obtiene )1k(2

1k21

1kk

21

ABAN

ABMN

2

2

2

2

−+

=−−

=−= . Elevando al

cuadrado esta igualdad y multiplicándola por 4AB2 resulta 22

2.222

)1k()1k(ABMN4

−+

= . Usando el teorema

1.9 se ve que AB2 + PQ2 = AB2 + 22

222

22

2222

22

22

)1k()1k(AB

)1k(]k4)1k[(AB

)1k(k.AB4

−+

=−

+−=

−, es decir,

AB2 + PQ2 = 22

222

)1k()1k(AB

−+ . Comparando ambas igualdades vemos que AB2 + PQ2 = 4MN2.

TEOREMA 1.15.

(ABPQ) = 1 si y solamente si se cumple AB2

AQ1

AP1

=+

Demostración:

Al sumar los recíprocos de (e) y (f) del teorema 1.7 se obtiene 2k

1kk

1kAQAB

APAB

=−

++

=+ . Al

dividir entre AB se ve que AB2

AQ1

AP1

=+ . Recíprocamente, supóngase que A, B, P y Q son puntos

colineales que cumplen la igualdad anterior. Al multiplicar por AB resulta 112AQAB

APAB

+==+ .

Luego, AQAB11

APAB

−=− , es decir, AQ

ABAQAP

APAB −=

− . Por ende, AQBQ

APPB

= , y al invertir se ve

que QBAQ

PBAP

= . Se tiene entonces que (ABP) = (ABQ).

COMENTARIO 1.30. Los números reales positivos a, b y c están en progresión aritmética si b – a = c – a. En este caso se

tiene que b = 2

ca + y se dice que b es la media aritmética de a y c. Los números reales positivos a, b y

c están en progresión geométrica si bc

ab= . Luego, b2 = ac y se dice que b es la media geométrica de a

y c. Diremos que el número positivo b es la media armónica de los números positivos a y c si los

recíprocos de a, b y c están en progresión aritmética. En este caso se tendrá que b1

c1

a1

b1

−=− , es

decir, c1

a1

b2

+= . Luego, b = ca

ac2+

El teorema 1.14 asegura que si (ABPQ) = 1, entonces el segmento

AB es la media armónica de los segmentos AP y AQ. Esta es la razón del calificativo armónico que se le da a estos puntos.

92

TEOREMA 1.16. La media aritmética de dos segmentos no es menor que su media geométrica, y ésta no es menor que su media armónica. Demostración: Todo número real al cuadrado es un número no negativo. Luego, si a y b son números positivos se

tendrá que ( ) 0ba2≥− , o sea, a + b – 2 ab ≥ 0. Así, ab

2ba≥

+ . Al multiplicar esta desigualdad

por 2 ab y dividir entre a + b se obtiene que ba

ab2ab+

≥ . Se concluye que si a, b y c son números

positivos, entonces ba

ab2ab2

ba+

≥≥+

EJEMPLO 1.40.

Demuestre que si a es un número real posito, entonces a + 2a1≥

Solución:

Aplíquese la primera desigualdad anterior a los números positivos a y a1 .

DEFINICIÓN 1.15. Sean O, A, B tres puntos distintos. Se llama ángulo al conjunto formado por los puntos que están en la semirrecta OA o en la semirrecta OB. El punto O se llama el vértice del ángulo y las semirrectas OA, OB se llaman sus lados.

α A

B

O B O A

COMENTARIO 1.31. "El ángulo AOB o BOA" significa el ángulo de vértice O y lados las semirrectas OA y OB. Si no hay confusión alguna usaremos sólo la letra del vértice para denotar al ángulo. En ocasiones usaremos las letras minúsculas griegas α(alfa), β(beta), δ(delta) y ω(omega) o los números naturales para denotar los ángulos. En ocasiones ∠AOB denota el ángulo de vértice O y de lados las semirrectas OA y OB.

EJEMPLO 1.41. ¿Cuántos ángulos están determinados en la figura derecha? Nómbrelos. ¿Cuántos de ellos será posible nombrar usando sólo la letra del vértice? Solución:

A

B Los ángulos que se forman son BAD, DAC, BAC, ABD, ADB, ADC y ACD. Los puntos A y D son vértices de varios ángulos y, por ende, al usar una sola letra no se sabrá a cual de ellos se refiere. Los puntos B y C son vértices de ángulos únicos y podemos nombrarlos con esa sola letra. Así, el ángulo B se refiere al ángulo ABD, y el ángulo C se refiere al ángulo BCA.

D C

COMENTARIO 1.32. Si AOB es un ángulo se dirá entonces que dicho ángulo está comprendido o está formado por OA y OB, o que los lados OA y OB comprenden o forman el ángulo.

93

Un transportador es un instrumento geométrico semicircular o circular hecho de metal, de madera o de plástico, y se usa para medir ángulos. Al colocar el centro del transportador en el vértice del ángulo AOB sus lados coincidirán con dos números de la escala, y la medida del ángulo será el número positivo que resulta de restar el menor del mayor. La medida de un ángulo es un término primitivo.

AXIOMA 3. Las semirrectas que parten de un mismo punto pueden numerarse de modo que la diferencia de números midan ángulos. COMENTARIO 1.33.

150 120 30

60 90

180 0,360

210

300 240 270

330 En el gráfico anterior hemos visualizado la manera usual de numerar las semirrectas que parten de un mismo origen, donde 0 y 360 sirven para numerar la misma semirrecta. Este uso se hace por razones históricas ya que hemos mantenido una tradición que se remonta a unos tres o cuatro mil años antes de Cristo cuando los matemáticos de Babilonia usaron estos números. Se usará la palabra ángulo para designar tanto a la figura geométrica como a su medida EJEMPLO 1.42.

En la figura anterior ∠ AOB = 35−20 = 15, ∠ BOC = 90−35 = 55 y ∠ AOC = 90−20 = 70.

DEFINICIÓN 1.16. Se dice que la semirrecta OP está entre las semirrectas OA y OB o que separa las semirrectas OA y OB o que las semirrectas OA y OB están en lados opuestos de la semirrecta OP si el número asignado a OP está entre los números asignados a OA y a OB. Se dice que P es un punto interior del ángulo si P no es O y la semirrecta OP está entre OA y OB. El interior de un ángulo es el conjunto de sus puntos interiores. Q se llama punto exterior del ángulo si no está en el ángulo ni es punto interior. Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que parte de su vértice y lo divide en dos ángulos iguales. interior

β

A P

α

O B

90

A

C

35 B

O 20

94

EJEMPLO 1.43. La semirrecta OP en la figura anterior izquierda es bisectriz de ∠AOB sii α = β sii ∠AOP = ∠POB.

DEFINICIÓN 1.17. Un ángulo A es menor, igual o mayor que un ángulo B, y se escribe A < B o A = B o A > B si la medida de A es menor, igual o menor que la de B. COMENTARIO 1.34. La comparación de ángulos se reduce a la comparación de sus medidas. Al escribir A < B puede pensarse en la desigualdad de ángulos o de sus medidas. ∠AOB < ∠CVD indica que el ángulo AOB es menor que el ángulo CVD. Muchos autores usan la palabra congruente en vez de igual para los ángulos. TEOREMA 1.17. Si AOB es un ángulo y la semirrecta OP está entre los lados OA y OB, entonces los ángulos AOP y POB son menores que el ángulo AOB. Demostración: Si a, b, p son los números asignados a las semirrectas OA, OB, OP, entonces de la igualdad (b−p) + (p−a) = b−a se deduce que la suma de las medidas de los ángulos AOP y POB es igual a la medida del ángulo AOB. Se escribe ∠AOP + ∠POB = ∠AOB. Como cada sumando es un número positivo se sigue de la última igualdad que ∠AOP < ∠AOB y ∠POB < ∠AOB.

AXIOMA 4. Todos los ángulos llanos tienen la misma medida.

COMENTARIO 1.35.

B

β A α

Dos semirrectas OA y OB forman dos ángulos α y β según se indica en la figura. Solamente nos interesarán los ángulos del tipo α, es decir, los ángulos menores o iguales a un llano. DEFINICIÓN 1.18. Un grado, denotado por 1º, es la medida de 1/180 de un ángulo llano. Un minuto, denotado 1`, es la medida de 1/60 de un ángulo de 1º. Un segundo, denotado por ", es la medida de 1/60 de un ángulo de 1`. COMENTARIO 1.36.

Un grado consta de 60 minutos y un minuto consta de 60 segundos. EJEMPLO 1.44.

15º 23` 40" se lee "15 grados, 23 minutos y 40 segundos". COMENTARIO 1.36. La notación del último ejemplo es una notación disfrazada de una suma de unidades distintas. Así, 15º 23` 40" es la suma de 15º + 23` + 40".

95

EJEMPLO 1.45 1. Transforme 5º a minutos. 2. Transforme 15º 20` a segundos. 3. Transforme 262` a grados. Solución: 1. 5º = 5.60 = 300` 2. 15º = 15.60.60 = 54000" y 20` = 20.60 = 1200". Por ende, 15º 20` = 54000" + 1200" = 55200" 3. 262` = 262/60 = 4,367º . EJEMPLO 1.46. 1. 40" + 50" = 90" = 1º 30` 2. 1` − 36" = 60" − 36" = 24" 3. 5º − 2º 5` 50" = 4º 59` 60" − 2º 5` 50" = 2º 54` 10". DEFINICIÓN 1.19. Dos ángulos se dicen contiguos o consecutivos si tienen un vértice común, un lado común y éste está entre los otros dos lados. Dos ángulos contiguos dícense adyacentes si los lados no comunes son opuestos.

A B

C

β

EJEMPLO 1.47.

En la figura izquierda α y β son ángulos contiguos, y a la derecha son adyacentes. EJEMPLO 1.48.

Si α y β son ángulos adyacentes, entonces α + β = 180º . TEOREMA 1.18. Dada la semirrecta OB, existen exactamente dos ángulos contiguos de lado común OB cuyas medidas son iguales a un número dado α > 0. Demostración: Vea la figura anterior a la izquierda. La demostración es similar a la dada para el teorema 1.2. Si β es el número asignado a la semirrecta OB, entonces se asignarán los números β − α y β + α a las semirrectas OA y OC. Luego ∠AOB = ∠BOC = α. EJEMPLO 1.49. Si α y β son los números asignados a los lados OA y OB de un ángulo OB, entonces ½(α + β) es el número asignado a su bisectriz. Solución: Sea x el número asignado a la bisectriz. Entonces α−x = x−β o β−x = x−α y, en ambos casos al despejar x, se obtiene el resultado deseado.

α O

β α

O

96

EJEMPLO 1.50. Halle el recíproco de "La suma de dos ángulos adyacentes es 180".

Solución: La forma condicional del teorema puede escribirse así: "Si α y β son ángulos adyacentes, entonces α + β = 180". Su recíproco será: "Si α + β = 180, entonces α y β son ángulos adyacentes". EJEMPLO 1.51. Considérense dos ángulos AOB y CVD de modo que sus medidas sean 90 según se indica en la figura que sigue. Nótese que la suma de las medidas de los ángulos es 180, pero esos ángulos no son adyacente porque no tienen un lado común.

D

A O V

B

C EJEMPLO 1.52. Considérese la proposición "Si dos triángulos tienen dos pares de lados proporcionales y los ángulos comprendidos iguales, entonces los triángulos son semejantes". Los recíprocos parciales de esta proposición son: 1. "Si dos triángulos son semejantes y dos pares de lados son proporcionales, entonces los ángulos

comprendidos entre ellos son iguales". 2. "Si dos triángulos son semejantes y dos ángulos de ellos son iguales, entonces los lados que

forman esos ángulos son proporcionales". EJEMPLO 1.53. Considérese la proposición: "La suma de los cuatro ángulos que forman dos rectas que se cortan es 360". Su forma condicional podría ser: "Si dos rectas se cortan, entonces los cuatro ángulos que se forman suman 360". La hipótesis es: "Hay dos rectas que se cortan" y la tesis es "Se forman cuatro ángulos cuya suma es 360". La recíproca es: "Si dos rectas forman cuatro ángulos que suman 360, entonces dichas rectas se cortan". La contrapositiva es: "Si dos rectas no forman cuatro ángulos que suman 360, entonces dichas rectas no se cortan". TEOREMA 1.19.

La suma de los cuatro ángulos que forman dos rectas que se cortan es 360. Demostración:

m n

ω α δ

β

97

Sean α, β, δ, ω los ángulos que se forman. Los pares de ángulos α, β y δ, ω son ángulos adyacentes y del ejemplo 1.72 se sigue que α + β = 180 y δ + ω = 180. Al sumar ambas igualdades se obtiene que α + β + δ + ω = 360. DEFINICIÓN 1.20. Dos ángulos se dicen complementarios si la suma de sus medidas es 90. Cada ángulo es complemen-tario con el otro o complemento del otro. Dos ángulos se dicen suplementarios si la suma de sus medidas es 180. Cada uno de ellos es suple-mentario con el otro o suplemento del otro. EJEMPLO 1.54.

Dos ángulos adyacentes son suplementarios. EJEMPLO 1.55. 1. Halle el complemento del ángulo 36º 15`. 2. Halle el suplemento del ángulo 108º 26` 45". Solución: 1. 90º − 36º 15` = 89º 60` − 36º 15` = 53º 45` 2. 189º − 108º 26` 45" = 179º 59` 60" − 108º 26` 45" = 71º 33` 15". EJEMPLO 1.56.

El suplemento de un ángulo dado es ocho veces el ángulo. Halle ese ángulo. Solución: Si x es el ángulo buscado, entonces 8x es ocho veces ese ángulo y 180 − x es el suplemento de dicho ángulo. Por las condiciones del problema se ve que 180 − x = 8x, y al sumar x vemos que 180 = 9x. Al dividir entre 9 resulta x = 20 que es la solución buscada. EJEMPLO 1.57.

Halle dos ángulos suplementarios que sean proporcionales a 3 y 6. Solución: Si x e y son esos ángulos, entonces x + y = 180 y x:3 = y:6 = k para cierto número k. De esta última expresión se sigue que x = 3k, y = 6k. Al sustituir estos dos valores en la primera igualdad resulta que 3k + 6k = 180 y al despejar k se tiene que k = 20. Por tanto, los ángulos buscados son x = 3k = 60 e y = 6k = 120. TEOREMA 1.20. Dos ángulos son iguales sii 1. Sus complementos son iguales. 2. Sus suplementos son iguales. Demostración: 1. α = β sii 90 − α = 90 − β 2. α = β sii 180 − α = 189 − β. DEFINICIÓN 1.21.

Un ángulo dícese agudo, obtuso o recto si su medida es menor, mayor o igual a 90.

98

ángulo obtuso ángulo recto

ángulo agudo COMENTARIO 1.37.

En ocasiones para denotar un ángulo recto se colocará un cuadradito en su vértice. EJEMPLO 1.58. A un ángulo agudo α se le suma la mitad de su complemento y se le resta la mitad de su suplemento. ¿Cuál es la medida del ángulo resultante?. Solución: Las cantidades ½(90 − α) y ½(180 − α) son las mitades del complemento de α y de su suplemento. Por las condiciones del problema se tiene que α + ½(90 − α) − ½(180 − α) = α − 45. Ya que α es agudo se tendrá que α < 90. Al restar 45 en ambos miembros de esta última desigualdad se ve que α − 45 < 45. Por tanto, el ángulo resultante es menor de 45. DEFINICIÓN 1.22. Dos rectas son perpendiculares u ortogonales si uno de los ángulos que ellas forman es recto. El corte de ambas perpendiculares se llama pie de la perpendicular.

C

A

P m B

TEOREMA 1.21.

Por un punto dado de una recta dada pasa una y solamente una recta que es perpendicular a ella. Demostración: Sea P un punto dado de una recta m y sea B otro punto de m. Vea la figura anterior. Por el teorema 1.6 existen dos semirrectas PA y PC de modo que los ángulos APB y CPB miden 90. Luego, los puntos A, P y B son colineales y se tiene que la recta AC es perpendicular a m. La unicidad surge del hecho de que las semirrectas PA y PC son únicas. COMENTARIO 1.38. En el capítulo 2 se probará que el teorema también es verdadero si P es un punto que no está en la recta m. Por ahora, supondremos que eso es verdadero. DEFINICIÓN 1.23. La mediatriz de un segmento AB es la perpendicular a la recta AB que pasa por el punto medio M del segmento AB. Dos ángulos dícense opuestos por el vértice si los lados de uno de ellos son opuestos a los lados del otro.

99

A M

m

P α β COMENTARIO 1.39. En la figura anterior a la izquierda m es mediatriz del segmento AB. En la figura a la derecha los ángulos α y β son opuestos por el vértice. En el comentario 1.15 se dijo que los niños aprenden por imitación y experimentación. Tenemos la esperanza de que los razonamientos expuestos en estas páginas puedan ser imitados por los lectores. Empecemos a efectuar algunos experimentos que esperamos sean útiles. EXPERIMENTO 1.1. n Considérense dos rectas m y n que se cortan formándose los ángulos α, β, δ, ω. Los pares de ángulos α, β; β, δ; δ, ω; ω, α son adyacentes y se pueden escribir las igualdades

α + β = 180, β + δ = 180, δ + ω = 180, ω + α = 180 ......... (*) Si se hace α = 90, entonces m y n son perpendiculares por la definición 1.21. De las tres primeras igualdades de (*) se ve que α = β = δ = ω = 90. Esto demuestra el TEOREMA 1.22.

Si dos rectas son perpendiculares, entonces los cuatro ángulos formados son rectos. EXPERIMENTO 1.2. Si se hace α = β en la primera igualdad de (*) se tiene que 2α = 180 y así α = 90. Hemos demostrado el TEOREMA 1.23.

Dos ángulos adyacentes iguales son rectos. EXPERIMENTO 1.3. Si se hace α = β = δ = ω, entonces de la dos primeras igualdades de (*) se ve que α = β = δ = ω = 90º. Por consiguiente hemos demostrado el TEOREMA 1.24. Si dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos iguales, entonces dichas rectas son perpendiculares. EXPERIMENTO 1.4. Al comparar las dos primeras igualdades con las dos últimas de (*) resulta que α + β = β + δ y β + δ = δ + ω y simplificando obtenemos que α = δ y β = ω. Por consiguiente, se ha demostrado el TEOREMA 1.25.

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.

ω

β

δ α

m

100

EJEMPLO 1.59. Si dos rectas que se cortan no son perpendiculares, entonces uno de los ángulos que forman es agudo y otro es obtuso. Solución: Si las rectas no son perpendiculares, entonces ninguno de los ángulos formados α, β, δ, ω es recto. La negación de "Hay un ángulo agudo" es "Todos los ángulos son obtusos", y la negación de: "Hay un ángulo obtuso" es "Todos los ángulos son agudos". Esto nos sugiere usar el método de reducción al absurdo. La tesis en este ejemplo es "Uno de los ángulos es agudo y otro es obtuso". De lo expresado arriba se sigue que la negación de la tesis es "Todos los ángulos son agudos u obtusos". Si α, β, δ y ω son ángulos agudos, entonces α < 90, β < 90, δ < 90 y ω < 90. Al sumar estas desigualdades se ve que α + β + δ + ω < 360 lo que contradice al teorema 1.7. Si α, β, δ y ω son ángulos obtusos, entonces α > 90, β > 90, δ > 90 y ω > 90 Al sumar las desigualdades se tiene que α + β + δ + ω > 360 lo que también contradice al teorema 1.7. En consecuencia, la tesis es verdadera porque su negación es falsa. EJEMPLO 1.60.

Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares. Solución: Sean AOB y BOC dos ángulos adyacentes y sean las semirrectas OP y OQ sus respectivas bisectrices. El ángulo AOB quedará dividido en dos ángulos iguales a α, y el ángulo BOC quedará dividido en dos ángulos iguales a β. Del ejemplo 1.56 se sigue que 2α + 2β = 180 y al dividir entre 2 resulta que α + β = 90. Pero, α + β es el ángulo POQ que forman las bisectrices y debido a la definición 1.19 ellas son perpendiculares.

α

Q B P

A O

C

β α

β EJEMPLO 1.61.

Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales. Solución: C

Considérense los ángulos AOB y COD opuestos por el vértice. Del teorema 1.13 se deduce que ambos ángulos tienen la misma medida que aceptaremos es 2α Del mismo modo se ve que los ángulos BOC y AOD son iguales y llamaremos β a su medida común. Por el teorema 1.7 se tiene que 4α + 2β = 360 y, al dividir entre 2, resulta 2α + β = 180. Si OP y OQ son las bisectrices de los ángulos AOB y COD, entonces los ángulos POB y QOC miden α. Luego, el ángulo POQ es 2α + β = 180 y se tiene que las semirrectas OP y OQ son opuestas.

α β

A

α

B

P α

O

α β Q

D

101

DEFINICIÓN 1.24. La proyección ortogonal de un punto P sobre una recta m es el pie de la perpendicular a m que pasa por P. Se llama proyección ortogonal de un segmento AB sobre la recta m al segmento cuyos extremos son las proyecciones ortogonales de A y B sobre m. P

B´

A

A´

B

C

D

D´ C´

d P´ COMENTARIO 1.40. La proyección ortogonal de un punto de una recta sobre ella misma coincide con el punto. Se puede hablar de perpendicularidad entre segmentos y semirrectas o mezcla de ellas, entendiendo que son perpendiculares a las rectas que las contienen. DEFINICIÓN 1.25. Se llama distancia de un punto a una recta a la distancia entre el punto y su proyección ortogonal sobre la recta. COMENTARIO 1.41.

La distancia de un punto a una recta es cero sii el punto está sobre la recta. DEFINICIÓN 1.26. Una circunferencia es el conjunto de los puntos que están a una distancia dada de un punto dado. El punto dado se llama centro de la circunferencia y la distancia dada se llama radio de la circunferencia. También se llama radio al segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. El segmento que une dos puntos de una circunferencia se llama cuerda. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. También se llama diámetro al doble del radio. COMENTARIO 1.42. En la figura anterior O es el centro de la circunferencia. AB es un diámetro, CD es una cuerda y OT es un radio. Un compás es un instrumento geométrico formado por dos varillas: una de ellas permanece fija y usualmente termina en una punta afilada de metal, y la otra termina en una punta de lápiz y gira alrededor de la anterior para trazar una circunferencia o un arco de ella. Un compás euclidiano es un compás donde las varillas se cierran al levantar una de ellas de la hoja de papel. Con un compás euclidiano se puede trazar la circunferencia, centrada en un punto dado, que pase por otro punto dado. Un compás moderno es un compás que mantiene fija la abertura de sus varillas al levantarlas de la

A

D

C

O B

102

hoja de papel. Con un compás moderno se puede hacer lo mismo que con el compás euclidiano y, además, se pueden trasladar distancias y construir así la circunferencia centrada en un punto dado que tenga un radio dado. A pesar de lo que pueda pensarse con un compás euclidiano puede trasladar distancias como veremos en el capítulo 5. O(A) significa la circunferencia de centro O que pasa por el punto A. O(k) significa la circunferencia de centro O y radio k. O(AB) significa la circunferencia de centro O y radio AB. Para trazar O(A) se coloca la varilla fija en O y la móvil en A y se hace girar el compás. Uno de los objetivos de la enseñanza de la Geometría en la escuela elemental es que los alumnos adquieran disciplina académica para poder cumplir con las obligaciones culturales ante la sociedad, y esto se logra a través de las tareas realizadas por cada alumno, las cuales deben revisarse, corregirse y evaluarse. TAREA 1.1 En 5 hojas de papel trace con el compás sendas circunferencias de radios distintos. Tome un cordel y acomódelo a lo largo de cada circunferencia lo mejor posible, y al estirarlo mida su longitud con una regla graduada. Se obtiene de esta manera un número que dará la longitud de la circunferencia. Trace un diámetro cualquiera y mídalo con la regla graduada. De este modo se obtienen 5 longitudes L1, L2, L3, L4 y L5 y 5 diámetros d1, d2, d3, d4 y d5. Fórmense los cinco cocientes Lj entre dj. El objetivo de esta tarea es verificar que los cinco números obtenidos deben ser más o menos iguales. Este número común debe ser aproximadamente 3,1416, se llama número pi y se denota mediante la letra griega π (pi). Por esta razón si L es la longitud de la circunferencia y d es su diámetro, entonces L/d = π. En consecuencia, la longitud de una circunferencia es L = d.π = 2πR donde R es el radio de la circunferencia. COMENTARIO 1.43. Los puntos pueden trazarse usando un lápiz. Con una regla pueden trazarse rectas, segmentos y semirrectas. Si la regla es graduada puede, además, medirse la distancia entre dos puntos ¿Cómo se hace una construcción geométrica?. No tenemos respuesta a esa pregunta y debe usarse el ingenio y la intuición para hacerla. En el capítulo 5 se estudiarán detalladamente las construcciones geométricas usando solamente los instrumentos euclidianos.

EJEMPLO 1.62.

Trace tres puntos no colineales. Solución: Trace dos puntos distintos A y B. Trace la recta AB. Trace un punto C que no esté en dicha recta. Una solución son los puntos A, B y C. EJEMPLO 1.63. Sea m una recta dada, sea A un punto de ella y sea α un número dado tal que 0 < α < 180. Trace una recta n que pase por A y forme con m un ángulo de medida α. Solución:

n

A α m

103

Si se coloca el transportador cuyo centro coincida con el punto A, a las rectas m y n les corresponderán dos números a y b de la escala de modo que b − a = α por el axioma 3. Luego, b = α + a. La construcción es así: Coloque el transportador de modo que su centro coincida con el punto A. Marque el número correspondiente a la recta m y marque un punto B en la división a + α en la escala del transportador. Trace la recta AB que será la solución. EJEMPLO 1.64. Sea m una recta dada, sea A un punto dado y sea d > 0 un número dado. Trace en m un punto B de modo que AB = d. Solución: Sea B una solución. Entonces B está en m y AB = d. Ésta última igualdad nos dice que B está a la distancia dada d del punto dado A. Por ende, B debe estar en la circunferencia A(d). Por consiguiente, B debe estar en m y en A(d). La construcción es así: Trace A(d) hasta cortar la recta m en una solución B. COMENTARIO 1.44. Nótese en esta construcción que si A está en la recta m, entonces hay dos puntos B que cumplan las condiciones del problema. Si A no está en m, entonces puede haber una, dos o ninguna solución dependiendo del valor de d. EJEMPLO 1.65.

Halle el punto medio de un segmento AB. Solución: Se usará el teorema 1.3. Coloque el borde de la regla graduada sobre la recta AB. Si a y b son los números correspondientes a los puntos A y B, se toma el número m tal que 2m = a + b. Trace el punto M de la regla graduada que corresponda al número m calculado. EJEMPLO 1.66.

Trace la bisectriz de un ángulo dado usando la regla y el compás. Solución: Sea AOB el ángulo dado y se desea trazar su bisectriz. Se coloca el transportador con el vértice O y se miran los números s y t correspondientes a los lados OA y OB. Se toma la semisuma de esos dos números y se marca en el transportador mediante un punto que hemos marcado P. La semirrecta OP es la bisectriz buscada.

A n

A

B m B

O

B

A

P

104

EJERCICIOS §1 1. Tres puntos son colineales si al menos dos de ellos coinciden. 2. Si tres puntos no son colineales, entonces son distintos. 3. ¿Cuántas rectas pasan por 4 puntos distintos? 4. ¿Puedes dibujar cuatro rectas que se corten en 5 puntos distintos? 5. Halle P si A( 2 ), B( 23− ), AP = PB y A, B, P son colineales. 6. Halle el punto C si A(4), B(−7), B está entre A y C y AC = 17. 7. En la figura que sigue (a) Calcule la distancia entre cada par de puntos. (b) ¿Qué relación hay entre un punto X de la recta m y los puntos C y D si B es el punto medio del segmento

AX? (c) Halle la coordenada del punto E simétrico de C respecto de A. (d) Halle la coordenada del punto medio del segmento BD. (e) Halle un punto en m que esté a la distancia 5 del punto B. (f) Divida el segmento AD internamente y externamente en la razón 3:2.

22 13 5 -3

B C D A

8. Sean A y B dos puntos distintos. Describa la intersección de las semirrectas AB y BA. 9. Sean A, B y C tres puntos colineales. ¿Cuáles de estos enunciados pueden ser verdaderos?

A

(a) C está entre A y B, y B está entre A y C. (b) B está entre C y A, y B está entre A y C. (c) A está entre B y C, y C está entre A y B. (d) C está entre B y A, y A está entre C y A. 10. Sean A(a), B(b) y C(c) tres puntos de un eje de coordenadas con a > 0 y a > b. Indicar que punto está entre los

otros dos si (a) b > 0; (b) b < 0; (c) b = 0. 11. Sean A(1), B(5), C(5/2) y D(8) cuatro puntos de una recta m. ¿Son C y D los conjugados armónicos de A y B?

En caso de una respuesta negativa halle el conjugado armónico de C respecto de A y B. 12. Si B está entre A y C, entonces C está en la semirrecta AB. 13. De tres puntos colineales y distintos uno de ellos está entre los otros dos. 14. Sea AB una semirrecta y sea C un punto entre A y B. ¿Será posible que AC = AB? ¿Por qué? 15. La coordenada de M, punto medio de AB, es 5. Si la coordenada de A es mayor que la coordenada de B y MB =

9, ¿cuáles son las coordenadas de A y B? 16. Trace una recta horizontal m y trace en ella cuatro puntos distintos A, B, C y D en ese mismo orden. Trace

cuatro copias de la figura anterior y en cada una de ellas resalte una de las figuras siguientes: (a) el segmento AB (b) el segmento DB (c) la semirrecta AC (d) la semirrecta DB 17. Si A, B, P son tres puntos colineales, AB = 3 y BP = 5. ¿De cuántas maneras es posible disponer de esos puntos? 18. Sean A, B, P puntos colineales tales que AP = 8 y BP = 14. (a) ¿Será posible decir qué punto está entre los otros dos? (b) Haga un dibujo para hallar la distancia de A a B. ¿existen varias posibilidades? (c) Si AP = 6, ¿cuál punto estará entre los otros dos? (d) Si AP = m, AB = n y BP = n + m, ¿cuál punto estará entre los otros dos? 19. Si la distancia AB en pies es x, ¿cuál es la distancia en pulgadas? ¿y en yardas? 20. Si la distancia AB es de 5 yardas con 7 pies, ¿cuánto es la distancia en centímetros? 21. ¿Qué relación hay entre las coordenadas de un punto P y la de los puntos A y B si P es un punto de la recta AB

que no está en el segmento AB? 22. Un punto P está en la prolongación del segmento AB sii a < b < p. 23. Si A, B, P son puntos distintos, colineales y AP + PC = AC, entonces P está entre A y B. 24. "Un punto P es punto medio del segmento AB si AP = BP". Explique por qué esta proposición no sirve como

definición de punto medio de un segmento. 25. Halle AC en la semirrecta AB si AB = 6 y BC = 15. 26. Halle AC en la semirrecta AB si AB = 15 y AC = 6.

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27. Una hormiga camina sobre una estaca vertical y sube 6 cms en dos minutos, después, baja 3 cms en un minuto; de nuevo, sube 6 cms en dos minutos y baja 3 centímetros en un minuto, y sigue así sucesivamente. ¿Cuánto tiempo tardará en subir 30 cms?

28. Sean A y B dos puntos distintos de una recta m y sea M el punto medio del segmento AB. Todo punto P de m que está situado con respecto a M del mismo lado de A estará más cerca de A que de B.

29 ean A, B, C tres puntos de una recta m en ese mismo orden. ¿En qué lugar de m se puede colocar un punto P de modo que la distancia al punto B sea más pequeña que la distancia al punto A o la distancia al punto C?

29. Sean O, A, B, C, D cinco puntos de una recta m en ese mismo orden. Si OA = 1, OB = 3, OC = 5 y OD = 7, M y N son los puntos medios de los segmentos AB y CD y U es el punto medio del segmento MN halle OU.

30. Sean O, A y B tres puntos de una recta en ese mismo orden de modo que OA = 4 y OB = 10. Calcule AB y la distancia OM de O al punto medio M del segmento AB.

31. Sean A, B y C tres puntos de una recta y supóngase que C no está en el segmento AB, AB = 8 y BC = 4. Sean M, N y P los puntos medios de los segmentos AB, AC y BC. Los puntos medios de los segmentos MN y AP coinciden, ¿Cuál es la distancia de ese punto medio a A?.

32. Si A(0), B(72), C es el punto medio del segmento AB, P(27) y Q(30) evalúe las razones PA:PC y QA:QC. Halle los conjugados armónicos de P y Q respecto de A y B.

33. Si C y D dividen interna y externamente al segmento AB en la razón p:q, entonces los puntos B y A dividen interna e externamente al segmento DC en la razón (p+q):(p−q). Además,CD=2.AB.pq:(p2 −q2).

34. Si C y D dividen al segmento AB armónicamente en la razón p:q, entonces el punto medio del segmento CD divide al segmento AB externamente en la razón p2:q2. Además, se tiene que MN = AB (p2+q2)/2(p2−q2).

35. La suma de los cuadrados de dos segmentos armónicos es igual a cuatro veces el cuadrado de la distancia de sus puntos medios.

36. Sean A, B, C, D cuatro puntos colineales en ese mismo orden. (a) ¿Son CA y CD semirrectas opuestas? (b) ¿Está el punto C en la semirrecta BD? (c) Determine la intersección de las semirrectas CA y BD. 37. En cada caso haga −si es posible− un dibujo que ilustre la proposición indicada. (a) B está entre A y C, y C está entre A y D. (b) A, B, C, D son cuatro puntos colineales, A esta entre C y D y D está entre A y B. 38. Sean A y B dos puntos de una recta m tales que AB = 4. Sean P y Q puntos de m de modo que PA:PB = QA:QB

= 3:2. Calcule PA, PB, QA y QB. Si O es el punto medio del segmento AB, entonces OP.OQ = OA2. 39. Sean A, B, C, D cuatro puntos de una recta m en ese mismo orden de modo que AB = 5, BC = 1 y CD = 3.

Considérese un punto P de m que no esté en el segmento AC y PA:PC = 5:· y un punto Q de m entre B y C tal que QB:QC = 5:3. Si M y N son los puntos medios de los segmentos AB y CD, evalúense las razones PM:PN y QM:QN.

40. Dividir un segmento de longitud 9 en tres partes de modo que la razón de la primera parte a la segunda sea 2:3 y la razón de la segunda parte a la tercera sea 4:5.

41. Si α y β son dos ángulos contiguos, entonces ½(α + β) es el ángulo que forman sus bisectrices. 42. ¿Cuántos ángulos no llanos forman tres rectas concurrentes? 43. Se toma el ángulo recto como la unidad de medida y se tiene los ángulos α = 1/2, β = 1/3, δ = 2/5 y ω = 5/6.

¿Cuáles son los complementos y suplementos de esos ángulos? 44.

B 40

A 28

P D 87 C 60

O

(a) Calcule las medidas de los ángulos AOB, BOC y COD. (b) Si OP es la bisectriz de del ángulo COD, ¿qué número le corresponderá a esa semirrecta? (c) ¿Es la semirrecta OB bisectriz del ángulo AOC? (d) ¿Está OB entre las semirrectas OA y OP? 45. Si α = 68º, β = 145º, δ = 32º 29` 50" y ω = 118º 30` 10" . Halle los complementos y suplementos de esos

ángulos. Calcule la suma de los 4 ángulos.

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46. Se dan dos ángulos contiguos. Entonces el ángulo formado por sus bisectrices es igual a la semisuma de los ángulos dados. ¿Cuál es el ángulo de las bisectrices si los ángulos son complementarios? ¿y si son suplementarios?

47. Sean OC y OC` las bisectrices de los ángulos dados AOB y A`OB^. Si OA y OA` , OC y OC` son semirrectas opuestas, entonces OB y OB` son semirrectas opuestas.

48. ¿Cuántos pares de ángulos opuestos por el vértice se forman al cortarse dos rectas? ¿y tres rectas? 49. Si los ángulos BAD y DAC miden 65 y 32, ¿cuánto mide CAB? 50. En la figura a la derecha se le asigna el número 0 a la semirrecta OB, el número.

72 a la semirrecta OB Halle α. Conteste la misma pregunta si 0 y 35 se cambian por x y α. 51. Considérese un ángulo XOY. Si OX es la bisectriz de un ángulo AOB y OY es la bisectriz de un ángulo

COD, entonces los ángulos AOC y BOD son suplementarios.

D O α

C B

A

52. En la figura a la derecha los ángulos AOC y COE miden 30 y 70. OB es la bisectriz del ángulo AOC y OD es la bisectriz del ángulo B

D E C

A O COE. ¿Cuánto miden los ángulos AOB, BOD, COD, EOD y BOE?

53. Las cuatro semirrectas OA, OB, OC, OD forman los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD. Supóngase que OA y

OD son semirrectas opuestas y que el ángulo BOC mide 120º. Calcule la suma de los ángulos OAB y COD y el ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD

54. ¿Qué ángulo forma el minutero de un reloj si va desde las 3 y 17 a las 3 y 25. ¿Desde las 3 y 17 a las 3 y 55? 55. Dos rectas que se cortan forman un ángulo de 36º.

(a) Halle las medidas de los otros tres ángulos. (b) Si a uno de los lados se le asigna el número 26, ¿cuáles serán los números asignados a los otros dos lados?

56. El minutero está a las 3 y 15 . ¿Qué hora marcará si recorre un ángulo de 72º? 57. Halle el complemento y el suplemento de (a) 26º; (b) 26º 13`; (c) 26º 13`37" 58. Si las bisectrices de dos ángulos contiguos son perpendiculares, entonces dichos ángulos son adyacentes. 59. Un ángulo es agudo sii su suplementario es obtuso. 60. Todo ángulo menor que un agudo es agudo. 61. Todo ángulo que es mayor que un obtuso es obtuso 62. ¿Qué puede decirse de un ángulo menor que un obtuso? 63. Dos ángulos consecutivos suman 100º, ¿cuál es el ángulo de sus bisectrices? 64. Halle α si su complemento es 2α. 65. Halle α si su suplemento es (1/3)α. 66. ¿Qué ángulo es igual al doble de su complemento? 67. Nombrar los lados del ángulo XOY. 68. Halle dos ángulos cuya suma sea 90 y su diferencia sea 10. 69. Halle dos ángulos suplementarios cuya diferencia sea 140 70. Halle dos ángulos suplementarios si uno es 20 mayor que el otro 71. Halle el ángulo que es igual a su complemento 72. ¿Cuál es el ángulo si su suplemento es 30 más que dos veces su complemento? 73. La diferencia de dos ángulos consecutivos es 90. Halle el ángulo entre sus bisectrices.

B S A

Q P

74. En la figura anterior X, O, Y son puntos colineales y OP, OS, OQ son las bisectrices de los ángulos XOA, AOB, BOY. Calcule todos los ángulos que se forman sabiendo que la recta OS es perpendicular a la recta XY y la suma de los ángulos XOA y QOY es 100.

Y O X

75. Cuatro semirrectas consecutivas OA, OB, OC, OD forman los ángulos α, β, δ, ω de modo que ω = β = 2α y δ = 3α. Halle cada uno de esos ángulos.

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76. Desde un punto O de una recta XY se trazan dos semirrectas OA y OB del mismo lado de XY, y las bisectrices de los ángulos XOA, AOA y BOY. Halle los ángulos si la bisectriz de AOB es perpendicular a XY y las bisectrices de los ángulos externos forman 100.

77. Halle los ángulos α, β, δ, ω que forman las cuatro semirrectas consecutivas O, OB, OC, OD si son proporcionales a los números 1, 2, 3, 4.

78. Cinco semirrectas de origen O forman cinco ángulos contiguos que son proporcionales a los números 2, 3, 4, 5 y 6. Halle esos ángulos

79. Cinco semirrectas consecutivas OA, OB, OC, OD, OE forman cinco ángulos contiguos α, β, δ, ω, α`. Calcular dichos ángulos si los cuatro primeros están entre sí en la razón 1, 2, 3, 4 y OD es colineal con la bisectriz del ángulo AOB = α.

80. Trace una recta m y en ella trace dos puntos distintos A y B, Coloque la varilla fija del compás en el punto A y la otra varilla en el punto B, y luego gire el compás hasta volver a cortar a m en C. Explique por qué A es el punto medio del segmento BC.

81. Sean A y B dos puntos distintos dados. Trace la circunferencia A(AB) hasta cortar la circunferencia B(BA) en los puntos distintos P y Q. Explique por qué AP = BP = AQ = BQ.

82. Trace un segmento igual a otro dado 83. Trace un segmento y halle su punto medio usando un compás. 84. Trace la bisectriz de un ángulo dado usando el transportador. 85. Trace dos segmentos que no tengan puntos en común pero las rectas que los contengan se corten 86. Trazar dos ángulos cuyos interiores no tengan puntos en común. 87. Trace un ángulo de medida 70. Halle un punto P interior al ángulo de modo que el ángulo POB mida 25. ¿Cuánto

mide el ángulo AOP?. 88. Sean A, B, C tres puntos colineales en ese mismo orden. Si las longitudes de los segmentos AB y BC son dos

números primos consecutivos, distintos de 2, entonces la longitud del segmento AC es el producto de tres enteros mayores que 1.

89. “Existen dos únicos puntos P y Q que dividen armónicamente a un segmento dado AB según una razón dada AB”. Esta proposición es falsa. ¿Por qué? ¿Cómo podría expresarse dicha proposición para que sea verdadera?

90. ¿Cuántos segmentos quedan determinados por siete puntos colineales y distintos? 91. Dados un segmento AB = 15 y un punto P a la derecha de A tal que AP = 5. Halle la razón en que el punto P divide

al segmento AB. ¿Lo divide interna o externamente? 92. Haga el mismo ejercicio anterior si AP = 15. 93. Haga el ejercicio 91 si AP = 55. 94. Dado un segmento AB = 11 halle los puntos P y Q que dividan al segmento en la razón 3/8. 95. En el ejercicio anterior halle la mínima longitud del segmento AB si todas las longitudes involucradas son números

enteros positivos. 96. Halle las posiciones de los puntos de trisección del segmento AB = 12. Trisecar significa dividir en tres partes

iguales. 97. Divida un segmento de longitud d en n segmentos iguales usando n−1 puntos interiores al segmento. Halle una

fórmula que permita determinar la razón en que cada uno de esos puntos divide internamente al segmento. 98. Haga el ejercicio anterior si d = 21 y n = 7. 99. En el ejercicio 97 demuestre que la suma de todas las razones es mayor que n−1. 100. Dividir un segmento de longitud 39 en tres partes tales que la razón de la primera parte a la segunda sea 2:3 y la

razón de la segunda a la tercera sea 4:5. 101. Colocar dos segmentos de longitudes dadas en una recta de modo que dichos segmentos sean armónicos. 102. Si en la última figura XA y XB son perpendiculares, entonces XA y XB son las bisectrices del ángulo PXB.

103. Si (ABPQ) = 1 y X está a la derecha de B, entonces AQQX

APPX

ABBX2

+=

104. Supóngase que (ABPQ) = 1. Las perpendiculares a PQ en los puntos P, Q cortan a una transversal que pasa por A en los puntos X e Y. Entonces AB es bisectriz del ángulo XBY.

105. Si M, A, P, Q son colineales y MA2 = MP.MQ, entonces el simétrico de A con respecto a M coincide con el conjugado armónico de A respecto de P y Q.

106. Si (ABPQ) = 1 y M es el punto medio del segmento AB, entonces MPP

2 + MQ2 = PQ2 + 2MA2 107. Si (ABPQ) = 1 y M es el punto medio del segmento AB, entonces se tiene que

MB.MA

1QB.QA

1PB.PA

1=−

108

108. Si (ABPQ) = 1, entonces BQ1

AQ1

AP1

BP1

++=

109. Si (ABCD) = (A´B´C´D´) = 1 y las rectas AA¨, BB´, CC´ pasan por el mismo punto V, entonces la recta DD´ pasa por V.

110. Si (ABCD) = (A´B´C´D´) = 1 y las rectas AB y AB´ son distintas, entonces las rectas AA´, BB´, CC´ son concurrentes.