Capítulo VII

Roberto Ucar Navarro, Ph.D Sostenimiento de excavaciones subterráneas mediante anclajes

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SOSTENIMIENTO DE EXCAVACIONES SUBTERRÁNEAS MEDIANTE ANCLAJES

7.1. INTRODUCCIÓN En el presente capítulo se describen los métodos más comunes que se aplican para determinar el soporte mediante anclajes en obras subterráneas. En 1946 Terzaghi [1] propuso la primera clasificación para determinar la carga de roca o suelo sobre túneles. La concepción teórica de Terzaghi se basa en sus propios conceptos sobre arqueo de los suelos, y en donde define la carga vertical de roca como la masa de material propensa a caer desde el techo de no ser sostenida. En la Tabla 7.1 se indican los valores de la carga de roca Hp de acuerdo al estado o condición del macizo rocoso o suelo. La Fig. 7.1 ilustra la nomenclatura empleada en el bien conocido método de Terzaghi. Dicha clasificación es utilizada todavía como base fundamental en el diseño del sostenimiento de obras subterráneas con buenos resultados, aunque probablemente en condiciones muy conservadoras, como lo mencionan Mahtab y Grasso [2]. Rose [3] en 1982, la modificó tomando en cuenta los valores del RQD (índice de calidad de la roca), véase Tabla 7.2.


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TABLA 7.1. Cargas sobre el revestimiento de un túnel según Terzaghi [1]. Carga Hp en metros de roca sobre el techo del revestimiento en túneles con anchura B (m) y altura Ht (m) a profundidad superior a 1,5 ( B + Ht ) (1).

CONDICIONES DE LA ROCA

PESO DE ROCA Hp (m)

OBSERVACIONES

1. Dura e intacta Cero Revestimiento ligero, necesario sólo en caso de fenómenos de descompresión

2. Dura estratificada o esquistosa (2) 0 – 0,5 · B Revestimiento ligero

3. Masiva, moderadamente fracturada 0 – 0,25 · B La carga puede cambiar erráticamente de un punto a otro

4. Moderadamente fracturada en bloques o fisurada 0,25 · B a 0,35 · (B + H t) Sin presión lateral

5. Muy fractura en bloques o fisurada (0,35 · B a 1,10) · (B + H t) Pequeña o nula presión

6. Completamente machacada pero químicamente intacta 1,10 · (B + H t)

Considerable presión lateral. El efecto erosivo de las filtraciones de agua hacia la parte baja del túnel requiere, o soportes continuos para la parte baja de las cerchas, o soportes circulares.

7. Roca fluyente, profundidad moderada (1,10 a 2,10) · (B + H t)

8. Roca fluyente, gran profundidad (2,10 a 4,50) · (B + H t)

Fuertes presiones laterales, se requieren contrabóvedas, cerchas circulares recomendables

9. Roca expansiva Hasta 75 m,

independientemente del valor (B + H t)

Requiere cerchas circulares. En casos extremos usar soportes deslizantes.

NOTAS: 1) Se supone que el techo del túnel está situado bajo el nivel freático. Si se halla permanentemente por encima de

él, los valores obtenidos para los tipos 4 al 6 pueden ser reducidos en un 50 por ciento. 2) Algunas de las formaciones rocosas más comunes contienen estratos de lutita. Estas rocas, producto de la

consolidación de sedimentos arcillosos, limos o mezclas de ambos, pueden comportarse en túneles como rocas fluyentes e incluso como rocas expansivas. (La consolidación de estos sedimentos para formar la roca sedimentaria se lleva a cabo por el proceso denominado litificación o diagénesis.

Si una formación rocosa consiste en una secuencia horizontal, de estratos de arenisca o caliza y de lutita poco consolidada, la excavación del túnel va normalmente acompañada de una compresión gradual de la roca, produciendo un movimiento hacia abajo del techo. Debido a la relativamente baja resistencia contra el deslizamiento en el contacto entre las lutitas y la roca, puede reducir considerablemente la capacidad de la roca situada sobre el techo para actuar como puente. Por lo tanto, en tales formaciones rocosas; la presión de techo puede ser tan alta como en rocas muy fracturadas en bloques o fisuradas.


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TABLA 7.2. Cargas sobre el revestimiento de un túnel según Terzaghi [1]. Modificado posteriormente por Rose [3].

Carga Hp en metros de roca sobre el techo de revestimiento en túneles con anchura B (m) y altura

Ht (m) a profundidad superior a 1,5 (B + Ht) (1).

CONDICIÓN EN ROCA PESO ROCA Hp (m) RQD OBSERVACIONES

1. Dura e intacta 0 95 – 100 Revestimiento ligero, necesario sólo en caso de fenómeno de descom-presión.

2. Dura estratificada o esquistosa (2) 0 – 0,5·B 90 – 99

3. Masiva, moderadamente fracturada 0 – 0,25·B 85 – 95

Revestimiento ligero. La carga puede cambiar errática-mente de un punto a otro.

4. Moderadamente fracturada en bloques o fisurada

(0,25·B a 0,35)· (B+Ht)

75 – 85 Sin presión lateral.

5. Muy fracturada en bloques o fisurada

(0,35·B a 1,10)· (B+Ht)

30 – 75 Pequeña o nula presión lateral.

6. Completamente machacada pero químicamente intacta 1,10·(B+Ht) 3 – 30

Considerable presión lateral. El efecto erosivo de las filtraciones de agua hacia la parte baja del túnel requiere; o soportes continuos para la parte baja de las cerchas, o soportes circulares.

7. Roca fluyente, profundidad moderada

(1,10 a 2,10)· (B+Ht)

No aplicable

8. Roca fluyente, gran profundidad (2,10 a 4,50)· (B+Ht)

No aplicable

Fuertes presiones laterales, se requieren contrabóvedas, cerchas circulares recomendables.

9. Roca expansiva

Hasta 70 m, independiente-mente del valor

(B + Ht)

No aplicable

Requiere cerchas circulares en casos extremos usar soportes deslizantes.


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Figura 7.1. Arqueo sobre el túnel según Terzaghi [1].

La Fig. 7.2, muestra la carga sobre el techo del túnel según Terzaghi y revisado por Rose en función del RQD. Adicionalmente existen otras clasificaciones como la de Wickham, Tiedemann y Skinner [4] conocido como Rock Structure Raiting (RSR), la cual después de Terzaghi, corresponde a la primera clasificación detallada, basada en parámetros conocidos en función de una gran cantidad de obras subterráneas ejecutadas cuyas características tanto geomecánicas como del soporte se conocen. Este concepto (clasificación de la estructura de la roca - RSR) desarrollado por Wickham, Tiedemann y Skinner, es actualmente aplicado exitosamente en forma práctica y empírica en la construcción de túneles y galerías y se basa en tres parámetros: PARÁMETRO A: Tipo de roca: considera la intensidad del plegamiento y de las discontinuidades,

dependiendo su valor del RQD. Rango = 8 - 30. PARÁMETRO B: Relaciona el patrón de las diaclasas y su orientación respecto del eje y dirección de la

excavación del túnel. Rango = 12 – 50 .PARÁMETRO C: Relaciona los parámetros anteriores con el flujo de agua y estado de las

discontinuidades. Rango = 5-20. Para mayor detalle, véase la Tabla 7.3.


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Figura 7.2. Clasificación de Terzaghi con la modificación de Rose y recomendaciones para el diseño por

otros investigadores.


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TABLA 7.3. Parámetros para la obtención del RSR (Wickham et al 1972), RSR = A + B + C.

PARÁMETRO A: GEOLOGÍA DE LA ZONA

ESTRUCTURA TIPO DE TERRENO MASIVA LIGERAMENTE

PLEGADA O FALLADA MODERADAMENTE

PLEGADA O FALLADA INTENSAMENTE

PLEGADA O FALLADA Ígneo

sedimentario metamórfico

30 24 27

26 20 22

15 12 14

10 8 9

PARÁMETRO B: INFLUENCIA DEL DIACLASADO

RUMBO PERPENDICULAR EJE RUMBO PARALELO AL EJE DIRECCIÓN DE AVANCE DIRECCIÓN DE AVANCE

AMBAS AMBAS SEGÚN

BUZAMIENTO CONTRA EL

BUZAMIENTO BUZAMIENTO DE DIACLASAS PRINCIPALES

SEPARACIÓN

MEDIA DE DIACLASAS

(m) 1 2 3 2 3 1 2 3

< 0,15 0,15 – 0,30 0,30 – 0,60 0,60 – 1,20

> 1,20

14 24 32 40 45

17 26 34 42 48

20 30 38 44 50

16 20 27 36 42

18 24 30 39 45

14 24 32 40 45

15 24 30 37 42

12 20 25 30 36

* 1 = < 20º 2 = 20º - 50º 3 = 50º - 90º

PARÁMETRO C: EFECTO DEL AGUA

SUMA A + B 20 – 45 46 - 80

ESTADO DE LAS DIACLASAS* FLUJO DE AGUA PREVISTO

(l/min/m) 1 2 3 1 2 3

Nula Ligera (< 2,5 l/min/m) Media (2,5 – 12,5 l/min/m) Alta (> 12,5 l/min/m)

18 17 12 8

15 12 9 6

10 7 6 5

20 19 18 14

18 15 12 10

14 10 8 6

* 1 = cerradas o cementadas 2 = ligeramente alteradas 3 = abiertas o muy alteradas

Los mencionados autores encontraron una buena relación entre el factor RSR y la carga de roca sobre las costillas de acero en túneles, y mediante la aplicación de la fórmula empírica de Terzaghi, pudiéndose por tanto seleccionar el tipo de sostenimiento en base a costillas, hormigón proyectado y pernos de anclaje. Posteriormente, en la sección 7.12, se explica mediante la utilización de gráficos, la metodología de diseño para calcular el soporte de la excavación subterránea.


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Bieniawski [5] desarrolló uno de los sistemas de clasificación más utilizados en los últimos años por los ingenieros geotécnicos, conocido como RMR (Rock Mass Raiting), índice que sirve de base y guía para la excavación y el sostenimiento de túneles y galerías. Dicho sistema de clasificación se ha desarrollado en base a otras clasificaciones previamente desarrolladas conjuntamente con casos prácticos en obras subterráneas tanto civiles como mineras. El factor que define la clasificación es el llamado índice RMR, a través del cual se determina la calidad del macizo rocoso en cada entorno estructural en función de los siguientes parámetros. a) Resistencia a la compresión simple de la roca intacta σc. b) RQD. Este índice de calidad juega un papel importante para seleccionar el sostenimiento en la

excavación subterránea. Como se sabe el RQD, se obtiene a partir de los trozos de testigos mayores de 10 cm a través de las recuperaciones llevadas a cabo mediante sondeos, o a partir del índice volumétrico de diaclasas Jv por metro cúbico determinado en un afloramiento (RQD = 115 - 3,30 Jv).

c) Espaciado de las discontinuidades estructurales (diaclasas, fallas, planos de estratificación, etc). d) Naturaleza de los planos de discontinuidad tales como apertura de los labios de la discontinuidad,

rugosidad, relleno de las juntas, dureza de los labios, etc. e) Presencia de agua. Se estima el flujo de agua en litros/min por cada 10 m de túnel. f) Orientación de las discontinuidades respecto al eje de la estructura subterránea. La Tabla 7.4, muestra la clasificación geomecánica para determinar la calidad del macizo a través del denominado RMR. Una vez conocido dicho valor, se decide el método de excavación y se dimensiona el soporte de acuerdo a la Tabla 7.5. Por otra parte, Bieniawski [6] menciona que a través de casos prácticos confirmados por otros investigadores es posible estimar el ángulo de fricción interna φ en función del RMR mediante la expresión:

º52

RMRo +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=φ (7.1)

Igualmente, indica la siguiente expresión más refinada:

oφ = (0,50 RMR + 8,3) ± 7,2º (7.2) Igualmente debe mencionarse los resultados obtenidos por Trueman, R (An avaluation of strata support techniques in dual life gateroads, PhD thesis, 1088, University of Wales, Cardiff), en la cual obtiene el mismo valor del ángulo de fricción interna φ indicado en (7.1), mientras que sugiere emplear para la cohesión la ecuación empírica C = 0,25 · exp (0,05 RMR), en MPa. Cabe destacar, que estas relaciones prácticas deben emplearse con mucha reserva o cautela, ya que en la mayoría de los casos los valores obtenidos están muy alejados de los verdaderos parámetros de corte.


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TABLA 7.4. Clasificación Geomecánica de Bieniawski.

A. Parámetros de clasificación y sus valores

Bajo carga puntual > 80 kg /cm2 40 - 80 kg /cm2 20 - 40 kg /cm2 10 - 20 kg /cm2 < 10 kg /cm2 RESISTENCIA

DE LA ROCA INTACTA

cσ A compresión

simple en kg /cm2 > 2.000 kg / cm2

1.000 - 2.000 kg /cm2

500 - 1.000 kg /cm2

100 - 250 kg /cm2 100 -250 30 - 100 10 - 30 1

VALOR 15 12 7 4 2 1 0

R.Q.D. 90 - 100 % 75 - 90 % 950 - 75 % 25 - 20 % > 25 % 2

VALOR 20 17 13 8 3

ESPECIADO DE LAS JUNTAS > 3 m 1 - 3 m 0.3 - 1 m 50 - 300 mm > 50 mm 3

VALOR 30 25 20 10 5

CONDICIÓN DE LAS JUNTAS Muy rugosas

sin continuidad Cerradas, roca

labios dura

Ligeramente rugosa.

Separación < 1mm. Roca labios dura

Ligeramente rugosa.

Separación < 1mm. Roca labios blanda

Espejo de falla o relleno de espesor <

5mm, o abierta 1-5 mm continuas

Relleno blando de espesor > 5mm o abiertas > 5 mm

continuas 4

VALOR 25 20 12 6 0

FLUJO EN CADA 10 m DE TUNEL NINGUNO < 25 l/min 25 - 125 l/min > 125 l/min

RELACION PRESION DEL AGUA

TENSION PRINCIPAL MAYOR

0 0 – 0,2 0,2 – 0,5 >0,5

CONDICIONES MAYOR TENSION PRAL Completamente seco Húmedo agua

intersticial Agua a presión

moderada Agua a presión

fuerte

5

A G U A

VALOR 10 7 4 0

B. Ajuste de valores por las orientaciones de las juntas

ORIENTACIONES DEL RUMBO Y BUZAMIENTO DE LAS JUNTAS

MUY FAVORABLE FAVORABLE REGULAR DESFAVORABLE MUY

DESFAVORABLE

VALOR 0 - 2 - 5 - 10 - 12

C. Determinación de la clase de macizo rocoso

VALOR TOTAL R.M.R. 81 – 100 61 – 80 41 60 21 – 40 < 20

CLASE NÚMERO I II III IV V

DESCRIPCIÓN Muy bueno Bueno Medio Malo Muy malo

D. Significado de las clases de macizos rocosos

CLASE NÚMERO I II III IV V

TIEMPO DE MANTENIMIENTO 10 años para 5 m de luz

6 meses para 4 m de luz

1 semana para 3 m de luz

5 horas para 1,5 m de luz

10 minutos para 0,5 m de luz

COHESIÓN > 0,30 MPa 0,20 – 0,30 MPa 0,15 – 0,20 MPa 0,10 – 0,15 MPa 10 minutos para

0,5 m de luz

ÁNGULO DE FRICCIÓN > 45º 40º - 45º 35º - 40º 30º - 35º < 30º


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TABLA 7.5. Guía según Bieniawski [6] para la excavación y sostenimiento de túneles en roca con sección transversal en herradura de 10 m de ancho, construidos mediante perforación y voladura y con presiones verticales inferiores a 25 MPa.

SOSTENIMIENTO

CLASE DE MACIZO ROCOSO

EXCAVACIÓN PERNOS DE ANCLAJE

REPARTIDO (φ = 20 mm )

HORMIGÓN PROYECTADO

CERCHAS DE ACERO

I Muy Buena

RMR 81-100

A plena sección de avances de 3 m.

Generalmente no requieren sostenimiento excepto Algún perno ocasional

II Buena

RMR 61-80

A plena sección. Avances de 1 a 1,5 m finalizar el sostenimiento a 20 m del frente.

Bulones locales en coronas de 3 m de longitud, espaciados 2,5 m y con malla ocasional

50 mm de corona donde requiera

Ninguna

III Media

RMR 41 – 60

En bóveda y destroza. Avance de 1,5 – 3m en bóveda. Iniciar el sostenimiento después de cada pega. Finalizar el sostenimiento a 10 m del frente

Empernado sistemático de 4 m de longitud espaciados 1,5 – 2m en corona y hastiales con malla en la corona.

En corona 50 – 100 mm y en hastiales 30 mm

Ninguna

IV Mala

RMR 21-40

En bóveda y destroza. Avance de 1 – 1,5 m en bóveda. Colocar el sostenimiento a medida que se excava.

Empernado sistemático de 4 –5 m de longitud, espaciados 1 – 1,5 m en corona y hastiales, con malla.

En corona 100 – 150 mm y en hastiales 100 mm

Donde se requieran cerchas ligeras espaciadas 1,5 m

V Muy mala RMR < 20

En secciones múltiples. Avances de 0,5 – 1,5 m en bóveda. Colocar el sostenimiento a medida que se excava. El hormigón proyectado se coloca lo antes posible después de la voladura

Empernado sistemático de 5 – 6 m de longitud; espaciados 1 - 1,5 m en corona y hastiaales, con malla y bulonado de piso.

En corona 150 – 200 mm ,en hastiales 150 mm y en el frente 50 mm

Cerchas medias o pesadas espacia-das 0,75 m con blindaje de chapas y en caso necesario paraguas contrabóveda.

Barton, Lien y Lunde [7], tomaron en cuenta seis parámetros para determinar el índice de calidad Q del macizo rocoso, el cual una vez definido su valor se propone el tipo de sostenimiento a utilizar. El valor de Q se obtiene mediante la expresión:

SRFJw

JaJr

JnRQDQ ⋅⋅= (7.3)

siendo: RQD = Índice de recuperación (Rock Quality Designation). Jn = Parámetro que toma en cuenta el número de familias de diaclasas. Jr = Parámetro indicador del grado de rugosidad de las diaclasas. Ja = Parámetro que indica el grado de meteorización de las diaclasas.


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Jw = Coeficiente que toma en cuenta la presencia del agua. SRF = Parámetro que considera el estado tensional en el macizo rocoso (Stress Reduction Factor). La correlación entre los índices RMR y Q determinada por Bieniawski [8] es la siguiente: RMR = 9 ln Q + 44 (7.4) Por otra parte, Choquet y Hadjigeorgion [9] resumen en la Tabla 7.6 la relación RMR = f(Q) a través de diferentes fuentes.

TABLA 7.6.

CORRELACIÓN

FUENTE

COMENTARIO

RMR = 13,50 log Q + 43 Nueva Zelanda Túneles

RMR = 9 ln Q + 44 Varias Fuentes Túneles

RMR = 12,50 log Q + 52,50 España Túneles

RMR = 5 ln Q + 60,8 Sudáfrica Túneles RMR = 43,89 – 9,19 ln Q España (Roca blanda) Minería

RMR = 10,50 ln Q + 41,80 España (Roca blanda) Minería RMR = 12,11 log Q+ 50,81 Canadá (Roca dura) Minería

RMR = 8,70 ln Q + 38 Canadá (Rocas sedimentarias) Túneles

RMR = 10,00 ln Q + 39 Canadá (Roca dura) Túneles Goel y otros [10] han desarrollado una nueva correlación entre los índices Q y RMR, al considerar que ambos métodos para caracterizar el macizo rocoso no son completamente equivalentes. Por ejemplo, en el RMR no se considera el factor dependiente de las tensiones SRF (Stress Reduction Factor), mientras que en el índice Q no se tiene en cuenta la orientación de los planos de fractura y la resistencia a la compresión simple de la roca intacta σc. En este sentido, dichos investigadores obtienen una nueva correlación entre el índice de la masa rocosa N (rock mass number) y el valor de la condición del macizo rocoso RCR (rock condition rating). La expresión que relaciona ambos índices a través de 63 casos estudiados es la siguiente: RCR = (8 ln N + 30) (7.5) El valor de N está definido para la condición en la cual SRF = 1. El ejemplo descrito por Goel y otros explica el procedimiento de cálculo:


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CLASIFICACIÓN RMR VALOR 1 R.Q.D. 17 2 Espaciado de las juntas 10 3 Condición de las juntas 20 4 Flujo de agua 10

Índice RCR = 57 5 Resistencia a la compresión simple de la roca intacta σc 4 6 Orientación de las discontinuidades -12 Índice RMR = 49

CLASIFICACIÓN DE BARTON Q VALOR 1 R.Q.D. 80 2 Jn (número de familia de juntas) 9 3 Jr (rugosidad de las juntas 3 4 Ja (meteorización de las juntas) 1

5 Jw (coeficiente reductor que toma en cuenta si la roca está seca, húmeda, o existe presión de agua 1

Si SRF = 1 ∴ N = Q

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

SRFJ

JJ

JRQDQ w

a

r

n

N = 26,60

6 SRF 2,50

==SRF

NQ 10,64

Por otra parte, se aprecia que los nuevos índices N y RCR se obtienen al comparar parámetros comunes en las clasificaciones RMR de Bieniawski y Q de Barton. A la vez, considérese que al caracterizar el macizo N = 26,60, por lo tanto, al aplicar (7.5) resulta: RCR = 8 ln 26,60 + 30 = 56,25 Al agregar los parámetros comunes se obtiene: RMR = RCR + valor (resistencia de la roca intacta + orientación de las discontinuidades) RMR = 56,25 + 4 – 12 = 48,25

64,105,260,26

SRFNQ ===


12

Reemplazando el valor de Q en (7.4) el índice RMR es: RMR = 9 ln 10,64 + 44 = 65,28 Es decir mucho mayor con relación al nuevo procedimiento propuesto por Goel y otros. Igualmente, se aprecian diferencias importantes si se utilizan las fórmulas que correlacionan ambos índices a través de la Tabla 7.6. En definitiva, dicho método al comparar parámetros comunes permite obtener a través de los índices N y RCR una mejor aproximación entre RMR y Q. En relación al diseño de sostenimiento en los túneles Hoek [11], muestra a través de la Fig. 7.3 el tipo de soporte en función de las clasificaciones geomecánicas RMR y Q y de la relación entre las presiones ejercidas en el techo o hastiales con respecto a la resistencia a la compresión sin confinar de la roca intacta σc.

Figura 7.3. Guía de soporte en excavaciones subterráneas según Hoek [11].


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Posteriormente Laubsher y Taylor [12], corrigieron la clasificación RMR de Bieniawski para operaciones mineras. Por otro lado, Oliver [13] modificó el índice de calidad Q, haciendo hincapié en el factor SRF, tomando en cuenta el coeficiente de expansión de la roca (e), la resistencia de la roca bajo carga puntual Is (σc ≈ 24 Is en MPa), y su módulo de deformación, E, logrando por lo tanto determinar la relación de expansión SR = e·E/σc= presión de expansión/resistencia a la compresión sin confinar. Una vez conocido dicho parámetro, el valor de SRF en función de SR puede expresarse a través de la ecuación: SRF = 5 · (SR + 1) (7.6) Es de hacer notar que la modificación arriba indicada corresponde a rocas expansivas y de baja resistencia. En definitiva, tal como lo indica Ayala y otros [14] las clasificaciones geomecánicas aparecen como resultado de poder satisfacer los problemas que surgen como resultado del desconocimiento de las propiedades mecánicas de los macizos rocosos en el momento de diseñar obras subterráneas, excavaciones a cielo abierto, cimentaciones, etc., además de utilizar métodos más o menos semejantes para valorar la roca y aplicar diseños simplificados. Por otro lado, mencionan que, debido a la complejidad de estimar las propiedades y características mecánicas de las rocas se han desarrollado diversos métodos empíricos de diseño mediante índices de calidad, los cuales permitan estimar sus parámetros resistentes y por ende su capacidad portante. Para obtener la calidad del macizo rocoso, éste se fracciona en dominios estructurales, es decir, en sectores delimitados por discontinuidades geológicas, dentro de las cuales la estructura es muy homogénea. Esta estructura del macizo está formadas por el conjunto de fallas, diaclasas, pliegues y demás discontinuidades geológicas que definen una determinada zona, en la que existen varios dominios estructurales perfectamente clasificados y diferenciados entre sí. Como se sabe, además de las clasificaciones más difundidas como son la de Bieniawski [6] y la de Barton [7], últimamente se está utilizando con mucha frecuencia el índice de calidad GSI (Geological Strength Index), desarrollado por Hoek y Brown [15], el cual tiene la ventaja de poder estimar los parámetros de corte “equivalentes”, C y φ como se ha explicado en detalle en el Apéndice A del Capítulo 2. Por otro lado, como se ha descrito en el mencionado apéndice, la relación entre el GSI y el RMR puede expresarse como sigue, según Hoek et al [16]. GSI = RMR76 (7.7) GSI = RMR89 – 5


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Siendo, además la relación propuesta por Hoek [17] entre la resistencia a la compresión simple de la masa rocosa σcm y la intacta σc :

GSI038,0

c

cm e022,0 ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ (7.8)

Finalmente, cabe destacar el nuevo procedimiento para caracterizar macizos rocosos desarrollado por Palmström [18], a través del índice del macizo rocoso RMi, el cual se basa en determinar la reducción de la resistencia a la compresión simple de la roca intacta causada por las discontinuidades de la roca. De esta forma se puede aplicar como una herramienta básica para establecer la calidad del material en la construcción. También, dicho autor considera que el RMi puede contribuir en el futuro al mejoramiento del criterio de rotura de Hoek y Brown. Finalmente, el RMi posee diversas ventajas de gran ayuda en el campo de la ingeniería de rocas, por cuanto expresa una caracterización general de la resistencia a través de las principales características inherentes de la roca, con gran campo de aplicación en fragmentación y voladuras, en el diseño del sostenimiento de obras subterráneas y taludes. Su aplicación es de gran utilidad para ser aplicado en el Nuevo Método Austriaco de Construcción de Túneles (NATM), en la estimación de rendimientos de excavación con tuneladoras (TBM), como entrada de datos en modelos numéricos, para determinar el módulo de deformación, y en el criterio empírico de rotura de Hoek y Brown. Los lectores que deseen obtener mayor información para estimar las propiedades de los macizos rocosos, se les recomienda la página Web diseñada y elaborada por S. Palmström, www. rockmases.net 7.2. CONCEPTO DE SOSTENIMIENTO De acuerdo a Pernía et al [19], se conoce por sostenimiento en una obra subterránea a la combinación de elementos estructurales que es necesaria colocar para asegurar y proteger la estabilidad de la excavación en la etapa de construcción y durante el tiempo que estará en servicio. El concepto anterior indica según Pernía et al [19] que es necesario tomar en cuenta los principios siguientes: Los terrenos siempre se van a deformar al realizar la excavación, pero el estado de deformaciones obtenido en cada caso en particular debe ser compatible con la utilización que se le dará a la estructura subterránea. Adicionalmente el tiempo juega un papel preponderante, por cuanto condiciona las características que debe cumplir el sostenimiento. En general, con el transcurrir del tiempo se genera cierta degradación en las propiedades del suelo o macizo rocoso, debido esencialmente a los efectos ambientales.


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El dimensionado del soporte depende por lo tanto básicamente de la calidad de la roca, de la geometría de la excavación y del estado tensional existente en el terreno antes de realizar la excavación. Los materiales habitualmente utilizados como elementos de soporte son las cerchas metálicas, el hormigón proyectado y los bulones de anclaje. Este último aspecto se estudiará en el presente capítulo. Adicionalmente hay que tener presente que cuando se instala el sostenimiento en un macizo rocoso el soporte no tiene carga alguna (caso pasivo) y para absorberla es necesario que el sostenimiento sufra un proceso de deformación. Por lo tanto, el nivel de esfuerzo que realmente va a contribuir el sostenimiento depende directamente de la deformación que haya sufrido el terreno después de colocarlo, y lógicamente para poder dimensionar correctamente el sostenimiento, es preciso tener en cuenta la interacción terreno-sostenimiento. Un método normalmente aplicado para considerar la interacción terreno-sostenimiento, que permite lograr a cuantificar la importancia de sostenimiento en cada caso, es el de las curvas características que se indican a continuación. 7.2.1. Curvas características del terreno De acuerdo a Pernía et al [19], se conoce por curva característica del terreno la relación entre la variación del esfuerzo radial que actúa sobre un punto del perímetro de la excavación subterránea en función de la deformación que se produce en ese punto del perímetro de la masa rocosa excavada. En la Fig. 7.4 se indican una serie de curvas características correspondientes a una roca cuarcita de buena calidad en la que se ha excavado un túnel de 8 m de diámetro a profundidades crecientes. Las mencionadas curvas tienen dos aspectos similares: a) En la condición inicial, es decir previa a realizarse la excavación, la deformación del terreno es nula y la

presión radial es igual a la de campo. b) Cuando se comienza la excavación, el terreno se comporta elásticamente, por tal motivo las curvas

tienen una primera parte recta; ya que en elasticidad las relaciones tensión-deformación se representan linealmente.

A la vez, si durante el proceso de redistribución del estado tensional que se produce como resultado de la excavación, el terreno es capaz de soportar el incremento que se produce en la tensión tangencial, la masa de suelo o rocosa permanecerá en régimen elástico. En este caso se producen los siguientes efectos: a) La curva característica del terreno será una línea recta; como por ejemplo la indicada con la Nº 1 en la

Fig. 7.4. b) Una vez cumplido el ajuste de las tensiones se llegará a un estado de equilibrio, el cual se caracteriza

por un esfuerzo radial del terreno nulo, conjuntamente con cierta deformación radial.


16

c) La magnitud de la deformación radial en el equilibrio será pequeña, por lo general menor al 1 % , la cual corresponde al comportamiento elástico del terreno.

Por otro lado, en el proceso de ajuste de tensiones, posterior a la excavación, llega un momento en que el terreno no es capaz de soportar el incremento de la tensión tangencial se producir la plastificación.

Figura 7.4. Curvas características de una excavación según Pernía et al.

Desde el punto de vista práctico la plastificación del terreno se puede explicar en la forma siguiente [19]: a) La curva característica del terreno deja de ser lineal. b) El esfuerzo radial que corresponde al cambio entre el régimen elástico y plástico se conoce como

presión radial crítica. c) Una vez concluido el proceso de ajuste de presiones puede suceder que se logre a un estado de

equilibrio como el que se indica en las curvas 2 y 3, o que sea imposible el equilibrio tal como representa la curva 4 de la Fig. 7.4.

d) Si se obtiene el equilibrio en estado plástico la presión radial en el perímetro de la excavación será nula

y existir una deformación final mucho mayor que en el caso elástico. Por lo general dicha deformación es superior al 2 %.


17

e) Si no se logra el equilibrio existe una presión radial mínima a partir de la cual, aunque aumente la presión del sostenimiento, se produce un aumento de la deformación que conduce al colapso de la excavación.

La curva característica de una excavación subterránea, únicamente tiene formulaciones analíticas en casos sencillos; normalmente con geometrías de excavación circular, rectangular o elíptica y en terrenos homogéneos. En la práctica, con secciones en herradura y macizos rocosos anisótropos, la curva característica hay que determinarla por puntos utilizando las técnicas de cálculo numérico aproximado. 7.2.2. Efectos de la deformación previa a la colocación del sostenimiento Desde el punto de vista práctico, se puede estimar que la deformación elástica que debe sufrir el terreno como resultado de la excavación se produce de forma instantánea. Por otro lado, en los terrenos que van a deformarse siempre ocurre un lapso de tiempo entre el momento de la excavación y el instante que se puede considerar que se ha alcanzado la deformación plástica final. En la mayor parte de los casos puede aceptarse que la deformación total del terreno se alcanza, a efectos prácticos, a una distancia del frente de unas tres veces el radio de la excavación. En cualquier caso es un hecho irreparable que cuando se coloca el sostenimiento en una excavación el terreno ha sufrido previamente cierta deformación. Por otro lado, con el objeto de evaluar el efecto de esta deformación previa sobre el punto de equilibrio terreno-sostenimiento se indican los siguientes aspectos de interés: 1. Un soporte instalado cuando el terreno ha tenido una deformación pequeña se carga mucho más que

otro colocado cuando el terreno se haya deformado más. 2. Si la excavación no es auto-estable y se demora la colocación del sostenimiento, para que éste se

cargue lo menos posible, existe el riesgo de no poder llegar a un estado de equilibrio. En la práctica hay que lograr concertar los dos hechos antes descritos con la necesidad de garantizar la seguridad del personal que labora en el frente de la excavación. Para ello la solución apropiada, en la mayoría de los casos, consiste en instalar en el frente un soporte ligero y flexible que se reforzará más tarde para lograr un estado de equilibrio satisfactorio. Esta forma de proceder lleva implícita la necesidad de realizar un control de las deformaciones del terreno y de las tensiones a que está sometido el sostenimiento con objeto de conocer en todo momento si la interacción terreno-sostenimiento permite garantizar la estabilidad de la excavación. Lo previamente indicado constituye la base de lo que se ha venido a denominar Nuevo método austriaco que se fundamenta en los siguientes principios. a) El macizo rocoso es el principal medio de sostenimiento de la excavación. b) Observar y comprobar la interacción terreno-sostenimiento permitiendo la deformación controlada del

terreno para que, el sostenimiento se cargue lo menos posible.


18

c) Utilizar sostenimientos flexibles, fundamentalmente hormigón proyectado en capas de pequeño espesor y bulonaje, para permitir la mayor deformación posible del terreno de forma controlada.

7.2.3. Curvas características del sostenimiento Tal como se indicó para el caso del terreno la curva característica del sostenimiento es la representación gráfica de la evolución de la presión ejercida sobre el soporte en función de las deformaciones de éste. La pendiente media de la curva característica se suele denominar rigidez del sostenimiento. Un soporte muy rígido permitirá deformaciones muy pequeñas antes de llegar a la rotura y lógicamente, entrará en carga muy rápidamente. El ejemplo más típico de sostenimiento rígido lo constituye el hormigón encofrado. Contrariamente un sostenimiento poco rígido, o muy flexible, admitirá importantes deformaciones antes de llegar a la rotura. Los marcos metálicos o costillas y los pernos de anclaje son unos buenos ejemplos de sostenimientos flexibles. El hormigón proyectado puede comportarse como un sostenimiento flexible para espesores pequeños, en general del orden de 1/25 del radio de la excavación, pero pierde deformabilidad en cuanto los espesores aumentan. Como se sabe, el dimensionado del sostenimiento en los túneles depende fundamentalmente de la calidad del macizo rocoso, de las dimensiones de la excavación y del estado tensional existente en el terreno antes de realizar la excavación. Por otra parte, al excavar la cavidad subterránea se distorsiona el campo de esfuerzo natural, creándose una determinada concentración de presiones en el macizo rocoso. Por tal motivo, es de vital importancia conocer la distribución de presiones después de realizada la excavación, ya que si la roca excavada es capaz de resistir dicha concentración de esfuerzos alrededor de la cavidad manteniéndose dentro del dominio elástico, la masa rocosa es auto-estable. Si, por el contrario, la roca excavada no es capaz de soportar el pico de presión, se fracturará, pasando al dominio plástico, y para garantizar la estabilidad de la excavación será necesario un adecuado sostenimiento que asegure la estabilidad de la excavación subterránea. Teniendo en cuenta dichos aspectos, es recomendable dimensionar el soporte en función de la relación de estabilidad (σcm / Po), siendo σcm la resistencia a la compresión de la masa rocosa y P0 la presión vertical debida a la columna de roca (presión natural antes de la excavación). Es decir, Po = γ · z, en el cual γ es el peso unitario y z la profundidad. Hoek [17], menciona que el cociente (σcm / Po) controla la estabilidad del túnel. Si σcm / Po < 15 % se genera un campo de deformaciones, el cual se incrementa significativamente, y por ende el radio de la zona plástica (véanse Fig. 7.5 y 7.6) Adicionalmente, como más adelante se indica el diseño de la estructura subterránea se obtiene a través de la presión de equilibrio entre la curva característica del terreno y del soporte, para cada caso en particular en función de las propiedades geomecánicas de la roca, las dimensiones del túnel y la cobertura.


19

Figura 7.5. Relación entre la estabilidad de la excavación σcm/Po y la deformación del túnel según Hoek

[17].

Figura 7.6. Relación entre la estabilidad de la excavación σcm/Po y el radio plástico, según Hoek [17].


20

Una vez conocida la presión de sostenimiento Ps (punto de equilibrio entre la curva característica del terreno y del sostenimiento) en diferentes sectores del túnel, bajo condiciones diversas de cobertura, y de resistencia, conjuntamente con el índice de calidad del macizo rocoso, es posible por tanto relacionar la presión Ps en términos del factor de estabilidad (σcm / Po) utlizando por ejemplo una ecuación del tipo:

2

o

cm2

1

o

cm1s P

KP

KKPξξ

σσ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+= (7.9)

K, K1, K2, ξ1, ξ2 = Constantes a determinar aplicando la técnica de mínimos cuadrados. En estas circunstancias se obtiene también a través de la presión de equilibrio la magnitud del radio plastificado de la masa rocosa, siendo por tanto, posible conocer la longitud del bulón, con la finalidad de garantizar que el perno está anclado dentro de la roca no plastificada. Por otra parte, se logra dimensionar el soporte en el túnel para cada sector investigado, conjuntamente con el índice de calidad de la roca, bien sea el GSI (Geological Stregnth Index), el RMR (Rock Mass Rating), el índice Q de Barton, o el índice Rmi (Rock Mass Index) de Palmström. Finalmente, al tomar en cuenta la rigidez del sostenimiento, su máximo desplazamiento y el radio del túnel, se determina la máxima presión de sostenimiento Pms para cada condición en particular y por ende el correspondiente coeficiente de seguridad a través de la relación Pms / Ps. 7.3. CÁLCULO DEL SOSTENIMIENTO Una vez obtenida la curva característica del terreno, el próximo paso es determinar la curva característica del sostenimiento. La experiencia ha demostrado que, por lo general los elementos de sostenimiento que se instalan en el túnel no llegan a plastificarse. Por este motivo la curva característica del sostenimiento se adapta a una línea recta, tal como se indica en la Fig. 7.7, la cual está definida por los siguientes parámetros: Pms = Presión máxima del sostenimiento. ud = Desplazamiento radial de la excavación al colocar el sostenimiento a una distancia, d, del frente. ums = Desplazamiento máximo que admite el sostenimiento. Un parámetro muy característico del sostenimiento es su rigidez, Ks, que corresponde a la pendiente de su curva característica, es decir:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

s

s

ms

mss u

puPK (7.10)

ps = Presión de sostenimiento en el punto de equilibrio de la curva característica del terreno y del

sostenimiento (véase Fig. 7.5). us = Desplazamiento del sostenimiento en el equilibrio terreno-sostenimiento.


21

Figura 7.7. Determinación del punto de equilibrio en una excavación subterránea. El valor de ud, se determina utilizando la fórmula de Cobertta [20], la cual puede expresarse como sigue:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−−+⋅=

7,0

ed Rxd50,1exp171,029,0uu χ (7.11)

siendo: ue = Desplazamiento radial correspondiente a la parte lineal de la curva característica

oe PRE

v1u ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= (7.12)

ν = Coeficiente de Poisson E = Módulo de elasticidad R = Radio del túnel Po = Presión natural antes de la excavación χ = (up /ue)


22

up = Desplazamiento radial final cuando la presión radial es cero. Corresponde al comportamiento plástico de la curva característica del terreno.

La distancia, d, al frente de excavación, en la cual se instala el soporte puede obtenerse aproximadamente en función de la clasificación geomecánica de Bieniawski, considerando los valores siguientes:

CLASE DE ROCA (Bieniawski) IV III II

d = Distancia R = Radio del túnel 3

R R 1 1/3 R

Cuando dos sistemas de soporte se combinan en una sola aplicación, se considera que la rigidez del sistema de soporte combinado es igual a la suma (sistema en paralelo) de la rigideces de los componentes individuales, por lo tanto:

( )bhs KKK += (7.13)

( )chs KKK += (7.14) Kh = Rigidez del hormigón proyectado Kb = Rigidez del bulón o perno anclado Kc = Rigidez del cuadro metálico o marco. El valor de la rigidez para cada elemento de soporte, así como la presión máxima que pueden resistir, puede obtenerse a través de las siguientes ecuaciones: Hormigón proyectado

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=R

eE)MPa(K hh (7.15)

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

≈⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

Re'f

ReR1'f

21)MPa(p c

2

2

chms (7.16)

siendo: R = Radio del túnel (m). E = Espesor de hormigón proyectado (m). Eh = Módulo de elasticidad del hormigón o concreto proyectado (MPa).

ch 'f700.4)MPa(E ≈ (7.17) hmsp = Presión máxima de soporte que admite el anillo de hormigón o concreto proyectado (MPa).


23

Bulonaje

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=ψ1

eeRK

tlb

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅⋅⋅

= QE

L4

b2bφπ

ψ (7.18)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=tl

bms ee

Tp (7.19)

siendo:

le = Separación longitudinal entre bulones (m). le = Separación transversal entre bulones (m).

L = Longitud del bulón (m). bφ = Diámetro del bulón (m).

Eb = Módulo de elasticidad del bulón ≈ 21 · 104 MPa Q = Cantidad relacionada con las características carga-deformación del anclaje, placa y tuerca, es decir

a nivel del anclaje y su cabeza. Su valor se determina en el ensayo de tracción del perno. Q ≈ 0,03 m/MPa a 0,05 m/MPa

bmsp = Presión radial máxima que es capaz de soportar el bulón (MPa).

T = Tracción máxima que soporta el bulón (kN). Cuadro metálico

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

=RSAEK

c

cac (7.20)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅=

c

yccms sR

fAp (7.21)

Ea = Módulo de elasticidad del acero (MPa). Ac = Área del perfil metálico (m2). Sc = Separación entre cuadros metálicos o marcos (m).

cmsp = Presión máxima que puede soportar el cuadro o marco metálico (m).

f y = Punto cedente (yield strength) del acero (MPa). Dependiendo de la calidad del acero fy se encuentra aproximadamente en el rango de los 250 MPa y 350 MPa. Por otro lado, al observar la Fig. 7.7 el desplazamiento radial en el punto de equilibrio es:


24

ur (x) = ur (d) + us (7.22) siendo además,

RKPu s

s ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (7.23)

Resultando, por tanto, la presión de sostenimiento ps al considerar la ecuación anterior:

ss

s uR

Kp ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (7.24)

Cuando us = ums, la presión máxima de sostenimiento es:

mss

ms uR

Kp ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (7.25)

En estas condiciones el coeficiente de seguridad se obtiene a través de la bien conocida relación:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

s

ms

pp

FS (7.26)

Cabe destacar, que en el ejemplo propuesto, el cual se detalla en las páginas siguientes el soporte se ha calculado considerando una resistencia a la compresión sin confinar del hormigón proyectado a los 28 días f´c = 25 MPa, y un factor de reducción de resistencia φ = 0,85, el cual junto con un adecuado coeficiente de seguridad se logra un mayor margen de confiabilidad en la estructura subterránea, en el caso de que el terreno o el sostenimiento se deteriore, o para hacer frente a fenómenos de carga diferida en el tiempo. Como se sabe, el tiempo el cual va a ser utilizada la excavación condiciona notablemente las exigencias que debe cumplir el sostenimiento. En general, el paso del tiempo supone siempre una degradación de las propiedades mecánicas de la roca debido a efectos ambientales. Finalmente, para obtener las curvas características del terreno se utilizarán las siguientes ecuaciones, las cuales permiten obtener el módulo de deformación E y los parámetros m y s en la zona plastificada, es decir mr y sr (valores residuales). Según Hoek y Brown [15]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅= 4010GSI

c3 10100

10E σ (7.27)

σc y E en MPa Por otro lado, Russo, Kalamaras y Grasso [21], recomiendan en la zona plastificada:


25

GSIr = 0,36 GSI siendo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=28

100GSIexpmm rir

(7.28)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=9

100GSIexps r

7.4. EJEMPLO DE APLICACIÓN 7.4.1. Determinación de los parámetros de corte (criterio empírico de Hoek y Brown) A continuación, se determinan los parámetros resistentes a ser utilizados en el diseño del sostenimiento en un túnel de trasvase de tres metros de diámetro, en la cual se ha considerado que el coeficiente de reparto de tensiones K = 1, es decir la presión horizontal es igual a la presión vertical debida al peso dela columna de roca (σh = σv = γ · H), lo que equivale a un estado de tensiones litostático. Datos Roca = Caliza Profundidad = H = 90 m Peso unitario = γ = 24 kN/m3

P0 = σv = γ · H = 2,16 MPa (presión natural antes de la excavación) ∴ 1Kv

h ==σσ

Indice de resistencia geológica GSI = 45 Resistencia a la compresión simple = σc = 40 MPa Módulo de deformación E = 4.743 MPa (aplicando la ecuación 7.27) Parámetros de corte – Criterio de rotura de Hoek y Brown mi = 12 (roca intacta)

683,128

100GSIexpmm i =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=

0022,09

100GSIexps =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

Zona plastificada (valores residuales) GSIr = 0,36 GSI = 16 mr = 0,60 sr = 0,000088


26

7.4.2. Cálculo de los parámetros equivalentes C y φ que gobiernan la resistencia al corte de la

roca En la mecánica de rocas es práctica frecuente determinar la “envolvente de rotura” o “envolvente de Mohr” mediante ensayos triaxiales en celdas o cámaras de alta presión. En estas condiciones, es posible hallar dicha envolvente conocida también como “curva de resistencia intrínseca”, tomando en cuenta la relación que existe entre las tensiones principales, en la cual

)( 31 σξσ = . A través de este procedimiento Ucar [24] determinó la envolvente de rotura )( nf σψτ = de

la familia de circunferencias (involutas) representada por la ecuación [σn - 1/2 (σ1+ σ3) ] 2 + τ2f = 1/4 (σ1-σ3) 2 , de radio variable, al aplicar el criterio empírico de rotura de Hoek y Brown [22 ]. En muchos casos, suele ser posible aproximar la curva de resistencia intrínseca mediante una línea recta. Por lo tanto, se obtiene el ángulo que la tangente a la envolvente forma con el eje de las abscisas, el cual corresponde al ángulo de fricción interna φ, siendo además la ordenada en el origen C (resistencia al esfuerzo cortante a cero esfuerzo normal, es decir la cohesión). Al considerar los mencionados parámetros, la relación entre la resistencia cortante τf y el esfuerzo normal σn actuando sobre el plano potencial de falla es: τf = C + σn · tanφ (7.29) Utilizando dicha ecuación es posible expresar matemáticamente la relación entre el esfuerzo principal mayor σ1 y principal menor σ3 en el instante de la falla en función de los parámetros que gobiernan la resistencia al corte C y φ de la masa rocosa, es decir: σ1 = σ3 · Nφ + σcm (7.30)

( )2/º45tansen1sen1NK 2 φ

φφ

φ +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

== (7.31)

siendo α = (45º + φ /2), el ángulo que forma el plano de falla con la dirección del esfuerzo principal menor σ3. σcm = Resistencia a la compresión sin confinar del macizo rocoso. Dicho valor puede expresarse en términos de C y φ como sigue: σcm = 2 · C · tan (45º + φ /2) (7.32) Al dividir entre la resistencia a la compresión simple de la roca intacta σc, la ecuación anterior toma la forma:


27

( )2/º45tanC2cc

cm φσσ

σ+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (7.33)

De esta manera, lo que se pretende es determinar la resistencia a la compresión uniaxial de la masa rocosa como una fracción de la resistencia en la condición intacta. Por tanto, el objetivo perseguido es obtener el valor de la resistencia a la compresión sin confinar de la masa rocosa σcm en su condición natural tomando en cuenta la estructura de la roca, es decir si es masiva, fracturada, desintegrada, foliada, laminada, etc. así como las condiciones de la superficie (muy rugosa, rugosa, grado de meteorización, espejos de falla, rellenos, etc.). En base a lo previamente indicado, Hoek y Brown [15], empleando el índice de calidad de la roca GSI (Geological Strrength Index), cuya tabla se anexa en el apéndice A del Capítulo 2, conjuntamente con el criterio empírico de rotura no lineal por ellos desarrollado [22], han publicado recientemente un procedimiento gráfico (véanse Figs. A.3 y A.4 del mencionado Apéndice) para determinar la cohesión y ángulo de fricción interna equivalente de la roca a través del GSI y el parámetro mi, lo que permite a la vez calcular σcm y por ende la resistencia al corte al aplicar la ecuación de Mohr-Coulomb. Los parámetros de corte equivalentes, empleando el procedimiento analítico descrito en el manual (Apéndice A, Capítulo 2) son los siguientes: Ángulo de fricción interna

[ ]s4/ms41)2/º45(tanK 2 −++=+= φ (7.34) obteniéndose,

[ ]0022,0420,00022,041)2/45(tan o2 −++=+φ tan2(45º + φ /2) = 3,41 ∴ φ = 33,13º De igual forma al tomar en cuenta las ecuaciones (A.28) y (A.21) de dicho apéndice, la resistencia cohesiva equivalente considerando que φ1 = 64,07º (σ3 /σc = 0) y φ2 = 23,13º (σ3 /σc = 1/4) es:

032,0C

c=

σ

resultando: C = 0,032 · σc = 0,032 · 40 MPa = 1,28 MPa Siendo entonces:

118,0846,1032,02)2/45tan(C2 o

cc

cm ≈⋅⋅=+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= φ

σσσ


28

σcm = 4,72 MPa. Es decir la resistencia σcm es aproximadamente un 11,80 % de la resistencia a la compresión simple de la roca representada por la condición intacta σc. Por otro lado la relación de estabilidad es:

18,2MPa16,2

MPa40118,00

cmP

=⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ

Adicionalmente, a través de la Fig. 7.5 se observa que el valor obtenido a través de dicha relación es mucho mayor de 0,15, lo que indica que la deformación a desarrollarse en la cavidad subterránea será muy inferior a la condición crítica, obteniéndose una deformación de 0,4·10-3 es decir de 0,40 mm/m de radio de túnel. En estas condiciones se requerirá de un soporte menos denso. También el valor de σcm puede calcularse utilizando los gráficos A.3 y A.4 del Apéndice A del Capítulo 2, a través de los cuales se determinan C, φ como una función de mi y GSI. Por otra parte, Hoek y Brown [15], recomiendan tomar un 75 % del valor de c obtenido gráficamente. Esta cohesión reducida concuerda perfectamente con los resultados obtenidos a través de la ecuación (A.21), desarrollada por el autor en el mencionado Apéndice. Como previamente se ha descrito los gráficos desarrollados por Hoek y Brown para determinar los parámetros equivalentes C y φ toman en cuenta que la relación entre el esfuerzo principal menor σ3 y la resistencia a la compresión simple de la roca intacta σc, se encuentran en el siguiente intervalo:

0 ≤ c

3σσ ≤ 1/4.

Teniendo en cuenta que el límite superior σ3 /σc = 1/4, genera valores muy elevados de la cohesión que no se ajustan a la realidad, es recomendable obtener en la forma más exacta posible el campo de tensiones alrededor de la periferia de la cavidad subterránea, a objeto de poder determinar posteriormente con mayor precisión la resistencia al corte para ese estado tensional y por ende los parámetros resistentes equivalentes al considerar que la curva de resistencia intrínseca es lineal. 7.4.3. Método propuesto A continuación se describe un procedimiento aproximado, para ser aplicado en el diseño de túneles, en el cual para un determinado campo de tensiones es posible obtener los parámetros de corte equivalentes (C, iφ ) considerando que la envolvente de falla es una línea recta. Dicho procedimiento, permitirá comparar resultados con el programa asistido por el ordenador RocLab. Primeramente es necesario conocer las tensiones que se desarrollan alrededor de la excavación subterránea en un macizo rocoso sometido a presiones verticales σv y horizontales σh.


29

Para el caso particular de un túnel circular (véase Fig. 7.8) es bien conocido que:

( ) ( ) θσσσσσ 2cosra3

ra41

21

ra1

21

4

4

2

2

vh2

2

vhr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

( ) ( ) θσσσσσθ 2cosra31

21

ra1

21

4

4

vh2

2

vh ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= (7.35)

( ) θσστ θ 2senra3

ra21

21

4

4

2

2

hvr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

Figura 7.8. Distribución de tensiones sobre una excavación circular subterránea en un medio elástico. donde: σr = Tensión radial. σθ = Tensión tangencial. τrθ = Tensión de corte.


30

a = R = Radio de la cavidad subterránea. (r, θ) = Coordenadas polares. r = Distancia radial desde el centro de la excavación. θ = Ángulo que forma el radio vector con la horizontal. Como puede apreciarse a través de la ecuaciones indicadas en (7.35), en el borde de la excavación, es decir cuando r = a, las tensiones radiales σr y de corte τrθ son nulas. También, puede apreciarse al tomar en cuenta la teoría de la elasticidad, que las alteraciones de las tensiones alrededor de la cavidad circular alcanzan una distancia de tres a cinco veces el radio de túnel. A partir de dicha distancia, la masa rocosa está sometida a su estado de tensiones naturales. Considérese que la presión de campo es litostática, es decir σv = σh, por tanto en r = a, (periferia de la excavación) resulta al aplicar (7.35): σθ = 2 σv (esfuerzo principal mayor) σr = 0 (esfuerzo principal menor) τrθ = 0 Cabe destacar que Hoek y Brown [23], aplicando la técnica de elementos de contorno, han determinado en forma aproximada los esfuerzos tangenciales σθ en la clave y los hastiales para túneles de diferentes geometrías, véase Fig. 7.9, y coeficientes de reparto de tensiones K, también conocido como coeficiente de empuje al reposo. σθ (clave) = (A · k –1) σv y σθ (hastial) = (B - k) σv (7.36)

v

hKσ

σ= (Coeficiente de reparto de tensiones) (7.37)

Por otra parte, cabe destacar como lo mencionan Olalla y otros en la monografía “Medidas de Tensiones Internas en Formaciones Rocosas “(Centro de Estudios y Experimentación de Obras Públicas, CEDEX, M-38,1994, 263 pp, Madrid) que el conocimiento del estado tensional es un requisito muy conveniente y necesario para el diseño racional de obras subterráneas de gran envergadura.

En la mayoría de los casos la medición in-situ del estado tensional completo resulta ser una tarea difícil y cara. Por lo que no resulta extraño de relaciones empíricas que puedan predecir el estado tensional in-situ a priori.

La más conocida y extendida de estas teorías se basa en calcular la tensión vertical como debida al peso del terreno suprayacente y la tensión horizontal identificarla como la requerida para contrarrestar o anular la deformación lateral que se desarrolla sobre el cuerpo elástico cargado con la tensión vertical generada por la columna de roca. Según esta teoría la tensión horizontal será una fracción de la vertical cuyo valor dependerá del coeficiente de Poisson. Las investigaciones in-situ de los últimos años han demostrado que la relación que propone esta teoría no es una regla generalizada sino más bien una excepción.


31

Se han medido tensiones “horizontales” muy altas cuyo origen se debe a: • Movimiento de placas continentales. • Deformaciones elásticas ligadas a importantes procesos erosivos. • Figuraciones bajo cargas mantenidas en tiempo geológico. • Topografía. • Cualquier otra causa indefinida causada por el movimiento de la corteza terrestre. Todas estas razones descritas, impiden el uso de teorías sencillas como la anteriormente descrita. Por lo tanto, es recomendable y conveniente cuando se desee un cierto nivel de precisión, o cuando la importancia de la obra así lo requiera disponer de aproximaciones teóricas más rigurosas, completas o precisas. Para efectos de cálculo se ha tomado en cuenta el esfuerzo cortante máximo, el cual ocurre en un plano que forma un ángulo de cuarenta y cinco grados (β = 45º) con los planos donde actúan los esfuerzos principales.

Figura 7.9. Valores de las constantes A y B para distintas deometrías de la excavación subterránea.

Según Hoek y Brown [23]. En función de lo previamente indicado se obtiene:

( ) ( ) ( ) 0,2

2sen21

arrrarmax ==−= == σσβσστ θθ (7.38)

Por otra parte, la tensión normal actuando sobre un determinado plano potencial de falla, el cual forma un ángulo ψ con la horizontal es:


32

ψσψσσ θ

2senr2cosn += (hastial )

(7.39) ψσψθσσ 2cosr2senn += (clave)

Siendo, por tanto en r = a (periferia del túnel ) ( ) ψσσ θ

2cosarn == (hastial)

(7.40) ( ) ψσσ θ

2senarn == (clave) Por otra parte, es recomendable como una simple aproximación, determinar el valor de la tensión normal media actuando en la periferia de la excavación subterránea considerando un intervalo amplio del mencionado ángulo ψ, por ejemplo 20º ≤ ψ ≤ 70º. En estas condiciones, al tomar en cuenta las ecuaciones indicadas en (7.40), el valor medio de σn en r =a, es

2θσ para ambos casos.

Así por ejemplo, al considerar la tensión normal media en el hastial, resulta:

( ) ( ) ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅−⋅

=º70

º202

medion 2dcos

º20º70º180 θθ σ

ψψπ

σσ (7.41)

Es decir:

21n =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

θσσ ∴ ψ = 45º, valor que coincide con el ángulo β previamente definido.

Adicionalmente, es importante destacar, que para lograr valores de los parámetros de corte instantáneos (Ci, iφ ) = (C,φ ) los más cercanos a los reales, es fundamental poder determinar en la cavidad subterránea la inclinación ψ del plano potencial de deslizamiento, bien sea en la clave o en los hastíales, y por ende la tensión normal actuando sobre dicho plano. De lo contrario, los cálculos producirán simples resultados groseros, los cuales conducen a una cruda aproximación de los parámetros resistentes. Este es el caso de utilizar el ángulo ψ = 45º, el cual es aceptable, siempre y cuando se considere como una primera aproximación al problema. Por otra parte, la resistencia al corte τf y la tensión normal σn al aplicar el criterio empírico de rotura de Hoek y Brown se obtienen de acuerdo a Ucar [24] a través de las ecuaciones:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

c

f

tansen1

8m

φφ

στ

(7.42)


33

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ms

16m3sen

sen21

8m

ii

2c

n φφσ

σ (7.43)

Esta última ecuación puede expresarse en función de iφ (ángulo de fricción interna instantáneo) como sigue:

021sen2sen i

2i

3 =+− φφ (7.44)

23sm

m8

c

n2 +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

σσ

λ (7.45)

siendo la solución de la ecuación cúbica:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 1240

4271arccos

31cos2

3sen o

3i λλφ (7.46)

Por lo tanto, al conocer (σn/σc), se obtiene λ y iφ empleando las ecuaciones (7.44) y (7.46). A su vez, conociendo iφ , se obtiene la resistencia al corte indicada a través de (7.42). Considerando que la curva de resistencia intrínseca es lineal, es posible escribir la bien conocida ecuación:

ic

n

cc

f tanc φσσ

σστ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (7.47)

Por lo tanto, el valor c/σc para un determinado campo de tensiones es:

ic

n

c

f

ctanc φ

σσ

στ

σ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (7.48)

Finalmente, el esfuerzo principal menor σ3 puede obtenerse de acuerdo a la ecuación (A.29) del Apéndice A del Capítulo 2, como sigue:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛s1

sen1

4m

m1

2

ic

3φσ

σ (7.49)

7.4.4. Aplicación del método De acuerdo a la sección 7.4 se sabe que:


34

m = 1,683 s = 0,0022 σv = Po = 2,16 MPa σc = 40 MPa.

En toda la periferia del túnel de sección circular, con reparto de tensiones 1Kv

h ==σσ , el campo de

esfuerzos es el siguiente:

2v=

σσθ ∴ σθ = 2· σv = 4,32 MPa

11,0MPa40MPa32,4

c==

σσθ (De acuerdo a la Fig. 7.3 será necesario colocar un soporte intermedio)

0v

r =σσ

0v

r =στ θ

ψσσ

ψσσ

σσ θ 2

v

r2

vv

n sencos ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ψ = 45º (7.50)

145cos2 o2

v

n =⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

Por tanto:

054,0MPa40MPa16,21

c

v

v

n

c

n =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

σσ

σσ

Aplicando (7.45) y (7.46) resulta: λ = 1,763 sen iφ = 0,68 ∴ iφ = 42,84º Por otra parte,

073,0tan

sen18m

i

i

c

f =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φφ

στ


35

siendo la relación (C/σc) = (Ci/σc)::

023,0tanCi

c

n

c

f

c=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛φ

σσ

στ

σ

Obteniéndose además,

105,0)2/45tan(C2 io

cc

cm =+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= φ

σσσ

Por otro lado, los parámetros instantáneos (Ci, iφ ) = (C,φ) previamente obtenidos corresponden al campo tensional (σ3/σc, σ1/σc), los cuales se determinan a continuación:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛s1

sen1

4m

m1

2

ic

3

φσσ (7.51)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛0022,01

84,42sen1

472,1

683,11

2

oc

3σσ

0219,0c

3 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

( ) 0022,00219,0683,10219,0smc

3

c

3

c

1 +⋅+=++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

σσ

σσ

220,0c

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ .

Finalmente, la Tabla 7.7 muestra los diferentes valores de (Ci/σc) y iφ en función del estado tensional actuando sobre el macizo rocoso. Dichos resultados permiten concluir que existen diferencias notables con el método gráfico propuesto por Hoek y Brown [15]. Una vez conocido (σn /σc) y utilizando las ecuaciones que se resumen en la página subsecuente se ha obtenido la siguiente Tabla de valores. En el ejemplo propuesto, se puede apreciar como varían los parámetros de corte equivalentes en función de la profundidad, por cuanto la tensión normal depende entre otros factores ya mencionados de la presión vertical debida al peso de la masa de roca, previa a la excavación.

TABLA 7.7.

Roca : Caliza, γ =24 kN/m3, σv = γ · H = 2,16 MPa, σc = 40 MPa, GSI = 45, mi = 12, m = 1,683,


36

S = 0,0022, Factor de Perturbación D = 0, m = 1,683, S = 0,0022

Profundidad del túnel H = 90 m

Procedimiento de Ucar

Hoek y otros*

Programa RocLab Hoek y Brown [15]

Método Gráfico

φº 42,84º 48,70º 33,13º

C/σc = Ci/σc 0,023 0,012 0,032 C = Ci 0,920 MPa 0,479 MPa 1,280 MPa

σ3/σc 0,0219 0,027 σ3/σc = [0,1/4]

σ1/σc 0,220 0,240 σ1/σc = [0,047,0,90]

a 0,50 0,508 0,50 * Hoek –Brown Failure Criterion - 2002 Edtion, www.rocsience.com (Hoek´s Corner - RocLab).

m =mi exp ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

D1428100GSI , s = exp ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

D39100GSI , a =

61

21+ ( )3/2015/GSI ee −− − ,

a

smccc331

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+=

σσ

σσ

σσ

Cabe señalar que el entorno de σ3/σc = [0,¼ ] por ser muy amplio no representa en la mayoría de los casos en el diseño de túneles el verdadero campo de esfuerzo que existe dentro de la masa rocosa. Esto, sin lugar a dudas condujo a Hoek y sus colaboradores a buscar un procedimiento más exacto para determinar los parámetros de corte instantáneos, tal como se puede apreciar en el artículo de Hoek y Brown Failure Criterion 2002 Edition, conjuntamente con el programa RocLab, ambos ya mencionados. Por otra parte, al observar los resultados de la Tabla 7.7, es posible percatarse que la única diferencia estriba al compararse con los resultados del programa asistido por el ordenador RocLab, es que la cohesión instantánea al aplicar el método propuesto es prácticamente el doble para este ejemplo en particular, sin embargo, el resto de los parámetros involucrados son bastantes parecidos. En todo caso, es un problema complejo la determinación de los parámetros instantáneos (Ci,φi) al diseñar túneles, por la cantidad de variables involucradas. Por ejemplo, en esta última investigación llevada a cabo por Hoek y sus colaboradores, no mencionan aspectos de fundamental importancia como son el coeficiente de reparto de tensiones K = σh/σv, la forma del túnel y la inclinación del plano potencial de falla entre otros. Estos elementos influyen notablemente en la magnitud del esfuerzo normal efectivo, siendo éste, el más importante factor externo que afecta la resistencia al corte de la roca actuando sobre un determinado plano de discontinuidad. Adicionalmente, con la finalidad de poder aplicar en forma expedita las ecuaciones que permiten determinar los parámetros de corte instantáneos, en la Tabla 7.8 se resume las ecuaciones más importantes a ser utilizadas.


37

TABLA 7.8. Resumen de las formulas utilizadas.

σθ (clave) = ( A · k –1 ) σv y σθ (hastial) = ( B - k ) σv , K = σh / σv

Los coeficientes A y B se obtienen a través de la figura 7.9

( ) 2cosn r a ψθσ σ= = (hastial), ( ) 2n r a senθ ψσ σ= = (clave)

ψ = ángulo que forma el plano potencial de falla con la horizontal

Procedimiento según Ucar

23sm

m8

c

n2 +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

σσ

λ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 1º240

4271arccos

31cos2

3sen 3i λ

λφ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ms

16m3sen

sen21

8m

ii

2c

n φφσ

σ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

i

c

f

tansen1

8m

φφ

στ

ic

n

c

f

ctanC φ

σσ

στ

σ−= , =),( iC φ Parámetros de corte instantáneos, C = Ci

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛s1

sen1

4m

m1

2

ic

3

φσσ , sm

c

3

c

3

c

1 ++=σσ

σσ

σσ

)2/º45(sen)2/º45(cos i2

c

3i

2

c

1

c

n φσσφ

σσ

σσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Finalmente, cabe destacar la importancia del parámetro σcm en la estabilidad del túnel, así como en el cálculo del soporte. Utilizando la ecuación (7.30), la relación entre la presión tangencial y radial en la periferia de la cavidad subterránea es: σθ = K · σr + σcm (7.52) Considerando un túnel de sección circular, y un campo tensional litostático la primera invariante de esfuerzo puede expresarse como sigue: σr + σθ = 2 Po (7.53) Al reemplazar el valor de la tensión σθ de la ecuación (7.52) en (7.53 ) , la presión radial crítica es σr = Pcr, por tanto:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=K1

P2P cmocr

σ (7.54)

En forma adimensional:


38

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−=

K1P

2

PP o

cm

o

cr

σ

(7.55)

A través de dichas ecuaciones se aprecia que la roca alrededor del túnel se plastificará si la presión de sostenimiento Ps es menor a la presión crítica de tránsito entre la elasticidad y plasticidad Pcr.

Si Ps > Pcr, no ocurrirá plastificación de la roca y su comportamiento en las cercanías de la periferia del túnel será elástico. La Fig. 7.10, muestra según Hoek et al el desplazamiento radial elástico y plástico que sufre la roca en la cavidad subterránea de sección circular con reparto de tensiones K=1. Por lo tanto, el tránsito elasto-plástico está definido por la ecuación (7.54), la cual puede expresarse también en la forma:

cmocr MPP σ⋅−= (7.56) siendo

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

−+=

)1K(

P)1K(1M cm

oσ (7.57)

( )2/45tanK o2 φ+= (7.58)

Al aplicar el criterio de Hoek y Brown, la presión crítica toma la forma siguiente*:

cocr MPP σ⋅−= (7.59)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

8msPm

4m

21M

c

o2

σ (7.60)

* Brown, T. y otros (1983) “Ground Response Curves for Tunnels”, Journal of Geotechnical Engineering, Vol. 109, pp 15-39.


39

• Desplazamiento elástico si Po > Ps > Pcr • Desplazamiento plástico cuando Ps < Pcr • Desplazamiento radial y radio de plastificación alcanzan el máximo valor cuando σr = 0.

Figura 7.10. Curva característica del terreno y del sostenimiento.

Para mayor detalle véase Tabla de valores anexa mostrando la variación de la presión y el desplazamiento en el techo, hastiales y muro. Por otra parte, la Fig. 7.11 muestra la curva característica del terreno. 7.5. DETERMINACIÓN DEL SOSTENIMIENTO – CASO PRÁCTICO Con el propósito de poder apreciar el procedimiento de cálculo indicado en la sección 7.3, a continuación se lleva a cabo el siguiente caso práctico. Teniendo en cuenta la curva característica del terreno y del sostenimiento. Túnel de sección circular de radio R = 1,50 m Profundidad H = 90 m Coeficiente de reparto de tensiones K = σh/σv = 1 Peso unitario de la roca γ = 0,024 MN/m3 Resistencia a la compresión simple de la roca intacta σc = 15 MPa (roca clase R2 – Blanda, ISRM, 1981) Módulo de deformación E = 918,99 MPa Coeficiente de Poisson v = ¼ m = 1,72


40

s = 0,00024 El desplazamiento radial elástico correspondiente a la parte lineal de la curva característica empleando la ecuación (7.12) es según [16]:

( ) m0044,0PRE

v1u oe =⋅⋅+

=

siendo Po = γ · H = 2,16 MPa De acuerdo a la curva característica del terreno, se aprecia que: up ≈ 0,013 m, por tanto la relación χ =(up/ue) = 2,95. Al aplicar la ecuación (7.11) de Corbetta [20] se obtiene el valor del desplazamiento del terreno ud a la distancia d = 0,50 m, en la cual se coloca el sostenimiento, es decir:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−−+=

7,0

d m50,195,2m50,050,1exp171,029,0013,0u (7.61)

ud ≅ 0,006 m

Figura 7.11. Desplazamiento Radial Ur.

Curva Característica del Terreno Instituto Geológico Minero de España-Programa SOSTENIM IGME (1988)

Geotecnia Minera Roca inicial Presión Desplazamiento (mm) Po = 2,16 MPa 0


41

Pcr = 0,45 MPa 3,50 Roca plastificada

PRESIÓN HASTIALES (MPa)

PRESIÓN TECHO (MPa)

PRESIÓN MURO (MPa)

DESPLAZAMIENTO (mm)

0,40 0,40 0,40 3,69 0,36 0,36 0,36 3,90 0,32 0,32 0,32 4,14 0,28 0,28 0,28 4,42 0,24 0,24 0,24 4,73 0,20 0,20 0,20 5,11 0,16 0,17 0,15 5,57 0,12 0,13 0,11 6,15 0,08 0,09 0,07 6,94 0,04 0,05 0,03 8,16 0,04 0,01 - 11,77

Po = γ · H = 24 kN/m3 · 90 m = 2,16 MPa m = 1,72, s = 0,00024, σc = 15 MPa M = 0,114 ∴ Pcr = 2,16 – 0,114(15) = 0,45 MPa, cocr MPP σ⋅−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

8msPm

4m

21M

c

o2

σ

La rigidez Kh del hormigón proyectado al considerar un espesor e = 8 cm y una resistencia a la compresión simple a los 28 días f´c = 25 MPa, es:

MPa500.2325700.4'f700.4E ch ==≈

MPa253.1m50,1

m08,0MPa500.23R

eEK ch =

⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=

La rigidez del bulón de longitud L = 3 m al considerar las ecuación (7.18) conjuntamente con el = et =1,50m, bφ = 2,50 cm, Eb = 21,104 MPa y Q = 0,04 m/MN, resulta:

( ) MN/m04,0m/MN10,211050,2

m34QE

L42422b

2b

+⋅⋅⋅

⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅⋅⋅

=−πφπ

ψ

ψ = 0,069 m/MN

MPa70,8MN/m069,0

1m50,2m50,1K 2b =⋅=

Por otro lado, se sabe que la presión de sostenimiento en el punto de equilibrio terreno-sostenimiento (us, ps) es:


42

sb

sh

ss

s uR

Ku

RK

uR

Kp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

(7.62) bs

hss ppp +=

Es decir: ps = Presión de sostenimiento del hormigón lanzado + presión de sostenimiento del bulón. Considérese a la vez que el sostenimiento se llevará a cabo únicamente a través del hormigón lanzado, es decir:

shh

ss uR

Kpp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== (7.63)

siendo la presión máxima de soporte cuando us = ums, es decir:

mshh

ms uR

Kp ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (7.64)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Re'f

uR

K cms

h φ (7.65)

φ = Factor de minoración o reducción = 0,85 Al reemplazar valores el máximo desplazamiento del hormigón lanzado es:

mu 31036,1MPa253.1

m08,0MPa2585,0ms

−⋅≈⋅⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

Con el objeto de comparar resultados, considérese por otra parte que se colocará solamente bulonaje. En estas circunstancias resulta:

sbb

ss uR

Kpp ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== (7.66)

Igualmente la condición de máximo soporte se alcanza cuando us = ums. Por tanto, el desplazamiento

máximo que es capaz soportar el bulón se obtiene cuando: bmsms

b puR

K=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Es decir:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

tlms

bee

TuR

K (7.67)


43

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅=

tlbms eeK

RTu (7.68)

Si T = 210 kN, R = 1,50, Kb = 8,70 MPa y el = et,= 1,50 m, el desplazamiento máximo que admite el bulón es:

).proyectadohormigón(u1016m016,0m50,1m50,1m/N1070,8

m50,1N10210)bulón(u s3

26

3

ms >⋅==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅⋅⋅⋅

= −

Por tanto, se concluye que en caso de ocurrir la falla al combinar ambos elementos (hormigón proyectado + bulón), ésta ocurrirá cuando ums = 1,36·10-3 m (desplazamiento correspondiente al hormigón proyectado). En estas condiciones, la presión máxima de sostenimiento es:

msb

msh

ms uR

KuR

Kp ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (7.69)

.MPa14,1m1036,1m50,1

MPa70,8MPa253.1p 3ms ≅⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += −

Mediciones de convergencia tomadas al mes dieron como resultado que el desplazamiento radial final de la excavación subterránea es de u = 0,00615 m. Adicionalmente, dicho valor se ha considerado para efectos del ejemplo propuesto independiente con relación al tiempo (A time-independent behavios of rock mass). A través de las Figs. 7.7 y 7.12 se observa que: ur = ud + us, es decir ur (x) = ur (d) + us ur = 0,00615 m ud = 0,00600 m us = 0,15 · 10-3 m. En estas condiciones al considerar la ecuación (7.62), la presión de soporte ps es:

.MPa126,0m1015,0m50,1

MPa70,8MPa253.1p 3s =⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += −

Siendo por tanto, el factor de seguridad:

9MPa126,0

MPa14,1p

pFSs

ms ≈== (véase Fig. 7.12)


44

Figura 7.12. Desplazamiento radial Ur. Teniendo en cuenta el desplazamiento radial total del túnel ur = 0,00615 m la deformación es por tanto

%41,0100m50,1

m00615,0r =⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=ε .

De acuerdo a Ross, Kalamarn y Grasso [21] para valores de rε < 0,5 % la relación entre el radio plástico y el radio del túnel es Rp / R ≈ 1 a 2. Siendo la concentración de esfuerzos en la cara de la excavación aproximadamente igual a la resistencia de la roca. Por otro lado, cuando 0,5 % < ε r < 1 %, la concentración de esfuerzos excede la resistencia de la roca en la cara del talud del túnel, encontrándose el frente en estado plástico. Si el gradiente de deformación en el frente se traduce en valores altos ε r > 1 %, es decir una elevada relación tensión/resistencia, (Rp /Ro) > 4. Finalmente, si se considera únicamente como sostenimiento pernos de anclaje repartidos, la presión máxima de soporte para un desplazamiento máximo del bulón ums = 0,016 m, es:


45

auR

Kp MP09,0m016,0m50,1

MPa70,8ms

bms ≈⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Adicionalmente, si se tiene en cuenta que las mediciones de convergencia no varían con el tiempo y que el estado final alcanzado es ur(x) = ur = 0,011 m y ur (d) = ud =0,006 m, el desplazamiento del sostenimiento es us = (0,011 – ud) = 0,05 m. Por tanto, la presión de sostenimiento del bulón se obtiene a través de la ecuación:

auR

Kp MP03,0m05,0m50,1

MPa70,8s

bbs ≅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= (véase Fig. 7.13)

En base a los resultados obtenidos, se puede concluir que cuanto más rígido es el sostenimiento y se coloca cerca del frente de avance, menores son los corrimientos finales en la cavidad subterránea y mayor la tensión y la resistencia requerida en el sostenimiento.

Figura 7.13. Curvas características del terreno y el sostenimiento (Bulonaje).

Por el contrario, si el elemento estructural, el cual se desea colocar para garantizar la estabilidad de la excavación subterránea es menos rígido y se coloca más alejado del frente de avance, mayores serán los corrimientos en el terreno y menor la tensión y la resistencia requerida en el sostenimiento. Cabe destacar que adicionalmente al método de cálculo de las curvas características del terreno para determinar el sostenimiento de excavaciones subterráneas, existen en el mercado excelentes métodos numéricos asistidos por el ordenador aplicados al diseño de estructuras subterráneas, tales como PLAXIS (elementos finitos), FLAC (Fast Lagragian Análisis of Continua), el cual utiliza como elemento de formulación la técnica de las diferencias finitas y PHASES cuyo modelo emplea el algoritmo de elementos


46

finitos y elementos de contorno, los cuales entre otros se han popularizado con gran éxito y profusión en los últimos años. 7.4. MÉTODOS SIMPLIFICADOS DE DISEÑO EN ROCA DE BAJA CAPACIDAD

PORTANTE Hoek [17] en su “Rock Engineering Course Notes” (Capítulo 12, Túneles en Roca Débil), ha construido una serie de gráficos aplicando el análisis de Monte Carlo, en el cual la resistencia de la roca y la deformación del túnel variaron aleatoriamente en dos mil iteraciones con la ayuda del programa @RISK y Excel. El rango de valores utilizados en el proceso iterativo es el siguiente: 1 ≤ σc ≤ 30 MPa 5 ≤ m ≤ 12 10 ≤ GSI ≤ 35 2 ≤ P0 ≤ 20 MPa 2 ≤ R ≤ 8 m Las ecuaciones expresadas en forma adimensional para un túnel de sección circular con presión de campo litostática es según el mencionado investigador:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2oP

sP4,2

oPcm

oPsP0025,0002,0R

u σ (7.70)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 57,0oPsP

oPcm

oPsP625,025,1

RpR σ (7.71)

siendo: u = Desplazamiento radial (m). R = Radio del túnel (m). Rp = Radio de plastificación (m). Ps = Presión de sostenimiento (MPa). Po = Presión natural antes de la excavación (MPa). σcm = Resistencia a la compresión simple de la masa rocosa (MPa). Igualmente se incluyen otros gráficos, los cuales permiten determinar la presión de sostenimiento, el radio de plastificación y la deformación de la roca en la cavidad subterránea al tomar en cuenta la relación (σcm/Po).


47

Figura 7.14. Resistencia A la compresión simple de la masa rocoso en función de σc y del índice de

calidad GSI (Geological Strenght Index) según Hoek [17].

Figura 7.15. Determinación de (Rp/R) en función de (σcm/Pp) y de (Ps/Po) según Hoek [17].


48

Figura 7.16. Determinación de Ur/R en función de (σcm/Po) y (Ps/Po) según Hoek [17].

Figura 7.17. Determinación de (Ps/Po) en función de (Ur/R) y (σcm/Po) según Hoek [17].


49

7.5. MÉTODO DE PANET Panet [25], considerando un estado de esfuerzos planos ha determinado la presión radial ficticia aplicada sobre el perímetro de la excavación, la cual se determina mediante la expresión:

[ ] or P)x(1)x( ⋅−= λσ (7.72) Siendo )x(λ el coeficiente de presión de sostenimiento ficticia. De acuerdo a la Fig. 7.18 se aprecia que: Cuando λ = λ(x) = 0, σr = σr(x) = P0 y ur = ur (x) = 0

Cuando λ(x) = λ(4R) ≈ 1, σr (x) = 0, y el desplazamiento radial elástico ( )RE2

1ueν+

=

Por lo tanto, al considerar el intervalo 0 < λ (x) < 1, el desplazamiento radial dentro del dominio elástico a cierta distancia x del frente es: ur (x) = λ(x) · ue (7.73)

Figura 7.18. Presión de sostenimiento requerida en función de σcm/Po y de la deformación del túnel,

según Hoek [17].


50

Figura 7.19. Características del sostenimiento para diferentes radios de túneles, según Hoek [17].

Siendo λ(x) según Panet [25] igual a:

( ) ( )xa1)x( 00 ⋅−+= λλλ (7.74)

2

xmRmR1)x(a ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−= (7.75)

λ0 = 0,25 m = 0,75 A la distancia x = d, del frente en la cual se coloca el sostenimiento, se obtiene al aplicar las ecuaciones arriba indicadas que:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−=

dR75,0R75,01)d(a (7.76)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−+=

2

dR75,0R75,0175,025,0)d(λ (7.77)

Por tanto,

er u)d()d(u ⋅= λ (7.78) Si la roca se plastifica, el desplazamiento radial ur (x) es:


51

( )[ ] eoor u)x(a11)x(u ⋅⋅−+= λλξ

(7.79)

2

xmRmR1)x(a ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=ξ

(7.80)

ep u1u ⋅=ξ

(7.81)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=G2

RP1u op ξ

Siendo además, según Panet [25]

1Kp

e RR1

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= λ

ξ (7.82)

Figura 7.20. Variación de la presión radial ficticia en función de la distancia (X) del frente de arranque.

Panet [25] explica que la estabilidad de la zona excavada entre el frente y el sostenimiento se debe a que se desarrolla un efecto de confinamiento que para efecto práctico se puede simular como una presión ficticia actuando sobre el perímetro de la zona excavada y no sostenida.

Por otra parte, el desplazamiento radial de la excavación al colocar el sostenimiento a la distancia x = d del frente de avance es:


52

2

dRmRm1)d(a ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=ξ

(7.83)

y

( )[ ] eo0r u)d(a11)d(u ⋅⋅−+= λλξ

(7.84)

Para el caso del ejemplo propuesto en la sección (7.5) se tiene:

95,2e

p

uu1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== χ

ξ, λo = 0,25, m = 0,75, d = 1/3, R = 0,50 y up = 0,013 m (véase Fig. 7.10 y 7.11

correspondiente a la curva característica del terreno). Resultando: a (0,5) = 0,523 ur (0,5) = 0,013 [0,25 + 0,75 (0,523)] m ≈ 0,008 m. Es decir un 33 % con relación a la ecuación (7.11) propuesta por Corbetta. Desde el punto de vista práctico, quizás una de las críticas más importantes al método de las curvas características es la deficiencia de poder calcular correctamente el valor ur (d). Finalmente, como previamente se ha mencionado cuanto más cerca se coloca el sostenimiento del frente y mayor es su rigidez mayor es la presión a la que está sometido. Cabe destacar que la contribución de Panet se fundamenta en argumentar que la estabilidad entre el frente de excavación y el sostenimiento se desarrolla un efecto de arco longitudinal, el cual se considerará equivalente a una presión ficticia aplicada sobre el perímetro de la excavación. En estas condiciones, al observar la Fig. 7.21 en el punto (x/R) = 0, es decir justamente en el frente de arranque, el efecto confinante es σr ≈ 0,735. Po y el desplazamiento u ≈ 0,265 ue. Si el sostenimiento se coloca a una distancia del frente x = R (x/R = 1), σr ≅ 0,2 · P0, mientras que para valores x / R ≥ 3, σr ≈ 0. A la vez, si el sostenimiento de presión ps se coloca a una distancia del frente x = R la presión radial que actúa sobre la cavidad corresponde a (1 -λ) P0 + Ps = (0,2 · Po + Ps), siendo λ = 0,8. Al observar la Fig. 7.21, la presión de sostenimiento para el caso que la roca se comporte elásticamente se obtiene de la forma siguiente al tomar en cuenta ur (x), λ(x), Ks y R.


53

Figura 7.21. Variación de coeficiente (λ) de presión de sostenimiento ficticia en función de la relación

(X/R).

Figura 7.22. Variación del desplazamiento radial elástico Ur en función de la distancia del frente de

excavación según Panet [25].


54

Considérese el desplazamiento:

srr u)d(u)x(u += (7.85) siendo: ur (d) = Desplazamiento radial de la excavación a la distancia, X=d, en la cual se coloca el

sostenimiento. us = Desplazamiento del sostenimiento. Por tanto, al tener en cuenta la Fig. 7.23 y las ecuaciones (7.73) y (7.78), resulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅=

s

see K

RpU)d(U)x( λλ (7.86)

En el punto de intersección Ι de la Fig. 7.23, σr(x) = ps, es decir:

[ ] sor PP·)x(1)x( =−= λσ (7.87)

Figura 7.23.

Al reemplazar el valor de λ(x) de la ecuación anterior en (7.86) se obtiene:


55

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ssee

o

sKRpu)d(u

Pp1 λ (7.88)

Teniendo en cuenta que ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +

=G2

PRPRE2

1u ooe

υ , (siendo G el módulo de corte), la presión de

sostenimiento es por tanto:

( ) [ ] os

ss P)d(1

G2KKp ⋅−⋅+

= λ (7.89)

De igual forma se obtiene que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⋅+=

G2RP

KG2K)d(G2)x(u o

s

sr

λ (7.90)

Como se sabe en el tránsito elasto-plástico habrá una presión radial crítica σr = Pcr en el cual λ = λcr, resultando por tanto:

[ ] ocrcrr P1P ⋅−== λσ (7.91) A la vez , a través de las ecuaciones (7.52) y (7.53) la presión radial crítica es:

( )[ ]cmcrocrr PKP2P σσ +⋅−== (7.92)

( ) cmocr P2K1P σ−=+ Al reemplazar dicho valor en (7.91) se obtiene que: (7.93)

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

+=

o

cmcr P

1KK1

1 σλ (7.94)

Por tanto, para valores de λ > λcr, la roca se plastificará desarrollándose una zona plastificada de radio Rp. Utilizando el criterio de rotura de Hoek y Brown [22] en forma adimensional, también es posible escribir:

sm1c

r

c++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

σσθ . (7.95)

Reemplazando ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

cσσθ en la ecuación σθ + σr = 2 Po, resulta :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1smP2

c

r

c

o

c

rσσ

σσσ (7.96)

Al resolver la ecuación cuadrática se obtiene:


56

8ms16Pm16m

81P

c

o2

c

o

c

r ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσσ

σ (7.97)

Teniendo en cuenta que ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

c

cr

c

r Pσσ

σ y considerando además que σr = Pcr = [1 - λcr] · Po, resulta por

tanto que: ( )

8ms16Pm16m

81PP1

c

o2

c

o

c

ocr ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⋅−σσσ

λ (7.98)

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ms16Pm16m

P81

c

o2

o

ccr σ

σλ (7.99)

De acuerdo a Panet [25], para valores de λcr < 0,30, el frente de la excavación se encuentra incluido dentro de la zona plastificada, llegando a ser crítica su estabilidad. Esta condición ocurre en terrenos de baja capacidad portante (soft ground). La zona plastificada aparece detrás del frente de excavación para valores de λcr > 0,6. Sin embargo, si se coloca un sostenimiento muy rígido muy cerca del frente dicha zona no existe. El caso intermedio corresponde para 0,3 ≤ λcr ≤ 0,60. Cuando λ > λcr, el radio de plastificación Rp puede obtenerse a través de las ecuaciones: Criterio de Mohr-Coulomb

( )( )

( )[ ]1K

1

cmo

cmop

P11K1KP

1K2

RR −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅−−

+−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σλ

σ (7.100)

La cual es equivalente a escribir:

( ) ( )1K

1

cr

crp

1K1K2

RR

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−−⋅+

=λλ

λ (7.101)

Si λ = λcr, se obtiene que Rp = R. Los diferentes valores de (Rp/R) se obtienen dependiendo de la magnitud de λ = λ(x). El radio de plastificación alcanza el valor máximo cuando λ = 1. Criterio de Hoek y Brown

( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2/1

rc

orre

c

or

r

p s1Pms1Pmm2exp

RR

λσ

λσ

(7.102)

7.6. OTRAS EXPERIENCIAS PARA DETERMINAR LOS PARÁMETROS DE CORTE DE LA ROCA Y LA PRESIÓN DE SOSTENIMIENTO EN TÚNELES


57

Singh et al [26] mediante la correlación de datos y observaciones de campo durante la fase de la excavación en diferentes túneles han publicado en la Revista Tunnelling and Underground Space Tecnology (volumen 12, Nº. 1, 1997), los parámetros resistentes y las correlaciones entre índices de calidad en macizos rocosos, a objeto de ser utilizados en el diseño de obras subterráneas. En forma resumida se tiene: m = m i · (s)1/3 (7.103) σcm = σc (s)n (7.104) n = 0,5 si RMR79 > 25 n = (0,65 – RMR79 /200) si RMR79 < 25 (7.105)

ct ms σσ ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (para valores de GSI > 25). (7.106)

σt = Resistencia a la tracción de la roca. σcm = 0,7 γ · Q1/3 (7.107)

Siendo σcm la resistencia a la compresión simple de la masa rocosa (MPa), γ el peso unitario de la roca (kN/m3) y Q el índice de Barton. Por otro lado, Grimstad [27] modificó la ecuación (7.107) incorporando la resistencia a la compresión simple σc, resultando:

3/1Q7,0100c

cm ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= γ

σσ (7.108)

Igualmente mencionan que el fenómeno de fluencia puede iniciarse a una profundidad del túnel, en la cual: H ≥ 350 Q1/3. A la vez consideran que una buena aproximación es emplear la relación sugerida por Barton para determinar el ángulo de fricción interna pico pφ , siendo:

15JJtan

a

rp <⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=φ (7.109)

Como se sabe el cociente entre el parámetro de rugosidad de la discontinuidad (Jr) y el de alteración Ja dan una medida de la resistencia de la roca. También indican las correlaciones realizadas por Daemen [28] en túneles que han sufrido fluencia obteniendo los siguientes valores residuales de los parámetros de corte:


58

Cr = 0,10 MPa

(7.110) rφ = ( pφ – 10) ≥ 14o

Cabe destacar, de acuerdo a Bieniawski [6] que en macizos rocosos de baja calidad (RMR = 25), la cohesión es alrededor de 0,10 MPa, magnitud que debe coincidir con la resistencia cohesiva de la masa plastificada debido al estado de fractura que ha sufrido la roca como resultado de la concentración de esfuerzos en la periferia de la cavidad subterránea. Por otra parte, recomiendan también utilizar las siguientes relaciones entre los índices de calidad: GSI = RMR76, si RMR76 > 18 (7.111) GSI = 9 ln Q´ + 44 (7.112) Q´ = (RQD / Jn) · (Jr /Ja) (7.113) Q´ = Índice de Barton modificado para túneles (tunnelling quality index) RMR79 = 8 ln Q´ + 30 + (valor de σc + valor de orientación de las diaclasas) (7.114 )

3/1

i´)Q(135,0

28100GSIexp

mm

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

= (7.115)

Q́002,09

100GSIexps =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

= (7.116)

A través de dichas ecuaciones se aprecia que:

3/128/9

iss

mm

≈= (7.117)

Con relación a la presión de sostenimiento Goel y otros [29] en base a mediciones sobre los elementos estructurales que soportan la cavidad subterránea han obtenido los siguientes valores: a) Rocas no fluyentes

038,0N

)RH12,0(P 3/1

10,010,0

el −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅= , (r = 0,95) (7.118)

b) Rocas fluyentes

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3/1N50

10,0R60,0H

sq 1030fp (r = 0,97) (7.119)

siendo:


59

Pel = Presión estimada de soporte última en rocas no fluyentes (estimated ultimate support pressure) (MPa).

R = Radio del túnel. H = Profundidad del túnel (m). N = Índice de la masa rocosa (rock mass number) previamente indicado en la sección 7.1. psq = Presión estimada de soporte última en terrenos fluyentes (squeezing ground).

TABLA 7.9. Factor de corrección, f.

GRADO DE FLUENCIA f Muy ligera 1,50 Ligera 1,20 Ligera a moderada 1,00 Moderada 0,80 Elevada 1,10 Muy elevada 1,70

La tabla adjunta elaborada por dichos autores, permite predecir las condiciones del terreno en función del índice de masa rocosa N. TABLA 7.10. Predicción del comportamiento de la cavidad subterránea en función del índice de la

masa rocosa N, según Goel y otros [29].

Nº CONDICIÓN DEL TERRENO CORRELACIÓN 1 No require soporte H < 23,4 N0,88 B- 0,1 y 1000 B- 0,1

2 Roca no fluyente 23,4 N0,88 B- 0,1 < H < 275 N 0,33 B- 0,1

3 Muy ligeramente fluyente, ε = 1-2 % 275 N0,33 B- 0,1 < H < 360 N 0,33 B- 0,1

4 Ligeramente fluyente, ε = 2-3 % 360 N033 B- 0,1 < H < 450 N 0,33 B- 0,1

5 Ligeramente a medianamente Fluyente, ε = 3-4 % 450 N0,33 B- 0,1 < H < 540 N 0,33 B- 0,1

6 Moderadamente fluyente , ε = 4-5 % 540 N0,33 B- 0,1 < H < 630 N 0,33 B- 0,1

7 Muy fluyente, ε = 5-7 % 630 N0,33 B- 0,1 < H < 800 N 0,33 B- 0,1

8 Altamente fluyente, ε > 7 % H > 800 N 0,33 B - 0,1

u = Desplazamiento radial de la cavidad subterránea R = Radio del túnel ε = (u / R ) 100 = Deformación radial expresada en porcentaje Q = Índice de calidad de Barton, considerando que SRF = 1 B = Diámetro (ancho) del túnel (m). Finalmente, es importante destacar los trabajos realizados por Ramamurthy y Arora [30] en el cual a través de ensayos realizados sobre rocas diaclasadas a diferentes presiones de confinamiento, determinaron la siguiente relación.

( )fc

cj J008,0exp −=σσ

(7.120)


60

siendo: σcj = Resistencia a la compresión sin confinar de la roca medida sobre los planos de discontinuidad

(strength of jointed rock). Por otra parte se aprecia que σcj = σcm ya definido en las secciones anteriores.

Jn = Factor de diaclasamiento.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

rnJ

J nf (7.121)

Jn = Parámetro que tiene en cuenta el número de familias de diaclasas tal como se ha indicado

previamente en la ecuación que permite determinar el índice Q de Barton. N = Parámetro que depende del ángulo de inclinación de la diaclasa β. r = Parámetro relacionado con la resistencia de la roca. Dichos valores se obtienen a través de las tablas siguientes:

TABLA 7.11.

VALORES DE N ÁNGULO DE ANISOTROPÍA FORMA DE U FORMA DE HOMBRO 0º 0,82 0,85

10º 0,46 0,60 20º 0,11 0,20 30º 0,05 0,06 40º 0,09 0,12 50º 0,30 0,45 60º 0,46 0,80 70º 0,64 0,90 80º 0,82 0,95 90º 0,95 0,98

TABLA 7.12.

σc (MPa) r 2,50 0,30 5,00 0,45 15,00 0,60 25,00 0,70 45,00 0,80 65,00 0,90 100,00 1,00

Para mayor detalle, véase la Fig. 7.24 la cual muestra la variación de n en función del ángulo de inclinación del plano de diaclasa β con la vertical.


61

Figura 7.24. Variación del parámetro de inclinación (N) en función de la orientación de los planos de

discontinuidad, según [30].

Cabe destacar que Ramamurthy [31], a través de previos trabajos de investigación determinó una relación entre σcj /σc representada por la ecuación:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=75,18

100RMRexp/ ccj σσ , cmcj σσ = (7.122)

Una expresión similar obtenida a través de experiencias japonesas es ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=24

100RMRexp/ ccm σσ , la

cual ha sido mencionada por el Profesor R. Z. Bieniawski en su conferencia “New Tendencies in Rock Mass Characterization” (Jornada técnica sobre aspectos relevantes en la caracterización del terreno, CEDEX, Madrid, noviembre de 2003. 7.7. DISEÑO DEL SOSTENIMIENTO SEGÚN BIENIAWSKI


62

Recientemente Bieniawski [6] ha sugerido una metodología muy sencilla para determinar la altura Hc de la zona plastificada en las cercanías de la excavación en función de RMR, permitiendo, por tanto, determinar la longitud, separación y tensión de trabajo del anclaje. Lógicamente si el macizo rocoso en el que se realiza la excavación no es capaz de soportar los esfuerzos tangenciales, la roca deja el dominio elástico y se plastificara llegando a producirse fracturas apreciables en el perímetro de la excavación. A medida que nos alejamos del radio de la excavación, las tensiones radiales aumentarán, generándose un efecto de confinamiento el cual permitir soportar los esfuerzos, lo que conlleva a la roca a comportarse elásticamente. El valor de Hc de acuerdo al mencionado autor es el siguiente:

B100

RMR100Hc ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

= (7.123)

siendo: RMR = Rock Mass Rating (Clasificación Geomecánica de Bieniawski) B = Ancho del túnel (m). Por ejemplo, se desea construir una galería de unos 4,50 m de ancho en una roca caliza con un índice de calidad RMR = 49. Una vez conocido el índice de calidad RMR de la masa rocosa y el ancho de la estructura subterránea , se obtiene al tomar en cuenta la ecuación arriba indicada que Hc = 2,30 m (≈ 2,50 m). Por otra parte, si el peso unitario de la roca es γ = 23,50 kN/m3, la carga de roca Wr sobre el techo del túnel corresponde al siguiente valor: Wr = γ · Hc = 23,50 kN/m3 · 2,50 m = 59 kN/m2

El espaciamiento entre anclajes puede obtenerse considerando que S1 = S2 (separación radial entre anclajes es igual a la separación longitudinal). Por otro lado, al tener en cuenta una tensión de trabajo igual al 55 % del punto cedente nominal fy, puede escribirse:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅⋅⋅

4f55,0HSS

2b

yc21φπγ (7.124)

Si Qt es la carga de trabajo, se tiene al utilizar la ecuación arriba indicada:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

4f55,0Q

2b

ycφπ (7.125)

Considérese además los siguientes valores: fy = Punto de cedencia = 4,20 MPa


63

bφ = Diámetro de la barra = 2,50 cm. Al reemplazar dichas cantidades en la ecuación (7.125), resulta: Qt = 113,40 kN (para efectos prácticos se considerará Qt = 100 kN). Por tanto, para un peso unitario γ = 23,50 kN/m3 la separación entre bulones es:

m30,1m50,2m/kN50,23

kN100S2/1

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅=

Es decir: S1 · S2 = 1,30 · 1,30 @ 100 kN (carga de trabajo). 7.7. DISEÑO DE ZENG y YU-JUN Una metodología sencilla para calcular el radio de la zona plástica y la presión de sostenimiento requerida en el techo de un túnel de sección circular ha sido desarrollada por Zeng y Yu-Jun [13]. De acuerdo a la Fig. 7.25 se aprecian los siguientes parámetros: σv = Presión vertical debida a la carga gravitacional de la columna de roca actuando a una profundidad

H, σv = γ · H (MPa). a = Radio del túnel (m). R = Radio de la zona plástica (m). γ = Peso unitario de la roca (kN/m3). H = Altura de la columna de roca sobre el techo del túnel (m). uo = Desplazamiento en el techo del túnel (m). uR = Desplazamiento en el límite de la zona plástica (m). A través de la citada figura el desplazamiento (U) en cualquier punto de coordenadas a ≤ x ≤ R, resulta:

xaRuuuu Ro

R ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

+= (7.126)

La fuerza de anclaje como consecuencia del desplazamiento ∆U = (U – UR) es:

xaRuudkUdk Ro

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−−

⋅⋅=⋅⋅⋅= π∆πτ (7.127)

siendo:


64

K = Coeficiente de rigidez que depende del comportamiento del anclaje, de la lechada de cemento y de la roca adyacente al barreno inyectado, MPa/m (véase Tabla 7.13).

∆U= (uo – uR), m. d = Diámetro del anclaje (m).

Figura 7.25. Sección del túnel circular mostrando la zona fracturada.

Por lo tanto la fuerza total es:

∫−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−⋅⋅

=⋅=)aR(

0Ro

2)aR()uu(dkdxF πτ (7.128)

y la presión del anclaje requerida:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⋅−−⋅⋅

=⋅

=2S1S2

)aR)(Ruou(dk

2S1SFP

π (7.129)

Siendo además,


65

( )[ ] a2RcoscsenvG2

1ou φφσ ⋅+⋅= (7.130)

( )[ ]RcoscsenvG2

1Ru φφσ ⋅+⋅= (7.131)

cj = Cohesión de la masa rocosa (MPa) (véase Tabla 7.13 para valores aproximados).

jφ = Ángulo de fricción interna (véase Tabla 7.13). G = Módulo de corte de la roca (la Tabla anexa, recomienda diferentes valores del módulo de corte en

función de la calidad de la roca).

TABLA 7.13. Según [32].

CATEGORÍA DE ROCA

K (MPa/m)

C (MPa)

φ (grados)

E x 104

(MPa) ν

I II III IV V

9,80 7,84 5,88 3,62 1,96

12,25 2,94 0,78 0,20 0,05

47,50 42,50 37,50 32,50 27,50

4,90 1,67 0,54 0,20 0,06

0,14 0,20 0,26 0,32 0,38

( ) =+=

v12EG Módulo de corte

Leyenda - Método de Zeng y Yu-Jun [13] C = Cohesión de la roca (MPa). Cr = Cohesión residual ≈ C/10 (MPa). φ = Ángulo de fricción interna del macizo rocoso (o).

rφ = Ángulo de fricción interna de la roca en la zona plastificada rφ ≈ ( jφ - 5o) (o). ξ = tan2(45° + φ/2). ξr = tan2(45° + φr/2). σv = Presión vertical (MPa). σcm = Resistencia a la compresión simple de la masa rocosa (MPa).

rcmσ = Resistencia a la compresión de la roca en la zona plastificada (MPa).

K = Coeficiente de rigidez (véase Tabla 7.13). D = Diámetro de la barra (m). G = Módulo de corte de la roca (MPa) (véase Tabla 7.13). S1 = Separación radial entre anclajes (m). S2 = Separación longitudinal entre anclajes (m). A = Radio del túnel (m). R = Radio de la zona fracturada (m). P = Presión del anclaje (MPa). Por otra parte,


66

( )223 aRaR2RAP ⋅+⋅−= (7.132)

( )φφσπ cosCsenSSaG4

dKA v21

⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅= (7.133)

El radio de la zona plastificada es:

( ) ( )( )

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+−++−⋅⋅+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 1r1

rcm1rP1rcmcmv2

11aR

ξσξ

ξσσσξ

(7.134)

siendo:

( )2/45tansen1sen1 o2 φ

φφξ +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

( )2/45tansen1sen1

ro2

r

rr φ

φφξ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=

σcm = Resistencia a la compresión de la masa rocosa = 2 · C · tan(45o + φ /2)

rcmσ = Resistencia a la compresión de la masa rocosa en la zona plastificada.

)2/º45tan(C2sen1

cosC2 rrr

rr

rcm φ

φφσ +⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=

Cr = Cohesión residual

rφ = Ángulo de fricción interna residual Dichos autores recomiendan como una primera aproximación Cr = C/10

(7.135) rφ = (φ - 5o)

El radio de la zona plástica se obtiene a través de la ecuación:

( ) ( ) ( ) ( )1r1rrcmrr1)r2( aBRaRRa2R1A 2r

−=−++ ⋅⋅+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅+⋅⋅−− ξξξξξ σξ (7.136)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1121

1B rcmrcmv ++−−+

= ξσξσσξ

(7.137)

En estas condiciones si se conocen K, d, G, a, S1, S2, σv, C, φ , Cr y rφ , el radio de plastificación R se determina al tomar en cuenta la ecuación (7.136), y por tanto uo, ur y la presión de anclaje P.


67

Finalmente la longitud del bulón puede obtenerse mediante la relación:

( )aR34L −=

7.10. MÉTODO DE LA MASA ROCOSA ESTABILIZADA (Stability of Reinforced Rock

Unit) Lang, Bischoff y Wargner [33] en el trabajo de investigación preparado para el Bureau of Mines, “A Program Plan for Determining Optimum Roof Bolt Tensión”, determinaron la tensión mínima requerida para soportar la estructura de la masa rocosa (Reinforced Rock Unit-RRU). De acuerdo a la Fig. 7.26, la ecuación de equilibrio vertical es la siguiente: S2 [σv - (σv + dσv) ] + γ S2 dy - 4S (K · tan φ · σv + C) dy = 0 (7.138)

Figura 7.26. Sostenimiento de excavaciones subterráneas mediante anclajes. Método de Lang [33].

siendo: σv = Presión vertical debida al peso de la roca suprayacente. σh = Presión horizontal.


68

τf = Resistencia al corte = (C + σh tanφ ) = C + k · σv · tanφ . S = Espaciamiento entre anclajes del prisma de roca.

K = Relación entre la presión horizontal σh y la presión vertical = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

φφ

sen1sen1 .

φ = Ángulo de fricción interna de la roca. σcm = 2 · C · tan(45º + φ /2) C = Cohesión de la masa rocosa (MPa). γ = Peso unitario del macizo rocoso (kN/m3). µ = tanφ Al simplificar (7.138) resulta:

dyS

tanK4SC4d v

v ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅

−−=σφγσ (7.139)

Al integrar y aplicar las condiciones de borde se obtiene la expresión siguiente:

S/lk4S/Dk4

e1

e1C4S

KST

h2 µ

µµσγ

µα

−

−

−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= (7.140)

donde: T = Fuerza mínima de tensión (kN). D = Hc = Altura de carga (m) (véase ecuación 7.123). α = Factor que depende del tiempo de instalación del anclaje después de la excavación. α = 0,50 (caso activo). α = 1 (caso pasivo). l = Longitud del anclaje (m). Aplicación práctica Considerando un peso unitario γ = 23,50 kN/m3, se ha determinado previo a la excavación que la presión vertical debida al peso de la roca suprayacente a la profundidad promedio de z = 80 m, donde se construirá el túnel o galería es: σv = γ · z = 23,50 kN/m3 · 80 m = 1.880 kN/m2 = 1,88 MPa (≈ 2 MPa) Por otro lado, se conoce que: φ = 30º C = 250 kPa

31

sen1sen1K =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=φφ


69

La tensión horizontal es según dichos autores: MPa3

2MPa230sen130sen1zsen1

sen1zKh =°+°−=⋅

+−=⋅⋅= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ γφφγσ

Adicionalmente se ha establecido para fines de diseño que S = 1,25 m y α = 1 (caso pasivo). Por otro lado, a través de (7.123) se conoce que H = 2,50 m, por lo tanto si se toma en cuenta que la longitud del anclaje corresponde a l = 4 m, resulta al aplicar 7.140:

1

e1

e1

e1

e1

25,100,4

330tan4

25,150,2

330tan4

S/lk4

S/Dk4→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

−

−

⋅°

−

⋅°

−

−

−

µ

µ

Eliminando el efecto de la cohesión y de la presión de confinamiento lateral queda:

23

2 m/kN16,384

m25,1m/kN50,2330tan33,0

1ST

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

°⋅=

2

2 m/kN16,38ST

= ∴ T ≈ 60 kN

7.10. MÉTODO DE PROTODYANOKOV Como se ha mencionado previamente, si el macizo rocoso en el que se realiza la excavación no es capaz de resistir las presiones tangenciales, la roca abandonará el dominio elástico y se plastificará llegando a producirse fracturas visibles en el perímetro de la excavación. Básicamente el procedimiento de Protodyakonov se fundamenta en el concepto de arqueo, el cual se desarrolló originalmente para suelos granulares. Posteriormente se extendió a suelos y macizos rocosos con favorables resultados reportados a través de la experiencia desarrollada por la ingeniería rusa. Protodyakonov demostró teóricamente que la zona fracturada tiene una configuración parabólica tal como se ilustra en la Fig. 7.27. La altura máxima de la par bola viene expresada por la relación:

( )máximac1 Hf

ab == (7.141)

siendo: f = Factor de Protodyanokov (véase Tabla 7.14). f = tanφ , para suelos puramente friccionantes.

φσ

tanCfc

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= , para suelos cohesivos.


70

100f cσ= , en rocas (σc, es la resistencia a la compresión simple de la roca intacta en cubos de 5 cm de

lado, en MPa). a1 = a + H [cot β + cot(45° + φ /2) (7.142) a = Mitad del ancho de la excavación (m). H = Altura de la excavación (m).

Figura 7.27. Teoría de Protodyakonov – Arco parabólico. De acuerdo con dicha figura, la parábola puede representarse mediante la fórmula y = K x2 + K1 (7.143) A través del sistema de coordenadas rectangulares elegido, los puntos P y P1 (véase Fig. 7.27) poseen las siguientes coordenadas P(0,b) y P1(a1 ,0). Lo anterior implica que: Para x = 0, y = b Para x = a1, y = 0


71

TABLA 7.14. Valores del coeficiente de resistencia f en diferentes materiales según

Protodyakonov.

GRADO DE RESISTENCIA TIPO DE ROCA O SUELO γ

(kN/m3) σc

(MPa) FACTOR

f

Muy alto Granitos masivos, cuarcitas o basaltos sanos y, en general, rocas duras, sanas y muy resistentes 28 a 30 200 20

Muy alto Granitos prácticamente masivos, pórfidos, pizarras silicosas, areniscas y calizas sanas. 26 a 27 150 15

Alto Granitos y formaciones similares. Areniscas y calizas prácticamente sanas. Conglomerados muy resistentes. Limonitas resistentes.

25 a 26 100 10

Alto Calizas en general. Granitos meteorizados. Limonitas. Areniscas relativamente resistentes. Mármoles. Piritas.

25 80 8

Moderadamente alto Areniscas normales 24 60 6

Moderadamente alto Pizarras 23 50 5

Medio Lutitas. Calizas y areniscas de baja resistencia. Conglomerados no muy duros 24 a 28 40 4

Medio Lutitas. Pizarras arcillosas. Margas. 24 a 28 30 3 Moderadamente

bajo Lutitas blandas. Calizas muy fracturas. Yesos. Areniscas en bloques. Gravas cementadas. 22 a 26 20

15 2

1,5 Moderadamente

bajo Gravas. Lutitas y pizarras fragmentadas. Depósitos de gravas densas. Arcillas duras. 20 - 1,5

Bajo Arcilla firme. Suelos arcillosos. 17 a 20 - 1,0

Bajo Loes. Formaciones de arena y grava. Suelos areno-arcillosos o limo-arcillosos. 17 a 20 - 0,8

Suelos Suelos con vegetación. Turbas. Arenas húmedas. 16 a 19 - 0,6 Suelos

granulares Arenas y gravas 14 a 16 - 0,5

Suelos plásticos Limos y arcillas blandos. - - 0,3 es decir K1 = b. γ = Peso unitario (kN/m3). σc = Resistencia a la compresión sin confinar (roca intacta) en cubos de 5 cm de ancho (MPa).

0 = K (a1) 2 + b ∴ 1

21

1 af1

abK −=−=


72

Por lo tanto:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+−= 2

1

22

21 a

x1bbxaby (7.144)

La altura promedio de la zona plastificada (Hc)promedio dentro del entorno (0, a1) puede calcularse aplicando la expresión:

( )∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1a

0 promedioc21

2

1promedio Hdx

ax1b

a1y (7.145)

( )1a

021

3

1promedioc a3

xxabH

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= (7.146)

fa

32b

32

a3aa

aby 1

21

31

11

promedio ==⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= (7.147)

Al reemplazar a para la condición β = 90° véase Fig. 7.27, resulta:

( ) ( )[ ]2/45cotHaf3

2H promedioc φ+°+= . (7.148)

Como ejemplo de aplicación se ha considerado que la masa rocosa tiene un coeficiente de resistencia f=3, y un ángulo de fricción interna φ = 30o. La galería tiene un ancho 2 a = B= 4,50 m y una altura H ≈ 3,7 m, al aplicar 7.148, se obtiene: (Hc) promedio ≈ 1 m. Considerando el máximo valor (H c)máxima = b

( ) m50,1f

abH 1máximac ===

7.11. MÉTODO DE TERZAGHI Széchy [34] en su clásico libro “The Art of Tunnelling” explica la teoría de Terzaghi [35] para determinar las cargas que actúan sobre el túnel, mencionando que originalmente se desarrolló para suelos granulares, extendiéndose posteriormente a terrenos cohesivos. El valor de la presión vertical Pv actuando sobre el techo del túnel, es según Terzaghi [36] al considerar el bien conocido efecto de arco (arching) como sigue:


73

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

b·tanH·2

v e1tan2

bc2b

Pφ

φ

γ (7.149)

siendo: γ = Peso unitario de la masa de suelo o roca (kN/m3). c, φ = Parámetros resistentes. B = Ancho del sólido de carga (véase Fig. 7.28). H = Profundidad del túnel.

Figura 7.28. Presión vertical Pv actuando sobre el techo del túnel según Terzaghi [36].

A la vez: Si H ≤ b la carga toma el valor Pv = γ · H Si b ≤ H ≤ 2,5 b, en ningún caso la carga reducida Pv debe ser inferior a γ · b

Si H > 2,5 b y φ ≠ 0º ∴ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅

→φ

γtan2

c2bPv

Para un túnel de ancho B y altura Ht b = B + 2Ht tan (45º - φ /2) Para un túnel de sección circular de radio R B = 2 · R tan (3π/8 - π/4)


74

7.11.1. Diseño de anclaje – malla Utilizando la teoría de arco propuesta por Terzaghi, es posible determinar la malla adecuada capaz de soportar los fragmentos o bloques de roca suelta que se pueden desprender entre un perno a otro. Según Coats [37], el sistema perno-malla ha sido encontrado a ser muy efectivo y a la vez económico al ser comparado con otros sistemas de sostenimiento. En base a la ecuación desarrollada por Terzaghi, la presión sobre la malla es de acuerdo a Coats [37]:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−−

⋅⋅

== φφ

γσσ tannKexp1tanK

smallam (7.150)

siendo: s = Separación entre bulones (m). K = (σh /σv) en la zona fracturada ≈ ¼. φ = Ángulo de fricción interna de la roca fracturada. n = (L/s). L = Longitud del bulón (m). La tracción sobre la malla puede calcularse para fines prácticos considerando el caso de un cable parabólico tomando en cuenta una carga distribuida igual a σm y que además la malla tiene una flecha de magnitud f. Así, según la Fig. 7.29 las siguientes relaciones matemáticas pueden obtenerse:

12SW malla ⋅⋅= σ (7.151)

Σ Fuerzas verticales = 0 ∴ W = Tv (7.152) Σ Momentos = 0 ∴ W (S/4) = Th · f (7.153 )

( )[ ] 2/12h

2v TTT += ∴

2/1

2

222

f16SWWT

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (7.154)

2/1

2

2

f16S1WT

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= (7.155)

2/1

2

2

malla f16S1

2ST

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅= σ (7.156 )


75

Figura 7.29. Diseño de anclaje-malla.

Considérese por ejemplo que: s = 1,25 m, n = 2,40, K = ¼, φ = 30º y γ = 22 kN/m3. Al aplicar (7.150), σm = 55,78 kN/m2. Si f = 0,15 m, la tracción sobre la malla es:

( )2

2/1

22

22 m/kN51,80

m15,016m56,11

225,1m/kN78,55T =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅=

y por consiguiente el área (A) requerida de la malla por metro de ancho es:

m/cm22,3cm/kN25

m/kN51,80TA 22

2

permisible===

σ

En estas condiciones se recomienda utilizar una malla electrosoldada como elemento de sostenimiento de φ = 8 mm con separación de 15* cm en ambos sentidos, lo que indica que el área es de

* Con el objeto de reducir el rebote del hormigón proyectado, es conveniente emplear una malla con mayor separación. Por tal motivo es preferible una

separación de los alambres de 15 x 15 cm en lugar de 10 x 10 cm.


76

( ) m/cm35,315

1004

8,0 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅π .

Por otro lado, la Fig. 7.30, muestra la relación entre la longitud del bulón y su separación s. También se indica la longitud en función del ancho (B) de la excavación subterránea.

Figura 7.30. Relación entre longitud del anclaje y el ancho de la excavación. 7.12. DISEÑO PROPUESTO POR WICKHAM, TIEDEMANN Y SKINNER [4] Las figuras adjuntas permiten para diferentes anchos de túneles y conociendo el valor de RSR, determinar en una forma práctica la carga de roca Wr y el soporte requerido. Rutledge y Preston [38] han determinado las siguientes ecuaciones entre RSR, RMR y Q. RSR = 0,77 RMR + 12,4 RSR = 13,3 ln Q + 46,05 (7.157) RMR = 13,5 ln Q + 43


77

Figura 7.31. Túnel de 10´ de ancho/diámetro.

Continuando con los datos del problema de la sección 7.8, el valor de RSR en función del Rock Mass Rating es por lo tanto: RSR = 0,77 · 49 + 12,40 = 50 ∴ RMR = 49 Teniendo en cuenta que el ancho de la galería es de 4,50 m (≈14'), y observando la Fig. 7.32, es posible determinar el tipo de marco metálico o costilla, la separación entre anclajes y el espesor del hormigón lanzado*. Wr = Carga de roca sobre el techo del túnel o galería, (Kips por pie cuadrado = 103 libras/pie cuadrado). Wr = 1,55 K/Sq · Ft(1.550 lb/ft2 ≈ 76 kN/m2) ∴ RSR = 50. También Wr puede calcularse a través de la ecuación: * Se ha mantenido el sistema de unidades empleado por los autores Wickham, Tiedemann y Skinner.


78

Ft·sq/K708RSR000.6

302DWr ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+= (7.158)


siendo: D = Diámetro o ancho del túnel en ft Por lo tanto, para D = 14 ft

)m/kN76(Ft·Sq/K55,170850

000.630214Wr 2=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

+=

76 kN/m2 = γ · H ∴ m23,3m/kN50,23

m/kN76H 2

2

c ==


79

Figura 7.33. Túnel de 20´ de ancho/diámetro. Teniendo una carga de trabajo para el anclaje de φ = 1" de 24.000 lb (≈ 109 kN), la separación corresponde entonces:

23rr

p ft/lb10Wlb000.24ft

W24S

⋅== (7.159)

ft93,355,12S p == (≈ 1,20 m)


80

Figura 7.34. Túnel de 24´ de ancho/diámetro. El espesor de hormigón proyectado puede calcularse mediante la fórmula:

25,1Wr"1)in(t += (7.160)

in24,225,1

55,1"1t =+= (≈ 5,70 cm)

Para efectos prácticos se tomará t = 6 cm. Igualmente según la Fig. 7.32, para Wr = 1,55 Kips/ft2 (1,55·103 lb/ ft2 ≈ 76 kN/m2), el marco recomendado es: 4H13* a 3,60 ft de separación.

* Con el objeto de poder comparar dimensiones y propiedades de diseño con otros perfiles metálicos, véase el manual of Steel Construction, AISC

(American Institute of Steel Construction, Inc.).


81


7.13. DETERMINACIÓN DEL SOPORTE ÓPTIMO CONSIDERANDO LA INCLINACIÓN

DE LOS PLANOS DE DISCONTINUIDAD DEL MACIZO ROCOSO EN TÚNELES Y GALERÍAS

Observando la Fig. 7.36 y tomando en cuenta las ecuaciones de equilibrio, a continuación se determina la inclinación óptima del anclaje, tanto para el caso activo como pasivo. Considérese un bloque de peso W el cual trata de moverse a través del plano de discontinuidad de inclinación α con la horizontal. Para que no exista deslizamiento se debe cumplir la condición: W cosα · tan φ + CA > W sen α (7.161) donde:


82

A = Área del plano potencial de falla. C = Cohesión del macizo rocoso sobre la superficie de deslizamiento. φ = jφ = Ángulo de fricción interna del macizo rocoso en la discontinuidad.

Figura 7.36. Sostenimiento de la excavación subterránea con planos de estratificación.

A efectos de cálculo se ha considerado que C ≈ 0 (por ejemplo la fractura está abierta). Con la finalidad de evitar el deslizamiento del bloque, el sostenimiento requerido se determina aplicando tanto el caso activo como pasivo. a. Caso activo Teniendo en cuenta las ecuaciones de equilibrio estático y observando la Fig. 7.34, se tiene:


83

∑Fnormales = 0, N – W cosα - Ft sen (α - ψ) = 0 (7.162) ∑Ftangenciales = 0, T + Ft cos(α - ψ) – W sen α = 0 (7.163) siendo ψ = Inclinación del anclaje con la horizontal*. Al aplicar el concepto de factor de seguridad FS resulta:

( )[ ]( )ψαα

φψααφ−⋅−⋅

−⋅+⋅=

⋅+⋅=

cosFsenWtansenFcosW

TtanNAcFS

t

t (7.164)

Al despejar la fuerza de tracción en el anclaje Ft, se obtiene:

[ ]( ) ( )[ ] φψαψα

φααtansencosFS

tancossenFSWFt −+−⋅⋅−⋅

= (7.165)

Puesto que Ft = f (W, FS, φ , α, φ , ψ), habrá un valor de ψ en la cual Ft es mínimo, siendo constante el resto de los parámetros, por tanto al tomar en cuenta ∂Fa/∂ψ = 0, queda:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

FStantan φψα (7.166)

Dicho valor corresponde exactamente con el obtenido en la ecuación 2.44, del Capítulo 2. b. Caso pasivo En estas condiciones la fuerza tangencial debida al anclaje actúa de forma similar a las fuerzas cohesivas de la roca, por lo tanto el factor de seguridad viene expresado de la forma siguiente:

( ) ( )[ ]α

ψααφψα

senWsenFcosWtancostF

FS t

⋅

−⋅+⋅+−⋅= (7.167)

De dicha ecuación el valor de Ft es:

[ ]( ) ( )ψαφψα

φαα−+−

⋅−⋅=

costansentancossenFSWFt (7.168)

Al considerar ∂Fa/∂ψ = 0, se obtiene que la inclinación óptima del anclaje es ψ = (α -φ ). Adicionalmente es importante destacar que al comparar ambos casos, se observa que el más adecuado desde el punto de vista económico es el anclaje activo. Se aprecia igualmente que el ángulo ψ = (α -φ ), es igual al obtenido al utilizar la ecuación 2.61 del Capítulo 2. Lógicamente una forma de optimizar la separación del anclaje es considerando que la fuerza de tensión alcanza la capacidad máxima de trabajo Qt del anclaje (Ft = Qt). * Para el caso de estructuras subterráneas (ψ) corresponde al ángulo de inclinación del anclaje con la horizontal.


84

Si se conocen las dimensiones del bloque, el peso W se obtiene fácilmente. Esto no ocurre con frecuencia en la práctica, por lo que Hobst y Zajic [39] recomiendan calcularlo en función de la separación y longitud del anclaje, es decir W = γ · S2 · L. Reemplazando dicho valor en (7.165) y considerando Ft = Qt resulta:

[ ]( ) ( )ψαψα

φααγ−+−⋅−⋅⋅⋅

=cossen

tancossenFSLSQ2

t (7.169)

siendo S = S1 = S2 (separación lateral = separación longitudinal)

L = Longitud del anclaje (m).

( ) ( )[ ]( )

2/1t

tancossenFSLcostansenQS

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅−⋅−+−

=φααγψαφψα (7.170)

Por ejemplo, si Qt = 100 kN, ψ = 20°, φ = 30°, α = 50°, L = 4 m, FS = 1,50 y γ = 25 kN/m3, se obtiene que S = 1,20 m. 7.14.1. Aplicación del método Considérese que en una galería de tres metros de ancho el buzamiento de los planos de estratificación de la masa rocosa es de 36 NE y que el ángulo de rozamiento interno es φ = 28°. Por tanto, al aplicar la ecuación (7.166) para un FS = 2 y α = 36°, el siguiente ángulo de inclinación del anclaje :

228tan)tan( °

=−ψα ∴ ψ = 21°

De acuerdo a Hobst y Zajic [39] el peso del bloque W dentro de la zona de empernado es: W = γ · L · S1 · S2 = 25 kN/m3 · 3 m · 1,50 · 1,50 m2 = 169 kN Al emplear (7.165), el valor de Ft es:

[ ] kN20,6128tan21sen21cos2

28tan36cos36sen2kN169Ft ≈°⋅°+°⋅

°⋅°−°⋅=

Para el caso pasivo ψ = (α - φ ) = 8°, por tanto al considerar la ecuación (7.168), Ft = 118 kN. Veamos que ocurre si ψ = 0 y ψ = - (90° - α), es decir normal a la estratificación. Entonces al aplicar la fórmula (7.165), manteniendo constantes el resto de los parámetros se obtiene: ψ = 0° Ft = 65,20 kN ψ = -54° Ft = 236,90 kN


85

En la Tabla 7.15 se indica en detalle la variación de Ft en función de ψ, manteniendo el factor de seguridad constante. TABLA 7.15. Variación de Ft en función de la inclinación ψ del anclaje (FS = 2) S1 · S2 =1,5 · 1,5, α =

36°, φ = 28° y γ = 25 kN/m3.

ψ° Ft kN 0°

10° 21° 30° 40° -0° -20°

65,20 62,00

61,20 Valor mínimo 61,60 64,30 71,10 80,70

En este punto es importante destacar que Birön y Arioglu [39] obtienen una expresión similar a la indicada en (7.168), la cual corresponde al caso pasivo (véase Fig. 7.37). De acuerdo a dicha figura se aprecia que la inclinación del anclaje β, debe ser negativo al tomar como referencia el primer cuadrante del sistema de coordenadas rectangulares. Por otro lado, si en la ecuación (7.168), se considera que FS = 1 (condición límite), resulta la expresión desarrollada por Hobst y Zajic [39]. Adicionalmente Stillborg [40], determina el número de anclajes para evitar el deslizamiento del bloque de roca en función del peso de la cuña, la inclinación del plano potencial de deslizamiento α, la capacidad admisible del anclaje Qt, el ángulo de rozamiento interno φ , y el factor de seguridad 1,50 ≤ FS < 3. Para mayor detalle, véase Fig. 7.38. Madam [41], utilizando la ecuación de Stillborg, recomienda para el caso que no se tome en cuenta la cohesión, incrementar el valor de fricción interna en cinco grados. El mencionado investigador se basa en que la cohesión puede variar considerablemente, dependiendo del tipo de relleno y el contenido de humedad dentro del plano de discontinuidad. Por tal motivo considera un ángulo corregido ´φ = (φ + 5°), cuando c = 0. Choquet y Charette [42], han determinado mediante casos prácticos llevados a cabo en Canadá correlacionar la densidad mínima de anclajes, N, en función del índice de calidad Q, obteniendo la siguiente relación: N = 0,839 - 0,227 ln Q (Mínimo número de anclajes/m2). (7.171) En función de RMR resulta: N = 1,948 - 0,025 RMR (7.172)


86

La ecuación anterior es válida para 0,1 ≤ Q ≤ 40.

Figura 7.37. Soporte de un bloque inestable mediante fijación de la barra en roca resistente según Birön

y Ariglu [39].


87

Figura 7.38. A través del gráfico obtenido por Choquet y Charette [42], en el cual la densidad de anclajes N = f(Q), se puede determinar una línea intermedia ubicada lógicamente entre las condiciones de menor y mayor densidad de empernado, lográndose por lo tanto la siguiente ecuación, que vincula al promedio del número de anclajes Np con el índice Q. N p = 1,30 - 0,29 ln Q (7.173) 0,1 ≤ Q ≤ 100 En términos de RMR, resulta: N p = 2,71 - 0,032 RMR (7.174)


88

Finalmente, teniendo en cuenta que en los últimos años se han publicado excelentes trabajos de investigación a través de nuevos procedimientos de diseño en el sostenimiento de túneles, criterios de rotura y modelos analíticos sobre el comportamiento de los pernos de anclaje, se recomienda leer los siguientes artículos por mencionar uno pocos. • Oreste, P. Y Peila D. (1996).: “Radial Passive Rockbolting in Tunnelling Design with a New

Convergence - Confinement Model”. International Journal of Rokc Mechanics and Mining Sciences, Vol. 33, No. 5, pp 443-454.

• Carranza Torres, C. y Fairhurst, C. (1999).: “The Elasto-plastic response of Underground Excavations in

Rock Masses that Satisfy the Hoek-Brown Failure Criterion”. International Journal of Rock Mechanics and Minign Sciences, 36, pp. 777-809.

• Stillborg, C. (1999).: “Analytical Models for Rock Bolts”. International Journal of Rock Mechanics and

Mining Sciences, 36, pp. 1013-1029. 7.15. DISEÑO DEL SOSTENIMIENTO DE TÚNELES A TRAVES DE LA ENERGÍA DE

DISTORSIÓN ALMACENADA EN EL TERRENO* 7.15.1. Introducción Se presenta en forma sucinta un nuevo método de cálculo aplicado al diseño del sostenimiento de túneles utilizando la energía interna de deformación. Mediante un ejemplo práctico empleando la ecuación de Mohr-Coulomb se aprecia la importancia de este procedimiento, el cual permite determinar el sostenimiento en cavidades subterráneas. Por otra parte, se indica la expresión que vincula la energía máxima de deformación por cambio de volumen (distorsión) a través del criterio empírico de Hoek y Brown. Adicionalmente, se describe y complementa la metodología desarrollada por Matsumoto y Nishioka [43], aplicando los conceptos de energía interna de deformación para calcular el sostenimiento mediante el empleo de bulones y hormigón lanzado como elementos de soporte en túneles de sección circular que están sometidos a diferentes repartos de tensiones. Al estudiar el sostenimiento, dichos autores en su libro “Theoretical Tunnel Mechanics” tienen en cuenta la energía de distorsión almacenada en el terreno considerando tanto el estado natural de tensiones como el que se desarrolla alrededor de la excavación subterránea. Estas condiciones permiten establecer si el terreno permanece elástico o se plastifica alrededor de la periferia del túnel. La energía de distorsión es utilizada como un índice para comprender mejor la estabilidad y por ende la seguridad del túnel al aplicar un determinado sostenimiento, el cual dependerá de la calidad de la roca, de las dimensiones del túnel y del campo tensional antes y después de realizar la excavación.

* Para mayor detalle sobre este tema, véase Ingeotúneles, Libro 3, Capítulo 5. pp 139-186, E.T.S.I., Minas, Madrid (2000).


89

La ventaja del método consiste en que el análisis se lleva a cabo sin considerar la dirección de los esfuerzos y deformaciones, así como la superficie en la cual actúan, por cuanto la energía es un escalar y no tiene dirección. Por otro lado, debido a la complejidad del terreno Matsumoto y Nishioka [43], consideran que las tensiones y deformaciones no deben aplicarse como elementos únicos para lograr un criterio razonable en el diseño de túneles, sino conjuntamente con la energía de distorsión. Al considerar estos aspectos se optimiza la densidad del empernado y el espesor del hormigón o concreto proyectado a través de un adecuado sostenimiento en la periferia de la cavidad subterránea. En función de lo previamente indicado, los pasos a seguir en el diseño del sostenimiento son los siguientes: a. Obtención de la energía de distorsión según el criterio de rotura establecido, tales como Tresca, Von

Mises, Mohr-Coulomb, Drucker-Prager y Hoek y Brown. Los dos primeros en mencionar tienen la desventaja que pueden aplicarse solamente en suelos saturados no drenados (tensiones totales).

A través de los mencionados criterios se define el límite del estado tensional que produce la rotura de la roca alrededor de la estructura subterránea. Se empleará la ecuación de la curva intrínseca de Mohr-Coulomb por ser la más ampliamente utilizada y conocida en el campo de la geotecnia. Además es el primer criterio que toma en cuenta el efecto de las presiones hidrostáticas a través de la invariante de tensiones I1.

b. Determinación de la máxima energía de distorsión antes de la excavación. De esta forma es posible conocer el potencial del terreno.

c. Cálculo de la máxima energía de distorsión después de excavado el túnel. d. Determinación de la energía de distorsión adicionada por el concreto proyectado y el empernado para

garantizar la estabilidad de la excavación subterránea. 7.15.2. Energía interna de deformación La energía interna de deformación o energía potencial elástica por unidad de volumen en un punto de la masa de suelo o roca sujeto a un estado tensional cualquiera, es una función tanto del estado tensional en dicho punto como del correspondiente campo de deformación. Por tanto, al utilizar el sistema de notación de subíndices, resulta:

∫= ijijij dU

εεσ (7.175)


90

Aplicando la convención de sumatoria a través de la ecuación (7.175) la energía almacenada por el sólido elástico puede representarse mediante la ecuación:

[ ] =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zx

yz

xy

zz

yy

xx

zxyzxyzzyyxx21U

γγγεεε

τττσσσ { −+++ 2zz

2yy

2xxE2

1 σσσ

( )xxzzzzyyyyxx2 σσσσσσυ ⋅+⋅+⋅− ( ) ( ) }2zx

2yz

2xy12 τττυ ++++ (7.176)

siendo: E = Módulo de elasticidad. υ = Coeficiente de Poisson. σxx, σyy, σzz = Tensiones normales (el primer subíndice indica la dirección normal al plano donde actúa el

esfuerzo y el segundo subíndice la dirección del eje al cual es paralela la componente normal del esfuerzo). Lógicamente, en el caso de las tensiones normales ambos subíndices coinciden.

τxy, τyz, τxz = Tensiones tangenciales (nuevamente el primer subíndice indica la dirección normal al

plano en que actúa la componente tangencial del esfuerzo, cuya dirección es paralela al eje que indica el segundo subíndice.

γxy, γyz, γxz = Deformaciones angulares. Los subíndices indican que la deformación se mide en los planos xy, yz y xz respectivamente. En el caso de la deformación γxy, si el desplazamiento se toma en la dirección x, su razón de cambio se mide en la dirección y, o si el desplazamiento se mide en la dirección y, se toma su razón de cambio en la dirección x. Esto indica que γxy= γyx. siendo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=xv

yu

xyγ

u, v = Componentes del desplazamiento o corrimiento en la dirección x, y respectivamente. Expresando la ecuación (7.176) en términos de los esfuerzos y deformaciones principales, resulta:


91

( ) =++= 332211 ...21U εσεσεσ ( )[ ]133221

23

22

21 2

E21 σσσσσσυσσσ ++−++

( ) ( ) +++

−= 2

321E621 σσσυ ( ) ( )[ ]313221

23

22

21E6

21 σσσσσσσσσυ++−++

−

( ) ( )

E61

E2213 2

mυσυ +

+−

= [ ] dv2

132

322

21 UU)()()( +=++−+− σσσσσσ (7.177)

siendo: σm = Tensión normal media = 1/3 (σ1 +σ2 +σ3)

Uv = Energía volumétrica 2mE2

)21(3 συ−=

Ud = Energía de distorsión o de cambio de forma ( ) ( ) ( )[ 232

221E6

1 σσσσυ−+−⋅

+=

( ) ] ( ) ( )[ 232

221

213 G12

1 σσσσσσ −+−⋅=−+ ( ) ]213 σσ −+

G = Módulo de corte o cizallamiento ( )υ+=12E

Se ha podido comprobar que la tensión normal media σm tiene muy poco o ningún efecto sobre la plastificación del material, por lo que el tensor esférico no interviene en dicho proceso, al producir únicamente cambio de volumen pero no de forma. Por el contrario, el tensor desviador produce distorsión o cambio de forma pero no de volumen, ya que su primera invariante J1 = 0. Esta distorsión es la causante de la plastificación del material. Por otro lado, la energía máxima de distorsión que puede soportar el terreno antes de la excavación, puede resumirse a través de las Tablas 7.15 y 7.16 que se anexan al final de esta sección. 7.15.3. Resumen de las ecuaciones más importantes a ser utilizadas en el diseño del

sostenimiento Con la finalidad de aplicar de un modo sencillo y rápido el procedimiento de cálculo, a continuación en forma resumida se indican las fórmulas más importantes, además de tomar en cuenta la condición crítica cuando X = r/a = 1 (periferia de la excavación) a) Energía de distorsión al llevarse a cabo la excavación.

( ) ( ){ } 22v)2(

d 2cosK12K1G6

U θσ−++= (7.178)


92

b) Energía máxima de deformación por cambio de volumen (distorsión) almacenada por el terreno después de la excavación.

Criterio de Mohr-Coulomb

( ) ( )[ ]( ) ( )

22

v2v)2(

dsen1sen3sen3cos

2cosXK12K13

sencosC

G6U

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−

⋅−+++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=φΘφΘ

θφφσσ (7.179)

(Véase Tablas 7.15 y 7.16, para conocer el significado de cada término) Cuando Θ = 0, se transforma:

( ) ( )[ ]

( )

2

2

2

v2v)2(

dsen33

2cosK12K1sencosC3

G2U

φ

θφφσσ

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅−+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (7.180)

La fórmula anterior es exactamente igual al aplicar el modelo de Drucker-Prager Criterio empírico de Hoek y Brown De acuerdo a Ucar [44] se obtiene:

( ) ( ) ( )[ ]2

2

c

v1

212

c)2(d

)(2

s2cosXK12K13m4)(m)(fm

G83U

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−++⋅+⋅+⋅

=Θψ

θσσΘψΘψΘ

σ (7.181)

( )ΘΘΘ sen3cos21)(f1 +−=

( ) ( )ΘΘΘψ 2cos2sen3241

++= (7.182)

( ) ( )ΘΘΘψ 2cos2sen3241

1 −+=

c) Energía de distorsión compensada por el efecto del soporte a través del hormigón proyectado y el

empernado Hormigón proyectado

[ ][ +⋅−+⋅+−++⋅= θυασ 2cos)43(76)K1()K1()K1(3G6

U r2

a

2v)3(

d

]θυ 2cos)43()K1(14 2

r2 −⋅− (7.183)


93

Bulonaje

{ }θασ 2cos)K1(2)K1(G2

U a

2v)4(

d −++= (7.184)

Por otro lado, como previamente se ha indicado en el presente capítulo, se sabe que: σv = γ · H (presión vertical debida al peso de la columna de roca, la cual corresponde a la presión natural

antes de la excavación). θ = Coordenada polar, ángulo entre el radio vector y el eje horizontal. K = σh /σv (coeficiente de reparto de tensiones).

)1(2E

Gυ+

= (módulo de corte del macizo rocoso)

( )40/10GSIc3r 10

10010EE −⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==σ (MPa) (módulo de deformación de la roca).

rυυ = = Coeficiente de Poisson de la roca. C, φ = Parámetros que gobiernan la resistencia al corte de la roca al aplicar el criterio de Mohr-

Coulomb. De acuerdo a lo indicado en páginas anteriores, pueden obtenerse como valores “equivalentes” de C, φ en función del índice de calidad GSI de Hoek y Brown.

m, s = Coeficientes que gobiernan la resistencia al aplicar el criterio empírico de rotura de Hoek y Brown.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=28

100GSIexpmm i

mi = Valor de m en la condición intacta.

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=9

100GSIexps

σc = Resistencia a la compresión simple de la roca en la condición intacta (MPa). GSI = Índice de calidad de la masa rocosa.

( )( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=at

1E21E

hr

rha υ

υα (7.185)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅=

vlr

byb SS

Afσ

α (7.186)

Eh, υh = Módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson del hormigón proyectado respectivamente. t = Espesor del hormigón proyectado. a = Radio del túnel. fy = Punto cedente de la barra de refuerzo. Ab = Área del bulón.


94

Sr, Sl = Separación radial y longitudinal del bulón respectivamente. Finalmente, con el objeto de determinar el sostenimiento se recomienda: a) Aplicar la condición límite en la cual el potencial del terreno es cero, es decir:

)4(d

)3(d

)2(d

)2(d UUUU ++= (7.187)

b) Determinar el soporte mediante un adecuado factor de seguridad, empleando la ecuación propuesta

por Matsumoto y Nishioka [43]

)2(d

)4(d

)3(d

)2(d

UUUUFS ++

= (7.188)

En roca débil y en suelos los mencionados autores han encontrado valores promedios de FS = 2,87 y 1,81 respectivamente. 7.15.4. Aplicación práctica Se desea determinar el sostenimiento aplicando el criterio de rotura de Mohr-Coulomb en un túnel de sección circular con las siguientes características: Radio del túnel = a = 2 m Profundidad = H = 150 m Dicha profundidad se encuentra en un sector de la excavación subterránea a unos 400 m del portal de entrada del túnel, en el cual se ha observado una roca esquistosa fracturada constituida por varios planos de discontinuidad, con un índice de calidad GSI = 40, y un peso unitario γ = 24 kN/m3. Resistencia promedio a la compresión simple = σc= 12 MPa Parámetro que gobierna la resistencia de la roca según Hoek y Brown = im = 10 (condición intacta) Módulo de Poisson de la roca = υ = υr = 1/4 Coeficiente de reparto de tensiones K = 1/3

)143,2exp(1028

100GSImm i −⋅=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=

m = 1,1732

)67,6exp(9

100GSIexps −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=


95

s = 0,00127 Utilizando los gráficos desarrollados por Hoek y Brown [15], o empleando las ecuaciones desarrolladas por Ucar [44], los parámetros “equivalentes” de cohesión y ángulo de fricción interna son:

0277,0C

c=

σ

C = 0,0277 · 12 MPa = 0,332 MPa φ = 30,23° σcm = 2 · C · tan (45° + φ /2) = 1,15 MPa. 1) Energía de distorsión almacenada en el terreno previa a la excavación Teniendo en cuenta la Tabla 7.16, se tiene:

G6)K1(U

22v)1(

d−

=σ

Siendo el módulo de deformación de la roca [15] igual a:

)40/10GSI(c3r 10.

10010EE −==

σ (MPa)

MPa948.110.1001210EE )40/1040(3

r === −

A través de la teoría de la elasticidad el módulo de corte es:

)1(2EGυ+

=

MPa20,779MPa)25,01(1

948.1G =+

=

σv = γ · H = 24 kN/m3 · 150 m = 3,60 MPa

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −=

20,779)25,01(96,12

61U

2)1(

d


96

)1(

dU = 0,00156 MN·m/m3 = 1.560 Joules/m3 2) Energía máxima de distorsión que puede almacenar el terreno antes de la excavación De acuerdo a la Tabla 7.15, se tiene:

2

m2

m)1(d

)sen1(sen3)sen3(cos

sencosC

G6

U

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

φΘφΘ

φφσσ (7.189)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2/3

2

3

JJ

233cos Θ (7.190)

Θ = Ángulo de Lode (véase referencias [45], [46] y [49])

)K21(3v

m +=σσ (7.191)

[ 2m2

2m12 )()(

21J σσσσ −+−= ] ( )[ +−=−+ 2

212

m3 61)( σσσσ ( ) ( ) ]2

132

32 σσσσ −+− (7.192)

( )( )( )33m2m13J σσσσσσ −−−= (7.193)

σ1= σv , σ2 = σ3 = K· σv (7.194) Por lo tanto:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=32 31

mσσ

σ

2

312 )(31J σσ −=

3

3132 )(272J σσ −=

cos3Θ = 1, Θ = 0°

MPa2MPa321

360,3

m =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=σ

φ = 30,23°


97

C/σc = 0,0277 ∴ C = 0,0277 · 12 MPa = 0,332 MPa

3

2

2)1(

d m/m·MN)23,30sen3(

23,30sen23,30cos2332,0

20,779)2(6U

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

°−

°+°⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

3

3)1(

d m/Joules000.2m

mMN002,0U =⋅

=

En estas condiciones el potencial del terreno es: ( ))1(

d)1(

d UU − = 440 Joules/m3 Si ( ))1(

d)1(

d UU − hubiese sido menor de cero, el terreno estaría plastificado, y el sostenimiento mediante hormigón proyectado y empernado no es efectivo, requiriéndose de otras técnicas o métodos tales como inyección, congelación o excavación con escudo (shield driving) para llevar a cabo exitosamente la construcción del túnel. 3) Energía de distorsión una vez excavado el túnel Para fines prácticos se calculará el soporte para θ = 0, es decir en el arranque de la clave donde existe la mayor concentración de esfuerzos en el perímetro de la excavación, es decir X = r/a = 1. De acuerdo a Matsumoto y Nishioka [43] la tensión normal media es:

[ ])K1(2)K1(3v

m −++=σσ (7.195)

K = 1/3

MPa20,3MPa313

360,3

m =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=σ

Las tensiones principales cuando (r/a) = 1 son la siguientes: σ1 = σθ = σv [(1+K) + 2(1-K) = 9,60 MPa σ3 = σr = 0 σ2 = 0 (véase Fig. 7.8) Las invariantes J2 y J3 de acuerdo a la Tabla 7.15 se obtienen como sigue:

( ) ( )[ +−+−= 2m2

2m12 2

1J σσσσ ( ) ] ( )[ ]2m

2m1

2m3 2

21 σσσσσ +−=−


98

( ) ( ) ( )m3m2m13J σσσσσσ −−−= ( ) 2mm1 σσσ −=

( )[ ] 72,30)20,3(220,360,921J 22

2 =+−=

536,65)20,3(40,6J 2

3 ==

1)72,30(

536,62

33J

J2

333cos 2/32/32

3 =⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Θ

Θ = 0° La energía de distorsión como resultado de la excavación cuando X = r/a = 1 es de acuerdo a los mencionados autores:

{ } 22

v)2(d 2cos)K1(2)K1(

G6U θσ

−++= (7.196)

Por otro lado, la energía máxima de distorsión que puede almacenar la masa de roca o suelo al aplicar el criterio de Mohr-Coulomb, puede escribirse en la forma siguiente:

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

G2

U2

v)2(d

σ( ) ( )[ ]

( )2

2

v

sen33

2cosK12K1sencosC3

φ

θφφσ

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

(7.197)

Por tanto, al aplicar (7.96) y /7.97) resulta:

( )=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

22(2)

d 313

779,20 . 63,60U 3

3 Joules/m19.700m

MN·m0,0197 =

⋅=20,779

)60,3(2U2

)2(d ( )

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+°⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2

23,30sen3331323,30sen23,30cos

60,3332,03

3

3)2(

d m/Joules445.4m

m·MN00445,0U ==

Cabe destacar que Ucar [44] demostró recientemente que la energía máxima de deformación almacenada por la masa rocosa ( )2

dU al aplicar el criterio de rotura de Hoek y Brown es:


99

[ ]( )⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅++

=Θψ

ΘψΘψΘσ2

)(4)(.m)(f.mG8

3U 12

12

c)2(d

( ) ( )[ ]( )

22

c

v

2

s2cosXK12K13m

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫+−++⋅

Θψ

θσσ

(7.198)

Un aspecto importante a considerar es cuando el potencial del terreno llega a ser cero. Por tanto, al aplicar (7.187) resulta:

)4(d

)3(d

)2(d

)2(d UUUU ++= (7.199)

Utilizando esta condición se determinará el mínimo espesor del hormigón proyectado para mantener el equilibrio teniendo en cuenta la energía de deformación suplementada por dicho elemento de sostenimiento. Hormigón proyectado (véase ecuación 7.183)

{ 22a

2v)3(

d )K1()K1(3G6

U −++= ασ+−+⋅ θυ 2cos)43(76[ r }θυ 2cos)43()K1(14 2

r2 −−

El factor αa se determina a través de la ecuación (7.185), obteniéndose:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

+=

at

)1(E2)1(E2

hr

rha

υυ

α

siendo además:

cc 'f500.4E ≈ (MPa) (7.200) f´c = Resistencia a la compresión simple del hormigón proyectado (MPa). Por lo tanto, al considerar los valores de f´c = 30 MPa, E c= 24.647,50 MPa, υh = 0,20, E r = 1.948 MPa, υ= υr = 0,25 y a = 2 m el factor αa en función de t es:

t 4,122t

)0,2(1 1.948 20,25)(1 24.647,5

2a =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅+

=α

En estas condiciones se obtiene:

t4,12779,20 . 6

(3,60)U2

(3)d ⋅= { }2 444 1414)(6 0,895,33 ⋅⋅+++⋅

33)3(

d mJoulest000.406

mm·MNt406,0U ⋅==


100

Bulonaje La energía de deformación por cambio de volumen proporcionada por el empernado es de acuerdo a (7.184) y (7.186):

{ }θασ 2cos)K1(2)K1(G2

U b

2v)4(

d −++=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=v

lr

by

b)S.S(

Af

σα

Teniendo en cuenta que yf ≈ 420 MPa Ab ≈ 5·10-4 m2 (bulones de 25 mm de diámetro) Sr = Separación radial = 1 m Sl = Separación longitudinal = 1 m σv = 3,60 MPa αb = 0,058

=⋅⋅⋅=34 20,058

779,20 . 2(3,60)U

2(4)

d3

3 Joules/m 1.280m

mMN0,00128 =⋅

Por lo tanto, es espesor mínimo t = tmin requerido es: Ud(2) = )2(

dU + Ud(3) + Ud(4)

19.700 Joules/m3 = (4.450 + 406.000 tmin + 1.280) Joules/m3 tmin = 0,0344 m (3,44 cm). Finalmente, el espesor del hormigón proyectado considerando un factor de seguridad FS=2, se obtiene a través de la ecuación (7.188):

2U

UUUFS )2(

d

)4(d

)3(d

)2(d =

++=

)2(

dU + Ud(3) + Ud(4) = 4 Ud(4)

4.450 + 406.000 t + 1.280) = 78.800 t = 0,179 m ≈ 18 cm Finalmente, a través de esta sección se ha descrito en forma sucinta la metodología desarrollada por Matsumoto y Nishioka a través de los conceptos de energía de distorsión o de cambio de forma para


101

calcular el sostenimiento mediante bulonaje y hormigón proyectado en túneles de sección circular con diferentes repartos de tensiones. TABLA 7.15. Energía máxima de distorsión que puede almacenar el terreno antes de la

excavación.

CRITERIO DE ROTURA

)1(dU

MOHR-COULOMB ( )( ) ( )

2m

2m

sen1sen3sen3cossencos/C

G·6

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

φΘφΘφφσσ

HOEK Y BROWN

22/1

c

m1

212

c)(2

sm).(4)(m)(fm

G83

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅

ΘψσσΘψΘψΘ

σ

)K21(3v

m +=σσ , σ1 = σv , σ2 = σ3 = K·σv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2/3

2

3

JJ

233cos Θ , ( ) ( )[ ]2

m32

m22

m12 )(21J σσσσσσ −+−+−=

J3 = (σ1 - σm) (σ2 - σm) (σ3 - σm) ( ) ( )ΘΘΘ sen3cos21f1 +−=

( )ΘΘΘψ 2cos2sen3243)( ++= ( )ΘΘΘψ 2cos2sen32

41)(1 −+=

σ1, σ2, σ3 = Esfuerzos principales. J2, J3 = Invariantes de esfuerzos del tensor desviador. Θ = Angulo de similitud. σm = 1/3 (σ1 + σ2 + σ3). C = Cohesión de la masa de suelo o roca. φ = Ángulo de fricción interna. σc = Resistencia a la compresión simple de la roca intacta (MPa). m,s = Parámetros que gobiernan la resistencia al corte al aplicar el criterio de rotura de Hoek y Brown. Dependen de las

propiedades de la roca. La energía de distorsión es utilizada como un índice de estabilidad, la cual dependiendo del criterio de rotura utilizado permite conocer el potencial del terreno antes y después de la excavación subterránea. Por tanto, bajo estas condiciones es posible optimizar el espesor del concreto proyectado y la densidad del empernado. La ventaja del método es que se lleva a cabo sin tomar en cuenta la dirección de las tensiones y deformaciones, así como la superficie en la cual actúan. Por otro lado, al tener en cuenta la importancia de poder determinar la resistencia en macizos rocosos fracturados y meteorizados empleando una envolvente de rotura no lineal, se han desarrollado las ecuaciones de energía de distorsión aplicando el criterio empírico de rotura de Hoek y Brown y por ende el sostenimiento a través de un adecuado factor de seguridad.


102

A la vez, utilizando esta hipótesis de falla es viable obtener analíticamente los parámetros de cohesión y ángulo de fricción interna equivalentes en función del índice de calidad de resistencia geológica GSI. Adicionalmente, un inconveniente del método se basa en que en los actuales momentos sólo puede emplearse en túneles de sección circular, sin embargo gracias a la poderosa herramienta de los métodos numéricos esta desventaja debe solucionarse a corto plazo exitosamente, lo que permitirá su aplicación en túneles con distintas formas. Sin embargo, un aspecto positivo del método descrito es que permite emplear diferentes valores del coeficiente de reparto de tensiones. Debe mencionarse igualmente, que a través de este procedimiento se abre un campo extraordinario de investigación, por ejemplo en la estabilidad de taludes y su aplicación en la estabilización mediante tirantes anclados, por mencionar un solo caso. TABLA 7.16. Energía de deformación por cambio de forma (distorsión) almacenada en el terreno

antes de la excavación.

( ) 22

v)1(d K1

G6U −=

σ

G = Módulo de corte = E/2(1+υ) K = Coeficiente de reparto de tensiones = σh/σv σv = Tensión vertical = γ · H γ = Peso por unidad de volumen del macizo rocoso H = Profundidad de la excavación subterránea

Por lo tanto, el potencial del terreno ( ))1(

d)1(

d UU − dependerá del criterio de rotura utilizado, además dicha diferencia permite conocer si la masa de suelo o de roca se encuentra en el rango elástico, es decir: ( )0UU )1(

d)1(

d >− , o por el contrario el terreno se ha plastificado. 7.16. BIBLIOGRAFÍA 1. TERZAGHI, K. (1946).: “Rock Tunnel with Steel Supports”. Editado por R.V. Proctor y T. White, Section

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Capítulo VII

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