CAPITULO V CONDENSADORES Y DIELECTRICOS5.1 INTRODUCCIONLa intensidad de campo (no la configuracin del campo) que rodea un condensador con una carga. La superficie externa del conductor es una superficie equipotencial del campo que se forma. El valor el potencial es V y podemos referimos a V como el potencial del conductor, puesto que todos los puntos estn a este potencial. Una variacin de carga en el conductor provoca una variacin de un potencial y significa que se produce una cierta cantidad de trabajo. No significa que ello que una misma variacin de carga de dos conductores aislados entre si (separadas) provoque la misma variacin de potencial ambas. La relacin entre el potencial y la carga de un conductor dependa del medio que lo rodea, tanto como pueda depender de la forma y el tamao del conductor. El efecto de todos estos factores queda incluido en el concepto de un conductor aislado.

5.2 CAPACITANCIASabemos que el potencial elctrico de una esfera de radio R y de carga Q

Si la esfera est rodeada por un dielctrico, tendremos en su lugar, reemplazando

por

La relacin

es entonces,

que es una cantidad constante independiente de la carga

. Esto

es comprensible porque si el potencial es proporcional a la carga que lo produce, la razn de la dos debe ser una constante. Esta ltima preparacin es vlida para todo conductor cargado cualquiera que sea su forma geomtrica. Definimos la capacitancia de un conductor aislado como el cociente entre su carga y su potencial

La capacitancia de un conductor esfrico es entonces, (5.1)

Si la esfera eta rodeada por el vaco en un lugar de un lugar dielctrico aumenta su capacitancia en el factor esto se debe al efecto de pantalla que hacen las cargas opuestas que se han incluido sobre la cargas sobre la superficie adyacente al conductor. Estas cargas reducen la carga efectiva del conductor disminuyendo su potencial en el mismo factor Unidad en el S.I. CV-1 unidad llamado farad (abreviado F) en honor a Michael Faraday. El farad se define como la capacitancia de un conductor aislado cuyo potencial elctrico, despus de recibir una carga de un coulomb es de un volt. La figura (5.1) muestra un caso ms general aceptamos que pueden tener cualquier forma, y que tiene carga iguales y opuestas. Un dispositivo de esa forma se llama condensador, los conductores se llaman placas

Fig. (5.1)

Luego definiremos con propiedad un condensador. Se denomina condensador el sistema de dos conductores cargados con cargas de igual magnitud absoluta y de diferentes signo, y que estn situados uno respecto del otro de tal manera y tienen una forma tal, que el campo creado por ellos est concentrado o localizado en un espacio limitado. Estos conductores se llaman armadura del condensador. Se denominan capacidad elctrica mutua de dos conductores la magnitud igual a la carga Q que hay que trasladar de un conductor a otro para variar en una unidad la diferencia de potencial V1 V2 entre ellos:

La capacidad mutua depende de la forma, dimensiones y situaciones de un conductor respecto al otro, y tambin del constante dielctrico del medio en que se hallan.

5.3 POCRIZACION DE LA MATERIADisentimos el efecto que un campo elctrico produce sobre una porcin de materia. Recordemos que los tomos no tienen momentos dipolares elctricos permanentes debido a su simetra esfrica, pero cuando se colocan en un campo elctrico se polarizan, adquiriendo momentos dipolares elctricos inducidos en la direccin del campo. Esto es una consecuencia de la perturbacin del movimiento de los electrones producida por el campo elctrico aplicado. Por otra parte, muchas molculas presentan momentos dipolares elctricos permanentes. Cuando una molcula tiene un momento dipolar elctricos permanente, tiende a orientarse paralelamente al campo aplicado, porque sobre ella se ejerce un torque

Fig. (5.2)

: Momento dipolar elctrico.Como consecuencia de estos dos efectos, una porcin de material colocada en un campo elctrico se polariza. Es decir sus molculas o atamos se convierten en dipolos elctricos orientados en la direccin del campo elctrico local; sea debido a la distorsin del movimiento electrnico sea debido a la orientacin de sus dipolares permanentes.

NPNFig. (5.2)

P

Un medio que puede polarizarse en un campo elctrico que puede polarizarse en un campo elctrico se llama dielctrico. La polarizacin de lugar a una carga neta positiva sobre un lado de la porcin de materia y a una carga neta negativa sobre el lado opuesto. De este modo la porcin de materia se convierte en un gran dipolo elctrico que tiende a moverse en la direccin en que el campo aumenta.

La polarizacin P de un material se define como el momento dipolar elctrico del medio por unidad de volumen. Por lo tanto. Si P es el momento dipolar inducido en cada tomo o molcula y n es el nmero de tomo o molculas por unidad de volumen, la polarizacin es:

Unidad

:(cm) m-3=cm-2, o carga por unidad de rea

En general

es proporcional al campo elctrico aplicado ,y la cantidad E , tambin mide0

en cm-2. Es costumbre escribir.

La cantidad

(5.3)

se llama susceptibilidad elctrica del material. Este es un nmero puro. Para la

mayora de las sustancias, esta cantidad es positiva. Un vector llamado desplazamiento elctrico se acostumbra a escribir as:

Donde el coeficiente

(5.4)

(5.5)

(5.6)

Se le llama permitividad del medio, y las unidades son las que

esto es m-3 kg-1s2c2

La permitividad relativa se llama constante dielctrico siempre mayor que la unidad.

5.4 EFECTOS DE UN DIELECTRICOSLa mayor parte de los capacitadores tienen entre sus placas un material solido no conductor o dielctrico Un tipo normal de capacitador es el constituido por tiras de chapas metlicas, que constituyen las placas, separadas por tiras de papel parafinados o lminas de plstico como el MYLAR que actan de dielctricos.

Una combinacin alternada de estos materiales y enrolladas forma una unidad compacta que puede proporcionar una capacitancia de varias microfaradas en un volumen relativamente pequeo. En los capacitores electrolticos el dielctrico es una pelcula de un oxido no conductor situada entre una placa metlica y una disolucin conductor. Debido al pequeo espesor del dielctrico, capacitores electrolticos de dimensiones relativamente pequeas pueden llegar a tener capacitancias entre 100 y 100uf. La funcin de un dielctrico solido entre las placas de un capacitor es triple. Primero resuelve el problema mecnico de mantener dos lminas de metal grandes con una separacin extremadamente pequeas, pero sin llegar a tener contacto. Segundo, cualquier material dielctrico, sometido a un campo elctrico suficientemente grande, experimenta una rotura dielctrica, una irrigacin parcial, que permita la conduccin a travs de un material que se supone aislador. Tercero la capacitancia de un capacitor de dimensiones dadas es mayor cuando hay un dielctrico entre las placas que cuando estas separadas nicamente por el aire o el vaco, por ejemplo si tuviramos un capacitador cargado con carga Q y una diferencia de potencial V0. Cuando se situando entre las placas una lmina de dielctrico, como vidrio, parafina o poli estireno, se observa que la diferencia de potencial disminuye hasta un valor V, debido a que disminuye la intensidad de campo elctrico, esto se explica as si tenemos el dielctrico

- - - + ++Fig. (5.3)

- + - ++ - + + + + - + - + +-+ - +-+-

Y lo situamos entre las placas del condensador, el campo elctrico dentro del condensador, separa ligeramente las cargas positivas de la placas del centro de la carga negativa, haciendo que aparezca cargad en la superficie, la placas en conjunto aun cuando permanezca neutra, se polariza

+qFig. (5.4)

-q - - - + ++ + - + + + + + - + -+-+ +

+ + + +

Efecto neto es una acumulacin de carga positiva en la cara derecha, y de carga negativa en la placa izquierda, como la placa en conjunto permanece neutra la carga superficial inducida negativa, en este proceso, los electrones en el dielctricos se alejan de sus posiciones de equilibrio distintas que sus posiciones de equilibrio distintas que son mucho menores que un dimetro atmico. No hay transparencia de carga a distancias macroscpicas tal como la que ocurre cuando se hace pasar una corriente en un conductor La figura (5.5) muestra que las cargas superficiales inducidas aparecen siempre, de tal manera que el campo elctrico producido por ellas (E) se opone el campo externo E0. El campo elctrico resultante en el dielctrico E es la suma vectorial de E y E apunta en la misma direccin que E0 pero es ms pequea. Si se coloca un dielctrico en un campo elctrico, aparece carga superficial inducida cuyo efecto es debilitar el campo original dentro del dielctrico. Este debilitamiento del campo se pone de manifiesto en la forma de una reduccin de una reduccin de la diferencia de potenciales entre las placas de un condensador aislado cuando se introduce un dielctrico entre las mismas. Nuevamente si quitamos el dielctrico, la diferencia de potenciales vuelve a su valor inicial, lo que demuestra que las cargas iniciales de las placas no han sido afectadas por la insercin del dielctrico. La capacitancia inicial del capacitor C0, era:

Como no vara y se observa que V es menor que se deduce que C es mayor que relacin entre C y se llama constante dielctrico del material K

. La

Como C es siempre mayor que , la constante dielctricas de todos los dielctricos son mayor que la unidad, en la tabla (5.1) se dan algunos valores representativos de K. por definicin, para el valor K=1, y para el aire K es tan prxima a la unidad aire es equivalente a uno en el vaco.

TABLA (5.1) constante dielctrica K a 200 C MATERIAL vaco Vidrio Mica Mylar Neopreno Plexigls Polietileno Cloruro de polivinilo Tefln Germanio Titanio de estroncio Dixido de titanio(Rutilio) Agua Coli Amoniaco liquido (-720c) Benceno Aire(1 atm) Aire(100 atm) K 1 5-10 3-6 3.1 6.70 3.40 2.25 3.18 2.1 16 310 173(1) 80 42.5 25 2.284 1.00059 1.0548

5.5 ENERGIA DEL CAMPO ELECTRICOPara cargar un conductor es necesario gastar energa porque, para suministrarla ms carga, debe vencerla repulsin de las cargas ya presente. Este trabajo consideremos un conductor de capacitancia C con una carga Q. su potencial es

Si aadimos una carga

al conductor, trayendo desde el infinito, el trabajo hecho es

Este trabajo es igual al incremento E en la energa del conductor. Por consiguiente, usando el valor de V tenemos.

O sea:

El aumento de la energa del conductor cuando su carga se incrementa desde cero hasta el valor a (lo que es igual al trabajo hecho durante el proceso) es

De acuerdo a lo anterior la energa potencial U de un condensador est dado por la relacin

Que no viene a ser sino el trabajo requerido para cargar el condensador. Esta energa se entiende convenientemente como la energa almacenada en el campo con el condensador. asociado

5.6 CALCULO DE CAPACIDADESa) capacidad de los condensadores de placas paralelas. Este tipo de condensadores constan de dos placas planas y paralelas (fig. 5.5) Separadas por una distancia muy pequea en relacin con sus dimensiones lnea es, por lo que el campo elctrico entre placas puede considerase uniforme. Si recordamos el campo elctrico debido a un plano cargado y muy grande era

El campo elctrico de dos placas paralelas con cargas iguales y opuestas es en el interior la suma de los campos creados por sus respectivas cargas y en el exterior es nulo, en cualquier punto se superponen campos de igual magnitud pero de sentido contrario

+ + + + + +

E2 E1

-

E1

E2

fig.(5.5)

Para dos planos se tiene pues:

Tambin:

Multiplicando a ambos miembros por el rea S de una sola placa obtenemos: ,

Luego en el vaco o el aire: Si colocamos un dielctrico entre las placas, como hemos visto y esto se comprueba experimentalmente, la capacidad aumenta K veces: Luego:

b) capacidad de los condensadores cilndricos. Las placas de los condensadores de este tipo son dos cilindros coaxiales fig.( 5.6) que no originan un campo uniforme, pero s de simetra espacial cilndrica. Suponiendo, como antes, que la distancia entre las placas es pequea y que los conductores son suficientemente largas para poder despreciar el pequeo efecto que sobre la capacidad total tiene la torsin del campo en los extremos, llamaremos al radio del conductor interior y al radio conductor exterior y y los potenciales correspondientes, tenemos:

La diferencia de potencial:

Fig. (5.6)

Luego:

c) Capacidad de los condensadores esfricos. La armadura interna es una esfera de radio esfera de radio y su potencial es , su potencial es , la armadura externa es una

Fig.(5.7)

[

]

[

] ( (

( ) )

)

5.7 CONEXIN DE CONDENSADORES:CONEXIN SERIE. La figura (5.8) muestra un conjunto de condensadores conectados en serie. Las dos placas extremas de la cadena que se forma estn conectadas a una fuente de energa que mantiene una diferencia de potencial constante entre los puntos 1 y 4. Aunque otras placas no estn en contacto directo con los del generador, se cargan por induccin electrosttica y cada condensador adquiere la misma carga, de manera que por estar en serie la carga es la misma en los condensadores.

Debe observase aqu que la placa negativa de un conducir se conecta a la positiva del prximo y as sucesivamente.

Fig.(5.8)

El condensador equivalente del sistema

De (1) y (2) En general:

CONEXIN PARALELO En la asociacin paralelo fig. (5.9), todas positivas se conectan a un punto comn, y en las negativas tambin a otro punto comn de modos los capacitores. En consecuencia si las cargas son debemos tener:

La carga total del sistema es:

Fig.(5.9)

El condensador equivalente del sistema es:

De (1) y (2)

En general

TEOREMA DE LA TRAYECTORIAConsiste en el desplazamiento imaginario de una carga de prueba convencionalmente positivo a travs del tramo de in circuito elctrico. La carga de prueba al atravesar el condensador pierde energa esto significa que se desplaza de mayor a menor potencial. Cuando la carga de prueba atraviesa la batera gana energa E cuando se desplaza del polo negativo al polo positivo, en caso opuesto perder -E cuando pasa a travs del capacitor la carga de prueba se vuelve a perder energa. La cada de potencial a travs del condensador es igual a:

Respecto al crculo mostrado en la figura, salimos del punto 1 y llevamos la carga q hasta el punto 4.

EFECTO PUENTECuatro capacitores estn dispuestos como muestra la figura.

Se aplica una diferencia de potencial V entre los terminales A y B y se conecta un electrmetro G entre los puntos X e Y para determinar la diferencia de potencial entre ellos. El electrmetro marca cero si.

Esta es una disposicin en puente que permite determinar la capacitancia de un capacitor en funcin de un capacitor patrn y del cociente entre dos capacitancias.

5.8 PROBLEMAS RESUELTOS:1. Encontrar la capacidad y la carga de un condensador formado por dos placas paralelas separadas por el aire, con una superficie de 100 cada uno a una distancia de 5mm y una diferencia de potencial entre placas de

SOLUCION:

Condensador.

2. Encontrar la capacidad de un condensador cilndrico, al aire, con una placa de y y una longitud de

SOLUCION:

3. A travs de un condensador de placas paralelas, al aire, se mantiene una diferencia de potencial de la separacin de las placas es de y su superficie . Encontrar la intensidad de campo y la carga del condensador. Cules resultan ser los valores de dichas magnitudes, si una vez desconectado el condensador de su generador se rellena el espacio interplacas con parafina ?

SOLUCION: El campo elctrico:

La capacidad de un condensador plano es:

De donde la carga del condensador ser: Coulomb.

Al desconectar el condensador del generador y sustituir por parafina el aire entre las placas, la carga permanece constante.

La sustitucin del aire por un dielctrico aumenta la capacidad del condensador debindose sustituir por , tenemos:

Con la misma carga y mayor capacidad, la diferencia de potencial entre las placas ser ms pequea:

La intensidad de campo ser, en consecuencia:

4. Repetir el problema anterior, pero suponiendo que al poner la parafina, no se desconectan las placas del generador previamente. SOLUCION: La diferencia de potencial entre placas se mantendr igual a la tensin del generador y, por tanto:

Al doblar la capacidad del condensador se dobla la carga almacenada

5. Un condensador de placas paralelas al aire separadas 2 cm, con una capacidad de 600 pF, se carga con una diferencia de potencial entre placas de 4 KV. Encontrar la energa almacenada en el campo elctrico y la fuerza entre placas al disminuir su distancia a la mitad despus de desconectar las placas del generador.

SOLUCION: Antes de mover las placas, la energa almacenad en el campo vale:

Y la intensidad de campo es:

Al dejar las placas a la mitad de la distancia anterior, segn:

Se dobla la capacidad y, puesto que la carga, por estar aislada, permanece la misma, la tensin resulta ser la mitad, por tanto:

La energa del campo ser:

Y la intensidad de campo:

6. Un condensador plano, cuyas placas tienen las dimensiones 25x25 cm2 y estn separadas entre s por la distancia d1 = 0,5 mm est cargada hasta una diferencia de potencial V1 = 10V y desconectado de la fuente. Cul sera la diferencia de potencial V2 si las placas se separan hasta la distancia de d2 = 5mm?

SOLUCIN La carga q del condensador despus de separar las placas no vara, por consiguiente.

, (y) De aqu obtenemos:

7. Hallar la carga en cada uno de los condensadores de capacidad C1, C2 y C3 cuyo esquema de acoplamiento se de en la fig. (5.10) La f.e.m de la batera es igual a E.

SOLUCIN

La capacidad y la carga del sistema de tres condensadores son:

Las diferencias de potencial en los condensadores C2 (acoplamiento paralelo); por consiguiente:

y

C3 son iguales entre s

La mismas carga que circula por el circuito luego esta carga es igual a la carga q1 de C y tambin esta carga es igual a la carga suma de q2 y q3

y De donde

8. En el esquema representado en fig. (5.11), la capacidad de la batera de condensadores no vara cuando se cierra el interruptor K. Determinar la capacidad del condensador Cx.

SOLUCIN

Las capacidades de la batera de condensadores con el interruptor K abierto y cerrado son: K abierto:

C en serie con 2C

Cx en serie con C

K cerrado: C // Cx

y

2C //C

Luego: en serie el total

Por dato del problema la capacidad del sistema no vara. Igualamos estas expresiones:

De donde se obtiene:

9. hallar la diferencia de potencial entre los puntos a y b en el circuito representado en la figura (5.12).

SOLUCIN

Pero:

Como:

Como:

10. Hallar la diferencia de potencial entre los puntos a y b en el circuito representado en la fig. (5.13)

SOLUCIN

11. Un condensador de placas paralelas tiene la regin entre estas llena con una placa dielctrica de constante dielctrica K. las dimensiones de las placas son anchura W y longitud l, y la separacin entre ellas es d. El condensador se carga mientras esta conectado a una diferencia de potencial ( ), despus de lo cual se desconecta. La plancha de dielctrico se seca ahora parcialmente en la dimensin l hasta que solo quede la longitud x entre las placas. a) Cul es la diferencia de potencial entre las placas del condensador? b) Cul es la fuerza que tiende a regresar a la plancha de dielctrico a su posicin original? SOLUCIN

Desconectando y sacando el dielctrico.

La diferencia de potencial en las placas

b) Se tiene que:

Luego:

Y

[

(

) ]

(

)

12. se construye un condensador de placas paralelas con un dielctrico compuesto; una hoja de dielctrico de permitividad y espesor , se coloca en la parte superior de una segunda hoja de dielctrico (permitividad , espesor ). La combinacin se coloca entre las placas conductoras paralelas que estn separadas por una distancia . Cul es la capacidad del condensador por unidad de rea de placas? SOLUCIN

13. Un condensador de 20uf est cargado a una diferencia de potencial de 100V. Las armaduras del condensador cargado se conectan a las de un condensador descargado de 5 uf, calcular: a) b) c) d) La carga inicial del sistema. La diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador. La energa final del sistema. La disminucin de energa cuando se conectan los condensadores.

SOLUCIN

a) La carga inicial del sistema es la carga del condensador cargado dado por

b) Como tenemos conexin paralela, la capacidad equivalente del sistema de los dos condensadores estar dada por la relacin.

Y como la carga total del sistema permanece fija, se deduce que la nueva diferencia entre las armaduras de cada condensador sera:

c) La energa final del sistema obviamente sera:

d) Como la energa inicial era precisamente la del condensador cargado de capacidad entonces antes de la conexin de los condensadores.

Por lo tanto la disminucin de energa electrosttica luego de la conexin sera:

14. Un condensador de 1 uf y otro de 2 uf se conectan en serie a una red de suministro de 1200 V. a) Calcular la carga de cada condensador y la diferencia de potencial entre las armaduras de cada uno de ellas. b) Los condensadores cargados se desconectan de la red y ellos entre s, y se vuelven a conectar con las armaduras del mismo signo unidas. Calcular la carga y el voltaje de cada uno. SOLUCIN

a) Como los condensadores estn conectados en serie, la capacidad equivalente C del sistema estar dado por la relacin.

La carga de cada condensador ser: q1 = q2 = C Vab = x 10-6 x 1200 = 8x10-4 C

y la diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador sern: V1 = = = 800 V V2 = = = 400 V

b) Si los condensadores se desconectan entre s y de la red de suministro, entonces las cargas remanentes en cada condensador han de ser tal que al reconectarse con sus armaduras del mismo signo unidas, la carga total del sistema seguir siendo: Q = q1 q2 = 16x10-4 C y la nueva re distribucin de cargas se har de tal forma que los condensadores C1 y C2 adquieren respectivamente las cargas finales q1 y q2 que satisfagan las relaciones. q1 + q2 = Q = 16 x 10-4 (y) q2 = 2 q1 ya que C2 = 2 C1

Por consiguiente resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que: q1 = x 10-4 C (y) q2= x 10-4 C

Finalmente la nueva diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador ha de ser obviamente

V1 =

=

=

x 102 V

(y)

V2 =

=

= V1 =

x 102 V

15. Un condensador de 1 uf y otro de 2uf se conectan en paralelo a una lnea de 1200 V. a) Calcular la carga de cada condensador y su voltaje. b) Los condensadores cargados se desconectan de la red y ellas entre s, y se vuelven a conectar con las armaduras de distinto signo juntos. Calcular la carga final de cada uno y su voltaje.

SOLUCIN a) Los condensadores conectados en paralelo a una lnea de 1200 V. C1 a b

C2 La capacidad equivalente C = C1 C2 = 3 x 10-6 F

La diferencia de potencial es la misma, V1 = V2 = Vab = 1200 V q1 = C1 V1 = 10-6 x 1200 = 1,2 x 10-3 C q2 = C2 V2 = 2x10-6 x 1200 = 2,4 x 10-3 C

b) Si los condensadores se desconectan entre s de la red de suministro, las cargas remanentes de cada condensador han de ser tales que el reconectarse con sus armaduras del mismo signo unidas , la carga total del sistema seguir siendo: Q = q1 + q2 = 3,6 x 10-3 C y la nueva redistribucin de cargas se har de tal forma que los condensadores C1 y C2 adquieran respectivamente las cargas finales q1 y q2 que satisfagan las relaciones. q1 + q2 = Q = q2 - q1 = 1,2 x 10-3 q2 = 2 q1, ya que C2 = 2C1 Por lo tanto resolviendo el sistema de ecuaciones resulta que q1 = 0,4 x 10-3 C (y) q2 = 0,8 x 10-3 C

Finalmente la nueva diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador ha de ser obviamente. V1 = = = 400 V (y) V2 = = = V1 = 400 V

16.- En el acoplamiento de condensadores mostrados en la figura. Hallar la capacidad e quivalente entre a y b.

a

2uf

2uf

1uf

2uf

b2uf 2uf

SOLUCIN2uf 1uf

1uf 1uf

=12uf 2uf 1uf 2uf 2uf

2uf

2uf

2uf 1uf 1uf

2uf 2uf 2uf

2uf

17. Dos condensadores de capacidades iguales C, estn conectados en paralelo, cargados a una tensin V1 y despus aislados de la fuente de tensin. Se introduce un dielctrico constante K en uno de los condensadores, de modo que llena completamente el espacio entre las placas. Calcular: a) la cantidad de carga verdadera que pasa de uno al otro y b) la tensin final en los condensadores en funcin de C, V y K. SOLUCIN

Inicial: V1 = V1 = Q + Q = QT = 2 QC C

C=

Final: V2 = V2 Pero: = De donde:

, (1)

=

(2)

(2) en (1) = 2Q ,

Por otra parte:

Pero:

,

luego

18. Determinar la diferencia de potencial entre las placas del condensador cuya capacidad es de 2 uf.

SOLUCIN4uf 3uf a 120 V b 2uf

La capacidad equivalente:

La carga total QT

QT = CT VT

(1)

QT =

(120 V) x 10-6 f = 5.2 x 10-4 coul.

Sea Q1 la carga almacenada en el condensador de capacidad Ceq1 y Q2 la carga almacenada en el condensador de capacidad C3 = 3 uf.

Los potenciales para ambos son iguales, de tal manera que: V1 = V2; =

; el arreglo siguiente es adecuado para los pasos siguientes.

Sabemos tambin: Q1 = Q1

Q2 = 5.2 x 10-4 coul.

19.- En el circuito elctrico mostrado determinar la carga acumulada por cada condensador.

SOLUCIN

C1

E1

E2

C1 = 2 uf C2 = 4 uf

C2 1q +q -q

E1 = 35 V2

E2 = 5 V

2 uf

35 V

5V

+q

-q

4 4 uf

3

Luego:

Reemplazando: 35 5V = La carga acumulada: q = 40 uC

20.- En el circuito elctrico mostrado. Hallar la carga acumulada por cada condensador la capacidad C

SOLUCINE1 E2q

C

E1 = 15 V E2 = 10 V E3 = 7 V C = 20 uf

C

E3

C

=0

150 V + 10 V 7 V = 3 Q = 120 Uc

21.- El espacio entre las placas o armaduras de un condensador plano contiene dos dielctricos de constantes dielctricas K1 y K2 y espesores d/2, cada uno (ver fig.) Demostrar que la capacidad elctrica del condensador est dada por la relacin: ( )d/2 d d/2

V= V1 + V2 En serie:

22.- Un condensador planos de placas paralelas separadas por una distancia d contiene dos materiales dielctricos de constantes dielctricas, K1 y K2 dispuestos tal como se muestra en la fig. Demostrar que la capacidad del condensador est dado por la relacin.

SOLUCIN

-q

d

q

C = C 1 + C2 = C= C=

5.9.- PROBLEMAS PROPUESTOS1. En el acoplamiento de condensadores mostrado en la figura. Hallar la capacidad equivalente entre a y b.C

aC C

C

C

C

C

bC C C

2.- Encuentre la capacitancia del capacitor mostrado en la figura. El dielctrico tiene la constante K y el rea de la placa es A.METAL

a b

AIRE DIELECTRICO METAL

3.- Hallar la frmula para la energa almacenada por unidad de volumen, del campo elctrico, entre las placas, de un condensador de placas paralelas, cuando est lleno de un cierto dielctrico. 4.- Las placas de un condensador, tiene cada una como rea 12.56 cm2, estn separadas 2 mm. Si tiene una carga de 50 stc. Hallar la energa almacenada. (El dielctrico es aire) 5.- Estando un condensado conectado en forma permanente a una batera. Qu ocurre con la energa en el condensador si se introduce una plancha dielctrica de constante K de modo que llene todo el espacio. 6.-entre las placas cilndricas de un condensador de r1=0.5 cm, que tiene la segunda placa separada 2 cm se aplica una diferencia de potencial de 200 KV. El dielctrico est constituido por tres capas de igual intensidad disruptiva Edis = 200 KV/cm y distintas constantes dielctricas relativas E1= 4, E2=4 y E3= 2. Encontrar la intensidad de campo mximo y mnima en cada dielctrico, si el diseo del dielctrico se ha efectuado para trabajar en condiciones ptimas de aislamiento. Dibujar en coordenadas cartesianas las curvas E ( ) para cada dielctrico. 7. un condensador de placas paralelas al aire separadas 2 cm, con una capacidad de 600 pF, se carga con una diferencia de potencial entre las placas de 4KV. Encontrar la energa almacenada en el campo elctrico y la fuerza entre las placas al disminuir su distancia a la mitad despus de desconectar las placas del generador. 8. un condensador de placas paralelas al aire, a distancia del= 0.5 cm y superficie de 3 600 cm2 se carga a V =5 KV y despus se desconecta el generador. Encontrar la variacin de energa del campo y la fuerza entre placas, si se separan hasta 0.6 cm.

CAPITULO VI CORRIENTE Y RESISTENCIA6.1. INTRODUCCION.Se ha dicho que cuando estudibamos electroesttica que un cuerpo elctrico ejerce e ciertas fuerzas sobre las partculas cargadas que estn en su seno. Si el campo elctrico se mantiene en un conductor, las partculas cargadas que tienes un movimiento trmico elctrico adquieren una componente de velocidad a lo largo de las lneas de fuerza del campo que se les aplica.

6.2. CORRIENTE ELECTRICA.Se denomina corriente elctrica todo desplazamiento ordenado de cargas elctricas en el espacio. El movimiento ordenado de cargas libres que urge en un conductor bajo la accin de un campo elctrico, se denomina corriente de conduccin. El movimiento ordenado descargas elctricas se puede realizar desplazando por el espacio un cuerpo cargado (conductor o dielctrico). Esta corriente elctrica se denomina de conveccin (as tenemos, por ejemplo, la corriente debida al movimiento de la tierra segn su rbita, que posee carga negativa). Se considera que el sentido de la corriente elctrica es el del desplazamiento de las cargas positivas. En la realidad, en los conductores metlicas, la corriente elctrica la crea el movimiento de los electrones en sentido contrario al de la corriente. Se denomina intensidad de la corriente (en la electrotecaria simple corriente) a travs de una superficie S, la magnitud I igual a la primera derivada de la carga q que pasa a travs de esta superficie, con respecto al tiempo; o tambin simplemente corriente instantnea:

La corriente se dice que es continua, si su intensidad y sentido no varan con el tiempo. Para la corriente continua tenemos que : ; es la corriente media en el tiempo t.

q = carga elctrica total que ha pasado a travs de una seccin S del medio conductor. T = tiempo.

La intensidad de la corriente continua es igual a la carga que pasa a travs de la superficie S por unidad de tiempo. La corriente I es una caracterstica de un conductor dado. Es la cantidad macroscpica, como la masa de un objeto, o la longitud de una varilla. Una magnitud microscpica relacionada con la anterior es la densidad de corriente J. Es un vector y es la caracterstica de un punto dentro de un conductor; no es la caracterstica del conductor en conjunto. Si la corriente est distribuida uniformemente te a travs de un conductor de seccin transversal S, la magnitud de la densidad de corriente, para todos los puntos de esas seccin transversal es

El vector J en un punto cualquiera est orientado en la direccin en que los portadores positivos de carga se moveran en ese punto. Un electrn en ese punto se movera en la direccin j. La intensidad I de corriente elctrica tambin se define como el flujo del vector densidad de corriente j a travs de una seccin del conductor: Siendo ds un elemento de rea superficial y la integral se toma en toda la superficie en cuestin. La unidad MKS de la intensidad de corriente elctrica es el coulomb por segundo y se denomina amperio; luego: Amperio = o A=

6.3. VELOCIDAD DE ARRASTREEl movimiento de los electrones libres (o de conduccin) en hilo metlico (conductor), bajo la influencia de un cuerpo elctrico E, se frenado debido a los choques inclasticos con las partculas fijas del metal (iones) y con los otros electrones, su movimiento es por lo tanto una sucesin de aceleraciones y frenadas, pero adquieren cierta velocidad media denominada velocidad limite o de arrastre. La velocidad de arrastre Vd o de desplazamiento de los portadores de carga es un conductor puedes calcularse a partir de la densidad de corriente J. La fig. (5.1) muestra los electrones de conduccin en un alambre movindose hacia la derecha a una velocidad supuesta constante Vd.

Fig. (5.1) los electrones se mueven en sentido contrario al campo elctrico en un conductor. La carga total sale por el extremo derecho del conductor es: q= Ne N= nmero de portadores de carga N= nSl

n= nmero de portadores (electrones) de carga por unidad de volumen. e= carga de los portadores (electrones) S= rea transversal del conductor. l = longitud del conductor. Escribimos: q=neSl.

Del movimiento uniforme: e=vt para nuestro caso tenemos: l =Vdt

La corriente:

6.4. LEY DE OHM.Cuando se aplica un campo elctrico a un dielctrico, este se paraliza. Pero si el campo se aplica en una regin donde hay cargas libres, estas se ponen en movimiento resultando una corriente elctrica en lugar de la polarizacin del medio. El campo acelera las cargas, que de este modo ganan energa. Cuando en el interior de un cuerpo existen cargas libres, tales como electrones en un metal que forman la red cristalina del metal. Consideramos por ejemplo, un metal con los iones positivos regularmente dispuestos en tres dimensiones, como en la figura (5.2). Los electrones libres se mueven ene le campo elctrico que muestran la misma periodicidad que la red, y durante sus

Movimientos son frecuentemente dispersados por el campo. Para describir este tipo de movimiento electrnico debemos utilizar los mtodos de la mecnica cuntica. Debido a que los electrones se mueven en todas direcciones, no hay transporte neto de cargas o sea no hay corriente elctrica. Sin embargo si se aplica un campo elctrico, un movimiento de arrastre se superpone al movimiento natural al azar de los electrones resultando una corriente elctrica. Parece natural suponer que la intensidad de la corriente debe estar relacionada con la intensidad del campo elctrico; y que esta relacin es una consecuencia directa de la estructura interna del metal. Como gua para obtener esta relacin, vamos a remitirnos primero a los resultados experimentales. Una de las leyes fsicas que es quizs ms familiar al estudiante es la ley de OHM, la cual establece que, en un conductor metlico a temperatura constante, la razn de la diferencia de potencial V entres dos puntos a la corriente elctrica I es constante. Esta corriente se llama resistencia elctrica R entre los dos puntos del conductor. Por lo tanto podemos expresar la Ley de O hm:

Esta ley formulada por el fsico alemn Gerg Ohm (1787-1854), la siguen con sorprendente precisin muchos conductores en un amplio inrvalo de valores de V, de I y de temperatura del conductor. Sin embargo, muchas sustancias especialmente los semiconductores, no la obedecen. En la ecuacin (5.7) vemos que R se expresa en volt/amperio o m2kgS-1C2, unidad llamada ohm, abreviado. As, un ohm es la resistencia de un conductor por el cual pasa una corriente de un amperio cuando se establece entre sus extremos una diferencia de potencial igual a un volt. Consideremos un conductor cilndrico de longitud l y seccin transversal S.

V= RI, tambin, V = Ed= El puesto que el campo elctrico a lo largo del conductor es

Entonces:

A la cantidad

se le llama conductividad elctrica (constante) del material.

El inverso de la conductividad es la resistividad

UNIDADES: para Para

se expresa en en

Como J y E son vectores, podemos escribir: Formula conocida como la ley de ohm microscpica. La conductividad del material determina la conductancia del conductor, es decir su aptitud para dejar pasar corriente bajo la influencia del campo elctrico. (la conductividad es una propiedad elctrica del material) La conductancia G del conductor:

Unidades: G siemens Mantener una corriente en un conductor requiere un gasto de energa. Tambin se debe gastar energa para acelerar un ion en un acelerador o en un tubo electrnico, pero hay una diferencia. En el acelerador toda la energa se emplea en aumentar la velocidad de los iones. En un conductor, debido a la interaccin entre los electrones y los iones positivos de la red cristalina, la energa de los electrones se transfiere a la red, aumentando su energa vibraciones. Esto conduce a un aumento en la temperatura del material, y constituye el bien conocido efecto-calrico de una corriente, llamado efecto Joule. La potencia necesaria para mantener la corriente en el conductor es:

Para aquellos conductores que siguen la ley de Ohm, V=RI, escribimos:

Reemplazando:

9. Un material conductor en forma cubica de lado a, tiene una conductividad que varia linealmente, a lo largo del eje Y; ella vale en la cara X=0 y en la cara x=a. Calcular la resistencia del material, cuando se le conecta como muestra en la figura. SOLUCION

La densidad de corriente

a una distancia y de la cara de conductividad

es:

Como varia linealmente:

Cuando: y=o , Cuando: y = a, Luego: ( )

De (1) y (2):

(

)

La diferencia potencial:

(

)

10. Halle la resistencia de aislamiento de una longitud l de cable coaxial. SOLUCION

11. A una esfera metlica de radio b con cavidad esfrica de radio a, se le aplica una diferencia de potencial V entre el interior y el exterior de tal forma que influye una I radial uniforme: Hallar la potencia que se disipa. SOLUCION:

La potencia :

(

)

(

)

12. Dado el vector J=1000sen er(a/ ) en coordenadas esfricas. Hallar la corriente que cruza el casquete esfrico de 6.3 csm de radio.

SOLUCION:

( )

13. Una cocinilla elctrica de 8 de resistencia, absorbe 15 amperios. Hallar la potencia calorfica que desarrolla expresando el resultado en kilowatts y en caloras por segundo. Calcular adems el corto de funcionamiento en 4 horas a 0.5 soles por kilovatio horas.

SOLUCION:I) La potencia desarrollada por la cocinilla es

Calculo de la potencia en caloras por segundo-> (cal/s) Como

Luego convirtiendo los 1800w. entonces

(

)

II)

Clculo del corto en soles.

14. Qu intensidad de campo elctrico es necesario para crear la misma densidad de corriente en un conductor de aluminio de 1 cm de dimetro y que transporta una corriente de 200 amperios de intensidad? SOLUCION:

Por consiguiente, como la conductividad elctrica del Al es: , la intensidad del campo elctrico E ser:

6.6 PROBLEMAS PROPUESTOS1) El devanado del estator de una mquina de C.C. parada, es de 0.1 (ohmio) a 20 C. Cuando la maquina marcha a plena carga la resistencia del mismo devanado es de 0.12 (ohmio). Cul es la temperatura a que trabaja el devanado? 2) una bobina de dimetro D=127 mm tiene N=2000 vueltas de hilo de 2 mm de dimetro, de cobre. Calcular la resistencia de la bobina a 0.20; y 60 C. 3) La resistencia de los dos cables de una lnea de dos kilmetros, con una seccin de 50 mm2, es de 2.5 a la temperatura de 40 C. De qu material es el conductor(cobre, aluminio o acero)? 4) Dos generadores de corriente continua suministran 96 000 Kw/hora de energa elctrica a una carga comn en el curso de un mes, trabajando las 24 horas del dia. Se deja fuera de servicio el primero de los generadores durante 10 dias para mantenimiento y pequeas reparaciones y durante este tiempo el watmetro conectado a la carga marca el consumo de 24 000 Kw/hora.

Encontrar la potencia y la f.e.m. de cada generador, si el ampermetro del primer generador marca un valor de 500 amperios y el ampermetro del segundo generador 100 amperios. 5) Calcular la densidad de corriente que pasa por los conductores de conexin de un generador de C.C. con su carga, si la seccin del cable es de S=10mm2 y la energa diaria suministrada es de 120 Kw/h a 100 V. 6) Un horno elctrico de resistencia igual a 10 se conecta a un generador que da V=120 V en bornes del horno, mediante una conexiones a base de conductor de aluminio de 50 y 10 mm2 de seccin. Encontrar la potencia que suministra el generador , que tiene una resistencia interna r0 = 0.1(ohmio) y expresar la energa elctrica suministrada en dos horas. 7) Encontrar la intensidad y resistencia de un elemento calefactor de caractersticas nominales 300 w y 120 V.

8) Con una tensin de 30 V en bornes, un acumulador se carga con 4 amperios durante 6 horas Cul es el valor de la energa elctrica almacenada por el acumulador, sabiendo que un 10 por ciento de la energa suministrada se pierde en forma de calor en las conexiones y resistencia interna del propio acumulador. Se suponen constantes la f.e.m. y la intensidad del acumulador durante todo el periodo de carga?