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Capítulo 4

Ondas de propagación.

Oscilaciones y Ondas, Aplicaciones en Óptica

141

Introducción:

Muchos son los fenómenos naturales a los cuales asociamos el concepto abstracto de onda, quizás, los más conocidos son las ondas en la superficie del agua, el sonido, la luz y las ondas de radio. Menos conocido, tal vez, es el hecho de que los átomos, los electrones y las partículas subnucleares presentan propiedades tanto de ondas como de partículas (dualidad onda-partícula, teoría cuántica). Todos estos fenómenos, a pesar de ser físicamente distintos, comparten una descripción matemática similar (dentro de alguna aproximación adecuada) y un mismo concepto físico subyacente, ambos aspectos comunes constituyen el modelo abstracto de onda, cuyo estudio seguiremos a través de éste y los Capítulos siguientes. Para comenzar a entender el concepto físico de onda plateemos un ejemplo simple. Supongamos que tenemos muchas esferas idénticas, de masa m , alineadas y apoyadas sobre una superficie sin fricción, como muestra la figura 4-1.

La masa 1 posee inicialmente un impulso p y una energía cinética

E m vpmc = =1

22

2

2 . En un determinado momento choca contra la masa 2, al ser las

masas idénticas, podemos concluir que, por conservación de la cantidad de movimiento y de la energía mecánica, todo el impulso y toda la energía mecánica se transfiere de la masa 1 a la masa 2, y por consiguiente la primera queda en reposo. Este proceso continúa, transfiriéndose impulso y energía de masa en masa. A la propagación de la perturbación, que se manifiesta como una transferencia de energía e impulso, es a la que llamamos onda, en este caso, pulso de onda. Algo importante de notar es que, cuando le toca el turno de moverse a la masa 9, la onda se ha desplazado quizás varios metros, pero sin embargo las esferas se han movido muy poco de su posición inicial, la propagación de la onda no implica propagación de materia sino propagación de impulso y energía en el espacio y el tiempo. La onda que se propaga por medio de las esferas (medio de propagación) constituye un ejemplo de un tipo especial de onda conocida con el nombre de onda longitudinal. Estas ondas se distinguen por que se propagan en el mismo sentido en

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Figura 4-1: La energía e impulso se transfieren de masa en masa, a grandes distancias, sin producir grandes desplazamientos de las masas individuales.

Ondas de propagación

142

que se mueven las partículas (o el medio). Un ejemplo clásico de ondas longitudinales son las ondas sonoras. Otro tipo de ondas son las llamadas ondas transversales, en donde la onda se propaga en una dirección que resulta perpendicular al movimiento de las partículas (o el medio). Un ejemplo clásico de este tipo de ondas lo constituyen las ondas electromagnéticas y en particular las ondas luminosas.

Un ejemplo no tan bueno, pero ilustrativo, son las ondas en el agua. Al tirar una piedra en el agua se forman ondas circulares que se expanden en dirección radial hasta desaparecer. Si la perturbación producida es pequeña las partículas de agua “casi” no se desplazan en la dirección en que se propaga la onda, sino que realizan un movimiento de subida y bajada alrededor de su posición de equilibrio, o sea que mientras la onda se propaga en dirección radial las partículas oscilan “casi” transversalmente al sentido de propagación, lo cual puede verificarse fácilmente colocando un pedacito de corcho en la superficie del agua. Si la perturbación es intensa, la descripción de ondas en el agua se complica ya que también se observa un desplazamiento longitudinal del fluido. Luego veremos que, las ondas tienen asociada una velocidad de propagación cuyo valor depende del medio en que se propagan. En éste Capítulo estudiaremos la descripción matemática de la onda así como el concepto físico subyacente. Nos centraremos en ondas de propagación, y estudiaremos una idealización de onda llamada onda armónica, que aunque no existe como tal en el mundo real, resulta una representación matemática muy útil para describir ondas más complejas. Estudiaremos la reflexión y transmisión de una onda a través de un medio, y dejaremos para el Capítulo siguiente el estudio de las ondas estacionarias. Los ejercicios recomendados son el 1, 2, 4, 7, 11, 12, 13, 14, 18 y 19 4-1. Ejercicio Teórico: Ondas de Propagación unidimensionales (Recomendado):

Con éste ejercicio pretendemos comenzar a estudiar la forma en que puede representarse matemáticamente la propagación de una onda, en una dimensión. Comenzaremos estudiando sistemas ideales, en donde, introducida una perturbación sobre un medio, ésta se propaga en una única dirección sin deformación ni cambio de amplitud, o sea, se propaga sin cambiar su forma. A este tipo particular de ondas se las denomina ondas planas, luego cuando analicemos ondas propagándose en el espacio quedará justificado el nombre. Veremos que no es la única forma en que se manifiestan los fenómenos ondulatorios,


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como ejemplo, estudiaremos ondas esféricas que se expanden radialmente en todas las direcciones a partir de una fuente y no en una sola dirección como en el caso de una onda plana y su amplitud disminuye a medida que la onda se aleja de la fuente. Para fijar ideas, comencemos con un ejemplo de propagación de una onda transversal propagándose sobre una cuerda ideal sin deformarse (onda plana). En la figura 4-2 se muestra un pulso de onda transversal propagándose sobre la cuerda, en el instante t = 0 (foto de la cuerda en el instante t = 0),

Este pulso no tiene mucho sentido físico, ya que la cuerda se halla muy deformada en los puntos 1 y 3 (no existe la derivada) por lo cual las tensiones allí resultan infinitas. Suponemos que el pulso se mueve hacia la derecha sin deformación (no se deforma al avanzar) a segcmv /2= . a) Dibujar la forma del pulso en los instantes t seg= 1 2 3, y . b) Discuta sobre como se mueven las partículas que forman la cuerda. Suponemos

que la cuerda es ideal y por ello postulamos que las partículas que la forman no se desplazan para nada sobre la dirección de propagación de la onda (eje x), es decir, la onda es perfectamente transversal.

c) Importante. En el instante t = 0 , ¿Qué segmentos de la cuerda se están moviendo hacia arriba? ¿Cuáles se están moviendo hacia abajo? ¿Existe algún elemento de la cuerda que esté instantáneamente en reposo?. Ayuda: Haga un esquema del pulso en un instante ligeramente posterior y anterior para ver como se ha movido cada partícula de la cuerda, ¿hacia arriba o hacia abajo?.

d) Sobre la base de lo discutido en el ítem anterior, haga un esquema cualitativo de la velocidad de cada segmento de cuerda en el instante t = 0.

e) Verifique que el desplazamiento transversal (eje y) de cada segmento de la cuerda puede representarse en t = 0, por la función,

o x

xxxfy

3 x1

31

si

si

0

1)2()(

2

><

≤≤

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−−

== 4-1

1

5 6 7

Ψ

v=2cm/seg

4 2 3 1 x

Figura 4-2: “Foto” de la cuerda en el instante inicial (pulso de onda).


144

La función )(xfy = corresponde a una representación matemática de la foto de la cuerda a t = 0.

f) A partir de la descripción matemática de la perturbación en el instante t = 0 (función )(xf ), queremos hallar una función que describa la perturbación (desplazamiento a partir del equilibrio) para un instante t cualquier, dicho en lenguaje físico, pretendemos encontrar la función de onda correspondiente a dicha perturbación.

Dicha función de onda, que denominamos ),( txΨ , determina el desplazamiento transversal de la cuerda (eje y), depende de dos variables la posición x del segmento de la cuerda considerado y el instante t en que se observa la perturbación.

Dado un instante t ′ fijo, ),( tx ′Ψ nos da la foto de la cuerda en ese instante particular. Y dado un punto de la cuerda fijo, ubicado en una posición x′ ,

),( tx′Ψ nos da la evolución del segmento en el tiempo, es decir, el movimiento transversal del segmento de cuerda.

Sabemos que la perturbación (onda) se desplaza con una velocidad seg

cmv 2= hacia la derecha. Cada segundo que pasa, la perturbación se desplaza, sin deformarse (idealización), cm2 hacia la derecha, y en forma general, luego de transcurrido un tiempo t la perturbación se desplaza una distancia igual a vt , hacia la derecha. Sobre la base de este razonamiento intuimos que la función de onda ),( txΨ puede representarse por la función )(xf pero desplazada adecuadamente para cada instante considerado.

Nosotros conocemos como desplazar una función una cantidad vt , simplemente reemplazando el argumento x por vtx − , es decir, ( ) )( vtxfxf −→ . Por ello, definimos como función de onda de ésta perturbación

a:

( )[ ]

x-vt o vtx

vtxvtxvtxftx

3 1

31

si

si

0

12)(),(

2

><−

≤−≤

⎪⎩

⎪⎨⎧ +−−−

=−=Ψ 4-2

Note que también los intervalos cambian.

g) Verifique que la función de onda propuesta funciona bien para los instantes t seg= 1 2 3, y estudiados gráficamente en el ítem a). Vuelva a graficar usando la función de onda.

h) Importante. A partir de la función de onda hallada, grafique el desplazamiento transversal del segmento de cuerda ubicado en la posición cmx 4= , en función del tiempo.


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i) Halle la velocidad y aceleración de una partícula que forma parte de la cuerda (recordar que la partícula se mueve transversalmente), en la posición x m= 0 1, y en

mx 2= , en función del tiempo. Grafique. j) Ahora suponga que, en lugar de moverse hacia la derecha, la onda se mueve hacia

la izquierda (sentido negativo de las x ), con el mismo valor de velocidad, halle la nueva función de onda.

Comentario: Cualquier función de onda cuya dependencia funcional con el tiempo y la posición sea del tipo ) (),( tvxftx ±=Ψ puede representar la evolución de una onda que se propaga en una única dirección y sin deformación. A este tipo particular de ondas las denominamos ondas planas. Cuando la onda se propaga en un sistema con más de una dimensión, su descripción matemática resulta distinta de la que mostramos en el caso de una onda plana unidimensional. Luego describiremos brevemente el caso de ondas esféricas, en donde la onda se expande radialmente a partir de un punto o fuente de ondas. Las ondas que se propagan sin deformación son sólo una idealización matemática, ya que en la Naturaleza la generalidad de los fenómenos ondulatorios se manifiestan en medios dispersivos, por lo cual, se produce una deformación continua de la onda. Por suerte para nosotros, las ecuaciones de Maxwell que rigen la evolución dinámica de los campos electromagnéticos (ondas electromagnéticas), aceptan como solución ondas no dispersivas (en el vacío), entre las cuales se hallan las ondas luminosas.

4-2. (Recomendado). Suponga que las siguientes funciones representan la propagación de ondas planas: I. ( ))34(2cos 3),(1 txtx +=Ψ II. )t20x 5(

2 2),( −−=Ψ etx

III. Ψ3 2( , ) senx t t

x= −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

IV. ( )Ψ4 ( , )x t e= i x- tπ En donde x se expresa en metros, t en segundos.


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a) En las funciones de onda anteriores, agregue las unidades que faltan en los

números que allí aparecen. b) ¿Qué argumento utiliza para justificar que estas funciones de onda pueden

representar a una onda en movimiento?. c) ¿Las ondas son dispersivas o no-dispersivas (conservan su forma)?. Discuta. d) Determinar la dirección de propagación y la velocidad de la onda en cada caso.

Ayuda: piense en lo que hizo en el ejercicio anterior. Resp. I. v m

seg= −34 , II. v mseg= 4 , III v m

seg= 2 , IV v mseg= π

e) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos más importantes aprendidos en los ejercicios 4-1 y 4-2.

4-3. (Repaso). En el instante t = 0 , la forma de un pulso de onda sobre una cuerda

viene dada por la función: Ψ( , ) ,x mm x

0 0 124

3

2 2=+

, en donde x está en metros.

a) Dibujar Ψ( , )x 0 en función de x . Suponiendo que la onda se propaga sin deformarse, b) Hallar la función de onda Ψ( , )x t para un tiempo t cualquiera si el pulso se está

moviendo hacia la derecha (sentido positivo de las x ) con una velocidad de 10m seg/ .

c) Grafique la perturbación en el instante segt 1= . d) Grafique el desplazamiento transversal del segmento de cuerda ubicado en la

posición mx 1= , en función del tiempo. e) Hallar la función de onda Ψ( , )x t para un tiempo t cualquiera si el pulso se

mueve hacia la izquierda (sentido negativo de las x ) con una velocidad de 10m seg/ .

f) Halle la velocidad y aceleración de una partícula, que forma parte de la cuerda, en la posición x m= 0 1, . Grafique.

4-4. Guía Teórica: Ondas armónicas (Recomendado).

Un ejemplo de onda plana, importante por sus aplicaciones en muchos fenómenos físicos, lo constituyen las ondas armónicas. Aunque este tipo de onda es una idealización y, por consiguiente, no existe en la naturaleza, veremos que cualquier onda (real) puede expresarse como superposición de ondas armónicas (ideales). Podemos construir una onda armónica partiendo de una función armónica, como el seno o el coseno o cualquier traslación o dilatación de estas, y propagarla en


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el espacio a medida que transcurre el tiempo (con velocidad v ) como lo venimos haciendo hasta ahora, es decir, trasladando el argumento de la función de x a vtx − . Supongamos que estudiamos una onda armónica que se propaga sobre una cuerda infinita. En el instante inicial ( 0=t ) la cuerda posee una deformación armónica, como la que se muestra en la figura 4-3 (piénselo como sí fuera una foto de la cuerda sacada en el instante 0=t ).

Observe que cada ciclo armónico posee una longitud, que llamamos “longitud de onda” y la notamos con la letra griega λ (con unidades de longitud). Note la equivalencia, y diferencia, existente entre la longitud de onda y el período de una función armónica. Mientras que el período indica la duración temporal del ciclo, la longitud de onda indica la extensión espacial del ciclo. Usando esta equivalencia, podemos proponer una función armónica que describa la deformación inicial de la cuerda como,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λπ==Ψ xAtx 2sen )0,( 4-3

donde la función )0,(xΨ indica cuán desplazada está la cuerda en cada punto (en la dirección y), respecto de su forma relajada. Note que x debe pasar desde 0=x hasta

λ=x para que el argumento complete un ciclo, o sea:

0022 =λπ=

λπ x a π=λ

λπ=

λπ 222 x .

Ya tenemos la función de onda en el instante inicial, sólo nos hace falta darle movimiento. Para ello trasladamos el argumento de la función de x a vtx − , y por ende la función de onda armónica, tiene la pinta (podríamos agregarle una fase inicial),

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −λπ=Ψ )(2sen ),( vtxAtx 4-4

λ

Figura 4-3: Longitud de onda de una onda armónica (“foto” de la cuerda en el instante inicial).


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Para fijar ideas, grafiquemos la función de onda para varios tiempos (ver

figura 4-4). Para ello, usamos el programa Mathematica con los valores mA 001.0= , m1=λ y seg

mv 1= , y el tiempo variando entre 0 y 1seg con un incremento de 0,2seg,

lambda=1; a=0,001; v=1; psi[x_,t_ ]=a*Sin[(2 Pi/lambda)*(x-v*t)]; Do[ Plot[psi[x,t],{x,0,2*lambda},Axes->None, PlotPoints->500,AspectRatio->0.15, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}], {t,0,1,.2}] Si además une todos los gráficos en una misma celda y los anima, observará el desplazamiento de la onda (consulte).


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Note, en la figura 4-4, como avanza hacia la derecha la cresta de la onda, de acuerdo a los datos que hemos impuesto, la onda tarda 1 segundo en avanzar 1 metro, que en este ejemplo concuerda con la longitud de onda m1=λ . Hemos también destacado el movimiento del segmento de la cuerda que inicialmente se halla sobre la primera cresta (punto redondo), a medida que la onda avanza, el punto efectúa un movimiento periódico transversal, es decir, hacia abajo y hacia arriba. Note que transcurrido un tiempo igual a 1 segundo, el punto ha vuelto al

t=0,2

vt vt vt vt vt

λ

t=0

t=0,4

t=0,6

t=0,8

t=1

Figura 4-4: Gráfica de la evolución de la cresta de una onda armónica y movimiento oscilatorio de un punto particular de la cuerda.


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lugar donde comenzó su movimiento, de esta forma, la foto de la cuerda en el instante t seg= 1 es idéntica a la foto en el instante inicial t seg= 0 (el período de oscilación es T seg= 1 ). La expresión 4-4, es una de las formas en que es posible expresar a una onda armónica de longitud de onda λ , que se desplaza hacia la derecha con velocidad v (velocidad de propagación o de fase). Pero hay otras formas de escribirla que también nos pueden servir. Supongamos que queremos analizar, ¿cómo es el movimiento de cada punto (o partícula) que forma parte de la cuerda?. Para ello sólo hace falta darle el valor a la variable x , correspondiente a la posición del punto que deseamos estudiar. Para facilitar el razonamiento vamos a estudiar el movimiento del punto 0=x (que es cualquiera), y su movimiento viene descripto por la función armónica,

( )tAvtAvtAtx ω−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λπ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −λπ==Ψ sen 2sen )0(2sen ),0( 4-5

Físicamente significa que la partícula localizada en 0=x oscila, hacia arriba y hacia abajo permanentemente (transversalmente, en este ejemplo), y con frecuencia angular,

vλπ=ω 2 4-6

A partir de esta expresión podemos hallar el período de oscilación, recordando que

Tπ=ω 2 , o sea,

vT λ= o

Tv λ= 4-7

en el ejemplo, de la figura 4-4,

Tv

seg= =λ

1

A partir de 4-7, la frecuencia de oscilación resulta,

λ= vf o λ= fv 4-8


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Como vemos, de las expresiones 4-7 o 4-8 (llamadas relaciones de dispersión), la longitud de onda y el período se hallan relacionados a través de la velocidad de propagación de la onda, que como veremos, depende del medio en donde se propaga. Como ejemplo, podemos pensar en una señal sonora que se propaga en aire y luego en otro material, por ejemplo acero. La velocidad de propagación es distinta en ambos medios. Como luego veremos, la frecuencia no cambia al pasar de un medio al otro (esto tiene que ver con la conservación de la energía y momento), por consiguiente la onda cambia su longitud de onda. De las ecuaciones 4-7 y 4-8, vemos que la relación entre la frecuencia y la longitud de onda es inversamente proporcional. Como ejemplo, podemos pensar en las ondas electromagnéticas. En la luz visible, la luz violeta es la de mayor frecuencia y por ende la de menor longitud de onda, mientras que la luz roja corresponde a la menor frecuencia y mayor longitud de onda. Bajando la frecuencia, aparece el infrarrojo, las microondas, las ondas de radio, etc., y mientras menor es la frecuencia mayor es la longitud de onda. Llegado a este punto, podemos escribir a la onda armónica de varias maneras distintas,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −λπ=Ψ )(2sen ),( vtxAtx 4-9

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−λπ=Ψ t

TxAtx 22sen ),( 4-10

Podemos definir una nueva variable,

λπ= 2k 4-11

a la que llamamos número de onda que tiene unidades de metro/1 (note la similitud

con la frecuencia angular Tπ=ω 2 ). Luego veremos que este número de onda en

realidad es un vector que indica la dirección de propagación de la onda plana en el espacio tridimensional (no confundir k con la constante elástica del resorte) . A partir de definir el número de onda, la función de onda puede expresarse,

( )tkxAtx ω−=Ψ sen ),( 4-12


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o también,

( ))(sen ),( vtxkAtx −=Ψ 4-13

Las expresiones 4-9, 4-10, 4-12 y 4-13 son formas equivalentes de expresar una función de onda armónica, quizás la más usada es la 4-12. En función del número de onda k y la frecuencia angular ω, podemos reescribir la relación de dispersión 4-8 como,

ω= v k. 4-14 Por supuesto, lo que hemos dicho para la función seno también vale para la función coseno y para cualquier traslación de estas funciones, por lo cual la función más general debe incluir una fase δ arbitraria, es decir,

( )δ+ω−=Ψ tkxAtx sen ),( 4-15

Si queremos representar una onda que se desplaza hacia la izquierda, sólo debemos modificar el signo relativo entre las variables x y t,

( )Ψ( , ) senx t A kx t= + +ω δ 4-16 Ejercicio: Verifique que la onda armónica,

( )Ψ( , ) senx t A kx t= − − +ω δ

también se desplaza hacia la izquierda. Como ya hemos aclarado, la onda armónica es sólo una idealización ya que representa una onda plana que se extiende infinitamente en el espacio y que no tiene inicio ni fin en el tiempo. Pero como ya veremos, resulta útil para representar ondas reales como superposición de ondas armónicas.


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Comentario: Luego comprobaremos que si el medio es lineal, es decir, si las ecuaciones dinámicas, que rigen la evolución del sistema, son lineales, la velocidad de propagación (o fase) no depende de la longitud de onda, todas las ondas armónicas se propagan con la misma velocidad. Si una onda se halla compuesta por la superposición de muchas ondas armónicas, de diferente longitud de onda, propagándose en un medio lineal (no dispersivo), su forma no cambia en el tiempo, debido a que todas las ondas avanzan con la misma velocidad. Pero si se propaga en un medio no lineal (dispersivo), la velocidad de propagación resulta distinta para cada onda, por lo cual, las componentes de distinta longitud de onda se dispersan, cambiando la forma de la onda total. Ejercicio. Dada la ley de movimiento armónico expresada por la función,

( )Ψ( , ) senx t A x t= − −2 3

a) ¿En qué sentido se propaga la onda, hacia la izquierda o hacia la derecha? b) Verifique que es posible reescribir a la función de onda armónica como,

( )Ψ( , ) senx t A x t= + +2 3 π

c) Halle el número de onda k y la frecuencia angular ω . d) Halle la longitud de onda λ , el período T y la frecuencia f . e) Halle la velocidad de propagación de la onda (velocidad de fase). f) Exprese Ψ( , )x t en función de λ y T . g) Exprese Ψ( , )x t en función de v y k . h) Grafique con el Mathematica dándole animación. Onda armónica compleja: En el capítulo 1 hemos estudiado las funciones armónicas complejas, a partir de ellas, resulta inmediato proponer una onda armónica compleja (onda plana compleja), de la forma,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]Ψ x t A e A kx t kx t, cos sen= = − + + − +− i i kx t+ω δ ω δ ω δ 4-17

La onda se desplaza hacia la derecha con velocidad vk

=ω

, pero además el número

complejo gira, en el plano complejo, en sentido antihorario describiendo una hélice, ver figura 4-5.


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Note que transcurrido un período T completo, el número complejo ha girado una vuelta (en el plano complejo), mientras que ha avanzado una longitud de onda λ (verifique). En Física Clásica, la utilización de ondas complejas sólo se justifica en que resulta más simple trabajar con ellas, pero finalmente, sólo la parte real de la onda posee sentido físico. En cambio, en Física Cuántica, la función de onda que describe el estado de un sistema resulta intrínsecamente compleja (aunque resulte difícil imaginarlo), o sea, ambas componentes, real e imaginaria, son necesarias para la descripción del sistema. 4-5. (Repaso). Una onda armónica se propaga por una cuerda infinita. Su función de onda es: ( )Ψ( , ) , senx t x t metros= −0 1 10 π π a) Si x se mide en metros y el tiempo en segundos, agregue las unidades que faltan

en la función anterior. b) Halle el número de onda k y la longitud de onda λ . c) Halle la frecuencia angular ω , la frecuencia f y el período T . d) Halle la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Resp. v m

seg= 10 e) Grafique con el Mathematica dándole animación. f) Escriba la función de onda como la parte real de una onda armónica compleja. 4-6. (Repaso). Las ondas electromagnéticas como la luz, infrarrojo, ultravioleta, microondas etc., pueden descomponerse en ondas armónicas. Sabemos que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío es c m

seg= 3 108 .

Figura 4-5: Gráfica de la evolución de la onda armónica compleja ( )A e i kx t−ω , en el tiempo.

Eje Real Eje Imaginario

λ

t=0 t=T

x


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a) El intervalo de longitudes de onda de la luz para el cual el ojo es sensible abarca desde 4 10 7. − m a 7 10 7. − m , aproximadamente. ¿Cuáles son las frecuencias correspondientes a esas longitudes de onda?.

Comentario: en la siguiente tabla se detallan los rangos de longitud de onda y

frecuencia para distintos colores (Arco Iris),

769659390455Violeta659610455492Azul610520492577Verde520503577597Amarillo503482597622Naranja482384622780Rojo

−−−−−−−−−−−−

Hz1210 = THz en m-910=nm enColor fλ

b) Cerca de la luz en el espectro está la región del ultravioleta 8 1014 Hz a 3 1017 Hz, ¿Cuál es el intervalo de longitudes de onda?

c) La región de infrarrojo se extiende aproximadamente de 3 1011 Hz hasta 4 1014 Hz , ¿Cuál es el intervalo de longitudes de onda?

d) La región de microondas se extiende de alrededor de 30cm a 1mm. ¿Cuál es el intervalo de frecuencias?.

4-7. Guía teórica. Ecuación lineal de ondas: Aún no hemos demostrado que una onda plana sirva para describir la

evolución dinámica de algún sistema físico. Para demostrarlo, deberíamos plantear las leyes de Newton, que rigen la evolución del sistema en cuestión, y ver si la onda plana resulta ser solución de las ecuaciones diferenciales dinámicas. Este proceso debe repetirse para cada sistema físico particular (cuerdas, aire, sólidos, etc.). En esta guía no resolveremos ningún sistema físico, simplemente haremos un tanteo matemático para conocer que pinta pueden llegar a tener las ecuaciones diferenciales para que las ondas planas sean solución de ellas. Luego deberemos comprobar si las leyes de Newton nos llevan a ese tipo de ecuaciones o no, para algún sistema físico. El tanteo, es una herramienta muy utilizada en física, pero no existen reglas fijas para tantear, es un procedimiento puramente intuitivo y casi mágico. Tanteemos: Sabemos que cualquier función de onda cuya dependencia funcional con el tiempo y la posición es del tipo,

) (),( tvxftx ±=Ψ (Onda plana) 4-18


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donde )(xf es una función continua y dos veces derivable, puede representar la evolución de una onda plana que se propaga en una única dirección sin deformación. Pensando en la segunda ley de Newton F mx= &&, queremos construir (inventar) una ecuación diferencial de segundo orden, de tal forma que la onda plana sea solución de ella. Notamos que la función de onda no depende arbitrariamente de la posición y del tiempo, sino que su dependencia funcional es muy particular, la posición y el tiempo aparecen siempre acoplados en la forma x vt± . Esto nos lleva a intuir que las derivadas parciales de la función de onda respecto de la posición están relacionadas con las derivadas parciales respecto del tiempo. En este sentido, demostraremos que la función de onda satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales:

∂∂

∂∂

Ψ Ψ( , ) ( , )x tx v

x tt

= ± 1 4-19

Esto último puede demostrarse fácilmente apelando a la regla de la cadena. Si definimos una nueva variable,

z x vt= ± 4-20

entonces, aplicando la regla de la cadena,

( ) ( ) ( )∂Ψ∂

∂Ψ∂

∂∂

∂Ψ∂

x tx

x tz

zx

x tz

, , ,

= = 4-21

ya que ∂∂

zx= 1. E igualmente,

( ) ( ) ( ) ( )∂Ψ

∂∂Ψ∂

∂∂

∂Ψ∂

x tt

x tz

zt

x tz

v t, , ,

= = ± 4-22

ya que ∂∂

zt

v t= ± . Luego, a partir de despejar ( )∂Ψ

∂x t

z,

de las ecuaciones 4-21 y 4-22 e

igualarlas, se demuestra que se satisface la ecuación 4-19. Hemos demostrado que las ondas planas son una de las posibles soluciones de la ecuación diferencial en derivadas parciales 4-19, pero no sabemos si existen más soluciones. La ecuación diferencial en derivadas parciales 4-19 es muy linda pero no nos sirve, ya que no es de segundo orden como la segunda ley de Newton. Por ello


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seguimos tanteando, pero intuimos que no nos va a costar mucho obtenerla si repetimos el procedimiento anterior. Queda como ejercicio para el lector demostrar que cualquier función de onda cuya dependencia funcional con el tiempo y la posición sea del tipo,

) (),( tvxftx ±=Ψ (onda plana)

donde )(xf es una función continua y dos veces derivable (representa la evolución de una onda plana que se propaga en una única dirección y sin deformación), satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales lineal y de segundo orden:

∂∂

∂∂

2

2 2

2

2

1Ψ Ψ( , ) ( , )x tx v

x tt

= (Ecuación lineal de ondas) 4-23

Note que, a diferencia de la ecuación 4-19, la ecuación 4-23 es la misma para

ondas planas que se propagan hacia la derecha o hacia la izquierda. La demostración de que una onda plana satisface la ecuación 4-23 no difiere de lo que hemos usado para demostrar la ecuación 4-19 (queda como ejercicio para el lector). La ecuación 4-23 es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, por lo cual, podría llegar a ser la ecuación dinámica de algún sistema físico (unidimensional), pero aún no tenemos ningún argumento para asegurarlo. Ejercicio Importante: Demuestre que las ondas planas ( ) ( )Ψ1 x t A kx t, sen= − + ω δ y

( ) ( )Ψ2 x t A e, = − i kx t+ω δ satisfacen la ecuación de ondas 4-23. Comentario: Si la ecuación diferencial lineal de ondas 4-23, describiera los fenómenos ondulatorios de un sistema físico real, todas las ondas se propagarían con la misma velocidad v , independiente de su forma, su longitud de onda o frecuencia (medio no-dispersivo). Por ejemplo, si una onda se halla compuesta por la superposición de muchas ondas armónicas, de diferente longitud de onda, su forma no cambia en el tiempo debido a que todas las ondas avanzan con la misma velocidad. Si se propaga en un medio no lineal (medio dispersivo), la velocidad de propagación resulta distinta para cada onda, por lo cual, las componentes de distinta longitud de onda se dispersan, cambiando la forma de la onda total. Hasta ahora sólo hemos estudiado la representación matemática de ondas ideales que se propagan sin deformación en el espacio-tiempo, y no hemos estudiado aún si estas funciones matemáticas pueden servir para representar la evolución de un


158

sistema físico real. Es más, enfatizamos que hasta el momento, sólo hemos demostrado que toda onda plana, la cual puede ser descripta matemáticamente en la forma mostrada en la ecuación 4-19, satisface una ecuación lineal de ondas como la ecuación 4-23. Además, aún no sabemos si la ecuación lineal de ondas 4-23 tiene otro tipo de soluciones (tales como ondas esféricas y cilíndricas, que estudiaremos en el capítulo 8). Luego, en éste capítulo, estudiaremos sistemas físicos reales, como por ejemplo una cuerda oscilante, para los cuales la ecuación 4-23 resulta naturalmente como ecuación dinámica del sistema (luego de plantear las leyes de Newton y realizar algunas aproximaciones), es decir, en esos sistemas la ecuación 4-23 representa una forma complicada de escribir la segunda ley de Newton (F ma= ). Y por consiguiente, en esos sistemas (bajo ciertas aproximaciones), las ondas planas que hemos estudiado, sirven como representación matemática de la evolución dinámica del sistema físico real. En la generalidad de los sistemas físicos reales, luego de plantear las leyes de Newton, se obtienen ecuaciones de ondas como la 4-23, sólo luego de haber considerado alguna aproximación o modelo ideal, ya que, en general en los sistemas físicos reales las ondas se deforman mientras evolucionan (sistemas dispersivos). Las aproximaciones generalmente consisten en considerar ondas de pequeña amplitud de tal forma que puedan despreciarse los términos no-lineales de las ecuaciones dinámicas. En el caso de las ondas electromagnéticas (por ejemplo, las ondas de luz), la ecuación lineal de ondas 4-23 se deduce directamente, y sin ninguna aproximación, de las leyes del electromagnetismo (leyes de Maxwell). Por sólo este hecho, la ecuación lineal de ondas 4-23 resulta de fundamental importancia en la física.

Linealidad de la ecuación de ondas: La ecuación de ondas 4-23 es lineal, y la propiedad más importante de las ecuaciones lineales es que vale el principio de superposición, es decir, si Ψ1 ( , )x t y ),(2 txΨ son soluciones de la ecuación, la combinación lineal:

),( ),( ),( 213 txbtxatx Ψ+Ψ=Ψ

es también solución, donde a y b son constantes.

Ejercicio: Queda como ejercicio para el lector demostrar que Ψ3 ( , )x t satisface la ecuación lineal de ondas. ¿Cuál es el significado físico de que Ψ3 ( , )x t sea solución de la ecuación?.


159

Comentario: Para entender lo que significa que la ecuación de ondas sea lineal, podemos pensar en el ejemplo de dos ondas que se propagan en un medio (por ejemplo el agua), una hacia la derecha y otra hacia la izquierda. En un momento las ondas se superponen. Si el medio es lineal las ondas cuando se separan continúan moviéndose imperturbadas, la superposición no produjo ningún cambio en ellas, es como si no hubieran interactuado para nada entre sí. En cambio si el medio es no-lineal (como en realidad sucede con el agua), entonces la superposición de las ondas afecta a ambas, existe una interacción entre ellas que las modifica. Otro ejemplo que luego analizaremos en detalle, es el de dos parlantes emitiendo simultáneamente la misma onda. Si sólo el parlante número 1 se halla encendido, la onda sonora se describe por una función de onda Ψ1 ( , )x t (que representa la variación de presión o densidad del aire). Si se apaga el parlante 1 y se enciende el 2 obtenemos otra onda que denominamos Ψ2 ( , )x t . Finalmente prendemos los dos parlantes a la vez, la pregunta del millón es ¿La onda resultante, de la superposición de las perturbaciones producidas por ambos parlantes, puede modelarse por la suma de las ondas 1Ψ y 2Ψ ?, es decir, ¿la función de onda Ψ Ψ Ψ3 1 2( , ) ( , ) ( , )x t x t x t= + describe correctamente el problema físico?. La respuesta es: no necesariamente. Resulta difícil creerlo, sobre todo teniendo en cuenta nuestra educación tradicional que nos estructura a actuar sistemáticamente, estamos acostumbrados a pensar que “si se suman dos causas, entonces, se suman sus consecuencias”, lo cual en la mayoría de los casos es incorrecto. Ésta frase es sólo cierta si el problema que analizamos puede modelarse por una ley dinámica lineal, que en la mayoría de los casos no sirve para representar la realidad. Ondas en el espacio: La ecuación 4-23 describe la evolución en el tiempo de una onda, no dispersiva, que se propaga en una dimensión (eje x). En el caso de ondas que se propagan en el espacio (ondas tridimensionales), la ecuación de ondas debe modificarse. Las ondas planas son la única solución de la ecuación de ondas unidimensional 4-23, pero cuando aumentamos la dimensión del espacio aparecen nuevas soluciones que representan otro tipo de ondas no-dispersivas. Por ejemplo, si tenemos un recipiente con agua y, en algún punto de la superficie, agitamos suavemente, hacia arriba y hacia abajo, vemos como se producen ondas bidimensionales, que se propagan por la superficie del fluido, formando círculos concéntricos. Al golpear con un palillo el parche de un tambor, o una superficie delgada metálica, generamos ondas bidimensionales, la propagación de estas ondas superficiales, a su vez, genera vibraciones en el aire circundante, que


160

luego se traducen en ondas acústicas tridimensionales, las cuales seguramente no se propagan como ondas planas en las inmediaciones de la superficie. Si consideremos una fuente puntual de luz, como una lámpara muy pequeña, la radiación que emana de ella lo hace en forma de ondas tridimensionales que se propagan isotrópicamente por todo el espacio denominadas ondas esféricas. Por el momento, sólo estudiaremos fenómenos ondulatorios unidimensionales, y postergamos el estudio de ondas en el espacio al Capítulo 8. 4-8. Guía Teórica. Pequeñas oscilaciones transversales en una cuerda:

En está guía estudiaremos la propagación de ondas transversales en una cuerda. Plantearemos las leyes de Newton que rigen la evolución dinámica del sistema, y luego de hacer una aproximación, comprobaremos que la ecuación dinámica resulta equivalente a la ecuación de ondas lineal (ec. 4-23, guía teórica 4-7 ), y por consiguiente podremos describir a la onda mediante una función de ondas no-dispersiva (bajo ciertas aproximaciones), como las estudiadas anteriormente. Analizaremos la aproximación de pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio, con lo cual resulta posible despreciar los términos no-lineales de las ecuaciones dinámicas, y de esta forma, obtener una ecuación de ondas lineal. Fuera de esta aproximación, la ecuación dinámica resulta no-lineal y por consiguiente las ondas se deforman en su propagación. Denominamos ),( txΨ a la función que describe el desplazamiento del segmento de la cuerda ubicado en la posición x, en el instante t, ver figura 4-6,

Suponemos que la cuerda posee una masa por unidad de longitud μ y consideramos que en el equilibrio, la cuerda posee una tensión F0 (cuando no se halla perturbada).

x x

y=Ψ(x,t)

Figura 4-6: “Foto” de la cuerda a tiempo fijo


161

Con el fin de estudiar la evolución dinámica de la cuerda, debemos analizar las fuerzas actuantes en cada segmento de ella (tensiones elásticas). En la figura 4-7 se ha aislado un segmento de cuerda, de longitud Δx .

Don de F1 y F2 son las tensiones a la que se halla sometida la cuerda en los puntos 1 y 2, cuando se la aparta de su equilibrio. Como dijimos, estudiaremos sólo pequeñas oscilaciones, es decir, consideramos que la cuerda se aparta muy levemente de su posición de equilibrio, por consiguiente, suponemos que los ángulos θ1 y θ2 son muy pequeños. A partir del gráfico, planteamos la fuerza neta sobre el segmento de cuerda,

F F Fy =∑ −2 2 1 1sen senθ θ y F F Fx =∑ −2 2 1 1cos cosθ θ 4-24

Para pequeñas oscilaciones (θ muy pequeño), podemos aproximar que,

cos sen tgθ θ θ≅ ≅1 y (aproximación lineal) 4-25

y tomar la aproximación de que la tensión de la cuerda no se ha modificado por la aparición de la perturbación, es decir,

F F F1 2 0= = (aproximación lineal) 4-26

Bajo ésta aproximación, podemos reescribir la fuerza neta, sobre el segmento de cuerda, en la siguiente forma,

( )F Fy = −∑ 0 2 1tg tgθ θ y Fx∑ = 0 4-27

Observe que la función tangente puede relacionarse con la función ),( txΨ , a través de,

tg,

θ∂∂

∂∂

= =( )

( )

y xx

x txΨ

4-28

F1

F2

ΔxΔy

θ1

θ2

Figura 4-7: Fuerzas actuantes sobre un segmento de cuerda.


162

con lo cual, podemos reescribir a la resultante de las fuerzas en la dirección transversal (ec. 4-27) como,

F Fx xy∑ =⎞⎠⎟ −

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

2 1

∂∂

∂∂

Ψ Ψ 4-29

Si estudiamos el límite cuando Δx tiende a cero, entonces,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂

x

x 2

Ψ ΨΔ

Ψ Ψ

ΔΔ

ΨΔx x

xx x

xx

⎞⎠⎟ −

⎞⎠⎟ =

⎞⎠⎟ −

⎞⎠⎟

⎯ →⎯⎯⎯→2 1

2 10

2

4-30

Con lo cual la fuerza total en la dirección transversal resulta,

F x Fxy∑ = ΔΨ

2

0 2

∂∂

4-31

Ahora podemos plantear la ecuación de Newton para ese tramo de cuerda. La masa del elemento de cuerda es,

m x= μ Δ 4-32

ya que μ es la masa por unidad de longitud. Por consiguiente la ecuación de Newton ( maF = ) resulta,

F x Fx

mt

xty∑ = = =Δ

Ψ Ψ Ψ

2 2 2

0 2 2 2

∂∂

∂∂

μΔ∂∂

4-33

o equivalentemente:

( ) ( )∂∂

μ ∂∂

2 2

Ψ Ψx t

x Fx t

t, ,

20

2= 4-34

La ecuación 4-34 rige la evolución dinámica de la cuerda, para oscilaciones

transversales de pequeña amplitud (no longitudinales), ha sido obtenida a partir de plantear las leyes de Newton, y vemos que resulta completamente equivalente a la ecuación lineal de ondas, que hemos estudiado anteriormente basándonos solamente en ideas matemáticas.


163

Ésta equivalencia entre las ecuaciones diferenciales, sólo se cumple en la aproximación de pequeñas oscilaciones transversales de la cuerda (aproximación lineal). Comparando la ecuación de ondas 4-34 con la ecuación lineal de ondas, obtenida en la guía teórica 4-7 (ec. 4-23),

( ) ( )∂∂

∂∂

2 2

Ψ Ψx t

x vx t

t, ,

2 2 2

1= 4-35

podemos obtener la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda, es decir,

vF

= 0

μ 4-36

De la ecuación 4-36, concluimos que la velocidad de propagación aumenta cuando aumenta la tensión de la cuerda, o cuando más liviana es ésta. Comentario: Note que, en la aproximación de pequeñas oscilaciones (ondas no dispersivas), la velocidad no depende de la forma de la onda ni de la frecuencia de oscilación ni de la longitud de onda, característica de los medios lineales (no-dispersivos). En el caso general, la velocidad de propagación depende de la frecuencia de la onda, por lo cual, las ondas se dispersan. Una vez estudiada la dinámica del sistema, conociendo las condiciones iniciales de la perturbación ondulatoria, resulta posible obtener la función de onda ( )Ψ x t, , lo cual haremos luego en el caso simple en que la oscilación es armónica.

Energía e impulso de la onda: Conocida la función de onda, resulta posible obtener otras magnitudes físicas que permiten mejorar nuestra comprensión del fenómeno físico, tales como la cantidad de movimiento y la energía transportada por la onda. Para estudiar la energía transportada por la onda, primero debemos estudiar la energía potencial elástica correspondiente al segmento de cuerda, de longitud xΔ , afirmamos, sin demostrarlo (ver discusión a partir de la ec. 4-38 ), que puede expresarse como,

( ) 2

0 x,

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂Δ=Δ txxFE p , 4-37


164

Note que la hemos notado como pEΔ y no pE , lo hemos hecho así para enfatizar el hecho de que se trata de la energía potencial elástica de sólo un segmento de cuerda

xΔ . A pesar de ser una energía potencial de origen elástico, semejante a la de un resorte, la expresión 4-37 es complicada debido a que la cuerda se halla en una dirección oblicua respecto de los ejes x e y, y además porque no podemos hacer una semejanza directa con un resorte sin masa, como los que hemos estudiado en capítulos anteriores, ya que la cuerda tiene masa.

Saltear en una primera lectura Si reordenamos un poco la expresión 4-37, vemos que posee la forma de una energía potencial elástica,

220

2

0 ),(

21

),(

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂Δ

Δ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂Δ=Δ

xtxx

xF

xtxxFE p 4-38

donde observamos que,

( )Δ Δ Δx

x tx

x y22

2 2 2 ∂Ψ

∂θ

,tg

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ≈ (relación entre catetos opuestos) 4-39

por lo cual, reescribiendo 4-38,

220 21

21 yky

xF

E p Δ=ΔΔ

=Δ 4-40

donde x

Fk

Δ= 0 cumple el papel de constante elástica (para oscilaciones transversales), vemos que

la expresión 4-40 nos resulta mucho más familiar. La expresión 4-37 puede hallarse analíticamente sabiendo que el potencial debe satisfacer,

fijo=t

yE

F py ∂

∂−= 4-41

donde yF es la fuerza resultante que el segmento de cuerda le hace al exterior. Note que en la

ecuación 4-31 hemos calculado la fuerza que el exterior le hace al segmento, ambas fuerzas son iguales en modulo y dirección pero de sentido opuesto.


165

Si usamos la regla de la cadena, verificamos a partir de 4-41 la expresión de la energía potencial 4-37,

( )( ) ( )

2fijo=t x

x

∂Ψ∂

∂Ψ∂Δ

∂Ψ∂

−=∂Δ∂

∂∂−=

∂Δ∂

−= txtxxF

xtxx

Eyx

yE

F ppy

,,,

1 2

0 4-42

entonces,

( )2

2

0 x,

∂Ψ∂Δ−= txxFFy 4-43

Note la diferencia de signo entre la ecuación 4-43 y la 4-31, como dijimos, mientras que la 4-31 se refiere a las fuerzas externas al segmento, la 4-43 se refiere a la fuerza que el segmento le hace al exterior.

Retomar La energía cinética, de un segmento xΔ de cuerda, la calculamos a partir de la función de onda como,

2

t),(

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂Δμ=Δ txxEc 4-44

donde

),( y t

txv∂Ψ∂= es la velocidad transversal del segmento de cuerda.

Conociendo la energía potencial elástica y la energía cinética, podemos calcular la energía mecánica de un segmento de cuerda xΔ , sumando la energía potencial pEΔ con la energía cinética cEΔ ,

2

0

2

x),(

21

t),(

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂Δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂Δμ=Δ+Δ=Δ txxFtxxEEE pc , 4-45

En la guía teórica 4-7 (ec. 4-19), hemos demostrado que las ondas planas de propagación ( ) (),( tvxftx ±=Ψ ), satisfacen la relación,

∂∂

∂∂

Ψ Ψ( , ) ( , )x tx v

x tt

= ± 1 4-46


166

A partir de la expresión de la energía 4-45 y la igualdad 4-46, puede hallarse una expresión más compacta para la energía mecánica total de un segmento xΔ , la cual es sólo válida para ondas de propagación no dispersivas (verifique),

2

t),( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂Δμ=Δ txxE (sólo válida para ondas de propagación no-dispersivas) 4-47

En la ecuación 4-47, hemos hallado la energía de un segmento xΔ de cuerda, a partir de ella, podemos definir una densidad lineal de energía ε (energía por unidad de longitud), en la forma,

2

t ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂μ=

ΔΔ=ε

xE 4-48

Para el caso de una onda de propagación armónica, es decir,

( )Ψ( , ) senx t A kx t= −ω ,

la densidad de energía resulta (verificar):

)(cos )( 222 tkxAt ω−ωμ=ε (para ondas de propagación armónicas) 4-49

Comentario: Note que la densidad de energía de la onda es proporcional al cuadrado de la frecuencia y de la amplitud. Éste resultado resulta razonable, ya que a mayor frecuencia, mayor resulta la velocidad con que se mueven los segmentos de la cuerda, y además, la longitud de onda resulta menor lo que indica que la cuerda está muy flexionada y, por consiguiente, resulta alta la energía elástica almacenada. Como ya hemos anticipado, se obtienen resultados semejantes en muchos sistemas físicos, distintos de la cuerda. Note que la densidad de energía no se mantiene constante en el tiempo (varía como el )(cos2 tω ). En muchos casos de interés, resulta más importante conocer el valor medio de la densidad de energía, sobre un período T, más que su valor instante a instante (ver definición de Intensidad de una onda en el Capítulo 8). En el caso de una onda armónica, el valor medio de ε resulta (verifique),

22

0

21 )( 1)( Adtt

Tt

T

ωμ=ε=ε ∫ 4-50


167

El impulso lineal correspondiente al segmento de cuerda, de longitud Δx , podemos calcularlo como el producto de la masa del segmento de cuerda por la velocidad transversal de la cuerda, es decir:

t),(

∂Ψ∂Δμ=Δ txxp (impulso lineal transversal) 4-51

Comentario: Para estudiar la propagación de ondas en diferentes sistemas físicos, primeramente debe realizarse un estudio dinámico, como el que hemos realizado para el caso particular de la cuerda, con el fin de encontrar la ecuación dinámica que rige la evolución del sistema. En muchos sistemas físicos, en la aproximación de pequeñas oscilaciones, la ecuación dinámica resulta ser equivalente a la ecuación lineal de ondas 4-35. Seguidamente mostramos algunos resultados obtenidos para la velocidad de propagación de ondas, en la aproximación de pequeñas oscilaciones, para diferentes sistemas físicos:

• Ondas transversales en una cuerda vF

T = 0

μ, donde F0 es la tensión de la

cuerda y μ es la masa por unidad de longitud de la cuerda.

• Ondas longitudinales en una barra maciza ρ

= YvL , donde ρ es la densidad de

masa del sólido e Y es una constante denominada módulo de Young. El módulo de Young es una constante que depende de cada material y es el

resultado del cociente entre la tensión de tracción que sufre el material (o esfuerzo normal) y la deformación longitudinal. Para pequeñas deformaciones la deformación resulta proporcional a la tensión y la constante de proporcionalidad es Y (ley de Hook).

• Ondas transversales en una barra maciza ρ

= GvT , donde ρ es la densidad de

masa del sólido y G es una constante denominada módulo de torsión. El módulo de torsión es una constante que depende de cada material y es el

resultado del cociente entre la tensión de torsión o cizalladura que sufre el material y la deformación transversal. Para pequeñas deformaciones la deformación resulta proporcional a la tensión y la constante de proporcionalidad es G (ley de Hook).


168

• Ondas transversales en un resorte masivo μ−

=)0llk

vT(

, donde k es la

constante elástica del resorte, l y 0l son las longitudes deformada y no deformada del resorte y μ es la masa por unidad de longitud.

• Ondas longitudinales en un resorte μ

= 0lkvL

, donde k es la constante elástica

del resorte y μ es la masa por unidad de longitud del resorte. • Ondas sonoras (longitudinales) en un gas (aire). Para estudiar este sistema

debemos basarnos en estudios termodinámicos. Se obtiene que la velocidad del

sonido, en un gas, es MRTvsγ= , donde T es la temperatura absoluta, en

grados Kelvin, M es la masa molar del gas, es decir la masa de un mol de gas (para el aire molkgM /10 29 3−= ), KmolJouleR o ./314,8= es la constante universal de los gases, y γ es una constante que depende de cada gas, para el aire vale 4,1=γ .

De la expresión anterior vemos que la velocidad del sonido depende de la temperatura del medio, para el aire, a CKT oo 20 293 ≡= , la velocidad del sonido es seg

msv 343≅ .

• Ondas electromagnéticas, la velocidad de la luz en el vacío es

segkmc 3000001

00

≅εμ

= , donde 0ε y 0μ son los coeficientes de permeabilidad

eléctrica y magnética respectivamente. • Etc.

4-9. Una cuerda de piano de acero tiene 0 7, m de longitud y una masa m g= 5 . Se tensa mediante una fuerza de 500N . ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas transversales en el hilo?.

4-10. Guía Teórica. Potencia, Energía e impulso transmitido por las ondas, en una cuerda:

En esta guía vamos a estudiar la energía e impulso transportados por una

onda, para el ejemplo particular de ondas transversales propagándose en una cuerda, pero algunas de las conclusiones que obtendremos resultan válidas en otros sistemas


169

físicos, como por ejemplo, la dependencia de la energía con el cuadrado de la frecuencia de oscilación, en el caso de las ondas armónicas. Supongamos que tenemos una cuerda estirada desde x = 0 hasta infinito (infinito significa suficientemente larga), de masa por unidad de longitud μ y tensión en equilibrio igual a F0 . En x = 0 la cuerda se encuentra unida a un dispositivo que le entrega energía e impulso obligando a que el desplazamiento transversal de la cuerda, en x = 0 en un primer momento, sea el que se muestra en la figura 4-8. Energía entregada a la cuerda: Como vemos en la figura 4-8, en un primer instante Δt sólo un segmento Δx de la cuerda participa del movimiento. En la guía teórica 4-8 (ec. 4-47) hemos encontrado que la energía del segmento de cuerda es:

2

t ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂Δμ=Δ xE (para ondas de propagación no dispersiva) 4-52

La relación entre Δx y Δt resulta fácil de obtener si conocemos la velocidad con que se propaga la onda, en un tiempo Δt la onda se ha propagado una distancia Δ Δx v t= , por consiguiente, podemos aproximar la energía entregada en un tiempo Δt a la cuerda como:

2

t ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂Δμ=Δ tvE 4-53

Cada Δt el transmisor entrega a la cuerda esta cantidad de energía. Potencia entregada a la cuerda: Con esta última expresión podemos calcular la potencia entregada por el transmisor, como,

2

0 t

)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂μ=

ΔΔ=

∂∂=

→Δv

tE

tEtP lim

t 4-54

Δx

F

θ

Figura 4-8: Segmento de cuerda impulsado desde la izquierda.


170

Potencia entregada en el caso de una onda armónica: Para el caso de una onda de propagación armónica, es decir,

( )Ψ( , ) senx t A kx t= −ω ,

la potencia entregada por el transmisor (en x = 0) resulta (verificar):

P t A v t( ) cos ( )= μ ω ω 2 2 2 (para ondas de propagación armónicas) 4-55 Valor medio de la potencia entregada: Para el caso armónico, podemos hallar la potencia media entregada por el transmisor promediando sobre un período T, es decir

P tT

P t dtT

( ) ( )= ∫1

0

, obteniendo (verifique)

P t A v( ) =12

2 2μ ω 4-56

Comentario: La potencia P t( ) emitida en x = 0 por el transmisor, en forma de ondas de propagación, es igual a la cantidad de energía por unidad de tiempo que viaja en la dirección x+ en cualquier punto x que se considere. Uno puede convencerse que esto es así, pensando que cada punto x considerado tiene un dispositivo transmisor que corresponde a la sección de la cuerda que está a su izquierda y por ende los cálculos que hemos hecho se repiten idénticamente. Energía total de la onda: La energía total de la onda de propagación después de un tiempo t de iniciada la propagación, que por supuesto concuerda con la energía entregada por el transmisor durante ese tiempo, podemos calcularla integrando la potencia entregada durante el tiempo t de emisión del transmisor, es decir

E P t dtt

= ′ ′∫ ( ) 0

, obteniéndose:

E A v t t=⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

2 2μωω

ω ω t +1

sen( ) cos( ) 4-57

(para verificarlo use la igualdad cos sen cos2 12

12∫ = +x dx x x x ).


171

Impulso lineal (transversal): Ahora queremos hallar el impulso lineal transversal entregado a la cuerda por el transmisor. En el guía teórica 4-8 (ec. 4-51) ya hemos probado que el impulso lineal de un segmento de cuerda es:

t ∂Ψ∂Δμ=Δ xp 4-58

usando que Δ Δx v t= , entonces el impulso entregado a la cuerda durante un intervalo Δt lo podremos aproximar por:

t ∂Ψ∂Δμ=Δ tvp 4-59

Fuerza que realiza el transmisor sobre la cuerda (en la dirección transversal): De la expresión anterior podemos hallar la fuerza transversal ejercida por el transmisor, como:

t )(

0t ∂Ψ∂μ=

ΔΔ==

→Δv

tp

limtdpdtFy 4-60

Suponiendo que la velocidad de propagación es constante, y la onda plana se propaga hacia la derecha, entonces Ψ Ψ( , ) ( )x t x v t= − , y ya demostramos en la guía teórica 4-7 que cumple,

∂∂

∂∂

Ψ Ψt

vx

= − y vF

= 0

μ,

verifique entonces que:

x

x )( 0

2

∂Ψ∂−=

∂Ψ∂μ−= FvtFy 4-61

donde )(tFy es la fuerza que el transmisor le hace a la cuerda en x = 0. Sin embargo, esta expresión resulta válida para cualquier punto x de la cuerda, y corresponde a la fuerza que le hace el resto de la cuerda al extremo izquierdo del segmento considerado. Podemos pensar que dado un segmento de cuerda ubicado en la


172

posición general x , sobre él se ejerce una fuerza )(tFy debida a un dispositivo transmisor que corresponde a la sección de la cuerda que está a su izquierda. Note que en esta última expresión vemos que la pendiente de cada segmento de cuerda está relacionada con la fuerza transversal que ejerce el transmisor sobre el extremo izquierdo del segmento de cuerda considerado. La expresión 4-61 puede obtenerse también analizando la figura 4-8. Si consideramos pequeñas oscilaciones (θ pequeño) la fuerza, en la dirección y , que el dispositivo le hace a la cuerda en el punto de contacto, resulta ser:

F F F Fy = ≈ = −sen tgθ θ∂∂0 0

xΨ

. 4-62

que concuerda con la expresión hallada en el ítem anterior. Verifique que es posible reobtener la potencia entregada por el transmisor usando que P t F vy y( ) .= . Comentario: Note que la expresión 4-60, nos dice que la fuerza transversal es

proporcional a la velocidad transversal del segmento de cuerda ∂∂ tΨ

, este hecho en

un principio parece resultar contradictorio con la segunda ley de Newton, pero esto no es así. Lo que sucede es que en una cuerda la masa que participa en el movimiento va aumentando con el tiempo (masa variable), esto puede verse en la expresión 4-59, donde vemos que el impulso de la onda aumenta linealmente con el aumento del tiempo, ya que aumenta linealmente la masa participante en el movimiento. 4-11. (Recomendado). Con la ayuda de un diapasón, uno de los extremos de una cuerda de 6 metros de largo se mueve hacia arriba y abajo con un movimiento armónico simple de frecuencia 60Hz . Las ondas alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0 5, segundos. a) Halle la velocidad de propagación de la onda. Resp. v m seg=12 / . b) Hallar la longitud de onda de las ondas que se propagan en la cuerda. Resp.

λ = 0 2, m. c) Si la amplitud de oscilación es de 0 02, m , halle la función de onda Ψ( , )x t

correspondiente (tome δ = 0). Resp. ( )Ψ( , ) , senx t x t metros= −0 02 10 120 π π . d) Importante. Analice a la expresión anterior y verifique que aunque todas las

partículas de la cuerda oscilan con la misma frecuencia, no lo hacen con la misma fase (no es un modo normal). Justifique.


173

e) Importante. ¿Cuál es la diferencia de fase entre la oscilación de la cuerda en x = 0 y x m= 0 2, ?.

f) Hallar la velocidad y la aceleración de una partícula de la cuerda que se encuentra en la posición x m= 0 1, en el instante t seg=1 .

g) Si la cuerda tiene una masa m g=1 halle la tensión F0 . Resp. F N0 0 024= , . h) Halle la energía mecánica que posee la cuerda en un segmento muy pequeño xΔ

cualquiera de la cuerda (depende de la posición y del tiempo). i) Halle la cantidad de movimiento transversal que posee la cuerda en un segmento

muy pequeño xΔ cualquiera de la cuerda (depende de la posición y del tiempo). j) Halle el valor medio de la densidad de energía de la onda. k) Halle la fuerza transversal que hace el diapasón al principio de la cuerda (depende

del tiempo). l) Halle la potencia entregada por el diapasón. m) Escriba la función de onda como la parte real de una onda armónica compleja. 4-12. (Recomendado). La velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda tensa es v m seg= 10 / .. Suponiendo que el desplazamiento transversal en x = 0 (principio de la cuerda) puede describirse por:

( )Ψ( , )

,x t

t t metros para t segpara los restantes t

= =− ≤ <⎧

⎨⎩

00 1 0 10

2 3

a) Halle la función de onda para todo x y todo t . Ayuda: tenga cuidado con los

intervalos. b) Representar gráficamente el desplazamiento transversal en función del tiempo en

x = 0. c) Representar gráficamente el desplazamiento transversal en función de x en t seg= 1 . d) ¿Cuál es la expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo en

x m= 10 ?. e) ¿Cuál es la velocidad transversal de la cuerda en x m= 10 y t seg= 15, ?. f) ¿Cuál es la pendiente de la cuerda en x m= 10 y t seg= 15, ?. g) Si la masa por unidad de longitud de la cuerda es μ = 2g cm/ , ¿cuál es la fuerza

transversal al principio de la cuerda? h) ¿Cuál es la cantidad de movimiento transversal total del pulso ondulatorio cuando

recorre la cuerda? i) ¿Cuál es la energía total transportada por el pulso ondulatorio?.


174

4-13. (Recomendado). Supongamos que una fuente de potencia (diapasón) emite una onda armónica transversal de frecuencia f Hz= 200 y amplitud 1mm, por uno de los extremos de una cuerda de 10 metros de largo, 0 06, kg de masa y 60N de tensión de equilibrio. Suponiendo que la onda se extrae del otro extremo sin ninguna reflexión, a) Halle la velocidad de propagación de la onda. Resp. v m seg=100 / b) Halle el tiempo durante el cual la fuente de potencia estuvo emitiendo, hasta que

la onda llegó al otro extremo. Resp. t seg= 0 1, .

c) Halle la potencia media entregada por la fuente. Ayuda: P t A v( ) = 12

2 2μ ω

d) Halle el valor medio de la densidad de energía de la onda. e) Halle la energía total entregada por la fuente hasta el momento en que la onda

llega al otro extremo. f) Halle el impulso lineal transversal total entregado a la cuerda hasta el momento en

que la onda llega al otro extremo. 4-14. (Recomendado). En el año 1997, debido a problemas técnicos detectados en el puente de Salto Grande, los ingenieros midieron la tensión a que estaban sometidos los tensores que sostienen al puente. Proponga un método simple para medir la tensión. 4-15. Guía Teórica. Reflexión y Transmisión:

La reflexión de las ondas nos resulta conocida, desde un punto de vista cualitativo, por hechos tales como el eco de una onda sonora, o la reflexión en un muelle de una onda que se propaga por la superficie del agua, o por el reflejo de una onda luminosa. La reflexión de una onda en una cuerda nos resulta menos familiar, pero es un ejemplo particularmente simple de estudiar, y además sabemos que se trata de un medio que, para pequeñas oscilaciones, resulta no dispersivo, es decir, las ondas conservan su forma. Por esta razón, comenzaremos estudiando el tema aplicado a la propagación de ondas transversales en una cuerda, como prototipo del fenómeno, y en otro capítulo lo haremos en el caso de las ondas luminosas. Si se fija a una pared un extremo de una cuerda tensa (larga), y se le da al otro extremo un impulso transversal, el pulso ondulatorio se propaga hasta llegar a la pared y, puede verse que (haga la experiencia), se refleja sin variación apreciable de


175

su forma y amplitud. No obstante, los sentidos del desplazamiento y de la velocidad de las partículas se han invertido, ver figura 4-9.


176

Note que, mientras en la onda incidente, al pasar el pulso las partículas de la

cuerda se levantan para luego volver a su posición de equilibrio, en la onda reflejada, las partículas bajan y luego vuelven a su posición de equilibrio. Este fenómeno, se explica simplemente a partir de considerar la conservación de la energía y la cantidad de movimiento y, como veremos, no resulta distinto de lo que sucede cuando una pelota choca contra una pared. Aunque no parezca tan intuitivo, también se produce reflexión en la unión de dos cuerdas que poseen masas por unidad de longitud diferentes μ1 y μ2 (medios distintos), ver figura 4-10.

El caso de la pared corresponde a un caso límite, en donde la masa por unidad de longitud del segundo medio resulta infinita μ2 =∞ . Si μ2 deja de ser infinita, pero se mantiene grande respecto de μ1 (μ μ1 2< ), veremos que, la intensidad del pulso reflejado disminuye, y también observaremos la aparición de una onda de pequeña amplitud que se transmite por el medio 2. Comprobaremos que la onda transmitida no se invierte respecto de la onda incidente, como sucede con la onda reflejada, es decir, los sentidos de desplazamiento de las partículas resultan los mismos que en la onda inicial. Comprobaremos también que, a medida que disminuimos μ2 , el pulso reflejado disminuye su amplitud, mientras que aumenta la amplitud del pulso transmitido. Cuando las masas por unidad de longitud se igualan μ μ1 2= (no existe interfase, los dos medios son idénticos), entonces desaparece la onda reflejada (se anula su amplitud) y toda la onda se transmite.

v

Incidente

-v

Reflejado

Figura 4-9: Onda incidente y reflejada sobre una pared. Al reflejarse la onda, las partículas bajan en lugar de subir (para luego subir en lugar de bajar).

x=0μ1 μ2

Figura 4-10: Cuerda con densidad de masas distintas a izquierda y a derecha de x=0


177

Mostraremos después que, si disminuye aún más la masa de la segunda cuerda (μ μ1 2> ), se obtiene de nuevo una onda reflejada, pero a diferencia de los casos anteriores, el pulso reflejado no se invierte, es decir, los sentidos de desplazamiento de las partículas resultan los mismos que en la onda inicial. La onda transmitida permanece, en todos los casos, sin inversión respecto de la onda incidente. Para entender mejor el problema vamos a estudiar la reflexión y transmisión de un pulso ondulatorio cuando alcanza la unión de dos cuerdas de masas por unidad de longitud diferentes μ1 y μ2 respectivamente, ver figura 4-12. La tensión es F0, igual para ambas partes de la cuerda, por ende las velocidades de propagación de las ondas son distinta en cada tramo de cuerda,

v F1 0 1= / μ y v F2 0 2= / μ 4-63

De estas expresiones vemos que las ondas se propagan más rápido en el medio menos denso. Para simplificar el problema, consideremos que el pulso inicial tiene la forma indicada en la figura 4-11. En el pulso inicial (figura 4-11), hemos supuesto que todas las partículas poseen una misma velocidad transversal (por esta razón la forma del pulso es lineal),

utI =

∂Ψ∂

. 4-64

El pulso se propaga con una velocidad v1 por la cuerda, de masa por unidad de longitud μ1. Al llegar a la unión de las cuerdas (interfase), el pulso incidente se divide en un pulso reflejado y otro transmitido con velocidades transversales de las partículas uR y uT respectivamente, ver figura 4-12.

Δx1=v1 . Δt

uI v1

uI . Δt

x=0

Figura 4-11: Pulso de onda propagándose hacia la derecha. En este pulso, las partículas que forman la cuerda, se desplazan hacia arriba.


178

Note que el largo del pulso se modifica en el medio 2, debido a que la velocidad es distinta (ver figura 4-12). Si suponemos que el pulso incidente posee una duración temporal Δt , al atravesar la interfase, el pulso transmitido recorre una distancia Δ Δx t v2 2= . , mientras tanto el reflejado retrocede una distancia Δ Δx t v1 1= . . En la figura 4-12 hemos supuesto que el medio 2 es más denso, por lo cual la velocidad de propagación es menor y, por consiguiente, el pulso resulta más corto. El objetivo es determinar los valores de uR y uT en función de la velocidad uI de las partículas del pulso incidente, de tal forma de comprobar la validez del razonamiento cualitativo realizado anteriormente. Para ello plantearemos la conservación de la energía y del impulso en la unión de las cuerdas (interfase). Suponemos que el pulso es de pequeña amplitud, por lo cual podemos considerar que el medio es lineal (no dispersivo), y vale el principio de superposición. La masa involucrada en el pulso incidente y el reflejado es,

m x t v1 1 1 1 1= =μ μΔ Δ 4-65

mientras la masa involucrada en el pulso transmitido es,

m x t v2 2 2 2 2= =μ μΔ Δ 4-66 Usando las expresiones 4-53 y 4-59 de la guía teórica 4-10, podemos calcular el impulso y la energía mecánica total de cada pulso como (verifique),

Impulso del pulso Incidente p v u t I I= = μ1 1Δ 4-67

uT

-v1 v2

x=0 uR

Δx1 =Δt v1

Δx2 =Δt v2

Figura 4-12: Onda reflejada y transmitida. En el caso en que el tramo de cuerda de la derecha es más denso que el izquierdo, la onda reflejada obliga a las partículas a moverse en el sentido contrario (hacia abajo) del que tenían con la onda incidente, mientras que la onda transmitida las obliga a moverse en el mismo sentido (hacia arriba).


179

Impulso del pulso Reflejado p v u t R R= = μ1 1Δ 4-68

Impulso del pulso Transmitido p v u t T T= = μ 2 2Δ 4-69

Energía del pulso Incidente E v u t I I2= = μ1 1Δ 4-70

Energía del pulso Reflejado E v u t R R2= = μ1 1Δ 4-71

Energía del pulso Transmitido E v u t T T2= = μ 2 2Δ 4-72

Entonces planteando conservación del impulso, y simplificando Δt , obtenemos,

μ μ μ1 1 1 1 2 2v u v u v uI R T= + 4-73

y conservación de la Energía Mecánica:

μ μ μ1 1 1 1 2 2v u v u v uI2

R2

T2= + 4-74

Las ecuaciones 4-73 y 4-74 expresan que, parte de la energía e impulso del pulso inicial se refleja, mientras que otra parte se transmite. Estas dos ecuaciones son suficientes para la determinación de las velocidades incógnitas uR y uT, hacer la cuenta y verificar que:

I

11

22

11

22

R 1

1u

vvvv

u

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

μμμμ

4-75

y,

uvv

uT I =+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

1 2 2

1 1

μμ

4-76

A partir de las expresiones halladas comprobaremos que el problema de la reflexión de ondas es semejante al choque elástico entre bolas (en una dimensión).


180

Analicemos distintos casos, supongamos, para simplificar el análisis, que uI > 0. Observando las ecuaciones 4-75 y 4-76 podemos concluir: • Si las cuerdas 1 y 2 fueran idénticas (μ μ1 2= ) entonces se cumple que,

uR = 0 y u uT I=

(verificar), es decir, todo el pulso se transmite y nada se refleja, como sucede en el choque elástico de una bola con velocidad uI y otra bola idéntica pero en reposo.

• Si la cuerda 1 fuera menos densa que la 2 (μ μ1 2< ), entonces se cumple que,

− < <u uI R 0 y 0 < <u uT I

(verificar), es decir, que la onda reflejada cambia, no sólo el sentido de propagación, sino que además cambia abruptamente el sentido de la velocidad transversal de las partículas, ya que uR cambia de signo respecto de la velocidad transversal del pulso incidente uI > 0 , ver figura 4-13.

Parecido a lo que sucede si una bolita con velocidad uI choca contra un bolón en reposo, la chiquita cambia su sentido y le entrega algo de su impulso y energía al bolón.

• En el caso límite en que la cuerda 2 tuviera masa infinita entonces,

u uR I= − y uT = 0

(verifique), la onda rebota completamente nada se transmite.

-v1

uT

v2

x=0 uR

Figura 4-13: Onda reflejada y transmitida. En el caso en que el tramo de cuerda de la derecha es más denso que el izquierdo, la onda reflejada obliga a las partículas a moverse en sentido contrario al que tenían con la onda incidente (hacia abajo), mientras que la onda transmitida las obliga a mover en el mismo sentido (hacia arriba).


181

• Si la cuerda 1 fuera más densa que la 2 (μ μ1 2> ) entonces,

0 < <u uR I y u uT I>

(verificar). En este caso la onda reflejada no cambia el sentido del movimiento transversal de las partículas ya que uR tiene el mismo signo que la velocidad transversal del pulso incidente uI > 0 , ver figura 4-14.

Comentario: Note que en los tres casos considerados siempre la onda transmitida mantiene el mismo sentido para el movimiento transversal de las partículas que la onda incidente, es decir, el signo de uT y uI concuerdan. 4-16. Impedancia. Usualmente se definen coeficientes de reflexión y transmisión de

las velocidades como uu

R

I y

uu

T

I, de 4-75 y 4-76 se desprende que estas cantidades

dependen únicamente de los productos z v1 1 1= μ y z v2 2 2= μ . A estos productos se les llaman comúnmente impedancias del medio 1 (z1) y del medio 2 (z2). Los coeficientes de reflexión y transmisión, de las velocidades se expresan en función del cociente de las impedancias, como,

uu

zzzz

R

I

=−

+

1

1

2

1

2

1

y uu z

z

T

I

=+

2

1 2

1

Grafique los coeficientes de reflexión y transmisión en función del cociente de las

impedancias zzz

= 2

1

. A partir del gráfico discuta sobre el significado físico de la

impedancia.

-v1

uT

v2

x=0

uR

Figura 4-14: Onda reflejada y transmitida. En el caso en que el tramo de cuerda de la derecha es menos denso que el izquierdo, tanto la onda reflejada como la transmitida obligan a las partículas a moverse en el mismo sentido que tenían con la onda incidente (hacia arriba).


182

4-17. Coeficientes de reflexión y transmisión de la energía. También se pueden

definir coeficientes de reflexión y transmisión para la energía como EE

R

I y

EE

T

I

respectivamente. Calcúlelos y grafique en función del cociente de las impedancias, discuta. 4-18. Guía Teórica. Solución general usando condiciones de contorno: (Recomendado)

Vamos a volver a resolver un problema similar al 4-15, pero para el caso particular de ondas armónicas, usando las condiciones de continuidad en la unión de las dos cuerdas (interfase). Este procedimiento es muy general y completamente equivalente al utilizado en el problema 4-15, se aplica a la propagación de cualquier tipo de ondas y en cualquier medio e interfase, nosotros lo emplearemos para resolver el caso particular de ondas armónicas transversales en una cuerda sólo a modo de ejemplo. Dos hilos de densidades másicas lineales diferentes μ1 y μ 2 están unidos en x = 0 y sometidos a una tensión F0 , ver figura 4-15.

Incide sobre la unión una onda armónica transversal ΨI desde la izquierda, en x = 0 (onda de pequeña amplitud), siendo su función de onda:

( )ΨI I( , ) cosx t A k x t= −1 ω . 4-77

Esta onda se refleja parcialmente y se transmite parcialmente en x = 0 . La onda transmitida:

( )ΨT T( , ) cosx t A k x t= −2 ω 4-78

se mueve hacia la derecha en x > 0, posee una amplitud AT . Hemos postulado que la frecuencia ω de la onda transmitida no cambia respecto a la incidente, esto se puede demostrar planteando conservación de la energía en la interfase, no lo haremos aquí para no complicar el cálculo, pero quedará justificado más adelante debido a las condiciones de contorno (Replantear el balance energético hecho en la ecuación 4-74 de la guía teórica 4-15 pero para una onda

x=0 μ1 μ2

Figura 4-15: Cuerda con densidad de masas distintas a izquierda y a derecha de x=0


183

armónica. Debido a que el balance debe verificarse para todo tiempo se desprende que la onda transmitida y la reflejada deben tener la misma frecuencia que la incidente). Sin embargo, estamos considerando que cambia el número de onda k2 , y por ende la longitud de onda λ 2 , ya que en la segunda cuerda la velocidad de propagación es distinta que en la primera,

vk

vk2

21

1= ≠ =ω ω .

La onda reflejada:

( )ΨR R( , ) cosx t A k x t= − −1 ω 4-79

se mueve hacia la izquierda en x < 0, note que hemos cambiado el signo que acompaña al numero de onda, con lo cual, la onda se propaga hacia la izquierda (discutirlo). La onda reflejada posee una amplitud AR . Como dijimos, por conservación de la energía, afirmamos que la frecuencia ω es igual a de la onda incidente y además tiene el mismo numero de onda k1 ya que se propaga hacia la izquierda por la cuerda 1. No hemos considerado la posibilidad de que se produzca algún desfasaje en la onda reflejada ni en la transmitida para no complicar el cálculo. Veremos al finalizar las cuentas, que en el caso en que el medio 1 fuera más denso que el medio 2 no se produce ningún desfasaje entre la onda incidente y la reflejada, mientras que en el caso en que el medio 2 fuera más denso que el medio 1, la amplitud de la onda reflejada resulta negativa, por lo cual, podemos reescribir a la onda agregándole un desfasaje en π y considerando su amplitud positiva. En el caso de la onda transmitida no se produce ningún desfasaje respecto a la onda incidente. El objetivo del cálculo es el de hallar las amplitudes incógnitas AR y AT en función de la amplitud de la onda incidente AI . No lo resolveremos como en el ejercicio anterior por conservación del impulso y energía (queda como ejercicio optativo hacerlo así), sino por un método equivalente consistente en plantear las condiciones de contorno en el punto de unión de ambas cuerdas.


184

Las condiciones de contorno son: • Como las cuerdas están unidas, el desplazamiento total de la cuerda del lado

izquierdo debe ser igual al producido en el lado derecho (∀t ), es decir, la condición de continuidad del desplazamiento en x = 0 dice que:

Ψ Ψ ΨI R T( , ) ( , ) ( , )0 0 0t t t+ = t∀ 4-80

Note que estamos diciendo que el desplazamiento total a la izquierda corresponde

a la superposición del desplazamiento de la onda incidente más la reflejada. A la derecha sólo sobrevive la onda transmitida. Hemos usado el principio de superposición (discutirlo). Tenga en cuenta que la onda incidente continúa incidiendo todo el tiempo sobre la interfase.

La igualdad 4-80 es una condición de contorno que debe cumplirse para todo tiempo. Sabiendo que las tres funciones de onda son armónicas, esto sólo es posible si las tres poseen la misma frecuencia ω .

• En una cuerda real, la pendiente de la cuerda no debe poseer discontinuidades (la

forma que toma debe ser redondeada y alisada), ya que si así no fuera significaría aceleraciones infinitas (tensiones infinitas). Por consiguiente también debe cumplirse una condición de continuidad para las pendientes de la cuerda en x = 0 (∀t ), es decir, la pendiente de la cuerda a la derecha debe ser igual a la izquierda:

∂

∂∂

∂∂

∂

I

x

R

x

T

x

Ψ Ψ Ψ( , ) ( , ) ( , )x tx

x tx

x tx= = =

+ =0 0 0

t∀ 4-81

Se puede demostrar que las condiciones de contorno 4-80 y 4-81 son consecuencias directas de la conservación del impulso lineal y la energía en la interfase, queda como ejercicio optativo para el lector comprobarlo. Note que la ecuación 4-81 debe cumplirse para todo tiempo, lo cual, sólo es posible si las tres ondas poseen la misma frecuencia ω . Usando las ecuaciones 4-80 y 4-81, es posible hallar la amplitud de las ondas transmitidas y reflejadas. Reemplazando las funciones de onda 4-77, 4-78 y 4-79 en las ecuaciones 4-80 y 4-81:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=−+−−

−=−+−

tsenAktsenAktsenAk

tAtAtA

ωωω

ωωω

T2R1I1

TRI

coscoscos

4-82


185

Como estas dos ecuaciones son validas para todo tiempo entonces se cumple:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=+−

=+

T2R1I1

TRI

AkAkAk

AAA 4-83

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Ya podemos hallar las amplitudes incógnitas AR y AT en función de la amplitud de la onda incidente AI y de los número de onda k1 y k2 , resultando (verificar):

Ak

k kAT I=

+2 1

1 2 y A

k kk k

AR I=−+

1 2

1 2 4-84

Sabemos que k11

2= πλ

y k22

2= πλ

son números positivos, por ende la amplitud de la

onda transmitida AT en cualquier caso tiene el mismo signo que la amplitud de la onda incidente AI . Como vimos en el ejercicio anterior, la onda transmitida mantiene el mismo sentido para el movimiento transversal de las partículas que la onda incidente, es decir, el signo de uT y uI concuerdan. Más complicado es lo que sucede con la amplitud de la onda reflejada AR ya que en el numerador aparece una resta entre k1 y k2 , dependiendo del signo del resultado de esa resta puede pasar que cambie el signo de AR respecto de AI .

Sabemos que kv1

1= ω y k

v22

= ω y que las velocidades de propagación en las

dos cuerdas v1 y v2 dependen de las masas por unidad de longitud μ1 y μ 2 , de tal forma que la onda se propaga más rápido en el medio menos denso. Por consiguiente, para estudiar lo que pasa con AR debemos separar el estudio en dos casos: • La cuerda 1 es menos densa que la 2, es decir μ μ1 2< . Por consiguiente v v1 2> y

entonces k k1 2< , con lo cual la resta k k1 2 0− < , por lo tanto, obtenemos de 4-84 que AR tiene un signo diferente que AI , es decir,

si μ μ1 2< ⇒ ( ) ( )Signo A Signo AR I≠

Esto es lo mismo que vimos en el ejercicio anterior cuando el pulso ondulatorio pasaba de un medio menos denso a otro más denso, ya que al cambiar el signo de


186

AR cambia también el sentido de la velocidad transversal de las partículas (al derivar con respecto al tiempo), es decir, la onda reflejada cambia no sólo el sentido de propagación sino que además cambia abruptamente el sentido de la velocidad transversal de las partículas, ya que uR cambia de signo respecto de la velocidad transversal del pulso incidente uI .

Note que un cambio de signo en la amplitud puede ser pensado como un desfasaje en π entre de la onda reflejada y la incidente, reescribiendo la ecuación 4-79 como:

( )ΨR R ( , ) cosx t A k x t= − − +1 ω π

donde hemos puesto el modulo de la amplitud e incorporado el signo menos como un desfasaje en π dentro de la función coseno.

• La cuerda 1 es más densa que la 2, es decir μ μ1 2> . Por consiguiente v v1 2< y entonces k k1 2> , con lo cual el signo de la resta será k k1 2 0− > , por lo tanto, obtenemos de 4-84 que AR tendrá el mismo signo que AI , no hay desfasaje,

si μ μ1 2> ⇒ ( ) ( )Signo A Signo AR I=

Esto es lo mismo que vimos en el ejercicio anterior cuando el pulso ondulatorio pasaba de un medio más denso a otro menos denso, en ese caso la onda reflejada no cambia el sentido del movimiento transversal de las partículas ya que uR tiene el mismo signo que la velocidad transversal del pulso incidente uI .

4-19. (Recomendado). Una onda armónica transversal, de frecuencia Hz100 , se propaga sobre una cuerda (ideal) con velocidad seg

mv 1001 = . a) Escriba la función de onda si la amplitud de la onda es mA 01,0=I . b) Haga un esquema de la onda en los instantes 0=t y 4/Tt = (T es el período). c) Suponga que, luego de atravesar la primera cuerda, la onda se transmite sobre otra

cuerda del doble de masa por unidad de longitud. Escriba la función de onda transmitida.

d) Escriba la función de onda reflejada. Ayuda: la amplitud de las ondas transmitida y reflejada son:

IT Akk

kA

21

12+

= , y Ak kk k

AR I=−+

1 2

1 2 donde k1

1

2= πλ

y k22

2= πλ


187

4-20. A partir de lo hallado en el ejercicio 4-18 se pueden definir coeficientes de Transmisión y Reflexión de la Amplitud de la onda como:

TAA

kk k

= =+

T

I

2 1

1 2 y R

AA

k kk k

= =−+

R

I

1 2

1 2

a) Muestre que se cumple T R= +1 . b) Grafique el coeficiente de reflexión R en función del cociente de los número de

onda kk

1

2

.

c) A partir del gráfico, discuta, y compruebe que − < <1 1R mientras que 0 2< <T . Discuta.


188

Bibliografía : • Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. • Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté. • Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté. • Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté. • Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana. • Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison

Capítulo 5

Ondas estacionarias.


191

Introducción:

En este Capítulo estudiaremos aquellos fenómenos ondulatorios en donde las ondas se hallan confinadas en una determinada región del espacio. Un ejemplo típico de ondas confinadas lo constituyen las ondas producidas en los instrumentos musicales, pero el tema resulta mucho más general, con aplicaciones en física del sólido, atómica, nuclear y subnuclear. Cuando las ondas están confinadas en el espacio como, por ejemplo ocurre con las ondas en una cuerda de piano, éstas viajan de un lado al otro reflejándose en los extremos fijos y, por ende, en todo momento existen ondas propagándose en los dos sentidos. Dependiendo de la longitud y características de la cuerda, existen ciertas frecuencias (modos resonantes o modos normales de vibración) para las cuales la superposición, de las ondas que se propagan en ambos sentidos, resulta constructiva produciendo un esquema vibratorio estacionario denominado onda estacionaria, y estas frecuencias corresponden a las frecuencias de resonancia del sistema (fundamental o er1 armónico, 2do armónico, 3er armónico, etc.), ver figura 5-1. Si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia del sistema, las ondas se desfasan en cada reflexión (respecto de la onda inicial). El proceso de reflexión en los extremos fijos se produce indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas entre sí, por lo cual, la amplitud de vibración resulta baja (frecuencia fuera de resonancia). En cambio, si la frecuencia de la onda armónica concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia, la onda al reflejarse sale con la fase adecuada, igual a la de la onda incidente, por lo cual, se suman constructivamente. Cada reflexión produce una nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con las existentes, por consiguiente, el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilación estacionarios o modos normales, similares a los estudiados en el Capítulo 3 para pocas masas. Cuando en el Capítulo 4 estudiamos ondas armónicas propagándose sobre una cuerda, observamos que aunque todos los puntos de la cuerda oscilan con la misma frecuencia no lo hacen con la misma fase. Esto puede verse si analizamos detenidamente como evoluciona en el tiempo el desplazamiento de diferentes puntos de la cuerda. Como sabemos, en una onda de propagación, el desplazamiento puede ser descripto por una función de onda armónica como, por ejemplo,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π=Ψ txAtx 2

2sen ),( donde hemos tomado

2π=k y 2=ω

Ondas estacionarias

192

Si analizamos la evolución del punto 0=x , vemos que se mueve armónicamente siguiendo la ley,

( )tAt 2sen ),0( −=Ψ ,

mientras que si analizamos la evolución del punto 1=x , obtenemos,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −π=Ψ tAt 2

2sen ),1(

Comparando los movimientos, vemos que ambos puntos oscilan con la misma frecuencia 2=ω , pero difieren en una fase, que en este ejemplo, resulta ser

radianes 2π .

Esto que hemos determinado para un ejemplo resulta válido en general, en las ondas armónicas de propagación todos los puntos oscilan con la misma frecuencia pero no necesariamente todos tienen la misma fase, la fase depende del punto en cuestión. Este desfasaje se manifiesta en el hecho de que los puntos de la cuerda no pasan por el punto de equilibrio simultáneamente, como sucedía en los sistemas estudiados en el Capítulo 3 cuando se hallaban en un modo normal de vibración. En cambio en una onda estacionaria cada partícula de la cuerda oscila con la misma frecuencia y fase que las demás, es decir, corresponde a un modo normal de vibración o armónico. Una partícula que en un instante forma parte de la cresta de la onda, oscila permanentemente con la mayor amplitud. Una partícula que está en reposo en un instante, permanece en reposo por el resto del tiempo (a esos puntos los denominamos nodos). Por consiguiente los máximos de amplitud de vibración y los nodos (puntos en reposo), están ubicados siempre en los mismos lugares, para una dada frecuencia de vibración. Cada partícula vibra permanentemente con la misma amplitud, dependiente de su posición, mientras que la frecuencia y la fase son iguales para todas las partículas, por lo cual, toda la cuerda pasa por la posición de equilibrio simultáneamente. Para fijar ideas mostramos un dibujo (que usted repetirá en el ej. 5-2) en donde se muestra las posiciones sucesivas de una cuerda que oscila en los primeros tres modos normales de vibración:


193

Primer Armónico

Segundo Armónico

Tercer Armónico

Para cualquiera de los tres modos normales mostrados, existe un instante

en que toda la cuerda en su conjunto pasa por la posición de equilibrio. Estos conceptos no difieren mucho de los estudiados en el Capítulo 3, cuando estudiamos modos normales de vibración. La diferencia fundamental consiste en que, en esos problemas, teníamos un número finito de partículas, mientras que aquí tenemos un continuo (idealización de cuerda continua). Por lo cual, en lugar de tener un cierto número finito de frecuencias de resonancia, tenemos un numero infinito pero discreto de frecuencias resonantes. A estas frecuencias, ordenadas de menor a mayor, comúnmente se las denomina, fundamental o er1 armónico, 2do armónico, 3er armónico, etc.. El número infinito de frecuencias resulta de una idealización, que consiste en considerar a la cuerda continua y no formada por pequeñas partículas, separadas a distancias del orden del tamaño atómico. En realidad hay un número muy grande de frecuencias pero finito. Cuando se puntea la cuerda de una guitarra se escucha un sonido que, en general, no corresponde a un armónico puro sino que resulta ser una superposición de muchos modos de vibración. Dependiendo de donde se puntea y del tipo de instrumento, es posible excitar mucho el fundamental, quizás nada el segundo armónico, poco el tercero, nada el cuarto y así siguiendo. O podría no excitarse para nada el fundamental y si el segundo armónico, etc.

Figura 5-1: Esquema de las posiciones sucesivas de una cuerda que oscila, en los primeros tres modos normales de vibración:

Ondas estacionarias

194

Algo parecido pero aún más complicado ocurre con el sonido que emitimos al hablar, nos resulta imposible emitir un sonido puro, siempre corresponde a una superposición de muchos posibles armónicos, cada uno de ellos con una intensidad determinada por la forma en que construimos el sonido en nuestras cuerdas vocales y en nuestra boca. En este Capítulo estudiaremos esencialmente ondas estacionarias y concluiremos con el estudio del espectro de frecuencias que se genera en un caso simple como el punteo de una guitarra (análisis de Fourier). Los ejercicios recomendados son el 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 16, 17 y 18.

5-1. Guía teórica. Ondas estacionarias armónicas transversales en una cuerda fija en sus extremos:

Para introducir el concepto de onda estacionaria, comenzaremos con el ejemplo simple de pequeñas oscilaciones transversales en una cuerda, pero la idea resulta completamente general y fácilmente extrapolable a otros fenómenos físicos donde se presenten ondas estacionarias. Ejemplo: Una cuerda de longitud mL 1= y masa gm 100= , está fija en ambos extremos y sometida a una tensión NF 100 = . Suponga que, acercando un diapasón, se hace vibrar a la cuerda armónicamente (sinusoidalmente):

x=0 x=L

Verifique que, en la aproximación de pequeñas oscilaciones (medio lineal), la velocidad de propagación de las ondas transversales resulta,

./10 segmv =

La onda se propaga a través de la cuerda reflejándose en los extremos fijos. Comprobaremos que si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia de la cuerda, la onda en cada reflexión, se desfasa respecto de la onda inicial, por lo cual, comienzan a superponerse entre sí las múltiples reflexiones, interfiriendo no constructivamente. El proceso de reflexión en los extremos fijos se produce indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas

Fig. 5-2


195

entre sí, por lo cual, su amplitud de vibración resulta baja (frecuencia fuera de la resonancia). En cambio, si la frecuencia de la onda armónica concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia, la onda al reflejarse, sale con la fase adecuada, igual a la de la onda inicial, sumándose constructivamente a ésta. Cada reflexión produce una nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con las existentes, por lo cual el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilación estacionarios, como comprobaremos luego. Luego en la guía teórica 5-15 y en el ejercicio 5-3 comprobaremos que una onda estacionaria puede representarse por la suma de dos ondas armónicas, de propagación, viajando en sentidos opuestos, es decir,

( ) ( ) ( )π+ω−−+ω−=Ψ tkxAtkxAtxTotal sen2

sen2

,

obtenida a partir de sumar una onda de propagación hacia la derecha más otra hacia la izquierda (desfasada en π al reflejarse). Por el momento comenzaremos estudiando a las ondas estacionarias sobre la base del concepto ya aprendido de modo normal de vibración del sistema (frecuencia de resonancia). Modo normal: Supondremos que la cuerda oscila en un modo normal, por consiguiente, todas las partes de la cuerda oscilan con movimiento armónico, con la misma frecuencia ω y fase ϕ , por lo cual, cada punto de la cuerda oscila con su amplitud propia (característica del modo), pero todos ellos evolucionan armónicamente con la misma dependencia temporal, del tipo,

( )cos ω ϕt + ,

La amplitud con que vibra cada punto de la cuerda, depende de la coordenada del punto estudiado, cada punto oscila con una amplitud distinta característica del modo de oscilación. Por ejemplo, un punto que se halla en un nodo de vibración, permanece siempre quieto, por lo cual su amplitud de oscilación resulta cero, mientras que un punto que se halla en una cresta, oscila con el máximo de amplitud. Definimos una función )(xAmpl , la cual, determina la amplitud de vibración del punto ubicado en una posición x cualquiera. Esta función, depende del modo de

Ondas estacionarias

196

oscilación, es decir, cada modo tiene una función )(xAmpl diferente, ya que su forma de oscilación resulta diferente (recordar la figura 5-1). Entonces podemos escribir la expresión general para una onda estacionaria, como,

( )ϕ+ω=Ψ txAmpltx cos )(),( . 5-1

Note la diferencia entre una onda estacionaria como la 5-1 y una onda de propagación como, por ejemplo,

( ) ( )tkxAtx ω−=Ψ sen,nPropagació 5-2

Mientras que en la ecuación 5-1 se han desacoplado la dependencia funcional de la coordenada x y t (onda estacionaria), en la onda de propagación se hallan acopladas, por lo cual, las partículas no se mueven en fase. Nos proponemos ahora determinar la función )(xAmpl , y su dependencia con el modo de vibración. Si consideramos pequeñas oscilaciones, la función de onda estacionaria 5-1 debe satisfacer la ecuación lineal de ondas,

∂∂

∂∂

2

2 2

2

2

1Ψ Ψ( , ) ( , )x tx v

x tt

= 5-3

Reemplazando la función ( )ϕ+ω=Ψ txAmpltx cos )(),( en la ecuación de ondas, y simplificando a la función coseno, encontramos que )(xAmpl debe cumplir (verificar):

)()()( 22

2

2

2

xAmplkxAmplvdx

xAmpld −=ω−= o )()( 2 xAmplkxlAmp −=′′ 5-4

La ecuación 5-4 es una ecuación diferencial del tipo oscilador armónico, pero en lugar de una derivada segunda respecto del tiempo tenemos una derivada segunda respecto de x , por consiguiente, la solución de esta ecuación resulta semejante a la obtenida en el caso del oscilador armónico (función armónica), pero en lugar de la variable t aparece la variable x , por lo cual, podemos proponer como solución que sea una combinación lineal de funciones seno y coseno, tal como,


197

( ) ( )kxBkxAxAmpl cossen)( += 5-5

donde k = 2πλ

y λ es la longitud de onda y A y B son constantes a determinar.

De acuerdo a 5-5, podemos afirmar que la amplitud de la oscilación varía armónicamente con la posición, repitiéndose su forma periódicamente cada longitud λ (ver figura 5-3). Por consiguiente la solución para una onda estacionaria resulta,

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λπ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛λπϕ+ω=Ψ xBxAttx 2cos2sen cos),( 5-6

Condiciones de contorno: La solución anterior es, hasta cierto punto, general. Pero aún no están contempladas las condiciones de contorno, que en nuestro ejemplo son los extremos fijos de la cuerda. En lo que sigue incorporaremos está información: La cuerda tiene longitud L , y se encuentra fija en 0=x y Lx = (ver las figuras 5-2 y 5-3). Esto significa que en esos puntos la cuerda no se desplaza en ningún momento, es decir,

Ψ Ψ( , ) ( , )x t x L t t= = ∀0 = 0 y = 0 . 5-7

Con estas dos condiciones podremos hallar relaciones entre las constantes A y B , pero además, éste hecho condiciona completamente los modos en que puede vibrar la cuerda. No todas las longitudes de onda están permitidas en un modo estacionario, sólo aquellas que aseguren que la función de onda se anule en 0=x y Lx = (nodos), ver figura 5-3.

n=1 λ1=2L n=2 λ2=L n=3 λ3=2L/3 n=4 λ4=L/2

Figura 5-3: Esquema de los primeros 4 modos de vibración, de una cuerda fija en ambos extremos.

Ondas estacionarias

198

Ahora usemos las condiciones de contorno 5-7 en la ecuación 5-6, Condición en el origen 0=x :

( ) ( ) 0=cos Bcos 02cos02sen),0( ⇒∀ϕ+ω=ϕ+ω⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λπ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛λπ==Ψ tttBAtx

B = 0

⇒ ( )Ψ( , ) sen cosx t A x t= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ 2πλ

ω ϕ (Importante) 5-8

Condición en Lx = :

( )0 2= = = + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∀ ⇒Ψ( , ) cos senx L t t A Lω ϕ πλ

= 0 t sen 2 0πλ

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⇒

2

0πλ

πL = con n n∈ ⇒>Ζ

λ = con 20

Ln

n∈ >Ζ (Importante) 5-9

Esta última expresión nos esta diciendo que si la cuerda tiene dos puntos fijos (nodos), distantes una longitud L , no todas las longitudes de onda estacionarias están permitidas, sólo están permitidas aquellas que garantizan que la función de onda se anule en 0=x y mLx 1== , y estas longitudes de onda son (como puede apreciarse en la figura 5-3):

λ1 2 2= =L m , λ 2 1= =L m , λ 323

0 66= =L m,)

, λ 412

0 5= =L m, ,.........,

λ nL

n= 2 ,.........

Cada modo tiene asociado una configuración diferente, determinada por la

amplitud ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λπ= xAxAmpl 2sen)( y caracterizada por la longitud de onda λ . Pero en

cada modo, todas las partículas que forman parte de la cuerda oscilan con la misma


199

frecuencia ω y fase ϕ . La amplitud A, queda determinada una vez conocido el estado inicial o la energía de la onda. Frecuencias de resonancia. Las frecuencias que producen estos esquemas se denominan frecuencias de resonancia. Podemos hallar las frecuencias a partir de la

relación entre k y ω , vk

= ω (relación de dispersión para la aproximación lineal) que

es equivalente a f v=λ

, por consiguiente las frecuencias de resonancia son

( segmv /10= .):

f n vL

n= ∈ >2 0 con Ζ 5-10

Si llamamos a la frecuencia más baja f vL

Hz1 25= = (frecuencia fundamental o

primer armónico), entonces las frecuencias más altas se pueden obtener como múltiplos de ésta (secuencia armónica, caso ideal), es decir:

f n f nn = ∈ > con 1 0Ζ (Importante) 5-11

de esta forma:

f vL

Hz1 25= = , f f v

LHz2 12 10= = = , f f v

LHz3 13 3

215= = = ,

f f vL

Hz4 14 2 20= = = ,........................................, f n f nn = ∈ > con 1 0Ζ

La frecuencia más baja f1 se denomina frecuencia fundamental mientras que las demás se llaman armónicos, f2 es el segundo armónico, f3 es el tercer armónico, etc., y sus frecuencia resultan múltiplos de la frecuencia fundamental, en el caso ideal de medio no dispersivo. Ley de dispersión para una cuerda de piano real. La ley de dispersión dada por la

ecuación vk

= ω es la más simple que podemos encontrar, esta ley nos está indicando

que la velocidad de propagación de la onda no depende de la longitud de onda, todas las ondas se propagan con la misma velocidad. En general las cuerdas reales se

Ondas estacionarias

200

apartan levemente de esta ley lineal (fuera de la aproximación de pequeñas oscilaciones).

Las longitudes de onda permitidas seguirán siendo λ = 2Ln

, ya que esto

depende de la existencia de los puntos fijos, pero las frecuencias no tienen la dependencia armónica tan simple dada en 5-11. Ejemplo, si la frecuencia fundamental es 1f , la frecuencia 2f no será 12 2 ff = , en un piano será levemente más alta (más aguda). 5-2. (Recomendado). Con ayuda del Mathematica grafique los primeros 3 armónicos correspondientes a la cuerda del ejercicio anterior, suponiendo que la amplitud de la onda estacionaria es de A m= 0 001, . Anímelos para observar la evolución de la cuerda, prestando atención a que en algún instante toda la cuerda pasa por el equilibrio. L=1; v=10; n=1; (modo fundamental, luego pruebe con n=2 y n=3) lambda=2*L/n; k=2*Pi/lambda; w=k*v; T=2*Pi/w; a=0.001; psi[x_,t_ ]=a*Sin[k*x]*Cos[w*t]; Do[ Plot[psi[x,t],{x,0,L},PlotRange->{-a,a},Axes->None,AspectRatio->0.2, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}], {t,0,T,T/10}] Si une todos los gráficos en una misma celda y los anima, observará la evolución de la onda estacionaria. 5-3. (Recomendado). Hemos dicho que una onda estacionaria resulta de la superposición de dos ondas armónicas propagándose en sentido contrario. La demostración formal de esta afirmación la haremos en la guía teórica 5-13, aquí sólo pretendemos obtener una primera idea gráfica con la ayuda del Mathematica. Por ello, grafique y anime a la función,

( ) ( ) ( )π+ω−−+ω−=Ψ tkxAtkxAtxTotal sen2

sen2

,


201

obtenida a partir de sumar una onda de propagación hacia la derecha más otra hacia la izquierda (desfasada en π al reflejarse). Use los mismos datos que en el problema anterior. L=1; v=10; n=1; (modo fundamental, luego pruebe con n=2 y n=3) lambda=2*L/n; k=2*Pi/lambda; w=k*v; T=2*Pi/w; a=0.001; psi[x_,t_ ]=(a/2)*Sin[k*x-w*t]+(a/2)*Sin[-k*x-w*t+π]; Do[ Plot[psi[x,t],{x,0,L}, PlotRange->{-a,a},Axes->None,AspectRatio->0.2, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}], {t,0,T,T/10}] Si une todos los gráficos en una misma celda y los anima, observará la evolución de la onda estacionaria. 5-4. (Recomendado). Un hilo de acero de g5 y m4,1 está fijo por ambos extremos y tiene una tensión de N968 . a) Hallar la velocidad de fase de las ondas transversales. Resp. segmv /520= . b) Hallar la longitud de onda y la frecuencia del modo fundamental de oscilación.

Resp. m8,21 =λ y Hzf 93,1851 = . c) Sabiendo que la amplitud de oscilación del primer modo es de m001,0 y que en el

instante inicial ( 0=t ) la cuerda justo está pasando por la posición de equilibrio, halle la función de onda correspondiente (determine la fase).

d) Importante. Dibujar la posición de la cuerda en los instantes 0=t , 4/Tt = , 2/Tt = donde fT /1= es el período de vibración.

e) Hallar las frecuencias del segundo y tercer armónicos. Haga un esquema del modo de oscilación. Resp. Hzf 86,3712 = y Hzf 79,5573 = .

f) Importante. La función de onda estacionaria puede formarse como la suma de dos ondas viajeras, de mitad de amplitud, una viajando hacia la derecha y otra viajando hacia la izquierda (debido a la reflexión en los extremos). Escriba las dos funciones de onda viajeras para la onda estacionaria fundamental.

Ondas estacionarias

202

5-5. Guía teórica. Energía de una onda estacionaria:

En Capítulo 4 (guía teórica 4-8, ec. 4-45), demostramos que la energía de un segmento de cuerda, vibrando transversalmente, es:

2

0

2

x),(

21

t),(

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂Δ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂Δμ=Δ+Δ=Δ txxFtxxEEE pc , 5-12

Para hallar la energía de toda la cuerda debemos integrar:

dxFdxdEELL

x

21

t

21

0

2

0

2

0 ∫∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂Ψ∂μ== 5-13

Reemplazando en la ecuación 5-13 la función de onda estacionaria,

( )Ψ( , ) sen cosx t A x t= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ 2πλ

ω ϕ , 5-14

integrando y luego de un calculo tedioso llegamos a (verificar),

E m A m f A= =12

22 2 2 2 2ω π (Para una onda estacionaria). 5-15

Comentario: Note que la energía de una onda estacionaria no depende del tiempo (estado resonante). Si llamamos 1E a la energía del modo fundamental E m A f1

21

212= π 2 y

sabiendo que 1 fnfn = ⇒ Para un modo n cualquiera se cumple,

( )E n m f A nAA

En nn= 2 2

12 2 2

2

12 12 =π 5-16

donde 1A y nA son las amplitudes de los modos 1 y n respectivamente.


203

Comentario: De la expresión 5-16 podemos ver que, a igual amplitud, la energía se incrementa para modos más altos (como n2). Esto es lógico ya que mientras mayor es el modo, más deformada está la cuerda, y por consiguiente acumula mayor energía potencial. Además, la frecuencia es mayor y, por ende, la velocidad de las partículas que forman la cuerda es mayor, con lo cual la energía cinética resulta mayor. 5-6. (Recomendado). La función de onda ),( txΨ correspondiente a una onda estacionaria de una cuerda fija en ambos extremos viene dada por:

( ) ( )Ψ( , ) , sen , cosx t x t= 0 3 0 2 300 , con Ψ y x en centímetros y t en segundos. a) ¿Cuál es la longitud de onda y cuál la frecuencia? b) ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas transversales?. c) Si la función de onda dada es la correspondiente al cuarto armónico, ¿cuál es la

longitud de la cuerda? d) Dibujar la posición de la cuerda en los instantes 0=t , 4/Tt = , 2/Tt = donde

fT /1= es el período de vibración. e) Halle la energía de la onda. Ayuda: use la expresión 5-15 de la guía teórica 5-5. f) Importante. La función de onda estacionaría puede formarse como la suma de dos

ondas viajeras, de mitad de amplitud, una viajando hacia la derecha y otra viajando hacia la izquierda (debido a la reflexión en los extremos). Escriba las dos funciones de onda viajeras, para el modo fundamental.

5-7. (Recomendado). Una cuerda de longitud m3 y densidad másica mkg / 0025,0 está sujeta por ambos extremos. Suponga que con un oscilador electrónico, con salida por parlante, intenta hallar las frecuencias resonantes del sistema (piense como lo haría). Variando la frecuencia del oscilador usted determina que una de las frecuencias de resonancia es Hz252 (no necesariamente es la del fundamental). Luego, continua subiendo la frecuencia del oscilador, y observa que la siguiente frecuencia de resonancia resulta Hz336 . A partir de esta información halle: a) La frecuencia del modo fundamental. Resp. Hzf 841 = . b) La tensión del hilo. Resp. NF 6350 = . c) A que modos de vibración corresponden las frecuencias medidas, haga un

esquema del modo de vibración para ellas.

Ondas estacionarias

204

d) Si para el modo de oscilación correspondiente a la frecuencia de Hz336 , la cuerda oscila con una amplitud de mA 001,0= , y en el instante inicial pasa por su posición de equilibrio, determine la función de onda de este estado y su energía.

5-8. (Actividad). Si le sobran unos pesos, compre en una juguetería un Slinky (resorte muy largo y estirable, que baja las escaleras). Sujete los extremos con sus manos, y trate excitar los primeros modos estacionarios. Compruebe que puede lograr una gran amplitud cuando el sistema oscila en alguno de los modos. Discuta. 5-9. Guía teórica. Cuerda fija sólo en un extremo:

En esta guía continuaremos el estudio de los estados estacionarios, pero ahora asociados a sistemas que poseen un extremo fijo y otro completamente libre. Un ejemplo clásico de estos sistemas son los instrumentos de viento (ondas sonoras longitudinales). Por simplicidad, primero analizaremos el ejemplo de una cuerda con un extremo libre. Una cuerda de longitud mL 1= y masa de gm 100= , está fija en 0=x y libre en el otro extremo (desliza sobre una varilla sin rozamiento). Está sometida a una tensión de NF 100 = .

También se producen ondas estacionarias sobre una cuerda con un extremo libre, en lugar de tener ambos extremos fijos. El esquema de las ondas estacionarias para dicha cuerda, en los primeros 4 modos de vibración, se indican en la figura 5-5,

Libre

Figura 5-4: Cuerda con un extremo libre.


205

n=1 λ1=4L n=3 λ3=4L/3 n=5 λ5=4L/5 n=7 λ7=4L/7 Observe que el extremo libre de la cuerda es siempre un vientre (amplitud de vibración máxima). Esto lo podemos entender si recordamos la guía teórica 4-10 (Capítulo 4), en esa guía encontramos que la fuerza ejercida sobre un segmento de la

cuerda (desde el lado izquierdo), es proporcional a x∂Ψ∂ , por consiguiente, si el borde

de la cuerda está libre no existe fuerza externa ejercida en ese punto, por lo cual, ∂Ψ∂x

= 0 que justifica plenamente lo observado en la figura 5-5, ya que, en los vientres

la pendiente de la recta tangente a la cuerda se anula. Condiciones de contorno. En el ejercicio 5-2 hallamos la solución para las funciones de onda estacionarias:

( )Ψ( , ) cos sen cosx t t A x B x= + ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ω ϕ π

λπλ

2 2 5-17

De plantear la condición de que el desplazamiento es nulo en el origen obtuvimos que B=0, y entonces la función de onda nos quedó:

( )Ψ( , ) sen cosx t A x t= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ 2πλ

ω ϕ 5-18

Ahora tenemos que plantear la nueva condición de contorno en Lx = , que ya no corresponde a que el desplazamiento se anula en Lx = .

Figura 5-5: Esquema de los primeros 4 modos de vibración, de una cuerda con un extremo libre.

Ondas estacionarias

206

La condición de contorno adecuada en Lx = , es que se anule la derivada con respecto a x (vientre) para todo tiempo, o sea,

∂Ψ∂( , )x tx

tLx

=

= ∀0 . 5-19

Entonces,

( )∂Ψ∂

πλ

πλ

ω ϕ( , ) cos cosx tx

A L tLx

= 0 t=

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ∀2 2 ⇒ cos 2πλ

L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 0 ⇒

2

2πλ

πL = n , 5-20

donde n debe ser entero positivo, pero además, impar, ya que si n fuera par n π2

nos daría un múltiplo de π y el coseno no se anularía. Entonces, en una cuerda con un extremo libre, las longitudes de onda permitidas son:

λ = con impar4 Ln

n 5-21

es decir,

λ1 4 4= =L m , λ 243

1 33= =L m,)

, λ 345

0 8= =L m, ,.. .., λ n nL= 4 con n impar,

Note que la longitud de onda fundamental es el doble de la que obtuvimos en el caso de la cuerda fija en ambos extremos. Frecuencias de resonancia: Hallamos las frecuencias de resonancia a partir de la

relación f v=λ

(relación de dispersión lineal), por consiguiente, las frecuencias de

resonancia son:

f n vL

n=4

con impar 5-22


207

Si llamamos a la frecuencia más baja f vL1 4

= (frecuencia fundamental), entonces las

frecuencias más altas se pueden obtener como múltiplos impares de 1f (secuencia armónica, caso ideal), es decir:

f n f nn = con impar1 5-23

de esta forma:

f vL

Hz1 42 5= = , , f f Hz3 13 7 5= = , , f f Hz5 15 12 5= = , ,......, f n f nn = con impar1

Note que hemos perdido los armónicos pares, y que la frecuencia fundamental es la mitad de la que obtuvimos en el caso de la cuerda fija en ambos extremos. 5-10. Una cuerda de g160 y m4 de largo está fija por un extremo y está ligada a una cuerda muy ligera por el otro (suponga que está casi libre). Su tensión es de

N400 . a) ¿Cuáles son las longitudes de onda del modo fundamental y los dos armónicos

siguientes?. b) ¿Cuáles son las frecuencias de estos modos?. 5-11. (Recomendado). Acertijo: Suponga que dentro de una caja se halla una cuerda que usted no puede ver. Le piden que adivine si la cuerda está fija en ambos extremos o si tiene un extremo libre. Como ayuda le informan el valor de tres frecuencias de resonancia sucesivas de la cuerda 75 , 125 y Hz175 , donde la frecuencia de Hz75 no necesariamente corresponde al modo fundamental. a) ¿Cómo podría saberse si estas frecuencias corresponden a una cuerda fija por

ambos extremos o por un sólo extremo?. Ayuda: Hallar los cocientes entre cada par de frecuencias sucesivas de resonancia.

b) ¿Cuál es la frecuencia correspondiente al fundamental?. Resp. Hz25 . c) ¿A qué armónicos pertenecen las tres frecuencias dadas?. d) Si la velocidad de propagación en esta cuerda es de ./400 segm , halle la longitud

de la cuerda. Resp. m4 .

Ondas estacionarias

208

5-12. Guía teórica. Ondas sonoras (longitudinales) estacionarias:

Gran parte de lo aprendido en ondas estacionarias en cuerdas se aplica a ondas sonoras (longitudinales) estacionarias. En la figura 5-6 se ve un tubo de aire cerrado por su extremo derecho, con un pistón móvil en el extremo izquierdo, Si la amplitud de desplazamiento del pistón es pequeña, puede suponerse que en ese extremo el desplazamiento longitudinal del aire es nulo (aproximadamente un nodo). Entonces la condición de onda estacionaria es la misma que en una cuerda con ambos extremos fijos, salvo que la velocidad de propagación es la velocidad del sonido v m

seg≅ 345 (a presión y temperatura normal). Si el extremo derecho del tubo no está cerrado sino abierto a la atmósfera, este extremo es, aproximadamente, un vientre de desplazamiento (también es un nodo de presión ya que la presión está fija a la presión atmosférica). Por consiguiente la condición de onda estacionaria, en este caso, es la misma que la correspondiente a una cuerda con un extremo fijo y otro libre Lx = . En la realidad, el vientre de desplazamiento (o nodo de presión) cae ligeramente fuera del extremo abierto del tubo, por consiguiente, la longitud efectiva del tubo es un poco mayor que la longitud real, si L es la longitud del tubo y LΔ es la corrección (del orden del radio del tubo), la longitud efectiva es L L Lef = + Δ y, por ende, el tubo resuena cuando las longitudes de onda cumplen,

λ =

con impar4 L

nnef .

Ciertos tubos de órgano y algunos tipos de flautas se comportan como tubos abiertos en ambos extremos, en estos casos, en ambos extremos existe un vientre de desplazamiento. Las frecuencias de resonancia son las mismas que para un tubo cerrado en ambos extremos, excepto por una pequeña corrección de la longitud. Por consiguiente la longitud de onda del fundamental resulta igual a dos veces la longitud del tubo y se encuentran presentes todos los armónicos (pares e impares), ver figura 5-7,

AireFig. 5-6


209

Tubo cerrado en ambos extremos:

λ1=2L λ2=L λ3=2L/3 λ4=L/2

Tubo cerrado en el extremo izquierdo:

λ1=4L λ3=4L/3 λ5=4L/5 λ7=4L/7

Tubo abierto en ambos extremos:

λ1=2L λ2=L λ3=2L/3 λ4=L/2

5-13. (Recomendado). Experimento para hacer en el aula. Deje caer varias tizas enteras, observe y anote el número de trozos en que se parte la tiza. Estudie detenidamente los lugares en donde se parte. Trate de explicar lo observado. ¿En cuantos pedazos se parte en la mayoría de los casos? ¿por qué?. Discuta.

Figura 5-7: Esquema de los primeros 4 modos de vibración, correspondientes a: a) Tubo cerrado en ambos extremos. b) Tubo abierto en un extremo. c) Tubo abierto en ambos extremos.

Ondas estacionarias

210

5-14. Aparato para determinar la velocidad del sonido en el aire (Recomendado).

En la figura 5-8 se muestra un esquema del aparato,

L

La longitud de la columna de aire en el tubo del lado izquierdo puede regularse modificando el nivel del agua del lado derecho, agregando o quitando agua. Se excitan ondas sonoras con un diapasón. La columna de aire del lado izquierdo (longitud L) resuena cuando la frecuencia del diapasón concuerda con alguna de las frecuencias naturales del sistema. Esto puede comprobarse acercando el oído al tubo y notando como se logra amplificar el sonido cuando el sistema se halla en resonancia. Una forma de medir la velocidad del sonido, es modificando la altura del nivel de agua hasta que la frecuencia natural del diapasón concuerde con las frecuencias de oscilación del sistema. Ejemplo: Cuando encima del tubo de la figura se mantiene un diapasón de Hz500 de frecuencia, aparecen resonancias (sucesivas) cuando el nivel del agua está a distancias de 16 , 5.50 , 85 y cm5.119 de la parte superior del tubo (¡ojo!, estas resonancias corresponden a una frecuencia fija de Hz500 que excita diferentes armónicos dependiendo de la longitud L). a) Suponiendo que en 16cm se excita el fundamental, determine cual es el armónico

que se excita en las demás distancias. b) Grafique la longitud L en función del número de armónico n. c) De acuerdo al gráfico, ¿Cuál es la velocidad del sonido?. d) ¿Qué corrección ΔL le haría a las longitudes medidas?

Fig. 5-8


211

5-15. Guía Teórica. Superposición de ondas. Onda estacionaria: (Optativo)

En este ejercicio queremos comprobar que una onda estacionaria puede visualizarse como la combinación de dos ondas moviéndose en sentidos contrarios, producto de las reflexiones en los puntos fijos. Los resultados concuerdan con los de la guía teórica 5-1, simplemente este ejercicio ofrece otra manera de entender el mismo fenómeno físico. Supongamos que una cuerda de longitud L , y masa m , está fija en ambos extremos y sometida a una tensión 0F . El extremo izquierdo de la cuerda ( 0=x ) se hace vibrar armónicamente. La onda se propaga hacia la derecha con velocidad v, cuya función de onda podemos describir como,

( ) ( )[ ]vtxkAtkxAtx −=ω−=Ψ sen2

sen2

),(I , 5-24

(le hemos puesto una amplitud 2

A por comodidad ya que, cuando se le sume la onda reflejada, la onda total tendrá amplitud A ). Cuando llega al extremo derecho fijo, en Lx = , la onda se refleja. Onda reflejada: La onda reflejada RΨ tiene la misma longitud de onda, frecuencia y amplitud, que la onda incidente IΨ (conservación de energía y momento, relacionarlo con el choque elástico de una pelota contra una pared), pero se propaga en sentido inverso y presenta un desfasaje respecto de la onda incidente. Proponemos que la función de onda reflejada es,

( )ϕ+ω−−=Ψ tkxAtx sen2

),(R . 5-25

La onda reflejada RΨ , se propaga hacia la izquierda, y al incidir sobre el lado izquierdo fijo, se vuelve a reflejar. Si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia de la cuerda, esta nueva onda se desfasa respecto de la onda inicial, por lo cual, su superposición no necesariamente resulta constructiva. El proceso de reflexión en los extremos fijos se produce indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas entre sí, por lo cual, su amplitud de vibración resulta baja (frecuencia fuera de la resonancia). En cambio, si la frecuencia de la onda armónica concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia, la onda que vuelve a reflejarse del lado izquierdo, sale con la fase adecuada, igual a la de la onda incidente, sumándose constructivamente a ésta. Cada reflexión produce una nueva onda que se vuelve a sumar

Ondas estacionarias

212

constructivamente con las existentes, por lo cual el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilación estacionarios, como comprobaremos luego. El desplazamiento de un segmento de la cuerda viene dado por la superposición de ambas ondas. En la aproximación de pequeñas oscilaciones (medio lineal), la función de onda total viene dada simplemente por la suma de la onda incidente más la reflejada (principio de superposición),

),(),(),( RITotal txtxtx Ψ+Ψ=Ψ 5-26

( ) ( )ϕ+ω−−+ω−=Ψ tkxAtkxAtx sen2

sen2

),(Total 5-27

Hallaremos el desfasaje ϕ, de la onda reflejada, usando las condiciones de contorno. Condiciones de contorno en el origen: En el punto 0=x la cuerda está fija, por ende el desplazamiento total debe anularse en ese punto para todo tiempo, es decir:

t 0),0(),0(),0( IRTotal ⇒∀==Ψ+=Ψ==Ψ txtxtx

t ),0(),0( IR ∀=Ψ−==Ψ txtx 5-28

Empleando está condición de contorno obtenemos ϕ, como sigue:

( ) ( ) t ),0(sen2

sen2

),0( IR ∀Ψ−=ω−−=ϕ+ω−=Ψ ttAtAt ⇒

( ) ( ) ( )π+ω−=ω−−=ϕ+ω− ttt sensen sen ⇒

π≡ϕ 5-29

como ya sabíamos del capítulo 4. Con lo cual la función de onda reflejada resulta,

( )π+ω−−=Ψ tkxAtx sen2

),(R 5-30


213

La Función de onda Total resulta una Onda Estacionaria: Ahora estamos interesados en obtener la función de onda total, suma de dos ondas viajeras la incidente y la reflejada y comprobar que resulta ser una onda estacionaria,

( ) ( ) sen2

sen2

),(),(),( RIT π+ω−−+ω−=Ψ+Ψ=Ψ tkxAtkxAtxtxtx 5-31

Podemos reescribir la expresión anterior utilizando la siguiente identidad trigonométrica:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ+θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−θ

=θ+θ2

sen 2

cos 2sensen 121221 , 5-32

con tkx ω−=θ1 y ϕ+ω−−=θ tkx2 . Usando esto, la función de onda total nos queda:

T ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+−=Ψ

2sen

2cos),( tkxAtx 5-33

y usando que ( )kxkx sen2

cos −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+− y que ( )tt ω−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π+ω− cos

2sen

(verifique), entonces,

( ) ( )tkxAtx T ω=Ψ cossen),( 5-34

La expresión 5-34 corresponde a una función de onda estacionaria. Hemos logrado desacoplar la dependencia espacial de la temporal, esto significa que un punto de la cuerda, que se halla en la posición x, oscila armónicamente con frecuencia ω y amplitud que depende armónicamente de la posición, es decir,

( ) kxAxAmpl sen)( = 5-35

y,

( ) T txAmpltx ω=Ψ cos)(),( 5-36

Esto significa que la superposición de las ondas, incidente y reflejada (viajeras), no representa una onda viajera sino una onda estacionaria, ya que todos los puntos de la cuerda oscilan con la misma frecuencia y fase.

Ondas estacionarias

214

Como antes, planteando la condición de contorno en el extremo derecho hallaremos las frecuencias y longitudes de onda de los modos normales: Condición de contorno en el extremo derecho. Hasta el momento impusimos sólo una condición de contorno aquella que indica que en 0=x la cuerda está fija y, por ende, el desplazamiento en ese punto es nulo para todo tiempo, es decir

t 0),0(T ∀==Ψ tx . Ahora, como hicimos en la guía teórica 5-1, queremos imponer la otra condición de contorno, que indica que en Lx = la cuerda también está fija, es decir t 0),(T ∀==Ψ tLx . Como ya sabemos, este hecho condiciona completamente los modos en que puede vibrar la cuerda. No todas las longitudes de onda estarán permitidas, sólo aquellas que aseguren que la función de onda se anule en 0=x y Lx = (nodos). Podemos calcular analíticamente las longitudes de onda λ , usando,

( ) ( ) t 0= cos sen),(T ∀ω==Ψ tLkAtLx ⇒

( ) 0=sen kL ⇒ π≡ nLk con n∈ >Ζ 0 ⇒

k nL

n = 2 con = ∈ >π π

λΖ 0 o λ = con 2

0L

nn∈ >Ζ 5-37

Esta expresión es la misma hallada en la guía teórica 5-1, nos esta diciendo que si la cuerda tiene dos puntos fijos (nodos), distantes una longitud L , no todas las longitudes de onda están permitidas para una onda estacionaria, sólo están permitidas aquellas que garanticen que la función de onda se anule en 0=x y Lx = . 5-16. Guía teórica. Análisis de Fourier:

Cuando se puntea la cuerda de una guitarra se escucha un sonido que, en general, no corresponde a un armónico puro sino que resulta ser una superposición de muchos modos de vibración. Dependiendo de donde se puntea (y del tipo de instrumento) es posible excitar mucho el fundamental, quizás nada el segundo armónico, poco el tercero, nada el cuarto y así siguiendo. O podría no excitarse para nada el fundamental y si el segundo armónico, etc.. Algo parecido pero aún más complicado ocurre con el sonido que emitimos al hablar, nos resulta imposible emitir un sonido puro, siempre corresponde a una superposición de muchos posibles armónicos, cada uno de ellos con una intensidad


215

determinada por la forma en que construimos el sonido en nuestras cuerdas bocales y en nuestra boca. El objetivo de este ejercicio teórico es el de estudiar las amplitudes (y fases) con que cada armónico aparece cuando una cuerda es excitada. Si el sistema es lineal (no dispersivo), el estado de movimiento más general de una cuerda continua, con ambos extremos fijos y , como ejemplo, transversalmente, puede obtenerse como una superposición de todos los modos posibles (armónicos), numerados 1,2,3,...., con amplitudes 1A , 2A , 3A , ....., y constantes de fase 1ϕ , 2ϕ , 3ϕ ,......, que dependen como ya veremos, de la deformación inicial de la cuerda. De esta forma, la función de onda más general correspondiente a una cuerda vibrante resulta,

( ) ( )

( ) ( )

( )i

444

4333

3

222

2111

1

cos 2

........... cos 2 cos 2

cos 2 cos 2 ),(

ϕωλπ

ϕωλπϕω

λπ

ϕωλπϕω

λπ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ψ

∑∞

=

txsenA

txsenAtxsenA

txsenAtxsenAtx

nnni

n

5-38

donde,

knn

=2πλ

5-39

es el número de onda, y se relaciona con la frecuencia nω a través de la relación de dispersión,

vk

n

n

=ω

. 5-40

Note que la velocidad de propagación es igual para todas las frecuencias (medio lineal no-dispersivo).

Ondas estacionarias

216

Las constantes nA y las fases nϕ son determinadas por las condiciones

iniciales de la cuerda, los desplazamientos Ψ( , )x t y las velocidades ∂Ψ

∂( , )x tt

para

cada x a 0=t , correspondientes a la deformación inicial de la cuerda. Para fijar ideas resolveremos un ejemplo particular. Ejemplo: Si inicialmente (a 0=t ) la cuerda se desplaza de la posición de equilibrio y luego se suelta (desde el reposo), la velocidad inicial de todos los puntos de la

cuerda resulta cero, por lo cual, la derivada ∂Ψ

∂( , )x tt

resulta nula. Como ∂Ψ

∂( , )x tt

resulta ser una suma de términos que contienen ( )nnt ϕ+ωsen (verifique derivando Ψ( , )x t ), la única manera de que toda la suma se anule cuando 0=t es que todas las fases valgan cero, o sea, 0=ϕn ∀n (verifíquelo). Por lo tanto, para cuerdas que inicialmente parten del reposo, los desplazamientos pueden expresarse como:

( ) ( )

( ) ( )

( )txsenA

txsenAtxsenA

txsenAtxsenAtx

nnn

n ωλπ

ωλπω

λπ

ωλπω

λπ

cos 2

........... cos 2 cos 2

cos 2 cos 2 ),(

1

44

433

3

22

211

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ψ

∑∞

=

5-41

Sólo nos queda determinar las amplitudes con que participa cada modo, es

decir los valores de 1A , 2A , 3A , ......,etc. (fundamental, segundo armónico, etc.). Para hallar estas constante resulta necesario conocer cuál es la deformación inicial de la cuerda. Supongamos que a 0=t obligamos a la cuerda a tener una forma determinada dada por una función f ( )x , por ejemplo la forma dada en la figura 5-9 (diente de sierra simétrico de amplitud A ).


217

Esta deformación no es muy agradable para la física ya que es picuda (no derivable, lo que implica deformación y aceleración infinitas), pero por su simplicidad la vamos a estudiar como ejemplo. A simple vista, vemos que está deformación se parece mucho al modo fundamental, por consiguiente, es de esperar que la amplitud 1A sea mayor que las demás amplitudes, es decir, el modo fundamental será el más intenso (más excitado). Otra cosa que podemos intuir es que el segundo armónico no se excitará, ya que este modo tiene un nodo en el centro de la cuerda ( 0=Ψ no se mueve), y además, si consideramos como que ese nodo (en mitad de la cuerda) es el origen de coordenadas, la función f ( )x (diente de sierra) es una función par (respecto a ese nodo) mientras que el segundo armónico es una función impar, e intuimos que para aproximar a f ( )x necesitamos funciones que posean su misma paridad, por consiguiente esperamos que 02 =A . Lo mismo va a pasar con todos los armónicos pares, ya que todos tienen un nodo en el centro y son impares respecto a ese punto, cosa que no es compatible con la deformación inicial, por ende, podemos intuir que,

0=nA para todo n par. 5-42 Comprobemos lo anterior analíticamente. A 0=t cada parte de la cuerda tiene un desplazamiento correspondiente a la forma de diente de sierra, que corresponde a decir que Ψ( , ) ( )x t x= =0 f , o sea,

)f( = .....+2+2+2 )0,(3

32

21

1 xxsenAxsenAxsenAtx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==Ψ

λπ

λπ

λπ . 5-43

Veremos que, la forma de f ( )x determina las amplitudes. Necesitamos primero definir a la función f ( )x en un intervalo que va desde

0=x a Lx 21 =λ= (aunque la cuerda sólo llega hasta L ), y la forma adecuada es definirla de tal forma que sea periódica con período L21 =λ . Esto resulta conveniente ya que, como inmediatamente veremos, aprovecharemos el hecho de

A

Figura 5-9: Cuerda inicialmente desplazada, con forma de diente de sierra.

Ondas estacionarias

218

que si integramos una función armónica (seno o coseno) en un período o un múltiplo de período la integral se anula. De acuerdo a lo anterior, redefinimos a la función f ( )x de tal forma que sea una función periódica con período L21 =λ , esto lo logramos agregando una imagen especular, como muestra la figura 5-10, De acuerdo a la figura 5-10 la expresión analítica de )(f x es (verificar):

f( ) =

0

3L / 2x

m xm x Am x A

sisisi

x LL x L

x L

+

− +

+ −

⎧

⎨⎪

⎩⎪

≤ ≤

< ≤

< ≤

24

22 3 2

2

// / donde la pendiente es m

AL

=2

5-44

Una vez redefinida la función nos abocamos a hallar el valor de las amplitudes de cada modo. Primero tratemos de hallar el valor de A1. Para ello usamos el viejo truco de que las funciones armónicas se anulan si las integramos sobre un período (una longitud de onda), o un múltiplo de un período, ya que tienen tantos tramos positivos como negativos.

Multipliquemos a Ψ( , )x t = 0 , o f ( )x , por ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ x1

2sen e integremos desde

0=x hasta 1λ=x , es decir :

...........+ 22

+ 22+ 2= 2 )f(

3

0 13

2

0 12

0 1

21

0 1

1

111

dxxsenxsenA

dxxsenxsenAdxxsenAdxxsenx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∫

∫∫∫

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λπ

λ

λλλ

5-45

12 L 3

2 LL 2L

-A

A

f(x)

x

Fig. 5-10


219

Sabemos que en una longitud de onda del modo fundamental 1λ caben 2 2λ , 3 3λ , etc., usando este hecho es muy simple demostrar que la única integral que no se anula es la primera, ya que las demás tienen tantos tramos positivos como negativos. Entonces obtenemos:

11

0 1

21

0 1

2

2sen 2sen)(f11

AdxxAdxxxλ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

∫∫λλ

, 5-46

y de aquí podemos despejar 1A

2sen)(f2 1

0 111 dxxxA ∫

λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

λ= 5-47

De igual forma, podemos hallar el resto de las amplitudes integrando (verificar):

2sen)(f2 1

0 1n dxxxA

n∫λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

λ= 5-48

Las expresiones 5-47 y 5-48 son completamente generales y valen para cualquier función )(f x periódica. Para el caso particular del diente de sierra las amplitudes se obtienen integrando ambas expresiones, resultando (verificar):

A An

n

nnn

=−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

−

0

812 2

1 2

si

si

es par

es impar

π( ) ( )/

5-49

Como esperábamos las amplitudes correspondientes a los modos pares se anulan. Sobre la base de esto podemos reescribir la función f ( )x como,

Ondas estacionarias

220

⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==Ψ

............+2 491

2 251+2

912 1 8)0,(=)f(

7

5312

xsen

xsenxsenxsenAtxx

λπ

λπ

λπ

λπ

π 5-50

Por consigiente, la función de onda que describe la evolución subsiguiente de la cuerda es,

( ) ( )

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ψ

............+cos 2 491 cos 2

251

+cos 2 91 cos 2 1 8),(

77

55

33

11

2

txsentxsen

txsentxsenAtx

ωλπω

λπ

ωλπω

λπ

π 5-51

donde,

nn fπ=ω 2 y 1

1 λ== vnnffn 5-52

Note que hemos hecho un desarrollo (serie de Fourier), en el cual, una función diente de sierra se ha descompuesto en una suma de infinitos términos armónicos. Para tener una mejor visión de lo hecho se recomienda graficar la función f ( )x sobre la base de la expresión 5-50, y verificar que ha medida que mejoramos la aproximación, teniendo en cuenta mayor cantidad de armónicos, obtenemos una mejor aproximación a la función diente de sierra. Con ayuda del programa Mathematica grafique en un mismo gráfico las funciones:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

π≈ xAxx

121

2sen8=)(f)f(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

π≈ xxAxx

3123

2sen912sen18=)(f)f(


221

f1 (x)

f5 (x)

f3 (x)

f7 (x)

f9 (x) f21 (x)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

π≈ xxxAxx

53125

2sen251+2sen

912sen18=)(f)f(

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

π≈ xxxxAxx

753127

2sen4912sen

251+2sen

912sen18=)(f)f(

etc. En la figura 5-11 mostramos el gráfico obtenido para f1 ( )x , f3 ( )x , f5 ( )x , f7 ( )x , f9 ( )x y f21( )x (donde hemos usado A = 1 y L = 10),

Figura 5-11: Desarrollo de Fourier de la función f ( )x Gráfico de las funciones f1 ( )x , f3 ( )x , f5 ( )x , f7 ( )x , f9 ( )x y f21 ( )x .

Ondas estacionarias

222

Observe como a medida que agregamos más modos más se parece, el desarrollo en serie, al diente de sierra. El gráfico de f9 ( )x ya resulta una muy buena aproximación, salvo el redondeo del borde, y mejora notablemente en el gráfico de f21 ( )x . Una forma habitual en que puede manejarse la información obtenida, respecto a la amplitud con que contribuye cada modo a la oscilación total, es con el gráfico mostrado en la figura 5-12, denominado comúnmente como Espectro de frecuencias. En donde en el eje x hemos identificado las frecuencias, mientras sobre el eje y hemos identificado la amplitud correspondiente a cada modo. Puede verse que el modo fundamental es el que contribuye en mayor intensidad, mientras que ya el noveno armónico puede llegar a despreciarse en alguna aproximación. Note que la amplitud es menor para modos más altos, esto resulta lógico desde el punto de vista energético, ya que según vimos en la guía teórica 5-5, la energía de una onda estacionaria crece a medida que aumenta la frecuencia de oscilación y la amplitud. La energía de cada modo es,

E m f An n n= 2 2 2 2π 5-53

donde f n fn = 1, usando que AAnn

n= − −812 2

1 2

π ( ) ( )/ , entonces la energía de cada

modo resulta,

Em f A

nn =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

128 112 2

2 2

π, 5-54

Figura 5-12: Espectro de frecuencias del desarrollo de Fourier de la función f ( )x .

Amplitud

frecuencia ω31ω 7ω5ω


223

lo que nos está indicando que la energía que le corresponde a cada modo (en el diente de sierra) disminuye como la inversa del cuadrado del número del modo. Timbre y consonancia. Sobre la base de lo aprendido podemos entender algunos conceptos utilizados frecuentemente en música, como por ejemplo, el timbre de una nota, la consonancia de notas y la disonancia. El timbre de una nota musical lo determina la amplitud relativa con que participa cada armónico en el sonido total. Una nota con el primer armónico, solamente, es una nota pura, mientras que una nota con muchos armónicos es una nota rica. Un violín produce una proporción de armónicos diferente de la que produce un oboe, para la misma nota, es decir, producen notas con diferente timbre. El tamaño y la forma de la caja de resonancia caracterizan el sonido que emite cada instrumento. En los gráficos de la figura 5-13 se muestra el espectro de frecuencias correspondiente a un violín y a un diapasón. Vemos que muchas son las frecuencias que conforman el sonido de una dada nota de violín. Se observan cuatro frecuencias que participan con mayor amplitud, pero vemos también que aparece un continuo de frecuencias. Más aún, los picos no son líneas como las que vimos en el desarrollo de Fourier de la cuerda, aquí aparecen picos con un cierto ancho, o entorno de frecuencias, cercanas a la de mayor amplitud. En cambio, en el caso del diapasón hay una frecuencia dominante, la nota es casi pura, aunque no del todo, ya que vemos que no es una línea, sino un pico, con un cierto ancho.

880Hz Frecuencia en Hz

Nivel de sonido

1760Hz440Hz 1320Hz

Violín

Ondas estacionarias

224

Nivel de sonido

Frecuencia en Hz

Diapasón

Podemos “fabricar” diversas notas si conectamos osciladores electrónicos (que generan frecuencias casi puras) a un parlante. Deberíamos escoger las frecuencias de los osciladores de manera que tengan los valores f1, 2 1f , 3 1f , etc. (armónicos). Ajustando entonces el control de volumen de cada oscilador, podemos seleccionar la amplitud con que participa cada armónico, y por consiguiente producir notas de diferente timbre (piano, violín, guitarra, etc.). Decimos que dos notas son consonantes cuando tienen armónicos de la misma frecuencia, por ejemplo, que el primer armónico de una nota concuerde con el segundo armónico de la otra (por supuesto si esto se cumple concordarán muchos más armónicos, verifique). Dos notas son disonantes si sus armónicos superiores (primer armónico, segundo, tercero, etc.) tienen frecuencias cercanas, pero lo bastante separadas como para que haya pulsaciones rápidas entre las dos (el tema pulsaciones o batidos se estudia en el capítulo siguiente). Por alguna razón que no conocemos, las notas consonantes resultan agradables a nuestros sentidos, mientras que las disonantes no. 5-17. (Recomendado). Repita los cálculos hechos, en la guía anterior, pero para el caso de una deformación inicial (de la cuerda de longitud L) del tipo onda cuadrada, como la mostrada en la figura 5-14. Discuta sobre su realidad física. ¿Se excita el modo fundamental?. Discuta. Aproxime a la función cuadrada por su desarrollo de Fourier para diferentes ordenes, grafique la función aproximada y compare con la original.

Figura 5-13: Espectro de frecuencias del sonido de una nota de violín y de un diapasón. Mientras que la nota del violín es rica en frecuencias, la nota del diapasón es “casi” pura.


225

Resp. ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

π= ....2sen

51+2sen

312sen4)f(

531

xxxAx

donde L21 =λ y nn

1λ=λ

5-18. (Recomendado). Suponga que posee un generador de audio, cuya frecuencia de salida es posible variar, dentro de cierto rango. Suponga además que el generador tiene dos opciones, las cuales pueden seleccionarse por medio de una perilla, genera una onda sinusoidal o una onda cuadrada. Con el generador de audio desea excitar el modo resonante de un sistema

masa-resorte de frecuencia natural Hzf 602

00 =

ωπ= .

a) Si el generador funciona en el modo sinusoidal, cual debería ser la frecuencia de salida para que el sistema masa-resorte resuene. Resp. Hzff 600 ==

b) Muestre que si el generador entrega una onda cuadrada de frecuencia

Hzf

f 203

0 == el sistema masa-resorte resuena. Discuta.

Ayuda: Analice detenidamente el desarrollo de Fourier de una onda cuadrada dado en el problema anterior. Discuta.

L x 2L

-A

A

f(x) Fig. 5-14

Ondas estacionarias

226

Bibliografía: • Física Vol. 1, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. • Introducción al estudio de la mecánica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

Kraushaar, Ed. Reverté. • Física, Mecánica, ondas y termodinámica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

Reverté. • Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3 Ed. Reverté. • Física, Mecánica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

Iberoamericana. • Física Vol. 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana

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