CAPITULO III - DISEÑO DE REDES

7/31/2019 CAPITULO III - DISEO DE REDES

1/56

OPTI MI ZACI ON APLI CADATr im est r e de Ot oo 20 12

Cap t u lo I I I : Di se o de Redes


2/56

2

Primero veamos problemas

de Flujo en redes


3/56

3

Problemas de Flujos

Los problemas de flujos se pueden representar atravs de un grafo.

Qu es un grafo? Veamos uno ejemplo.


4/56

Los puentes de Knigsberg

Es posible cruzartodos los puentes

una sola vez yvolver al mismopunto del quesali?

4


5/56


Esta ciudad es atravesada por el ro Pregolya, elcual se bifurca para rodear con sus brazos a la

isla Kneiphof, dividiendo el terreno en cuatroregiones distintas, las que entonces estabanunidas mediante siete puentes llamados Puentedel herrero, Puente conector, Puente verde,Puente del mercado, Puente de madera, Puentealto y Puente de la miel.

El problema fue formulado en el siglo XVIII y

consista en encontrar un recorrido para cruzar apie toda la ciudad, pasando slo una vez por cadauno de los puentes, y regresando al mismo puntode inicio.

5


6/56


Este problema fue resueltopor Leonhard Euler en

1735. Consider un representacinabstracta del mapa. Secentra en las regionesterrestres y las conexionesentre ellas.

Cada regin la represent por unpunto, denominados nodos o

vrtices. Mientras, los puentes lo represent

por una lnea que una dos puntos.Las lneas se denominan aristas o

arcos ESTO DIO ORIGEN A LA TEORA DE GRAFOS6


7/56


Volviendo a la pregunta:Es posible cruzar todos los

puentes una sola vez y volveral mismo punto del que sali?

7


8/56


Volviendo a la pregunta:Es posible cruzar todos los puentes una sola vez y volver al

mismo punto del que sali?

La respuesta es no.

Si lo buscado es un Euler tour (es decir debemos volver al

mismo punto de partida, hay solucin solo si existe untrayecto entre cada par de puntos y cada punto tiene unnmero par de arcos adyacentes.

Si lo buscado es un camino Euler (es decir cubrimos todoslos arcos una vez, pero no volvemos al punto de partida),hay solucin si y slo si, existe un trayecto entre cada par depuntos y hay exactamente dos vertices que incide un

nmero impar de caminos8


9/56

Ejemplos de grafos

Nodos representan lasestaciones.

Las aristas son las conexionesentre estaciones.

9


10/56

Ejemplos de grafos: Red de distribucinde gas y petrleo en Europa

Nodos los puntos dedemanda o puntos deextraccin.

Las aristas son caerasde transporte

1 0


11/56

Ejemplos de grafos: Red de distribucinde gas y petrleo en Europa

Nodos los puntos sonlos elementos de laplaca

Las aristas son lasconexiones.

1 1


12/56

Definiciones bsicas

Un grafo G(V,E) est compuesto por un conjunto devrtices y un conjunto de aristas. El grafo se

representa por puntos o crculos unidos por lneas. La magnitud de un grafo G se caracteriza por elnmero de vrtices (llamado orden de G) y el nmerode aristas (tamao de G).

NOTA: El tiempo de ejecucin de los algoritmos se mide en trminosdel orden y el tamao.

1 2


13/56

Definiciones bsicas

Un grafo no dirigido G(V,E) est compuesto por unconjunto de vrtices y un conjunto de aristas. El grafo

se representa por puntos o crculos unidos por lneas. La magnitud de un grafo G se caracteriza por elnmero de vrtices (llamado orden de G) y el nmerode aristas (tamao de G).

NOTA: El tiempo de ejecucin de los algoritmos se mide en trminosdel orden y el tamao.

1 3


14/56

Definiciones bsicas

Gr af o d i r ig ido . El aristas del grafo es presentadocomo un par ordenado (u,v), donde u , v V. u es el

inicio del vrtice y v es el final del vrtice.2

4

31

V= { 1, 2, 3, 4}, | V| = 4

E= {(1,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2)}, | E|=5

1 4


15/56

Definiciones bsicas

Gr af o n o- d i r ig id o . La arista del grafo es presentadocomo un par sin ordenado (u,v)=(v,u), donde u , v

e

V. U es el inicio del vrtice y v es el final delvrtice. 2

4

31

V= { 1, 2, 3, 4}, | V| = 4

E= {(1,2), (2,3), (2,4), (4,1)}, | E|=4

1 5


16/56

Definiciones bsicas

Gr ad o de u n v r t ice. En un grafo no-dirigido el nmero de aristas que inciden

en el. En un grafo dirigido, se tiene grado de entrada y gradode salida: Grado de entrada. Nmero de arcos que ingresan al vrtice.

Grado de salida. Nmero de arcos que salen del vrtice.

2

4

31

2

4

31

El grado del vrtice 4 es 3 El grado de entrada del vrtice 4 es 1.El grado de salida del vrtice 4 es 21 6


17/56

Definiciones bsicas

Gr af o pon der ado . Es un grafo donde cada aristatiene asociado un peso. Se dice que es un funcin: w:

E

R 2

4

31

2

4

31

43

2

62

2

1

3 4

7

6

1 7


18/56

Definiciones bsicas

Un c am i no es una secuencia(v1,v2,v3,,vL), tal que {(v1,v2),

(v3,v4),,(vi,vL)} E, por ejemplo

4

85

4

2

7

v5v4

v3v2

v66

3

v1

4

85

4

2

7

v5v4

v3v2

v66

3

v1

Un cam i no si m p l e es un

camino donde no se repiteningn vrtice, por ejemplo

1 8


19/56

Definiciones bsicas

Ciclo es un camino donde v1= vL,no se repite ningn vrt ice.

4

85

4

2

7

v5v4

v3v2

v66

3

v1

Un gr afo c c l ico, es aquelcontiene un ciclo.

Un g r a fo acc l i co , es aquel queno tiene ningn ciclo.

1 9


20/56

Definiciones bsicas

Gra fo b i pa r t i t o . Es un grafo nodirigido G(V,E), donde V puede

ser particionado en dosconjuntos V1 y V2 tal que (u,v) E, implica que:

u V1 and v V2ORv V1 and u V2.

u

v

V1V

2

2 0


21/56

Definiciones bsicas

Gr afo Com ple t o . Es un grafo elque existe una arista queconecta cada par de vrtices

2 1


22/56

2 2

Continuemos con

Problemas de Flujos


23/56

Problema de Asignacin

Un servicio de reparacin de equipos elctricos le hanllegado tres productos a reparar: tostadora, plancha y

microonda. Para realizar la reparacin la empresa cuentacon tres tcnicos. Debido a la experiencia de cada uno, lostiempo que se demoran en reparar un equipo son distintopara cada uno. En la siguiente tabla se muestra un

resumen de los tiempos requerido por cada trabajadorpara reparar cada mquina. Si el costo de hora hombre esde 3000 $, defina un modelo de programacin lineal paraminimizar el costo de reparacin sujeto a la condicin que

cada trabajador puede ser asignado slo a un trabajo.Trab\Equi Tostadora Plancha Microonda

T1 5 [horas] 3 [horas] 11 [horas]

T2 5 [horas] 1 [horas] 8 [horas]T3 9 [horas] 4 [horas] 9 [horas] 2 3


24/56

2 4

El Problema de Transporte

Un empresa tiene un conjunto de plantas, cuya localizaciones sonconocidas, para la fabricacin de su nico producto. La demanda delproducto se concentra principalmente en un conjunto de tiendas. Se

necesita conocer la cantidad a distribuir desde las plantas a las diferentestiendas, sujeto a la condiciones: satisfacer la totalidad de la demanda delas tiendas y no sobrepasar la capacidad en cada planta.

Plantas(Oferta) Clientes

(Demanda)

a1

a2

b1

b2

b3

Para su presentacin setiene un grafo bi-partito,donde:

V1 Son los nodos ovrtices que representanlas plantas (nodos deoferta)

V2 Son los nodos ovrtices que representanlas tiendas (nodos dedemanda)

Los Arcos representan

las rutas que conecta lasplantas con las tiendas.


25/56

2 5


Sea:

V1 = Conjunto de plantas ={1,..,m}

V2 = Conjunto de tienda = {1,..,n}

ai = cantidad mxima que puede fabricar la planta i.

bJ = requerimiento total del artculo en la tienda j.

cij = costo unitario de transporte entre la planta i y la tienda j


26/56

2 6

Co n sid er em o s la sig u ien t e in st a n cia:

O1 =300 D1 = 600

O2 =600

O3 =500

D2 = 500

D3 = 300

4 $/unidad

76

5 5

5

95

8


Otot. = 1400 Dtot. = 1400

Describa el modelo de programacinlineal para esta instancia


27/56

2 7

Caso 1 : Of er t a m ay o q u e d em an d a

O1 =400 D1 = 600

O2 =700

O3 =500

D2 = 500

D3 = 300

4

76

5 5

5

95

8


Otot. = 1600 Dtot. = 1400


28/56

2 8

Caso 1 : Of er t a m ay o q u e d em an d a

O1 =400 D1 = 600

O2 =700

O3 =500

D2 = 500

D3 = 300

4

76

5 5

5

95

8


D4 = 20000

0

Otot. = 1600 Dtot. = 1400


29/56

2 9

Al resolver el problema obtenemos como solucin:

O1 400 D1 = 600

O2 700

O3 500

D2 = 500

D3 = 300

400 Ton

200 Ton



30/56

3 0

Al resolver el problema obtenemos como solucin:

O1 =400 D1 = 600

O2 =700

O3 =500

D2 = 500

D3 = 300

400 Ton

200 Ton


D4 = 200200 Ton


31/56

3 1

Caso 2 : Dem an d a m ay or q u e la Of er t a

O1 =400D1 = 700

O2 =600

O3 =400

D2 = 600

D3 = 300

4

76

5 5

5

95

8


Otot. = 1400 Dtot. = 1600


32/56

3 2

Caso 2 : Dem an d a m ay or q u e la Of er t a

O1 =400D1 = 700

O2 =600

O3 =400

D2 = 600

D3 = 300

4

76

5 5

5

95

8


Otot. = 1400 Dtot. = 1600

M

M

M

O4 =200


33/56

3 3

Una solucin del problema sera:

O1 =400D1 700

O2 =600

O3 =400

D2 600

D3 300

400

300

300

300

100


Otot. = 1400 Dtot. = 1600


34/56

3 4

Considerando un nodo oferta ficticio

O1 =400D1 = 700

O2 =600

O3 =400

D2 = 600

D3 = 300

400

300

300

300

100


Otot. = 1400 Dtot. = 1600

O4 =200

100


35/56

Problema Transbordo

Una empresa forestal debe satisfacer la demanda demadera aserrada (m3) a sus 5 clientes, suyorequerimientos son: 1200, 1500, 1400, 800 y 700 m3.

Para satisfacer la demanda la empresa cuenta con tresbosques y cuatro aserraderos. La cantidad de troncosdisponibles en cada bosque es de: 1500, 2500 y 1200troncos y la capacidad de cada aserradero es de: 1200,2100, 2900 y 1500 troncos. En la tabla A, se muestran

los rendimientos de los aserraderos y los costos detransporte de madera aserrada. Mientras que la tabla Bmuestra los costos de transporte de troncos desde losbosques a los aserraderos. Se pide determinar un modelo

de programacin lineal que minimice el costo detransporte sujeto a la condicin de satisfacer la demandade los clientes y no exceder la capacidad de cadaaserradero y la disponibilidad de troncos a explotar.

3 5


36/56

Tabla A

Aser\Clien1 2 3 4 5 Rend.

m3/troncoUS$/m3

1 4 3 5 7 5 1.5

2 3 5 4 6 2 2.4

3 4 2 7 2 3 0.9

4 1 3 4 2 9 1.1

Demanda 1200 1500 1400 800 700

Tabla B

Bosq\Aser1 2 3 4 Capacidad

troncoUS$/Tronco

1 2 4 1 6 1400

2 4 8 9 10 800

3 7 2 1 2 700

Capacidad 1200 2100 2900 1500

Problema Transbordo

3 6


37/56

3 7

Problema de Transbordo

D5 = 700

D1 = 1200

D2 = 1500

D3 = 1400

D4 = 800

O1 =1500

O2 =2500

O3 =1200

Q1 = 1200

Q2 = 2100

Q3 = 2200

Q4 = 2900

r1 = 1,5

r2 = 2,4

r3 = 0,9

r4 = 1,1


38/56

3 8

Problema de Transbordo

D5 = 700

D1 = 1200

D2 = 1500

D3 = 1400

D4 = 800

O1 =1500

O2 =2500

O3 =1200

Q1 = 1200

Q2 = 2100

Q3 = 2200

Q4 = 2900

r1 = 1,5

r2 = 2,4

r3 = 0,8

r4 = 0,8

1200 1800 1200

300

300

29401800

1200

1400

340700

7501160 460

700

0

Es la solucin ptima?


39/56

Problema Transbordo

Cul sera el modelo?

Qu sucede si hay capacidad entre instalaciones?

Cul sera el modelo clase del problema?

Cmo sera el modelo si se define la variable: xijk, cantidadque proviene del bosque i que pasa por aserradero j para llegaral cliente k?

3 9


40/56

4 0

En el problema de transporte existe un conjunto de nodos ofertasy un conjunto de nodos de demanda. La distribucin del bien oservicio se haca en forma directa desde los nodos oferta hasta los

nodos demanda. La caracterstica del problema de flujo a mnimo costo (PFMC) es

que la distribucin del producto no necesariamente se hace

directamente desde los nodos oferta a los nodos de demanda. Ahora, de un nodo oferta se enva productos que son distribuidosa un conjunto de clientes, en forma secuencial. Por otra parte, uncliente podra recibir productos desde diferentes nodos de oferta.

Se busca satisfacer la demanda de cada cliente de manera deminimizar el costo asociado al flujo que circula, sujeto a lacondicin de no exceder un lmite mnimo y mximo en cada

camino y no sobrepasar la capacidad de cada nodo oferta. Se debe identificar ue caminos utilizar.

Pr ob lem a de Flu j o a Mn im o Cost o

Con j un t o de p lan t as ( nodos o fer t a )

Cla ramen te


41/56

4 1

Las ins t a laciones es tn conect adasp o r d u ct o s ( a r co s) , t e n ien d o u n a

capac idad m x im a. Cada un a de

los duc tos requ ie re un a can t idad

m n im a que debe ci r cu la r po r

m o t i vo s d e co n t r a t o y u n co st oasociado a f lu j o que c i r cu la

Con j un t o de p lan t as ( nodos o fer t a )

y con ju n t o de c li en tes ( nodos de

d e ma n d a )

Oj

Dii

j

( ; ; )ij ij ij

c l u

n u e s t r o

p r o b lem a se

rep resen t a po ru n g r a f o .

11


42/56

4 2

2

18

1

17

14

5

3

15

16

4

10

11

9

8

76

13

12

14,18 14,18 14,18( ; ; )c l u

18,14 18,14 18,14( ; ; )c l u


43/56

4 3

Problema de Flujo a Mnimo Costo


44/56

4 4



45/56

4 5


En la red existe un conjunto de nodos productores u oferta yun conjunto de nodos consumidores o demanda

Se debe decidir como enviar (que arcos utilizar) para enviar losproductos desde los nodos oferta hacia los nodos demanda),

Minimizando los costos de transporte sobre la red.

ANTES DE DESARROLLAR EL

MODELO CLASE DEL PROBLEMA

P bl d Fl j M i C


46/56

4 6


2

1

5

3

4

7

6

O1= 1 0

O4= 2 0

D7= 1 5

D5= 1 5D2= O2= 0

D3= O3= 0

D6= O6= 0

D2= O2= 0 ?

P bl d Fl j M i C t


47/56

4 7


2

1

5

3

4

7

6

O1= 1 0

O4= 2 0

D7= 1 5

D5= 1 5D2= O2= 0

D3= O3= 0

D6= O6= 0

1 0

1 0

5

2 0

1 5

Cun t o es el f l u j o qu e en t r a

y sa le de l nod o 3?


y sa le de l nod o 6?

P bl d Fl j M i C t


48/56

4 8


2

1

5

3

4

7

6

O1= 1 0

O4= 2 0

D7= 1 5

D5= 1 5D2= O2= 0

D3= O3= 0

D6= O6= 0

1 0

1 01 5

2 0

2 0


y sa le de l nodo 3?





49/56

4 9


2

1

5

3

4

7

6

O1= 1 0

O4= 2 0

D7= 1 5

D5= 1 5D2= O2= 0

D3= O3= 0

D6= O6= 0

1 0

1 01 5

2 0

2 0



1 0

Problemas de Flujo en Redes


50/56

5 0

Problemas de Flujo en Redes

En r esum en :

Se puede representar el problema sobre una Red o Grafo dirigidoG(N,A), donde Nes el conjunto de nodos y A es el conjunto de arcos.

Se define para cada arco (i,j)

A: cij costo asociado al flujo que circula

Lmite mnimo lij.

Lmite Mximo uij.

Cada nodo ide la red posee una oferta Oi y una demanda Di,

Un n od o i cuya demanda Oi = 0 y ofertaDi= 0 se denomina n od o d et rans fe renc ia .

b(i): oferta en el nodo i . Definiremos que si un nodo i: b(i)> 0 Oferta b(i)< 0 Demanda b(i)= 0 Transferencia



51/56

5 1


2

1

5

3

4

7

6

b(1)=10

b(4)=20

b(7)=-15

b(5)=-15b(2) =0

b ( 3 ) = 0

b(6)=0



52/56

5 2


Ejemplo

Arco Parmetros

N Cola

Cabe

za

Costo

(cij)

Lmite

inferior(lij)

LmiteSuperior

(uij)

1 1 2 7 0 11

2 1 3 9 0 11

3 1 4 10 4 11

4 2 3 7 0 11

5 2 5 5 0 11

6 3 4 10 5 11

7 3 5 3 0 11

8 3 6 9 0 11

9 4 3 2 0 11

10 4 6 3 6 11

11 5 3 5 0 11

12 5 6 8 0 11

13 5 7 9 0 11

14 6 5 1 5 11

15 6 7 8 0 11

i j

(cij;lij;uij)

Defina el modelo para la

instancia


53/56

5 3

Se busca determinar la ruta entre dos puntos de unrea, con el objetivo de minimizar, por ejemplo:

distancia o tiempo. Nuevamente, el problema se pude representar por un

grafo.

El Problema de Ruta Ms Corta

El P bl d R t M C t

2426

Las reg i on es se

t d


54/56

5 4

El objetivo es determinar la ruta entre dos puntos de unrea, con el objetivo de minimizar, por ejemplo:distancia o tiempo.


16

23

22

212019

18

17

6

1

25

3

15

25

7

1214

4

9

8

10

11

13

26

27

28

28

r ep r esen tan p o r n odos

( N)

Los cam inos qu e conec tan

cada reg in rep r esen t an

los a rcos ( A)

El peso asoc iad o a cada

arco , repr esent a r :

d i s tancia o t i em po .

El P bl d R t M C t


55/56

5 5

El problema se puede representar por un grafo dirigidoG(N,A), donde N es el conjunto de nodos y A es el

conjunto de arcos. Cada arco (i,j) tiene asociado unpeso cij (distancia o tiempo). Se busca determinar lacamino entre dos nodos s y tcon el objetivo deminimizar la distancia o el tiempo total.

Este problema es un caso particular del problema deflujo a costo mnimo (PFCM). Porqu?


El P bl d R t M C t


56/56

5 6

La idea sera considerar: s el nodo de oferta condisponibilidad de una unidad y t el nodo de demanda,

cuyo requerimiento es de una unidad. Porqu la solucin sera un camino?


CAPITULO III - DISEÑO DE REDES

Documents

Transcript of CAPITULO III - DISEÑO DE REDES