Capitulo III Derivada III

ING. PABLO GARCA Y COLOM

(Apuntes en revisin para orientar el aprendizaje) APLICACIONES FSICAS DE LA DERIVADA. RAZONES DE VARIACIN DE VARIABLES RELACIONADAS Considrese un movimiento rectilneo de una partcula. A cada valor del tiempo " "t corresponde un cierto desplazamiento " "s de la partcula; luego la distancia recorrida es funcin del tiempo, es decir, que: ( )s f t= Si " "t experimenta un incremento " "t , la variable " "s tambin experimentar su correspondiente incremento " "s y el cociente s

t es la razn de variacin de " "s con

respecto a " "t . Como es distancia sobre tiempo, se le llama rapidez de variacin y equivale al mdulo de la velocidad media de la partcula. As,

media medias v vt

= = En el movimiento uniforme la velocidad es constante por lo que la velocidad media obtenida a partir del cociente anterior sera la misma durante todo el tiempo considerado. Sin embargo, cuando el movimiento es variado, esto es, cuando la velocidad experimenta cambios, entonces el mdulo de la velocidad se obtendr mediante la razn instantnea de variacin de " "s con respecto a " "t , la que se determina a travs del lmite:

0limt

s dsv vt dt

= = = Con la aceleracin, esto es, el cambio de la velocidad en la unidad de tiempo, tambin es posible aplicar estos conceptos y se obtendran la aceleracin media y la aceleracin instantnea:

media mediav a at

= = 2

20limt

v dv d sa at dt dt

= = = =


2Ejemplo. Se tiene un movimiento vertical. De acuerdo a la Cinemtica, la expresin que define a la aceleracin es:

0fv vat= si se trata de cada libre:

( )0 0 aceleracin de la gravedadv y a g= = y entonces,

( )velocidad en cada libref fvg v gtt= = Por otro lado, se sabe que la velocidad media est dada por

svt

= donde " "s es el espacio recorrido. Esta velocidad

tambin se obtiene mediante la expresin 02

fv vv += y

como se trata de cada libre, 0 0v = por lo que 2fvv = de

donde:

2 2f fv v ts s

t= =

Como fv gt= , se puede escribir que: ( )2 distancia recorrida en cada libre

2gts =

Se aplican las primeras dos derivadas, que definen los mdulos de la velocidad y la aceleracin, y se tiene:

2

;2gt dss v v v gt

dt= = = =

2

2dv d sa a a gdt dt

= = = = Se parti de la Fsica y con el Clculo se lleg al mismo resultado. Ejemplo. Se deja caer un objeto y cuando han transcurrido 3 segundos, se requiere conocer su velocidad. Determinarla: )i Mediante la aplicacin numrica del lmite de la

velocidad media. )ii A partir de la derivada del espacio recorrido. )iii Por medio de la frmula cinemtica correspondiente.


3Solucin.

)i Se sabe que en cada libre ( ) 22gts f t= = y como

29.8mgs

= , entonces 24.9s t= . La velocidad media se obtiene con el cociente s

t y la instantnea a partir del lmite:

0limt

svt

= Por lo que se construye la siguiente tabla:

t t ( )f t t+ ( )f t s st

3 0.5 60.025 44.1 15.925 31.85 3 0.3 53.361 44.1 9.261 30.87 3 0.1 47.089 44.1 2.989 29.89 3 0.08 46.48336 44.1 2.38336 29.792 3 0.06 45.88164 44.1 1.78164 29.694 3 0.04 45.28384 44.1 1.18384 29.596 3 0.02 44.68996 44.1 0.58996 29.498 3 0.008 44.335514 44.1 0.235514 29.43925 3 0.004 44.217678 44.1 0.117678 29.4195 3 0.0008 44.123523 44.1 0.023523 29.40375 3 0.0004 44.111761 44.1 0.011761 29.4025 3 0.00008 44.102352 44.1 0.002352 29.400388 3 0.00006 44.101764 44.1 0.001764017 29.400283 0 0 29.4

Como se observa, a medida que 0t , 0s y el cociente de ambos incrementos se aproxima al valor 29.4 , que es la velocidad del objeto a los tres segundos de iniciar

su cada. Luego 29.4 mvs

= )ii Como 24.9s t= y dsv

dt= , entonces 9.8v t= por lo que


4

329.4

t

mvs=

=

)iii De acuerdo con la Cinemtica, la velocidad en cada libre se determina mediante la frmula:

v gt= por lo que cuando 3t s= se obtiene:

( )9.8 3 29.4 mv vs

= = Ejemplo. Un cierto tipo de aeronaves tienen como especificaciones para el aterrizaje, entre otras, las siguientes:

una aceleracin de frenado de 214,500kmh

y sus distancias

de pista estn dadas por la expresin: 2250 7250s t t= donde " "t es el tiempo en el que recorre la distancia de pista " "s .

)i Si aterriza con una velocidad de 250 kmh

, determinar su

velocidad a los 20 s de haber tocado tierra. )ii Calcular la distancia total que recorre hasta detenerse y

el tiempo que tarda, suponiendo que desde que aterriza frena hasta pararse totalmente.

)iii Dar una interpretacin grfica al problema planteado.


5 Existen mltiples conceptos fsicos en los que encuentran aplicacin las derivadas.

velocidad angular ddt=

Se puede definir a la potencia mecnica instantnea como: dTPdt

= El gasto hidrulico, en un instante, se puede expresar como:

dVQdt

= Por otro lado, se puede tratar, para una determinada resistencia elctrica, a la intensidad de la corriente como la derivada del voltaje con respecto a la le resistencia, esto es:

dVIdR

= Existen problemas donde las variables experimentan razones de variacin con respecto al tiempo y para resolverlos juega un papel de gran importancia la derivada. Ejemplo. Una escalera indeformable, de 5.0 m de longitud, se encuentra apoyada en un piso horizontal y reclinada en una pared vertical. Si una persona jala la parte inferior de la

escalera, alejndola de la pared, a una velocidad de 1.5 ms

,

con qu velocidad se deslizar hacia abajo la parte superior en el instante en que est a 4 m del piso?


6 Ejemplo. Un globo esfrico est perdiendo aire a una rapidez

de 3

100 dms

. Con qu rapidez est disminuyendo su radio

en el instante en que mide 1m? Ejemplo. Un vehculo se mueve en una carretera horizontal recta. En un cierto punto de esta va, sobre ella hay una torre de 40 m en cuya punta se encuentra un observador. Si el vehculo se mueve de manera que su velocidad angular con

respecto al observador es constante e igual a 0.10 rads

,

determinar la velocidad lineal del vehculo en las posiciones correspondientes a 0 00 30y .


7 Ejemplo. Una biela es un mecanismo elemental que convierte un movimiento circular en rectilneo y viceversa. La biela de la figura se puede interpretar de cualquiera de las dos maneras siguientes:

A) El eje de un motor se encuentra en " "O y hace girar el

brazo pequeo de la biela; sta a su vez consigue que el pistn " "P se mueva rectilnea y alternadamente hacia arriba y hacia abajo. (Este pistn puede ser el de una bomba reciprocante, por ejemplo).

B) El pistn es el de un cilindro de motor de explosin interna (como el de los automviles) que, al deslizarse de arriba abajo, hace girar el brazo menor de la biela y ste a su vez, al eje de una rueda en " "O .

Para este problema se aceptar la interpretacin ( )A . Si el motor gira con una velocidad angular de 900 RPM y las dimensiones son las de la figura, calcular la velocidad del pistn cuando el punto " "B se encuentra sobre el eje de las abscisas.

x

y

O

900 RPM =B

A

10 cm

50 cm

P


8 Ejemplo. La lmpara de un poste en la calle se localiza a una altura de 3 m y una persona cuya estatura es de 1.70m

se aleja del poste con una velocidad de 2 ms

. Con qu

velocidad se alarga la sombra y cunto mide sta cuando la persona se encuentra a 3 m de la base del poste?


9Ejemplo. Una rueda de la fortuna con un radio de 10 m da una vuelta cada 3 min . Si el centro de la rueda est a 12 m del piso, determinar la rapidez con que asciende un pasajero cuando se encuentra a 18 m del piso. Ejemplo. Una piedra se deja caer a un estanque y produce ondas de agua que forman crculos concntricos. El radio de una curva es de 40 t centmetros a los t segundos. Calcular la rapidez de cambio del rea del crculo en:

1 ; 2 ; 3t s t s t s= = =


10 Ejemplo. A un tanque cnico de radio 5R m= y altura

15H m= , como se muestra en la figura, le entra un volumen de agua a razn de

3

1.5minm . Determinar la rapidez de

variacin de la altura " "h del agua cuando sta se encuentra a 5 m del vrtice.

5

15

r

h


11 Ejemplo. Un avin pasa sobre una ciudad " "A a las

12 : 00 h, a una velocidad constante de 1000 kmh

en

direccin Este. Media hora ms tarde, a la misma altura y en direccin Sur, otro avin sobrevuela la misma ciudad a una

velocidad constante de 1100 kmh

. Con qu velocidad se

separarn las dos aeronaves a las 14 : 00 h?


12 Ejemplo. Por gravedad cae un determinado peso que se encuentra en el extremo de una cuerda en un torno cuyo radio es de 0.6 m, como se muestra en la figura. La distancia que desciende el peso es equivalente a 2 veces la medida en radianes del ngulo " " . Por la teora de la fsica, la distancia en cada libre es igual a

2

2gt , donde " "g es la

aceleracin de la gravedad, igual a 29.8mgs

= . Calcular la rapidez de variacin de la ordenada del punto " "P del torno, en el instante en el que 1.3t s= .

x

y

2

W

0.6 O

0.6

0.6 ( ),P x y

y


13 Ejemplo. Se tiene una pileta de 4.0 m de largo, cuya seccin transversal es un trapecio con altura de 60 cm y bases mayor y menor de 1.2 40m y cm . Est siendo llenada con agua a una velocidad de 90 litros por minuto. A qu velocidad sube el nivel del agua en el instante en que est a 25 cm del fondo?


14 Ejemplo. Un faro fue construido en una pequea isla situada a 3 km de la costa, la cual, frente al faro es recta. El haz luminoso del faro gira a una velocidad constante de 0.16 grados por minuto. Calcular la velocidad con la que se desplaza la luz a lo largo de la costa, en un punto localizado a 2.5 km del punto de la costa ms prximo al faro.


15LA DIFERENCIAL Y ALGUNAS APLICACIONES Funcin diferenciable Sea ( )y f x= una funcin derivable en un cierto valor " "x para el cual se cumple que ( )' 0f x . Luego, por la definicin de derivada, se tiene: ( ) ( )

0lim 'x

f xf x

x =

en donde, de acuerdo con la definicin de lmite, ( ) ( )' siempre que 0f x f x xx

< <


16Como

00 cuando x 0 lim 0

x = .

Entonces, una funcin ( )y f x= es diferenciable para un valor de " "x , si para un incremento " "x , el incremento ( )f x de la funcin puede escribirse en la forma indicada en la expresin ( )1 , es decir:

( ) ( )'f x f x x x = + La existencia de la derivada es condicin necesaria y suficiente para que una funcin sea diferenciable. Definicin. Se llama diferencial de una funcin " "f en un punto " "x a la parte principal del incremento de la funcin diferenciable y se denota con " "dy . De donde:

( ) ( ) ( )' 2dy df x f x x= = " Ejemplo. Investigar si las siguientes funciones son diferenciables, decir para qu valores de " "x y obtener sus diferenciales:

( ) ( )2 2) 2 5 6 ; ) 1i f x x x ii f x x= + = +


17 DIFERENCIAL DE LA FUNCIN IDENTIDAD De acuerdo con la definicin de la diferencial, para la funcin identidad se tiene:

( ) ( )( )' ; 1' 1y f x x

dy f x x dy x dy xdy f xdx

= == = = = =

Como y x dy dx= = ; entonces dx x= Definicin. La diferencial de una funcin el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente:

( )'dydy dx f x dxdx

= = Ejemplo. Obtener la diferencial de las siguientes funciones:

( )3 2 3) 2 3 7 ; ) tan 1i y x x x ii f x x= + = ) seciii y ang x=


18 INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LA DIFERENCIAL Sea la funcin " "f que experimenta un incremento en sus variables dependiente e independiente:

Las coordenadas del punto C , de la recta que es tangente a la curva en el punto A , son ( ),C x x y m y+ + y la pendiente de esta recta, es ( )'f x . Luego, la ecuacin punto-pendiente de la recta tangente se puede expresar como:

( ) ( ) ( )'y y m y f x x x x + = + de donde,

x

y

f

m y y

x

y

x

y y+

x x+

B

C A

rectatangente


19( )( ) ( )' 'y y m y f x x x x m y f x x = = ( )'m y f x x =

Como se sabe, ( )'dy f x x= es la diferencial de la funcin, luego esta equivale geomtricamente a la mayor de las dos partes del incremento y que divide la recta tangente. Mientras menor sea el incremento x , mayor ser la aproximacin de la diferencial " "dy al incremento y de la funcin. Estas dos partes en las que se divide el incremento y se manifiestan tambin en la expresin a la que se lleg al estudiar este incremento, es decir, ( ) ( )'f x f x x x = + en la que tambin se ve que mientras ms pequeo es el incremento x , ms se aproxima el producto ( )'f x x , que es la diferencial, al incremento de la funcin y . LA DERIVADA COMO COCIENTE DE DIFERENCIALES La diferencial de una funcin ( )y f x= est dada por la expresin ( )'dy f x x= o bien ( )'dy f x dx= . Si se dividen ambos miembros de la ltima expresin entre " "dx se tiene:

( )'dy f xdx

= Se concluye que la derivada se puede expresar como el cociente de la diferencial de la variable dependiente entre la diferencial de la variable independiente. PERMANENCIA DE LA FORMA DE LA DIFERENCIAL PARA UNA FUNCIN DE FUNCIN Considrese la funcin ( )y f u= donde ( )u g x= . La composicin de estas funciones da lugar a la funcin de funcin:

( )( )y f g x=


20cuya derivada se obtiene al aplicar la regla de la cadena:

dy dy dudx du dx

= Por la definicin de diferencial de una funcin se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( )' ; 'y f u dy f u du u g x du g x dx= = = = De donde se obtiene: ( ) ( )' 'dy f u g x dx= que equivale a:

dy dudy dxdu dx

= expresin que justifica la permanencia de la forma de la diferencial para una funcin de funcin. DIFERENCIALES SUCESIVAS Dado que la diferencial de una funcin es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, es posible pensar en diferenciales de rdenes superiores: ( ) ( ) ( )2 2 3 3' ; '' ; '''dy f x dx d y f x dx d y f x dx= = =

( ) ( ) ( ) ( )... n n nd y f x dx= Ejemplo. Calcular las diferenciales de primero, segundo y tercer orden para la funcin: ( ) 3 22 cosf x x x= +


21ERRORES, VALORES APROXIMADOS Y APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL Una funcin es diferenciable si su incremento se puede expresar como ( )'y f x x x = + . Y a la diferencial de la funcin se define como ( )'dy f x x= . Al restar estas dos ecuaciones, miembro a miembro, se llega a y dy x = . Se observa que mientras ms pequeo sea x , menor es la diferencia entre y y dy , por lo que ms se aproxima el valor de la diferencial al valor del incremento de la funcin. En ocasiones es preferible y ms sencillo calcular la diferencial como un valor aproximado del incremento. A la diferencia, en valor absoluto, entre el incremento y la diferencial, se le denomina Error absoluto y se designa con:

A y dy x = = Se conoce como Error relativo al cociente entre el error absoluto y el incremento de la funcin, esto es,

AR y

= Y el porcentaje del error que se comete al utilizar a la diferencial en lugar del incremento de la funcin es:

100 100ARP y= =

Si al calcular el valor de una funcin ( )y f x= , se tiene un error dx en la medida de " "x , esto producir un error aproximado dy en el valor funcional de " "y . El valor del error relativo en este caso es:

Rdyy

= Y el porcentaje de error:

100dyPy

=


22

Ejemplo. Dada la funcin ( ) 5f x x= + , determinar el incremento y y la diferencial dy para 23x = y 3x = . Calcular tambin los errores absoluto y relativo, as como el porcentaje del error al utilizar a la diferencial en lugar del valor exacto del incremento de la funcin. Ejemplo. Por medio de diferenciales, obtener un valor aproximado de 27 .


23Ejemplo. Por medio de diferenciales obtener el valor aproximado de tan44 . Ejemplo. A una cpula semiesfrica con radio exterior de 5 m, se le aplica un impermeabilizante especial que tiene un espesor de 1cm. Cunto se gasta de manera aproximada (mediante diferenciales) en impermeabilizante si el litro cuesta $100.00 ? Calcular tambin la cantidad exacta que se invierte, as como el porcentaje de error que se comete al utilizar la diferencial en lugar del valor exacto.


24Ejemplo. Las frmulas para el rea y el volumen de una esfera son, respectivamente:

Al medir el radio se obtiene que: 3r m= : )i Cules son los errores mximos aproximados de A y V si al medir el radio su medida puede variar 1cm? )ii Cul es en cada caso el porcentaje de error?

Ejemplo. En un laboratorio de materiales se trabaja con slidos metlicos en forma de cubos. Si uno de stos, que tiene 10 cm de arista, se somete a una determinada temperatura, se dilata aumentando su arista 2 mm , cules sern los incrementos exacto y aproximado en su volumen y qu porcentaje de error se comete al utilizar la diferencial en lugar del incremento exacto?

2

3

443

A r

V r

==

r


25 Ejemplo. Unos cilindros circulares rectos, utilizados en un laboratorio, tienen 20 cm de longitud, un dimetro interior de 10 cm y un dimetro exterior de 10.4 cm . Por medio de la diferencial, calcular el costo de cada cilindro, si el material del cual estn hechos cuesta 3$ 5.00/cm .


26Ejemplo. Un cubo de madera tiene 12 cm de arista. Si se rebaja cada una de sus caras 2 mm: )i Cunto pierde exactamente su volumen? )ii Cunto pierde aproximadamente? )iii Cul es el porcentaje de error que se comete al utilizar

la diferencial en lugar del valor exacto al calcular su volumen? Ejemplo. El radio de un disco circular es de 24 cm con un error mximo en su medicin de 0.2 cm . Utilizar la diferencial para estimar el porcentaje de error mximo en el clculo del rea del disco.


27Ejemplo. En la orilla de la parte superior de un edificio hay una lmpara que proyecta la sombra de un poste de 3.2 m que se encuentra a 11.75 m de la base del edificio. Si la sombra del poste es de 90 cm con un posible error de 1cm en su medicin, cul es la altura aproximada del edificio y cul el porcentaje de error en su clculo?

Capitulo III Derivada III

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