CAPITULO II. ECUACIÓN ABSTRACTA DE EVOLUCIÓN DE PRIMER ...rjimenez/edp2/cap2.pdf · UNIVERSIDAD...

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN

CAPITULO II. ECUACIÓN ABSTRACTA DE EVOLUCIÓN DE PRIMER ORDEN. 2.1 INTRODUCCIÓN De la gran cantidad de problemas gobernados por ecuaciones diferenciales, empecemos por recordar uno de los más sencillos: el “decaimiento radioactivo”

)t(kRdt

)t(dR=−

siendo k>0 una constante experimental. Sabemos que la solución es R(t)=Ce-kt, y si R(0)=R0 entonces

R(t)=e-ktR0.

En general, si A∈M ( N, IR) es una matriz de N componentes reales, existe una ecuación diferencial en N dimensiones

)t(Axdt

)t(dx=−

con x:I→ N, normalmente I= +∪0= . Sabemos también, por la fórmula de Lagrange, que la función

+0

x(t)=eAtx0 es la solución del Problema de Cauchy (PC)

(2.1) 0)t(Axdt

)t(dx=+

(2.2) x(0)=x0 problema bien planteado en el sentido de Hadamard. Esta solución existe para algunos x0 (en este caso ∀ x0∈ N) y la solución depende continuamente del dato inicial x . 0Consideremos la aplicación lineal continua

→I:S L ( N) t⊂ eAt

tal que x(t)=S(t)x0. Se tiene: x(t+s)=eA(t+s)x0=S(t+s)x0 Pero, por la unicidad de solución, también se tiene x(t+s)=eAtx(s)=eAteAsx0=S(t)S(s)x0. Luego, la familia uniparamétrica (de parámetro t) de aplicaciones lineales continuas

→I:S L ( N) t⊂ eAt

verifica las propiedades: S(t+s)=S(t)S(s)

Prof. Dr. Raúl F Jiménez

66


S(0)=Id. Conocidas como propiedades de semigrupo. Supongamos ahora que A: N→ N verifica (Ax,x)≥0, entonces multiplicando escalarmente la ecuación (2.1) por x, tenemos

( ) 0)t(x),t(Ax)t(x,dt

)t(dx=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

y debe cumplirse que

0)t(x,dt

)t(dx≤⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

y como estamos en N

0)t(xdtd

21)t(x,

dt)t(dx 2 ≤=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

es decir, x(t) es decreciente. Por lo tanto, x(t)≤x(0), es decir, S(t)x0≤x0, ∀x0∈ N. Dicho de otro modo, S(t): t∈ es una contracción (lineal). +

0

Ahora vale hacerse la siguiente pregunta: ¿ocurre lo mismo en espacios de dimensión infinita?. Respuesta: sí, esto mismo ocurre para problemas planteados sobre espacios de Hilbert de dimensión infinita. Consideremos, por ejemplo, la ecuación del calor en Ω un abierto acotado o no de N:

0)x,t(ut

)x,t(u=∆−

∂∂ (t,x) ∈ +×Ω

(2.3) =0 (t,x) ∈ )x,t(u Ω×∂+0

u(0,x)=u0(x) x∈Ω Expresaremos (2.3) como un problema del tipo (2.1)-(2.2) en un espacio de dimensión infinita. Sospechamos un espacio de Sobolev. Fijado t, podemos escribir u(t, •)=u(t), por lo tanto, podemos escribir u:Ω→ . La condición de contorno u(t,x)=0, x∈∂Ω, t ≥ 0, será considerada en la elección del dominio del operador. En efecto, sea H=L2(Ω) y le asociamos a la ecuación (2.1) el operador

A: L2(Ω)→L2(Ω) y D(A)=H2(Ω)∩H1 (Ω) 0

u ⊂ -∆u Luego, el problema (2.3) queda formulado en forma abstracta como:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

>=+≡0u)0(u

0t,0)t(Audt

)t(du)PAC(


67


expresión conocida como problema abstracto de Cauchy (PAC). Supongamos que para cada u0∈D(A), existe una única solución u(t)∈D(A) ∀t ≥ 0 tal que u∈C([0,+∞[; H)∩C1(]0,+∞[; H), y que además depende continuamente del dato inicial. Entonces podemos definir una aplicación

S:I→L (D(A)) t ⊂ S(t) tal que u(t)=S(t)u0, con las siguientes propiedades i) S(t+s)=S(t)S(s), en efecto, u(t+s)=S(t+s)u0 = S(t)u(s)=S(t)S(s)u0 ii) S(0)=I, (I=identidad) trivial pues por un lado u(0)=u0 y por otro, S(0)u0=u0, e.d.

u0=S(0)u0 iii) )t(S L (D(A))≤1, e.d. S es una contracción.

NOTA 1: La propiedad de contracción es propia de los operadores monótonos ♦ Empezaremos el estudio de problemas de evolución caracterizando las propiedades del operador A para que genere un semigrupo, y veremos que relación existe entre este semigrupo y el problema en estudio. NOTAS: 2. Los primeros resultados sobre semigrupos lineales aparecen a fines de los años 40 con los trabajos de Lumer y Philipps, y quedó cerrado a fines de los 50. La teoría de semigrupos no lineales quedó cerrada en 1975♦ 3. eAt tiene sentido sólo si A es acotado; ahora veremos “algo” que se comporta como eAt (recuerde que -∆ no es acotado, es cerrado)♦ 4. Supongamos que D(A) es invariante en el sentido que S(t)u0∈D(A) ∀u0∈D(A) y t > 0. Entonces podemos determinar la solución a tiempo t+s de dos maneras posibles; o bien calculando directamente S(t+s)u0, o bien tomando S(t)u0 como dato inicial para luego calcular S(s)(S(t)u0). De la unicidad de la solución, para cada u0∈D(A) se deduce:

S(t+s)u0=S(s)(S(t)u0) , u0∈D(A) , t>0 O abreviadamente

S(t+s)=S(s)S(t) , t, s>0♦

4. En ciertos problemas los datos iniciales determinan tanto los fenómenos pasados como futuros. En estos casos las restricciones t, s >0 no son necesarias, y el conjunto de operadores S(t), donde t puede variar de -∞ a +∞, constituye un grupo de operadores (ver: R. Phillips: Les equations aux derivées partielles et la théorie des semi-groupes”)♦

2.2. OPERADORES MAXIMALES MONÓTONOS.


68


Daremos la definición y propiedades más importantes de este tipo de operadores que juegan un importante rol en la resolución de problemas de evolución. Sea H un espacio de Hilbert real con norma •, y la norma de cualquier subespacio la denotaremos por • . Definición. Un operador lineal A: D(A)⊂H→H es monótono si

(Av,v)H≥0 ∀v∈D(A). Si A no es lineal, entonces es monótono si

(Av-Aw,v-w)H≥0 ∀v, w∈D(A).

A es maximal monótono si además A verifica la “condición de rango”: R(I+A)=H

Es decir, ∀ f∈H ∃u∈D(A) : u+Au=f. EJEMPLO: -∆ es maximal monótono. En efecto,

u∈D(A) : ( ) 0uuuuuuuu,Au 2)(L2 ≥∇=

υ∂∂

+∇∇=⋅∆−= ∫∫ ∫ ∫ΩΩ Ω Ω∂

Ω .

PROPOSICIÓN 1. Sea A u operador lineal maximal monótono sobre H, entonces se verifican las siguientes propiedades funcionales i) D(A) es denso en H ii) A es cerrado, es decir, si un⊂D(A) es tal que un→u en H y si Aun→f en H, entonces

u∈D(A) y Au=f. (note que este concepto es una generalización de los operadores lineales continuos)

iii) Para cada λ>0 I+λA:D(A)→H es una biyección y ( ) 1AI −λ+ L (H)≤1 (es decir, (I+λA)-1 es

lineal y acotado, y por lo tanto continuo). NOTA 6: Respecto de la propiedad ii), A no tiene porque ser continuo (recuerde que -∆ es maximal monótono fuertemente elíptico y no continuo, pero tiene una propiedad semejante: ser cerrado)♦ La definición de operador maximal monótono se puede extender a operadores multívocos A:H→P(H), llamados grafos maximales monótonos. En efecto, si ∀x∈H, Ax designa una parte, eventualmente vacía, de H, entonces la monotonía de A se traduce en:

(y1-y2 , x1-x2)≥0 ∀x1,x2∈H, ∀y1∈Ax1, ∀y2∈Ax2

(ver texto de Brezis: Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North Holland (1973)). Idea gráfica:


69


Grafo monótono NO maximal Grafo maximal monótono (rango: todo R). Dem. (Proposición 1) i) Como estamos en un espacio de Hilbert, para probar que )A(D =H bastará probar que él es ortogonal a cada elemento de H, o bien que si un elemento de H es ortogonal a cada uno de los elementos de D(A), éste debe ser cero. Es decir, debemos probar que: “Si f∈H es tal que 0=(f,v) ∀v∈D(A) entonces f=0”. Dado f, por ser A maximal monótono, asociado a él existe v0∈D(A) tal que (2.4) v0+Av0=f. Multiplicando escalarmente esta ecuación por v0, resulta

(f,v0)= ( ) 0v0v0v,Avv 02

o002

0 =∴=⇒=+ ∴ f=0+A0 ⇒ f=0

∴ )A(D =H.

ii) Antes de probar que A es cerrado, probemos que v0 es único. Supongamos que existe otro v*∈D(A) tal que (2.5) v*+ Av*=f. Restando, v*-v0+A(v*-v0)=0 y multiplicando escalarmente por v*-v0, resulta

( ) 02

0002

0 v*v0v*vv*v),v*v(Av*v0 =∴=−⇒−−+−=


70


Puesto que para cada f existe una única u, podemos definir una aplicación inyectiva:

(I+A)-1:H→H f ⊂ (I+A)-1f=u.

Por otro lado, sabemos que f=u+Au, y multiplicando escalarmente esta ecuación por u, resulta:

(f, u)= uf)u,f(u)u,Au(uShC22 −≤≤⇒+

es decir, fu ≤

luego ( ) ( ) 11 AIffAI −− +⇒≤+ L (H)≤1.

Concluimos que (I+A)-1 es una contracción y además es biyectiva de H en D(A), es decir, hemos probado iii) para λ=1. Ahora probaremos que A es cerrado. Sea un →u en H y sea Aun →f en H. Podemos escribir

un=(I+A)-1(I+A)un ∴un=(I+A)-1(un+Aun)

Pero un→u, y como (I+A)-1 es continua, entonces por la unicidad de solución u=(I+A)-1(u+f)

es decir, u+Au=u+f, luego Au=f y u∈D(A). iii) Supongamos que para un cierto λ0>0 R(I+λ0A)=H y probemos que R(I+λA)=H para λ >

20λ .

Sea (2.6) u+λAu=f ./ λ

λ0

fAuu 000 λ

λλλ =λ+

luego, sumando y restando u (2.7) ( )u1fAuu 00

0 λλ

λλ −+=λ+

Una solución de (2.7) sería un punto fijo de la transformación

( )( )( )u1f)AI(TuuHH:T

0010 λ

λλλ− −+λ+≡

→a

Para asegurar esto, debemos probar que T es contractiva, ya que es lineal por ser la transformada inversa de una lineal

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛λλ

−+λλ

λ+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛λλ

−+λλ

λ+=− −− *u1fAIu1fAI*TuTu 0010

0010

y como T es lineal


71


( ) ( )*uu1AI 010 −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛λλ

−λ+= − .

La propiedad del rango sigue siendo válida para (I+λA)-1, es decir, (I+λA)-1 es inyectiva y además 1)AI( 1 ≤λ+ − , es decir,

( )( ) *uu11AI*TuTu 010 −

λλ

−≤≤λ+≤− −

Por lo tanto, T es una contracción si λλ− 01 < 1, es decir, cuando λ-λ0<λ, y así con un λ >1

tal que -λ+λ0 < 1, es decir, tal que λ0 < 2λ ⇒λ > 20λ , y por el Teorema de Banach existe un

único punto fijo. Finalmente, sabemos que R(I+A)=H ⇒I+A sobreyectiva. Por lo tanto λ0=1 ⇒ I+λA sobreyectiva si λ >½; en particular podemos elegir λ=¾. Por lo tanto, I+¾λ es sobreyectiva, y para ese mismo valor de λ0, I+λA es sobreyectiva para λ>⅜, etc. Por recurrencia, I+λA es sobreyectiva para todo λ>0, procediendo como antes para λ=1, ahora para todo λ>0 (I+λA)-1 es sobre e inyectiva y ( ) 1AI −λ+ L (H)≤1.

NOTA: A maximal monótono ⇒ λA maximal monótono ∀λ>0. Si A y B son maximales monótonos ⇒ A+B es monótono, pero no maximal, en general (de un ejemplo en R)♦ Definición. Sea A un operador maximal monótono en H. Para cada λ>0 el operador

( ) 1AIJ −λ λ+=

se llama resolvente de A. El operador ( )λλλ −= JIA 1

se llama aproximación Yosida de A.

NOTA: Observe que Jλ es biyectiva y contractiva λJ L (H)≤1 . Aλ también se llama aproximación regularizada de Yosida, y como veremos, resulta ser lipschitziana, y así podremos usar el teorema de Picard para EDO♦ PROPOSICIÓN 2. Sea A operador maximal monótono en H. Entonces se tienen las siguientes propiedades de la resolvente y de la aproximación Yosida de A: i) Aλv=A(Jλv) ∀λ>0, ∀v∈H ii) Aλv=Jλ(Av) ∀λ>0, ∀v∈D(A) iii) Aλv≤Av ∀λ>0, ∀v∈D(A) iv) ∀v∈H vvlimJ

0=

→λλ

v) ∀v∈D(A) AvvlimA0

=→λ

λ


72


vi) (Aλv,v)≥0 ∀v∈H vii) Aλv≤ λ

1 v ∀ λ >0, ∀v∈H. NOTAS: 1. La propiedad v) da sentido a la palabra “aproximación” y la propiedad vii) nos da la lipschitzianidad de esta aproximación Yosida. 2. Dado un operador maximal monótono, asociado a él existe toda una familia de operadores Aλ:λ>0, monótonos, lineales, lipschitzianos de constante

λ1 y acotados en el

sentido que λA L(H) es acotada. Además, por v) Aλv→Av, pero la cota del operador límite A no existe, en general, es decir, un operador no acotado lo podemos aproximar por una familia de operadores acotados♦ Dem. i) Para todo v∈H, podemos escribir v=(I+λA)(I+λA)-1v, y considerando (I+λA) como una suma de operadores, tenemos:

)vJ(Av)JI(

)vJ(AvJv)vJ(AvJv

v)AI(Av)AI(v

1

11

λλλ

λλ

λλ

−−

=−∴

λ=−∴

λ+=∴λ+λ+λ+=

ii) Análogamente, ∀v∈D(A), v=(I+λA)-1(I+λA)v, de donde v=(I+λA)-1v+λ(I+λA)-1Av. Luego, v=Jλv+λJλ(Av). Por lo tanto, v-Jλv=λJλ(Av). iii) De ii) tomando norma, listo. iv) Empecemos por suponer que v∈D(A) solamente. Tenemos v-Jλv=λAλv≤λAv(por iii)). Luego, v-Jλv→0 para λ>0. Caso general: Sea v∈H arbitrario (ya probamos que )A(D =H), luego, dado ε>0 ∃v*∈D(A) tal que v-v*<ε. Luego,

Jλv-v≤Jλv-Jλv*+Jλv*-v*+v*-v ≤2ε+Jλv*-v*, donde la expresión Jλv*-v*, por i) es tan pequeña como se quiera, luego ∀ε>0

0vvJlim2vvJsuplim

00=−⇒ε≤− λ→λλ

→λ.

v) , por ii)

00AvlimJvAlim

→λλλ→λ

=

Av= , por iv). vi) y vii) (Aλv,v)=(Aλv,v-Jλv)+(Aλv,Jλv)

=λAλv2+(A(Jλv),Jλv)


73


≥λAλv2

∴ 0≤λAλv2≤(Aλv,v)≤Aλvv ⇒ Aλv≤ v1λ

.

2.3. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE EVOLUCIÓN Estamos interesados en resolver el Problema Abstracto de Cauchy (PAC)

(2.8) (PAC) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+∞=+

0u)0(u

[,0[sobre0)t(Audt

)t(du

Empecemos con un resultado clásico TEOREMA 2.1 (Cauchy-Lipschitz-Picard-Lindelorf) Sea E un espacio de Banach real. Entonces ∀u0∈E, ∃!u∈C1([0,+∞[; E), solución del problema de evolución

(2.9) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+∞=

0u)0(u

[,0[sobre))t(u(Fdt

)t(du

donde F:E→ E es lipschitziana, es decir, wvLFwFv −≤− , con L ≥ 0. Dem. (Idea) El problema (2.9) es equivalente a la siguiente ecuación integral (2.10) ∫+=

t

00 ds))s(u(Fu)t(u

que es mucho más débil que el problema (2.9). Resolver (2.9) será por lo tanto, equivalente a encontrar un punto fijo de una transformación Φ, que ya definiremos. Para esta transformación, no es necesario que L< 1 para tener la contractividad, pues la norma clásica de C1([0,∞[; E) se puede cambiar por otra: la norma de Bielecki. Sea k una constante por determinar y sea X=u∈C([0,∞[; E): +∞<−

≥)t(uesup kt

0t.

Es fácil probar que: i) X es un espacio de Banach para la norma de Bielecki )t(uesupu kt

0tX−

≥= , donde

)t(u norma es la usual.

ii) Si definimos la transformación Φ por: ∀u∈X, Φ(u)(t)=u0+ , es fácil comprobar que Φ:X→X, es decir, que

∫t0 ds))s(u(F

+∞<ΦX

u .

iii) Φ es lipschitziana: XX vukLvu −≤Φ−Φ . En particular, para L<k, Φ es contractiva.

Luego existe u tal que u=Φ(u), es decir, el punto fijo de esta transformación es la solución del PAC.


74


Para probar la unicidad, necesitamos el siguiente LEMA 2.2 (de Gronwall): Sean ϕ,α y β funciones no negativas y c≥0 una constante tal que

( )∫ β+ϕα+≤ϕ t0 ds)s()s()s(c)t(

entonces

∫∫ β+≤ϕα− t

0)s(

ds)s(ec)t(t

0 . Sean u, u* soluciones de (2.9), luego serán soluciones de la ecuación integral. Consideremos

ϕ(t)= )t(*u)t(u −

( )

ds)s(*Fu)s(Fu

ds)s(*Fu)s(Fu

ds))s(*u(Fuds))s(u(Fu)t(

t0

t0

t0

t000

∫

∫

∫ ∫

−≤

−=

−−+=ϕ∴

Pero F el lipschitziana de constante L, luego

∫∫ ϕ=−≤ϕ t0

t0 ds)s(Lds)s(*u)s(uL)t(

Por lo tanto, ∫ ϕ≤ϕ t0 ds)s(L)t(

y, por el lema de Gronwall, con c=0, α=L≥0 y β=0, resulta ϕ(t) ≤ 0+e-Lt0, es decir, ϕ(t) ≤ 0, pero ϕ(t) ≥ 0 por definición, luego ϕ≡0 ∀t≥0. El teorema 2.1 anterior es valioso para operadores lipschitzianos (que son pocos), pero no sirve, por ejemplo, para el laplaciano. En general, este teorema rinde frutos para EDO y no para EDP. Ahora veremos un gran teorema conocido como el teorema de Hille-Yosida, donde un operador maximal monótono se puede aproximar por operadores lipschitzianos, y así podemos aplicar el Teorema de Cauchy et al a los problemas aproximados. Note que este último teorema entrega soluciones constructivas. Con el teorema de Hille-Yosida podemos resolver EDP de evolución TEOREMA 2.3 (Hille-Yosida) Sea A un operador maximal monótono sobre un espacio de Hilbert H. Entonces, ∀u0∈D(A) ∃! u∈C1([0,+∞[; H)∩C([0,+∞[; D(A)), solución de


75


(2.11) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+∞=+

0u)0(u

[,0[sobre0)t(Audt

)t(du

Además, se verifica

0tAu)t(Audt

)t(duu)t(u

0

0

≥∀≤=

≤

NOTAS: 1. u0∈D(A) es una limitación que salvaremos mas adelante poniendo u0∈H, pero en tal caso obtendremos soluciones generalizadas. Sin embargo, si A es autoadjunto, entonces las soluciones u(t) resultan clásicas para todo u0 ∈H, incluso si u0∉D(A). Note que el operador A no depende de la variable t; tenemos así un problema autónomo. 2. El Teorema de Hille-Yosida tiene de bueno que da soluciones con sólo exigir que el operador sea maximal monótono, es decir, mediante el estudio de problemas estacionarios del tipo u+Au=f, podemos estudiar problemas de evolución♦ Dem. (varias etapas) 1ra etapa: UNICIDAD (basada en la monotonía). Consideremos que u y u* son soluciones, en el sentido que ambas se encuentran en C1([0,+∞[;H)∩C([0,+∞[;D(A)) y verifican (2.11). Restando las respectivas ecuaciones, y recordando que A es lineal, tenemos:

0)t*)(uu(Adt

)t*)(uu(d=−+

−

multiplicando escalarmente por (u-u*)(t), para cada t

( ) .0)t*)(uu(),t*)(uu(A)t*)(uu(,dt

)t*)(uu(d=−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

Pero el segundo sumando es mayor o igual a cero, luego ha de tenerse que el primer sumando es menor o igual a cero, es decir,

0)t*)(uu(dtd

21 2

≤−

Pero esto implica que (u-u*)(t) es decreciente, es decir,

(u-u*)(t)≤(u-u*)(0)=0,

pero en t=0 las dos coinciden, luego, u(t)=u*(t) ∀t≥0. NOTA: A menudo usaremos la implicación: ϕ∈C1([0,+∞[; H) ⇒ ϕ2∈C1([0,+∞[; )♦


76


Antes de pasar a la segunda etapa, mostremos el camino que intentamos seguir. Consideremos, para cada λ > 0, uλ∈C1([0,+∞[;H), solución única de

(2.12) ⎪⎩

⎪⎨⎧

∈=

+∞=+

λ

λλλ

)A(Du,u)0(u

[,0[sobre0)t(uAdt

)t(du

00

Observamos que la solución de (2.12) está asegurada por el Teorema 2.1 (Cauchy et al) para F= -Aλ y recordando que Aλ es lipschitziana. Note que hemos pedido u0∈D(A). Probaremos que, cuando λ→0, uλ→ a una solución de (2.8)

2da etapa: Debemos probar que 0,0tAu)t(uAdt

du0 >λ∀≥∀≤= λλ

λ , es decir, sin necesidad que

u(0)=u0. Para ello usaremos el siguiente LEMA 2.4 . Sea w∈C1([0,+∞[;H) verificando la ecuación lineal

(2.13) [,0[sobre0)t(wAdt

)t(dw+∞=+ λ

Entonces, las funciones

dt)t(dwt

)t(wt

a

a

son decrecientes sobre [0,+∞[. NOTAS: 1. Observe que no hay información sobre el dato inicial, y que uno de los w podría ser, por ejemplo, uλ. 2. Si el lema es válido, tendríamos

00 AuuAdt

)0(dudt

)t(du≤=≤ λ

λλ

y además tendríamos 0t,0u)t(u 0 ≥∀>λ∀≤λ

pues uλ es uno de los w. 3. Para la continuidad de u en D(A) debemos considerar una topología, otra que la inducida por H; se

escoge la topología asociada a la norma del grafo: u= ( ) 2122 Auu + ♦

Dem. (lema 2.4) Multiplicando escalarmente (2.13) por w, para cada t≥0, tenemos

( )

0)t(wdtd

21

0)t(w),t(wA)t(w,dt

)t(dw

2≤∴

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ


77


Por monotonía, t ⊂w(t)2 es decreciente, es decir, t ⊂ w(t) es decreciente sobre [0,+∞[. Por otro lado, Aλ es lineal y acotado, por lo tanto continuo, y como satisface (2.13), resulta Aλw(t)∈C1([0,+∞[;H), y como la suma de (2.13) es igual a cero,

21 CwCdt

)t(dw

)t(wAdt

)t(dw

∈⇒∈∴

−= λ

y así, Aλw(t)∈C2([0,+∞[;H), entonces w∈C3, y así sucesivamente. Por lo tanto, por ser Aλ lineal y continuo, (2.13) permite afirmar que (2.14) w∈C∞ ([0,+∞[;H) Por lo tanto,

(2.15) [,0[sobre0dt

)t(dwAdt

)t(dwdtd

+∞=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λ

donde el primer término existe por (2.14) y para el segundo hacemos ( )dt

)t(dwA)t(wAdtd

λλ = , y así

dt)t(dw es solución de la ecuación (2.15).

Luego, dt

)t(dw es una de las funciones w anteriores. Por lo tanto, la aplicación dt

)t(dwt a es

decreciente sobre [0,+∞[. 3ra etapa: Debemos probar que, para t≥0 uλ(t)→u(t) en H. Además uλ→u uniformemente sobre intervalos acotados de la forma [0,T], ∀T>0. Sean λ, µ >0 arbitrarios, y restando las respectivas ecuaciones (2.12) para uλ y uµ, tenemos

( ) 0)t(u)t(u),t(uA)t(uA)t(u)t(udtd

21

)t(u)t(u/0)t(uA)t(uAdt

)t(dudt

)t(du

2=−−+−

−⋅=−+−

µλµµλλµλ

µλµµλλµλ

sumando y restando resolventes adecuados, resulta

( ) ( 0uJuJ,uAuAuJuJuu,uAuAuudtd

21 2

=−−++−−−+− µµλλµµλλµµλλµλµµλλµλ )

y como ,Hv,vAJvAy)JI(1A ∈∀=−λ

= λλλλ

( ) ( 0uJuJ),uJuJ(AuAuA,uAuAuudtd

21 2

=−−+µ−λ−+− µµλλµµλλµµλλµµλλµλ )


78


Por la monotonía de A, el último producto interior es mayor o igual a cero, luego

( )µµλλµµλλµλ µ−λ−≤− uAuA,uAuAuudtd

21 2

y por Cauchy-Schwarz

( ) ( )

( )000

2

AuAuAu2

uAuAuAuAuudtd

21

λ+µ≤

λ+µ++≤− λλµµµµλλµλ

2

02

Au)(4)t(u)t(udtd

µ+λ≤−∴ µλ

Integrando 2

02

Au)(t4)t(u)t(u µ+λ≤−∴ µλ y extrayendo raíz cuadrada (2.16) 0Au)(t2)t(u)t(u µ+λ≤− νλ Para t fijo, haciendo λ, µ →0, resulta uλ(t)-uµ(t)→0, es decir, para cada t≥0, uλ(t) es una sucesión de Cauchy en H. Por lo tanto existe u(t) tal que

)t(ulim)t(u0 λ→λ

=

De (2.16), haciendo µ→0, resulta 0Aut2)t(u)t(u λ≤−λ

Por lo tanto, si t∈[0,T] entonces 0AuT2)t(u)t(u λ≤−λ

y si λ→0, la cota es uniforme en t. Luego, uλ , uµ→u puntualmente y además, uλ(t)→u(t), cuando λ→0 uniformemente ∀t∈[0,T]. Es decir, (2.17) u∈C([0,+∞[;H). Note que hemos probado que u(t)≤u0, una de las tesis del Teorema de Hille-Yosida. 4ta etapa. Probaremos que para u0∈D(A2) (luego ∃A2u0∈H tal que u0∈D(A) y Au0∈D(A)):

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ λ

dt)t(du converge en H para cada t≥0, y

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ λ

dtdu converge en H uniformemente en cada [0,T], ∀T≥0.


79


En efecto, sea dt

)t(du)t(v λλ = . Puesto que los Aλ son lineales y continuos, procedemos como

en la etapa anterior para el problema:

(2.18) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==

+∞=+

λλ

λ

λλλ

0uAdt

)0(du)0(v

[,0[sobre0)t(vAdt

)t(dv

obteniéndose

( ) ( )λλµµµµλλµλ λ+µ++≤− vAvAvAvAvvdtd

21 2

Por monotonía, tenemos que

0uAA)0(vA)t(vA λλλλλλ =≤

Pero AλAλu0=JλAJλAu0, pues Aλv=JλAv, v∈D(A), y como Aλ=JλA sobre D(A), también siempre Aλ=JλA. De este modo

AλAλu0=JλJλAAu0Y como Jλ es continua

02

0 uAuAA)0(vA)t(vA <=≤ λλλλλλ .

Procediendo idénticamente para µ, obtenemos

02uA)t(vA <µµ

20

22uA)(2)t(v)t(v

dtd

21

µ+λ≤−∴ µλ

y procediendo como en la etapa anterior (multiplicando por 2, integrando y extrayendo raíz cuadrada), obtenemos lo afirmado. Vale la siguiente pregunta: la 4ta etapa es válida para u0∈D(A)?. Veremos que la respuesta es s Afirmativa. 5ta etapa. Empecemos con el siguiente LEMA 2.5 Dado u0∈D(A), entonces ∀ε>0 ∃u0*∈D(A2) tal que (2.19) ε<−ε<− ∗ *

0000 AuAuyuu (es decir, D(A2) es denso en D(A) para la norma del grafo en D(A)) Dem. Definamos un adecuado y luego probemos que está en D(A∗

0u 2), recordando que x∈D(A2)⇒x∈D(A) y Ax∈D(A). Sea (2.20) =J∗

0u λu0 ∈D(A)


80


Luego, =(I+λA)∗0u -1u0⇒ +λA =u∗

0u ∗0u 0

λ−

=⇒∗

∗ 000

uuAu

Pero u0∈D(A) y ∈D(A) y como D(A) es un subespacio, entonces la diferencia está en D(A), y así

∗0u

(2.21) )A(DuuAu 000 ∈

λ−

=∗

∗

De (2.20) y (2.21) ∈D(A∗

0u 2) De la propiedad (iv) de la Proposición 2,

0uuJlim 000=−λ

→λ

y como Jλu0= , ∗0u

0uulim 000=−∗

→λ

Note que, por definición, depende de λ. ∗0u

Por otro lado, existe conmutatividad entre A y Jλ en D(A) (propiedades (i) , (ii) de la Proposición 2) es decir, A =AJ∗

0u λu0 =JλAu0, luego,

0AuAulim.d.e

0AuAuJlim

000

000

=−

=−

∗

→λ

λ→λ .

Ahora demostraremos que la 4ta etapa vale para u∈D(A). Dados u0∈D(A) y ε>0, sea ∈D(A∗

0u 2) el asegurado por el lema 2.5 y consideremos (2.12) para u0= , es decir, ∗

0u

(2.22) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+∗∗

λ

∗λλ

∗λ

0u)0(u

0uAdt

du

Observe que (2.22) comienza en !!!. ∗

0uProcediendo análogamente para los problemas diferenciales (2.8) y (2.12), y por la monotonía de los operadores, etc., etc. la aplicación

dt)t(du

dt)t(dut

∗λλ −a

es decreciente sobre [0,∞[. En particular, esto quiere decir que

∗λλλ

λλ∗λλ −=−≤− uAuA

dt)0(du

dt)0(du

dt)t(du

dt)t(du

0

*

y por las propiedades de la regularizada, ∗−≤ 00 AuAu y por lema 2.5


81


<ε. Queremos una sucesión de Cauchy, entonces sumando y restando, tenemos

dtdu

dtdu

dtdu

dtdu

dtdu

dtdu

dtdu

dtdu µ

∗µ

∗µ

∗λ

∗λλµλ −+−+−≤−

dt

dudt

du2∗µ

∗λ −+ε<

donde el último sumando resulta de la solución de (2.21) cuando u0

* ∈D(A2). Luego, para

cada T>0, por la convergencia uniforme de dt

du*λ en [0,T],

ε≤− µλ

∈3

dt)t(du

dt)t(dusup

]T,0[t

para λ, µ suficientemente pequeños. Por lo tanto, tenemos una sucesión de Cauchy en la convergencia uniforme en [0,T] para cada T≥0, y como estamos en un espacio de Hilbert, el límite existe. Al tener convergencia uniforme, tenemos convergencia puntual. 6ta etapa. CONCLUSIÓN Sabemos que, cuando λ→0, uλ(t)λ→u(t) y uλλ→u uniformemente en cada [0,T], ∀T ≥ 0, y

sabemos también que cuando λ→0 λ

λ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

dt)t(du converge y

λ

λ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

dtdu converge uniformemente en

cada [0,T], ∀T ≥ 0.

Luego, existe dtdu y

dtdu

dtdu

→⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

λ

λ uniformemente en [0,T] ∀T ≥ 0.

∴ u∈C1([0,∞[;H) y

)t(Audt

)t(du= .

Debemos probar esta última igualdad, es decir, debemos probar que

0)t(Audt

)t(du=+ .

Sea )t(u)t(uJ)t(uJ)t(uJ)t(u)t(uJ −+−≤− λλλλλλ

pero J es contracción,

≤ 0)t(u)t(uJ)t(u)t(u0→λ

λλ →−+− . Por lo tanto, para cada t ≥ 0


82


)t(u)t(uJ0→λ

λλλ → y además

dt

)t(dudt

)t(du)t(uA)t(uAJ0−→

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−==

→λ

λ

λλλλλλλ

y como A es cerrado

u(t)∈D(A) ∀t≥0 y Au(t)= 0tdt

)t(du≥∀− .

∴ u∈C([0,∞[;D(A)).

COMENTARIOS AL TEOREMA DE HILLE-YOSIDA 1.- En general, si u0∈H, pero u0∉D(A), podemos resolver sin dificultades el problema

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

∞=+

λ

λλλ

0u)0(u

[,0[sobre0)t(uAdt

)t(du

y tampoco habría dificultad en obtener las desigualdades del teorema de Hille-Yosida, como

tampoco en probar que, para cada t ≥ 0, y que u)t(uu0

)t(

→λ

λ → λ→u uniformemente en [0,T], ∀T≥0. Pero para las etapas 4 y 5 (y obviamente 6), necesitamos que u0∈D(A). Incluso, hay casos en que si u0∉D(A) puede ocurrir que u(t)∉D(A) ni que u(t) sea diferenciable en cualquier t>0. Sin embargo, es posible que existan soluciones débiles (como límite de sucesiones) o del tipo soluciones integrales, que son independientes de los datos iniciales. Es decir, para Av=w, de:

( ))t(uv),t(Auww)t(udtd

21 2 −−≤−

resulta

( )∫ −−≤−t

0

2 ds)s(uv),s(Auww)t(u .

Por otro lado, si A es autoadjunto, es posible que el teorema de Hille-Yosida sea válido, incluso para datos u0 arbitrarios en H. Es decir, u0∈D(A), pero en el instante inmediatamente después u(t)∈D(A). En tal caso obtenemos u∈C(]0,∞[;D(A))∩C1(]0,∞[;H). 2.- Asociado al operador maximal monótono A en H, existe un semigrupo: en efecto, para cada t ≥ 0, definimos

)t(uu)t(SuH)A(D:)t(S

0A0

A

=→a

siendo u(t) la única solución de:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

+∞=+

0u)0(u

[,0[sobre0)t(Audt

)t(du


83


Notamos que: SA(t):D(A)→D(A), y como A es lineal, SA(t) es lineal y u(t)=SA(t)u0≤u0, es decir, SA(t) es una contracción (y en particular, continua) y )t(SA L (D(A))≤1. Como D(A) es denso en H, podemos extender SA(t):H→H que será lineal y continua, y además: i) SA(t1+t2)=SA(t1)SA(t2) ∀t1, t2≥0. En efecto, SA(t1+t2)u0=u(t1+t2)=SA(t1)u(t2)=SA(t1)SA(t2), esto sobre D(A), y por extensión, sobre H. ii) SA(0)=I, obvio iii) )t(SA L (H)≤1 iv) Hu0uu)t(Slim 000A0

∈∀=−→λ

Una familia de operadores SA(t):t≥0 con estas propiedades se llama semigrupo (lineal) de contracciones fuertemente continuo (o de clase C0). Se puede probar que dado un semigrupo de contracciones fuertemente continuo S(t), existe un único operador maximal monótono A tal que S(t)=SA(t), ∀t≥0. Luego, existe una correspondencia biunívoca entre operadores maximales monótonos y semigrupo de contracciones fuertemente continuo. 2.4 REGULARIDAD Del Teorema del Hille-Yosida, sabemos que la solución del Problema (PAC) tiene la regularidad: u∈C([0,∞[;D(A))∩C1([0,∞[;H). ¿Es posible obtener más regularidad de la solución exigiendo más regularidad sobre el dato inicial?. La respuesta es afirmativa, como veremos a continuación, teniéndose así una regularidad complementaria. Para k ≥ 2 definimos

D(Ak)=v∈D(Ak-1): Av∈D(Ak-1)⊂D(A)⊂H.

NOTA: Las restricciones en esta definición provienen de los siguientes hechos: Como Akv=AAk-1v, entonces debe existir Ak-1v, y por otro lado, Akv=Ak-1Av y así debe existir Av♦ Sobre D(Ak) existen dos topologías; una inducida por H y la otra, particularmente útil, es la topología asociada a la norma del grafo. Por esta última razón, definimos

(2.23) ( ) ( )∑=

=k

0j

jj)A(D vA,uAv,u k

y así D(Ak) es un espacio de Hilbert (demuéstrelo).


84


Recuerde que la completitud es una propiedad métrica y no topológica, como la continuidad o la compacidad. TEOREMA 2.6. Sea k ≥ 2 entero. u0∈D(Ak) ⇒ u∈Ck-j([0,∞[;D(Aj)), ∀j=0,1,...,k. Dem. (por inducción sobre k). Supongamos k=2 y u0∈D(A2). Sea H1=:D(A) con la norma del grafo. Sobre H1 definimos el operador A1:

⎩⎨⎧

∈==

=)A(Du,AuuA

)A(D)A(DA 21

21

1

Resulta que A1 es maximal monótono en H1. En efecto,

• monotonía: ( ) . ( ) ( ) 0)Au,AAu()u,Au(Au),uA(Au,uAu,uA H1H1

def

H1 1≥+=+=

• maximalidad: sea f∈H1=D(A)⊂H. Pero A es maximal en H, luego ∃! u∈D(A) : u+Au=f. ∴ Au=f-u∈D(A) ⇒u∈D(A2)=D(A1).

Luego, hemos probado que dado f∈H1 ∃!u∈D(A1): u+A1u=f, es decir, A1 es maximal en H1.

∴ u0∈D(A2) ⇒ u0∈D(A1) ⇒ ∃ u*∈C([0,∞[;D(A2))∩C1([0,∞[;D(A)) tal que

0

1

u)0(*u

[,0[,0)t(*uAdt

)t(*du

=

∞=+

que es el mismo problema (PAC). Por lo tanto, como u*(0)=u0=u(0) y )A(D)A(D1 22 AA = , entonces por la unicidad de la solución,

u*(t)=u(t) ∀t≥0. ∴u∈C([0,∞[;D(A2))∩C1([0,∞[;D(A)). Resta probar que u∈C2([0,∞[;H).

Sea v(0)= 0Audt

)0(du−= ∈D(A). Por el Teorema de Hille-Yosida, ∃!

v∈C([0,∞[;D(A))∩C1([0,∞[;H) solución de

(2.24) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=+

0Au)0(v

0)t(Avdt

)t(dv

Además, sabemos que u∈C1([0,∞[;D(A)). Por lo tanto, ∀ t≥ 0, )A(Ddt)t(du ∈ , lo que implica que

(2.25) ∃ A 0t,dt)t(du ≥∀ .

Por otra parte, los operadores maximales monótonos no son en general continuos, pero con la norma del grafo, sí lo son, es decir, A∈L (H1,H) y en general ∉A L ( )H;)A(D

Hτ.


85


En efecto: ( ))A(D

22H

u:AuuAu 21

=+≤ , luego, como u∈C1([0,∞[;D(A)), resulta que

Au∈C1([0,∞[;H), lo que implica

(2.26) ( ) 0t,)t(Audtd

≥∀∃ .

Por lo tanto, si existen (2.25) y (2.26) deben ser iguales. Así, en particular, podemos formar la ecuación (derivando PAC y usando (2.25) y (2.26)):

)0(v:dt

)0(du

0dt

)t(duAdt

)t(dudtd

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

.

Por la unicidad de la solución, debe tenerse

dt)t(du)t(v =

Pero v∈C1([0,∞[;H) ⇒ u∈C2([0,∞[;H). Ahora para k ≥ 3, supongamos que el teorema es verdadero para k-1 con u0∈D(Ak). De la etapa anterior, ya tenemos que

u∈C([0,∞[;D(A2))∩C1([0,∞[;D(A))∩C2([0,∞[;H).

Sea v(0)=dt

)0(du = -Au0∈D(Ak-1).

Por el Teorema de Hille-Yosida y por recurrencia, ∃! v∈Ck-1-j([0,∞[;D(Aj)) , j=0,1,...,k-1

solución de

( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

∈=

∞=+

− )A(Ddt

)0(du)0(v

[,0[,0)t(Avdt

)t(dv

1k

de donde, por unicidad ha de tenerse

(2.27) v(t)=dt

)t(du

Por lo tanto, u∈Ck-j([0,∞[;D(Aj))¸ j=0,...,k-1. Sólo resta probar para j=k.

Para j=k-1, de (2.27), v∈C([0,∞[;D(Ak-1)), y como )t(Audt

)t(du−= ello implica

Au∈C([0,∞[;D(Ak-1)) ⇒ ∀t≥0 Au(t)∈D(Ak-1) ⇒ ∀t≥0 u(t)∈D(Ak).

∴ u∈C([0,∞[;D(Ak)).

2.5. CASO AUTOADJUNTO


86


Veremos que si u0∈H entonces necesitamos una hipótesis adicional sobre el operador A: que sea autoadjunto. TEOREMA 2.7 Sea A maximal monótono y autoadjunto sobre H. Para cada u0∈H existe una única función

u∈C([0,+∞[;H)∩C1(]0,+∞[;H)∩C(]0,+∞[;D(A)) tal que

(2.28) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

>=+

0u)0(u

0t,0)t(Audt

)t(du

Además (2.29) 0u)t(u ≤

(2.30) 0t,ut1

dt)t(du

0 >∀≤

(2.31) ( )positivosenterosl,k)),A(D[;,0]Cu lk ∀+∞∈ NOTA: Del teorema de Hille-Yosida, partimos de u0∈D(A) y t ≥ 0 y en cualquier instante posterior u∈D(A) y u∈C1, incluso para t=0. Si A es además autoadjunto y u0∈D(A) se tiene lo anterior, y si u0∈H, existe solución de la ecuación diferencial sobre el interior (t>0), y se tienen estimaciones sobre u y sobre du/dt y una cierta regularidad. La acotación (2.30) es más débil pues puede “explotar” cuando t→0♦ Antes de probar este teorema, veremos la definición y algunas propiedades de los operadores autoadjuntos (aunque ser autoadjunto es muy fuerte, el laplaciano lo verifica). Empecemos por recordar que los operadores lineales sobre espacios de Hilbert, a veces se llaman no acotados, y si se verifica la acotación, entonces se llaman acotados. Sea A: H⊃D(A)→H, H un espacio de Hilbert y A un operador lineal. Asociados a este operador existen los conjuntos:

Grafo de A = G(A)= ( ) HHAu,u)A(Du

×⊂∈U

Si A es unívoco, entonces su grafo juega un importante rol pues por su intermedio se estudian:

Imagen (o rango) de A = R(A) = U)A(Du

HAu∈

⊂

Núcleo de A = N(A) = ker(A) = u∈D(A): Au=0 ⊂H.

(Si A fuese continuo sería mucho mejor, pero con que A sea cerrado podemos construir un análisis sobre éstos operadores) DEFINICIÓN : A es cerrado si G(A) es un subconjunto cerrado de H×H.


87


Esta definición puede caracterizarse por:

⎩⎨⎧

=∈

⇒→→⊂yAx

)A(DxHenyAxxx:)A(Dx nnn

Por ejemplo, A maximal monótono ⇒ A cerrado y D(A) denso en H. Sin embargo, en general, A cerrado ⌠ D(A) cerrado en H. Pero, LEMA 2.8: A cerrado y acotado ⇒ D(A) es cerrado en H. NOTA: A acotado ⇒ ∃ k0 tal que Ax<kx, ∀x∈D(A). Dem. (del lema) Sea xn⊂D(A) que sabemos converge a un x∈H. Debemos probar que x∈D(A). xn→x en H ⇒ xn es de Cauchy; por la acotación Axn es de Cauchy ⇒ ∃! y∈H tal que Axn→y. Como A es cerrado, x∈D(A), y además Ax=y. Ahora damos el concepto de autoadjunto usando el producto escalar, pero también es posible definirlo en espacios de Banach. Sea A un operador con dominio D(A) denso en H. Definamos el conjunto

D* =y∈H: x→(y,Ax) es continua,

y como D(A) es denso, por el teorema de Riesz-Fréchet, a cada y∈D* se le asocia un único elemento A*y dado por (2.32) (A*y,x)=(y,Ax) Se dice que A*: D*→H así definido es el operador adjunto de A. Propiedades de los operadores adjuntos: LEMA 2.9 A* es cerrado Dem. Sea yn ⊂D(A*)=D* tal que yn→x en H, A*yn→v en H. Para cada yn∈D* se cumple (2.32), es decir,

(yn,Af)=(A*yn,f) ∀f∈D(A), tomando límite cuando n→∞

(y,Af)=(v,f) ∀f∈D(A), lo que implica:

f (y,Af) aes continua pues (y,Af)=(v,f) es continua.

∴y∈D*. Luego,

(A*y,f)=(y,Af)=(v,f) ⇒ A*y=v


88


∴ A* es cerrado.

LEMA 2.10. Si D=H entonces A* es acotado. Dem. Supongamos que A* no es acotado, entonces existe xn⊂D* tal que xn=1, mientras que Axn→∞ (si A no es acotado, ∀k>0 ∃x’ tal que Ax’>kx’, luego podemos elegir x’=1 y Axn⇒k).

Ax)Ax,x()x,x*A(ScC

nn

−≤=∴ ,

luego A*xn es débilmente acotada, y por el principio de la acotación uniforme, A*xn es acotada (→←). LEMA 2.11. A* cerrado ⇒ D* denso en H. Dem. (ejercicio). Todo lo anterior conduce a: PROPOSICIÓN 2.12 (Teorema del grafo cerrado).

A cerrado, D=H ⇔A∈L (H). Dem. (⇐) trivial (⇒) D=H ⇒A* acotado ⇒ D* cerrado. Por otro lado, A cerrado ⇒ D* denso en H. ∴D*=H ⇒A*∈L (H). Por la definición (2.35), (A*)*=A, y repitiendo el proceso (A*)*∈L (H), es decir, A∈L (H). Sea A un operador sobre H, lineal con dominio D(A) denso en H. Identificamos H’=H. Se dice que A es autoadjunto si A*=A (lo que requiere que D*=D). Por otra parte, recordemos que A es simétrico si (Au,v)=(u,Av) ∀u,v∈D(A). NOTA: Si A∈L (H) entonces simétrico y autoadjunto coinciden. Sin embargo, si A no es acotado, autoadjunto implica simétrico. La implicación en el otro sentido es falsa, aunque se tiene el siguiente resultado: “A simétrico ssi D(A)⊂D(A*) y A=A* sobre D(A)”. Con todo, lo más interesante para las aplicaciones es el siguiente resultado que prueba que cuando A es maximal monótono, entonces A simétrico ⇔A autoadjunto PROPOSICIÓN 2.13. A maximal monótono y simétrico ⇒ A autoadjunto. Dem. Consideremos J1=(I+A)-1, que por Teorema 2.12, sabemos que J1∈L(H). Probemos que J1 es autoadjunto, y para ello basta probar que es simétrico. Sean u, v ∈H, u1=J1u, v1=J1v (dpq (J1u,v)=(u,J1v)). Por definición de J1, se tiene:

u1+Au1=uv1+Av1=v


89


∴ (J1u,v)=(u1,v)=(u1,v1)+(u1,Av1)simetricoA= (u1,v1)+(Au1v1)=(u1+Au1,v1)=(u,J1v)

∴ J1 es simétrico ∴ J1 es autoadjunto.

Ahora, sea u∈D(A*) y probemos que u∈D(A). Hagamos f=u+A*u; luego (2.34) ∀v∈D(A) (f,v)=(u+A*u,v)=(u,v)+(u, Av)=(u,v+Av) Así, hemos probado que (2.35) (f,J1w)=(u,w) ∀w∈H En efecto, (2.34) vale para J1w∈D(A), por lo tanto, w=(I+A)-1(I+A)w=J1w+AJ1w. De (2.35), por definición de J*

(J f,w)=(f,J*1 1w)=(u,w) ⇒ J f=u, es decir, J*

1 1f=u ⇒u∈D(A) ∴ D(A*)⊂D(A)

y como A es simétrico, por lema previo D(A)⊂D(A*); luego D(A)=D(A*)⇒A=A* y así A es autoadjunto. EJERCICIO: A maximal monótono y simétrico⇒Jλ, Aλ autoadjuntos. Dem. ( del Teorema 2.7) A) Unicidad (basada en la monotonía de A) Supongamos que u y u* son dos soluciones de las aseguradas por el teorema. La monotonía de A (análogamente al teorema de Hille-Yosida) hace que

ϕ(t)=u(t)-u*(t)2

sea creciente, definida en ]0,+∞[ y que sea continua en [0,+∞[ con ϕ(0)=0 (es decir, en t=0 ambas coinciden). Luego, ϕ(t)≡0 ∀t>0 ⇒u(t)=u*(t), ∀t>0. B) Existencia (asegurada por el teorema de Hille-Yosida) La haremos en dos etapas: 1ra etapa: Supongamos que u0∈D(A), entonces por el teorema de Hille-Yosida, sabemos que existe una solución u(t)= de )t(ulim

0 λ→λ

dt)t(dulim

dt)t(du

0λ

→λ=

uniforme en cada intervalo [0,T].

Probaremos que 0t,ut1

dt)t(du

0 >∀≤

Por otro lado, también sabemos que uλ es la solución de


90


(2.36) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=+≥∀λ

λλλ

0u)0(u

0)t(uAdt

)t(du,0t .

Para cada T>0 arbitrario, multipliquemos ambos miembros de la ecuación de (2.36) por

tdt

)t(duλ e integremos sobre [0,T]:

(2.37) 0dtdt

)t(du),t(uAtdtdt

)t(dutT

0

2T

0=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+ ∫∫ λλλ

λ

Pero

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= λλλλ

λλλλλ dt

)t(du),t(uA)t(u,dt

)t(duA)t(u),t(uAdtd ,

pues Aλ es lineal y acotado y no depende de t (A=A*), y como estamos en ,

(2.38) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= λ

λλ dt)t(du),t(uA2

Pero,

(2.39) ( )dt)t(u),t(uAdtdtdt

dt)t(du),t(uAt

T

021

T

0λλλ

λλλ ∫∫ =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

( ) ( ) dtdtdt)t(u),t(uA)T(u),T(uAT

T

021

21

ipp

∫ λλλλλλ −=

Por otro lado, como u0∈D(A) y ya probamos que 2

dt)t(dut λa es decreciente sobre [0,T] (en

realidad sobre [0,+∞[), entonces 22

dt)T(du

dt)t(du λλ ≥

Multiplicando por t e integrando sobre [0,T], resulta

(2.39) 2

Tdt

)T(dutdtdt

)T(dudtdt

)t(dut22T

0

22T

0∫∫ λλλ =≥

Volviendo a la ecuación de (2.36), multiplicándola por uλ e integrando sobre [0,T], resulta

( )∫∫ =+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛λλλλ

λT

0

T

00dt)t(u),t(uAdt)t(u,

dt)t(du ,

donde el primer sumando es igual a 2

212

212T

021 )0(u)T(udt)t(u

dtd

λλλ −=∫

Por lo tanto,

( )∫ λλλλ +=T

0

2212

021 dt)t(u),t(uA)T(uu


91


( ) dtdt

)t(du),t(uAt2)T(u),T(uAT)T(uT

021 ∫ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+= λλλλλλλ

Notando que la última integral es igual a la integral de (2.37) y de (2.39),

22

2T

0 dt)T(duTdt

dt)t(dut2 λλ ≥∫

Por lo tanto,

( )2

22212

021

dt)T(duT)T(u),T(uAT)T(uu λ

λλλλ ++≥

de donde,

0,0T,uT1

dt)T(duu)T(u 00 >λ∀>∀≤⇒≤ λ

λ

pasando al límite y escribiendo t en lugar de T,

0ut1)t(u ≤ .

2da etapa: Consideremos ahora u0∈H, por ser A maximal monótono, u0 es un punto adherente de D(A), es decir, existe una sucesión u0n⊂D(A) tal que u0n→u0 en H. Para cada u0n∈D(A), por la primera etapa de la demostración del Teorema de Hille-Yosida, existe un único un∈C([0,∞[;D(A))∩C1(]0,∞[;H) tal que

(2.40) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≥=+

n0n

nn

u)0(u

0t,0)t(Audt

)t(du

verificando además 0t,ut1

dt)t(duy0t,u)t(u n0

nn0n >∀≤≥∀≤ .

Para cada m, n >0, razonando como antes para la ecuación de (2.43) con m en lugar de n y restando, se tendrá: (2.41) 0t,uu)t(u)t(u m0n0mn ≥∀−≤−

(2.42) 0t,uut1

dt)t(du

dt)t(du

m0n0mn >∀−≤−

Luego, DE (2.41) un(t)→u(t) uniformemente en cada intervalo acotado [0,T] y de (2.42),

dtdu

dtdun → uniformemente en cada intervalo acotado [δ,T] con 0<δ<T.

Ahora, si todos los términos de una sucesión que CU verifican ciertas estimaciones, entonces el límite también verifica las mismas estimaciones, es decir, en ambas convergencias se verifica:

0tu)t(u 0 ≥∀≤ y .0t,ut1

dtdu

0 >∀≤

Razonando como el Teorema de Hille-Yosida, se tiene que u(t)∈D(A) y

0t,0)t(Audt

)t(du>∀=+ , por ser A cerrado. En efecto,


92


⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

∈⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

−→⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

>→⊃

dt)t(du)t(Au

)A(D)t(u

dt)t(du

dt)t(du)t(Au

0t),t(u)t(u)A(D cerradoA

nn

n

C) Regularidad: bastará probar que para cada k, u∈Ck-j(]0,∞[;D(Aj)), j=0,1,2,...,k. Por inducción sobre k≥1: Para cada k=1 se cumple trivialmente. Supuesto que vale para k-1, en particular se tendrá que u∈C(]0,∞[;D(Ak-1)). Consideremos el espacio de Hilbert H^=D(Ak-1) con el producto escalar del grafo de Ak-1, es decir,

( )∑−

==−

1k

0jH

jj)A(D vA,uA)v,u( 1k

(que hace A acotado...), y consideremos el operador:

A^: D(A^) ⊂ H^→H^ Definido por:

⎩⎨⎧

=⊂⊂= −

AÂ)^H)A(D()A(D)Â(D 1kk

Resulta que A^ es maximal monótono: En efecto, la monotonía es trivial. Para probar que es maximal (es decir, si f∈H^, ∃u∈D(A^) : u+Aû=f), consideremos f∈H^=D(Ak-1). Como A es maximal monótono,

∃u∈D(A): u+Au=f, es decir, Au=f-u∈D(A), pues u∈D(A), f∈D(Ak-1)⊂D(Aj)⊂...⊂D(A), j =1,2,...,k-1. Pero Au=f-u∈D(A) ⇒u∈D(A2). Repitiendo los mismos argumentos, ahora para Au=f-u∈D(A2) , pues u∈D(A2)...etc. ⇒ u∈D(A3), y así hasta que u∈D(Ak-1), y en este caso, Au=f-u∈D(Ak-1)⇒u∈D(Ak). Por lo tanto, dado f∈H^, ∃u∈D(Ak)=D(A^) : u+Aû=f, es decir, A^ es maximal. Además A^ es simétrico (ejercicio). ∴A^ maximal monótono y simétrico sobre H^⇒A^ maximal monótono y autoadjunto sobre

H^.

Por la etapa anterior, ∀v0∈H^ ∃! v∈C([0,∞[;H^)∩C1(]0,∞[;H^)∩C(]0,∞[;D(A^)) verificando

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

≥∀=+

0v)0(v

0t,0)t(Avdt

)t(dv

En particular, dado ε>0 arbitrario, sea v0=u(ε), lo que implica, por la hipótesis de inducción que, v0∈H^ (=D(Ak-1)), y como v=u a partir de ε, u∈C([ε,∞[[:D(A^)=D(Ak)), es decir, u∈D(A^), y por el resultado de regularidad ya visto, u∈Ck-j([ε,∞[;D(Aj)), j=0,1,2,...,k, y como ε es arbitrario, resulta

u∈Ck-j(]0,∞[;D(Aj)) , j=0,1,2,...,k.


93


NOTA: Hay alguna información para ecuaciones “con segundo miembro”, es decir, ecuaciones no homogéneas: En efecto, consideremos el siguiente problema:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==0

fu)0(u

]T,0[sobre)t(f)t(Audt

)t(duP

y el teorema de existencia, unicidad y regularidad: TEOREMA 2.14 Sea A maximal monótono sobre H. Para cada f∈C1([0,T];H) y cada u0∈D(A), existe un único u∈C1([0,T];H)∩C([0,T];D(A)) solución de (Pf), expresada por

∫ −+=t

0A0A ds)s(f)st(Su)t(S)t(u

donde SA es el semigrupo generado por A. Dem. Ver texto de R.E. Showalter. Hilbert Space Methods for PDE. Pitman, 1977.

EJERCICIOS

1. En este ejercicio se propone establecer un resultado de regularidad para problemas parabólicos.

Sean dos espacios de Hilbert reales V y H con V⊂H, V denso en H, la inyección de V en H es compacta y considere una forma bilineal continua a(.,.) sobre V simétrica y V-elíptica. El producto escalar en H se designa por (.,.).

i) Dado T>0 y f∈L2(0,T;V)∩C0(0,T;H), muestre que el problema: Hallar u∈ L2(0,T;V)∩C0(0,T;H) tal que

∀v∈V, ( ) )v),t(f()v),t(u(av),t(udtd

=+ sobre ]0,T[ (e.s.d.)

u(0)=u0∈H tiene una única solución u que verifica u∈C1(ε,T;H) ∀0<ε<T. ii) Qué condición suplementaria debe cumplirse para que u∈C1(0,T;H)?

Indicaciones: (Texto de Raviart & Thomas: Introduction á l`Analyse Numérique des ...). i) La existencia de solución resulta del teorema 7.2-1. Además, el Lema 7.2-1 da la expresión

explícita

( )∑ ∫≥

−λ−λ−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=1i

i

t

0

)st(i

ti0 wdse)w),s(f(ew,u)t(u ii

Para verificar que u∈C1(ε,T;H) basta probar que la serie de las derivadas converge uniformemente (CU) sobre [ε,T], su término general es una función continua. Se verifica rápidamente que la serie de las derivadas es la suma de tres series:


94



95

i =∑≥

∑≥

λ−λ−1i

it

i0i we)w,u( i ; , y ( ) )t(fww),t(f i1i

( ) i1i

t

0

)st(ii wdsew),s(f i∑ ∫

≥

−λ−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡λ−

Los términos generales de estas tres series son funciones continuas de t. Para probar que el primero CU sobre [ε,T], observe que para todo n≥1

t22i0

ni

2i

2

nii

ti0i

ii e)w,u(we)w,u( λ−

≥≥

λ− ∑∑ λ=λ−

Como la forma bilineal es coercitiva, λi>0 ∀i≥1. Luego, calculando el máximo de la función λe-ελ con respecto a λ, en el intervalo [0,+∞], el miembro de la derecha está mayorado por

( ) ( )21i

i02122

i01i

2i w,ueew,u i ∑∑

≥

ε−ε

ελ−

≥≤λ

La CU del segundo miembro se establece razonado por el absurdo: en caso contrario, existe δ>0 tal que para todo n≥1, existe tn∈[ε,T] con

( ) δ≥∑≥1i

iin ww),t(f

Dado que el intervalo [ε,T] es compacto, podemos extraer una subsucesión convergente knt , siendo

su límite t. La desigualdad triangular da

( ) ( )∑∑≥≥

≥1i

iin1i

ii )ww),t(fww),t(fk

- ( )∑≥

−1i

iin ww),t(f)t(fk

)t(f)t(fkn −−δ≥

Luego, dado que f∈C0(0,T;H), entonces para un k suficientemente grande

( )2

ww),t(f1i

iiδ

≥∑≥

lo que es imposible (por qué?). Resta probar la convergencia del tercer término de la serie. Esta resulta de una mayoración adecuada del término

( ) ( )2t

0

)st(i

2i

1i

2

ini

t

0

)st(ii dsew),s(fwdsew),s(f ii ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡λ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡λ− ∫∑∑ ∫ −λ−

≥≥

−λ−

para un n suficientemente grande. Primeramente, gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwarz, se obtiene una mayoración para

( ) ( )∫∑∫∑≥≥

λ−λ≤λ

− t

0

2i

1ii

t

0212

ii1i

t2dsw),s(fdsw),s(f

2e1 i

.

Recordando ahora que para todo i≥1 (confrontar teorema 6.2-1 del texto citado) ),w),s(f(a)w),s(f( iii =λ

y que la familia ( ii w21−λ ) es una base hilbertiana ortonormal del espacio V para el producto

escalar a(.,.). Como f∈L2(0,T;V) por hipótesis,

( ) dsw),s(fds)w),s(f(af1i

T

0

2ii

2

1i

T

0 i

i2)V;T,0(L2 ∑ ∫∑ ∫

≥≥λ=

λ= .


Luego, para n suficientemente grande, el término puede ser arbitrariamente

pequeño y a fortiori el término para t∈[ε,T].

( ) dsw),s(f1i

T

0

2ii∑ ∫

≥

λ

( ) dsw),s(f1i

t

0

2ii∑ ∫

≥λ

ii) La CU de las dos últimas series sigue válida (con la misma demostración) si se

reemplaza [ε,T] por [0,T]. Por el contrario, la serie de término general -λi(u0,wi) no CU sobre [0,T] salvo que , cosa que no está asegurada por la

hipótesis u

itwe iλ−

+∞<λ∑≥

2i0

1i

2i )w,u(

0∈H (que sí asegura ). Resta probar que esta última

condición en realidad es una hipótesis de regularidad complementaria sobre el dato u

+∞<∑≥

2i0

1i)w,u(

0.

2. i) Sean V y H dos espacios de Hilbert reales con V⊂H, siendo la inyección densa y compacta. Sea a(.,.) una forma bilineal continua simétrica y V-elíptica. Para f∈L2(0,T;H) muestre que el problema: Hallar u∈L2(0,T;V)∩C0(0,T;H) tal que

( ) HHH )v),t(f()v),t(u(av),t(udtd,Vv =+∈∀ sobre ]0,T[ (e.s.d.)

u(0)=u(T) (condición de periodicidad) tiene una única solución.

ii) Si la forma bilineal sólo verifica la condición de coercitividad; existen dos constantes α>0 y λ∈IR tales que

a(v,v)+λ Vvvv 2V

2H

∈∀α≥ Qué eventual modificación sobre las hipótesis deben hacerse para que existe solución del problema parabólico con condición de periodicidad?. Aún es verdadera la unicidad de solución?. Indicaciones: i) Proceder exactamente como en el Teorema 7.2-1. En este caso, por la V-elipticidad, se tiene λi>0 para todo i≥1, y poniendo αi(t)=(u(t),wi), puede probarse que las funciones αi deben verificar las ecuaciones:

)T()0(

)w),t(f()t()t(dtd

ii

iiii

α=α

=αλ+α

Aplicando el método “variación de constantes” se encuentra fácilmente que

( ) dsew),s(fe)t( )st(t

0i

t0ii

ii −λ−λ− ∫+α=α

donde


96


( )∫ −λ−λ−−

=αT

0

)sT(iT0i dsew),s(f

e11

i

i.

La última etapa consiste en verificar que la serie Σαi(t)wi converge en el espacio L2(0,T;V)∩C0(0,T;H). Para ello , use el Teorema 7.2-1. Ponga i

1i0i0 wu ∑

≥

α= . Entonces, u0 está

bien definido en H puesto que . Para esto último, por Cauchy-Schwarz +∞<α∑ 20i

∫λ−

λ−

−

+λ

≤αT

0

2iT

T20i ds)w),s(f(

e1e1

21

i

i

,

la serie converge a la suma ∑ ∫≥1i

T

0

2i ds)w),s(f( 2

)H;T,0(L2f .

Luego, la solución u está caracterizada por

)v),t(f()v),t(u(a)v),t(u(dtdVv H =+∈∀ sobre ]0,T[ (e.s.d.)

u(0)=u0que es única en el espacio L2(0,T;V)∩C0(0,T;H), gracias al teorema 7.2-1 (note que es la buena elección de u0 que asegura la relación u(0)=u(T)=u0). ii) Si ninguno de los valores propios λi es nulo, no hay modificaciones en las conclusiones. Por el contrario, si 0...... pi1ii 000

=λ==λ=λ ++ con 01pi0 ≠λ ++ (los espacios propios son de dimensión finita y un tal entero p siempre existe), la condición αi(0)=αi(T) para i0≤i≤io+p sólo vale si se verifica

∫ +≤≤=T

0p00i iii,0ds)w),s(f(

y en este caso, las constantes son arbitrarias. Dicho de otro modo, la existencia de una solución a este problema está subordinada a la condición

∫ ⊥∈T

0Nds)s(f ,

siendo N⊥ es el ortogonal en H del espacio propio N asociado al valor propio λ=0, y hay una infinidad de soluciones.


97

CAPITULO II. ECUACIÓN ABSTRACTA DE EVOLUCIÓN DE PRIMER ...rjimenez/edp2/cap2.pdf · UNIVERSIDAD...

Documents

Transcript of CAPITULO II. ECUACIÓN ABSTRACTA DE EVOLUCIÓN DE PRIMER ...rjimenez/edp2/cap2.pdf · UNIVERSIDAD...