, " * • :

C A P I T U L O II

ANÁLISIS DE SEÑALES

Como ya se expresó en la introducción a este curso, la señal usada en los s is temas de comunicación es de naturaleza eléctrica. Puede se r electromagnética, puesto que crea campos- De esta señal nos in­t e resa estudiar su comportamiento en el dominio del tiempo, puesto que contiene una información, y en el dominio de la frecuencia, pue£ to que puede ser limitada por circuitos o dispositivos El análisis que haremos en el presente capítulo será suficientemente generaliza­do y tendremos que recordar conceptos como el análisis de Fourier y el teorema de la convolución con el objeto de ayudarnos en el aná­l is is frecuencial de la señal- ^

2.1 DOMINIO DEL TIEMPO

La información, transmitida por el canal de comunicación u ob -tenida por medición, está contenida en la señal. Hasta l a r e c e £ ción de la información la señal debe considerarse como un pro­ceso aleatorio, que representa en s í un conjunto de funciones a leator ias del tiempo. Una de estas funciones, que es completa­mente conocida después de recibir la información, se denomina realización del proceso aleatorio.

Esta realización ya no es aleatoria sino una función determina­da del tiempo. Las alteraciones propias de todo canal de comii nicación, también son procesos aleatorios.

La caracter ís t ica fundamental del proceso aleatorio es la ley de distribución de la probabilidad del valor instantáneo de la función aleatoria dado en cualquier instante de tiempo prefijado. En la Fig. 2 .1 .1 puede verse varias funciones x^it), X2(t).. . que for­man el proceso aleatorio x(t). Los valores que pueden tomar las funciones individuales en el instante t - to son las magnitu-

- 23 -

des aleatorias X-^ÍIQ), X2(to)-

La probabilidad de que, al medir, la magnitud xj^(to) dé en algún intervalo prefijado (a,b) se determina por la expresión

P ( a < X k ^ b ) = P(x) dx 2 .1 .1

La función P(x) es una ley diferencial de distribución de la magnitud aleatoria x y se denomina densidad unidimensional de probabilidad; mientras que, P es la probabilidad integral. La función P(x) tiene sentido para las magnitudes aleatorias de tipo continuo, que pueden tomar cualquier valor en c ier ­to intervalo.

x , ( t )

P i g . 2 . 1 . 1

:«! . I" !L '"

- 24 -

Para toda distribución continua (para cualquier función p(x) ) debe cumplirse la igualdad

r^máx

.- ' / p(x) dx =

~^mn

donde xináx Y ^mín ^on 1

'/

1

os

2 .1 .2

son los límites de los valores posibles de x .

Si x es una magnitud aleatoria de tipo discreto y puede tomar só lo uno del número finito de valores discretos, tendremos que la ecuación 2 .1 .2 debe ser sustituida por la expresión análoga

< " / Pi = 1 2 .1 .3

i^r En esta ecuación Pi es la probabilidad correspondiente al i - é s i -mo nivel de la magnitud x

El planteamiento de la densidad unidimensional de probabilidad p(x) permite tomar el valor medio estadístico, tanto de la m i s ­ma magnitud x como de cualquier función f(x). Por la toma de un valor medio estadístico se entiende la operación de p r o ­mediar X según un conjunto, en cualquier sección del proceso , es decir , en el intervalo de tiempo fijado.

De la teoría de la probabUidad se conocen las igualdades siguien t e s :

r <x> = / X p(x) dx 2 .1 .4

llamado esperanza, valor medio o pr imer instante

' • > »

<x2) = / x2 p(x) dx 2 .1 .5

denominado cuadrado medio o segundo instante^y el cuadrado m£ dio de la fluctuación o sea la dispersión

- 25 -

0-2 = <(x - <x> )2> = < x 2 > - ( <x> )^ 2 . 1 . 6

Exis te diferenciación ent re los p rocesos a lea to r ios es tac ionar ios y no e s t a c i o n a r i o s . En el caso del p roceso es tac ionar io la dens i -dad unidimensional de probabilidad p(x) no depende del t i empo .

El p roceso es tac ionar io se denomina ergódico s i l a operación de t omar la magnitud a leator ia media por un conjunto es equivalente a la toma de un valor medio según el t i empo en los l ími t e s de u -na resQización. Un ejemplo elemental del p r o c e s o ergódico es ta -c lonar lo es el conjunto de osci laciones a r m ó n i c a s con fases i n i c i a ­l es a l e a t o r i a s . Supongamos que las ampli tudes y l a s f recuencias de todas l a s osci laciones son idénticas y p rev iamen te conocidas con c e r t e z a , de m a n e r a que cualquiera de l as r ea l i zac iones del conjun­to puede e s c r i b i r s e de la forma siguiente

Sk (t) = A eos (wt - ( í 'k) 2 . 1 . 7

La diferencia en t re la osci lación a rmónica de te rminada y es ta fun ción cons i s t e en que su fase '^ k es una magnitud a lea to r ia que con idéntica probabil idad puede tomar cualquálquier va lor en el i n ­t e rva lo O a 2 Tí . Es to significa que la densidad de probabUidad p( if ) e s una magnitud constante en el in te rva lo 0 ,2 r r y en conse­cuencia , teniendo en cuenta la ecuación 2 . 1 . 3 s e t endrá que

P ( < F ) = - ^ 2 . 1 . 8 2K

M t o m a r el va lor medio de s (t) por el conjunto, por la fórmula 2 . 1 . 4 s e obtiene

'2Tr ^ 2 n

eos (wt - ^ ) d V' = 0

puesto que la función eos (wt - </ ) es una función per iódica de ^ con per íodo 2 ÍI .

- 26 -

Al promediar S(t) por el tiempo, a lo largo de cualquier realiza ción, se obtiene un resultado idéntico

.T/2 ^T/2

S(t) =

T-».^ - T 7 2 T / 2

lím JL i s ( t )d t - - 2 . Icos (wt - V ) dt =0^

donde T = 2 TT /w es el período de la función del tiempo conside­rada .

Las señales aleatorias continuas aplicadas en comunicaciones, g e ­neralmente son la suma de un gran número de oscUaciones a r m ó ­nicas cuyas amplitudes y fases o bien son completamente indepen­dientes o bien están ligeramente relacionadas entre s í . Ante esta eventualidad surge la pregunta: Cual es la distribución de probabi­lidades de semejante señal ?

La respuesta la da el teorema central límite de la teoría de proba­bilidades que afirma, que la distribución de probabilidades para la suma de magnitudes aleatorias independientes en el crecimiento del número de sumandos tiende a la ley normal:

p(x) =

(x - x)2

2 <r 2

yf^lr

donde x y (T son, respectivamente, el valor medio y la disper -sión de la suma. En la figura 2.1.2 se muestran las curvas de la ley normal o gaussiana para algunos valores de <r

Basándose en el teorema límite central se llega a la siguiente con elusión: en todos los casos en que la señad considerada es la su­ma de un gran número de oscilaciones mutuamente independientes entre las cuales no se encuentran dominantes, su distribución es próxima a la normal . La ley normal de distribuciones de ampl i ­tudes aleatorias se presenta en la naturaleza con más frecuencia que o t r a s . Esta ley es muy conveniente para el anál is is . Por e-so , los procesos aleatorios, cuva distribución no se diferencia mu cho de la normal, generalmente se sustituyen por el proceso nor­ma l . La ley normal es especialmente para las interferencias del canal de comunicación.

- 27 - '

Si el proceso es estacionario y ergódico, x t i e n e ' e l s i g nificado de la componente constante, mientras que CT , el de lapo tencia media de la componente de fluctuación de cualquiera de las realizaciones del proceso.

2.2 DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Puesto que una multitud de las fimciones casuales se entiende co ­mo un proceso casual, se debe tener en cuenta que a cada función de diferente forma le corresponde también característ ica espectral diferente.

Para el análisis espectral de las señales se hace necesario un r e ­paso de nuestro estudio de análisis de Fourier que iniciaremos de inmediato

2.3 SERIES DE FOURIER

Sabemos que una función compleja v(t) periódica con período funda mental TQ puede descomponerse en una ser ie de componentes s e ­noidales así:

v(t) = Ao + ^ An eos wnt + / Bn sen Wnt 2 .3 .1 "ñ^l ~ñ^l

donde wn = 2)7 n/To es la frecuencia angular;

^ T o / 2

Ao = - ^ 1 v(t) dt 2.3.2

-To/2

es el valor promedio de v(t); mientras que los coeficientes An y Bn son dados por

^ : ' - 28 -

'Pyzíi-'-m «"•>•• V"'

• To /2

An " — - / v ( t ) eos Wnt dt T

2 . 3 . 3

- T o / 2

.To/2

Bn = = / V (t) sen w^t dt To

2 . 3 . 4

- T o / 2

Una p r i m e r a forma a l te rna de las s e r i e s de F o u r i e r e s

2 . 3 . 5

donde Co, Cn y y n es tán relacionados a Ao, An y Bj^ por l a s e -

euaeíones

Cn - A(

Cn = n = J ^ l 2 2 . 3 . 6

<P n = tan -1 ^ n A n

2 . 3 . 7

La s e r i e de F o u r i e r de una función per iód ica a s í v i s ta cons is te en una s u m a de a rmón icas de una frecuencia fundamental fo - I / T Q . Los coef ic ientes Cn son l lamados ampl i tudes e s p e c t r a l e s ; es dec i r Cn es la anaplitud de la componente e s p e c t r a l Cn eos (wnt - Y r\) en la f recuencia nf. En la figura 2 . 3 . 1 a s e m u e s t r a un e s p e c t r o de ampli tud de una señal per iódica; s e ha t r a z a d o una l inea verU cal en cada a r m ó n i c a de frecuencia eon una longitud re lac ionada a la ampli tud e s p e c t r a l de la a r m ó n i c a . P o r supues to un e s p e c t r o de ampli tud desconoce la información de fase y por tanto no e spe

- 29 -

eifica la forma de onda v( t ) . I

Las igualdades de Euler permiten dar una segunda forma alterna de la ser ie de Fourier, muy empleada en teoría de comunicacio­nes . Esta forma está dada por:

•sw»

v( t ) = / D n e ^ " ^ * 2 .3 .8

n=-3o

donde Dn está dado por

D n = ^ / v ( t ) e " ' ^ ^ * d t • 2 .3 .9 T, o •To/2

Los coeficientes Dn tienen la propiedad de que Dn y D = n son con * jugados complejos uno del otro, es decir Dn = D-n . Los coefi­

cientes son relacionados a los Cn de-la ecuación 2 .3 .5 por:

D,

Dn = ^ e - ^ ^ n y D.n = D *

2.3.10

n

Los Dn son las amplitudes espectrales de laa componentes espec­t ra les Dne^^*^** En la figura 2.3.1b se muestra el espectro de amplitudes Dn correspondiente al espectro de amplitudes Cn mos­trado en la figura 2 .3 .1a . Puede observarse que mientras Do = CQ. a cada línea de amolitud Cn corresoonden dos líneas de am­plitudes Dn = Cn/2 colocadas en las frecuencias Wn y w-^ . El especi t ro de la figura 2.3.1a es Uamado espectro de amplitudes monola tera l mientras que el de la figura 2.3.1b es Uamado bi lateral .

Para comunicaciones resulta más apropiado trabajar con la forma exponencial de las ser ies de Four ie r .

2.4 LA TRANSFORMADA DE FOURIER

- 30 -

^ ' . ^ • :

^ 1 " 1041'

m"-'»

ikf

N'

o f» 2Í„ 3Í„ 4f„ 5f^ 6f m m m m n m

p.r ID/

M te/

'1^' ,,r ^^ í \ ^ : r p.r ^

:i Sím 5fm *ím ^^m 2''a ' n ° 'm ^^m 5f„ 4^^ 5f„ Sf^

P i g . 2.3.3-

- 31 -

Una forma de onda periódica puede expresarse como ya se vio por la suma de sus componentes espectrales. Estas componen tes tienen amplitudes finitas y están separadas por intervalos fi nitos de frecuencia fo = I / T Q . Ahora podemos suponer que au menta sin limite el período de la señal. Tomemos como refe­rencia los pulsos de la figura 2 , 4 . 1 , al aumentar el valor del periodo indefinidamente, tendremos finalmente un solo pxilso o sea una señal no periódica.

Cuando T—^oe, el espaeiamiento entre las componentes espectra les llega a ser infinitesimal. La frecuencia de las componentes.

-*<rK-

P i g . 2 . 4 . 1 que en la ser ie de Fourier es una variable discreta, se convierte en el límite en una variable continua. Las amplitudes espectra -les se convierten en infinitesimales y la ser ie de Fourier para la onda periódica

v(t) = n- - - j27Tñ

se convierte en

v ( t )= / V(f)e i^^^* df 2 .4 .1

•_53«»

Las amplitudes espectrales finitas Dn son análogas a las amplitu des espectrales infinitesimales V(f)df. La cantidad V(f) es l l a ­mada la densidad espectral de amplitudes o más generalmente la

- 32 -

transformada de Fourier de v(t). La transformada de Fourier e ¿ ta dada por

V(f) = I v ( t ) e " J 2 ^ f t d t 2 .4 .2

/ . m : f i

en correspondencia eon la ecuación 2 .3 .9 para Dn.

Si un circuito eon una función de transferencia H(f) es excitado por una señal vi(t), con transformada Vi(f), como se muestra en la fi­gura 2 . 4 . 2 , la señal de salida vo(t) estará dada por

Vo(t) = I H(f) Vi(f)e^^'^^*df 2 . 4 . 3

- ' - o - s

V i ( t ) v„(t)

P i g . 2 . 4 . 2

Comparadas las ecuaciones 2 .4 .1 y 2 .4 .3 se puede concluir

y[vo(t)] = H(f)7r[vi(t)l

Vo(f) = H(f) Vi (f) 2 . 4 . 4

La ecuación 2 .4 .4 está acorde con lo previsto en análisis de cir­cuitos, donde se hace su presentación en una forma fasorial .

2 .5 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA

La transformada de Fourier no es más que una nueva forma de expresar una función. De manera que una supuesta función ya la

- 33 -

podemos expresar en el dominio del tiempo y también en el donii nio de la frecuencia.

De las ecuaciones 2.4.1 y 2.4.2 puede observarse que existe cier ta simetría entre la transformada y la transformada inversa; s i ­metría que deben conservar las propiedades que posean tales t ran£ formadas.

La notación

f(t)<=5F(f)

denotará que F (f) es la transformada directa de Fourier de f ( t )y que f(t) es la transformada inversa Fourier de F (f).

2 .5 .a Propiedad de simetría

Si f(t) <í=> F(f)

entonces F(f) <=: f (-f)

De la ecuación 2 .4 .1

2 . 5 . a l

f(-t) = / V(f) e "' '^'^^^df

/ - • T »

Puesto que f es la variable de integración puede ser cam­biada por cualquiera otra

. / V I Tr/ V - j 2 / r x t

f (-t) = I V(x) e d x

de donde f(-f)= I V(x) e "^ ^"^^^i dx . 3 0

De la misma manera substituyendo la variable de integra ción X por otra t se tendrá

•oo

f(-f) = 1 V(t) e " ^ ^ ' ^ " d t

- 34 -

= ^[F(t)l

De donde

F(t) ^=^ f(-f)

2.5.b Propiedad de Ljnealidad

Si fl (t) ^ Fl (f)

f2 (t) <=> F2 (f)

Entonces, para constantes arbitrarias cualesquiera ai y a2

ai fi(t) + a2 f2 (t) <=^ aj Fi (f) + a2 F2 (f) 2 . 5 . b l

La relación-2.5.bl puede ser demostrada fácilmente por la definición de la transformada directa de Fourier y puede ser generalizada a sumas finitas:

ai fl (t) + a2 f2 (t) + a3 f3 (t) +. . + an fn(t) ^=^^1 ^ i (f) +

a2(f) + ag Fgíf) + . . + an F^ (f).

2.5.e Propiedad Escalar

Si f(t) <=^ F(f)

entonces para una constante real a.

f(at)<=:>—i— F(-L) 2 .5 .e l |a | a

Para demostrar la relación 2 .5 .e l se tiene:

- 35 -

entonces para a positiva; eon x = a t

7tf(at)l = Í f (x)e-^ ; 2íTfx a dx

2.5.C2

= 1 F ( ^ ) a ^ a '

De igual manera si a es negativa se puede establecer

y r f ( a t ) ] =- i F f X \ 2 . 5 . e 3 •* a ^ a ^

De las ecuaciones 2 .5 . c2 y 2.-5.c3 se concluye la 2 . 5 . c l .

La propiedad escalar establece que el comprimir una fun ción en el dominio del tiempo llevándola de la fornaa f (t) a f (a t ) equivale a expandirla en el dominio de la frecuen cia nevándola de la forma F(f) a F ( t / a ) . Este resultado es , intuitivamente obvio puesto que si la fimeión se com­prime en el dominio del tiempo quiere decir que varia más rápidamente en ese factor y en eonseeuaieia las com ponentes de frecuencia se incrementan proporeionalmente.

Este resultado se puede observar en el eiercicio

De 2 . 5 . e l se puede observar que

f(-t) = F (-f)

2.5.d Propiedad de desplazamiento en la frecuencia

Si f(t) 4=^ F(f)

entonces f( t )e J^' fo^ ^ F( f - fo)

La demostración es sencilla partiendo de la definición de la transformada directa de Fourier :

•V-4

'••'•y - 36 - ; . . .,• _ .- ,;,; •:-•. ;•..

5?[f(t)e^2"^-*] = /'f(t)eí2^fote-i2^ft^^

JÍt)e-í2' (f-fe)t dt > "

:..- • = F ( f - f o ) .y,

- Esta propiedad establece que un desplazamiento fo en el

dominio de la frecuencia equivale a multiplicar f COpor •yZj:Jx • ' e^ ° en el dominio del tiempo.

En los sistemas de comunicación, muv a menudo hay ne­cesidad de trasladar el espectro de frecuencias y se efe£ túa multiplicando la señal f(t) por una función senoidal. Al proceso se le denomina modulación el desarrollo mate^ mátieo puede verse en el ejercicio

2 .5 . e Propiedad del desplazamiento en el tiempo

Si f ( t ) ^ = ^ F ( f )

entonces f( t - to) <=^ I f ( t - to) e ' ^ ^'^^*^d t

Para su demostración se puede tomar

y[f(t-to)l = I f(t-to) e-^2nft^^

Si se establece t - to = x

7[ f ( t - t J= f(x) e-J^'" <x + to) dx

' o *

rJ2 '-^fto f( ,)e-J2'^f '^ d x

= F(f)e -j2Vrfto

- 37 -

Es ta propiedad establece que si se desplaza una función en el dominio del t iempo en la cantidad to, entonces no s e al t e r a su e spec t ro de magnitud j F(f) | , pe ro s i el e s p e c ­t r o de fase que sufre un cambio - 2 r t f t o . Concisamente se puede deci r que un desplazamiento en el dominio del -t iempo en to equivale a una desviación de fase de - 2 n f t o , es dec i r a la multiplicación por e - J 2 n f t o en el dominio de f recuencia .

2 .5 . f Diferenciación e integración en el t iempo

Si f ( t ) . í = ^ F ( f )

entonces J É I é = ^ (i w) F (w ) dt

f ( t ) d t < ^ - ^ - F({)

j 2 / I f

Siempre y cuando que F (f) / 2 H f es té l imi tada en f = O

Demos t rac ión _ j2fTft

f(t) = I F(f) e df

de donde

** j 2 n f t j 2 n f F(f) e df

de donde s e concluye que

| | < = ^ j 2 7 r f F(f)

y de igual m a n e r a s e puede extender a

d' f ^=>(i2íTf) '^ F(f)

dtn ' '

- 38 —

Ahora considérese

9 (t) = ¡ i ( V ) d t

1 - = ± í f ( C ) d r = f(t) dt dt

Si • ' - • »

<p(t) =

f (t) =

F(f) =

b (f) =

í> (f)

j 2 n f <í>(f)

j2/Tf <j) (f)

- T T T T F (f)

Existe este resultado solo si existe < (f), es decir si ^ ( t ) es absolutamente integrable

2 .5 .g Diferenciación en la frecuencia

Si . f ( t ) < = > F ( f )

entonces -j 2 TT tf (t) ^=> Í Z . df

Demostración

F(f) = / f ( t ) e'-^^^^^dt

»/y> r o a

dF á \ , . -Í2Tr ft . •. -Sf = -2. f(t) e •' dt df df /

= f-j2/Tt f(t) e - 2 ^ " d t

de donde

- j2 f r t f ( t )^=^ dF dt

- 39 -

y s e puede genera l i za r

( - j 2 n t ) n f ( t ) = ^ ^ dfn

2 .6 E L TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN m

Con la aplicación del t eo rema de la convolución se obtiene con fa cu idad muchos resu l tados i m p o r t a n t e s . P a r a su enunciado debe t e n e r s e en cuenta que existen dos : uno en el dominio del t iempo y o t ro en el dominio de la f recuencia .

2 . 6 . a Convolución en el t iempo

Si fl (t) ^ F l (f)

y f2 (t) - ^ F2 (f) .-o»

entonces fl(t) f2 (t - D d r ^ í = ^ Fi(f) F2(f)

que puede e s c r i b i r s e también como

fl (t) * f2 (t) = F i ( f ) F2(f)

2 . 6 . b Convolución en la frecuencia

SI fl (t) 4 = ^ Fi(f )

y f2 (t)<i=) F2(f)

entonces

o sea

fl(t) £2(i)<=^ | F i ( g ) F 2 ( f - g )dg

fl(t) f2 ( t )C=:>^[F i ( f ) * F2 (f)]

La demos t rac ión de los doa enunciados s e proponen como e je rc ic io final de capi t i i lo .

- í»*i

. - 40 - .

La convolución presenta leyes algebraicas similares a la mult^ plieaeión. Estas son:

Ley Conmutativa :. ' . ; . • ^

fl(t) * f2(t) = f2(t) * fi(t)

Ley distributiva

fl(t) * [f2(t) + f3(t)] = fi(t) * f2(t)- + fi(t) * f3(t)

Ley Asociativa

fl(t) * [f2(t) * f3(t)] = rfi(t) * f2(t)] * f3(t)

La interpretación gráfica de la convolución es muy útü en el aná­lisis de s is temas, puesto que permite visualizar los resultados de muchas relaciones abstractas, sobre-todo en la teoría de la comu nicación. Para obtener gráficamente la convolución de las funcio nes fi(t) y f2(t) se procede así:

1. Se gira la función f2(t) alrededor del eje vertical que pasapor el origen para obtener f2 (- T )

2 . Se considera la función girada como un cuadro rígido que se desplazará sobre el eje T en una cantidad to- Este cuadro r_f gido representa aqui la función f2 (t - iT ).

3 . La función, representada por el cuadro rígido desplazado, miil tiplieada por fi( Z ) es la función í\{ t )f2 ( Í Q - T ) y el á rea bajo esta curva producto está dada por

f l ( r ) f 2 ( t o - í ) d T =[fi(t) * f2(t)] t=i

A * »

4 . Se repite este procedimiento para diferentes valores de t, des plazando sucesivamente el cuadro en diferentes cantidades, ob teniendo los valores de la función de convolución fi(t) * f2(t) para estos valores de t .

Puesto que

- 41 -

fl(t) * f2(t) = f2(t) * fl(t)

Se podría mantener fija f2 ( r ) y tomar la imagen reflejada de í^iX) en la convolución gráfica en los dos casos se obtendrá el mismo resultado.

2.7 EL TEOREMA DE MUESTREO

El teorema de muestreo que constituye una herramienta de gran­des Eilcances en la teoría de la comunicación puede enunciarse as í :

Una señal limitada en banda que no contiene componentes espec -t ra les mayores que la frecuencia fm Hz~ está délerminadá en for-rfíá^mQa-por sus valores" eñ^íitérvatos'liJíifOT'ines menores" de 1/2fm segundos.

Esto implica que si la transformada de Fourier de f(t) vale cero fuera de determinada frecuencia fm, entonces toda la información acerca de f(t) queda contenida en sus muestras uniformemente es_ pactadas a intervalos menores de l /2fm segundos.

Es fácil demostrar el teorema de muestreo con la ayuda del teo­rema de la convolución en la frecuencia. ' Considérese una señal f(t) limitada en banda que no contenga componentes espectrales ma yores que fm Hz. Esto significa que F(f), la transformada de Fourier de i[t) es cero cuando|f I > fni. Supongamos que multipU camos la función f(t) por la función impulso periódica S T Í Í ) . La función producto es una sucesión de impulsos localizados a i n t e r ­valos regulares de T segundos con intensidades iguales a los valo res de f(t) en los instantes correspondientes. El producto f(t) ¿-p(t) representa una función f(t) muestreada a intervalos uni­formes de T segundos. La función muestreada será denotada por

fs(t) = f(t) ^T(t)

El espectro de frecuencias de f(t) es F(f). La transformada de un tren uniforme de funciones impulso Sxít) es otro tren uniforme de funciones impulso 8 fo(f) . Los impulsos están separados por un intervalo uniforme fo = l / T

T(t)<í=»2fTfo S í o i n

- 42 -

La transformada de Fourier de f(t) ó j í t ) estará dada de acuerdo eon el teorema de la convolución en la frecuencia por la convolu ción de F(f) con 2a fo 5 fo(f)

fs(t)«=^[,F(f) * fo6fo(í)T

= ~ [F(f)* ¿fo( f ) ] 2 .7 .1

Por la ecuación 2.7.1 es evidente que el espectro de la señal mués treada fs está dada por la convolución de F(f) con un t ren de impxú s o s . Podemos someter a las funciones F(f) y Sfo(f) a una convolu ción gráfica con el procedimiento descrito en la sección 2 . 6 . Para llevar a cabo esta operación giramos la función bfo(f). Sobre el e je vertical f = 0. Como ^ fo(f) es una función par la función g i ra­da resulta igual a 6 fo(f) - Para efectuar la convolución, desplaza­mos todo el tren de impulsos ¡ S Í Q Í O I en la dirección positiva de f. Cuando cada impulso pasa por F(f) reproduce la misma F(f). Como los impulsos están a intervalos de fo = l / T i la operación de convolución resulta en que se repita la función de densidad espec -t ra l correspondiente a fs(t) es , por tanto la misma F(f) pero repe­tida periódicamente cada wo radianes por segundo. Designaremos esta función con F2(f). Obsérvese que F(f) se repetirá per iódica­mente sin t raslaparse siempre que fo-^ 2 fm , o sea

Es decir T ^ - 4 — 2,7 .2

Por consiguiente cuando se muestra la función f(t) a intervalos uní formes, menores de l /2 fm segundos la densidad espectral defs(t) se rá un réplica periódica de F(f) y, por lo tanto, contendrá toda la información acerca de f(t). Se puede recuperar fácilmente F(f), a par t i r de Fs(f), pasando la señal muestreada a través de un fil­t ro de paso bajo que permite la trasmisión de todas las componen tes de frecuencia inferior a fm y atenúa todas aquellas de frecuen cia superior a fm.

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2.8 POTENCIA NORMALIZADA

En el análisis de sistemas de comunieaciones se encuentra que con una señal v(t) está relacionada la cantidad v2(t)^ donde la barra in­dica el valor promedio. En el caso de funciones periódicas se to ma el valor promedio sobre un cielo se puede suponer que la señal v(t) se aplica sobre un resistor de 1 ohm, entonces la potencia dis_i pada será v2(t) v2/jl = w watts, donde el número w sería numéri camente igual a v2(t), el valor cuadrado medio de v(t). Por esta razón se le llama potencia normalizada de v(t) a la expresión v2(t). Debe recordarse sin embargo que las unidades de la poten -cia" normalizada es voltios2 y no wat ts .

En la práctica se omite el término normalizado cuando no se dé lu gar a confusión y aún se llega a hablar de potencia en watts pero no debemos olvidar la aclaración del párrafo anter ior .

Considérese una función periódica v(t) que puede expresarse por la ser ie de Four ier . De la ecuación 2 ,3 .8 se tendrá

o»

v(t) = 2 ^ Dn e J ^ ' 2.8.1

Si se representa la potencia normalizada por la le t ra p ' se tendrá

To/2

2.8.2

-To /2

Relacionando las ecuaciones 2 .8 .1 y 2.8.2, al calcular el cuadrado de v(t) se obtendrá el cuadrado de cada término de la serie y los productos cruzados de ellos. Entre estos últimos debe destacarse los productos Dn D_n o Dn Dn que representa el mismo resultado. Siendo los términos de la serie de Fourier ortogonales, los únicos términos de la ser ie elevada al cuadrado serán Dn I ' ya que el va Ior promedio de los demás términos será cero:

•QO

p' =y DnDn 2.8.3 - o o

•o»

= y DnDn

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Puesto que

DnDÍ + D.nDÍn = 2Dni : f ,,

la ecuación 2 .8 .3 puede escribirse «o

2 D n D * 2 .8 .4

De acuerdo con las ecuaciones 2 .8 .3 y 2 .8 .4 podemos establecer la relación de los coeficientes Dn y la potencia normalizada que aporta cada término de la serie de Fourier a la señal compuesta v(t). Podríamos hablar de la potencia Dn normalizada de un tér mino de orden n

Pn = 2 D n D * = 2 | D n l

y la potencia normalizada total:

p ' ' 4 2lD„|2

2 .8 .5

2 .8 .6

En la figura 2 .8 .1a se muestra la distribución de la potencia norma lizada correspondiente a la ecuación 2.8.6

'P K\ W

V.I V

V f

p ( f ) r i

P i g . 2 . 8 . 1

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2.9 DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

Supóngase que la figura 2 .8 .1a representa la contribución, Pn . de cada término de la serie de Fourier a la potencia normaliza da total . Si iniciamos en f = -o« y nos vamos en la dirección positiva de la frecuencia podemos ir sumando cada contribución y encontramos que p' resulta función de la frecuencia, p' ten -drá una forma como la graneada en la figura 2 . 8 . 1 b . No cam­bia cuando va de una linea espectral a otra pero si csonbia bru£ camente cuando la potencia normalizada de cada línea es agrega­da. Para establecer la potencia normalizada en un rango df a l ­rededor de una freeuenfcia f, se puede expresar por

dp(f) = l £ Í Ü df 2.9.1

La cantidad dp ( t ) / d f es Uamada la densidad de potencia normaU zada G(f) asi

G(f) = A g l i 2 .9 .2

La potencia en el rango dt en la frecuencia f es G(f)dt . La po­tencia en el rango positivo de fi a f2 es

2 .9 .3

La potencia en el rsmgo negativo de frecuencias entre -f2 a -fi será

p(f) =/ G(f) df 2 .9 .4

Las ecuaciones 2 .9 .3 y 2.94 tal como están expresadas no tienen sentido físico. Sin embargo, la potencia total en el rango de fre cuencias de fi a f2 si tiene significado y esta potencia está dada por

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-fl r h - V p(f) = / G(f)df + / G(f) df 2 .9 .5

•^f2 - ^ f l

f l ^ | f ) ^ f 2

Pa ra hallar la densidad espectral de potencia, debe diferenciarse p(f) en la figura 2 . 8 . 1 b . Entre frecuencias armónicas tendremos G(f) = O. En las armónicas G(f) será un impulso de amplitud i -gual al tanaaño del salto en p(f).

Asi se podrá establecer r^

X G(f) = > |Dnl ^ ¿ ( f - n f o ) 2 .9 .6

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La representación gráfica de la ecuación 2 .9 .6 coincidirá con la figura 2 . 8 . 1 a .

BIBLIOGRAFÍA

1 . GABEL, R. y ROBERTS R. Señales y Sistemas Lineales, Edi­torial Limusa, México, 1975. Este libro está orientado al estudio de señales en los dominios de tiempo y frecuencia y el estudio de las transformadas z, de Fourier y de Laplace.

2 . GONOROVSKI. Señales y Circuitos Radiotécnicos, Editorial Mir, Moscú, 1972. Libro ya presentado en la bibliografía del pri mer capitulo. Dedica los capítulos 2,3 y 4 al estudio de se nales y de información.

3 . LATHI, B . P . Introducción a la Teoría y Sistemas de Comuni­cación, Editorial Limusa, México, 1974. Libro que dedica su pr imer capitulo al análisis de señales en los dominios de tiempo y frecuencia.

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4. TAUB, H. y SCHILLING, D. Principies of Communication Systems. McGraw-Hül Kogakusha, Tokyo, 1971. Este libro orientado al estudio de sistemas de eomtmieación dedica su capítulo inicial al análisis espectral de seña -l e s .