1

FUNCIONES ELEMENTALES

1. FUNCION EXPONENCIAL:

Para z x iy se define la función exponencial exp : mediante

exp( ) (cos )xz e y i seny

Como se puede ver, esta definición generaliza la ya conocida función exponencial real,

pues cuando 0,y z x se tiene que exp exp .xz x e

Analiticidad: Las partes real e imaginaria de exp z son

Re( ) ( ) ( , ) cos

Im( ) ( ) ( , )

x

x

z u z u x y e y

z v z v x y e seny

y satisfacen las ecuaciones de Cauchy – Riemann para todo ( , )z x y :

( , ) cos ( , )

( , ) ( , )

x

x y

x

y x

u x y e y v x y

u x y e seny v x y

Si a lo anterior le agregamos que las derivadas parciales son continuas en todo el plano z,

entonces podemos afirmar que exp z es analítica en todo el plano z, es decir, es una

función analítica entera.

La Derivada: Sabemos que por ser exp z analítica entonces existe la derivada y esta viene

dada por la fórmula: ( ) ( ) ( )' x xf z u z i v z

por lo que, ( ) cos exp' x xf z e y i e seny z

Es decir, la función exponencial es su propia derivada tal como sucede en el análisis real

donde ( )x xde e

dx . Lo que hace más justificable la elección de exp z como la

generalización de xe .

Periodicidad: Aquí, la función exp z es bien diferente a la exponencial real xe la cual

como sabemos no es periódica.

La función exp z es periódica con período 2 :i

exp( 2 ) exp( ( 2 ))

(cos( 2 ) ( 2 ))

(cos )

exp

x

x

z i x i y

e y i sen y

e y i sen y

z

2

Repitiendo este mismo argumento se puede mostrar (ver figura1) que para una z fija y

cualquier entero k,

exp( 2 ) expz k i z

Figura 1. Periodicidad 2 i de la función exponencial compleja:

exp( ) exp( 2 ) exp( 4 ) ..... exp( 2 ) ,z z i z i z k i k .

Mostremos que sí

exp( ) exp para todoz b z z

entonces 2b k i para algún entero k. (Lo que significa que los puntos de la forma

2z k i tiene el mismo valor de imagen para toda z- fija, es decir exp z No es función

inyectiva o uno a uno ).

Solución: Por propiedades sabemos que exp( ) exp( )exp( )z b z b

entonces según la hipótesis exp( )exp( ) exp( )z b z lo que implica exp( ) 1b . Pero por otro

lado 21 i ke , luego 2 2 ,b i ke e b k i k .

Las figuras 2 y 3 implementadas en Matlab exhiben la periodicidad de la función exp z para

franjas de longitud 2π y 4π de ancho.

exp( )z

0

y

x

4 i

2 i

2 i

4 i

2z i

4z i

z

2z i

4z i

x

3

Figura 2. La acción de exp z como mapeo sobre una banda de longitud 2 de ancho. La franja izquierda

de /S z x iy y es mapeada hacia el disco unitario 1z , mientras la franja derecha

es mapeada al exterior del disco unitario. Lo anterior puede comprobarse con el punto 1 0.25 0z i y su

correspondiente imagen. En resumen la imagen de la figura a izquierda es el plano 0 .

Figura 3. Nótese que la franja azul 0y tiene como imagen la parte inferior del plano, mientras que

la franja roja 0 y se corresponde con la parte superior del plano, completándose así el plano punteado

0 . De igual forma, si la franja es 3y se obtiene como imagen otro plano punteado 0

Para comprobar lo anterior, se tomaron los puntos 1 0.25 0z i 2 0.25 2z i y sus

correspondientes imágenes. Si la banda horizontal fuera de longitud 10 se obtendría como imagen 5 planos

punteados 0 , uno por cada franja horizontal de longitud 2 .

Ante el interrogante de cómo visualizar la dinámica de la función exp(z) para una banda de

longitud 2 ,( ), y la ortogonalidad como invariante a través de ella, veamos las

figuras 4 y 5:

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [-pi,pi]

Eje Real x

Eje

Im

ag

ina

rio

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Imagen de Malla a través de w = ez

Eje Real u

Eje

Im

ag

ina

rio

v

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-2

0

2

4

6

8

10Malla de 80x40 celdas sobre [-1,1] x [-pi,3*pi]

Eje Real x

Eje

Im

ag

ina

rio

y

-2 -1 0 1 2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Imagen de Malla [-1,1]x[-pi,pi]

Eje Real u

Eje

Im

agin

ario

v

-2 -1 0 1 2

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Imagen de Malla [-1,1]x[pi,3pi]a través de w = ez

Eje Real u

Eje

Im

agin

ario

v

4

Figura 4. Las figuras ilustran la forma como las imágenes se van formando para cada una de las siguientes

bandas: 2 2

[ 1,1] [ , ] ; [ 1,1] [ , ] ; [ 1,1] [ , ] ; [ 1,1] [ , ]6 6 3 3 2 2 3 3

5 5

[ 1,1] [ , ] ; [ 1,1] ( , ]6 6

. El proceso inverso lo realizará la función log z .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Imagen de Malla a través de w = e

z

Eje u

Eje

v

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Imagen de Malla a través de w = e

z

Eje u

Eje

v

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-3

-2

-1

0

1

2

3Imagen de Malla a través de w = e

z

Eje u

Eje

v

-2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3Imagen de Malla a través de w = e

z

Eje u

Eje

v

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3Imagen de Malla a través de w = e

z

Eje u

Eje

v

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3Imagen de Malla a través de w = e

z

Eje u

Eje

v

5

Figura 5. Un análisis local sobre la malla permite afirmar que la ortogonalidad (90 ) entre rectas verticales y

horizontales se mantiene invariante en sus imágenes a través de exp z . Nótese también que cada cuadrado

pequeño en la grilla es mapeado por exp z a un tipo de imagen que es aproximadamente cuadrada.

La principal clase de mapeos que nos interesa son las analíticas(o diferenciables

complejas). Entre estas, la exp z cuyo efecto local sobre vectores infinitesimales es

expandirlos y rotarlos. Las transformaciones de este tipo juegan un papel fundamental en

adelante y diremos que tales transformaciones son localmente un “amplitwist”(amplitud

mas rotación) y por tanto automáticamente conforme (transformación que preserva

ángulos).Ver figura 6.

De lo anterior:

Los mapeos analíticos son precisamente aquellos cuyo efecto local es un amplitwist: todos

los números complejos infinitesimales que emanan de un solo punto son amplificados y

rotados la misma cantidad.

Figura 6. El efecto infinitesimal de un mapeo analítico puede verse en la figura. Nótese que la función

analítica es localmente isotrópica (un elemento de área infinitesimal es igualmente expandido en todas las

direcciones) y los ángulos infinitesimales son preservados. Para este tipo de mapeo la derivada existe, y es

simplemente el amplitwist o si se prefiere el número que representa el amplitwist.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Malla de 20x20 celdas sobre [-1,1] x [0,pi]

Eje x

Eje

y

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3Imagen de Malla a través de w = e

z

Eje u

Eje

v

z

Plano complejo z

Plano complejo w

( )f z

Función Analítica

6

La “amplificación” es el factor de expansión, y el “twist” es el ángulo de rotación. El efecto

local de f es completamente codificado en el número único ' ( )f z , la derivada de f , o

como se prefiere frecuentemente el amplitwist de f :

( )

[arg ( '( )) ]

' ( )

( )

'( )

i rotación

i f z

f z el amplitwist de f

amplificación e

f z e

Es importante afirmar que “diferenciar” no es lo mismo que “amplitwist” pues el primero

se refiere al acto de encontrar la derivada de una función, mientras el segundo se refiere al

acto de “amplificar y rotar” una figura geométrica infinitesimal. Recordemos que

“amplificar y rotar” es precisamente lo que significa la multiplicación por un número

complejo. Por ejemplo sí 3

( )4' ( ) 2

i

f z e

entonces la amplitud es 2 y la rotación es 3

4

.

Figura 7. Si la función es analítica, cada uno de los vectores infinitesimales que emanan del punto z tienen

una imagen que se obtiene del producto de estos por '( )f z . En la ilustración la expansión es 2 y el ángulo

de rotación es 3

4

. Si se cambia de punto z, el ángulo de rotación y la expansión varían.

Es posible encontrar otra caracterización de las funciones analíticas a través de la matriz

Jacobiana. Para tal propósito, basta considerar la matriz de la transformación lineal que

corresponde a la multiplicación por un número complejo. Esto es,

( ) ( ):

z x iy T z a ib zT

donde, ( ) ( )( )a b x

T z a ib x iyb a y

Recordemos que 2:

a a b

b b a

I

define una aplicación lineal inyectiva entre los puntos

del plano y las matrices en . De ahí que, a a b

a bib b a

.

f

z ( )f z

7

Como la transformación es lineal, el efecto local está completamente determinado por la

matriz Jacobiana:

x y

x y

u uJ

v v

.

Así, comparando la matriz de arriba con la Jacobiana y si lo que se pretende es que el

efecto de J se reduzca a un amplitwist, entonces

( ) ( )

x y

x y y

u a v

v b b u u

. Ecuaciones de Cauchy -Riemann

Lo que se resalta aquí, es que estas ecuaciones deben satisfacerse en alguna vecindad

infinitesimal de un punto con el objeto de que el mapeo sea analítico allí.

Como a ib juega el papel del amplitwist, comparando columnas de a b

b a

con

x y

x y

u u

v v

se obtienen las dos formulas de la derivada:

' x x xf u iv f

' y y yf v iu f

Nótese que las formas especiales de las funciones componentes u y v son las que aseguran

que el mapeo sea analítico.

Un buen ejercicio consiste en calcular el Jacobiano para 2( )f z z y

3( )f z z y

analizar los efectos de estos mapeos, es decir que preservan ángulos entre vectores.

Retornando a los aspectos algebraicos de la función exponencial y aunque más adelante se

definirá za donde a y z son complejos, la operación más importante de este tipo de

números es la siguiente: si a e es la base usual para el logaritmo natural determinado por

ln 1e , y si z x i y es cualquier complejo, entonces elevar e a una potencia compleja

se define como expze z . (En adelante, usaremos cualquiera de las dos notaciones).

En el caso particular en que 0,x z i y y la convención anterior se convierte en la

conocida relación de Euler: exp( ) cosi ye i y y i sen y

8

La exponencial compleja ze se convierte en la raíz n-ésima positiva n e cuando 1

z =n

,

con 2,3,4,5...n , siendo ésta una excepción a la convención conocida, que consiste en

interpretar 1

ne como el conjunto de las raíces n-ésimas de e .

Las siguientes propiedades son una extensión análoga del cálculo real al complejo:

(a) 1 2 1 2z z z ze e e

(b) 1

1 2

2

zz z

z

ee

e

;

(c) 1 z

ze

e

;

(d) 0ze para todo z

(e) ( )z zde e

dx para toda z. ( función entera)

(f) ,z x i y x i y i xe e e e e donde e y lo que significa en coordenadas

polares z x i y xe e e e y arg( ) 2 ( 0, 1, 2, ... )ze y n n .

Nótese que arg ze no es un número real definido de manera única, sino más bien

cualquier número de la forma 2k que determina el mismo ángulo. Esto se hace

evidente al analizar la figura 3 de arriba.

Otras propiedades que no resultan análogas al análisis real son las siguientes:

(a) 2 2 2, donde 1z i z i z ie e e e e . De nuevo y como se vio arriba la función

( ) zf z e es periódica y su periodo es el complejo imaginario 2 i .

(b) ( ) xf x e siempre es positivo, mientras que ( ) zf z e puede ser negativo. Basta

recordar que 1ie . (famosa ecuación de Euler 1 0ie ). Y en general,

cuando la potencia es impar

(2 1) 2 (1)( 1) 1 0, 1, 2, 3,....i n i n ie e e n

Ejercicio # 8 (página 92) Encontrar todos los valores de z tal que 1 3ze i .

Ejercicio: Si 0z , ¿ existe w tal que ?wz e Sí, en efecto logw z .

9

2. LA FUNCION LOGARITMICA

Nos gustaría definir el logaritmo log z como la función inversa de la exponencial tal que

para todo complejo , 0a b con b ,

log exp , exp loga a b b

Pero estas fórmulas se cumplen para números reales a, b con 0b , donde logb significa

el logaritmo natural ln b y exp aa e .

Sin embargo, como sabemos, no es posible definir una inversa para la exponencial

compleja ya que esta función no es uno a uno. De nuevo, por lo visto arriba sabemos que

0 0exp( 2 ) exp 0, 1, 2,....z k i z k

para todo complejo 0z . Así, por ejemplo si

0 0z entonces exp0 exp2 exp4 1i i ,

y por tanto no es posible definir log1 de manera única (función multivaluada) ya que:

log1 0, log1 2 , log1 4 etci i

Examinemos de nuevo las propiedades del mapeo de la función exp z sobre una banda de

longitud 2 antes de la demostración del teorema 1 para una mejor interpretación de éste.

Figura 8. Nótese como la mitad izquierda ( 0x ) de la banda /S z x iy y es

mapeada uno a uno sobre el disco punteado azul 0 1w . Y la otra mitad es mapeada al exterior de

dicho disco. La recta horizontal y es mapeada al haz de recta (sin el origen) de ángulo que emana del

origen.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [-pi,pi]

Eje Real x

Eje

Im

ag

ina

rio

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Imagen de Malla a través de w = ez

Eje Real u

Eje

Im

ag

ina

rio

v

10

Teorema 1. La función exponencial mapea la banda horizontal /S z x iy y

del plano z hacia el plano punteado w, 0 como una aplicación uno a uno. En

particular, la recta horizontal y es mapeada sobre el eje real negativo del plano w.

Demostración: 0ze pues 0 , , cos 0z i z x ie e donde e e y e i sen

Los puntos de la recta horizontal y de la forma x i son mapeados a través de la

función exponencial así:

exp( ) (cos ) 0 0, 0 ( )x xx i e i sen e u u v eje real negativo

Mostremos que la exponencial exp z mapea S sobre 0 :

Sea 0w . Probemos que exp para algún z Sw z . Como w tiene coordenadas

polares ( , ) con 0, y definiendo , con ln ,z x i y x y , es

fácil ver qué z S . Para mostrar que expw z , basta con la relación:

lnexp (cos ) (cos ) (cos )xz e y i seny e i sen i sen w

lo que prueba que exp z mapea S sobre 0 .

Para probar que exp z es uno a uno cuando se restringe al conjunto S , basta probar que si

1 2,z z S y 1 2exp expz z entonces 1 2z z .

La hipótesis nos expresa que 1

2

(exp )1

(exp )

z

z de ahí que 1 2exp( ) 1z z . Pero la periodicidad

de la función exponencial implica que 1 2 2z z k i k . Ahora bien, como 1 2,z z S

entonces 1 2 2z z y por tanto 0k , esto es, 1 2 0z z y así 1 2z z . Así, la función

exponencial mapea la banda S de longitud 2 hacia 0 de forma inyectiva (o uno a

uno), lo que prueba el teorema.

Como exp exp( 2 ) exp( 4 ) ...z z i z i , entonces es posible extender el teorema 1

a otras bandas del plano z. Así, para cada b , se define

/ 2bS z x i y b y b

como la banda horizontal de altura 2 cuyo borde superior es la recta horizontal y b .

Por lo tanto, dicha generalización se puede establecer mediante:

11

Teorema 2. La función exponencial mapea toda banda horizontal bS del plano z hacia el

plano punteado w , 0 de forma inyectiva (o uno a uno). En particular, la recta

horizontal y b es mapeada hacia el rayo determinado por el ángulo b y que se extiende

desde el origen 0w . La figura 8 ilustra la interpretación del teorema 2.

Figura 9. La banda 9

4

9/

4 4S z x iy y

y su imagen inyectiva 9

4

exp( ) 0S

2. DEFINICION DE LOGARITMO

La definición se puede obtener a través del problema de resolver para w la ecuación we z donde z es un complejo NO nulo.

Sea w u iv , y iz re donde . La ecuación dada se transforma entonces

en:

u iv ie e r e , donde , 2 ( ) 2 ,ur e v n Arg z n n

Ahora bien, si sólosi lnur e u r , por lo tanto we z se satisface siempre que

ln ( 2 ) ln ( ( ) 2 ) ,w u iv r i n r i Arg z n n

Así, la función logarítmica de la variable compleja no nula iz re se define como:

log ln ( ( ) 2 ) ,z r i Arg z n n

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

7

8Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [pi/4,9pi/4]

Eje Real x

Eje

Im

ag

ina

rio

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Imagen de Malla a través de w = ez

Eje Real u

Eje

Im

ag

ina

rio

v

12

Nótese que la función log z es una función Multivaluada, ya que

( 2 ) ( 4 )i i iz re re re ,

y sus valores a través de log z son todos números complejos diferentes:

log ln log ln ( 2 ) log ln ( 4 )z r i z r i z r i

La razón anterior obedece a la definición de arg , 2 , 4 , 6 ,...z que es

de infinitos valores distintos.

Para obtener de log z una función univaluada, procederemos así: Sea S la banda

horizontal del plano w dada por

/S w u iv v

y tomemos 0z como

( 0, )iz re r

Ahora bien, ya con la restricción de arg z Arg z definimos

log log lniz re r i

Nótese que log z definido así, es una función univaluada para todo 0z y con valores en

la banda horizontal S, pues lnu r y v . Por lo tanto, podemos escribir

log : 0 S

Esta función, con la restricción es definida como la rama principal del

logaritmo (ver figura 10). Usualmente para propósitos de continuidad, se requiere una

restricción más fuerte sobre : . En la siguiente sección se analizará este hecho.

De manera más general, una rama de logaritmo se define mediante una banda horizontal

elegida bS en el plano w , luego de acuerdo con la restricción de que arg z satisfaga

2b b

se define log lnz r i de manera usual. Así, lo anterior nos define una función hacia

una banda en el plano w , en este caso la bandabS : log : 0 bS

Importante: bandas diferentes bS dan lugar a funciones o „ramas‟ log z distintas. La clave

en muchos problemas es elegir una rama apropiada del logaritmo.

13

Figura 10. Rama principal del logaritmo. log : 0z S . Nótese como una pequeña porción del

plano (figura de la izquierda) es mapeada a la banda de la derecha /S w u iv v . Las

coordenadas del sector circular son 0,r . Esta rama del logaritmo resulta ser la inversa de

la función exponencial dentro de la restricción impuesta al argumento ( arg( ) ( )z Arg z ).

Se pueden construir otras ramas como por ejemplo cuando 4b . Ver figura 11.

Reflexiónese sobre las infinitas ramas que se podrían construir por cada valor de b .

Figura 11. Rama de logaritmo 4log : 0z S . Esta rama es la inversa de la exponencial cuando

se restringe el argumento a 2 4 . Aquí 4 / 2 4S w u iv v .

¿Cuántas ramas diferentes se podrían construir para la raíz cuadrada?

¿Cuántas ramas diferentes se podrían construir para la raíz cúbica, o cuartica?

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Malla Sector Circular

Eje Real x

Eje

im

ag

ina

rio

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Imagen de Malla Circular a través de w = logz

Eje Real u

Eje

im

ag

ina

rio

v

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Malla Sector Circular

Eje Real x

Eje

im

ag

ina

rio

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 16

7

8

9

10

11

12

13Imagen de Malla Circular a través de w = logz

Eje Real u

Eje

im

ag

ina

rio

v

14

LA SUPERFICIE DE RIEMANN PARA logw z

La superficie de Riemann para la función multivaluada logw z es similar a la de la raíz

cuadrada, cubica, o cuartica. Sin embargo, en este caso se requieren infinitas copias de

planos z, 0 sin el eje real negativo, que se rotularán como , .., 2, 1,0,1, 2,...kS k .

Ahora colocando o apilando los planos anteriores uno encima del otro tal que los puntos

correspondientes tengan la misma posición y uniendo kS con

1kS así: para cada entero k,

el borde del semiplano superior de la hoja kS se une con el borde del semiplano inferior de

la hoja1kS . La superficie de Riemann para el dominio de log z toma la forma de una

escalera en espiral que extiende hacia arriba las hojas 1 2 3, , ...S S S y hacia abajo las hojas

1 2 3, , ...S S S como se muestra en la figura 12. Usando coordenadas polares para cada kS ,

(cos sin )iz re r i donde r z y 2 2k k y tomando la rama de

log z sobre cada hoja:

log ln ( )z r i , donde r z y 2 2k k

se llega a la siguiente ilustración grafica

Figura 12. Superficie de Riemann para logw z

De igual forma como se operó con la función log z , se pueden construir otras ramas con la

función raíz cuadrada especificando un valor de argumento de z dado por arg( )z en el

intervalo 2 . La correspondiente rama, notada como f se define así:

1

2( ) cos sin2 2

f z r i

donde 0iz r e y 2

Cuando se tiene la rama raíz cuadrada principal:

1

2( ) cos sin2 2

f z r i

, , ( ) tal que <r z y Arg z

15

Ejemplos:

1. Sea 0 2 41 i iz e e e

Para la rama principal se tiene que log1 ln1 0 0i i

En otro sentido si elegimos la rama del logaritmo como la determinada por

3 , entonces debido a que 21 ie se tiene que log1 ln1 2 2i i .

Nótese que para esta rama 3log1 S .

2. Cuál es el valor de log i ? Para la rama principal arg2

i

, así que log2

i i

.

Para la rama determinada por 3 5 se tiene que 9

2i

, así que

9log

2i i

. El valor de log z depende de la rama elegida.

3. Si 1z i entonces para la principal de logaritmo

1log ln ln 2 ln 2

4 2 4z r i i i

4. 0Log no está definido.

Algunas Propiedades del Logaritmo.

De la ecuación original we z si reemplazamos logw z entonces:

log 0ze z z

Mostremos que en el caso en que se invierta el orden de las funciones exponencial y

logarítmica la ecuación anterior cambia a:

log( ) 2 0, 1, 2, 3,....ze z n i n

Demostración: sabemos que, log ln ( ( ) 2 ) ln arg( )z r i Arg z n z i z

Ahora cambiando zz por e se tiene log ln arg( )z z ze e i e .

Pero por la propiedad (d), z xe e y arg( ) 2 ( 0, 1, 2, 3.... )ze y n n con

z x iy . Ahora bien, reemplazando en la ecuación de arriba se llega a:

log ln ( 2 ) ( ) 2 2 , 0, 1, 2, 3,....z xe e i y n x iy n i z n i n

Así, log( ) 2 0, 1, 2, 3,....ze z n i n

Nótese, como el valor principal de log z se puede definir a partir de

log ln ( ( ) 2 ) ,z r i Arg z n n

16

cuando 0n :

Log ln ( ) ln ( ) ,z r i Arg z z i Arg z funcion univaluada

Cuando 0iz re es un real positivo entonces Log lnz r es decir Log lnr r lo que

significa que el logaritmo principal coincide con el logaritmo natural del cálculo real,

viéndose este como un caso especial del logaritmo complejo.

La función logarítmica en términos del valor principal:

log ln ( ( ) 2 ) , 0, 1, 2, 3,...

Log ( ) ( ( ) 2 )

Log 2

z r i Arg z n n

z i Arg z i Arg z n

z n i

log Log 2 , 0, 1, 2, 3,...z z n i n

En el análisis real es imposible calcular el logaritmo de números reales negativos mientras

que aquí en el análisis complejo es posible hacer este cálculo (otra diferencia entre el

logaritmo del cálculo real y el del cálculo complejo):

log( 1) ln1 ( 2 ) (2 1) , 0, 1, 2, 3,...

log( 5) ln 5 ( 2 )

( 1) , ( 5) ln 5

i n n i n

i n

Log i Log i

Ejercicio 2(c) - pagina 97. Mostrar que 1

log( 1 3 ) ln 2 2 ,3

i n i n

3. MÁS SOBRE RAMAS Y DERIVADAS DE LOGARITMOS.

Si iz re es un complejo no nulo, donde toma valores del conjunto 2 /n n

con ( )Arg z . Entonces la definición de la función logarítmica multivaluada:

log ln ( 2 ) , 0, 1, 2, 3,....z r i n n

se puede reescribir como:

log ln con arg( )z r i z

Si se limita o restringe arg z a 2 con , la función

log ln , ( 0, 2 )z r i r

se convierte en una función univaluada y continua en el dominio especificado. Nótese como

en los puntos del haz la función deja de ser continua. Ver figura 13.

17

El haz se definirá más adelante como corte de rama o de ramificación de la función

logarítmica.

Figura 13. La exclusión de para la continuidad de log z obedece a que lim(log )z

z

no existe.

La función log ln , ( 0, 2 )z r i r no sólo es continua sino también

analítica en su dominio dado, pues basta ver que las derivadas parciales de primer orden

son continuas y satisfacen la forma polar de las ecuaciones de Cauchy – Riemann:

r

r

ru v

u rv

, de fácil comprobación a través de

1( , ) ln , 0

( , ) 0, 1

r

r

u r r u ur

v r v v

Una rama de una función multivaluada f es cualquier función univaluada F que es

analítica en cada punto z para el cual el valor ( )F z es igual a uno de los valores de f . El

requerimiento de analiticidad, evita que F tome de manera aleatoria los valores de f .

Importante:

Para cada fijo, la función univaluada log ln , ( 0, 2 )z r i r es

una rama de la función multivaluada

log ln 2 , 0, 1, 2, 3,....z r i donde n n

En particular, cuando 0 , ,n y , la función

Log ln , ( 0, )z r i r

se denomina la rama principal de la función multivaluada log z .

Un corte de rama o de ramificación es una porción de línea o curva que se introduce con el

propósito de definir una rama F de una función multivaluada f . Los puntos sobre el corte

de rama F son puntos singulares de F , y cualquier punto que sea común a todos los cortes

de rama de f se denomina punto de rama. El origen y el rayo constituyen el corte

de ramificación para la rama de la función logarítmica:

log ln , ( 0, 2 )z r i r

y

x

v

( , ) ln

( , )

u r r

v r

u

1( )f z

ln r

24

4

( ) ln4

f z r i

4

z

1z

18

El corte de ramificación para la rama principal Log ln , ( 0, )z r i r

consiste en el origen y el rayo . El origen evidentemente es un punto de ramificación

para las ramas de la función logarítmica multivaluada.

Cuando se usan las ramas de la función logarítmica, se debe tener precaución en su manejo,

especialmente con identidades que involucren logaritmos debido a que no siempre operan

como en el análisis real. El siguiente ejemplo es una muestra de lo anterior.

Ejemplo. Usando la rama principal se puede ver que: 3Log( ) 3Log( )i i

3Log( ) Log( ) ln12 2

i i i i

,y, 3

3Log( ) 3(ln1 )2 2

i i i

Por lo tanto, 3Log( ) 3Log( )i i

4. IDENTIDADES QUE INVOLUCRAN LOGARITMOS.

(a) 1 2 1 2log(z z ) = log(z ) log(z )

(b) 11 2

2

zlog = log(z ) log(z )

z

(c) log 0, 1, 2, 3,...n n zz e n

(d)

11 log

1,2,3,... , 0z

nnz e n z

5. EXPONENTES COMPLEJOS

Cuando 0z y el exponente c es cualquier complejo, la función cz se define así:

logc c zz e

donde log z es la función logarítmica multivaluada. La definición es consistente con los

resultados dados arriba en (c) y (d) cuando , 0, 1, 2, 3,...c n n ,y, cuando

11, 2, 3,...c n

n

Ejemplo. Calcular 2ii : Por definición 2 ( 2 log )i i ii e .

Pero, 1

log ln1 2 2 , 0, 1, 2, 3,....2 2

i i n n i n

19

Entonces 1

2 log 2 2 4 1 , 0, 1, 2, 3,....2

i i i n i n n

Y por lo tanto 4 12 ( 2 log ) , 0, 1, 2, 3,....ni i ii e e n

. ( valores multivaluados).

Si iz re y es cualquier real, la rama log ln , ( 0, 2 )z r i r

de la función logarítmica es univaluada y analítica en el dominio indicado. Cuando esta

rama es usada, entonces la función logc c zz e resulta univaluada y analítica en el mismo

dominio. La derivada de tal rama de la función cz se puede obtener mediante regla de

cadena así:

log( 1)

log log log ( 1) log log 1

log log

c zc

c c z c z c z c z z c

z z

d d c c ez e e e c ce c e cz

dz dz z e e

Así, 1 , ( 0, 2 )c cdz cz z

dz

El valor principal de cz se obtiene cuando log z se reemplaza por Log z en logc c zz e :

Esto es, valor principal de Logc c zz e

La rama principal de la función cz se define como

Logc ze donde ( 0, ( ) )z Arg z

Cuando la Base es constante:

Cuando c es un complejo no nulo y además constante la función exponencial con base c se

define como

logz z cc e

Nótese que la interpretación usual de ze ocurre cuando el valor principal del logaritmo es

considerado en la expresión de arriba , así , Log Log log 1z z ee e e e .

log log log logz z c z c zd dc e e c c c

dz dz

logz zdc c c

dz

20

6. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Por las fórmulas de Euler se sabe que:

cos sin , cos sin ,i x i xe x i x e x i x x

Sumando y restando se puede ver que: cos ; sin2 2

i x i x i x i xe e e ex x

i

Para el caso de la variable compleja z las funciones coseno y seno se definen de forma

natural como: cos ; sin2 2

i z i z i z i ze e e ez z

i

Figura 14. La acción de la función ( )sen z sobre una malla rectangular. Nótese como ( ) 1sen z .

Como las derivadas de i z i z i z i zd de ie y e ie

dz dz

entonces es fácil ver que

sin cos cos sind d

z z y z zdz dz

Igualmente se puede ver que las funciones seno y coseno siguen siendo pares e impares

sin( ) sinz z cos( ) cosy z z

IDENTIDADES: 1 2 1 2 1 2( ) cos cossen z z senz z z senz

1 2 1 2 1 2cos( ) cos cosz z z z senz senz

2 2 cossen z senz z , 2 2cos2 cosz z sen z

2 2cos 1sen z z

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-3

-2

-1

0

1

2

3Malla de 40x40 celdas sobre [-1,1] x [-3,3]

Eje Real x

Eje

Im

ag

ina

rio

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Imagen de Malla a través de w = sin z

Eje Real u

Eje

Im

ag

ina

rio

v

21

Las funciones , cossenz z son de periodo 2 (ver figura 15):

( 2 )sen z senz

cos( 2 ) cosz z

Figura 15. La acción de la función senz por cada segmento de longitud 2 repite la figura anterior.

Otras identidades: ( )

cos( ) cos

sen z senz

z z

Cuando y las funciones hiperbólicas se definen así:

; cos2 2

y y y ye e e esenhy hy

Relaciones entre las funciones trigonométricas y las hiperbólicas reales:

( ) ; cos( ) coshsen iy i senhy iy y

Las ecuaciones anteriores permiten establecer:

cosh cos

cos cos cosh

senz senx y i x senh y

z x y i senxsenh y

( ) cos( ) cos ( ) cosh( ) cos ( )senz sen x iy senx iy xsen iy senx y i xsenh y

cos cos( ) cos cos( ) ( ) cos cosh( ) ( )z x iy x iy senxsen iy x y i senxsenh y

Módulos: 2 22 2 2 2; cos cossen z sen x senh y z x senh y

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Malla de 40x40 celdas sobre [-,] x [-3,3]

Eje Real x

Eje

Im

ag

ina

rio

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Imagen de Malla a través de w = sin z

Eje Real u

Eje

Im

ag

ina

rio

v

22

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

cosh cos

cosh (1 )

(cosh )

senz sen x y x senh y

sen x y sen x senh y

sen x y senh y senh y sen x senh y

Así, 2 2 2sen z sen x senh y .

Un cero de ( )f z se define como aquel numero 0z tal que 0( ) 0f z

No es difícil mostrar que ( ) 0 ,f z senz z n n

2 20 0senz sen x senh y

0 , , 0senx y senh y

, 0x n y

,z n n

Ahora mostremos que

( ) cos 0 ,2

f z z z n n

2 2cos 0 cos 0

cos 0 , , 0

cos 0 , , 0

, 02

,2

z x senh y

x y senh y

x y senh y

x n y

z n n

Otras funciones trigonométricas de variable compleja z:

sin cos 1 1tan , cot , sec , csc

cos sin cos sin

z zz z z z

z z z z

2 2tan sec , cot csc ,

sec sec tan , csc csc cot

d dz z z z

dz dz

d dz z z z z z

dz dz

23

Figura 16. La acción de la función tangente sobre una malla rectangular.

LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS: cosh ; sinh2 2

z z z ze e e ez z

cosh sinh ; sinh coshd d

z z z zdz dz

; 2tanh sechd

z zdz

Relaciones de las trigonométricas con las funciones hiperbólicas caso complejo:

( ) ; cosh( ) cos

( ) ; cos( ) cosh

isenh iz senz iz z

isen iz senhz iz z

Par e impar:

( ) , cosh( ) coshsenh z senhz z z .

Identidades fundamentales:

2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

cosh 1

( ) cosh cosh

cos ( ) cos cosh

z senh z

senh z z senhz z z senhz

h z z hz z senhz senhz

Módulos: 2 22 2 2 2, cos cossenhz senh x sen y hz senh x y

2 2tanh sech ; coth csch

sech sech tanh ; csch csch coth

d dz z z z

dz dz

d dz z z z z z

dz dz

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-3

-2

-1

0

1

2

3

Malla de 40x40 celdas sobre [-/2,/2] x [-3,3]

Eje Real x

Eje

Im

ag

ina

rio

y

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Imagen de Malla a través de w = tan z

Eje Real u

Eje

Im

ag

ina

rio

v

24

INVERSAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS E HIPERBOLICAS

w arcsenz z senw . Pero por definición, 2

iw iwe esenw

i

entonces

2 22 2 ( 1) 2 12

iw iwiw iw iw i w iw i we e

z iz e e iz e e ize ei

luego, 2( ) 2 ( ) 1 0iw iwe iz e entonces

2 1/22 1/22 ( 4 4)

(1 )2

iw iz ze iz z

donde 2 1/2(1 )z se refiere a las dos raíces de

21 z .

2 1/2 2 1/2 2 1/2(1 ) log[ (1 ) ] log[ (1 ) ]iwe iz z iw iz z w i iz z

Así , 2 1/2log[ (1 ) ]arcsen z i iz z

A continuación, una ilustración de la función multivaluada arcsenz.

Figura 17. La acción de la función ( )arcsen z sobre una malla rectangular.

De forma análoga al procedimiento de arriba se puede mostrar que:

2 1/2arccos log[ (1 ) ]z i z i z

arctan log2

i i zz

i z

Cuando se especifican las ramas para la raíz cuadrada y el logaritmo, las tres inversas

definidas anteriormente se convierten en funciones univaluadas y analíticas.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Malla de 40x40 celdas sobre [-10,10] x [0,10]

Eje Real x

Eje

Im

ag

ina

rio

y

-1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Imagen de Malla a través de w = arcsin z

Eje Real u

Eje

Im

ag

ina

rio

v

25

Como ejercicio final mostrar que:

2 1/2

1

(1 )

darcsenz

dz z

,

2 1/2

1arccos

(1 )

dz

dz z

,

2

1arctan

1

dz

dz z

1 1arctanh z log

2 1

z

z

.

Figura 18. Ilustración de 1/2( )f z z ,

1/3( )f z z y 1/4( )f z z usando el eje z como

( ( ))real f z y el color como la ( ( ))imag f z .

-1-0.5 0

0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Eje y

Eje x

f(z) = z1/2

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

Eje x

f(z) = z1/3

Eje y

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

Eje x

f(z) = z1/4

Eje y