Volumen I 2-1

Capítulo II

2.1 INTRODUCCIÓN Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un juego de

ecuaciones que representa la dinámica del sistema con exactitud, o al menos,

razonablemente bien. Un modelo matemático no es único para un sistema dado. Un sistema

se puede representar de muchos modos diferentes, y por tanto, puede tener muchos modelos

matemáticos, dependiendo de las perspectivas individuales.

Aunque el análisis y diseño de sistemas de control lineales se ha desarrollado

ampliamente, su contraparte para sistemas no lineales es normalmente muy complejo. Por

esto es necesario determinar no sólo cómo describir exactamente un sistema de forma

matemática, sino más importante aún, cómo hacer suposiciones y aproximaciones

correctas, para que el sistema sea caracterizado en una forma realista mediante un modelo

matemático lineal.

La dinámica de muchos sistemas, sean mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos,

biológicos, u otros, se puede describir en términos de ecuaciones diferenciales. Esas

ecuaciones diferenciales pueden obtenerse utilizando las leyes físicas que rigen un sistema

en particular. La respuesta de un sistema dinámico a una entrada (o función excitadora)

puede obtenerse si se resuelven las ecuaciones diferenciales que modelan dicho sistema.

Es posible aumentar la exactitud de un modelo matemático incrementando su

complejidad. Sin embargo, al determinar un modelo matemático, hay que lograr un

equilibrio entre la simplicidad del modelo y la exactitud de los resultados del análisis. En

un modelo simplificado, a menudo es conveniente pasar por alto ciertas características

físicas inherentes del sistema. Si los efectos que esas características despreciadas producen

son pequeños en la respuesta, se logra una buena concordancia entre los resultados del

análisis de un modelo matemático y los resultados del estudio experimental del sistema

físico.

Volumen I 2-2

2.2 PRINCIPIOS DE FORMULACIÓN DEL MODELO

MATEMÁTICO

Bases

Las bases de los modelos matemáticos son fundamentalmente leyes físicas y

químicas, como las leyes de conservación de la masa, energía u momentum. Para estudiar

la dinámica se usarán en su forma general.

Suposiciones

Probablemente el rol más importante que juega un ingeniero en el modelaje es el de

aplicar su juicio ingenieril para hacer suposiciones válidas en el modelo en estudio.

Obviamente un modelo demasiado riguroso que incluya cada fenómeno en detalle

microscópico sería muy complejo y largo de desarrollar, e incluso podría ser imposible de

resolver. Es necesario un compromiso entre rigurosidad y facilidad de resolución del

modelo planteado, por esto es necesario hacer suposiciones razonables, las cuales deben

ser cuidadosamente consideradas y listadas, ellas imponen limitaciones al modelo que

deben tenerse en cuenta a la hora de evaluar el resultado obtenido.

Consistencia del modelo matemático

Una vez que todas las ecuaciones del modelo matemático son escritas, es una buena

idea, sobretodo con sistemas de ecuaciones complejos, asegurarse de que el número de

variables sea igual al número de ecuaciones (grados de libertad = cero). Esto puede parecer

trivial, pero puede salvar muchas horas de frustración y confusión. Otro paso trivial y

obvio puede ser el de chequear que las unidades de todos los términos en todas las

ecuaciones sean consistentes.

Solución matemática

La solución del modelo está implícitamente contenida en los resultados de los pasos

anteriores. Hay varios métodos de hallar la solución del modelo, pero el ingeniero debe

usar la solución que le provea una mejor percepción del sistema. Por lo tanto una solución

analítica es preferida en la mayoría de los casos, porque puede usarse para (1) calcular

Volumen I 2-3

valores numéricos específicos, (2) determinar importantes relaciones funcionales entre

variables de diseño y de operación y comportamiento del sistema, y (3) dar una mejor

percepción de la sensibilidad del resultado a los cambios en los datos. A veces estos

resultados son tan valorados que se hacen suposiciones para obtener un resultado analítico.

En algunos casos, la aproximación necesaria para hacer posible una solución

analítica produce errores inaceptables y en estos casos, se usa una solución numérica de las

ecuaciones empleadas. Aunque las soluciones numéricas nunca son exactas, el error

introducido puede ser muy pequeño en comparación a los errores asociados a las

suposiciones y datos en el modelo, por esto soluciones numéricas calculadas

apropiadamente pueden ser consideradas prácticamente exactas.

Validación

Consiste en probar que el modelo describe la situación real. Esto se hace

comparando los resultados de simulaciones con resultados reales del sistema. En el diseño

esto puede ser imposible de hacer porque la planta aún no ha sido construida, sin embargo

pueden obtenerse datos experimentales de plantas similares o de plantas piloto.

2.2.1 Ecuaciones Diferenciales Una gran variedad de sistemas en ingeniería se modelan matemáticamente mediante

ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones generalmente involucran derivadas e integrales

de variables dependientes con respecto a la variable independiente.

Leyes Básicas en Modelación:

• Ecuación de Continuidad

Esta ecuación es válida para realizar balances de masa y energía

Rata de acumulación en el sistema =

Rata de entrada al sistema

Rata de salida al sistema

Rata de generación dentro del

sistema

- +Rata de

consumo dentro del

sistema

-

Volumen I 2-4

• Ley de Newton:

- Sistemas mecánicos traslacionales

(2-1) ∑ ⋅= amF

- Sistemas mecánicos rotacionales

(2-2) ∑ α⋅= ITorques

• Ley de Kirchoff

- La suma algebraica de las diferencias de potencial alrededor de un circuito cerrado debe

ser cero.

- La suma algebraica de corrientes en un nodo debe ser igual a cero.

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Una ecuación diferencial de un sistema de n-ésimo orden se escribe como:

que también se conoce como ecuación ordinaria lineal si los coeficientes a0, a1, ..., an-1 no

son funciones de y(t).

Ecuaciones diferenciales no lineales

La mayoría de los sistemas físicos son no lineales y se deben describir mediante

ecuaciones diferenciales no lineales. En ingeniería de control, la operación normal del

sistema puede darse alrededor de un punto de equilibrio. Entonces, si el sistema funciona en

las proximidades de un punto de equilibrio, y si las señales incluidas son pequeñas, es

posible aproximar el sistema no lineal a un sistema lineal. Tal sistema lineal es equivalente

al sistema no lineal considerado dentro de un rango de operación limitado.

2.2.2 Transformada de Laplace La transformada de Laplace es una de las herramientas matemáticas utilizadas para

la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. En comparación con el método

)t(f)t(y adt

)t(dya...dt

)t(ydadt

)t(ydo11n

1n

1nn

n=++++

−

−

−(2-3)

Volumen I 2-5

clásico de resolución de ecuaciones diferenciales lineales, la transformada de Laplace tiene

dos características atractivas:

• La solución de la ecuación homogénea y la solución particular se obtienen en una sola

operación.

• La transformada de Laplace convierte la ecuación diferencial en una ecuación

algebraica en s. Es posible manipular esta ecuación algebraica mediante reglas

algebraicas simples, para obtener la solución en el dominio s.

Definición de la transformada de Laplace

Dada una función real f(t) que satisface la condición:

∞<∫∞

− dtetf t )(0

σ (2-4)

donde f(t) es una función de tiempo t tal que f(t)=0 para t <0. Para algún valor σ finito, la

transformada de Laplace de f(t) se define como:

dtetfsF t )()(0

∫∞

−= σ (2-5)

F(s) = L (2-6) [ ])t(f

donde s es una variable compleja y F(s) es la transformada de Laplace de f(t).

La transformada de Laplace de una función f(t) existe si la integral de Laplace

converge. La integral de Laplace ha de converger si f(t) es seleccionalmente continua en

todo intervalo finito dentro del rango t >0 y si es de orden exponencial cuando t tiende a

infinito. Se dice que una función f(t) es de orden exponencial, si existe una constante real,

positiva σ tal que la función

)(tfe tσ− (2-7)

tiende a cero cuando t tiende a infinito.

Teoremas importantes de la transformada de Laplace

Las aplicaciones de la transformada de Laplace en muchos casos se simplifican al

emplear las propiedades de la transformada.

Volumen I 2-6

• Teorema 2.1: Multiplicación por una constante.

Sea A una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:

L (2-8) [ ] )()( sFAtfA =

• Teorema 2.2: Suma y Resta.

Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y f2(t), respectivamente.

Entonces:

L [ f1(t) ± f2(t)] = F1(s) ± F2(s) (2-9)

• Teorema 2.3: Diferenciación.

Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) el límite de f(t) cuando t tiende a

cero. La transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:

L )0(f)s(F s)t(flim)s(F sdt

)t(df 0→t

== (2-10)

En general, para las derivadas de orden superior de f(t),

L )0(...)0()0()( )( )1()1(21 nnnnn

n

ffsfssFsdt

tfd= (2-11)

donde f(i)(0) denota la derivada de i-ésimo orden de f(t) con respecto a t, evaluada en

t=0

• Teorema 2.4: Integración.

La transformada de Laplace de la primera integral de f(t) con respecto al

tiempo, es la transformada de Laplace de f(t) dividida entre s, esto es:

L s

)s(Fdt)t(f t

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫0

(2-12)

Para la integración de n-ésimo orden:

L n

t

n

t t

s)s(Fdt ... dt dt td )t(f...

n

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∫ ∫ ∫ −

1 2

0121

0 0

(2-13)

• Teorema 2.5: Teorema del valor inicial.

Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), entonces:

Volumen I 2-7

)( )(0

sFslimtflimst ∞→→

= (2-14)

sí, y sólo sí, el límite existe.

• Teorema 2.6: Teorema del valor final.

Si la transformada de Laplace de f(t) es F(s), y si s F(s) es analítica sobre el eje

imaginario y en el semiplano derecho del plano s, entonces:

)()(0

sFslimtflimst

→∞→

= (2-15)

El teorema del valor final es muy útil para el análisis y diseño de sistemas de

control, ya que proporciona el valor final de una función de tiempo mediante el

conocimiento de su transformada de Laplace en s = 0. El teorema del valor final no es

válido si s F(s) contiene algún polo cuya parte real es cero o positiva, lo que equivale al

requisito de que s F(s) sea analítica en el semiplano derecho.

Transformada de Laplace de funciones.

La Tabla Nº 2.1 presenta transformadas de funciones en el tiempo que aparecen

frecuentemente en el análisis de sistemas lineales de control.

Tabla Nº 2.1: Pares de transformadas de Laplace

TRANSFORMADA DE LAPLACE F(x)

FUNCION TIEMPO f(t)

1

Función de impulso unitario δ(t)

s1

Función escalón unitario ut(t)

2

1s

Función rampa unitaria t

1

!+ns

n

tn (n = entero positivo)

α+s1

e-αt

( )2

1α+s

te-αt

Volumen I 2-8

( ) 1

!++ ns

nα

tne-α (n = entero positivo)

( )( )βα ++ ss1 ( )tt ee βα

αβ−

−−1 (α≠β)

( )( )βα ++ sss ( )tt ee αβ αβ

αβ−−

−1 (α≠β)

( )ss α+1 ( )te α

α−−11

( )2

1α+ss

( )tt ee αα αα

−− −−112

( ) 2

1ss α+

( )tet ααα

−+−112

( ) 22

1ss α+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++− − tet α

ααα2111

2

Transformada inversa de Laplace

El proceso matemático de pasar de la expresión en variable compleja a la expresión

en función del tiempo, se denomina transformación inversa. La notación para la

transformación inversa es L –1 de modo que:

L-1[F(s)] = f(t) (2-16)

Para hallar f(t) a partir de F(s), se utiliza la Tabla Nº 2 de transformadas de Laplace.

Si no se encuentra en la tabla una transformada F(s) determinada, se puede desarrollar en

fracciones parciales, y escribir F(s) en términos de funciones simples de s, para las cuales

se conocen las transformadas inversas de Laplace. Este método se basa en el hecho de que

la correspondencia única entre una función del tiempo y su transformada Laplace inversa,

se mantiene para cualquier función del tiempo que sea continua.

2.3 DIFERENTES REPRESENTACIONES DEL MODELO Además de modelar un sistema a través de ecuaciones diferenciales es posible

representar el modelo del sistema de diversas formas. Unas de ellas son la función de

transferencia, el diagrama de bloques y el diagrama de flujo de señales.

Volumen I 2-9

Función de Transferencia La función de transferencia de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales

invariantes en el tiempo, se define como la relación entre la transformada de Laplace de la

salida (función respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (función excitación),

bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

Sea el sistema lineal invariante en el tiempo definido por las siguientes ecuaciones

diferenciales: 0

11

1011

10 ...... xbxbxbxbyayayaya mmmmo

nnnn ++++=++++ −

−−

− (2-17)

donde: y(t): es la salida del sistema.

x(t): es la entrada del sistema. mn ≥

La función de transferencia de este sistema se obtiene, tomando las transformadas

de Laplace de ambos miembros de la ecuación (2-17), bajo la suposición de que todas las

condiciones iniciales son cero:

nnnn

o

mmmm

asasasabsbsbsb

sxsysG

++++++++

==−

−−

−

11

1

11

10

...

...)()()( (2-18)

Utilizando este concepto de función de transferencia, se puede representar la

dinámica de un sistema por ecuaciones algebraicas en s. Si la potencia mas alta de s en el

denominador de la función de transferencia es igual a n, se dice que el sistema es de orden

n.

Factorizando la ecuación (2-18), se tiene:

))....()(())....()(()(

21

21

n

m

pspspszszszssG

++++++

= (2-19)

donde las raíces del numerador de la función G(s) son llamadas los ceros de la función de

transferencia y las del denominador son llamadas los polos de la función de transferencia.

En una función de transferencia, el denominador expresado como un polinomio en

s, es llamado ecuación característica:

D(s) = ao sn + a1 sn-1 + ... + an-1 s + an = 0 (2-20)

Las propiedades de la función de transferencia son:

Volumen I 2-10

• Es independiente de la entrada del sistema, las características de un sistema son

inherentes en él

• Las condiciones iniciales del sistema son iguales a cero.

• Si se conoce la función de transferencia del sistema, se puede estudiar la salida o

respuesta, para diversas formas de entradas con el objetivo de lograr una mejor

comprensión de la naturaleza del sistema.

• La función de transferencia está definida solo para un sistema lineal e invariante en el

tiempo, no está definida para sistemas no lineales.

• La función de transferencia de un sistema en tiempo continuo se expresa solo como una

función de la variable compleja s, no es función de la variable real tiempo, o cualquier

otra variable que se utilice como variable independiente.

• La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada

con la salida; no obstante, no brinda ninguna información respecto a la descripción

física del sistema (las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente

distintos pueden ser idénticas).

• Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, se puede establecer

experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la respuesta o salida

del sistema. Una vez establecida, una función de transferencia brinda una descripción

completa de las características dinámicas del sistema, tan definida como su descripción

física.

Función de Transferencia a Lazo Abierto y Función de Transferencia de Lazo cerrado

Para un sistema retroalimentado, como el mostrado en la figura 2.1 la relación entre

la señal de retroalimentación M(s) y la señal de error actuante E(s), se denomina Función

de Transferencia de Lazo Abierto (FTLA), la cual se puede escribir como:

)( )()()( sHsG

sEsB

= (2-21)

Volumen I 2-11

Figura Nº 2.1: Sistema de lazo cerrado

La relación entre la salida C(s) y la señal de error actuante E(s) se denomina

Función de Transferencia de Lazo Directo (FTLD) la cual se puede expresar por:

)()()( sG

sEsC

= (2-22)

Es importante notar que si la función de transferencia de retroalimentación H(s) es

igual a uno, las dos ecuaciones anteriores son exactamente iguales.

Para el mismo sistema retroalimentado mostrado en la Figura Nº 2.1, la relación

entre la salida C(s) y la entrada R(s) se denomina Función de Transferencia de lazo cerrado

(FTLC) y puede obtenerse de la siguiente manera:

)()()( sMsRsE −= (2-23)

)()()( sHsCsM = (2-24)

)()()( sEsGsC = (2-25)

Sustituyendo la ecuación (2-23) en la ecuación (2-25):

[ ] )()()()( sGsMsRsC −= (2-26)

Sustituyendo la ecuación (2-24) en la ecuación (2.26):

)()()()()( sGsHC(s)sGsRsC −= (2-27)

Despejando:

[ ] )()()()(1)( sGsRSGsHsC =+ (2-28)

Función de Transferencia de Lazo Cerrado (FTLC)

)( )(1

)()()(

sHsGsG

sRsC

+= (2-29)

G2(s)

H(s)

R(s) + E(s) C(s) _ M(s)

Volumen I 2-12

Esta ecuación relaciona la dinámica del sistema de lazo cerrado con la dinámica de

los elementos de la acción directa y los de retroalimentación.

Por otro lado, de la función de transferencia de lazo cerrado se puede encontrar

una expresión para la salida del sistema, la cual viene dada por:

)()(1)()()(sHsG

sRsGsC

+

= (2-30)

donde el denominador es llamado ecuación característica, o sea:

1 + G(s) H(s) = 0. (2-31)

Sistema de lazo cerrado sometido a una perturbación:

En la Figura Nº 2.2 se ve un sistema de lazo cerrado sometido a una perturbación

N(s)

Figura Nº 2.2: Sistema de lazo cerrado sujeto a una perturbación

Cuando dos entradas (la señal de referencia y la de perturbación) están presentes en

un sistema lineal, cada entrada puede tratarse independientemente de la otra; y las salidas

correspondientes se pueden sumar a cada una de las entradas individuales, para obtener la

salida total. En el punto de suma se indica, ya sea por medio de un signo positivo o

negativo, la forma en que cada entrada se introduce al sistema.

Para hacer esto, es necesario calcular las funciones de transferencia de lazo cerrado

tanto de la referencia como de la perturbación. La función de transferencia entre la salida y

la referencia se calcula como se mencionó anteriormente tomando en cuenta que N(s) = 0.

G1(s)

H(s)

Perturbación N(s) R(s) + + C(s) _

G2(s)

+

Volumen I 2-13

)( )( )(1)( )(

)()(

21

21

sHsGsGsGsG

sRsCR

+= (2-32)

La función de transferencia de lazo cerrado entre la salida y la perturbación se

calcula haciendo R(s) = 0, como:

)s(H )s(G )s(G)s(G

)s(N)s(CN

21

2

1 += (2-33)

La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de referencia y de la

perturbación se puede obtener sumando las dos respuestas individuales; es decir, la

respuesta del sistema C(s) debida a la aplicación simultánea de estas dos entradas está dada

por:

( ))s(H )s(G )s(G

)s(N)s(R )s(G )s(G)s(C)s(C)s(C NR21

12

1 ++

=+= (2-34)

donde la ecuación característica viene dada por:

1 + G1(s) G2(s) H(s) = 0 (2-35)

Diagrama de Bloques Un diagrama de bloques es una representación gráfica de las funciones de

transferencia de un sistema. En la figura 2.3 se presenta un diagrama de bloques donde:

U(s) ... variable de entrada o de excitación al sistema.

G(s) ... función de transferencia del sistema.

C(s) ... Variable de salida o controlada.

Figura Nº 2.3: Diagrama de bloques

En este caso C(s) = U(s) G(s).

G(S) C(S)

U(S)

Volumen I 2-14

Este diagrama indica las interrelaciones que existen entre los diversos componentes,

y además tiene la ventaja de indicar en forma más realista que la representación matemática

el flujo de señales del sistema real. Sin embargo tiene como desventaja el no contener

ninguna información acerca de la constitución física del sistema.

Los diagramas de bloques tienen tres elementos principales:

• Bloque: es un símbolo de la operación matemática que el bloque produce a la salida,

sobre la señal que tiene a la entrada. Dentro de cada bloque se coloca generalmente las

funciones de transferencia de los componentes y estos están interconectados por flechas

para indicar la dirección del flujo de señales.

• Punto de suma: es un símbolo en forma circular que es usado para sumar y/o restar

señales. Este puede tener cualquier número de señales de entradas, pero con la

excepción de que tiene solo una señal de salida. Es importante tener cuidado en que las

señales a sumarse o restarse deben tener las mismas dimensiones y unidades.

• Punto de bifurcación: es un punto desde el cual la señal de un bloque parte hacia varios

bloques o puntos de suma.

La Figura Nº 2.4 muestra los elementos del diagrama de bloques.

Figura 2.4: Elementos del diagrama de bloques

Procedimiento para trazar el diagrama de bloques

Para representar un modelo físico a través de diagramas de bloques, se procede a:

• Escribir las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinámico en cada

componente.

Bloque Sumador + _

Punto de Bifurcación

Volumen I 2-15

• Tomar la transformada de Laplace de estas ecuaciones, suponiendo condiciones

iniciales iguales a cero. Cada ecuación de transformada de Laplace se representa

individualmente en forma de bloque funcional.

• Integrar los elementos en el diagrama de bloques completo.

2.3.3 Ejemplos

• Problema 2.3.3.1: Sistema Hidráulico

En la figura anexa se muestra un sistema de llenado de tanques.

Figura 2.5: Esquema del sistema hidráulico

Este sistema consta de un tanque de área transversal constante A, el cual dispone de

una válvula que ejerce una resistencia fluídica de magnitud R.

Suposiciones:

- El flujo volumétrico qo(t) que pasa a través de R presenta la siguiente relación:

( )R

)t(htqo = (1)

(Esto solo es aplicable para flujos laminares, una resistencia que tenga una relación

lineal es llamada RESISTENCIA LINEAL. Para flujos turbulentos, la relación para

válvulas y tuberías viene dada en general por C h. . Cuando las tuberías tienen formas

geométricas es K hn. . Por ejemplo, tuberías rectangulares es K h.3

2 )

Volumen I 2-16

- Se considera que:

constante. ftlb densidad 3 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=ρ

Aplicando la ecuación de continuidad en un balance de masa

( ) ( ) [ ] t

h.A.tq.tq. o ∂ρ∂

=ρ−ρ (2)

donde: q(t) y qo(t) son flujos volumétricos.

En estado estacionario se cumple que todas las variables con respecto al tiempo son

nulas, lo que implica que en la ecuación diferencial (2), la derivada [ ]

0 t

=∂∂

.

Empleando la notación q para estados estacionarios, la ecuación (2) se transforma

en:

oqq =⇒=− 0q q oρρ (3)

La cual es válida para el sistema en estado estacionario.

Para poder desarrollar la función de trasferencia del sistema, es necesario definir el

problema en término de variables de perturbación, las cuales se definen tal y como se

muestra a continuación:

DEFINICION DE VARIABLES DE PERTURBACION

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

q t q t q

h t h t h

q t q t qo o

*

*

*

= −

= −

= −

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪o

Donde q h qo, , son los valores obtenidos del sistema operando

en estado estacionario.

Sustrayendo la ecuación (3) a la ecuación (2), se obtiene que:

Volumen I 2-17

( ) ( ) ( )[ ]

[ ]( )

ρ ρ∂ ρ

∂

ρ ρ∂ ρ

∂

q t q t Ah t

t

q q Ah

t

2'

o

o

− =

− =

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

Acomodando esta ecuación se obtiene:

( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ] ( )'2' t

tAh tq tq

ththA qtq qtq

**o

*

oo

⎪⎭

⎪⎬⎫

∂ρ∂

=ρ−ρ

∂−ρ∂

=−ρ−−ρ

La ecuación (2’’) representa al sistema escrito en variables de perturbación.

Eliminando a ρ y suponiendo variaciones muy pequeñas alrededor del punto de

operación podemos formar T.L. a (2) quedando:

( ) ( ) ( ) ( )3...sHsAsQsQ *..o =−

Tomando T.L. a (1) ( ) ( )R

sHsQ *

o = (4)

Sustituyendo (4) en (3) y reagrupando términos, tenemos:

( )( ) 1sAR

RsQsH

..*

*

+= (5)

Nuevamente, si τ = R y K = R. A , .

( )( ) 1 .*

*

+=

sK

sQsH

τ (6)

Sistema de primer orden

Volumen I 2-18

Figura 2.7: Esquema del sistema hidráulico con controlador • Problema 2.3.3.2: Sistema térmico

Figura 2.9: Diagrama de un termómetro

Considerando al termómetro colocado en una corriente donde la temperatura T(t)

varía con t. Nuestro problema es calcular la respuesta del termómetro, es decir Tt(t) para un

cambio T(t).

Suposiciones

- La resistencia a la transferencia de calor permanece en la película externa al bulbo.

- Resistencia del vidrio y del mercurio despreciables.

Volumen I 2-19

- Toda la capacidad térmica queda en el mercurio.

- Se supone que la Tt(t) es uniforme.

El vidrio no se contrae ni se expande durante la respuesta transiente.

Estas suposiciones hacen que estemos trabajando con un sistema en

PARAMETROS CONCENTRADOS (LUMPED) porque localizamos toda la resistencia en

un lugar así como la capacidad térmica.

Aplicando un balance sencillo de energía y suponiendo que estamos alrededor del

punto en estado estacionario, se tiene que:

( )h A T T O m CdTdtt m

t⋅ ⋅ − − = ⋅ ⋅⋅ (1)

Entrada - Salida = Rata de Acumulación

Donde:

A: Superficie del área de transferencia de calor [ft2]

Cm : Capacidad calórica del mercurio [BTU/lbmºF]

m : masa del mercurio en el bulbo [lbm]

h : coeficiente de transferencia de calor de la película [BTU/?]

h dependerá de la rata de flujo y del fluido así como de las dimensiones del bulbo. Lo

supondremos constante.

Supongamos que el termómetro esté en estado estacionario, es decir, Tss y Ttss . La

ecuación queda:

(2) 0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅

−−

tssss TTAh

Si restamos (1) - (2):

( ) ( )[ ] ( )h A T T T T m C

d T Tdtss t tss m

t tss⋅ ⋅ − − − = ⋅ ⋅−

⋅ (3)

Volumen I 2-20

Si definimos

T T T

T T Tt t

ss

*

*

= −

= −tss

T * y son variables de perturbación. Tt*

Por lo tanto:

( )dt

dTCmOTTAh

*t

m*

t* ⋅⋅=−−⋅⋅ ⋅ (4)

Tomando Transformada de Laplace a (4):

( ) ( ) ( )h A T s h A T s m C s T st m⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅* * *

t (5)

Al dividir (5) por h.A y arreglar el resultado obtenemos:

( )( ) 1s

AhCm

1

sT

sTm*

*t

+⋅⋅

⋅=

• Problema 2.3.3.3: Sistema Eléctrico

Dado el siguiente circuito, queremos hallar su función de transferencia )s(V)s(E

i(t)

Figura 2.10: Esquema del circuito

A partir de las leyes de Kirchoff, se pueden obtener las siguientes expresiones matemáticas:

Volumen I 2-21

V t R T u tC

i t dt( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ ⋅∫1

(1)

)t(i

dt)t(dE

C

dt)t(iC1)t(E

o

o

=⋅=>

⋅⋅= ∫ (2)

Sustituyendo (2) en (1)

V t R CdE t

dtE to( )

( )( )= ⋅ ⋅ + 0 (3)

V R Cd Edt

Eoo= ⋅ ⋅ + (4)

Restando (3) - (4)

V t V RC

d E t Edt

E t E

V t RCdE t

dtE t

oo o

oo

( )( ( ) )

( ( )

( )( )

( )**

*

− =−

+ −

= +

0 ) (5)

Aplicando Transformada de Laplace:

V s R C s E s E sV s R C s E s

o o

o

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

= ⋅ ⋅ ⋅ += ⋅ ⋅ + ⋅1

Despejando:

E sV s RCs

o ( )( )

=+

11

Tomando τ = RC, se tiene que

E sV s

ks

o ( )( )

=⋅ +τ 1

Sistema de 1er Orden.

Volumen I 2-22

• Problema 2.3.3.4: Sistema Mecánico rotacional

Figura 2.11: Esquema del sistema mecánico rotacional

Se desea determinar la función de trasferencia del sistema mecánico mostrado en la

figura 2.11. Para ello, se definen los siguientes parámetros:

T(t): Torque aplicado [ N . m ]

TD: Torque de oposición [ N . m ]

J: Momento de inercia del eje y ventilador [ Kg . m2 ]

B: Coeficiente de arrastre [ N mrad seg

⋅ ]

w(t): Velocidad Angular [rad seg]

α (t): aceleración angular [rad seg2 ]

A partir de la segunda ley de Newton, se tiene que:

T t T t J dw tdtD( ) ( ) ( )

− = ⋅ (1)

Además: T B w TD = ⋅ ( ) (2)

Sustituyendo (2) en (1) nos queda:

T t B w T J dw tdt

( ) ( ) ( )− ⋅ = ⋅ (3)

T B w J d wdt

− ⋅ = ⋅ (3’)

Volumen I 2-23

Restando (3) - (3’):

( ) ( ( ) ) ( ( ) )T T B w t w J d w t wdt

− − ⋅ − = ⋅−

(3’’)

T t B w t J dw tdt

* **

( ) ( ) ( )− ⋅ = ⋅ (3’’’)

Tomando Transformada de Laplace en (3’’’)

ssWJsWBsT ⋅⋅+⋅= )()()( ***

Agrupando Términos nos queda:

1

1

)()(

*

*

+⋅=

sBJ

BsTsW

De aquí podemos observar:

− Variable de Entrada: T s( )

− Variable de Salida: W s( )

− JB tiene unidades de tiempo

Llamaremos:

JB = τ

1B k=

Por lo tanto : W sT s

ks

( )( )

=⋅ +τ 1

Sistema de 1er Orden

Volumen I 2-24

• Problema 2.3.3.5: Sistema mecánico traslacional

Figura 2.12: Amortiguador de Vibraciones

Se desea determinar la función de trasferencia: Y*(s) / F*(s) Aplicando la Ley de Newton:

Wg

d ydt

K y C dydt

F tc

⋅ = − ⋅ − ⋅ +2

2 ( ) (1)

Donde:

W = masa [lbm]

gc = 32,2 lbm . ft / lbf . seg2

C = coeficiente de amortiguación viscosa [lbf / (ft/seg)]

K = Constante de Hooke [lbf/ft]

F(t) = Fuerza Aplicada [lbf]

Si dividimos a (1) por K tenemos:

Wg K

d ydt

y CK

dydt

F tKc ⋅

⋅ = − − ⋅ +2

2( )

(2)

Rearreglando:

τ ζ τ22

2 2⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + =d y t

dtdy t

dty t x t( ) ( ) ( ) ( ) (3)

Escribiendo el Estado estacionario de (3):

τ ζ τ22

2 2⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + =d ydt

dydt

y x (3’)

y(t)

Volumen I 2-25

(3-3’) ⇒ τ ζ τ22

2 2⋅−

+ ⋅ ⋅ ⋅−

+ − = −d y t y

dtd y t y

dty t y x t x( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) (3’’)

Aplicando T. L.

( )τ ζ τ2 2 2 1s s Y s X+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =* *( ) ( )s

∴ =+ ⋅ ⋅ ⋅ +

Y sX s s s

*

*( )( )

12 12 2τ ζ τ

Y sF s

Ks s

*

*( )( )

=+ ⋅ ⋅ ⋅ +

12 12 2τ ζ τ

Y sF s

Ks s

*

*( )( )

/=

+ ⋅ ⋅ ⋅ +12 12 2τ ζ τ

Sistema de Segundo Orden

donde:

τ2 =⋅

Wg Kc

; 2 ⋅ ⋅ =ζ τCK

; x t F tK

( ) ( )=

de donde:

τ =⋅

Wg Kc

(4) [seg] debe ser > 0

ζ =⋅

⋅ ⋅g C

W Kc

2

4 (5) adimensional debe ser > 0

Un sistema de 2° orden necesita dos parámetros para ser definido, en este caso son ζ

y τ.

La representación en diagramas de bloques se muestra en la figura 2.13.

Volumen I 2-26

X(s) Y(s)

Figura 2.13: Representación en diagramas de bloque del sistema

121

1)()(

22

++=

swn

swn

sXsY

ξ

• Problema 2.3.3.6: Sistema eléctrico LRC

Se desea determinar la función de transferencia del circuito LRC que se muestra en la

figura 2.13.

Figura 2.14: Esquema del circuito LRC

A partir de las leyes de Kirchoff, se pueden deducir las siguientes ecuaciones

diferenciales que reproducen el comportamiento del sistema:

e t L di

dtR i

Ci dt( ) = ⋅ + ⋅ + ⋅ ∫

1 (1)

Aplicando T. L. y CI = 0

E s L s I s R I sC s

I s( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ + ⋅ +⋅

⋅1 (2)

12 12 2τ ζ τ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +s s

Volumen I 2-27

E s C L s R C s I sC s

( ) ( )=

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ( )⋅

2 1

I sE s

C sC L s R C s

( )( )

=⋅

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +2 1

CLs

LRs

sL

CLs

CLRCs

sCLC

sEsI

1

1

1)()(

22 ++=

++=

Donde:

CL

LR

n

n

1

.2

=

=

ω

ωξ

Problema 2.3.3.7: Modelado de un Manómetro

Figura 2.14: Esquema de un manómetro de mercurio

Se desea determinar la relación H sP s

( )( )1

Suposiciones:

- Consideramos flujo laminar.

- Fricción despreciable.

Volumen I 2-28

Aplicando Newton:

m d hdt

P A h A⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅2

2 1 γ (1)

Donde:

m masa del Hg

h = altura desplazada

A = Sección Transversal

γ = Viscocidad del Hg

ρ = densidad

Por otro lado: γ = ρ.g (2)

m = ρ.A.L ⇒ m = γg

A L⋅ ⋅ (3)

Sustituyendo (3) en (1):

γ

γ⋅ ⋅

⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅A Lg

d hdt

P A h A2

2 1 ⇒ f(P1, h) (4)

No hay términos no lineales. Procedemos a reagrupar

h + Lg

d hdt

P⋅ = ⋅2

2 11γ

(5)

Estado Estacionario: h = ⋅1

1γP (6)

Restando (5) - (6)

Lg

d hdt

h⋅ + = ⋅2

2 11*

* *

γP (7)

Volumen I 2-29

Aplicando T. L. para una segunda derivada

s F s s F f2 0 0⋅ − ⋅ −( ) ( ) ( )/

Lg

s H s P s⋅ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ =2 11 ( ) ( )

γ

de donde

H sP s L

Gs

( )( )

/

1 2

1

1=

⋅ +

γ

Sistema de 2º orden

• Problema 2.3.3.8: Motores DC

If(t)

Figura 2.15: Esquema de un motor DC

Suposiciones:

- La corriente Ia (ctte) puede ser suministrada por una fuente DC, ó una línea AC (uso de

transformadores y rectificadores).

- El voltaje Ef aplicado al campo se obtiene de un amplificador de baja potencia.

Volumen I 2-30

- El circuito de campo se encuentra representado por una resistencia Rf y una inductancia

Lf.

Asumiendo un comportamiento lineal, se tiene que:

El flujo magnético del campo: ( )φ t ( ) ( )φ t k I tf f= . (1)

El torque desarrollado por el motor es directamente proporcional al flujo magnético

y a la corriente de la armadura:

T = k (2) 1φ Ia

Donde:

- = constante propia del motor, función del número de conductores de la armadura, del

número de polos del campo, etc.

k1

- φ = Flujo magnético del campo función del tiempo

- Ia = Corriente de la armadura.

)(k=(t) f tI fφ ; I f : corriente del campo

( ) →Τ tIIkk= faf1 ( ) ( )tIIkt fam=Τ (3)

Haciendo sumatoria de torques, en la parte mecánica:

( ) ( ) ( ) ( )tJttBt Lr ωω &=Τ−−Τ (4)

Donde:

ω = velocidad angular. J = Inercia de la armadura.

Br = Coeficiente viscoso de fricción. = Torque de la carga. TL

Aplicando Kichoff, en la parte eléctrica:

( )( )

E I t R Lt

f f f f= +∂

∂ I

tf

(5)

Las ecuaciones (3), (4) y (5) representan los tres balances necesarios para un sistema

electro-mecánico.

Deseamos como función de transferencia la relación: ( )( )

ω sE sf

, para ello se tienen

que llevar a cumplir lo siguiente:

Volumen I 2-31

- se debe eliminar a . fI

-Τ quede como una perturbación al proceso. l

- no hay no-linealidades.

- expresando las ecuaciones en variables de perturbación ó de desviación:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=

ω=Τ−ω−Τ

=Τ

5' . . . tILtIRtE

4' . . . tjttBt

3' . . . tIIkt

*f

*ff

**l

*v

*

*fam

*

ff&

&

Aplicando T. Laplace a todas, y manipulándolas convenientemente:

( ) ( ) ( )1R

E s I s s I sf

f f f f* * *= + Τ ; con Τ f

f

f

LR

= ctte de tiempo.

Despejando: ( )( )

( )I sR s

E sff f

f* =

+

11 Τ

* (6)

Sustituyendo (6) y (3’) transformada en (4’) transformada:

( ) ( ) ( )sR

EIksjsB

ff

famLr Τ+

=Τ++1

***ω (7)

Relación de transferencia.

( ) ( ) JsBTE

sRIk

sr

Lfff

am+⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

Τ+=

11

**ω

Js

Figura 2.16: Diagrama de bloques del sistema

Volumen I 2-32

A continuación se procederá a hacer un análisis de la armadura del motor DC.

Figura 2.17: Esquema de la armadura del motor DC

Suposiciones:

- La velocidad del motor es controlada por el voltaje de la armadura.

- I f normalmente se mantiene constante.

- Ea normalmente suplido por un generador.

Ecuación circuital para la armadura:

( ) ( ) ( )dt

dIaLtIRtIktE aaafca +=− ω (1)

El torque desarrollado por el motor es:

( ) ( )Τ t k I I tm f a= (2)

Balance de torques:

( ) ( ) ( ) ( )tJttt lr ωω &=Τ−−Τ B (3)

Donde : dtdw

=ω&

realizando los pasos correspondientes, se llega al siguiente diagrama de bloques, a partir de

las ecuaciones 1 - 3:

ia(t)ia(t)

Volumen I 2-33

TL

Figura 2.18: Diagrama de bloques del motor DC

Donde:

Τa

a

a

c f

LR

k I

=

: ctte de la f.e.m.

Problema 2.3.3.9: Sistemas de tanques interconectados

Figura 2.19: Sistema de tanques interconectados

Se desea obtener la función de transferencia del sistema, así como su representación

en diagramas de bloques. Los parámetros que definen al sistema se muestran a

continuación:

Datos:

Área: A1

CN

MN

h

h

A2 R2′

Q2

P2

R1′

Q1

Volumen I 2-34

Corrientes: Q1,Q2,Q3

Altura de los tanques: h1,h2

Constante: C

Válvulas:

Q2=f(h1)⇒ Q2*=R1h1* donde : a2 :....para toda abertura

Q3=f(h2,a2) Q⇒ 3*=R2h2*+R3a2* de la válvula.

Ahora se procede a realizar los balances de masa para cada uno de los tanques.

Primer tanque :

....1(1

)()()()()(

**

1

11111111

11111

11

121

+=⇒=−

=−⇒==−

sk

sQsHssHAsHRsQ

ciontransformadt

dhAhRQ

dtdh

Adt

dVQQ

τ

donde : kR1

1

1= ; τ1

1

1=

AR

Segundo tanque :

dtdh

AaRhRhRdt

dhAQQ

****

*** 2

22322112

232 =−−⇒=−

Transformación:

))()((1

1)(

)()()()(

23122

2

22222311

saksHks

sH

sHRssHAsaRsHR

−+

=

⇒+=−

τ

donde: 2

22 R

A=τ ;

2

12 R

Rk = ;

2

33 R

Rk =

Volumen I 2-35

.a2(s) Q1(s) H1(s)

H2r + E - H2(s)

- +

Figura 2.20: Diagrama de bloques del sistema retro

2.3.4 No linealidades en los sistemas Las no linealidades son inherentes en los procesos y en el contro

ellas podemos señalar:

1. Saturación

2. Zona muerta

3. Histéresis

4. Backlash

5. Fricción (estática, colombos, etc.)

6. Resorte no lineal

7. Compresibilidad de los fluidos

8. Prendido-apagado

9. Otros. - (ecuaciones cinéticas, correlaciones de transferencia de m

Su presencia afecta a los sistemas de control. Por ejemplo:

- Backlash: causa inestabilidad en el sistema.

- Zona muerta: causa errores en el estado estacionario.

Hasta el momento hemos analizado sistemas físicos lineal

realidad esto no es cierto.

K2

K3

GC GV

1.1

1

+sk

τ

HM

1

alimentado

l de los mismos. Entre

asa y cala, etc ...)

es. Sin embargo en la

1.2 +sτ

Volumen I 2-36

Partamos del problema 2.3.3.1, donde se supuso una resistencia lineal. Hablemos

ahora de:

)(0 thCq ⋅= (1)

C= ctte.

Nuevamente nuestro balance de masa , seria:

dtdhAhCq ⋅=⋅− (2)

En este punto observamos que es mas difícil tomar Transformada de Laplace por la

presencia de un termino variable no lineal h . Esta dificultad puede saltarse si aplicamos

una expansión de Taylor.

Condiciones:

- Las variables deben ser continuas

- Las derivadas deben ser continuas

Supongamos que tenemos una función f que depende de dos variables x1 x2 => f(x1

x2 ) y queremos linealizarla alrededor de su valor estacionario x x1 2, .

Aplicando serie de Taylor:

...)(!2

1

)(!2

1)()(),(),(

222

2,12

2

2

211

2,12

1

2

222,12

112,11

2121

+−⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅+

−⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅+−⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

xxx

f

xxx

fxxxfxx

xfxxfxxf

xx

xxxxxx

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

Por lo general, se toma en cuenta hasta la primera derivada, porque los términos

(x x n− ) tienden a hacerse muy pequeños.

Por lo tanto el termino )(th

Volumen I 2-37

h h h h h= + ⋅ ⋅ −12

( ) (4)

Donde h h= en estado estacionario.

Sustituyendo (4) en (2):

dtdhAhhhhhCtq ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅+=⋅− )(

21)( (5)

La ecuación (5) en estado estacionario:

q t C h( ) − ⋅ = 0 (6)

Restando (5) - (6):

( ) ( ) ( )q q C h h h A d h hdt

− − ⋅ ⋅ − = ⋅−

2 (7)

Donde C C h'= ⋅2

Variables de perturbación:

Q q q

h h h

*

*

( )

( )

= −

= −

=> − ⋅ = ⋅Q C h A dhdt

* **

' (8)

Tomando Transformada de Laplace a (8):

Q s H s A s C* *( ) ( ) ( ')= ⋅ ⋅ +

H sQ s

ks

*

*( )( )

=⋅ +

11τ

Donde

Volumen I 2-38

kC

h

CA

Ch

12

2 2

= ⋅

= =⋅

⋅τ'

Vemos que en este caso la Función de Transferencia es un sistema de primer orden

como en los otros casos pero el valor de k1 y τ dependen de las condiciones en estado

estacionario.

Ejemplos

• Problema 2.3.5.1: Tanque con válvula reguladora de salida

Figura 2.21: Sistema de tanque con válvula reguladora de salida

Se desea calcular la función de transferencia del sistema, así como su representación

en diagramas de bloques

)()( 21 tQtQdtdV ρρρ −=

El flujo Q2 depende de las diferencias de presiones y

de la porción del vástago de la válvula m(t). Este se representa de manera simplificada

como sigue:

( )Q k P P P k

Q k gh k m

f2 1 0 0 2

2 1 2

= ′ + − +

= ′ +

.

.l

m

y luego

Q2

h

MCN

Q1

Volumen I 2-39

mktghktQdt

tdhA .)()()(211 −′−= ρ

El elemento no lineal ghρ puede linealizarse alrededor del punto de equilibrio h

como : ( ) ( hhhghggh −+≅ − 21

21 ρρρ ) ya que

( ) ( ) ( ) ( )f x x f x xfx

x xf

xx x

x x x x1 2 1 2

11 1

22 2

1 2 1 2

, ,... , ,.....

...., .. , ...

≅ + − + − +δδ

δδ

⇒ se puede siempre

sustituir en la ecuación original, la parte linealizada, escribiendo todo en términos de

variables de variación .

Adhdt

Q k h k m*

* . * .= − −1 1 2 * donde ( ) 21

11 21 −′= hgkk ρ

transformando:

A H s Q s k H s k M s

H sA k

Q s k M s

s

s

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) ( ))

= − −

=+

−

1 1 2

11 2

1⇒

Figura 2.22: Diagrama de bloques del sistema

• Problema 2.3.5.2:Tanque de mezclado

Se tiene un tanque de mezclado, el cual se muestra en la figura 2.23, al cual se desea

controlar la CA2 variando la CA1. El flujo de entrada es considerado un perturbación. Se

Volumen I 2-40

considera la salida como flujo laminar. Considere ρ constante. Los flujos son

volumétrico y F2 = Rh.

Figura 2.23: Esquema del tanque de mezclado

Balance de masa dtdhARhF

dtdVFF =−⇒=− 121 . (1)

Balance del componente Ai dtVdC

CFCF AAA

22.21.1 =− (1`)

dtdhC

ARhCCF AAA

2.2.1.1 =− (2)

Términos que son funciones del tiempo: F1, CA1, h, CA2

Términos no lineales: F1CA1, hCA2

Linealizando y sustituyendo en (2) , sumando y utilizando variables de perturbación :

******2.2.11.1.12.

2. hCRRChFCCFdt

dhCAdt

dCAh AAAAA

A −−+=+ (3)

Tomando T.L y reagrupando las ecuaciones (1) y (3) tenemos:

h

CC

TE R

F2 , CA2

A

F1 , CA1

Volumen I 2-41

( ) )()()...()(.)(... 1.12.2.12. sCFsHCRsCAsFCsChRshA AAAAA ++−=+ (4)

(5) )().)(( 1 sFRsAsH =+

-

-

+

.2. refC A 1.AC

+

Figura 2.24: Representación

• Problema 2.3.5.3: Tanque con tubería

Figura 2.25: Esquem

1.1+sA

2.. A RsCA +

1FGv GC

TC

)(1 sF

H(

++ )(2. sC A

en diagrama de bloques del sist

a del tanque con tubería

2AC

1.AC

hRshA +..1

s)

ema

Volumen I 2-42

Se desea hallar la función de transferencia del sistema mostrado en la figura 2.23,

del cual se conocen los siguientes parámetros:

Datos:

A1 = Area del tanque.

h(t) = Nivel en el tanque.

q0(t) = Flujo de entrada.

A2 = Area de la tubería.

d2 = Diámetrode la tubería.

f2 = Coeficiente de fricción.

n≥n = Velocidad del flujo. No depende de L.

En este sistema se desea controlar el nivel manipulando el flujo de entrada.

Inicialmente, se procede a realizar un balance de masa sobre el tanque:

( ) ( )q t q t A dhdto − = 1 (1)

Por otro lado: ( ) ( )q t A v t= 2 (2)

( ) ( )dtdhAtvAtq 12o =−∴ (3)

Variables: qo(t), v(t), h(t); se debe eliminar v(t).

Ecuación de Bernoulli para flujo no permanente:

dvdt

ds pp

vgz p

pv

gz f Ld

v+ + + = + + −∫

1

22 2

2

21 1

2

1 22

22

2 2 2 (4)

dtdvLds

dtdvds

dtdvds

dtdv

=+= ∫∫ ∫2

3

2

1

3

1 (5)

0

Sustituyendo (5) en (4):

( ) ( )2

12

22

tvdLftgh

dtdvL ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= (6)

Linealizando a v2:

Volumen I 2-43

( ) ( ) ( )v-v1fv-2

12

2

2

22 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

dLtv

dLftgh

dtdvL (7)

y en estado estacionario:

0 12

2= − −gh kv 0 (8)

***

kvvghdt

dvL −= (9)

dividiendo a (9) por vk , y tomando T.L.

( )( ) 1+

=kv

Lkv

g

sHsV

(10)

poniendo en variables de perturbación a (3) y tomando T.L:

( ) ( ) ( )Q s A V s A sH so − =2 1 (11)

despejando V(s) de (11):

( ) ( ) ( )Q s A sH s

AV so −

=1

2 (12)

si sustituimos (12) en (10):

( )( )

( )

( )

H sQ s

aAbs

AaA

s bso=

+

+ +

1 1

1 1

2

1

2

donde: a gvk b vk= , y = L

K

Volumen I 2-44

• Problema 2.3.5.4: Reactor con camisa de calentamiento

Figura 2.26: Reactor de tanque agitado con camisa de calentamiento

En la figura 2.24 se muestra el esquema de un tanque de agitado continuo donde se

lleva a cabo la siguiente reacción:

C ABk⎯ →⎯ orden n y k = k(T)

Se desea determinar la función de transferencia del sistema, así como el diagrama de

bloques del mismo:

Datos:

V = constante

Condición térmica de las paredes: alta

Conocidos: U y ∆Hr (cal / gr de C)

Perturbaciones ∴ T1 y C1

Solución:

Balance de masa en el componente C:

dt

dCVVCQCQ 2

21 ⋅=γ⋅−⋅−⋅ Donde γ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

=lth

molC (1)

Balance de energía en el reactor:

ρ ρ ρ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅Q Cp T Q Cp T U A T T H V r V Cp dTdta r1 2 2

2( ) ∆ (2)

La rata r se linealiza en forma genérica:

Volumen I 2-45

r r rC

k

C C rT

k

T TC T C T

= + − + −∂

∂∂∂2 2 2

1

2 22 2 2

2

2 2, ,

( ) (

1 24 34 1 24 34

)

Se escriben ahora las ecuaciones (1) y (2) en términos de variables de perturbación:

Q C Q C V k C V k T V dCdt

⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⋅1 2 1 2 2 22* * * **

, (1’)

y dividiendo entre ρ.Q.Cp para la ec. (2)

43421434214444 34444 213

*2

1

2

**1

*2

1

2*2

*2*

22*

21**

2*2

*1

1

)(

R

ra

r

rra

CQCp

VkH

R

TQCpUATT

RQCp

VkHQCpUA

dtdT

dtdT

TQCp

VkHC

QCpVkH

TTQCpUATT

ρρρρτ

τρρρ

∆−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆++−=⋅⇒

⋅=∆

−∆

−−−−

; con τ =VQ

Transformando (1) y (2) se obtiene:

( )()(1

1)( 211

2 sTksCks

sC tc ⋅+⋅⋅+⋅

=τ

) (3)

donde: τττ1

11=

+ ⋅ k ; k

kc =+ ⋅

11 1τ

; k kkt =

⋅+ ⋅τ

τ2

11 ; τ =

VQ

T ss R

T s RR

T s RR

C sa22 1

12

1

3

12

11

1( ) ( ) ( ) ( )=⋅ +

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

τ (4)

Para definir la influencia de Fa sobre Ta:

Balance de energía en la camisa:

ρ ρa a a a a a a a caCp F T T U A T T Cp V dT

dt⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅( ) ( )0 2 (5)

dt

dTVCpρ

TAUTAUTFCpρTFCpρTFCpρ*

caa

**a

*aa

*aaaa

*aa

a

a2aa0a

⋅⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⇒

Dividiendo entre ρa.Cpa y transformando:

Volumen I 2-46

T F s F T s T F s R T s R T s V s T sa a a a a a a c a0 4 2 4⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;

donde: R U ACpa a

4 =⋅

⋅ρ (6)

( )T ss

R F s R T sa a( ) ( ) ( )=⋅ +

⋅ ⋅ + ⋅1

135 6τ 2 ; con

RT TF Ra a

a5

0

4=

−

+ ; R R

F Ra6

4

4=

+ ; τ3

4=

+V

F Rc

a

Diagrama de Bloques:

Figura 2.27: Diagrama de bloques del reactor con camisa de calentamiento

Reducción del diagrama de bloques

Los bloques se pueden conectar en serie solamente si la salida de un bloque no es

afectada por el bloque inmediatamente siguiente. Cualquier cantidad de bloques en cascada

que representes componentes que no producen efectos de carga se pueden representar como

un bloque individual, siendo la función de transferencia de ese bloque simplemente el

producto de las funciones de transferencia individuales. A través de las reglas del álgebra

de bloques se pueden ir simplificando paso por paso un complejo diagrama de bloques,

Volumen I 2-47

pero sin embargo los nuevos bloques que se van obteniendo se vuelven más complejos,

debido a que se generan nuevos polos y ceros.

Al simplificar un diagrama de bloques, se debe recordar:

1. El producto de las funciones de transferencia en sentido directo queda igual.

2. El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo queda igual.

En la Tabla 2.2 se muestra las reglas del álgebra de diagramas de bloques.

Tabla 2.2: Fórmulas de álgebra de bloques

Diagramas de bloque originales Diagramas de bloque equivalentes

1

2

5

6

7

8

A + A-B + A-B+C - + B C

A + A+C + A+C-B + -

C B C A ++

A-B+C - B

C A + A-B

+ A-B

+C

- B

G1 G2 A A G1 A G1 G2 G2 G1

A A G2 A G2 G1

G1 G2 A A G1 A G1 G2 G1 G2

A AG1G2

G1

G2

A AG1 + AG1 + AG2 + AG2

G1 + G2 A AG1 + AG2

G1 A AG1 + AG1 - B - B

G

1/G

A + A-B/G AG - B - B/G B

G A + A-B AG – BG - B

G

G

A AG + AG - BG - B BG

G A AG

AGG

A AG AG G

4

3

Volumen I 2-48

9

10

11

12

13

Obtención de la F. T. a partir del diagrama de bloques:

Nos interesa hallar:

F. T. = C sR s

( )( )

E s R s M s( ) ( ) ( )= − (1) M s C s H s( ) ( ) ( )= (2)

)()()( sGsEsC = (3)

Sustituyendo (1) en (3): [ ]C s R s M s G s( ) ( ) ( ) ( )= − (4)

Sustituyendo (2) en (4): C s R s G s C s H s G s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − (5)

Despejando: [ ]C s H s G s R s G s( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 + = ⇒

G A AG

A

G A AG AG A 1/G

A + A-B

- A-B

B

B + - A-B A + A-B -

B

G1 A + B -

G2

G1 A AG1 + AG1+AG2 + AG 2G2

G1 A AG1 + AG1+AG2 + G2/G1

G1 A + B - G2

G1 A + B -

G2 1/G2

G1/(1+G1G2) A B

Volumen I 2-49

Función de Transferencia de Lazo Cerrado (FTLC) = C sR s

G sG s H s

( )( )

( )( ) ( )

=+1

Función de Transferencia de Lazo Abierto (FTLA) = M sE s

G s H s( )( )

( ) ( )=

Función de Transferencia de Lazo Directo (FTLD) = C sE s

G s( )( )

( )=

Respuesta: )()()(1

)()( sRsHsG

sGsC+

=

Ecuación Característica: 1 0+ =G s H s( ) ( )

Diagrama de Flujo de Señales

Un diagrama de flujo de señales es en una red en la cual los elementos llamados

nodos están conectados por otros elementos llamados ramas con dirección y sentido. Esta

es otra forma de establecer la relación entre las transformadas de Laplace de las señales de

entrada y salida de un sistema de forma gráfica, por lo tanto es equivalente al diagrama de

bloques en cuanto al objetivo que persigue. La ventaja de representar al sistema a través de

este gráfico de flujo de señales, es la aplicación de la fórmula de Mason que permite

determinar la función de transferencia de un sistema directamente, sin necesidad de realizar

ninguna reducción como se hacía en el diagrama de bloques.

Elementos básicos

El diagrama de flujo de señales consta de principalmente varios elementos:

- Nodos: son los puntos donde aparecen señales y cada rama conectada entre dos nodos

actúa como un multiplicador de señal. Los nodos son equivalentes a las flechas en el

diagrama de bloques.

- Señales: son las variables del sistema.

- Ramas: una rama es un segmento de línea con dirección y sentido, que une dos nodos.

Las ramas son equivalentes a los bloques en el diagrama de bloques.

Volumen I 2-50

- Ganancia o transmitancia de una rama: es una ganancia real o una ganancia compleja

entre dos nodos. Tales ganancias pueden expresarse en términos de la función de

transferencia entre dos nodos y es la cantidad asociada a cada rama.

- Nodo de entrada o fuente: es un nodo que sólo tiene ramas que salen. Esto corresponde a

una variable independiente.

- Nodo de salida o sumidero: es un nodo que sólo tiene ramas de entrada. Se corresponde a

una variable dependiente.

- Nodo mixto: es un nodo que tiene tanto ramas que llegan, como ramas que salen.

- Camino o trayectoria: es cualquier colección de una sucesión continua de ramas que se

dirigen en la misma dirección. Si no se cruza ningún nodo más de una vez es llamado

camino directo. Si el camino regresa al nodo de partida, sin pasar por otros nodos más de

una vez, se llama bucle o lazo. Si un camino cruza algún nodo más de una vez, pero

finaliza en un nodo diferente de aquel del cual partió, el camino no es ni abierto ni cerrado.

- Ganancia de bucle o lazo: es el producto de las transmitancias de ramas de un lazo.

- Ganancia del camino directo: es el producto de las transmitancias de una rama de un

camino o trayecto directo.

- Lazos disjuntos: los lazos que no tienen ningún nodo en común.

Propiedades básicas de los gráficos de flujo de señal

Las propiedades más importantes de este tipo de representación son:

- Las gráficas de flujo de señal se aplican solo a sistemas lineales.

- Las ecuaciones a partir de las cuales se dibuja una gráfica de flujo de señal deben ser

algebraicas en la forma de causa y efecto.

- Una rama indica la dependencia funcional de una señal respecto a otra. La señal viaja a

través de las ramas solamente en la dirección descrita por las flechas.

- Un nodo se encarga de sumar las señales de todas las ramas de entrada y transmite esa

suma a todas las ramas de salida. También se utilizan para expresar variables.

- Un nodo mixto se puede considerar como un nodo de salida añadiendo una rama de salida

de transmitancia unitaria. Pero se debe notar que utilizando este método un nodo mixto no

se puede transformar en una fuente.

Volumen I 2-51

- Para un sistema cualquiera, el gráfico de flujo de señal no es único. Se pueden dibujar

muchos gráficos de flujo de señal diferentes para un sistema, escribiendo las ecuaciones del

sistema en forma diferente.

2.3.8 Algebra de gráficos de flujo de señal. Para dibujar un gráfico de flujo de señal se deben colocar los nodos de entrada

(fuentes) a la izquierda y los nodos de salida (sumideros) a la derecha. Las variables

independientes y dependientes de las ecuaciones obtenidas en el modelaje, se convierten en

nodos de entrada y nodos de salida. Las transmitancias de rama se pueden obtener a través

de los coeficientes de las ecuaciones.

Las reglas a seguir para reducir un gráfico de flujo de señal a un gráfico que

contenga solo nodos de entrada y salida son las siguientes:

- El valor de un nodo con una rama de entrada es x2 = a x1. Figura Nº 2.28 (a)

- Una conexión en serie de ramas unidireccionales se puede remplazar por una sola rama

con ganancia igual al producto de las ganancias de las ramas. Figura Nº 2.28 (b)

- Las ramas paralelas con una misma dirección que conectan dos nodos se pueden

remplazar por una sola rama con ganancia igual a la suma de las ganancias de las ramas

paralelas. Figura Nº 2.28 (c)

- Se puede eliminar un nodo mixto. Figura Nº 2.28 (d)

- Se puede eliminar un lazo. Figura Nº 2.28 (e)

La Figura 2.28 muestra gráficos de flujo de señal y simplificaciones.

Volumen I 2-52

(a) a

X1 X2

(b) a b ab=

X1 X2 X 3 X1 X2

(c) a a + b

X1 X2 = X1 X22 b

(d) X1 a X1 ac X3 c

X4 = X4 X2 b X2 ab

(e) a X2 b X 1 ab X3 X1 X3 X1 X3 = = ab/(1+bc) c bc

Figura 2.28: Gráficos de flujo de señal y simplificaciones

Fórmula de Mason

Permite la determinación de las relaciones entrada - salida de una gráfica de flujo de

señal mediante inspección, cuantificando la ganancia real de transmisión T entre cualquier

entrada xi y cualquier salida x0.

La Regla de Mason establece:

∆∆∑

= kk PT (2-38)

donde:

• k: es el trayecto k-ésimo directo diferente entre xi y x0.

• Pk: es la ganancia de trayectoria o transmitancia de la k-ésima trayectoria.

• ∆: es el determinante del gráfico.

• ∆k: es el cofactor del determinante de la k-ésima trayectoria directa del gráfico,

eliminando los lazos que tocan en más de un nodo a dicha trayectoria.

• T: es la función de transferencia entre la salida y la entrada del sistema.

Volumen I 2-53

La fórmula para hallar el determinante del gráfico es la siguiente:

∆ = 1 - (suma de las ganancias de todos los lazos) + (suma de productos de todas las

combinaciones de los pares de lazos que no se tocan) - (suma de productos de las

ganancias de todas las combinaciones de todas las combinaciones de ternas de lazos que

no se tocan). (2-39)

Es importante destacar que si el sistema posee mas de una entrada, para hallar la función de

transferencia entre la salida y una de estas entradas, es necesario hacer cero las entradas

restantes. Posteriormente si se desea hallar la solución del sistema tomando en cuenta todas

las entradas involucradas en el mismo se utiliza el principio de superposición.

Ejemplos

Problema 2.3.9.1: Supongamos que tenemos el siguiente flujograma:

Figura 2.29: Flujograma del sistema

Para hallar la función de transferencia del sistema, es necesario calcular la relación

dada por:

TPk k= ∑ ∆∆

Cálculo de ∆:

- # de bucles: 3 ⇒ L1, L2, L3

∆ = (1-L1) (1-L2) (1-L3) = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3 + L2L3) (L1L2L3)

- Bucles que se tocan: L2 y L3

∆ = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3)

Número de caminos directos entre xi y x0

Volumen I 2-54

K = 2 ⇒ Dos términos en el numerador T = P P1 1 2 2⋅ + ⋅∆ ∆

∆

Trayecto 1: P1 = a b c d e f

Trayecto 2: P2 = a g e f

Bucles que toca cada trayecto:

Trayecto 1: L1, L2, L3 ; Trayecto 2: L2, L3

Cálculo de ∆i:

- Para ello primero se escribe a ∆, es decir:

∆ = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3)

- Táchese cada término que contenga una L de un bucle tocado por el trayecto i

∆1 = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3) = 1

∆2 = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3) = 1 - L1

Resumiendo, tenemos:

∆ = 1-(L1+L2+L3)+(L1L2 + L1L3) ; ∆1 = 1 ; ∆2 = 1-L1

∴ =+ −

− + + + +T P P L

L L L L L L L1 2 1

1 2 3 1 2 1 3

1 11

( ) ( )( ) ( )

xx

T abcdef agef cjcj eh efi cjeh eficji

0 1 11

= =+ −

− + + + +( ) ( )

( ) ( )

Problema 2.3.9.2: Consideremos un sistema de retroalimentación unitaria cuyo diagrama de bloques es:

Figura 2.30: Diagrama de bloques del sistema

Volumen I 2-55

C

Figura 2.31: Flujograma del sistema

Cálculo de ∆

- # de bucles: 4 ⇒ L1, L2, L3, L4

L1 = -G1G2G3G5 ; L2 = -G2H1 ; L3 = -G5H2 ; L4 = -G1G2G4G5

∴ ∆ = (1-L1)(1-L2)(1-L3)(1-L4)

= 1-(L1+L2+L3+L4) + (L1L2+L1L3+L1L4+L2L3+L2L4+L3L4) -

- (L1L2L3+L1L3L4+L2L3L4+L1L2L4) +(L1L2L3L4)

- Bucles que se tocan: L1L2L3L4 ; L2L4; L3L4

∴ ∆ = 1-(L1+L2+L3+L4) + (L2L3)

= 1 + G1G2G3G5+G2H1+G5H2+G1G2G4G5+G2G5H1H2

# de caminos directos entre R y C

∴ K = 2 ⇒ P1 = G1G2G3G5 ; P2 = G1G2G4G5

Bucles que toca cada trayecto:

Trayecto 1: L1, L2, L3, L4 ; Trayecto 2: L1, L2, L3, L4

∆1 = 1 ; ∆2 = 1

CR

T G G G G G G G GG G G G G H G H G G G G G G H H

= =+

+ + + + +1 2 3 5 1 2 4 5

1 2 3 5 2 1 5 2 1 2 4 5 2 5 1 21

Problema 2.3.9.3:

Se desea calcular para un tanque de mezclado ),( 12 FCfC AA =

Ecuaciones:

sH(s) = K6F1(s) - K7H(s) (1)

sCa2(s) = K1Ca1(s) + K2F1(s) - K3Ca2(s) - K4H(s) - K5sH(s) (2)

Volumen I 2-56

Donde:

K1 = F hA1 / ; K Ca h2 1= / A ; K3 = R/A; K R Ca h4 2= ⋅ / A ;

K Ca5 3= / h ; K6 = 1/A ; K7 = R/A

Entradas: F1, Ca1 Salidas: Ca2 ,H(s)

Figura 2.32: Flujograma del sistema

Cálculo de ∆

- # de bucles: L1 = -K3 . 1/s ; L2 = -K7 . 1/s

∆ = 1 - (L1+L2) + L1L2 = 1 + K3 ⋅ + ⋅ +1 1

77 3

2sK

sK K

s

- bucles que se tocan: NINGUNO

# de caminos directos entre:

- Ca1 y Ca2: P1 = Ks1 01 =F

- F1 y Ca2: P1’ = Ks2 ; P2’ = −K K

s6 51

; P3’ = −K K

s6 4

2

01 =AC Bucles que toca cada trayecto:

- P1 toca a L1 ⇒ ∆1 = 1-L2 = 1 + Ks7

- P1’ toca a L1 ⇒ ∆1’ = 1-L2 = 1 + Ks7

Volumen I 2-57

P2’ toca a L1, L2 ⇒ ∆2’ = 1; P3’ toca a L1, L2 ⇒ ∆3’ = 1

Luego:

T = TCa1 + TF1 (aplicando el teorema de superposición)

- TCa1 =P

Ks

Ks

Ks

Ks

K Ks

K s Ks K s K

1 11 7

3 7 3 72

1 7

7 3

1 1 1

1

⋅=

⋅ ⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ + +⋅

=+

+ ⋅ +∆

∆( )

( ) ( )

TCa1 = K

s K1

3+ ⇒

CaCa

T F hRAR

sCa

2

11

1

1= =

+

/ (I)

- T

Ks

Ks

K Ks

K Ks

ss K s K

F1

2 7 5 6 42

2 7 3

1

1=+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− −

+ +( )( )

6

. Desarrollando, se llega a:

ThA

Ca Cas R AF1

11= ⋅

− 2+

( )/

(II)

∴ =+

⋅ +−

+⋅Ca F hA

s RA

Ca s hACa Ca

s R AF s2

11

1 2

1

1/ ( )

( )

/( )

• Problema 2.3.9.5:

Supongamos que hemos transformado un sistema de ecuaciones diferenciales y

hemos obtenido:

A.s.X(s) + B.X(s) + C.s.Y(s) + D.Y(s) = U1(s) (1)

E.s2.X(s) + F.s.X(s) + G.s.Y(s) = U2(s) (2)

Donde:

A, B, C, D, E, F, G constantes

U1, U2 son entradas dadas al sistema X(s), Y(s) salidas.

Primero se hace un conteo de las variables que hay en el sistema:

Volumen I 2-58

- Variables: s2.X(s), s.X(s), X(s), s.Y(s), Y(s), U1(s), U2(s),

∴ 7 nodos

- Despejando de cada ecuación el término mayor en s.

s Y s AC

s X s BC

X s DC

Y sC

U s⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 (1)

)(1)()()( 22 sU

EsYs

EGsXs

EFsXs ⋅+⋅⋅−⋅⋅−=⋅ (2)

- Nº de incógnitas: 5 : s2X(s) , sX(s) , X(s) , sY(s) , Y(s)

Nº de ecuaciones auxiliares: 3

{s X s }ss X s⋅ = ⋅ ⋅( ) ( )1 2 (3)

{X s }s

s X s( ) ( )= ⋅ ⋅1

(4)

{Y s }s

s Y s( ) ( )= ⋅ ⋅1

(5)

Figura 2.33: Flujograma del sistema de ecuaciones diferenciales

• Problema 2.3.9.5:

Volumen I 2-59

Se desea calcular ( )

( )E sV s

0 , para el circuito mostrado a continuación:

Figura 2.33: Esquema del circuito RC

Las ecuaciones diferenciales que determinan el sistema son:

R i tC

i t dt v V tt

c⋅ + ⋅ + +∫( ) ( ) ( ) ( )1 00

(1)

VC = Voltaje en el condensador para t = 0

EC

i t dt vc01 0= ⋅ +∫ ( ) ( ) (2)

Escribiendo (1) y (2) en T. L. ( y variables de perturbación)

R I ssC

I s V s⋅ + ⋅ =( ) ( ) ( )1 (1’)

( )E ssC

I s01

= ⋅ ( ) (2’)

De (1’) I sR

V sR C

I ss

( ) ( ) ( )= ⋅ −

⋅⋅

1 1 (3)

De (2’) E sC

I ss0

1( ) ( )= ⋅ (4)

Volumen I 2-60

Figura 2.34: Flujograma del circuito RC

Donde se tiene que:

Variables: V(s), I(s), I(s)/s,

Entradas: V(s)

Salidas: E0(s)

Nodos entrada: ← ; Nodos de salida: ↓ ; Mixtos: ↑,→

Ramas: a, b, f, g

Ganancia de las ramas: a = 1/R ; f = 1/RC

Caminos directos: a-b-g

Problema 2.3.9.6

Se desea hacer el flujograma de un sistema masa-resorte

Figura 2.35: Sistema masa-resorte

Descripción del modelo en función de la velocidad de la masa.

m dvdt

f v K vdt K x F tt

⋅ = − ⋅ − ⋅ − ⋅ +∫0

0( ) ( ) (1)

Volumen I 2-61

En variables de perturbación:

m dvdt

f v K v dt F tt

⋅ = − ⋅ − ⋅ +∫*

* * ( )0

* (2)

Tomando T. L. y despreciando el término mayor en s:

s V s fm

V s Km

V ss m

F s⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅( ) ( ) ( ) ( )1 (3)

Señales: sV(s) ; V(s) ; V s

s( )

; F(s) ⇒ 4 nodos

Entrada: F(s) ; Salida: V(s)

Figura 2.36: Flujograma del sistema masa-resorte

Volumen I 2-62