Capítulo 9 Primera parte

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UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

CCAAPPIITTUULLOO 99

TTRREENNEESS DDEE EENNGGRRAANNAAJJEESS,, RREEDDUUCCTTOORREESS

PPLLAANNEETTAARRIIOOSS YY DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS

División 1

Engranajes. Descripción General

Técnicas constructivas. Cinemática

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1. Engranajes

Generalidades y Nociones Históricas Los engranajes y las transmisiones de engranajes están presentes en muchas de las máquinas

que se pueden hallar tanto en el mundo industrial como en el doméstico. Los engranajes

promueven el movimiento de las ruedas y hélices de los medios de transporte, ya sea por

tierra, mar o aire.

Sin embargo, la tecnología asociada a los engranajes no es, en absoluto, una cuestión

novedosa. Antes bien, para buscar su origen debemos de remontarnos, por lo menos hasta a la

Grecia de la antigüedad. Así, hasta hace no mucho, se decía que la primera referencia a los

engranajes correspondía a Aristóteles, o a los discípulos de su escuela, y aparecía en el libro

"Problemas Mecánicos de Aristóteles" (280 a.C.). Tal apreciación, sin embargo, es incorrecta

ya que lo que contiene dicho libro es una referencia a un mecanismo constituido por ruedas de

fricción. Para una referencia más acertada deberíamos trasladarnos hacia el año 250 a.C.,

cuando Arquímedes desarrolló un mecanismo de tornillo sin fin - engranaje, en sus diseños de

máquinas de guerra.

Por otro lado, el mecanismo de engranajes más antiguo que se conserva es el mecanismo de

Antikythera (Figura 9.1) -descubierto en 1900 en la isla griega de ese nombre en un barco

hundido-. El mecanismo, datado alrededor del año 87 D.C., resultó además ser

extremadamente complejo (incluía trenes de engranajes epicicloidales) y podría tratarse de

una especie de calendario solar y lunar. Con anterioridad a este descubrimiento, se había

venido considerando como la primera aplicación conocida de engranajes diferenciales

epicicloidales al llamado "carro que apunta hacia el Sur" (120-250 D.C.): un ingenioso

mecanismo de origen chino (Figura 9.2) que mantenía el brazo de una figura humana

apuntando siempre hacia el Sur (considerando, eso sí, que en las ruedas del carro no existía

deslizamiento). Por otro lado en el Figura 9.3 se muestra un par de engranajes helicoidales

tallados en madera y hallados en una tumba real en la ciudad china de Shensi, los cuales

fueron datados en la época contemporánea a Jesucristo, específicamente 50 DC. Tales

engranajes tienen 24 dientes con un diámetro de 15 mm y un ancho de 10 mm (ver la

Referencia [6])

Posteriormente, la tecnología de los engranajes apenas sufrió avances hasta llegar a los siglos

XI-XIII con el florecimiento de la cultura del Islam y sus trabajos en astronomía. Poco tiempo

después esta tecnología se utilizó en Europa para el desarrollo de sofisticados relojes, en

muchos casos destinados a catedrales, abadías y especialmente a monasterios de

congregaciones religiosas; únicos lugares donde se generaba conocimiento antes de la

creación de las universidades europeas.

Un siglo más tarde, entre el siglo XV y XVII se desarrollan las primeras teorías de engrane y

las matemáticas de los perfiles de los dientes de los engranajes, especialmente los perfiles

cicloides debidos a Desargues y los perfiles de evolvente debidos La Hire. Luego con la

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revolución industrial la ciencia y tecnología de los engranajes alcanza su máximo esplendor.

A partir de este momento, la aparición de nuevos inventos conlleva el desarrollo de nuevas

aplicaciones para los engranajes, y con la llegada del automóvil -por ejemplo- la preocupación

por una mayor precisión y suavidad en su funcionamiento se hace prioritaria.

Figura 9.1. Mecanismo de Antikytheras (Tomado de Referencia [6])

Figura 9.2. Mecanismo que apunta al sur (modelo del museo Smithsoniano)

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Figura 9.3. Engranaje helicoidal tallado en madera, hallado en una tumba de Shensi, China (Referencia [6])

Actualmente, los métodos de desarrollo de mecanismos constituidos por engranajes han

avanzado considerablemente, por ejemplo, las aplicaciones aeronáuticas en las que se utilizan

engranajes de materiales ligeros, sometidos a condiciones de gran velocidad y que a su vez

deben soportar cargas importantes. Por otro lado el avance conjunto de la interrelación de

técnicas experimentales y computacionales complejas (Métodos de Elementos Finitos, por

citar un caso), hace posible la evaluación detallada de casi todo tipo de fenómeno asociado a

los engranajes.

Funcionamiento Los engranajes tienen la función de transmitir una rotación entre dos ejes con una relación de

velocidades angulares constante. Así, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas o

Engrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecánica entre

dos ejes mediante contacto directo entre dos cuerpos sólidos unidos rígidamente a cada uno de

los ejes.

Se denomina "Relación de Transmisión" al cociente entre la velocidad angular de salida ω2

(velocidad de la rueda conducida) y la de entrada ω1 (velocidad de la rueda conductora):

i=ω2/ω1. Dicha relación puede tener signo positivo -si los ejes giran en el mismo sentido- o

signo negativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relación de

transmisión es mayor que 1 (i>1) se supondrá el empleo de un mecanismo multiplicador, y si

es menor que 1 (i<1) -que suele resultar lo más habitual- supondrá el empleo de un

mecanismo reductor, o simplemente de un reductor.

Es claro que la obtención de una relación de transmisión constante entre dos ejes, no es algo

privativo de los engranajes, ya que lo mismo puede obtenerse con correas o cadenas o ruedas

de fricción, o hasta levas entre los más conocidos. Sin embargo dichos dispositivos poseen

ciertas limitaciones principalmente en el orden de la carga o potencia que pueden movilizar.

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Los engranajes, por otro lado, poseen varias ventajas competitivas que los hacen óptimos para

tal tipo de tarea (transmitir movimiento rotatorio entre dos ejes con una relación de

transmisión constante), tales como su relativa sencillez de fabricación, su capacidad para

transmitir grandes potencias, la gran variedad de opciones constructivas, etc.

Clasificación Los engranajes pueden clasificarse de diferentes maneras, a saber:

1) Según la distribución espacial de los ejes de rotación

2) Según la forma de dentado

3) Según la curva generatriz de diente

Una forma común de clasificar a los engranajes es a partir de la 1), es decir según la

distribución espacial de los ejes de rotación, también denominados axoides. En la Figura 9.4

se puede apreciar un esquema muy general de distribución de axoides de rotación y sus

respectivas direcciones. Dadas las direcciones X1 y X2 se puede trazar el vector opuesto a 1,

o sea –1 de manera que el sistema quede trabado con un movimiento resultante 2-1, cuyo

eje instantáneo de rotación y deslizamiento dará el tipo de movimiento entre los dos ejes.

Figura 9.4. Distribución de los ejes de rotación y sus direcciones

Así pues, según que los ejes sean paralelos o se corten o se crucen corresponderán a las

siguientes subclases de engranajes Cilíndricos, Cónicos o Hiperbólicos, respectivamente.

Engranajes Cilíndricos:

- De Dientes Rectos Exteriores (Ver Figura 9.5.a)

- De Dientes Rectos Interiores (Ver Figura 9.5.b)

- De Dientes Helicoidales Exteriores (Ver Figura 9.5.c)

- De Dientes Helicoidales Interiores (Ver Figura 9.5.d)

- De Dientes Rectos con cremallera (Ver Figura 9.5.e)

Engranajes Cónicos

- De dientes Rectos (Ver Figura 9.5.f)

- De dientes Helicoidales (Ver Figura 9.5.g)

Engranajes Hiperbólicos

- Sin Fin-Corona (Ver Figura 9.5.h)

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- Hipoidales (Ver Figura 9.5.i)

- De dientes helicoidales y ejes cruzados (Ver Figura 9.5.j)

Engranajes No circulares

- Ruedas dentadas para fines específicos similares a los de las levas o los de ciertos

mecanismos (Ver Figura 9.5.k)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

(j) (k)

Figura 9.5. Ejemplos de engranajes.

En la Figura 9.6 se muestra una caja de velocidades, con aplicaciones de diversos tipos de

pares de ruedas dentadas como las expuestas en la Figura 9.5. Esta caja de velocidades,

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muestra a su vez lo económicamente funcional y atractivo de utilizar varias etapas diferentes

para incrementar la velocidad, en vez de utilizar un solo par de engranajes para cumplir el

mismo cometido. Las características más fáciles de ver son:

a) Aspecto compacto y sólido del cuerpo: dado que los ejes son más bien cortos y

simplemente apoyados y los engranajes se ubican muy cercanos a los cojinetes para

evitar deflexiones excesivas.

b) Robusteza en aumento desde la entrada de par motor a la salida del par motor

Figura 9.6. Ejemplos de aplicaciones de engranajes: caja de Velocidades: Reductora.

Con el objeto de mostrar las características operativas más importantes de los engranajes,

desde los principios de funcionamiento hasta consideraciones de seguridad y control se

emplearán preferentemente configuraciones de engranajes de dientes rectas por poseer mayor

simplicidad constructiva. El conocimiento de este tipo de engranaje es fundamental para

comprender el funcionamiento de los pares de engranajes con mayor complejidad geométrica,

lo cual incluye a los engranajes cilíndricos de dientes helicoidales, que son más preferidos que

los de dientes rectos por ser operativamente más efectivos, compactos y permiten mayores

velocidades. Aun así, los lineamientos generales del funcionamiento de los engranajes de

rientes rectos son plenamente útiles en diferentes escalas de potencia y tamaño, como lo

atestiguan los dos ejemplos de la Figura 9.7. En la Figura 9.7.a se puede observar un

dispositivo micromecánico donde la rueda dentada genera los movimientos para los

actuadores longitudinales. En la Figura 9.7.b se muestra una aplicación de engranajes

planetarios para la transmisión de grandes potencias en un puente rotativo. En definitiva, sea

en escala micro o macro, la mecánica de los engranajes se rige por las mismas expresiones

analíticas.

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(a) (b)

Figura 9.7. Escalas de aplicación de engranajes. (a) micromecánica (b) macromecánica (Referencia [7])

La Ley de Engrane, acción conjugada y obtención de perfiles conjugados Los dientes de los engranajes para transmitir el movimiento de rotación, actúan conectados de

modo semejante a las levas, siguiendo un patrón o pista de rodadura definido. Cuando los

perfiles de los dientes (o levas) se diseñan para mantener una relación de velocidades

angulares constante, se dice que poseen "Acción Conjugada". En consecuencia los perfiles

de dientes de engranajes que ostenten acción conjugada, se denominarán “perfiles

conjugados”.

En términos generales, cuando una superficie hipotética empuja a otra (Figura 9.8), el punto

de contacto "c" es aquél donde las superficies son tangentes entre sí. En estas circunstancias

las fuerzas de acción-reacción están dirigidas en todo momento a lo largo de la normal común

"ab" a ambas superficies. Tal recta se denomina "Línea de Acción" y cortará a la línea de

centros "O1O2" en un punto P llamado "Punto Primitivo". En los mecanismos de contacto

directo, en los cuales se produce contacto entre superficies que deslizan y/o ruedan, la

relación de velocidades angulares es inversamente proporcional a la relación de segmentos

que determina el "punto primitivo" sobre la línea de centros (la demostración se apoya en el

teorema de Aronhold-Kennedy), o sea:

PO

PO

r

ri

2

1

2

1

1

2

(9.1)

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O1P y O2P se denominan "Radios Primitivos" y a las circunferencias trazadas desde O1 y O2

con esos radios "Circunferencias Primitivas". En consecuencia, para que la relación de

transmisión se mantenga constante, el punto P deberá permanecer fijo: la línea de acción, para

cada punto de contacto, deberá pasar siempre por P.

Figura 9.8. Esquema para la ley de engrane

La ley de engrane basada en el análisis de la expresión (9.1) se puede enunciar como sigue:

"La relación de transmisión entre dos perfiles se mantendrá constante, siempre y cuando la

normal a los perfiles en el punto de contacto pase en todo instante por un punto fijo de la

línea de centros."

Como se ha mencionado anteriormente los perfiles que verifican la ley de engrane constante,

son denominados perfiles conjugados. Si se tiene un perfil cualquiera 1 que gira alrededor de

O1, siempre se puede calcular un perfil 2 que girando alrededor de O2 y en contacto con 1

dé lugar a una relación de transmisión constante i = cte. es decir, tal que 2 sea el perfil

conjugado de 1 según se puede apreciar en la Figura 9.9.

Si se conocen los puntos O1 y O2 junto con la relación de transmisión i, se puede hallar el

punto primitivo P, el cual se ubica sobre la línea de centros (y por tanto tangente a las

circunferencias primitivas de radios r1 y r2). Resolviendo el siguiente sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas:

PO

PO

r

ri

DPOPOrr

2

1

2

1

1

2

2121

(9.2)

El lugar geométrico de los puntos que coinciden en cada instante con el punto de contacto

entre ambos perfiles o superficies se le denomina "Línea de Engrane". El ángulo α que

forma la normal a los perfiles en el punto de contacto con la perpendicular a la línea de

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centros se denomina "Ángulo de Presión". El ángulo α determina, por tanto, la dirección en

la que tiene lugar la transmisión de potencia entre ambos perfiles. Si este ángulo varía, la

dirección de transmisión de potencia varía y esto es algo que, desde el punto de vista

dinámico, puede resultar muy perjudicial. Lo ideal sería poder obtener una "línea de engrane"

que fuese una línea recta (con lo que el ángulo de presión se mantendría constante).

Figura 9.9. Cinemática de los perfiles conjugados

Las superficies o perfiles conjugados gozan de las siguientes propiedades

a) Si 2 es el perfil conjugado de 1, se verifica la inversa, es decir que 1 es el perfil

conjugado de 2.

b) Si 2 es el perfil conjugado de 1 y 3 es el perfil conjugado de 2, entonces 3 y 1

son el mismo perfil.

c) Si se fija un perfil conjugado 1 a una circunferencia ruleta de radio r1 y se hace rodar

sobre una circunferencia base de radio r2 se obtendrá una serie de posiciones sucesivas

del perfil 1 según se aprecia en la Figura 9.10, de manera que la curva evolvente del

perfil 1 en todas esas posiciones dará el perfil conjugado.

d) La recta normal a dos perfiles conjugados pasa siempre por el punto primitivo P.

r1

r2

1

2

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Figura 9.10. Evolvente de un perfil conjugado.

La esencia en la mecánica y cinemática de los perfiles conjugados, no es estrictamente

privativa de los perfiles de dientes de engranajes, dado que aquella se presenta en muchas

otras aplicaciones no necesariamente emparentadas con los engranajes. Entre otras

aplicaciones importantes de las superficies conjugadas se encuentran, los impulsores de

bombas de lóbulo (ver Figura 9.11.a), o la bomba de espiral (ver Figura 9.11.b).

(a) (b)

Figura 9.11. Otras superficies conjugadas. (a) bomba de lóbulos (b) Bomba de espiral

El perfil de evolvente

Una de las cosas que interesa en los engranajes es encontrar perfiles conjugados que, por una

parte, satisfagan la ley general de engrane y, por otra, sean fáciles de construir. Un perfil que

cumple estas condiciones es el de evolvente tal como se muestra en la Figura 9.12. Este tipo

de perfil es el que se emplea en la mayor parte de los engranes.

El perfil de evolvente o una curva de evolvente se puede definir de la siguiente manera.

- La Evolvente es una curva tal que el lugar geométrico de los centros de curvatura

de todos sus puntos forma una circunferencia.

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(a) (b)

Figura 9.12. (a) Perfil de evolvente (b) Generación para un diente de engranaje

La obtención del perfil evolvente sigue un patrón bastante claro si se observa la Figura 9.12.b.

Así pues la curva de evolvente se obtiene a partir del punto A0, desarrollando sobre las

tangentes sucesivas A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, etc., las longitudes de arco de A1A0, A2A0, A3A0,

A4A0, etc. con lo cual se obtienen los segmentos A1C1, A2C2, A3C3, A4C4, etc. uniendo los

puetos Ci se obtiene la curva evolvente deseada.

Entre las propiedades de los perfiles de evolvente se pueden destacar:

- La línea de engrane es una recta: Llamábamos línea de engrane al lugar geométrico

de los puntos de contacto entre perfiles conjugados. En el caso de los perfiles de

evolvente la línea de engrane es AB: la tangente común a las circunferencias base de

ambos perfiles (según se muestra en la Figura 9.13). La normal a los perfiles de

evolvente, que coincide con la línea de engrane, da la dirección de transmisión de los

esfuerzos El ángulo α que forma la línea de engrane con la horizontal, se denomina

ángulo de presión. El ángulo de presión en este caso es constante, lo que resulta

beneficioso desde el punto de vista dinámico.

- Las superficies pueden engranar en cualquier distancia entre centros: Así pues, si

se modifica la distancia entre centros, los perfiles siguen engranando, aunque con

distinto ángulo de presión α' y distintos radios primitivos (r1i y r2i). Esto se debe a que

la relación de velocidades depende sólo de los radios de la circunferencia base (ρ1 y

ρ2), y no de la distancia entre centros. Conclusión que puede deducirse de forma

directa observando la Figura 9.13. Esto se puede ver analíticamente como:

ctei

r

r

r

r

PO

PO

CosrCosPOBOCosPOBO

CosrCosPOAOCosPOAO

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

222222

111111

(9.3)

- Los perfiles de evolvente son fáciles de generar: Recurriendo a la fórmula de Euler-

Savary se puede comprobar que todos los perfiles de evolvente son conjugados entre

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sí, porque todos son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil con un

perfil solidario que es una línea recta. Este plano se apoya, a su vez, sobre una base

que no es otra que la circunferencia primitiva del engranaje. De esta forma, si se hace

evolucionar un plano móvil, en el que se encuentra una curva Cm de centro de

curvatura Om. Su conjugada en el plano fijo es Cf, de centro de curvatura Of. El punto

de contacto entre ambas es A. Esta construcción se puede apreciar en al Figura 9.13.b.

Por otro lado, conociendo las curvas base y ruleta del movimiento relativo entre

ambos planos, se puede plantear la ecuación de Euler-Savary de la siguiente manera:

cte2

SenPO

1

PO

1cteSen

OmP

1

OfP

1

21

(9.4)

En consecuencia se puede escribir

PO

1

PO

1Sen

OmP

1

OfP

1

21

(9.5)

(a) (b)

Figura 9.13. (a) Propiedad de separación de los perfiles conjugados. (b) Generación de evolvente

Ahora bien, la construcción genérica de la Figura 9.13.b con la expresión (9.5) se pueden

disponer en el caso de la evolvente. Así pues, según la Figura 9.14, la normal por el punto P

al perfil recto siempre es tangente a la circunferencia base. Luego, la evolvente de las distintas

posiciones del perfil de la recta da el perfil de evolvente. Para comprobarlo basta con

demostrar que el punto C de la Figura 9.14 es el centro de curvatura del perfil y que se

encuentra sobre una circunferencia de radio ρ. Así, teniendo en cuenta (9.5) se puede escribir:

R

11

R

1Sen

OmP

1

OfP

1

, pero Om luego SenROfP (9.6)

Esto significa que el punto Of de la Figura 9.13.b, está siempre sobre una circunferencia de

centro O y radio = R. Sen[].

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Figura 9.14. Generación del perfil de evolvente y su relación con las circunferencias base y primitiva.

En términos generales cuando se debe decidir por seleccionar el tipo de perfil del diente, se

puede hacer arbitrariamente. En tal caso, el perfil del diente de la otra rueda se calculará

mediante el método general de determinación del perfil conjugado de uno dado. Las ventajas

asociadas al perfil de evolvente que acaban de verse dan lugar a que éste sea el perfil

mayormente extendido; no obstante, pueden encontrarse también otros tipos de perfiles,

aunque en menor medida y en la mayor parte de los casos orientados a aplicaciones

específicas.

- Engranajes Cicloidales: La cabeza del diente está trazada por una epicicloide y el pie

por una hipocicloide. Tuvieron una gran difusión hace aproximadamente un siglo, en

virtud de la facilidad para reproducirlos por fundición. No obstante, en la actualidad

sólo se emplean en raras ocasiones para mecanismos especiales. En estos engranajes el

perfil convexo contacta con el cóncavo. Lo cual hace que la presión específica en este

tipo de contacto sea menor que cuando están en contacto dos perfiles convexos. Sin

embargo, esto mismo los hace ser muy sensibles a las variaciones en la distancia entre

ejes, requiriendo de una gran precisión. Al mismo tiempo, la velocidad de

deslizamiento que tiene lugar entre dos dientes de este tipo es constante en cada una de

las zonas del diente; y en ambos casos es significativamente menor que en el caso de

los engranajes de evolvente. Esto da lugar a un menor nivel de desgaste del diente. Ver

las Figuras 9.15 para entender el concepto de epicicloide e hipocicloide, mientras que

en la Figura 9.16 se puede ver su ensamble. Una limitación significativa delos perfiles

cicloidales reside en que la línea de engrane no resulta ser una línea recta, luego el

ángulo de presión varía y en consecuencia varían tanto las magnitudes de las fuerzas

de reacción en los cojinetes como las orientaciones de estas reacciones, lo que

conduce al aflojamiento de los cojinetes.

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- Perfiles para engranajes de relojes: Utilizado en mecanismos de relojería y en

ciertos aparatos. Son similares a los perfiles cicloidales, pero en ellos la cabeza del

diente es una circunferencia y no una epicicloide, mientras que el pie tiene una

configuración rectilínea. Sufren poco desgaste y, sobre todo, tienen un funcionamiento

muy suave.

(a) (b)

Figura 9.15. (a) Epicicloide. (b) Hipocicloide

Figura 9.16. Combinación de perfiles cicloidales.

2. Engranajes cilíndricos de dientes rectos

Los engranajes cilíndricos de dientes rectos tienen su antecedente en las denominadas ruedas

de fricción (Ver Figura 9.17) para poder transmitir movimiento entre dos ejes paralelos.

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Figura 9.17. Ruedas de Fricción y su relación con los engranajes.

Estas ruedas de fricción aun cuando permitan transmitir cierto par torsor o torque, no siempre

es constante debido al deslizamiento que se genera. Aprovechando las características de los

perfiles conjugados se puede hacer lo mismo dando lugar a los engranajes.

Nomenclatura

En la Figura 9.18 se muestra el desarrollo de una parte de la corona de un engranaje cilíndrico

de dientes rectos. En la misma se pueden apreciar las entidades geométricas más importantes

que definen a los engranajes. En cuanto sigue, los subíndices 1 y 2 indican los respectivos

engranajes

Figura 9.18. Características de los engranajes.

- Circunferencia Primitiva (R): Llamada también circunferencia de paso y

corresponde a la homónima circunferencia de contacto de las ruedas de fricción.

- Circunferencia Exterior (Re): Es denominada también circunferencia de addendum

o circunferencia de cabeza.

- Circunferencia inferior (Ri): Es denominada también circunferencia de raíz o de pie

o de deddendum.

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- Ancho de cara: Es la longitud del diente medida axialmente. También se la denomina

ancho de faja.

- Addendum (a): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio de cabeza.

RRa e (9.7)

- Deddendum (l): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio inferior.

iRRl (9.8)

- Paso Circular (p): es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes

consecutivos, medidos sobre la circunferencia primitiva o de paso

Z

R2pc

(9.9)

- Paso angular (pa): es el ángulo entre dos puntos homólogos de dos dientes

consecutivos.

Z

2pa

(9.10)

- Ancho de espacio (h): es el espacio entre dos dientes consecutivos, medido en la

circunferencia de paso.

eph (9.11)

- Juego (j): es la diferencia entre el huelgo de un diente y el espesor del engranaje junto

con aquel.

21 ehj (9.12)

- Holgura (c): es la diferencia entre el deddendum de un diente y el addendum del que

engrana con aquel.

12 alc (9.13)

- Altura de diente (hT): es la distancia radial entre las circunferencias exterior e

inferior.

lahT (9.14)

- Espesor de diente (e): es el espesor medido sobre la circunferencia de paso.

- Número de dientes (Z): es la cantidad de dientes que tiene el engranaje

- Módulo (m): es el cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y el número de

dientes.

Z

R2m (9.15)

- Paso diametral (pd): es el cociente entre el número de dientes al diámetro primitivo

del engranaje

m

1

pp

c

d

(9.16)

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El valor numérico de módulo determina el tamaño del diente, ya que el paso es el mismo sin

importar si los dientes se colocan en una rueda pequeña o en una rueda grande. Nótese que a

mayor "m", mayor será el diente y a mayor pd menor tamaño de diente. Por otro lado, y con

respecto a otro tipo de pasos (pc, pa) el módulo tiene la ventaja de no depender del número π.

En la Figura 9.19 se puede ver una galga de identificación de pasos diametrales normalizados.

Figura 9.19. Galga de pasos diametrales.

En general, para que dos ruedas dentadas con perfil de evolvente sean intercambiables entre

sí, se deben cumplir las siguientes condiciones.

- Tener el mismo módulo (o mismo paso circular o diametral según (9.16)).

- Igual ángulo de presión de generación.

- Presentar addendum y dedendum normalizados.

- Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia

primitiva.

Existen diferentes criterios y formas de normalización de los perfiles de dientes, según las

normas técnicas de cada país:

- DIN de Alemania

- AFNOR de Francia

- UNE de España

- AGMA de Estados Unidos de Norteamérica

Sin embargo la más conocida y empleada es la última. En la Tabla 9.1 se muestran algunos

casos estándar para cuatro clases de dientes.

CLASE pd [pul-1

]

Grueso ½, 1, 2, 4, 6, 8, 10

Semi Grueso 12, 14, 16, 18

Fino 20, 24, 32, 48, 64, 72, 80, 96, 120, 128

Extrafino 150, 180, 200

Tabla 9.1. Paso diametral estándar (AGMA) para cuatro clases de dientes

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Distancia central entre engranajes

Observando la Figura 9.17 y teniendo en cuenta las definiciones (9.7) a (9.16) se puede

obtener la siguiente expresión de la distancia entre ejes:

21

d

21

c

21d ZZp2

1ZZ

2

pRRc

. (9.17)

Es claro que conocidos los radios de las circunferencias primitivas de los engranajes, se puede

obtener fácilmente la distancia central.

Construcción de engranajes rectos

Los procedimientos más comunes para el tallado de ruedas dentadas se dividen en dos

grandes grupos:

- Procedimientos de reproducción.

- Procedimientos de generación o rodadura.

Procedimientos de Reproducción

En los procedimientos de mecanizado o tallado de ruedas dentadas por reproducción, el borde

cortante de la herramienta es una copia exacta de la rueda a tallar o de cierta parte de ella (por

ejemplo, del hueco entre dientes contiguos). Estos métodos exigen de un número elevado de

herramientas, ya que incluso para fabricar ruedas dentadas con el mismo módulo es necesario

contar con una herramienta para cada número de dientes puesto que el hueco interdental varía.

Se pueden distinguir los siguientes procedimientos:

- Fundición: Se puede considerar como herramienta el molde que se llena con el

material colado. Este molde es una copia exacta de la futura rueda, si no se considera

el sobreespesor que va asociado a la fundición.

- Procesos de metalurgia de polvos o pulvimetalurgia.

- Estampado: La matriz que sirve como herramienta cortante tiene la forma de la futura

rueda. Es un procedimiento empleado generalmente con ruedas delgadas.

- Por corte con herramientas: La herramienta tiene la forma exacta del hueco

interdental. Cabe distinguir dos procedimientos según la máquina herramienta

utilizada

o Cepillado: La herramienta en la sección perpendicular a la dirección de su

movimiento tiene perfiles cortantes que se corresponden perfectamente con el

contorno del hueco interdental del engranaje a tallar.

o Fresado: se utiliza una herramienta denominada fresa estandarizada o “fresa de

módulo" cuyos dientes tienen perfiles idénticos a la forma del hueco

interdental que se pretende. Al final de cada operación de fresado la fresa

vuelve a su posición inicial y la pieza bruta gira un ángulo igual a 1/Z de vuelta

para poder fresar el siguiente hueco. Ver Figura 9.20

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Figura 9.20. Características del fresado.

Procedimientos de Generación

Entre los procedimientos de generación de ruedas dentadas se pueden hallar:

- Generación por cremallera: para esto se aprovecha una propiedad del perfil de

evolvente, según la cual todos los perfiles de evolvente son conjugados a una ruleta

constituida por un plano móvil, que apoya sobre una base que es la circunferencia

primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una línea recta. Así se pueden

generar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la línea primitiva de

ésta ruede sobre la circunferencia primitiva del engranaje. La cremallera consiste en

varios planos rectos unidos rígidamente, de modo que pueden generarse

simultáneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, la

cremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano

del dibujo de la Figura 9.21. Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se

gira la pieza que se está tallando un ángulo determinado y se repite el proceso.

Figura 9.21. Generación por cremallera.

- Generación por mortajadora: es un procedimiento análogo al de la cremallera, pero la

mortajadora además del giro comunica un movimiento complementario de vaivén

axial. Después de cada operación de corte la rueda-herramienta y la pieza bruta giran

unos ángulos que mantienen la misma relación que las velocidades angulares. Ver

Figura 9.22.

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Figura 9.22. Generación por mortajadora.

Razón de contacto

Para garantizar un funcionamiento continuo y suave, cuando un par de dientes termina de

hacer contacto, debe haber un par sucesivo de dientes que entren en contacto inmediatamente

o que ya estén en contacto. Un objetivo en el diseño de ruedas dentadas es tener la mayor

superposición como sea posible. En la Figura 9.23 se muestran los elementos necesarios para

poder definir la relación de contacto, la cual es una medida de la superposición que se puede

obtener en un dentado determinado. La razón de contacto es un cociente entre la longitud de

la línea de acción al paso de la circunferencia de base.

Figura 9.23. Elementos geométricos para definir la razón de contacto.

Para un par de dientes, el contacto arranca en el punto “a” y concluye en el punto “b” (ver

Figura 9.23). Con rp y rg se identifican los radios los engranajes que intervienen. Con se

identifica el ángulo de presión. Observando la Figura 9.23 se puede llegar a obtener la

siguiente relación entre longitudes:

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22222

22222

**

**

cacbbpbabpop

cbacbgabbgog

LLrLrr

LLrLrr

(9.18)

pero teniendo en cuenta que

p

ca

g

cb

r

L

r

LSen

**

(9.19)

se pueden despejar de (9.18) Lac y Lcb de forma que la longitud de la línea de acción Lab viene

dada por:

SencrrrrL d

2

bg

2

og

2

bp

2

opab (9.20)

Luego la razón de contacto viene dado por la siguiente expresión:

c

d2

bg

2

og

2

bp

2

op

cc

ab

rp

Tancrrrr

Cosp

1

Cosp

LC

(9.21)

Por observaciones experimentales, las normas AGMA sugieren el diseño de engranajes que

tengan como mínimo una relación de contacto Cr = 1.2. Una razón de contacto entre 1 y 2

significa que en algún momento se encuentran dos pares de dientes en contacto. Mientras que

relaciones de contacto mayores que 2 o que 3 implica que habrá en algún momento tres o

cuatro pares de dientes en contacto simultáneo. La razón de contacto ofrece una idea del

número de dientes que engranan en cada instante y nunca podrá ser menor que uno. Por

ejemplo, una relación de contacto de 1.6 sugiere que el 60% del tiempo hay dos pares de

dientes en contacto simultáneamente, mientras que el 40% restante sólo hay uno.

Asociado a la razón de contacto, se halla el concepto de ángulo de conducción o ángulo de

contacto, el cual es el ángulo descripto desde el punto de primer contacto entre un par de

dientes hasta que los dientes pierden el contacto.

Interferencia

Se llama interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugadas, y a la

interferencia de la propia materia. Pueden distinguirse dos tipos:

- Interferencia de Tallado o Penetración.

- Interferencia de Funcionamiento.

La “Interferencia de tallado o penetración” tiene lugar cuando la cremallera de generación

corta material en puntos situados en el interior de la circunferencia base, es decir, más allá de

donde termina el perfil de evolvente. Ello destruye parcialmente el perfil de evolvente y

provoca un debilitamiento en la base del diente que afecta negativamente la resistencia del

mismo, como se puede ver en la Figura 9.24.a. El tallado de un engranaje con cremallera se

realiza haciendo rodar la "línea primitiva de la cremallera" (que tiene circunferencia primitiva

de R = ∞) sobre la circunferencia primitiva de la rueda. Así los dientes de la rueda se tallan

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como perfiles conjugados de los dientes de la cremallera (evolventes de sus sucesivas

posiciones). Sin embargo hay que tener en presente que el perfil de evolvente termina en el

punto C de la Figura 9.24.b (punto de la circunferencia base), y si la línea exterior de la

cremallera pasa por debajo de C se produce interferencia de tallado. Para que no se produzca

interferencia, el addendum debe cumplir con la siguiente expresión:

2

c SenRSenPCPMa (9.22)

pero teniendo presente que

Z

R2m 2

c Sen2

mZa (9.23)

y si los dientes son normalizados según AGMA, donde se cumple que ac=m, entonces

2Sen

2Z (9.24)

La expresión (9.24) pone ciertos límites al tallado de engranajes con el método de cremallera,

ya que favorece la interferencia en ruedas con menos de 17 dientes (con el ángulo de presión

normalizado =20°).

(a) (b)

Figura 9.24. (a) efecto de la interferencia de penetración. (b) Simulación de la interferencia

Existen sin embargo, algunas técnicas para salvar este inconveniente, entre las que están

- Incrementar el ángulo de presión a 25°

- Disminuir el tamaño del addendum del diente

- Tallar engranajes corregidos desplazando la cremallera

Estas tres alternativas exceden el alcance de estas notas y por ello se sugiere recurrir a la

literatura especializada (referencia [8]).

La “Interferencia por Funcionamiento” tiene lugar cuando un diente de una de las ruedas

entra en contacto con el de la otra en un punto que "no está tallado" como función evolvente,

tanto en el caso de que se pretenda engranar fuera de "segmento de engrane", como en el que

se pretenda engranar en un punto de este segmento que no esté tallado como perfil de

evolvente.

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En la Figura 9.25 se puede apreciar el potencial efecto de la interferencia de funcionamiento,

para lo cual se prevé una holgura circunferencial determinada, llamada también juego o

“backlash”. En la Tabla 9.2 se suministran algunos valores indicativos de juegos mínimos

recomendados para el buen funcionamiento de engranajes de paso basto. Un efecto

contraproducente que puede traer el “backlash” o golpeteo, es que puede no transferir toda la

carga de manera uniforme y genera condiciones de potencial rotura por fatiga.

Figura 9.25. Interferencia de funcionamiento y juego.

Paso diametral pd [pul-1

] distancia central cd [pul]

2 4 8 16

18 0.005 0.006 - -

12 0.006 0.007 0.009 -

8 0.007 0.008 0.010 0.014

5 - 0.010 0.012 0.016

3 - 0.014 0.016 0.020

Tabla 9.2. Juego recomendado (medido en [pul]) por AGMA 1012-F90.

Formas analíticas de los perfiles de evolvente: Aplicaciones Se puede obtener una forma analítica para hallar el perfil de evolvente, con el cual luego se

puede tiene una forma para medir el espesor del diente para diferentes radios, conociendo el

espesor del diente en la circunferencia de paso.

Así pues, en la Figura 9.26.a se puede observar la generación de un perfil de evolvente. De

acuerdo a lo expuesto en los apartados anteriores, queda claro que la longitud del arco AB es

igual a la longitud del segmento BC. En consecuencia se puede escribir:

TanRBC

RAB Tan (9.25)

La expresión recuadrada es denominada función evolvente. Se puede calcular el ángulo de

generación en función de y, lo cual es muy fácil de obtener. Pero para construir la curva es

necesario emplear la inversa de (9.25) cuya solución se halla con métodos aproximados, luego

(9.26)

Las funciones y son funciones inversas. Luego el radio r, medido desde O, se obtiene de

la siguiente manera:

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Cos

R

Cos

Rr (9.27)

(a) (b)

Figura 9.26. Función de envolvente y la ponderación de espesor.

Ahora bien, Para hallar el espesor del diente en un punto T, conocido dicho espesor en otro

punto A, del análisis de la Figura 9.26 se pueden establecer las siguientes relaciones:

TTAA

AAA

TTT

R2e

R2e

(9.28)

Luego, teniendo en cuenta (9.25) y (9.28) se puede despejar eT como:

TA

A

ATT 2

R

eRe (9.29)

Normalmente, el espesor del diente conocido es el situado sobre la circunferencia primitiva

(A está sobre la circunferencia primitiva). Para engranes tallados a cero (sin corrección) se

verifica que eA = pc/2 = m π/2. La expresión (9.29) puede emplearse para evaluar

analíticamente la corrección de dentado.

Los dientes de engranajes vistos en los apartados anteriores corresponden a engranajes

normales o tallados a cero, es decir, tallados de forma que la circunferencia primitiva de

tallado (la que rueda sobre la línea primitiva del piñón o de la cremallera) tiene igual espesor

de diente que de hueco. Además del interés que se puede tener en obtener una relación de

contacto razonable y en mejorar la resistencia mecánica de los dientes de las ruedas, estos

engranajes tienen dos importantes limitaciones:

- Un Número de dientes mínimo, por debajo del cual se produce interferencia de tallado,

según la (9.24)

- La distancia entre centros viene impuesta por la normalización de los módulos y los

números de dientes, pues:

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2121c ZZ2

mRRd (9.30)

La solución a estos problemas se obtiene con los engranajes corregidos. La idea consiste en

tomar como línea primitiva de la cremallera de tallado -en el caso de generación por

cremallera- una línea en la que la anchura del diente sea distinta de la anchura del hueco,

según se puede apreciar en la Figura 9.27. Donde es el ángulo de presión. De esta manera la

cremallera es desplazada una cantidad “m·x”, donde “x” es denominado factor de corrección

y “m” el módulo del engranaje. Así una corrección positiva, evitará la interferencia de tallado,

nótese por otro lado la Figura 9.28 con las diferentes situaciones de interferencia.

Figura 9.27. Tallado para un engranaje corregido.

Figura 9.28. Interferencias y tallado.

En la Figura 9.28, se muestra un engranaje de Z = 12, ángulo de presión 20°, módulo 2. La

parte superior tiene una interferencia de x = 0.1, mientras que la parte inferior tiene una

interferencia de x = 0.5. Obsérvese, por otro lado, las diferencias en el espesor en la cabeza

del diente, para un caso y otro, siendo ambos maquinados con la misma herramienta.

En determinadas circunstancias es necesario plantear el problema de interferencia de tallado

de modo inverso, es decir conocido el número de dientes a tallar, calcular cuál será el factor

de corrección mínimo (x) para que no exista interferencia de tallado. En virtud de lo visto en

los apartados anteriores, tal solución es viable desde un punto de vista analítico, el cual

redunda en importantes conclusiones de índole más práctica en el tallado de engranajes por

cremallera.

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Figura 9.29. Esquema de corrección de dentado por cremallera.

Si se observa la Figura 9.29 se desprende que para que no exista interferencia por tallado, se

debe cumplir la siguiente relación:

SenCPx1m (9.31)

de la cual teniendo en cuenta la expresión (9.24) y que:

22 Sen2

mZSenRSenCP (9.32)

se tiene finalmente el factor de corrección mínimo como:

límite

2

Z

Z1

2

SenZ1x

(9.33)

Ahora bien, en cuanto a la distancia entre centros, considérense dos ruedas de radios

primitivos R1 y R2 maquinadas con la misma cremallera pero con desplazamientos distintos x1

y x2, respectivamente. Si x1 y x2 son positivos, las ruedas no engranarán a la distancia entre

centros igual a la suma (R1 + R2), porque ha aumentado el espesor de los dientes en las

circunferencias primitivas, y cada diente no cabe en el hueco de la otra rueda. Análogamente,

si ambas son negativas, existirá gran holgura entre el espesor del diente y el hueco sobre la

circunferencia primitiva. En cualquier caso, las ruedas engranarán a otra distancia entre ejes y

los radios de las circunferencias primitivas de tallado no coincidirán con los de las

circunferencias primitivas de funcionamiento. Estos tendrán los siguientes valores R1v y R2v,

formando en consecuencia un nuevo ángulo de presión efectivo a v. Esto puede verse en la

Figura 9.30. Los radios de base se mantienen iguales, es decir se cumple que

vv222b

vv111b

CosRCosRR

CosRCosRR

(9.34)

Ahora bien observando la Figura 9.31, se pueden deducir los espesores de diente sin

modificación (e) y modificado (e’), los cuales vienen dados por las siguientes expresiones:

2

m

2

pc .e , Tanmx2 .ee' (9.35)

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Figura 9.30. Esquema de funcionamiento.

Figura 9.31. Esquema de modificación en el tallado.

Luego los espesores en las circunferencias primitivas de los engranajes 1 y 2 vienen dados

por:

Tanmx22

m

Tanmx22

m

2

1

..

.

2

1

e'

e'

(9.36)

Ahora bien teniendo en cuenta la expresión (9.29), los espesores

v

2

v2

v

1

v1

2R

R

2R

R

2

2v

1

1v

e'e'

e'e'

(9.37)

E igualando la suma de los espesores de los dientes de ambas ruedas al paso medido sobre las

circunferencias primitivas de funcionamiento se tiene:

1

v1

1

v1

1

v1

vR

Rm

mR2

R2

Z

R2p

/2v1v e'e' (9.38)

Sustituyendo (9.36) y (9.37) en (9.38) y teniendo en cuenta que

2b

1b

v2

v1

2

1

R

R

R

R

R

R (9.39)

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Luego de algunas manipulaciones algebraicas se obtiene finalmente:

Tan

ZZ

xx2

21

21v

(9.40)

La cual es la condición geométrica para que un engranaje engrane con otro sin juego y

garantice las condiciones de funcionamiento.

3. Engranajes cilíndricos de dientes helicoidales

Nociones Básicas

Los engranajes rectos tienen la característica de que cada diente empieza a engranar

bruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los

pequeños errores geométricos inevitables en la fabricación de los dientes se traducen en

pequeños choques al empezar el engrane, acompañados del correspondiente ruido. Además, al

ser variable con el tiempo el número de dientes en contacto (por ejemplo, para una relación de

contacto del 1,7), ello se traduce en variaciones de carga súbitas sobre los dientes (no es lo

mismo que un diente soporte toda la carga que ésta sea repartida entre dos); es decir,

variaciones bruscas de la fuerza transmitida a cada diente. Debido a esto, los engranajes

cilíndricos rectos no resultan adecuados para transmitir potencias importantes (producen

vibraciones, ruidos, etc).

Una primera aproximación para solucionar este problema podría consistir en tallar engranajes

rectos desplazados, de modo que los saltos súbitos se suavicen. Es lo que se conoce como

engranajes cilíndricos escalonados y su funcionamiento es tanto más suave cuanto mayor es el

número de escalones en los que es tallado el engranaje. La idea de los engranajes helicoidales

surge así como el paso al límite de los engranajes escalonados, en donde los saltos son tan

pequeños (infinitesimales) que hay continuidad. En ellos, el engrane de dos dientes empieza y

termina de forma gradual, lo que se traduce en una marcha más “suave” (menos ruido y

vibraciones). Al mismo tiempo, los dientes helicoidales permiten obtener, con cualquier

número de dientes, una relación de contacto tan grande como se quiera.

Figura 9.32. Esquema de engranaje helicoidal como límite de sucesión de engranajes rectos infinitesimales.

En un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales (véase la Figura 9.33), una sección formada

por un plano normal al eje de giro presenta un perfil análogo al de un engranaje de dientes

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rectos (perfil de evolvente, ángulo de presión, línea de engrane, etc). Este es el denominado

perfil frontal de la rueda, situado sobre el plano frontal o aparente.

Figura 9.33. Plano de corte frontal de un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales.

Los engranajes helicoidales tienen dos pasos relacionados, uno en el plano de rotación y otro

en el plano normal al diente. En los engranajes de dientes rectos, los pasos se miden solo en el

plano de rotación. En los engranajes de dientes helicoidales existe además un paso axial. En la

Figura 9.34 se muestran estos pasos.

Figura 9.34. Pasos de los engranajes helicoidales.

- pc es el paso circunferencial

- pcn es el paso normal

- pa es el paso axial

- es el ángulo de hélice

Cospp ccn , Cos

pp d

dn , Sen

p

Tan

pp cnc

a (9.41)

En los engranajes helicoidales se pueden caracterizar tres ángulos diferentes, que influyen en

la definición geométrica y distribución de las fuerzas. Estos ángulos son:

- El ángulo de hélice

- El ángulo de presión en la dirección normal n

- El ángulo de presión en la dirección tangencial t

Estos tres ángulos pueden ser identificados en la Figura 9.35. Se podría ver sin mayores

complicaciones que los tres ángulos están relacionados por la siguiente expresión

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t

n

Tan

TanCos

(9.42)

Ahora bien, observando la Figura 9.35, donde se presenta un cilindro cortado por un plano

oblicuo en un ángulo igual al ángulo de hélice. El plano oblicuo corta un arco que tiene radio

de curvatura R. En el caso de que = 0 (engranaje de dientes rectos), el radio de curvatura es

igual a R = D/2. Pero si se va aumentando paulatinamente el valor del ángulo , hasta llegar a

= 90°, se tendrá que el radio de curvatura es INFINITO. El radio de curvatura R del cilindro

intersectado por el plano oblicuo, es el radio de paso aparente de un diente de engranaje

helicoidal cuando se ve en la dirección de los elementos del diente. Un engranaje con el

mismo paso y con el ángulo y, tendrá un mayor número de dientes debido al radio

incrementado. Este número de dientes se denomina Número de Dientes Virtuales y se calcula

de la siguiente forma

3Cos

NN (9.43)

donde N es el número de dientes real, N’ es el número de dientes virtual.

Figura 9.35. Identificación de ángulos en un perfil helicoidal.

Al igual que los engranajes rectos, los helicoidales pueden presentar interferencia, el número

mínimo de dientes para un engranaje que opera sin riesgo de interferencia se calcula con la

siguiente expresión (ver referencia [9])

t

2

t

2P Sen311Sen6

kCos4N

con

cortosdientesPara80

completosdientesPara1k

___.

___ (9.44)

4. Engranajes cónicos

Nociones Básicas

Los engranajes cónicos se emplean para transmitir movimiento entre ejes que se intersecan.

En la Figura 9.36 se muestra un par de engranajes cónicos y se ilustra la terminología de los

mismos. Los ángulos de paso se definen por los conos de paso que se unen en el ápice. Así

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pues, si NP y NG son los números de dientes en el engranaje pequeño y grande,

respectivamente; entonces:

TanN

N

G

P , TanN

N

P

G (9.45)

Figura 9.36. Engranajes cónicos.

En la expresión (9.46) se indica una forma aproximada para calcular el número virtual de

dientes de un engranaje cónico

c

b

p

r2N

(9.46)

siendo rb el radio del cono posterior, pc es el paso circular medido en el extremo mayor de los

dientes.

5. Bibliografía

[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000

[3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1999

[4] A.H. Erdman y G.N. Sandor, “Diseño de Mecanismos” Prentice Hall 1998

[5] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000

[6] M.J.T Lewis “Gearing in the ancient world”

[7] Editorial. “Lifting Boats, measuring gears”. Gear Technology. May-June 2003, 9-11.

[8] D.P. Townsend “Dudley´s gear handbook” McGraw Hill 1992

[9] R. Lipp, “Avoiding Tooth interference in Gears”. Machine Design 54(1) 122-124 (1982)

6. Problemas propuestos

Problema 1.

La entrada y la salida de

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Problema 2.

Capítulo 9 Primera parte

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