Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales
description
Transcript of Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales
![Page 1: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/1.jpg)
Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales
Procesos estocásticasFunción de autocovarianza, autocorrelación y autocorrelación parcial.Procesos de ruido blanco y paseo aleatorioTeorema de WoldProcesos AR(p)Procesos MA(q)Procesos ARMA(p,q)Procesos ARIMA(p,d,q)
![Page 2: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/2.jpg)
Procesos estocásticos
• Definición: Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias ordenadas en el tiempo (en el caso de series temporales).
• Definición: Una serie temporal es una realización del proceso estadístico, es decir, es una observación de T variables aleatorias ordenadas en el tiempo.
![Page 3: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/3.jpg)
Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.
Restricciones de Estacionaridad• Definición: Un proceso estocástico es
estacionario en sentido estricto o fuerte cuando la distribución de probabilidad conjunta de cualquier parte de la secuencia de variables aleatorias es invariante del tiempo.
),...,,(),...,,( 11 ktttkttt xxxFxxxF
![Page 4: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/4.jpg)
Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.
• Definición: Un proceso estocástico es estacionario en sentido débil si los momentos del primero y segundo orden de la distribución (esperanzas, varianzas, covarianzas) son constantes a largo del tiempo.
• para todos los .
• para todos y .
22)(
,)(
tt
t
xE
xE
,tttt xxE
t
t
![Page 5: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/5.jpg)
Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.
• Restricciones de memoria del proceso, ergodicidad.
• La relación entre dos variables aleatorios de un proceso es más débil cuando las variables son más lejanas en el tiempo.
• Al aumentar el número de observaciones de la serie temporal aumenta el número de covarianzas, pero no el número de parámetros de estimar.
0lim
![Page 6: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/6.jpg)
Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.
• Definición: Homogenización de una serie temporal es cuando a través de una transformación el serie temporal es estacionar.
• Queremos tener una serie temporal con una media y varianza (más o menos) constante a largo del tiempo.
![Page 7: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/7.jpg)
Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.
• Transformación Box-Cox:
0ln
01)(
six
sixx
t
t
t
![Page 8: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/8.jpg)
Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.
Para conseguir una media constante a largo del tiempo se puede aplicar operadores de diferencia, . L 1 , donde L es el operador de retardo. 1 tt xLx .
.)1( 1 tttt xxxLx
Una media estacionaria se puede conseguir a través diferenciaciones sucesivas.
td
td
t xLxw )1(
![Page 9: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/9.jpg)
Las funciones de autovarianza y autocorrelación
• Funciones de autocorrelación miden la relación lineal entre variables aleatorias de procesos separadas de una cierta distancia en el tiempo.
• Estimación de estas funciones permiten determinar la forma del procesos estocástico.
![Page 10: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/10.jpg)
Las funciones de autovarianza y autocorrelación
• La función de autocovarianza
Si el proceso es estacionario, su esperanza es constante a largo del tiempo, y la función de autocovarianza no depende del momento en tiempo, sólo la distancia temporal.
,...1,0,1...,
)])([(),(,
ttttttt xxExxCov
)])([( tt xxE
![Page 11: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/11.jpg)
Las funciones de autovarianza y autocorrelación
• Para cada retardo hay un valor diferente para la función de autocovarianzas, autocovarianza de orden .
• Función de autocorrelación simple (FAS),
22
,,
)()()])([(
tttt
tttt
tt
tt
xExExxE
![Page 12: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/12.jpg)
Las funciones de autovarianza y autocorrelación
• Si el proceso es estacionario, los momentos de segunda orden no depende de .
• Una correlograma enseña la FAS en función de .
t
20 )(
)])([(
t
tt
xExxE
![Page 13: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/13.jpg)
Las funciones de autovarianza y autocorrelación
• La función de autocorrelación parcial (FAP) enseña la relación lineal cuando se ha eliminado la correlación que estas variables tienen con otras variables.
),...,|,( 11 kttkttkk xxxxCorr
![Page 14: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/14.jpg)
Las funciones de autovarianza y autocorrelación
• Se puede obtener los coeficientes de FAS a través regresiones.
• Nota: Si la esperanza de no es cero, hay que añadir una constante en cada regresión.
)ˆ()ˆ())ˆ(),ˆ((
ktkttt
ktktttkk xxVarxxVar
xxxxCov
tktkktktkt
tttt
ttt
vxxxx
vxxxvxx
...2211
222121
111
tx
![Page 15: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/15.jpg)
Las funciones de autovarianza y autocorrelación
• Se puede demostrar que los coeficientes de FAS se pueden escribir como una función de coeficientes de FAP. Esta relación se llama el sistema de ecuaciones de Yule-Walker.
![Page 16: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/19.jpg)
Estimación de los momentos muéstrales
• Para un proceso estocástico estacionario con ergodicidad, con una sola serie temporal, podemos estimar;
Media ( ) (
T
ttxTx
1
1 )
Varianza ( 0 ) Autocovarianzas ( ) Autocorrelaciones ( ) Autocorrelaciones parciales ( kk )
![Page 20: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/20.jpg)
La función de autocovarianza
• La función de autocovarianza se puede estimar a través de la función de autocovarianza muestral:
))((ˆ1
1 xxxxT t
T
tt
![Page 21: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/21.jpg)
Función de autocorrelacion simple
• Función de autocorrelacion simple muestral,
2
1
1
0 )(
))((ˆ
T
tt
t
T
tt
xx
xxxxr
![Page 22: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/22.jpg)
Función de autocorrelacion simpleSi el proceso es a) estacionario gaussiano (normal) y b) 0ˆ k para k , se puede estimar la varianza de r con esta formula,
1
1
2211)(
i
irTrV
Se puede usar la varianza para contrastar la 0:0 H . )(96.1 rstdr donde )(std es el error estándar. Rechazamos la hipótesis si r es fuera del intervalo ( )(96.1),(96.1 rstdrstd ).
![Page 23: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/23.jpg)
función de autocorrelación parcial
• Para hacer la función de autocorrelación parcial muestral se puede aplicar MCO.
tktkktktkt
tttt
ttt
vxxxcx
vxxcxvxcx
...2211
222121
111
Donde kk ,...,11 son estimaciones consistentes de la FAP. Bajo los supuestos que el proceso es gaussiano (normal) y que 0...1,1 kkkk , se puede estimar la varianza con,
TV kk
1)ˆ( de manera que si kk̂ está fuera del intervalo ( 2/12/1 96.1,96.1 TT )
rechazamos la hipótesis que 0ˆ kk .
![Page 24: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/24.jpg)
Procesos de ruido blanco
Definición:• es un proceso estocástico de ruido
blanco si;
• Es un proceso con media = 0, varianza constante, y sin autocorrelación. No se puede predecir a partir de su pasado.
Ttt 1
00)()()(0)(
22
yttodosparaEttodosparaVEttodosparaE
tt
tt
t
![Page 25: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/25.jpg)
Procesos de paseo aleatorio
Definición (18)• Un proceso estocástico sigue un paseo
aleatorio si;
• El valor en un momento es el valor del periodo anterior más un efecto aleatorio ruido blanco.
blancoruidoesdondexx
t
ttt
1
ttttt xLxxx )1(1
![Page 26: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/26.jpg)
Procesos de paseo aleatorio
![Page 27: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/27.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• Se puede generalizar el modelo e
incorporar una deriva.
ttt
tt
xxx
1
![Page 28: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/28.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• Memoria permanente; todo los efectos
aleatorios tienen un efecto permanente.
• es una pendiente de una tendencia determinista.
• está formado por la suma de todo las perturbaciones pasadas.
1
00
121 ...)(t
jjt
tttttt
tx
xxx
tx
![Page 29: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/29.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• El primero momento;
• Si el proceso no es estacionario en media.
txtxExEt
jjtt
0
1
00)(
0
![Page 30: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/30.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• La varianza;
• No es estacionario en varianza; tiene una tendencia (incrementa linealmente). Paseo aleatorio tiene una tendencia en varianza o tendencia estocástica.
t
EE
ExExE
t
jjt
t
jjjj
jtjt
t
jjt
t
jjtttt
2
1
0
21
'0',
'
1
0
2
21
0
20,
)(2
))((
t es ruido blanco, y 00)( jE jtt
![Page 31: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/31.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• Otra manera de llegar al mismo resultado;
![Page 32: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/32.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• Autocovarianza;
• La autocovarianza tampoco es constante
)(
)(
))())(((
2
1
0
21
0
1
0
,
t
EE
xExxExEt
jjt
t
jjt
t
jjt
ttttt
![Page 33: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/33.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• Conclusión: Paseo aleatorio no es
estacionar. Esto complica la inferencia. De todos modos, hay un camino definida de variación a largo del tiempo.
![Page 34: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/34.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• Si transformamos el proceso a través de una
diferencia, la transformación sería estacionaria.
ttt xw
tw es estacionario; es un ruido blanco alrededor de la media, .
![Page 35: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/35.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• Es importante detectar si un serie está generada
por un pasea aleatorio.
• 1) La función de autocorrelación simple puede dar una indicación.
• Una correlograma presentará los primeros coeficientes muy cerca de 1, y esta va decreciendo suavemente.
tttt
ttt
tt
tt
1)(
)()(
)(22
2
0,0,
,,
![Page 36: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/36.jpg)
Procesos de paseo aleatorio
• La FAP, resultaría en un primero coeficiente significativo y cerca de uno, mientras los siguientes coeficientes serán cero.
tktkktktkt
tttt
ttt
uxxxcx
uxxcxuxcx
...2211
222121
111
![Page 37: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/37.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• Normalmente un FAS que está
decreciendo muy lento con un primer FAP cerca uno y los restos cero, indica que podemos diferenciar para conseguir un serie temporal estacionario.
![Page 38: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/38.jpg)
Procesos de paseo aleatorio• Otra manera para saber si se debe diferenciar
una serie temporal son los contrastes de raíces unitarias.
• Constaste de raíces unitarias. “unit roots”. Estima la ecuación;
ttt xx 1
Y contrastar si 1:0 H
![Page 39: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/39.jpg)
Procesos lineales
• Definición: Un proceso estocástico es lineal cuando lo podemos escribir como una función de una combinación lineal (posiblemente infinita) de variables aleatorios de ruido blanco.
Ttt 1
0
2211 ...
jjtj
ttttx
![Page 40: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/40.jpg)
Procesos lineales• Hay tres tipos de procesos estocásticos lineales; • Autoregresivas (AR)• Media móvil (MA)• ARMA (la combinación de AR y MA)
qtqttptptt
qtqtttt
tptpttt
xxxqpARMA
xqMA
xxxxpAR
......);,(
...);(
...);(
1111
2211
2211
t es un término aleatorio, independiente e idénticamente distribuido (“ruido blanco”).
![Page 41: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/41.jpg)
Procesos lineales• Se puede introducir una constante para tener
procesos con una media .
• Se puede expresar los procesos con un polinomio de operadores de retardos. El operador de retardos L esta definido por;
• Este operador retarda la serie tantas periodos como el exponente indica.
0
kttk
tt
xxL
xLx
1
k
![Page 42: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/42.jpg)
Procesos lineales• Utilizando el operador de retardos y la
generalización con el constante, , podemos escribir los procesos:
• Se puede transformar procesos AR y ARMA en procesos MA.
tqtp
tqt
ttp
LxLqpARMA
LxqMA
xLpAR
)()();,(
)();(
)();(
móvilmediapolinomioLLLL
sivoautoregrespolinomioLLLLq
qp
ppp
...1)(
...1)(2
21
221
![Page 43: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/43.jpg)
Procesos linealesTeorema de Wold. Cualquier proceso
estocástico estacionario se puede representar con una suma de dos procesos.
Donde es linealmente determinista y es un proceso :
Donde es ruido blanco.
ttt udx
td tu)(MA
0
)(
jjtj
tt Lu
t
![Page 44: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/44.jpg)
Procesos lineales• El proceso se puede aproximar a través
modelos lineales, cuando el polinomio infinito se puede aproximar bien con un cociente de dos polinomios en
• Transformaciones puede hacer series estacionarios y la teorema permite crear modelos relativamente sencillas a partir de modelos lineales.
)(MA)(L
)()(
)(:LL
LLp
q
![Page 45: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/45.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• Un proceso autoregresivo se puede
escribir,
ptpttt
ttp
p
ttp
xxxx
xLLL
xL
...
)...1(
)(
2211
221
![Page 46: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/46.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• Para que un proceso AR sea estacionario el
polinomio en el operador de retardos asociados al proceso tiene que ser estable, es decir, al calcular las raíces del polinomio,
estas tienen de caer fuera del círculo unidad. Los valores de que satisfacen esto cumple .
)(Lp
0)...1()( 221 p
pp LLLL
L 1L
![Page 47: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/47.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• Si hay alguno raíz igual a 1 (raíz unitario)
el proceso AR no es estacionario, y no se pueden expresar como procesos . Si hay alguna raíz inferior a 1 el proceso será explosivo y tampoco estacionario.
)(MA
![Page 48: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/48.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• Las condiciones para estacionariedad son:
• (necesaria, pero no suficiente):
• (suficiente, pero no necesario):
11
p
jj
11
p
jj
![Page 49: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/49.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• AR(1) estacionariedad
• Condición necesaria y suficiente:
tt
ttt
xLxx
)1(11
1
![Page 50: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/50.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• Un proceso estacionario se puede
escribir como un proceso .
• Se puede llegar a la misma solución a través de substitución recursiva.
)1(AR)(MA
jtj
j
tt
t LLL
x
0
22
1
)...)(1()1(
.1 ttt xx
![Page 51: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/51.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• La solución se usa para calcular los momentos
del proceso. También se puede usar para enseñar el siguiente resultado, valido por . 0h
0...1
)( 22
1
htttthtt ExE
Dado que 0)( stE para todos st .
![Page 52: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/52.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• El momento de primer orden es;
• Con estacionariedad tenemos el mismo resultado;
11
)(0
jtj
jt ExE
))()(( 1 tt xExE
11 )1()()(
ttt xExE
![Page 53: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/53.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• La varianza del proceso es;
• También se puede llegar a este resultado a través;
2
22
0
2
2
0
20 1
)(
j
jjt
j
jt ExE
12220
210 )1()()(
ttt xVxV
![Page 54: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/54.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• La autocovarianza del proceso es,
donde; indica la desviación con respecto a la media.
tx~
01
02
12122
01111
)~)~(()~~(
)~)~(()~~(
)~)~(()~~(
ttttt
ttttt
ttttt
xxExxE
xxExxE
xxExxE
![Page 55: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/55.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• La función de autocorrelación simple es;
• y tiene un decrecimiento exponencial.
• FAP, al otro lado, sólo tiene un coeficiente diferente de cero. Se puede demostrar con las ecuaciones de Yule-Walker.
0
![Page 56: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/56.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)
![Page 57: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/57.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• AR(2):
• Al calcular las raíces del polinomio tendríamos dos
soluciones y hay los siguientes requisitos (simultáneamente) para tener un polinomio estable.
)1()(
)()1(
2212
2
221
2211
LLLdonde
xLxLL
xxx
tt
tt
tttt
0)1( 221 LL
111
2
12
12
![Page 58: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/58.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)• Los resultados para la covarianza de
AR(1) se puede generalizar.
![Page 59: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/59.jpg)
Procesos autoregresivos (AR)
![Page 60: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/60.jpg)
Procesos media móviles (MA(q))
• Un proceso media móvil de orden q;
• Estos procesos siempre son estacionarios (los momentos de primer y segundo orden son siempre finitas y constantes a largo del tiempo).
• Una condición (que hay que comprobar) para estos procesos es que son invertibles.
tq
qtqtttt
L
x
)(
...2211
![Page 61: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/61.jpg)
Procesos media móviles (MA(q))
• Esta condición implica que las raíces del polinomio están fuera del círculo de unidad. Los procesos MA no invertibles no permiten una representación autoregresiva convergente.
)(Lq
![Page 62: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/62.jpg)
Procesos media móviles (MA(1))
• MA(1):
• La condición de invertibilidad es para un proceso MA(1) es .
• Esperanza:
11 tttx
1
)()( 11 ttt ExE
![Page 63: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/63.jpg)
Procesos media móviles (MA(1))
• Varianza:
• Autocovarianza:
221
112
12
122
112
0
1
)(2)()()()(
ttttttt EEEExE
200))(())((
))(())((
3121122
212111111
tttttt
tttttt
ExxEExxE
![Page 64: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/64.jpg)
Procesos media móviles (MA(1))
• FAS es:
• La FAP presenta un decrecimiento exponencial;
• Se puede llegar a este resultado general con las ecuaciones de Yule-Walker.
20
1)1( 2
1
1
)1(21
211
1)1(
k
k
kk
![Page 65: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/65.jpg)
Procesos media móviles (MA(1))
61
41
21
31
2
21
1
3
21
1
21
31
22
212
21
32121
221
313
33
41
21
21
21
212
22
21
111
1
121
1
212212
11
1
![Page 66: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/66.jpg)
Procesos media móviles (MA(1))
![Page 67: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/67.jpg)
Procesos media móviles (MA(2))
• Calcular las raíces del polinomio.
0)1( 211 LL
![Page 68: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/68.jpg)
Procesos media móviles (MA(2))
• Para tener un modelos estable;
![Page 69: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/69.jpg)
Procesos media móviles (MA(2))
![Page 70: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/70.jpg)
Procesos media móviles (MA(2))
![Page 71: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/71.jpg)
Procesos media móviles (MA(2))
• Función de autocorrelación simple
![Page 72: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/72.jpg)
Procesos media móviles (MA(2))
![Page 73: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/73.jpg)
Procesos media móviles (MA(2))
![Page 74: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/74.jpg)
Procesos media móviles (MA(q))
• MA(q) con deriva:
• (el mismo resultado)
)()( 2211 qtqtttt ExE
2222
21
22211
20
1
)()(
q
qtqtttt ExE
![Page 75: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/75.jpg)
Procesos media móviles (MA(q))
qsiqsi
ExxE
qtqtttqtqttttt
0)(
))(())((2
11
121122111
![Page 76: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/76.jpg)
Procesos media móviles (MA(q))
![Page 77: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/77.jpg)
Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))
• Un modelo autoregresivo media móvil (ARMA(p,q)) sigue la forma;
• Es decir, tiene una parte autoregresivo y otra parte media móvil.
![Page 78: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/78.jpg)
Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))
• Debemos comprobar si la parte autoregresiva es estacionaria y la parte media móvil es invertible.
• Si la parte AR es estacionario, se puede escribir como un )(MA
![Page 79: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/79.jpg)
Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))
• Si la parte MA es invertible, se puede expresarlo como un )(AR
![Page 80: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/80.jpg)
Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))
• Los procesos ARMA tienen un FAS como la de su parte AR y una
• FAP como su parte MA. • ARMA tiene FAS y FAP que decrecen
exponencialmente en valor absoluta hacia cero.
• No se puede determinar el orden.
![Page 81: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/81.jpg)
Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))
![Page 82: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/82.jpg)
ARMA(1,1)
• FAS:
111 tttt xx
11)1(
22
1
2111
0 121
1
121
))(1(
11
2111
1111
![Page 83: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/83.jpg)
ARMA(1,1)
![Page 84: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/84.jpg)
ARMA(p,q)
• Representar con :
1)1( p
)(MA
tj
jtjt Lx )(0
0
2220 )(
jjtxE
![Page 85: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/85.jpg)
Procesos autoregresivos integrados media móvil;
ARIMA(p,d,q)• Procesos ARIMA presentan raíces
unitarias en el polinomio autoregresivo; no son estacionarios. Se puede factorizar a partir de las raíces unitarias. Podemos escribir;
• Donde no incluye raíces unitarias y es el número de raíces unitarias.
)(* Lr
)()1()(* LLL drd
r
)(* Ldr d
![Page 86: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/86.jpg)
Procesos autoregresivos integrados media móvil;
ARIMA(p,d,q)• Recuerda el operador de diferencias;
![Page 87: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/87.jpg)
ARIMA(p,d,q)• Por ejemplo, ARIMA(0,1,0) es un paseo
aleatorio.
![Page 88: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/88.jpg)
ARIMA(p,d,q)• Si una serie presenta un correlograma
como un AR(1) con ; FAS está muy cerca 1, y no caen rápidamente.
1
![Page 89: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/89.jpg)
ARIMA(p,d,q)• Si aplicamos el operador de diferencia
cuando no es necesario (sobre-diferenciar), tendremos un MA(1) que no es invertible.
• Por ejemplo: Ruido blanco;
![Page 90: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/90.jpg)
ARIMA(p,d,q)• Cuando el orden de diferencia se ha
decidido , se puede escribir un procesos ARIMA como o un .)(AR )(MA
![Page 91: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/91.jpg)
Procesos estaciónales• Si tenemos datos con información de varias ocasiones
durante un año, podemos observar estacionalidad, es decir, un comportamiento económico que depende del tiempo durante un año. (Ejemplos; temperaturas, vacaciones, movimientos turísticos). Los procesos anteriores están pensados para series con sólo una observación cada año, o series sin estacionalidad.
• El numero de estaciones durante el año llamamos s. Por ejemplo, S=12 para datos mensuales, o 4 para trimestrales. Se puede generalizar los procesos explicas arriba para captar estacionalidad.
![Page 92: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/92.jpg)
Procesos estaciónales
![Page 93: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/93.jpg)
Procesos estaciónales
![Page 94: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/94.jpg)
Procesos estaciónales
![Page 95: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/95.jpg)
Procesos estaciónales• Una serie temporal con estacionalidad puede
tener una estructura de dependencia estacional y otra parte regular (no estacional) que sigue un
• Normalmente estos partes pueden interactuar en una especificación multiplicativa. Este es un modelo
![Page 96: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/96.jpg)
Procesos estaciónales• En estos modelos hay “efectos satélites”. • Por ejemplo
• Nota el término que se nota en FAP y FAS asociados los retardos próximos a los múltiples de S, pero esto no significa que tengamos procesos adicionales de MA(0,1) y SMA(0,1).
![Page 97: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/97.jpg)
Procesos estaciónales• FAS: Se reproduce la parte regular de la FAS
alrededor de los coeficientes estaciónales. • FAP: Se reproduce la parte regular de la FAS
a la izquierda de los coeficientes estaciónales y la parte de FAP a la derecha.
• Signos: – En FAS se multiplica el signo del coeficientes
estacional por el de regular. – En FAP, si el signo del coeficiente estacional es
positivo se inversa el signo a la parte derecha (FAP regular) mientras si es negativo, se inversa el de la izquierda (FAS regular).
![Page 98: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales](https://reader036.fdocuments.ec/reader036/viewer/2022062301/56815a2a550346895dc76cbf/html5/thumbnails/98.jpg)
Procesos estaciónales