Capitulo 7.5 integracion mult

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CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA Integrales Sea f(x)≥0 una función continua def 1.a. Exprese el área bajo la curv El área A de la región S que está ba las áreas de rectángulos aproximado ܣ՜ஶ Para calcular el área entonces usam ՜ஶ ݔ כ ୀଵ ο Si el limite existe, decimos que f es i f entre a y b, está dada por 1.b. Defina integral definida. Si f es una función continua definida de igual amplitud ο ݔሺሻ . Teni MAT MAT MAT MAThematics hematics hematics hematics ALS – BY GERARDO finida en [a, b], va como una integral definida. ajo el grafico de una función continua f, es el lím os ՜ஶ ሾሺ ݔሻο ݔ ݔሻο ݔ ڮ ݔ ሻοݔmos la suma de todos esos rectángulos con la sig ο ݔ՜ஶ ሾሺ ݔ כሻο ݔ ݔ כሻο ݔ ڮ ݔ כሻοݔintegrable en [a, b] y ݔ ݔdenominada in නሺݔ ݔൌሺ ݔ כ ୀଵ ο ݔ a por ݔ, dividiendo el intervalo [a, b] e iendo ݔ ሺൌሻǡ ݔǡ ݔǡǥǡ ݔ ሺൌሻ como puntos Page 1 mite de la suma de guiente notación ntegral definida de en n sub-intervalos s extremos de estos

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Page 1: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

Integrales

Sea f(x)≥0 una función continua definida en [a, b],

1.a. Exprese el área bajo la curva como una integral El área A de la región S que está bajo el grafico de una función

las áreas de rectángulos aproximados

� � ������� �

Para calcular el área entonces usamos la suma de todos esos rectángulos con la siguiente notación

�������� ������� �

Si el limite existe, decimos que f es integrable en [a, b]

f entre a y b, está dada por

1.b. Defina integral definida.

Si f es una función continua definida por

de igual amplitud � � ������ . Teniendo

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

≥0 una función continua definida en [a, b],

Exprese el área bajo la curva como una integral definida. El área A de la región S que está bajo el grafico de una función continua f, es el límite de la suma de

las áreas de rectángulos aproximados

� ��������� ��� � �� ��� ���� ��� �

Para calcular el área entonces usamos la suma de todos esos rectángulos con la siguiente notación

� � � ��������� ���� � �� ���� ���� ���� �

Si el limite existe, decimos que f es integrable en [a, b] y � �� ��� � denominada integral definida de

��� ���

� ��� ������� � �

Si f es una función continua definida por � !, dividiendo el intervalo [a, b] en n sub

. Teniendo "�� ��# �# �# $%# ��� !� como puntos extremos de estos

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continua f, es el límite de la suma de

Para calcular el área entonces usamos la suma de todos esos rectángulos con la siguiente notación

denominada integral definida de

, dividiendo el intervalo [a, b] en n sub-intervalos

como puntos extremos de estos

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CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

sub-intervalos y seleccionamos puntos de estudio

está en el i-ésimo sub-intervalo � ��

1.c. ¿Quién introdujo el símbolo

El símbolo �& fue introducido por Leibniz, del latín

integral, es una S alargada que fue elegida porque la integral es una suma de límites. En la notación � �� ��� � , f(x) es el integrando, y tanto a como b son llamados limites de integración, donde a es el

límite inferior y b el límite superior. El símbolo dx no tiene ningún significado oficial por si mismo

por lo que � �� ��� � es un solo numero, el proceso de calcular una integral

2. El problema del volumen bajo una superficie:

2.a. Defina integral doble sobre un rectánguloSea f una función de dos variables, definida en un rectángulo R, si existe el limite siguiente������ %' ' �( ��# )*�+�*������ �� decimos que f es integrable en R. Además,

integral doble de f en R, esta dado por:

,�� -

2.b. ¿Cómo interpreta ∫∫R

dAyxf ),(

Cuando �� # )� . / entonces f es una función positiva, el

volumen V del sólido que esta encima del rectángulo R y

por debajo de la superficie 0 � �� 1 �,�� # )�-

Dado que �� � � & �) entonces ,�� # )�-

�� �,�� -

2.c. Enuncie la condición necesaria y Si f esta acotada en el rectángulo R y si es continua en ese entorno, excepto en un numero finito de

curvas suaves, entonces f es integrable en R. En particular, si f es continua en todo R, entonces es

integrable allí. 3. Integrales Iteradas:

3.a. Dada una función f(x, y) continua en un rectángulo R:3.a.i. Indique el significado de

La integral iterada es una forma de expresar una integral doble, de tal forma que se pueda resolver

como dos integrales simples.

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

intervalos y seleccionamos puntos de estudio ��# ��# $%# �� en estos sub-intervalos, por lo que

��# ��. Entonces la integral definida de f entre a y b es

��� ���

� ��� ������� � �

¿Quién introdujo el símbolo ∫ ?. ¿Cuál es su significado?.

fue introducido por Leibniz, del latín �233� que significa suma y es ahora llamado

integral, es una S alargada que fue elegida porque la integral es una suma de límites. En la notación

y tanto a como b son llamados limites de integración, donde a es el

superior. El símbolo dx no tiene ningún significado oficial por si mismo

es un solo numero, el proceso de calcular una integral se llama integración.

El problema del volumen bajo una superficie: integral doble sobre un rectángulo.

Sea f una función de dos variables, definida en un rectángulo R, si existe el limite siguiente

decimos que f es integrable en R. Además, 4 ��-integral doble de f en R, esta dado por:

� # )��� � ������ %�( ��# )*�+�*��

���� ��

dA para 0),( ≥yxf ?

entonces f es una función positiva, el

volumen V del sólido que esta encima del rectángulo R y � # )� es � �� � # )� � �)

Enuncie la condición necesaria y suficiente de integrabilidad Si f esta acotada en el rectángulo R y si es continua en ese entorno, excepto en un numero finito de

curvas suaves, entonces f es integrable en R. En particular, si f es continua en todo R, entonces es

Dada una función f(x, y) continua en un rectángulo R: Indique el significado de integral iterada.

La integral iterada es una forma de expresar una integral doble, de tal forma que se pueda resolver

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intervalos, por lo que �� . Entonces la integral definida de f entre a y b es

que significa suma y es ahora llamado

integral, es una S alargada que fue elegida porque la integral es una suma de límites. En la notación

y tanto a como b son llamados limites de integración, donde a es el

superior. El símbolo dx no tiene ningún significado oficial por si mismo,

se llama integración.

Sea f una función de dos variables, definida en un rectángulo R, si existe el limite siguiente%� # )� ��, llamada

Si f esta acotada en el rectángulo R y si es continua en ese entorno, excepto en un numero finito de

curvas suaves, entonces f es integrable en R. En particular, si f es continua en todo R, entonces es

La integral iterada es una forma de expresar una integral doble, de tal forma que se pueda resolver

Page 3: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

3.a.ii. Enuncie el Teorema de Fubini En general el orden de integración de dos integrales iteradas no importa, por lo que el siguiente

teorema nos permite calcular una integral doble al expresarla como una integral iterada

Si f es una función continua en el rectángulo �Entonces

,�� # )�-

��

3.b. El cálculo de volúmenes mediante la expresión: v =

Cavalieri, siendo A(x) el área de la sección transversal del sólido, en un plano que se encuentra a una distancia x de un planos que se encuentran a una distancia referencia. 3.b.i. Aplicar el principio de Cavalieri para justificar el teorema de Fubini, suponiendo

Principio de Cavalieri:

Supongamos por el momento que �doble como el volumen V del solido bajo la superficie

fórmula: 1 � ,-

Si rebanamos el sólido por medio de planos paralelos al plano XZ en

laminas delgadas, el área de la cara de esta lamina depende de la distancia

al plano XZ, es decir que depende de Y. Por tanto denotamos esta área por

A(y) y el volumen �1 de una rebanada de sección transversal A(y) y ancho �) esta dado aproximadamente por

El volumen V del solido debe estar dado de manera aproximada por la

suma de Riemann 1 5 '����volumen del sólido como la integral definida entre c y d, y

Por otro lado, para un Y fijo, podemos calcular A(y) por medio de la

integral simple ordinaria, de hecho

en la ecuación anterior:

1 � � 6���

78

Que se llama integral ITERADA. Igualando ambas expresiones tenemos

que:

,�� # )�-

�� � 4. Integrales dobles sobre regiones más generalesSea D una región acotada en el plano y sobre D.

4.a. Complete las siguientes definiciones:4.a.i. Se dice que una región plana

funciones continuas de X

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

Teorema de Fubini para funciones continuas. En general el orden de integración de dos integrales iteradas no importa, por lo que el siguiente

teorema nos permite calcular una integral doble al expresarla como una integral iterada

ontinua en el rectángulo � 9� # )�:� !%%%)%%%; ) �< � �� � ���� # )�7

8��

�)� � ���� # )���

78

� �) El cálculo de volúmenes mediante la expresión: v = ∫

b

adxxA )( se conoce como Principio de

el área de la sección transversal del sólido, en un plano que se encuentra a una distancia x de un plano de referencia. El sólido está comprendido entre dos planos que se encuentran a una distancia x = a y x = b, respectivamente del plano de

Aplicar el principio de Cavalieri para justificar el teorema de Fubini, suponiendo

�� # )� . / en R de modo que podemos interpretar la integral

doble como el volumen V del solido bajo la superficie 0 � �� # )� el mismo esta dado por la siguiente

,�� # )� �� Si rebanamos el sólido por medio de planos paralelos al plano XZ en

delgadas, el área de la cara de esta lamina depende de la distancia

al plano XZ, es decir que depende de Y. Por tanto denotamos esta área por

de una rebanada de sección transversal A(y) y ancho

esta dado aproximadamente por �1 5 ��)�& �).

El volumen V del solido debe estar dado de manera aproximada por la ��)���)�� cuando = � > obtenemos el

volumen del sólido como la integral definida entre c y d, y 1 � � ��)��)��

ijo, podemos calcular A(y) por medio de la

integral simple ordinaria, de hecho ��)� � � �� # )��� � , al reemplazar

6��� # )�� ? �) Que se llama integral ITERADA. Igualando ambas expresiones tenemos

� 6��� # )�� ��

?78

�)

Integrales dobles sobre regiones más generales: Sea D una región acotada en el plano y f(x, y) una función continua en D, defina integral doble de f

Complete las siguientes definiciones: Se dice que una región plana D es de tipo I si…se encuentra entre las graficas de dos

funciones continuas de X

Page 3

En general el orden de integración de dos integrales iteradas no importa, por lo que el siguiente

teorema nos permite calcular una integral doble al expresarla como una integral iterada

se conoce como Principio de

el área de la sección transversal del sólido, en un plano que se . El sólido está comprendido entre dos

, respectivamente del plano de

Aplicar el principio de Cavalieri para justificar el teorema de Fubini, suponiendo f(x, y)≥0.

en R de modo que podemos interpretar la integral

el mismo esta dado por la siguiente

una función continua en D, defina integral doble de f

e encuentra entre las graficas de dos

Page 4: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

@

4.a.ii. Se dice que una región plana

de dos funciones continuas de Y

@

4.b. De ejemplos de regiones tipo I y tipo II

4.c. De ejemplos de regiones que sean tanto

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CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

@ � 9� # )�:� !#%%%A�� � ) A�� �< ,�� # )�B

�� � � � �� # )�CD�E�CF�E�

�� �)�

Se dice que una región plana D es de tipo II si… se encuentra entre las graficas

de dos funciones continuas de Y

@ � 9� # )�:; ) �#%%%G��)� G��)�< ,�� # )�B

�� � � � �� # )�GH�)�GI�)�

78 � �)

De ejemplos de regiones tipo I y tipo II

De ejemplos de regiones que sean tanto tipo I como tipo II

Page 4

e encuentra entre las graficas

Page 5: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

4.d. Deduzca una fórmula que permita evaluar

como una integral iteradaCon el objeto de evaluar 4 �� # )Bregión de tipo I, escogemos un rectángulo

que contenga @, por el teorema de Fubini:

,�� # )�B

�� � ,J� # )�-

�� �

Observe que J� # )� � / si ) K A�que � # )� esta fuera de @. En consecuen

�J� # )�78

�)

Porque J� # )� � �� # )� cuando A�

Si f es continua sobre una región D tipo I, tal que@ � L�

,�B

4.e. Deduzca una fórmula que permita evaluar como una integral iterada

Si el conjunto @ es una región de tipo II los métodos son

análogos @ � 9� # )�:; ) �# GI

Donde G��)�%%)%%G��)� son continuos, entonces

,�� # )�B

�� � � �MD�MF�E78

4.f. Un tetraedro está acotado por los planos = 0, y y –x + z =1, calcule el volumen del mismo usando una integral doble sobre una región apropiada D, definiendo D como:

4.f.i. una región tipo I.

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CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

Deduzca una fórmula que permita evaluar la integral doble sobre una región tipo I, como una integral iterada. )��� cuando @ es una

región de tipo I, escogemos un rectángulo ��# !� N �;# �� , por el teorema de Fubini:

� ��J� # )�78

�)� ��

�� �%%O%%) P A�� � puesto

. En consecuencia

� �) � � J� # )�CD�E�CF�E� �) � � �� # )�CD�E�

CF�E� �)

� � ) A�� �, quedando la formula de la siguiente forma

Si f es continua sobre una región D tipo I, tal que L� # )�:� !# AI� � ) AH� �Q �� # )� �� � � � �� # )�CD�E�

CF�E��� �)�

Deduzca una fórmula que permita evaluar la integral doble sobre una región tipo como una integral iterada.

es una región de tipo II los métodos son

I�)� GH�)�< son continuos, entonces

�� # )��E��E� � �)

Un tetraedro está acotado por los planos y = 0, z = 0, x

, calcule el volumen del mismo usando

Page 5

la integral doble sobre una región tipo I,

quedando la formula de la siguiente forma

la integral doble sobre una región tipo II,

Page 6: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

�� # )� � 0

,�� # )�B

�� � � � �� # )CD�E�CF�E�

��

� � R�I � � S"��

� � R�I � ��H T"��

4.f.ii. una región tipo II. �� # )� � 0 � I S ) � ) S

,�� # )�B

�� � � � �� # )MD�U�MF�U�

78

� � R �I S )��"

� � R�I S )�� ��"

� SVH WX(I S �IV

4.g. Usando integrales dobles calcule el área de 4.g.i. una región elemental tipo I.

,�B

4.g.ii. una región elemental tipo II.

,�B

4.h. ¿Cuándo puede aplicar la técnica denominada

qué consiste?.

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

� I S ) � SI / / ) � I )� �)� � � � �I S ) � ��)�YE

"Z[[[[[\[[[[[]^"�� � � � R) S )H"

��� S �I � ��H � �I � �T � � � R�I � �� S �I � H"

��� T � � R�I � �_H&V T��" � WX(I � �/�+_` a S X(I � �SI`

S I / / ) I

)�� �) � � � �I S ) � �� "��UZ[[[[[\[[[[[]^

�" �) � � R S ) �

"� � �H T��U

" �) � � R�I S )��I S )� � �I S )��H T�" �)

� � �I S )��H T �) � � bVH �I S )��c�" �) � SVH R�I S )V�I�+_a S X(I S �/�+_V ad � SVH Re/Vf S g�I�_V hT � I

Usando integrales dobles calcule el área de D, si D es: una región elemental tipo I.

�� # )� �� � � � �� # )�CD�E�CF�E�

�� �)�

una región elemental tipo II.

�� # )� �� � � � �� # )�MD�U�MF�U�

78 � �)

¿Cuándo puede aplicar la técnica denominada cambio en el orden de integración

Page 6

)�H � )T"�YE �

��T � I�+_ad � I

) � �H T��U" �)

�))�_T"

cambio en el orden de integración? ¿ En

Page 7: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

Supongamos que D es una región tipo III, así al ser de tipo I y II simultáneamente, puede expresarse

como el conjunto de puntos (x, y) tales que

conjuntos de puntos (x, y) tales que ;,�� # )�B

�� � �Si se nos pide calcular una de las integrales iteradas

Esta técnica se llama “cambio del orden de integración”, pues quizás una de las integrales iteradas

sea más difícil de calcular que la otra.

4.i. Si una lámina ocupa una región plana

fórmulas en términos de integrales4.i.i. la masa,

4.i.ii. los momentos alrededor de los ejes,iE �,-

4.i.iii. el centro de masa,

4.i.iv. los momentos de jE �,�)��-

5. Integrales Dobles en Coordenadas Polares:

5.a. Escriba las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares de un punto coordenadas polares (r, θ).

� � )� � k� � k& lmn

5.b. ¿Qué significado tiene la expresión “rectángulo polar”? Un área puede dividirse en varias sub

diferente longitud que centradas en un punto denominado polo

rotar un determinado ángulo o adicional a un ángulo

p �

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

Supongamos que D es una región tipo III, así al ser de tipo I y II simultáneamente, puede expresarse

como el conjunto de puntos (x, y) tales que � !#AI� � ) AH� � y también como el ; ) �# GI�)� GH�)� por lo tanto tenemos las formulas

� � �� # )�CD�E�CF�E�

�� �)� � � � �� # )�GH�)�

GI�)�78 � �)

Si se nos pide calcular una de las integrales iteradas anteriores, lo podemos hacer evaluando la otra.

Esta técnica se llama “cambio del orden de integración”, pues quizás una de las integrales iteradas

sea más difícil de calcular que la otra.

Si una lámina ocupa una región plana R y tiene una función densidadδfórmulas en términos de integrales dobles de:

3 �,q� # )�-

�� mentos alrededor de los ejes, ,)& q� # )� ��%%%%)%%%%iU �, & q� # )�

-��

l centro de masa, � r# )s� � eiE3 #iU3 f inercia alrededor de los ejes y el origen. ��q� # )��� %%%%%%%%)%%%%%%%%%jU �,� ��q� # )���

-

Integrales Dobles en Coordenadas Polares: Escriba las ecuaciones que relacionan las coordenadas

(x, y), con sus correspondientes

lmn t ) � k& nuv t la expresión “rectángulo polar”?.

Un área puede dividirse en varias sub-regiones R delimitados por un lado con dos líneas

centradas en un punto denominado polo generan un área cuasi

adicional a un ángulo w respecto al eje polar coordenado

� 9�k# t�:� k !# w t o<

Page 7

Supongamos que D es una región tipo III, así al ser de tipo I y II simultáneamente, puede expresarse

y también como el

por lo tanto tenemos las formulas

anteriores, lo podemos hacer evaluando la otra.

Esta técnica se llama “cambio del orden de integración”, pues quizás una de las integrales iteradas

( )yx,δ , escriba las

regiones R delimitados por un lado con dos líneas rectas de

generan un área cuasi-rectangular al

respecto al eje polar coordenado

Page 8: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

5.c. Sea f(x,y) una función continua definida en el

rectángulo polar R, calcule ∫∫R

,�� # )��� �,��k& lmn t # k

--

5.d. Sugerencia, siga el siguiente procedimiento con ayuda de

5.d.ii. Calcule las coordenadas), p�* � L

kx

5.d.iii. Evalúe f en cada “centro” de Sabiendo que el área de un sector circular con radio r y

ángulo central w, es �� & k& w

El área de cada sector podemos calcular restando las áreas

de estos dos sectores circulares cada uno con ángulo central

�t � tI S ty

5.d.iv. Calcule la superficie del sub ��� � IH k���t S IH k���� �t �

5.d.v. Exprese la doble suma de Riemann en las variables

Las coordenadas rectangulares del centro de

Riemann queda como sigue:

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

una función continua definida en el

∫∫R

dAyxf ),( .

k& nuv t�% k& �k& �t

Sugerencia, siga el siguiente procedimiento con ayuda de algún texto: 5.d.i. Divida el intervalo

intervalos de igual ancho ∆r y el intervalo sub-intervalos de igual ancho ∆θ , quedando definidos sub-rectángulos polares Rij. �k���# k�� �k � ! S3zt*��# t*{ �t � o S=

Calcule las coordenadas), ( )ijij yx , del “centro” de cada sub-rectánguloL�k# t�:k��� k k�# t*�� t t�Q k|x � k��� � k�H t}x � t*�� � t�H

en cada “centro” de Rij.

Sabiendo que el área de un sector circular con radio r y

podemos calcular restando las áreas

de estos dos sectores circulares cada uno con ángulo central

ySI

Calcule la superficie del sub-rectángulo polar Rij.

� IH (k�� S k���� +�t � IH �k� S k�����k� S k�����t � kxExprese la doble suma de Riemann en las variables r, θ

Las coordenadas rectangulares del centro de p�* son:%k|x& lmn t}x k|x& nuv t}x de modo que la suma de

Page 8

Divida el intervalo [a, b] en m sub-y el intervalo [α, β] en n

, quedando definidos

�w

rectángulo polar Rij.

k~x &�k& �t de modo que la suma de

Page 9: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

�(k|x& lmn t}x # k|x& nuv�*��

����

5.d.vi. Pase al límite para m y n tendiendo a infinito.Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero, o m,n tienden a infinito, este

límite es una integral doble

,��k& lmn t # k& nuv t�%-

5.d.vii. Obtenga la fórmula de cambio a coordenadas polares para integralesDel punto anterior se desprende:

,�� # )-

Que al aplicar el teorema de Fubini nos

iterada.

5.e. Evalúe la integral. ∫∫ +R

x3(

región del semiplano superior limitado por los círculos

122 =+ yx y 4

22 =+ yx p � 9� # )�:) . /# I � k& lmn t ) � k& nuv t I nuv� t � IH �I S

,�� # )��� �,��k& lmn t # k--� ���Vk& lmn t�

��"

� � RVk_& lmn tV�"

� ����H�_& lmn t�"

� ���& lmn t � I��"� b� n�v t � I�H

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

x x nuv t}x+ & ��~ ��(k|x& lmn t}x # k|x& nuv t}x+�*��

���� & k|x& �

Pase al límite para m y n tendiendo a infinito. Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero, o m,n tienden a infinito, este

% k& �k& �t � ����#����(k~x & lmn tyx # k~x & nuv tyx +=y�I

3~�I

Obtenga la fórmula de cambio a coordenadas polares para integrales

)��� �,��k& lmn t # k& nuv t�%-

k& �k& �t

Que al aplicar el teorema de Fubini nos permite escribir la integral doble polar como una integral

+ dAy )4 2 donde R es la

región del semiplano superior limitado por los círculos

� � )� �< k H / t �

lmn Ht� k& nuv t�% k& �k& �t � ���V � �)��k& �k&�

��"

�tt � �k�& nuv� t�k& �k& �t � ���Vk�& lmn t � �k_& nuv�

��"

� �k�& nuv� t� T�� �t

t � �H��& nuv� t� S ��I�_& lmn t � �I��& nuv� t�� �tI�& nuv� t� �t � � b�& lmn t � I�H & �I S lmn Ht�c

�"

�tt S I�� nuvHtc"

� � b� n�v��� � I�H ��� S I�� nuv H�

Page 9

+ x �k& �t

Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero, o m,n tienden a infinito, este

x + &��� Obtenga la fórmula de cambio a coordenadas polares para integrales dobles.

permite escribir la integral doble polar como una integral

nuv� t��k& �t

� �tc �t���c � I�H ���

Page 10: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

5.f. Halle el volumen del sólido

paraboloide 221 yxz −−=

0 � I S � S ) � k& lmn t ) � k& nuv t / 1 � ,�I S � S )��

B��

� � ��I S k��k�k�t�"

��"

�H� Rk�H S k�� T"� �

5.g. Exprese la formula de cambio a coordenadas polares para integrales dobles en una

más general Se utilizara un proceso similar al usado cuando se extiende una

integral doble sobre un rectángulo común a la integral sobre un

conjunto general S. En ese caso simplemente se encierra S en un

rectángulo y damos a la función por integrar, el valor cero fuer

S. Se puede hacer lo mismo para integrales polares, excepto que

usamos rectángulos polares. Los conjuntos de particular interés son

los r-simples y los t-simples

1- Decimos que un conjunto S es r

� � 9�k# t�:A��t� k

2- Un conjunto S es t-simple si tiene la forma

� � 9�k# t�:G��k� t

5.h. Encuentre el área encerrada por la

� k& lmn t ) � k& nuv t /

,��-

� � � k�� lmnHt"

�k���"

t � �RkH��"

� ��H lmn Ht���"

�t

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CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

limitado por el plano z=0 y el

� � I S k�

/ k I / t H�

�k�k�t �� �t��"

��k S k_��k�"

T � �H Exprese la formula de cambio a coordenadas polares para integrales dobles en una

Se utilizara un proceso similar al usado cuando se extiende una

integral doble sobre un rectángulo común a la integral sobre un

conjunto general S. En ese caso simplemente se encierra S en un

rectángulo y damos a la función por integrar, el valor cero fuera de

S. Se puede hacer lo mismo para integrales polares, excepto que

usamos rectángulos polares. Los conjuntos de particular interés son

Decimos que un conjunto S es r-simple si tiene la forma

A��t�# w t o< simple si tiene la forma

G��k�# � t !< encerrada por la lemniscata θ2cos42 =r

k �� lmn Ht / t %%��%%% Rk�H T"

�� lmn Ht �t � �6(�� lmn Ht+�H ?��"

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Page 10

Exprese la formula de cambio a coordenadas polares para integrales dobles en una región

Page 11: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

6. Integrales Triples:

6.a. Defina integral triple de una función f, sobre una caja rectangular Consideremos una función f de tres variables, continua en una región solida acotada B. Primero

veamos el caso más sencillo, donde B es una caja rectangular (paralelepípedo rectangular)

� � 9� # )

El primer paso es dividir B en sub-

dividimos los tres lados en n partes iguales. El

intervalo [a, b] queda sub-dividido en n sub

intervalos � ���# �� con un ancho igual a

El intervalo [c, d]� z)*��# )*{ � �)

El intervalo [p, q]� �0���# 0�� � �)

Cada caja tiene un volumen igual a

���Donde el punto muestra ( r�*� # )s�*� #la partición (a lo largo de la diagonal más larga entre las de las n cajas de la partición), llegamos a

la siguiente definición

Sea f una función continua acotada de tres variables, definida en una región solida acotada B. La

integral triple de f sobre B se define como

��� # )# 0��

Si este límite existe, si el limite existe se dice que f es integrable sobre B.

La notación de la integral triple es

���

�1 ��

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

Defina integral triple de una función f, sobre una caja rectangular B. Explique su

Consideremos una función f de tres variables, continua en una región solida acotada B. Primero

sencillo, donde B es una caja rectangular (paralelepípedo rectangular)

)# 0�:� !� ; ) �� � 0 �< � � ��# !� N �;# �� N ��# ��

-cajas. Para esto

dividimos los tres lados en n partes iguales. El

dividido en n sub-

con un ancho igual a �

{ )

)

Cada caja tiene un volumen igual a �1 � � �)�0

Así que al formar la suma triple de Riemann

�( r�*� # )s�*� # 0r�*�+����

�*��

��� & �1

s # 0r�*�+ esta en ��*�. Tomando el límite para cuando la norma de

la partición (a lo largo de la diagonal más larga entre las de las n cajas de la partición), llegamos a

Sea f una función continua acotada de tres variables, definida en una región solida acotada B. La

integral triple de f sobre B se define como

� �1 � ���:�:�"�( r�*� # )s�*� # 0r�*�+����

�*��

���� �1

Si este límite existe, si el limite existe se dice que f es integrable sobre B.

��� # )# 0��

�1 ���� # )# 0��

� �)�0 Page 11

. Explique su significado.

Consideremos una función f de tres variables, continua en una región solida acotada B. Primero

sencillo, donde B es una caja rectangular (paralelepípedo rectangular)

Así que al formar la suma triple de Riemann

límite para cuando la norma de

la partición (a lo largo de la diagonal más larga entre las de las n cajas de la partición), llegamos a

Sea f una función continua acotada de tres variables, definida en una región solida acotada B. La

Page 12: Capitulo 7.5   integracion mult

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CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO Page 12

6.b. Sea f(x, y, z) una función continua definida en un caja rectangular B = [a, b] x [c, d] x [r, s],

calcule ∫∫∫B

dVzyxf ),,( .

Si f es una función continua en una caja rectangular B = [a, b] x [c, d] x [r, s], entonces

��� # )# 0��

�1 ���� # )# 0��

� �)�0 � ����� # )# 0���

78

��

� �)�0��� # )# 0��

�1 ���� # )# 0��

� �)�0 � ����� # )# 0�78

��

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�1 ���� # )# 0��

� �)�0 � ����� # )# 0�78

��

��

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�1 ���� # )# 0��

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78

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�1 ���� # )# 0��

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��

78

�0� �)��� # )# 0��

�1 ���� # )# 0��

� �)�0 � ����� # )# 0���

78

��

�0�)�

6.c. Evalúe la ∫∫∫B

dVxyz 2 donde B es la caja rectangular dada por :

( ){ }30,21,10/,, ≤≤≤≤−≤≤= zyxxyxB

¿De cuántas formas diferentes puede realizar el cálculo?

��� # )# 0��

�1 ���� # )# 0��

� �)�0 � ����� # )# 0���

78

��

� �)�0 � � �� )0��"

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��_"

�)�0 � IH� R)�H 0�T���_

"�0

� IH� Rg�H��H 0�h S g�SI��H 0�hT_"

�0 � IH� beVH 0�fc_"

�0 � V� R0_V T"_ � V� R�V�_V T � H��

En total hay seis formas de hacerlo, contando con esta hay cinco formas más de resolverlo.

6.d. Defina integral triple de una función f, sobre región general acotada E.

Integral triple sobre una región elemental o general acotada S en el espacio tridimensional

Se utiliza el mismo procedimiento utilizado para integrales dobles, considere un conjunto cerrado y

acotado S en el espacio tridimensional y enciérrelo en cualquier caja B. Definimos entonces una

Page 13: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

función F que concuerde o sea igual a una función f(x, y, z) en S y que tome el valor de cero fuera de

S. Entonces definimos:

� �� # )# 0�� �1 �� J� # )# 0�� �1

Esta integral existe si f es continua y la frontera de S es

“razonablemente suave”

6.e. Clasificamos las regiones sólidas E en el espacio en tres tipos:

TIPO 1

La tapa y el fondo de la región E Son superficies definidas por :

( ) ( ) ,y , 21 yxzyxz φφ ==

Con (x,y) є D

( ) ( ) , , 21 yxzyx φφ ≤≤

Si D es de tipo I

ba ≤≤ x y ( ) ( )xgxg 21 y ≤≤

Si D es de tipo II

dc ≤≤ y y ( ) ( )yhyh 21 x ≤≤

Aclaración: se usan los números arábigos los números romanos I y II para indicar regiones “D

6.f. Teniendo en cuenta la clasificación dada, calcular la integral

siguientes casos: 6.f.i. E tipo 1 y D tipo I

��� # )# 0��

�1 � � �CD�E�CF�E���

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

función F que concuerde o sea igual a una función f(x, y, z) en S y que tome el valor de cero fuera de

�1

ral existe si f es continua y la frontera de S es

Clasificamos las regiones sólidas E en el espacio en tres tipos:

TIPO 2 TIPO 3

El frente y la parte posterior de E Son superficies definidas por :

( ) ( ) ,y , 21 zyzzyz φφ ==

Con (y,z) є D

Los laterales izq. y derecho de ESon superficies definidas por :

( ) y ,1 zxz φ=Con (x,z) є D

( ) ( ) , , zyxzy21φφ ≤≤ ( ) , yzx

1φ ≤

Si D es de tipo I

dc ≤≤ y y ( ) ( )ygyg 21 z ≤≤

Si D es de tipo I

ba ≤≤ x y g1

Si D es de tipo II

sr ≤≤ z y ( ) ( )zhzh 21 y ≤≤

Si D es de tipo II

sr ≤≤ z y (h1

se usan los números arábigos 1, 2, 3 para indicar regiones acotadas “E” para indicar regiones “D” en el plano.

Teniendo en cuenta la clasificación dada, calcular la integral ∫∫∫E

f

E tipo 1 y D tipo I

� �� # )# 0��D�E#U��F�E#U�

� �� �0�)�

Page 13

función F que concuerde o sea igual a una función f(x, y, z) en S y que tome el valor de cero fuera de

TIPO 3

laterales izq. y derecho de E Son superficies definidas por :

( ) ,y 2 zxz φ=

(x,z) є D

( ) , zxy2φ≤

Si D es de tipo I

( ) ( )xgx 2z ≤≤

Si D es de tipo II

( ) ( )zhz 2 x ≤≤

“E” en el espacio y

dVzyxf ),,( en los

Page 14: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

6.f.ii. E tipo 1 y D tipo II

��� # )# 0��

�1 � � �MMF78

6.f.iii. E tipo 2 y D tipo I

��� # )# 0��

6.f.iv. E tipo 2 y D tipo II

��� # )# 0��

6.f.v. E tipo 3 y D tipo I

��� # )# 0��

6.f.vi. E tipo 3 y D tipo II

��� # )# 0��

6.g. Evalúe la ∫∫∫E

zdV donde E es el tetraedro sólido limitado

por los cuatro planos x=0, y=

gráfico cuidadosamente. � � 9� # )# 0�:/ I#/ )

�0�

�1 � � � � 0��E�U" �0%�)��E

"�"� IH� RS �I S SV�

"

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

E tipo 1 y D tipo II

� � �� # )# 0��D�E#U��F�E#U�

MD�U�F�U� �0� �)

E tipo 2 y D tipo I

� �1 � � � � �� # )# 0��D��#U��F��#U�

CD�U�CF�U�

78 � �0�)

E tipo 2 y D tipo II

� �1 � � � � �� # )# 0��D��#U��F��#U�

MD���MF���

�� � �)�0

E tipo 3 y D tipo I

� �1 � � � � �� # )# 0��D��#E��F��#E�

CD�E�CF�E�

�� �)�0�

E tipo 3 y D tipo II

� �1 � � � � �� # )# 0��D��#E��F��#E�

MD���MF���

�� �)� �0

donde E es el tetraedro sólido limitado

x=0, y=0, z=0 y x+y+z=1 Analice el

I S # / 0 I S S )<

�)%� � � � R0�H T"��E�U %�)%� ��E

"�" � IH� � �I��E

"�"S )�_T"

��E � � I� �I S �_�" � � I R�I S ��� T"

� �

Page 14

� S S )��%�)%� � IH�

Page 15: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

6.h. Plantee los límites de integración para la integral

limitada por el paraboloide

cálculo para este ejemplo y resuelva el caso

� � �� # )# 0�: S H

�� � � 0�

�� � � 0��

�1 � ,RB

�� � � 0��

�1 �,�� S � S 0���B

� H� R�k_V S k�� T"� � IH�

7. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

7.a. Sea P un punto de coordenadas rectangulares

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

Plantee los límites de integración para la integral ∫∫∫ +E

dVzx22 donde

limitada por el paraboloide 22 zxy += y el plano y=4. Analice todas las

cálculo para este ejemplo y resuelva el caso que considere más sencillo.

H H# � ) �#S�) S � 0 �) S �� 0� �1 � � � � � � � 0��U�ED

��U�ED �0%�)%� �ED

���

R� � � � 0��EDY�D �)T �� �,�� S � S 0��� � �

B � k lmn t 0 � k nuvt �� � � 0� �� � � � �� S k���

" k& k& �k& �t��" � � �t��

"IH��I�

Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

un punto de coordenadas rectangulares (x, y, z) escriba sus coordenadas

�� # )# 0� � ��k# t# 0�

Page 15

onde E es la región

. Analice todas las posibilidades de

0� ��

�t� ��k� S k���" �k

escriba sus coordenadas cilíndricas.

Page 16: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

7.b. Grafique “un elemento volumétrico” en coordenadas cilíndricas y calcule su

En una región delimitada en S donde f es una función continua

la que llamaremos elemento volumétrico al cual queremos

evaluar su volumen por medio de integrales de la forma � �� # )# 0��1� , para ello dividimos en sub

solido al cual llamaremos “cuña cilíndrica”

Esta cuña tiene un volumen �1� �que aproxima la integral tiene la forma

J�kr�# tr� # 0r������ kr�& �

Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos

integral triple en coordenadas cilíndricas.

7.c. Suponga que E es una región tipo 1, cuya proyección coordenadas polares y f(x, y, z)

E.

Sea E una región solida z-simple cuya proyección

describirse en coordenadas polares, esto es:� � 9� # )# 0�:� # )�   @¡¢� ���Y @ � 9� # )# 0�:� # )�   @¡¢� ���Si f es continua en E, entonces

��� # )# 0��1 � ,6 ��D�E�F�E#UB£¤�

Donde la integral doble se calcula en polares, es decir

Si @¡¢ es r-simple, la forma iterada de la integral triple en coordenadas cilíndricas es

��� # )# 0��

�1 � �¥

7.d. Calcule (xx

x yx∫ ∫ ∫−

−− +

2

2

4

4

22

2 22

coordenadas cilíndricas � � 9�k# t# 0�:/ t H�# / k

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

Grafique “un elemento volumétrico” en coordenadas cilíndricas y calcule su

En una región delimitada en S donde f es una función continua

la que llamaremos elemento volumétrico al cual queremos

evaluar su volumen por medio de integrales de la forma

, para ello dividimos en sub-partes un cuerpo

emos “cuña cilíndrica” kr� & �k�& �t� & �0� y la suma

que aproxima la integral tiene la forma

�k�& �t� & �0�

Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos

integral triple en coordenadas cilíndricas.

es una región tipo 1, cuya proyección D en el plano xy está descritaf(x, y, z) es una función continua. Calcule la integral triple de

simple cuya proyección ¦¡¢ puede

describirse en coordenadas polares, esto es: � # )� 0 ��� # )�< � # )� 0 ��� # )�<

� �� # )# 0�E#U�U�

�0?��

Donde la integral doble se calcula en polares, es decir @¡¢es una región plana r-simple o θ

simple, la forma iterada de la integral triple en coordenadas cilíndricas es

� � � ��k& lmn t # k& nuv t # 0��D��#§��F��#§�

MD�§�MF�§� k%¨

¥ �0%�k

) dydxdzyx + 22 en

H# k 0 H<

Page 16

Grafique “un elemento volumétrico” en coordenadas cilíndricas y calcule su volumen.

Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos la formula de la

en el plano xy está descrita en es una función continua. Calcule la integral triple de f sobre

simple o θ-simple.

simple, la forma iterada de la integral triple en coordenadas cilíndricas es

�k%�t

Page 17: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

� � �����ED����ED

���

�� � � )���

�1 � � � � k���

�"

��"

7.e. Sea P un punto de coordenadas rectangulares (x, y, z) escriba sus coordenadas esféricas.

�� # )# 0� � ��©# t# ª�

7.f. Grafique y calcule el volumen de “un elemento volumétrico”

Para evaluar � �� # )# 0�� �1 donde E es una región

solida (un trozo esférico) determinado por � � 9�©# t# ª�:w t o# ©� ©Donde © � / w S o H� / ªAl dividir E en pequeñas cuñas esféricas

una cuadricula esféricas tomando esferas

planos t � t* y los semi-conos ª � ªLa cuña esférica tendrá dimensiones

un círculo con radio © y un ángulo

ángulo �t). De modo que el volumen de

�7.g. Obtenga la fórmula de la integral triple en coordenadas esféricas.

De lo anterior nos queda que la suma que aproxima la integral será

�(©~ nuv ª«����

�*��

����

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

� � � � )����EDYUD �0%�)%� ��� � � )��

��1

k%�0%�k%�t � � �t��" � k_�

� �H S k�%�k � H� bIH k� S

Sea P un punto de coordenadas ) escriba sus

Grafique y calcule el volumen de “un elemento volumétrico” en coordenadas

donde E es una región

solida (un trozo esférico) determinado por ©�# ª� ª ª�< ª� ª� H�

Al dividir E en pequeñas cuñas esféricas ¬�*� mediante

una cuadricula esféricas tomando esferas © � ©� , los semi-ª� La cuña esférica tendrá dimensiones �©, ©��ª (el arco de

y un ángulo �ª) y ©� n�vª� �t (el arco de un círculo con radio

. De modo que el volumen de ¬�*� sera:

�1 ­ ��©�(©~�ª+(©~ nuv ª« �t+�1 � ©~H n�v ª« �©�ª�t

Obtenga la fórmula de la integral triple en coordenadas esféricas.

De lo anterior nos queda que la suma que aproxima la integral será

« lmn t~ # ©~ n�v ª« nuv ty # ©~ lmn ª«+ & ©~H n�v ª« �©�

Page 17

S I� k�c"� � I`��

en coordenadas esféricas.

con radio ©� n�v ª� y

�ª�t

Page 18: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

Al considerar el limite cuando la norma de la partición

tiende a cero, se llega a la ecuación de la integral triple

en coordenadas esféricas para una función

definida en la región solida E.

��� # )# 0��

�1 � � � �ªHªI

¨¥

7.h. Calcule la ( )∫∫∫ ++

B

zyx dVe2

3222

( ){ 1/,,222 ≤++= zyxxyxB

� � 9�©# t

�®(EDYUDY�D+¯°D�1�

� � � ���"

�"

� R±S lmn ª�"� & �H�

7.i. ¿En qué situaciones cambiaría a coordenadas cilíndricas o esféricas?

Es una herramienta para facilitar los cálculos de integrales, especialmente cuando los

integración son curvas circulares o superficies esféricas.

7.j. Sea E un sólido en el espacio, del tipo 1, calcule su volumen. Exprese el volumensólido tipo 2 o tipo 3

7.k. Calcule el volumen del tetraedro limitado por los planos

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

Al considerar el limite cuando la norma de la partición

tiende a cero, se llega a la ecuación de la integral triple

en coordenadas esféricas para una función continua f

� ��© nuv ª lmn t # © n�v ª nuv t # © lmn ª�©H©I % ©H n�v

dV donde B es la esfera unitaria dada por

}1 � � )� � 0� � ©� � t# ª�:/ © I#/ t H�# / ª �< � � )� � 0� � ©�

� ®(²D+¯°D�" ©� nuvª �©%�t%�ª � � nuvª�

" �ª� �t��"

� ��& ±IV ®²¯c"�T � ��V �® S I�

¿En qué situaciones cambiaría a coordenadas cilíndricas o esféricas?

Es una herramienta para facilitar los cálculos de integrales, especialmente cuando los

o superficies esféricas.

ea E un sólido en el espacio, del tipo 1, calcule su volumen. Exprese el volumen

tetraedro limitado por los planos x+2y+z=2 , x=2y, x=0, y z=0

Page 18

n�v ª�©�ª�t

es la esfera unitaria dada por

�t%� ©�®²¯�" �©

Es una herramienta para facilitar los cálculos de integrales, especialmente cuando los límites de

ea E un sólido en el espacio, del tipo 1, calcule su volumen. Exprese el volumen para un

x+2y+z=2 , x=2y, x=0, y z=0.

Page 19: Capitulo 7.5   integracion mult

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA

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1 ���1´

� � � ��"��E°�E°�

�"� � �H) S )�

"� � beHµI S�"

� � � � S H �"

7.l. Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen del sólido22 yxz += y debajo de la esfera

®¶�®k�;O=O © lmn ª �� � 9�©# t# ª�

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO

³� # )�:%/ I%# H ) I S H% ·

� �0%�)%� ��E��U � � � �H S S H)���E°�E°�

�" �)%�

) S )��E°���E°� %� e S H¸ S µI S H¸ S µI S H¸�f S eHµ H¸ S µ H¸ S

� I�� � R _V S � � T"� � IV

Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen del sólido que está arriba del cono

y debajo de la esfera zzyx =++ 222

©� � © lmn ª � © � lmn ª�©� nuv� ª lmn� t � ©� nuv� ª nuv� t � © nuv�:/ t H�# / ª �°�#/ © lmnª<

Page 19

µ H¸�fc %�

que está arriba del cono

nuvª

Page 20: Capitulo 7.5   integracion mult

MATMATMATMAThematicshematicshematicshematics

CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO Page 20

1�¬� ���1�

� � � � ©� n�vª¹º»¼"

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��" �©%�ª%�t � � �t��

" � n�vª�°�" R©_V T"

¹º»¼ �ª� H�V � n�vª lmn_ ª�°�

" %�ª � H�V RS lmn� ª� T"�°� � ��

Cual es la interpretación geométrica de 4 �� # )���- si ��# )� . /? Qué pasa si f toma valores

positivos y negativos?

Como determina el área superficial de una superficie f(x,y)

Como determinaría el volumen del solido comprendido entre dos esferas de radio r y R

respectivamente, donde se verifica que r<R?

Enuncie el teorema de Fubini para integrales triples, donde E es una región solida tipo 2

Que implica que una función sea integrable?

Enuncie el teorema de Fubini e ilustre un ejemplo como se puede calcular el volumen de un solido por

medio de integración triple

Como se evalúan las integrales dobles? Como se determinan los limites de integración? En que casos

es conveniente efectuar inversiones en el orden de integración?

Como se define el dV en coordenadas esféricas y cilíndricas?

Usar integrales dobles para calcular el área de un circulo de radio a

Describa el sólido cuyo volumen E esta dado por la integral

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