191

CX

CAPITULO 7LUGARES GEOMETRICOS

7.1 INTRODUCCION

Si tenemos elementos que pueden variar sus valores en un circuito, ya sea una resistencia una reactancia o la frecuencia de laseñal de entrada, las respuestas impedancia, torsión o control del circuito variarán. Cuando analizamos a la impedanciacompleja Z ; la cual es dependiente en su modulo de la frecuencia ya que esta puede aumentar o disminuir la parte imaginariade la impedancia. Por ejemplo:

L LZ R jX X jWL , si 0 W R Z

De ahí también observamos que cuando mayor sea la velocidad angular (W) la reactancia inductiva predominará LX R

comportándose en forma inductiva pura cuando W y para esta frecuencia 90 concluimos que:

( )WZ f la impedancia es una función de la frecuencia.

Figura 1

Entonces observamos que las respuestas irán tomando diferentes valores según se varíe uno de los elementos.Para la figura 2 se tiene una resistencia variable de 0 R . Vamos a representar en forma fasorial como se vadesplazando el fasor tensión sobre una curva.

Figura 2

192

Podemos ver el comportamiento del circuito que al variar la resistencia desde cero hasta R el valor de la tensión sobreesta se va incrementando y la tensión sobre CX va disminuyendo, y vemos como el punto A se desplaza sobre la curva de lasemicircunferencia hasta cuándo R que el circuito se comporta como resistivo puro cayendo toda la tensión de la fuentesobre la resistencia variable.

7.2 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS PARA R VARIABLE

a) Para la impedancia: Z R jX , como la reactancia es fija, es decir tendrá un solo punto sobre el ejeimaginario, el par ordenado (R, X) que representa a la impedancia se irá desplazando sobre la recta paralela al eje delas abscisas (real) así tendremos una idea más general del comportamiento de la impedancia cuando 0 R ypara sus valores limites 0R Z jX R Z R

W =constantejX =constante0 R

b) Para las admitancias: debemos tener en cuenta que las escalas de la admitancia es diferente a la escala con quehemos graficado el lugar geométrico de las impedancias.

Z R jX Y G jB

1Y

R jX

………. (1)

A partir de la ecuación (1) podemos obtener los valores limites para la grafica de las admitancias

1 10R Y j

jX X y cuando R 0Y

193

Lugar geométrico de lasimpedancias

Lugar geométrico de lasadmitancias

Sería muy tedioso si comenzamos a trabajar punto por punto por lo que haremos las siguientes operaciones hasta encontraruna expresión adecuada que me represente al conjunto de todos los valores de las admitancias.

*

*

2 2 2 2

2 22 2

2 22 2

22

1

0

1 10

2 2

1 1

2 2

YZ Z

Y YYG B

Z R jX jG B G B

B BX G B

G B X

BB G

X X X

B GX X

7.3 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS ADMITANCIAS E IMPEDANCIAS PARA X AJUSTABLE

Z R jX

Igual que el caso anterior 0 X , solo que ahora el elemento a variar es la reactancia de cero a infinito

Cuando 0X Z R resistivo

Cuando X Z inductivo

Aquí R permanece constante junto con la frecuencia, solo estamos variando es el valor de la inductancia o del capacitor.

El lugar geométrico de las impedancias será la línea paralela al eje de lasordenadas (Im).El segmento de la recta positiva representa para todas las soluciones enque Z es inductivo y el segmento de recta negativo en el que laimpedancia se comporta capacitivamente

Para el caso de la admitancia que es la inversa de la impedancia compleja,

por lo tanto a partir de la expresión1

YZ

encontramos los valores

mínimos y máximos.1

YR jX

0X 1Y

R

X 0Y

194

0X

X

Para encontrar todos los puntos del lugar geométrico, trabajamos:

2 2 2 2

1 G BZ j R jX

G B G BY

Como R es constante2 2

2 2

2 22 2

2 22

0

1 10

2 2

1 1

2 2

G GR G B

G B R

GG B

R R R

G BR R

Podemos observar que el lugar geométrico de las admitancias es un semicírculo de radio1

2RPodemos observar que el lugar geométrico para los casos analizados impedancia y admitancia hay una transformación de unsegmento de recta en el eje positivo o negativo a una semicircunferencia situada en el eje negativo y positivo respectivamente.

7.4 ADMITANCIA EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN A SUS ELEMENTOS

En los siguientes gráficos se puede ver que los ejes cartesianos son G y B, en la cual podemos determinar el lugar geométricode la admitancia.

Hay dos casos: con resistencia variable y reactancia variable.

Con resistencia variable. En el circuito que se representa en la figura N° 3, se observa con una impedancia con resistenciavariable la cual se convierte a admitancia.

Figura N° 3.Circuito de impedancia a admitancia

194

0X

X

Para encontrar todos los puntos del lugar geométrico, trabajamos:

2 2 2 2

1 G BZ j R jX

G B G BY

Como R es constante2 2

2 2

2 22 2

2 22

0

1 10

2 2

1 1

2 2

G GR G B

G B R

GG B

R R R

G BR R

Podemos observar que el lugar geométrico de las admitancias es un semicírculo de radio1

2RPodemos observar que el lugar geométrico para los casos analizados impedancia y admitancia hay una transformación de unsegmento de recta en el eje positivo o negativo a una semicircunferencia situada en el eje negativo y positivo respectivamente.

7.4 ADMITANCIA EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN A SUS ELEMENTOS

En los siguientes gráficos se puede ver que los ejes cartesianos son G y B, en la cual podemos determinar el lugar geométricode la admitancia.

Hay dos casos: con resistencia variable y reactancia variable.

Con resistencia variable. En el circuito que se representa en la figura N° 3, se observa con una impedancia con resistenciavariable la cual se convierte a admitancia.

Figura N° 3.Circuito de impedancia a admitancia

194

0X

X

Para encontrar todos los puntos del lugar geométrico, trabajamos:

2 2 2 2

1 G BZ j R jX

G B G BY

Como R es constante2 2

2 2

2 22 2

2 22

0

1 10

2 2

1 1

2 2

G GR G B

G B R

GG B

R R R

G BR R

Podemos observar que el lugar geométrico de las admitancias es un semicírculo de radio1

2RPodemos observar que el lugar geométrico para los casos analizados impedancia y admitancia hay una transformación de unsegmento de recta en el eje positivo o negativo a una semicircunferencia situada en el eje negativo y positivo respectivamente.

7.4 ADMITANCIA EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN A SUS ELEMENTOS

En los siguientes gráficos se puede ver que los ejes cartesianos son G y B, en la cual podemos determinar el lugar geométricode la admitancia.

Hay dos casos: con resistencia variable y reactancia variable.

Con resistencia variable. En el circuito que se representa en la figura N° 3, se observa con una impedancia con resistenciavariable la cual se convierte a admitancia.

Figura N° 3.Circuito de impedancia a admitancia

195

Sabemos:Z =Entonces: Z = R + JX … (α)Y = G + JB … (β)De (α)y (β): R + JX = ( GG + B ) − J( BG + B )Racionalizando e igualando las partes reales e imaginarias, tenemos:

R = GG + B … (I)X = − … (II)De la ecuación (II) G + B = − BXG + B + BX = 0Dando forma: G + B + BX + 12X = 12XG + B + 12X = 12XBueno llegamos a una ecuación de una circunferencia de

Despejando B: B = 12X − G − 12X Para una impedancia inductiva: Z = ZθSi: G = 0 → B = 0 o′ B = −G = → B = −

196

Grafico N° 3. Admitancia con comportamiento inductivo en resistencia variable

Para una impedancia capacitiva: Z = Z−θSi: G = 0 → B = 0 ; B = ;G = → B =

Grafico N° 4. Admitancia con comportamiento capacitivo en resistencia variable

197

Con Reactancia variable: En el circuito que se representa en la figura N° 4, se observa con una impedancia con reactanciavariable la cual se convierte a admitancia.

Figura N° 4.Circuito de impedancia a admitancia

Ahora trabajamos con la ecuación (I):

Dándole forma:

Entonces:

Llegamos a una ecuación de circunferencia de radio

Despejando:

Para una impedancia inductiva:

Si:

197

Con Reactancia variable: En el circuito que se representa en la figura N° 4, se observa con una impedancia con reactanciavariable la cual se convierte a admitancia.

Figura N° 4.Circuito de impedancia a admitancia

Ahora trabajamos con la ecuación (I):

Dándole forma:

Entonces:

Llegamos a una ecuación de circunferencia de radio

Despejando:

Para una impedancia inductiva:

Si:

197

Con Reactancia variable: En el circuito que se representa en la figura N° 4, se observa con una impedancia con reactanciavariable la cual se convierte a admitancia.

Figura N° 4.Circuito de impedancia a admitancia

Ahora trabajamos con la ecuación (I):

Dándole forma:

Entonces:

Llegamos a una ecuación de circunferencia de radio

Despejando:

Para una impedancia inductiva:

Si:

198

En el plano Y:

Grafico N° 5. Admitancia con comportamiento inductivo en reactancia variable

Para una impedancia capacitiva Z = Z−θSi: B = 0 → G = y G = 0B = → G =

Grafico N° 5. Admitancia con comportamiento capacitivo en reactancia variable

199

LUGARES GEOMETRICOSPROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA N° 01

Encontrar el lugar geométrico de las impedancias y admitancias para el circuito mostrado:

Resolución:

Podemos observar que cuando el valor de la resistencia va de cero a infinito la admitancia toma sus valores límites, siendo unalínea paralela a las abscisas su lugar geométrico, de lo estudiado anteriormente podemos decir que su lugar geométrico de lasimpedancias será un semicírculo en el eje negativo

0

1 11

R

ZY jWC

R

1Y jWC G jB

R

PROBLEMA N°02

En el siguiente circuito determine usted si existe algún valor de LR para la condición de resonancia, además trazar el lugargeométrico de admitancia del circuito.

200

0.0975

1Y

TY

2Y

G

jB

0.022

0.050.05

0.12

2

51.34º

Resolución:

Para la rama R-C es una admitancia de valor fijo que podemos representarla en el plano complejo como un vector cuyo moduloy argumento lo podemos calcular

1 4 5Z j Fijo 0.0975 0.122Y j

1 0.156 51.34ºY

Para la rama R-L como R varia su lugar geométrico de las admitancias será un semicírculo de radio 0.05 y este se calculacuando R = 0

2 10Z R j Variable 21

10Y

R j

Es una semicircunferencia de radio1

2X

10.05

20j

Lugar geométrico de las admitancias

1 2TY Y Y

Como no hay cruce con el eje real no hay resonancia

¿Qué es la resonancia?

Se denomina resonancia de un circuito serie o paralelo cuando la reactancia de la impedancia total se anula es decir que elcircuito se comporta resistivo puro.

0Z R jX R jX

Esto se da para una determinada frecuencia o cuando se varia uno de los elementos del circuito. Es decir, el circuito esta enfase y se dice que tiene un factor de potencia unitario.

PROBLEMA N° 03

Del circuito de la figura se pide:

Dibujar el diagrama de impedancias a los terminales A-B delcircuito.

Para que condiciones el circuito tiene un factor de potenciaunitaria.

201

Resolución:La impedancia 1 tiene un valor fijo y la podemos representar en el plano en el eje positivo superior, en cambio la impedancia 2,

su lugar geométrico es un semicírculo de radio2CR

1 2totalZ Z Z 1 LZ R jX

Para 2Z

21

C

Y jWCR

las condiciones para que el circuitosea resonante usted debe analizar delgráfico y sacar sus conclusiones

PROBLEMA N° 04

Trazar el lugar geométrico de la intensidad de corriente que circula por el circuito mostrado y hallar el valor de RC para el quediferencia de fase entre V e I sea 45⁰.

Resolución:

La admitancia de la rama fija es de 1/R=0.1. El diámetro de la semicircunferencia del lugar geométrico de la rama RC será enRc=0 es decir D=1/|XC| y el radio:

El grafico será:

201

Resolución:La impedancia 1 tiene un valor fijo y la podemos representar en el plano en el eje positivo superior, en cambio la impedancia 2,

su lugar geométrico es un semicírculo de radio2CR

1 2totalZ Z Z 1 LZ R jX

Para 2Z

21

C

Y jWCR

las condiciones para que el circuitosea resonante usted debe analizar delgráfico y sacar sus conclusiones

PROBLEMA N° 04

Trazar el lugar geométrico de la intensidad de corriente que circula por el circuito mostrado y hallar el valor de RC para el quediferencia de fase entre V e I sea 45⁰.

Resolución:

La admitancia de la rama fija es de 1/R=0.1. El diámetro de la semicircunferencia del lugar geométrico de la rama RC será enRc=0 es decir D=1/|XC| y el radio:

El grafico será:

201

Resolución:La impedancia 1 tiene un valor fijo y la podemos representar en el plano en el eje positivo superior, en cambio la impedancia 2,

su lugar geométrico es un semicírculo de radio2CR

1 2totalZ Z Z 1 LZ R jX

Para 2Z

21

C

Y jWCR

las condiciones para que el circuitosea resonante usted debe analizar delgráfico y sacar sus conclusiones

PROBLEMA N° 04

Trazar el lugar geométrico de la intensidad de corriente que circula por el circuito mostrado y hallar el valor de RC para el quediferencia de fase entre V e I sea 45⁰.

Resolución:

La admitancia de la rama fija es de 1/R=0.1. El diámetro de la semicircunferencia del lugar geométrico de la rama RC será enRc=0 es decir D=1/|XC| y el radio:

El grafico será:

202

Diagramas del lugar geométrico

Se observa que la intensidad esta adelantada respecto a la tensión un ángulo de 45⁰ en le punto indicado esto significaque los putos real e imaginario de Yt deben ser iguales:

De:

De donde: RC=2Ω

PROBLEMA N° 05

El circuito de la fig. Debe resonar a 455KHz. Para este caso el valor de X, impedancia del circuito, el factor de calidad y ademástiene un lugar geométrico de la admitancia con escala adecuada.

Resolución:

202

Diagramas del lugar geométrico

Se observa que la intensidad esta adelantada respecto a la tensión un ángulo de 45⁰ en le punto indicado esto significaque los putos real e imaginario de Yt deben ser iguales:

De:

De donde: RC=2Ω

PROBLEMA N° 05

El circuito de la fig. Debe resonar a 455KHz. Para este caso el valor de X, impedancia del circuito, el factor de calidad y ademástiene un lugar geométrico de la admitancia con escala adecuada.

Resolución:

202

Diagramas del lugar geométrico

Se observa que la intensidad esta adelantada respecto a la tensión un ángulo de 45⁰ en le punto indicado esto significaque los putos real e imaginario de Yt deben ser iguales:

De:

De donde: RC=2Ω

PROBLEMA N° 05

El circuito de la fig. Debe resonar a 455KHz. Para este caso el valor de X, impedancia del circuito, el factor de calidad y ademástiene un lugar geométrico de la admitancia con escala adecuada.

Resolución: