Cap´ıtulo 7 Topolog´ıas, ﬁltraciones y completaciones´ıtulo 7 Topolog´ıas, ﬁltraciones y...

Capıtulo 7Topologıas, filtraciones y completaciones

Cuando se tiene una metrica en un anillo A y se consideran sucesiones con valo-res en A, es sabido que toda sucesion convergente es una sucesion de Cauchy, peroel recıproco no es cierto en general, por ejemplo en la metrica dada por el valorabsoluto usual de Q hay sucesiones de Cauchy cuyo lımite no es un racional. Lacompletacion de Hausdorff de Q es el campo R de los numeros reales y en la to-pologıa inducida Q!R es denso. Estas completaciones aparecen tambien en teorıade numeros, por ejemplo al estudiar congruencias modulo un entero m, a las queconviene ver como ecuaciones en el anillo Z/mZ y gracias al teorema chino delresiduo 1.6, estudiar ecuaciones polinomiales en Z/mZ es equivalente a estudiarecuaciones en Z/pnZ para p un primo. Cuestiones importantes de teorıa de nume-ros, relacionadas con estimaciones asintoticas acerca de estas soluciones variandon, pueden ser formuladas mejor considerando las ecuaciones en un !!lımite"" de losanillos Z/pnZ cuando n " !, es decir en el anillo de enteros p-adicos. Kurt Hen-sel introdujo los numeros p-adicos como series de potencias con respecto al primop, usando la analogıa entre el anillo de enteros Z y su campo de cocientes Q y elanillo de polinomios C[x] y su campo de cocientes C(x), y donde los primos p # Zcorresponden a los polinomios irreducibles (x$!) # C[x]; Hensel nota que dadocualquier polinomio f (x) # C[x] y cualquier ! # C fijo, es posible escribir (conai # C)

(1) f (x) =n

"i=0

ai(x$!)i,

por ejemplo usando la expansion de Taylor de f (x). Lo mismo se puede hacer conenteros (digamos, positivos): dado m % 1 y un primo p fijo, se tiene que

(2) m =n

"i=0

ai pi,

con ai # Z y 0 & ai & p$ 1. El paso siguiente es observar que en el campo C(x)cualquier funcion racional f (x) tiene una expansion como (1), solo que ahora usual-

151

152 7 Topologıas, filtraciones y completaciones

mente es una serie

(3) f (x) =!

"i%n0

ai(x$!)i

con ai # C y n0 # Z, a saber, la expansion de Laurent de f (x). La idea de Hensel esextender lo anterior, formalmente, a la expansion de un racional a #Q en una seriede la forma

(4) a =!

"i%n0

ai pi

con ai # Z, n0 # Z. Por supuesto que estas series de potencias no convergen conrespecto al valor absoluto usual y ası no representan numeros en el sentido comundel termino, de tal forma que esta idea de Hensel y sus consecuencias aritmeticasencontraron varios reparos al principio. En 1912 Josef Kurschak escribe un artıculodonde aclara y fundamenta las ideas de Hensel introduciendo la nocion de valuacionen un campo (mas precisamente, la nocion de valor absoluto generalizado). En esteartıculo encontramos los axiomas ya familiares de un valor absoluto generalizado,i.e., una funcion | |K : K " R tal que |a|K % 0 para todo a # K, |a|K = 0 si y solo sia= 0, |ab|K = |a|K |b|K y la desigualdad del triangulo en la forma |1+a|K & 1+ |a|K .Los axiomas de Kurschak son generalizaciones de las propiedades que Hensel habıadado (con alguna pequena correccion al reemplazar p con p$1) en la definicion delvalor absoluto p-adico. De esta forma, con el valor absoluto | |p en Q, las series (4)convergen en la completacion Qp de Q con respecto a la nueva metrica.

En este capıtulo formalizamos las ideas anteriores en un contexto mas general,comenzando recordando la formulacion topologica de la completacion de un anilloo un modulo, enfocandonos al caso cuando estos tienen una filtracion que determinala topologıa. Mas adelante se algebriza aun mas el proceso de completacion, que encierta forma es dual al proceso de localizacion del capıtulo 3.

Grupos topologicos. Un grupo topologico es un grupo G que tiene una topologıaque es compatible con la estructura de grupo, es decir, la operacion de grupo G'G " G es continua (donde a G'G se le da la topologıa producto) y la funcionG"G definida al tomar inversos: a (" a$1 tambien es continua. Si a#G, la funciontraslacion izquierda Ta : G " G dada por x (" ax es continua, biyectiva y su inversaes Ta$1 por lo que Ta es un homeomorfismo. Note que Ta no es un homomorfismo degrupos a menos que a = e, el elemento neutro de G en cuyo caso Te = idG. Ahora,si U es cualquier vecindad del neutro e # G, entonces aU es una vecindad de a,porque aU = TaU , y toda vecindad abierta V de a es de la forma anterior, porque siU = Ta$1V = a$1V , entonces TaU =V . Ası, en un grupo topologico G la topologıaesta unıvocamente determinada por las vecindades del elemento neutro de G. Enmuchos casos de interes el grupo G tiene una base de vecindades del neutro dadapor una cadena de subgrupos normales de G:

G = G0 #G1 #G2 # · · ·

7 Topologıas, filtraciones y completaciones 153

e interesa saber cuando la topologıa en G es Hausdorff:

Lema 7.1 Sea G un grupo topologico con una base de vecindades del neutro dadapor una cadena de subgrupos normales G = G0 #G1 #G2 # · · · . Son equivalentes:

(1) G es Haudorff.

(2) Los puntos en G son cerrados.

(3)!

Gn = {e}.

Demostracion. (1) implica (2) es directo. Para (2) ) (1), note que si f : G'G " Ges f (a,b) = ab$1, entonces la diagonal de G'G es f$1(e). Para (2) ) (3), observeque como cada Gi es abierto, por definicion, entonces los trasladados gGi tambienson abiertos y por lo tanto los complementos G$Gi tambien son abiertos porqueson igual a la union de las clases gGi con g *# Gi; se sigue que los Gi son cerrados.Entonces, a #

!Gn + a #U , para todas las vecindades U del e # G, y esto ultimo

sucede si y solo si a # {e}. Claramente (3) ) (2). ,-

Filtraciones. El caso que interesa en algebra conmutativa es cuando G es el grupoaditivo de un anillo conmutativo A y en los ejemplos que importan se tiene unabase de vecindades del neutro 0 # A dadas por una familia numerable de subgruposaditivos In de (A,+) encadenados en forma decreciente, i.e., tales que

A = I0 . I1 . I2 . · · ·. In . · · ·

de tal forma que V ! A es una vecindad del 0 si y solo si existe un n tal que In !V .Diremos entonces que los subgrupos {In} forman una filtracion de A. Mas aun,como los In ! A son subgrupos (de la parte aditiva) del anillo A y este tiene unproducto, es natural el pedir que ImIn ! Im+n y decimos entonces que la filtracion Inde A es compatible con el producto del anillo. Las filtraciones que consideraremospueden estar indexadas por todos los enteros y para simplificar un poco la teorıa alfiltrar un anillo asumiremos que los In ! A son ideales, no solo subgrupos aditivos:dado un anillo A, una filtracion en A es una familia de ideales {In}n#Z de A talesque:

(i) I0 = A.

(ii) In+1 ! In.

(iii) ImIn ! Im+n.

Si A tiene una filtracion, diremos que A es un anillo filtrado. Si A es un anillofiltrado, con filtracion {In}, y M es un A-modulo, una filtracion en M es una familia{Mn}n#Z de submodulos de M tales que

(i) M0 = M.

(ii) Mn+1 ! Mn.

(iii) ImMn ! Mm+n.


Si M tiene una filtracion, diremos que M es un modulo filtrado. Usando la fil-tracion {Mn}n#Z como una base de vecindades del cero 0 # M, resulta que M tieneuna topologıa que es compatible con las operaciones del modulo M (i.e., la suma yconsiderar inversos aditivos son operaciones continuas y lo mismo multiplicar porescalares) y por lo tanto M es un modulo topologico. Si M = A, resulta que A es unanillo topologico.

Por el lema anterior, la topologıa de M es Hausdorff si y solo si!

Mk = 0. Ob-serve tambien que, por definicion cada submodulo Mk de la filtracion es abierto yası, para cada x # M las clases laterales x+Mk (i.e., trasladados de Mk) tambien sonabiertas y por lo tanto los complementos M$Mk tambien son abiertos (porque sonunion de las clases laterales x+Mk), es decir, cada Mk es abierto y cerrado. Se sigueque los cocientes M/Mk son discretos en la topologıa cociente.

Ejemplo 1. Si A es cualquier anillo e I ! A es un ideal, la filtracion I-adica de Aesta dada por {In}n%0. Si M es un A-modulo, la filtracion I-adica de M esta dada porMn = InM, para n % 0.

Ejemplo 2. Si A es cualquier anillo, siempre se tiene la filtracion trivial dada por

In =

"A si n & 0,0 si n > 0.

Ejemplo 3. Si N ! M es un submodulo de un modulo filtrado M, la filtracion indu-cida en N es la filtracion dada por Nn = N/Mn. La filtracion cociente en M/N es lafiltracion dada por (M/N)n = (Mn +N)/N (i.e., la imagen de Mn bajo el epimorfis-mo canonico M ! M/N).

Si M, N son modulos filtrados sobre un anillo filtrado A, un morfismo de modulosfiltrados es un A-morfismo f : M " N que respeta las filtraciones, i.e., f (Mn)! Nn,para todo n # Z.

Ejemplo 4. Si A es un anillo filtrado, N es un A-modulo filtrado y M es cual-quier A-modulo, entonces HomA(M,Nn) es una filtracion de HomA(M,N). Aquı es-tamos usando que 0 " Nn !" N induce el monomorfismo 0 " HomA(M,Nn) "HomA(M,N).

La funcion de orden. Si A es un anillo con una filtracion {In}n#Z y M es un A-modulo con una filtracion {Mn}n#Z, se define la funcion de orden " : M " Z0{!}para x # M mediante

"(x) =

"n si x # Mn pero x *# Mn+1,

! si x ##

Mn.

Note que si!

Mn = 0, la ultima condicion es solo "(0) = !. Similarmente se definela funcion " : A " Z0 {!}. Las propiedades siguientes son directas de las defini-ciones:


Lema 7.2 Sean {In} una filtracion en el anillo A y {Mn} una filtracion en un A-modulo M. Entonces:

(1) Como los Mn son subgrupos aditivos de M,

"(x+ y)% mın{"(x),"(y)}.

(2) Mas aun, si a # A y x # M,

"(ax)% "(a)+"(x)

porque ImMn ! Mm+n. En particular, para a,b # A,

"(ab)% "(a)+"(b).

(3) Mn = {x # M : "(x)% n}.,-

Las propiedades (1) y (2) dicen que " es !!como una valuacion"" en M y la pro-piedad (3) dice que la filtracion de M se recupera de la funcion de orden " .

La metrica asociada. Sea {Mn} una filtracion en un A-modulo M y sea " : M "Z0{!} la funcion de orden asociada. Si # es un numero real tal que 0 < # < 1, sedefine la funcion d : M'M " R mediante

d(x,y) = #"(x$y).

Corolario 7.3 Sea {Mn} una filtracion en un A-modulo M. Entonces,

(1) d(x,x) = 0.

(2) d(x,y) = d(y,x).

(3) d(x,y)& max{d(x,z),d(y,z)}.

(4) Mn = {x # M : d(x,0)& #n}.

Demostracion. La parte (1) es porque "(x$ x) = "(0) = !. La parte (2) es porquex#Mn implica que $x#Mn. Las partes (3) y (4) las dejamos como un ejercicio. ,-

Si M es Hausdorff, i.e.,!

Mn = 0 por 7.1, entonces la parte (1) del corolario sepuede mejorar:

(1’) d(x,y) = 0 si y solo si x = y.

Por lo tanto, las partes (1’), (2) y (3) nos dicen que d es una metrica en M. Laparte (3) es mas fuerte que la desigualdad del triangulo y se dice que d es unaultrametrica:

d(x,y)& d(x,z)+d(z,y).

La parte (4) nos dice que la filtracion en M se recupera de la metrica d.


Sucesiones y filtraciones. Supongamos ahora que M es un A-modulo filtrado y quela topologıa inducida es Hausdorff. Si d es la metrica asociada, una sucesion deCauchy en M es una sucesion {xn} de elementos de M tal que para cada $ > 0existe un entero k > 0 tal que d(xm,xn)< $ , para todo m,n % k. Por la parte (4) delcorolario anterior, la condicion definicion anterior se puede reformular diciendo que{xn} es de Cauchy si y solo si existe un entero k > 0 tal que xm $xn # Mk, para todom,n % k. Similarmente, una sucesion {xn} se dice que converge al lımite " # M siexiste un entero k > 0 tal que xn$"# Mn para todo n % k. Claramente toda sucesionconvergente es de Cauchy, pero la afirmacion inversa no es cierta en general. Cuandotoda sucesion de Cauchy en M converja a un lımite en M, se dice que M es completo.En un modulo filtrado cuya topologıa es Hausdorff la convergencia de series secomporta mejor que en el caso real o complejo, porque la metrica inducida satisfacela desigualdad ultrametrica, mas fuerte que la del triangulo.

Proposicion 7.4 Si M es un A-modulo con una filtracion {Mk} tal que la topologıainducida es Hausdorff y M es completo, entonces una serie "!

n=0 xn, con x # Mconverge en M si y solo si la sucesion {xn} converge a cero.

Demostracion. Si "!n=0 xn = ", entonces la sucesion de sumas parciales Sn = x0 +

x1 + · · ·+ xn converge a " y por lo tanto lımn"!(Sn $Sn$1) = 0, donde Sn $Sn$1 =xn. Recıprocamente, si {xn}" 0, entonces para todo entero n existe un entero N =N(n) tal que si k % N se tiene que xk # Mn y por lo tanto xk +xk+1 + · · ·+xk+i # Mnpara todo i % 0, es decir, la sucesion de sumas parciales es de Cauchy y como M escompleto, entonces converge en M. ,-

Completaciones. Si M es un A-modulo filtrado Hausdorff y d es la metrica asociada,la completacion de M se construye, como en analisis, considerando el conjunto Mde sucesiones de Cauchy en M. Con la suma usual de sucesiones, M es un grupoabeliano y se tiene una accion de A en M mediante a{xn}= {axn} (que claramentesigue siendo de Cauchy) y ası el conjunto M de sucesiones de Cauchy en M esun A-modulo. En M se define la relacion {xn} 1 {yn} si y solo si {xn $ yn} " 0(la diferencia converge a cero). Esta es una relacion de equivalencia y el conjuntocociente se denota por M. Se pueba facilmente que M es un A-modulo definiendo lasoperaciones en las clases de equivalencia [xn] # M usando representantes. Resultatambien que M es un espacio metrico con la distancia definida por d([xn], [yn]) :=lımn"!

d(xn,yn). Enviando x # M a la (clase de equivalencia de la) sucesion constante{x} se tiene la funcion natural siguiente que claramente es un A-morfismo inyectivocon imagen es densa (vea el ejercicio 4):

# : M " M.

Completaciones y lımites inversos. El proceso anterior se puede algebrizar aunmas: si {xn} es una sucesion de Cauchy en M, para la filtracion {Mn} de M consi-deremos los epimorfismos M ! M/Mn. Como {xn} es de Cauchy, existe un enterok > 0 tal que xn+1 $ xn # Mk para todo n % k y por lo tanto xn+1 = xn en M/Mk, es


decir, sus clases laterales %n+1 = %n en M/Mk, i.e., las %n se vuelven constantes enM/Mk. Es claro entonces que, bajo el morfismo natural

&n+1 : M/Mn+1 " M/Mn

se tiene que &(%n+1) = %n, para todo n % k. Mas aun, si {xn}1 {yn}, entonces am-bas sucesiones definen la misma sucesion de clases laterales {%n} en los cocientesM/Mn. Recıprocamente, dada una sucesion de clases laterales {%n} en M/Mn talque &(%n+1) = %n, escogiendo un representante xn # %n de cada clase lateral, se tie-ne que xn+1$xn #Mn y ası {xn} es una sucesion de Cauchy en M. Por lo tanto, M sepuede construir usando las sucesiones %n de los cocientes M/Mn, sin tener que pen-sar en clases de equivalencia de {xn} y a partir de ahora pensaremos que M consistede estas sucesiones de Cauchy {%n} a las que podemos considerar como (ciertos)elementos del producto directo #n M/Mn. Para saber cuales elementos de #n M/Mnestan en M, recordemos que las clases %n # M/Mn son compatibles en el sentido queel morfismo natural &n+1 manda %n+1 (" %n. Por lo tanto, M consiste de los elemen-tos {%n} # #n M/Mn que son compatibles con los morfismos &n. De hecho, M es unsubmodulo de #M/Mn que satisface las condiciones siguientes: para la familia deA-modulos {M/Mn}n%0} y la familia de morfismos & n

m : M/Mn " M/Mm para cadam & n, dados por las composiciones

M/Mn&n$" M/Mn$1

&n$1$" M/Mn$2 $" · · ·$" M/Mm+1&m+1$" M/Mm

estos satisfacen que siempre que m & n & k se tiene que & kn 2 & n

m = & km. En es-

tas condiciones se dice que {M/Mn,& nm} es un sistema inverso de modulos. En-

tonces, considerando el producto directo #M/Mk y las proyecciones naturalespn : #M/Mk " M/Mn en el diagrama siguiente, para m & n,

#M/Mkpn

!!pn$1

""!!!!!!!!!!

pm+1##"""""""""" pm

##M/Mn &n

n$1

$$ M/Mn$1 $$ · · · $$ M/Mm+1&m+1

m

$$ M/Mm

en general, los triangulos del diagrama no conmutan y por ello tiene que tomarse elsubmodulo M ! #k M/Mk de sucesiones compatibles y las restricciones de las pro-yecciones naturales a M para que en el diagrama siguiente los triangulos inferioresconmuten:

#M/Mk

pn

%%

pm

&&

M! "

''

pn

((pn$1))###########

pm+1 **""""""""""" pm

##M/Mn &n

n$1

$$ M/Mn$1 $$ · · · $$ M/Mm+1&m+1

m

$$ M/Mm


Lımites inversos. La construccion anterior de M es un caso especial del lımite in-verso de un sistema inverso de A-modulos. Como muchas propiedades de la com-pletacion M de un A-modulo filtrado M se pueden deducir mas facilmente de laspropiedades del lımite inverso, a continuacion recordamos la definicion, construc-cion y propiedades que usaremos de este lımite. Para comenzar, los datos de la cons-truccion anterior incluıan una familia de modulos M/Mn indexada por los enterosN0{0} no negativos y para cada m& n se tienen un morfismos & n

m : M/Mn "M/Mmtales que si m & n & k satisfacen que & n

m 2& kn = & k

m.

Lo primero que se generaliza es el conjunto ordenado de ındices. Si ' es unconjunto con una relacion 3 que satisface

(i) Es reflexiva, i.e., i 3 i para todo i # A.

(ii) Es transitiva, i.e., i 3 j y j 3 k implican que i 3 k.

Diremos que (' ,3) es un conjunto dirigido1 si ademas satisface que:

(iii) Para cada par i, j # ' existe un k # ' tal que i 3 k y j 3 k.

Ahora, si A es un anillo y ' es un conjunto dirigido, un sistema inverso es unafamilia de A-modulos {Mi}i#' indexada por ' y una familia de A-morfismos ( j

i :Mj " Mi, para cada par de ındices i, j # ' tal que i 3 j (del !!grande al chico"") quesatisfacen las condiciones siguientes:

(i) ( ii = idMi , para todo i # ' .

(ii) ( ji 2(k

j = (ki , siempre que i 3 j 3 k en ' .

Consideremos entonces el producto directo #k Mk y los diagramas siguientes,para cada i 3 j:

#Mkp j

++$$$$

$$$$ pi

,,%%%%

%%%%

Mj( j

i

$$ Mi

donde pn : #Mk " Mn son las proyecciones del producto directo. En general, estosdiagramas no conmutan, ya que dado (xk) # #Mk no hay razon generica para que( j

i 2 p j(xk) = ( ji (x j) sea igual a pi(xk) = xi. Consideremos entonces el subconjunto

lim4$Mk ! #Mk dado por aquellos elementos (xk) tales que ( ji 2 p j(xk) = xi. Cla-

ramente, lim4$Mk es un submodulo de #Mk y restringiendo las proyecciones pn alim4$Mk los triangulos inferiores del diagrama siguiente conmutan, siempre que i 3 jen ' :

1 Note que no exigimos que la relacion sea antisimetrica, i.e. que i 3 j y j 3 i impliquen que i = j,sin embargo en muchos de los ejemplos este es el caso y por lo tanto (' ,3) sera un conjuntoparcialmente ordenado en esos ejemplos.


#Mk

p j

--

pi

..

lim4$Mk! "

''

p j

//&&&&

&&&& pi

00%%%%

%%%%

Mj( j

i

$$ Mi

El modulo lim4$Mk se conoce como el lımite inverso del sistema {Mk,( ji }' y la

proposicion siguiente lista sus propiedades mas importantes, en particular su unici-dad justificando el artıculo determinado:

Proposicion 7.5 (Propiedad universal del lımite inverso) Si {Mk,( ji }' es un sis-

tema inverso de A-modulos, el modulo lim4$Mk junto con las proyecciones pn :lim4$Mk " Mn es tal que siempre que i 3 j en ' , los triangulos siguientes conmutan

lim4$Mkp j

//&&&&

&&&& pi

00%%%%

%%%%

Mj( j

i

$$ Mi

y si M es cualquier otro A-modulo junto con morfismos qk : M " Mk, para cadak # ' , tales que los triangulos del diagrama siguiente conmutan

Mq j

11''''

'''

qi

22(((

((((

(

Mj( j

i

$$ Mi

entonces existe un unico morfismo ) : M " lim4$Mk tales que los triangulos lateralesdel diagrama siguiente conmutan:

M

)33q j

--

qi

..

lim4$Mkp j

//&&&&

&&&& pi

00%%%%

%%%%

Mj( j

i

$$ Mi

es decir, p j 2) = q j, para toda j # ' .

Demostracion. La primera parte se probo antes del enunciado. Para definir ) , seax # M y pongamos )(x) = (qk(x)). Note que si i 3 j entonces,

( ji 2 p j(qk(x)) = ( j

i (q j(x)) = qi(x)


porque el segundo diagrama del enunciado conmuta por hipotesis. Se sigue que(qk(x)) # lim4$Mk y por lo tanto ) tiene el codominio indicado. Como las qk sonmorfismos, ) tambien lo es. Ahora, si x # M, calculando

p j 2)(x) = p j(qk(x)) = q j(x)

por lo que ) hace conmutar los triangulos laterales. Si * : M " lim4$Mk es otromorfismo tal que p j 2 * = q j, para toda j # ' , entonces si x # M, escribien-do *(x) = (zk) # lim4$Mk y aplicando las proyecciones canonicas p j se tiene quep j(*(x)) = p j(zk) = z j y como p j 2 * = q j, entonces z j = q j(x) y por lo tanto*(x) = )(x), como se querıa. ,-

Corolario 7.6 Si {Mk,( ji }' es un sistema inverso de A-modulos, el modulo lim4$Mk

junto con las proyecciones pk : lim4$Mk " Mk es unico, salvo isomorfismo, con lapropiedad universal de la proposicion anterior.

Demostracion. La usual para objetos que satisfacen propiedades universales. ,-

Ejemplo 5. El caso que nos interesa es cuando se tiene un A-modulo filtrado M, confiltracion {Mk}k#Z, de tal forma que el sistema inverso esta dado por los cocientesM/Mk y los morfismos naturales & n

m : M/Mn " M/Mm, siempre que m & n. En elcaso cuando la topologıa inducida por la filtracion {Mk} es Hausdorff, el modulolim4$M/Mk es isomorfo a la completacion M de M definida usando sucesiones deCauchy.

En el caso general, diremos que por definicion,

M := lim4$M/Mk

es la completacion o completado de M. Observe ahora que los epimorfismos canoni-cos qk : M ! M/Mk inducen, por la propiedad universal del lımite inverso, un unicoA-morfismo

) : M " M = lim4$M/Mk

tal que los diagramas del corolario siguiente conmutan:

Corolario 7.7 Si {Mk}k#Z es una filtracion de un A-modulos M, existe un unicoA-morfismo ) : M " M tal que los diagramas siguientes conmutan, siempre quei & j:

M

)33q j

--

qi

..

Mp j

//$$$$

$$$$ pi

,,%%%%

%%%%

M/Mj( j

i

$$ M/Mi


Dejamos para el ejercicio 4 el probar que, cuando la topologıa es Hausdorff,) : M " M corresponde a la inclusion de M en su completado, enviando un ele-mento x # M a la clase de equivalencia de la sucesion constante (x). Otra parte delejercicio sera probar que la imagen )(M)! M es densa, cuando a M se le da la to-pologıa como subespacio de #M/Mk, donde cada M/Mk tiene la topologıa discretay #M/Mk la topologıa producto. Mas aun, ) es continua. Note que en general, elnucleo de ) : M " M es

!n%0 Mn.

Ejemplo 6. Ordenando los enteros de Z por divisibilidad, i.e., m 3 n si y solo si m|n,se tiene la filtracion mZ. nZ siempre que m|n, i.e.,

Z= 1Z. · · ·. mZ. nZ. · · ·

y los anillos Z/nZ junto con las las proyecciones canonicas Z/nZ"Z/mZ siempreque m|n, forman un sistema inverso cuyo lımite inverso, la completacion de Z, seconoce como el anillo de Prufer

$Z := lim4$m

Z/mZ.

Ejemplo 7. Si I = pZ! Z, con p un primo, se tiene la filtracion p-adica {pnZ}n%0de Z, donde notamos que

!pnZ = 0 por lo que la topologıa correspondiente es

Hausdorff. La completacion p-adica de Z esta dada considerando los anillos Z/pnZ,para n # N, junto con los morfismos naturales Z/pnZ " Z/pmZ para n % m, queforman un sistema inverso:

· · ·" Z/pm+1Z" Z/pmZ" Z/pm$1Z" · · ·" Z/pZ

cuyo lımite inverso, la completacion p-adica de Z, es el anillo de enteros p-adicos:

Zp := lim4$m

Z/pmZ.

Ejemplo 8. En general, si I ! A es un ideal, para la filtracion I-adica {In}n%0 delejemplo 1, la completacion A se llama la completacion I-adica de A. El nucleo delmorfismo A " A de 6.7 es

!In por lo que el morfismo anterior es inyectivo si y solo

si la topologıa I-adica de A es Hausdorff.

Ejemplo 9. Si A es cualquier anillo conmutativo y B=A[x1, . . . ,xn] es el anillo de po-linomios en n indeterminadas con coeficientes en A y m= 5x1, . . . ,xn6 (ideal de B),entonces la completacion m-adica de B es el anillo de series de potencias formalescon coeficientes en A:

B 7 A[[x1, . . . ,xn]]

donde recordamos que los elementos de A[[x1, . . . ,xn]] son las expresiones de laforma


f = "(")

a(")xi11 · · ·xin

n

con (") = (i1, . . . , in) n-adas ordenadas de enteros ik % 0 y los coeficientes a(") # A.Suma y producto de dos series formales se definen en la forma natural de tal maneraque A[[x1, . . . ,xn]] es un anillo conmutativo con uno. Observe que cada polinomiof # A[x1, . . . ,xn] se puede ver como una serie formal (finita) y por lo tanto se tieneninclusiones

A !" A[x1, . . . ,xn] !" A[[x1, . . . ,xn]].

Para demostrar la afirmacion inicial de que A[x1, . . . ,xn ] 7 A[[x1, . . . ,xn]], comen-zamos observando que se tienen los morfismos

A[[x1, . . . ,xn]]" A[x1, . . . ,xn]/mi = B/mi

que mandan f (" f +mi (notando que esta ultima expresion en efecto trunca la serieformal f a (la clase lateral de) un polinomio de grado & i) y ası, por la propiedaduniversal de la completacion (i.e., del lımite inverso B = lim4$B/mi) los morfismosanteriores inducen un unico morfismo

A[[x1, . . . ,xn]]" B

que manda f (" ( f +m, f +m2, f +m3, . . .) # B ! #B/mi. Este morfismo tienecomo inverso a la funcion que manda ( f1 +m, f2 +m2, f3 +m3, . . .) # B, con los fipolinomios compatibles, i.e., tales que

fi = f j + terminos de grado > mın{i, j},

a la serie de potencias formales f1 +( f2 $ f1)+( f3 $ f2)+ · · · , notando que esta esuna serie de potencias formales porque los grados de fi+1 $ fi son % i+1 y la seriees independiente de la eleccion de los fi en las clases fi +mi.

En 7.27 probaremos que si A es noetheriano, entonces A[[x1, . . . ,xn]] tambien loes, un hecho analogo al teorema de la base de Hilbert y que sera valido en general,i.e., si A es noetheriano entonces su completacion I-adica A tambien sera noetheria-na, como probaremos en 7.26.

Propiedades de exactitud. Si {Mi,( ji }' y {Ni,+ j

i }' son dos sistemas inversos conel mismo conjunto de ındices ' , un morfismo de sistemas inversos es una familia deA-morfismos { fi : Mi " Ni}i#' tales que los diagramas siguientes conmutan paratodo i & j en '

Mj

f j33

( ji $$ Mi

fi33

M8j

+ ji

$$ M8i


Obviamente la identidad {idi : Mi " Mi}i#' es un morfismo de sistemas inversosy la composicion de dos morfismos de sistemas inversos tambien lo es. Si 0 = {0}'es el sistema inverso cero, se tienen los morfismos de sistemas inversos obvios 0 "{Mi} y {Mi} " 0. Supongamos ahora que { fi : Mi " Ni}i#' es un morfismo desistemas inversos. Considerando los diagramas

lim4$Mkp j

//&&&&

&&&& pi

00%%%%

%%%%

Mj

f j

33

( ji

$$ Mi

fi33

Nj+ j

i $$ Ni

lim4$Nk

q j

44)))))))) qi

55$$$$$$$$$

notamos que como + ji 2 ( f j 2 p j) = fi 2 pi, entonces la propiedad universal de lim4$Ni

implica la existencia de un unico morfismo f : lim4$Mk " lim4$Nk tal que q j 2 f =f j 2 p j, para toda j # ' .

Note que si { fi : Mi " Ni}i#' y {gi : Ni " Pi}i#' son morfismos de sistemasinversos y f : lim4$Mk " lim4$Nk, g : lim4$Nk " lim4$Pk son los morfismos inducidos enlos lımites inversos, entonces g2 f : lim4$Mk " lim4$Pk es el morfismo inducido por lacomposicion {gi 2 fi : Mi " Pi}i#' . Claramente el morfismo inducido por la iden-tidad {idi : Mi " Mi}i#' es la identidad id : lim4$Mk " lim4$Mk. Hemos ası mostradoque el lımite inverso es un funtor covariante.

Ejemplo 10. Si M es un A-modulo con una filtracion {Mn} y ademas tiene otra fil-tracion {M8

n}, hemos visto que cada filtracion define una topologıa en M tomandocomo base los submodulos de la filtracion correspondiente. Sabemos entonces quepara que las dos filtraciones definan la misma topologıa en M se requiere que paracada Mi exista un M8

j tal que M8j ! Mi y recıprocamente, i.e., para cada M8

k exista unMt tal que Mt ! M8

k. Entonces, las completaciones definidas usando sucesiones deCauchy en M son la misma. Para ver lo anterior usando la definicion de completa-cion en terminos de lımites inversos, observemos que la condicion de que para cadaMi exista un M8

k ! Mi implica que se tienen morfismos

M/Mi " M/M8k

que son compatibles con las proyecciones, es decir, si i & j escogiendo M8k ! Mi

y M8t ! Mj, y escogiendo " % k, t de tal forma que M8

" ! M8t ! Mj y M8

" ! M8k, los

cuadrados siguientes conmutan


M/Mj

33

$$ M/Mi

33M/M8

"$$ M/M8

k

por lo que estos morfismos inducen lim4$M/Mk " lim4$M/M8k, y similarmente para la

condicion de que para cada M8i exista un Mj tal que Mj ! M8

i se tienen los diagramascorrespondientes que inducen el morfismo lim4$M/M8

k " lim4$M/Mk. Dejamos comoun ejercicio el probar que estos dos morfismos son inversos uno del otro y por lotanto

lim4$M/Mk 7 lim4$M/M8k

por lo que la completacion M solo depende de la topologıa de M.

Una sucesion de sistemas inversos (indexados por ' )

0 " {M8i}"{ Mi}"{ M88

i }" 0

se dice que es exacta si para cada i # ' las sucesiones de modulos

0 " M8i " Mi " M88

i " 0

son exactas. Podemos entonces considerar los morfismos inducidos en los lımites:

0 " lim4$M8i " lim4$Mi " lim4$M88

i " 0

y la proposicion siguiente nos dice lo que podemos esperar sobre la exactitud de estasucesion, donde la primera parte nos dice que el lımite inverso es un funtor exactoizquierdo:

Proposicion 7.8 Si 0 " {M8i} "{ Mi} "{ M88

i } " 0 es una sucesion exacta desistemas inversos, entonces:

(1) La sucesion0 " lim4$M8

i " lim4$Mi " lim4$M88i

es exacta.

(2) Si para el sistema inverso {M8j,(

ji } los morfismos ( j

i : M8j " M8

i son suprayec-tivos (en cuyo caso diremos que {M8

i ,(j

i } es un sistema suprayectivo), entonces

0 " lim4$M8i " lim4$Mi " lim4$M88

i " 0

es exacta.

Demostracion. Defina d8 : #M8i " #M8

i mediante d8(xi) =%xi $( j

i (x j)&

de tal for-ma que lim4$M8

k = kerd8. Similarmente defina d : #Mi " #Mi y d88 : #M88i " #M88

i .Como el producto directo es un funtor exacto, entonces la sucesion exacta de sis-temas inversos 0 " {M8

i} " {Mi} " {M88i } " 0 induce el diagrama conmutativo

siguiente, con renglones exactos,


0 $$ #M8i

d8

33

$$ #Mi

d33

$$ #M88i

d88

33

$$ 0

0 $$ #M8i

$$ #Mi $$ #M88i

$$ 0

que, por el lema de la serpiente, induce una sucesion exacta de la forma

0 " kerd8 " kerd " kerd88 ,$" Cokerd8 " Cokerd " Cokerd88 " 0

lo cual prueba la parte (1). Para probar (2) debemos mostrar que Cokerd8 = 0 o loque es lo mismo, debemos mostrar que d8 : #M8

i " #M8i es suprayectivo, i.e., que

para todo (yk) # #M8i existe (xk) # #M8

i tal que d8(xk) = (yk), i.e., tal que

(9) xi $( ji (x j) = yi

para todo i. Observe ahora que como los ( ji : M8

j ! M8i son suprayectivos, entonces

las ecuaciones (9) siempre son solubles, es decir, para xi$yi # M8i existe x j # M8

j talque ( j

i (x j) = xi $ yi, como se querıa. ,-

Ejemplo 11. Si M es un A-modulo con una filtracion {Mi}' y N !M es un submodu-lo con la filtracion inducida Ni = N /Mi y la filtracion cociente en M/N dada por(M/N)i = (Mi +N)/N, vea el ejemplo 3, entonces

0 " {N/Ni}"{ M/Mi}"{ (M/N)/(M/N)i}" 0

es una sucesion exacta corta de sistemas inversos ya que

(M/Mi)/(N/Ni) = (M/Mi)/(N/(N /Mi))7 (M/Mi)/((Mi +N)/Mi)

7 M/(Mi +N)7 (M/N)/((Mi +N)/N)

= (M/N)/(M/N)i

y como los morfismos del sistema {(M/N)/(M/N)i} son suprayectivos, entonces:

Corolario 7.9 Si M es un A-modulo filtrado y N ! M es un submodulo con la fil-tracion inducida y M/N la filtracion cociente, entonces se tiene la sucesion exactade completaciones:

0 " N " M " !M/N " 0

y por lo tanto !M/N 7 M/N.,-

En particular, para N = Mi ! M, se tiene la sucesion exacta corta

0 " Mi " M " "M/Mi " 0


por lo que M es un modulo filtrado por los Mi, y como vimos en el parrafo antes delejemplo 1, M/Mi es discreto y por lo tanto "M/Mi = M/Mi y ası la sucesion exactacorta anterior implica:

Corolario 7.10 Si {Mi} es una filtracion en el A-modulo M, entonces para la fil-tracion {Mi} de M se tiene que

M/Mi 7 M/Mi.,-

Corolario 7.11 Si {Mi} es una filtracion en el A-modulo M, entonces ˆM 7 M.

Demostracion. Por el corolario anterior

ˆM = lim4$M/Mi 7 lim4$M/Mi = M.

,-

Si M 7 M, se dice que M es completo. Ası, el corolario anterior dice que elcompletado M de un modulo M es completo.

Ejemplo 12. En los ejemplos 6 y 7, para las completaciones Z y Zp, notese que por7.9 se tienen isomorfismos

$Z/n$Z7 Z/nZ.

Ahora, si cada natural n se descompone como producto de primos n = #p pnp , en-tonces, por el teorema chino del residuo, se tiene una descomposicion

$Z7 #pZp.

Anillos y modulos graduados. Un anillo graduado es un anillo A junto con unafamilia de subgrupos aditivos {An}n%0 tales que A =

'An y AmAn ! Am+n, para

todo m,n% 0. En particular, A0A0 !A0 y por lo tanto A0 es un subanillo de A. Si A esun anillo graduado con graduacion {An}, un A-modulo graduado es un A-modulo Mjunto con una familia de subgrupos aditivos {Mn}n%0 tales que M =

'Mn y AmMn !

Mm+n, para todo m,n % 0. Si M ='

Mn y N ='

Nm son A-modulos graduados,un morfismo de modulos graduados es un A-morfismo f : M " N tal que f (Mn)!Nm, para todo m % 0. Si x # Mn ! M =

'Mk, diremos que x es homogeneo de

grado n. Todo elemento x # M se puede escribir como una suma finita de elementoshomogeneos x = "xn, con xn # Mn, y los sumandos homogeneos xn se llaman lascomponentes homogeneas de x.

Ejemplo 13. Si A = K[x1, . . . ,xn] es el anillo de polinomios sobre un anillo K, en-tonces A es un anillo graduado definidiendo Ak como el conjunto de polinomioshomogeneos de grado k:


f (x1, . . . ,xn) = "i1+···+in=k

ai1+···+in xi11 · · ·xin

n .

Ejemplo 14. Si A es un anillo e I ! A es un ideal, entonces

BI(A) = A9 :=(

n%0In

es un anillo graduado al que se llama el algebra de dilatacion. Notese que comoA = I0 ! BI(A), entonces BI(A) es, en efecto, una A-algebra. Similarmente, si M esun A-modulo con una filtracion {Mn}n%0 compatible con I, i.e., tal que IMn ! Mn+1,entonces

BI(M) = M9 =(

Mn

es un A9-modulo graduado ya que ImMn ! Mm+n.

Ejemplo 15. Si A es noetheriano e I = 5a1, . . . ,an6, en el ejemplo anterior se tieneque

A9 = A[a1, . . . ,an]

y es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert.

Ejemplo 16. Si A es un anillo e I es un ideal de tal manera que A tiene la filtracionI-adica {In}n%0, sea

grI(A) = gr(A) :=(

n%0In/In+1 = A/I +:I/I2 : I2/I3 : · · ·

donde I0 := A. Entonces, grI(A) es un anillo graduado donde la suma es la del grupoaditivo que define la suma directa y para el producto, si am # Im/Im+1 y an # In/In+1

estan representados por am # Im y an # In, entonces el producto aman := aman #Im+n/Im+n+1. Se verifica directamente que lo anterior esta bien definido, i.e., nodepende de los representantes y que gr(A) es un anillo conmutativo con uno, alque se conoce como el anillo graduado asociado a A. Similarmente, si M es unA-modulo con una filtracion {Mn}n%0 tal que IMn ! Mn+1, el modulo graduadoasociado de M es

grI(M) = gr(M) :=(

n%0Mn/Mn+1

y se prueba facilmente que gr(M) es un gr(A)-modulo.

Lema 7.12 Sean A un anillo noetheriano, M un A-modulo finitamente generado y{Mn} una filtracion de M tal que IMn ! Mn+1. Son equivalentes:

(1) M9 es un A9-modulo finitamente generado.

(2) Existe n0 % 0 tal que IMn = Mn+1 para todo n % n0. (En este caso diremos quela filtracion es I-estable).


Demostracion. Supongamos que M9 es finitamente generado. Sus generadores estanentonces en los primeros n0 sumandos Mi, para algun n0. Reemplazando estos ge-neradores por sus componentes homogeneas, estas siguen siendo un numero finitoy generan M9. Esto implica que Mn0 :Mn0+1 · · · esta generado por Mn0 como A9-modulo y por lo tanto Mi+no = IiMn0 para todo i % 0, i.e., la filtracion es I-estable.Recıprocamente, si Mi+n0 = IiMn0 para algun n0 y todo i % 0, entonces M9 esta ge-nerado por la union de los generadores de los Mi para i & n0 y este es un conjuntofinito ya que cada Mi es finitamente generado porque A es noetheriano y M es fini-tamente generado. ,-

Ejemplo 17. La filtracion I-adica de cualquier A-modulo M es estable porqueI(InM) = In+1M.

El lema de Artin-Rees. Sean I # A un ideal propio y N !M un submodulo. Si en Mse considera la filtracion I-adica {IiM}i%0, se tienen dos filtraciones en N, a saber,la filtracion I-adica {IiN}i%0 y la filtracion inducida {N/ IiM}i%0 como submodulodel modulo filtrado M (ejemplo 3). Claramente

IiN ! N / IiM

y en general no se tiene la igualdad, pero si A es noetheriano y M es finitamentegenerado, entonces las dos topologıas en N coinciden como una consecuencia dellema de Artin-Rees que a continuacion probaremos.

Teorema 7.13 (Lema de Artin-Rees) Sean A un anillo noetheriano, M un A-modu-lo finitamente generado, I ! A un ideal y N ! M un submodulo. Entonces, existe unentero n0 tal que para todo n > n0 se tiene que

N / InM = In$n0(N / In0M).

Como la filtracion I-adica {IiM} es I-estable, por el ejemplo 17, el teorema an-terior se puede formular de manera mas general:

Teorema 7.14 (Artin-Rees) Sean A un anillo noetheriano, M un A-modulo finita-mente generado, I ! A un ideal y N ! M un submodulo. Si {Mi}i%0 es una filtracionI-estable de M, entonces la filtracion inducida {N /Mi}i%0 en N es I-estable, esdecir, existe un n0 tal que para todo i % 0,

N /Mi+n0 = Ii(N /Mn0).

Demostracion. Claramente N9 ! M9 es un A9-submodulo y como I es finitamentegenerado, por el ejemplo 15 se sigue que A9 es finitamente generada como A-algebray por lo tanto A9 es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert, y como porhipotesis M9 es I-estable, por el lema 7.12 anterior M9 es finitamente generado yası N9 es finitamente generado tambien ya que A9 es noetheriano. La generacionfinita de N9 y el lema 7.12 anterior implican que la filtracion {N/Mi}i% es I-estable.

,-


La completacion I-adica. Por el ejemplo 17 la filtracion I-adica de un A-modulocualquiera es I-estable. Por lo tanto, para mostrar que cualesquiera filtraciones I-estables en M definen la misma topologıa basta compararlas con la topologıa I-adica:

Proposicion 7.15 Si {Mn} es una filtracion I-estable de M, entonces define la mis-ma topologıa en M que la filtracion I-adica {InM}.

Demostracion. Se tiene que IMn ! Mn+1 para todo n y por lo tanto IM = IM0 ! M1y ası I2M ! IM1 ! M2 y recursivamente InM ! Mn para todo n. Recıprocamente,como existe un n0 tal que IMn = Mn+1 para todo n % n0, entonces IMn0 = Mn0+1 yası I2Mn0 = IMn0+1 = Mn0+2 y recursivamente

Mn+n0 = InMn0 ! InM

es decir, Mn+n0 ! InM para n % n0. ,-

De la proposicion anterior y del lema de Artin-Rees y en el caso cuando el anilloA es noetheriano se sigue que:

Corolario 7.16 Si A es un anillo noetheriano, I ! A es un ideal, M es un A-modulofinitamente generado y N ! M es un submodulo, entonces las topologıas I-adicade N y la inducida como subespacio topologico de M, donde M tiene la topologıaI-adica, son la misma.

,-

Propiedades de exactitud de la completacion. Como una aplicacion de 7.9 y 7.16obtenemos:

Teorema 7.17 Sea A un anillo noetheriano y sea 0 " M8 " M " M88 " 0 unasucesion exacta corta de A-modulos finitamente generados. Sea I un ideal de A.Entonces, la sucesion de completaciones I-adicas siguiente es exacta:

0 " M8 " M " M88 " 0.

Demostracion. Solo observamos que por 7.16 la topologıa I-adica de M8 es equiva-lente a la topologıa de M8 como subespacio de M con la topologıa I-adica. ,-

El morfismo natural A " A induce una estructura de A-algebra en A y ası paracualquier A-modulo M se tiene el A-modulo A;A M y el A-morfismo M " M induceel A-morfismo siguiente:

A;A M " A;A M " A;A M 7 M

Corolario 7.18 Si A es noetheriano y M es finitamente generado, el morfismo na-tural anterior A;A M " M es un isomorfismo.

Demostracion. Considere la sucesion exacta corta 0 " M8 " M8 :M88 " M88 " 0 ysea I ! A un ideal. Como A es noetheriano, por 7.17 se tiene la sucesion exacta corta


de completaciones I-adicas 0 " M8 " "M8 :M88 " M88 " 0 que se escinde, porquela sucesion original lo hace. "M8 :M88 7 M8 : M88. Usando lo anterior e induccionse prueba que la completacion I-adica conmuta con sumas directas finitas. Por lotanto, si n % 1, se tiene que A;A An 7 (A;A A)n 7 (A)n 7 )An. Ahora, como M esfinitamente generado, se tiene una sucesion exacta corta de la forma 0 " N " An "M " 0, que da lugar al diagrama conmutativo siguiente con renglones exactos:

A;A N

f33

! $$ A;A An

g33

- $$ A;A M

h33

$$ 0

0 $$ N *$$ )An

,$$ M $$ 0

donde el renglon inferior es exacto por 7.17 ya que A es noetheriano y los modulosson finitamente generados y el renglon superior es exacto porque tensorar es exactoderecho. Como vimos antes, g es un isomorfismo y por lo tanto h es suprayectivopor la conmutatividad del cuadrado de la derecha. Ahora, como A es noetheriano yAn es finitamente generado, entonces N es finitamente generado, y por el argumentoanterior reemplazando M con N se sigue que f es suprayectivo. Finalmente, unacacerıa en el diagrama demuestra que si h(x) = 0, entonces x = 0, i.e. h es inyectivo.

,-

Corolario 7.19 Si A es noetheriano, entonces A es plano como A-modulo.

Demostracion. Por 7.8 (1), el funtor completacion M (" M es exacto izquierdo y ası,por el corolario anterior el funtor M (" A;A M 7 M tambien es exacto izquierdo,en la categorıa de modulos finitamente generados y por lo tanto en la categorıa detodos los A-modulos por 2.13. ,-

Ejemplo 18. Si A es noetheriano, el anillo de series formales A[[x1, . . . ,xn]] es unA-modulo plano. En efecto, por el ejemplo 9, el anillo A[[x1, . . . ,xn]] es la com-pletacion 5x1, . . . ,xn6-adica del anillo de polinomios A[x1, . . . ,xn] y este ultimo esnoetheriano por el teorema de la base de Hilbert y ası el corolario anterior implicaque A[[x1, . . . ,xn]] es un A[x1, . . . ,xn]-modulo plano. Pero, como A[x1, . . . ,xn] es librecomo A-modulo, entonces A[[x1, . . . ,xn]] es plano como A-modulo.

Si M es un A-modulo finitamente generado y A y M tienen la filtracion I-adica,el resultado siguiente identifica el nucleo

!InM del morfismo M " M:

Corolario 7.20 (Teorema de interseccion de Krull) 2 Sean A un anillo noethe-riano, I # A un ideal y M un A-modulo finitamente generado con la filtracion I-adica. Entonces, el nucleo ker(M " M) =

!InM esta dado por

N = {x # M : existe a # A tal que 1$a # I y ax = 0}.

Mas aun, si I ! J(A), entonces N = 0 y por lo tanto la topologıa I-adica de M esHausdorff.2 Vea 4.10 y 4.11.


Demostracion. Para comenzar, si x # N, es decir, si x # M es tal que ax = 0 con1$a # I, entonces

x = (1$a)x = (1$a)2x = · · · #!#

n=1InM = ker(M " M).

Para la otra inclusion, si x #!

InM observe primero que como!

InM es la inter-seccion de todas las vecindades del 0 # M, la topologıa en

!InM como subespacio

de M es la trivial, i.e.,!

InM es la unica vecindad del 0 #!

InM. Por 7.16 la topo-logıa inducida en

!InM coincide con su topologıa I-adica y como I(

!InM) es una

vecindad del 0 en la topologıa I-adica, se debe tener que

(9) I%#

InM&=

#InM.

Observe ahora que, como M es finitamente generado y A es noetheriano, entonces!InM es finitamente generado y ası de la igualdad (9) por el ejercicio 1 inciso (1)

del capıtulo 4 (una variacion del lema de Nakayama 4.8) se sigue que existe a$1# Ital que a(

!InM) = 0, en particular ax = 0 y por lo tanto x # N.

La ultima afirmacion se sigue del hecho de que 1$ a # I ! J(A) implica que aes una unidad de A. ,-

Un caso particular del corolario anterior es:

Corolario 7.21 Si (A,m) es un anillo noetheriano local y M es un A-modulo finita-mente generado, entonces las topologıas m-adicas de A y M son Hausdorff.

,-

Si S = 1+ I, entonces S es un subconjunto multiplicativo de A y como el nucleodel morfismo de localizacion A " S$1A esta formado por los elementos de A quetienen S-torsion, i.e., anulados por algun elemento de S, entonces este nucleo es elmismo N del corolario anterior, es decir, los nucleos de los morfismos

A " S$1A y A " A

son iguales. Observe ahora que si a # I, entonces la serie

1+a+a2 +a3 + · · ·

converge en A porque la sucesion {an} converge a cero. Claramente

(1$a)(1+a+a2 +a3 + · · ·) = 1

y ası para todo elemento de S = 1+I su imagen en A es una unidad. Por la propiedaduniversal de S$1A se sigue que existe un morfismo natural S$1A " A y el corolarioanterior implica que este morfismo es inyectivo y ası S$1A se puede identificar conun subanillo de A.


Noetherianidad de una completacion. El objetivo principal es probar que si A esnoetheriano e I # A es un ideal, entonces A es noetheriano. Comenzamos con unaconsecuencia de 7.10:

Corolario 7.22 Si A es un anillo filtrado por {In}n%0 y M es un A-modulo con unafiltracion {Mn}n%0 compatible con la de A, i.e., tal que ImMn ! Mm+n, sean

gr(A) :=(

n%0In/In+1 y gr(M) :=

(

n%0Mn/Mn+1.

(Generalizaciones del ejemplo 16. Es claro que gr(M) es un gr(A)-modulo). Enton-ces, los morfismos canonicos ( : A " A y ( : M " M inducen isomorfismos

gr(A)7 gr(A) y gr(M)7 gr(M).

Demostracion. El morfismo canonico ( : A" A es el inducido por los epimorfismosqn : A ! A/In que hacen conmutar los diagramas

A

(33 qm

66

qn

77

Apm

22***

****

*pn

11''''

''''

A/In (nm

$$ A/Im

y por 7.10 se tiene que A/In 7 A/In de donde se siguen, como en 4.14, por el lemadel quinto, los isomorfismos In/In+1 7 In/In+1 y por lo tanto el isomorfismo gr(A)7gr(A). Para M es similar. ,-

Proposicion 7.23 Sea f : M " N un A-morfismo de A-modulos filtrados. Si Mes completo, N es Hausdorff y gr( f ) : gr(M) " gr(N) es suprayectivo, entoncesf (Mn) = Nn para todo n, y N es completo.

Demostracion. Como f es morfismo de modulos filtrados, entonces f (Mn) ! Nnpara todo n. Mostraremos que f (Mn) =Nn. Supongamos que y#Nn. Para comenzar,probaremos que existe una sucesion {xk}k%0 de elementos de Mn tales que

(9) xk+1 < xk (mod Mn+k) y f (xk)< y (mod Nn+k).

Usaremos induccion, comenzando con x0 = 0 # Mn notando que f (x0) = f (0) < y(mod Nn) porque y#Nn. Supongamos que ya se construyo xk. Entonces, f (xk)$y#Nn+k y como gr( f ) es suprayectivo existe un tk # Mn+k tal que f (tk) < f (xk)$ y(mod Nn+k+1). Poniendo xk+1 = xk $ tk claramente se cumple (9). La sucesion {xk}es de Cauchy y como M es completo, su lımite x = lım{xk} # M. Ahora, comoobservamos en el parrafo antes del ejemplo 1, Mn es cerrado y como los xk # Mn sesigue que x # Mn y satisface que f (x) = lım f (xk) = y, porque f (xk)$y # Nn+k para


todo k. Por lo tanto f (Mn) = Nn, como se querıa. En particular, f es suprayectiva.Finalmente, como la topologıa de N es cociente de la topologıa de M, se sigue queM es completo. ,-

Corolario 7.24 Sean A un anillo filtrado completo y M un A-modulo filtrado Haus-dorff. Sean x1, . . . ,xk # M y sean n1, . . . ,nk enteros tales que xi # Mni . Sea xi la ima-gen de xi en el cociente Mni/Mni+1. Si los xi generan gr(M) como gr(A)-modulo,entonces los xi generan M como A-modulo y M es completo.

Demostracion. Sea E = Ak (la suma directa de k copias de A) y sea En ! E elsubgrupo aditivo formado por las k-adas (a1, . . . ,ak) tales que ai # In$ni . Note que si(a1, . . . ,ak) # En+1, entonces ai # In+1$ni ! In$ni y por lo tanto (a1, . . . ,ak) # En, esdecir, {En} es una filtracion de E. Claramente la topologıa que induce esta filtracionen E es la topologıa producto de E = Ak. Ahora sea f : E " M el A-morfismo dadopor f (a1, . . . ,ak) = "k

i=1 aixi. Es claro que f es un morfismo de modulos filtradosy como por hipotesis los xi generan gr(M), entonces el morfismo gr( f ) : gr(E) "gr(M) es suprayectivo con E = Ak completo. Por la proposicion 7.23 anterior sesigue que f : E = Ak " M es suprayectivo, los xi generan M y M es completo. ,-

Corolario 7.25 Sean A un anillo filtrado completo y M un A-modulo filtrado Haus-dorff.

(1) Si gr(M) es finitamente generado como gr(A)-modulo, entonces M es finitamentegenerado.

(2) Si gr(M) es noetheriano como gr(A)-modulo, entonces M es noetheriano tam-bien.

Demostracion. La parte (1) es el corolario anterior. Para (2), si N ! M es cualquiersubmodulo, al equiparlo con la filtracion inducida de la de M se tiene que gr(N)es un gr(A)-submodulo graduado de gr(M). Como gr(M) es noetheriano, entoncesgr(N) es finitamente generado y ası, por el corolario anterior (o la parte (1)) se sigueque N es finitamente generado y por lo tanto M es noetheriano. ,-

Corolario 7.26 Sean I # A un ideal. Si A es noetheriano, entonces A tambien lo es.

Demostracion. Por el ejemplo 15, para I = 5a1, . . . ,am6 se tiene que gr(A) =A[a1, . . . ,an] es noetheriano, por el teorema de la base de Hilbert. Por 7.22 se tieneque gr(A)7 gr(A) y por lo tanto gr(A) es noetheriano. Por el corolario 7.25 anteriorse sigue que A es noetheriano. ,-

Corolario 7.27 Si A es noetheriano, entonces A[[x1, . . . ,xn]] tambien lo es.

Demostracion. Por el ejemplo 9, A[[x1, . . . ,xn]] es la completacion 5x1, . . . ,xn6-adicadel anillo de polinomios A[x1, . . . ,xn] el cual es noetheriano por el teorema de labase de Hilbert. ,-

Localizacion y lımites directos. En esta seccion, que bien pudiera haber ido en elcapıtulo 3, explicamos la afirmacion de que el proceso de completacion es dual del


proceso de localizacion de un modulo. Comenzamos con la nocion dual de la delımite inverso:

Si (' ,3) es un conjunto dirigido, un sistema directo de A-modulos y A-morfis-mos consiste de una familia de A-modulos {Mi}i#' indexada por ' y una familiade A-morfismos ( i

j : Mi " Mj, para cada par de ındices i, j # ' tal que i 3 j (del!!chico al grande"") que satisfacen las condiciones siguientes:

(i) ( ii = idMi , para todo i # ' .

(ii) ( jk 2( i

j = ( ik, siempre que i 3 j 3 k en ' .

Consideremos entonces la suma directa'

k Mk y los diagramas siguientes, paracada i 3 j:

'Mk

Mi

µi55$$$$$$$$

( ij

$$ Mj

µ j44))))))))

donde µn : Mn "'

Mk son las inclusiones canonicas en la suma directa en el lu-gar n. En general, estos diagramas no conmutan, ya que dado xi # Mi no hay razongenerica para que µ j 2( i

j(xi) = ( ij(x j) sea igual a µi(xi) = xi. Consideremos enton-

ces el submodulo N de'

Mk generado por todas las diferencias

µ j 2( ij(xi)$µi(xi) = ( i

j(xi)$ xi

donde i 3 j y xi # Mi y el modulo cociente lim$"Mk :='

Mk/N. Por abuso de no-

tacion, sigamos denotando con µi a la composicion Miµi$"

'Mk ! '

Mk/N =lim$"Mk. Entonces, los triangulos inferiores del diagrama siguiente conmutan, siem-pre que i 3 j en ' :

'Mk

3333lim$"Mk

Mi

µi55$$$$$$$$

µi

55

( ij

$$ Mj

µ j44))))))))

µ j

88

El modulo lim$"Mk se conoce como el lımite directo del sistema {Mk,( ij}' y la

proposicion siguiente lista sus propiedades mas importantes, en particular su unici-dad justificando el artıculo determinado:

Proposicion 7.28 (Propiedad universal del lımite directo) Si {Mk,( ij}' es un sis-

tema directo de A-modulos, el modulo lim$"Mk junto con los morfismos µn : Mn "lim$"Mk es tal que siempre que i 3 j en ' , los triangulos siguientes conmutan


lim$"Mk

Mi

µi55$$$$$$$$

( ij

$$ Mj

µ j44))))))))

y si M es cualquier otro A-modulo junto con morfismos qk : Mk " M, para cadak # ' , tales que los triangulos del diagrama siguiente conmutan

M

Mi( i

j

$$

qi

99++++++++Mj

q j::,,,,,,,

entonces existe un unico morfismo ) : lim$"Mk " M tales que los triangulos lateralesdel diagrama siguiente conmutan:

M

lim$"Mk

)

''

Mi

qi

;;

( ij

$$

µi55$$$$$$$$

Mj

qi

<<

µ j44))))))))

es decir, ) 2µ j = q j, para toda j # ' .

Demostracion. La primera parte se probo antes del enunciado. Para definir ) , sea(xk)# lim$"Mk y pongamos )(xk) = "qk(xk) (la suma es finita porque xk = 0 exceptopara un numero finito de ındices) y, recordando que lim$"Mk se definio como uncociente de la suma directa, observe que la conmutatividad del segundo diagramadel enunciado implica que ) se anula en el submodulo N !

'Mk y por lo tanto )

esta bien definida. Ahora, si xi # Mi, calculando

) 2µi(xi) = )(xi +N) = qi(xi)

por lo que ) hace conmutar los triangulos laterales. Si * : lim$"Mk " M es otro mor-fismo tal que * 2µ j = q j, para toda j #' , entonces si (xk+N)# lim$"Mk, escribiendoxk +N = µk(xk)+N se tiene que *(xk +N) = *(µk(xk)) = qk(xk) = )(xk +N) y porlo tanto * = ) , como se querıa. ,-

Corolario 7.29 Si {Mk,( ij}' es un sistema directo de A-modulos, el modulo lim$"Mk

junto con los morfismos µk : Mk " lim$"Mk es unico, salvo isomorfismo, con la pro-piedad universal de la proposicion anterior.

Demostracion. La usual para objetos que satisfacen propiedades universales. ,-

Ejemplo 19. El caso que nos interesa es cuando se tiene un subconjunto multipli-cativo S ! A. Para comenzar, podemos ordenar S por divisibilidad, i.e., si f ,g # S


diremos que f 3 g si y solo si f |g en A, es decir, si g = f r con r # A. Claramenteesta es una relacion reflexiva y transitiva. Ahora, si f ,g # S y f |g, consideremoslos anillos A f y Ag definidos por los subconjuntos multiplicativos S f = { f i}i%0 ySg = {gi}i%0. Como g = f r, se tiene un morfismo de anillos

# fg : A f " Ag dado por a/ f k (" ark/gk

donde notamos que como gk = f krk entonces a/ f k = ark/ f krk = ark/gk y la defi-nicion anterior no depende del elemento r y claramente es un morfismo de anillos.Se verifica directamente que si f |g y g|h en S, entonces #g

h 2# fg = # f

h y # ff = idA f ,

es decir, {A f ,# fg } es un sistema directo de anillos indexado por S.

Proposicion 7.30 Si S ! A es un subconjunto multiplicativo, entonces

S$1A 7 lim$"f#S

A f .

Demostracion. Si f # S, en el diagrama de morfismos canonicos de localizaciones

A# $$

# f

33

S$1A

A f

existe un unico morfismo ( : A f " S$1A que hace conmutar el diagrama, de he-cho esta dado por ((a/ f ) = a/ f ya que f # S. Ademas, siempre que f |g en S losdiagramas siguientes conmutan

S$1A

A f# f

g

$$

# f==$$$$$$$$

Ag

#g>>%%%%%%%%

y por lo tanto existe un unico morfismo # : lim$"A f " S$1A tal que los diagramassiguientes conmutan

S$1A

lim$"A f

#

''

A f# f

g

$$

µ f55$$$$$$$$

# f

??

Ag

µg>>%%%%%%%%

#g

44

despues use la propiedad universal de S$1 para definir un morfismo ) : S$1A "lim$"A f y pruebe que # 2) = id y ) 2# = id. ,-


El lema de Hensel. Si M es un A-modulo e I ! A un ideal, que M sea completo bajola topologıa I-adica quiere decir que el morfismo M " M es un isomorfismo, dondeM = lim4$M/IkM, y ası, para cada sucesion de Cauchy {xn} de elementos de M (i.e.,tal que xk $ xk+1 # IkM para toda k), existe un lımite

lım{xn}= x # M

i.e., existe un x # M tal que x$ xk # IkM, para todo k.

Proposicion 7.31 Sean M un A-modulo e I ! A un ideal.

(1) Si A es completo en la topologıa I-adica, entonces I ! J(A).

(2) Si A y M son completos en la topologıa I-adica y a# I, entonces la multiplicacionpor 1+a : M " M es un isomorfismo.

Demostracion. (1): Si a # I, entonces la sucesion {($1)nan}n%0 es de Cauchy y porlo tanto la serie

!

"n=0

($1)nan = 1$a+a2 $a3 + · · ·

converge en A y claramente su lımite es inverso multiplicativo de 1+a, i.e., 1+a #A9 y ası, por 4.7, a # J(A), i.e., I ! J(A).

(2): Como M 7 M, entonces M es un A-modulo y como A es completo y a # I,entonces 1+a es una unidad de A (mas bien, la imagen de 1+a en A 7 A) y por lotanto 1+a : M " M es un isomorfismo. ,-

El lema de Hensel que veremos a continuacion tiene, en cierta forma, algunasemejanza con el lema de Gauss 1.3 que nos dice que si A es un DFU, K es su campode fracciones y un polinomio f (x) # A[x] se factoriza en K[x], entonces se factorizaen A[x]. El lema de Hensel nos dice que, si (A,m) es un anillo local completo en latopologıa m-adica y k = A/m, para un polinomio f (x) # A[x], una factorizacion enk[x] se levanta a una factorizacion en A[x]:

Teorema 7.32 (Lema de Hensel) Sea (A,m) un anillo local completo en la topo-logıa m-adica y sea k = A/m su campo residual. Sea f (x) # A[x] monico y seaf (x) # k[x] el polinomio obtenido al reducir los coeficientes de f (x) modulo m. Siexisten polinomios monicos coprimos G(x),H(x) # k[x] tales que f = GH, entoncesexisten polinomios monicos g,h # A[x] tales que f = gh y g = G, h = H.

Demostracion. La idea de la demostracion es aproximarse a la factorizacion deseadapor medio de factorizaciones f (x) < gi(x)hi(x) (mod mk[x]) modulo potencias delideal maximo de A, de tal forma que en el lımite se tenga la factorizacion requerida.Pongamos entonces n = gr( f ) = gr( f ), m = gr(G) y n $ m = gr(H). Queremosconstruir dos sucesiones de polinomios gi(x) y hi(x) en A[x] tales que:

(i) Los gi y hi sean monicos de grados m y n$m, respectivamente;

(ii) gi+1 < gi (mod mi[x]) y hi+1 < hi (mod mi[x]);


(iii) f (x)< gi(x)hi(x) (mod mi[x]),

donde se entiende que las congruencias son coeficiente a coeficiente. Observemosque una vez construidas estas sucesiones ya habremos probado el teorema ya quedefiniendo g(x) y h(x) como los lımites (coeficiente a coeficiente) de los gi(x) yhi(x), respectivamente, notando que estos lımites existen por la condicion (ii) dearriba y estan en A porque este es completo, se tendra entonces que g(x) y h(x) estandefinidos y de hecho tienen coeficientes en A. Mas aun, como cada gi es monico degrado m, entonces g(x) tambien es monico de grado m, y la condicion (ii) de arribaimplica que g(x) < gi(x) (mod mi[x]) y similarmente h(x) < hi(x) (mod mi[x]), yası por (iii), f (x) < g(x)h(x) (mod mi[x]) para toda i % 1 y por lo tanto f (x) =g(x)h(x) como se quiere.

Resta entonces mostrar la existencia de las sucesiones de polinomios gi y hi conlas propiedades (i), (ii) y (iii) anteriores. Para comenzar, escojamos g1,h1 # A[x]tales que g1 = G y h1 = H. Entonces, f = GH = g1h1 y ası f < g1h1 (mod m[x]).

Para construir g2 y h2, como se debe tener que g2(x) < g1(x) (mod m1[x]), en-tonces se debe tener que g2(x) = g1(x)+ r1(x) con r1(x) # m1[x]. Similarmente sedebe tener que h2(x) = h1(x)+s1(x) con s1(x)#m1[x]. Ası, para mostrar la existen-cia de g2 y h2 debemos mostrar la existencia de r1 y s1 con las propiedades deseadas,i.e., debemos resolver

f (x)< g2(x)h2(x) (mod m2[x])

< (g1(x)+ r1(x))(h1(x)+ s1(x)) (mod m2[x])

< g1(x)h1(x)+ r1(x)h1(x)+ s1(x)g1(x)+ r1(x)s1(x) (mod m2[x])

< g1(x)h1(x)+ r1(x)h1(x)+ s1(x)g1(x) (mod m2[x]).

Ahora, como f (x)< g1(x)h1(x) (mod m[x]), entonces f (x)$g1(x)h1(x) = t(x)con t(x) # m[x] y ası, substituyendo en la congruencia anterior debemos resolverpara r1 y s1 la congruencia

(9) t(x)< r1(x)h1(x)+ s1(x)g1(x) (mod m2[x]),

donde cada termino t(x), r1(x)h1(x) y s1(x)g1(x) tiene coeficientes en m. Ahora,como por hipotesis g1 y h1 son coprimos en k[x], existen a(x),b(x) # A[x] tales que

a(x)g1(x)+b(x)h1(x)< 1 (mod m[x])

y multiplicando ahora esta congruencia por t(x) obtenemos

a(x)t(x)g1(x)+b(x)t(x)h1(x)< t(x) (mod m2[x])

y esto resuelve la congruencia (9) poniendo *r1(x) := b(x)t(x) y *s1(x) := a(x)t(x);sin embargo, tenemos el problema de que no se tiene control sobre el grado de *r1(x)y por lo tanto no podemos garantizar que g1(x) +*r1(x) sea monico (y este es elcandidato para g2(x)). Para remediar esto observemos que lo que necesitamos esun polinomio *r1(x) que satisfaga que gr(*r1) < gr(g1). Ahora, dividiendo *r1(x) por


g1(x) obtenemos *r1(x) = g1(x)q(x)+ r1(x) con gr(r1) < gr(g1) y poniendo s1 :=*s1(x)+h1(x)q(x) se sigue que

r1h1 + s1g1 < (*r1 $g1q)h1 +(*s1 +h1q)g1

= *r1h1 $g1h1q+*s1g1 +g1h1q= *r1h1 +*s1g1

< t (mod m2[x]),

la ultima congruencia porque *r1 y *s1 son soluciones de (9); se sigue que los po-linomios r1(x) y s1(x) de A[x] tambien son soluciones de la congruencia (9) peroahora con la condicion de que gr(r1)< gr(g1), por lo que g2(x) := g1(x)+ r1(x) esmonico y tiene grado m = gr(g). Claramente, g2(x)< g1(x) (mod m1[x]). Mas aun,poniendo h2(x) := h1(x)+ s1(x) se tiene que h2(x)< h1(x) (mod m1[x]) y

g2h2 = (g1 +.r1)(h1 + s1) = g1h1 +g1s1 + r1h1 + r1s1 < g1h1 < f (mod m2[x]),

como se requerıa. Finalmente, como g1 y h1 son coprimos mod m[x], entonces g2 yh2 tambien son coprimos mod m[x]. El argumento anterior se aplica recursivamentecomenzando ahora con g2 y h2 para producir las sucesiones deseadas. ,-

Ejemplo 20. Sea p un primo y consideremos el anillo completo de enteros p-adi-cos Zp y el polinomio f (x) = xp$1 $ 1 # Zp[x]. Entonces, reduciendo coeficientesmodulo pZp y ya que Zp/pZp = Fp, se tiene que f (x) = xp$1 $ 1 # Fp[x]. Por elteorema pequeno de Fermat el polinomio f (x) se descompone en factores linealessobre Fp y ası, aplicando repetidamente el ejercicio 12, se sigue que f (x) se des-compone en factores lineales sobre Zp. En otras palabras, Zp contiene a las raıces(p$1)-esimas de la unidad.

Anillos henselianos. Un anillo henseliano es un anillo local (A,m) que satisfacela conclusion del lema de Hensel 7.32, es decir, si k = A/m es su campo residual,f (x) # A[x] es monico y f (x) # k[x] es su reduccion, si se tiene una factorizacionf =GH con polinomios monicos coprimos G(x),H(x)# k[x], entonces existen poli-nomios monicos g,h # A[x] tales que f = gh y g = G, h = H. Con esta terminologıa7.16 dice que los anillos locales (A,m) completos en la topologıa m-adica, son hen-selianos. La teorıa de anillos henselianos juega un papel importante en la extensiondel teorema de la funcion implıcita a esquemas arbitrarios y por lo tanto tambienesta ligada al estudio geometrico-algebraico de deformacion de singularidades. Enel caso clasico, si A = OV,x0 es el anillo local de un punto x0 de una variedad alge-braica V , entonces el que A sea henseliano quiere decir que el teorema de la funcionimplıcita es valido en x0, es decir, si se tiene una relacion algebraica f (x,y) = 0 conx # V y que satisface que f (x0,y0) = 0 y (/ f//x)(x0,y0) es invertible, entoncesexiste una funcion y = y(x) en una vecindad de x0 tal que y(x0) = y0. Esta seccion yla siguiente son tan solo una introduccion a los aspectos elementales de la teorıa yreferimos al lector a la bibliografıa para tratamientos mas profundos.

Observaciones. Comenzamos con dos observaciones:


(1) Si g,h # A[x] son los polinomios que levantan G,H # k[x] en un anillo hense-liano, entonces g y h son estrictamente coprimos, en A[x], es decir, 5g,h6= A[x]. Dehecho, en general si g,h # A[x] son tales que g,h # k[x] son coprimos y g es monico,entonces g y h son estrictamente coprimos en A[x]. En efecto, sea M = A[x]/5g,h6.Observe que como f es monico, entonces M es finitamente generado como A-modu-lo, y como 5g,h6= k[x], entonces 5g,h6+mA[x] = A[x] y ası mM = M. Por el lemade Nakayama se sigue que M = 0, como se querıa.

(2) La factorizacion f = gh en A[x] es unica. En efecto, si f = gh = g8h8, cong,h,g8,h8 monicos tales que g = g8, h = h8 y g,h coprimos, por la observacion (1)g y h8 son estrictamente coprimos en A[x], i.e., 5g,h86 = A[x] y por lo tanto existenr,s # A[x] tales que gr = h8s = 1. Entonces,

g8 = g8 ·1 = g8gr+g8h8s = g8gr+gghs

y ası g|g8 y como ambos son monicos del mismo grado, deben ser iguales.

Ejemplo 21. Por definicion, anillos locales (A,m) completos en la topologıa m-adi-ca, son henselianos, en particular lo son los campos K. Antes de poder dar masejemplos, necesitaremos dar algunas caracterizaciones de los anillos henselianos ypara esto necesitaremos algunos resultados sobre algebras, que ademas tienen in-teres propio.

Algebras separables. La generalizacion natural del concepto de extension separa-ble finita de campos es la siguiente. Si k es un campo, una k-algebra de tipo finito Aes separable sobre k si A es isomorfa a un producto directo de un numero finito deextensiones finitas separables de campos Li/k de k:

A 7 Li ' · · ·'Ln.

Lema 7.33 Sean k un campo y A una k-algebra conmutativa de tipo finito. Sonequivalentes,

(1) A es isomorfa a un producto directo finito de extensiones finitas de k.

(2) A es reducida, i.e., nilA = 0.

Demostracion. La implicacion (1) ) (2) es obvia. Para la otra implicacion, des-componiendo A como un producto directo de un numero finito de k-algebras ines-cindibles (simples) podemos asumir que A es simple. Entonces, sus unicos idempo-tentes son 0 y 1, ya que si e # A es idempotente con e *= 0,1, entonces se tiene queA7Ae+A(1$e) es una descomposicion no trivial de A ya que e(1$e)= e$e2 = 0.Probaremos ahora que todo 0 *= a # A es invertible y por lo tanto A es un campo,como se quiere. En efecto, como dimk A es finita la cadena de ideales

5a6 . 5a26 . · · ·

se estaciona y por lo tanto existe un entero n tal que an = an+1b para algun b # A.Iterando esta igualdad se sigue que an = an+ibn para todo i > 0. En particular, an =


a2nbn y ası anbn = a2nb2n = (anbn)2, es decir, anbn es idempotente y por lo tanto setienen dos posibilidades: anbn = 0, y en este caso an = a2nbn = an(anbn) = 0, lo cuales una contradiccion porque a *= 0 y por hipotesis A no tiene nilpotentes no nulos.Se sigue que anbn = 1 y por lo tanto a(an$1bn) = 1, es decir, a es invertible. ,-

Corolario 7.34 Si k es un campo perfecto y A es una k-algebra conmutativa de tipofinito, entonces A es separable si y solo si A es reducida.

Demostracion. Por el lema anterior A es reducida si y solo si A es isomorfa a unproducto directo finito de extensiones finitas de k, y como k es perfecto estas exten-siones finitas son separables. ,-

Teorema 7.35 Sean k un campo, ka una cerradura separable de k y A una k-algebrade tipo finito. Pongamos

A := A;k ka.

Son equivalentes:

(1) A es separable sobre k.

(2) A es isomorfa a un producto directo finito de copias de ka.

(3) A es reducida.

Demostracion. La ka-algebra A es de tipo finito y las extensiones finitas de ka sonisomorfas a ka y ası el lema anterior dice que (2)+ (3).

(1) ) (2): Como A 7 #ni=1 Li con Li/k finita separable, entonces A = A;k ka 7

#ni=1 Li ;k ka y por lo tanto basta demostrar que L;k ka 7 #m

i=1 ka para cualquierextension finita separable L/k. Ahora, en este caso L 7 k[x]/5 f (x)6 con f # k[x] unpolinomio cuyos factores en ka[x] son distintos, digamos f (x) = (x$a1) · · ·(x$am).Por el teorema chino del residuo se sigue que

L;k ka 7 k[x]/5 f (x)6;k ka 7 ka[x]/5(x$a1) · · ·(x$am)67m

#i=1

ka[x]/5x$ai67m

#i=1

ka

ya que ka " ka[x]/5x$a j6 es un extension finita y por lo tanto es un isomorfismo.

(2)) (1): La k-algebra Ared = A/nilA es reducida y de tipo finito sobre k y ası, porel lema 7.33 se tiene que

Ared 7n

#i=1

Li con las Li/k extensiones finitas.

Ahora, como ka es reducida (es campo), todos los morfismos de k-algebras A " ka

se factorizan a traves de Ared:

A $$

22***

****

* ka

Ared

==


y por lo tanto a traves de los factores Li de Ared:

A $$

@@---

----

ka

Li

AA

Observe ahora que como [Li : k]< !, el numero de inmersions Li " ka que dejanfijo a k es & [Li : k] y se tiene la igualdad si y solo si Li/k es separable (vea elejercicio 8 del capıtulo 5). Ası,

(1) |Homk(A,ka)|& |Homk(Ared,ka)|&n

"i=1

[Li : k] = dimk Ared & dimk A,

donde se tienen igualdades si y solo si A = Ared y A es separable. Para ver que setiene la igualdad, observemos que se tiene la biyeccion canonica de conjuntos finitos

(2) Homk(A,ka)7 Homka(A,ka)

dada enviando un k-morfismo f : A " ka al ka-morfismo A;k ka f;id$" ka ;k ka µ$"ka, donde µ es el producto natural. La funcion inversa esta dada enviando un ka-morfismo ( : A;k ka " ka al morfismo A 7 A;k k id;i$" A;k ka ($" ka, donde i :k !" ka es la inclusion.

Finalmente, note que la hipotesis de que A = A;k ka 7 #ni=1 ka implica que

(3) |Homka(A;k ka,ka)|=++Homka

, n

#i=1

ka,ka-++= dimka(A;k ka) = dimk A.

De (1), (2) y (3) se sigue que

dimk A %n

"i=1

[Li : k]% |Homk(A,ka)|= |Homka(A;k ka,ka)|= dimk A

y por lo tanto en (1) se deben tener igualdades y ası

|Homk(A,ka)|=n

"i=1

[Li : k],

lo cual, como vimos despues de (1), quiere decir que A es separable. ,-

Ejemplo 22. Si k no es perfecto y A es una k-algebra de tipo finito, aun cuandonilA = 0 puede suceder que nilA *= 0. En efecto, como k no es perfecto, cark = p >0. Poniendo entonces

A = k[x]/5xp $a6

para cualquier a# k que no sea una p-potencia, es decir, que no este en la imagen delmorfismo de Frobenius k " k (el cual no es suprayectivo porque k no es perfecto).


Entonces, xp $ a # k[x] es irreducible y por lo tanto 5xp $ a6 ! k[x] es maximo yası A es un campo y ademas [A : k] = p = gr(xp $a). Se sigue que nilA = 0 (porquees campo), pero

A = A;k ka = k[x]/5xp $a6;k ka 7 ka[x]/5xp $a6

y como ka es cerradura algebraica de k, existe ! # ka tal que ! p = a, y si x es laimagen de x en A, entonces

(x$!)p = xp! p = xp $a = 0

en A. Por lo tanto, 0 *= x$! # A es nilpotente, i.e., nilA *= 0.

Teorema 7.36 Sea (A,m) un anillo local. Son equivalentes:

(1) A es henseliano.

(2) Toda A-algebra finita B es un producto directo de anillos locales

B = #Bi.

Note que los Bi deben ser necesariamente isomorfos a los anillos Bmi para mi losideales maximos de B.

(3) Si f : A " B es etale y existe q # SpecB tal que para p = f$1(q) # SpecA setiene que k(p) = k(q), entonces existe una seccion s : B " A de f , i.e., s2 f = idA.

(4) Sean f1, . . . , fn # A[x1, . . . ,xn]. Si existe un punto a = (a1, . . . ,an) # kn tal quef i(a) = 0 para todo i = 1, . . . ,n y ademas

det,/ f i

/x j

+++a

-= 0,

entonces existe un punto b # An tal que b = a y fi(b) = 0 para todo i = 1, . . . ,n.

(5) Sea f # A[x]. Si f se factoriza como f = GH con G monico y G,H coprimos,entonces f se factoriza como f = gh con g monico y g = G, h = H.

Demostracion. ,-

Ejercicios

7.1. Para el lector que necesite recordar algunos resultados de analisis, en el contex-to de modulos filtrados Hausdorff, los ejercicios siguientes pueden ser necesarios.Sea M un modulo con una filtracion {Mn}n#Z tal que la topologıa correspondientees Hausdorff. Sean {xn} y {yn} sucesiones en M. Demuestre que:


(i) Si {xn}" " y {xn}" "8, entonces "= "8.

(ii) Si {xn}" " y {yn}" "8, entonces {xn + yn}" "+ "8 y {xnyn}" ""8.

(iii) Si {xn} es una sucesion convergente, entonces es de Cauchy.

7.2. Si A es un anillo, I ! A un ideal y M un A-modulo completo en la topo-logıa I-adica, demuestre que una sucesion {xn} en M es de Cauchy si y solo silımn"!(xn+1 $ xn) = 0.

7.3. Si N ! M es un submodulo y M es filtrado, demuestre que en las topologıasinducidas, la cerradura de N es N =

!i(N +Mi).

7.4. Si M es un A-modulo con una filtracion {Mi}, entonces en la topologıa inducidapor la filtracion cada M/Mi es discreto y si #i M/Mi tiene la topologıa producto yM = lim4$M/Mi ! #i M/Mi tiene la topologıa como subespacio, entonces el morfis-mo natural # : M " M es continuo y #(M) es denso en M.

7.5. Si A es un anillo noetheriano, I,J son ideales de A y A es completo para lastopologıas I-adica y J-adica, demuestre que A es completo para la topologıa (I+J)-adica.

7.6. Si A es un anillo noetheriano, I . J son ideales de A y A es completo para latopologıa I-adica, demuestre que A es completo para la topologıa J-adica.

7.7. (Chevalley). Si (A,m) es un anillo noetheriano local completo e I1 . I2 . · · ·es una cadena de ideales de A tales que

!I j = 0, demuestre que para cada n existe

un entero "(n) tal que I"(n) ! mn. Es decir, la topologıa lineal definida por {I j} j%1es mas fuerte que la topologıa m-adica.

7.8. Si A es un anillo noetheriano y p#Ass(A), demuestre que existe un entero n> 0tal que p # Ass(A/I) para todo ideal I ! pn. Sugerencia: Considere la localizacionen p.

7.9. Si A es un anillo semilocal con ideales maximos m1, . . . ,mn y J(A) =m1 · · ·mn(vea el ejercicio 23 del capıtulo 4), demuestre que la completacion J(A)-adica Ade A se descompone como un producto directo A 7 A1 ' · · ·' An, donde Ai es lacompletacion de Ami .

7.10. Si (A,m) es un anillo noetheriano local completo, demuestre que para todoideal propio I # A, el cociente A/I es un anillo noetheriano local completo.

7.11. Demuestre que un anillo artiniano local (A,m) es completo. Sugerencia: Por4.29 y 4.31 existe un entero n > 0 tal que mn = 0.

7.12. Sea (A,m) un anillo local completo en la topologıa m-adica y sea k = A/mes su campo residual. Si f (x) # A[x] es un polinomio (monico) y a # A son talesque para sus reducciones modulo m se tiene que f (a) = 0 en k y ademas, para laderivada f 8 de f se tiene que f 8(a) *= 0, i.e., a es raız simple de f (x), demuestre queexiste un ! # A tal que f (!) = 0 y ! = a.


7.13. Si f # A, defina S8f = {g # A : g divide algun f k # S f }. Demuestre que:

(i) S8f es un subconjunto multiplicativo.

(ii) A f 7 S8f$1A.

(iii) g # S8f si y solo si S8g ! S8f .

7.14. Si A es noetheriano, M es un A-modulo, I ! A es un ideal y consideramoscompletaciones I-adicas, demuestre que si identificamos la completacion de unsubmodulo N de M con un submodulo N de M (recordando que la completaciones un funtor exacto izquierdo), demuestre que:

(i) Si N ! M, entonces N = AN.

(ii) N1 + N2 = (N1 +N2).

(iii) N1 / N2 = (N1 /N2).

Sugerencia: Use que A es plano.

7.15. Si A es noetheriano e I ! A es un ideal, demuestre que las afirmaciones si-guientes son equivalentes:

(i) I ! J(A), donde J(A) es el radical de Jacobson de A.

(ii) Todo A-modulo finitamente generado es Hausdorff en la topologıa I-adica.

(iii) Todo submodulo de un A-modulo finitamente generado es cerrado en la topo-logıa I-adica.

7.16. Si f = a0 +a1x+a2x2 + · · · # A[[x]], demuestre que f es una unidad si y solosi a0 # A9. En general, f = "(") a(")x

i11 · · ·xin

n # A[[x1, . . . ,xn]] es una unidad si y solosi su termino constante a0 = a(0) es una unidad de A.

7.17. Usando el ejercicio anterior, concluya que si f # 5x1, . . . ,xn6, entonces paratodo g # A[[x1, . . . ,xn]], 1+ f g es una unidad y por lo tanto f #

.A[[x$1, . . . ,xn]],

es decir, 5x1, . . . ,xn6 !.

A[[x$1, . . . ,xn]].

7.18. Si K es un campo, demuestre que K[[x1, . . . ,xn]] es un anillo local con idealmaximo 5x1, . . . ,xn6.

7.19. Si A es un dominio entero, demuestre que A[[x]] tambien lo es.

7.20. Si K es un dominio entero, demuestre que el campo de fracciones de K[[x]],denotado K((x)) es el campo de series de Laurent formales, es decir, series formalesde la forma

f (x) = "n%n0

anxn

con n0 # Z y an # K.


7.21. Si p # Z es un primo, demuestre que

Zp 7 lim$"p{Z p$" Z p$" Z p$" · · ·},

donde en el lımite directo se tienen multiplicaciones iteradas por p.

7.22. Sean A un anillo noetheriano e I # A un ideal. Si grI(A) es un dominio entero,demuestre que A tambien lo es. Sugerencia: suponga que a,b # A son tales que ab =0. Para x # A sea n % 0 el mayor entero tal que x # In y defina x # In/In+1 ! grI(A)como la clase lateral de x. Observe que x = 0 si x #

!In.

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