Versin 2004

CCAAPPIITTUULLOO 77

PPRROOYYEECCTTOO YY CCLLCCUULLOO DDEE EEJJEESS YY EELLEEMMEENNTTOOSS AACCCCEESSOORRIIOOSS

Divisin 1

Generalidades. Revisin de mtodos estticos

Mtodos Dinmicos y por Fatiga

UTN-FRBB Ctedra: Elementos de Mquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versin 2004

1. Introduccin En este captulo se darn herramientas para el clculo de ejes y sus accesorios afines. En la presente Divisin 1, se efectuar un repaso de la metodologa de anlisis y clculo esttico de ejes y se introducirn esquemas para el estudio de resistencia por fatiga, que es lo ms importante desde el punto de vista de diseo.

2. Generalidades Un eje es un elemento de mquina generalmente rotatorio y a veces estacionario, que tiene seccin normalmente circular de dimensiones menores a la longitud del mismo. Tiene montados sobre s, elementos que transmiten energa o movimiento, tales como poleas (con correas o cadenas), engranajes, levas, volantes, etc. En la Figura 7.1 se puede apreciar un eje con diferentes tipos de montajes, como los mencionados anteriormente.

Figura 7.1. Eje con diferentes tipos de montajes.

La solicitacin sobre un eje puede ser de diferentes caractersticas, esttica o dinmica en cuanto a la variacin temporal de las solicitaciones, o bien, flexional, torsional, axial en cuanto al modo en que acta la solicitacin.

3. Procedimiento de Diseo de Eje En la Figura 7.2 se puede apreciar una distribucin cualquiera de las solicitaciones a que puede estar sometido un eje, flexionales, cortantes por flexin, axiales y torsionales. Un procedimiento general para el clculo y diseo de ejes se puede condensar en las siguientes etapas:

1. Desarrollar un diagrama de cuerpo libre, reemplazando los diversos dispositivos por sus correspondientes acciones o solicitaciones, de manera de obtener un sistema esttico equivalente.

2. Evaluar los momentos flectores, torsores, esfuerzos de corte y esfuerzos axiales en el tramo completo del eje.

UTN-FRBB Ctedra: Elementos de Mquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versin 2004

3. Seleccionar las secciones ms conflictivas y de ellas los puntos ms conflictivos. Esta tarea est asociada a la determinacin de factores de concentracin de tensiones debidos a entallas geomtricas y otros factores debidos segn ha sido explicado en el Captulo 2.

4. Evaluar los estados tensionales en los puntos conflictivos. 5. Seleccionar el criterio o teora de falla esttica o dinmica en funcin del tipo de

material (frgil o dctil) y tipo de rotura estimada (fatiga, etc.) 6. Evaluar la seguridad de los puntos conflictivos. 7. Efectuar un replanteo en trminos de dimetro y configuraciones geomtricas o

material en tanto que los resultados obtenidos no satisfagan las condiciones de diseo.

Figura 7.2. Solicitaciones en un eje y diagrama de cuerpo libre.

4. Diseo para solicitacin esttica Discriminacin de las tensiones normales y cortantes Dado el tipo de configuracin de las solicitaciones se puede discriminar el siguiente estado tensional genrico debido a flexin, torsin y efecto axial:

( )AP

IcxM

x +=. , ( )

JcxT

xy.

= (7.1)

Donde M(x), T(x) y P(x) son el momento flector, el momento torsor y la fuerza axial respectivamente y adems:

2dc= ,

64dI

4= ,

32dJ

4= ,

4dA

2= (7.2)

Luego los valores de tensin sern

( ) ( )23x dxP4

dxM32

+= , ( )3xy d

xT16

= (7.3)

Entonces segn las expresiones de tensiones principales y las tensiones de corte mxima y mnima, segn un estado plano de tensiones, se obtienen como:

UTN-FRBB Ctedra: Elementos de Mquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versin 2004

{ } 2xy2

xx21 22

+

=, , { } 2xy

2x

2

+

=minmax , (7.4)

Luego, reemplazando (7.3) en (7.4) se tiene

{ }2

3

2

232321 dT16

dP2

dM16

dP2

dM16

+

+

+=

, (7.5)

{ }2

3

2

23 dT16

dP2

dM16

+

+=

minmax , (7.6)

Ahora bien, segn sea el criterio de rotura que se pretenda emplear se tendrn diferentes casos, los cuales se tratarn a continuacin.

Teora de la Energa de Distorsin (Criterio de Von Mises-Hencky) Se recordar del Captulo 2, Divisin 4, que el criterio de mxima energa de distorsin establece que la falla se produce (en un material dctil) cuando se cumple que:

( )s

y21

22

21 n

S+ (7.7)

Donde Sy y ns son el lmite de fluencia del material y el coeficiente de seguridad del material. En consecuencia, reemplazando los valores de (7.5) en (7.7) se puede obtener la siguiente expresin:

s

y2

3

2

23 nS

dT16

43

dP2

dM162

+

+

(7.8)

Ntese que en (7.8) no se puede obtener el dimetro como forma explcita en funcin de las solicitaciones actuantes. Sin embargo en el caso de poder desechar el esfuerzo axial, se puede obtener la conocida expresin:

3 22y

s TMSn32

d

+=

. (7.9)

que si tiene explicitado el dimetro en funcin de las solicitaciones actuantes. En definitiva, dentro de la posibilidad de explicitar el dimetro como en (7.9) se puede obtener una expresin para dimensionar el eje. Pero por lo general se tendr que recurrir a expresiones como la (7.8) para verificar el estado tensional, dado que en ms frecuente tener un prediseo geomtrico del eje con la localizacin de todos los concentradores de tensiones.

Teora de la mxima tensin de corte (Criterio de Coulomb-Tresca) En este caso la falla se presentar si se cumple que:

s

y21 n

S (7.10)

UTN-FRBB Ctedra: Elementos de Mquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versin 2004

Luego reemplazando (7.5) en (7.10) se obtiene

s

y2

3

2

23 nS

dT16

dP2

dM162

+

+

(7.11)

La cual no tiene explicitado el dimetro en funcin de los esfuerzos. Ahora como en el caso anterior, en ausencia de cargas axiales se puede explicitar el dimetro obteniendo:

322

y

s TMSn32

d

+=

. (7.12)

5. Diseo para solicitacin Dinmica Teora de diseo a la fatiga para materiales dctiles En la Figura 7.3 se muestra un elemento diferencial sobre la superficie cilndrica de un eje. En tal elemento diferencial se pueden apreciar las componentes media (con subndice m) y alternante (con subndice a) de las tensiones normales y las tensiones cortantes. Adems en la Figura 7.3.b se puede apreciar la distribucin de tensiones actuantes en un plano inclinado un ngulo . De todas las posibles combinaciones de solicitacin cclica, la situacin ms conflictiva se da cuando las cargas alternantes debidas a los momentos flectores y a los momentos torsores se encuentran en fase (es decir cuando las tensiones alternantes normal y tangencial se encuentran en fase).

(a) (b)

Figura 7.3. Elemento diferencial de superficie cilndrica en un eje.

Para deducir una expresin de clculo a la fatiga en ejes, se pueden contabilizar diferentes situaciones. La manera ms simple es analizando el estado tensional tangencial sobre el plano oblicuo A, que se ve en la Figura 7.3, esto significa emplear una variante del criterio de Mxima Tensin de Corte. Efectuando una sumatoria sobre la tangente del plano inclinado en , se obtiene:

UTN-FRBB Ctedra: Elementos de Mquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versin 2004

( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] 0dASenCosK

dASenSenKdACosCosKdA

afm

afsmafsm

=++

++++

(7.13)

simplificando y recurriendo a las definiciones de ngulos dobles se obtiene

( ) [ ] ( ) [ ]22SenK2CosK afmafsm +++= (7.14)

con lo cual se puede separar en componentes alternantes y componentes medias de la tensin de corte

[ ] [ ] [ ] [ ]

++

+=+=

22SenK2CosK

22Sen2Cos afafsmmam

(7.15)

En la Figura 7.4 se muestra el criterio de fatiga de Soderberg para un estado tensional cortante, del cual se puede extractar la siguiente relacin:

==ODCD

OACB

CBCD

OAOD

2S2Sn1

y

m

e

a

s // += (7.16)

Luego reemplazando (7.15) en (7.16) se obtiene la siguiente forma

[ ] [ 2SenA2CosA2n1

21s

+= ] con e

afs

y

m1 S

KS

A

+= , e

af

y

m2 S

KS

A

+= (7.17)

Figura 7.4. Diagrama de Fatiga de Soderberg para estado tensional cortante.

La condicin de mxima seguridad, se tendr cuando la expresin recuadrada de (7.17) sea mnima, es decir:

[ ] [ ] =+=

02CosA22SenA4n1

dd

21s

[ ][ ]

[ ]1

2

A2A2Tan

2Cos2Sen

==

(7.18)

de la cual se puede obtener:

[ ]2

12

2

2

A4AA2Sen+

= , [ ]2

12

2

1

A4AA2+

=Cos (7.19)

Reemplazando (7.19) en (7.17) y operando se puede lograr la siguiente expresin de tensin:

UTN-FRBB Ctedra: Elementos de Mquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

Versin 2004

2

ae

fsym

2

ae

fym

s

y

SKS

4SKS

nS

++

+= (7.20)

Dado que en un estado plano de tensiones la tensin de corte mxima viene dada por

22

2 +

=max (7.21)

o bien aplicando la condicin del criterio de mxima tensin cortante:

=max

/

2Sn ys

2