Capítulo 6 ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO DEL AGUA ...
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Capítulo 6 ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO DEL AGUA SUBTERRÁNEA
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Capítulo 6
ECUACIÓN GENERAL DEL MOVIMIENTO DEL
AGUA SUBTERRÁNEA
132
133
Las ecuaciones diferenciales para el flujo en medios porosos se desarrollan
combinando la ley de Darcy con los principios del balance de masas. El
balance de masas involucra consideraciones de entrada y salida de flujos y
cambios en el almacenamiento.
Las leyes básicas que gobiernan el flujo fueron deducidas en el capítulo
anterior. En general se tiene que h = h(x,y,z); la ley de Darcy implica la
determinación de las tres componentes de la velocidad, además del valor de K
es decir que se tienen tres ecuaciones y cuatro incógnitas (si el medio no es
isotrópico K es un tensor, y se tienen otras tres incógnitas Kxx, Kyy y Kzz), por
lo que es preciso, para resolver el sistema, introducir una nueva ecuación que
es la ecuación de continuidad o de balance de masas.
El objetivo que se persigue en este capitulo es el desarrollo de las ecuaciones
de conservación de masa, para un dominio tridimensional y para diferentes
tipos de acuíferos. La distribución de h en un dominio específico se obtiene
resolviendo las ecuaciones con las apropiadas condiciones de borde y de
frontera.
6.1. ESFUERZOS EFECTIVOS EN UN MEDIO POROSO.
El concepto de esfuerzo efectivo o esfuerzo intergranular fué introducido por
Terzaghi (1925). Esencialmente, este concepto asume que en un medio
poroso granular, la presión del agua que rodea casi completamente cada grano,
produce en éstos, esfuerzos de igual magnitud, sin contribuir a la deformación
del esqueleto sólido, la cual se produce solamente por las fuerzas de contacto,
134
que se transmiten de grano a grano a través de los puntos de contacto. El
esfuerzo intergranular se obtiene substrayendo la presión de poro del esfuerzo
total en el material sólido.
Tan importante como la noción de esfuerzo efectivo es la deformación
observada de materiales granulares, como resultado de cambios en los
esfuerzos, es mucho mayor que la que puede ser explicada por la compresión
del material mismo. Esto sugiere que la deformación es producida
principalmente por el reacomodo de la matriz, con deslizamientos y
desplazamientos localizados.
Las investigaciones de laboratorio demuestran también que, durante la
deformación, los granos se deslizan y desplazan. Esto significa que el proceso
de deformación es gobernado por lo que sucede en puntos de contacto
localizados, donde esfuerzos normales y de corte concentrados, son
transmitidos de grano a grano, sin ser afectados por cambios en la presión de
poro. Por lo tanto un cambio en las presiones de poro, con iguales cambios en
los esfuerzos totales, no produce deformación y podrían no producir cambios
en los esfuerzos efectivos.
Terzaghi llamó esfuerzos efectivos, a aquellos que son transmitidos
directamente de grano a grano. Ellos tienen efecto solo en la fase sólida,
contrariamente a la presión del líquido intersticial llamada presión neutra o de
poro.
Los esfuerzos totales aplicados al complejo sólido - líquido se descomponen
entonces en esfuerzos efectivos y presiones neutras en un material solamente
sometido a compresiones así:
p (6.1)
Donde:
: esfuerzo total
: esfuerzo efectivo.
135
p: presión neutra o de poro.
6.1.1. Teoría de la consolidación. Cuando se sobrecargan ciertos terrenos
poco permeables y saturados de agua, inicialmente puede advertirse solo una
pequeña compresión, sin embargo al final de un tiempo largo la subsidencia
puede ser considerable. Este fenómeno se denomina consolidación.
Terzaghi mostró que la consolidación se explica por el escurrimiento lento del
agua intersticial contenida en el suelo, tal como se muestra en la analogía de
los pistones, Figura 6.1
Si el recipiente está vacío, la sobrecarga es soportada totalmente por los
resortes, que se contraen, siendo esto instantáneo y elástico. Pero si el
recipiente está lleno de agua y los orificios entre los pistones son muy
pequeños, la contracción de los pistones no será inmediata: la sobrecarga se
traducirá inicialmente por un aumento de la presión del agua, que se escapará
poco a poco del sistema y dejará a los resortes la tarea de soportar la
sobrecarga, comprimiéndose. La matriz sólida del suelo representa en la
analogía el papel de los resortes; los orificios entre los pistones representan los
poros o vacíos.
FIGURA 6.1 Analogía de los pistones.
La teoría de la consolidación supone que:
1) El escurrimiento intersticial sigue la ley de Darcy.
136
2) La permeabilidad del terreno no varía en el curso de la consolidación
(esto sólo es una aproximación a la realidad).
3) El agua y los elementos sólidos son incompresibles, una compresión
corresponde entonces a una disminución de la porosidad.
4) La compresibilidad del suelo es "elástica", es decir que existe una
relación lineal entre el esfuerzo de compresión efectivo y la
disminución de volumen del suelo.
El mecanismo de la consolidación supone que una sobrecarga exterior
aplicada al suelo es soportada en parte por la fase sólida (aumento del esfuerzo
efectivo) y en parte por el agua intersticial (aumento de la presión). Por efecto
de este aumento de presión, hay un escurrimiento transitorio, hay un aumento
progresivo del esfuerzo efectivo y por lo tanto hay subsidencia.
6.2. CAMBIOS EN EL ALMACENAMIENTO
En un medio saturado, la masa de agua presente en un volumen unitario de
medio poroso, puede expresarse como n. Cuando hay flujo, la presión p, en
el agua, varía con el tiempo. Si el esfuerzo total permanece constante, los
esfuerzos efectivos varían con el tiempo.
El cambio en la masa de fluido por unidad de volumen está dado por:
t
n
tn
t
n
(6.2)
La ecuación general de estado para un fluido es = (p, c, T) la cual muestra
que la densidad del fluido , depende de la presión p, de la concentración de
varios componentes c, y de la temperatura absoluta T. En condiciones
isotérmicas y si el fluido es homogéneo o con una sola componente, la
ecuación de estado se reduce a = (p). Esto significa que:
137
dpp
d
(6.3)
El coeficiente de compresibilidad a concentración y temperatura constantes
está definido por:
p
1
(6.4)
Se definirán a continuación cada uno de los términos del lado izquierdo de la
ecuación 6.2.:
tn
y
t
n
1)
tn
De la ecuación general de estado de un fluido para condiciones de igual
presión e igual concentración y de la ecuación 6.4, se tiene:
t
pn
t
p
pn
tn
(6.5)
2)
t
n
Con el fin de relacionar el segundo término del lado derecho de la ecuación
6.2, con el cambio de la presión, y de acuerdo a Jacob (1940), se asume que no
hay desplazamientos horizontales en el terreno. Todas las deformaciones,
fuerzas y esfuerzos resultantes actúan solamente en la dirección vertical. Si se
asume que el esfuerzo total no cambia, entonces, de la ecuación 6.1:
dpd (6.6)
138
Lo que significa que cualquier incremento de presión, va acompañado por una
disminución igual del esfuerzo efectivo.
Si se acepta la definición de porosidad n, como Vv/Vt, (Vv volumen de vacíos)
en cualquier punto de la muestra, el volumen total, Vt , es igual a:
swt VVV ts Vn1V (6.7)
Donde :
Vw: Volumen de agua.
Vs: Volumen de sólido
Se puede asumir que el volumen Vt, se deforma como resultado de los
cambios en los esfuerzos efectivos, y el volumen Vs permanece constante, lo
que concuerda con la afirmación de que los granos son incompresibles.
En las ecuaciones 6.6 y 6.7, se obtiene:
0Vs
0Vn1 t
(6.8)
Lo que implica:
0n
Vn1V
tt
p
n
n1
1n
n1
1V
V
1 t
t
(6.9)
En este punto de la deducción, se asume que se trata de volúmenes
relativamente pequeños, de tal manera que el suelo pueda tratarse como un
material elástico, con un coeficiente de compresibilidad, , definido por:
139
t
t
V
V
1
(6.10)
Pero se sabe que n= n(p), lo que implica:
p
n
t
p
t
n
(6.11)
Combinando 6.9, 6.10 y 6.11:
t
p)n1(
t
n
(6.12)
Sumando las ecuaciones 6.5 y 6.12, se obtiene finalmente:
t
p)n1(n
t
)n(
(6.13)
Considérese la vecindad de un punto en el acuífero, donde la presión se reduce
por medio de bombeo. El resultado es un incremento de los esfuerzos
compresivos intergranulares transmitidos por el esqueleto sólido del acuífero.
Esto, a su vez, causa la compactación del acuífero reduciendo su porosidad.
Al mismo tiempo, como resultado de la reducción de la presión, el agua se
expandirá. Los dos efectos conjuntamente, la ligera expansión del agua y la
pequeña reducción en porosidad, causan que una cierta cantidad de agua sea
liberada del acuífero. Si se asumen que tanto el agua como la matriz sólida
son perfectamente elásticas, este proceso es reversible. En la realidad, sin
embargo, los cambios en la matriz granular son irreversibles. El estudio de
estas deformaciones irreversibles escapa al contenido de estas notas.
140
6.3. ECUACIÓN DE BALANCE DE MASAS
Considérese un volumen de control, como el de la Figura 6.2. La altura
piezométrica en un punto cualquiera va a variar con el tiempo.
Puede entonces establecerse la siguiente ecuación:
Masa de fluido que entra = masa que sale + cambio en la masa almacenada
con el tiempo.
FIGURA 6.2 Conservación de la masa en un volumen de control.
Se va a considerar que el medio es isotrópico, o sea que K = cte y que las
variaciones espaciales de la densidad son muy pequeñas.
Masa que entra por unidad de tiempo:
dydx)Vz(dzdx)Vy(dzdy)Vx(
Masa que sale por unidad de tiempo:
dydx)dzz
VzVz(dzdx)dy
y
VyVy(dzdy)dx
x
VxVx(
141
Haciendo la diferencia se tiene, que la variación de la masa con el tiempo de
masa (ecuación 6.13) es :
Mz
Vzy
Vyx
Vxz
Vz
y
Vy
x
Vx
(6.14)
Si se considera un medio en el que la variación espacial de la densidad sea
despreciable, el segundo término del lado izquierdo de la ecuación anterior
desaparece.
De la ley de Darcy se tiene:
2
2
xx
x
hK
x
V
x
hKV
2
2y
yy
hK
y
V
y
hKV
6.15)
2
2
zz
z
hK
z
V
z
hKV
Aplicando la ley de Darcy y con 6.13, 6.14 y 6.15, se obtiene:
t
p)n1(nhK 2
(6.16)
Pero:
constantep
Zh
tp
t
p1
t
Z
t
h
Como la topografía no varía con el tiempo (en la escala de tiempo considerada
142
que es de años y días) se tiene entonces:
0t
Z
y 0
t
p2
Lo anterior implica que:
t
h
t
p
(6.17)
y evaluando 6.17 en 6.16:
t
hg)n1(nhK 2
(6.18)
t
hg)n1(nhK 2
El término n n ( )1 1es llamado coeficiente de almacenamiento
específico Ss, que tiene unidades de [1/L] y es la cantidad de agua almacenada
que se libera por unidad de volumen del acuífero cuando el gradiente
hidráulico disminuye una unidad. Sus componentes pueden interpretarse así:
g n( )1 2es el agua almacenada, liberada por unidad de volumen, debido
a la compresión del esqueleto intergranular cuando el potencial disminuye una
unidad. g n 3es el agua almacenada liberada por unidad de volumen,
debido a la descompresión del agua, cuando el nivel piezométrico desciende
una unidad. es generalmente del orden de 1/25 (Bear, 1987), por esta
razón Ss, puede escribirse, como:
gnSS (6.19)
La ecuación 6.18 queda entonces como:
143
t
h
K
Sh S2
(6.20)
Multiplicando arriba y abajo el miembro derecho de la ecuación por el espesor
del acuífero, b, se tiene:
t
h
bK
bSh S2
donde (6.21)
TbK
SbSS
S es llamado coeficiente de almacenamiento y es uno de los parámetros que
caracterizan un acuífero, junto con la transmisividad T.
La transmisividad T, se define como la tasa de flujo por unidad de ancho a
través de todo el espesor del acuífero y para un gradiente hidráulico unitario.
Este concepto es válido sólo en modelos bidimensionales. Debe tenerse en
cuenta que el espesor del acuífero no es necesariamente constante. La
ecuación general de flujo para un medio homogéneo e isotrópico queda
entonces:
t
h
T
Sh2
(6.22)
Esta ecuación es llamada también ecuación de difusión o ecuación de
Boussinesq.
Si el flujo es permanente, la ecuación anterior se reduce a la bien conocida
ecuación de Laplace:
0h2 (6.23)
144
Podemos entonces definir el coeficiente de almacenamiento S, para un
acuífero confinado como el volumen de agua Vw, que sale de un acuífero, por
unidad de área horizontal, A, y por una caída unitaria del gradiente, Figura 6.3.
S es un parámetro adimensional.
FIGURA 6.3 Coeficiente de almacenamiento para
a) acuíferos confinados, b) acuíferos libres.
De la discusión anterior se concluye que la salida del agua, se debe tanto a su
comportamiento elástico como al de la matriz rocosa.
También se puede definir un coeficiente de almacenamiento para un acuífero
libre. Si se considera el área horizontal A de un acuífero libre, Figura 6.3b, el
volumen de agua almacenada está limitado por el nivel freático. Si como
resultado de un bombeo, sale más agua de la que está entrando al acuífero, el
145
nivel freático descenderá. Puede definirse entonces el coeficiente de
almacenamiento de un acuífero libre de la misma manera que para uno
confinado, excepto que la caída h es la del nivel freático.
A pesar de la similitud de las dos definiciones, el almacenamiento en cada tipo
de acuífero obedece a razones diferentes. En un acuífero confinado el
coeficiente de almacenamiento es el resultado de la compresibilidad tanto del
agua como de la matriz rocosa. En un acuífero libre, el agua es drenada
principalmente de los poros, debido a la posición inicial y final del nivel
freático. El coeficiente de almacenamiento en un acuífero libre es llamado,
frecuentemente, rendimiento específico Sy, y expresa la producción de un
acuífero por unidad de área y por unidad de caída del nivel freático.
Se debe tener el cuidado de no identificar el rendimiento específico con la
porosidad en un acuífero libre. Cuando el agua se drena de los intersticios o
poros, el drenaje nunca es completo, pues como se dijo en capítulos anteriores,
una cierta cantidad es retenida en el suelo por las fuerzas capilares, superiores
a las de la gravedad. El agua que queda en el acuífero después del drenaje es
llamada, como ya se dijo, agua de retención, Sr, lo que implica que:
n =SS ry (6.24)
Por esta razón, Sy, es llamada algunas veces porosidad efectiva.
Valores típicos de S en un acuífero confinado son del orden de 10-4
- 10-6
, de
los cuales aproximadamente el 40% corresponde a la expansión del agua y el
60% a la compresión del medio poroso. En un acuífero libre (arenas) Ss,
puede ser del orden de 0.1 cm-1
y Sy puede ser el 20%-30% de este valor.
6.4 LA SUBSIDENCIA
146
La subsidencia o reducción de la cota de la superficie del terreno debido a
compactación de capas compresibles puede ser causada por la explotación
excesiva de acuíferos. Al reducirse los niveles piezométricos, se
incrementan los esfuerzos efectivos y causan el movimiento de la superficie
de la tierra hacia abajo. Es mucho más común en acuíferos aluviales con
estratos de limos y arcillas intercalados con gravas y arenas. Las gravas y
arenas son relativamente incompresibles por lo cual, el incremento de los
esfuerzos efectivos no causa compactación apreciable en los acuíferos
constituidos solamente por estos materiales. La subsidencia asociada a la
explotación de aguas subterráneas está ligada a tres mecanismos principales:
compactación de acuíferos, disolución y posterior colapso de rocas solubles
en agua (limolitas, evaporitas, calcitas) y desecamiento de suelos orgánicos.
Puede dañar edificios, puentes, acueductos y alcantarillados, canales y
reducir la capacidad de almacenamiento de los acuíferos.
Algunos de los casos más conocidos son los de Ciudad de Méjico , donde en
algunos sitios se han presentado subsidencias de 8 m, iniciadas desde 1938.
En Tokio y Osaka se han presentado subsidencias de 3-4 m y en el Valle de
San Joaquín, en California, se han tenido tasas de subsidencia de 1 m cada 3
años en el período 1935-1970.
El principal parámetro en la subsidencia es la es la variación de la presión
efectiva o intergranular. Dos aproximaciones se usan para calcular la
subsidencia. Una está basada en la teoría de la elasticidad y otra en la teoría
logarítmica.
Con la teoría de la elasticidad se asume que la subsidencia sobre el espesor,
Su/Z, varía linealmente con el incremento de esfuerzos, 1i2i así:
E
Z
S
_
u
1i2i
(6.25)
Donde:
147
Z espesor del acuífero
E: módulo de elasticidad
σ : esfuerzo efectivo.
Su: subsidencia
Los módulos de elasticidad E para varios materiales son:
Material E, Kg/cm2
Gravas y arenas densas 2000-10000
Arenas densas 500-2000
Arenas sueltas 100-200
Arcillas y limos densos 50-100
Arcillas sueltas 10-50
Turbas 1-5
Terzaghi y Peck (1948) encontraron cuando se dibujaba la relación de vacíos
e vs σ , se obtenía una curva donde la pendiente de la sección recta de la
curva se puede expresar como:
1i2i
21
log_log
e_etan
(6.26)
Tan es llamado el índice de compresión del material, Cc. La ecuación
anterior se puede escribir entonces, como:
1i
2i
c21 logCe_e
(6.27)
Se puede demostrar que:
148
1i
2i
1
cu log
1e
CZS
(6.28)
Cc es un parámetro adimensional con valores que varía, para arcillas, con el
límite líquido, Lq, entre 0.1-1 de acuerdo a la siguiente ecuación (Skempton
1944, citado por Bower,1978):
%)10_L(007.0C qc (6.29)
Si:
1e
CC
1
cu
(6.30)
Cu, llamado coeficiente de compresión, la ecuación 6.28 queda:
12
1iuu logZCS
(6.31)
Cu tiene los siguientes valores( Bower, 1978):
Material Cu
Arena 0.005-0.05
Limo 0.05-0.1
Arcilla 0.1-0.3
Turba 0.2-0.8
Según Lohman (1961) la subsidencia puede ser calculada como:
)nbS
(pb
(6.32)
149
Donde:
b: subsidencia en m
p: reducción en la presión en N/m2
: peso específico del agua.
EJERCICIO 6.1
En una ciudad bajo la cual hay un acuífero confinado de 50 m de espesor, se
ha producido en los últimos años una subsidencia de 0.5 m, causada por
descensos en los niveles piezométricos de 10 m. Si =5x10-10
Pascal-1
, y la
porosidad del acuífero, n, es del 20% calcular el coeficiente de
almacenamiento S.
El coeficiente de compresibilidad , se define (ecuación 6.10) como:
t
t
V
V
1
Sabemos también que
dpd
hgdp
reemplazando:
g
101
10g50
5.0 3
De la ecuación 6.19:
gnSS
reemplazando:
150
2.0g101S 3
S
El segundo término de ésta ecuación, es despreciable frente al primero, y se
tiene entonces:
50101SbS 3
S
S = 0.05
EJERCICIO 6.2
Considérese un acuífero formado por una capa de arena de 60 m de espesor,
sobre una capa de 25 m de arcilla, tal como muestra la figura. El nivel
freático está a 10 m de profundidad de la superficie del terreno, la porosidad
de la arena es 35%, la humedad de la arena por encima del nivel freático es
de 0.08, el peso específico de la arena es s=25.5 kN/m3 y el peso específico
del agua es 9.81 kN/m3. Si el nivel freático se abate 40 m calcular la
subsidencia si el módulo de elasticidad de la arena es 105 kN/m
2. (Tomado
de Delleur, 1999)
Solución:
Es necesario encontrara el incremento en los esfuerzos efectivos producidos
151
por la caída del nivel freático. Se encontraran primero los esfuerzos
efectivos para la posición inicial del nivel freático así:
El esfuerzo total en el fondo de la capa de arena , para la posición inicial del
nivel freático es:
CORREGIR
= (1-0.35)25.5 + 0.08*9.81 +50(1-0.35)25.5 +0.35*9.81= 1174 kPa
La presión hidrostática en el fondo de la capa de arena es:
P = 9.81*50=490.5 kPa
El esfuerzo efectivo será entonces:
= 1174 –490.5 =683.5 kPa
El esfuerzo total en el fondo de la capa de arena cuando el nivel freático se
abate 40 m es:
= 50(1-0.35)25.5+0.08*9.81 + 10 (1-0.35)25.5 + 0.35*9.81 = 1068.1 kPa
la presión hidrostática es.
P= 9.81*10 0 =98.1 kPa
El esfuerzo efectivo será entonces:
= 1068.1-98.1=970 kPa.
El incremento en el esfuerzo efectivo será entonces:
= 970-683.5 = 286.5 kPa
La caída del nivel freático produce una variación lineal del esfuerzo efectivo
152
de 0 kPa a 10 m de profundidad a 286.5 kPa a 50 m de profundidad. El
incremento promedio del esfuerzo efectivo es:
= (0 +286.5)/2 =143.25 kPa
y la subsidencia para la profundidad de 10 a 50 m es:
Su1= 40*143.25/105= 0.0573 m
La subsidencia en el estrato de 50 a 60 m es:
Su2= 10*286.5/105= 0.0287 m
EJERCICIO 6.3
En una zona existe un acuífero confinado con un espesor promedio de 30 m,
que se extiende superficialmente 800 km². La superficie piezométrica
fluctúa anualmente de 19 a 9 m sobre el techo del acuífero. Asumiendo un
coeficiente de almacenamiento de 8x10-4
, calcular el volumen de agua
almacenada anualmente.
Por definición se tiene
AH
VS
OH2
donde
V: volumen almacenado
H: variación en los niveles piezométricos
A: área
Despejando
153
AHSV OH2
64
OH 1080010108V2
35
OH m1064V2
6.5. CONDICIONES DE BORDE USUALES PARA LA SOLUCIÓN
DE LAS ECUACIONES QUE RIGEN EL FLUJO
SUBTERRÁNEO
Las ecuaciones básicas presentadas en la sección anterior son ecuaciones
diferenciales parciales de segundo orden y primer grado; las ecuaciones son
solamente las expresiones para un balance de masas y no suministran ninguna
información para un caso específico de flujo, ni aun sobre la forma del
dominio en que éste ocurre. Cada ecuación tiene un número infinito de
soluciones, cada una de las cuales corresponde a un caso particular de flujo en
un medio poroso. Para obtener de esta multitud de posibles soluciones una
solución particular de un problema específico, es necesario tener una
información adicional no contenida en las ecuaciones. Esta información, que
junto con las ecuaciones diferenciales parciales, define el modelo para un
problema particular, incluye especificaciones sobre las condiciones iniciales
y las condiciones de frontera.
Las primeras describen la distribución de los valores de la variable
considerada en algún tiempo inicial, frecuentemente t=0, en todos los puntos
del dominio considerado. Por ejemplo:
h = h(x, y, z, t=0) = f(x, y, z)
Donde f(x, y, z) es una variable conocida.
Las condiciones de frontera expresan la manera como el dominio considerado
interactúa con el entorno. En otras palabras expresan las condiciones de
caudales y cabezas piezométricas conocidas que el dominio externo, impone
154
al que se está considerando.
Diferentes condiciones de borde producen diferentes soluciones, de ahí la
importancia de fijarlas correctamente. También es claro que su contenido
expresa una realidad física tal como la entiende la persona que está
construyendo el modelo, aunque tales condiciones formen parte de un modelo
teórico - matemático.
Dichas condiciones son, desde el punto de vista matemático, de tres tipos
a) Condición de Dirichlet que fija el valor de la variable h: h = cte.
b) Condición de Neumann que fija el valor de la primera derivada de la
variable h:
h
n impuesta en un contorno.
c) Condición de Fourier que fija los valores de h y
h
n: h
h
n
impuestos.
Se añadirá una cuarta condición que es la condición de superficie libre o de
goteo, que es una condición de frontera doble. Más adelante se estudiará el
problema de las condiciones iniciales.
Esas mismas condiciones, desde un punto de vista hidrogeológico significan
lo siguiente:
a) Condiciones de potencial impuesto que corresponden a la condición de
Dirichlet, o sea h = cte. Es el caso que se presenta cuando el acuífero está
en contacto con una masa libre de agua tal como un río o el mar, Figura
6.4. En esta situación la carga potencial es constante en todos los puntos de
la superficie de contacto entre el acuífero y el río o entre el acuífero y el
mar, y está definida por la altura del agua en el río o en el mar. En estas
masas de agua las pérdidas de carga son prácticamente despreciables pues
si bien es cierto que la carga pueda tener ciertas variaciones con el tiempo,
155
dichas variaciones no dependen del funcionamiento del acuífero sino de
condiciones externas a él como lo son las precipitaciones, por ejemplo. La
condición se expresa por lo tanto como h = cte.
b) Condiciones de flujo impuesto. Son equivalentes a la condición de
Neumann, ya que si se impone un valor a
h
n, (el gradiente en la dirección
n), se tiene a partir de la Ley de Darcy: V Kh
nN
y como
h
ncte ,
entonces Vn = cte y por consiguiente el caudal o flujo es también constante.
FIGURA 6.4 Condición de potencial impuesto. (en el contorno A del
acuífero el potencial es constante).
Pueden presentarse los siguientes casos:
- Condiciones de flujo nulo:
h
n 0 Este tipo de condiciones se encuentran
por ejemplo cuando el acuífero está limitado por una superficie
impermeable, Figura 6.5.
- Flujo impuesto diferente de cero, es decir
h
n 0 . Es el caso, por
156
ejemplo, de la explotación de un pozo con un caudal dado o un
afloramiento en una zona donde la tasa de infiltración es inferior a la tasa
de "adsorción" de la napa, Figura 6.6.
c) Condiciones de Fourier. Supóngase un río que drena o alimenta un
acuífero, Figura 6.7, que tiene un fondo colmatado por un material poco
permeable.
La diferencia de carga h = h(río) - h(napa), expresada como hr - h, crea el
gradiente necesario, para que haya un flujo por unidad de superficie de
contacto río - acuífero.
Según la ley de Darcy:
'e
hh'K
'e
h'Kq r
FIGURA 6.5 Condición de flujo nulo.
157
FIGURA 6.6 Condiciones de flujo no nulo.
FIGURA 6.7 Condiciones de Fourier.
También según la ley de Darcy, el caudal por unidad de superficie es:
q Kh
n
, con n normal a la superficie de contacto. Por conservación de
flujo a través de la interfase AB, se puede escribir:
158
rh'e
'Kh
'e
'K
n
hK
La cual es, por definición, una condición de Fourier.
d) Condiciones de flujo a superficie libre. Dos condiciones definen una
superficie libre:
- La presión sobre todo punto M de la superficie libre es la presión
atmosférica. Se puede escribir entonces: h = z.
- Además la superficie libre es una superficie a flujo impuesto, que puede ser
nulo si el acuífero no es alimentado por su superficie, o sea
h
n 0 , y si la
napa es recargada por su superficie, entonces
h
na . Esta "alimentación"
puede ser también negativa, como en el caso en que haya evaporación. Ver
Figura 6.8.
FIGURA 6.8 Condición de superficie libre.
Aparece aquí entonces una doble determinación. El problema principal reside
en el hecho de que la posición de la superficie libre no es conocida, sino que
159
por el contrario debe ser determinada y a su vez dicha superficie constituye
una condición de borde del flujo. Se trata entonces de una superficie que
cumpla simultáneamente las dos ecuaciones: h = z y
h
ncte . Lo que se
hace en la práctica es determinar la posición de la superficie por
aproximaciones sucesivas. Primero se supone la posición de la superficie,
limitando así el dominio de integración, luego se fija la carga para dicho
dominio h = z y se verifica que el caudal calculado Kh
n
, sea correcto. Si
dicho flujo no es correcto, se varía la posición de la superficie libre.
Hay condiciones de límites con flujo a superficie libre, por ejemplo en los
acuíferos libres en los cuales la superficie piezométrica es la misma superficie
freática. También en el caso del flujo a través de una presa de tierra, la línea
de saturación constituye un límite de flujo a superficie libre.
En muchos casos la superficie libre es cortada por una superficie que está en
contacto con la atmósfera, y aparece lo que se denomina una línea de
emergencia del fluído, dejando de existir una continuidad entre la superficie
libre y el plano de agua hacia abajo. Dicha superficie de contacto entre la
superficie libre y la atmósfera es llamada superficie de goteo. Como ejemplos
de superficies de goteo se pueden precisar los mostrados en la Figura 6.9: flujo
a través de una presa de tierra, flujo hacia un pozo, contacto de un acuífero
con una masa libre de agua. En la figura el sector AB es la superficie de
goteo.
En este caso entonces las condiciones de borde en la superficie de goteo se
expresan por la ecuación:
h = z (6.33)
160
FIGURA 6.9 Superficies de goteo.
Aquí también se presenta el problema de determinar la extensión de la
superficie de goteo, lo cual se hace también por aproximaciones sucesivas,
como en el caso de la posición de la superficie libre.
En ciertos casos, cuando se supone que el dominio de integración es infinito,
es posible abstraerse de las condiciones de frontera. Esto es muy utilizado
cuando se están buscando soluciones analíticas a la ecuación de difusión. Los
métodos numéricos se adaptan mejor cuando se tienen condiciones de frontera
conocidas.
Para los problemas de flujo transitorio es necesario definir las condiciones
iniciales del problema o sea el valor de h en todo el dominio, cuando t=0.
EJEMPLO 6.4
Encontrar el caudal que fluye debajo de una presa que descansa sobre una
fundación permeable, Figura 6.10.
161
FIGURA 6.10 Flujo debajo de una presa.
Solución:
Considerando el acuífero confinado y el flujo permanente se tiene:
0h2
Si se considera además, que el flujo es unidimensional :
0x
h2
2
Integrando esta última ecuación se tiene:
21 CxCh
162
Las condiciones de borde son:
Para x = 0, h=H1 y para x=B, h=H2. Esto implica que:
C2 = H1 y C1=(H2 - H1)/B
La cabeza piezométrica en cualquier punto debajo de la presa será entonces:
112 Hx
B
HHh
y el caudal total, si L es la longitud de la presa, será:
VAQ eLA
B
HHK
dx
dhKV 21
21 HHB
LeKQ
EJEMPLO 6.5
Dos tanques cilíndricos están conectados por un tubo de 3 cm de diámetro
lleno de arena cuya permeabilidad es 9.1x10-4
cm/s. La profundidad en el
mayor de los tanques es de 40 cm y en el pequeño 10 cm, cuando t=0 (ver
Figura 6.11). Las áreas transversales de los tanques son de 1000 cm2 y 250
cm2 respectivamente. Cuanto tiempo tardará en descender 5 cm la
profundidad en el tanque grande?
163
FIGURA 6.11 Flujo a través de dos tanques
Solución:
Considerando que existe una relación lineal entre las carga h1 del primer
tanque y los gradientes hidráulicos (variando en el tiempo), se tiene:
15.0200
30i40h1
025.0200
5i35h1
15.0i025.015.0
354040h1
40
34hi 1
El volumen de agua que entra al tubo de arena por unidad de tiempo es:
A dh
dt
1 11, siendo A1 el área transversal del cilindro mayor. Este volumen es
164
igual al que está circulando por el tubo de arena, que puede expresarse por la
ley de Darcy como KA it 2, siendo At el área del tubo de arena. O sea que:
40
34hKA
dt
dhA 1t
11
t
0
35
401
1
t
1 dt34h
dh
KA
A40
El tubo de arena tiene un diámetro de 3 cm, lo que implica que At=7.07 cm2;
si se reemplazan valores y se integra la ecuación anterior se tiene t=128 días
6.6. MODIFICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE EN EL
CASO DEL FLUJO EN UN ACUÍFERO LIBRE CON BASE EN
LAS HIPÓTESIS DE DUPUIT
La solución de la ecuación 2h = 0 para flujo permanente es difícil en
acuíferos libres pues como ya se anotó la posición de la superficie libre no es
conocida y por lo tanto los límites de integración no están generalmente bien
determinados. Por otra parte, las condiciones de borde sobre dicha superficie
libre se expresan en forma cuadrática, en términos de las derivadas de la carga
hidráulica h. Las hipótesis de Dupuit (1863) son probablemente la
herramienta mas poderosa para tratar escurrimientos en acuíferos libres.
Dupuit basó sus hipótesis en la observación de que frecuentemente se
encuentran pendientes de 1/1000 - 1/100 en los niveles freáticos de los
acuíferos libres.
Si se considera flujo permanente en el plano bidimensional XZ, Figura 6.12
(sin recarga), el nivel fréatico es una línea de corriente. En cualquier punto P,
a lo largo de esa línea, la descarga específica, en una dirección tangente al
nivel fréatico, está dada por la ley de Darcy:
165
senKds
dZK
ds
dhKq 1
s
(6.33)
FIGURA 6.12. Hipótesis de Dupuit.
Lo anterior es válido porque a lo largo de la línea freática p=0 y h=Z. Como
es muy pequeño, Dupuit sugirió reemplazar sen por tan = dh/dx. Asumir
que es pequeño, equivale a decir que las equipotenciales son verticales y
que el flujo, por lo tanto, es esencialmente horizontal. La hipótesis de Dupuit
permite calcular la descarga teniendo en cuenta que h=h(x,y) así:
x
hKq x
(6.34)
y
hKq y
La ventaja de la hipótesis de Dupuit es que h = h(x,y,z) ha sido reemplazada
por h = h(x,y), y esto significa que z no aparece como variable independiente.
166
En general h varía con el tiempo así que h = h (x,y,t).
Las hipótesis simplificativas de Dupuit, permitieron a Forcheimer la
deducción de una ecuación que sustituye a la 6.23. Considérese un prisma de
acuífero cuya base es horizontal coincidiendo con la base misma del acuífero
y la parte superior es la superficie libre, Figura 6.13. Un punto cualquiera
sobre la superficie h (x,y) representa a la vez la altura de la superficie libre por
encima del plano de referencia y el potencial hidráulico en cada punto de la
vertical, trazada desde un punto dado de la superficie libre.
El caudal a través del área elemental hy, en la dirección x es:
yhx
hKQx
(6.35)
FIGURA 6.13 Continuidad en un acuífero libre.
El caudal a través del área elemental x+x es:
167
yh
x
hK
xxyh
x
hKQ xx
(6.36)
En el supuesto de que K sea constante, la diferencia entre el caudal de entrada
y salida es:
x
h
2
1
xKyx
x
hh
xKyx
2
(6.37)
De una forma similar, la diferencia de caudales en la dirección y vale:
y
h
2
1
yKyx
2
(6.38)
De acuerdo al principio de continuidad, la diferencia entre el caudal que entra
y el que sale tiene que ser igual a la variación del volumen de agua contenida
en el prisma. Esta variación es nula si en el interior del prisma no existen
manantiales ni sumideros; por tanto:
0y
h
x
h
2
Kyx
2
22
2
22
(6.39)
0h 22
En el caso que haya recarga a través de la superficie libre, esta ecuación se
puede modificar sin ninguna dificultad. Si se expresa como R el valor de la
recarga por unidad de superficie (dimensiones L/T), la recarga que
experimenta el prisma de la Figura 6.13 es R xy y por efecto de la
conservación de masas se tiene:
168
0yxRy
h
x
h
2
Kyx
2
22
2
22
(6.40)
Es decir que:
0K
R2h 22
(6.41)
es la ecuación de Poisson para h2
EJEMPLO 6.6
Calcular el flujo por debajo de una presa permeable que descansa sobre una
fundación impermeable, Figura 6.14.
Solución:
La ecuación 6.34, suponiendo un flujo unidimensional sin recarga, se reduce
a:
0dx
hd2
22
Integrándola:
BAxh2
Las condiciones de borde son:
para x = 0 , h = H0
para x = L , h = H1
169
FIGURA 6.14 Flujo a través de una presa.
O sea que B = Ho2 y
L
HHA
2
0
2
1 3. El caudal a través de cualquier sección
vertical se puede expresar como:
dx
dhhKQ
Pero h dh/dx es igual a A/2, lo que implica que:
2
0
2
1 HHL2
KQ
EJEMPLO 6.7
Una capa horizontal impermeable de 5 m existe bajo la superficie del terreno,
en un suelo en una región húmeda, donde la precipitación excede la
evapotranspiración en 28 cm. Un sistema de drenaje subterráneo está
compuesto de drenes paralelos igualmente espaciados, requeridos para
170
mantener la elevación máxima de nivel freático a una profundidad de un
metro bajo la superficie del terreno (Figura 6.15). Si los drenes se colocan 2.1
m bajo la superficie del terreno y K= 1.4x10-4
cm/s, se pregunta cual sería el
espaciamiento de los drenes, asumiendo que no hay escorrentía superficial
directa.
FIGURA 6.15 Colocación de los drenes.
Solución:
Se trata de un acuífero libre, o sea que se pueden utilizar las hipótesis de
Dupuit y se tiene:
K
R2h 22
K
R2
x
h2
22
O
2
CxK
R2
x
h
1O
22 CxCxK
Rh
Si se toma como nivel de referencia la base impermeable y como origen de
171
coordenadas un punto que es la intersección de una perpendicular al nivel de
referencia por el centro del dren y este, las condiciones de borde son:
para x=0, h=2.9
para x=L/2, h=4
para x=l, h=2.9
Reemplazando estas condiciones de borde en la ecuación anterior se tiene:
2
1 9.2C
2
O
2 9.2C2
LL
K4
R16
2
O
22 9.2LC
K
LR9.2
Efectuando las operaciones se tiene que:
K
LRCO
Reemplazando los valores de C0 y C1 y resolviendo el sistema resulta un
espaciamiento de L = 69.18 m.
EJEMPLO 6.8
Considerando la Figura 6.16, hallar una expresión para las cabezas
piezométricas, en cualquier punto, suponiendo que el flujo es bidimensional.
Solución:
La ecuación para un flujo permanente en el plano xy es:
172
0y
h
x
h2
22
2
22
FIGURA 6.16 Flujo permanente bidimensional en un acuífero
confinado.
La expresión matemática para las condiciones de borde es la siguiente:
0y
h
en y = 0 y en y = yL
h = hO en x = 0
h = h1 en x = xL
Se puede resolver h(x,y), usando la técnica de separación de variables. Si se
considera que la solución es un producto de la forma siguiente:
)y(Y)x(X)y,x(h
La ecuación de Laplace puede escribirse entonces como:
0dy
YdX
dx
XdY
2
2
2
2
173
Dividiendo por XY:
2
2
2
2
dy
Yd
Y
1
dx
Xd
X
1
Se tiene que:
Fi(x) = -Fd(y)
Fi(x) = constante
Fd(y) = constante.
Por lo tanto:
Gdx
Xd
X
12
2
y
Gdy
Yd
Y
12
2
La constante G puede ser positiva, negativa o cero. Todos los tres casos son
solución del producto, pero sólo G=0, permite una solución con significado
físico inmediato. Se tiene entonces que:
0x
X
X
12
2
y 0
y
Y
Y
12
2
Las anteriores son ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son:
BAxX y DCyY
El producto h(x, y) se transforma en:
)DCy()BAx()y,x(h
Las condiciones de borde enunciadas anteriormente, permiten evaluar los
174
coeficientes A, B, C y D. Derivando con respecto a y la ecuación anterior:
C)BAx(y
h
Reemplazando la condición de borde
h
y 0 4, implica que C=0 y el producto
queda:
FExD)BAx()y,x(h
Invocando las condiciones de borde restantes se tiene que F hO y
Eh h
x L
0 1 5. La solución es entonces :
L
1OOx
x)hh(h)y,x(h
Esta solución es idéntica a la encontrada en el ejemplo 6.1, en el que
inicialmente se supuso flujo unidimensional.
EJEMPLO 6.9
Se tiene una galería de 200 m de longitud en un acuífero libre con una
permeabilidad de 60 m/d, tal como muestra la figura.
175
Si H = 7 m, h1 = 2, y L = 400 m, calcular:
a. El caudal drenado por la galería.
b. La ecuación de la superficie freática.
Solución:
El caudal por unidad de longitud de galería, fluyendo por un lado de ésta es:
x
hhkAVq
Integrando
1
2
C2
hkxq
Cuando x=0, h=h1, de donde 2
hkC
2
1
1
Se obtiene entonces:
2
1
2 hhx2
kq
(A)
Si x=L, h=H
2
1
2 hHL2
kq
(B)
176
De la ecuaciones (A) y (B) se obtiene la ecuación del nivel freático:
2
1
22
1 hHL
xhh
Reemplazando los valores se obtiene:
2
1
2 hHL
lklq2Q
22 274002
20060Q
Q = 1350 m³/d
x1125.04h
177
PROBLEMAS PROPUESTOS
6.1. La Figura presenta una sección de acuífero entre 2 ríos, separados 3000
m. La permeabilidad es k=20 m/d, ho=30 m y hL=20 m. Si la
infiltración efectiva es de 500 mm/año, determinar los caudales que
fluyen hacia las dos corrientes y la forma de la superficie freática.
6.2 Una capa de arcilla de 50 m de espesor se encuentra encima de un
acuífero confinado formado por arenas. Un piezómetro perforado en el
techo del acuífero tiene una cabeza piezométrica de 7 m sobre la
superficie del terreno. El peso específico de la arcilla saturada es de 2.4
ton/m3. Asumir que el nivel freático está en la superficie del terreno.
a)Cuál es el valor de la presión total de la presión efectiva y de la
presión de poro en el fondo de la capa de arcilla. b)Si se hace una zanja
de 6 m de profundidad en la arcilla, cuáles son las presiones totales,
efectiva y de poro en el fondo de la capa de arcilla debajo de la zanja.
Asumir que la zanja está llena de agua. c)Cuál es la profundidad de la
zanja que puede causar una falla en el fondo.
6.3. Dos ríos separados 3000 m están conectados por un acuífero libre con
178
una permeabilidad de 20 m/d. El nivel del agua en el río de la derecha
es + 25 m y en el río de la izquierda + 35 medidos respecto a un fondo
horizontal con una cota de - 20 m. En ambos ríos, la profundidad del
agua es de 5 m aproximadamente. Se requiere calcular :
a. El caudal hacia cada río
b. La elevación del nivel freático en el punto medio del valle que une los
ríos.
c. La localización de la máxima altura del nivel freático.
d. El caudal drenado por una galería horizontal localizada a 1000 m del
río izquierdo. La elevación de la galería es + 15 m.
Capítulo 7
REDES DE FLUJO
172
173
La Ecuación de Laplace es una de las más importantes de la física matemática. Para muchos problemas prácticos de la ingeniería es muy útil obtener su solución gráfica. En aguas subterráneas son particularmente interesantes los cálculos de las redes de flujo del escurrimiento. Este capitulo se dedicara al estudio de los fundamentos teóricos de la ecuación de Laplace y a mostrar algunos ejemplos de su manejo práctico en aguas subterráneas. Si consideramos un flujo laminar y permanente a través de un medio poroso, homogéneo e isotrópico, el fluido se moverá según lo descrito por la ley de Darcy:
y
hKV
x
hKV yx
(7.1)
La ecuación de continuidad para la masa, a su vez, produce que:
h0y
V
x
V 2yx
(7.2)
supuesta una permeabilidad invariable. Por lo tanto h(x,y) es una solución de la ecuación de Laplace. La permeabilidad intrínseca, ya mencionada, permite escribir entonces:
y
)gh(KV
x
)gh(KV O
yO
x
174
ghK
ghK
V OO
(7.3)
con 2 0gh 1 como ecuación del escurrimiento. Nótese de inmediato que
gh opera como un "potencial de velocidades" para este flujo, como si se tratase de un flujo "potencial" puro. Pero la viscosidad es insoslayable en este flujo, y disipa "carga" de energía del fluido, y por ello el flujo darcyano se considera apenas "seudopotencial" y la función:
0,cteg 2 (7.4)
Es el potencial generalizado para estos flujos. Particularmente importante es el flujo de un flujo bidimensional, con h(x,y), pero nada impide aplicar las mismas nociones a los escurrimientos darcyanos tridimensionales. En este capítulo se restringirá el estudio al caso de movimientos planos. Las curvas constante 2, o lo que es lo mismo, gh = constante, se conocen
como líneas equipotenciales. A lo largo de ellas d 0 3, es decir:
0dyy
dxx
d
(7.5)
y resulta para una pendiente la expresión:
ialequipotenclaenpendienteV
V
y
x
dx
dy
y
x
(7.6)
Las cargas hidráulicas gh son las mismas en todos los puntos de la equipotencial. No debe esperarse pues ningún flujo a lo largo de ellas, ningún gradiente movería el flujo. El flujo debe ser normal a las equipotenciales.
Si consideramos la pendiente de una línea de corriente (paralela por definición
a la velocidad), resulta:
175
0dyVdxVV
V
dx
dyxy
y
x
(7.7)
Existe otra función, que se construye siempre, que existe en todo tipo de flujos, muy útil para describir las líneas de corriente. Es la función de corriente de Lagrange, ( , )x y . Si consideramos la ecuación 7.7, puede
preguntarse si no podrá sintetizarse en una forma diferencial total, dígase d 0 4 en la línea de corriente. Esto sería:
0dyy
dxx
d
(7.8)
e igualando con la ecuación 7.7, resultaría que si 5 existe, debería ser tal que:
xV
yV yx
(7.9)
Pero debe garantizarse la existencia de 6. Considérese la forma diferencial:
x
N
y
M
(7.10)
Será cierto que la forma Vydx -Vxdy es exacta? Si lo es, existe 7. Y con M = Vy, N = -Vx, resulta la condición:
0y
V
x
Vbieno
x
V
y
V yxxy
(7.11)
Ahora bien, esta condición la satisfacen siempre los líquidos, es la ley de conservación de su masa. Y queda visto que la función de corriente 8 existe siempre, en cualquier flujo bidimensional, permanente ó no. La ecuación de la línea de corriente es =0 y su pendiente es:
176
x
y
V
V
dx
dy
(7.12)
Y es claro que la equipotencial y la línea de corriente se cortan ortogonales en
cada punto:
1V
V
V
V
dx
dy
dx
dy
y
x
x
y
(7.13)
Las ecuaciones que sintetizan lo anterior se conocen como ecuaciones de
Cauchy - Riemann. Si se igualan las expresiones para las velocidades según
y :
yx:Vx
(7.14)
xy:Vy
Ecuaciones son de la mayor utilidad, y en los escurrimientos darcyanos sirven de base para construir la red de flujo en forma gráfica. Nótese que es también una función de Laplace (si en 7.14 se deriva la primera ecuación con respecto a y, la segunda con respecto a x, y se restan, resulta de inmediato 2 0 9).
En un problema específico, en el que haya unas condiciones de frontera fijas,
la solución de la ecuación de Laplace para y , con las condiciones de
frontera existentes en el flujo produce una descripción completa del campo de
flujo. La red de flujo representa la descripción en forma gráfica: está
constituida por líneas equipotenciales separadas igualmente en , por líneas de
corriente separadas igualmente en . Todas las intersecciones de la red son
ortogonales. Se va a aprender a construirlas en diversos flujos darcyanos.
177
7.1. PROPIEDADES DE LAS REDES DE FLUJO. Puesto que las líneas de corriente se trazan igualmente espaciadas en , el caudal que fluye entre dos líneas consecutivas es el mismo por unidad de ancho. La cantidad 10 tiene las unidades de un caudal unitario, y 11 se considera entonces la representación del caudal que fluye entre las dos líneas. El espacio entre ellas se llama canal de flujo o canal de corriente, Figura 7.1. Ni las equipotenciales pueden cortarse entre sí, dentro del medio fluido, ni las líneas de corriente pueden cortarse entre sí dentro del medio fluido.
FIGURA 7.1 Canal de flujo entre dos líneas de corriente. El método de las redes de flujo utiliza esos postulados para resolver el problema de un modo sencillo y gráfico. Se trata entonces de definir en cada caso las condiciones de frontera específicas del problema y de trazar, cumpliendo aquellas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo así una verdadera imagen gráfica del problema.
Al acomodar en un dibujo hecho a mano las dos familias, respetando las condiciones de frontera y ortogonalidad, se tendrá una aproximación a la solución única del problema. Esta, si el dibujo está hecho con cuidado, es lo suficientemente buena para los fines ingenieriles.
Según Harr (1962) el trazado de una red de flujo incluye los siguientes pasos:
- Dibujar los límites del dominio.
178
- Fijar tentativamente 3 ó 4 líneas de corriente. La distancia a través de
líneas de corriente adyacentes se incrementa en la dirección de la línea del mayor grado de curvatura (línea menos curva).
- Trazar tentativamente equipotenciales, formando ángulos rectos. - Ajustar. - Comprobar la bondad del ajuste si al trazar las líneas diagonales de los
cuadrados se obtienen también curvas suaves, formando una nueva red.
7.2. CÁLCULO DEL CAUDAL Al trazar cualquier red de flujo se dibujan las equipotenciales de tal manera que la h sea la misma y que el q entre dos líneas de flujo sea el mismo, Figura 7.2.
FIGURA 7.2 Caudal y gradiente en un canal. Se tiene que:
b
hkaq
(7.15)
Si:
179
nf = # canales de la red nc = # caídas de potencial
Entonces:
cf n
hhy
n
(7.16)
Donde:
q: caudal unitario total
h: carga total
Reemplazando 7.9 en 7.8:
Khb
a
n
nq
n
haK
n
q
c
f
cf
(7.17)
Si q, k, nf y nc son constantes a/b = cte. O sea que la relación entre el ancho y
el largo de todos los rectángulos curvilíneos debe ser la misma. Esta
condición implica que se estén cumpliendo las dos condiciones iniciales (q y
h iguales). Por lo tanto, el único requisito para satisfacer estas dos
condiciones es que a/b = cte (cualquiera). Si esta constante es igual a 1 el
problema se simplifica bastante, los rectángulos se transforman en cuadrados
curvilíneos (mucho más fáciles de verificar en cuanto a la corrección de su
dibujo).
Si se acepta que la red es cuadrada, puede escribirse:
Khn
nq
c
f
(7.18)
180
n
n
f
c
12, el "factor de forma" de la red.
7.3. TIPOS DE REDES DE FLUJO Las redes de flujo pueden ser de varios tipos, dependiendo de la configuración y el número de zonas de suelo o roca a través de las cuales el drenaje ocurre. Una primera división puede ser la siguiente:
1) El flujo es confinado dentro de límites de saturación conocidos y el
nivel freático es conocido también.
2) El flujo es no confinado: el nivel freático no es conocido. Una segunda división puede ser hecha si hay permeabilidad simple o si hay dos o más permeabilidades. Esta clasificación da cuatro posibles condiciones de flujo: - Flujo confinado en secciones con una permeabilidad K. - Flujo confinado en secciones con dos ó más permeabilidades K1 y K2. - Flujo no confinado con una permeabilidad K1. - Flujo no confinado con 2 ó más permeabilidades K1 y K2.
1) Flujo confinado. Como ejemplos de flujo confinado la Figura 7.3,
presenta el flujo bajo una tablestaca y una presa de hormigón. En la
tablestaca se tienen los siguientes límites del dominio: Línea AB = máxima equipotencial Línea CD = mínima equipotencial Línea BEC = la línea de flujo más corta Línea FG = la línea de flujo más larga Bajo la presa, los límites son los siguientes: Línea AB = máxima equipotencial. Línea IJ = mínima equipotencial. Línea BEFGHI = línea de flujo mas corta.
Línea KL = línea de flujo mas larga.
181
2) Flujo no confinado. Sistemas con el nivel freático desconocido, como
es el caso que se presenta en una presa de tierra, Figura 7.4. Los
límites del dominio son los siguientes:
Línea AB = máxima equipotencial Línea AC = línea de corriente. La posición del nivel freático es desconocida, pero puede esperarse razonablemente que esté en algún lugar de la zona rayada BED.
FIGURA 7.3 Redes de flujo confinadas. a) Red de flujo bajo una
tablestaca. b) Red de flujo bajo una presa.
182
FIGURA 7.4 Red de flujo no confinada.
Antes de empezar a construir una red de flujo con nivel freático desconocido, la cabeza total h, debe ser dividida en un número conveniente de partes iguales h (caídas de potencial). En la Figura 7.5, h= h/5.
FIGURA 7.5 Red de flujo a través de una presa. Las condiciones que establecen la posición de la línea freática en la Figura 7.5 son: - Caídas de potencial = 5 - Las líneas equipotenciales deben interceptar el nivel freático en el
punto correcto.
183
En la Figura 7.5 pueden existir diferentes posiciones de la línea de saturación. La posición más correcta sólo puede determinarse a través de un proceso iterativo, el cual se explica a continuación. Se escoge una línea de saturación aproximada y se dibujan las equipotenciales correspondientes, tratando de hacer con éstas todas las intersecciones en ángulo recto, Figura 7.5. Si la relación a/b es uno, en toda la red, se garantiza que el caudal es constante en los canales de flujo. Entre cada par de equipotenciales se miden las relaciones a/b y se suman. El total se coloca en la parte inferior de la red. En la Figura 7.5 ese valor es 1.3, para los cuadrados comprendidos entre las equipotenciales 1-1 y 2-2. Como puede verse esos valores no son iguales y es necesario entonces, ajustar la red, reubicando la posición de la línea de saturación. En este caso particular, la parte inferior de la línea de saturación debe colocarse más arriba. 3 ) Redes de flujo en medios anisotrópicos. Suponiendo que se tienen dos
estratos de espesores iguales con permeabilidades k1 y k2, siendo k1 > k2, el ancho de los canales en el estrato 1 deberá reducirse, proporcionalmente al valor de la permeabilidad, para conservar constantes los caudales. El flujo se comporta en forma similar a los rayos de luz cuando pasan de un medio a otro, refractándose. Sin embargo, la ley que gobierna esta refracción, sigue una relación de tangentes y no de senos, como ocurre con los rayos luminosos. Considérese la Figura 7.6:
2
22
1
11
dl
dhck
dl
dhak
(7.19)
En ambos medios las equipotenciales sucesivas están separadas una misma cantidad d g h 13, lo que implica que h dh dh 1 2 14.
Por geometría:
b
dlsen;cosba
b
acos 1
111
b
dlsen;cosbc
b
ccos 2
222
184
FIGURA 7.6 Flujo en un medio anisotrópico. Reemplazando en 7.19:
bsen
bcosk
cosb
cosk
2
22
1
11
(7.20)
2
1
2
1
tan
tan
k
k
La ecuación 7.21 es la ley de las tangentes, que gobierna la refracción del agua subterránea en la frontera de un medio heterogéneo. Conociendo k1, k2 y 1, puede resolverse la ecuación 7.21 para 2.
Lo anterior quiere decir que en el estrato más permeable se tendrán
185
rectángulos (menor sección para el mismo caudal) alargados en la dirección de
flujo y en el estrato menos permeable se tendrán cuadrados. Podría usarse el
siguiente criterio práctico:
12
1
2 kkk
k
c
d
Si en la zona con permeabilidad k1 las figuras dibujadas son cuadrados, en la zona con permeabilidad k2, deben dibujarse rectángulos elongados con una relación longitud/ancho c/d.
7.4. FUERZAS DE FILTRACIÓN
El agua circulando en un medio poroso, imparte energía a los granos sólidos por fricción. Considérese en la Figura 7.7 un volumen de arena confinado, en el cual se tiene un nivel de agua h1 antes y un nivel h2 después de la arena.
FIGURA 7.7 Fuerzas de filtración. La fuerza resultante en el volumen de arena es:
F = P1 - P2 Donde:
P1 = h1 A y P2 = h2 A
186
A es el área transversal de la muestra. Substituyendo:
F = (h1 - h2) A = h A Si se considera un volumen unitario: 1 = Al A = 1/l Reemplazando:
iFl
hF
(7.21)
La dirección de F es paralela al flujo y puede localizarse dependiendo de la posición del centro de gravedad del elemento analizado. Para suelos anisotrópicos, debe utilizarse el concepto de sección transformada así: Si kh es la permeabilidad horizontal y kv la permeabilidad vertical y las
distancias horizontales son multiplicadas por k
k
v
h
15, la sección así obtenida
es denominada sección transformada. Si kh > kv, la sección transformada será más pequeña en su dimensión horizontal, tal como se indica en la Figura 7.8.
187
a) b) FIGURA 7.8 Concepto de la sección transformada. a) Sección original.
b) Sección transformada.
Se dibuja la red de flujo para una sección transformada y luego se reconstruye la sección natural, antes de que la magnitud y dirección de la fuerza puedan ser determinadas. Las fuerzas de filtración pueden combinarse con el peso del suelo, para mejorar la estabilidad o empeorarla, dependiendo de la dirección en que actúen y su relación con la forma geométrica de la sección. Consideremos los elementos a y b en la figura la Figura 7.9. Si W es la fuerza debida al propio peso, las fuerzas de filtración se oponen a las de gravedad, en el elemento b, neutralizando parte del peso del suelo, reduciendo por tanto el esfuerzo efectivo y la resistencia al corte; el elemento b no estará en equilibrio y habrá inestabilidad. Esto puede prevenirse construyendo un filtro.
188
FIGURA 7.9 Fuerzas en elementos de una red de flujo.
EJEMPLO 7.1. Calcular el caudal que está pasando por debajo de la presa de la Figura 7.10, si K = 10 m/d y la longitud es de 100 m.
FIGURA 7.10 Presa sobre una formación impermeable.
189
Solución: Una posible representación de la red de flujo, es la que se muestra en la Figura 7.11. Se puede observar que la caída total de potencial es 9 m - 1.5 m o sea 7.5 m y se tienen en total 13 caídas de potencial , 6 canales de flujo, lo que implica que:
FIGURA 7.11 Red de flujo bajo una presa.
c
f
n
nLhKQ
13
6100)5.19(10Q
s
m5.3461Q
3
190
EJERCICIOS PROPUESTOS
7.1. Las cotas piezométricas son medidas simultáneamente en trece pozos
que penetran un acuífero confinado de espesor b=50 m, k= 20 m/día y
n=0.27.
Pozo 1 2 3 4 5 6 7
x (m) 860 3300 1400 600 2200 4400 1600
y (m) 200 700 1020 1300 1400 1300 1800
h (m) 34.6 35.1 32.8 32.1 31.5 34.5 33.3
Pozo 8 9 10 11 12 13
x (m) 640 3620 2700 800 1740 3900
y (m) 2360 2000 2580 3100 3220 3260
h (m) 34.4 34.3 35.2 35.2 37.3 36.3
a) Dibujar la red de flujo (h= 1.0 m).
b) Determinar el caudal en los puntos A(1000,400) y B(1600,1100).
c) Determinar el caudal entre los pozos 10 y 9.
d) Cuál es el tiempo promedio de viaje para una partícula entre los pozos 12
y el pozo 5.
7.2. En tres pozos de observación, se midieron las siguientes cabezas
piezométricas:
Pozo A B C
Coordenada x (m) 0 300 0
Coordenada y (m) 0 0 200
Altura piezométrica (m) 10 11.5 8.4
Asumir que los pozos penetran un acuífero confinado, homogéneo,
isotrópico y de espesor constante igual a 20 m, n= 0.2 y k=15 m/día.
Determinar:
191
a) Gradiente hidráulico (magnitud y dirección).
b) Descarga total en el acuífero por unidad de ancho.
c) Velocidad del agua en el punto P(100,100).
7.3. La figura adjunta muestra el esquema de un acuífero que conecta una
laguna con un río. Este acuífero es de material arenoso (K=10-2
cm/s) y
se encuentra limitado inferiormente por una base impermeable.
Superiormente existe un relleno arcilloso (K/10000) cuyos extremos
están más elevados y actúan de barrera hidráulica. Según lo anterior, y
con los niveles habituales en la laguna y en el río (inicialmente H1 = 10
m y H2 =2m), no es posible la circulación de agua en superficie y la
descarga de la laguna hacia el río se produce únicamente de forma
subterránea. En el fondo de la laguna existe una acumulación de arena
gruesa de alta permeabilidad (100K).
a). Dibujar la red de flujo para el acuífero representado en la figura,
indicando las líneas equipotenciales y las líneas de corriente, y explicar
qué significa que los elementos de la malla cambien de tamaño según
qué zona se considere. A partir de la red de flujo, obtener y representar
gráficamente la variación de nivel piezométrico con la distancia
horizontal, y estudiar si esta variación de niveles es lineal.
b).Discutir la necesidad o no de modificar la red de flujo obtenida si los
niveles de la laguna y del río varían. Obtener la relación entre el caudal
192
infiltrado y la diferencia de nivel. Explicar el método a seguir para obtener
mayor precisión en los cálculos y cómo se verían afectados el caudal y los
niveles al mejorar la red de flujo.
c) En la hipótesis de que el espesor del acuífero disminuyese linealmente
entre la laguna y el río, se considerasen como puntos de cálculo los situados
en la bisectriz de la zona de acuífero y el nivel piezométrico fuera constante
tanto en los puntos de la sección de entrada como en los de la de salida,
determinar la expresión analítica que proporciona el caudal y niveles en el
acuífero. Comparar el resultado que se obtiene con esta relación con el
procedente de la red de flujo.
d) Indicar dónde tiene lugar la situación más desfavorable con respecto al
sifonamiento y la condición que debe cumplirse para que no se produzca.
Determinar los niveles posibles entre la laguna y el río que no haya
sifonamiento y discutir si el sifonamiento depende de la diferencia de
niveles (H1-H2) o del valor absoluto de los mismos.
Capítulo 8
HIDRÁULICA DE POZOS
192
193
8.1. GENERALIDADES
Cronológicamente, la hidráulica de pozos es uno de los temas más antiguos de la hidráulica subterránea, ya que los trabajos de Dupuit fueron publicados en 1863, solamente 7 años después de la famosa memoria de Darcy. Sin embargo los problemas que presentan las captaciones son mas difíciles de lo que podría creerse a primera vista e importantes contribuciones a la teoría se han desarrollado recientemente.
En este capítulo se introducirán en primer lugar algunos conceptos fundamentales necesarios para desarrollar los modelos matemáticos que permiten describir el flujo de agua hacia las captaciones, y luego se estudiará el funcionamiento de los pozos en flujo permanente y en flujo transitorio para cada uno de los tipos de acuíferos que existen.
8.1.1. Tipos de captaciones. Las captaciones de agua subterránea son todas aquellas instalaciones que permitan poner a disposición del usuario el agua contenida en los acuíferos. Los diferentes tipos de captaciones pueden clasificarse así:
a) Pozos. Perforación vertical, generalmente en forma cilíndrica y de diámetro mucho menor que la profundidad. El agua penetra a lo largo de las paredes creando un flujo de tipo radial. Serán el objeto de estudio de este capítulo.
b) Drenes y galerías. Perforaciones o instalaciones horizontales de
sección mas o menos circular, con una longitud mayor que el
diámetro. Se crea a lo largo un flujo paralelo y horizontal.
194
c) Zanjas. Excavaciones rectilíneas en trinchera, generalmente de poca profundidad, poco usadas como captaciones y con funcionamiento similar a los drenes y galerías.
d) Pozos de drenes radiales. Consisten en pozos revestidos de los que
salen drenes horizontales en varias direcciones. El conjunto actúa como un pozo de gran diámetro.
Los pozos son el tipo de captación mas utilizado. Cuando se perfora un pozo este puede atravesar todo el espesor del acuífero y en ese caso se dice que es un pozo completo. Cuando la zona filtrante del pozo sólo alcanza una parte de ese espesor se denomina pozo incompleto. Los pozos más eficientes son los completos y siempre, para efectos del estudio de este capítulo, se supondrá que se trata de uno de este tipo. Este capítulo estará dedicado al estudio de la hidráulica de los pozos, es decir a la aplicación de las leyes de la hidráulica subterránea, ya discutidas anteriormente, en ellos.
Los primeros resultados teóricos fueron presentados por J. DUPUIT desde 1.863 en lo que concierne al régimen de flujo permanente. Sin embargo, el caso del flujo transitorio sólo fue resuelto en este siglo, en particular con los trabajos de THEIS (1935) y los posteriores aportes de JACOB. En la segunda mitad de este siglo los trabajos de HANTUSCH son particularmente importantes.
8.1.2. Principales conceptos básicos.
a) Flujo hacia el pozo. Al perforar un pozo el nivel del agua dentro de él
coincidirá con el nivel de la superficie freática, si se trata de un pozo en acuífero libre, o con el nivel de la superficie piezométrica si el acuífero es cautivo, Figura 8.1.
Cuando se inicia un bombeo en el pozo, el efecto inicial es el de producir un descenso en el nivel del agua en él, ocasionándose de esta manera un gradiente hidráulico entre dicho nivel en el pozo y los puntos adyacentes del mismo acuífero. La aparición de este gradiente hace que el agua fluya
195
hacia la captación. Si el pozo es de forma cilíndrica, como la superficie de filtración del agua es toda la superficie lateral del mismo, el flujo del agua se produce desde todos los puntos del acuífero y en dirección del centro del pozo, estableciéndose de esta forma lo que denominamos flujo radial, Figura 8.2.
En otras palabras, las líneas de flujo están orientadas hacia el centro del pozo. Si esto es así, entonces las isopiezas serán curvas concéntricas al pozo.
FIGURA 8.1 Nivel del agua en pozos en acuífero libre y en acuífero
confinado. b) Abatimiento (s). Si el bombeo se continúa después de un determinado
tiempo t se observa que el nivel del agua en el pozo empieza a descender, lo mismo que los niveles piezométricos en las inmediaciones del pozo. La superficie piezométrica toma la forma de un cono invertido cuyo eje de simetría es el eje del pozo y que se denomina cono de depresión. Las curvas de intersección de dicho cono con planos horizontales son curvas isopiezas y la curva de intersección con un plano vertical que pase por el centro del pozo se llama curva de abatimiento, Figura 8.3.
196
FIGURA 8.2 Flujo radial hacia un pozo.
FIGURA 8.3 Parámetros característicos de un pozo.
Al nivel piezométrico se le denomina también nivel estático y a la curva de abatimiento, nivel dinámico. Los factores que determinan dicho abatimiento son el tiempo de bombeo, el caudal de bombeo, las características hidrogeológicas del acuífero y la distancia al eje del pozo.
c) Radio de acción de un pozo (R). Ya se ha anotado que al principio del
bombeo el nivel del agua en el pozo empieza a descender debido a que el
197
agua que se extrae es proveniente del almacenamiento del acuífero en las
zonas cercanas al pozo. Mientras el nivel del pozo está descendiendo se
dice que el pozo está trabajando en régimen no permanente o transitorio.
El descenso puede suspenderse a causa, por ejemplo, de una recarga
exterior (río, lluvia o masa de agua almacenada), caso en el cual se
establece un régimen permanente cuya característica es la de que el caudal
aportado por la fuente de recarga es igual al caudal bombeado. También
puede suceder que el nivel no se estabilice como en acuíferos
completamente cautivos o en acuíferos libres sin recarga exterior y en este
caso el régimen será siempre transitorio.
Pero en la práctica, sucede muy a menudo que para acuíferos de gran extensión, y debido a que la velocidad de descenso del agua en el pozo disminuye poco a poco a causa de la mayor superficie del cono de depresión, llega un momento en el cual la velocidad de descenso del nivel en el pozo es tan lenta, que se puede considerar prácticamente constante. En este caso se puede decir que se ha establecido un régimen casi permanente. La distancia entre el eje del pozo y el punto en el cual los abatimientos son cero o cercanos a cero se llama radio de influencia del pozo (R).
d) Eficiencia de un pozo. Se denomina eficiencia de un pozo la relación
entre el descenso teórico y el descenso real medido en el pozo.
e) Capacidad específica. La capacidad específica o caudal específico de un
pozo se define como la relación entre el caudal bombeado Q y el
abatimiento en el pozo Sp.
pS
(8.1)
Sus unidades son por lo tanto m3/día/m ó lt/s/m.
El caudal específico varía con el abatimiento, pero tiende a estabilizarse a medida que este lo hace. Pueden construirse curvas que relacionan el caudal
198
bombeado con el abatimiento y el caudal específico con el mismo abatimiento. Dichas curvas son denominadas curvas características del pozo.
Tanto el caudal específico como las curvas características dan una idea del rendimiento o eficiencia de un pozo. 8.1.3. Efectos de la anisotropía y heterogeneidad de los acuíferos reales. Si el flujo es perfectamente horizontal (caso de un pozo completo o de una zanja totalmente penetrante en un acuífero cautivo) la anisotropía por estratificación no tiene importancia, pero cuando la velocidad del agua tiene una componente vertical, como sucede en las proximidades de pozos o zanjas incompletas o en el caso de acuíferos libres, el efecto de la anisotropía aparece haciendo disminuir o aumentar esa componente vertical. Para obtener el mismo caudal se precisan descensos mayores o bien con el mismo descenso se obtienen caudales menores. Así, un pozo incompleto en un acuífero con una permeabilidad vertical mucho menor que la horizontal, se comporta como si estuviera en un acuífero cuya transmisividad fuera la que correspondiera a la porción de acuífero enfrentado con la zona filtrante:
KT en vez de bKT .
Donde:
: longitud de la zona filtrante.
b: espesor del acuífero. Un caso especial de heterogeneidad y anisotropía es el de las rocas permeables por fisuración. Si la fisuración es densa, vertical y orientada al azar, el material se comporta como un medio aproximadamente homogéneo e isotrópico. Sin embargo es muy frecuente que las fisuras tengan orientaciones preferentes o que la fisuración sea poco densa o que las grietas no sean verticales, en cuyos casos o combinación de ellos, el medio se comportará como anisótropo y/o heterogéneo. 8.2. POZOS EN RÉGIMEN PERMANENTE
199
Un flujo permanente, en un dominio determinado, resulta cuando en todos los elementos del dominio las entradas son iguales a las salidas. En un sentido estricto, el régimen permanente rara vez ocurre en el campo. Sin embargo, considerando este tipo de régimen, es posible muchas veces obtener una gran cantidad de información útil para el tratamiento de problemas de tipo práctico. En todos los casos, todos los análisis de flujo son aproximados, sean ellos basados en desarrollos analíticos, sofisticados modelos de simulación o informaciones de campo o de laboratorio, debido a las limitaciones que se tienen respecto a la determinación de parámetros geológicos e hidrogeológicos. La aplicación práctica del análisis de flujo permanente en el campo depende de las herramientas matemáticas y de la interpretación física de los problemas que tenga el hidrogeólogo. Cuando se estudia la hidráulica de un pozo se trata de establecer la relación existente entre las características geométricas del cono de depresión (Radio de influencia, abatimiento y perfil de curva de abatimiento) el caudal bombeado Q y el tiempo de bombeo t. Existen tres factores principales que afectan el cono de depresión: El tiempo de bombeo: a medida que aumenta el abatimiento s, se ha
probado que: s =f(log t). La transmisividad T, coeficiente de almacenamiento S, y la porosidad
eficaz ne, que son factores ligados a las características del medio. El régimen de flujo.
En este apartado se estudiará el caso del flujo permanente para distintos tipos de acuíferos: acuífero confinado, acuífero libre y acuífero semi-confinado. Se supondrán, salvo que se indique lo contrario, las siguientes hipótesis de base: El acuífero es homogéneo e isotrópico y el agua tiene densidad y
viscosidad constantes. El espesor del acuífero es constante y la base es horizontal. El flujo es radial y horizontal. Es válida la ley de Darcy. El coeficiente de almacenamiento, S, es constante en el espacio y en el
200
tiempo.
El agua liberada del almacenamiento aparece simultáneamente y
proporcionalmente a la disminución del nivel piezométrico. Si no se indica lo contrario, se supondrá que el acuífero es de extensión
infinita. El pozo es completo. El caudal de bombeo es constante. Estas hipótesis son bastante restrictivas pero en la práctica son admisibles pequeñas desviaciones, que no invalidan las formulaciones a las que se llegue. 8.2.1. Pozo en acuífero confinado. La ecuación de continuidad para flujo permanente, 2 0h 1, puede transformarse en coordenadas cilíndricas, de acuerdo a los cambios de variable dados por la Figura 8.4, así:
0z
hh
r
1
r
hr
rr
12
2
2
2
2
(8.2)
Si se aplica la hipótesis de que el flujo es plano, es decir que la velocidad en todos los puntos de una misma vertical es constante, se tendrá entonces que
2
20
h
z y por lo tanto la ecuación 8.2 queda:
0h
r
1
r
hr
rr
12
2
2
(8.3)
En este caso el problema queda reducido a dos dimensiones y la anterior ecuación representa 2 0h 2 en coordenadas polares. Suponiendo igualmente que el flujo es radial, o sea que es independiente del ángulo , en otras palabras que h es constante a lo largo del perímetro de cualquier círculo
concéntrico con el pozo, se tiene entonces que
2
20
h y la ecuación queda:
0r
hr
rr
1
(8.4)
201
FIGURA 8.4 Transformación de coordenadas cartesianas en cilíndricas. Integrando la ecuación 8.4:
brlnahr
a
r
ha
r
hr
(8.5)
La Figura 8.5 muestra las condiciones de borde para este caso.
Para r = R y h = ho :
bRlnah0 (8.6)
Por otra parte, si r0 es el radio del pozo, se tiene que para r = r0, el caudal que pasa a través del cilindro de altura b y radio r, debe ser igual a Q.
202
FIGURA 8.5 Pozo en un acuífero confinado. De esta condición se tiene que:
0rr
0r
hbrK2Q
, como Kb = T:
0rr
0r
hrT2Q
T2
Q
r
hr
pero :
ar
hr
para cualquier r lo que implica que:
T2
Qa
(8.7)
Reemplazando 8.7 en 8.5 y en 8.6:
brlnT2
Qh
203
bRlnT2
Qh 0
Restando se obtiene:
r
Rln
T2
Qshh 0
(8.8)
Si bien es cierto que esta fórmula ha sido establecida para el caso de un pozo en el centro de una isla circular, también puede aplicarse para pozo en acuífero confinado que se extienda infinitamente, en el que, cuando el cono de depresión alcanza una superficie suficientemente extensa, el régimen establecido se considera casi permanente, tal como se dijo antes. De esta manera, si se conoce la altura piezométrica h1 en un punto cualquiera r=r1 se tendrá que:
brlnT2
Qh 11
(8.9)
Restando de la 8.7 la 8.9:
r
rln
T2
Qhh 1
1
(8.10)
Esta se conoce como ecuación de THIEM, 1906, y permite determinar la
forma de la superficie piezométrica conociendo su posición en un punto.
Si se analiza la ecuación (8.9) se observa que si r crece indefinidamente h
también lo hace. Pero en la realidad no sucede así, sino que h está limitado.
Es esta la razón por la cual dicha ecuación solo es válida a distancias no muy
grandes del pozo, siendo el límite r=R. En otras palabras, la ecuación de
THIEM representa la superficie piezométrica para un intervalo de valores de r
menores que R y no muy lejanos del centro del pozo.
204
El radio de influencia R depende de las características del acuífero y en realidad es ligeramente creciente con el tiempo transcurrido desde el comienzo del bombeo. Para efectos prácticos, cuando se tienen tiempos de bombeo largos, su valor es constante. Para acuíferos confinados su valor oscila entre 200 y 10000 m. Los errores en su determinación no inciden sensiblemente en el valor del abatimiento, ya que está afectado del signo logarítmico, así ln 200 = 5.3 y ln 10000 = 9.2, lo que significa que para un valor de r cincuenta veces mayor, el logaritmo sólo se multiplicó por 1.7. En acuíferos libres los valores de R son inferiores y suelen oscilar entre 10 y 500 m. EJEMPLO 8.1 En un acuífero confinado con T=1000 m
2/día, el radio de influencia puede
considerarse que vale 1000 m. Si se extraen 50 m3/h en un pozo que tiene 50
cm de diámetro, calcular el abatimiento en el pozo mismo y en pozos de observación situados a 10, 100 y 500 m de distancia. Resolver el mismo problema si el radio de influencia es 2000 m.(Tomado de Llamas-Custodio, 1976)) Solución:
Para calcular los abatimientos en el pozo se utiliza la ecuación 8.8, que expresada en función de logaritmos decimales es:
r
Rln
T
Q366.0s
Los resultados de los cálculos para las distintas distancias, se muestran en la siguiente Tabla. Puede observarse que para puntos próximos al pozo la diferencia es moderada, siendo en cambio mayor para puntos muy alejados del pozo. Para el pozo mismo el error es muy pequeño. La influencia del radio del pozo en la producción no es significativa, como puede observarse en el ejemplo 8.2, ya que el valor de rp aparece dentro del logaritmo.
205
r (m) Abatimiento m s 1000/s2000 % Diferencia
R=2000 R=1000
0.25 1.71 1.58 1.08 8
10 1.01 0.88 1.15 15
100 0.57 0.44 1.30 30
500 0.26 0.13 2.00 100
Si se considera la fórmula de Thiem aplicada al pozo de bombeo, se tiene:
p
p
p rRlnT2
Q
r
Rln
T2
Qs
Como el radio del pozo está bajo el signo logarítmico y su valor es mucho menor que el radio de influencia R, su variación afecta poco los resultados de la fórmula. Puede demostrarse que para incrementar n veces el caudal del pozo con el mismo abatimiento, es necesario incrementar el radio del pozo hasta un valor de:
n 1n
p Rr
Por ejemplo para duplicar el caudal, el radio del pozo necesita aumentarse
hasta un valor de: r Rp 3, lo que implica un aumento demasiado grande del
radio, con consecuencias en el valor de los costos.
EJEMPLO 8.2
En un acuífero en que el radio de influencia se estima en 1000 m se tiene un pozo de 0.5 m de radio. Determinar el radio del pozo, para con el mismo abatimiento obtener doble caudal.
Solución:
m4.2210005.0Radio
206
Este resultado desde el punto de vista práctico es absurdo, lo que en resumidas cuentas significa que no es razonable buscar un incremento del caudal aumentando el radio del pozo. 8.2.2. Pozo en acuífero libre. En principio un acuífero libre sin recarga puede asimilarse a un acuífero confinado siempre y cuando la superficie libre del agua se mantenga aproximadamente horizontal, o sea que el descenso producido por el bombeo sea muy pequeño en comparación con el espesor saturado del acuífero. La diferencia fundamental estriba en el valor mucho mas grande del coeficiente de almacenamiento en acuíferos libres. Si el abatimiento producido es importante respecto al espesor del acuífero, la transmisividad es variable en el espacio, siendo menor en los puntos donde se tengan abatimientos mayores. Además el flujo ya no es radial pues aparecen componentes verticales de la velocidad. El análisis riguroso de la hidráulica de acuíferos libres es complicado, tal como se indicó en capítulos anteriores. Una aproximación válida en la mayoría de los casos es la aproximación de Dupuit-Forcheimer que consiste en admitir que en cada momento:
El flujo es perfectamente horizontal.
El gradiente que origina el movimiento del agua viene definido, por la
pendiente de la superficie freática y vale dH/dx, siendo x la dimensión
horizontal y H el espesor saturado.
La velocidad es constante a lo largo de una misma vertical o sea que las
superficies equipotenciales son verticales.
Estas aproximaciones aunque aparentemente burdas, son bastante aceptables
en la realidad, dado que en general en los acuíferos las dimensiones
horizontales son mucho mayores que las verticales.
De la Figura 8.6 se tiene:
207
FIGURA 8.6 Pozo en acuífero libre.
dr
dHKHr2Q
que es una ecuación diferencial cuya solución es:
ArlnK
QH2
Las condiciones de borde son: r = R H = H0 y se tiene entonces:
ARlnK
QH2
o
Restando las dos ecuaciones anteriores se llega a:
r
Rln
K
QHH 22
o
(8.11)
208
Conocida como fórmula de Dupuit. Se tiene que :
sHHHHs oo
Factorizando y reemplazando este valor en la ecuación 8.11 se llega a:
r
Rln
KH2
Q
H2
s1s
r
Rln
K
Q
H2
s1sH2
ooo
o
El término ss
H o
12
es llamado "Corrección de Jacob", 1969. Si s es
mucho menor que 2H0 la ecuación anterior se reduce a:
r
Rln
T2
Q
r
Rln
KH2
Qs
oo
que es de nuevo la fórmula de Thiem en la que T0 es la transmisividad inicial. Si en la ecuación 8.11, r=rp, H=Hp, se tiene:
p
22
r
Rln
K
QHH po
(8.12)
La ecuación 8.12 permite calcular el abatimiento teórico del pozo, suponiendo que no existen pérdidas en el mismo. Sin embargo en las cercanías del pozo existen componentes verticales de la velocidad, lo que hace que la ecuación de Dupuit no reproduzca exactamente la posición del nivel fréatico en el pozo mismo, Figura 8.6. La posición real del nivel fréatico es menor que la hallada por la ecuación de Dupuit, apareciendo entonces una superficie de goteo H´4. Se han propuesto multitud de fórmulas para el cálculo de esta superficie, con éxito variable. En
209
general se trata de fórmulas empíricas o semiempíricas. Las mas conocidas son las siguientes: - Fórmula de Ehrenberger.
p
2
po
H
HH5.0'H
- Fórmula de Boulton.
o
poHK2
QcHH'H
1.0H
rsi75.3c
o
p
25.0H
rsi50.3c
o
p
- Fórmula de Hall.
p
4.2
p
p
p
r
rln02.01
H
H1
H
r51
HH'H
H: espesor saturado con r > 1.5Ho; H = Ho si r = R.
EJEMPLO 8.3
Calcular los abatimientos en un pozo de rp =0.25 m a distancias de 10 y 100
210
m, si Q = 80 m3/h, H0 = 10 m y T0 = 500 m
2/día. Suponer R = 200 m.
Aplicar las fórmulas de Thiem y la de descenso corregido de Jacob. Solución:
a) Fórmula de Thiem, 1906:
r
Rlog
T
Q366.0s
o
m08.425.0
200log
500
2480366.0s
b) Corrección de Jacob, 1969:
p
22
r
Rln
K
QHH po
72.528.410s28.425.0
200ln
10
500
2480100H
21
p
Suponiendo como correcta la corrección de Jacob, (la que más se aproxima a los resultados reales) se tiene, la siguiente comparación para los distintos radios.
r Thiem Corregida % diferencia 0.25 4.08 5.72 29 10 1.82 2.03 10 100 0.42 0.43 2
Puede observarse en el cuadro anterior que la diferencia se hace menor a medida que la distancia al pozo es mayor.
211
La superficie de goteo, (para el mismo problema), si se considera Hp = 4.28 m, es: - Ehrenberger:
m82.3
28.4
28.4105.0'H
2
- Boulton:
m43.310502
248075.328.410'H
Puede tomarse para efectos prácticos, un valor promedio de los resultados anteriores, 3.62 m. 8.2.2.1. Relación entre abatimiento, caudal y radio del pozo. Para diseño del pozo, es importante conocer cual es el abatimiento óptimo que puede esperarse en él, en un acuífero libre. La expresión corregida de Jacob en términos de logaritmos decimales es:
o
2
p
p
p
H2
ss
r
Rlog366.0
TQ
(8.13)
El máximo abatimiento se obtiene cuando s=H0 lo mismo que el máximo
caudal. Reemplazando este valor de abatimiento en la 8.13, se obtiene:
o
max
p
H
Q2
r
Rlog366.0
T
(8.14)
Si se reemplaza la 8.14 en 8.13:
212
0Q2
Q
H
s
H2
s
H2
ss
H
Q2Q
max
2
2
o
2
p
o
max
o
p
o
pp
(8.15)
La Tabla 8.1 muestra relaciones entre sp/H0 y los correspondientes valores de Q/Qmax obtenidos de la ecuación 8.15.
TABLA 8.1 Relaciones entre sp/Ho y Q/Qmax.
sp/H0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Q/Qmax 0.19 0.36 0.51 0.64 0.75 0.84 0.91 0.96 0.99 1.0
Observando la ecuación 8.13 se ve que (Q/sp) es máximo, si sp es mínimo. Reemplazando esta condición en la ecuación 8.13, se obtiene
p
maxp
r
Rlog366.0
T
s
Q
(8.16)
Despejando esta ecuación en la 8.13:
o
p
maxpp H2
s1
s
Q
s
Q
(8.17)
El máximo caudal y el mínimo abatimiento se obtienen cuando
d
dsQ
Q
sp p
5 sea máximo. De la 8.15 y la 8.16 se obtiene :
o
p
maxpo
2
p
o
max
p H2
s1
s
Q
H2
ss
H
Q2
s
p
213
Derivando e igualando a cero:
04H
s8
H
s3
o
p
2
o
p
(8.18)
La solución de esta ecuación es s
H
p
o
2
3, la cual significa que el abatimiento
óptimo es un 67% del espesor saturado inicial, lo que implica que la zona de admisión de agua al pozo (rejilla) debe colocarse en el tercio inferior del acuífero.
8.2.3. Pozo en acuífero libre con recarga. Sea un acuífero libre recargado uniformemente, dicha recarga puede ser la lluvia o excedentes del riego. Se supone que en cualquier punto el acuífero se recarga uniformemente al ritmo de W m
3/m
2/año, o sea W m/año. Las hipótesis son las mismas que en el
apartado anterior y además se considera que el pozo está en el centro de una isla circular de radio R, de modo que a esa distancia el potencial es constante.
Por un cilindro de radio r concéntrico con el pozo, pasa un caudal (Figura 8.7):
dr
dHHKr2Q r
(8.19)
y entre dos cilindros de radio r y r+dr se recarga un caudal de:
Wdrr2dQr (8.20)
.
214
FIGURA 8.7 Pozo en un acuífero libre con recarga. Integrando esta última ecuación :
cteA;ArW2Q 2
r
Para r = rp , Qr = Q = caudal del pozo, por lo que:
QrWQAArWQ 22pp (8.21)
ya que la cantidad de agua caída directamente en el pozo es muy pequeña.
Así pues:
WrQQ 2
r agua extraída - agua caída en el círculo de radio r, tal como
era de esperar.
Igualando esta expresión a la ecuación 8.19:
WrQdr
dHHKr2 2
(8.22)
215
Aplicando las condiciones de borde H=H0 para r=R:
2222 rRK2
W
r
Rln
K
QHH o
(8.23)
Para s<<Ho se cumple que:
22
oo
rRH4
W
r
Rln
T2
Qs
Cuando W=0, o sea que no hay recarga:
r
Rln
K
QHH 22
o
que es la fórmula de Dupuit. Cuando no hay bombeo Q=0 y:
sHsirRT4
Ws o
22
La ecuación 8.22 puede obtenerse también utilizando el principio de superposición, que se verá mas adelante. 8.2.4. Pozo en acuífero semiconfinado. Para este caso se establecen las
siguientes hipótesis específicas (además de las ya consideradas en forma general):
a) La recarga se establece a partir de otro acuífero situado encima del
que se estudia y el nivel piezométrico en ambos es el mismo. b) El acuífero que recarga mantiene su nivel piezométrico constante. c) La recarga es proporcional a la conductividad hidráulica K'/b' del
216
acuitardo confinante y a la diferencia de niveles en los dos acuíferos. d) La recarga es lo suficientemente pequeña como para suponer que las
líneas de corriente, prácticamente verticales en el acuitardo, se vuelven horizontales al centro del acuífero. Ello equivale a suponer que la recarga no perturba el régimen de flujo radial horizontal producido en el pozo, o sea que K/K' es muy grande (por ejemplo 500).
Si se consideran dos cilindros de radio r y r+dr concéntricos con el pozo, Figura 8.8, entre ellos se produce una recarga:
'K'b
hhdrr2dQ o
r
(8.24)
FIGURA 8.8 Pozo en un acuífero semiconfinado.
El caudal que cruza la superficie del cilindro de radio r es según la ley de Darcy:
dr
dhTr2Q r
y el incremento de caudal:
217
dr
dhT2
dr
hdTr2dQ
2
2
r
(8.25)
Como el flujo es permanente 8.24 = 8.23:
0'K'b
hhTr2
dr
dhT2
dr
hdTr2 o
2
2
o sea:
0hhT
'b/'K
dr
dh
r
1
dr
hdo2
2
(8.26)
Haciendo los siguientes cambios de variable:
B
r
T
'b/'Krx
B = factor de goteo =
,
,
b
K
T
s =h0 - h Se obtiene:
0sdx
ds
x
1
dx
sd2
2
(8.27)
Que es una ecuación modificada de Bessel de orden cero. La solución conduce a:
)B/r(K)B/r(
)B/r(K
T2
Qs
1
o
(8.28)
218
Donde K0 y K1 son funciones modificadas de Bessel. Esta ecuación es válida si rp <<B, tal como sucede en la mayoría de los casos.
En general r
BK r B1 1( / ) y por lo tanto:
)B/r(KT2
Qs o
(8.29)
La anterior es llamada fórmula de De Glee o de Jacob-Hantush. Es válida si b/B 0.7. La función K0 (r/B) está tabulada, ver Figura 8.9.
FIGURA 8.9 Función de pozo en acuífero semiconfinado. En las proximidades del pozo r/B es pequeño y cuando r/B < 0.1, puede admitirse que
r
B123.1ln
T2
Qs
219
Para efectos prácticos, la anterior fórmula es válida para r/B < 0.33, con un error menor del 1%. Esta fórmula es idéntica a la fórmula de Thiem, con R = 1.123 B.
8.3. FLUJO EN RÉGIMEN TRANSITORIO
Las hipótesis de base para el estudio de este problema son prácticamente las mismas que fueron establecidas para el flujo permanente, o sea:
- Acuífero homogéneo e isotrópico.
- La Ley de Darcy es válida.
- La densidad y viscosidad del agua no varían.
- El flujo es radial y horizontal.
- El acuífero es de extensión infinita, de espesor uniforme y de base
horizontal.
- El pozo es completo y el caudal de bombeo es constante. Además
para este caso se considera que:
- El coeficiente de almacenamiento no varía ni en el espacio ni con el
tiempo.
- El radio del pozo es pequeño y el volumen de almacenamiento en el
pozo mismo no incide sobre el caudal de bombeo.
- El agua bombeada proviene completamente del agua almacenada en
el acuífero, esto significa que no hay recarga lateral alguna.
8.3.1. Pozo en acuífero confinado. Si no hay recarga, la ecuación de
continuidad queda reducida a:
T
h
T
S
r
hr
rr
1
Esta ecuación debe ser resuelta para las siguientes condiciones:
1) h=h0 para r=> 4 siendo h0 el nivel piezométrico inicial.
220
2) lim r Th
rQ
r
02
6 que significa que el caudal bombeado es igual al
caudal que entra en el pozo.
3) h=h0 para cualquier tiempo anterior al inicio del bombeo.
La solución de esta ecuación diferencial conduce a:
)u(WT4
Qshh o
(8.30)
llamada fórmula de Theis (1935), siendo:
u
2x
tT4
Sruydx
x
e)u(W
En donde:
s: abatimiento en metros, en un punto cualquiera.
Q: caudal bombeado en m3/día.
T: transmisividad del acuífero en m3/día/m.
r: distancia del punto donde se mide al pozo en metros.
S: coeficiente de almacenamiento.
t: tiempo de bombeo en días.
La función W(u) se conoce con el nombre de función de pozo en acuífero
cautivo y es un parámetro adimensional. La relación gráfica entre W(u) y u
es mostrada por la Figura 8.10. De igual manera dicha función está tabulada
para diferentes valores de u. La Tabla 8.2 presenta algunos valores.
Esta fórmula es válida para cualquier valor de rp si tr S
T
p
302
7.
TABLA 8.2. Valores de W(u) vs u.
221
u W(u) u W(u)
10-15
34.0 10-7
15.5
10-14
31.6 10-6
13.2
10-13
29.3 10-5
10.9
10-12
27.0 10-4
8.6
10-11
24.7 10-3
6.33
10-10
22.4 10-2
4.04
10-9
20.1 10-1
1.82
10-8
17.8 1 0.22
8.3.1.1. Aproximación logarítmica de Jacob. La función
W ue
xdx
x
u( )
se puede desarrollar como una serie de potencias de u y se
puede expresar de la manera siguiente:
...!4.4
u
!3.3
u
!2.2
uu
u
562.0ln)u(W
432
o lo que es lo mismo:
...!4.4
u
!3.3
u
!2.2
uuuln5772.0)u(W
432
222
FIGURA 8.10 Función de pozo.
Con ur S
T t
2
48. Para valores pequeños de u (u 0.01) Jacob demostró que
puede tomarse como suficiente aproximación de W(u) los dos primeros términos de la serie, o sea que:
u
562.0ln
uln5772.0)u(W
u será pequeño por ejemplo, cuando el tiempo de bombeo es grande y en
este caso la ecuación de Theis quedará, reemplazando el valor de u:
Sr
tT25.2ln
T4
Qs
2
(8.31)
o utilizando logaritmos decimales:
223
Sr
tT25.2log
T
Q183.0s
2
(8.32)
Haciendo s = 0, r = R (radio de influencia del pozo) y reemplazando en la
ecuación 8.31:
1Sr
tT25.20
Sr
tT25.2ln
22
S
tT25.2r 2
S
tT5.1RRr
Como se ve este radio de influencia es independiente del caudal y depende de las características del acuífero (T y S) y del tiempo de bombeo (t).
Reescribiendo la ecuación de JACOB y asumiendo que RT t
S 2 25. 1 se
tiene:
r
Rln
T2
Qs
Expresión análoga a la ecuación de THIEM ya deducida para el caso del flujo permanente. 8.3.2. Pozo en acuífero libre. Si los descensos no son grandes comparados con el espesor saturado del acuífero, pueden aplicarse las fórmulas de THEIS y JACOB deducidas para un acuífero cautivo, pero teniendo en cuenta lo siguiente:
- Como en este caso la transmisividad varía con el espesor saturado
(variación en el espacio) y con el tiempo por ser un régimen transitorio, el valor que se toma para T en las ecuaciones antes dichas
224
es el inicial, o sea T0 = K H0, es decir que para descensos pequeños se considera constante.
- En segundo lugar, tal como ya se anotó, el coeficiente de
almacenamiento para acuíferos libres es numéricamente igual a la porosidad eficaz ne.
- En tercer lugar el tiempo de bombeo debe ser grande. Para piezométros ranurados en todo el espesor del acuífero, se cumple:
tHK4
SrW
K2
QHH
o
222
o
(8.33)
Válida para:
o
2
o
p
HK
Sr30ty5.0
H
H p
Si el tiempo de bombeo es largo y u < 0.03:
Sr
tHK25.2ln
K2
QHH
2
o22
o
(8.34)
Válida si K t
SH o
5 .
Si 0.05 < Kt/SHo < 5, el abatimiento en el pozo se calcula mediante la
ecuación de HANTUSH, 1964:
p
o
o
por
Hln
HK2
QHH
(8.35)
225
En donde es un parámetro que toma los siguientes valores:
Kt/Sho 5.0 1.0 0.2 0.05
1.288 0.512 0.087 -0.043
La fórmula de acuíferos confinados, puede aplicarse a acuíferos libres, si los
descensos son pequeños, haciendo: sH H
H
o
o
2 2
2 y T K Ho . Además la
reducción del espesor saturado hace aconsejable tomar un coeficiente de
almacenamiento ficticio S*, definido como: SH
H sn
o
o
e*
.
8.3.3. Pozo en acuífero semi-confinado. La ecuación de continuidad para
un acuífero semi-confinado en régimen transitorio será:
t
h
T
S
K
Fh2
)hh(T
'b/'K
K
Fo
HANTUSH resolvió esta ecuación y encontró que:
)B/r,u(WT4
Qs
B: factor de goteo (8.36)
'b/'K
TB
Esta ecuación es válida para:
226
2
p
2
pp
B
r101
T
Sr30ty1.0
B
r
La función W (u,r/B ) está tabulada y además existen gráficos de 1/u vs
W(u,r/B), figura 8.11. Dicha función recibe el nombre de función de pozo
semiconfinado.
FIGURA 8.11 Curvas tipo para acuífero semiconfinado (Walton,1962 )
8.4. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
Dado que las leyes del flujo subterráneo en captaciones son soluciones de la
ecuación de Laplace y esta es una ecuación diferencial lineal de segundo
orden, una combinación lineal de sus soluciones es también una solución.
Aprovechando esta propiedad de la ecuación de continuidad, se pueden
resolver infinidad de problemas prácticos que se presentan en hidrogeología
de una manera analítica. Lo anterior implica que para calcular el abatimiento
227
en un punto de un campo de pozos, éste será la suma se los descensos
provocados individualmente por cada uno de los pozos de bombeo.
Así para un acuífero confinado o libre con abatimientos pequeños, se
cumplirá que el abatimiento total será:
a) Régimen permanente:
n
1ii
iTr
RlnQ
T2
1s
(8.37)
b) Régimen transitorio:
Se tiene la ecuación de Theis:
n
1i iiT )u(WQT4
1s
(8.38)
Siendo ur S
T ti
i
i
2
4.
Para un acuífero semiconfinado puede escribirse:
a) Régimen permanente:
n
1i ioiT )B/r(KQT2
1s
(8.39)
b) Régimen transitorio:
n
1i iiiT )B/r,u(WQT4
1s
(8.40)
EJEMPLO 8.4
228
Calcular el abatimiento total que se observará en un piezométro situado a distancias r1=20 m y r2=100 m de sendos pozos, que bombean Q1 = 100
m3/h y Q2 = 1000 m3/h, de un acuífero confinado, sabiendo que el primero está funcionando hace un día y el segundo hace tres días. La transmisividad
T, es 1000 m2 /día y S=10-4. Solución:
Sr
tT25.2lnQ
Sr
tT25.2lnQ
T4
1s
2
2
222
1
11T
4242T10100
3100025.2ln241000
1020
1100025.2ln24100
10004
1s
sT = 2.09 + 16.84 = 18.93 m. EJEMPLO 8.5 Una mina de uranio será explotada a cielo abierto en un extenso acuífero de areniscas, donde el gradiente natural es 0.008 y la transmisividad, T=0.0018
m2 /s. Para poder efectuar los trabajos se requiere abatir los niveles
freáticos y se estima que será necesario bombear continuamente 0.025 m3 /s. Como parte del estudio de impacto ambiental la compañía debe estimar los efectos del abatimiento en los alrededores de la explotación. Calcular la
distancia a lo largo de la línea y=0 en la cual los gradientes
h
xse
incrementarán un 10 % por encima del gradiente natural (propuesto en McWhorter Y Sunada, 1977).
Solución:
Los gradientes naturales pueden representarse por una ecuación del tipo:
229
xih o
y los niveles piezométricos producidos por un pozo, bombeando un caudal
Q, se representan en coordenadas cartesianas (siendo C una constante) así:
CyxlnT2
Qh 2
122
B
Por el principio de superposición la altura piezométrica resultante será:
CyxlnT2
Qxih 2
122
f
En la línea y=0 obtengo:
x
1
T2
Qi
x
h
Reemplazando los valores:
0088.0x
h
i = 0.008
T = 0.0018 m³/s
Q = 0.025 m³/s Se obtiene x = 2763 m. 8.5 POZOS EN ACUÍFEROS LIMITADOS. TEORÍA DEL POZO
IMAGEN Si un pozo bombea cerca de un borde impermeable o de un límite a potencial constante (río, lago, mar) cuando el radio de influencia alcanza al citado límite, el flujo empieza a ser afectado y las fórmulas deducidas para acuíferos de gran extensión ya no son válidas.
230
Si esos límites son bruscos y rectilíneos, el método de las imágenes permite sustituirlos teóricamente por un conjunto de pozos y entonces el problema se reduce al estudio de la superposición de efectos en un campo de bombeo de extensión infinita.
Considérense en la figura dos pozos distintos de centro O, y O, bombeando
respectivamente Q y Q,. Se buscará el valor de h en todo punto del dominio. De acuerdo al principio de superposición se tiene en M:
cte'rlnT2
'Qrln
T2
QhM
La constante se encontrará en función de las condiciones de frontera. Se estudiarán dos casos: límite a potencial impuesto y límite a flujo impuesto.
1) Límite a potencial impuesto. Supóngase que en el pozo O, se bombea un caudal (-Q), lo que es lo mismo que inyectar un caudal Q. La altura piezométrica en el punto M será:
cte'r
rln
T2
Qh M
En los puntos M donde r=r, es decir los puntos que pertenecen a la mediatriz
231
de OO, hM = cte, ver la figura anterior. Dicho de otra manera, la carga h es impuesta y constante en la mediatriz
OO’. Lo anterior significa que un límite a potencial constante se puede reemplazar por un pozo, llamado pozo imagen, simétrico con el de bombeo, situado a una distancia r del límite y que bombea un caudal -Q. 2) Límite a flujo impuesto nulo. En la expresión inicial que relaciona los
pozos O y O, si se tiene que Q=Q,, la expresión quedará:
cte'rrlnT2
Qh M
En coordenadas cartesianas r
2 = x
2 + y
2. Reemplazando, se demuestra que
en x=0 (mediatriz de OO,)
h
x 0 . Lo que quiere decir que un límite a
flujo nulo, por ejemplo una barrera impermeable, se puede reemplazar por un pozo imagen, simétrico con el pozo de bombeo, situado a una distancia r de la barrera y que bombea un caudal Q. EJEMPLO 8.6. Un pozo bombeando un caudal Q, se encuentra a una distancia d de un río, tal como muestra la figura. El nivel freático antes del bombeo tenía una pendiente i. Hallar una expresión para h en cualquier punto vecino del pozo y calcular el caudal máximo que puede obtenerse del bombeo, sin que haya recarga del río al pozo. La expresión para el nivel freático antes del bombeo es:
ctexiho
232
Cuando el pozo empieza a bombear, según el método del pozo imagen, la expresión para h será:
r
'rln
T2
Qh B
Expresando r y r, en coordenadas cartesianas:
22,22ydxrydxr
Aplicando el principio de superposición:
BoF hhh
cte
ydx
ydxln
T4
Qxih
22
22
F
El caudal máximo que puede sacarse sin que haya recarga por parte del río
se tiene cuando en x=0 y y=0,
h
x 0 o sea:
233
2
22
2222
22
22
ydx
y)dx()dx(2y)dx()dx(2ydx
ydx
T4
Qi
x
h
En el punto (0,0) se tendrá:
idTQdT
Qi
x
hmax
Lo anterior es válido siempre y cuando se considere que se ha establecido un flujo permanente. Suponiendo que el río es rectilíneo y que no hay pérdida de carga en la infiltración, el bombeo en un pozo próximo produce una infiltración de agua en el acuífero, de modo que el caudal infiltrado (en el pozo) al ir transcurriendo el tiempo es una proporción cada vez mayor de agua del río, hasta que pasado un tiempo suficientemente largo se infiltra tanta agua como se bombea, alcanzándose el régimen permanente. La expresión para calcular el caudal que aporta el río, Qs, en cualquier
momento t, después de iniciado el bombeo, es según Glover y Balmer (1954):
S
tT4
derf1QQs
(8.41)
En la expresión anterior Q es el caudal de bombeo y erf es la función de error. La Tabla 8.3 presenta valores de la función. Obsérvese que cuando el argumento de la función error es pequeño (cuando los tiempos de bombeo t, son grandes), la función se aproxima a cero y la descarga del río Qs al
acuífero se aproxima al caudal de bombeo Q.
8.6. ABATIMIENTO CON CAUDALES DE BOMBEO VARIABLES
234
La ecuación de Theis vista anteriormente predice los abatimientos en
cualquier tiempo para un caudal de bombeo constante. Si se tiene un
aumento Qi, en el caudal en un tiempo t=ti, el abatimiento para un tiempo t
puede expresarse como:
)tt(S
T4
rW
T4
QS
i
2
ii para t ti
(8.42)
Para obtener el abatimiento total por el principio de superposición, el abatimiento dado por la ecuación 8.41, puede adicionarse al abatimiento que se tuviera si el cambio Qi no hubiera ocurrido. En otras palabras, el cambio en la respuesta debido a una variación del caudal de bombeo, es independiente de la historia previa del caudal de bombeo. El abatimiento en un tiempo t tn, si hay n cambios en el caudal de bombeo, es:
)tt(S
T4
rWQ
T4
1S
i
2n
1i ii para t tn
(8.43)
La aplicación de la ecuación 8.42 a un caso en el cual el caudal de bombeo se cambia de Q1 a Q2 en un tiempo t2 se ilustra en la Figura 8.12. La situación que presenta la Figura 8.12, puede por la ecuación 8.42, ser representada como:
)tt(S
T4
rW
T4
tS
T4
rW
T4
QS
2
2
12
2
1i para t t2
235
FIGURA 8.11 Superposición de abatimientos
Lo anterior es equivalente a calcular el abatimiento debido al bombeo de un caudal Q1, empezando en un tiempo t=t1 =0 y sumarle el abatimiento debido a un bombeo de un caudal Q2 - Q1 empezando en t = t2, en un pozo imaginario situado en el mismo punto que el pozo real. La ecuación 8.42 es usada para calcular la respuesta a la operación intermitente de un pozo. EJEMPLO 8.7 Un pozo localizado a 200 m de un río bombea 2 m³/min durante una semana, luego de la cual el bombeo se detiene. La transmisividad del acuífero es 1 m
2/min y el rendimiento específico es 0.1. Calcular la
descarga del río al acuífero (tomado de McWhorter y Sunada, 1977).
236
a) 96 horas después de iniciado el bombeo.
b) 36 horas después de interrumpido
Solución: Con la información suministrada se tiene que el argumento de la función erf es:
417.01.0
)609614(
200
S
tT4
d2
21
Interpolando en la Tabla 8.5 se obtiene erf (0.417)=0.44. La descarga del río al acuífero 96 horas después de iniciado el bombeo es:
Qs = Q (1 - 0.44 ) = 2*(0.56) = 1.12 m³/min Después de que la bomba ha sido apagada, el nivel piezométrico no se recobra inmediatamente y la recarga por parte del río continúa. Suponiendo que el bombeo no se inicie de nuevo, toda el agua retirada del almacenamiento del acuífero será reemplazada por el río. La tasa de recarga del río al acuífero, después que el bombeo se ha detenido, se calcula usando el procedimiento discutido anteriormente para caudales variables. TABLA 8.3 Valores de la función de error.
x erf x
0.000 0.000
0.200 0.223
0.400 0.428
237
0.600 0.604
0.800 0.742
0.900 0.797
1.000 0.843
1.100 0.880
1.200 0.910
1.300 0.934
1.400 0.952
1.500 0.966
1.600 0.976
1.700 0.984
1.800 0.989
1.900 0.993
2.000 0.995
- 1.000
El bombeo se asume constante a Q=200 m³/min durante un período mayor
de una semana; un segundo pozo imaginario, situado en la misma posición
que el real, recarga un Q=-200 m³/min durante un t=t2 =1 semana=10080
min. La descarga real del río es la suma de las descargas inducidas por los
dos pozos.
S
)tt(T4
derf1Q
S
tT4
derf1QQ
2
s
S
tT4
derf
S
)tt(T4
derfQQ
2
s
T/S= 10 m²/min; t = 1 semana + 36 horas = 12240 min
238
t2=10080 min d
T t t
S
d
T t
S
40 680
40 286
2( ). .
Qs= (2)[erf(0.680) - erf(0.286)]
Qs= (2)[0.665 - 0.315] = 0.7 m³/min
PROBLEMAS PROPUESTOS
8.1. El acuífero adyacente a un río está conectado hidráulicamente con él.
La disposición de los niveles freáticos, sin bombeo, se muestra en el
Plano 1. El espesor del acuífero es de 50 m y la porosidad efectiva es
del 15%.
El Plano 2, muestra el mapa de niveles piezométricos, producidos por
239
un pozo que bombea 100 m³/h.
a. Estimar la transmisividad del acuífero a partir de los valores de las
alturas piezométricas en A, B y C.
b. Si el caudal se aumenta a 250 m³/h hay infiltración de las aguas del
río en el pozo?. Si este es el caso, estime la distancia a lo largo del
río, donde tal infiltración puede ocurrir.
c. Si se toma la línea de corriente más rápida que une al río con el pozo,
calcular una expresión para la velocidad en función de la distancia,
x, al río.
8.2. Los coeficientes de transmisividad y almacenamiento de un acuífero
confinado son 4800 m³/d-m y 34x10-5
respectivamente. El acuífero está
limitado por un lado por una barrera impermeable. Un pozo bombea
94.0 l/s, durante 100 minutos. Se observa un abatimiento de 1 m, en un
piezómetro situado perpendicularmente a 90 m del pozo de bombeo.
Calcular la distancia del pozo de observación al pozo imagen asociado
con la barrera impermeable.
8.3. Un pozo con un radio de 0.4 m, construido en un acuífero confinado
homogéneo, bombea 300 m³/h durante una semana, luego de la cual el
bombeo se detiene una semana. Se reinicia con un caudal de 200m³/h
durante una semana y se suspende nuevamente el bombeo. Cuál será el
abatimiento 3 días después de la suspensión del bombeo, si T=5000
m³/d y S=4x10-5
?.
240
Escala
0 100 200mRégimen natural
PLANO 1
B+24.0 m
+23.0 m
+22.0 m
+21.0 m
+20.0 mRío
A(20.61 m)
C(21.13 m)
PLANO 2
Mapa piezométrico con un pozo
23.0 m
22.0 m
21.0 m
20.50 m
+20.0 mRío
B(23.12 m)
C(20.40 m)
Pozo
A(20.31 m)
FIGURA DEL PROBLEMA 8.1.
241
8.4. El centro de un dren largo, aproximadamente horizontal y con un radio
de 0.15 m, está a 2 m de profundidad del fondo de un lago, en el cual el
nivel del agua se mantiene 20 cm por encima del fondo. La
profundidad de la base impermeable del acuífero, con permeabilidad de
4x10-4
cm/s es bastante grande. Calcular el caudal por unidad de
longitud en el dren.
8.5. Un pozo ha estado bombeando bajo la siguiente regla de operación:
Q= 50 m³/h 0 h T 8 h.
Q= 75 m³/h 8 h T 12 h.
Q= 0 m³/h T > 12 h.
Si 15 horas después de iniciado el bombeo, el abatimiento en el pozo
fue de 0.261 m. Estimar la transmisividad.
8.6. El punto A de la figura representa un pozo totalmente penetrante en un
acuífero cautivo, homogéneo e isotrópico de base horizontal y de 8 m de
espesor, con permeabilidad de k=95 m/d. Se desea calcular el caudal que
se infiltra en el tramo MN del río cuando se extrae agua del pozo. La
diferencia de cotas entre el nivel del río y el nivel del pozo es de 15 m.
Se supone régimen permanente.
242
8.7. Un pozo en un acuífero confinado bombea un caudal de 4 m³/min por 3
días, seguido de un período de descanso de 7 días. Este ciclo se repite 7
veces. El radio del pozo es de 0.3 m, la transmisividad, T, es de 1.2
m²/min y el coeficiente de almacenamiento, S, es de 9x10-2
. Calcular el
abatimiento es el pozo, al final del 7 período de descanso y al final del 8
período de bombeo.
8.8. Tres pozos de 200 mm de diámetro están localizados en los vértices de
un triángulo equilátero de 120 m de lado y penetran totalmente un
acuífero de 20 m de espesor. Calcular el caudal cuando un solo pozo
está funcionando con un s= 3 m. Cuánto disminuye el caudal en este
pozo, si los tres pozos están funcionando con abatimientos de 3 m en
cada uno. Asumir que el radio de influencia es de 200 m y la
permeabilidad del acuífero es 45 m/día.
8.9. Un pozo de 30 cm de radio bombea 1000 l/min, T=0.015 m²/s. Si el
pozo está localizado a una distancia de 120 m de un río, cual será el
abatimiento en:
a. En el pozo de bombeo
b. En un pozo de observación situado a 30 m del pozo de bombeo, en el
lado opuesto del río.
8.10. La transmisividad y el coeficiente de almacenamiento para un acuífero
confinado son 0.1 m²/min y 2.7x10-4 respectivamente. Un pozo
localizado perpendicularmente a una barrera impermeable a una distancia
de 500 m, bombea 0.967 m³/min. Estimar el tiempo (desde el inicio del
bombeo) en que la barrera empieza a influir en los abatimientos del pozo.
Capítulo 9
ENSAYOS DE BOMBEO
242
243
9.1. GENERALIDADES
El material discutido en el capítulo anterior, puede usarse en la determinación
de los parámetros hidrogeológicos de un acuífero. Las propiedades del
acuífero son obtenidas de una prueba de bombeo determinando los valores del
coeficiente de almacenamiento S, la conductividad hidráulica K y la
transmisividad T que hacen los abatimientos dados por las soluciones teóricas
vistas anteriormente, próximos a los abatimientos reales medidos en uno o
dos pozos de observación. Estos parámetros son usados para diseñar pozos,
estimar los efectos del bombeo en la superficie freática, calcular la recarga de
agua subterránea, estimar el flujo hacia minas y muchos otros propósitos.
Los ensayos de bombeo tienen cuatro objetivos en orden creciente de
complejidad:
- Determinación de las características del complejo acuífero-pozo. Este
es el ensayo de bombeo del pozo, destinado a determinar sus
características técnicas.
- Medida en el terreno de los parámetros hidrodinámicos S y T.
- Estudio cuantitativo de las características particulares del acuífero:
condiciones de frontera, estructura, heterogeneidad, drenaje, etc.
- Observación directa del efecto de la explotación sobre el acuífero.
244
Previsión de la evolución de los abatimientos en función de los
caudales bombeados.
Los ensayos de bombeo requieren una considerable inversión de tiempo y
dinero, por lo que deben planearse cuidadosamente de tal manera que pueda
obtenerse de ellos la máxima cantidad de información posible.
Ya que las propiedades del acuífero serán determinadas ajustando los
abatimientos medidos con los predichos por las ecuaciones teóricas, es
importante que la geometría del acuífero, condiciones de frontera y
condiciones iniciales en el sitio de la prueba sean asumidas lo mas cercanas
posibles al comportamiento real del acuífero. Debe tenerse en cuenta esto
para la selección del sitio, si éste no ha sido previamente determinado.
La construcción y localización de los pozos de observación es un factor a
tener en cuenta. Estos son generalmente hechos con tubos perforados, con
diámetros que oscilan entre 5 - 15 cm. Cuando el acuífero es libre es deseable
que el piezómetro penetre totalmente el espesor saturado y que esté perforado
en toda su longitud bajo el nivel freático. Esto ayuda a asegurar que el pozo
indica realmente la cabeza piezométrica promedia sobre la sección vertical.
En acuíferos confinados debe sellarse la comunicación con los estratos
superiores e inferiores.
La localización y número de pozos de observación depende de los
requerimientos de la prueba, el dinero disponible y las condiciones
particulares del sitio. Es muy recomendable tener dos o mas pozos de
observación. Si las condiciones limitan su número, por ejemplo a dos o tres,
estos deben ser localizados en diferentes puntos en líneas radiales medidas
desde el pozo de bombeo y formando entre si ángulos de 90 grados. Esto
permitirá detectar cualquier anomalía del cono de depresión.
El espaciamiento de los pozos depende del grado de penetración del pozo de
bombeo en el acuífero, de si el acuífero es confinado o no y de la duración de
la prueba. Las componentes verticales de la velocidad causadas por
245
penetración parcial de los pozos son despreciables a distancias mayores que
1.5 veces el espesor saturado del acuífero, lo que significa que es necesario
localizar pozos de observación a distancias menores que éstas para pozos
parcialmente penetrantes. Los pozos de observación deben ser perforados en
el mismo intervalo de profundidad que el pozo de bombeo.
Debido a que el radio de influencia se expande mucho mas rápidamente en
acuíferos confinados que en libres, la distancia máxima entre el pozo de
bombeo y los pozos de observación puede ser mayor para pruebas en
acuíferos confinados. Durante la construcción de los piezómetros y del pozo
de bombeo deben recolectarse muestras del material del acuífero y la columna
estratigráfica debe prepararse. Esto ayuda a obtener valores estimados de la
permeabilidad y la transmisividad.
Pueden ser hechas también estimaciones burdas sobre el coeficiente de
almacenamiento. Estos datos, junto con el caudal de bombeo y la duración de
la prueba, permiten calcular los posibles abatimientos a diferentes distancias
(r) del pozo de bombeo y localizar por lo tanto los pozos de observación, de
tal manera que se puedan tener medidas confiables durante la prueba.
Se deben tomar también las disposiciones necesarias para medir y controlar el
caudal de bombeo (Orificios, contadores, medidas volumétricas). Cuando el
abatimiento se incrementa en el pozo de bombeo, la cabeza dinámica total a
vencer por la bomba también, lo que hace que el caudal pueda disminuir si no
se controla. El control del caudal por una válvula, requiere que el caudal de
bombeo sea menor que el caudal que se tendría con toda la válvula abierta.
La prueba debe empezarse con la válvula parcialmente cerrada, para poder
abrirse paulatinamente con el incremento del abatimiento.
El caudal bombeado debe evacuarse, de tal manera que no afecte los
resultados. Lo mejor sería conducir el agua por tubería hasta una distancia
que exceda el radio de influencia esperado durante la prueba, lo que garantiza
que no habrá recarga en las vecindades del bombeo. Lo anterior es
importante porque una prueba puede durar 72 horas o más y volúmenes
246
importantes de agua pueden removerse del acuífero.
Los niveles en los pozos de observación deberían ser monitoreados en los días
anteriores a la prueba, cuando esto sea posible. Cualquier traza de los niveles,
determinada durante este período, puede extrapolarse al período de la prueba
y los abatimientos observados corregirse, si esto fuere necesario. También es
necesario tener las cotas topográficas de los pozos.
Las primeras medidas deben tomarse con intervalos de minutos y a medida
que la prueba transcurre, pueden espaciarse a intervalos de horas.
La duración de la prueba depende del uso y confiabilidad de los datos que se
obtendrán. Generalmente las pruebas para estimar T y S duran mas de 24
horas. Esto es cierto sobre todo para acuíferos libres, por la influencia del
drenaje vertical y del rendimiento específico. Algunas pruebas duran 72
horas o más. También es buena práctica medir niveles después que el
bombeo ha sido interrumpido, pues esto puede aportar información acerca de
las características del acuífero.
9.2. ACUÍFEROS CONFINADOS
Los procedimientos para evaluar T y S en acuíferos confinados a partir de
pruebas de bombeo pueden dividirse en métodos para régimen permanente y
métodos para régimen transitorio.
9.2.1. Régimen permanente. Con la ecuación de Thiem se tiene:
)ss(2
)r/rln(QT
21
12
(9.1)
Esta ecuación permite calcular T, teniendo el caudal Q de bombeo y los
abatimientos s1 y s2 medidos a distancias r1 y r2 del pozo de bombeo,
respectivamente.
247
Teóricamente, los niveles en los pozos de observación nunca alcanzarán el
estado de equilibrio, pero puede lograrse sin embargo un nivel lo
suficientemente cercano para obtener razonables estimativos de T. Después
que T ha sido calculado, S, puede estimarse a partir de la ecuación de Theis,
si el abatimiento en uno de los pozos ha sido medido en un tiempo t.
9.2.2. Régimen transitorio. Hay dos métodos de uso común: el de Theis y
el de Jacob, ambos basados en un ajuste gráfico de los puntos
experimentales obtenidos en la prueba de bombeo.
9.2.2.1. Método de Theis. Un procedimiento gráfico para evaluar T y S fué
desarrollado por Theis (1935) y también por Lohman (1972). La ecuación de
Theis puede escribirse en términos logarítmicos como:
)u(WlogT4
Qlogslog
(9.2)
donde ur S
t T
2
41, que de manera similar a la anterior ecuación puede
escribirse como:
)ulog(S
T4log
t
rlog
2
(9.3)
Fácilmente puede observarse que como Q/4T y 4T/S son constantes para
una prueba dada, la relación entre log s y log r2/t debe ser similar a la relación
entre log W(u) y log u. Lo que significa que si se dibuja s vs r2/t y W(u) vs u
en el mismo papel doblemente logarítmico, las curvas resultantes tendrán la
misma forma, pero desplazadas vertical y horizontalmente por las constantes
4T/S y Q/4T. Si cada curva se dibuja separadamente, las curvas pueden
hacerse coincidir moviéndose horizontal y verticalmente (guardando los ejes
paralelos). Un punto arbitrario se selecciona en el tramo en el cual las curvas
se ajusten y las coordenadas de este punto se leen en ambos gráficos. Se
tienen entonces valores de s, r2 /t, u y W(u) que se usan para calcular los
248
valores de T y S. El procedimiento a seguir es el siguiente:
1) Dibujar la curva tipo W(u) vs 1/u en papel doblemente logarítmico.
2) Dibujar los abatimientos medidos en el campo s vs r2/
t en un papel
doblemente logarítmico, del mismo ciclaje y escala que el de la curva tipo.
3) Superponer la curva tipo a la curva de datos de campo, guardando los ejes
paralelos. Ajustar hasta que la mayoría de los datos de campo se ajusten a
la curva tipo.
4) Seleccionar un punto arbitrario en la zona de ajuste, leyendo las
coordenadas 1/u, W(u), s, r2/t.
5) Con estos valores, y con Q y r, se calcula T así:
s4
)u(WQT
(9.4)
6) S se calcula de:
2r
tuT4S
(9.5)
EJEMPLO 9.1
Sea el caso de un pozo completo en el que se bombea constantemente un
caudal de 31.5 l/s. Los abatimientos medidos durante 6 horas en un pozo de
observación situado a 53.4 m del pozo de bombeo se indican en la Tabla 9.1.
Calcular los valores de T y S. (Tomado de Llamas, 1976).
Solución:
249
La Figura 9.1 muestra la curva tipo superpuesta a los datos de campo. El
punto de ajuste tiene las coordenadas u=0.21, r2 /t=6.83x10
5 m
2 /día, s=1.02
m y W(u) = 1.2. De la ecuación 9.4 se deduce que T es:
dia/m255s/m1095.202.114.34
2.1105.31T 223
3
y de la 9.5:
4
5
12
1014.31083.6
101.21055.24S
TABLA 9.1 Datos del ensayo de bombeo con r = 53.4
t en minutos s en metros
0 0.0
2 0.37
3 0.58
4 0.75
5 0.89
6 1.02
7 1.11
8 1.25
10 1.40
14 1.68
18 1.87
24 2.14
30 2.37
40 2.59
50 2.75
60 2.90
80 3.06
120 3.14
180 3.20
240 3.25
360 3.30
250
FIGURA 9.1 Método gráfico de superposición.
9.2.2.2. Método de Jacob. Para valores pequeños de u < 0.01, se puede
utilizar la ecuación de Jacob, tal como se vió en el capítulo anterior. Esta,
expresada en logaritmos decimales es:
Sr
tT25.2log
T
Q183.0s
2
(9.6)
251
La cual también puede escribirse:
tlogT
Q183.0
Sr
T25.2log
T
Q183.0s
2
La representación en papel semilogarítmico de la ecuación anterior
corresponde a una recta cuya pendiente es 0.183 Q/T.
El coeficiente de transmisividad se calcula a partir del caudal de bombeo por
medio de la expresión siguiente, que se ha obtenido de la ecuación 9.6:
m
Q183.0T
Donde:
T : coeficiente de transmisividad en m3/hora/m.
Q : caudal de bombeo en m3 /hora.
m : pendiente de la recta.
El coeficiente de almacenamiento se calcula también muy fácilmente,
mediante el gráfico utilizando el tiempo t0, correspondiente a un abatimiento
nulo. De la ecuación 9.6 se tiene:
2
O
r
tT225S
(9.7)
EJEMPLO 9.2
Los datos que muestra la Tabla 9.2 corresponden a valores medidos en un
pozo de observación situado a 15.3 m de un pozo que bombea un caudal de
15.7 l/s. Determinar T y S. (Tomado de Castany, 1975).
252
Solución:
La Figura 9.2 representa los puntos obtenidos en el campo en papel
semilogarítmico. A partir de esta recta se obtiene:
m15.4T
Q183.0n
es decir:
FIGURA 9.2 Método de Jacob.
dia/m60s/m95.615.4
107.15183.0T 22
3
253
TABLA 9.2 Datos del ensayo de bombeo r = 15.3 m
t(min) 30 50 70 90 120 150 200 400 600 900
s (m) 1.98 2.74 3.35 3.78 4.30 4.70 5.19 6.45 7.20 7.93
De la ecuación 9.7 se obtiene:
3
2
3
1053.15
72.61095.625.2S
Una vez calculados los valores de T y S, se debe comprobar si u cumple la
condición de validez del método: u 0.01. En este caso la condición se
cumple para t = 30 min.
9.2.2.3. Recuperación de niveles. Uno de los aspectos mas útiles e
interesantes de la hidráulica de pozos en régimen variable, es el estudio de la
recuperación del nivel de agua en un pozo después del cese del bombeo en el
mismo. Si el pozo ha estado bombeando durante un tiempo un caudal
constante Q, parar el bombeo, equivale a continuarlo, poniendo en marcha en
el momento del paro, un pozo similar en el mismo sitio que recargue un
caudal Q. Así pues, el paro equivale a superponer el efecto de un pozo de
caudal -Q situado en el mismo lugar, a un pozo de caudal Q sin parar el
bombeo. Ambos pozos se diferencian en el tiempo que hace que se inició el
bombeo.
Los descensos, transcurrido un tiempo t después del cese del bombeo valen:
)t,r(ZQ)t,r(ZQ's (9.8)
s’ se llama descenso residual y está referido al nivel de agua en el acuífero,
anterior al bombeo. Para un acuífero confinado:
254
)u(W)u(WT4
Q's tt
(9.9)
Si la aproximación de Jacob es válida puede escribirse:
Sr
tT25.2ln
T4
Q
Sr
)t(T25.2ln
T4
Q's
22
(9.10)
t
tln
T4
Q's
La cual es llamada fórmula de recuperación de Jacob. Con esta ecuación
puede obtenerse T y también información importante sobre el
comportamiento del acuífero. El procedimiento se basa en que si en un papel
semilogarítmico se representan los descensos residuales s’ en función de log
(t+)/t, se obtiene una recta de pendiente m = 0.183 Q/T, suponiendo que
u0.01. Es posible que esta condición no se cumpla para los primeros puntos
para los que [t+]/t es grande, pero suele cumplirse para valores de (t+)/t
pequeños, en especial para el pozo de bombeo y puntos de observación
cercanos.
La recta obtenida debe pasar por el punto [s, = 0, log (t+)/t = 0], ya que para
t=4, (t+)/t=1. Los puntos próximos a este último valor pueden ser poco
precisos y conviene darles poco significado. En ocasiones, la recta corta el
eje de las abscisas en puntos tales que (t+)/t >1, Figura 9.3, lo que quiere
decir que se produce una recarga que hace que el acuífero se recupere mas
rápido que el modelo teórico. Otras veces la recta prolongada corta al eje de
abscisas en valores de (t+)/t <1, lo que implica que nunca se recuperará el
nivel inicial. Esto sucede en acuíferos limitados y sin recarga. Sin embargo
es preciso operar con precaución ya que en bombeos de larga duración se
puede haber tenido una variación en el nivel estático del acuífero que
desvirtúe las deducciones que puedan hacerse, ya que estas se refieren al nivel
estático inicial.
255
Este método de recuperación no permite obtener directamente el valor del
coeficiente de almacenamiento S, pero éste puede deducirse tomando un
punto de medida cualquiera, en un sitio diferente al pozo de bombeo.
Después de bombeos muy prolongados puede modificarse el coeficiente de
almacenamiento del acuífero por efecto de la compactación del terreno. En
este caso la recuperación se hace con un valor de S menor que el de bombeo y
la recta de recuperación corta el eje de las abscisas en (t+)/t >1, pero rara vez
rebasa el valor de 2.
FIGURA 9.3 Anomalías en la recuperación de niveles.
En la gráfica 9.3 se tiene:
1. Recuperación en acuífero confinado o libre no recargado y con descensos
pequeños.
256
2. Efecto de una posible disminución del coeficiente de almacenamiento.
3. Efecto de una recarga.
4. Efecto de un ascenso del nivel de referencia.
5. Efecto de un descenso del nivel de referencia.
EJEMPLO 9.3
Calcular la transmisividad de un acuífero en que se ha realizado un ensayo de
recuperación luego de bombear un caudal Q=200 m3 /h durante t=1.5 horas.
Discutir las anomalías que se presentan. Los descensos residuales se
presentan en la siguiente tabla. (Tomado de Castany, 1975).
Solución:
Representando estos valores en papel semilogarítmico se obtiene la Figura 9.4
en la que m = 8.
Por lo tanto:
dia/m1108
24200183.0T 2
(t+)/t s, (m) (t+)/t s
, (m)
95 15.8 4.2 6.8
55 15.1 2.5 5.3
36 14.1 1.8 3.8
21 12.4 1.1 2.4
13 10.6 0.75 1.0
6.7 8.8 4.8 0.10
Como (t+)/t = 0.57, ello indica que el acuífero ha sufrido un vaciado o se ha
producido un descenso del nivel estático, por lo que el valor de T es solo un
indicativo.
257
FIGURA 9.4 Ensayo de recuperación en un acuífero sin recarga.
9.3. ACUÍFEROS SEMICONFINADOS
9.3.1. Régimen permanente. Como se vio en el capítulo anterior, la fórmula
básica que rige este tipo de acuíferos es la fórmula de De Glee, 1930:
)B/r(KT2
Qs O
en la que K0 está tabulada y graficada. El método para analizar ensayos de
bombeo en este tipo de acuíferos es también el método de coincidencia de
curvas ya mencionado anteriormente.
Si al perfil de descensos dibujado en papel doble logarítmico (log s - log r) se
le superpone la gráfica tipo log K0 (r/B) - log r/B, haciendo coincidir las
258
curvas manteniendo los ejes paralelos, se señala un punto en la zona de
coincidencia, para el cual se tienen entonces, valores de s, K0 (r/B), r/B y r.
Se tiene por lo tanto :
)B/r(Ks2
QT O
,, b/K
TB
Para valores de r/B < 0.1 es difícil efectuar el ajuste con precisión, porque la
curvatura es muy pequeña, pero entonces puede aplicarse el método de Thiem
para hallar T. El valor de B se obtendría extrapolando la recta hasta cortar el
eje de las abscisas leyendo el valor de R obtenido y B = R/1.123. En este
caso se emplea papel semilogarítmico en vez de papel doblemente
logarítmico.
EJEMPLO 9.4
Se realiza un ensayo de bombeo en un acuífero semiconfinado. Calcular las
características hidráulicas del acuífero y del acuitardo mediante los valores de
la tabla siguiente, obtenidos en un ensayo de bombeo en régimen permanente
con un caudal de 30 m3 /h. El espesor del acuitardo es de 10 m. (Tomado de
Castany, 1975).
Solución:
La Figura 9.5 representa la función log s - log r. Superponiendole la curva
log K0 (r/B) - r/B, se tienen los valores: (K0 )=1, s=0.33, (r/B)=1 y r=180.
Por lo tanto:
dia/m34733.02
12430T 2
Punto de Distancia al pozo de Abatimiento
259
observación bombeo (m) observado (m)
1 r1 = 3 s1 = 1.4
2 r2 = 10 s2 = 1.0
3 r3 = 100 s3 = 0.29
4 r4 = 300 s4 = 0.06
FIGURA 9.5 Acuífero semiconfinado en régimen permanente.
Como: 180B1B
r
dia/m11.0180
34710
B
T'b'k 2
22
260
9.3.2. Régimen transitorio. La ecuación que rige este tipo de acuíferos es la
de Hantush:
tT4
Sruy)B/r,u(W
T2
Qs
2
La representación gráfica de esta función puede verse en la Figura 8.10 del
capítulo anterior.
El análisis de los datos de bombeo se efectúa en forma similar a lo indicado
en el apartado anterior, escogiendo la curva tipo con el valor de r/B, que
mejor se ajuste a los datos de campo.
9.4. ACUÍFEROS LIBRES
9.4.1. Régimen permanente. El cálculo de T en acuíferos libres se realiza
con la fórmula de Thiem, en forma similar a lo expuesto en el numeral 9.2.1.
Si los abatimientos son importantes en relación con el espesor saturado inicial
H0 se emplea la corrección de Jacob:
r
Rln
K
QHH 22
o
Si se grafica H02- H
2 - log r la pendiente de esta recta será
0 366. Q
K2, lo que
permite hallar el valor de K y T0 = KH0.
9.4.2. Régimen transitorio. Los acuíferos libres dan lugar a problemas de
hidráulica difíciles de solucionar, aunque las aproximaciones de Dupuit-
Forcheimer permiten llegar a soluciones técnicamente aceptables para
régimen permanente. La mayor complicación del problema se presenta para
régimen transitorio ya que:
- El vaciado de los poros no es instantáneo y se produce un efecto de
drenaje diferido.
261
- La transmisividad en cada punto varía con el tiempo.
- El dominio de flujo varía con el tiempo ya que el límite superior está
constituido por la superficie freática.
En acuíferos libres el agua tomada del almacenamiento es liberada mediante
tres fenómenos:
1. Compactación del acuífero.
2. Expansión del agua.
3. Drenaje gravitacional de los poros.
Este último fenómeno produce el mayor aporte, pero el drenaje por gravedad
es lento, tanto mas cuando mas estratificado sea el acuífero y mas fina su
granulometría. Como no se cumple uno de los supuestos básicos de la
fórmula de Theis, su aplicación a acuíferos libres puede dar lugar a errores si
no se toman las debidas precauciones.
La curva descensos vs. tiempo muestra tres fases bien diferenciadas ver
Figura 9.6 ( Walton, 1960 ).
En los primeros minutos el nivel en el pozo de observación decrece
rápidamente. Sin embargo este nivel no es indicador de la elevación del nivel
freático del acuífero, siendo éste más alto que el del pozo de observación.
Debido a que el nivel freático no desciende significativamente durante los
primeros minutos de bombeo, el volumen de agua extraído no debe ser
resultado del drenaje de poros sino más bien de la compactación del acuífero
y expansión del agua. Por lo tanto el tramo 1 tiene un comportamiento
cercano al de un acuífero confinado con coeficiente de almacenamiento S.
En el tramo 2 hay drenaje vertical debido a la diferencia de cabezas
piezométricas entre el pozo y el nivel freático.
En el tramo 3, el acuífero evoluciona de acuerdo con la fórmula de Theis (si s
262
<< H0) coincidiendo S con ne. Los valores de T y S deducidos mediante el
análisis de este tramo, son válidos para predicción de niveles futuros. Este
tramo puede iniciarse tras los primeros minutos de bombeo o bien puede
tardar varios días en aparecer si el acuífero es de granulometría fina cerca al
nivel freático y/o muy heterogéneo.
Boulton (1954) derivó una ecuación para tener en cuenta estos efectos,
suponiendo que el drenaje diferido se realiza de acuerdo con una fórmula
exponencial. Así, el ritmo de cesión de agua diferida por unidad de superficie
en el tiempo t, debido a un incremento de abatimientos s en el tiempo <t
es:
t
022
2
dt)t(exps
T
'S
t
s
T
S
r
s
r
1
r
s
(9.11)
Donde:
: constante empírica de dimensiones 1/tiempo.
S’ : agua que ha quedado en forma diferida por unidad de área y
unidad de descenso.
S : coeficiente de almacenamiento del acuífero si fuese confinado.
Según Boulton esta fórmula es aplicable a:
1) Acuífero libre con drenaje diferido.
2) Acuífero confinado con un nivel superior menos permeable no
directamente afectado por el pozo.
3) Acuífero confinado con intercalación de niveles menos permeables y
compresibles.
263
FIGURA 9.6 Abatimientos en un acuífero con drenaje diferido.
Para valores de S, > 100 la solución de la ecuación anterior según Prickett
(1965) es:
)D/r,u(WT4
Qs
(9.12)
Para tiempos cortos (primer tramo): ur S
T ty D
2
43
y para tiempos largos (tercer tramo): ur S
T ty D
T
S
2
4
'
'4
En donde 1/ es el índice de retraso y suele medirse en días. La Figura 9.7 da
algunos valores de este índice en función del tipo de material.
264
FIGURA 9.7 Valores del índice de retraso (Custodio-Llamas, 1976).
Para tiempos intermedios la función se puede expresar aproximadamente
como W(u,r/D) = 2K0 (r/D), similar a una función de acuífero semiconfinado
en régimen permanente.
La Figura 9.8 representa curvas tipo en función del parámetro r/D. Estas
curvas tienen dos escalas de u; las curvas A tienen la escala 1/u superior y las
curvas B la escala 1/u, inferior.
El decalaje entre las dos escalas 1/u y 1/u, depende de S
,/S. Así, según las
condiciones del acuífero las curvas A y B pueden estar más o menos alejadas,
siendo variable la longitud de las curvas en lo que se definió previamente
como tramo segundo. Estas curvas de unión son aproximadamente rectas y
para valores de S’/S > 100, son casi horizontales. Una vez establecida la
separación de las curvas se pueden trazar aproximadamente como rectas
tangentes a las correspondientes curvas A y B.
Si 0 (índice de retraso muy elevado) la ecuación 9.12 se convierte en:
265
)'u(WT4
Qs
(9.13)
que es la ecuación de Theis para acuífero libre sin drenaje diferido.
FIGURA 9.8 Curva tipo para bombeo en acuífero con drenaje diferido.
El método para analizar las curvas de descenso vs. tiempo es el siguiente:
a. Dibujar log s vs. log t con los datos experimentales.
b. Aplicar el método de coincidencia de curvas a las curvas tipo A,
tratando de ajustar a ellas los datos de bombeo.
c. Tomar nota del valor r/D de la curva A seleccionada.
d. Determinar las coordenadas de un punto de coincidencia s, W, 1/u, t.
e. s
)u(WQ183.0
s4
)u(WQT
266
f. )u/1(r
sT4S
2
g. Desplazar los papeles paralelamente al eje de abscisas hasta superponer
los puntos experimentales a la curva B del mismo valor de r/D.
Determinar las coordenadas de un punto de coincidencia: s, W, 1/u, t .
h. s
)u(WQ183.0
s4
)u(WQT1
i. )'u/1(r
tT4'S
2
j. Comprobar si Tl = T. Si no es así, el método no está correctamente
aplicado o bien el modelo teórico no es adecuado al problema real.
k. 2
2
r'S
T)D/r('
T
'Sr)D/r(
5
En la práctica la parte A de las curvas se obtiene pocas veces y es preciso
conformarse con el análisis de las curvas B, si el bombeo ha sido
suficientemente largo. En caso contrario es casi imposible realizar una
interpretación aceptable.
Si los descensos son importantes con relación al espesor saturado conviene
efectuar la operación de restar a los descensos experimentales el valor s²/2H0.
Los valores de S’ y son válidos solamente para la parte de acuífero drenada
y por lo tanto no representan valores medios de todo el espesor saturado. Si
el acuífero es semilibre representa una propiedad del acuitardo inferior.
267
EJEMPLO 9.5
Se ha realizado un ensayo de bombeo en un acuífero aluvial cuyo perfil
geológico viene dado por la Figura 9.9 y cuyo espesor saturado es de 30 m.
El pozo está ranurado en las gravas inferiores y el pozo de observación está
situado a 60 m del pozo que bombea 225 m3 /h. Interpretar el ensayo de
bombeo (datos tomados de Pricket 1965) con los datos de la Tabla 9.3. Los
valores de s ya están corregidos por oscilaciones de nivel y por disminución
del espesor saturado. (Tomado de Castany, 1975).
FIGURA 9.9 Perfil geológico del acuífero.
Solución:
En la Figura 9.10 se ha dibujado el gráfico log s - log t. El punto de
correspondencia 1 representa el ajuste para los primeros momentos del
bombeo con las curvas tipo. Se obtienen los siguientes valores:
268
TABLA 9.3 Abatimientos del ejemplo 9.5.
Tiempo
min
s
corregido cm
s
medido cm
1 0.450 0.520
2 0.455 0.530
3 0.460 0.535
4 0.460 0.545
5 0.465 0.540
6 0.470 0.540
7 0.470 0.545
8 0.475 0.550
9 0.480 0.550
10 0.485 0.555
11 0.490 0.565
12 0.495 0.565
15 0.500 0.575
20 0.515 0.590
25 0.525 0.600
30 0.535 0.610
40 0.545 0.620
50 0.560 0.635
60 0.565 0.645
90 0.590 0.665
120 0.610 0.685
150 0.630 0.710
180 0.650 0.730
210 0.665 0.750
243 0.680 0.765
276 0.695 0.780
341 0.725 0.815
567 0.790 0.880
667 0.790 0.880
817 0.810 0.905
1147 0.890 0.985
269
FIGURA 9.10 Ensayo de bombeo en un acuífero con drenaje diferido.
W = 0.1 ; s = 0.012 ; 1/u = 1 ; t = 0.9 ; r/D = 0.6
Con estos se obtiene:
dia/m35801.0012.04
24225W
s4
QT 2
3
22105.2
1601440
9.035804
)u/1(r
tT4S
Ajustando la misma curva r/D=0.6 al tramo final de datos de campo se tiene:
W = 0.1 ; s = 0.012 ; 1/u = 10 ; t = 90 min
Con los valores anteriores se tiene:
270
dia/m35801.0012.04
24225W
s4
QT 2
2
22105.2
10601440
9035804
)'u/1(r
tT4'S
122
min101904
106.0
t4
)'u/1()D/r(
Indice de retraso 1/ = 100 min = 0.069 días.
9.5. ACUÍFEROS LIMITADOS
Se considerarán los casos de pozos cerca a bordes de recarga y a bordes
impermeables, que pueden ser estudiados como ya se vió en el capítulo
anterior usando la teoría del pozo imagen. Se estudiará en este numeral el
efecto de tales condiciones de frontera en una prueba de bombeo. Se
mostrará que la presencia de límites naturales e hidráulicos es evidente a
partir del análisis de los datos de la prueba de bombeo y que su posición
también puede ser determinada a partir de este análisis.
9.5.1. Acuífero con un borde rectilíneo de recarga. Este tipo de
condiciones se simula asumiendo que el acuífero es infinito y que hay un
pozo (imagen) que recarga el mismo caudal que se bombea y que está situado
a una distancia del límite, igual a la que está el pozo de bombeo real.
La Figura 9.11 muestra que los abatimientos, en el caso de una recarga,
divergen del comportamiento teórico previsto por las ecuaciones de Theis o
Jacob. En otras palabras, en cualquier instante después que el efecto de la
recarga se hace sentir en el pozo de observación, los abatimientos son
menores que los que cabría esperarse usando la curva tipo. Esta divergencia
continúa hasta que los niveles se estabilizan.
271
Como en los primeros momentos del bombeo el acuífero se comporta como si
fuere infinito, el primer tramo de la curva se aprovecha para determinar S y T
por los métodos vistos anteriormente. Es importante destacar que si en el
ensayo de bombeo se considera por error un tramo afectado por el límite, se
obtiene un valor de T mayor que el real, lo que conduce a valores de S
menores.
FIGURA 9.11 Pozo cerca de un límite de recarga.
A) Curva de Theis. B) Método de Jacob.
9.5.2. Acuífero con borde rectilíneo impermeable. Límites impermeables
causan divergencias de los abatimientos con respecto a la curva tipo, en
sentido opuesto a los límites de recarga. O sea que los puntos de campo
aparecen por encima de la curva tipo de Theis y por debajo de la línea recta
del método de Jacob, Figura 9.12. Respecto al hallazgo de S y T, son válidas
272
las mismas observaciones que se hicieron en el caso de recarga.
FIGURA 9.12 Pozo cerca de una barrera impermeable.
A) Curva de Theis. B) Método de Jacob.
9.5.3. Análisis de las distancias a los límites. Un límite de recarga es
representado casi siempre por un lago, río u otro cuerpo de agua semejante y
su posición real respecto al pozo de bombeo es aparentemente definida. Su
posición hidráulica, sin embargo, puede diferir considerablemente de su
posición real. En lugares donde el fondo de ríos o lagos esté recubierto por
sedimentos impermeables, el límite hidráulico puede estar alejado de la
posición real del río o lago.
La posición de límites impermeables puede ser bien conocida en algunas
273
ocasiones, sin embargo en otros casos las barreras pueden estar
completamente escondidas y su presencia no sospecharse hasta que los datos
de las pruebas de bombeo se dibujan. No es poco común que cantidades
pequeñas de agua se muevan a través de "barreras impermeables", causando
que el límite hidráulico esté mas retirado que la posición real de la barrera.
Un conocimiento de la naturaleza de los límites y su distancia hidráulica al
pozo de bombeo es esencial para determinar el rendimiento del acuífero.
El comportamiento de un pozo en las vecindades de una recarga o un límite
puede simularse con el método del pozo imagen. El abatimiento de un pozo
real en un acuífero "ideal", si no hubiera límites, seguiría la curva de Theis o
la línea recta del método de Jacob.
Usando el concepto de pozo imagen, la diferencia en abatimiento entre la
curva tipo o la línea recta (del método de Jacob) y los puntos experimentales
puede atribuirse a cambios en el nivel de bombeo producidos por un pozo
imagen.
La hipótesis básica para la determinación de la distancia al pozo imagen es
que el acuífero sea homogéneo, esto es, que S y T sean constantes a través del
acuífero. Si T y S son constantes, el caudal Q es el mismo para el pozo de
bombeo y el pozo imagen y si se asumen iguales los abatimientos creados por
el pozo de bombeo y por el pozo imagen, considerando la fórmula de Theis
sQ
TW u
4 ( ) 6se tiene una ecuación idéntica a la ley de los tiempos en la
conducción del calor y se deduce de la manera que se muestra a continuación
.
ipip uu)u(W)u(W
i
2
i
p
2
p
i
2
i
p
2
p
t
r
t
r
tT4
Sr
tT4
Sr
(9.14)
274
p
i
pit
trr
Una forma rápida de conocer la distancia ri es la siguiente:
1) Elíjase un tiempo tp en el tramo no influido por el límite, al que
corresponde un descenso sp.
2) Determínese un tiempo ti para el que la diferencia de abatimientos entre el
tramo influido por el límite y la curva tipo (o prolongación del tramo recto
en el caso del método de Jacob) valga también sp. En este caso se cumple
la ecuación 9.14 acabada de deducir.
Para localizar un punto en un plano es preciso conocer la distancia a tres
puntos. Teniendo tres puntos de observación no alineados se pueden
determinar tres distancias; el lugar geométrico del pozo imagen respecto a
cada punto de observación es la circunferencia cuyo radio es la distancia
calculada, Figura 9.13.
Dos de esas circunferencias se cortan en dos puntos, los cuales son dos
posiciones posibles del pozo imagen. La tercera circunferencia permite
localizar finalmente la posición definitiva del pozo imagen. La mediatriz de
la línea pozo real - pozo imagen permite calcular la posición efectiva de la
barrera.
Si sólo se tienen dos puntos de observación, el conocimiento de la región
permite con frecuencia seleccionar la situación adecuada entre dos posibles.
En realidad los cálculos de distancia a los límites son poco precisos. Por ello
la localización del pozo imagen es sólo una primera aproximación que
necesita ser confirmada por los conocimientos geológicos, fisiográficos y
estructurales que se tengan de una región.
Es preciso no confundir con el efecto de barreras las anomalías en los
275
abatimientos observados, las fluctuaciones en los niveles regionales del
acuífero o la influencia de captaciones próximas, que pueden hacer aparecer
como pozos imagen los que no lo son. El efecto de un borde de recarga es
similar al de un acuífero semiconfinado, produciendo curvas abatimiento -
tiempo similares. Para distinguir entre estas dos posibilidades es necesario un
conocimiento de la zona.
FIGURA 9.13 Situación del pozo imagen respecto a un límite
impermeable.
EJEMPLO 9.6
Se tiene un caudal de 63 l/s. Determinar las características del acuífero, el
276
tipo de frontera y las distancia a la cual se encuentra.
Se presentan los datos de t vs. s de los pozos No. 1 y No. 3 y la distancia del
pozo No. 2 al pozo imagen (r2 = 2500 pies), Figura 9.14 a
Empleando el método de superposición gráfico de Theis se tiene:
s4
)u(WQT
2r
tuT4S
p
i
pit
trr
Con estos valores se obtiene:
Pozo de Observación No. 1:
Superponiendo la función de pozo y los datos de campo, según el
procedimiento indicado anteriormente, se obtienen los siguientes valores:
1/u = 3.0 W(u) = 0.80 s = 0.92
tp = 20 ti = 280
La posición de la curva obtenida con los datos de bombeo, en relación con la
posición de la curva teórica indican la existencia de un límite que recarga, el
cual se representa como un pozo imagen con un caudal +Q.
277
Pozo No. 1 Pozo No. 3
t (min) S (pies) t (min) s (pies)
4 0.09 16 6x10-3
5 0.15 20 16x10-3
6 0.21 22 23x10-3
7 0.27 25 34x10-3
10 0.45 30 58x10-3
13 0.62 35 85x10-3
16 0.77 40 0.114
20 0.96 45 0.139
25 1.13 50 0.176
35 1.43 60 0.236
50 1.78 80 0.344
70 2.03 100 0.435
90 2.24 120 0.505
110 2.36 150 0.610
150 2.26 200 0.700
200 2.69 300 0.840
300 2.82 500 0.950
500 2.98 700 1.010
700 3.07 900 1.040
900 3.10 1100 1.060
1100 3.11 1400 1.080
1400 3.14 1800 1.100
1800 3.16 2200 1.110
2200 3.18 2600 1.130
2600 3.20 3000 1.140
3000 3.20 3600 1.140
3500 3.2 4000 1.130
4000 3.21
278
Pozo No. 2 PB
Pozo No. 1
Pozo No. 3
500'
500'
1500'
FIGURA 9.14 a). Ubicación de los pozos de bombeo.
279
Los valores de T, S y ri son:
)28.3/92.0(4
8.0063.0T
T = 1.43*10
-2 m²/s
T = 0.858 m²/min
T = 1235.4 m²/día
2)28.3/500(
20085833.04S
S = 1.0*10
-3
20
280500ri ri = 1871.0 pies
Para el Pozo de Observación No. 3.
Superponiendo las curvas de la función W(u) vs. 1/u y s vs. t se obtiene:
1/u = 2.0 W(u) = 0.55 s = 0.42
tp = 99 ti = 500
y los valores de T, S y ri son:
)28.3/42.0(4
58.0063.0T
T = 2.15*10
-2 m²/s
T = 1.29 m²/min
T = 1860.0 m²/día
2)28.3/1500(
9929.150.04S
S = 1.22*10
-3
280
99
5001500ri ri = 3371.0 pies
El pozo imagen se localizará en la intersección de las circunferencias con
centro en Pozo No. 1. Pozo No. 2, Pozo No. 3 y con los radios r1, r2 y r3
respectivamente.
r1 = 1871 pies
r2 = 2500 pies
r3 = 3371 pies
La solución gráfica aproximada se muestra en la Figura 9.14 b). Se señala la
posición del límite rectilíneo de recarga, correspondiente a la mediatriz del
segmento que une el pozo de bombeo PB y el correspondiente pozo imagen
PI. El límite de recarga está a 1100’ del pozo de bombeo. Las características
del acuífero son:
d/m7.15472
18604.1235T 2
333
1011.12
1022.1100.1S
9.6. CURVAS CARACTERÍSTICAS DE UN POZO
En las proximidades de los pozos, el flujo puede dejar de seguir la ley de
Darcy y en la penetración del agua en el pozo y en el movimiento de agua en
el mismo se producen pérdidas de carga, originando que el abatimiento
medido en el pozo sea mayor que el que teóricamente se debía observar. Este
sobredescenso crece rápidamente al aumentar el caudal. Conociendo varios
caudales y sus correspondientes abatimientos puede establecerse una fórmula
general para el pozo, llamada curva característica, la cual es de gran utilidad
para tareas como hallar el caudal de bombeo, escoger la bomba mas eficiente,
determinar procesos de colmatación de la rejilla o de la zona filtrante y en
general hacer análisis económicos sobre el comportamiento del pozo.
281
Radio 3
Radio 2
Radio 1
Pozo No. 1
Pozo No. 2
Pozo No. 3
PB
1100'
1100'
PI
FIGURA 9.14 b). Solución gráfica del ejemplo 6.4.
282
El abatimiento observado en un pozo de bombeo es la suma de los
abatimientos debidos a:
a) Pérdidas en el acuífero.
b) Pérdida por no validez de la ley de Darcy. Si en los alrededores del
pozo el flujo es turbulento se presenta un abatimiento mayor que el
teórico predicho teniendo con la ley de Darcy. Esto puede suceder en
pozos de pequeño diámetro, con rejillas cortas y mal desarrollados.
También puede presentarse en acuíferos donde el agua fluye por unas
pocas fisuras.
c) Pérdidas locales de entrada del agua al pozo por la rejilla.
d) Pérdida por entrada de agua a la bomba.
e) Pérdidas por fricción. Se dan en el trayecto de la zona filtrante a la
bomba.
El abatimiento en un pozo será la suma de los abatimientos que se producen
por las causas enumeradas anteriormente. Según Rorabaugh (1953) el
abatimiento en un pozo puede escribirse como:
n
p CQBQs (9.15)
BQ expresa el abatimiento debido a las pérdidas en el acuífero y CQn el
abatimiento debido a los demás factores. B es llamado coeficiente de
pérdidas en la formación y es variable con el tiempo de bombeo y C se llama
coeficiente de pérdidas en el pozo y es independiente del tiempo de bombeo.
El valor de n puede variar entre 1 y 3.5 (Lennox 1960).
La fórmula 9.15 es mas general que la propuesta anteriormente por Jacob
(1947, 1950) en la que se fijaba el valor de n en 2, o sea:
283
2
p CQBQs (9.15)
Esta fórmula es de mas fácil manejo, pero no siempre n=2 es el valor más
adecuado. Si la velocidad de entrada del agua al pozo es baja, puede resultar
que n=1 y el abatimiento será proporcional al caudal, si éste no sobrepasa
cierto valor, lo que no significa decir que las pérdidas en el pozo sean nulas.
9.6.1. Realización de los ensayos. Para determinar los coeficientes C, B y n
es necesario conocer los abatimientos para tres caudales diferentes. Los
abatimientos pueden obtenerse mediante ensayos sucesivos de bombeo a
caudal creciente, pero constante en cada intervalo, Figura 9.14. El
abatimiento provocado en el primer escalón con caudal Q1 es s1, cuya
obtención es inmediata.
El segundo escalón, en el que se ha provocado un incremento de caudal Q2 -
Q1, provoca un incremento del abatimiento s2 y así sucesivamente. El
abatimiento para el caudal Q2 será:
212 sss
y el correspondiente al caudal Q3 será:
3213 ssss
Si al final de cada etapa los niveles están prácticamente estabilizados no hay
ninguna dificultad en leer los valores s2 y s3. Sin embargo, es frecuente
que al final no se haya alcanzado la estabilidad en los niveles, entonces debe
medirse s2 a partir de la extrapolación de los descensos correspondientes al
primer escalón y s3 a partir de la extrapolación de los correspondientes al
segundo escalón, Figura 9.15. Si no se realiza así pueden cometerse errores
significativos. Para tener más precisión en las extrapolaciones se dibujan los
abatimientos en escala aritmética y los tiempos en escala logarítmica. Los
caudales no deben ser muy próximos entre sí. Deben ser crecientes en
284
proporción 1, 2, 3.
FIGURA 9.15 Ensayo de bombeo con caudal creciente.
9.6.2. Análisis de los resultados. Si se desea ajustar la fórmula de Jacob:
s BQ CQp 2 7, se dibuja s/Q vs Q, Figura 9.16. La pendiente de la recta
que pasa por esos puntos da el valor de C y la ordenada en el origen, el valor
de B.
Si tomar el valor de n=2 no parece ser lo mas acertado, se resuelve el sistema
de ecuaciones: n
11 1CQBQs
n
22 2CQBQs
n
33 3CQBQs
Para resolver el sistema pueden emplearse los siguientes métodos.
1) Método de tanteo del valor de n. Cada una de las ecuaciones del sistema
anterior puede transformarse en :
285
1nCQBQ
s
Figura 9.16 Determinación gráfica de B y C partiendo de la fórmula de
Jacob.
Si se dibuja s/Q en función de Qn-1
se obtiene una recta de pendiente C y
ordenada en el origen B. Basta ensayar ordenadamente diferentes valores de
n hasta conseguir que los puntos queden alineados. El método es poco
preciso pues diferentes valores de n pueden hacer aparecer los puntos como
aproximadamente alineados.
2) Método de Sheehan, 1983. El método consiste en preparar curvas tipo de
Qi vs s/Qi para diferentes valores de n, Figura 9.16. Este método gráfico,
compara los puntos de la prueba escalonada con las curvas tipo. Estas son
construidas dibujando valores arbitrarios de Qi vs s/Qi en papel log-log
para diferentes valores de n y asumiendo que B y C valen 1. Los puntos
de la prueba escalonada son dibujados en papel log-log de la misma escala
de las curvas tipo, se superponen buscando la curva que mejor se ajuste.
286
El valor de n es leído directamente de la curva tipo.
Los valores de C y B pueden ser calculados. Para distinguir los números de
las dos hojas de papel, los valores de la curva tipo tienen el subíndice i y los
datos de campo tienen el subíndice x. La línea índice es aquella en la que s/Qi
= 2, ver Figura 9.17.
FIGURA 9.17 Curvas tipo para la ecuación 9.15.
Como las curvas tipo son dibujadas con B=1, se leen los valores de s/Qx y Qx
en la intersección de la curva tipo escogida y la línea índice. El valor de B
será:
2
Q/sB x
y el valor de C será:
Q1n
x
BC
287
Donde Qx es el valor de la abscisa donde los puntos de campo cortan la línea
índice y s/Qx es la ordenada correspondiente.
3) Método de Labadie y Helweg, 1983. Usa el método de los mínimos
cuadrados para encontrar los parámetros B, C y n. El método trata de
encontrar valores de B, C y n que hagan mínima la diferencia entre los
datos de campo y los valores teóricos. De la ecuación 9.15, la función
objetivo será:
N
1i
2
i
n
ii sCQBQ)n,C,B(
minE
Donde:
N : # de etapas en la prueba.
Qi : caudal en el escalón.
si : abatimiento en el escalón.
Esta es una función no convexa, lo que significa que el mínimo no puede ser
encontrado por el método tradicional de igualar la primera derivada a cero.
Sin embargo si el valor de n es fijado, la función objetivo será:
N
1i
2
i
n
ii sCQBQ)C,B(
min)n(E
(9.16)
Esta ecuación es estrictamente convexa. Por lo tanto, como los valores de n
están siempre entre 1 y 4, un valor cualquiera, por ejemplo 1.1 se puede
escoger y la ecuación 9.16 se resuelve. Entonces, pueden elegirse otros
valores de n, para generar otros valores de E(n). La solución es el valor
mínimo de estos:
288
)n(En
min
9.6.3. Discusión de la ecuación 9.15. Tal como se ha dicho, n puede variar
con el caudal. Para caudales pequeños el régimen es laminar y n=1, pero para
caudales mayores en acuíferos confinados n=2 o mas grande. En acuíferos
libres, n puede variar entre 2 y 3, incluso puede llegar a 3.5. Los valores mas
frecuentes se sitúan entre 2.5-2.9.
El valor de B, (coeficiente de pérdidas en la formación) no está claramente
definido. En principio corresponde a las pérdidas en el acuífero y por lo tanto
no debería depender sino del diámetro del pozo; sin embargo las diferencias
de profundidad, heterogeneidades en la formación, barreras, etc., pueden
hacer que el valor de B para dos pozos de igual diámetro en el mismo
acuífero puedan diferir y es necesario efectuar correcciones. Con frecuencia
el valor de B incluye pérdidas en el pozo proporcionales a Q. En realidad
debería considerarse que s BQ B Q CQPn ' 8, siendo B exclusivamente
las pérdidas en el acuífero y B’, las pérdidas en el pozo, pero hacer esta
separación en la práctica es muy difícil.
El valor de C, en cualquier tipo de régimen, depende del tipo de zona filtrante,
del porcentaje de aperturas y su disposición, del grado de desarrollo del
acuífero y del movimiento del agua dentro del entubado hasta llegar a la
bomba. El valor de C antes y después del desarrollo de un pozo es una
medida de su efectividad.
Walton (1964) dice que para pozos bien construidos y desarrollados el valor
de C es generalmente menor que 2.5 x 10-7
días2/m
5; valores entre 2.5 -
50x10-7
señalan un principio de incrustación en la rejilla y valores mayores de
50x10-7
, señalan que la incrustación o taponamiento es ya importante. Si C es
mayor que 200x10-7
días2/m
5 la incrustación es ya muy fuerte y la
rehabilitación es prácticamente imposible. Estos valores se refieren al valor
de C que se obtiene para n=2.
289
Mogg (1968) discute la validez del valor de C como indicador de la
incrustación de un pozo, concluyendo que deben tomarse precauciones, ya
que pozos que bombean caudales grandes de acuíferos con T elevado
muestran valores de C menores que los que se encuentran en pozos con
caudales pequeños en acuíferos poco transmisores.
9.6.4. Eficiencia de un pozo. La eficiencia de un pozo es la medida de su
efectividad en extraer agua del acuífero. La eficiencia se expresa
como:
9.6.5.
teoricoespecificocaudal
verdaderoespecificocaudal
verdaderos
teoricose
s teórico es el abatimiento que se tendría en las paredes del pozo de acuerdo a
los valores de transmisividad y coeficiente de almacenamiento del acuífero y
s real es el descenso real observado en el pozo. Si se admite que BQ es el
abatimiento teórico e = BQ/s. En régimen laminar la eficiencia de un pozo es
una constante y empieza a disminuir rápidamente al aumentar el caudal
cuando empieza el régimen turbulento.
El caudal para el que se inicia la disminución de la eficiencia se llama caudal
crítico, Figura 9.18. La comprobación sistemática de la eficiencia de un pozo
puede mostrar los efectos de incrustación y corrosión, señalando la necesidad
de mantenimiento, Figura 9.19.
EJEMPLO 9.7
Hallar la curva característica en un pozo que tiene las siguientes dimensiones:
Profundidad 300.5 m, diámetro de la tubería de revestimiento:
70 cm de 0 a 18.6 m. 40 cm de 23 a 66 m
55 cm de 18.6 a 23 m 30 cm de 66 a 205 m
290
FIGURA 9.18 Caudal crítico en un pozo.
FIGURA 9.18 Tipos de curvas características en un pozo.
291
La tubería está ranurada a partir de 18.6 m. Se realizó un ensayo escalonado
cuyos resultados se presentan en el cuadro siguiente. (Tomado de Castany,
1975). Etapa Q
(m3 /día)
Tiempo de
bombeo (horas)
Abatimientos
(m)
1 119 24 8.15
2 314 24 39.40
3 475 24 81.90
Solución:
Se tienen entonces las siguientes ecuaciones:
81.90 = 475 B + C475n
39.40 = 314 B + C314n
8.15 = 119 B + C119n
Resolviendo gráficamente este sistema por el primer método explicado
anteriormente se obtiene:
n = 2 ; B = 3.3 x 10-2
; C = 2.9 x 10-4
La ecuación del pozo queda: s=3.3x10-2
Q+2.9x10-4
Q2
El valor de C indica que existe una pérdida de carga muy importante debida
probablemente a la circulación del agua en régimen turbulento. La rejilla
tiene la especificación correcta o sea que las pérdidas se deben probablemente
a que el agua en los alrededores del pozo está circulando por unas pocas
aberturas, con lo que adquiere gran velocidad. Un desarrollo mejor del pozo
probablemente mejoraría las condiciones.
En Jaramillo y Vélez, 1992, se encuentran descritos programas de
computador que permiten realizar los ajustes de las pruebas de bombeo que se
han descrito en este capítulo. En la citada referencia se dan además
292
instrucciones detalladas para su uso.
9.7 OTROS MÉTODOS
En pozos hechos a mano de diámetros cercanos a un metro, la literatura mas
reciente, (Mace, 1999) recomienda utilizar pruebas “Slug-Test”. En estas
pruebas se bombea el pozo hasta que el abatimiento alcanza su valor
máximo y luego se miden los abatimientos residuales durante la
recuperación del pozo. Existen varios métodos para interpretar los
resultados de este tipo de ensayos, como son el de Cooper-Bredehoeft-
Papadopulos y el de Hvorslev. Se expondrán a continuación los
fundamentos teóricos del método Coopper-Bredehoeft-Papadopulos.
9.7.1 Método de Cooper – Bredehoeft – Papadopulos. Se tiene un pozo
en un acuífero confinado, tal como se muestra en la Figura 9.19, con radios
rc, y rs del pozo y de la rejilla respectivamente. Inmediatamente después de
que el pozo alcanza su mínimo nivel Ho, se empiezan a medir los niveles H
en un tiempo t. L relación:
,FHo
H
(9.17)
Donde:
C²r
tT
²r
S²r
c
s
(9.18)
Y ,F es una función, que puede representarse por medio de curvas tipo
como la mostrada en la Figura 9.20.
293
FIGURA 9.19. Esquema para una prueba de bombeo “Cooper-
Bredehoeft-Papadopulos”
Los valores de campo de Ho
H vs t se dibujan en un papel semilogaritmico
que tenga la misma escala que las curvas tipo. Estos datos se superponen a
la curva tipo, que más se ajuste, manteniendo los ejes paralelos. Se
selecciona en la zona de coincidencia un punto donde 1C²r
tT lo que
implica que 1
c
t
²r0.1T . La transmisividad se encuentra como
²r²rS cs ; sin embargo, el valor de S obtenido con este método debe
usarse con cuidado. Además el valor de T hallado sólo es representativo de
294
la formación vecina al pozo.
Figura 9.20. Curvas tipo para “Slug Test”.
9.7.2 MÉTODO DE HVORSLEV (1951). Al igual que en el método anterior se
miden las cabezas piezométricas h, correspondientes a su tiempo t y se
grafica en papel semilog la relación ho
hlog vs t, como muestra la Figura
9.21. En la gráfica To es el tiempo que transcurre para que el agua alcance
un 37% de su nivel inicial.
295
FIGURA 9.21. Cabezas piezométricas vs t para el método de Hvorslev.
Si se tiene un pozo como el mostrado en la Figura 9.22 y R
L>8 se puede
aplicar la siguiente ecuación:
ToL2
RLLn²r
K
(9.19)
296
donde K es la permeabilidad, r el radio del entubado, R el radio de la rejilla
y L la longitud del pozo.
FIGURA 9.22. Parámetros para la prueba de Hvorslev
297
PROBLEMAS PROPUESTOS
9.1. Un pozo bombea un caudal de 4 m³/min por 3 días, seguido de un
período de descanso de 7 días. Este ciclo se repite 7 veces. El radio del
pozo es de 0.3 m, T= 1.2 m²/min y S= 0.09. Calcular el abatimiento en
el pozo, al final del 7 período de descanso y al final del 8 período de
bombeo.
9.2. Un pozo localizado a 100 m de un río, bombea 250 m³/h, de un acuífero
en el que T= 5000 m²/día y S= 3x10-5
. Determinar el abatimiento, en un
punto situado a 200 m del pozo (en una línea paralela al río) después de 7
días de bombeo. Determinar el abatimiento 3 días después, de ser
suspendido el bombeo.
9.3. Un pozo bombea 15.7 l/s de un acuífero horizontal, homogéneo e
isotrópico; se observan los abatimientos en un pozo de observación
situado a 30 m del pozo de bombeo. Calcular T y S. Qué clase de
frontera existe y a que distancia?
T (min) 11 14 18 21 28 35 52
S (m) 2.13 2.19 2.44 2.50 2.68 2.80 3.11
T (min) 60 74 88 100 112 130
S (m) 3.29 3.41 3.54 3.60 3.78 3.90
9.4. Hallar S y T para un pozo que bombea 2500 m³/día, de un acuífero
confinado. Se tienen los siguientes datos en un piezométro situado a 60
m del pozo de bombeo.
T (min) 0.0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0
S (m) 0.0 0.2 0.27 0.3 0.34 0.37 0.41
298
T (min) 5 6 8 10 12 14 18
S (m) 0.45 0.48 0.53 0.57 0.60 0.63 0.67
T (min) 24 30 40 50 60 80 100
S (m) 0.72 0.76 0.81 0.85 0.90 0.93 0.96
T (min) 120 150 180 210 240
S (m) 1.0 1.04 1.07 1.10 1.12
Comparar los resultados hallados por los métodos de Theis y Jacob.
9.5 La excavación para un parqueadero de un edificio de apartamentos
queda por debajo del nivel freático y éste necesita ser abatido. La
excavación tiene un ancho de 30 m y una profundidad de 10 m. El nivel
freático está a un metro de la superficie y un lecho de roca impermeable se
encuentra a 40 m de éste.
a) Se recolectaron muestras durante la investigación de campo. Se hizo
una prueba con permeámetro de cabeza variable. La muestra tiene
50 mm de diámetro y 70 mm de altura. La cabeza inicial fue de 800
mm y la cabeza final de 400 mm después de una hora y 20 minutos.
299
El diámetro del permeámetro es 10 mm. Cuál es la conductividad
del suelo?.
b) Se hizo también una prueba de bombeo con un caudal de 0.85
m3/min. El abatimiento después de un largo tiempo en dos pozos de
observación situados a 10 m y 5 m del pozo de bombeo fue de 2 m y
2.6 m respectivamente. Cuál es la conductividad hidráulica. Cuál
valor, el de campo o laboratorio usaría usted para el diseño de los
pozos de abatimiento. Por qué?
c) La ubicación del pozo de abatimiento se ha pensado en el centro de
la excavación y debe abatir el nivel hasta 1 m por debajo de la
excavación.. Con qué caudal debe diseñarse el pozo. Justifique sus
hipótesis.
d) Un pozo situado en el centro de la excavación puede crear problemas
durante la construcción, además el bombeo con un solo pozo podría
ser muy costoso (El Kw-h vale $1000 en el sitio). Qué otra
alternativa de ubicación de pozo o pozos sugiere usted?. Cuál sería
el esquema de bombeo?. Justifique su respuesta.
9.6 Se dan los datos de una prueba d bombeo, para hallar los parámetros de
la curva característica del pozo. Hallar también la transmisividad. Que
conclusiones se pueden extraer de los resultados.
C1: Tiempo Inicio
C2: Tiempo de bombeo (minutos, min).
C3: Tiempo t’ (minutos, min).
C4: Incremento en el caudal (galones por minuto, gpm).
C5: Caudal de bombeo (galones por minuto, gpm).
C6: Abatimeineto S o Abatimiento s’ ( pies, ft).
300
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C2 C3 C4 C5 C6 C2 C3 C4 C5 C6
07:10 0 30 30 0.00 105 4.74 210 12.85
2 1.29 110 4.76 215 12.91
4 1.43 115 4.78 220 12.96
6 1.59 120 30 120 4.81 225 13.01
8 1.63 122 6.43 230 13.06
10 1.67 124 6.94 235 13.10
12 1.71 126 7.17 240 13.13
14 1.73 128 7.30 245 13.16
16 1.77 130 7.39 250 0 0 0 13.18
18 1.80 132 7.45 251 1 6.45
20 1.81 134 7.49 252 2 4.79
25 1.85 136 7.54 253 3 3.93
30 30 60 1.88 138 7.58 254 4 3.47
32 2.67 140 7.61 255 5 3.13
34 2.83 145 7.67 256 6 2.90
36 2.93 150 7.72 257 7 2.71
38 2.99 155 7.75 258 8 2.57
40 3.03 160 7.79 259 9 2.41
45 3.11 165 7.82 260 10 2.29
50 3.15 170 7.85 262 12 2.07
55 3.18 175 7.88 264 14 1.91
60 3.22 180 30 150 7.90 266 16 1.77
65 3.24 182 11.23 268 18 1.65
70 30 90 3.27 184 11.83 270 20 1.55
72 3.83 186 12.12 275 25 1.34
74 4.19 188 12.29 280 30 1.21
76 4.33 190 12.40 285 35 1.10
78 4.43 192 12.49 290 40 1.01
80 4.49 194 12.55 295 45 0.94
85 4.57 196 12.61 300 50 0.87
90 4.63 198 12.66 305 55 0.82
95 4.67 200 12.71 310 60 0.77
100 4.71 205 12.79
