Capitulo 6. Dimensionamiento de Las Redes de Telecomunicaciones

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS TECNOLOGAS E INGENIERAS CONTENIDO DIDCTICO DEL CUSO: 208022-TELETRAFICO

CAPTULO 6. DIMENSIONAMIENTO DE LAS REDES DE TELECOMUNICACIONES

Leccin 26: Matrices de trfico

La planificacin de redes abarca el diseo, la optimizacin y el funcionamiento de las redes de

telecomunicaciones. La matriz de trfico contiene la informacin bsica necesaria para

seleccionar la topologa y el encaminamiento del trfico.

Tambin se analiza el clculo aproximado de las probabilidades de bloqueo de extremo a extremo

y se describe el mtodo de Erlang del punto fijo (mtodo de carga reducida). En el se generaliza

el algoritmo de convolucin presentado en el Captulo 4 a redes con clculo exacto de bloqueo de

extremo a extremo en redes con conmutacin de circuitos virtuales y encaminamiento directo. El

modelo permite el trfico BPP multisegmento con asignacin mnima y mxima. El mismo modelo

puede aplicarse a las redes jerrquicas celulares inalmbricas con clulas superpuestas y a las

redes pticas con multiplexacin por divisin de longitud de onda (WDM). As mismo se examinan

los mecanismos de proteccin del servicio.

Por ltimo, se analiza la optimizacin de las redes de telecomunicacin mediante la aplicacin del

principio de Moe.

26.1 Introduccin a las Matrices de trfico

Para especificar la demanda de trfico en una zona con centrales K se deben conocer los valores

de trfico de K2

Aij(i, j = 1, . . ., K), como se indica en el siguiente esquema que se denomina

matriz de trfico.

150



Aij es el trfico de i a j.

Aii es el trfico interno en la central i.

O(i) es el trfico de salida total originado en i. T(j) es el trfico de entrada (terminacin) total a j.

La matriz de trfico supone que se conoce la ubicacin de las centrales. Conociendo la matriz de

trfico la tarea es:

1. decidir la topologa de la red (qu centrales deben estar interconectadas?)

2. decidir el encaminamiento de trfico (cmo se puede aprovechar una topologa dada? Las

dos tareas son interdependientes.

26.1.1 Mtodo de factor doble de Kruithof

Supngase que se conoce la matriz de trfico real y que se tiene una previsin para las sumas de

las filas O(i) y las sumas de las columnas T(i) y futuras, es decir el trfico de entrada y salida total

para cada central. Este pronstico de trfico se puede obtener de las previsiones de abonado

para cada una de las centrales. Por medio del mtodo de factor doble (Kruithof, 1937 [70]) se

puede estimar cada valor futuro Aij de la matriz de trfico. El procedimiento es ajustar cada valor

Aij, de modo tal que concuerden con las nuevas sumas de fila/columna:

donde S0 es la suma real y S1 es la nueva suma de la fila/columna considerada. Si se comienza

ajustando Aij con respecto a la nueva suma de fila Si, las sumas de las filas estarn de acuerdo

pero las sumas de las columnas pueden no concordar con los valores deseados. Por tanto, el prximo paso es ajustar los valores obtenidos Aij con respecto a las sumas de columnas de modo

que stas concuerden, pero esto implica que las sumas de filas ya no estarn de acuerdo. Mediante el ajuste alternativo de las sumas de filas y columnas los valores obtenidos convergirn, luego de algunas iteraciones, hacia valores nicos. El procedimiento se ilustra mejor con el ejemplo dado a continuacin.

Ejemplo 11.1.1: Aplicacin del mtodo de factor doble de Kruithof. Se examina una red de telecomunicacin que tiene dos centrales. La presente matriz de trfico est dada como:

1 2

Suma

1

2

10 20

30 40

30

70

Suma

40 60

100

151



El pronstico de trfico de origen de terminacin total para cada central es:

1 2

Suma

1

2

45

105

Suma

50 100

100

La tarea es entonces estimar cada valor de la matriz mediante el mtodo de factor doble.

Iteracin 1: Ajustar las sumas de las filas. Se multiplica la primera fila por (45/30) y la segunda fila

por (105/70) y se obtiene:

1 2

Suma

1

2

15 30

45 60

45

105

Suma

60 90

150

Las sumas de las filas son ahora correctas, pero las sumas de las columnas no lo son.

Iteracin 2: Ajustar las sumas de las columnas:

1 2

Suma

1

2

12,50 33,33

37,50 66,67

45,83

104,17

Suma

50,00 100

150,00

Tenemos ahora las sumas correctas de las columnas, mientras que las sumas de las filas presentan valores algo desviados.

Se contina ajustando alternativamente las sumas de filas y columnas:

Iteracin 3:

1 2

Suma

1

2

12,27 32,73

37,80 67,20

45,00

105,00

Suma

50,07 99,93

150,00

152



Iteracin 4:

1 2

Suma

1

2

12,25 32,75

37,75 67,25

45,00

105,00

Suma

50,00 100,00

150,00

Despus de cuatro iteraciones las sumas de las filas y de las columnas concuerdan con dos

decimales.

Existen otros mtodos para estimar los valores de trfico individuales futuros Aij, pero el mtodo

de factor doble de Kruithof tiene propiedades importantes (Bear, 1988 [5]):

Unicidad. Para una determinada previsin hay una sola solucin.

Reversibilidad. La matriz resultante se puede invertir a la matriz inicial con el mismo

procedimiento.

Transitividad. La matriz resultante es la misma independientemente si fue obtenida en un paso

o a travs de una serie de transformaciones intermedias, (por ejemplo una previsin de cinco

aos o cinco previsiones de un ao).

Invarianza con referencia a la numeracin de las centrales. Se puede cambiar la numeracin

de las centrales sin influencia en el resultado.

Fraccionamiento. Las centrales se pueden dividir en subcentrales o se pueden aadir a

centrales ms grandes sin influenciar el resultado. Esta propiedad no se satisface exactamente

con el mtodo de factor doble de Kruithof, pero las desviaciones son pequeas.

26.2 Topologas

En el Captulo 1 se han descrito las topologas bsicas como red en estrella, red poligonal, red en

anillo, red jerrquica y red no jerrquica.

26.3 Principios de encaminamiento

Este es un tema extenso que incluye entre otros el encaminamiento de trfico alternativo,

reparticin de las cargas, etc. En (Ash, 1998 [3]) figura una descripcin detallada sobre este tema.

26.4 Mtodos de clculo de extremo a extremo aproximados

Si se supone que los enlaces de una red son independientes, es fcil entonces calcular la

probabilidad de bloqueo de extremo a extremo. Por medio de las frmulas clsicas se calcula la

probabilidad de bloqueo de cada enlace. Si la probabilidad de bloqueo del enlace i se simboliza

por Ei se obtiene entonces la probabilidad de bloqueo de extremo a extremo para una tentativa de

llamada sobre la ruta j como sigue:

153



donde R es el conjunto de enlaces incluido en la ruta de la llamada. Este valor ser el caso ms

desfavorable pues el trfico est regularizado por el bloqueo de cada enlace y, por tanto,

experimenta menos congestin en el ltimo vnculo de una ruta.

26.4.1 Mtodo del punto fijo

Una llamada ocupa generalmente canales en ms enlaces y en general el trfico estar

correlacionado con cada uno de los enlaces de una red. La probabilidad de bloqueo

experimentada por una tentativa de llamada en cada uno de los enlaces tambin estar

correlacionada. El mtodo Erlang del punto fijo es una tentativa para tomar esto en cuenta.

26.5 Mtodos de clculo exactos de extremo a extremo

Las redes de telecomunicacin con conmutacin de circuitos y encaminamiento directo tienen la

misma complejidad que las redes de fila de espera con muchas cadenas (el cuadro 14.3). Es

necesario contabilizar el nmero de canales ocupados en cada enlace. Por tanto, el nmero de

estados mximo resulta:

Cuadro 11.1 En una red de telecomunicacin con conmutacin de circuitos y encaminamiento directo dxy representa el tamao del segmento (demanda de ancho de

banda) de la ruta x por el vnculo

Enlace

Ruta

1 2 . . . N

Nmero de canales

1

2

.

.

K

C11 C21 . . . CN1

C12 C22 . . . CN2

. . .

. . . . . . . . .

. . .

C1k C2k . . . CNK

n1

n2

.

. . .

.

nK

154



26.5.1 Algoritmo de convolucin

El algoritmo de convolucin descrito en el Captulo 5 se puede aplicar a redes con

encaminamiento directo pues hay una forma de producto entre las rutas. La convolucin se hace

multidimensional, siendo la dimensin el nmero de enlaces en la red. La interrupcin del espacio

de estado se hace ms compleja y el nmero de estados aumenta considerablemente.

Leccin 27: Control de carga y proteccin de servicio

En una red de telecomunicacin con muchos usuarios que compiten por los mismos recursos

(acceso mltiple) es importante especificar las demandas de los servicios de los usuarios y

asegurar que el GoS se cumple en condiciones normales de servicio. En la mayora de los

sistemas se puede asegurar que los abonados preferenciales (polica, servicios mdicos, etc.)

tienen mayor prioridad que los abonados comunes cuando efectan tentativas de llamada.

Durante las condiciones normales de trfico se debe garantizar que todos los abonados para todo

tipo de llamadas (locales, nacionales, internacionales) tienen aproximadamente el mismo nivel de

servicio, por ejemplo el 1 % de bloqueo. Durante situaciones de sobrecarga las tentativas de

llamada de algunos grupos de abonados no debe estar completamente bloqueada mientras que al

mismo tiempo otros grupos experimenten bajos porcentajes de bloqueo.

Histricamente, esto se ha satisfecho debido a la estructura descentralizada y la aplicacin de

accesibilidad limitada (distribucin del trfico), que desde el punto de vista de proteccin del

servicio son an aplicables y tiles.

Los sistemas y redes digitales tienen una complejidad creciente y sin medidas preventivas el

trfico transportado en funcin del trfico ofrecido tendr tpicamente una forma similar a las del

sistema Aloha (vase la figura 6.4). Para asegurar que un sistema contine funcionando a mxima

capacidad durante sobrecarga se aplican diversas estrategias. En sistemas (centrales) se puede

introducir separacin entre llamadas y asignar prioridades a las tareas (vase el Captulo 5). En

redes de telecomunicacin son comunes dos estrategias: reservas de lneas de enlace y

proteccin virtual de canales.

155



Figura 11.1 Encaminamiento de trfico alternativo (vase el ejemplo 11.6.2).

El trfico de A a B se transporta en parte por la ruta directa (ruta primaria = ruta de explotacin

intensa), y parte por la ruta secundaria a travs de la central de trnsito T.

27.1 Reserva de lneas de enlace

En redes de telecomunicacin jerrquica con encaminamiento alternativo se desea proteger el

trfico primario frente al trfico de desbordamiento. Si se considera parte de una red (vase la

figura 11.1), el trfico directo AT competir con el trfico de desbordamiento de AB para canales

desocupados en el grupo de enlace AT. Como el trfico AB tiene ya una ruta directa, se desea dar

al trfico AT prioridad a los canales en el enlace AT. Esto se puede efectuar introduciendo una

reserva de lneas de enlace (canales). Se permite al trfico AB tener acceso a los canales AT slo

si hay ms de r canales desocupados en AT (r = parmetro de reserva). De esta manera, el trfico

AT tendr mayor prioridad a los canales en el enlace AT. Si todas las llamadas tienen el mismo

tiempo medio de ocupacin (1 = 2 = ) y trfico PCT-I con trfico de segmento nico, se puede

establecer fcilmente un diagrama de transicin de estado y calcular la probabilidad de bloqueo.

Si cada flujo de trfico tiene tiempos medios de ocupacin diferentes, o si se considera el trfico

binomial y Pascal, se tendr que establecer entonces un diagrama de transicin de estado de N

dimensiones que no ser reversible. De esta manera no se pueden aplicar los algoritmos

formulados en el Captulo 5.

Un inconveniente esencial en las reservas de lnea de enlace es que se trata de una estrategia

local, que slo considera un grupo de enlace troncal, y no la totalidad de conexin de extremo a

extremo. Asimismo, es un mecanismo unidireccional que protege un flujo de trfico frente a otro,

pero no el caso contrario. Por consiguiente, esto se puede aplicar para la proteccin mutua de

conexiones y servicios en redes RDSI-BA.

Ejemplo 11.6.1. En un sistema de comunicacin mvil celular se puede asegurar menor

156



probabilidad de bloqueo para el traspaso de llamadas que el observado por nuevas tentativas de

llamada mediante la reserva del ltimo canal desocupado (denominado canal de guarda) para

traspasar llamadas.

27.2 Proteccin del canal virtual

En un sistema de servicios integrados es necesario proteger mutuamente todos los servicios y

garantizar un determinado grado de servicio. Esto se puede obtener por a) una determinada

asignacin de anchura de banda mnima que asegura un determinado servicio mnimo, y b) una

atribucin mxima que permite aprovechar las ventajas de la multiplexin estadstica y asegura

que no predomina un solo servicio. Esta estrategia tiene la forma de producto bsica y las

probabilidades de estado son insensibles a la distribucin del tiempo de servicio. Adems, el GoS

est garantizado no slo sobre la base de un enlace, sino de extremo a extremo.

27.3 Principio de Moe

Teorema 11.1 Principio de Moe: la asignacin del recurso ptimo se obtiene por el equilibrio

simultneo de ingresos marginales y costos marginales sobre todo los sectores.

En esta seccin se presentan los principios bsicos publicados por Moe en 1924. Se considera un

sistema con algunos sectores que consumen recursos (equipos) para elementos de produccin

(trfico). El problema se puede dividir en dos partes:

a) Dado que se dispone de una cantidad limitada de recursos, cmo se deben distribuir

estos recursos entre los sectores?

b) Cuntos recursos se deben asignar en total?

Los principios se aplican en general para toda clase de producciones. En este caso los recursos

corresponden a cables y equipos de conmutacin y la produccin comprende trfico transportado.

Un sector puede ser un enlace a una central. El problema puede ser el dimensionamiento de

enlaces entre una determinada central y sus centrales vecinas en las cuales hay conexiones

directas. El problema es, entonces:

a) Cunto trfico se puede conducir en cada enlace cuando se transporta una cantidad de

trfico fija total?

b) Cunto trfico se debe transportar en total?

Se pueden efectuar deducciones similares para variables discretas correspondientes a un nmero

de canales (Principio de Moe, (Jensen, 1950 [50])).

27.4 Equilibrio de los costos marginales de equilibrado

Supngase tener conexiones directas de una determinada central a otras k centrales. El costo de

157



una conexin a una central i se supone que es una funcin lineal de nmero de canales:

El costo total de cables resulta entonces:

donde C0 es una constante.

El trfico transportado total es una funcin del nmero de canales:

Como siempre se opera con recursos limitados se tendr:

En un sistema de prdidas puro Dil corresponde a la funcin mejora, que siempre es positiva para

un nmero finito de canales en razn de la convexidad de la frmula B de Erlang.

Se desea minimizar C para un determinado trfico transportado total Y:

Por aplicacin del multiplicador de Lagrange , donde se introduce G = C.f, esto es

equivalente a:

Una condicin necesaria para la solucin mnima es:

o

Una condicin necesaria para la solucin ptima es que el incremento marginal del trfico

transportado cuando aumenta el nmero de canales (funcin mejora) dividido por el costo para un

canal debe ser idntico para todos los grupos de enlace (7.31).

Por medio de derivadas de segundo orden es posible determinar un conjunto de condiciones

necesarias para establecer condiciones suficientes que est dado en el Principio de Moe (Jensen,

158



1950 [50]). Las funciones de mejora que se tratan cumplen siempre estas condiciones.

Si tambin hay diferentes ingresos gi para cada grupo de enlace (direcciones), se debe incluir

entonces un factor de ponderacin adicional, y en los resultados de la ecuacin (11.12) se debe

reemplazar ci por ci/gi.

27.5 Trfico transportado ptimo

Supngase el caso en que el trfico transportado, que es una funcin del nmero de canales

(11.7), es Y. Si los ingresos se simbolizan con R(Y) y los costos con C(Y) (11.6), los beneficios

resultan entonces:

Una condicin necesaria para el beneficio ptimo es:

es decir el ingreso marginal debe ser igual al costo marginal. Empleando:

se obtiene la solucin ptima para:

que mediante la utilizacin de la ecuacin (11.12) resulta:

El factor dado por la ecuacin (11.12) es el cociente entre el costo de un canal y el trfico que

se puede transportar adicionalmente si el enlace se extiende por un canal. As, se agregarn

canales al enlace hasta que el ingreso marginal sea igual al costo marginal (7.33).

Ejemplo 11.7.1: Asignacin de la capacidad ptima. Se consideran dos enlaces (grupos de

enlace) donde el trfico ofrecido es 3 erlang y 15 erlang, respectivamente. Los canales para los

dos sistemas tienen el mismo costo y hay un total de 25 canales disponibles. Cmo se deben

distribuir los 25 canales entre los dos enlaces?

De la ecuacin (11.12) se observa que las funciones de mejora deben tener los mismos valores

159



para los dos sentidos. Por tanto, se prosigue utilizando una tabla:

A1 = 3 erlang

A2 = 15 erlang

n1

F1,n(A1)

n2

F1,n(A2)

3

0,4201

17

0,4048

4

0,2882

18

0,3371

5

0,1737

19

0,2715

6

0,0909

20

0,2108

7

0,0412

21

0,1573

Para n1 = 5 y n2 = 20 se utilizan los 25 canales. Esto produce una congestin del 11,0%, y 4,6%,

respectivamente, es decir alta congestin para el grupo de enlace ms pequeo.

Ejemplo 11.7.2: Optimizacin del tringulo. Esta es una optimizacin clsica de una red en

tringulo que utiliza encaminamiento de trfico alternativo (vase la figura 11.1). De A a B se tiene

una demanda de trfico igual a A erlang. El trfico es transportado parcialmente por la ruta directa

(ruta primaria) de A a B, y parcialmente por la ruta alternativa (ruta secundaria) A T B, donde

T es una central de trnsito. No hay otras posibilidades de encaminamiento. El costo de una

conexin directa es cd, y para una conexin secundaria ct.Qu cantidad de trfico se debe

transportar en cada una de las dos direcciones? La ruta A T B transporta ya trfico hacia y

desde otros destinos, y la utilizacin marginal para un canal en esta ruta se simboliza por a. Se

supone que es independiente del trfico adicional que est bloqueado de A B.

Conforme a la ecuacin (11.12), las condiciones mnimas resultan:

Donde n es aqu el nmero de canales en la ruta primaria. Esto significa que los costos deben ser

los mismos cuando se encamina una llamada "adicional" a travs de una ruta directa y a travs de

la ruta alternativa. Si una ruta fuera menos costosa que la otra se encaminara entonces ms

trfico en la direccin ms econmica.

Como los valores de trfico aplicados como base para el dimensionamiento se obtienen por

mediciones de trfico, presentan falta de fiabilidad debido a una muestra limitada, periodo de

medicin limitado, principio de medicin, etc. Como se muestra en el Captulo 15 la falta de

fiabilidad es aproximadamente proporcional al volumen de trfico medido. Con la medicin del

mismo periodo de tiempo en todos los enlaces, se obtiene el grado ms alto de incertidumbre

para pequeos enlaces (grupos de enlace), que estn parcialmente compensados por la

160



sensibilidad de sobrecarga mencionada anteriormente, que es la menor para pequeos grupos de

enlace. Como valor representativo se elige tpicamente el valor medio ms la desviacin estndar

multiplicada por una constante, por ejemplo 1.0.

Para asegurarse, se deber destacar an ms que se dimensiona la red para el trfico que ser

transportado 1-2 aos desde ahora. El valor utilizado para dimensionamiento es as afectado

adicionalmente por una incertidumbre de previsin. No se ha incluido el hecho de que parte del

equipo puede estar fuera de operacin debido a errores tcnicos.

El UIT-T recomienda que el trfico se mida durante todas las horas cargadas del ao, y que el

valor de n se seleccione de modo tal que utilizando el valor medio de las 30 observaciones (5

observaciones) ms grande, se obtienen las siguientes probabilidades de bloqueo:

Los criterios de servicio precedentes se pueden aplicar directamente a cada grupo de enlace. En

la prctica, se propone una probabilidad de bloqueo del abonado A al abonado B que sea la

misma para todo tipo de llamadas.

Con las centrales controladas por programa almacenado la tendencia es una supervisin continua

del trfico en todas las rutas costosas e internacionales.

En conclusin, se puede decir que el valor del trfico utilizado para dimensionamiento est

afectado por incertidumbre. En grandes grupos de enlace la aplicacin de un valor de trfico no

representativo puede producir serias consecuencias para el nivel de grado de servicio.

Durante los ltimos aos ha habido un inters creciente para el encaminamiento controlado del

trfico adaptable (gestin de la red de trfico), que puede ser introducido en sistemas digitales de

control por programa almacenado. Mediante esta tecnologa se puede seleccionar en principio la

estrategia ptima para el encaminamiento de trfico durante cualquier escenario de trfico.

Leccin 28: Mediciones de trfico Se realizan mediciones de trfico con el fin de obtener informacin cuantitativa sobre la carga de

un sistema y as poder dimensionarlo. Por mediciones de trfico se entiende cualquier tipo de

compilacin de datos sobre la carga de trfico de un sistema. El sistema examinado puede ser un

sistema fsico, por ejemplo una computadora, un sistema telefnico, o el laboratorio central de un

hospital. Tambin puede ser un sistema ficticio. La compilacin de datos de un modelo informtico

161



de simulacin corresponde a las medidas de trfico. La tarificacin de las llamadas telefnicas

corresponde tambin a las mediciones de trfico cuando la unidad de medicin utilizada es una

suma de dinero.

La extensin y el tipo de mediciones, as como los parmetros (caractersticas de trfico) medidos

en cada caso se han de elegir de conformidad con las demandas, y de tal manera que un mnimo

de esfuerzos tcnicos y administrativos procure un mximo de informacin y de beneficios. Segn

la naturaleza del trfico, una medicin efectuada durante un intervalo de tiempo limitado

corresponde a un registro de determinada realizacin del proceso de trfico. As pues, la medicin

es una muestra de una o ms variables estocsticas. Al repetir la medicin, se suele obtener un

valor diferente y, por lo general, slo se puede afirmar que el parmetro desconocido (el

parmetro de poblacin, por ejemplo el valor medio del trfico cursado), con una probabilidad

determinada, se encuentra dentro de un determinado intervalo, denominado intervalo de

confianza. La informacin es igual a la funcin de distribucin del parmetro. Por razones

prcticas es, en general, suficiente conocer el valor medio y la varianza, es decir, la distribucin

en s no reviste gran importancia.

Esta leccin se centrar en las bases estadsticas para estimar la fiabilidad de una medicin, y en

menor grado se examinarn los antecedentes tcnicos. Los siguientes anlisis suponen slo

conocimientos elementales de la teora de las probabilidades. Como se mencion anteriormente,

la teora tambin se aplica a los modelos estocsticos de simulacin informtica.

28.1 Principios y mtodos de medicin Las posibilidades tcnicas de medicin son decisivas para determinar qu se mide y cmo se

efectan las mediciones. El primer equipo de medicin por programa controlado fue elaborado en

la Universidad tcnica de Dinamarca, y se describe en (Andersen y Hansen e Iversen, 1971 [2].

Se puede, en principio, efectuar cualquier medicin de trfico conforme a un proceso de trfico,

cuyo estado es discreto y el tiempo es continuo, combinando dos operaciones fundamentales:

1. Nmero de eventos: esto puede ser, por ejemplo el nmero de errores, nmero de

tentativas de llamada, nmero de errores en un programa, cantidad de tareas que ejecutar

un centro de computacin, etc.

2. Intervalos de tiempo: por ejemplo, tiempos de conversacin, tiempo de ejecucin de tareas

en una computadora, tiempo de espera, etc.

Por medio de la combinacin de esas dos operaciones se puede obtener cualquier caracterstica

de un proceso de trfico. La caracterstica ms importante es el volumen de trfico (transportado),

es decir la adicin de todos los (intervalos de) tiempos de ocupacin en un determinado periodo

de medicin.

162



Desde un punto de vista funcional todos los mtodos de medicin de trfico se pueden dividir en

las dos clases siguientes:

1. Mtodos de medicin continuos.

2. Mtodos de medicin discretos. 28.2 Mediciones continuas En este caso el punto de medida activa al equipo de medicin en el instante del evento. Aun

cuando el mtodo de medicin sea continuo el resultado puede ser discreto.

Ejemplo 15.1.1: Equipo de medicin: tiempo continuo. Los equipos que funcionan conforme al

principio continuo pueden ser, por ejemplo, los siguientes:

a) Contadores electromecnicos cuyo conteo se aumenta en uno en el instante de un evento.

b) Trazadores xy de registros conectados a un punto que se activa durante una conexin.

c) Medidores de amperios/hora, que integran el consumo de potencia durante un periodo de

medicin. Cuando se aplica en antiguas centrales electromecnicas para mediciones del

volumen de trfico, cada lnea de enlace se conecta a travs de un resistor de 9,6 k, el

cual durante la ocupacin se conecta entre 48V y tierra y consume 5 mA.

d) Contadores del caudal de agua que miden el consumo de agua de un hogar.

28.3 Mediciones discretas

En este caso el punto de medicin es pasivo y el equipo de medicin debe probar (determinar) por

s mismo si se han producido cambios en los puntos de medicin (normalmente binarios, activado-

desactivados). Este procedimiento se denomina mtodo de exploracin, cuyo barrido se hace

generalmente en instantes regulares (constante = intervalos de tiempos determinsticos). Todos

los eventos que se han producido entre dos instantes de exploracin consecutivos estn referidos

en los que hace al tiempo al instante del ltimo barrido, y se consideran como producidos en este

instante.

Ejemplo 15.1.2: Equipo de medicin: tiempo discreto. Los equipos que funcionan conforme al

principio de tiempo discreto pueden ser, por ejemplo, los siguientes:

a) Tarificacin de llamada conforme al principio de Karlsson, donde los impulsos de tasacin

se emiten en tiempos regulares (la distancia depende del costo por unidad de tiempo) al

medidor del abonado que ha iniciado la llamada. Cada unidad registrada (intervalo)

corresponde a una determinada cantidad de dinero. Si se mide la duracin de una llamada

163



por su costo, se observa entonces una distribucin discreta (0, 1, 2, . . . unidades). El

mtodo lleva el nombre en honor al matemtico finlands S.A. Karlsson (Karlsson, 1937

[57]. En comparacin con la mayora de los otros mtodos, requiere un mnimo de

administracin.

b) El trfico transportado por un grupo de lneas de enlace de una central electromecnica se

mide en la prctica conforme al principio de exploracin. Durante una hora se observa 100

veces (cada 36 segundos) el nmero de lneas de enlace ocupadas y este nmero se

aade a un contador mecnico que indica as el trfico medio transportado con dos

decimales. Contando asimismo la cantidad de llamadas se puede estimar el tiempo medio

de ocupacin.

c) El principio de exploracin es particularmente apropiado para su aplicacin en sistemas

digitales. Por ejemplo, el equipo controlado por procesador elaborado en 1969 en la

Universidad Tcnica de Dinamarca tena la capacidad de probar 1024 puntos de medida

(por ejemplo, rels en una central electromecnica, lneas de enlace o canales) en un

tiempo de 5ms. Los estados de cada punto de medicin (desocupado/ocupado o

desactivado/activado) en los dos ltimos barridos se almacenan en la memoria de una

computadora y, por comparacin de las lecturas, se pueden detectar los cambios de

estado.

Un cambio de estado 0 1 corresponde al inicio de una ocupacin y 1 0 al trmino de

ocupacin (principio de ltima observacin). Las exploraciones estn controladas por un

reloj. Por tanto, se puede supervisar cada canal durante un tiempo y medir sus intervalos,

observndose as las distribuciones en el tiempo. Mientras que el equipo clsico

(medidores de erlangs) mencionado anteriormente observa el proceso de trfico en el

espacio de estado (vertical, representacin del nmero), el equipo de programa controlado

observa el proceso de trfico en el espacio de tiempo (horizontal, representacin del

intervalo), en tiempo discreto. La cantidad de informacin es casi independiente del

intervalo de exploracin pues slo se almacenan los cambios de estado (el tiempo de un

barrido se mide en un nmero entero de intervalos de exploracin).

Los mtodos de medicin han tenido influencia decisiva en la manera de pensar y en el modo de

formular y analizar los problemas estadsticos. El equipo clsico que funciona en el espacio de

estado ha indicado que los anlisis estadsticos se han basado en probabilidades de estado, es

decir bsicamente en procesos de renovacin. Desde el punto de vista matemtico estos modelos

han sido bastante complejos (mediciones verticales).

Los siguientes clculos son, en comparacin muy elementales y an ms generales, y se basan

en el funcionamiento en espacio temporal del equipo de programa controlado. (Iversen, 1976 [38])

(mediciones horizontales).

164



Leccin 29: Teora del muestreo

Supngase que se tiene una muestra de n observaciones independiente e idnticamente

distribuidas {X1, X2,. . . ,Xn} de una variable estocstica con el valor finito medio desconocido m1

y varianza finita ....2 (parmetros de poblacin).

El valor medio y la varianza de la muestra se definen como sigue:

Los parmetros y s2 son funciones de una variable estocstica y, por lo tanto, son tambin

variables estocsticas definidas por una distribucin denominada distribucin de muestreo. El

parmetro es un estimador central del valor medio de poblacin desconocido m1, es decir:

Asimismo, s2/n es un estimador central de la varianza desconocida del valor medio de la muestra , es decir:

Se describe la exactitud de la estimacin de un parmetro de muestreo por medio de un intervalo

de confianza, con al cual una determinada probabilidad especifica cmo la estimacin se ubica en

relacin con el valor terico desconocido. En este caso el intervalo de confianza del valor medio

resulta:

donde: tn-1,1/2 es el percentil (1/2) superior de la distribucin t con n1 grados de libertad. La

probabilidad de que el intervalo de confianza incluya el valor medio terico desconocido es igual a

(1 ) y se denomina nivel de confianza. En el cuadro 15.1 figuran algunos valores de la

distribucin t. Cuando n se hace grande, la distribucin t converge a la distribucin normal y se

puede utilizar el percentil de esta distribucin. La hiptesis de independencia se satisface para

mediciones tomadas en diferentes das pero no, por ejemplo, para mediciones sucesivas por el

mtodo de exploracin en un intervalo de tiempo limitado, pues la cantidad de canales ocupados

en un instante dado estar correlacionada con el nmero de circuitos ocupados en la exploracin

previa y en la siguiente. En las secciones prximas se calcular el valor medio y la varianza de las

mediciones de trfico durante, por ejemplo, una hora. Este valor agregado para un determinado

da puede ser utilizado entonces como simple observacin en las frmulas precedentes, donde la

165



cantidad de observaciones ser tpicamente el nmero de das que se mide.

Figura 15.1 Observacin de un proceso de trfico por un mtodo de medicin continua y por el mtodo de exploracin con intervalos de barrido regulares. El mtodo de exploracin es suficiente para observar los cambios de estado.

Cuadro 15.1 Percentiles de la distribucin t con n grados de libertad. Un valor especfico de corresponde a una masa de probabilidad /2 en ambos extremos de la

distribucin t. Cuando n es grande, se pueden utilizar los percentiles de la distribucin normal

n = 10% = 5% = 1%

1 6,314 12,706 63,657

2 2,920 4,303 9,925

5 2,015 2,571 4,032

10 1,812 2,228 3,169

20 1,725 2,086 2,845

40 1,684 2,021 2,704

1,645 1,960 2,576

166



Ejemplo 15.2.1: Intervalo de confianza para congestin de llamadas. En un grupo troncal de 30 lneas de enlace (canales) se observa el resultado de 500 tentativas de llamada. Esta medicin se repite 11 veces y se obtienen los siguientes valores de congestin de llamadas (en porcentaje):

9,2; 3,6; 3,6; 2,0; 7,4; 2,2; 5,2; 5,4; 3,4; 2,0; 1,4

La suma total de las observaciones es 45,4 y el total de los cuadrados de las observaciones es

247,88. Aplicando la ecuacin (15.1) X = 4,1273 % y con la ecuacin (15.2) s2 = 6,0502 (%) 22. Al

nivel de 95% el intervalo de confianza resulta, utilizando los valores t del cuadro 15.1: (2,475,78).

Cabe sealar que las observaciones se obtienen simulando un trfico PCTI de 25 erlang, que se

ofrece a 30 canales. Conforme a la frmula B de Erlang la probabilidad terica de bloqueo es de

5,2603 %. Este valor se encuentra dentro del intervalo de confianza. Si se desea reducir el

intervalo de confianza en un factor de 10, se debern efectuar 100 observaciones veces ms

(vase la frmula 15.5), es decir 50 000 por mediciones (subejecucin). Se lleva a cabo esta

simulacin y se observa una congestin de llamadas igual a 5,245 % y un intervalo de confianza

(5,093 - 5,398). Esta simulacin requiere unos 10 segundos en un puesto de trabajo.

29.1 Mediciones continuas en un periodo ilimitado Las mediciones de intervalos de tiempo a travs de mtodos de medida continuos sin

interrupciones son fciles de efectuar mediante la teora de muestreo. Para la medicin del

volumen de trfico o de la intensidad de trfico se pueden aplicar las frmulas (3.46) y (3.48) para

una suma estocstica. Esto es en trminos generales, siendo la nica restriccin la independencia

estocstica entre X y N. En la prctica, esto significa que los sistemas no deben tener congestin.

En general se tendrn bajos porcentajes de congestin y aun en el caso ms desfavorable puede

suponer independencia. Sin duda, el caso ms importante es un proceso de llegada de Poisson

con intensidad . Se tendr entonces una suma estocstica. Para el proceso de llegada de

Poisson, cuando se considera un intervalo de tiempo T, se tendr:

y, por tanto, resulta:

donde m2,t es el segundo momento (no central) de la distribucin de tiempo de ocupacin, y t es el factor de forma de Palm de la misma distribucin:

167



Figura 15.2 Casos de mediciones de trafico.

Cuando se analizan las mediciones de trfico se pueden distinguir dos casos:

a) Mediciones en un periodo de tiempo ilimitado. Toda llamada iniciada durante el periodo de

medicin contribuye con su duracin total.

b) Mediciones en un periodo de tiempo limitado. Cada llamada contribuye con su tiempo de

ocupacin que puede estar establecido dentro del periodo de medicin. Los segmentos que

identifican los tiempos de ocupacin que contribuyen con las mediciones se indican en la

figura en lnea llena

La distribucin de ST ser en este caso una distribucin de Poisson compuesta (Feller, 1950 [29]).

La frmula corresponde a un volumen de trfico (por ejemplo, erlang-horas). Para muchas

aplicaciones, tales como dimensionamiento, es importante determinar la cantidad media de

canales ocupados, es decir intensidad (rgimen) de trfico = trfico por unidad de tiempo (m1,t =

1, = A), cuando se establece el tiempo medio de ocupacin como unidad de tiempo:

168



Estas ecuaciones son vlidas para distribuciones arbitrarias del tiempo de ocupacin. Las

ecuaciones (15.8) y (15.9) fueron deducidas originalmente por C. Palm (1941 [80]). En (Rabe,

1949 [88]) se publicaron las frmulas para los casos especiales t= 1 (tiempo de ocupacin

constante) y t = 2 (tiempo de ocupacin distribuidos exponencialmente). Las ecuaciones anteriores se utilizan para todas las llamadas que llegan dentro de intervalo T

cuando se mide la duracin total de todos los tiempos de ocupacin sin importar el tiempo de

permanencia (vase la figura 15.2a).

Ejemplo 15.3.1: Exactitud de una medicin. Se hace notar que siempre se obtiene el valor

medio correcto de la intensidad de trfico (15.8). La varianza, sin embargo, es proporcional al

factor de forma t. Para algunos casos comunes de distribuciones del tiempo de ocupacin se obtiene la siguiente varianza de la intensidad de trfico medida.

Constante:

Distribucin exponencial:

Observada (figura 4.3):

Observando el trfico telefnico, se encuentra a menudo que t es considerablemente ms grande

que el valor 2 (distribucin exponencial), que se presume que es vlido en muchos modelos

clsicos de teletrfico. Por tanto, la exactitud de una medicin es menor que la que figura en

muchos cuadros. Sin embargo, esto se compensa por la hiptesis que los sistemas son no

bloqueantes. En un sistema con bloqueo la varianza resulta menor debido a la correlacin

negativa entre los tiempos de ocupacin y el nmero de llamadas.

Ejemplo 15.3.2: Exactitud relativa de una medicin. La exactitud relativa de una medicin

viene dada por la siguiente relacin:

Coeficiente de variacin

De la misma se observa que si t = 4, se deber medir dos veces en un periodo para obtener la

169



misma fiabilidad de una medicin como para el caso de tiempos de ocupacin con distribucin

exponencial.

Para un determinado intervalo de tiempo se observa que la exactitud de la intensidad de trfico

cuando se mide un pequeo grupo de enlace es mucho mayor que cuando se mide un grupo de

enlace grande, en razn que la exactitud slo depende de la intensidad de trfico A. Cuando se

dimensiona un pequeo grupo de enlace, un error en la estimacin del trfico del 10% tiene

mucho menos influencia que el mismo porcentaje de error en un grupo de enlace grande.

Por tanto, se medir el mismo intervalo de tiempo en todos los grupos de enlace. En la figura 15.5

la exactitud relativa para una medicin continua se indica con la recta h = 0.

29.2 Mtodos de exploracin en un periodo ilimitado

En esta seccin slo se considerarn intervalos de exploracin regulares (constantes). El mtodo

de exploracin se aplica, por ejemplo, a mediciones de trfico, tarificacin de llamadas,

simulaciones numricas, y control de procesador. Por el mtodo de exploracin se observa una

distribucin de tiempo discreta para el tiempo de ocupacin que, en tiempo real, es generalmente

continuo.

En la prctica, se determina por lo general una distancia constante h entre los instantes de

exploracin, y se encontrar la siguiente relacin entre el intervalo observado y el tiempo real

(vase la figura 15.3):

Se observa que hay una superposicin entre los intervalos continuos, de modo tal que la

distribucin discreta no se puede obtener por la simple integracin de un intervalo continuo sobre

un intervalo fijo de longitud h. Si los tiempos reales de ocupacin tienen una funcin de

distribucin F(t), se observar la distribucin discreta siguiente (Iversen, 1976 [38]):

170



Figura 15.3 Con el mtodo de exploracin un intervalo continuo se transforma en un

intervalo discreto. La transformacin no es nica.

Interpretacin: Se supone que el tiempo de llegada de la llamada es independiente del proceso de

exploracin. Por tanto, la funcin de densidad del intervalo desde el instante de llegada de la

llamada al tiempo de la primera exploracin est distribuido uniformemente y es igual a (1/h). La

probabilidad de observar instantes de barrido cero durante el tiempo de ocupacin de la llamada

se representa por p(0) y es igual a la probabilidad que la llamada termine antes del tiempo del

barrido siguiente. Para un valor fijo del tiempo de ocupacin t esta probabilidad es igual a F(t)/h, y

para obtener la probabilidad total se integran todos los valores t posibles (0 t < h) y se aplica la

ecuacin (15.10). De manera similar se extrae p(k) con la ecuacin (15.11).

Por integracin parcial se puede determinar que para cualquier funcin de distribucin F(t) se

observar siempre el valor medio correcto:

Cuando se utiliza la tarificacin de Karlsson se llegar tasar siempre el monto correcto. Para

intervalos de ocupacin con distribucin exponencial, F(t) = 1e-t

, se observar una distribucin

discreta denominada distribucin de Westerberg (Iversen, 1976 [38]):

171



s

Esta distribucin puede tener el valor medio y el factor de forma siguientes:

El factor de forma es igual a uno ms el cuadrado de la exactitud relativa de la medicin. Para

una medicin continua el factor de forma es 2. La contribucin 2 es debida a la influencia del principio de medicin.

El factor de forma es una medida de la exactitud de las mediciones. La figura 15.4 ilustra cmo

depende el factor de forma del tiempo de ocupacin con distribucin exponencial observado en la

duracin del intervalo de exploracin (15.16). Con mediciones continuas se obtiene una muestra

ordinaria y por el mtodo de exploracin se obtiene una muestra de una muestra, de modo tal que

hay incertidumbre en razn del mtodo de medicin as como del tamao limitado de la muestra.

La figura 5.2 muestra un ejemplo de la distribucin de Westerberg. Es en particular la clase cero

que se aparta de lo que se podra esperar de una distribucin exponencial continua. Si en la

expresin para (15.9) se inserta el factor de forma, se obtiene entonces, fijando el tiempo

medio de ocupacin como unidad de tiempo m1,t = 1/ = 1, las siguientes estimaciones de la intensidad de trfico cuando se emplea el mtodo de exploracin: 27

Con el mtodo de medicin continuo la varianza es 2A/T. Esto tambin se obtiene dejando h 0.

En La figura 15.5 se muestra la exactitud relativa del volumen de trfico medido para una

medicin continua (15.8) y (15.9), as como para el mtodo de exploracin (15.17). La ecuacin

(15.17) fue formulada por (Palm, 1941 [80]), pero recin result conocida cuando fue divulgada

por W.S. Hayward Jr. (1952 [35]).

Ejemplo 15.4.1: Principios de tarificacin. Para la tarificacin de llamadas se aplican varios

principios. Adems, el rgimen de tasacin vara, por lo general, durante las 24 horas para

influenciar los hbitos del abonado. Entre los principios se puede mencionar:

172



i

a) Tasa fija por llamada. Este principio se aplica a menudo en sistemas manuales para

llamadas locales (tarifa nica)

b) Tarificacin de Karlsson. Esto corresponde al principio de medicin que se trata en esta

seccin debido que el tiempo de ocupacin se fija al azar conforme a los impulsos de

tasacin regulares. Este principio ha sido aplicado en Dinamarca en centrales de tipo de

barras cruzadas.

c) Tarificacin de Karlsson modificada. Se puede, por ejemplo, aadir un impulso adicional al

comienzo de la llamada. En sistemas digitales en Dinamarca se aplica una tasa fija por

llamada adems de una tasa proporcional a la duracin de la llamada.

d) El comienzo del tiempo de ocupacin se sincroniza con el proceso de exploracin. Esto se

aplica, por ejemplo, para llamadas atendidas por operador y en telfonos de alcanca.

Leccin 30: Ejemplo de mediciones de trficos.

Para una medicin especfica se calcula m1,j y . La desviacin de la intensidad de trfico

observada con relacin al valor terico correcto tiene una distribucin aproximadamente normal.

Por tanto, el valor terico medio desconocido estar dentro del 95% de los intervalos de confianza

calculados:

La varianza es entonces decisiva para la exactitud de una medicin. Para estudiar qu

factores i son de mayor importancia se efectuarn clculos numricos de algunos ejemplos.

Todas las frmulas se pueden calcular fcilmente con un calculador de bolsillo.

Ambos ejemplos suponen trfico PCTI, (es decir, proceso de llegada de Poisson y tiempos de

ocupacin con distribucin exponencial), intensidad de trfico = 10 erlang, y tiempo medio de

ocupacin = 180 segundos, que se fija como unidad de tiempo.

173



Ejemplo a: Corresponde a una medicin de trfico clsica:

Periodo de medicin = 3600 s = 20 unidades de tiempo = T.

Intervalo de exploracin = 36 s = 0,2 unidades de tiempo = h = 1/s. (100 observaciones)

Ejemplo b: En este caso slo se explora una vez por tiempo de ocupacin medio.

Periodo de medicin = 720 s = 4 unidades de tiempo = T.

Intervalo de exploracin = 180 s = 1 unidad de tiempo = h = 1/s. (4 observaciones)

Del cuadro 15.5 se pueden extraer algunas conclusiones generales:

Por el mtodo de exploracin se obtiene muy poca informacin comparada con una

medicin continua ya que el intervalo de exploracin es menor que el tiempo medio de

ocupacin (vase la figura 15.4). La medicin continua se puede considerar como una

referencia ptima para cualquier mtodo discreto.

Figura 15.4 Factor de forma para tiempos de ocupacin con distribucin exponencial.

Observados por intervalos de exploracin con distribucin Erlang-k en un periodo de

medicin ilimitado. El caso k = corresponde a intervalos de exploracin regulares

(constantes) que transforman la distribucin exponencial en distribucin de Westerberg. El

caso k = 1 corresponde a intervalos de exploracin con distribucin exponencial(vase el

mtodo de simulacin de la ruleta). El caso h = 0 corresponde a una medicin continua. Se

174



observa que con intervalos de exploracin regulares casi no hay informacin si el intervalo

de exploracin es menor que el tiempo medio de ocupacin (fijado como unidad de tiempo).

Figura 15.5 Con una escala logartmica doble se obtiene una relacin lineal entre la exactitud relativa de la intensidad de trfico A y el volumen de trfico medido A . T cuando

se efecta en un periodo ilimitado. El intervalo de exploracin h = 0 corresponde a una medicin continua y h > 0 corresponde

al mtodo de exploracin. La influencia de un mtodo de medicin limitado se representa

en lnea punteada para el caso A = 1 erlang y una medicin continua teniendo en cuenta el

intervalo de medicin limitado. El intervalo T se mide en tiempos medios de ocupacin

El conocimiento que se obtiene en relacin con un periodo de medicin limitado produce

ms informacin para una medicin breve (T 10. (En el proceso de trfico hay correlacin; la primera parte

de un periodo de medicin produce ms informacin que las partes siguientes.)

Utilizando el mtodo de la ruleta se obtiene mayor informacin que con el mtodo de

exploracin (Iversen 1976, [38], 1977 [39]).

Todos los factores mencionados anteriormente tienen mucho menos influencia que el hecho que

los tiempos de ocupacin reales se desvan a menudo del esquema de distribucin exponencial.

En la prctica, se observa con frecuencia un factor de forma cercano a 46. La conclusin que se

pueda hacer de los ejemplos anteriores es que para aplicaciones prcticas es ms pertinente

175



aplicar la frmula elemental (15.8) con un factor de forma correcto que tomara en cuenta el

mtodo y el periodo de medicin.

Cuadro 15.2 Comparacin numrica de diversos principios de medicin en diferentes intervalos de tiempo

La teora anterior es exacta cuando se consideran tarificacin de llamadas y medicin de

intervalos de tiempo. Para simulaciones estocsticas de computadora el proceso de trfico es

generalmente estacionario y la teora se puede aplicar para estimacin de la fiabilidad de los

resultados. Sin embargo, los resultados son aproximados ya que las hiptesis tericas acerca de

sistemas libres y congestin pocas veces son de inters.

En mediciones reales en sistemas de trabajo se tienen variaciones de trfico durante el da,

errores tcnicos, errores de medicin, etc. Algunos de estos factores se compensan mutuamente

y los resultados que se han calculado dan una buena estimacin de la fiabilidad, y constituyen una

buena base para comparar medidas y principios de medicin.

176



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Capitulo 6. Dimensionamiento de Las Redes de Telecomunicaciones

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