1-2008 1

DistribuciónBinomial

EstadísticaCapítulo 5.2

1-2008 2

Distribución Binomial

Es una función de distribución de probabilidad con muchas aplicaciones en la

vida diaria. Las variables que se estudian son categóricas.

Su evento primario se identifica como un Éxito.

Posee cuatro propiedades esenciales:

1-2008 3

Distribución Binomial

1. Cada observación se puede clasificar en dos categorías: éxito y fracaso.

2. Si la probabilidad de éxito es p, la probabilidad de fracaso es 1-p (q)

3. El resultado es independiente del resultado de cualquier otro evento

4. La muestra siempre tiene un tamaño fijo

1-2008 4

• p Probabilidad de éxito

• 1-p Probabilidad de fracaso

Probabilidades ya dadas

No confundir “p” minúscula con “P” mayúscula. La minúscula es la probabilidad que ya se conoce y la mayúscula es la que se quiere calcular.

1-2008 5

Cuando los clientes hacen un pedido en la empresa Mayorca, el sistema revisa si los

datos están completos. Los pedidos incompletos se marcan y se les incluye en un reporte de excepciones. Según estudios

anteriores, se ha determinado que la probabilidad de que un pedido se marque

es de 0.10

1-2008 6

Si la probabilidad de que un pedido esté marcado es de 0.10

P(sí marcado) = 0.10

P(no marcado) = 1–0.10 = 0.90

Es la probabilidad de éxito

Es la probabilidad de fracaso

1-2008 7

Distribución Binomial

p = probabilidad de éxito1-p = probabilidad de fracaso n = tamaño de la muestra x = Número de eventos a evaluar

xnx ppXnX

nXxP

)1(

)!(!

!)(

1-2008 8

En ECK los pedidos incompletos se marcan y se incluyen en el reporte de excepciones.

Estudios anteriores han demostrado que la probabilidad de que un pedido venga marcado

es de 0.10.

De una muestra de 4 pedidos, calcular la probabilidad que 3 de ellos vengan marcados.

1-2008 9

Probabilidad de Éxito : p = 0.10

Tamaño de la muestra : n = 4

Probabilidad a calcular : P(x=3)

1-2008 10

0036.0)3(

)09.0(6

24)3(

)90.0)(001.0()1(*1*2*3

1*2*3*4)3(

)10.01()10.0()!1(!3

!4)3(

)10.01()10.0()!34(!3

!4)3(

13

343

xP

xP

xP

xP

xP

La probabilidad de que 3 pedidos vengan marcados es de 0.36%

1-2008 11

Los registro de garantía de una empresa distribuidora de vehículos muestran que la probabilidad de que un automóvil nuevo necesite una reparación amparada por la garantía durante los primeros 90 días es de 0.05. Se selecciona una muestra de 3 carros nuevos.

¿Cuál es la probabilidad de que ninguno necesite reparación amparada en la garantía?

1-2008 12

Probabilidad de Éxito : p = 0.05

Tamaño de la muestra : n = 3

Probabilidad a calcular : P(x=0)

1-2008 13

857375.0)857375.0)(1()0(

)857375.0(*6

6)0(

)857375.0)(1(*)123(*)1(

123)0(

)95.0()05.0(*)!03)(!0(

!3)0( 30

XP

XP

xx

xxXP

XP

La probabilidad de que ningún vehículo necesite reparación es del 85.74%

1-2008 14

Desigualdades en la Distribución Binomial

• La desigualdad involucra la aplicación de la fórmula más de una vez en una sola solicitud.

• El espacio muestral con el que se trabajará está bien definido.

• El valor mínimo del espacio muestral es 0 (ninguno)

1-2008 15

Desigualdades en la Distribución Binomial

• La probabilidad de que un evento sea menor que 2, se esquematiza así:

• Si el espacio muestral está determinado por 5

elementos, la probabilidad de que un evento

sea mayor que 2, será:

)0()1()2()3( XPXPXPXP

)5()4()3()2( XPXPXXP

1-2008 16

ECK tiene la probabilidad de que se marque un pedido en 0.10. Calcular la probabilidad de que en cuatro envíos de pedidos, por lo menos 3 salgan marcados

En este caso, la probabilidad que se pide es para varios eventos, recordar que las variables son discretas y si piden por lo menos 3, significa que pueden salir 3 o más. Tomando como base este ejemplo, podemos asumir que la probabilidad será para el caso en que vengan 3 marcados o 4 que es el tamaño de la muestra.

1-2008 17

)4()3()3( XPXPXP

444

343

)1()!44(!4

!4)4(

)1()!34(!3

!4)3(

ppXP

ppXP

Se calcula la probabilidad para 3 y para 4.

1-2008 18

0036.0)3(

)0009.0(*)4()3(

)0009.0(1123

1234)3)

)9.0(*)0001.0()!34!*(3

!4)3( 1

XP

XPxxx

xxxXP

XP

1-2008 19

0001.0)4(

)0001.0(*1)4(

)9.0()1.0(!0!4

!4)4(

)1.01()1.0()!44(!4

!4)4(

04

04

xp

xP

xP

xP

1-2008 20

0037)3(

0001.00036.0)3(

)4()3()3(

XP

XP

XPXPXP

La probabilidad de que se marquen 3 o más pedidos es de 00.37%

1-2008 21

Distribución binomialMedia Aritmética

La media μ de la distribución binomial es igual al tamaño de la muestra multiplicada

por la probabilidad de éxito.

npXE )(

1-2008 22

Distribución binomialVarianza

La varianza de la distribución binomial es la siguiente:

)1()((2 pnpXVAR

1-2008 23

Distribución binomialDesviación Estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, de la siguiente

manera:

)1(2 pnp

1-2008 24

Los registros de garantía de una empresa distribuidora de vehículos muestran que la probabilidad de que un automóvil nuevo necesite una reparación amparada por la garantía durante los primeros 90 días es de 0.05. Se selecciona una muestra de 3 carros nuevos.

¿Calcular lo siguiente:Media AritméticaVarianzaDesviación Estándar

1-2008 25

Media Aritmética4.0)1.0)(4()( npXE

Varianza

)9.0)(1.0)(4()1()((2 pnpXVAR36.02

1-2008 26

Desviación Estándar

6.036.02

1-2008 27

Fin del capítulo 5.2

Continúa el capítulo 5.3