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Capıtulo 5

Funciones exponencial y logarıtmica

5.1. Introduccion

Dos de la funciones mas importantes que se presentan en el estudio de las aplicaciones de lamatematica son la funcion exponencial y = ax, y su inversa, la funcion logarıtmica y = loga x.

La relevancia de estas funciones radica en el hecho que muchas y variadas situaciones dela realidad, pueden ser modeladas por ellas: sonoridad de un sonido, crecimiento de pobla-ciones, evolucion de la temperatura de un cuerpo, desintegracion de elementos radioactivos,magnitud de sismos, medicion del aprendizaje, acumulacion de intereses bancarios, etc.

5.1.1. Funcion exponencial

Una funcion exponencial con base a, tiene la forma f(x) = ax, con a > 0, a 6= 1

122

Capıtulo 5: Funciones exponencial y logarıtmica Resumen de contenidos

f(x) = ax, a > 1 f(x) = ax, 0 < a < 1

El dominio de una funcion exponencial es R, su recorrido es R+.

La funcion exponencial es biyectiva.

La grafica de toda funcion exponencial intersecta al eje Y en (0, 1) debido a que a0 = 1,para todo a 6= 0. Con el eje X no hay interseccion.

La funcion exponencial es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1.

Una base que se utiliza con frecuencia en las funciones exponenciales es el numeroirracional e, donde e ≈ 2, 71828.

5.1.2. Funcion logarıtmica

Una funcion logarıtmica con base a, tiene la forma f(x) = loga x, con a > 0, a 6= 1

f(x) = loga x, a > 1 f(x) = loga x, 0 < a < 1

El dominio de la funcion logarıtmica es R+, el recorrido es R.

La funcion logarıtmica es biyectiva.

Instituto de Matematica y Fısica 123 Universidad de Talca


La grafica de cualquier funcion logarıtmica intersecta al eje X en (1, 0) debido a queloga 1 = 0. Con el eje Y no hay interseccion.

La funcion logarıtmica es creciente cuando a > 1 y decreciente cuando 0 < a < 1.

La funcion logarıtmica es la funcion inversa de la exponencial, y viceversa:

loga x = b ⇐⇒ ab = x

A los logaritmos con base e se les llama logaritmos naturales y se denotan por ln, a losde base 10 se les denomina logaritmos comunes y se les simboliza por log. Es decir,

loge x = ln x log10 x = log x

Luego,

y = log x ⇐⇒ x = 10y

y = ln x ⇐⇒ x = ey

Algunas propiedades de los logaritmos

1. loga(bc) = loga b + loga c

2. loga(bc) = loga b− loga c

3. loga b c = c loga b

4. loga 1 = 0

5. loga ab = b

6. Si loga b = loga c, entonces b = c

7. aloga b = b, en particular 10log x = x y eln x = x

8. Cambio de base: loga b = log c blog c a



5.1.3. Algunos modelos de crecimiento

1. Modelo de crecimiento/decrecimiento exponencial (geometrico)

Principio: Una poblacion de tamano P crece a una tasa que es proporcional al tamanode dicha poblacion.

Luego, si P = P (t) representa el numero de individuos de una determinada poblacionen el tiempo t, entonces la funcion que modela esta situacion es:

P = P0ekt

donde P = P0 en t = 0.

Cuando k > 0, P crece y cuando k < 0, P decrece.

Crecimiento exponencial (k > 0) Decrecimiento exponencial(k < 0)

Grafico de y = 2e0,03x (b)Grafico de y = 6e−0,03x

2. Modelo de crecimiento logıstico

Principio: Una poblacion de tamano P crece a una tasa que es proporcional al productodel tamano de dicha poblacion con la diferencia entre el tamano maximo posible de lapoblacion y el tamano de dicha poblacion.

Luego, si P = P (t) representa el numero de individuos de una determinada poblacionen el tiempo t, entonces la funcion que modela esta situacion es:

P =MP0

P0 + (M − P0)e−kMt

donde P = P0 en t = 0. M representa el maximo numero de individuos que la poblacionpuede alcanzar.

Es claro que la funcion de crecimiento tambien se puede escribir como:

P =M

1 + Ae−kMtdonde A =

M − P0

P0



Crecimiento logıstico

Grafico de y =20 · 100

20 + 80e−0,01·100·t

3. Ley de enfriamiento/calentamiento de Newton

Este modelo permite conocer como evoluciona la temperatura de un objeto.

Principio: La razon de cambio de la temperatura T = T (t) de un cuerpo con respectoal tiempo t es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y latemperatura tm del medio ambiente.

Luego, si T = T (t) representa la temperatura de un cuerpo en el instante t, entoncesla funcion que modela esta situacion es:

T = T (t) = tm + (t0 − tm)e−kt

donde t0 es la temperatura inicial del cuerpo (es decir, cuando t = 0), tm es la tempe-ratura del medio ambiente y k es una constante positiva que depende de la situacionen estudio.

Ley de Newton (enfriamiento) Ley de Newton (calentamiento)

Grafico de y = 25 + 15e−0,22t (b)Grafico de y = 25− 15e−0,22t


Capıtulo 5: Funciones exponencial y logarıtmica Ejemplos

5.2. Ejemplos

1. Escribir en notacion logarıtmica:

a) 35 = 243 b) 0, 24 = 0, 0016 c) 10–5 = 0, 00001d) 22 = 4 e) 0, 13 = 0, 001 f) e2 = e2

Solucion:

a) log3 243 = 5 b) log0,2 0, 0016 = 4 c) log 0, 00001 = −5d) log2 4 = 2 e) log0,1 0, 001 = 3 f) ln e2 = 2

2. El grafico de la funcion y = f(x) = 2x viene dado por:

En base a la relacion entre el grafico de una funcion y sus funciones relacionadas,encontrar los graficos de:

a) y = g1(x) = f(x + 2) b) y = g2(x) = f(x) + 2 c) y = g3(x) = f(x− 2)d) y = g4(x) = f(x)− 2 e) y = g5(x) = f(−x) f) y = g6(x) = |f(x)− 2|

Solucion:

g1(x) = 2x+2 g2(x) = 2x + 2



g3(x) = 2x−2 g4(x) = 2x − 2

g5(x) = 2−x g6(x) = |2x − 2|

3. Resolver la siguiente ecuacion logarıtmica

log8 (x− 6) + log8 (x + 6) = 2

Solucion:

Como el dominio de la funcion logarıtmica es R+, se tiene que las soluciones de estaecuacion, de tenerlas, deben cumplir x− 6 > 0 y x + 6 > 0, es decir, x > 6.

log8 (x− 6) + log8 (x + 6) = 2

log8(x− 6)(x + 6) = 2

log8(x2 − 36) = 2

x2 − 36 = 82

x2 = 100

x = ±10

Como x debe ser mayor que 6, la unica solucion de la ecuacion propuesta es x = 10.



4. Dada la siguiente ecuacion:

1

4− log x+

A

3 + log x= 1

a) Determinar el valor de A de modo que x = 10 sea solucion de esta ecuacion.

b) Para A = 1, resolver esta ecuacion.

Solucion:

a) Si x = 10 es una solucion de la ecuacion:

1

4− log 10+

A

3 + log 10= 1

Como log 10 = 1, se tiene:1

3+

A

4= 1

de donde se obtiene que A =8

3.

b) Si A = 1 entonces ecuacion es:

1

4− log x+

1

3 + log x= 1

Multiplicando por (4− log x)(3 + log x), se obtiene:

(3 + log x) + (4− log x) = (3 + log x) · (4− log x)

o sea:

7 = (3 + log x) · (4− log x)

Multiplicando y ordenando:

(log x)2 − log x− 5 = 0

Haciendo log x = u se tiene: u2 − u− 5 = 0

Resolviendo esta ecuacion cuadratica se obtiene que u =1±

√21

2.

De log x =1 +

√21

2, se obtiene x = 10

1+√

212 ≈ 618,4261

De log x =1−

√21

2, se obtiene x = 10

1−√

212 ≈ 0,01617



5. Sean:

f(x) =ex − e−x

2g(x) =

ex + e−x

2

Calcular y simplificar:

a) f(x)2 − g(x)2

b)

(f(x)

g(x)

)2

+

(1

g(x)

)2

Solucion:

a) . f(x)2 − g(x)2 =

(ex + e−x

2

)2

−(

ex − e−x

2

)2

=e2x + 2exe−x + e−2x

4− e2x − 2exe−x + e−2x

4

=e2x + 2exe−x + e−2x − (e2x − 2exe−x + e−2x)

4

=e2x + 2 + e−2x − e2x + 2− e−2x

4=

4

4= 1

b) .(

A

B

)2

+

(1

B

)2

=

(ex−e−x

2ex+e−x

2

)2

+

(1

ex+e−x

2

)2

=

(ex − e−x

2· 2

ex + e−x

)2

+

(1 · 2

ex + e−x

)2

=

(ex − e−x

ex + e−x

)2

+

(2

ex + e−x

)2

=e2x − 2exe−x + e−2x

e2x + 2exe−x + e−2x+

4

e2x + 2exe−x + e−2x

=e2x − 2 + e−2x

e2x + 2 + e−2x+

4

e2x + 2 + e−2x

=e2x − 2 + e−2x + 4

e2x + 2 + e−2x

=e2x + 2 + e−2x

e2x + 2 + e−2x

= 1

6. Sea f(x) = log(x2 − x) una funcion real.

a) Determinar el Dominio de f .



b) Sea g la funcion real definida por: g(x) =1 +

√1 + 4 · 10x

2. Determinar (f ◦g)(x),

expresando el resultado en la forma mas simple.

Solucion:

a) Dom(f) = {x ∈ R / x2 − x > 0} =]−∞, 0[∪ ]1, +∞[.

b)

(f ◦ g)(x) = f

(1 +

√1 + 4 · 10x

2

)

= log

((1 +

√1 + 4 · 10x

2

)2

−(

1 +√

1 + 4 · 10x

2

))

= log

(1 + 2

√1 + 4 · 10x + 1 + 4 · 10x

4− 1 +

√1 + 4 · 10x

2

)

= log2 + 2

√1 + 4 · 10x + 4 · 10x − 2− 2

√1 + 4 · 10x

4

= log 10x = x

7. En la relacion i = 1,5e−200t, se pide:

a) Encontrar el valor de i cuando t = −0,001.

b) Encontrar el valor de t cuando i = 1.

Solucion:

a) t = −0,001 ⇒ i = 1,5e(−200)·(−0,001) ⇒ i ≈ 1,8

b) i = 1 ⇒ 1 = 1,5e−200t ⇒ t ≈ 0,002

8. Segun una propiedad de logaritmos, log x2 = 2 log x. Graficar las funciones y1 = log x2

e y2 = 2 log x. Comentar.

Solucion: Los graficos de las funciones son:



y1 = log x2 y2 = 2 log x

Los graficos no coinciden pues el Dom(y1) = R \ { 0 }, mientras que Dom(y2) = R+.

9. Es posible medir la concentracion de alcohol en la sangre de una persona. Investiga-ciones medicas recientes sugieren que el riesgo R (dado como porcentaje) de tener unaccidente automovilıstico puede ser modelado mediante la ecuacion:

R = 6ekx (1)

donde x es la concentracion de alcohol en la sangre y k una constante.

a) Al suponer una concentracion de 0.04 de alcohol en la sangre produce un riesgodel 10% (R = 10) de sufrir un accidente, ¿cual es el valor de la constante k?.

b) Utilizar el valor encontrado de k e indicar cual es el riesgo para diferentes con-centraciones de alcohol (0.17, 0.19, ...).

c) Con el mismo valor de k indicar la concentracion de alcohol correspondiente a unriesgo del 100%.

d) Si la ley establece que las personas con un riesgo del 20% o mayor de sufrir unaccidente no deben conducir vehıculos, ¿con cual concentracion de alcohol en lasangre debe un conductor ser arrestado y multado?.

Solucion:

a) Una concentracion de 0.04 y un riesgo del 10%, indica que x = 0,04 y R = 10. Alsustituir estos valores en la ecuacion (1) se obtiene:

10 = 6 · e0,04k

k = 25 ln(5/3)

k ≈ 12,77

Con el valor de k encontrado, la ecuacion (1) se puede escribir en la forma:

R = 6e12,77x (2)



b) Al sustituir x = 0,17 en la ecuacion (2), se obtiene: R = 6e12,77 · 0,17 = 56,2

c) Al sustituir R = 100 en la ecuacion (2) y despejando x se obtiene:

100 = 6e12,77 ·x

x =1

12,77ln

100

6x ≈ 0,22

Lo que indica que para una concentracion de alcohol de 0,22, el riesgo de sufrirun accidente es del 100%.

d) Con R = 20 en la ecuacion (2), se determina la concentracion x de alcohol en lasangre:

20 = 6e12,77 ·x

x =1

12,77ln

20

6x ≈ 0,094

Este resultado indica que un conductor que presente una concentracion de alcoholmayor o igual a 0,094 debe ser arrestado y multado.

10. Supongase que una poblacion experimental de moscas de la fruta aumenta de acuerdocon la ley de crecimiento exponencial. Si al inicio hay 100 moscas y 4 dıas despues hay600 moscas:

a) Determinar la funcion que modela la situacion planteada.

b) ¿Cuantas moscas habran en el decimo dıa?

c) ¿Despues de cuantos dıas habran 20000 moscas?

Solucion:

a) La funcion que modela esta situacion tiene la forma P = P (t) = P0ekt, don-

de P representa el tamano de la poblacion de moscas y t la cantidad de dıastranscurridos.

Como P (0) = 100: 100 = P0ek·0 = P0 ⇒ P0 = 100. Luego, P = 100ekt

Como P (4) = 600: 600 = 100ek·4 ⇒ k ≈ 0,45

Por lo tanto, la funcion que modela la situacion es P = P (t) = 100e0,45t

b) Para el dıa decimo: P = 100e0,45·10 ≈ 9002. Luego, en el dıa decimo hay, aproxi-madamente, 9002 moscas.

c) 20000 = 100e0,45t ⇒ t ≈ 12. Luego, despues de 12 dıas hay, aproximadamen-te, 20000 moscas.



11. La poblacion proyectada P de una ciudad esta dada por P = 104e0,05t en donde t es elnumero de anos despues de 1985. Pronosticar la poblacion para el ano 2005.

Solucion: De 1985 a 2005 van 20 anos, luego t = 20. Entonces

P = 10000e(0,05)(20) ≈ 27183

Luego, la poblacion para el ano 2005, sera de 27183 habitantes, aproximadamente.

12. El numero de bacterias, y, en un cultivo en un tiempo t (en dıas) esta dado por lafuncion y = 50e2t

a) ¿Cual es el numero de bacterias en el instante inicial (t = 0)?

b) ¿En que momento el numero de bacterias sera el doble del inicial?

Solucion:

a) Cuando t = 0, se tiene y = 50e(2)(0) = 50e0 = 50. Luego, en t = 0 hay 50 bacterias.

b) La colonia tendra 100 (que corresponde al doble del original) bacterias cuando tsatisfaga la relacion: 100 = 50e2t.

De donde, e2t = 2, aplicando logaritmo natural se tiene: 2t = ln 2, luego t ≈ 0, 346

Por lo tanto, en aproximadamente 0, 346 dıas = 8, 32 horas la colonia se duplica.

13. La Ley de enfriamiento de Newton afirma que la tasa de cambio de la temperatura de unobjeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente quelo rodea. Suponer que una habitacion se mantiene a una temperatura constante de 70◦

y que un objeto se enfrıa de 350◦ a 150◦ en 45 minutos. ¿Que tiempo se necesitara paraenfriar dicho objeto hasta una temperatura de 80◦?

Solucion:

Sean t la variable que representa el tiempo (medido en minutos) y T la variable querepresenta la temperatura (en ◦C) del objeto en el instante t.

Luego, de la Ley de enfriamiento de Newton y como la temperatura del medio ambientees de 70◦ y la temperatura inicial del objeto es de 350◦:

T = 70 + (350− 70)e−kt, es decir T = 70 + 280e−kt

Como en t = 45, T = 150◦, se tiene que : 150 = 70 + 280e−k·45.

De donde k =ln(2/7)

45≈ 0,028. Por lo tanto: T = 70 + 280e−0,028t

Ahora bien, para encontrar el tiempo t en el cual el cuerpo llega a la temperatura de80◦, reemplazamos T por 80 en la relacion precedente y despejamos t. Al hacerlo, seobtiene que t ≈ 119 minutos.

Por lo tanto, aproximadamente despues de 119 minutos, la temperatura del cuerpo esde 80◦.


Capıtulo 5: Funciones exponencial y logarıtmica Ejercicios

5.3. Ejercicios

1. Completar el siguiente cuadro:

Forma logarıtmica Forma exponencial

log10 1000 = 3

6412 = 8

log2116

= −450 = 1

log2 x = 423x = 16

ln e2 = 2a log2 (2x + 3) = b + c

2. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) log(x3 − 1)− log(x2 + x + 1) = 1

b) 2 log25 y − log25(25− 4y) = 0,5

3. Resolver las siguientes ecuaciones:

a) log2 x = 4 b) log x(x− 1) = −1 c) logx 49 = 2

d) 23x+5 = 8 e) x6 = 126x3 f) 2 log2 34x = 348

g) 75x2+3x−92 = 1 h) x2 ln x = 35 i) ln(x2 − x) = 2

j) logx (6− x) = 2 k) log8 64 = x− 1 l) 25x+2 = 63x−2

m) log√

x− 1 + log√

x+4x+1

= 0 n) 2x−1 + 2x−2 = 12 o) log4 x = −12

4. Aplicando propiedades de logaritmos, desarrollar las siguientes expresiones:

(a) log(a · b · c) (b) log

(a · bc

)(c) log

( a

b · c

)

(d) ln

(a2 · 3

√b

c3

)(e) ln

(4√

a ·√

b

c−3

)(f) ln

(ab2 · (a + b)2

(a− b)3

)Instituto de Matematica y Fısica 135 Universidad de Talca


5. Escribir las siguientes expresiones usando un solo logaritmo:

(a) log a + log b (b) ln 2 + ln a− ln c

(c)2

3

(log a− 5

(log b +

2

7log c

)− 3

2log d

)(d)

2

5log a + 4(log b− 7 log c)

(e)1

3

(log 3 + 2 log a− 1

4log b +

1

2log c

)(f) 2 ln a− 4 ln b

6. En la ecuacion

E = F − 0,05910

nlog Q,

hallar el valor de Q sabiendo que F = 1,1, E = 1,13 y n = 2.

7. a) Calcular x en la expresion : ln(xe10)13 = e

b) Utilizando definiciones y propiedades de las funciones exponencial y logarımica,resolver el sistema:

log√

xy

= π

10x−y = 0,1

8. En un estudio de ayuno, el peso de un voluntario bajo de 90 Kg a 60 Kg en 60 dıas. Siel peso se elimina siguiendo el modelo de decaimiento exponencial:

N = N(t) = N0e−kt

donde, t esta medido en dıas, N0 peso inicial del voluntario, medido en kilos, N peso delvoluntario, despues de t dıas iniciado el experimento y k es la constante de eliminacion.

a) Encontrar la funcion que modela el problema.

b) Graficar la funcion obtenida.

c) ¿Cual era el peso del voluntario un mes despues de haber iniciado el tratamiento?.

d) Por cuanto tiempo es conveniente realizar el estudio de ayuno, sin perjudicar lasalud del voluntario, si lo mınimo que puede llegar a pesar es 50 kg.

9. Para determinar el pH en soluciones de tampones1 se utiliza la ecuacion de Henderson-Hasselbach.

pH = pka + log[sal]

[acido]

1Los tampones son soluciones formadas por acidos o bases debiles, y su sal. Para mayor informacionconsultar con un profesor de Quımica.



donde pka = − log[ka] y ka es la constante de ionizacion del acido.

De acuerdo con ella, calcular el pH de un tampon formado por 0, 03 moles de acidopropionico y 0, 02 moles de propinato de sodio, sabiendo que la constante de ionizaciondel acido es 1, 34 · 10−5.

10. El estroncio 90 se utiliza en los reactores nucleares y se desintegra segun la formula dedecaimiento exponencial:

A = P e−0,0248t

donde P es la cantidad presente cuando t = 0 y A es la cantidad restante despues de tanos. Calcular la vida media del estroncio 90 (la vida media es el tiempo que toma lacantidad original en disminuir a su mitad).

11. Una ley de curacion de las heridas es A = Be−n10 , siendo A (en cm2) el area danada

despues de n dıas, y B (en cm2) el area original danada. Hallar el numero de dıasnecesarios para reducir a su tercera parte el area danada.

12. Un objeto se calienta a 100◦C y luego se deja enfriar en un cuarto cuya temperaturaes de 30◦C. La temperatura del objeto es 80◦C luego de 5 minutos. Usando el modelode enfriamiento de Newton, ¿cuando la temperatura sera 50◦C?

13. Se ha encontrado que el oıdo humano responde al sonido en una escala que es, aproxi-madamente, proporcional al logaritmo (en base 10) de la intensidad del sonido. Ası, laaltura del sonido, medida en decibeles (dB), viene definida por la siguiente relacion:

b = 10 log

(I

I0

)donde I es la intensidad (altura) del sonido e I0 es la mınima intensidad detectable(umbral auditivo2).

a) ¿Que altura tiene el sonido, si su intensidad es el triple que la mınima detectable?

b) ¿Cuantas veces la mınima intensidad detectable, es la intensidad de un avion achorro que tiene una altura del sonido de 110dB?

c) Una calle congestionada tiene una altura del sonido de 70dB, y una remachadoratiene una de 100dB. ¿Cuantas veces mayor es la intensidad del sonido Ir de laremachadora que el sonido de la calle congestionada, Ic?

14. En quımica, el valor pH de una solucion es una medida de su acidez3 (alcalinidad). Elvalor pH se define por la relacion pH = − log(H+), donde H+ es la concentracion de

2El umbral auditivo equivale a 10−12Watts/m2. Observar que el umbral auditivo corresponde a 0dB.3Oscila entre los valores de 0 (mas acido) y 14 (mas basico), 7 es neutro.



ion hidrogeno. Si el valor pH es menor que 7, la solucion es acida. Si el valor pH esmayor que 7, la solucion es basica.

a) Si el pH de cierto vino es de 3.4065, hallar la concentracion de ion hidrogeno

b) ¿Que valores de H+ hacen que una solucion sea acida?

5.4. Respuestas a los ejercicios

a) .

Forma logarıtmica Forma exponencial

log10 1000 = 3 103 = 1000

log64 = 12

6412 = 8

log2116

= −4 2−4 = 116

log5 1 = 0 50 = 1log2 x = 4 24 = x

log2 16 = 3x 23x = 16ln e2 = 2 e2 = e2

2b+c = (2x + 3)a a log2 (2x + 3) = b + c

2) a) x = 11 b) y = 5

3) . a) 16 c) 7 e) 0 y 3√

126 i) ≈ 3,26 y ≈ −2,26g) −23/5 y 4 g) 3 m) 5 o) 1/2

4) a) log a + log b + log c

c) log a− log b− log c

e)1

4log a +

1

2log b + 3 log c

5) a) log(ab) c) log

(a

b5c10/7d3/2

)2/3

e) log

(3a2c1/2

b1/4

)1/3

6) Q ≈ 0,096

7) a) x = e3e−10 ≈ 0,158

b) x =100π

1− 100π, y =

1

1− 100π

8) a) N = N(t) = 90e−0,006758t



b) Grafico:

c) Despues de un mes de tratamiento el peso del voluntario era de 73,5 kilos,aproximadamente.

d) El tratamiento se debe realizar a lo mas por 3 meses aproximadamente, parano causar dano a la salud del voluntario.

9) Aproximadamente, el pH es 4, 70.

10) 27,9 anos.

11) Aproximadamente, 11 dıas.

12) Aproximadamente, 18min 36seg.

13) a) 4,77 b) 1011 c) 1000

14) a) 0,0004 b) Para valores mayores que 10−7


Cap´ıtulo 5 Funciones exponencial y...

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