Capítulo 4. - Estructuras articuladas.

ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Prof. Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras

Cuando necesitemos salvar luces importantes (> 10 ó 15 m), onecesitamos vigas de gran canto, puede resultar más económicoutilizar estructuras articuladas en celosía que vigas de alma llena

Luz

Diagonal

Montantes

Cordón superior

Cordón inferiorRótulas

Terminología estructural de las estructuras articuladas

Sistema físiconudo

apoyo

barra o elemento

Sistema estructural

IDEALIZACIÓN

ANALÍSIS DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

Luces cortas (<20 m)Plantas en las que se requiere espacio vertical

Luces moderadas (20-30 m)Su diseño puede modificarse para conseguir techos planos

Howe Pratt

Luces grandes (>30 m)

Fan Fink

Aplicable cuando se desean cubiertas planas

Warren

Cuando la localización de pilares no es problemaCuando se precisa iluminación natural

En diente de sierra

techo techo

ventana ventana

Garajes y hangares aeronáuticos

Alturas altas y luces grandes

Arco tri-articulado

Hipótesis de diseño• Las barras se unen unas a otras mediante uniones flexibles

– Los ejes de las barras son concurrentes en un punto– En la realidad, esta unión proporciona alguna rigidez (tensiones

secundarias)

Formadas por triángulos

ESTRUCTURAS ARTICULADAS CANÓNICAS

ESTRUCTURAS ARTICULADAS COMPUESTAS

Cerchas simples

Cerchassimples

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS O ESTRICTAMENTE COMPLETASSon aquéllas en las que pueden determinarse los esfuerzos axiles en todas las barras utilizando,exclusivamente, las ecuaciones de la estática. Si denominamos b al número de barras de laEstructura, n al número de nudos de la misma y c al número de coacciones externas, podemosestablecer:

Número de incógnitas por barra: 4

Número de incógnitas: 4b + Coacciones externas: c = 4b+c

Número de ecuaciones que podemos plantear:

Equilibrio de una barra: 3 (ΣH=0, ΣV=0 y ΣM=0)

Equilibrio de un nudo: 2 (ΣH=0 y ΣV=0)

3b+2n

El problema esestáticamentedeterminadocuando:4b+c=3b+2n

b=2n-c

GDH=b+c-2nSí GDH < 0 (Mecanismo)Sí GDH = 0 (Isostática ?)Sí GDH >0 (Hiperestática)

La condición anterior de isostaticidad es una condición necesaria, pero no suficiente:

b=9, n=6, c=3 ¡Se cumple la condición! b=9, n=6, c=3 ¡Se cumple también la condiciónpero no existe equilibrio, antelas posibles cargas, por tratarsede un mecanismo!

Pero, desde luego

Estabilidad externa de la estructura

Estructura inestable

Estructura inestable

Métodos de análisis

• Método de los nudos• Método de las

secciones• Métodos gráficos

(Cremona)

Estructura articulada en equilibrio => Todos y cada uno de sus nudos están en equilibrio

500 N

2 m

2 m

A

B

CFAB (tracción)

500 N

F (compresión)

B

Procedimiento

• Plantee las ecuaciones de equilibrio en cada nudo

• Tenga en cuenta las posibles simetrías

• Identifique las barras que no sufren ningún esfuerzo– (i) cuando sólo dos barras de diferentes direcciones coincidan en

un nudo, y éste no está exteriormente cargado, ninguna de las dos barras sufre esfuerzo axil

– (ii) Si tres barras coinciden en un nudo, y éste no está cargado, y dos de las barras tienen la misma dirección, la barra no colinealcon las dos anteriores no sufre esfuerzo axil

Dos barras coincidentes en un nudo no cargado (nudo C):

∑∑

==

==

0

0

CDy

CBx

FF

FF

Nota: lo mismo se podría aplicar al nudo A. Por tanto, en la estructurade la figura, sólo las barras BE, ED y DB sufrirán esfuerzos axiles

A

B C

DE

CFCB

FCD

Tres barras coincidentes en un nudo no cargado (nudo D) siendo dos de ellascolineales:

∑∑

==

⇒=

0

0

DFy

DEDCx

FF

contrariasyigualesFyFF

D

E

C

Fxy

DFDC

FDEFDF




(Cremona)

Estructura articulada en equilibrio => Todas sus partes están en equilibrio

100 N50 N50 N

C xy +

50 N

FM1

FM2

FM3

C

EJEMPLO:

E

Ecuaciones de equilibrio

Si tomamos momentos respecto de C podríamos determinar el valor de FM3.Si, posteriormente, tomamos momentos respecto de E, determinaríamos FM1, …..

∑∑∑

=

=

=

0

0

0

M

F

F

y

x

100 N50 N50 N

N,F;,cos,F;F

,F;a,Fa;M

,F;cosF;F

MMx

MMC

MMy

7570928607570

92808660500

757030500

11

3321

22

==++−=

==+−=

==−=

∑∑∑

N

N

C xy +

50 N

FM1

FM2

FM3

C

EJEMPLO:




(Cremona)

CÁLCULO DE DESPLAZAMIENTOS

Para calcular desplazamientos en nudos de una estructura articulada, aplicaremosel teorema de Castigliano. Para ello, consideraremos como Sistema 0 el sistemaestructural real, con sus cargas, del que partimos, y como Sistema I el mismo sistemaestructural pero, ahora, sólo sometido a una carga unidad en el nudo y dirección enque deseamos obtener el desplazamiento.Sin embargo, puede haber casos en los que, además de cargas mecánicas, algunasbarras experimenten un cambio de temperatura o que, alguna de ellas, presente unerror de fabricación (que haya quedado más corta o más larga que la longitudrequerida).En estas condiciones, la energía elástica del sistema estructural se expresa como:

∑∑∑∆

∆∂+∂+Ω⋅⋅

=

Tconbarras

Tii

errorconbarras

eii

i

ii

barras

NNE

LNU2

21

ei∂T

i∆∂

= error de ejecución de la barra i

= cambio de longitud de la barra i debido a la variación de temperatura

iiT

i TL ∆=∂∆ α

∑∑∑ ∆∂+∂+Ω

=∂∂

= Ti

Ii

ei

Ii

barras i

iIii

jj NN

ELNN

PUd 0

Al igual que hicimos para el caso de cargas mecánicas actuando sobre la estructura,el desplazamiento de un nudo en una determinada dirección lo calcularemos comoya hacíamos sólo que, ahora, hay que añadir los sumandos:

∑ ∂ei

IiN

∑ ∆∂ Ti

IiN

( )dVol

dfdVolf

V yzyzxzxzxyxyzzyyxx

V V

∫∫∫

∫∫∫ ∫∫

+++++=

=Ω⋅+⋅Ω Ω

δδδδδδ γτγτγτεσεσεσ

δδrrrr

0=Ω⋅+⋅∫∫∫ ∫∫Ω Ω dfdVolfV V δδ

rrrr

( )

( ) ( )DBDB

DBCBCB

CB

V yzyzxzxzxyxyzzyyxx

LAL

LAL

dVol

⋅+⋅=

=+++++∫∫∫βδσαδσ

γτγτγτεσεσεσ δδδδδδ

coscos

( ) ( ) 0=⋅+⋅ DBDB

DBCBCB

CB LAL

LAL

βδσαδσ coscos

T.T.V.

Trabajo virtual fuerzas exteriores:

Trabajo virtual tensionesinternas:

En el sistema articulado de la figura formado por tres barras deidéntico material y siendo las áreas de sus respectivas secciones transversales: A, para las barras BC y CD, y 2A para la barra BD, determinar, cuando, sobre él actúa la carga P:a.- Las fuerzas axiles a las que se encuentran sometidas cada una de las barrasb.- La energía elástica que almacena el sistemac.- El desplazamiento vertical del nudo C y el horizontal del nudo D.

2A

A A

P

l l

l/2

B

C

D

ASPECTOS GEOMÉTRICOS DE LA ESTRUCTURA ARTICULADA

l,cos

lCDBC

,l/larctan

1181

565262

===

==

α

α

2A

A A

P

l l

l/2

B

C

D

α α

NUDO B NUDO C

FBC=FCD por simetría

RESOLUCIÓN DE LA EXTRUCTURA POR EQUILIBRIO DE NUDOS:

PcosP,FFP,F

PsenF

BD

BCCD

CD

==

==

=

α

α

11811181

2

FBC=1,118P

FBD

RB

P

FBC FCDα α

B D’

C

δ

RESOLUCIÓN DE LA EXTRUCTURA POR EL P.T.V.:

Desplazamientos virtuales:B y C no se desplazanD lo hace hacia su izquierdauna magnitud δ

2A

A A

P

l l

l/2

B

C

D

α α

B D’

C

δD

δ cosα

ll BDCD 2δεαδε δδ =

′=

cos

( ) ( )

( ) δαδδαδ

δσαδσεσεσδ δδ

⋅+⋅=⋅+′⋅′

=

=⋅+′⋅′

=⋅⋅+′⋅=

BDCDBDCD

BDCDBDBDCDCD

FFlAlA

FlAlA

F

lAl

lAl

lAlAW

coscos

cosint

2222

222

22

Trabajo fuerzas actuantes: δWext=0

Trabajo fuerzas internas:

00

=+⋅⇒

⇒∀⋅+⋅=⇒=

BDCD

BDCDext

FFFFWW

αδδαδδδ

coscosint

AEPld

AElPPd 79638981

21 2 ,,

=⇒=

WU =

NUDO C:

NUDO D:

( ) ( )EA

lPEA

lPE

AP

lu BD⋅

=⋅

==⋅=2

222εw

( )( ) ( )∑ =+

⋅=++==

AElP,

AEl,P,

EAlPUUU

EALFU CDBCBDi

ii2222 8981

2118111812

222

2

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:

AEPl

AEPl

PUd 796328981 ,,

=⋅

=∂∂

=

Q

Determinar, aplicando el teorema de reciprocidad y para la estructura articulada del problema anterior el desplazamiento vertical del punto C cuando actúa la carga Q que se observa en la figura:

2A

A A

l l

l/2

B

C

D

SISTEMA I

SISTEMA II

Q2A

A A

l l

l/2

B

C

D

2A

A A

P

l l

l/2

B

C

D

( ) ( )←⋅=↓⋅ IID

IC uQdP

EAlPu II

D⋅

=w

( ) ( )EA

lQuPQd II

DIC

⋅=←⋅=↓

12

3

4

5

6

8

71

2 3

45

67

89

10 11 12 13

3 m 3 m 3 m 3 m

4,5 m

En la estructura articulada de la figura, las barras 1-2 y 2-4 sufren un descenso de temperatura de 15 ºC y las barras 1-3, 3-5, 5-7 y 7-8 un aumento de 30 ºC. Determinar el desplazamiento vertical que experimenta el nudo 4.

NOTA: El material de las barras es acero (E=210 GPa), y todas ellas tienen laMisma sección transversa (5 cm2) y mismo coeficiente de dilatación lineal(α=10-5 (ºC)-1)

PROBLEMA PROPUESTO 1

Solución: dv=4,35 mm hacia abajo

Determinar los desplazamientos horizontal y vertical del nudo E de la estructuraarticulada de la figura.Tómese EA=100 MN

A

E

D CB

20 m

45º30º

60º 60º

45º30º

Solución:dh=8,15 mmdv=8,67 mm

10 kN

PROBLEMA PROPUESTO 2

Hasta ahora, las cargas se han supuesto actuando en los nudos.¿Qué hacer cuando una barra se encuentre directamente cargada?

A

E

D CB45º

30º

60º 60º

45º30º

q kN/m

A

E

D CB45º30º

60º 60º

45º 30º

q kN/m

A

E

D C

B45º30º

60º 60º

45º 30ºA

E

D CB45º30º

60º 60º

45º 30º

q kN/m +

=

RE

RB

=

E

q kN/mRE

RB

¿Qué hacer cuando una barra se encuentra sometida a un incremento térmico?

A

E

D CB45º

30º

60º 60º

45º30º

∆T

(Por ejemplo, la barra DC sufre un incremento térmico ∆T)

A

E

D CB45º30º

60º 60º

45º 30º

A

E

D C

B45º30º

60º 60º

45º 30ºA

E

D C B45º30º

60º 60º

45º 30º

+

=

=

∆T

D C

∆T

∆T αLDC∆TαLDC∆T

αLDC∆T αLDC∆T

¿Qué hacer cuando una barra sufrió un error de ejecución?

A

E

D CB45º

30º

60º 60º

45º30º

δ

(Por ejemplo, la barra DE es δ metros más corta)

A

E

D CB45º30º

60º 60º

45º 30º

A

E

D C

B45º30º

60º 60º

45º 30ºA

E

D C B45º30º

60º 60º

45º 30º

+

=

=

δ

δ

E

D

δ

F=EADEδ/LDE

F=EADEδ/LDE

F

F

ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

2 m

2 m

5 kN1 2

34

GDLE=3CE=3

GHE=0 (estructura externamente isostática)

GDLI=3n-3=3.6-3=15CI=2(nnudo -1)=2(3-1).4=16

GHI=1 (estructura internamente hiperestática)

5 kN1 2

34

N13

N13

N13

N13

1

3

Sistema 0(isostático)

Sistema 2

Desplazamiento relativo entre los nudos 1 y 3 del sistema 0== Desplazamiento entre esos mismos nudos del sistema 2

(los desplazamientos mencionados deben entenderse medidos en la dirección 1-3)

5 kN1 2

34

N13

N13


RESOLUCIÓN DEL SISTEMA 0

Barra Axil1-2 -N13/2-3 5-N13/3-4 5-N13/4-1 -N13/2-4 -5 +N13

2

2

2

22

1 2

34

1

1


RESOLUCIÓN DEL SISTEMA 1 (Auxiliar para aplicar Castigliano)

Barra Axil1-2 -1/2-3 -1/3-4 -1/4-1 -1/2-4 1

22

2

2

Barra Axil1-2 -N13/2-3 5-N13/3-4 5-N13/4-1 -N13/2-4 -5 +N13

2

2

2

22

Barra Axil1-2 -1/2-3 -1/3-4 -1/4-1 -1/2-4 1

22

2

2

Estado 0 Estado 1

])(-))(([EA1nto)(acercamie 2225122

2522

2211

13131300

13 ⋅+⋅+⋅⋅−+⋅⋅−−==∆ ∑ NNNLNNEA barras

iIii

)]()([NEA1nto)(acercamie 13 22102240

13 +−+=∆

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA 2

N13

N13

1

3

Sistema 2

EANto)(alejamien 13 222

13 =∆

to)(alejamiennto)(acercamie 213

013 ∆−=∆

EAN-)]()([N

EA1 13

13222210224 =+−+

N13=3,53 kN

Capítulo 4. - Estructuras articuladas.

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