1

Capítulo 3 ÁREA FUNCIONAL DE INVERSIÓN Y FINANCIACIÓN En este capítulo analizamos el área funcional de inversión y financiación en la empresa a partir de las principales técnicas económicas y de gestión. 1. Concepto de inversión, instrumentos financieros básicos y criterios de selección de inversiones VAN y TIR Podemos definir una inversión como “aquel acto por el que se renuncia a una liquidez presente, contra la esperanza de obtener una renta futura”, distinguiendo el sujeto que es quién realiza la inversión (empresa o individuo) y el objeto que es en qué se realiza la inversión (toda clase de activos, desde activos materiales a financieros). Teniendo en cuenta que realizamos un enfoque temporal del proceso de inversión, a continuación presentamos el esquema de una inversión estándar; es decir, aquella que se presenta con un flujo de caja inicial negativo seguido de varios flujos de caja positivos. -A0 A1 A2 A3 . . . An-1 An

0 1 2 3 n - 1 n Donde, Ai es el flujo de caja al final de los momentos 0, 1, 2,... n – 1 y n (en principio asociamos un momento a un año natural). También, nos podrán aparecer otros tipos de inversión, pero siempre con un solo cambio de signo entre los distintos flujos de caja. En principio señalamos que existen algunos criterios aproximados de selección de inversiones como el Pay-Back o plazo de recuperación PB, el flujo de caja total por unidad monetaria invertida (FCTUI) y el flujo de caja total medio por unidad monetaria invertida (FCTMUI), cada uno de los cuales presenta algunas limitaciones. Por ejemplo, sea una inversión con un flujo de caja inicial negativo de 1000 y un flujo de caja positivo de 500 anuales durante cuatro años. Los anteriores criterios arrojan los siguientes resultados:

%251004/11000

2000100/1

%10010011000

200010012

500

1000

0

0

0

nA

AFCTMUI

A

AFCTUI

A

APB

i

i

i

Según el PB, la inversión se recupera en 2 años, según el FCTUI la inversión renta el 100% en cuatro años y según el FCTMUI la inversión renta el 25% anual durante cuatro años. Como se observa el PB prescinde de los flujos de caja obtenidos después del plazo de recuperación y el FCTUI calcula el rendimiento de la inversión para todo el periodo. De todas formas, la principal limitación de estos tres criterios es que no tienen en cuenta el interés del mercado; es decir, no tienen en cuenta el valor del dinero del tiempo, con lo que el valor de los flujos de caja es el mismo en los distintos años.

2

Concepto de interés e instrumentos financieros básicos El interés es el precio pagado por los recursos financieros que se ofrecen y demandan en el mercado de capitales. Es asimismo aquella cantidad o factor de conversión que nos permite comparar unidades monetarias de diferentes periodos de tiempo. En otras palabras si, en el mercado de capitales, oferentes y demandantes cruzan operaciones al 10% anual, es indiferente cobrar 100 ahora ó 110 el próximo año. Ahora bien, como que el mercado de capitales no es perfecto (ya que en numerosas ocasiones aparecen operaciones con un interés distinto al del mercado), no siempre nos es indiferente entre cobrar una cantidad actual y otra futura. Por ejemplo, si en el mercado de capitales se ofrece y presta dinero al 10% anual, es evidente que es mejor cobrar ahora 100 que 105 el próximo año, pues 100 impuestos en el mercado al 10% anual nos permiten obtener 110 el próximo año. Igualmente, si descontamos en el mercado de capitales 105 del próximo año, obtenemos ahora 94,5 (que es menos que 100) después de restar 10,5 en concepto de intereses. Del mismo modo, podemos afirmar que si el tipo de interés es del 10% anual, es mejor cobrar 120 el próximo año que 100 ahora. Para poder comparar 105 del próximo año con 100 de ahora, calculamos a éstos su valor final o valor futuro (VF) al próximo año. En el caso de que el tipo de interés sea del 10% ese valor es de 110 y es el resultado de sumar a 100 los intereses de 10 que han sido calculados según 100 × 0,1 × 1 (capital inicial × tasa de interés × número de años). Si esta operación de acumulación de intereses finaliza aquí, diremos que el convenio de capitalización lo ha sido al interés simple. Esta operación se aplica generalmente en el corto plazo, como por ejemplo en el descuento de efectos comerciales. La expresión de cálculo del VF al interés simple se recoge a continuación:

CknknCCknCCVFINT

knCVFCknCINTCVF

111

111011,0100100

Donde, INT = intereses, C = importe inicial o capital inicial k = tasa de interés nominal anual, n = número de años. Qué ocurre si los intereses ganados en el primer año son acumulados al importe inicial para obtener nuevos intereses durante el año siguiente. Haremos 110 × 0,1 × 1 con lo que obtenemos unos intereses de 11 que añadidos a 110 proporcionan 121. Esa operación puede repetirse tantas veces como se quiera durante un periodo determinado de tiempo. En este caso diremos que el convenio de capitalización es a interés compuesto, y se obtendrá un valor final (VF) mayor que en el caso a interés simple, aunque ahora los intereses no están disponibles hasta una vez transcurrido el tiempo pactado de la operación. La expresión de cálculo del VF al interés compuesto durante 3 años se recoge a continuación:

1,13311,0121121

12111101,0110

11011001,0100

3

2

1

VF

VF

VF

Es decir:

3

111

1111

1111322

3

221

nnn

nn

kCCkCCVFINT

kCVFkCkCkkCVF

kCkCkkCVFkCCkCINTCVF

Supongamos ahora que los intereses de la operación anterior se añaden al final de cada semestre. Al finalizar el primer semestre obtenemos un VF de 100 + 100 × 0,05 × 1 = 105 y al final del segundo semestre 105 + 105 × 0,05 × 1 = 110,25. Repitiendo la operación para un número de años n, queda la expresión siguiente (donde m = número de veces que acumulamos o capitalizamos los intereses al año):

mn

mn m

kCVF

1

En el caso anterior hemos capitalizado los intereses semestralmente y hemos obtenido un VF determinado, si ahora capitalizamos mensualmente, el VF obtenido es superior. Es decir, a medida que acortamos el periodo de capitalización, los intereses ganados son más elevados. Esto lo comprobamos a continuación para un periodo de 3 años.

8,13412

1,01100134

2

1,01100

36

36

6

6

VFVF

Para finalizar vamos a ver qué ocurre cuando m tiende a infinito, es decir, cuando el periodo de capitalización se hace infinitamente pequeño:

98,134718,2100

11

111

31,03

nk

nk

k

mnk

k

m

mn

n

CeVFm

k

mC

k

mC

m

kCVF

Obtenemos un VF de 134,98. Este convenio de capitalización, en el que la acumulación de interés es máxima, es denominado como convenio de capitalización continua o instantánea. Analicemos las operaciones anteriores. Si capitalizamos anualmente, el VF al final del año es de 110; mientras que si lo hacemos semestralmente dicho valor pasa a ser de 110,25. En este segundo caso el interés efectivamente ganado es del 10,25%. Dicho interés, que aparece cuando capitalizamos m veces por año, se denomina TAE (tasa anual equivalente o efectiva). El resultado de 10,25% proviene de realizar la siguiente operación (10,25/100) × 100. El cálculo de la TAE es independiente del importe inicial y del número de años de la operación, sólo depende de m tal como podemos ver a continuación.

4

111111

knnk

mn

mn

eTAETAECCem

kTAETAEC

m

kC

Si en el caso anterior capitalizamos trimestralmente o continuamente durante 3 años, obtenemos:

%51,1011100100

%38,1014

1,011100

4

1,01100

1,031,03

43

34

eTAETAEe

TAETAE

Para finalizar este apartado hacemos mención de la operación de descuento. Ahora la empresa es propietaria de un capital VF pasado cierto tiempo y mediante la operación de descuento obtiene el importe correspondiente en el día de hoy. Lógicamente dicho importe será menor que el valor VF, y será tanto menor, como mayor sea la tasa de interés aplicada y el tiempo transcurrido desde el vencimiento. Este importe inicial, que no es más que C del caso anterior, será denominado como valor actual o VA. Esta operación puede realizarse a corto plazo, utilizándose el interés simple, o a largo plazo, en el que se utilizará el interés compuesto. Por ejemplo, se descuenta una letra comercial con un valor nominal VF de 1000 al interés simple del 10% anual durante 90 días. El importe inicial o VA de esta operación es:

9752510004

11,010001000 INTVFVA

La entidad financiera que nos ha practicado el descuento, ha cobrado 25 en concepto de intereses. Si la operación anterior es descontada por un periodo de 3 años al 10% anual compuesto capitalizado -a) anualmente, b) semestralmente, c) continuamente-, obtenemos los siguientes VA:

8,740718,2

1000)2,746

2

1,01

1000)

3,7511,01

1000)

11

1,03366

33

VAce

VFVAVAeVFVAb

VAak

VFVAkVAVF

nknk

n

n

Los intereses cobrados por la entidad financiera serán de 248,7; 253,8 y 259,2; respectivamente. Como ya señalamos anteriormente, las operaciones de descuento a largo plazo deben realizarse al interés compuesto, ya que al interés simple podrían ofrecer un VA negativo. Si descontamos durante 11 años un capital de 1000 al 10% anual simple, obtenemos un VA de – 100; es decir, 1000 – 0,1 × 1000 × 11 = - 100. En cambio, al interés compuesto capitalizado anualmente, el VA habría sido de 350,49.

5

Criterios de selección de inversiones VAN y TIR Partimos ahora de la primera operación según la cual, un importe inicial de 100 se convertía en 133,1 al finalizar el tercer año si la operación se realizaba al 10% anual compuesto capitalizado anualmente. Ésta puede ser cualquier operación que nos propongan y sobre la que deseemos conocer la conveniencia de realizarla o no. En principio, obviamos el “interés interno” generado por la operación y sólo conocemos el importe inicial VA, el importe final obtenido VF, el número de años n y el convenio de capitalización que es del interés anual compuesto. Esta inversión es representada en el siguiente eje temporal: -100 133,1 | | 0 3 años Para conocer la conveniencia o no de realizar la inversión, introducimos los criterios de selección de inversiones VAN y TIR. Empezamos por el VAN. Definimos el VAN (valor actual neto) como el valor actual de 133,1 descontado el importe inicial de 100. La expresión algebraica es:

nk

VFVAVAN

1

Convirtiendo la simbología anterior a la simbología de las inversiones introducida al inicio del capítulo, podemos afirmar que el VA no es más que el desembolso inicial, mientras que VF es el flujo de caja al final del año n. Por lo tanto:

nn

k

AAVAN

10

¿Realizaremos la inversión?. Si VAN > 0, debemos realizar la inversión; si VAN < 0, no debemos realizarla; y si VAN = 0, nos es indiferente. Para comprender lo anterior es necesario realizar una reflexión sobre el papel jugado por el tipo de interés del mercado k. Supongamos que: a) El interés de mercado k es del 5% anual, (en otras inversiones alternativas se puede obtener un 5%). Por lo tanto, aplicamos la tasa de descuento del 5% para evaluar la inversión. Es decir:

9,14

05,01

1,133100

3

VAN

Y como VAN > 0, debemos realizar la inversión, pues el excedente de dicha inversión en el momento actual es positivo. Hay otra forma de ver la cuestión, y es que si imponemos 100 en la inversión alternativa o de mercado, al finalizar el tercer año habremos obtenido 100 × 1,053 = 115,7 que es inferior a 133,1. Por eso se recomienda realizar la inversión propuesta.

6

b) El interés de mercado es del 10% anual, (en otras inversiones alternativas se puede obtener un 10%). Ahora evaluamos el VAN de la inversión al 10%.

0

1,01

1,133100

3

VAN

El VAN = 0 y por lo tanto nos es indiferente realizar la inversión, pues su excedente en el momento actual es 0. Es decir, nos es indiferente realizar la inversión o invertir en el mercado. Efectivamente, si imponemos 100 en el mercado, al finalizar el tercer año obtenemos 100 × 1,13 = 133,1 que es exactamente igual que el flujo de caja que nos proporciona la inversión al final del tercer año. c) El interés de mercado es del 20% anual, (en otras inversiones alternativas se puede obtener un 20%). Ahora evaluamos el VAN de la inversión al 20%.

9,22

2,01

1,133100

3

VAN

Lo que nos indica que el VAN < 0 y por lo tanto no debe realizarse la inversión, ya que el excedente actualizado es negativo. Si imponemos 100 en el mercado o en la inversión alternativa, al finalizar el tercer año obtenemos 100 × 1,23 = 172,8; cuyo valor es superior a 133,1. De esta forma, podemos establecer una relación funcional entre el VAN y el interés del mercado k. Esta relación es monótona y decreciente, como observamos en el gráfico 3.1 siguiente. Gráfico 3.1. VAN e interés de mercado Anteriormente dijimos que el “interés interno” de la inversión puede ser distinto al interés del mercado o k. Pues bien, ese “interés interno” es la tasa de descuento k que anula el VAN, y es también la TIR (tasa interna de rentabilidad) de la inversión. Es decir:

VAN

k 5% 10% 20%-22,9

14,9

33,1

7

TIRk

k

AAVAN

nn

0

10

Obsérvese que en nuestro caso la TIR viene calculada de la siguiente forma:

1,013331,10

1

1,133100

3

TIRkkLnLn

kVAN

Efectivamente, si imponemos 100 durante 3 años al interés del 10% anual compuesto, resulta un VF al tercer año de 133,1. Ese es el significado del 10% anual compuesto como “interés interno” o TIR de la inversión. Como que la TIR de la inversión es del 10%, resulta que si la tasa de descuento o interés del mercado es del 5%, es mejor realizar la inversión, pues su TIR del 10% es superior a la rentabilidad del mercado que es del 5%. Si la tasa de descuento o interés del mercado es del 20%, es mejor invertir en el mercado. Si la tasa de descuento o interés del mercado es del 10%, es indiferente realizar la inversión propuesta o invertir en el mercado. Teniendo en cuenta lo anterior, presentamos la tabla siguiente: Tabla 3.1. Correspondencia entre VAN y TIR Para finalizar señalamos que el análisis anterior puede generalizarse al caso de una inversión con un flujo de caja inicial negativo seguido de varios flujos de caja positivos, tal como definimos una inversión estándar al inicio del capítulo. Ahora los criterios VAN y TIR vienen dados por:

n

i

n

ii

ii

i TIRkk

AAVAN

k

AAVAN

1 100 0

11

También ahora se verifica el hecho de que si el VAN > 0 debe realizarse la inversión ya que con la inversión alternativa o mercado obtenemos un menor VF. Por ejemplo: - 1000 1000 1000 0 1 2 La TIR de la inversión es del 61,8%. Si k =10%, se cumple que k < TIR y VAN > 0, por lo que es mejor realizar la inversión propuesta que invertir en el mercado, pues si realizamos la inversión, el flujo de caja al final del segundo año asciende a 1000×1,1 + 1000 = 2100, mientras que si invertimos en el mercado el flujo de caja al final del segundo año es 1000×1,12 = 1210. De la misma manera concluimos que es indiferente realizar la inversión para una k = 61,8% y rechazamos la inversión para una k superior al 61,8%.

Si VAN > 0 TIR > k Aceptar inversión Si VAN < 0 TIR < k Rechazar inversión Si VAN = 0 TIR = k Indiferente

8

2. Desarrollo de los criterios VAN y TIR en función de los distintos flujos de cajas En este apartado se examinan las implicaciones que en el cálculo de VAN y TIR tienen los distintos supuestos que pueden aparecer sobre los flujos de caja de una inversión. Estos supuestos obedecen a aquellos casos más relevantes y de mayor interés en el campo de la economía financiera. En este sentido desarrollamos las expresiones de cálculo correspondientes y las ilustramos con diversos ejemplos. Clases de flujos de caja Hasta ahora el VAN ha sido calculado bajo supuestos muy concretos en relación a los flujos de caja generados por la inversión: capitalización compuesta, duración finita y flujos de caja obtenidos al final de cada año. Sin embargo, si se desea saber el valor actual de las primas pagadas por una empresa a su aseguradora hemos de tener en cuenta que éstas suelen pagarse al inicio de cada periodo. Además, también podría darse el caso de que los flujos de caja de una inversión tuviesen carácter continuo antes que discreto; por ejemplo, en el caso de una autopista con alta densidad de tráfico, ciertos supermercados abiertos durante todo el día o el valor de un fluido que transcurre por un oleoducto. De hecho, el caso en el que los flujos de caja se obtienen a final de cada año es ciertamente simplificador, pero poco verosímil en la práctica, pues una empresa no espera a final de cada año para cobrar todos sus ingresos o pagar todos sus gastos. Por otra parte, podría darse el caso de una inversión cuyos flujos de caja anuales se percibiesen a perpetuidad, que fuesen constantes o variables o siguiendo en este último caso una determinada ley. La combinación de cada uno de estos supuestos lleva a un planteamiento distinto de los flujos de caja generados por la inversión, implicando nuevas reformulaciones y expresiones de cálculo de VAN y TIR1. Asimismo se obtendrán las expresiones de cálculo de los criterios VF (valor final) y VFN (valor final neto) para algunos casos muy concretos, ya que los mismos se derivan fácilmente del VA y del VAN, respectivamente. La aplicación del VF y VFN es muy limitada, tan solo en planes de pensiones o cuando se hace referencia a la hipótesis de reinversión de los flujos de caja del VAN o TIR, tal como veremos posteriormente. Flujos de caja discretos y capitalización al interés compuesto Partimos de que el flujo de caja Ai es anual, n el número de años y k la tasa de descuento nominal anual. - Flujos de caja al final de cada año: es el caso ya presentado anteriormente. La disposición de los flujos de caja en un eje temporal es la siguiente: -A0 A1 A2 A3 … An-1 An

0 1 2 3 … n - 1 n

1 Omitimos el desarrollo de cada supuesto, ya que en los casos aquí propuestos el VAN obedece siempre a la suma de una serie de términos en progresión geométrica. Como se conocen el primer término a1, el último an, y la razón r, aplicamos la fórmula general de la suma de dichos términos S = (a1 - an×r)/(1-r). Esta misma fórmula puede aplicarse en el caso del VF y del VFN.

9

2.31.3exp

1.31

11

111

10

1021

221

0

k

AAVANenconvierteseresiónlansi

kk

kAAVANAAAsi

k

A

k

A

k

AAVAN

n

n

n

nn

Evidentemente la TIR es aquella tasa de descuento que anula el VAN en cada una de las expresiones anteriores. En el caso [3.2] queda:

TIRkk

AAVAN

010

¿Cuánto se pagará por una acción que reparte un dividendo de 30 al final de cada año, si se vende al final del tercer año por 200 y deseamos obtener una TIR del 8% anual compuesta?.

2360

08,01

20030

08,01

30

08,01

300320

AAVAN

¿Y si suponemos ahora que la acción anterior no se vende nunca?.

375008,0

3000 AAVAN

A veces se desea conocer el VF de unos flujos de caja impuestos al final de cada año durante n años; este puede ser el caso de un plan de pensiones.

k

kAVFAAAsi

kAkAkAVFn

n

nnn

nn

11

111

121

22

11

Si lo que se desea es calcular el valor final neto de la inversión VFN, a la expresión anterior debemos añadir el valor final del desembolso inicial. Es decir:

k

kAkAVFN

nn 11

1 10

Como ya dijimos anteriormente, este criterio tiene utilidad muy limitada, sólo en algunas inversiones en planes de pensión o cuando utilizamos la hipótesis de reinversión de los flujos de caja en VAN o TIR. Por otra parte, VAN y VFN y VA y VF se relacionan de la siguiente forma:

nn k

VFVA

k

VFNVAN

11

10

Por ejemplo, calcular la TIR de la inversión correspondiente a un plan de jubilación según el cual se paga 100 al final de cada año durante 10 años, obteniéndose al final del décimo año una cantidad de 2000. Podemos igualar el VF de las cantidades impuestas con el importe a percibir al final del décimo año o bien igualar el VAN a cero:

%69,1401

2000

1

11100

%69,14200011

100

1010

10

10

kkkk

kVAN

kk

kVF

Si ahora deseamos calcular el VAN para una tasa de descuento del 10%, lógicamente, éste nos dará positivo, pues k < k* = TIR. Efectivamente:

6,1561,1

2000

1,01,1

11,1100

1010

10

VAN

En ocasiones, los flujos de caja son variables pero siguiendo una cierta regularidad; por ejemplo una progresión geométrica de razón q (donde q = 1+ tasa de variación). Ahora la disposición en un eje temporal es: -A0 A1 A1q A1q

2 … A1qn-2 A1q

n-1 0 1 2 3 … n - 1 n

qkquesiempre

qk

AAVANenconvierteseresiónlansi

qkquesiempre

qkk

qkAA

k

qA

k

qA

k

AAVAN

n

nn

n

n

1

4.31

3.3exp

1

3.311

1

111

10

10

11

211

0

Debe expropiarse una finca de cereal que proporciona una cosecha anual para la construcción de una obra de interés público. Teniendo en cuenta que ayer tuvo lugar la recogida de la cosecha por valor de 1000, que el incremento del precio del cereal supondrá un aumento del 5% anual del valor de la cosecha y que la tasa de descuento del mercado es del 10% anual, se pide: ¿cuál es el valor de la finca al día de hoy?.

21000005,11,01

05,11000

1 001

0

AAqk

AAVAN

Por otra parte, señalamos que el VFN de este caso puede obtenerse a partir de [3.3], teniendo en cuenta que VFN = VAN (1+k)n.

11

qk

qkAkAk

qkk

qkAAVFN

nnnn

n

nn

1

111

11

11010

- Flujos de caja al inicio de cada año: la disposición de los flujos de caja en un eje temporal es la siguiente: -A0 + A1 A2 A3 A4 .... An

0 1 2 3 … n - 1 n

6.31

5.3exp

5.31

11

111

10

11021

1232

10

k

kAAVANenconvierteseresiónlansi

kk

kAAVANAAAsi

k

A

k

A

k

AAAVAN

n

n

n

nn

Obsérvese que las dos expresiones anteriores pueden obtenerse fácilmente aplicando convenientemente las expresiones [3.1] y [3.2]. Efectivamente:

k

kAA

k

AAAVAN

kk

kAA

kk

kAAAVAN

n

n

n

n

1

1

11

1

11

101

10

1101

1

110

Cálculo del VFN:

k

kkAkAVFNAAAsi

kAkAkAkAVFNn

nn

nnnn

111

11111

1021

1210

Igual que antes podemos relacionar el VAN con el VFN y el VA con el VF, según VFN = VAN(1+k)n y según VF = VA(1+k)n. Cuando los flujos de caja siguen una progresión geométrica de razón q, tenemos la siguiente disposición de flujos en un eje temporal. -A0 + A1 A1q A1q

2 A1q

3 ... A1qn-1

0 1 2 3 … n - 1 n

12

qkquesiempre

qk

kAAVANenconvierteseresiónlansi

qkquesiempreqkk

qkAA

k

qA

k

qA

k

qAAAVAN

n

nn

n

n

1

8.31

17.3exp

17.311

1

111

10

110

1

11

2

211

10

De la misma forma, las expresiones [3.7] y [3.8] pueden obtenerse utilizando convenientemente las expresiones [3.3] y [3.4]. Es decir:

qk

kAA

qk

qAAAVAN

qkk

qkAA

qkk

qkqAAAVAN

n

nn

n

nn

1

1

1

11

1

11

1

101

10

1101

11

110

En el ejemplo planteado anteriormente, supongamos ahora que la cosecha se recoge mañana con un valor de 1000. ¿Cuál es el valor de la finca en el día de hoy?.

220000

05,11,01

1,0110000

1

10010

AAVAN

qk

kAAVAN

Flujos de caja constantes y capitalización continua En este apartado nos limitamos a los flujos de caja anuales constantes. Dichos flujos son clasificados en: a) flujos de caja discretos y capitalización continua, b) flujos de caja continuos y capitalización continua. Los primeros tienen poco interés, pero nos sirven de base para derivar las expresiones de cálculo de los segundos, que si tienen una mayor importancia en el ámbito de la economía financiera. a) Flujos de caja discretos y capitalización continua: la disposición de los flujos de caja al final de cada año en un eje temporal es la siguiente. -A0 A1 A2 A3 … An-1 An

0 1 2 3 … n - 1 n

9.31

110

1211

0

knk

nk

nkkk ee

eAA

e

A

e

A

e

AAVAN

Igual que en los casos anteriores también podemos obtener la expresión de cálculo si los flujos de caja se fuesen al inicio de cada año, y también las expresiones de cálculo correspondientes al VFN. En este último caso hemos de tener en cuenta que el VFN también puede obtenerse a partir de VAN×enk.

13

Si los flujos de caja anuales que han sido expuestos en el eje temporal anterior se dividen en m veces al año y se perciben al final de cada uno de los n × m periodos en los que hemos dividido el horizonte temporal, el VAN viene dado por:

10.31

1/

10/

1

/2

1

/

1

0

mknk

nk

mnmkmkmk ee

e

m

AA

em

A

em

A

em

A

AVAN

La expresión anterior corresponde al caso de un flujo de caja constante que se percibe m veces al año y se capitaliza continuamente m veces al año. Se trata por lo tanto de un flujo de caja discreto. Análogamente, la expresión del VFN viene dada por:

11.31

1/

1/0

/1/21/11/0

mk

nkmnmk

mknmnmmknmmknmmnmk

e

e

m

AeAVFN

em

Ae

m

Ae

m

AeAVFN

Igual que en el caso VAN anterior la expresión del VFN se corresponde con la de un flujo de caja discreto que se percibe m veces al año y se capitaliza m veces al año. b) Flujos de caja continuos y capitalización continua: como dijimos anteriormente, la expresión [3.10] es la correspondiente al VAN de un flujo de caja discreto. Para que dicho flujo sea continuo es necesario que m → ∞. Manipulando la expresión [3.10], aplicando la Regla de L’Hôpital para evitar la indeterminación y haciendo m → ∞, queda:

12.31

1

1

1

10

2

/

2

10/

1

10

k

eAAVAN

m

ke

m

e

eAA

e

m

e

eAAVAN

nk

mknk

nk

mknk

nk

La expresión [3.12.] refleja el VAN de un flujo de caja anual constante continuo capitalizado continuamente. Dicha expresión de cálculo también puede obtenerse a partir de:

nt

t

nkkt

k

eAAdteAAVAN

0

1010

1

De igual modo, la expresión [3.11] corresponde al VFN de un flujo de caja discreto. Ahora, manipulando dicha expresión, aplicando la Regla de L’Hôpital para evitar la indeterminación y haciendo m → ∞ obtenemos:

14

13.31

1

1

11

1

10

2

/

2

10/

1

10

k

eAeAVFN

m

ke

meAeA

e

meAeAVFN

nknk

mk

nknk

mk

nknk

La expresión [3.13] muestra el VFN de un flujo de caja anual constante continuo capitalizado continuamente. Dicha expresión también puede obtenerse a partir de:

nt

t

nknkktnk

k

eAeAdteAeAVFN

0

1010

1

Al igual que en los casos anteriores, podemos obtener el VFN a partir de VAN×enk. Para finalizar señalamos que si el flujo de caja (A1/m) es obtenido al inicio del periodo en vez de al final del mismo, habríamos obtenido expresiones de cálculo distintas a [3.10] y [3.11] pero exactamente iguales a [3.12] y [3.13]. Calcular el VAN y el VFN de una inversión de 4000 que proporciona un flujo de caja anual continuo de 1000 durante 10 años, si la tasa de actualización es del 10% anual nominal continua.

69,63091,0

1718,21000718,24000

2,23211,0

718,2110004000

101,0101,0

101,0

VFN

VAN

Es decir, VFN = VAN×enk; 6309,69 = 2321,2×2,7180,1×10. 3. Amortización de la inversión e hipótesis de reinversión de los flujos de caja A continuación analizamos algunas de las principales cuestiones relacionadas con los criterios VAN y TIR como son el método de amortización de la inversión inicial y la hipótesis de reinversión de los flujos de caja que subyace en ambos criterios. Efecto del método de amortización en VAN y TIR El proceso de amortización económica de un bien recoge tres efectos: a) efecto técnico (la depreciación o pérdida de valor del bien propiamente dicha), b) efecto económico (la imputación de la depreciación al coste del producto), c) efecto financiero (la recuperación monetaria de dicho coste con la venta del producto). La amortización es por lo tanto una fuente de financiación transitoria para la empresa al no implicar una salida de liquidez. Como el proceso de amortización puede ser más o menos arbitrario en función del método elegido, señalamos que dicho proceso no incide en el flujo de

15

caja, siempre que no existan impuestos sobre el beneficio de la empresa. Por ejemplo, una empresa que ha adquirido una máquina por valor de 10 con una vida útil de 2 años, se plantea dos opciones de amortización. Opción 1: amortizar la máquina en el año 1. Opción 2: amortizar la máquina en el año 2. Teniendo en cuenta los Ingresos y Gastos anuales correspondientes a dicha inversión, confeccionamos la tabla siguiente: Tabla 3.2. Efecto del método de amortización en los flujos de caja o recursos generados OPCIÓN 1 Año 1 Año 2 OPCIÓN 2 Año 1 Año 2 INGRESOS 40 40 INGRESOS 40 40 (GASTOS) (20) (20) (GASTOS) (20) (20) RGB 20 20 RGB 20 20 (AMORT) (10) 0 (AMORT) 0 (10) BAI 10 20 BAI 20 10 RG 20 20 RG 20 20 Siendo AMORT la amortización económica anual del bien y BAI el beneficio antes de impuestos. Suponiendo que los Ingresos y Gastos se realizan al contado, definimos el recurso generado bruto RGB como el flujo de caja antes de impuestos (ingresos - gastos antes de amortización e impuestos) y el recurso generado RG como el flujo de caja después de impuestos (ingresos - gastos antes de amortización y después de impuestos)2. Como podemos observar, en las dos opciones el RG es de 20 cada año. Ahora bien, cuando introducimos el impuesto sobre los beneficios de la empresa, el método de amortización utilizado no es neutral sobre el RG. Efectivamente, supongamos que en el caso anterior existe una tasa impositiva t sobre los beneficios de la empresa del 50%. Ahora, la tabla anterior queda modificada de la siguiente forma: Tabla 3.3. Método de amortización, impuestos y recursos generados OPCIÓN 1 Año 1 Año 2 OPCIÓN 2 Año 1 Año 2 RGB 20 20 RGB 20 20 (AMORT) (10) 0 (AMORT) 0 (10) BAI 10 20 BAI 20 10 (IMP) (5) (10) (IMP) (10) (5) BDI 5 10 BDI 10 5 RG 15 10 RG 10 15 Siendo BDI el beneficio después de impuestos y IMP los impuestos sobre el beneficio. Como observamos, al introducir la tasa impositiva sobre los beneficios de la empresa, el método de amortización no es neutral respecto a los IMP y a los RG, pues aunque sus importes totales son los mismos en las dos opciones, no lo son cada año. En otras palabras, cualquier método de amortización acelerado permite aplazar el pago de impuestos en el tiempo, obteniéndose mayores RG en los primeros años de la inversión, lo que nos permite aumentar el VAN y TIR de la inversión y contribuir a incrementar la riqueza de los accionistas. Esto tiene una doble explicación: a) los RG de los últimos años son penalizados más fuertemente que los RG de los primeros años, b) la hipótesis de reinversión de los RG que subyace en los criterios VAN y TIR.

2 A partir de ahora sustituimos el término más general de flujo de caja por los términos más concretos y operativos de RGB y RG.

16

Siguiendo la estructura introducida en las tablas anteriores, vamos a observar el efecto que los distintos métodos de amortización tienen en los IMP y RG y por lo tanto en VAN y TIR, para un caso concreto. Sea una inversión de 1000, con una duración de 5 años, Ingresos de 900 anuales, Gastos de 100 anuales, tasa impositiva t del 50% y tasa de descuento k del 10% anual. - Amortización lineal de la inversión en 5 años: la AMORT es de 200, obteniéndose un RG3 anual de 500 y un VAN y TIR siguientes.

%4101

115001000895

1,01,1

11,15001000

5

5

5

5

kkk

kVANVAN

- Amortización lineal acelerada en 3 años: la AMORT es de 333,3 en los tres primeros años y de 0 en los dos siguientes. Los RG, VAN y TIR son:

%9,440

1

400

1

400

1

6,566

1

6,566

1

6,5661000

6,9301,1

400

1,1

400

1,1

6,566

1,1

6,566

1,1

6,5661000

54321

54321

k

kkkkkVAN

VAN

- Amortización acelerada hasta anular la base imponible en los primeros años de la inversión: 800 es la AMORT del primer año, 200 la del segundo y 0 la de los tres años siguientes. Los RG, VAN y TIR son:

%4,500

1

400

1

400

1

400

1

500

1

8001000

4,9621,1

400

1,1

400

1,1

400

1,1

500

1,1

8001000

54321

54321

k

kkkkkVAN

VAN

En los tres casos, los RG suman 2500 y los IMP 1500. Aún así, el VAN y TIR son distintos, pues al amortizar aceleradamente, los impuestos se difieren en el tiempo y se obtienen mayores RG en los primeros años de la inversión, lo que implica un aumento del VAN y TIR. Como dijimos anteriormente, esto tiene una doble explicación, por una parte la mayor importancia de los RG obtenidos en los primeros años de la inversión en relación a los RG obtenidos en los últimos años (al estar estos últimos más fuertemente penalizados por el factor de actualización) y por otra, la hipótesis de reinversión de los RG de la inversión que subyace en los criterios VAN y TIR. Hipótesis de reinversión de los RG en VAN y TIR Al evaluar una inversión según los criterios VAN y TIR, estamos suponiendo que los RG se reinvierten durante el tiempo que dura la inversión a la tasa de descuento elegida k en el caso VAN y a la TIR de la inversión en el caso TIR. Es decir:

3 RG = BDI + AMORT [1]. Teniendo en cuenta que RGB = AMORT+ IMP + BDI [2], resulta RGB - IMP = AMORT + BDI y sustituyendo en [1] queda RG = RGB-IMP; RG = RGB - t×BAI = RGB - t(RGB - AMORT).

17

0

1

11

11

1

11

111

10

10

11

01

0

n

nn

n

n

nn

n

nnn

n

nn

k

kAkAA

k

A

k

AAVAN

k

kAkAA

k

A

k

AAVAN

Al amortizar aceleradamente, diferimos los impuestos en el tiempo, aumentando los RG obtenidos en los primeros años de la inversión; como éstos se reinvierten durante un mayor periodo de tiempo que los RG obtenidos en los últimos años, el VAN y TIR aumentan. En el primer caso:

8951,1

1,15001,15001,15001,15001,15001000

5

01234

VAN

Y de la misma forma obtenemos el VAN de 930,6 y 962,4 en los otros dos casos. También en el caso TIR, se cumple la hipótesis de reinversión. En el primer caso:

%41

01

50015001500150015001000

5

1234

k

k

kkkkVAN

Esta hipótesis de reinversión de los RG a la tasa de descuento del mercado k en el caso VAN y a la k* en el caso TIR, ha sido criticada en numerosas ocasiones por su falta de realismo. Aunque la hipótesis es creíble en el caso VAN, es más discutible en el caso TIR. En el VAN, si se descuenta la inversión a la tasa de descuento del mercado, parece lógico suponer que se obtendrá la misma tasa de rendimiento sobre los RG; aunque es posible que dicha tasa de reinversión no coincida con la tasa de descuento, cuando, por ejemplo, en la tasa de descuento se incluya una prima por riesgo o cuando la empresa tenga la necesidad de mantener cierta liquidez, lo que en la práctica nos lleva a una menor tasa de reinversión que la tasa de descuento. Esta falta de realismo es más evidente en el caso TIR: si una inversión tiene una TIR del 25%, ¿debemos esperar que los RG se reinviertan al 25%, teniendo en cuenta que la tasa de descuento del mercado es del 10%?. Esta hipótesis parece forzada, por lo que ahora reformulamos los criterios VAN y TIR con una tasa de reinversión k' y una tasa de descuento k4.

TIRkk

kAkAkAAVAN

k

kAkAkAAVAN

n

nnn

nn

n

nnn

nn

01

111

1

111

22

11

0

22

11

0

Por otra parte la inclusión de la tasa de reinversión k’ (que no es más que la inclusión del interés de mercado), además de introducir realismo, nos permitirá resolver alguna de las aparentes incongruencias existentes entre VAN y TIR. 4 En ocasiones se habla de VAN modificado (VANM) y TIR modificada (TIRM o TRI). Nosotros seguiremos hablando de VAN o TIR pero para una determinada tasa de reinversión explícita k’. Obsérvese que cuando k’ = k y cuando k’ = k*, obtenemos los criterios VAN y TIR iniciales.

18

Teniendo en cuenta lo anterior, ¿se modificarán las decisiones de aceptación-rechazo y de jerarquía de inversiones?. Esta cuestión es tratada a continuación. 4. Decisiones de aceptación-rechazo y de jerarquía entre inversiones Diferenciamos el caso de aceptación-rechazo de una inversión del caso de jerarquía entre inversiones. Decisiones de aceptación-rechazo Examinamos una inversión por dos años que proporciona los siguientes recursos generados RG: -100 60 70

0 1 2

%8,180

1

70

1

60100

2

kkk

VAN

Si el VAN se descuenta al 17%, la inversión debe realizarse ya que el VAN > 0 y los RG son reinvertidos al 17% mientras dure la inversión. Pero, ¿y si los RG sólo pueden ser reinvertidos al 10% anual?. Ahora el VAN y TIR para una tasa de reinversión k’ del 10% vienen dados según:

%6,160

1

701,160100

1

701,160100

22

k

kVAN

kVAN

Y las condiciones de aceptación-rechazo de la inversión quedan modificadas, tal como observamos en el gráfico 3.2. Gráfico 3.2. VAN, tasa de reinversión y aceptación-rechazo

k (%)16,6 18,8

VAN

A

A (k’=10%)

19

Efectivamente, dada una k’ = 10%, y para una tasa de descuento o interés del mercado del 17%, la inversión es rechazada por el criterio TIR, que es del 16,6%, y también por el criterio VAN que es negativo. Es evidente que para distintas tasas de reinversión y distintas tasas de interés, es posible que la decisión de aceptación-rechazo no se modifique. VAN y TIR y decisiones de jerarquía de inversiones En este apartado contemplamos tres casos. a) Inversiones con idéntico desembolso, misma duración e inexistencia de tasa de Fisher kF

5: sean las inversiones A y B siguientes. -100 60 70 -100 50 60

A) B) 0 1 2 0 1 2

%4,60

1

60

1

50100

%8,1801

70

1

60100

2

2

B

BBB

A

AAA

kkk

VAN

kkk

VAN

De lo anterior se desprende que A es preferible a B, tanto por VAN (pues para una tasa de descuento k = 0 se cumple que VANA > VANB) como por TIR. ¿Qué ocurre ahora si suponemos una misma tasa de reinversión k’ para los recursos generados por ambas inversiones?, ¿quedará modificada la relación jerárquica entre ambas?. Para k’ = 10%, obtenemos las siguientes TIR.

%2,70

1

601,150100

%6,1601

701,160100

2

2

B

B

B

A

A

A

kk

VAN

kk

VAN

Según lo anterior, los criterios VAN y TIR nos llevan siempre al mismo orden jerárquico entre las dos inversiones; A es preferible a B, hecho que se cumple para cualquier k’. Efectivamente, para cualquier tasa de reinversión k’, el numerador de la expresión correspondiente al VANA siempre será superior al numerador de la expresión correspondiente al VANB. Como por otra parte, el desembolso inicial es el mismo, implica que el VANA siempre será superior al VANB para cualquier tasa de descuento k mayor que cero. Todo ello es debido a la inexistencia de tasa de Fisher kF entre el VAN de ambas inversiones. Por lo tanto, el orden de preferencia jerárquica entre dichas inversiones es independiente de la tasa de reinversión k’ elegida. Todo ello puede apreciarse en el gráfico 3.3 siguiente:

5 Tasa de Fisher o kF en honor a Irving Fisher. Definimos kF como aquella tasa de descuento que iguala el VAN de las dos inversiones.

20

Gráfico 3.3. VAN, tasa de reinversión, jerarquía de inversiones e inexistencia de kF b) Inversiones con idéntico desembolso, misma duración y existencia de tasa de Fisher kF: sean las siguientes dos inversiones A y B. -100 60 70 -100 10 125 A) B) │ │ │ 0 1 2 0 1 2 Ahora los criterios VAN y TIR no llevan siempre al mismo orden jerárquico entre las dos inversiones. Como TIRA = 18,8% y TIRB = 16,9%; según el criterio TIR, A es preferible a B. Sin embargo, según VAN tenemos tres casos distintos, dependiendo de si la tasa de descuento k supera o no a la tasa de Fisher (kF =10%): 1) para k > 10% = kF, A es preferible a B, 2) para k < kF =10%, B es preferible a A, c) para k = kF = 10%, A es igual a B. Obsérvese que el RG del año 1 es bastante más elevado en la inversión A que en la inversión B, lo que proporciona ventaja a la inversión A en términos de VAN y TIR a medida que la tasa de descuento y, por lo tanto, la tasa de reinversión es cada vez más elevada. Análogamente, hemos de tener en cuenta que el proceso de actualización penaliza más fuertemente el RG del segundo año que el del primero, lo que perjudica principalmente a la inversión B, por tener un RG más elevado. Todo ello puede observarse en el gráfico 3.4 siguiente: Gráfico 3.4. VAN, tasa de Fisher, kF y jerarquía de inversiones

A B

6,4 7,2 16,6 18,8 k (%)

VAN

k (%) 16,9 18,8

VAN

A

B

10

A (k’=10%)

B (k’=10%)

21

La tasa de Fisher kF viene dada por:

%10

1

125

1

10100

1

70

1

60100

22

F

FFFF

kkkkk

Ahora, el VAN no proporciona una jerarquía única entre las dos inversiones ni tampoco existe correspondencia con el criterio TIR. Este hecho ocurre porque VAN y TIR suponen tasas de descuento y tasas de reinversión, distintas. Ahora bien, si suponemos una misma tasa de reinversión k’ para los RG de las dos inversiones, solucionamos el problema anterior, pues obtenemos una única relación jerárquica entre ambas inversiones al coincidir los criterios VAN y TIR. Esta situación puede observarse en el gráfico 3.5 siguiente para tres k’ distintas, 5%, 10% y 15%: Gráfico 3.5. VAN, tasa de reinversión y jerarquía de inversiones En este caso, el orden jerárquico entre las dos inversiones depende de k’ y del valor de la tasa de Fisher kF, según la correspondencia que presentamos en la tabla siguiente: Tabla 3.4. Correspondencia entre VAN, TIR, k’ y kF c) Inversiones con distinto desembolso y duración (planes de inversión distintos): sean por ejemplo las siguientes dos inversiones A y B excluyentes: -100 60 60 -40 10 20 25 A) B) 0 1 2 0 1 2 3

VAN

15,3 16,4 16,6 16,8 17,8 k (%) 5 5 10 15 15 k’ (%)

A B

A = B B

A

Si k' > kF VANA > VANB y TIRA > TIRB A B Si k' = kF VANA = VANB y TIRA = TIRB A = B Si k' < kF VANA < VANB y TIRA < TIRB A B

22

En este caso, si disponemos de 40, sólo podemos elegir la inversión B, siempre que VANB > 0 y TIRB > k. El problema aparece cuando disponemos de 100. Ahora debemos plantearnos qué hacemos con los 60 restantes si elegimos la inversión B; y también qué hacemos con los RG de la inversión A hasta el tercer año. Es decir se trata más que de la elección entre dos inversiones, de la elección entre dos planes de inversión. Realizando los cálculos pertinentes obtenemos:

%46,9

1

25

1

20

1

1040

1

60

1

60100

%3,1501

25

1

20

1

1040

%1301

60

1

60100

322

32

2

F

FFFFF

B

BBBB

A

AAA

kkkkkk

kkkk

VAN

kkk

VAN

Nuevamente nos aparece la misma problemática que en el caso anterior al existir una kF del 9,46%. Ahora existe un problema añadido, ya que independientemente de la existencia o no de la tasa de Fisher, al ser inversiones no homogéneas en importe inicial y en duración temporal, el criterio TIR es incorrecto para comparar inversiones, pues tenemos TIR por distintos importes iniciales y por distintas duraciones de tiempo. Es necesario aquí utilizar un supuesto sobre la tasa de reinversión k’ con el fin de homogeneizar ambas inversiones en importe inicial y duración temporal. Suponiendo, una k’ del 5%, tenemos las siguientes TIR:

%1,80

1

05,1602505,12005,1106040

%9,801

05,16005,160100

3

32

3

2

B

B

A

A

A

A

kk

VAN

kk

VAN

Como se observa en el gráfico siguiente, al suponer una misma k’ del 5%, A es preferible a B tanto por VAN como por TIR. Gráfico 3.6. VAN, tasa de reinversión y jerarquía de inversiones no homogéneas

A (k’=5%)

B (k’=5%)

8,1 8,9 k (%)

VAN

23

En resumen, la inclusión de una tasa de reinversión k’ para los recursos generados RG, además de introducir realismo en numerosas ocasiones, al incorporar la tasa de descuento o interés del mercado en el cálculo de VAN y TIR, nos permite superar alguna de las aparentes incongruencias que existen entre los criterios VAN y TIR. 5. Las fuentes de financiación en la empresa y su coste de capital En este apartado se introduce el concepto de coste de capital y se analiza el efecto de las distintas fuentes de financiación en los criterios VAN y TIR. Concepto de coste de capital Hasta ahora, en el cálculo del VAN, hemos supuesto que la tasa de descuento k era una tasa de preferencia temporal o una tasa de conversión que nos permitía comparar cantidades de distintos momentos del tiempo. Ahora añadimos un nuevo significado a la tasa de descuento, asociándola con el rendimiento mínimo exigido a la inversión; en otras palabras, es el coste de capital de los recursos financieros comprometidos en la inversión. En concreto, si los recursos que financian la inversión provienen de los accionistas, la tasa a la que evaluaremos el VAN debe ser como mínimo la tasa de rentabilidad exigida por dichos accionistas, mientras que si los recursos provienen de un crédito bancario, la tasa a la que evaluaremos el VAN debe ser como mínimo la rentabilidad exigida por el banco. Evidentemente, en ambos casos la rentabilidad comprende el pago de dividendos e intereses y la devolución de los capitales correspondientes. Si la TIR de una inversión es del 5% y la misma ha sido financiada con un crédito al 10%, la inversión debe ser rechazada, pues su rentabilidad es insuficiente para satisfacer la rentabilidad exigida por el banco. En otras palabras, como k* = TIR = 5% < k =10%, el VAN de la inversión evaluado al 10% es negativo y debemos rechazar la inversión. Si el mercado de capitales fuese perfecto, si los intereses no fuesen deducibles fiscalmente, si no existiesen primas de emisión ni de amortización, ni gastos de emisión, el coste de capital de los recursos financieros comprometidos en la inversión, sería la tasa de descuento o interés del mercado. Pero como lo anterior generalmente no se cumple, es necesario calcular el coste de capital para cada caso concreto. En este sentido, realizaremos un análisis detallado de cada proyecto de financiación, determinando sus flujos de caja y calculando el coste de capital correspondiente. Conocido el coste de capital k, evaluamos el VAN a dicho coste. Efecto de las distintas fuentes de financiación en el coste de capital y en el VAN Determinamos el coste de capital de las distintas fuentes de financiación comprometidas en la inversión, analizamos su significado y calculamos el VAN correspondiente. Partimos de una inversión con un desembolso inicial de 100 y unos RG de 57,6 al final de cada año durante dos años6:

6 Si suponemos que la AMORT es lineal en 2 años y que la tasa impositiva t es del 20%, unos RG de 57,6 corresponden a unos RGB de 59,5; pues RG = RGB - t(RGB - AMORT) = 59,5 - 0,2(59,5 - 50) = 57,6. Ahora al incluir la financiación, definimos RGB como ingresos menos gastos antes de amortización, intereses e impuestos y RG como ingresos menos gastos antes de amortización e intereses y después de impuestos.

24

-100 57,6 57,6 0 1 2 a) La inversión es financiada con recursos propios (emisión de acciones): al final de cada año el propietario del negocio retira una cantidad que le devuelve capital y paga un dividendo del 10% anual compuesto sobre el capital pendiente de devolución7. Esta cantidad, denominada anualidad, nos permite calcular el coste de capital. Para ello es necesario analizar el proyecto de financiación, cuya disposición temporal es: 100 a a 0 1 2

6,57

1,01,1

11,1

100

1,11,11000

2

22

a

aa

Donde 57,6 es la anualidad. Dicha anualidad y su desglose en devolución de capital (amortización financiera) y pago de dividendos vienen recogidos a continuación: Año Anualidad Dividendos Devolución 1 57,6 10 47,6 2 57,6 5,2 52,4

Por lo tanto, los flujos de caja del proyecto de financiación son: Año 0 1 2 Flujos 100 -57,6 -57,6 El coste de la financiación k se calcula igualando el importe percibido inicialmente con los flujos de caja del proyecto de financiación. Es decir:

0

1,1

6,57

1,1

6,57100%10

1

6,57

1

6,571000

22

VANk

kk

En este caso el VAN nos indica que la inversión genera unos recursos suficientes para devolver exactamente el capital prestado por el propietario y pagar unos dividendos del 10% sobre el capital pendiente de devolución. Esto puede observarse en la tabla siguiente, en la que se recogen los flujos de caja los proyectos de inversión, financiación y agregado (suma de los flujos de los proyectos de inversión y financiación): Tabla 3.5. Flujos de caja (financiación con recursos propios)

Tipo de proyecto Año 0 Año 1 Año 2 Proyecto de Inversión -100 57,6 57,6 Proyecto de Financiación +100 -57,6 -57,6 Proyecto Agregado 0 0 0

7 Dicho método de amortización financiera se denomina de anualidades constantes o "método francés".

25

Cuyo VAN del proyecto agregado coincide con el VAN de la inversión:

01,1

0

1,1

02paVAN

b) La inversión es financiada con recursos propios externos (emisión de acciones) en un 50% y recursos ajenos (crédito bancario) en un 50%: se paga al propietario y al banco las cantidades necesarias para devolver el capital y el crédito así como un dividendo del 10% anual y un interés del 5% anual, sobre los importes pendientes de devolución. Analizamos el proyecto de financiación: 50 a1 a1

Recursos propios 0 1 2 50 a2 a2

Recursos ajenos 0 1 2

89,26

05,005,1

105,1

50

05,105,1500

8,28

1,01,1

11,1

50

1,11,1500

2

22222

2

21211

aaa

aaa

Las anualidades, así como la devolución de capital y crédito y el pago de dividendos e intereses son recogidos en la tabla siguiente: Tabla 3.6. Anualidades, dividendos, intereses y devoluciones de capital y crédito

Recursos propios Recursos ajenos Total financiación Año a1 DIV A1 a2 INT A2 a1 + a2 DIV + INT A1 + A2

1 28,8 5 23,8 26,89 2,5 24,39 55,7 7,5 48,2 2 28,8 2,6 26,2 26,89 1,28 25,61 55,7 3,9 51,8

Siendo: a1 = anualidad correspondiente al capital, a2 = anualidad correspondiente al crédito, DIV = dividendo, INT = intereses, A1 = amortización financiera o devolución de capital, A2 = amortización financiera o devolución de crédito. Los flujos de caja del proyecto de financiación se recogen a continuación:

Año 0 1 2 Flujos 100 -55,7 -55,7

El coste de capital se calcula igualando el importe percibido con las cantidades necesarias para devolver el capital y el crédito y pagar los dividendos e intereses correspondientes8. 8 En este caso concreto, el coste de capital puede calcularse también según k = (0,1×50 + 0,05×50)/100 = 0,075 = 7,5%.

26

4,3

075,1

6,57

075,1

6,57100%5,7

1

7,55

1

7,551000

22

VANk

kk

Ahora un VAN de 3,4 significa que la inversión genera unos recursos suficientes para devolver el capital y el crédito y pagar los dividendos e intereses correspondientes y todavía disponemos de un excedente de tesorería de 1,9 al final de cada año, cuyo valor actual es de 3,4. Esto puede observarse en la siguiente tabla resumen de flujos de caja de los proyectos de de inversión, financiación y agregado: Tabla 3.7. Flujos de caja (financiación con recursos propios y ajenos)

Tipo de proyecto Año 0 Año 1 Año 2 Proyecto de inversión -100 57,6 57,6 Proyecto de financiación +100 -55,7 -55,7 Proyecto agregado 0 1,9 1,9

Cuyo VAN del proyecto agregado coincide con el VAN de la inversión:

4,3075,1

9,1

075,1

9,12paVAN

Dos principales conclusiones debemos extraer de todo lo anterior: a) a medida que disminuye el coste de capital el VAN aumenta, debiéndose utilizar siempre la financiación más barata, b) el VAN también puede calcularse a partir del proyecto agregado, pero no así la TIR, pues al ser nulo el flujo de caja inicial, la TIR sería , lo que es falso. Por otra parte, como:

%100

1

6,57

1

6,57100

2

TIRkkk

VAN

Es indiferente realizar la inversión para el primer caso de financiación, pero no para el segundo, pues como k = 7,5% < TIR = k* = 10%, la inversión debe aceptarse. 6. Efecto de los impuestos en el coste de capital de la financiación y en el VAN Analizamos ahora el coste de la financiación cuando la empresa soporta una tasa impositiva t sobre los beneficios. Por ejemplo, una empresa contempla una inversión con un desembolso de 100 y unos RGB de 100 al final de cada año durante dos años, siendo la tasa impositiva del 20% y la AMORT anual de 50. Calculamos el VAN para el caso de dos fuentes de financiación distintas: Financiación con recursos propios (ampliación de capital mediante emisión de acciones) Se emiten acciones por su valor nominal de 100 y los accionistas perciben 10 al final de cada año y durante dos años en concepto de dividendos. También, al final del segundo año perciben el importe de las acciones por su valor nominal. Este segundo método de

27

amortización financiera se denomina de vencimiento único9. Los flujos de caja del proyecto de financiación y el coste de capital son presentados a continuación:

%10

1

10010

1

101000

2

kkk

Calculamos los RG de la inversión a partir de las magnitudes de la cuenta de resultados y del estado de flujos de caja: Tabla 3.8. Magnitudes económicas y flujos de caja (financiación recursos propios)

MAGNITUDES Año 1 Año 2 MAGNITUDES Año 1 Año 2 RGB 100 100 BDI 40 40 (AMORT) (50) (50) AMORT 50 50 BAI 50 50 (DIV) (10) (10) (IMP) (10) (10) (DEVCAP) 80 (100) BDI 40 40 FC 80 (20)

DEVCAP = devolución de capital, FC = flujo de caja del proyecto agregado. El resto de variables obedece a definiciones ya dadas anteriormente. Sabiendo que RG = BDI + AMORT [1] y RGB = AMORT + IMP + BDI [2], en [2] queda RGB – IMP = AMORT + BDI, y sustituyendo en [1] RG = RGB – IMP = RGB – t × BAI = 100 – 0,2 × 50 = 90.

2,561,1

90

1,1

90100

2VAN

También podemos calcular los recursos generados RG a partir de los correspondientes flujos de caja FC, según se observa en la tabla 3.9. Tabla 3.9. Flujos de caja y recursos generados (financiación recursos propios)

9 Existen dos métodos más de amortización financiera a tener en cuenta; el método de las cuotas de amortización constantes (la amortización de capital es constante y se obtiene al dividir el importe del capital o crédito entre el número de años, calculándose el interés sobre la parte pendiente de devolución del capital o crédito) y el método de las anualidades crecientes, en el que las anualidades crecen según una razón q (siendo q = 1+ tasa de crecimiento anual). La primera anualidad se obtiene igualando a cero la expresión [3.3], previa sustitución del desembolso inicial por el importe del capital o crédito percibido y del primer flujo de caja por la primera anualidad. El resto de anualidades se obtienen multiplicando la anualidad del año anterior por la razón de crecimiento q. La cuota de interés se obtiene sobre el capital pendiente de devolución y la amortización financiera de cada año como diferencia entre la anualidad y la cuota de interés correspondiente.

Año 0 1 2 Flujos 100 -10 -10 -100

MAGNITUDES Año 1 Año 2 FC 80 (20) DIV 10 10 DEVCAP 0 100 RG 90 90

28

El VAN también puede calcularse a partir del proyecto agregado: Tabla 3.10. Flujos de caja (financiación recursos propios)

Tipo de proyecto Año 0 Año 1 Año 2 Proyecto de inversión -100 90 90 Proyecto de financiación +100 -10 -110 Proyecto agregado 0 80 -20

2,561,1

20

1,1

802paVAN

Financiación con recursos propios (emisión de acciones) y recursos ajenos (crédito bancario) Los accionistas y el banco aportan cada uno de ellos el 50% de la inversión, percibiendo al final de cada año y durante dos años 5 en dividendos y 5 en intereses. Al final del segundo año también perciben el importe del capital y del crédito por su valor nominal. Ahora, en el cálculo de los flujos de caja del proyecto de financiación, hemos de tener en cuenta que los intereses son deducibles a efectos impositivos, con lo que si bien la empresa paga 5 en intereses, ahorra 1 en impuestos (t × 5, es decir 0,2 × 5 = 1). Los flujos de caja del proyecto de financiación y el coste de capital, vienen dados por: Año 0 1 2 Flujos 50 + 50 -5 -5(1-0,2) -5 -5(1-0,2) -50 -50

%91

50502,0155

1

2,01551000

2

kkk

En este caso, el coste de capital también puede calcularse como media aritmética de los costes de capital de ambas fuentes de financiación al tener éstas la misma duración y no existir primas de emisión, amortización o gastos de colocación: k = (0,1 × 50 + 0,1 × (1-0,2) × 50)/(50 + 50) = 0,09 = 9%. Si los periodos de financiación fuesen distintos, realizamos una ponderación de los tiempos. Por ejemplo, en el caso de que la duración del crédito hubiese sido de un año, habríamos hecho k = (0,1 × 50 × (2/2) + 0,1 × (1-0,2) × 50 × (1/2))/(50 × (2/2) + 50 × (1/2)) = 0,0933 = 9,33%. Calculamos los RG de la inversión a partir de las magnitudes de la cuenta de resultados y del estado de flujos de caja: Tabla 3.11. Magnitudes económicas, flujos de caja (financiación recursos propios y ajenos)

MAGNITUDES Año 1 Año 2 MAGNITUDES Año 1 Año 2 RGB 100 100 BDI 36 36 (AMORT) (50) (50) AMORT 50 50 BAII 50 50 (DIV) (5) (5) (INT) (5) (5) (DEVCAP) 0 (100) BAI 45 45 FC 81 (19) (IMP) (9) (9) BDI 36 36

Donde BAII es el beneficio antes de intereses e impuestos.

29

También podemos calcular los recursos generados RG a partir de los flujos de caja FC, tal como se observa en la tabla siguiente: Tabla 3.12. Flujos de caja y recursos generados (financiación recursos propios y ajenos)

MAGNITUDES Año 1 Año 2 FC 81 (19) DIV 5 5 INT 5 5 DEVCAP 0 100 (AIMP) (1) (1) RG 90 90

Siendo AIMP el ahorro de impuestos por intereses y el resto de variables obedece a definiciones ya dadas anteriormente. Ahora, como que los intereses del crédito son deducibles fiscalmente, pagamos 9 en impuestos cuando antes eran 10. En principio, esto supone un incremento en el RG que pasa a ser de 91 (RG = BDI + AMORT + INT), pero como el ahorro impositivo ya ha sido tenido en cuenta en el proyecto de financiación, siendo el coste de capital del 9%, no podemos volver a tenerlo en cuenta en el cálculo del RG, debiendo ser neutralizado. Es decir, RG = BDI + AMORT + INT – t × INT, quedando un RG = 91 - 0,2 × 5 = 90. Sabiendo que RG = BDI + AMORT + INT – t × INT [1] y RGB = AMORT + IMP + BDI + INT, [2]. En [2] queda RGB – IMP = AMORT + BDI + INT, y sustituyendo en [1] tenemos RG = RGB – IMP – t × INT = RGB – t (BAI + INT) = RGB – t × BAII = RGB – t × (RGB – AMORT) = 100 – 0,2 × (100 – 50) = 90. Ahora, el VAN es:

3,5809,1

90

09,1

90100

2VAN

Nuevamente el valor del VAN coincide con el valor actual del proyecto agregado, cuyo flujo de fondos coincide también con el flujo de caja FC. Tabla 3.13. Flujos de caja (financiación recursos propios y ajenos)

Tipo de proyecto Año 0 Año 1 Año 2 Proyecto de inversión -100 90 90 Proyecto de financiación +100 -9 -109 Proyecto agregado 0 81 -19

3,5809,1

19

09,1

812paVAN

Ahora, comparamos la TIR de la inversión con el coste de capital de este último caso:

inversiónaceptarkk

kkVAN

%9%5001

90

1

90100

2

30

Otros efectos en el coste de capital de la financiación Para finalizar este apartado, modificamos el caso anterior, suponiendo que el importe de la inversión es de 97 y que la financiación del crédito es sustituida por una emisión de obligaciones. Dichas obligaciones tienen un valor nominal de 50 y son emitidas con una prima de emisión PE de 2 (los obligacionistas desembolsan 48), existiendo unos gastos de emisión y colocación de dichas obligaciones a cargo de la empresa GE de 1. También existe una prima de amortización al final del segundo año PA de 5 (la empresa devuelve a los obligacionistas 55). Ahora la suma de PE, GE, y PA tienen el carácter de carga financiera, la cual puede ser anualizable, según un plan establecido, a lo largo del periodo de financiación. Si en nuestro caso, dicha carga financiera se reparte linealmente entre los años del periodo de financiación, su importe será denominado como carga financiera anualizada CFA y su cuantía será de 410. Siguiendo el procedimiento realizado anteriormente, tenemos los siguientes flujos del proyecto de financiación y el coste de capital de ambas fuentes de financiación. Año 0 1 2 Flujos 50 + 50-1-2 -5 -5(1-0,2) + 4×0,2 -5 -5(1-0,2) + 4×0,2 -50 -55

%33,12

1

2,113

1

2,8970

2

k

kk

Nuevamente calculamos los RG anuales a partir de las magnitudes de la cuenta de resultados y del estado de flujos de tesorería: Tabla 3.14. Magnitudes económicas, flujos de caja (financiación recursos propios y ajenos: otros casos)

MAGNITUDES Año 1 Año 2 MAGNITUDES Año 1 Año 2 RGB 100 100 BDI 32,8 35,2 (AMORT) (50) (47) AMORT 50 47 BAII 50 53 CFA 4 4 (INT) (5) (5) (DIV) (5) (5) (CFA) (4) (4) (DEVCAP) 0 (105) BAI 41 44 FC 81,8 (23,8) (IMP) (8,2) (8,8) BDI 32,8 35,2

También podemos calcular los RG a partir de los FC, según se observa en la tabla 3.15. Tabla 3.15. Flujos de caja y recursos generados (financiación recursos propios y ajenos: otros casos)

10 El PGC establece un criterio financiero, en el que se calcula el interés efectivo entre el importe recibido y los importes pagados por la empresa en la operación. Conocido el interés efectivo se calcula la carga financiera para cada año.

MAGNITUDES Año 1 Año 2 FC 81,8 (23,8) DIV 5 5 INT 5 5 DEVCAP 0 105 (AIMP) (1,8) (1,8) RG 90 89,4

31

Ahora el RG = BDI + AMORT + CFA + INT – t × (INT + CFA), con lo que queda RG = 32,8 + 50 + 4 + 5 -0,2 × (5 + 4) = 90 en el primer año y RG = 35,2 + 47 + 4 + 5 -0,2 × (5 + 4) = 89,4 en el segundo. Teniendo en cuenta que RG = BDI + AMORT + CFA + INT – t × (CFA + INT) [1] y RGB = AMORT + CFA + IMP + BDI + INT, [2]. En [2] queda RGB – IMP = AMORT + CFA + BDI + INT, y sustituyendo en [1] tenemos RG = RGB – IMP – t × (CFA + INT) = RGB – t × (BAI + CFA + INT) = RGB – t × BAII = RGB – t × (RGB – AMORT) = 100 – 0,2 ×(100 – 50) = 90 en el primer año y RG = 100 - 0,2 × (100 – 47) = 89,4 en el segundo. Es decir, el VAN es:

9,531233,1

4,89

1233,1

9097

2VAN

Los flujos de caja de los proyectos de inversión, financiación y agregado, son presentados en la tabla 3.16 siguiente. Tabla 3.16. Flujos de caja (financiación recursos propios y ajenos: otros casos)

Tipo de proyecto Año 0 Año 1 Año 2 Proyecto de inversión - 97 90 89,4 Proyecto de financiación + 97 - 8,2 -113,2 Proyecto agregado 0 81,8 -23,8

Igual que en los casos anteriores, el valor del VAN coincide con el valor actual del proyecto agregado.

9,531233,1

8,23

1233,1

8,812paVAN

Nuevamente comparamos la TIR de la inversión con el coste de capital obtenido en este último caso:

inversiónaceptarkk

kkVAN

%33,12%5301

4,89

1

9097

2

7. Otras fuentes de financiación Además de las fuentes de financiación a largo plazo, existen fuentes de financiación a corto plazo derivadas de la propia actividad empresarial. Teniendo en cuenta la importancia y el coste que en ocasiones alcanzan dichas fuentes, las mismas deben ser tenidas en cuenta en el cálculo del coste de la financiación de la empresa. Entre este tipo de fuentes de financiación destacamos los proveedores y los efectos comerciales descontados, aunque también podemos hacer mención de los descubiertos en cuenta y de las pólizas de crédito. En cualquier caso, como la operativa es similar en cada una de estas fuentes, pasamos a analizar las fuentes de financiación de proveedores y de efectos comerciales descontados.

32

Proveedores Denominada como fuente de financiación de coste implícito, pues el mismo se incluye en el nominal de la letra o deuda a pagar. Dicho coste aparece cuando la deuda es pagada al vencimiento y por lo tanto renunciamos al descuento por pronto pago. Supongamos que la empresa debe pagar una factura a proveedores de 100 con un vencimiento a 90 días, obteniendo un descuento del 2% si paga al contado. El coste de capital de proveedores por pagar al vencimiento es de 2/100 = 0,02; es decir del 2% trimestral. Obsérvese que si tenemos en cuenta el efecto impositivo sobre los beneficios de la empresa, el coste de la financiación es menor; pues si pagamos al contado obtenemos unos ingresos de 2 que son grabados a la tasa impositiva t sobre beneficios. Si suponemos que t = 0,2 el coste de capital de proveedores sobre el nominal kpron es del (2 ×(1-0,2))/100 = 0,016 y el coste de capital de proveedores sobre el efectivo kproe es del 1,6/(100-1,6) = 0,01626. Por lo tanto, este último valor debe leerse como que el coste de capital de proveedores sobre el efectivo es del 1,626% trimestral. Como quiera que el coste de dicha fuente de financiación debe compararse o agregarse con otras fuentes de financiación, cuyos costes vienen dados en términos anuales, el mismo debe expresarse en coste anual, es decir 1,626% × 4 = 6,5% anual. Por otra parte, como la empresa suele tener varias deudas con proveedores a lo largo del año, es preciso calcular el coste medio de esta fuente de financiación. A continuación presentamos el caso de una empresa, que a lo largo del año pagó a su vencimiento una serie de deudas con proveedores. Tabla 3.17. Proveedores, vencimientos y descuentos por pronto pago

Nominal proveedores Días vencimiento Descuento pronto pago (% anual) 100 30 12 200 60 10 500 90 8

Teniendo en cuenta que la empresa soporta una tasa impositiva t del 20%, el coste de capital de proveedores sobre el nominal kpron viene dado por:

anual

k pron

%88,666,166

466,11

6,166

8666,28,04

1500

6

1200

12

1100

2,0108,04

15002,011,0

6

12002,0112,0

12

1100

Es decir, sustituimos las anteriores deudas con proveedores por una sola deuda anual cuyo nominal es de 166,66 y sobre la que renunciamos a un descuento por pronto pago de 11,466. Por otra parte, el coste de proveedores sobre el efectivo kproe viene dado por:

anualk proe %98,6

155,164

466,11

4

18500

6

166,2200

12

18,0100

8666,28,0

33

Para finalizar señalamos que siempre que el coste de proveedores (descuento por pronto pago al que renunciamos) es menor que la rentabilidad de los fondos que quedan liberados a disposición de la empresa, es mejor pagar las deudas a su vencimiento. En caso contrario es mejor utilizar el descuento por pronto pago. Efectos comerciales descontados Una entidad financiera nos adelanta una cantidad de la que somos propietarios pero pasado un cierto tiempo. Lógicamente, dicha entidad nos abonará en el día de hoy una cantidad inferior, cobrándonos unos intereses por la operación. El caso más común es el del descuento de un efecto comercial, por el que la empresa es deudora con la entidad financiera hasta el vencimiento del mismo. Por ejemplo, ha sido descontado un efecto comercial de 100 con un vencimiento a 30 días, aplicándose unos intereses de 0,5. El coste de capital de esta fuente de financiación es del 0,5% mensual sobre el nominal; siendo del 0,502% mensual sobre el efectivo, pues 0,502% = (0,5/(100-0,5)) × 100. Si t = 20%, y teniendo en cuenta que los intereses son un gasto deducible a efectos impositivos, el coste de capital del descuento de efectos comerciales sobre el nominal kdecn es del 0,4% mensual y del 4,8% anual, es decir 0,5 × (1-0,2)×12×100. Mientras que el coste sobre el efectivo kdece es del 0,4016% mensual, es decir (0,4/(100-0,4)) × 100 y del 4,819% anual. Al igual que en el caso anterior, presentamos un ejemplo en el que una empresa descontó una serie de efectos comerciales a lo largo del año: Tabla 3.18. Efectos comerciales descontados, vencimientos e intereses

Nominal efecto comercial Días vencimiento Interés (% anual) 200 60 12 300 15 16 500 180 10

Teniendo en cuenta que la empresa soporta una t del 20%, el coste del descuento de efectos comerciales sobre el nominal kdecn viene dado por:

anual

kdecn

%38,883,295

8,24

83,295

206,12,32

1500

24

1300

6

1200

2,011,02

15002,0116,0

24

13002,0112,0

6

1200

Hemos sustituido las anteriores operaciones de descuento de efectos por el descuento de un solo efecto durante un año con un nominal de 295,83 y sobre el que nos han cobrado unos intereses de 24,8. Por otra parte, el coste del descuento de efectos comerciales sobre el efectivo kdece es:

anualkdece %69,8

23,285

8,24

2

120500

24

16,1300

6

12,3200

206,12,3

34

Nuevamente, aquí hemos de señalar que siempre que el coste de capital de los efectos comerciales descontados sea menor que la rentabilidad de los fondos que quedan a disposición de la empresa, la política financiera óptima es el descuento de letras. Cuando lo anterior no se cumple, es mejor cobrar las letras a su vencimiento. 8. El coste medio de capital kme En los apartados anteriores hemos calculado el coste de capital de cada fuente de financiación y también el coste medio de dos fuentes. Si en este último caso extendemos el cálculo a todas las fuentes de financiación, obtenemos el coste medio de capital de la empresa kme. Ahora bien, si el número de fuentes de financiación es elevado, si las mismas tienen diferentes características, vencimientos, dividendos e intereses, el cálculo puede llegar a ser complejo. Por todo ello el concepto de coste medio de capital de la empresa adquiere unas connotaciones muy concretas, requiriendo el cumplimiento de determinados supuestos: a) principio de funcionamiento indefinido por parte de la empresa, lo que implica que las fuentes de financiación se irán renovando infinitas veces en las mismas condiciones que se establecieron inicialmente11, b) que el coste de capital de cada una de las fuentes de financiación así como la importancia relativa de cada una de ellas no se modificará sustancialmente en el tiempo. El coste medio de capital de la empresa será una información muy útil de cara a analizar su evolución en el tiempo y también como tasa de descuento en la evaluación de las futuras inversiones, siempre que éstas se financien aproximadamente igual a la estructura de financiación que tiene la empresa. Por ejemplo, una empresa viene pagando unos dividendos anuales DIV de 2 sobre unos recursos propios RP de 40 y unos intereses anuales INT de 4 sobre unas obligaciones emitidas OE de 30. Además, a lo largo del año, viene renunciando a un descuento por pronto pago con proveedores DPP de 1, manteniendo un saldo anual con proveedores PRO de 15 y también descontando unos efectos comerciales con unos gastos financieros GF de 2, manteniendo una deuda anual por descuento de efectos DDE de 15. Si tenemos en cuenta que la empresa soporta una tasa impositiva t sobre los beneficios del 20%, y llamando FT a la financiación nominal total y FE a la financiación efectiva total, calculamos el coste medio de capital de la empresa sobre la financiación nominal total kmen y sobre la financiación efectiva total kmee.

11 Lo que significa, que si se emite una deuda por 100 por la que se pagan unos intereses de 10 al final de cada año y es amortizada al final del segundo año por 100, dicha deuda será siempre amortizada y renovada al final de cada dos años, según las mismas condiciones establecidas inicialmente. Luego, en este caso el coste de capital viene dado según:

%10010

100

01

10010010

1

10010010

1

10

1

10010010

1

10100

432

kk

kkkkk

Y aunque aquí hemos utilizado el método de amortización financiera de vencimiento único, lo anterior se cumple para los otros métodos de amortización. Sólo es necesario renovar cada año la parte amortizada del crédito en las mismas condiciones que se han establecido inicialmente.

35

10015153040

%6,7100

6,7

100

6,18,02,32

100

8,021421

111

DDEPROOERPFTFT

tGFDPPINTDIVFT

DDE

DDE

tGF

FT

PRO

PRO

tDPP

FT

OE

OE

tINT

FT

RP

RP

DIVkmen

4,926,1158,0152,330240

111

%22,84,92

6,7

4,92

6,18,02,32

4,92

8,021421

1

1

11

1

1

1

1

1

tGFDDEtDPPPROtINTOEDIVRPFE

FE

tGFDPPINTDIV

FE

tGFDDE

tGFDDE

tGF

FE

tDPPPRO

tDPPPRO

tDPP

FE

tINTOE

tINTOE

tINT

FE

DIVRP

DIVRP

DIVkmee