CAPITULO II

Econometra bsica

Modelo Lineal de dos variables

CAPITULO 2

MODELO DE REGRESION DE DOS VARIABLES1.1 Estimacin Puntual

1.1.1 Especificacin del modelo lineal

Supongamos que la teora econmica sostiene que:

[2.1]Donde:

Es la variable dependiente (endgena)

Es la variable independiente (exgena)

Adems, si suponemos por simplicidad que ambas variables se relacionan linealmente, se tiene la siguiente especificacin matemtica

[2.2]Consideremos que se dispone de n pares de observaciones para las variables representados por

,

Uno de los objetivos iniciales del anlisis economtrico es obtener estimaciones de los parmetros desconocidos y con base a la informacin disponible , . Si la relacin postulada fuera cierto slo se necesitara de dos pares de observaciones muestrales y con ella determinar la ecuacin de la recta definida por [2.2]. Cualquier otro punto muestral se encontrara en la misma lnea y no supondra ninguna informacin adicional. Sin embargo, una relacional funcional tal como la proporcionada por [2.2] es una descripcin inadecuada del comportamiento econmico dado que no todos los puntos muestrales estn sobre una misma lnea recta. De modo que, la especificacin de la relacin lineal exacta se debe reemplazar por esta otra especificacin alternativa:

[2.3]

Donde:

Representa a una variable aleatoria con una determinada distribucin de probabilidad. El papel del trmino es el de recoger las discrepancias que surgen entre los valores observados de y los valores que dara una relacin funcional exacta. Cules son las razones de esta discrepancia aludida? En realidad son varias, la principal es que la variable endgena no solo depende de la variable exgena, , explcitamente considerada en el modelo [2.3]. Es decir, , es un sustituto de todas aquellas variables que son omitidas del modelo pero que, conjuntamente, afectan a la variable endgena.En general, no podemos predecir el valor especfico de que surge para una observacin individual, pero si podemos hacer suposiciones en torno a las caractersticas principales de su distribucin de probabilidad. Estas caractersticas son las siguientes:

[2.4]

[2.5]

[2.6]O en forma compacta

Donde, el smbolo ~ significa se distribuye y significa distribuido normal e independiente.Obsrvese que de [2.3], aplicando el operador de esperanza matemtica, se tiene

Considerando [2.4] resulta ser que

[2.7]

A esta ltima relacin lineal obtenida se le denomina la funcin de regresin poblacional (FRP). Estrictamente, el propsito del anlisis economtrico es determinar, utilizando algn mtodo apropiado, esta funcin de regresin poblacional. Es decir, estimar el valor promedio de la variable endgena, el cual queda determinado si se logra estimar los parmetros y.1.1.2 Mtodo de mnimos cuadrados ordinarios

Dado un conjunto de n pares de observaciones muestrales asociadas a nuestras variables (endgena y exgena), se puede considerar como una estimacin de la funcin de regresin poblacional, la siguiente lnea recta

[2.8]Donde:

Es la variable endgena estimada para un valor determinado de

Es el intercepto estimado

Es la pendiente estimada

Una vez determinado la variable endgena estimada, , es evidente que no todas sern iguales a la variable endgena observada, , de modo que por definicin se tiene por diferencia los denominados errores muestrales siguientes

[2.9]

El cual, reemplazando [2.8] en [2.9], se puede escribir alternativamente como

[2.10]

Elevando al cuadrado cada error muestral y aplicando sumatorias se tiene

[2.11]El criterio del mtodo de mnimos cuadrados ordinarios es seleccionar y tal que se minimicen los errores muestrales al cuadrado. Siguiendo este criterio, por la condicin de primer orden de optimizacin, se tiene:

[2.12]

[2.13]De donde se obtiene las siguientes ecuaciones normales

[2.14]

[2.15][2.14] y [2.15] definen dos ecuaciones simultneas, las cuales nos permiten obtener las estimaciones de y , dado que el nmero de observaciones muestrales y las respectivas sumatorias de las variables correspondientes son conocidas.1.1.3 Propiedades del mtodo de mnimos cuadrados ordinarios

La lnea de regresin muestral obtenida mediante el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios presenta las siguientes propiedades importantes:

a) La sumatoria de los errores muestrales es igual a cero

Considerando [2.10] y reemplazando en [2.12] se obtiene

[2.15]La cual al dividirla por el nmero de observaciones es igual a

[2.16]b) La covarianza entre los errores muestrales y la variable exgena es igual a cero.Considerando [2.10] y reemplazando en [2.13] se obtiene

[2.17]Como por definicin

Dado que

Dado que

Entonces cualquiera sea el nmero de observaciones se obtiene que

c) La lnea de regresin pasa el punto definido por las medias muestrales y .

De la primera ecuacin normal, dividindola por el nmero de observaciones, se obtiene

[2.18]

d) La media de la variable endgena estimada es igual a la media de la variable endgena estimada

De la funcin de regresin muestral, definida por [2.8], aplicando sumatorias y dividindola por el nmero de observaciones se tiene

[2.19]

Como los segundos miembros de las ecuaciones [2.18] y [2.19] son iguales se deduce que

[2.20]e) Nos permite obtener un estimador mnimo cuadrtico alternativo

Restando miembro a miembro [2.8] y [2.18],

Por [2.20] se puede escribir alternativamente, la funcin de regresin muestral, en trminos de desviaciones de sus variables respecto de su media

[2.21]

Donde:

Si ahora sumamos y restamos por el segundo miembro de la relacin [2.9] se tiene, los errores muestrales pueden estar definidos tambin por

De modo que

Siguiendo el criterio del mtodo de mnimos cuadrados ordinarios se tiene

De donde finalmente se obtiene

[2.22]

El otro parmetro de la lnea de regresin muestral se puede calcular a partir de [2.18]

[2.23]

1.1.4 Propiedades de los estimadores mnimo cuadrticos

Los estimadores mnimo cuadrticos tienen tres propiedades: Son funciones lineales de las observaciones reales de la variable endgena, son insesgados y tienen varianza mnima. Estas propiedades a continuacin los mostraremos sucesivamente.

Reemplazando (2.22) en (2.23) se obtiene

[2.24]Donde:

[2.25]Siendo

[2.26]Se concluye que el estimador mnimo cuadrtico es una funcin lineal de las observaciones reales de la variable endgena.

Reemplazando (2.3) en (2.24) se tiene

Como

Y adems

Entonces

[2.27]

Siendo

Se deduce que

[2.28]Es decir, el estimador mnimo cuadrtico, , es insesgado

Considerando la expresin [2.27} se obtiene

EMBED Equation.3 Siendo

Entonces

[2.29]

El cual considerando [2.25] es

Cmo mostrar que esta varianza es mnima? Es decir, que esta varianza es la ms pequea en consideracin a otros estimadores lineales e insesgados. Al respecto supongamos que mediante un mtodo alternativo se obtiene el siguiente estimador:

[2.30]Obsrvese que este estimador alternativo es lineal. Reemplazando [2.3] en [2.30] se tiene

Es decir, es un estimador insesgado siempre y cuando se cumpla que

Dado las restricciones impuestas

EMBED Equation.3 Siendo

Entonces

[2.31]

Si este estimador tiene varianza mnima, dentro de todos los posibles estimadores lineales e insesgados Cul es la expresin correspondiente a las ponderaciones ? Para tal fin, utilizando los multiplicadores de Lagrange, es posible plantear la siguiente funcin de optimizacin:

[2.32]Por la condicin de primer orden de optimizacin, se tiene

[2.33]

[2.34]

[2.35]De [2.33] despejando se obtiene

[2.36]Aplicando el operador de sumatorias a [2.36] y tomando en consideracin la expresin [2.34] se tiene

[2.37]Multiplicando [2.36] por , aplicando el operador de sumatorias y tomando en consideracin la expresin [2.35] se tiene

[2.38]Despejando en [2.37] y [2.38] e igualando ambas expresiones se tiene

Despejando

[2.39]Reemplazando [2.39] en [2.37] se tiene

[2.40]Reemplazando [2.39] y [2.40] en [2.36] se tiene

[2.41]

[2.42]Finalmente, como debido a [2.25] y [2.42], entonces el estimador lineal, insesgado y de varianza mnima, solo puede ser el estimador mnimo cuadrtico .

Mediante un procedimiento similar, a partir de [2.22] se puede obtener que

[2.43]

Donde:

[2.44]Por lo cual

[2.45]

Es tambin funcin lineal de las observaciones reales de la variable endgena

Si reemplazamos [2.3] en [2.43] se obtiene

[2.46]

Aplicando el operador de esperanza matemtica

Dado que

[2.47]

[2.48]

Entonces

[2.49]

Es decir, tambin resulta ser un estimador insesgado

Reemplazando [2.47] y [2.48] en [2.46] se tiene

[2.50]

EMBED Equation.3 Siendo

Entonces

[2.51]

El cual considerando [2.44] es

[2.52]

Nuevamente, siguiendo un procedimiento similar, al adoptado para el caso del estimador , se puede mostrar que posee una varianza mnima. Es decir, el estimador, es lineal, insesgado y tiene una varianza mnima.1.1.5 Varianza de la regresinNuevamente considerando el modelo de regresin de dos variables

Se supone que

Aqu el propsito en general es determinar la funcin de regresin poblacional

Es decir, estimar el valor promedio de la variable endgena, el cual queda determinado si se logra estimar los parmetros y. Pero adems, obsrvese que en el modelo de regresin planteado existe otro parmetro adicional: . Esta es la varianza de las perturbaciones o la varianza de la regresin Cmo estimarlo? Al respecto, comprese el modelo de regresin con su contraparte muestral deducida de [2.8] y [2.9]l

Ntese que el estimador de la varianza de debe ser necesariamente . Es decir, a travs de la varianza de los errores muestrales se puede estimar la varianza de la regresin. Sin embargo, como entonces concretamente debe ser el estimador de la varianza de la regresin.

Por definicin se ha establecido que

Adems se ha mostrado que

[2.53]Ahora, aplicando sumatoria y dividiendo por el nmero de observaciones a [2.3] se obtiene

[2.54]

Restando [2.3] y [2.54] miembro a miembro el modelo de regresin de dos variables queda planteado como

[2.55]Dado [2.21] y [2.55], los errores muestrales definido en [2.53] alternativamente corresponde a

Ordenando, elevando al cuadrado cada observacin muestral y aplicando el operador de suma se tiene

En consideracin a lo anotado anteriormente, aplicando el operador de la esperanza matemtica, se tiene

Como

a)

Dado que

[2.56]b)

Dado que

[2.57]c)

Por [2.56]

[2.58]d)

Por [2.52]e)

Por [2.50]

Reemplazando se tiene

Despejando

[2.59]

El cual para una muestra particular ser

1.1.6 Coeficiente de determinacin

En todo anlisis de dependencia nos interesara conocer cual es la variacin de la variable endgena debido a una variacin de la variable exgena. Precisamente, sobre el particular existe un estadstico denominado coeficiente de determinacin. Para obtener este estadstico partimos de la nocin de la descomposicin de la varianza de la variable endgena. Por definicin establecimos que

De donde ordenando trminos tenemos

Elevando al cuadrado y aplicando sumatorias obtenemos

Puesto que

Dado que

Entonces

[2.60]Es decir, si dividimos por el nmero de observaciones en ambos miembros, encontramos que la varianza muestral de la variable endgena se puede descomponer en dos: la varianza debido a la regresin y la varianza debido a los errores. Estrictamente en [2.60], el trmino del primer miembro corresponde a la suma total de cuadrado de la variable endgena, en desviaciones con respecto a su media (STC); y los trminos del segundo miembro, corresponden a la suma de cuadrados explicada por la variable exgena (SCE) y la suma de cuadrados de los residuos (SCR).

Dividiendo [2.60] por la (STC) en ambos miembros se tiene

Donde:

[2.61]

Es el denominado coeficiente de determinacin el cual corresponde a una proporcin de la suma de cuadrados explicada por la variable exgena respecto de la suma total de cuadrados. de cuadrados

Este coeficiente de determinacin puede expresar de formas distintas y alternativas.

[2.62]Puesto que

[2.63]Donde:

[2.64]Puesto que

Donde:

[2.65]

Es el coeficiente de correlacin. Este coeficiente nos mide el grado de asociacin entre la variable endogena y la variable exgena.1.2 Inferencia Estadstica

La estadstica consta de dos partes: la estadstica descriptiva y la inferencia estadstica. La estadstica descriptiva se ocupa de la recoleccin, organizacin y presentacin de los datos, mientras que la inferencia estadstica realiza generalizaciones, de una parte (muestra) a un todo (poblacin).

En la econometra, bsicamente nos interesa la inferencia estadstica, por cuanto constituye un instrumento bsico en el proceso de investigacin cientfica. Lo que convierte la aplicacin de la inferencia estadstica en un proceso cientfico es el hecho de que tomamos en consideracin la forma de seleccionar la muestra, y de que expresamos las generalizaciones en trminos de probabilidades.

En general, dada cierta poblacin, esta no podr observarse nunca por completo, y por tanto, los juicios respecto a ella slo pueden proceder de una muestra. Afortunadamente, no nos interesa conocer todo respecto de una poblacin, sino que casi siempre estamos interesados solamente en algunas de sus caractersticas que los denominamos parmetros. El objetivo del muestreo, y de todo lo relacionado con la inferencia estadstica, es efectuar juicios acerca de los parmetros de la poblacin, basados en los estadsticos de la muestra. En realidad, estos juicios son pronsticos dotados de un cierto grado de confianza, y pueden ser de dos tipos segn se haga referencia a la estimacin de un parmetro, o a la contrastacin de alguna hiptesis respecto a un parmetro. La estimacin se realiza mediante los estimadores que son frmulas que describen un procedimiento para efectuar conjeturas acerca del valor de un parmetro determinado de la poblacin; el valor especfico de un estimador recibe el nombre de estimacin. Los juicios que toman la forma de contrastacin de hiptesis implican un supuesto previo respecto al valor de un parmetro. Si la informacin procedente de la muestra proporciona evidencia contraria a la hiptesis, rechazamos esta ltima; en caso contrario, la seguimos manteniendo. Para la contrastacin de hiptesis, la evidencia proporcionada por las observaciones que constituyen la muestra se resume en un estadstico de prueba; a travs de este ltimo se llega a una decisin relativa a la hiptesis.

Las muestras proporcionan informacin acerca de las poblaciones de las que proceden. Cuando se trata de una estimacin, esta informacin se resume en forma de un estimador, y si se trata de la contrastacin de una hiptesis, la informacin se resume en un estadstico de prueba. Si en estas frmulas utilizamos los valores observados, el valor de un estimador o de un estadstico de prueba representa un pronstico acerca del valor del correspondiente parmetro de la poblacin. Ahora bien, es evidente que diferentes muestras darn como resultado pronsticos diferentes, algunos de ellos ms prximos a la verdad (al valor real del parmetro) que los otros. Naturalmente, en la prctica slo disponemos en general de una muestra y, por tanto, de un solo pronstico, pero resulta muy importante saber que otros pronsticos podramos haber obtenido si hubisemos dispuesto de distintas muestras. Si todas las muestras posibles conducen a pronsticos que en todo caso estn prximos a la verdad, cualquiera de ellos resultar de fiar. Por otra parte, si todas las muestras posibles producen pronsticos que difieren ampliamente, slo alguno de ellos estar cerca de la verdad y no podemos confiar mucho en ninguno por separado.

En que medida se puede confiar en un buen pronstico? Para confiar en un pronstico lo primero que se debe conocer es la conducta de todos los pronsticos que se pueden obtener a partir de todas las muestras posibles ordenndolas en forma de una distribucin: La distribucin muestral. Una distribucin muestral es una distribucin de probabilidad de un estimador o de un estadstico de prueba.

Un procedimiento razonable, y generalmente til, para juzgar la calidad de un pronstico consiste en valorar la calidad del procedimiento empleado para obtenerlo. Lo que realmente es importante es con que frecuencia un procedimiento determinado produce malos resultados y con que frecuencia los produce buenos. Es decir, debemos conocer los resultados de una gran cantidad de pronsticos, todos ellos basados en el mismo procedimiento. Esta es precisamente la informacin que proporciona las distribuciones muestrales. Para comparar la calidad de los pronsticos, se comparan los resultados de los procedimientos por medio de los cuales se obtuvieron aquellos, lo cual quiere decir que se comparan sus distribuciones muestrales.

Qu es un buen procedimiento para efectuar pronsticos? Cules son los rasgos especficos de una distribucin muestral que nos permite juzgar un determinado estimador? A decir en otros trminos Qu es un buen estimador?Un buen estimador es aquel que posee algunas propiedades que se consideran deseables: Linealidad, insesgo y eficiencia (varianza mnima).

Otra propiedad deseable es la consistencia. Esta propiedad hace referencia a los cambios en la distribucin muestral a medida que aumenta el tamao de muestra. Se dice que un estimador es consistente si su distribucin muestral tiende a concentrarse alrededor de su verdadero valor del parmetro cuando el tamao de la muestra tiene a infinito

1.2.1 Estimacin por intervalos

Para repetir consideremos el siguiente modelo:

En general, nuestro propsito es estimar o predecir la funcin de regresin poblacional,

Considerando, n pares de observaciones, , y adems, aplicando el mtodo de mnimos cuadrados ordinarios es posible obtener la funcin de regresin muestral siguiente,

Donde, y , constituyen la nica estimacin (puntual) de los parmetros desconocidos y Qu tan confiable es esta estimacin?. Es evidente que debido a las fluctuaciones muestrales, lo ms probable es que una sola estimacin difiera del verdadero valor del parmetro poblacional, aun cuando como lo hemos demostrado, en muestreo repetido se espera que el valor de su media sea igual al verdadero valor del parmetro poblacional.

En estadstica, la confiabilidad de un estimador puntual se mide por su error estndar. Por tanto, en lugar de tener solo un estimador puntual, se puede construir un intervalo alrededor del estimador puntual, tal que el intervalo tenga una determinada probabilidad de incluir el verdadero valor del parmetro. Formalmente, el objetivo es construir un intervalo de confianza para por lo cual definimos el intervalo aleatorio (,) cuya probabilidad de contener es . Es decir,

[2.66]Tomando en cuenta que, solo se pueden construir intervalos de confianza si se conocen las distribuciones de probabilidad de los estimadores, es conveniente precisarlas. Por ello, si considerando que,

[2.67]Entonces por ser una funcin lineal de se tiene que

[2.68]De modo similar, dado que los estimadores mnimo cuadrticos son funciones lineales de las observaciones reales de la variable endgena, , entonces,

[2.69]

[2.70]Y sus correspondientes variables estandarizadas,

[2.71]

[2.72]Adicionalmente, es posible mostrar que

[2.73]Ntese que en [2.71], [2.72] y [2.73] es un parmetro desconocido y por tanto no es posible construir intervalos de confianza utilizando dichas distribuciones planeadas.

De otro lado, dado el siguiente teorema: S es una variable normal estndar y otra variable sigue una distribucin ji-cuadrado con grados de libertad y es independiente de , entonces la variable definida como:

[2.74]

Considerando [2.71], [2.73] y reemplazando en [2.74] se obtiene

[275]Considerando [2.72], [2.73] y reemplazando en [2.74] se obtiene

[2.76]Por consiguiente, frente a la imposibilidad inicial de utilizar la distribucin normal, podemos ahora utilizar la distribucin t de student, para construir intervalos de confianza, de la forma,

[2.77]

[2.78]El cual tambin se puede escribir como,

[2.79]

[2.80]1.2.2 Prueba de Hiptesis

Para contrastar la hiptesis la hiptesis nula de que es igual a un valor dado . Es decir

Contra la hiptesis alternativa de que es igual a un valor cualquiera distinto de . Es decir

Introducimos en [2.76] y llegamos a la siguiente afirmacin condicional. Si la hiptesis es cierta

[2.81]Este estadstico de prueba nos proporciona la distribucin de bajo la hiptesis nula propuesta. Si la hiptesis nula fuera cierta, el de los valores muestrales de caera dentro del intervalo definido por:

Donde:

es el valor de crtico de t de tablas para un nivel de significancia de con grados de libertad.

Si nuestro muestral cae fuera de los lmites de dicho intervalo entonces:a) La hiptesis nula es cierta, pero se ha elegido una muestra poco verosmil

b) La hiptesis nula es falsa

En tal caso, elegiremos de forma deliberada la segunda interpretacin y se procede de la siguiente forma. Se rechaza la al nivel de significancia del si

[2.82]Se acepta la al nivel de significancia del si

[2.83]La hiptesis nula que con mayor frecuencia se contrasta es

Esto se conoce como la prueba de contrastacin de la variable exgena. Si la hiptesis es cierta, la variable exgena no juega ningn papel en la determinacin de .De forma similar se procede para contrastar alguna hiptesis sobre . Esta prueba se basa en la siguiente distribucin

[2.84]Para este propsito un intervalo de confianza del para viene dado por

Y la hiptesis

Se rechazara al nivel de significancia del

si

[2.85]1.2.3 Anlisis de Varianza

La prueba de significancia de la variable exgena tambin se puede obtener mediante el anlisis de varianza.

A partir de [2.72] se obtuvo

Tomando en cuenta el siguiente teorema: Si , , , , son variables independientes normalmente distribuidas tales que cada , es decir, una variable normal estndar, entonces sigue una distribucin ji-cuadrado con n g de l. Simblicamente, , donde n denota los grados de libertad, g de l. Se deduce que

[2.86]De acuerdo a [2.73]

[2.87]Por tanto, Con base al siguiente otro teorema: Si y son variables ji-cuadrado independientemente distribuidas con y g de l, respectivamente, entonces la variable tiene una distribucin con g de l en el numerador y g de l en el denominador. Se obtiene

[2.87]Si consideramos que entonces

[2.88]En relacin a la descomposicin de la suma de cuadrados realizada en [2.62], el estadstico se puede escribir como

[2.89]El procedimiento para realizar la prueba de hiptesis de que , dado un nivel de significancia de es. Se la hiptesis de nulidad al nivel del si

[2.90]Donde indica el valor de tal que slo el de la distribucin se encuentra a la derecha de .

1.3 Prediccin

Una de las utilidades del anlisis de regresin es la prediccin. Es decir, usualmente nos interesa pronosticar cual es el valor de correspondiente a un valor determinado de. Supongamos que el valor dado de la variable explicativa es , entonces nuestro propsito es predecir el valor de .

[2.91]Sin embargo, como es una variable aleatoria no podremos conocer nunca su valor a priori aun en el caso de que se conocieran los parmetros poblacionales. Es decir, solo se puede estimar su valor esperado.

[2.92]En realidad, como tampoco es posible conocer E() tenemos que estimarla. Su estimador es el punto correspondiente sobre la recta de la FRM,

[2.93]Es importante considerar que el valor real de casi siempre es distinto a por las siguientes razones:a) El valor de no es igual a E()b) La FRM no es igual a la FRP debido a la existencia del error muestral.

1.3.1 Prediccin individual

Formalmente, el error de pronstico individual se puede escribir como,

Y se puede escribir tambin de la forma,

Ntese que, el error de pronstico, es una combinacin lineal de las variables aleatorias independientes ,,,,,. Siendo cada una variable aleatoria con una distribucin normal entonces el error del pronstico tambin es una variable aleatoria con una distribucin normal y quedar definida por su media y variancia. La media puede obtenerse de la forma siguiente,

Luego, su variancia es,

Por tanto,

Siendo,

De modo que,

El cual tambin podemos escribirlo como,

= +

Retomando la relacin anterior tenemos,

[2.94]En resumen,

Por tanto,

[2.95]Siendo,

Entonces,

Simplificando se obtiene,

[2.96]Finalmente, la expresin anterior se puede utilizar para realizar afirmaciones de tipo probabilstico acerca de los pronsticos. Concretamente, es posible establecer intervalos de confianza con una determinada probabilidad de que contenga el valor real de . Considerando que el nivel de significancia es el 5%, entonces,

De donde obtenemos,

[2.97]1.3.2 Prediccin media

Formalmente, la verdadera prediccin media, est dada por,

El cual estimamos mediante la FRM,

Que tambin, es una combinacin lineal de las variables aleatorias independientes,,,,. Siendo cada una variable aleatoria con una distribucin normal entonces la prediccin media es una variable aleatoria con una distribucin normal y quedar definida por su media y variancia. La media puede obtenerse de la forma siguiente,

Puesto que los estimadores mnimo cuadrticos son insesgados se obtiene,

La varianza de la prediccin media est definida por:

O alternativamente,

En resumen,

Por tanto,

Siendo,

Entonces,

Simplificando se obtiene,

Finalmente, la expresin anterior se puede utilizar para realizar afirmaciones de tipo probabilstico acerca de los pronsticos. Concretamente, es posible establecer intervalos de confianza con una determinada probabilidad de que contenga el valor medio de , . Considerando que el nivel de significancia es el 5%, entonces,

[2.98]

De donde obtenemos,

[2.99]_1230377498.unknown

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_1230474353.unknown

_1230477654.unknown

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