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CAPITULO 2 1 CAPITULO 2 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 2.1 MUESTREO Y RETENCIÓN 2.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 2.1 MUESTREO Y RETENCIÓN 2.1.1 MUESTREO DE UNA SEÑAL Modelado de la computadora digital EN el capítulo I se ha concentrado en el tratamiento matemático de las señales muestreadas. Ahora este capítulo se va a considerar el MODELADO y análisis de sistemas con entradas discretas t datos digitales. Para modelar sistemas digitales de control, se debe dar una representación matemática al proceso de muestreo y retención. Modelado del muestreador Nuestro objetivo en este punto es deducir un modelo matemático para la computadora digital representada por un muestreador y un retén de orden cero. El objetivo es representar la computadora como una función de transferencia similar a la de cualquier subsistema, pero, cuando se muestrean señales, se dificulta el manejo de la transformada de Laplace con la que hemos trabajado. La transformada de Laplace puede ser sustituida por otra transformada conexa llamada transformada Z. Muestreo mediante impulsos. Se considerará un muestreador ficticio comúnmente llamado muestreador mediante impulsos. La salida de este muestreador se considera como un tren de impulsos que comienza en t = 0, con el período de muestreo igual a T y la AGUSTIN SOTO – JORGE A. POLANIA

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CAPITULO 2 1

CAPITULO 2

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA  2.1 MUESTREO Y RETENCIÓN2.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

2.1      MUESTREO Y RETENCIÓN  2.1.1    MUESTREO DE UNA SEÑAL

Modelado de la computadora digitalEN el capítulo I se ha concentrado en el tratamiento matemático de las señales muestreadas. Ahora este capítulo se va a considerar el MODELADO y análisis de sistemas con entradas discretas t datos digitales. Para modelar sistemas digitales de control, se debe dar una representación matemática al proceso de muestreo y retención.

Modelado del muestreadorNuestro objetivo en este punto es deducir un modelo matemático para la computadora digital representada por un muestreador y un retén de orden cero. El objetivo es representar la computadora como una función de transferencia similar a la de cualquier subsistema, pero, cuando se muestrean señales, se dificulta el manejo de la transformada de Laplace con la que hemos trabajado. La transformada de Laplace puede ser sustituida por otra transformada conexa llamada transformada Z.

Muestreo mediante impulsos. Se considerará un muestreador ficticio comúnmente llamado muestreador mediante impulsos. La salida de este muestreador se considera como un tren de impulsos que comienza en t = 0, con el período de muestreo igual a T y la magnitud de cada impulso igual al valor muestreado de la señal en tiempo continuo en el instante de muestreo correspondiente. En la siguiente figura se muestra un diagrama de un muestreador mediante impulsos. [Se supone que x(t) =0 para t < 0.] (Puesto que, en forma matemática, un impulso está definido como una función que tiene una amplitud infinita con duración cero, esto se representa gráficamente mediante una flecha con una amplitud que representa la magnitud del impulso.)

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Señal continua Muestreador Señal muestreada

                   FIGURA 2.1

La salida muestreada mediante impulsos es una secuencia de impulsos, con la magnitud de cada impulso igual al valor de x(t) en el instante de tiempo correspondiente. [Esto es, en el tiempo t = kT, el impulso es x(kT)

. Observe que =0 a menos que t = kT] Se empleará la notación x*(t) para representar la salida muestreada mediante impulsos. La señal muestreada x*(t), un tren de impulsos, se puede representar mediante una sumatoria infinita

o

Se definirá un tren de impulsos unitarios como , o

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Formas de onda características para la entraday la salida del muestreador uniforme

FIGURA 2.2

La salida del muestreador es igual al producto de la señal en tiempo continuo de entrada x(t) por el tren de impulsos unitarios . En consecuencia, el muestreador se puede considerar como un modulador con la entrada x(t) como la señal moduladora y el tren de impulsos como la portadora, como se muestra en la siguiente figura.

FIGURA 2.3Muestreador mediante impulsos como modulador

Después, considere la transformada de Laplace de la ecuación anterior

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X*(s) = L[x*(t)] = x(0)L[δ(t)] + x(T)L[δ(t-T)] + x(2T) L[δ[t-2T)] + ···                           = x(0) + x(T)e –Ts + x(2T)e –2Ts + ···

X*(s) = x(kT) e –kTs

Si  z = e T s , esto es,  s = (1/T) ln (z), entonces,

El segundo miembro de la ecuaion es exactamente el mismo que el segundo miembro de la ecuación cuando se obtuvo la transformada z de la secuencia x(0), x(T), x(2T), ... , generada a partir de x(t) en t = kT, donde k = O, 1, 2, .... Por tanto se puede escribir

Observe que la variable z es una variable compleja y T es el período de muestreo. [Se debe enfatizar que la notación X(z) no significa X(s) reemplazando s por z, sino que X*(s =T-1 ln z).]

Conclusión:  La transformada de Laplace de una señal muestreada es la

misma transformada Z si:    z = eTs

2.1.2        Función de transferencia del retenedor de orden cero 

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Los diferentes tipos de señales en el esquema digital de arriba pueden representarse por las figuras siguientes.

Es el proceso de recuperación de la señal continua a partir de la señal discreta. El retenedor utiliza las muestras anteriores para extrapolar la señal continua entre el instante de muestreo presente y el siguiente.  

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El retenedor más utilizado es el retenedor de orden cero ZOH (zero order hold).  Este retenedor genera una señal continua h(t) manteniendo o reteniendo cada valor de la muestra cada periodo de muestreo. Esto es: 

h(kT+t) = x(kT),    para kT ≤ t ≤ (k+1)T

Se obtendrá un modelo matemático de la combinación de un muestreador real y de un circuito de retención de orden cero, como el que se muestra en la figura. A partir del hecho de que la integral de una función impulso es una constante, se puede suponer que el retenedor de orden cero es un integrador, y la entrada al circuito de retención de orden cero es un tren de impulsos. Entonces un modelo matemático para el muestreador real y el retenedor de orden cero se puede construir como se muestra en la figura, donde ZOH es la función de transferencia del retenedor de orden cero y x*(t) es la señal muestreada mediante impulsos de x(t).

  

FIGURA 2.4

 h(t) = x(0)u(t) + [x(T)-x(0)] u(t-T) + [x(2T)-x(T)] u(t-2T) + ··· 

h(t) = x(0)[u(t)-u(t-T)] + x(T)[u(t-T)-u(t-2T)] + x(2T)[u(t-2T)-u(t-3T)] + ···

h(t) =  x(kT) [u(t-kT) – u(t-(k+1)T)],    

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puesto que

aplicando transf_Laplace, 

OOOOJJJ00 Como, H(s) = GZOH(s) X*(s),

Debido a que X*(s) = x(kT) e –kTs

De lo anterior se tiene que la Función de transferencia del retenedor de orden cero es:

                                                          

Existe una función en Matlab, denominada c2d, que convierte un sistema continuo dado (ya en la forma función de transferencia o en la forma espacio de estado) al sistema discreto usando la operación de retención de orden cero explicada anteriormente. El comando básico es c2d es alguno de los siguientes.

[numDz,denDz] = c2dm (num,den,Ts,'zoh')[F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')

[numDz,denDz] = c2d (gp,Ts,'zoh')[F,G,H,J] = c2d(A,B,C,D,Ts,'zoh')

Aunque los retenedores de primer orden FOH (First Order Hold) cuya interpolación entre periodos de muestreo se hace en forma triangular, no se utilizan en sistemas de control se tiene que la función de transferencia para este retenedor es:

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h(kT+t) = x(kT) + [ x(k+1)T- x(kT)],  para kT t (k+1)T

2.2   FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

2.2.1        SISTEMA EN LAZO ABIERTO La función de transferencia relaciona la salida de un sistema en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada muestreada.

X( z )   Y(z) 

      Y(z) = G(z) X(z), entonces,

 Demostración: 

 FIGURA 2.5

Cuando se analiza los sistemas de control en tiempo discreto, es común encontrar que algunas señales en el sistema son señales asterisco (muestreadas) y otras que no lo son.

En la figura anterior la salida Y(s)=G(s) X*(s)

Donde X*(s), es periódica con un periodo 2/s, y G(s) es no periódica (continua)

Y*(s)=[ G(s) X*(s)]* discretizando Y(s)

Factorizando X*(s)

Y*(s)=[ G(s)]* X*(s) = G*(s) X*(s)

y(t)= L-1 [ G(s) X*(s) ] =

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y(t)=

y(t)=

entonces la transformada z de y(t) se convierte en

Donde m= n – k. De este modo,

EJEMPLO 2-1

Dado un ZOH en cascada con o bien

Encuentre la función de transferencia de datos muestreados, G(z), si el tiempo de muestreo, T, es 0.5 segundos.

Al tomar la tranformada inversa de Laplace, se obtiene

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Al sustituir T=0.5 se tiene:

EJEMPLO 2-2

Obtenga la función de transferencia pulso G(z) del sistema que se muestra

en la figura, donde G(s) está dada por

FIGURA 2.6

Observe que existe un muestreador a la entrada de G(s) y por tanto la función de transferencia pulso es G(z)=Z[G(s)]

Método 1: Refiriéndose a una tabla de transformadas, se tiene

Método 2: La función de respuesta impulso del sistema se obtiene como sigue:

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Por lo tanto k= 0, 1, 2, …

Por lo que

2.2.2        SISTEMAS EN CASCADA

 (a)  CON UN MUESTREADOR 

   FIGURA 2.7

Y(s) = G(s)H(s)X*(s), discretizando la ecuación,

Y*(s) = [G(s)H(s)]*X*(s),  si se simboliza  [G(s)H(s)]* =[GH(s)]*

Y*(s) = [GH(s)]*X*(s),  sacando transformada z :

Y(z) = [GH(z)]X(z), donde,  GH(z) Z[GH(s)] = Z[G(s)H(s)]

Por tanto, la función de transferencia para este sistema es igual a:

(b)  CON DOS MUESTREADORES SINCRONIZADOS 

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FIGURA 2.8

Y(s) = H(s)V*(s),   y   V(s) = G(s)X*(s)

discretizando las ecuaciones,

Y*(s) = H*(s)V*(s),  o sea que , Y(z) = H(z)V(z)  (1)V*(s) = G*(s)X*(s),  o sea que , V(z) = G(z)X(z)

Reemplazando V(z) en (1), se tiene:Y(z) = H(z) G(z)X(z)

Por tanto la función de transferencia del sistema es:

 EJEMPLO 2-3

(a) Obtener la función de transferencia de (T = 1.0):

                                                  FIGURA 2.9

Por tanto su transformada inversa de Laplace es igual a:f(t) = L- 1 [F(s)] = (1/3) e- 2  t – (1/3) e -5 t

La cual corresponde a una función discreta a:

f(kT) = (1/3) e- 2 kT – (1/3) e -5 kT,

que tiene una transformada Z igual a:

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 Para un periodo de muestreo T = 1, se tiene:

(b) Obtener la función de transferencia de: 

FIGURA 2.10

 

 Entonces la función de transferencia del sistema para T = 1 es igual a: 

 Se comprueba que G(z)H(z) ≠ GH(z)

2.2.3        SISTEMA EN LAZO CERRADO.

(a)  CON UN MUESTREADOR 

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 FIGURA 2.11

E(s): es el errorE(s) = R(s) – H(s)C(s), como, C(s) = G(s) E*(s),  entonces, E(s) = R(s) – G(s)H(s)E*(s),    tomando señales muestreadas,E*(s) = R*(s) – [G(s)H(s)]* E*(s), despejando E*(s),

Como     C*(s) = G*(s) E*(s), entonces, 

Tomando transf_Z, se tiene:

por tanto su función de transferencia es: 

 

(b)  CON DOS MUESTREADORES SINCRONIZADOS 

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CAPITULO 2 15

 FIGURA 2.12

E(s) = R(s) – H(s)C(s) , como , C(s) =V*(s)  y V(s) = G(s) E*(s),  entonces, C(s) = G*(s)E*(s)E(s) = R(s) – H(s)G*(s)E*(s), tomando señales muestreadas,E*(s) = R*(s) – H*(s)G*(s) E*(s), despejando E*(s), 

 Como     C*(s) = G*(s)E*(s), entonces, 

Tomando transf_Z, se tiene:

por tanto su función de transferencia es:

EJEMPLO 2-4

Calcular la función de transferencia de un  sistema en lazo cerrado con un

muestreador que tiene, , y   

GH(z) = Z[G(s)H(s)] 

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  Para T = 0.1 seg,  

2.2.4        SISTEMA DE CONTROL DIGITAL

 

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CAPITULO 2 17

OOOOOOJJ 

FIGURA 2.2

En la figura A/D es el muestreador, Gc(z) es el controlador digital, ZOH es el (convertidor D/A) y Gp(s) es la función de transferencia de la planta.

e(t) es la señal de error que se muestrea, e(kT) es la señal discreta del error, m(kT) es la salida del controlador digital que se obtiene al resolver la ecuación en diferencias de la función de transferencia del controlador, y  u(t)  es la señal de control que se debe aplicar a la planta.

G(s) = Gzoh(s) Gp(s) =

 

Del diagrama en bloques se tiene que,C(z) = [Gc(z)G(z)] E(z) y que E(z) = R(z) – C(z), entonces, C(z) = [Gc(z)G(z)] [R(z) – C(z)] = Gc(z)G(z)R(z) – Gc(z)G(z)C(z)

Luego entonces la función de transferencia es igual a:

Como la función de transferencia en lazo abierto de este sistema es:

Flazo-abierto(z) = Gc(z)G(z),

entonces, cuando la realimentación es igual a 1:

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EJERCICIOS

1.Considere el sistema que se muestra en la figura. Muestre que la función de transferencia

pulso esta dada por

2.Considere el sistema de control en tiempo discreto que se muestra en la figura. Obtenga la salida en tiempo discreto C(z) y la salida en tiempo continuo C(s) en términos de la entrada y las funciones de transferencia de los bloques.

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3.Obtenga la función de transferencia pulso en lazo cerrado del sistema que se muestra en la figura 3-67.

BIBLIOGRAFAI BASICA

SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO.AUTOR: Katsuhito Ogata.EDITORIAL: Pearson

SISTEMAS DE CONTROL DIGITALAUTOR: BENJAMIN C. KUOEDITORIAL: CECSA

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

DIGITAL CONTROL using digital signal processing.AUTOR: FARZAD NEKOOGAREDITORIAL: Prentice Hall

SISTEMAS DE CONTROL CONTINUO Y DISCRETO.

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G2(s)G1(s)

H(s)

XXR(s) E(s) C(s)M(s)

E*(s) M*(s)+ +

- -

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CONTROL DIGITAL 20

AUTOR: JHON DORSEYEDITORIAL: Mc GRAW Hill.

CONTROL SYSTEM DESIGN.AUTOR: GRAHAM C. GOODWINEDITORIAL: Prentice Hall.

CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO.AUTOR:SERGIO DOMINGUEZ Y OTROSEDITORIAL: Prentice Hall.

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