CAPITULO 2 MODIF

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CAPITULO 2 1CAPITULO 2FUNCIN DE TRANSFERENCIA 2.1 MUESTREO Y RETENCIN2.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA 2.1 MUESTREO Y RETENCIN 2.1.1 MUESTREO DE UNA SEALModelado de la computadora digitalEN el captulo I se ha concentrado en el tratamiento matemtico de las seales muestreadas. Ahora este captulo se va a considerar el MODELADO y anlisis de sistemas con entradas discretas t datos digitales. Para modelar sistemas digitales de control, se debe dar una representacin matemtica al proceso de muestreo y retencin.Modelado del muestreadorNuestro objetivo en este punto es deducir un modelo matemtico para la computadora digital representada por un muestreador y un retn de orden cero. El objetivo es representar la computadora como una funcin de transferencia similar a la de cualquier subsistema, pero, cuando se muestrean seales, se dificulta el manejo de la transformada de Laplace con la que hemos trabajado. La transformada de Laplace puede ser sustituida por otra transformada conexa llamada transformada Z. Muestreo mediante impulsos. Se considerar un muestreador ficticio comnmente llamado muestreador mediante impulsos. La salida de este muestreador se considera como un tren de impulsos que comienza en t = 0, con el perodo de muestreo igual a T y la magnitud de cada impulso igual al valor muestreado de la seal en tiempo continuo en el instante de muestreo correspondiente. En la siguiente figura se muestra un diagrama de un muestreador mediante impulsos. [Se supone que x(t) =0 para t < 0.] (Puesto que, en forma matemtica, un impulso est definido como una funcin que tiene una amplitud infinita con duracin cero, esto se representa grficamente mediante una flecha con una amplitud que representa la magnitud del impulso.)AGUSTIN SOTO JORGE A. POLANIACONTROL DIGITAL 2 Seal continua Muestreador Seal muestreada FIGURA 2.1La salida muestreada mediante impulsos es una secuencia de impulsos, con la magnitud de cada impulso igual al valor de x(t) en el instante de tiempo correspondiente. [Esto es, en el tiempo t = kT, el impulso es x(kT) ) ( kT tT . Observe que ) ( kT tT =0 a menos que t = kT] Se emplear la notacin x*(t) para representar la salida muestreada mediante impulsos. La seal muestreada x*(t), un tren de impulsos, se puede representar mediante una sumatoria infinita 0) ( ) ( ) ( *k kT t kT x t x o + + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( * kT t kT x T t T x t x t x Se definir un tren de impulsos unitarios como ) (tT , o 0) ( ) (kT kT t t UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANACAPITULO 2 3Formas de onda caractersticas para la entraday la salida del muestreador uniformeFIGURA 2.2La salida del muestreador es igual al producto de la seal en tiempo continuo de entrada x(t) por e l tren de impulsos unitarios ) (tT . En consecuencia, el muestreador se puede considerar como un modulador con la entrada x(t) como la seal moduladora y el tren de impulsos ) (tT como la portadora, como se muestra en la siguiente figura.FIGURA 2.3Muestreador mediante impulsos como moduladorDespus, considere la transformada de Laplace de la ecuacin anteriorAGUSTIN SOTO JORGE A. POLANIACONTROL DIGITAL 4X*(s) = L[x*(t)] = x(0)L[(t)] + x(T)L[(t-T)] + x(2T) L[[t-2T)] + = x(0) + x(T)e Ts + x(2T)e 2Ts + X*(s) = 0 kx(kT) e kTsSi z = e T s , esto es, s = (1/T) ln (z), entonces, 0k -(1/T)ln(z) s z x(kT) ) ( *ks XEl segundo miembro de la ecuaion es exactamente el mismo que el segundo miembro de la ecuacin cuando se obtuvo la transformada z de la secuencia x(0), x(T), x(2T), ... , generada a partir de x(t) en t = kT, donde k = O , 1, 2, .... Por tanto se puede escribirX(z) ) ( *(1/T)ln(z) s s X ,_

0k -(1/T)ln(z) s z x(kT) ) ( ln1* ) ( *kz X zTX s XObserve que la variable z es una variable compleja y T es el perodo de muestreo. [Se debe enfatizar que la notacin X(z) no significa X(s) reemplazando s por z, sino que X*(s =T-1 ln z).]Conclusin: La transformada de Laplace de una seal muestreada es la misma transformada Z si: z = eTs2.1.2 Funcin de transferencia del retenedor de orden cero UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANACAPITULO 2 5Los diferentes tipos de seales en el esquema digital de arriba pueden representarse por las figuras siguientes. Es el proceso de recuperacin de la seal continua a partir de la seal discreta. El retenedor utiliza las muestras anteriores para extrapolar la seal continua entre el instante de muestreo presente y el siguiente. AGUSTIN SOTO JORGE A. POLANIACONTROL DIGITAL 6El retenedor ms utilizado es el retenedor de orden cero ZOH (zero order hold). Este retenedor genera una seal continua h(t) manteniendo o reteniendo cada valor de la muestra cada periodo de muestreo. Esto es: h(kT+t) = x(kT), para kT t (k+1)TSe obtendr un modelo matemtico de la combinacin de un muestreador real y de un circuito de retencin de orden cero, como el que se muestra en la figura. A partir del hecho de que la integral de una funcin impulso es una constante, se puede suponer que el retenedor de orden cero es un integrador, y la entrada al circuito de retencin de orden cero es un tren de impulsos. Entonces un modelo matemtico para el muestreador real y el retenedor de orden cero se puede construir como se muestra en la figura, donde ZOH es la funcin de transferencia del retenedor de orden cero y x*(t) es la seal muestreada mediante impulsos de x(t). FIGURA 2.4 h(t) = x(0)u(t) + [x(T)-x(0)] u(t-T) + [x(2T)-x(T)] u(t-2T) + h(t) = x(0)[u(t)-u(t-T)] + x(T)[u(t-T)-u(t-2T)] + x(2T)[u(t-2T)-u(t-3T)] + h(t) = 0 kx(kT) [u(t-kT) u(t-(k+1)T)], UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANACAPITULO 2 7puesto que sekT t u L kTs )] ( [ aplicando transf_Laplace, OOOOJJJ00 Como, H(s) = GZOH(s) X*(s), Debido a que X*(s) = 0 kx(kT) e kTs) ( *1) ( s Xses H Ts De lo anterior se tiene que la Funcin de transferencia del retenedor de orden cero es:ses G TsZOH1) ( Existe una funcin en Matlab, denominada c2d, que convierte un sistema continuo dado (ya en la forma funcin de transferencia o en la forma espacio de estado) al sistema discreto usando la operacin de retencin de orden cero explicada anteriormente. El comando bsico es c2d es alguno de los siguientes. [numDz,denDz] = c2dm (num,den,Ts,'zoh')[F,G,H,J] = c2dm (A,B,C,D,Ts,'zoh')[numDz,denDz] = c2d (gp,Ts,'zoh')[F,G,H,J] = c2d(A,B,C,D,Ts,'zoh')Aunque los retenedores de primer orden FOH (First Order Hold) cuya interpolacin entre periodos de muestreo se hace en forma triangular, no se utilizan en sistemas de control se tiene que la funcin de transferencia para este retenedor es:21) 1 ( ) (TsTse s G TsFOH + AGUSTIN SOTO JORGE A. POLANIACONTROL DIGITAL 8h(kT+t) = x(kT) + TkT t [ x(k+1)T- x(kT)], para kT t (k+1)T2.2 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA2.2.1 SISTEMA EN LAZO ABIERTO La funcin de transferencia relaciona la salida de un sistema en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada muestreada.X( z ) Y(z) Y(z) = G(z) X(z), entonces, ) () () (z X z Yz G Demostracin: FIGURA 2.5Cuando se analiza los sistemas de control en tiempo discreto, es comn encontrar que algunas seales en el sistema son seales asterisco (muestreadas) y otras que no lo son.En la figura anterior la salida Y(s)=G(s) X*(s)Donde X*(s), es peridica con un periodo 2 / s, y G(s) es no peridica (continua)Y*(s)=[ G(s) X*(s)]* discretizando Y(s) Factorizando X*(s)UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANACAPITULO 2 9Y*(s)=[ G(s)]* X*(s) = G*(s) X*(s)y(t)= L-1 [ G(s) X*(s) ] = d x t gt ) ( * ) ( 0 y(t)= 0 k00 k0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( d kT x t g d kT x t g t ty(t)= ) ( ) (0 k kT x kT t g entonces la transformada z de y(t) se convierte ennn z kT x kT nt g t y Z z Y 1]1

0 0 k) ( ) ( )] ( [ ) () (0 0 k) ( ) ( ) ( m km z kT x mT g z Y + Donde m= n k. De este modo,k mm z kT x z mT g z Y ) ( ) ( ) (0 k 0) ( ) ( ) ( z X z G z Y EJEMPLO 2-1Dado un ZOH en cascada con 12) (1++sss G o bien 12 1) (++ssses G TsEncuentre la funcin de transferencia de datos muestreados, G(z), si el tiempo de muestreo, T, es 0.5 segundos.ss Ge s G Ts) () 1 ( ) (1 1]1

1]1

ss Gzzss GZ z z G) ( 1 ) ( ) 1 ( ) (1 1 111 21 ) 1 (2 ) () (12+ ++ ++ s s sBsAs ssss Gs GAGUSTIN SOTO JORGE A. POLANIACONTROL DIGITAL 10Al tomar la tranformada inversa de Laplace, se obtiene te t g 2 ) (2kTe kT g 2 ) (2Te z zz zz G 12) (2Al sustituir T=0.5 se tiene: ) 607 . 0 )( 1 (213 . 0607 . 0 12 ) () (212 1]1

z z z zz zz zss GZ z G607 . 0213 . 0) (1) (2zzz Gzzz GEJEMPLO 2-2Obtenga la funcin de transferencia pulso G(z) del sistema que se muestra en la figura, donde G(s) est dada por a ss G+1) (FIGURA 2.6Observe que existe un muestreador a la entrada de G(s) y por tanto la funcin de transferencia pulso es G(z)=Z[G(s)]Mtodo 1: Refirindose a una tabla de transformadas, se tiene 111 1 1]1

+z e a s aTUNIVERSIDAD SURCOLOMBIANACAPITULO 2 11111) ( z ez G aTMtodo 2: La funcin de respuesta impulso del sistema se obtiene como sigue:ate s G L t g )] ( [ ) (1Por lo tanto , ) ( akTe kT g k= 0, 1, 2, Por lo que ( ) 0 0 0) ( ) (kkaTkk akTkkz e z e z kT g z G111) ( z ez G aT2.2.2 SISTEMAS EN CASCADA (a) CON UN MUESTREADOR FIGURA 2.7Y(s) = G(s)H(s)X*(s), discretizando la ecuacin,Y*(s) = [G(s)H(s)]*X*(s), si se