Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    3.- CONCEPTOS BSICOS

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    3.1 ESFUERZOS EN BARRAS: CONVENIO DESIGNOS

    Los esfuerzos en los elementos estructurales lineales debern seguir el

    convenio de signos que se esquematiza a continuacin. Los esfuerzosque en la figura 3.1 actan sobre la rebanada son, en cada uno de lostres casos (flector, cortante y axil) considerados como positivos.

    Figura 3.1

    3.2 DEFORMACIN Y ENERGA DE DEFORMACINDE PIEZAS PRISMTICAS

    Energa de deformacin en una rebanada

    Una rebanada en una barra o pieza prismtica constituyente de unaestructura es un segmento de la pieza delimitado por dos secciones(normales a la directriz de la pieza) y separadas una distancia dS. Larebanada es el elemento ms pequeo que se identifica en la barra opieza prismtica a efectos de plantear las deformaciones a las que danlugar los esfuerzos resultantes de la aplicacin de un estado de cargassobre la estructura. Las deformaciones en la barra se obtendrn porsuma (integracin) de las deformaciones de las rebanadas.

    Se recuerdan, a continuacin, las deformaciones producidas en

    una rebanada por los diferentes tipos de esfuerzos que sta puedesufrir.

    a) Esfuerzo axil.- Sea una rebanada sometida a un esfuerzo axilcomo se muestra en la figura 3.2.

    Figura 3.2

    N N

    ds

    M. Flector Cortante Axil

    x

    Valor del

    esfuerzo

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    dsE

    N)ds(

    E

    N

    ds

    )ds(

    =

    =

    1

    La relacin entre el alargamiento de la rebanada (ds) y el axilaplicado N viene dada por

    siendo el rea de la seccin, ds su espesor y E el mdulo deelasticidad del material.

    Si el esfuerzo axil se aplica incrementando su valor desde 0 hastaN, el trabajo total realizado sobre la rebanada y, por tanto, la energa dedeformacin que sta acumula, es:

    b) Momento flector.- Sea una rebanada sometida a un momentoflector como se muestra en la figura 3.3.

    Figura 3.3

    La relacin entre el giro relativo d entre las dos secciones quedelimitan la rebanada y el momento flector aplicado M viene dada por

    siendo I el momento de inercia de la seccin, ds su espesor y E elmdulo de elasticidad del material.

    dsEI

    Md =

    dsE

    N)ds(NTrabajo

    ==

    2

    2

    1

    2

    1

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    Si el momento se aplica incrementando su valor desde 0 hasta M,el trabajo total realizado sobre la rebanada y, por tanto, la energa dedeformacin que sta acumula, es:

    c) Esfuerzo cortante.- Sea una rebanada sometida a un esfuerzocortante, como se muestra en la figura 3.4.

    Figura 3.4

    La relacin entre el desplazamiento relativo d entre las dossecciones que delimitan la rebanada y el esfuerzo cortante Q aplicadoviene dada por

    siendo AC el rea a cortante de la seccin, ds su espesor y G el mdulode cortadura del material.

    Si el cortante se aplica incrementando su valor desde 0 hasta Q,el trabajo total realizado sobre la rebanada y, por tanto, la energa dedeformacin que sta acumula, es:

    dsGA

    Qdv

    c

    =

    Q

    ds

    dv

    dsEI

    M

    MdTrabajo

    2

    2

    1

    2

    1

    ==

    dsGA

    QQdTrabajo

    c

    2

    2

    1

    2

    1==

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    dS

    d) Momento torsor.- Sea una rebanada sometida a un momentotorsor, tal como se muestra en la figura 3.5.

    Figura 3.5

    La relacin entre el giro relativo d (segn un eje perpendicular alas secciones) entra las dos caras de la rebanada y el momento torsorMTaplicado viene dado por:

    siendo el giro relativo por unidad de longitud de rebanada, G elmdulo de cortadura del material y K el mdulo de torsin.

    Si el momento se aplica incrementando su valor desde 0 hastaMT, el trabajo total realizado sobre la rebanada, que queda almacenado

    como energa de deformacin en la misma, es:

    Energa de deformacin en una pieza prismtica

    La energa de deformacin acumulada por una pieza prismtica (barra)de extremos las secciones A y B es la suma (integral) de las energas dedeformacin acumuladas por todas las rebanadas de la barra

    comprendidas entre ambas secciones.

    +++

    =

    B

    Ac

    GK

    dsM

    GA

    dsQ

    EI

    dsM

    E

    dsNU T

    2222

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    Energa de deformacin en un conjunto de piezas prismtica

    La energa de deformacin acumulada por un conjunto de barrasprismticas (estructura) es la suma de las energas de deformacin detodas y cada una de las barras:

    dsGK

    Mdsd

    T

    ==

    dsGK

    MTrabajo

    T2

    2

    1=

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    +++

    =

    B

    Ac

    GK

    dsM

    GA

    dsQ

    EI

    dsM

    E

    dsNU T

    2222

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    3.3 TEOREMAS ENERGTICOS (RECORDATORIO)

    3.3.1 Principio de los trabajos virtuales (Jean Bernoullis. XVIII)

    3.3.1.1 Trabajo de las acciones externas.

    Trabajo de una fuerza.- Considrese una fuerza F cuyo punto deaplicacin es el punto A (figura 3.6). Si el punto de aplicacin A de la

    fuerza F se desplaza hasta A, el trabajo realizado por la fuerza vienedado por la expresin

    dU = F.dr = Fdr cos

    Figura 3.6

    Una fuerza puede no realizar trabajo si su lnea de accin esortogonal al desplazamiento del punto sobre el que acta (cos = 0)

    Supngase ahora que el punto de aplicacin de la fuerza F sigueuna trayectoria definida por una curva C (figura 3.7).

    O

    rr + dr

    drAA

    F

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    Figura 3.7

    Aproximando el movimiento de A a lo largo de C como unasucesin de incrementos diferenciales rectilneos, y dado que el trabajorealizado en cada desplazamiento diferencial es

    dU = F.dr = Fdr cos

    integrando a lo largo de la lnea C desde A1 hasta A2, se obtiene el

    trabajo total realizado por la fuerza como

    ==2

    1

    2

    121

    S

    S

    A

    A

    __

    AAdscosFdr.FU

    Trabajo de un par (momento).- Supngase un momento M actuandosobre un slido y produciendo en ste un giro d como se indica en lafigura 3.8.

    Figura 3.8

    dr

    A

    F

    A1

    A2

    C

    o

    M

    rr

    M

    r

    d

    M

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    Desglosado el momento M en un par de fuerzas M/r y M/r, eltrabajo realizado resulta

    Mddrr

    Md

    r

    r

    MdU =+=

    22

    Supngase ahora que, bajo la accin de un momento M, el slidogira (figura 3.9) desde una posicin inicial definida por un ngulo 1hasta una posicin final definida por un ngulo 2.

    Figura 3.9

    Aproximando el movimiento del slido como una sucesin de girosincrementales, el trabajo realizado en cada giro diferencial es:

    MddU= de donde, integrando, se obtiene:

    =2

    121

    MdU

    3.3.1.2 Principio de los trabajos virtuales para slidos rgidos.-

    Sea una partcula sobre la que actan varias fuerzas que mantienen ala partcula en equilibrio; supngase que la partcula, inicialmente en laposicin A, realiza un desplazamiento pequeo (imaginario, virtual)hasta el punto A (figura 3.10).

    1

    2

    M

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    Figura 3.10

    El trabajo del sistema de fuerzas sera:

    U = F1r + F2r + F3r + F4r = (F1 + F2 + F3 + F4)r = R.r

    Si la partcula est en equilibrio (R = 0) con lo cual U = 0

    Si una partcula est en equilibrio, el trabajo virtual total de lasfuerzas que actan sobre ella es cero para cualquierdesplazamiento virtual de la partcula

    Considrese el slido deformable de la figura 3.11 que est enequilibrio bajo la accin de fuerzas por unidad de volumen Vf

    r

    y fuerzas

    en el contorno fr

    .

    Supngase que se somete al slido a un movimiento virtualcompatible con la condicin de continuidad de la materia y con losvnculos del slido.

    Las fuerzas internas (accin y reaccin) en el slido (rgido)realizan trabajos iguales en valor absoluto pero de distinto signo con locual el trabajo de estas fuerzas es nulo.

    Figura 3.11

    x

    y

    z f

    fV

    x

    y

    z f

    fV

    x

    y

    z f

    fV

    x

    y

    z f

    fV

    F1F2

    F4F3

    A Ar

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    Si un slido rgido est en equilibrio bajo la accin de un sistemade fuerzas, el trabajo virtual total de las fuerzas externas queactan sobre l es cero para cualquier desplazamiento virtual delslido

    El principio de los trabajos virtuales es tambin aplicable a unsistema de slidos rgidos unidos, si el sistema permanece unidodurante el desplazamiento virtual, pues el trabajo de las fuerzasinternas es cero.

    3.3.1.3Trabajo de las fuerzas internas.

    3.3.1.4 Principio de los trabajos virtuales para slidos deformables.-

    Considrese el slido deformable de la figura 3.12 que est en equilibriobajo la accin de fuerzas por unidad de volumen Vfr

    y fuerzas en el

    contorno fr

    y del que se conocen los tensores de tensin [T ], dedeformacin [D], as como el campo de desplazamientos u

    r

    .

    x

    y

    z f

    fV

    [T], [D]d

    x

    y

    z f

    fV

    [T], [D]u

    Figura.3.12

    Supngase que se somete el slido a unos desplazamientosvirtuales de sus puntos, compatibles con la condicin de continuidadde la materia y con los vnculos del slido. Estos desplazamientosvirtuales dan lugar a un campo de deformaciones (virtual) .

    Puede demostrarse la siguiente expresin:

    ( )dVoldVolfdVolf

    V yzyzxzxzxyxyzzyyxx

    V V

    +++++=

    = +

    rrrr

    El primer miembro de la igualdad es el trabajo realizado por lasfuerzas aplicadas al slido (por unidad de volumen y en el contorno) y elsegundo miembro representa el trabajo de las fuerzas internas que seacumulara en el slido caso de que sufriera el campo dedesplazamientos virtuales (las componentes de tensin son las que,

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    realmente, existen dentro del slido, mientras que las componentes dedeformacin que aparecen se deducen del campo de desplazamientosvirtuales).

    3.2.2 Teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti

    Sea el caso, por ejemplo, de una mnsula sometida a dos estados decarga diferentes: uno, el constituido por una carga F1 aplicada en laseccin A y otro, el que corresponde a una carga F2 aplicada en laseccin media C de la mnsula, (figura 3.13).

    Figura 3.13

    El teorema de reciprocidad permite relacionar ambos estados decarga.

    En un slido elstico el trabajo realizado por un sistema de cargasFal aplicar otro sistema de cargasG, es idntico al trabajo realizadopor el sistema de cargasGal aplicar el sistema de cargasF

    En el caso de la figura 3.13, lo anterior conduce a que:

    1

    2

    2

    1

    sistema

    C

    sistema

    A fFfF =

    en donde 2sistemaA

    f es el desplazamiento vertical (flecha) de la seccin A

    cuando acta sobre la mnsula slo y exclusivamente el sistema de

    cargas 2 y 1sistemaC

    f la flecha de la seccin C cuando solamente acta el

    sistema de cargas 1.

    Este teorema se puede aplicar al caso de una misma estructurasometida a dos estados de carga diferentes (estados 1 y 2). Si existieranmomentos exteriores actuando sobre la estructura, sustituiramos

    fuerzas por momentos y flechas por giros.

    x

    y

    F

    L

    SistemaF

    L/2

    Sistema

    AB A B

    L/2

    x

    y

    F1

    L

    Sistema 1F2

    L/2

    Sistema 2

    AB A B

    L/2

    CC

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    3.2.3 Teorema de Castigliano (1847-1884)

    En una estructura sometida a un sistema de cargas (fuerzas ymomentos), la derivada de la energa elstica respecto a una de lasacciones (fuerzas o momentos) es igual al valor del movimiento(desplazamiento o giro) en la seccin de aplicacin de la accin ysegn la direccin de la misma.

    EJEMPLO 1.- Considrese la mnsula de longitud L de la figura 3.14que tiene una carga P aplicada en el extremo libre

    Figura 3.14

    La ley de momentos flectores obedece a la expresin

    Si no se considera la contribucin del cortante, la energa elsticaalmacenada es:

    Derivando la expresin de la energa elstica se obtiene:

    EI

    PL

    P

    U

    3

    3

    =

    AB

    P.L

    AB

    P

    x

    )xL(PM =

    EI

    LP)xL(

    EI

    Pdx)xL(

    EI

    P

    EI

    dxMU

    llx

    x

    B

    A

    6322

    2

    1

    32

    00

    322

    2

    2

    =

    ==

    ==

    =

    =

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    14

    EJEMPLO 2.-Considrese la barra biapoyada de la figura 3.15 que tieneun momento M aplicado en un extremo

    Figura 3.15

    La expresin de la energa elstica, en este caso, es:

    Derivando la expresin de la energa elstica se obtiene:

    Variante prctica del Teorema de Castigliano.-

    Considrese el caso de la mnsula de longitud L con una carga Paplicada en su extremo libre que se muestra en la figura 3.16. Cmocalcular el desplazamiento en punto C diferente al de aplicacin de lacarga?

    Figura 3.16

    ALTERNATIVA 1.-Una primera posibilidad es suponer aplicada tambin en C una cargaauxiliar F (figura 3.17), obtener la expresin de la energa elsticau=u(P,F) (que depender de P y de F), derivar esta expresin respecto aF y finalmente hacer F=0. Este procedimiento puede resultar largodesde el punto de vista operativo.

    c

    CB

    LAP

    M

    M

    B

    A

    X

    A

    EI

    ML

    M

    U:oCastiglian.T ==

    3

    EILMdx)xL(

    EILM

    IdxMU

    lx

    x

    B

    A 6221

    2

    0

    22

    2

    2

    ====

    =

    C

    B

    F

    A P

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    Figura 3.17

    ALTERNATIVA 2.-La energa elstica obedece a la expresin

    +++

    = B

    A T

    cGK

    dsM

    GA

    dsQ

    EI

    dsM

    E

    dsNU 2222

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    y su derivada

    +

    +

    +

    =

    = BA

    T

    T

    cGK

    ds

    F

    MM

    GA

    ds

    F

    QQ

    EI

    ds

    F

    MM

    E

    ds

    F

    NN

    F

    U

    Las derivadas de N, M y MT respecto a F que aparecen en laexpresin anterior pueden interpretarse como las variaciones del axil,del flector y del torsor en el estado real al variar la carga aplicada F enuna unidad. A partir de esta interpretacin, la expresion anterior puedeescribirse como

    +++

    = B

    A T

    O

    T

    c

    III

    GK

    dsMM

    GA

    dsQQ

    EI

    dsMM

    E

    dsNN 1000

    siendo:

    N0, M0, Q0 y MT0 el axil, el flector, el cortante y el torsor en elestado real, y

    NI, MI, QI y MTI el axil, el flector, el cortante y el torsor en unestado ficticio sin carga exterior alguna excepto una carga unidad(fuerza si se quiere calcular desplazamientos o momento si lo quese quiere es giro) en la direccin del movimiento que se deseacalcular.

    EJEMPLO.- Considrese el caso de la mnsula de longitud L con unacarga P aplicada en su extremo libre que se muestra en la figura 3.18, ysupongamos que deseamos determinar el giro que experimenta laseccin B.

    Figura 3.18

    La ley de Momentos flectores del estado 0, estado real, se muestra enla figura 3.19

    B

    L

    A

    P

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    16

    [ ]EI

    PL)xL(

    EI

    P

    EI

    dx)xL(P

    lB

    AB

    221

    2

    0

    2

    =

    = =

    Figura 3.19

    La ley de Momentos flectores del estado 1, estado ficticio oauxiliar se muestra en la figura 3.20

    Figura 3.20

    Aplicando la expresin anterior, el giro en el nudo B se obtiene

    como:

    En este caso,

    (Mf)aux es la tasa de variacin del Mfcon respecto a un momento M= 1 aplicado en B

    (Mf)real es P(L-x)

    2.4 MOVIMIENTOS EN BARRAS PRISMTICAS

    3.4.1 Frmulas de Navier-Bresse

    Considrese una pieza (barra) prismtica alabeada como la de lafigura 3.21 y en ella dos puntos A y B.

    L

    PL

    A P

    B X

    ESTADO 0 "real"

    LA

    1

    B

    ESTADO

    1

    "ficticio"auxiliar

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    17

    Figura 3.21

    Las frmulas de Navier-Bresse plantean las expresiones de losmovimientos (traslaciones y giros) de un punto de la barra (el B) enfuncin de los movimientos del punto A y de los esfuerzos de la barra enel tramo AB.

    Primera frmula.- El movimiento de traslacin del punto B segn el ejex (por ejemplo)

    son los del punto A

    = AB UU ms

    la contribucin del giro de A

    += ABUU AAB ms la acumulacin de movimientos de las rebanadas entre A y

    B

    ++=

    B

    AAAB

    udABUU ms la acumulacin de las contribuciones de los giros de las

    rebanadas entre A y B

    +++= rdudABUUB

    A

    B

    AAAB

    Segunda frmula.- El giro del punto B

    es el del punto A

    X

    Y

    Z X

    Y

    Z

    A

    B

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    18

    =AB

    ms la acumulacin de los giros de las rebanadas entre A y B

    += B

    AABd

    3.4.2 Las frmulas de Navier-Bresse en barras rectascon cargas en un plano

    En el caso de que la pieza sea recta con cargas en el plano, lasexpresiones de los teoremas de Navier-Bresse pasan a ser lassiguientes:

    +=B

    AABdx

    EIM

    +=B

    AABdx

    EA

    Nuu

    ( ) ( ) +=B

    A B

    B

    A

    C

    ABAABdxxx

    EI

    Mdx

    GA

    Qxxvv

    3.4.3 Teoremas de Mohr

    Considrese una barra de seccin constante que se deformaprincipalmente bajo la accin de una ley o distribucin de momentosflectores (se desprecia el efecto de los esfuerzos cortante y axil)producidos por un cierto estado de cargas como se esquematiza en lafigura 3.22.

    Figura 3.22

    tAtB

    A

    A

    B

    B

    d(B, tA)

    d(c.d.g., B)

    Barra

    Deformada

    Ley de momentos

    flectores

    A - B

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    19

    Fijados dos puntos A y B de la barra, en la figura 3.22 se

    identifican los siguientes parmetros y elementos geomtricos

    Rectas tangentes a A y B en la deformada.

    Distancia desde B a la recta tA (tangente a la deformada enA)

    rea MfAB del recinto delimitado por la representacingrfica de la distribucin de momentos flectores (diagramade momentos).

    Centro de gravedad c.d.g. del recinto anterior

    Distancia paralela a la barra desde c.d.g. hasta BA partir de estos parmetros se enuncian los teoremas de Mohrque son los siguientes.

    Primer Teorema.-

    El giro relativo B-A entre dos secciones de la barra es igual alrea del diagrama de momentos flectores entre A y B dividida porEI

    ( )ABfAB EI

    =1

    Segundo Teorema.-La distancia d desde un punto B de la directriz deformada a latangente en otro punto A es igual al momento esttico del rea(Mf)AB de momentos flectores entre A y B, respecto al ejeperpendicular a la barra que pasa por B, dividido por EI

    ( ) )e.,g.d.c(dEI

    dBABf

    =1

    En estas expresiones se consideran despreciables los efectos en ladeformacin de la barra del esfuerzo cortante y del esfuerzo axil; esdecir que se considera que la deformada se produce fundamentalmentepor efecto del momento flector, lo que es una hiptesis plausible en elcaso de las barras.

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    20

    E

    C

    A

    B

    D

    A1

    A2

    A3

    A4

    AB

    3.4.4 Generalizacin de los teoremas de Mohr apiezas rectas con puntos angulosos en su directriz.

    Considrese una estructura (barra con dos puntos angulosos) como lade la figura 3.23 sometido a un estado de cargas; en la seccin A de laestructura, se quiere obtener el valor del giro absoluto A y deldesplazamiento A en la direccin definida por el eje .

    Figura 3.23

    Primer teorema generalizado de Mohr.-

    Este teorema posibilita el clculo de los giros de secciones de unaestructura con puntos angulosos. Supongamos que la ley de momentosflectores de la pieza es la que se representa en la figura 3.24:

    Figura 3.24

    Aplicando el primer teorema de Mohr a cada tramo recto de laestructura se obtienen los giros relativos de los nodos extremos deltramo.

    Giro relativo entre A y B.

    = A1/(EI)AB

    P

    E

    C

    A

    B

    P

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    21

    BC

    CD

    DE

    A

    Giro relativo entre B y C.

    = A2/(EI)BC

    Giro relativo entre C y D.

    = A3/(EI)CD

    Giro relativo entre D y E.

    = A4/(EI)DE

    En las expresiones anteriores, Ai representa el rea definida por laley de momentos flectores en el correspondiente tramo. Dado que elsentido del giro viene dado por el de las flechas curvadas, lasexpresiones anteriores son todas positivas; en cualquier caso, al giro sesuele considerar positivo cuando sigue el sentido contrario de las agujasdel reloj.

    Dado que el punto E no gira por ser un empotramiento, resulta:

    Giro absoluto de A = Giro relativo entre A y E

    El giro relativo entre A y E (y, por tanto, el giro absoluto de A) se obtienecomo suma algebraica de los giros relativos entre B y C, entre C y D yentre D y E. Obsrvese que, los momentos positivos producen giros en

    el sentido contrario de las agujas del reloj y los negativos en el sentidode las agujas del reloj. As, la contribucin al giro de A de la ley demomentos flectores en el tramo DE tiene signo contrario a lacontribucin de las leyes de momentos flectores en los otros tramos.

    = A1/(EI)AB + A2/(EI)BC + A3/(EI)CD - A4/(EI)DE

    Para aplicar este proceso de clculo se han de determinar conexactitud los puntos de la estructura en los que cambia el signo delmomento flector.

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    22

    AB

    C

    h

    l

    EI

    P

    EI

    hl

    Pl

    EI

    h)Pl(

    EI

    l)Pl(

    A

    +

    =+=22

    1

    EJEMPLO. En la figura 3.25 se muestra una estructura (semiprtico)de la que se quiere conocer el giro del punto A.

    Figura 3.25

    La ley de momentos flectores se representa en la figura 3.26

    Figura 3.26Aplicando el Primer Teorema Generalizado de Mohr, el valor del

    giro A en el punto A resulta

    Segundo teorema generalizado de Mohr.-

    Este teorema posibilita el clculo de desplazamientos segn unadireccin determinada en estructuras con puntos angulosos. Se han dedistinguir dos casos correspondientes a las situaciones de que el eje

    corte a la directriz de la estructura o que no la corte.

    Pl

    PlA

    A1 +

    A2 +

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    23

    Caso 1) El ejeno corta a la directriz en ningn otro punto

    En la figura 3.27 se representa una estructura y la ley demomentos flectores producidos por un cierto sistema de cargas.

    Figura 3.27

    Considrese una rebanada del tramo CB; su giro, d, arrastra altramo que hay desde la rebanada hasta el punto A dando lugar a unmovimiento de este punto en direccin perpendicular al radio vectorrebanada-punto A y de valor h.d, siendo h la distancia desde larebanada hasta A. La proyeccin de este movimiento en direccin del eje es:

    dA=(h d).cos

    En la expresin anterior, h cos representa la distancia, f, de larebanada considerada a la lnea hasta el eje (figura 3.28).

    Figura 3.28

    El giro de la rebanada d depende del valor del momento flectorque acta sobre ella, de forma tal que

    h

    E

    C

    D

    B

    A

    h

    hd

    A

    d

    f=h.cos

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    24

    dsEI

    Mffdd

    A==

    La contribucin al movimiento de A del tramo BC completo es,

    === MdsfEI

    dsEI

    Mffd

    A

    1 En la integral que aparece en el ltimo miembro de la expresin

    anterior, el factor 1/EI se ha supuesto constante circunstancia que esfrecuente en los elementos estructurales tipo barra. Por otro lado, estatiene una clara interpretacin geomtrica basada en el concepto decentro de gravedad por lo que puede convertirse en el producto de dosfactores: el rea A de la regin delimitada por la ley de momentosflectores y la distancia del punto G al eje siendo G el puntoproyeccin del centro de gravedad de la regin A sobre la directriz de labarra (figura 3.29).

    Figura 3.29

    C

    ds

    G

    G

    B

    A

    f

    fG

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    25

    Pl

    Pl

    A

    A1

    A2

    G2 G2

    G1

    G1U

    V

    EJEMPLO 1.- En la estructura cuya geometra y cargas se incluyen enla figura 3.30, se pide calcular los desplazamiento vertical y horizontaldel punto A.

    AB

    C

    h

    l

    EI

    P

    Figura 3.30

    La ley de momentos flectores de la estructura se muestra en lafigura 3.31

    Figura 3.31

    El movimiento vertical de A se obtiene como movimiento respectoal eje vertical V

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    26

    12t

    2t

    4t

    E

    D C

    B

    A

    4m

    2m 4m

    ( ) ( )[ ]

    EI

    )hL(PL

    L*h*PLL*PLEI

    V,Gd*AV,Gd*AEI

    VA

    +

    =

    =

    +=+=

    3

    3

    2

    2

    111

    2

    2

    2211

    El desplazamiento horizontal se obtiene respecto al eje U

    ( )EI

    PLhhPLh

    EIU,Gd*A

    EIU

    A22

    11 2222

    ===

    Puede observarse en esta ltima expresin que la ley demomentos flectores del tramo AB no contribuye al desplazamiento

    horizontal de este punto.

    EJEMPLO 2.- En la estructura cuya geometra y cargas se muestran enla figura 3.32 se pide determinar los desplazamientos horizontal yvertical de los puntos A y C. Considrese en los clculos(EI)AB=(EI)DE=3(EI)BD=6000 t.m2

    Figura 3.32

    La ley de momentos flectores de la estructura se muestra en lafigura 3.33 en la que se identifican seis (6) zonas diferentes.

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    27

    Figura 3.33

    En la seccin A de la figura 3.33 se identifican con vectores U y Vel sentido positivo de los movimientos. Una organizacin posible paralos clculos (regla de buena prctica) es la que se presenta en lasiguiente tabla:

    N Area ley Mf Distancia de G' auna recta en ladireccin de U

    pasando por A

    Distancia de G' auna recta en ladireccin de V

    pasando por A1 0.5*8*4=16 (2/3)*4=8/3 02 0.5*8*2=8 4 1/3*23 0.5*8*2=8 4 2+2/3*24 0.5*8*1=4 4 4+1/3*15 0.5*8*1=4 4 5+2/3*16 0.5*8*4=16 (2/3)*4=8/3 6

    UA= (1/6000)*(16 * 8/3) + (1/2000)*(8*4) - (1/2000)*(8*4) +

    (1/2000)*(4*4) + (1/2000)*(4*4) + (1/6000)*(16 * 8/3) = + 0.01422m

    VA = 0 + (1/2000)*(8 * 2/3) - (1/2000)*(8*(2 + 4/3))

    (1/2000)*(4*(4 + 1/3)) + (1/2000)*(4*(5 + 2/3)) + (1/6000)*(16*6) =

    -0.008m

    UC = -(1/6000)*(16 * 4/3) = -0.00355m

    E

    D B

    A

    8 m.t

    8 m.t

    8mt

    8mt

    8 m.t

    Ua

    Va

    1

    2

    345

    6

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    VC = - (1/2000)*(4 * 1/3) + (1/2000)*(4*(1 + 2/3)) + (1/6000)*(16 * 2) =

    + 0.008m

    Caso 2) El ejecorta a la directriz en otro punto

    Considrese la estructura cuya geometra, sistema de apoyos y ley demomentos flectores (producidos por un cierto sistema de cargas) serepresenta en la figura 3.34 y en la que se quiere conocer la magnituddel desplazamiento del punto A en la direccin del eje representado enlnea de trazos.

    En la figura se destacan dos rebanadas en la barra CD una acada lado de la interseccin de esta barra con el eje . Puede observarse

    que las contribucin al desplazamiento de B, segn el eje , del giro deambas rebanadas tienen sentidos opuestos.

    Figura 3.34

    Las rebanadas con momentos del mismo signo producendesplazamientos opuestos si se encuentran a diferentes lados deleje . Es decir que, al definir el signo de la contribucin del giro de unarebanada al movimiento de un punto segn la direccin definida por uncierto eje , intervienen dos circunstancias:

    Signo del momento en la rebanada Situacin de la rebanada a uno u otro lado del eje

    Cada una de las dos circunstancias aporta un signo aldesplazamiento del punto, debindose aplicar la regla de los signos para

    C

    D

    B

    A

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    29

    obtener el signo final. Puede verse un ejemplo del proceso deestablecimiento de signos en la figura 3.35.

    Figura 3.35

    EJEMPLO.- En la estructura de la figura 3.36 obtener eldesplazamiento horizontal del punto A. Considrese (EI)AB = (EI)BC =3(EI)CE

    Figura 3.36

    La ley de momentos flectores de la estructura producida por lacarga P actuando en A se muestra en la figura 3.37. En la misma figurase muestran, tambin, los signos a utilizar al calcular la contribucindel momento flector al desplazamiento horizontal de A en cada una delas regiones o zonas de la ley de momentos flectores.

    C

    D

    B

    A

    +-=-

    ++=+

    -

    +=-

    -

    +=-

    ++=+

    ++=+

    E

    CB

    A PL

    2L

    L

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    30

    E

    CB

    A

    Pl

    Pl

    Pl

    Pl

    +

    +++ +

    +

    =

    =

    =

    =+ +

    +

    - - +

    Figura 3.37

    Aplicando el segundo teorema generalizado de Mohr se obtiene eldesplazamiento horizontal del punto A:

    EI

    PLLLPLLLPLLLPLLLPL

    EIA

    33

    3

    2

    2

    1

    3

    2

    2

    12

    3

    2

    2

    11=

    +++=

    3.4.5 Movimientos en barras de directriz curva

    La figura 3.38 representa una barra curva cuya directriz es unacircunferencia y sobre la que acta una carga P; se muestra tambinuna rebanada de la barra localizada en sta mediante el ngulo . Sobrela rebanada aparecen los esfuerzos que se indican:

    Mf () = P R cos

    N() = P cos

    Q() = P sen

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    31

    Figura 3.38

    Obsrvese que la curvatura de la barra hace que con cargasperpendiculares a la directriz aparezcan tambin esfuerzos axilesmientras que si la barra fuese de directriz rectilnea, cargas normales ala directriz produciran flectores y cortantes pero no axiles.

    Igualmente puede comprobarse que cuando actan cargas en ladireccin de la directriz, aparecen no solamente esfuerzos axiles sino,

    tambin, cortantes y flectores.

    En la figura 3.39 se incluyen las grficas de las leyes de esfuerzosdel arco anterior sometido a la carga P.

    Rcos

    P

    P cos

    P sen PR cos

    /2 -

    y

    P

    B

    Rcos

    x

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    32

    Figura 3.39

    Para calcular los movimientos de una seccin de una barra curvapueden utilizarse los teoremas de Mohr o el teorema de Castigliano.

    En la figura 3.40 se muestra una barra de directriz circular ysometida a una carga en el extremo libre; se muestra, tambien la ley demomentos flectores correspondientes.

    A continuacin, se expone el proceso de clculo de losmovimientos horizontal, UB, vertical, VB y el giro, B, del extremo de unarco empotrado, utilizando, a efectos comparativos, las dosherramientas citadas.

    P

    R

    M = PRcos

    Momentos flectores

    P

    R

    Esfuerzos axiles

    P

    R

    Esfuerzos cortantes

    x

    y

    P

    B

    Q = P sen N = P cos

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    33

    Figura 3.40

    a) Desplazamiento vertical VB.-

    Utilizando los teoremas de Mohr

    El giro d de una rebanada genrica contribuye al desplazamientovertical de B con el producto d R cos (figura 3.41)

    Figura 3.41

    con lo cual

    ( )EI

    coscosPRcosR

    EI

    McosRdV

    dB

    2

    ===

    La contribucin de todas las rebanadas es:

    = 2021 dscoscosPR

    EIV

    B

    Observacin.- El elemento ds de la integral es Rd

    x

    y

    PUB

    VB

    BP

    R

    M= PRcos

    Ley de momentos flectores

    d

    Rcos

    A

    B

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    34

    Utilizando el teorema de Castigliano

    Para utilizar este teorema se necesita un estado auxiliarconsistente en una carga unidad en la direccin segn la cual se quiereobtener el desplazamiento, que, en este caso, es la vertical. En la figura

    3.42 se incluye la ley de momentos flectores producida por una cargavertical hacia abajo (estado auxiliar)

    Figura 3.42

    Segn el teorema de Castigliano, el movimiento vertical se obtieneintegrando a lo largo de la directriz de la barra el producto de las leyesde momentos flectores del esatdo real y la del estado auxiliar divididaspor EI

    = 201 dscosRcosPR

    EIV

    B

    b) Movimiento horizontal UB.-

    Utilizando los teoremas de Mohr

    El giro d de una rebanada genrica contribuye al desplazamientovertical de B con el producto d (R R sen ) (figura 3.43)

    1

    Rcos

    1

    Rcos

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    35

    Figura 3.43con lo cual

    ( )EI

    )sen(cosPR)sen(R

    EI

    M)sen(RdU

    dB

    === 1112

    La contribucin de todas las rebanadas es:

    = 202

    11 ds)sen(cosPR

    EIU

    B

    Observacin.- El elemento ds de la integral es RdUtilizando el teorema de Castigliano

    Para utilizar este teorema se necesita un estado auxiliarconsistente en una carga unidad en la direccin segn la cual se quiereobtener el desplazamiento, que, en este caso, es la horizontal. En lafigura 3.44 se incluye la ley de momentos flectores producida por unacarga horizontal hacia la derecha (estado auxiliar)

    Figura 3.44

    dR(1- sen )

    A

    B

    1

    R(1-sen)-

    1

    R(1-Sen

    )

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    36

    Segn el teorema de Castigliano, el movimiento vertical se obtiene

    integrando a lo largo de la directriz de la barra el producto de las leyesde momentos flectores del estado real y la del estado auxiliar divididaspor EI

    = 20 11 ds)sen(RcosPR

    EIU

    B

    c) Giro del punto B B.-Utilizando los teoremas de Mohr

    El giro d de una rebanada produce un giro igual del punto B (figura3.45).

    Figura 3.45

    con lo cual

    = == 20202011 dscosPR

    EIMdS

    EId

    B

    Utilizando el teorema de Castigliano

    Para utilizar este teorema se necesita, en este caso, un estadoauxiliar consistente en un momento unidad aplicado en el punto en else quiere obtener el giro. En la figura 3.46 se incluye la ley demomentos flectores producida por este momento.

    d

    A

    B

    d

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    37

    Figura 3.46

    Segn el teorema de Castigliano, el giro se obtiene integrando a lolargo de la directriz de la barra el producto de las leyes de momentosflectores del estado real y la del estado auxiliar divididas por EI

    = 20 11 dscosPR

    EIB

    3.5 CARGAS TRMICAS

    3.5.1 Deformacin trmica de una rebanada

    Una accin externa muy frecuente sobre las estructuras es la

    variacin trmica del ambiente que las rodea. Si la temperatura delambiente vara respecto a la que tena inicialmente el material cuandose fabric el elemento estructural, este va a sufrir deformacionesdebidas a los gradientes trmicos que puedan producirse.

    Sea, por ejemplo, el caso de una viga de seccin rectangular decanto c sometida a un incremento de temperatura t2 en su fibrasuperior y un incremento t1 en su fibra inferior. La figura 3.47representa una rebanada ABDC de la viga, delimitada por las seccionesAEC y BFD y que se ha deformado hasta ABDC. Como hiptesis de

    clculo se considera una variacin de la temperatura lineal segn elcanto.

    M=1

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    38

    Figura 3.47

    Siendo el coeficiente de dilatacin del material, el alargamientode AB es

    AA+BB= dst2

    y el alargamiento de CD es

    CC+DD= dst1

    y como AA=BB y CC=DD resulta

    2

    2tds

    BB

    =

    2

    1tds

    DD

    =

    y, por lo tanto,

    22

    1

    2

    12tt

    dsDDBB

    FF+

    =+

    = con lo cual el alargamiento de la fibra EF o, lo que es lo mismo, elalargamiento de la rebanada, es

    22 12

    ttdsFF

    +=

    Por otro lado, el ngulo que forma la seccin DB con su deformada DBes

    B B

    FFE

    E

    A A

    C D DC

    t2

    t1

    dS

    c

    d/2d/2

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    39

    c

    ttds 12

    2

    1

    con lo cual el ngulo entre las secciones de la rebanada deformadaresulta

    )tt(c

    dsd

    12=

    3.5.2 Vigas de directriz recta.-

    Para este tipo de vigas, sumarizando (integrando) los alargamientos de las rebanadas se

    obtiene el alargamiento total de la barra sumarizando (integrando) los giros de las rebanadas se obtiene elgiro entre secciones extremas de barra

    el giro de cada rebanada contribuye al movimiento de un punto

    EJEMPLO.- En la estructura de la figura 3.48 las barras BC y CD tieneuna seccin rectangular con 50 cm de canto siendo ambas de 2 m delongitud; la estructura est sometida al incremento trmico que sedescribe en la figura. Siendo el coeficiente de dilatacin trmica delmaterial = 2*10-6 C-1 se pide calcular el desplazamiento horizontal delpunto D.

    Figura 3.48Contribucin de la barra BC al movimiento horizontal de D:

    Por alargamiento de la barra

    m.tBCtt

    dsC

    B00040

    2

    12 ==+

    Por giro de la secciones:

    no hay giro en ninguna de la secciones

    B C

    D

    120C80C

    100C

    100C

    cant

    45

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

    40/43

    40

    Contribucin de la barra CD al movimiento horizontal de D:

    Por alargamiento de la barra

    m.cosds*costt

    dsD

    C

    D

    C000283045

    2

    8012010245

    2

    612 = += +

    Por giro de las secciones

    El giro de cada rebanada de la barra produce unmovimiento del punto D en direccin perpendicular a labarra y de valor sd, con lo cual

    m.

    coss)tt(c

    cos)tt(cdsscossdCD CD

    00022630

    452

    4545

    2

    0

    2

    1212

    =

    = = =

    Total:

    UD = 0.0004+0.000283-0.0002263=0.0004567 m

    EJEMPLO.- En la estructura anterior se impide el desplazamientohorizontal del punto D como se indica en la figura 3.49. Se pide calcular

    la reaccin en D sabiendo que el producto EI es 103 tm2.

    Figura 3.49

    En el apoyo D aparece una reaccin R cuando el punto D, comoresultado del calentamiento, intenta moverse horizontalmente (figura3.50). La actuacin simultnea de la temperatura y de la reaccin(desconocida) anulan el movimiento del punto D.

    B C

    D

    120C80C

    100C

    100C

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

    41/43

    41

    Figura 3.50

    El desplazamiento horizontal de D es suma algebrica de losdesplazamientos debidos a la temperatura y a la aplicacin de la cargaR (reaccin). Para calcular este ltimo se precisa la ley de momentosflectores (figura 3.51)

    Figura 3.51

    A partir de esta ley de momentos flectores y aplicando el 2teorema generalizado de Mohr:

    m.REI

    Rcos)cosR(cos)cosR(

    EIU

    D00530

    3

    164524522452

    3

    22452

    2

    11==

    +=

    Como el movimiento de U ha de ser nulo

    UD = 0.0004567 R0.00533 = 0 R = 0.0856 t

    3.5.3 Barras de directriz curvilnea.-

    Considrese el caso de la barra que se muestra en la figura 3.52 quetiene directriz curvilnea y seccin constante, est empotrada en unextremo y es sometida a una variacin de temperatura uniforme (t2 =t1 = t) de la que se quiere obtener el valor del movimiento del punto Aen la direccin definida por un vector V.

    B C

    DR

    B C

    D

    R2cos45

    B C

    D

    120C80C

    100C

    100C

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    42

    Figura 3.52

    El alargamiento de una rebanada genrica 1-1 debido alincremento de temperatura es

    = ds t

    Este alargamiento da lugar a un movimiento, con el mismo valor,del extremo A de la viga curvilnea en la direccin perpendicular a larebanada. El movimiento de A en la direccin definida por el vector Ves, entonces,

    (UA)ds = ( ds t) cos

    Pero ds cos es la proyeccin de ds sobre la direccin definidapor el vector V con lo cual al sumar las contribuciones al movimiento deA de los alargamientos de todas las rebanadas se obtiene

    tLdscostcos)tds(UA

    B

    A

    BA= ==

    El movimiento en una direccin definida por un vector, del extremode una barra curvilnea en mnsula se obtiene multiplicando elcoeficiente de dilatacin por el incremento de temperatura y por la

    proyeccin en la direccin V de la directriz de la viga (figura 3.53).

    )( t

    )( tA UPP

    L

    )( t

    )( t A

    BA1

    1

    1

    1

    V

  • 8/2/2019 Capitulo 2.-Conceptos Basicos Resmateriales

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    Figura 3.53

    Esta propiedad se verifica incluso en el caso de que debido a lasposibles incurvaciones de la barra, la proyeccin de dos rebanadaspudieran solaparse (figura 3.54).

    Figura 3.54

    )( t)( t

    AP

    L