34 2.CONCEPTOS BSICOS DEL ANLISIS Y DISEO AL LMITE Y FUNDAMENTOS DE LA INGENIERA SISMO RESISTENTE 1. Convieneintroducirotrosconceptosasociadosconlarespuestainelsticade estructurasdeconcretoreforzado,cuandoestassevensometidasaunaintensa perturbacin ssmica y sobre la cual se desea practicar Anlisis yDiseo al Lmite bajo el concepto de Redistribucin de Momentos. 2.1DIAGRAMA MOMENTO CURVATURA (M Vs ) Aunque no se necesita de manera explcita en el diseo corriente y no es parte de losprocedimientosdelACIydelaNSR98,larelacinmomentocurvaturaes unabuenaherramientaparavisualizarsiunaseccindeconcretoreforzadoes dctilyresistente.EsigualmentetilenelAnlisisyDiseoalLmite,para entendereldesarrollodelasarticulacionesplsticasylaRedistribucinde Momentos elsticos. El siguiente es un enfoque terico del comportamiento del cuarto de ciclo, como lodenominelprofesorM.Sozen,delacurvaMVs deunaseccincrticade concretoreforzado,bajocargamonotnica.Sinembargo,debequedarbienclaro queelcomportamientorealeseldebidoacargasyfuerzasinercialesalternadas repetidas,paralascualessepuedesuponerunarelacinelastoplsticabilineal;aunque es bien sabido que la respuestareal bajo inversiones de carga, debidas a sismos intensos,es muy diferente a esta relacin elastoplstica.(Ver figura 2.4.1) 35 Generalmente ocurre una degradacin de la rigidez, debida al efecto Bauschinger, queaunquenoimpidequesealcancelaresistenciaaflexinMu,ensecciones bienconfinadas,aumentaelperiododevibracinTdelaestructuramodificando as su respuesta. (Ver figura 1.9) Lafigura2.1muestraunavigaaflexinconsudistribucindedeformaciones unitarias producidos por cargas monotnicas. Esevidentequelacurvaturaeselgradientedelperfildedeformacionesenel elemento (figura 2.1), as: =c d ) k 1 ( d kdcuyceyce c=c + c=c=c(2.1) Figura 2.1.Deformacin de un miembro a flexin. kd ) k 1 ( dceyyc=c= (2.2) ccuuc= (2.3) Pc%r cy cce ccuu c y c%r =Deformacinunitaria durantelaredistribucinde momentos Eje Neutro Awkd cs >> cy d(1k) 36 Partiendodelaecuacinclsicadelaelsticad2y/dx2=M/EI=,sepuede demostrarqueeldiagramaM/EIestambineldecurvaturaas;multiplicandoy dividiendo por c se tiene: =c=o== c Ec Ec1Ic MccEIM Lafigura2.2ilustradostiposdecomportamientodelaseccinAdelaviga diseada para dos modos de falla: a) tensin (dctil) y b) compresin (frgil). Ladiferenciadecomportamientosedebealacuantalongitudinaldeacerode tensin.Lasseccionesligeramentereforzadasbypobremente confinadas,(figura2.2b),lacurvaM-dejadeserlinealcuandoelconcreto entraenlazonainelstica.Lafallapuedeserfrgilyrepentina,amenosquese confineelconcretoconhlicesoestribosestrechamenteespaciados.Silas seccionescrticasnoseconfinansuficientementebien,habrunafallapor compresinoaplastamientodelconcreto,anparacurvaturasrelativamente pequeas. 37

Figura 2.2.Diagrama M Vs , (a) Falla a tensin (dctil),(b) Falla a compresin (frgil). EldiagramaM-deunaseccincualquierasometidaaflexin,muestrauna relacin trilineal que se explicaa continuacin con la ayuda de la figura figura 2.3: 1.Agrietamiento del concreto (Mcr, cr). En este punto la seccin se comporta esencialmente en forma linealmente elstica. 2.Fluencia del acero a tensin (My, y).En este punto, a medida que la carga aumenta,elagrietamientoescadavezmayordisminuyendoligeramentela rigidez, hasta queel acero fluye y la seccin alcanza el momento My.En este nivel de resistencia la viga alcanza la carga wy Pyy la curvatura y.A partir deestepunto,lacurvaturaaumentasinaumentoapreciabledelmomento formndose una articulacin plstica. 3.Resistencia y deformacin ltima del concreto ccu. (Mu, u).En este punto, sila seccin es dctil y garantiza que no fallar poradherencia o por esfuerzo cortante,elconcretodesarrollarsudeformacinltimaccuylaseccin alcanzar su capacidad Mu, sin degradacin significativa de su rigidez.Y = u/y b BA wu Lu (a)(b) 38 Mientras la seccin rota plsticamente up = (u - y)Lp, el momento ltimo Mu, se mantiene constante, aunque podra elevarse a Mo = oMn =, Muo| al desarrollarseunasobrerresistenciaaflexinMo,cuandoelaceroentraelrgimende endurecimiento por deformacin. Los parmetros oy | tiene el significado dado en la seccin 1.7.2.2. Paraefectosdelaductilidadelprimerpuntonoesdeinters,siendosuficiente idealizar la curva a una relacin bilineal.

Figura 2.3.Idealizacin trilineal del diagrama M - Deestemodopodemosobservarque,sibienelconcretosimpletieneuna pequearegininelstica,eldiagramaM-delconcretoreforzadoansin confinar,tieneunazonaelsticahastayyotrazonainelsticahastau.Por consiguiente,lasseccionesdeconcretoreforzado,queseidentifiquenconel diagrama de la figura 2.3, garantizan una capacidad de giro plstico que las hacen hbilesparadisiparenergayaceptarunaRedistribucindeMomentos moderada(alestilodelACIodelaNSR-98)ounAnlisisyDiseoLmite Total. My Mu Mcr 1 2 3 yu= B A wu cry u 39 La relacin Mu / My a,que da una medida del aumento del momento despus de la primera fluencia, es para el promedio de la mayora de los casos, menor que 1.04 cuandono se considera sobrerresistencia a flexin Mo, pudiendo ser ligeramente mayor para secciones doblemente reforzadas. ParasimplificarMy sesueletomarigualaMu.Sinembargo,sehacenfasisen quebajoperturbacionesssmicasintensas,quedemandenunagranductilidad rotacional,nosedebeignorarlaposibilidaddeunasobrerresistenciaenla articulacinplstica,debidaalrgimendeendurecimientopordeformacindel acero.En este caso Mo = oMn =, Muo| fluctuar entre Mo = 1.25 My para aceros de275MPayMo=1.45My paraacerosde420MPa.Enlosejemplos ilustrativos, si no se indica lo contrario, la sobrerresistencia no ser considerada. EJEMPLO 2.1 A continuacin se construir el diagrama momento curvatura para la seccin de unavigadeconcretoreforzadonoconfinadosinconsiderarefectosde sobrerresistencia So, con las siguientes caractersticas: Figura 2.4.Seccin de concreto reforzado no confinado

a En estructuras metlicas, esta relacin se llama factor de forma = Mp / My depende nicamente de la forma de la seccin y es un parmetro importante en la definicin de la longitud de la articulacin plstica. Seccin 30 x 35 d = 31 cmfy = 420 MPa (4200 Kg/cm2) fc = 21 MPa (210 Kg/cm2) d h b As = 3 # 6 A's = 2 # 4 ccu = 0.0035 Es = 200 Gpa (2.0 106 kg/cm2 ) n =Relacin modular39 . 11EEcs= 40 bh2 + 2(n -1) (Asd + Asd) 2(bh + (n -1) (As + As)) Clculo de cuantas = As / (bd) = 8.55 /(25) (31)= 0.0110y = 2.54 /(25) (31)= 0.0033 -Momento y curvatura antes del agrietamiento. Utilizando la teora elstica aplicada a la seccin transformada se tiene Dela ecuacin C.8.2.d. de la norma NSR 98, Ec = 3900c ' f = 17872MPa = 17.87 GPa (178720 Kg / cm2) Y = = 18.21 cm(2.7)

(a) (b) Figura 2.5.(a)Seccindelavigadeconcretoreforzadono confinado, (b) Seccin transformada. It = 121 bh3 + bh(2h -Y)2 + (n 1) As( Y d)2 + (n 1) As(d Y)2=127175.99 cm4 (2.8) fr = Mdulo de ruptura del concreto =c ' f .63 0= fr = 2.9 MPa (29 Kg/cm2) Mcr =Y hI f t r= (2.9) Mcr =22 kN.m (2.2 Ton - m) b dh n A's n A's Eje neutro Y 41 |cr= 9.66 x 10-4 Rad / m |Mcr =19.8 kN.m (1.98 t.m) (a) (b) Figura 2.6. (a)diagramadeesfuerzos,(b)diagramade deformaciones para el clculo de Mcr, cr ccr = crEf= 0.000162 cm / cm;cr = ) h ( Ycrc (2.10)

-Momento y curvatura a la primera fluencia Suponiendo que el concreto se comporta elsticamente, es decir que fc < 0.70 fc, elvalor de k que define al factor de profundidad del eje neutro, se calcula as: k = |( + )2 n2 + 2 (+d' d ' ) n|1/2 (+ ) n (2.11) My = As fy Jd(2.12) y = ) k ( dyc1 (2.13) cr Mcr Y frccr cr h 42 cy =Esfy= 0.00206,kd dyc = kdce c cce = ) k (k yc1= 0.00112 cm/cm fce = cce Ec = 20.06 MPa (200.6 Kg / cm2)> 0.7 f c Luegofceessuperioral70%defc(14.7MPa),porlotantoelconcretoha abandonadolazonalinealelstica,incursionandoenelterritoriodela inelasticidad.

(a) (b) Figura 2.7.(a)Diagramadedeformacionesparaevaluary, (b) Diagramadeesfuerzoscuandoocurrelaprimera cedencia Siguiendoconlosclculos,elvalordek,ansiendosuperioralvalorreal, producir una sobrestimacin de My y una subestimacin de y como se muestra a continuacin. k = 0.35 cs = kdce c (kd d) = 7.0402 x 10-4 cm / cm fs = cs Es = 140.8 Mpa (1408 kg / cm2) As fy = T As fs= Cs (kd) fce b = Cc ccefce y cy My kd d(1-k) 43 y =' f ' A bkd f21' d ' f ' A3) kd (b f21s s ces s2ce++ = 3.6 cm (2.14) jd = d y= 27.403 cm My = As fy jd My = 98.4 kN.m(9.84 Ton - m) y = kdce c(2.15) y = 1.0385 x 10-2 Rad / cm Como fce resulta mayor que 0.7 fc, se debe calcular la profundidad del eje neutro utilizandolacurvarealdeesfuerzodeformacin,encuyocasoelfactorde profundidaddel eje neutro est dado por la ecuacin 2.16 as: k =||||.|

\| + ((

+ ((

+ + 'c 3 1y2'c 3 1y'c 3 1yf k kf )d' d' (f k k 2f ) ' (21f k k 2f ) ' ( (2.16) k = 0.243 cs =) kd d () ' d kd ( y c = 3.166 x 10-4 cm / cm fs = cs Es = 63.32 MPa(633.2 Kg / cm2) cce ==c) kd d () kd ( y6.746 x 10-3 cm / cm Mny = k1 k3 k fc (1 - k2 k) bd2 + Asfs(d - d)(2.17) 44 y = 8.95 x 10-3 Rad / m Mny = 99.69 kN.m (9.97 t.m)

(a)(b) k1 = 0.85;k2 = 0.425;k3 = 0.85 Figura 2.8.(a)Diagramadedeformacionescuandoocurrelaprimera cedencia, (b) Distribucin parablica de los esfuerzos enla primera cedencia |Mny = 8.97 t.m y = kd dyc = kdce c (2.18) Al llegar la seccin a esta etapa, nose habr agotado su capacidady el refuerzo de tensin seguir deformndose ms all de cy, pero se debe verificar que no sea superiora12cy,hastapermitirqueelconcretodesarrollesudeformacinltima, ccu. El momento se incrementa igualmente hasta Mu logrndose as la ltima etapa del diagrama M - que seexplica acontinuacin.Sicy > 12 cy habr necesidad As fykd As fs k1 k3 kd b f c=0.725 cce cy My y k3f c k2d 45 deconsiderarsobreresistenciaaflexinparalacualsio=1.25y|=0.9 Mo = o Mn = uoM| = 1.39 Mu. -Momento y curvatura ltimos Se puede calcular u y Mu de la seccin doblemente reforzada, suponiendo que el acerodetensinestenfluenciautilizandolasecuacionesderivadasdelmtodo deresistencia(U.S.D)dondeelbloquerealdeesfuerzossereemplazaporun rectngulo equivalente.

(a) (b)(c)(d) Figura 2.9.(a)Seccindeconcretodoblementereforzadano confinada,(b)Deformacinunitariaenelestado ltimo,(c)Esfuerzosrealesenelestadoltimo,(d)Esfuerzos equivalentes De la figura 2.9 se tiene: a = |1 c de donde: 0.65s |1 =85 014005 1 .' f.cs |.|

\|, fc expresado en MPa c csfsfs d 0.85 fc a = |1c fsa/2 ccu cs dfs46 a = b ' f 85 . 0f ' A f Acy s y s (2.19) Mu = 0.85 fc a b (d a/2) + As fy (d d)(2.20) Lasecuaciones(2.19)y(2.20)seutilizanscs>cy,sinosecumple,sedebe sustituirelvalorrealdelesfuerzodelacerodecompresin.Resolviendola ecuacin 2.21 para c, se puede calcular Mu as: 0.85 |1 fc b c2 + (As Es ccu As fy) c - As Es ccu d = 0(2.21) Mu = As fs (d d) + 0.85 fc a b (d a/2)(2.22) El valor de la curvatura en ambos casos es: u = ccu c La Norma NSR - 98 especifica que las vigas deben disearse subreforzadas para garantizarlafallaatensin,estoes,> cy kd cy cc d Curvatura a la primera Fluencia Curvaturaltima ccm b) Curvatura y yu 58 Enestecaso,lacurvaturaalaprimerafluenciayestadadaporlaecuacin y= ) k 1 ( dyc

dondecy = syEfy kd es la profundidad del eje neutro (Fig 2.3b).Por semejanza de tringulos, la curvatura de fluencia y est dada por: y =yyy'' MM= 1.33y Sinembargo,silaseccinestfuertementereforzada(>0,75b)osiest sometidaaunaelevadacargaaxial,sepuededesarrollarunaaltadeformacin unitariaacomprensinenelconcreto,muchoantesdequeocurralaprimerafluencia del acero.En estos casos y es igual a: y = kdcc donde cc, es la deformacin del concreto que se puede tomar como cc = 0,0015. Lamximacurvaturadelaseccinm, ocurvaturaltimaestcontroladaporla mxima deformacin ccm del concreto, para la cual la seccin alcanza su momento ltimo Mu,. Con referencia a la figura 2.16, est curvatura se puede expresar como: m = ucmcc Dondeccmparaconcretosinconfinarsepuedetomarcomo0.003o0,004sila resistenciafcesmenorque45MPa.Sinembargo,sielconcretoestbien confinado como se indic en la seccin 1.12.4, ccm puede ser mucho mayor. Para esta condicin el concreto de recubrimiento debe ignorarse, ya que generalmente se desprende por aplastamiento al desarrollar deformaciones mayores de 0.004. 59 Laductilidaddecurvaturadelconcretoreforzadosinconfinar, lapueden modificarvariosparmetrosofactoresasaber:Lacuantalongitudinalatensin ,lacuantaacompresin,laresistenciadelconcretofc,elesfuerzode fluenciadelacerofy,ladeformacinunitariadelconcretoccu.Lafuerzaaxial igualmenteejerceunainfluenciasignificativaenlaductilidaddecurvaturaen columnas y sus efectos seestudian en la seccin 2.9. La evaluacin de la ductilidad de curvatura y los factores que la afectan sern tratados con mayor profundidad en la seccin 2.5 y 2.6. 2.3.3DuctilidaddedesplazamientooductilidaddelsistemaestructuralA.EnelDiseoalLmiteyenlaIngenieraSsmica,laductilidaddelsistema estructural, se suele definir como la ductilidad de desplazamientoA, para la cual el desplazamiento lateral es el parmetro esencial. Con referencia a la figura2.17 la ductilidad de desplazamientoA, est dada por laecuacinA=yAA,dondeA=Ay+Apeseldesplazamientototaldela estructura, Ayes el desplazamiento a la fluencia del acero longitudinal yAp es el desplazamiento plstico. Conbaseenlafigura2.17m= ymAA,estreferidoalademandadeductilidadimpuestaalaestructuraporunsismoyu= yuAA,definelacapacidadde ductilidad desarrollada por ella para respondera esa eventualidad ssmica.Para 60 prticos el desplazamiento A, se suele medir a nivel de la cubierta como se ilustra en la figura 2.17b. La ductilidad de desplazamiento A, es esencial en el diseo sismo resistente por serlafundamentacindelosespectrosinelsticosderespuestassmica,de maneradirectaalestiloneocelandsomedianteelusodelcoeficientede disipacindeenergaR,(NormaColombianaNSR-98),denominadotambin factordemodificacinderespuestaofactordecomportamientoenotroscdigos (verseccin2.16).Suevaluacinyrelacinconotrosfactoresdeductilidadse estudiarn en la seccin 2.12. Figura 2.18. 2.3.4Ductilidadrotacionalu. Silaductilidadsedefineutilizandolarotacin inelstica de las secciones crticas, cuando se generan articulaciones plsticas, se denomina ductilidad rotacional, y con base en la figura 2.18, se define as: A = ypyp yy.1AA+ =A A + A=AA

( )p p pL 5 . 0 L u = A Fi = mg t g A (a) (b) Desplazamiento Fuerza AyAmAu My Mo Respuesta real Respuesta ideal 61 u = ypyp yyu1uu+ =uu + u=uu Dondeuy eselgirorequeridodelaarticulacinplsticaodemandaderotacin inelstica a la primera fluenciadel acero de tensin. up es la capacidadde giro plsticoqueseestudiaenlaseccin2.10.yuu eselgirototalparalamxima respuesta Mu Mo =uoM| cuando hay sobrerresitencia a flexin. Laductilidadrotacionaluysurelacinconlaductilidaddecurvaturase estudiar con mayor detalle en la seccin 2.13. Figura 2.19.Definicin de la ductilidad rotacional. Conviene aclarar que las definicionesde ductilidad que se acaban de formular, estn hechas con base en un comportamiento terico, bajocargas monotnicas hastalafalla.Sinembargo,debereconocerselosefectosquetienensobrela ductilidaddelasestructuraslascargascclicas,especialmentebajo perturbacionesssmicasintensas,queimponendesplazamientosamenudo multidireccionales y de amplitudes variables. u u L Mu

u = yp1uu+Mu

62 En general para el concreto estructural, se puede establecer la siguiente jerarqua, en cuanto a los posibles valores de ductilidad as:[L.E.G] yuyuymcmcAA= >uu= >= >cc= A u c Sin embargo de todas estas definiciones de ductilidad las ms importantes, desde elpuntodevistadeldiseo,sonlaductilidaddedesplazamientoAoductilidad delsistemaestructuralylaductilidaddecurvatura.Laductilidadde deformacinctieneutilidadacadmicaylaductilidadrotacionalu,siendo importante, tieneladesventaja deque la demanda de giroinelsticauy depende delacargaydelaspropiedadesdelelementodondesecalcula,aunqueesla fundamentacin de la compatibilidad rotacional en el Anlisis Lmite. 2.3.5Resumen Esimportanteentenderquelaductilidadsepuedereferiratodoelsistema estructuraloapartedel,yencadacaso,laductilidadpuedediferir.As,por ejemplo, se puede definir la ductilidad de un material, la ductilidad de la seccin de una viga o de una columna y la ductilidad de toda la estructura. El concreto como materialsinconfinar,tieneunaductilidaddedeformacinc ,muypequeaque fluctaentre1y2.Sinembargounaseccinmoderadamentereforzada(=0.5b)hechaconsteconcreto,puedetenerunaductilidaddecurvatura entre4y10.Unavigaocolumnaconestaseccintransversalsermsdctilsi estbienconfinada,omenosdctilsisepresentanfallasdeadherencia,de cortante o si se somete a cargas reversibles. Cuando las vigas y columnas hacen partedeunsistemaderesistenciassmica,stetendrunaductilidadglobalA, quedependiendodelalocalizacindelasarticulacionesplsticas,esdecir,del 63 mecanismodedisipacindeenergabienseadevigaodecolumnacomose ilustra en lafigura 2.20, demandar una menor o mayor capacidad de rotacin. Figura 2.20.(a)Mecanismo de traslacin de viga,(b)mecanismo de traslacin de columna (soft story) Laductilidad,comosepuedever,esunconceptoampliomuyimportanteyen cuanto al concreto se refiere, depende ms de la buena prctica y juicio ingenieril, que de reglas o formulaciones matemticas definidas. 2.4IMPORTANCIA DE LA DUCTILIDAD Siunaestructurahiperestticaesdctilysufreunasentamientoosobrecarga inesperada,sedeformainelsticamenteyalhacerlo,redistribuyepartedelos efectos de la sobrecarga transfirindolo a otras secciones menos solicitadas. Este comportamientoinelsticohademostradosertiltambinporlassiguientes razones: 1.CualquiersistemaestructuraldeConcretoReforzado(C/R)debeexhibirun comportamientodctilantelaocurrenciadeuneventoextraordinarioquela acerquehasta,ymsall,delacargaltimaparasalvaguardarvidasy protegerlainfraestructurafsicayelpatrimoniodeunacomunidad.En A A t up1 g ArticulacinPlstica up2 up1

((

||.|

\| | c la ductilidad de curvatura se debe calcular con la siguiente ecuacin:

= )`((

|.|

\| + + + + + |=212 22yC cm s 1yund' d '2 n ) ' ( n ) ' ( 1) ' ( f' f E 85 . 0 (2.5) 67 (a) (b) Figura 2.22.Seccin de viga doblemente reforzada con flexin, (a) A la primera cedencia, (b) Bajo momento ltimo 2. Si el acero a compresin no est cediendo, la ductilidad de curvatura se calcula con la ecuacin siguiente: = ) 6 . 2 (' f 7 . 1f E 'd f 85 . 0' d E 'f 7 . 1fy E 'nd' d '2 n ) ' ( n ) ' ( 1fEcycu s21'c1 cu s2'ccu s212 2ycu s 1yu (((

| +||.|

\| ((

|.|

\| + + + + +|=cc cc Estas dos ecuaciones adoptadas de la referencia [R.Park & T. Paulay]se pueden dibujar con la ayuda de un ordenador o una calculadora cientfica, para un amplio rangodecombinacionesprcticasdelosparmetrosqueactansobrela ductilidaddecurvaturacomoseindicaenlaseccin2.6.Estosparmetros son, la cuanta del acero longitudinal a tensin , la cuanta de acero a compresin , el esfuerzo de fluencia del acero fy, la resistencia a compresin del concreto f c y la deformacin ltima del concreto ccu sin confinar.

d cy As As y kd cc Deformacin unitaria a la primera fluencia cs > cym ccu Cu Deformacin unitaria en el estado ltimo Seccin 68 2.6PARMETROSQUEAFECTANLADUCTILIDADDECURVATURAEN VIGAS DE CONCRETO REFORZADO SIN CONFINAR Como se indic en la seccin 2.5, estos parmetros son: 1Cuanta longitudinal a tensin . Al aumentar la cuanta del acero de tensin ,disminuyelaductilidaddecurvaturau/y,debidoaqueaumentala profundidaddel eje neutro kd y c en el momento a la primera cedenciaMy y en el momento ltimoMu respectivamente, lo que ocasiona un aumentoen la curvaturadeprimeracedenciayyunadisminucindecurvaturaltimau.Ver figura 2.22 2Cuantalongitudinalacompresin.Alaumentarlacuantadelacerode compresin,aumentalaductilidaddecurvaturau /y,debidoaque disminuyelaprofundidaddelejeneutrokdyc,tantoenelmomentodela primeracedenciaMy,comoenelmomentoltimoMu,loquegenerauna reduccin en la curvatura de primera cedencia y y un aumento en la curvatura ltima u. Ver figura 2.22. 3Esfuerzodefluenciadelacerofy.Alaumentarelesfuerzodefluenciadel aceroderefuerzofy,disminuyelaductilidaddebidoaqueaumentanla deformacindeprimeracedenciacyylaprofundidaddelejeneutrocenel momentoltimoMu,loqueocasionaunaumentoenlacurvaturadeprimera cedencia y y una disminucin en la curvatura ltima u.Ver figura 2.22. 4Resistenciaalacompresindelconcretofc.Alaumentarlaresistenciaa compresin del concreto fc, aumenta la ductilidad de curvatura u / y, debido a que disminuye la profundidad del eje neutro kd yc, tanto en el momento de la primeracedenciaMy, comoenelmomentoltimoMu,loquereducela 69 curvatura de primera cedencia y y aumenta la curvatura ltima u.Ver figura 2.22. 5Deformacin ltima del concreto ccu.Si se considera que la deformacin de lafibraextremadelconcretoreforzadoenelmomentodelafallaccu,es superior al valor de 0.003 recomendado por la A.C.I. y la NSR-98, se aumenta la ductilidad de curvatura ltima = u / y ya que se incrementa el valor de lacurvaturaltimau.Esteparmetroeselmscrticoyaumenta considerablementecuandoelconcretoestbienconfinadoenlassecciones susceptibles de articulaciones plsticas como se muestra en la seccin 1.8. Comoseindicenlaseccinanterior,lasecuacionesdelaductilidadde curvaturasepuedengraficarconlaayudadeunacomputadorapersonal haciendo uso de una hoja de clculo con el EXCEL. EnlosarchivosCURVASDEDUCTILIDAD.doc,curvas_de_ductilidad.xlsy curvas_de_ductilidad_II.xls,seencuentranlascurvasdeductilidadconlos diferentes parmetros que la afectan. 2.7OTROS FACTORES QUE AFECTAN LA DUCTILIDAD DE CURVATURA 2.7.1Fuerza axial.La presencia de fuerza axial a compresin, como es el caso de las columnas, reduce significativamente la ductilidad de curvatura , debido a queincrementalacurvaturadefluenciayydisminuyelacurvaturaltimau.Como consecuencia de ello, el desprendimiento del recubrimiento del concreto en lascolumnasbienconfinadasocurremstempranoqueenlasvigas, requirindoseunbuenejerciciodeingenieraparaelconfinamientodelas mismas.70 LosresultadosdeunainvestigacinrecientementerealizadaporAzizinamini, Corleyy otros en 1992 [ ], confirmanqueparauna cuanta constante de refuerzo transversalencolumnas,bajoesfuerzosssmicossimulados,lafuerzaaxial incrementa su capacidad a flexin, aunque reduce significativamentelaductilidad de curvatura. Laductilidaddecurvaturaencolumnasseestudiamsdetenidamenteenla seccin 2.8. 2.7.2Confinamientotransversal.Elconcretoreforzadoensituacionesfsicas reales,debeestarmuybienconfinadoconestribosohlicescerradas, especficamente en laszonas susceptibles de formar articulaciones plsticas.En columnas, este confinamiento mejora considerablemente su ductilidad siendo ms efectivoconhlicesqueconestribos,yaqueestosltimostiendenaconfinarel concretosloenlasesquinasdelasseccin,entanto,lashlicesconfinande manera circunferencial con presin radial uniforme,como se indica en la seccin 1.12.4 y 2.10 2.8REQUERIMIENTOS DE DUCTILIDAD DE CURVATURA EN VIGAS Elcomit318delaA.C.I.BuildingCodeRequerimentsfosReinforcedConcrete (ACI318-71)propusolossiguientesrequisitosrelativosalasductilidadesde curvatura en vigas: 1.En los miembros a flexin en todo momento, si el acero de compresin est cediendo, - 0.75 s 0.75b (2.24) 71 2.Enlosmiembrosaflexindeestructurasestticamenteindeterminadas donde semodifican losmomentos flexionantes dados por la teoraelstica para dar margen a la Redistribucin de Momentos. - s 0.50b(2.25) 3.Enlosmiembrosaflexindemarcosdctilesenzonasdeamenaza ssmica alta, si el acero de compresin est cediendo, - 0.5 s 0.50b (2.26) 2.9DUCTILIDADENSECCIONESDECOLUMNADECONCRETONOCONFINADO Adiferenciadelasvigas,lasseccionescrticasdeunacolumnadadanotienen unacurvanicaMomentoCurvatura(M-).Responsabledeeste comportamientoeslacargaaxialP.Sinembargo,siguiendounprocedimiento similar al de Blume, Newmark y Corning2 es posible dibujar las combinaciones de fuerzaaxialPymomentoM,quepermitenalaseccinalcanzarsucapacidad ltima Mu con su correspondiente curvatura. EnelEjemplo2.3seilustraelcomportamientodeP/PocontraMyeldeP/Po contra para la seccin de columna que se muestra en la figura 2.22. La curva 1 muestra las combinaciones de P/Po y M cuando ccu = 0.004, a su lado se tiene la respuesta del diagramaP/Po vs que corresponde a las combinaciones de P y M para esa condicin ltima; la curva 2 muestra las combinaciones de P, M y que

2 J. A. BLUME, N. M. Newmark, y L. H. CORNING DESING OF MULTISTORY REINFORCED FOR EARTHQUAKE MOTIONS Portland Cement Association, Chicago 1961 Figura 2.23.Diagramadeinteraccinyductilidaddecolumnasdeconcretoreforzadono confinado 00.20.40.60.811.20 5 10 1500.20.40.60.811.20 1 2 3 4 5 6P/Po P/Po M (Ton-m) x 10-2 (Rad / m) Curva 1 (ltima) Falla balanceadaCurva 2 (cedencia) uoM vsPP Curva 2 (cedencia) Curva 1 (ltima) uovsPP|yovsPP|yoM vsPP 0.28 12.93 Ph b As Ph b As 0.85 f c

c cu 0.85 fc ccu73 correspondenalospuntosdondealacerodetensinlogralafluencia.Resulta evidentequelacurva2noaparezcaporencimadelpuntodefallabalanceada, pues el acero no alcanza a fluir, dado el carcter de falla a compresin por encima de tal punto (P/Po = 0.285). El diagrama P/Po vs muestra como las curvas 1 y 2 se separan en el punto de la falla balanceada indicando la deformacin inelstica por flexin una vez iniciada la fluencia. Obtenidou yydelasdoscurvasodelatabulacindadaporelprograma COLUMNA.BAS,se puede dibujar la ductilidad de curvatura= u/y contra la relacin P/Po, donde Po es la resistencia uniaxial cuando M = 0, como se ilustra en la figura 2.23. EstagrficamuestraqueevidentementelafuerzaaxialP,reduce significativamentelaductilidaddecurvaturadelaseccin.Deestaforma,sel valordelacargauniaxialP,porejemplo,es20%delvalordeladePo,esdecir, P/Po =0.20,laductilidaddecurvaturasereducea1.50(figura2.23)yes obviamentemenor,osimplementenoexiste,paravaloresigualesosuperioresa Pb/Po = 0.284 que corresponde a la falla balanceada. 74 00,511,522,533,544,550 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 Figura 2.24.Ductilidaddecurvaturaencolumnasdeconcreto reforzado no confinado UntrabajorealizadoenlaUniversidaddeIllinoisen1964,porE.O.Pfrang,C.P. Siess y M.A. Sozen,ha sealado la influencia de la fuerza axial sobre la ductilidad decolumnas.Lascurvasdelafigura 2.25y2.26,similaresalasobtenidaspor estosinvestigadores,perodeducidasdemaneraanaltica,indicanunavezmas queanivelesdecargaaxialsuperioresaladefallabalanceada,laductilidades despreciableysolosedebealadeformacininelsticadelconcreto.LascurvasM Vs se realizaron para una seccin de columna con diferentes niveles de carga axialconstanteydoscuantasdistintasdeacero:a)=0.01conP=0;48.7; 71.67y147toneladasyb)con=0.06yP=0;47.9;71.64;147.8y266 toneladas. Es claro que a niveles de carga mayores a la balanceada, la ductilidad de curvatura es nula y aumenta a medida que el nivel de carga axial sea menor que la que produce la carga balanceada, en este caso Pb = 71.64 Ton.ccu = 0.004 Pu/Po = u / y

M P 75 0246810120 1 2 3 4 5 6 7 8M (Ton-m) x 10-2 (Rad / m) Pb = 71.6 ton P = 48.7 ton P = 147 ton P = 0 ton Figura 2.25.Influenciadelacargaaxialenunacolumna(As/bh = 0.01) 76 051015202530350 1 2 3 4 5 Figura 2.26.Influenciadelacargaaxialenunacolumna(As/bh = 0.06) x 10-2 (Rad / m) M (Ton m) Pb = 71.6 ton P = 47.9 ton P = 0 ton P = 266.8 ton 77 Poresarazn,debidoalcomportamientofrgilqueexhibenlascolumnasno confinadas,anparanivelesmoderadosdecargaaxialdecompresin,elA.C.I. recomienda queenzonas de amenaza ssmicaalta, cuando Pu seamayor que el 40%dePb,losextremosdelascolumnasdeprticosdctilessedebenconfinar conrefuerzotransversalestrechamenteespaciados.Enlamismadireccinestn orientadas las recomendaciones de la norma colombiana NSR - 98contenidas en elcapituloC.21.4.4Refuerzotransversalencolumnasconcapacidadde disipacin de energa especial (DES). 2.10DIAGRAMA DE INTERACCIN Labaseesencialdeldiseodecolumnas,sinconsiderarlosefectosdeesbeltez definidosen la NSR 98, es el diagrama de interaccin, definido como la lnea de aquellas coordenadas (Pn y Mn) que produce la falla. Considerandolosdiagramasdedeformacionesyfuerzasquesemuestranenla figura 2.27. Pn = 0.85 f c ab + Asfs Asfs(2.27) Mn = Pne = 0.85f c ab|.|

\|2a2h + Asfs |.|

\| ' d2h + Asfs |.|

\|2hd (2.28) Pueden determinarse as mismo los valores de curvatura u= ucucc(2.29) Losvaloresdemomentosalaprimeracedenciaycurvaturaalaprimera cedencia,solosepuedendeterminarparaaquellospuntosdondelafallaseaa 78 tensin,esdecir,cuandocesmenorquecB,dondecBesigualalaprofundidad del eje neutro para la falla balanceada, la cualocurre cuando elacero de la zona detensinentraenfluenciaenelmismoinstanteenqueelconcretollegaasu deformacin ltima ccu. Figura 2.27. A continuacin se construir el diagrama momento curvatura para la seccin de unacolumnadeconcretoreforzadonoconfinadosinconsiderarefectosde sobrerresistencia So. EJEMPLO 2.3 Calcularydibujarlospuntosdeldiagramadeinteraccin(PuVsMu)parala seccin de columna mostrada en la figura 2.27. Calcularademslosvaloresdecurvaturaltimauycurvaturadeprimera cedencia y. cs d' c d h 0.003 < ccu < 0.004 Asfs Asfs 0.85f c

e Pn d 2h 2h d Ancho = b 79 Figura 2.28.Figura del ejemplo 2.3 Punto de falla balanceada De la figura 2.27b se tiene: ) c d (E fc003 . 0bs yb=mm 3 . 148003 . 0 E fd 003 . 0cs yb=+=( )sybbb sEf00199 . 0 50 ccd 003 . 0c ' < = = = cfs = csEs=4056 kg / cm2=405.6 Mpafs = fy Reemplazandoenlasecuaciones2.27,2.8 y 2.29: Figura 2.29. Seccin 350 mm x 350 mm d' = 50 mmfy = 420 MPa (4200 Kg/cm2) fc = 21 MPa (210 Kg/cm2) = 3 # 6 = 3 (285 mm2) = 855 mm2 06 . 0bhA001 . 0s< < M P h Pu e 2As 2As b 2As Asfs Asfs 0.85f c

d 0.003 ysysEfc = = c80 Pn = 66.2 t (662 kN) Mn = 13.93 t (129.3 kN.m) u= y = 2.02 102 rad / m Punto de falla a compresin c = 200 mm > cba = 170 mm cs =00075 . 0 ) c d (c003 . 0= ,fs = csEs = 1530 kg / cm3(153 Mpa) cs =00075 . 0 ) ' d c (c003 . 0= >cy fs = csEs = 4200 kg / cm2(420 MPa) Reemplazando en las ecuaciones 2.27, 2.28 y 2.29 Pn = 113.87 Ton (1138.7 kN) Mn = 10.82 Ton .m (108.2 kN . m) u= 1.5 102 rad / m Punto de falla a tensin c = 100 mm a = |1C = 85 mm cs =0045 . 0 ) c d (c003 . 0= > cyfs = fy

cs =0015 . 0 ) ' d c (c003 . 0= u y el diseo al limite (%r = 28%) es satisfactorio. 95 Figura 2.37.(a) Viga despus de la primera fluencia,(b) Diagrama demomentoselsticosyplsticos,(c)Diagrama decurvaturaidealizado,(d)Vigaconjugada,(e) Diagrama M Vs. . (f) Seccin en el apoyo A. Mu+= Mu-

ip= 1 = 4.37 (e) fc = 21 MPa (210 Kg/cm2) fy = 420 MPa (210 Kg/cm2) As = 13.86 cm2 As = 4 cm2 Pu = 200 kN (20 Ton) My+ = My- = 16.3 T-m Mu= 167.9 kN m(16.79 T m) L = 6 m ccu = 0.0035 y = 8.61 x 10-5 Rad / cm u= 37.69 x 10-5 Rad / cm = 4.37 up = 12.44 / EI %r = 28 % (f) |y

|u

10-5 rad/cm 36 cm 30 cm Lp Solucin elstica ie = 1.875%r = 0 My+= Mu- = 16 T - m +uM= 16 t-m Me = 5/27 PL = 22.2 T 8/81PL ip = 1;%r = 28% y- u- upc = (u - y)Lp y-

Dpu = uy2L/3 L/65L/6 (b) (c) (d) AB Pu = 20 Ton L/32L/3 (a) up Banda de redistribucin y+ y+ Solucin plstica 96 Obsrvese que la capacidad de rotacin est representada en lafigura 2.37c, por elrectnguloderea cpu=(u-y)Lp,ylademandaderotacin Dpuest representada por una fuerza cortante + uy en A, figura 2.37d de la viga conjugada cargada con el diagrama de curvatura. 2.14LONGITUD DE LA ARTICULACION PLASTICA Paraevaluarlacapacidadderotacinplstica cpu,sedebeconocerlalongitud equivalentedelaarticulacinplsticaLp.Adiferenciadeloqueocurreconlas estructurasmetlicas,enelconcretoreforzadonoexisteunaexpresinanaltica nicaparadichalongitud.Variosinvestigadoreshanpropuestodiversas expresiones empricas, que por su naturaleza experimental, dan diferentes valores de Lp en funcin de la altura efectiva d. As: a)A.L.L. Baker, propuso para secciones confinadas la siguiente expresin: Lp = 0.8 k1 k3 dz c(2.36) Dondek1 = 0.7 para aceros suaves o 0.9 para acero fabricado en fro. k3 = 0.5 para fc = 5100 psi(35.7 MPa) =0.9 para fc = 1700 psi (11.9 MPa) z=Distanciadelaseccincrticaalpuntodeinflexin.Cuandoseutilizaesta ecuacinparaevaluar cpu=(u-y)Lp,,debeemplearseccudadoporla ecuacin (2.42), ccu = 0.0015 (1 + 1.5 + (0.7 + 0.1 ) U k1) s 0.01 97 b)Corley ha propuesto la siguiente expresin: (2.38) Quedebeutilizarsejuntoconlaecuacin(2.43),ccu=0.003+0.02220|.|

\| +fy ' 'zb, para calcular cpu. c)Mattock propuso la siguiente frmula con base en la ecuacin de Corley: (2.39) Esta expresin debe usarse junto con la ecuacin, ccu = 0.003 + 0.02 2b + 0.2 ,para calcular cpu. d)Sawyer propone la siguiente expresin: (2.40) Por su sencillez algunos analistas que utilizan el Anlisis y Diseo Lmite, emplean laecuacindeMattockque,cuandoseignoraelvalordez,daunvalor conservador de Lp frente a los experimentalmente observados. e)Ms recientemente se ha planteado [Bertero], una expresin de Lpen funcin delalongituddelelemento,deldimetrodelasbarrasdeaceroyelesfuerzo promediodeadherencia,paratenerencuentalapenetracindedeformacin por tensin (tensile strain penetration) [TP. & P.] as: Lp= 0.08L + 0.022dbfy (Mpa) = 0.08L + 0.15dbfy (ksi) Lp = 0.5 d +|.|

\|dzd .2 0Lp = 0.5 d + 0.05 z Lp = 0.25 d + 0.075 z 98 Estaexpresin,paralasdimensionesusualesdevigasycolumnas,seconvierte en Lp~ 0.5h. Figura 2.38. DebehacerseunaclaradiferenciacinentrelalongitudequivalenteLp,dela articulacinplsticaylazonadeplastificacin,enlacualesnecesario > 1.5 h0.5h 250o 500 > h X h o 500 > hX 0.5h > 1.5 h 250 > 2h h (a)(b) XX Seccin crtica MA MB Capacidad a flexion suministrada McMB LAC B MA A 2h2h hh LAB C 99 proporcionarunadecuadodetalladodelrefuerzolongitudinalytransversal,para asegurar una confiable capacidad de rotacininelstica. Lasnormasdediseoestablecenquelasregionesdearticulacinplsticapor flexin, deben considerarse en una longitud de 2h (NZ 3101) 2d (ACI y NSR-98), dondetendrlugarunagrandemandadedisipacindeenerga.Lafigura2.38 ilustra el detallado del refuerzo transversal en esas regiones. EJEMPLO 2.5 CalcularlalongituddelaarticulacinplsticaequivalenteLp,paralaseccin crticadelavigadeconcretoreforzado,diseadaparaunvalorip=1,quese muestraenlafigura2.39.Considerelasiguienteinformacin:L=6m,h=40m, d = 36 cm L d754= Con base en la figura 2.39 b, z = 4L =d . z d 69 41675= Usando la ecuacin de Mattock (frmula 2.39),Lp= 0.5d + 0.05z, reemplazando z se tiene: Lp=h 65 . 0 d 73 . 0 = . Si L = 6 m, d = 36 cm, h = 40 cm Lp = 26.3 cm Segn Sawyer (frmula 2.40) Lp = 0.25 d + 0.075 (4.69 d) =0.602 d S L = 6 m,d = 32 cm Lp = 19.26 cm ValortomadodelatablaC.9.1.bdelaNormaNSR-98 para el control de las deflexiones 100

Figura 2.39.(a) Viga continua, (b) Diagrama de curvatura, (c) Viga reforzada mostrando Lp. Con base en la figura 2.39b, z = 4L =d . z d 69 41675= (a) Z =4L +y =2wLEI 1289 -y =EI 8wL2 2Lp Z =4L +y =2wLEI 1289 u(b) ww LL (c) Lp d =L754 b 101 Usando la ecuacin de Mattock (frmula 2.39),Lp= 0.5d + 0.05z, reemplazando z se tiene: Lp=h 65 . 0 d 73 . 0 = . Si L = 6 m, d = 36 cm, h = 40 cm Lp = 26.3 cm Segn Sawyer (frmula 2.40) Lp = 0.25 d + 0.075 (4.69 d) =0.602 d S L = 6 m,d = 32 cm Lp = 19.26 cm 2.15CAPACIDAD DE ROTACION PLSTICA ElIngenieroEstructuralquereconozcayconfeenlahabilidadquetienenlos sistemasestructuralesdctilesdeconcretoreforzadoparaabsorberydisipar energadedeformacin,medianterotacionesinelsticasdelasarticulaciones plsticasenlasregionescrticas,entiendeademsquedichasrotacionesnoson ilimitadas. Dehecho,steparmetroeselquecontrolaelporcentajederedistribucin cuandoseadoptaelanlisislmitetotal.Porlotantoeldiseadorquesigueeste enfoque, no solamente debe analizar todos los posibles mecanismos de falla, sino tambin la Demanda y la Capacidad de rotacin. El anlisis comparativo de estas ltimas,esdecir,delaDemandaderotacinogiroimpuestoylacapacidadde rotacin o giro admisible, determinar si el Anlisis y Diseo Lmite es satisfactorio como se estudiar en el captulo 4. Enlasnormasdediseounindicativodelacapacidadderotacinparafinesde redistribucindemomentosestdadaporlarelacin/bo()/b.Para valores muy altos habr poca o ninguna capacidad de rotacin puesto que = 0.Paravalorespequeossepodrndesarrolarrotacionesplsticasconsiderables que permitan modificar los momentos elsticos. 102 La capacidad de rotacin, como se indic anteriormente, est dada por: cpu= (u - y) Lp Reemplazando u y y de las ecuaciones (2.2) y (2.3), se tiene up =pce cuLkd c|.|

\| cc (2.41) Donde ccu, c, cce y kd, tienen el significado mencionado anteriormente. La expresin (2.41) muestra que la capacidad de giro de una seccin de concreto reforzado depende de los siguiente parmetros: c, Lp, cce y ccuas: -Laprofundidaddelejeneutrocestasociadaconlacuantaderefuerzo longitudinal (a menor , menor cymayor capacidad de giro). -La longitud de la articulacin plstica (Lp) fue estudiada en el artculo 2.14 -Deformacindelconcretoenelrangoelstico(cce).Sibienenlascolumnas cargadasintensamenteoenvigassobrerreforzadas,ladeformacindel concretopuedealcanzarlaregininelstica,sepuedeconsiderarccecomola deformacinenelextremodelrangoelstico,esdecir,cce=0.001omayor segnsuresistencia.Porlogeneralccesetomacomoladeformacindel concreto cuando cede al acero a tensin. De estos valores se toma el menor. -Conrespectoaccu,escostumbreadoptar,paraeldiseo,unvalorde ccu =0.003segnelA.C.I.ylanormaNSR98,occu =0.004segnla prctica europea. Para el clculo de la capacidad de rotacin se necesita un 103 valor ms refinado que tenga en cuenta el confinamiento, como se ilustra a continuacin. ccuseexpresaenfuncindelparmetro,definidocomolarelacinentreel volumen de un estribo ms elvolumen del refuerzo a compresin tributario a ste y el volumen de concreto confinado. '' = confinado concreto de Volumenconfinante acero del Volumen Conbaseenestudiosempricos,ladeformacinltimaccuenlaarticulacin plstica, se puede calcular con cualquiera de las siguientes expresiones: a)Segn A.L.L. Baker ccu = 0.0015 (1 + 1.5 + (0.7 + 0.1 ) U k1) s 0.01 (2.42) Baker afirma que cuando se utiliza esta ecuacin, el valor de cpudado por la ec. (2.41) proporciona una prediccin razonablemente segura de la capacidad de giro tolerable. b)Segn Corley: ccu = 0.003 + 0.02 220|.|

\| +fy ' 'zb(2.43) Dondezesladistanciadelaseccincrticaalpuntodeinflexin,bydson respectivamente el ancho y altura efectiva de la viga respectivamente

104 c)Mattock al modificar la ecuacin de Corley, sugiere la siguiente expresin: ccu = 0.003 + 0.02 2b + 0.2 (2.44) Esta expresiin da resultados ms conservadores para valores elevados de . Combinandojuiciosamentelosparmetrosqueincidenenu,sepuedenobtener diversas ecuacionesparala Capacidad de Rotacin,unadeestas ecuacioneses la dada por el profesor Enrique Kerpel basado en los estudios de A.L.L. Baker. Usando cce = 0.002 y asumiendo que c = kd as: cpu =|.|

\| cckd cce cu LpLp = 0.8 k1 k3|.|

\|dz c cpu = 0.8 k1 k3 (cCU 0.002) |.|

\|dz (2.45) Tomando el promedio de k1 k3 como 0.58 y el promedio de z/d = 5 cpu~ 2.784 (cCU 0.002)- (2.46) Con5 =dz Utilizando Lp de la ecuacin (2.39) Lp = 0.75 d con cce = 0.002

- Enrique Kerpel: Introduccin al Anlisis Plstico de Estructuras de Concreto Reforzado Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ingeniera 1981. 105 u =|.|

\| ck.cdcu002 043(2.48) EJEMPLO 2.6 Determinar la capacidad de rotacin para las secciones de los apoyos B y C de la viga continua mostradas en la figura 2.40. Utilizando la ecuacin de Baker (2.45) cpu = 0.8 k1 k3 (cCU 0.002) |.|

\|dz donde k1 k3 = 0.58 por el lado de la seguridad Usando el valor promedio de z dado por un anlisis elstico de la viga de la figura 2.41 con carga distribuidase tiene:

z1=1.02m;z2=1.04m;Paraelapoyocentralz=03 . 12) z z ( 2 1=+myparael apoyo fijo z3 = 1.06 m. Ladeformacinltimadelconcretopuedesercalculadaconlaexpresinde Baker (2.42) as: ccu = 0.0015 (1 + 1.5 + (0.7 + 0.1 ) U k1)s0.01 106 (a) (b) Figura 2.40.(a) Viga continua,(b) Seccin 1 1 = seccin 2 2 Dondekueslaprofundidaddelejeneutroquesepuededeterminar aproximadamente con la ecuacin (2.16) as: k =c c c ' f * k * kfy * )d' d'* (' f * k * k *fy ) ' (' f * k * k *fy ) ' (3 1 213 1 2 213 1 22 + ((

+ + ((

+ + Si k1 k3 = 0.72 y reemplazando los parmetros para el diseo ku = 0.338 = confinado concreto volumencomprein a acero de Volumen estribo un de volumen + ABC 4m5 m 2 2 1 1 Seccin 30 x 30 fy = 420 MPa (4200 Kg/cm2) fc = 21 MPa (210 Kg/cm2) d = 26 cm Refuerzo transversal c | 3/8 @ 10 cm As = 5 # 5 As = 2 # 4 5 # 5 2 # 4 26 30 107 Figura 2.41.Diagrama de momentos elsticos =% 2 . 1) cm 26 )( cm 30 )( cm 10 () cm 10 )( illas var 2 cm 27 . 1 ( ) cm 71 . 0 )( cm 100 (2 2= + Reemplazando en la ecuacin 2.42ccu = 0.0046 cm/cm Por lo tanto la capacidad de rotacin dada por la ecuacin. 2.45 para la seccin en el apoyo central es: cpu = (2) (0.8) (0.58) (0.0046 0.002) 26103 = 0.0096 Rad La capacidad de rotacin en la seccin del apoyo empotrado es: 4 m5 m 1.11 w1.05 w z1z2 z3 2.04 w 2.11 w w ABC 108 Figura 2.42. up = 0.8 (0.58) (0.0046 0.002) 26103 = 0.004918 Rad 2.16CAPACIDADDEABSORCINYDISIPACINDEENERGAEN ESTRUCTURAS DE CONCRETO REFORZADO Eldiseosismoresistente,sefundamentaenlosconceptosdeabsorciny disipacin de energa, para reducir las fuerzas inerciales producidas por un sismo intenso, logrando as economa y una respuesta dctil. Paraentenderestosconceptosseintroducenalgunostrminosasociadosconla respuestainelsticadeseccionesoelementosestructuralesbajocargascclicas as: 2.16.1 Respuestahistertica.Eselcomportamientodeunmaterialodeuna estructura cuando se somete a una serie de cargas alternantes (carga, descarga ycarga en sentido opuesto), como es el caso de los sismos en el cual los esfuerzos superan su lmite elstico. 5 # 5 2 # 4 s= 10 cm 5 cm 109 .La curva de carga tienen una trayectoriadiferentea la curva de descargalo que conduceaquenotodalaenergadedeformacinalmacenadaenelprocesode cargase convierta en energa cintica de deformacin en el ciclo de descarga. Actualmentenoexisteunmodelomatemticonicodehistresis.Losms conocidos son el modelo elastoplstico, el modelo Ramberg Osgood y el modelo de rigidez degradante de R. W. Clough ilustrados en la figura 2.43 Por ser el ms didctico el modelo elastoplstico es el ms empleado, aunque se reconocequeelmodeloderigidezdegradanteeselquemejorinterpretala respuesta inelstica del concreto estructural. 1 Figura 2.43.Modelos histerticos. RambergOsgood M Modelo Elastoplstico M Rigidez degradante M 110 2.16.2 Tenacidad.Latenacidad(Toughness)estdefinidacomoelreabajola curva esfuerzo deformacin de cualquier material cargado hasta la falla.Esuna medidadelacapacidaddeunmaterialparaabsorberenergaporunidadde volumen.Cuandoesteconceptoseaplicaaloselementosestructurales,se definecomolacapacidadderesistirunaseriedeciclosdecargaenelrango inelstico sin disminucin crtica de su resistencia. En este contexto tiene la misma definicin de ductilidad. Por esta razn estos dos parmetrosseempleanindistintamenteparaexplicarunarespuestainelstica.Aunquelaductilidadesmscomnmenteempleada,elhechodetenervariar connotaciones,enmuchassituacionesespreferibleemplearlatenacidaddado que esta no se presta a equvocos (L. E. Gracia.) 2.16.3 Absorcinydisipacindeenerga.Usandoelmodeloelastoplsticose explica a continuacin el concepto de absorcin y disipacin de energa, as: Considereelprticodeconcretoreforzadomostradoenlafigura2.44bajola accinde una fuerzamonotnica.Si el prtico noes suficientemente fuerte para responderalacargaexternaenformatotalmenteelstica,desarrollar articulacionesplsticasatravsdelascualessedisipapartadelaenerga potencialdedeformacinyelrestosetransformaenenergacinticaode movimiento. La curva M Vs. para medio ciclo de carga,ser como se indica en la figura 2.44concaractersticaselastoplsticas.Enelprimercuartodeciclodecargala energapotencialdedeformacinalmacenadaestdadaporalreaabcddela figura 2.44a.En el proceso de descarga, el sistema convierte parte de la energa potencial en energa cintica, rea ecd, figura 2.44b.La diferencia entre estas dos reaseslaenergadisipadaenlasarticulacionesplsticasenformaderuido, calor, y otro tipo de energa no recuperable, rea abce, figura 2.44c. 111 Figura 2.44.Absorcin y disipacin de energa Como se mencion anteriormente, la filosofa actual del diseo sismo resistente se apoyaenelconceptodeabsorcinydisipacindeenergamediante deformaciones inelsticas del sistema estructural para la supervivencia de sismos intensos o de cualquier acto irracional extraordinario. Silaresistenciaatensindelconcretoesignorada,lacapacidaddeabsorciny disipacindeenergaporunidaddelongitudparamediociclodecargaenuna seccindeconcretoreforzadosepuedecalcularconlaayudadeldiagrama M vs de la figura 2.44 as: Energa absorbida = wu = we + wp (Ver figura 2.44) (2.49) wu =) )( M M ( M y u u y y y + + 2121 (2.50) Donde:wu,eslaenergapotencialdedeformacinabsorbida(reaabcdbajola curvaM - ),we, es la energa elstica ywp, la energa Plstica Para secciones moderadamente reforzadas My = Mu, por lo tanto: a)b) A w A Energa Cintica e d c b a y u c d b a y u Absorcin de energa de deformacin M M t g b c a y u M c) Energa Disipada en medio ciclo e 112 wu = Mu |.|

\| 2yu (2.51) Energa disipada wDis = Mu(u - y). Ver figura 2.44c

Para el Ejemplo 2.1 la energa elstica por unidad de longitud We = 0.454 kN.m/m, y la energa plstica Wp =1.9 kN.m / m. En consecuencia la energa total absorbida en el medio ciclo de carga es igual a 2.354 kN.m / m y la energa disipada WDIS es igual a 1.9 kN.m / m. 2.17EVALUACIN DE LA CAPACIDAD DE ABSORCION DE ENERGIA EN UN SISTEMA ESTRUCTURAL En la seccin 2.16.3 se estudia queuna seccinde concreto reforzado tiene unacapacidad deabsorcinde energa por unidad delongitud, que sepuedeevaluar comoelreabajolacurvadeldiagramamomentocurvatura(M-).Paraun sistema estructural, la capacidad de absorcin de energa total es igual a la suma delascapacidadesdeenergaelsticaentodossuselementosmslaenerga inelstica a lo largo de Lp en las articulaciones plsticas. uy M (kN.m) c 98.55 50m 30 cm fc = 21 MPa (210 Kg/cm2) fy = 420 MPa (210 Kg/cm2) As = 3 # 6 As = 2 # 4 Mu= 98.55 kN my = 9.48 x 10-3 Rad / m u= 47.7 x 10-3 Rad / m Energa Disipada en medio ciclo b a 10-3 rad /m e 113 Energa elstica. Recordandoquelaenergadedeformacinporflexinparaunaseccinenel rango elstico, we =2M y y; para un elemento ser: We = }L0dx M21 (2.52) Y para un sistema estructural ser: We = }L0dx M21 (2.53) Energa plstica. Silaseccinesdctil,tendrcapacidadparadisiparenergasinperdidade resistenciaysindegradacinsignificativadesurigidez.Suenergaplsticapor unidad de longitud se calcula as: wp = Mu (u - y) La energa inelstica en la regin de la articulacin plstica es igual a: Wp = } Lp0yu dx ) ( M(2.54) Y en un elemento estructural ser: Wp = } Lp0yu dx ) ( M(2.55) La energa total o ltima ser igual a: 114 Wu = We + Wp(2.56) Lasintegralescontenidasenlasecuaciones2.52y2.55sepuedenevaluar utilizando el mtodo de A. Vereschagin, as: (ver figura 4.15) "La energa es el rea del diagrama de curvatura, multiplicada por la ordenada que en el centro de gravedad de ella tiene el diagrama de momentos". Lossiguientesejemplosilustrativostomadosdelareferencia8,explicaneste procedimiento. EJEMPLO 2.7 Calcularlacapacidaddeabsorcindeenergaparalavigamostradaenlafigura 2.45 bajo carga monotnica ignorando la sobrerresistencia a flexin Mo = uoM| Figura 2.45.Vigaencantileverparaclculodelacapacidadde absorcin de energa. Con la ayuda de DIAG.BAS o utilizando las ecuaciones del ejemplo 2.1 (diagrama M - ), se calculan los parmetros de resistenciay ductilidad de curvatura as: My = 139.4 kN - m (13.94 Ton m) P As = 3 # 7 = 11.64 cm2AS= 2 # 4 = 2.5 cm2 fy = 420 MPa (4200 Kg/cm2) f'c = 21 MPa (210 Kg/cm2) ccu = 0.004 cm/cm E = 3900c ' f= 17.87 GPa 36 30 115 y = 8.13 x 10-3 rad / m Mu = 142.3 kN - m (142.3 Ton - m ) u = 4.76 x 10-3 rad / m = 5.85 Absorcin de energa de la seccin:My 2y+ Mu (u y) Wu = 13.94 210 8.13-3 t . m + 14.25(47.6 8.17) 103 t m = 0.6185 t m / m Figura 2.46. (a)Viga,(b)Diagramademomentoselsticos(M), (c) Curvatura idealizada () (a) 010002000300040005000600070000 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Deformacin Unitaria,e Esfuerzo (kg/cm2) P L q1= 92.2 kN m q2= 130.73 kN m cg q2 q1 (b) Mu (c) 0.5Lp 2L/3 u y Lp u yb a = 5.85 M c 116 Clculo de la energa elstica We We = }L0dx M21 =We = ((

q1y2L21, como q1 = 92.22 kN - m (9.222 Ton m) We = ((

22 . 9223 10 x 314 . 8213= 0.58 kN - m We = 575 Julios (5.75 Ton cm) Calculando la energa plstica Wp = } Lp0yu dx ) ( M Wp =| | 2 p y u * L ) ( q Calculando Lp por la frmula emprica de Mattock (Ec. 2.39) Lp = 0.5 d + 0.05 z= 0.5 (0.36 m) + 0.05 (3 m) = 0.33 m Luego,q2 = 130.73 kN - m (13.07 Ton m) Por lo tanto, Wp = |(3.724 x 10-2 8.314 x 10-3) (0.33) (130.7)|,Wp = 1.25 kN m Wp = 1251 Julios (12.51 Ton cm),Wu = 1826 Julios (18.26 Ton cm) 117 EJEMPLO 2.7 Utilizandolaestrategiadediseoporcapacidadeignorandoelconceptode sobrerresistencia, determinar la capacidad de absorcin de energa para el prtico mostrado en la figura 2.47 con cuatro condiciones as: a)ColumnaconmenorcapacidaddemomentoquelavigaylacargaaxialPu = 800 kN superior a la balanceada (columna dbil - viga fuerte; = 2 %). b)Columna con mayor capacidad de momento que la viga y carga axial

c)Pu = 800 kN superior a la balanceada (columna fuerte - viga dbil; = 2 %). d)Columnaconmenorcapacidaddemomentoquelavigaycargaaxial Pu = 200 kN inferior a la balanceada (columna dbil - viga fuerte; = 2 %). e)Columnaconmayorcapacidaddemomentoquelavigaycargaaxial Pu = 200 kN inferior a la balanceada (columna fuerte - viga dbil; = 2 %). Figura 2.47.Prtico con su diagrama de momentos elsticos 5 m H PP 3 m A D B C 118 Basadoenlaestrategiadediseoporcapacidad,losresultadosdelanlisis elsticopuedenservircomounaguainicialapartirdelcuallosmomentosde diseo deliberadamente semodifican para forzar un mecanismo de falla no frgil, queseacapazdedisiparenergaenformadctilyevitarotrosquepuedenser indeseables.Dependiendodelmecanismodefallaescogido,habrunamayoro menorcapacidaddeabsorcinydisipacindeenerga,comoseilustraa continuacin. a)columna dbil viga fuerte;Pu = 800 kN> Pb = 510.16 kN Columna30 x 30; fc = 21 MPa; fy = 420 Mpa, = 2%. Con la ayuda del programa COLUMNA.BAS, se obtiene la siguiente informacin: Pb = 510.16 kN,Mb = 105.3 kN m,b = 1.87 x 10-2 Rad / m Pu = 800 kN (80 Ton) > Pb DelanexoAconcuantadel2%obtenidoconlaayudadelprograma COLUMNA.BAS A la carga de 800 kN le corresponde un Mu =87.17 kN - m(8.72 Ton - m) y una curvatura u = 1.45 x 10-2 rad / m Para las vigas b = 30 cm; d = 31 cm; As = 8.55 cm2 (3 | ) Mu = 89.37 kN - m (8.94 Ton - m) y = 9.087 x 10-3 Rad / m; u = 5.070 x 10-2 Rad / m 119 Porserelmomentoresistentedelasvigasligeramentesuperioraldelas columnas,enlacondicinlmitesealcanzarlafluenciaenstasynoenlas vigas.Sinembargo,porserPu>Pb,nosealcanzanaformararticulaciones plsticasenlascolumnasdadoqueporencimadePbnohayposibilidadde lograrse la ductilidad de curvatura, de manera que la energa total almacenada en el sistema es: Figura 2.48. (a)Diagramademomentosenlascolumnas,(b) Diagrama de curvatura en las columnas Wcolumnas = 21(1.45x10-2)(1.5)(2)(58.11)(2)21 = 1.26 kN m = 1263.9 Julios Clculo de Wvigas Figura 2.49.(a) Diagrama de momentos en la vigas,(b) Diagrama de curvatura en la vigas 87.17 kN - m q3 q3 = 57.11 kN - m 1.5 m 1.45 x 10-2 rad / m (a)(b) 2.5 m 87.17 kN - m 8.89 x 10-3 Rad / m q4 = 58.11 kN - m (a) (b) 120 Wvigas = ) 2 (21) 2 ( ) 11 . 58 (2) m 5 . 2 )( 10 x 087 . 9 (3 = 1.32 kN - m Wvigas = 1320 Julios Wu = Wvigas + Wcolumnas

Wu = 2583.9 Julios b) Columna fuerte viga dbil (Pu > Pb) Si la estructura tuviera vigas con capacidad ms dbil (ms dctil) que la de las columnasporejemplosib=30cm;d=31cm;fc=21MPa;fy=4200MPa; As = 8 cm2 (4 | 5/8) Entonces, y = 8.891 x 10-3 Rad / m, u = 5.419 x 10-2 Rad / m,Mu = 84.24 kN - m(8.42 Ton - m) Figura 2.50.(a)Diagramademomentosenlascolumnas, (b) Diagrama de curvatura en las columnas Wcolumnas = 21(1.45 x 10-2) |.|

\|25 . 1(56.16)(2)(2) = 1.22 kN m = 1221.5 Julios 84.24 kN - m q5 q5 = 56.16 kN - m 1.5 m 1.45 x 10-2 Rad / m (a)(b) 121 En las vigas se formarn articulaciones plsticas al llegar a su capacidad ltima (figura 2.51). Figura 2.51.(a)Diagramademomentosenlasvigas,(b) Diagrama de curvatura en las vigas Lp = 0.5 d + 0.05 z= 0.5 (0.31) + 0.05 (2.5)=0.28 m ||.|

\| + = ) 52 . 79 )( 28 . 0 )( 10 x 891 . 8 10 x 416 . 5 ( ) 16 . 56 (2) 5 . 2 )( 10 x 891 . 8 (214 W3 23viga Wvigas = 5.28 kN - m = 5282.8 Julios Wu = Wvigas + Wcolumnas

Wu = 6504.3 Julios c) Columna dbil viga fuerte con carga inferior a la balanceada Pu = 200 kN (20 Ton) < Pb 2.5 m 84.24 kN - m y = 8.89 x 10-3 Rad / m q6 = 56.16 kN - m (a) (b) q6q7u = 5.419 x 10-2 Rad / m q7 = 79.52 kN - m 122 Utilizando el mismo diagrama de interaccin, se tiene: Mu = 87.12 kN - m (8.71 Ton - m) y = 1.26 x 10-2 Rad / m u = 4.07 x 10-2 Rad / m S deliberadamente diseamos las vigas con un momento ligeramente superior al de las columnas, tenemos: Mu = 89.37 kN - m (8.94 Ton - m) u = 9.07 x 10-3 Rad / m y = 5.070 x 10-3 Rad / m Wvigas = 1320 Julios Figura 2.52. (a)Diagramademomentosenlascolumnas,(b) Diagrama de curvatura en las columnas. Porserlacargamenorquelabalanceada,sepodrnentoncesformar articulaciones plsticas en las columnas 4.07 x 10-2 Rad / m (a)(b) 87.12 kN - m q8 q8 = 58.08 kN - m 1.5 m q9 = 83.64 kN - m 1.26 x 10-2 Rad / m q9 123 Lp = 0.5 d + 0.05 z=0.5 (0.26) + 0.05 (1.5)=0.2 m 2 ) 2 )( 64 . 83 )( 2 . 0 )( 10 x 26 . 1 10 x 07 . 4 ( ) 2 )( 08 . 58 (2) 5 . 1 )( 10 x 26 . 1 (21W2 22columna||.|

\| + = Wcolumna = 2.98 kN - m=2977 Julios Wu = Wviga + Wcolumna Wu = 4297 Julios d) columna fuerte - viga dbil con carga inferior a la balanceada Parapermitirqueseformenarticulacionesplsticasenlasvigasynoenlas columnas,esnecesarioquestasposeanmayorcapacidaddemomentoque las vigas. Se reforzar la viga de igual manera que en el caso b) As = 4 # 5: y = 8.891 x 10-3 Rad / m; u = 5.419 x 10-2 Rad / m; Mu = 84.24 kN - m (8.42 Ton - m) En consecuencia, la energa de las vigas es igual quela calculadaenel caso b), es decir, Wvigas = 5282.8 Julios Para las columnas: Pu = 200 kN (20 Ton); Mu = 87.12 kN - m (8.71 Ton - m);124 y = 1.26 x 10-2 Rad / m; u = 4.07 x 10-2 Rad / m. Figura 2.53. (a)Diagramademomentosenlascolumnas,(b) Diagrama de curvatura en las columnas Wvigas =2 ) 2 )( 16 . 56 (2) 5 . 1 )( 10 x 26 . 1 (212||.|

\| Wvigas = 1.06 kN - m = 1061 Julios Wu = Wvigas + Wcolumnas Wu = 6343.8 Julios Resumen Pu (kN)CONDICIONWTotal (Julios) 800(a) Columna dbil viga fuerte2583.9 800(b) Columna fuerte viga dbil6504.3 200(c) Columna dbil viga fuerte4297.0 200(d) Columna fuerte viga dbil6343.8 Sepuedeapreciar,comparandoloscasos(a)y(c),quelacargaaxialafecta considerablementelacapacidaddeabsorcindeenerga,detalmaneraqueen 84.24 kN - m q10 q10 = 56.16 kN - m 1.5 m 1.26 x 10-2 Rad / m (a)(b) 125 los pisos inferiores de una estructura donde Pu > Pb, la misma no puede absorber una gran cantidad de energa a diferencia de los pisos superiores. La razn por la cual el diseo ssmico requiere que las articulaciones plsticas se formenenlasvigas(columnafuertevigadbil),seevidenciaenelejemplo anterior,dondeloscasos(b)y(d)sonlosqueposeenlamayorcapacidadde absorcin de energa. Este desde luego es un ejercicio analtico acadmico, que sirve paramostrar lo deseable que es ejercitar la estrategia de diseo columna fuerte viga dbil. Estosresultadosseconfirmarantambinenunasituacinfsicareal,dondese tendraqueconsiderarelefectoqueelconfinamientotransversalejercesobrela ductilidad, anteunaperturbacin ssmica real o simulada enellaboratorio, donde la carga ya no es monotnica sino cclica.Es evidente que en este caso, parte de laenergaqueelsistemaalmacenacomoenergapotencialdedeformacin,se convierteenenergacinticaduranteladescargayelrestosedisipaatravsde las articulaciones plsticas como se indic en la seccin 2.16.3 2.18Factor de modificacin de respuesta (R) Enelcontextodeldiseosismoresistentemoderno,elcoeficientedecapacidad dedisipacindeenergaR,juegaunpapelimportante,puestoquelasfuerzas ssmicasreducidasparaeldiseoE=Fs/ R(NSR-98)sonelcocienteentrelas fuerzas elsticas inercialesFs = mg y este parmetro, que en Estados Unidos y en otros pases de Amrica se expresa como R y en Europa como q (Eurocode 8),denominadotambinfactordemodificacinderespuestaofactorde comportamiento. 126 Considrese nuevamente el prtico de la figura 2.44 sometido a una perturbacin ssmicacualquiera.Siessuficientementefuertesurespuestapuedeser totalmenteelsticaysurelacincargadeflexin(curvaabc)escomose muestra en la figura 2.54. SumximodesplazamientoelsticoestdadoporAe alcualcorrespondeuna fuerzaFe,queeselnivelderesistenciamnimoqueserequiereparaquesu respuestaseacompletamenteelstica.Estafuerzaesobviamentemayorquela que se especifica en los cdigos sismo resistentes del mundo.Cuando el prtico regresaalaposicininicialtodalaenergapotencialdedeformacinse transforma en energa cintica, es decir, no hay disipacin de energa. En regiones dealtasismicidad,disearparaestacondicinnosolamenteesantieconmico sino indeseable. Figura 2.54.Relacin entre ductilidad y factor de comportamiento R Fe a Fuerza Ssmica d c d b Ay A Ae=Au Respuesta elstica Respuesta ductil Ryu=AA= A yeFRF= A t Fs =m*g w g A T > Tm Articulacin plstica (a) (b) 127 Si el prtico no es suficientemente fuerte para responder elsticamente, pero tiene capacidadparaabsorberydisiparenergassmica,tendrunarespuestadctily desarrollar articulaciones plsticas en la base de las columnas.La curva carga deflexinabd,sercomoseindicaenlafigura2.54b.Cuandosealcanzala capacidadenlaarticulacinplsticalarespuestasiguelatrayectoriabd,siendo Fy su respuesta mxima asociada al desplazamiento mximo Au. Enestecasolacapacidaddelaarticulacinplsticahalimitadolafuerzaque acta sobre la estructura a un valor Fy = Fe/R=E (fuerza especificada por los cdigos). Cuandoelprticovuelvaalaposicininicial,partedelaenergapotencial almacenadasehaconvertidoenenergacinticaylaotrasedisipa,comoseha explicado en el artculo anterior. Conbaseenesterazonamiento,sedefineahoraelcoeficientebsicode disipacin de energa, Ro as: Ro = ERFFkkkkFFoeyyuyeye= = AA=AA= Sepuedeinferirqueladisipacindeenergaatravsdelasarticulaciones plsticas,queactancomofusiblesestructuralesdelsistema,eslacapacidad que tiene este para reducir la fuerza Fe, que tendra si permaneciera elstico, a un valor Fy correspondiente a la primera fluencia en las secciones crticas. 128 Hace40aosVelestosyNewmark3reportaronqueunaestructurabajolaaccin deunsismointenso,tieneundesplazamientomximoaproximadamenteigual, sea que su respuesta sea elstica o inelstica.Basado en este concepto Ae = Au

y en consecuencia Ro =A =AAyu, (1) Sinembargo,convienesealarquelaobservacinhechaporNewmark& Veslestos de que Au sea igual a Ae, algunas veces referida como el principio de igualdesplazamiento,segnPaulay&Priestley[],notieneanunsoporte terico o una aplicacin general que garantice considerarla como principio. En la misma direccin, estos dos profesores,indican que el factor R depende del periodo natural de la estructura y que el comportamiento Au = Ae se da solamente cuando el periodo natural de un sistema estructural T es mayor que el periodo Tm, correspondiente a la respuesta elstica espectral pico Sa (Ver figura 2.56) Consecuentemente la ecuacin (1) no es vlida para estructuras de periodo corto, especialmenteaquellascuyoperiodoTseamenorqueTm.Enestecaso,la demanda de ductilidad A es mayor que el factor de modificacin de respuesta R, y se calcula igualando las reas bajo las curvas elstica e inelstica del diagrama fuerza desplazamiento de la figura 2.55, as: A = (R2 + 1) / 2(2) Laigualdaddeestasdosreasenlafigura2.55,querepresentalaenerga absorbidaporlosdossistemasbajocargamonotnica,tambinesconsiderada algunasvecescomoelprincipiodeigualenerga,aunqueunavezsehace

3 VELESTOS 1960.Effect of inelastic bahavior on the responce of Simple Systems to E.Q. motions 129 nfasis[]enqueelestatusdeprincipioparaestacondicintampocoest garantizado. Figura 2.55. Finalmente para estructuras con periodos muy cortos, T < 0.20 s, se indica que la ecuacin(2)noesvlida,debidoaqueladegradacinderigidezquesufreel sistemaestructural,tiendeaincrementarelperiododesdeToaTtcomose muestra en la figura 2.56. CuandoelperiodotiendeaT=0,unparavaloresdeRmuypequeosla demandadeductilidadApuedesermuygrande,porquenoobstantequelas deformacionesestructuralesseanpequeas,ladeformacindelsuelonoloes.Es decir,la estructura se mover con el suelo sin importar la deriva y la demanda deductilidadestructuralA;obviamentesilaestructuranopuedesoportarla aceleracin del suelo, fallar. t Fi =m*g w g A A T > Tm Articulacin plstica b Respuesta dctil o a FE RFEE= Ay Am Desplazamiento Ae Respuesta elstica Fuerza ssmica Au d A = ( )21 R2ym+=AA 130 Enconsecuencia,ningunaestructuradeperiodomuycorto,debeserdiseada, para fuerzas menores que las que le imponga la aceleracin pico del suelo.Este comportamientosestericamenteconsistenteypodradenominarseprincipio de igualdad de aceleracin. Figura 2.56.Espectro elstico de aceleracin Sepuedeobservarque,aunqueenlamayoradeloscdigos,elvalordeRq (Eurocode8)estdefinidosinunareferenciaexplcitaalaductilidadde desplazamientoglobalAdelsistemaestructural,esteparmetrodepende implcitamente de A como se acaba de sealar. Sin embargo, casi todas las normas sismo resistentes reconocen queR se deriva de una valor Ro bsico obtenido de un sistema de un grado de libertad, que debe incorporarademslasirregularidadesenplantayaltura,lasdisipacionesde energa por amortiguamiento histertico EH, el aumento del periodo natural T por degradacinderigidezylasobrerresistenciaSodebidaalrgimende endurecimientopordeformacindelacero(strainhardening),( )o H a pS , T , E , , f R| | =Sa mx Aceleracin espectral Sa Principio de Igual Energa A =( )21 R2+ T < Tm

Au = Ae

Aumento del T por degradacin de la rigidez R = 1 T = 0 Principio de igual desplazamientoIgual aceleracinToTt Tm T Periodo R = A

T > Tm

131 2.19CAPACIDAD DE DISIPACIN DE ENERGA SEGN LA NORMA NSR 98 Cuandounsistemaestructuralsesujetaavariosciclosdecargalateralquelo llevanalazonainelstica,sedeformarconsiderablemente.Lasnormassismo resistentes exigen que su comportamiento sea dctil si se desea la supervivencia anteeventosssmicosextraordinarios.Enestecasounamedidadelaductilidad delsistemaestructural,eslaductilidaddedesplazamientod= yuAAquepuede variar entre 3 y 5, donde: Au = mxima deflexin lateral Ay = deformacin lateral a la primera fluencia. Estasdeflexionessesuelenmedirenelextremosuperiordelltimopisodeun sistema de plantas mltiples. Los edificios diseados para satisfacer las cargas estticas recomendadas por los cdigossismoresistentesenzonasdeamenazassmicaalta,selesexige considerableductilidaddedesplazamiento(d),dividiendolasfuerzasssmicas (Fs)obtenidasdelanlisisporelcoeficientededisipacindeenergaR correspondiente a cada sistema estructural, para obtener as las fuerzas ssmicas reducidasdediseoE= RFs.Desdeluego,esposiblereducirstademandade ductilidad,diseandoparacargaslateralesestticasmayoresusandouna capacidad de disipacin de energa menor (R). EnlanormaNSR98,laductilidaddelsistemaestructuralestntimamente relacionada con el factor de disipacin de energa R = Ro (a p), donde: Ro = coeficiente de disipacin de energa bsico. 132 a = coeficiente de reduccin por irregularidades en altura p = coeficiente de reduccin por irregularidades en planta El coeficiente de disipacin de energa depende adems de: a. el sistema de resistencia ssmico b. requisitos de diseo y detallado En efecto, la Norma contempla tres niveles de capacidad de disipacin de energa en el rango inelstico as: mnima (DMI), moderada (DMO) y especial (DES). Para cadasistemaestructuralseprescribenlosrequisitosdedetalladoenfuncinde estas tres capacidades. 2.13DEMANDADEDUCTILIDADDECURVATURAYMECANISMOSDE COLAPSO ESTATICO. AunqueelclculodelaDemandadeDuctilidaddeCurvatura()requeridaen edificiosdeplantasmltiplesparaundeterminadovalordeDuctilidadde DesplazamientoA,deberaenrigorrealizarseutilizando,porejemplo,anlisis dinmicosnolineales,esposiblehacerunaevaluacinaproximadautilizando mecanismos de colapso esttico y algunas suposiciones simplificadoras. Sibiensteclculonoserealizaraqu,esimportanteresaltarqueenla evaluacin del desplazamiento lateral Au, una vez que la fluencia se ha iniciado, se debealarotacinenlasarticulacionesplsticasyensuevaluacinsepueden desarrollardostiposdemecanismosdefallaas:mecanismodetraslacinde columna y mecanismo de traslacin de viga como se indica en la figura 2.57. 133 Figura 2.57.(a) Prtico bajo perturbacin ssmica, (b) mecanismo de traslacin de viga, (c) mecanismo de traslacin de columna Estosmecanismosdecolapsoestticosonhipotticos,enelsentidodequela posiblerespuestadelaestructurasedebeacargasestticasequivalentes especificadas por los cdigos, con base en el primer modo de vibracin y sin lugar a discusin, la respuesta dinmica puede ser bien diferente. Lo que sepretende esqueestosmecanismosseanvistoscomounagua,paraqueelingeniero diseador o docente tenga una razonable aproximacin de la situacin fsica real y leindiquealaestructura,comodesempearsebajoperturbacionesssmicas intensas. Mecanismodetraslacindecolumna(softstory).Enestemecanismo, ilustrado en la figura 2.57 c, la fluencia se inicia en las columnas antes de que las vigasalcancenlacurvaturay.Todaladeformacininelsticasedebealas rotacionesplsticasenlasarticulacionesdelascolumnasdelpisocrticoque puedeserelprimeroocualquierotro.Porestarazn,stemecanismoes peligrosodadoquelamayordemandadedisipacindeenergaseconcentraen un solo nivel, lo que implica el colapso de todo el edificio. t g ArticulacinPlstica up1 4 A tal como se seal tambin en el ejemplo 2.8. Porlotanto,paraedificiosdemasdedosniveleselmecanismodetraslacinde vigaeselmododeseablededeformacininelstica,paraelcualesplausibleel enfoque de diseo por capacidad.Como se ha indicado en el captulo 1, con esta estrategiadediseo,losmementosdelascolumnasobtenidosdeunanlisis elstico lineal se amplifican para desarrollar el concepto de columna fuerte viga dbil.Deestemodo,aligualqueelACI,lanormaNSR98enelcaptulo C.21.4.2respondeaestaestrategia,estableciendoquelaresistenciamnimaa flexindelascolumnasconcapacidaddedisipacindeenergaespecial(DES), cumpla con la siguiente ecuacin: Me > 1.2 Mg* Donde: Me=sumademomentosresistentesdediseodelascolumnastomadaenel centro de la unin viga - columna.

* La Norma mexicana establece que Me > 1.5 Mg 137 Mg=sumadelosmomentosresistentesdediseoaflexindelasvigasque llegan al nudo. LaintencindelaNormaesobviamentetratardeforzarlaformacinde articulaciones plsticas en las vigas en vez de las columnas. Desafortunadamente, stadisposicinnoevitalaformacindelasarticulacionesplsticasenlas columnas, por las siguientes razones [Corley et all]: 1. Losdiseosgeneralmentesebasanendistribucionesdefuerzasque responden al primer modo de vibracin. 2. Elefectodeendurecimientopordeformacin(strainhardening)delrefuerzoa flexin en vigas. 3. La flexin multidireccional, producto de la aleatoriedad de las fuerzas ssmicas. 4. Diferenciasentreelcomportamientorealdelaestructuraduranteeventos ssmicos y el modelo matemtico empleado para el diseo. InvestigacionesrealizadasenlaUniversidaddeCanterbury,utilizandoanlisis dinmiconolineal,handemostradoque,endeterminadosmomentosdurantela respuestadeunsistemaestructuralaunsismointenso,elpuntodeinflexinen una columna puede estar prximo a la unin viga - columna, e incluso, la columna puedeestarencurvaturasimple.Secreequelacausadeestarespuestainesperadadelsistema,sealafuerteinfluenciadelosmodossuperioresde vibracin,especialmenteelsegundoyeltercero.Estotraecomoconsecuencia, que los momentos ltimos en las columnas puedan ser mayores que los obtenidos deunAnlisisElsticoLinealconcargalateralesttica,yporconsiguientese producirn articulaciones plsticas en las mismas. 138 Debe reconocerse que an con la filosofa de diseo basado en columnas fuertes yvigasdbiles(dctiles)quebuscandisiparenergamediantearticulaciones plsticas en las vigas bien confinadas, se formarn inevitablemente articulaciones plsticas en la base de las columnas que si no estn bien confinadas, son la causa del colapso de muchas estructuras.