15.

EL ANLISIS DINMICO UTILIZANDO CARGAS

SSMICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA

Antes de que Existieran las Computadoras Personales

De Costo Accesible, el Mtodo de Espectro

De Respuesta Constitua el Enfoque Estndar para el

Anlisis Ssmico Lineal

15.1 INTRODUCCIN

El mtodo bsico de superposicin de modo, que est limitado al anlisis

elstico linealmente, produce la respuesta completa histrica de

desplazamientos de uniones y de fuerzas de elemento. En el pasado, ha habido

dos grandes desventajas en el uso de este enfoque. En primer lugar, el mtodo

produce una gran cantidad de informacin que puede requerir una cantidad

importante de esfuerzo de computacin para realizar todos los chequeos de

diseo posible como funcin de tiempo. En segundo lugar, el anlisis debe ser

repetido para varios movimientos ssmicos diferentes para garantizar que todas

las frecuencias fueran excitadas, porque el espectro de respuesta para un ssmo

en una direccin especfica no constituye una funcin uniforme.

Existen ventajas de computacin en el uso del mtodo de espectro de respuesta

del anlisis ssmico para predecir los desplazamientos y las fuerzas de

elemento en sistemas estructurales. El mtodo implica el clculo de solamente

los valores mximos de los desplazamientos y fuerzas de elemento en cada

165

modo utilizando espectros de diseo uniforme que sean el promedio de varios

movimientos ssmicos.

El objetivo de este captulo es resumir las ecuaciones fundamentales que se

usan en el mtodo de espectro de respuesta, y sealar las muchas

aproximaciones y limitaciones del mtodo. Por ejemplo, no se puede usar el

mtodo de espectro de respuesta para aproximar la respuesta no-lineal de un

sistema estructural tri-dimensional complejo.

El reciente aumento de la velocidad de computadoras ha hecho que sea practico

correr muchos anlisis histricos de tiempo en un perodo corto. Adems,

ahora es posible efectuar chequeos de diseo como funcin de tiempo, lo que

produce resultados superiores, porque cada elemento no est diseado para

valores pico mximos tal como requiere el mtodo de espectro de respuesta.

15.2 DEFINICION DE UN ESPECTRO DE RESPUESTA

Para el movimiento ssmico tri-dimensional, se expresa la Ecuacin modal

tpica (13.6) de la siguiente manera:

gznzgynygxnxn2nnnnn (t)up + (t)up + (t)up = y(t) + (t)y2 + (t)y (15.1)

donde los tres Factores de Participacin de Modo son definidos por

MinT

ni- = p donde i es igual a x, y o z. Se deben solucionar dos problemas

importantes para obtener la solucin de espectro de respuesta aproximada para

esta ecuacin. En primer lugar, para cada direccin de movimiento del suelo,

hay que estimar las fuerzas pico mximas y los desplazamientos mximos. En

segundo lugar, despus de solucionar la respuesta de las tres direcciones

ortogonales, es necesario estimar la respuesta mxima en base a los tres

componentes de movimiento ssmico que actan al mismo tiempo. Esta

seccin aborda el problema de combinacin modal de solamente un

componente de movimiento. El separado problema de combinar los resultados

del movimiento en tres direcciones ortogonales ser abordado ms tarde en este

captulo.

Para aportes en una direccin solamente, la Ecuacin (15.1) se escribe as:

gnin2nnnnn (t)up = y(t) + (t)y2 + (t)y (15.2)

166

Dado un movimiento especfico de suelo g(t)u , un valor de amortiguacin y

asumiendo 0.1nip , es posible solucionar la Ecuacin (15.2) para varios

valores de y graficar una curva de la respuesta mxima pico MAXy )( . Para este aporte de aceleracin, por definicin la curva es el espectro de

respuesta de desplazamiento para el movimiento ssmico. Habr una curva

diferente para cada valor diferente de amortiguamiento.

Una grfica de MAXy )( se define como el espectro de pseudo-velocidad, y

una grfica de MAXy )(2 se define como el espectro de pseudo-

aceleracin.

Las tres curvas - el espectro de respuesta de desplazamiento, el espectro de

pseudo-velocidad, y el espectro de pseudo-aceleracin normalmente son

graficadas como una curva en papel especial de registro. Sin embargo, los

pseudo-valores tienen un significado fsico mnimo, y no constituyen una parte

imprescindible de un anlisis de espectro de respuesta. Los valores correctos

de velocidad y aceleracin mximas deben ser calculados en base a la solucin

de la Ecuacin (15.2).

Sin embargo, existe una relacin matemtica entre el espectro de pseudo-

aceleracin y el espectro de aceleracin total. La aceleracin total de la masa

unitaria con un sistema de grado de libertad simple, regida por la Ecuacin

(15.2), se expresa as:

gT tutytu )()()( (15.3)

La Ecuacin (15.2) puede ser solucionada para )(ty y ser sustituida en la

Ecuacin (15.3) para producir lo siguiente:

)(2)()( 2 tytytu T (15.4)

Por tanto, para el caso especial de cero amortiguamiento, la aceleracin total

del sistema es igual a )(2 ty . Por esta razn, normalmente no se grafica la

curva del espectro de respuesta de desplazamiento como un desplazamiento

modal MAXy )( versus . Es costumbre presentar la curva en trminos de

S( ) versus un perodo T en segundos, donde:

MAXa yS )()(2 y

2T (15.5a y 15.5b)

167

La curva del espectro de pseudo-aceleracin, a)(S , tiene las unidades de

aceleracin versus perodo que tiene alguna importancia fsica para el cero

amortiguamiento solamente. Es evidente que todas las curvas del espectro de

respuesta representan las propiedades del sismo en un sitio especfico, y no son

funcin de las propiedades del sistema estructural. Despus de hacer un

estimado de las propiedades del amortiguamiento viscoso lineal de la

estructura, se selecciona una curva especfica del espectro de respuesta.

15.3 CALCULO DE RESPUESTA MODAL

Ahora se puede calcular el desplazamiento modal mximo de un modelo

estructural con un modo tpico n con perodo Tn y un correspondiente valor

de respuesta de espectro de S n( ) . La mxima respuesta modal asociada al perodo Tn se expresa as:

2

)()(

n

nMAXn

STy

(15.6)

La mxima respuesta de desplazamiento modal del modelo estructural se

calcula en base a:

nMAXnn Ty )(u (15.7)

Las correspondientes fuerzas modales internas, knf , se calculan en base al

anlisis estructural de matriz estndar, utilizando las mismas ecuaciones que se

requieren para el anlisis esttico.

15.4 CURVAS TPICAS DEL ESPECTRO DE RESPUESTA

La Figura 15.1 presenta un segmento de diez segundos de los movimientos

ssmicos de Loma Prieta registrados en un sitio uniforme en el Area de la Baha

de San Francisco. El registro ha sido corregido utilizando un algoritmo

iterativo para cero desplazamiento, cero velocidad y cero aceleracin al inicio y

al final del registro de diez segundos. Para los movimientos ssmicos

presentados en la Figura 15.1a, las curvas del espectro de respuesta para el

desplazamiento y para la pseudo-aceleracin se resumen en las Figuras 15.2a y

15.2b.

168

Las curvas de velocidad han sido omitidas de manera intencional porque no

forman parte imprescindible del mtodo de espectro de respuesta. Adems, se

necesitara mucho espacio para definir claramente los trminos tales como

velocidad pico de suelo, espectro de pseudo-velocidad, espectro de velocidad

relativa, y espectro de velocidad absoluta.

Figura 15.1a Tpica Aceleracin Ssmica de Suelo Porciento de Gravedad

Figura 15.1b Tpicos Desplazamientos Ssmicos de Suelo Pulgadas

TIME - seconds

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TIME - seconds

- 12

- 10

- 8

- 6

- 4

- 2

0

2

169

Figure 15.2a Espectro de Desplazamiento Relativo MAXy )( -

Pulgadas

Figure 15.2b Espectro de Pseudo-Aceleracin, MAXa yS )(2

- Porciento de Gravedad

0 1 2 3 4 5

PERIOD - Seconds

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

1.0 Percent Damping

5.0 Percent Damping

0 1 2 3 4 5

PERIOD - Seconds

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1.0 Percent Damping

5.0 Percent Damping

170

La mxima aceleracin de suelo para el sismo que define la Figura 15.1a es el

20.01 porciento de gravedad a 2.92 segundos. Es importante notar que el

espectro de pseudo-aceleracin que se presenta en la Figura 15.2b tiene el

mismo valor para un sistema de perodo muy corto. Esto as por el hecho fsico

de que una estructura muy rgida se mueve como una masa rgida, y los

desplazamientos relativos dentro de la estructura son iguales a cero, segn lo

indica la Figura 15.2a. Tambin, el comportamiento de una estructura rgida

no es una funcin del valor del amortiguamiento viscoso.

El mximo desplazamiento de suelo indicado en la Figura 15.1b es de -11.62

pulgadas a 1.97 segundos. Para sistemas de perodo largo, la masa de la

estructura de un grado de libertad no se mueve de manera significativa, y posee

un desplazamiento absoluto de aproximadamente cero. Por lo tanto, las curvas

del espectro de desplazamiento relativo que se indican en la Figura 15.2a

convergen a 11.62 pulgadas durante largos perodos, y para todos los valores

del amortiguamiento. Este tipo de comportamiento fsico real es fundamental

para el diseo de estructuras de base aislada.

El espectro de desplazamiento relativo, Figura 15.2a, y el espectro de

aceleracin absoluta, Figura 15.2b, son fsicamente significativos. Sin

embargo, el mximo desplazamiento relativo es directamente proporcional a

las fuerzas mximas desarrolladas en la estructura. Para ese sismo, el mximo

desplazamiento relativo es de 18.9 pulgadas a un perodo de 1.6 segundos para

el 1 porciento de amortiguacin y 16.0 pulgadas a un perodo de 4 segundos

para una amortiguacin del 5 porciento. Es importante notar la diferencia

significativa entre el amortiguamiento del 1 y del 5 porciento para este tipo de

sitio blando tpico.

Figura 15.2b, el espectro de aceleracin absoluta, indica valores mximos a un

perodo de 0.64 segundos para ambos valores de amortiguamiento. Tambin,

la multiplicacin por 2 tiende a eliminar completamente la informacin que

contiene en el rango del perodo largo. Ya que la mayora de las fallas

estructurales durante sismos recientes han sido asociadas con sitios blandos, tal

vez deberamos considerar el uso del espectro de desplazamiento relativo

como la forma fundamental de seleccionar un sismo de diseo. La parte de la

curva de alta frecuencia y corto perodo siempre debe ser definida por lo

siguiente:

171

2/)( MAXgMAX uy 2

2

4)(

TuTy MAXgMAX (15.8)

donde MAXgu es la aceleracin pico del suelo.

15.5 EL MTODO CQC DE COMBINACIN MODAL

El mtodo ms conservador que se usa para estimar un valor pico de

desplazamiento fuerza dentro de una estructura es usar la suma de los valores

absoluto de respuesta modal. Este enfoque asume que los valores mximos

modales para todos los modos ocurren en el mismo punto en el tiempo.

Otro enfoque muy comn es el uso de la Raz Cuadrada de la Suma de los

Cuadrados, SRSS, sobre los valores mximos modales para estimar los valores

de los desplazamientos o de las fuerzas. El mtodo SRSS asume que todos los

valores mximos modales son estadsticamente independientes. Para

estructuras tri-dimensionales donde un gran nmero de frecuencias son casi

idnticas, no se justifica esta suposicin.

El mtodo relativamente nuevo de combinacin modal es la Combinacin

Cuadrtica Completa, CQC, un mtodo [1] que fue publicado por primera vez

en el ao 1981. Se basa en terias de vibracin al azar, logrando gran

aceptacin entre la mayora de los ingenieros, y siendo integrado como opcin

en la mayora de los programas modernos de computadora para el anlisis

ssmico. Debido a que muchos ingenieros y cdigos de construccin no

requieren el uso del mtodo CQC, uno de los propsitos de este captulo es

explicar mediante ejemplo las ventajas del uso del mtodo CQC, e ilustrar los

potenciales problemas del uso del mtodo SRSS de combinacin modal.

El valor pico de una fuerza tpica ahora puede ser estimado en base a los

valores mximos modales, utilizando el mtodo CQC con la aplicacin de la

siguiente ecuacin de suma doble:

n m

mmnn ffF (15.9)

donde nf es la fuerza modal asociada con el modo n. La duplicacin de

suma se realiza sobre todos los modos. Se pueden aplicar ecuaciones similares

172

a los desplazamientos de nodos, los desplazamientos relativos, y cortantes de

base y momentos de vuelco.

Los coeficientes de modales transversales, nm , para el mtodo CQC con

amortiguacin constante, son como sigue:

2222

2/32

)1(4)1(

)1(8

rrr

rrnm

(15.10)

donde r n m / y debe ser igual a o menor de 1.0. Es importante notar

que el arreglo de coeficientes de modo transversal es simtrico, y que todos los

trminos son positivos.

15.6 EJEMPLO NUMRICO DE COMBINACIN MODAL

Los problemas asociados con el uso de la suma absoluta y el SRSS de la

combinacin modal pueden ser ilustrados mediante su aplicacin al edificio de

cuatro pisos que se presenta en la Figura 15.3. El edificio es simtrico; sin

embargo, el centro de masa de todos los pisos est ubicada a unas 25 pulgadas

desde el centro geomtrico del edificio.

Figura15.3 Un Ejemplo Sencillo de Edificio Tri- Dimensional

173

La Figura 15.4 resume la direccin del movimiento ssmico aplicado, una tabla de

las frecuencias naturales, y la direccin principal de la forma de modo.

Figura 15.4 Frecuencias y Direcciones Aproximadas de las Formas de Modo

Se nota la cercana de las frecuencias que es tpico de la mayora de las

estructuras de edificios tri-dimensionales que estn diseados para resistir

sismos desde ambas direcciones por igual. Debido a la pequea excentricidad

de masa, lo cual es normal en estructuras reales, la forma de modo fundamental

posee x, y, adems de componentes de torsin. Por lo tanto, el modelo

representa un sistema muy comn de edificio tri-dimensional. Tambin, Note

que no existe una forma de modo en una direccin particular dada, tal como

se implica en muchos cdigos de construccin y en algunos textos sobre la

dinmica elemental.

El edificio estuvo sometido a un componente del sismo Taft del 1952. Se

realiz un anlisis histrico de tiempo preciso utilizando los 12 modos y un

anlisis de espectro de respuesta. La Figura 15.5 presenta las mximas

cortantes de base modal en los cuatro prticos para los primeros cinco modos.

La Figura 15.6 resume los mximos cortantes de base en cada uno de los cuatro

prticos, utilizando mtodos diferentes. Son exactas las cortantes de base en

historia de tiempo, que se presentan en la Figura 15.6a. El mtodo SRSS, de

la Figura 15.6b, produce cortantes de base que subestiman los valores exactos

en la direccin de las cargas en aproximadamente un 30 porciento, y

174

sobreestiman las cortantes de base normales a las cargas por un factor de 10. La

suma de los valores absolutos, Figura 15.6c, sobreestima de manera exagerada

todos los resultados. El mtodo CQC , Figura 15.6d, produce valores muy

realistas que se acercan a la solucin exacta de historia de tiempo.

Fig 15.5 Cortante de Base en cada Prtico para los Primeros Cinco Modos

Fig 15.6 Comparacin de Mtodos de Combinacin Modal

175

La Tabla 15.1 resume los coeficientes de correlacin transversal modal para

este edificio. Es importante notar la existencia de trminos relativamente

grandes fuera de la diagonal, que indican cules modos estn acoplados.

Tabla 15.1 Coeficientes de Correlacin Transversal Modal 0 05.

Mode 1 2 3 4 5 n

(rad/sec)

1 1.000 0.998 0.006 0.006 0.004 13.87

2 0.998 1.000 0.006 0.006 0.004 13.93

3 0.006 0.006 1.000 0.998 0.180 43.99

4 0.006 0.006 0.998 1.000 0.186 44.19

5 0.004 0.004 0.180 0.186 1.000 54.42

Si se notan las seales de los cortantes de base modales que se presentan en la

Figura 15.3, es evidente cmo la aplicacin del mtodo CQC permite que la

suma de las cortantes de base en la direccin del movimiento externo sea

agregada directamente. Adems, la suma de los cortantes de base, normales al

movimiento externo, tienden a cancelarse. La capacidad del mtodo CQC de

reconocer el signo relativo de los trminos en la respuesta modal representa la

clave para la eliminacin de errores en el mtodo SRSS.

15.7 ESPECTROS DE DISEO

Los espectros de diseo no son curvas irregulares tal como se indica en la

Figura 15.2, porque estn dirigidos a constituir el promedio de muchos sismos.

En la actualidad, muchos cdigos de construccin especifican espectros de

diseo en la forma mostrada en la Figura 15.7.

176

Figura 15.7 Espectro de Diseo Tpico

El Cdigo Uniforme de la Construccin define ecuaciones especficas para

cada rango de la curva del espectro para cuatro tipos de suelo diferentes. Para

estructuras grandes, en la actualidad es comn desarrollar un espectro de

diseo dependiente del sitio que incluya el efecto de las condiciones locales del

suelo y la distancia a las fallas ms cercanas.

15.8 EFECTOS ORTOGONALES EN EL ANLISIS DE ESPECTRO

Una estructura bien diseada debe ser capaz de resistir igualmente

movimientos ssmicos desde toda direccin posible. Una opcin en los cdigos

de diseo existentes para edificios y puentes requiere que los elementos sean

diseados para el 100 porciento de las fuerzas ssmicas prescritos en una

direccin, ms el 30 porciento de las fuerzas prescritas en la direccin

perpendicular. Otros cdigos y otras organizaciones requieren el uso de un 40

porciento en vez del 30 porciento. Sin embargo, no dan ninguna indicacin de

la manera de determinar las direcciones para estructuras complejas. Para

estructuras rectangulares con direcciones principales claramente definidas,

estas reglas de porcentaje producen aproximadamente los mismos resultados

que el mtodo SRSS.

177

Para estructuras complejas tri-dimensionales, tales como edificios no-

rectangulares, puentes arqueados, presas arqueadas o sistemas de tubera, no es

aparente la direccin del sismo que produce los esfuerzos mximos en un

elemento particular o en un punto especfico. Para datos de historia de tiempo,

es posible realizar un gran nmero de anlisis dinmicos en varios ngulos de

aportes para revisar todos los puntos correspondientes a las direcciones

ssmicas crticas. Un estudio tan elaborado concebiblemente produce una

diferente direccin crtica para cada esfuerzo evaluado. Sin embargo, el costo

de dicho estudio sera prohibitivo.

Es razonable suponer que los movimientos que tienen lugar durante un sismo

tengan una direccin principal [2]. O, durante un plazo finito de tiempo

cuando ocurre la mxima aceleracin del suelo, existe una direccin principal.

Para la mayora de las estructuras, dicha direccin se desconoce, y para la

mayora de los sitios geogrficos no puede ser estimada. Por tanto, el nico

criterio racional de diseo ssmico es que la estructura debe resisitir un ssmo

de una magnitud dada desde cualquier direccin posible. Adems del

movimiento en la direccin principal, existe una probabilidad de que los

movimientos perpendiculares a dicha direccin ocurran simultneamente.

Adems, debido a la complejidad de la propagacin de una onda tri-

dimensional, es vlido suponer que dichos movimientos normales son

estadsticamente independientes.

En base a estas suposiciones, una declaracin del criterio de diseo es que

una estructura debe resistir un movimiento ssmico fuerte de una magnitud

1S para todos los ngulos que sean posibles, y en el mismo punto en

tiempo deben resisitr movimientos ssmicos de una magnitud 2S en 90o al

ngulo . La Figura 15.1 presenta estos movimientos de manera

esquemtica.

15.8.1 Ecuaciones Bsicas para el Clculo de Fuerzas Espectrales

El criterio de diseo declarado implica el hecho de que un elevado nmero de

anlisis diferentes debe ser realizado para determinar las fuerzas y los esfuerzos

mximos de diseo. Se demostrar en esta seccin que los valores mximos

para todos los elementos pueden ser evaluados de manera exacta en base a un

ejercicio computarizado en el cual se apliquen dos movimientos dinmicos

178

globales. Adems, las fuerzas mximas de elemento calculadas no varan con

respecto al sistema de seleccin.

Figura 15.8 Definicin de Entrada del Espectro Ssmico

La Figura 15.8 indica que la entrada bsica de espectro S1 y S2 se aplican a

un ngulo arbitrario . En algn punto tpico dentro de la estructura, esta

entrada produce una fuerza, un esfuerzo o un desplazamiento F . Para

simplificar el anlisis, se asumir que la entrada de espectro menor sea una

fraccin de la entrada del espectro mayor. O:

S = S 12 a (15.11)

donde a es un nmero entre 0 y 1.0.

Recientemente Menun y Der Kiureghian [3] presentaron el mtodo CQC3 para

la combinacin de los efectos del espectro ortogonal.

La ecuacin fundamental CQC3 para el estimado de un valor pico es como

sigue:

2

1

2900

2

2290

20

2290

220

]cossin)1(2

sin)()1([

zFFa

FFaFaFF

(15.12)

donde,

n m

mmnn ffF 002

0 (15.13)

n m

mmnn ffF 90902

90 (15.14)

n m

mmnn ffF 900900 (15.15)

n m

mzmnnzZ ffF2 (15.16)

179

donde nf0 y nf90 son los valores modales producidos por el 100 porciento

del espectro lateral aplicado en 0 y 90 grados respectivamente, y nzf es la

respuesta modal del espectro vertical que puede ser diferente del espectro

lateral.

Es importante notar que, para los espectros iguales a = 1 , el valor F no es una

funcin de y la seleccin del sistema de referencia de anlisis es arbitraria.

O:

220 zMAX

FFFF 2

90+ = (15.17)

Esto indica que es posible realizar solamente un anlisis con cualquier sistema

de referencia, y la estructura que resulta tendr todos los elementos que sean

diseados para resistir de manera igual los movimientos ssmicos procedentes

de todas las direcciones posibles. Este mtodo es aceptable segn la mayora

de los cdigos de construccin.

15.8.2 El Mtodo General CQC3

Para a = 1 , el mtodo CQC3 se reduce al mtodo SRSS. Sin embargo, esto puede ser excesivamente conservador porque no se han registrado

movimientos reales del suelo de valores iguales en todas las direcciones.

Normalmente el valor de en la Ecuacin (15.12) se desconoce; por lo tanto,

es necesario calcular el ngulo crtico que produzca la mxima respuesta. La

diferenciacin de la Ecuacin (15.12) y fijando los resultados a cero produce lo

siguiente:

]2

[tan2

12

902

0

9001

FF

Fcr

(15.18)

Existen dos races para la Ecuacin (15.17) que deben ser revisadas para que la

siguiente ecuacin sea mxima:

2

1

2900

2

2290

20

2290

220

]cossin)1(2

sin)()1([

zcrcr

crMAX

FFa

FFaFaFF

(15.19)

En la actualidad no se han recomendado ningunas pautas especficas para el

valor de a. La referencia [3] present un ejemplo con valores a entre 0.50 y

0.85.

180

15.8.3 Ejemplos de Anlisis de Espectros Tri-Dimensionales

La teora anteriormente presentada indica claramente que la regla de

combinacin CQC3, donde a es equivalente a 1.0, es idntica al mtodo SRSS,

y produce resultados para todos los sistemas estructurales que no sea una

funcin del sistema de referencia que utilice el ingeniero. Se presentar un

ejemplo para demostrar las ventajas del mtodo. La Figura 15.9 ilustra una

estructura muy sencilla de un solo piso que fue seleccionada para comparar los

resultados de las reglas de porcentaje 100/30 y 100/40 con la regla SRSS.

0

Y

X

X = Y = 106.065 ft.

X = Y = 70.717 ft.

X = 100 ft. X = 150 ft.

1 2

3

4

3

2

3

2

3 2

3 2

Sym.

Figura 15.9 Estructura Tri-Dimensional

Note que las masas no estn ubicadas en el centro geomtrico de la estructura.

Dicha estructura tiene dos traslaciones y un grado-de-libertad de rotacin ubicado

en el centro de masa. Las columnas, que quedan sujetas a flexin alrededor de los

ejes locales 2 y 3, estn simplemente apoyadas en el extremo superior donde estn

conectadas a un diafragma rgido en el plano.

La Tabla 15.2 resume los perodos y las fuerzas cortantes en la base normalizadas

asociadas con las formas de modo. Debido a que la estructura tiene un plano de

simetra en 22.5 grados, el segundo modo no tiene torsin, y tiene un cortante de

181

base normalizado en 22.5 grados con el eje x. Debido a esta simetra, es evidente

que las columnas 1 y 3 (o las columnas 2 y 4) deben ser diseadas para las mismas

fuerzas.

Tabla 15.2 Perodos y Cortante de Base Normalizado

Modo Perodos (Segundos)

Fuerza X Fuerza Y Direccin del Cortante de

Base (Grados)

1 1.047 0.383 -0.924 -67.5

2 0.777 -0.382 0.924 112.5

3 0.769 0.924 0.383 22.5

La Tabla 15.3 presenta la definicin del espectro de respuesta del

desplazamiento promedio que se usa en el anlisis espectral.

Tabla 15.3 Masas Participantes y Espectro de Respuesta Usado

Modo Perodo

(Segundos) Masa X Masa Y

Valor de

Espectro Usado

para el Anlisis

1 1.047 12.02 70.05 1.00

2 0.777 2.62 15.31 1.00

3 0.769 85.36 14.64 1.00

Los momentos alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las

cuatro columnas para el espectro aplicado por separado en 0.0 y 90 grados se

presentan en las Tablas 15.4 y 15.5, donde se comparan a la regla 100/30.

Tabla 15.4 Momentos Alrededor del Ejes 2 SRSS vs. Regla 100/30

Elemento M0 M90 = MSRSS M100/30 Error(%)

182

M + M 902

02

1 0.742 1.750 1.901 1.973 3.8

2 1.113 2.463 2.703 2.797 3.5

3 0.940 1.652 1.901 1.934 1.8

4 1.131 2.455 2.703 2.794 3.4

Tabla 15.5 Momentos Alrededor del Ejes 3 SRSS vs. Regla 100/30

Elemento M0 M90 = MSRSS

M + M 902

02

M100/30 Error(%)

1 2.702 0.137 2.705 2.743 1.4

2 2.702 0.137 2.705 2.743 1.4

3 1.904 1.922 2.705 2.493 -7.8

4 1.904 1.922 2.705 2.493 -7.8

Para este ejemplo, las fuerzas mximas no varan de manera significativa entre

los dos mtodos. Sin embargo, s ilustra el hecho de que el mtodo de

combinacin 100/30 produce momentos que no son simtricos, mientras que el

mtodo de combinacin SRSS produce momentos lgicos y simtricos. Por

ejemplo, el elemento 4 sera sobre-diseado en un 3.4 porciento alrededor del

eje local 2, y sera sub-diseado en un 7.8 porciento alrededor del eje local 3, si

se utilizara la regla de combinacin 100/30.

Las Tablas 15.6 y 15.7 resumen los momentos de diseo SRSS y 100/40

alrededor de los ejes locales 2 y 3 en la base de cada una de las cuatro

columnas.

Tabla 15.6 Momentos alrededor del Ejes 2 SRSS vs. Regla 100/40

183

Elemento M0 M90 = MSRSS

M + M 902

02

M100/40 Error(%)

1 0.742 1.750 1.901 2.047 7.7

2 1.113 2.463 2.703 2.908 7.6

3 0.940 1.652 1.901 2.028 1.2

4 1.131 2.455 2.703 2.907 7.5

Tabla 15.7 Momentos Alrededor del Ejes 3 SRS vs. Regla 100/40

Elemento M0 M90 = MSRSS

M + M 902

02

M100/40 Error(%)

1 2.702 0.137 2.705 2.757 1.9

2 2.702 0.137 2.705 2.757 1.9

3 1.904 1.922 2.705 2.684 -0.8

4 1.904 1.922 2.705 2.684 -0.8

Los resultados que se presentan en las Tablas 15.6 y 15.7 tambin ilustran que

el mtodo de combinacin 100/40 produce resultados que no son razonables.

Debido a la simetra, los elementos 1 y 3, y los elementos 2 y 4 deben ser

diseados para los mismos momentos. Ni la regla 100/30 ni la regla 100/40

logra pasar esta prueba sencilla.

Si un ingeniero estructural desea ser conservador, los resultados de la regla de

combinacin direccional SRSS o la entrada de espectros pueden ser

multiplicados por un factor adicional mayor de uno. No se debe intentar

justificar el uso de la regla de porcentaje 100/40 porque es conservadora en la

mayora de los casos. Para estructuras complejas tri-dimensionales, el uso de

la regla de porcentaje 100/40 o 100/30 produce diseos de elementos que no

son igualmente resistentes a movimientos ssmicos procedentes de todas las

direcciones posibles.

184

15.8.4 Recomendaciones Sobre Efectos Ortogonales

Para el anlisis de espectros de respuesta tri-dimensionales, se ha demostrado

que el diseo de elementos para el 100 porciento de las fuerzas ssmicas

prescritas en una direccin ms el 30 o el 40 porciento de las fuerzas prescritas

aplicadas en direccin perpendicular depende de la seleccin del sistema de

referencia por parte del usuario. Estas reglas de combinacin porcentual de

uso comn son empricas, y pueden subestimar las fuerzas de diseo en ciertos

elementos, y pueden producir un diseo de un elemento que sea relativamente

dbil en una direccin. Se ha demostrado que el mtodo alternativo aprobado

del cdigo de construccin, donde una combinacin SRSS de dos anlisis de

espectro del 100 con respecto a cualquier eje ortogonal definido por el usuario,

produce fuerzas de diseo que no sean una funcin del sistema de referencia.

Por lo tanto, el diseo estructural que resulta posee igual resistencia a

movimientos ssmicos procedentes de todas las direcciones.

Se debe usar el mtodo CQC3 si se puede justificar un valor a de menos de 1.0.

Esto Producir resultados realistas que no son una funcin del sistema de

referencia selecionado por el usuario.

15.9 LIMITACIONES DEL MTODO DE ESPECTRO DE

RESPUESTA

Es evidente que el uso del mtodo de espectro de respuesta tiene limitaciones,

algunas de las cuales pueden ser eliminadas si se desarrolla ms. Sin embargo,

nunca ser preciso para el anlisis no-lineal de estructuras de mltiples grados

de libertad. El autor cree que en el futuro se llevarn a cabo ms anlisis de la

respuesta dinmica de historia de tiempo, y que se evitarn las mltiples

aproximaciones asociadas al uso del mtodo de espectro de respuesta. Algunas

de estas limitaciones adicionales sern abordadas en esta seccin.

15.9.1 Clculos de la Deriva de Pisos

Todo desplazamiento producido por el mtodo de espectro de respuesta son

nmeros positivos. Por tanto, una grfica de una forma dinmica desplazada

tiene poco significado porque cada desplazamiento constituye un estimado del

valor mximo. Se usan desplazamientos entre-pisos para estimar los daos de

elementos no-estructurales y no pueden ser calculados directamente en base a

los probables valores pico de desplazamiento. Un mtodo sencillo para

185

obtener un probable valor pico de deformacin cortante es colocar un elemento

de panel muy fino, con un mdulo de cortante unitario , en el rea donde se

debe calcular la deformacin. El valor pico del esfuerzo cortante sera un buen

estimado del ndice de dao. El cdigo actual sugiere un valor mximo de

0.0005 de la relacin de deriva , que es igual que la deformacin cortante de

panel si se descuidan los desplazamientos verticales.

15.9.2 Estimacin de Esfuerzos Espectrales en Vigas

La ecuacin fundamental para el clculo de los esfuerzos dentro de la seccin

transversal de una viga es la siguiente:

x

x

y

y

I

yM

I

xM

A

P (15.20)

Esta ecuacin puede ser evaluada para un punto especfico x , y en la seccin

transversal, y para el clculo de las fuerzas axiales mximas de espectro y para

los momentos mximos, que son todos valores positivos. Es evidente que el

esfuerzo que resulta podra ser conservador porque es probable que no todas las

fuerzas obtengan sus valores pico al mismo tiempo.

Para el anlisis de espectro de respuesta, el enfoque correcto y preciso para la

evaluacin de la ecuacin (15.20) es evaluar la ecuacin para cada modo de

vibracin. Esto tomar en consideracin los signos relativos de fuerzas axiales

y momentos en cada modo. Luego se puede calcular un valor preciso del

esfuerzo mximo en base a los esfuerzos modales utilizando el mtodo de

doble suma CQC. La experiencia del autor con estructuras grandes tri-

dimensionales indica que los esfuerzos calculados en base a los esfuerzos

modales pueden ser menos del 50 porciento del valor calculado utilizando

valores pico mximos de momentos y de fuerza axial.

15.9.3 Revisiones de Diseo para Vigas de Acero y Concreto

Desafortunadamente la mayora de las ecuaciones para revisin de diseo de

estructuras de acero estn redactadas en trminos de relaciones de fuerza de

diseo que son una funcin no-lineal de la fuerza axial en el elemento; por lo

tanto, no se pueden calcular las relaciones en cada modo. El autor propone un

nuevo mtodo de aproximacin para sustituir el enfoque vanguardista de

186

calcular las relaciones de fuerza en base a los valores mximos pico de las

fuerzas del elemento. Esto implica en primer lugar el clculo de la fuerza

mxima axial. Luego se evaluaran las relaciones de diseo modo por modo,

asumiendo que el factor de reduccin mxima de fuerza axial permanezca

constante para todos los modos. Luego se estimara la relacin de diseo para

el elemento utilizando un mtodo de combinacin modal de doble suma, como

por ejemplo el mtodo CQC3. Este enfoque mejora la precisin a la vez de que

sigue siendo conservador.

Para estructuras de concreto, se requiere desarrollo de trabajo adicional para

desarrollar de un mtodo completamente racional para el uso de fuerzas de

espectro mximas en una ecuacin de revisin de diseo debido al

comportamiento no-lineal de los elementos de concreto. Un anlisis de historia

de tiempo podra ser el nico enfoque que produzca fuerzas racionales de

diseo.

15.9.4 Clculo de Fuerza Cortante en Pernos

Con respecto al problema interesante de calcular la fuerza mxima cortante en

un perno, no es correcto estimar la fuerza mxima cortante en base a una suma

de vector porque los cortantes x y y no obtienen sus valores pico al mismo

tiempo. Un mtodo correcto de estimar el cortante mximo en un perno esto

para revisar el cortante mximo del perno en varios ngulos diferentes

alrededor del eje del perno. Esto constituira un enfoque tedioso utilizando

clculos manuales; sin embargo, si el enfoque se integra en un programa de

computadora pos-procesadora, el tiempo de computacin para calcular la

fuerza mxima del perno sera trivial.

El mismo problema existe si se deben calcular los esfuerzos principales en base

a un anlisis de espectro de respuesta. Hay que chequear en diferentes ngulos

para estimar el valor mximo y mnimo del esfuerzo en cada punto de la

estructura.

15.10 RESUMEN

En este captulo se ha ilustrado que el mtodo de espectro de respuesta para el

anlisis dinmico debe ser utilizado cuidadosamente. Se debe usar el mtodo

CQC para la combinacin modal mxima para minimizar la introduccin de

errores evitables. El aumento del esfuerzo de computacin, en comparacin

187

con el mtodo SRSS, es pequeo en comparacin con el tiempo total de

computadora para un anlisis ssmico. El mtodo CQC posee una base terica

sana, y ha sido aceptado por la mayora de los expertos en la ingeniera

ssmica. No se puede justificar el uso de la suma absoluta o el mtodo SRSS

para la combinacin modal.

En otro orden para que una estructura tenga igual resistencia a movimientos

ssmicos procedentes de todas las direcciones, se debe usar el mtodo CQC3

para combinar los efectos de los espectros ssmicos aplicados en tres

dimensiones. Los mtodos de la regla del porcentaje carecen de base terica, y

no son invariables en cuanto al sistema de referencia.

Sin embargo, los ingenieros deben comprender claramente que el mtodo de

espectro de respuesta constituye un mtodo aproximado que se usa para

estimar los valores pico mximos de desplazamientos y fuerzas, y que posee

limitaciones significativas. Este se limita al anlisis elstico lineal donde las

propiedades del amortiguamiento solamente pueden ser estimados con un bajo

grado de confianza. El uso de espectros no-lineales, una prctica comn, tiene

muy pocos antecedentes tericos, y este enfoque no debe ser aplicado en el

anlisis de estructuras complejas tri-dimensionales. Para dichas estructuras, se

debe usar la respuesta de historia de tiempo no-lineal verdaderas, segn lo

indicado en el Captulo 19.

15.11 REFERENCIAS

1. Wilson, E. L., A. Der Kiureghian and E. R. Bayo. 1981. "A

Replacement for the SRSS Method in Seismic Analysis," Earthquake

Engineering and Structural Dynamics. Vol. 9. pp. l87-l92.

2. Penzien, J., and M. Watabe. 1975. "Characteristics of 3-D Earthquake

Ground Motions," Earthquake Engineering and Structural Dynamics.

Vol. 3. pp. 365-373.

3. Menun, C., and A. Der Kiureghian. 1998. A Replacement for the 30

% Rule for Multicomponent Excitation, Earthquake Spectra. Vol. 13,

Number 1. February.