Capítulo 1 - Operación Del Sistema de Generación 2015

1

Universidad Nacional del Centro del Perú

102C Operación de Sistemas de Potencia

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Material de Enseñanza

© Waldir Astorayme Taipe

[email protected]

Operación del Sistema de

Generación

2

T e m a r i o

1. Introducción. Objetivos.

Importancia de la operación

económica.

2. Despacho económico básico.

3. Despacho económico por el

método de iteración de lambda.

4. Despacho económico por el

método de la gradiente.

2UNCP-FIEE Waldir Astorayme T. Operación del Sistema de Generación

3

T e m a r i o

6. Flujo de potencia óptimo (DC).

7. Factores de penalización en despacho

económico.

8. Despacho económico considerando

las pérdidas.


4

1. Introducción.

La operación económica involucra la generación de potencia

y el suministro, considera el despacho económico como el

costo mínimo de producción de potencia y el suministro de la

potencia generada con pérdidas mínimas a las cargas.

El despacho económico determina la salida de potencia de

cada planta generadora (y de cada unidad generadora

dentro de una planta) que minimizará el costo total de

combustible necesario para alimentar a la carga del sistema

eléctrico.

UNCP-FIEE Waldir Astorayme T. Operación del Sistema de Generación

5

El principio básico de

colocación de las plantas de

generación en la curva de

duración de la carga consiste

en la búsqueda para cada

planta, de potencia y energía

que permita colocar toda su

generación bajo la curva de

carga, respetando las

limitaciones físicas del

sistema como potencia

instalada, nivel de demanda,

capacidad de las líneas de

transmisión, etc.

1. Introducción.


6

1. Objetivos.

El objetivo de la operación

económica de un sistema de

potencia es usar los recursos

energéticos (térmicos,

solares, hidráulicos, viento,

etc.) disponibles para la

generación de la energía

eléctrica en una forma óptima

que cubra la demanda de

electricidad a mínimo costo y

con un determinado grado de

confiabilidad, calidad y

seguridad.


7

La operación económica

involucra la generación de

potencia y el suministro.

Considera el despacho

económico como el

costo mínimo de

producción de potencia

y el suministro de la

potencia generada con

pérdidas mínimas a las

cargas.

1. Importancia.


8

El principio básico de

colocación de las plantas de

generación en la curva de

duración de la carga consiste

en la búsqueda para cada

planta, de potencia y energía

que permita colocar toda su

generación bajo la curva de

carga, respetando las

limitaciones físicas del

sistema como la potencia

instalada, nivel de demanda,

capacidad de las líneas de

transmisión, etc.

1. Importancia.


9

La simulación de la operación

se realiza con el criterio

económico de ordenar las

plantas, de tal forma que la

demanda sea abastecida al

mínimo costo, para lo cual se

consideran las distintas

situaciones posibles de

abastecimiento según los

caudales turbinables de las

plantas hidráulicas y la

disponibilidad de las distintas

plantas térmicas que conforman

el sistema eléctrico.

1. Importancia.


10

1. Ventajas de un sistema

interconectado.

Utiliza sobrantes de unas áreas para cubrir déficit en

otras.

Disminuye la probabilidad de vertimientos en unos

embalses reduciendo descargas en otros.

Disminuye la generación térmica reduciendo así los

costos de combustible.

Aprovecha la complementariedad de los recursos y de

regímenes hidrológicos que se presenta en las diversas

regiones del país.

Permite la competencia entre las diferentes empresas de

energía eléctrica, lográndose así un uso más eficiente de

los recursos energéticos del país.


11

CARACTERÍSTICAS DE UNIDADES TERMICAS

El problema de operación económica de una unidad térmica de

generación de potencia es un conjunto de características de

entrada y salida. Una unidad térmica típica consiste en una caldera

que genera vapor para controlar a un conjunto turbina - generador.

Sistema auxiliar de potencia

Generador

B T G

A/P

Entrada de

combustible

a la caldera

Turbina de

vaporFigura 2.1 :

Conjunto

turbina

generador de

un sistema de

potencia.

2. Características de

unidades de generación.


12

Definiendo las características de la unidad térmica,

nosotros hablaremos sobre la entrada total versus la

salida neta.

Es decir, la entrada total a la planta representa el costo

total o la entrada total de combustible que se mide en

términos de $/h, o de las toneladas de carbón por hora o

de millones de pies cúbicos de gas por hora.

La salida neta de la planta de generación será

designada por Pi, que es la salida de potencia eléctrica

en MW disponible y de utilidad para el sistema eléctrico

de potencia.

CARACTERÍSTICAS DE LAS UNIDADES TERMICAS


13

La Fig. Nº 2.2 muestra las características de entrada y salida

de la unidad térmica en forma idealizada.

Pmax

P

Pmin

Entrada

H(MBtu/h)

F($/h)

óH

Salida, P (MW)

P

FH

Fig. Nº 2.2 : Curva de entrada y salida de un generador térmico.



14

Los términos siguientes definirán las características de

las unidades térmicas.

H: Combustible en Btu por hora de entrada de calor a

la unidad (MBtu/h).

F: Costo del combustible H en $ por hora ($/h) de

entrada a la unidad.

Las unidades generadoras térmicas tienen varias

restricciones críticas de operación. Generalmente, influyen

en la carga mínima a la que una unidad puede operar, más

por el generador de vapor y el ciclo regenerador del vapor

que por la turbina.



15

Las limitaciones de carga mínima generalmente son

causadas por la estabilidad de combustión del combustible y

las restricciones de diseño del generador de vapor.

Las características

de proporción del

calor incremental

para una unidad

térmica se muestra

en la siguiente Fig.

N° 2.3


Salida P(MW)

Pmin Pmáx

Aproximado, variación

real del costo

hkWBtuP

H./

hkWP

F./$

Fig. Nº 2.3: Costo incremental o características del consumo calorífico Incremental.


16

Estas características de proporción de calor incremental es

la pendiente de las características de entrada y salida.

Los datos mostrados en esta curva están dados en términos

de Btu/kW.h ($/kW.h) versus la salida neta de potencia de la

unidad (MW).

Se convierte en características de costo incremental de

combustible multiplicando la proporción de calor

incremental en Btu/kW.h por el costo del combustible

equivalente en términos de $/Btu .



17

CARACTERISTICAS DE UNIDADES HIDROELÉCTRICAS

Las unidades hidroeléctricas tienen características de

entrada y salida similar a las unidades térmicas. La entrada

está dada en términos de volumen de agua por unidad de

tiempo; la salida está dada en términos de potencia eléctrica.

La Fig. Nº 2.4 muestra una curva de entrada y salida típica

para una planta hidroeléctrica donde la caída neta de agua

es constante.

HNETA 410m

425m 480m

Salida P(MW)

Caudal

sm /3

Fig. Nº 2.4: Curva

de entrada y

salida de una

unidad

hidroeléctrica.


18

Estas características muestran una curva casi lineal de

entrada de volumen de agua requeridos por unidad de

tiempo como una función de salida de potencia eléctrica.

Las características de proporción de agua incremental se

muestran en la Fig. Nº 2.5. Las unidades mostradas en estas

curvas son expresadas en volumen/energía. Es decir, se ve

el gasto incremental versus la potencia de salida (MW).

Salida P(MW)

Consumo de agua

Incremental

hkWm ./3

Fig. Nº 2.5: Curva del consumo incremental de agua para una planta hidroeléctrica.


19

Las plantas hidroeléctricas con características de caídas

variables son más complejas que las plantas hidroeléctricas

con caídas fijas.

Esto no sólo es verdad debido a la multiplicidad de curvas

de entrada y salida que deben ser consideradas, pero

también porque la capacidad máxima de la planta también

tenderá a variar con la caída de agua.

Las características de las plantas hidroeléctricas para

bombeo y almacenamiento se diseñan para que el agua

pueda ser guardada bombeándolo para una nueva caída

neta de agua y para una descarga en el momento más

propicio.



20

El problema de la utilización óptima de estos recursos

involucra problemas complicados asociados con la

planificación del agua así como la operación óptima del

sistema eléctrico de potencia para minimizar los costos

de producción.

Los tipos de bombeo y almacenamiento en las plantas

hidráulicas normalmente pueden ser considerados como

capacidad de reserva. Es decir, ellos se usarán sólo en

periodos de generación del costo más alto en las unidades

térmicas; en otros momentos ellos pueden ser considerados

como prontamente disponibles.



21

N

1

2

F1 P1

F2 P2

PR

FN PN

Fig.: “N” Unidades térmicas conectadas para

alimentar a una carga PR .

La proporción

del costo total

de este sistema

es la suma de

los costos de

cada uno de las

unidades

individuales.

Restricción: La suma de las potencias generadas debe

ser igual a la demanda de carga (PR).

2. Despacho económico

básico.


22

NT FFFFF ......321[1]

La función objetivo FT, que es igual al costo total para

suministrar energía a la carga. El problema es minimizar

FT sujeto a la restricción de que la suma de las potencias

generadas debe ser igual a la demanda de carga recibida.

i

N

i

iT PFF

1

N

i

iR PP1

0 [2]


23

Este es un problema de optimización con restricciones.

Las condiciones necesarias será agregar la función de

restricción a la función objetiva después de que la función

de restricción haya sido multiplicada por un multiplicador

() indeterminado. Esto es conocido como la función de

Lagrange y se muestra en la ecuación [3].

TFL [3]

Las condiciones necesarias para hallar el valor extremo de la

función objetiva resultan cuando nosotros tomamos la

primera derivada de la función de Lagrange con respecto a

cada uno de las variables independientes e igualando estas

derivadas a cero


24

0

i

ii

i dP

PdF

P

L

0i

i

dP

dF[4]

0

L


25

La condición necesaria para la existencia de un costo

mínimo de operación para el sistema de potencia térmico

es que las proporciones del costo incremental de todas las

unidades sean iguales a un valor () indeterminado.

i

i

dP

dF“N” ecuaciones

max,min, iii PPP 2 “N” desigualdades [5]

R

N

i

i PP 1

“1” restricción


26

Cuando nosotros reconocemos la restricción de desigualdad:

i

i

dP

dFpara

max,min, iii PPP

i

i

dP

dFmax,ii PP [6]

i

i

dP

dFmin,ii PP

para

para


27

Aplicaciones

Básicas


28

Sean las unidades de generación térmica con las siguientes

características de restricción y curvas de costo. Hallar el

despacho económico para alimentar una carga total de 850 MW.

Unidad 1: Unidad vapor de carbón:

Curva costo de entrada-salida: Restricción:2

111 00142,02,7510 PPH MWPMW 600150 1

.

Unidad 2: Unidad vapor de petróleo:

Curva costo de entrada-salida: Restricción:2

222 00194,085,7310 PPH MWPMW 400100 2 .

Unidad 3: Unidad vapor de petróleo:

Curva costo de entrada-salida: Restricción:

2

333 00482,097,778 PPH MWPMW 20050 3


29

El costo de combustible de cada unidad es:

Unidad 1: Costo de combustible = 0,9 $/MBTU .



SOLUCIÓN

Entonces el costo de la función combustible para las unidades:

F1(P1) = H1(P1) x 0,9 = 2

11 00128,048,6459 PP $/h .

F2(P2) = H2(P2) x 1,0 =2

22 00194,085,7310 PP $/h .

$/h .F3(P3) = H3(P3) x 1,0 =2

33 00482,097,778 PP

Usando la ecuación [5], las condiciones para un

despacho óptimo son:


30

1

1

1 00256,048,6 PdP

dF

2

2

2 00388,085,7 PdP

dF 3

3

3 00964,097,7 PdP

dF

y P1+P2+P3 = 850 MW .

Resolviendo para , se obtiene:

= 8,284 $/MW.h .

y resolviendo entonces para P1, P2, y P3, se tiene:

P1 = 704,6 MW . P2 = 111,8 MW . P3 = 32,6 MW .

Esta solución cumple con la restricción que exige la

generación total igual a 850 MW, pero las unidades 1 y 3

no están dentro de sus límites. Para resolver el despacho

económico y usaremos la ecuación [6].


31

Suponga que la unidad 1 se pone a su salida máxima y la

unidad 3 será puesto a su mínimo. El despacho será:

P1 = 600 MW . P2 = 200 MW . P3 = 50 MW .

De la ecuación (6) nosotros sabemos que debe ser igual

al costo incremental de la unidad 2, puesto que está

dentro de sus límites de modo que:

hMWdP

dF./$626,8

2

2 para P2 = 200 MW .

Luego, se calcula el costo incremental para las unidades 1 y

3 para ver si ellos se encuentran dentro de las condiciones

de la ecuación [6].


32

hMWdP

dF./$016,8

1

1 para P1= 600 MW .

hMWdP

dF./$452,8

3

3 para P2= 50 MW .

Note que el costo incremental para unidad 1

es menor que , por tanto cumple la condición max,ii PP

Sin embargo, el costo incremental de la unidad 3 no es

mayor que , para que la unidad 3 no sea forzado a su

mínimo. Así, para encontrar el despacho óptimo, se debe

permitir que los costos incrementales de las unidades 2 y 3

se igualen a como sigue:


33

P1 = 600 MW .

2

2

2 00388,085,7 PdP

dF

3

3

3 00964,097,7 PdP

dF

P2+ P3 = 850 - P1 = 250 MW .

Resolviendo se tiene:

= 8,576 $/MW.h, entonces los valores de P serán:

P2 = 187,1 MW . P3 = 62,9 MW .

FT = 4807,80+1846,65+598,38 = 7252,83 $/h .


34

Note que este despacho cumple con las condiciones de la

ecuación (6):

hMWdP

dF./$016,8

1

1 para P1=600 MW .

está menos que , mientras que:

2

2

dP

dFy

3

3

dP

dFlos dos son iguales a .


35

Este método se basa en realizar iteraciones ajustando el

valor de hasta cumplir con las restricciones para

establecer los puntos de operación de cada una de las

unidades tal que nosotros tengamos un costo mínimo.

Se asume el valor de arranque de cerca del valor óptimo.

3. Despacho económico por

el método de iteración de

Lambda.


36

Formular Ecuaciones

de Restricción

Establecer

inicial

Calcular Pi Para i = 1,2,...N

Chequear restricción de límites.

Si hay violación poner esa

unidad en el máximo o mínimo.

Proyectar a otro valor

según el signo del error.

FIN

N

i

iR PP1

Calcular:

Tolerancia

es del orden 10-3.

Si

No

Despacho

Económico

por el

método de

Iteración

de lambda


37

Aplicaciones

Básicas


38

Sean las tres unidades de un sistema de generación térmica

cuyas curvas características de entrada y salida son:

2

111 001562.092,7561 PPF MWP 600150 1

2

222 00194,085,7310 PPF MWP 400100 2

2

333 00482,097,778 PPF MWP 20050 3

Para satisfacer una carga de 850 MW (PR).

SOLUCIÓN

a). Las ecuaciones de restricción son:

PR = P1+P2+P3 = 850 MW .


39

1

1

1 003124,092,7 PdP

dFMWP 600150 1

.

2

2

2 00388,085,7 PdP

dFMWP 400100 2

.

3

3

3 00964,097,7 PdP

dFMWP 20050 3

.

b). Asumiendo = 9 como valor inicial.

Reemplazando en las ecuaciones anteriores se determina:

P1= 345,71 MW . P2 = 296,39 MW . P3= 106,85 MW

c). Al chequear los límites se ve que ninguna de las

unidades violan sus límites de operación.


40

d). Cálculo del error:

N

i

iR PP1

= 850 - ( 345,71 + 296,39 + 106,85 ) = + 101,05 .

e). Como el error es positivo por lo tanto debe aumentar,

tratando con = 9,3 y regresando al paso b) se determina:

b) P1 = 441,74 MW . P2 = 373,71 MW . P3 = 137,97 MW

Cálculo del error:

= 850 - ( 441,74 + 373,71 + 137,97 ) = - 103,42 .

e). Ahora el error es negativo por lo tanto debe bajar,



41

b). P1 = 409,73 MW . P2 = 347,94 MW . P3 = 127,59 MW

Cálculo del error:

= 850 - ( 409,73 + 347,94 + 127,59 ) = - 35,26 .

e). Ahora el error es negativo por lo tanto debe bajar,


b). P1 = 377,72 MW . P2 = 322,16 MW . P3 = 117,22 MW .

Cálculo del error:

= 850 - ( 377,72 + 322,16 + 117,22 ) = + 32,9 .

e). Como el error es positivo por lo tanto debe aumentar,


Las iteraciones sucesivas se muestran en la tabla siguiente:


42

Iteración Lambda ( ) P1 ( MW ) P2 ( MW ) P3 ( MW ) Error ( )

1 9,0 345,71 296,39 106,85 + 101,05

2 9,3 441,74 373,71 137,97 - 103,42

3 9,2 409,73 347,94 127,59 - 35,26

4 9,10 377,72 322,16 117,22 + 32,9

5 9,15 393,73 335,05 122,41 - 1,19

6 9,145 392,13 333,76 121,88 + 2,23

7 9,148 393,09 334,54 122,19 + 0,18

8 9,1485 393,25 334,66 122,25 - 0,16

9 9,1483 393,18 334,61 122,23 - 0,02

10 9,1482 393,15 334,58 122,22 + 0,05

11 9,14825 393,17 334,60 122,23 0,00

Después de varias iteraciones se tiene:

=9,14825 , P1 = 393,17 MW P2 = 334,60 MW y

P3= 122,23 MW

FT = 3916,36+3153,81+1124,18 = 8194,35 $/h .


43

Para empezar la técnica de gradiente, se parte con la función

objetivo. Luego, se asume que las salidas de potencia de las

unidades están operando a un punto de operación factible.

Es decir, la suma de las unidades es igual a la demanda de

carga.

Si despreciamos los términos de segundo orden y

asumimos que partimos de una solución posible:

N

N

N

T PdP

dFP

dP

dFP

dP

dFF ........2

2

2

1

1

1 [8]

4. Despacho económico

por el método de la

Gradiente de 1er Orden.


44

La ecuación de restricción:

N

i

iR PP1

Si permitimos variar las potencias Pi por una pequeña

cantidad pero siempre cumpliendo que la sumatoria sea igual

a PR se tiene que las perturbaciones (variaciones) deben

sumar cero.

N

i

iP1

0 [9]

Esta última ecuación remueve un grado de libertad al

problema de modo que por lo menos una unidad debe ser

seleccionada como variable dependiente.


45

El cambio de potencia de esta unidad es el negativo de la

suma de los cambios en las otras unidades.

N

xi

ix PP [10]

Estas dos ecuaciones pueden combinarse para establecer

una ecuación que da el cambio en la función objetiva, FT :

N

x

x

N

N

x

x

x

xN

xi

xi

x

x

T PdP

dF

dP

dFP

dP

dF

dP

dFP

dP

dF

dP

dFPP

dP

dFF

.....2

2

2

1

1

1

Aplicando el resultado de la ecuación [10], esta ecuación

se reduce a:


46

i

xi x

x

i

i

T PdP

dF

dP

dFF

[11]

La técnica empieza eligiendo una

solución factible, es decir, una solución

que satisface la ecuación de restricción

N

i

iR PP1

Luego se selecciona la unidad que será dependiente (x) y

se evalúa los coeficientes de cada elemento de la

sumatoria de la ecuación [11]. Se elige la unidad que

tiene el mayor coeficiente en valor absoluto para ser

movido y disminuir el costo total y se vuelve a calcular los

nuevos coeficientes iterando hasta que la reducción del

costo ya no sea significativa.


47

Despacho

Económico

por el

método de

Gradiente

de Primer

orden


Asumir Pi factible

Seleccionar la variable dependiente Px

Para i = 1,2,...,N i x

Asumir F eligiendo la unidad que tiene el

coeficiente de mayor valor absoluto.

La unidad elegida ya

está en un límite

La unidad movida viola

algún límite?

Poner esa unidad en el límite.

Al mover esa unidad, se viola

algún límite de la unidad X ?

Calcular FT

Elegir otra unidad para mover.

FIN

Elegir otra

unidad X

X

X

i

i

i

T

dP

dF

dP

dF

P

F

ToleranciaFT T es del orden 10-3.

No

No

No

No

Si

Si

Si

48

Aplicaciones

Básicas


49

Sean las siguientes unidades de generación térmica.

2

111 001562,092,7561 PPH MWP 600150 1

.

2

222 00194,085,7310 PPH MWP 400100 2

.

2

333 00482,097,778 PPH MWP 20050 3

Las unidades deben alimentar una carga total de 850 MW (PR).

SOLUCIÓN

Asumimos una solución factible como sigue.

P1 = 400 MW . P2 = 300 MW . iteración 1:

P3 = 150 MW .


50

Nosotros podemos usar este punto de arranque desde

que se encuentra la condición PR = P1+ P2+ P3 = 850 MW .

La variable dependiente (x), será la unidad 3. Entonces:

1696,9003124,092,7 40011

1

1 PPdP

dF

0140,900388,085,7 30022

2

2 PPdP

dF

4160,900964,097,7 15033

3

3 PPdP

dF

2

3

3

2

2

1

3

3

1

1 PdP

dF

dP

dFP

dP

dF

dP

dFF


51

21 416,9014,9416,91696,9 PPF

21 4020,02464,0 PPF

y i

N

i

iT PFF

1

FT = 3978,92 + 2839,60 + 1381,95 = 8200,47 $/h .

El coeficiente más grande aparece con P2, subiremos

P2. Es decir, deseamos disminuir FT , aumentando P2

(P2 positivo) esto debido a que su coeficiente es

negativo. Las próximas condiciones de las iteraciones son

(después de aumentar P2 en 50 MW y disminuir P3 en 50

MW).


52

P1 = 400 MW .

P2 = 350 MW . Iteración 2:

P3 = 100 MW .

Entonces:

1696,9003124,092,7 40011

1

1 PPdP

dF

.

208,900388,085,7 35022

2

2 PPdP

dF

.

934,800964,097,7 10033

3

3 PPdP

dF.

21 934,8208,9934,81696,9 PPF

.

21 2740,02356,0 PPF

.


53

.

.

.

.

.

FT = 3978,92 + 3295,15 + 923,20 = 8197,27 $/h .

El coeficiente más grande aparece con P2, bajaremos P2.

Es decir, deseamos disminuir FT, disminuyendo P2 esto

debido a que su coeficiente es positivo. Las próximas

condiciones de las iteraciones son (después de disminuir

P2 en 25 MW y aumentar P3 en 25 MW):

P1 = 400 MW .

P2 = 325 MW . Iteración 3:

P3 = 125 MW .

1696,9003124,092,7 40011

1

1 PPdP

dF

.

111,900388,085,7 32522

2

2 PPdP

dF

.


54

.

.

.

.

.

175,900964,097,7 12533

3

3 PPdP

dF

.

21 175,9111,9175,91696,9 PPF

.

21 064,00054,0 PPF

.

FT = 3978,92 + 3066,16 + 1149,56 = 8194,65 $/h .

El coeficiente más grande aparece con P2, subiremos P2.

Es decir, deseamos disminuir FT , aumentando P2 esto

debido a que su coeficiente es negativo. Las próximas

condiciones de las iteraciones son (después de aumentar

P2 en 12,50 MW y disminuir P3 en 12,50 MW):


Iterac

I

P1

(MW)

P2

(MW)

P3

(MW)

F

$/h

F P1

( MW )

P2

( MW )

P3

( MW )

1 400 300 150 8200,47 (-0,246)P1+(-0,4020)P2 -- + 50 - 50

2 400 350 100 8197,27 (0,2356)P1+(0,2740)P2 -- - 25 + 25

3 400 325 125 8194,65 (-0,0054)P1+(-0,064)P2 -- + 12,5 - 12,5

4 400 337,5 112,5 4914,90 (0,1151)P1+(0,105)P2 - 10 -- + 10

5 390 337,5 122,5 4194,38 (-0,01254)P1+(0,0086)P2 + 5 -- - 5

6 395 337,5 117,5 8194,48 (0,05128)P1+(0,0568)P2 -- - 2,5 + 2,5

7 395 335 120 8194,38 (0,02718)P1+(0,023)P2 -- - 1,25 + 1,25

8 395 333,75 121,25 8194,37 (0,01513)P1+(0,0061)P2 - 1,125 -- + 1,125

9 393,88 333,75 122,38 8194,36 (0,0007705)P1+(-

0,004745)P2

-- -- --

55

.

.

.

.

.

Las iteraciones sucesivas se muestran en la tabla siguiente:


56

.

.

.

.

.

Después de varias iteraciones se tiene:

P1 = 393,88 MW , P2 = 333,75 MW y P3= 122,38 MW .

FT = 3922,81+3146,03+1125,51 = 8194,36 $/h .


57

5. Flujo de Potencia Optimo (DC).


58

Flujo de Potencia Optimo (DC).


59



60



61



62



63



64



65



66



67

Aplicaciones

Básicas


68



69



70



71

6. Factores de Penalización en

Despacho Económico.


72

Factores de Penalización en Despacho Económico

El multiplicador de Lagrange clásico para la solución al

problema de despacho económico se dio en la parte

anterior. Ecuaciones [1], [2], [3] y [4]. Estos se repiten aquí

y se extienden.

Minimizar TFLDonde:

i

N

i

iT PFF

1


73

.

.

.

.

.

N

i

iNLR PPPPPP1

21 ,.....,,

Carga Pérdidas Generación


En el punto de solución :

0

iP

Lpara todo maxmin iii PPP

Entonces:

01

i

L

i

i

i P

P

dP

dF

P

L


74

.

.

.

.

.

donde:

i

L

P

P

se llama pérdida incremental para la barra “i”, y

i

L

i

P

PPf

1

1[16]

Se llama factor de penalidad

para la barra “i”


Las ecuaciones son reestructuradas:

i

ii

i

L dP

PdF

P

P1

1[15]


75

N

1

2

Redes de

Transmisión

con pérdidas

PL

F1 P1

F2 P2 PR

FN PN

“N” de unidades térmicas que están alimentando a una

carga a través de una red de transmisión.

7. Despacho Económico

considerando las Pérdidas.


76

NT FFFFF ......321 [1]

La función objetivo FT es:

La ecuación de restricción es:

[17]

El mismo procedimiento se sigue en el sentido formal para

establecer las condiciones necesarias para una solución de

la operación a mínimo costo, la función de Lagrange se

muestra en la ecuación [18]

TFL [18]

01

N

i

iLR PPP

Despacho Económico con Pérdidas


77

Tomando la derivada de la función de Lagrange con respecto

a cada uno de las salidas de potencia individuales Pi.

Debe reconocerse que la pérdida en la red de transmisión PL,

es una función de las impedancias de la red y las corrientes

que fluyen en la red

Entonces tomando la derivada de la función de Lagrange con

respecto a cualquiera de los “N” valores de “Pi”, cuyo

resultado se expresa en la ecuación [19]

01

i

L

i

i

i P

P

dP

dF

P

L [19]



78

o también:

i

L

i

i

P

P

dP

dF

01

N

i

iLR PPP

Este conjunto de ecuaciones es mucho más difícil de

resolver puesto que el conjunto de ecuaciones anteriores

no consideraba las pérdidas.

Ecuaciones de

Restricción



79

LA MATRIZ “B” FÓRMULA DE PÉRDIDAS

Es un método práctico para el calculo de las pérdidas y los

cálculos de pérdidas incrementales. La ecuación para la

matriz “B” fórmula de pérdidas es: (Modelo Clásico KRON)

000 BBPPBPP TT

L [20]

Donde:

P = Vector de toda la generación neta de potencias reales

de la barra en MW .

[B] = Matriz cuadrada de la misma dimensión como P.

B0 = Vector de la misma longitud como P.

B00 = Constante.

B, Bo, Boo son los términos de la matriz de pérdida que es

una función de los elementos de la matriz [Z].79UNCP-FIEE Waldir Astorayme T. Operación del Sistema de Generación

N

i

N

i

ii

N

j

jijiL BPBPBPP 000.

N

i

N

i

ii

N

j

jijiR

N

i

i BPBPBPPP 000

1

.

021 i

N

j

jij

i

ii

i

BPBP

PF

P

L

80

También se puede expresar como:

Luego:



021

1

i

N

j

jij

i

BPB

Pf

81

Entonces el factor de penalidad es:

Para resolver el sistema, se calculan los factores de

penalidad de las barras y las pérdidas; considerarlas fijas

para encontrar el despacho económico (por iteración de

lambda o por la gradiente) y recalcular los factores de las

nuevas potencias encontradas.



82

CÁLCULO DE LA MATRIZ “B”

Considerando un sistema de 4 barras, se tiene:

In

carga

carga I2

I3

I4

I1 ZBARRA

G2

G1

1

2

3

4

SISTEMA DE 4 BARRAS

n


4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

I

I

I

I

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

V

V

V

V

n

n

n

n

DIII 43

D

D

IdI

IdI

44

33

43

44

43

33

II

Id

II

Id

83

Para las cargas, se tiene:



11

10

Z

VI n

n

4143132121111 IZIZIZIZV n

DDn IdZIdZIZIZV 4143132121111

84

0

12211 nD ItItItI

0

144133

112

144133

121

144133

11nD I

ZdZd

ZI

ZdZd

ZI

ZdZd

ZI



0

142241144

0

132231133

n

n

ItdItdItdI

ItdItdItdI

0

2

1

0

2

1

142414

132313

4

3

2

1

010

001

nn I

I

I

C

I

I

I

tdtdtd

tdtdtd

I

I

I

I

*

0

2

1

*0

21

n

BARRA

T

nL

I

I

I

CRCIIIP

85

Luego, se tiene:



2222

1111

1

1

ggg

ggg

PSjQjP

PSjQjP

2

2

2

1

1

1

g

g

g

g

P

QS

P

QS

111 gPI 86

Para los generadores, se tiene:

Donde:

*

1

11

*

1

*

11

*

111

1

V

PSj

V

NI

IVN

g



100

00

00

2

1

0

2

1

0

2

1

g

g

nn

P

P

II

I

I

*

2

1

*

0

2

1

*

0

2

1

2

1

100

00

00

00

00

00

1

g

g

n

BARRA

T

n

T

g

g

L P

P

I

CRC

I

P

P

P

T

87

22*

2

22

2

1g

gP

V

PSjI

Luego, las pérdidas serán:

T : Es una matriz hermitiana



111

111

j

jH

T*

T

88

Ejemplo de una matriz hermitiana:

Al sumar y se cancelan las partes imaginarias de

los elementos fuera de la diagonal y se obtiene el doble de

la parte real simétrica de y se denota por:T

2

22

2

2*

002010

202221

101211

TT

BBB

BBB

BBB



00

2

1

0

2

1

2

1

. BPBPBPPi

gii

j

gjijgi

i

L

89

Expandiendo se tiene:

1

22

2

2

1 2

1

002010

202221

101211

21 g

g

ggL P

P

BBB

BBB

BBB

PPP



N

i

N

i

ii

N

j

jijiL BPBPBPP 000.

90

En general se tiene:

[21]

Para resolver por este método se usará la ecuación [15] y

las otras equivalentes a la ecuación [6], mencionadas

anteriormente.

i

ii

dP

dFPf maxmin iii PPP

Sí

RESOLUCIÓN POR ITERACIÓN DE

LAMBDA



91

i

ii

dP

dFPf Sí maxii PP

[25]

i

ii

dP

dFPf minii PP Sí



92

RESOLUCIÓN POR GRADIENTE DE

PRIMER ORDEN

Por este método es necesario suponer que la carga se

mantiene constante y que un incremento en Pi, Pi es

compensado por una disminución en la referencia Px y

un incremento de perdidas PL de modo que:

Lxi PPP

y usando el mismo razonamiento:

x

x

x

i

i

i

T PdP

dFP

dP

dFF



93

i

x

Lii

i

i

TdP

dFPPP

dP

dFF

En el punto del despacho económico 0 TF y.

x

x

i

Li

i

i

dP

dF

P

PP

dP

dF

y en el extremo:

ii

L

i

Li

PFP

P

P

PP 11



94

Entonces:

x

x

ii

i

dP

dF

PfdP

dF 1

Esta ultima expresión se puede usar en la expansión

de Taylor de la función objetivo y obtener:

i

N

xi x

x

ii

i

T PdP

dF

PFdP

dFF

*1

[26]

Los factores de penalización Pfi no solamente pueden ser

calculados con la ecuación [24] sino también su valor puede

ser deducida de dos flujos de carga, el de base y el de fuera

de base que se ejecuta haciendo variar solamente la

generación de la barra “i” y computando el incremento de

las perdidas.



95

Cálculo Aprox. de las Pérdidas.


96



97



98

8. Construcción de Zbarra.


n

barraZ

b

barran

barraZ

ZZ

0

0

iib

T

i

ibarran

barraZZZ

ZZZ

T

barra

n

barra bbZZ

ji ZZb 12

ijjjiib ZZZZ

1. REGLA Nº 1: Nodo de referencia.

dado por la siguiente matriz (r+1) x (r+1)

2. REGLA Nº 2: Zb desde un nuevo nodo (r+1) al nodo i.

3. REGLA Nº 3: Zb entre los nodos existentes i con j.

Donde:

99

Construcción de Zbarra.


100



101



102

9. Inversión de Matrices.


pjpiA

AAAA

old

pp

old

pj

old

ipold

ij

new

ij ,

old

pp

new

ppA

A1

piAAA new

pp

old

ip

new

ip pjAAA new

pp

old

pj

new

pj

Este método se basa en la eliminación gaussiana.PASOS:1. Elegir como pivote el eje P, este eje es 1.2. Reducción KRON a todos los elementos fuera del eje del pivote.

3. Reemplazar la posición del pivote por su inverso negativo.

4. Reducir los elementos en el eje del pivote fuera de P, la posición P acorde a:

5. Repetir los pasos del 2 hasta el 4 para P=2,3,4,…,N.El resultado es –A-1.Entonces, la inversión del signo de la matriz será A-1.

ALGORITMO DE INVERSIÓN DE MATRICES: SHIPLEY - COLEMAN

103

Inversión de Matrices.


104



105



106



107

Aplicaciones

Básicas


1

1,050 pu

2 1,050 pu

4

3 1,070 pu

6 1,00 pu

5 1,000 pu

50,00 MW 74,35 MVAR

107,87 MW 15,95 MVAR

60,00 MW 89,63 MVAR

70 MW

70 MVAR

70 MW 70 MVAR

70 MW 70 MVAR

1,000 pu

108

Dado el sistema eléctrico de la figura, desarrollar el despacho

económico considerando las perdidas en la línea de

transmisión.

Considerar la barra (1) como swing (Slack).


De A R (/km) X /km) Shunt

1 2 0,100 0,200 0,020

1 4 0,050 0,200 0,020

1 5 0,080 0,300 0,030

2 3 0,050 0,250 0,030

2 4 0,050 0,100 0,010

2 5 0,100 0,300 0,020

2 6 0,070 0,200 0,025

3 5 0,120 0,260 0,025

3 6 0,020 0,100 0,010

4 5 0,200 0,400 0,040

5 6 0,100 0,300 0,030

109

Parámetros de las líneas en P.U .


110

Las curvas de costo de combustible para las tres

unidades en la red de seis barras se expresan como:

2

1111 00533,0669,1110,213 PPPF MWPMW 2000,50 1

2

2222 00889,0333,1000,200 PPPF MWPMW 1505,37 2

2

3333 00741,0833,1000,240 PPPF MWPMW 1800,45 3

La carga a alimentar es PR = 210 MW .

SOLUCION:

Cálculo de la Matriz Zbarra por algoritmo, se tiene:


Z BARRA

0,037552 0,094874i

0,020199 0,063771i

0,023576 0,064901i

0,03216 0,080679i

0,032361 0,082202i

0,020199 0,063771i

0,034877 0,102039i

0,015463 0,054778i

0,018333 0,059494i

0,018417 0,059958i

0,023576 0,064901i

0,015463 0,054778i

0,041534 0,123009i

0,029845 0,092112i

0,02986 0,089288i

0,03216 0,080679i

0,018333 0,059494i

0,029845 0,092112i

0,0745 0,174279i

0,029408 0,123685i

0,032361 0,082202i

0,018417 0,059958i

0,02986 0,089288i

0,029408 0,123685i

0,073041 0,169262i

111

A través de ZBARRA y usando el procedimiento de derivación

de la matriz “B” fórmula de perdidas se ha derivado la matriz

de perdidas con los siguientes resultados:

02940,000901,000507,0

00901,005210,000953,0

00507,000953,006760,0

B

01890,000342,007660,00 B


112

040357,000 B

(Note que todos los valores de Pi están en por unidad en una

base 100 MVA , el resultado de PL también resultará en por

unidad en una base 100 MVA).

Entonces:

3

2

1

321 .

02940,000901,000507,0

00901,005210,000953,0

00507,000953,006760,0

.

P

P

P

PPPPL

040357,0.01890,000342,007660,0

3

2

1

P

P

P

También se ha corrido un flujo de carga que sirve como

base dando los siguientes resultados


1 1,050 pu

2 1,050 pu

4

3 1,070 pu

6 1,00 pu

5 0,985 pu

50,00 MW 74,35 MVAR

107,87 MW 15,95 MVAR

60,00 MW 89,63 MVAR

70 MW 70 MVAR

70 MW 70 MVAR

70 MW 70 MVAR

0,989 pu

2,930 MW 2,890 MW

26,251 MW

25,667 MW

43,778 MW

42,775 MW

19,118 MW

18,024 MW

1,565 MW

1,615 MW

15,515 MW

15,017 MW 35,601 MW

34,527 MW

27,783 MW

28,688 MW

43,584 MW

42,496 MW

33,090 MW

31,585 MW

4,084 MW 4,047 MW

113

P1 = 107,87 MW . P2 = 50,0 MW . P3 = 60,0 MW .

PL = 7,874 MW (calculado por el flujo de carga).

Diagrama de flujo de carga


1 1,050 pu

2 1,050 pu

4

3 1,070 pu

6 1,004 pu

5 0,985 pu

50,00 MW

74,35 MVAR

107,87 MW 15,95 MVAR

60,00 MW 89,63 MVAR

70 MW 70 MVAR

70 MW 70 MVAR

70 MW 70 MVAR

1,003 MW

1,003 MW

1,094 MW

1,094 MW

0,050 MW

0,050 MW

0,989 pu

0,583 MW

0,583 MW

0,498 MW

0,498 MW

0,905 MW

0,905 MW

1,505 MW

1,505 MW

1,087 MW

1,087 MW

1,073 MW

1,073 MW

0,036 MW 0,036 MW

0,040 MW 0,040 MW

114

Diagrama de Pérdidas en la red


115

Con éstos valores de generación tomado como base

reemplazamos en PL se tiene el mismo resultado que con el

cálculo de flujo de carga.

600,0

500,0

078,1

.

02940,000901,000507,0

00901,005210,000953,0

00507,000953,006760,0

.600,0500,0078,1LP

040357,0

600,0

500,0

078,1

.01890,000342,007660,0

PL = 7,878 MW (calculado con la matriz B de perdidas)

Usando el método de la Matriz “B”, de los valores iniciales

resultantes del flujo de carga, se muestran las iteraciones en

el que se debe tener en cuenta el cambio en las perdidas.


Iterac. P1 P2 P3 PD PL

0 11,962600 1,078700 0,500000 0,600000 2,178700 0,078771

1 12,792751 0,500000 0,807419 0,871351 2,178770 0,104906

2 12,727396 1,022072 0,588298 0,594536 2,204906 0,081933

3 12,842934 0,660247 0,738555 0,783129 2,181931 0,092449

4 12,791295 0,827205 0,661515 0,703700 2,192420 0,084562

5 12,816334 0,742250 0,699488 0,742823 2,184561 0,087773

6 12,824192 0,728150 0,701490 0,758133 2,187773 0,088609

7 12,822284 0,736600 0,699822 0,751833 2,188255 0,088253

8 12,822270 0,736600 0,699849 0,751804 2,188253 0,088254

9 12.822252 0,736599 0,699851 0,751801 2,188251 0,088254

10 12.822269 0,736600 0,699850 0,751803 2,188253 0,088254

116

Condiciones de arranque:

P1 = 107,87 MW . P2 = 50,0 MW . P3 = 60,0 MW .

Tabla de iteraciones en P.U .


117

Note que el organigrama (Método de la matriz “B”) muestra

un procedimiento tipo "dos lazos". El lazo "interno" ajusta ()

hasta que la demanda total se cubra y el lazo "exterior"

recalcula los factores de penalidad (bajo algunas

circunstancias los factores de penalidad son bastante

sensibles a los cambios con el despacho).


118

Universidad Nacional del Centro del Perú

102C Operación del Sistemade Potencia

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Material de Enseñanza

© Waldir Astorayme Taipe

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Capítulo 1 - Operación Del Sistema de Generación 2015

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