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Gua de Mecanica Cuantica l

Alumno:Edgar Noe Ahedo Mendoza.

Asesor: Hugo Aurelio Morales Tecotl.

8 de junio de 2016

Resumen

Que el alumno cuente con una gua sobre los temas correspondientes a la UEA de Mecanica cuantical , que ayude a solidificar los conocimientos adquiridos en el aula , as como revisar algunos ejemplosincorporados y realizar por otro lado problemas sugeridos.

Indice

1. Teora de Schrodinger y la Funcion de onda 11.1. Ecuacion de Schrodinger e interpretacion estadstica de la funcion de onda. . . . . . . . . 11.2. Normalizacion de la funcion de onda y su conservacion.Corriente de probabilidad. . . . . . 21.3. Operadores de posicion,momento lineal y energa cinetica en el espacio de configuracion. 41.4. Operador Hamiltoniano para sistemas con potenciales independientes del tiempo.Representacion

de la funcion de onda como el producto de una funcion espacial y otratemporal. . . . . . 71.5. Representacion del operador de energa en terminos de la derivada temporal. . . . . . . . 71.6. Descomposicion de la ecuacion de Schrodinger en dos ecuaciones de eigenvalores una para

la parte espacial y otra para la temporal. Representacion de la funcion de onda completa. 81.7. Ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo y estados estacionarios. . . . . . . . . . 91.8. Valores esperados de variables dinamicas. Principio de incertidumbre de Heisenberg para

posicion-momento lineal en una dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9. El Principio de superposicion en la Mecanica Cuantica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. Teora de Schrodinger y la Funcion de onda

1.1. Ecuacion de Schrodinger e interpretacion estadstica de la funcion de onda.

La ecuacion de Schodinger es el analogo a la segunda ley de newton ,es una ecuaci on diferencial lineal.La informacion que nos da la ecuacion de Schodinger es la densidad de probabilidad de encontrar una

partcula en cierta region.

i

t =2

2m

2

x2 + V(x)(x) (1)

1


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i

t = H (2)

dondei es la unidad imaginaria, es la constante de Planck dividida por 2, el smbolo t

indica unaderivada parcial con respecto al tiempo t, (la letra griega psi) es la funcion de onda del sistema cuanto.H es el operador Hamiltoniano (el cual caracteriza la energa total de cualquier funcion de onda dada ytiene diferentes formas que dependen de la situacion).

La informacion que nos da la ecuacion de Schrodinger es la densidad de probabilidad de encontraruna partcula en la region y la funcion de onda (x, t) se considera como la amplitud de probabilidad.

La interpretacion estadstica.

El cuadrado del valor absoluto de la funcion de onda,||2, que es de cuadrado integrable y esta nor-malizada de forma que

||2 dx= 1 representa la densidad de probabilidad de que el resultado de un

experimento determine la posicion de la partcula x en el instante t. Esto es:||2 se interpreta como unadensidad de probabilidad de posicion (probabilidad por unidad de volumen).

La interpretacion estadstica de la funcion que da determinada mediante las siguientesdefiniciones.

El estado de una partcula se describira por medio de una funcion (x, t) se considera una amplitudde probabilidad.

|(x, t)|2 es la densidad de probabilidad de hacer una medida de localizaci on en el tiempo t all en-contrar a la partcula.

Principio de Superposicion.

Las funciones de onda forman un espacio vectorial si 1(x, t) y 2(x, t) son soluciones de la ecuacionde Schrodinger. entonces la combinacion lineal de ellas 1(x, t) + 2(x, t) tambien son soluciondonde y son complejos.

1.2. Normalizacion de la funcion de onda y su conservacion.Corriente de probabili-

dad.

La ecuacion de continuidad se obtiene de la ecuacion de Schrodinger interactuando con la solucion

con complejo conjugado, realizando algunas operaciones podemos llegar a :

t(x, t) +

xj(x, t) = 0 (3)

donde es llamada densidad de probabilidad y y esta relacionada con la funcion de onda de la siguientemanera :

(x, t) = (x, t)(x, t) = |(x, t)|2

. y ademas:

(x, t)dx= 1 (4)

2


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|(x, t)|2dx= 1 (5)

estan normalizadas esto se cumple siempre que nuestras funciones son de cuadrado integrable.por otro lado:

j(x, t) =

i2m((x, t)

x(x, t) (x, t)

x(x, t) =Densidad de corriente de probabilidad

Veamos ahora como se mantiene la normalizacion con el paso del tiempo.Para este fin estudiamos:

d

dt

| |2 dx

Entonces :d

dt

dx

La integral converge por eso podemos hacer que :

dx

t() =

dx[

t +

t]

Donde Realizando los calculos ,despejando de la ecuacion de Schodinger :

t =2mi

2

x2 +

1

iV

t =

2mi

2

x2 1

iV

Sustituimos estas dos ecuaciones en la integral, al realizar las operaciones correspondientes llegamos aque:

d

dt

|

|2 dx=

2miR

dx

x

[

x

x

]

Por el teorema fundamental del calculo :

dx d

dxf(x) =f() f()

Obtenemos:

{ 2mi

[

x

x]}

= 0

Por lo tanto la operacion dentro de los corchete debe ser cero, si se satisface la condici on de normalizacion:

d

dt

|

|2 dx= 0 (6)

Es decir, la normalizacion se mantiene en el tiempo gracias a la ecuacion de Schodinger.

En el siguiente ejemplo veremos como podemos encontrar el valor de una cierta constante y la funcionde onda dada.

Ejemplo:En t= 0 el estado de una partcula cuantica esta representado por :

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(x, 0) =

A bxba

a x bAx

a 0 x a

0 en otro

con A, a, b constantes.

a)Normalice

b) A t= 0 En donde es mas probable hallar a la partcula?c)Cual es la probabilidad de hallar una partcula a la izquierda de a ?Solucion:a)Para normalizar integramos desde menos infinito hasta infinito a la norma de la funci on es decir:

||2dx= a0

|Axa|2dx +

ba

|A(b x)b a |

2dx

(A

a)2 a0

x2dx + ( A

b a )2

ba

(b x)2dx

Realizando la integracion y evaluando obtenemos el valor para A:

A=

3

b

b) Al tiempo t= 0 la probabilidad es

(x, t) = ||2 =ac) Para hallar el valor a la izquierda de a evaluemos:

a0

|Axa|2dx= ( A

a)2

x3

3 |a0

y sabiendo el valor de A =3

b :

= a

b

1.3. Operadores de posicion,momento lineal y energa cinetica en el espacio de con-

figuracion.

Para calcular la posicionx, el momentopy la energa CineticaT, utilizamos la ecuacion de Schrodinger2, como sabemos esta ecuacion es una funcion lineal en derivadas parciales.Por esta razon se puede haceruna superposicion. Dada una densidad de probabilidad (x, t) 0 , en particular en mecanica cuantica

(x, t) = ||2

podemos definir el valor de expectacion de la siguiente manera.

x =

dx x ||2 (7)

x= x (8)

Como evoluciona el valor de espectacion con el tiempo? para responder esta pregunta veamos derivemosrespecto del tiempo la ecuacion 7

d

dtx(t) = d

dt

x dx

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donde el producto de la funcion de onda por es la densidad de probabilidad (x, t). Resulta que :

d

dtx(t) = v

Para calcular el momento lineal debemos recordar que que dicho momento esta relacionado con lamasa m de la partcula y su velocidad en este caso la velocidad promediov. quedando de la forma.

p= m v (9)

p=

i

x (10)

Podemos llegar al operador p tomamos la derivada temporal

d

dt[m x(t)] =

dx(x, t)

i

t(x, t)

Ejemplo (4.4):Demostrar que el operador

p= i

x

Solucion:

Para poder demostrar el valor de expectacion de p, empezamos por calcular el valor de expectacionde x:

d

dt < x >=

d

dt

xdx.

La derivada Temporal entra como derivada parcial:

x[

t +

t ]dx

Utilizando la regla de Leabniz:

x()

t dx.....(0)

Tenemos la siguiente ecuacion :

t() =

t +

t ........(1)

como ya sabemos la ecuacion de Schodinger dependiente del tiempo es:

it

=2

2m2

x2 + V..........(2)

y su conjugado:

it

=2

2m

2

x2 + V.......(3)

Despejamos de 2 y 3 a

t;

t , respectivamente y sustituimos en 1 para obtener:

t() =

2mi

2

x2 V

i

2mi

2

x2 V

i

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Al factorizar obtenemos:

t() =

2mi[

2

x2

2

x2]

Utilizando el Teorema Fundamental del Calculo (TFC) y Sustituyendo en la ecuacion 0 :

d

dt < x >=

2mi

dx(x)

x [

x

x ]

Por la regla del producto cambiamos:

d

dt < x >=

2mi{

dx

x[x(

x

x)] [ x

x(

x

x)]}

La primera integral es cero utilizando el (TFC) al evaluarla quedando solo el segundo termino.y utilizandolos mismos argumente al evaluarla solo nos queda:

d

dt < x >=

2mi

(2)

dx

x

ddt

< x >= 1m

dx(i

x

)

Re acomodando obtenemos:d

dtm < x >= p =

dx(

i

x)

podemos ahora definir a nuestro operador del momento :

p=

i

x.....QED

En resumen podemos mencionar ahora que :

x =

dx x x= x

p =

dx (

i

x) p=

i

x

El momento en mecanica cuantica es un operador que depende de una diferencial parcial respecto de laposicion.

T =

dx(2

2m

2

x2)

T =

2

2m

2

x2

(11)

Lo que representa el valor promedio de la energa es un valor real es decir un numero real, los eigenvalores son reales. utilizando estos valores podemos ahora comparar en la ecuacion de Schrodinger ynotamos que:

i

t=

2

2m

2

x2+ V

2

2m

2

x2+ V = T + V = H (12)

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1.4. Operador Hamiltoniano para sistemas con potenciales independientes del tiem-

po.Representacion de la funcion de onda como el producto de una funcion es-

pacial y otratemporal.

Definimos al operador Hcomo el Hamiltoniano del sistema con ello nuestra ecuacion de Schrodingertoma la forma de la ecuacion 2

y para potenciales independientes del tiempo:

H= E (13)

El metodo de separacion de variables propone,

(x, t) =(x)(t)

sustituimos en la E.S.

i(x)(

t(x)) =

2m(t)

2

x2(x) + V(x)(x)(t)

Dividiendo por (x)(t).i

(

t)

(t)

t =

2

2m

(x

)

2(x)

x2 +

V(x)

(

x)

=R

Esto se cumple solo si el lado izquierdo es una constante. Ahora estas ecuaciones toman la forma .

id(t)

dt =k(t)

[i22m

2

x2+ V(x)](x) =k(x)

T+ V(x) = H

Operador de energa mecanica total obviamente k E

H=i2

2m

2

x2+ V(x) (14)

1.5. Representacion del operador de energa en terminos de la derivada temporal.

Al estar manejando operadores de evolucion del tiempo para la descripcion del comportamientodinamico de un sistema fsico, se vuelve obligatorio recurrir a la ecuacion de Schrodinger dependientedel tiempo, de la cual podemos enunciar que el operador de energa Enos da lo siguiente:

E=i

t (15)

t=i

E (16)

Esto nos permite escribir el operador que estamos desarrollando de la siguiente manera:

(t) =C eiEt

(17)

Pero el operador de energa Een realidad no es mas que otro nombre con el cual identificamos al operadorde energa Hamiltoniano H. De este modo, el operador de evolucion del tiempo puede escribirse del modosiguiente de una manera un poco mas general:

(t) =C eiHt

(18)

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1.6. Descomposicion de la ecuacion de Schrodinger en dos ecuaciones de eigenvalores

una para la parte espacial y otra para la temporal. Representaci on de la funcion

de onda completa.

La forma de representar a la ecuacion de Schrodinger ahora es por una parte temporal y otra espacialobtenida del proceso de separacion de variables y en la seccion anterior habamos llegado a:

ddt

=i

E

(t) =C eiEt

Podemos absorber C en (x) por lo tanto C= 1. Si las soluciones para Hn =Enn son denotadaspor n entonces la solucion general de la ecuacion de Schrondinger dependiente del tiempo toma la forma:

(x, t) =n=1

Cnn(x)eiEnt

(19)

Veamos un ejemplo de como implementar este resultado.Dado un estado inicial:

(x, t= 0) =A[0+ 21]

donde 0,1 son estados normalizados de un sistema cuantico.a)Calcule A.b)Calcule (x, t)y|(x, t)|2 .

Solucion:

a) Tomando en cuenta la propiedad de normalizacion Para encontrar el valor de A integramos el es-tado inicial y lo multiplicamos por su complejo conjugado de la siguiente forma:

|A|2

(0+ 2

1)(0+ 21)dx = 1

Resolviendo esta integral llegamos a que

A= 1

5

b)Para calcular ahora (x, t) Utilizamos la ecuacion 20.

(x, t) =

n=1

Cnn(x)eiEnt

podemos ver que sabiendo el valor de A tenemos

(x, t) =1

50e

iE0t

+2

51e

iE1t

y para|(x, t)|2 tenemos:|(x, t)|2 = (x, t) (x, t)

|(x, t)|2 =15|0|2 +4

5cos(

E1 E2

)t +4

5|1|2

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1.7. Ecuacion de Schrodinger independiente del tiempo y estados estacionarios.

La ecuacion de Schorodinger independiente del tiempo la obtenemos a partir de la siguiente ecuacion:

22m

d2

dx2 + V(x)= E (20)

donde podemos ahora representar al operador Hamiltoniano

H= p2

2m+ V(x) (21)

H=2

2m

d2

dx2+ V(x) (22)

podemos escribir este resultado de la siguiente manera:

H= E (23)

el valor de expectacion para la energia total es

H =

Hdx= E

||2dx= E (24)

H2 =

H2dx= E2||2dx= E2 (25)

la desviacion estandar es:2H= H2 H2 =E2 E2 = 0 (26)

1.8. Valores esperados de variables dinamicas. Principio de incertidumbre de Hei-

senberg para posicion-momento lineal en una dimension.

El principio de incertidumbre nos dice que hay un lmite en la precision con el cual podemos determi-nar al mismo tiempo la posicion y el momento de una partcula.Definimos a la desviacion estandar como :

2x= (x x)2 (27)x x = 0 (28)

y a2p = (p p)2 (29)

el principio de incertidumbre de Heisenberg para posicion y momento lineal es:

xp

2

(30)

A modo de ilustracion:

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Bien definida pequeno.x(posicion) es imprecisa xgrande.x(posicion) Bien definida xpequeno. imprecisa p grande.Debroglie:

P=

h

(31)Podemos generalizar el principio de incertidumbre para observables A y B:

2A = (A A)2 = (A A) | (A A)

|f = |(A A)2A = f| f

Analogamente :2B = g| g

|g = |(B B)Ahora:

2A2B = f| f g| g

2A2B = (

f| g g| f2i

)2

f| g = AB A Bg| f = BA A B

2A2B = (

AB BA2i

)2

Principio de incertidumbre Generalizado.

2A2B = (

[A, B]2i

)2 (32)

Obs: Aunque el lado derecho contiene el factor ( 1i

)2 =1 recordar queO =O+ es Hermitico yademas:

[A, B]+ = [A, B]es anti Hermitico.

Ejemplo:A= x

yB= p

[x, p] =i

2x2p (

i2i

)2 = (

2)2

xp 2

donde hemos tomado el valori = | i =i | =i

.

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1.9. El Principio de superposicion en la Mecanica Cuantica.

La superposicion cuantica es la aplicacion del principio de superposicion a la mecanica cuantica. Ocurrecuando un objeto posee simultaneamentedos o mas valores de una cantidad observable (p. ej. la posiciono la energa de una partcula).

si por ejemplo un sistema 1 es solucion y ademas 2 tambien lo es , podemos determinar a 3 comosolucion por una superposicion o combinacion lineal esto es.

3= A1+ B2 (33)

pero la resta tambien es solucion:3= A1 B2 (34)

Donde necesitamos que A y B esten normalizadas.

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