Cap´ıtulo 1 Estructuras de barras articuladas -...

BORRADORCapıtulo 1

Estructuras de barrasarticuladas

1.1. Introduccion

La motivacion para comenzar un curso sobre el Metodo de los ElementosFinitos con el analisis de las estructuras de barras articuladas se debe alcaracter esencialmente unidimensional de este tipo de problemas. La barraelastica lineal cargada en direccion axial es el modelo basico que sirve departida, y que posteriormente se generaliza a 2D y 3D.

Abordar con detalle un problema unidimensional presenta indudables ven-tajas para mostrar los conceptos basicos del MEF, sin atender a complicacio-nes que de manera inevitable aparecen en dos o mas dimensiones. Asimismoel analisis mediante elementos finitos se facilita al considerar una barra rec-ta, aunque en general no prismatica, en la que la deformacion es unicamenteaxial y por lo tanto el estado de tensiones es uniaxial.

En este capıtulo se presentan dos descripciones alternativas para el ana-lisis del equilibrio de sistemas barras. En primer lugar se presenta el metododirecto, basado en conceptos ya conocidos de la Mecanica de Materiales, paraexpresar el equilibrio de fuerzas, las ecuaciones constitutivas y las ecuacionesde compatibilidad.

La segunda metodologıa introduce el problema mediante la formulacionfuerte de un problema de contorno. A continuacion se expresa la formulaciondebil como base de partida para el desarrollo metodo de elementos finitos.Por este motivo se dedica una parte importante del capıtulo a demostrar suequivalencia con la formulacion fuerte, a su interpretacion en el marco delprincipio de los trabajos virtuales, y al estudio de su relacion con el princi-pio de la energıa potencial mınima. Finalmente, para establecer el metodode elementos finitos la formulacion debil se aproxima mediante la formula-cion de Galerkin, desarrollandose esta ultima hasta obtener la formulacionaproximada del problema en forma matricial.

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2 Estructuras de barras articuladas

1.2. Metodo directo. Formulacion 1D

Consideremos el sistema de muelles en serie de la figura 1.1. La confi-guracion del sistema se describe en terminos de los tres grados de libertadcorrespondientes a los desplazamientos nodales uA, A = 1 . . . 3. Esta estruc-tura la consideraremos un sistema discreto en el sentido de que conociendolos desplazamientos nodales queda descrita su configuracion. Asociadas a losgrados de libertad uA se introducen las fuerzas externas FA, A = 1 . . . 3. Lasconstantes ke, e = 1, 2, son las rigideces correspondientes a cada barra omuelle.

2

k2

x

k1

11 2 3

F2 F3F1

u1 u2 u3

Figura 1.1: Sistema simple de muelles en serie

En la solucion de la estructura intervienen tres conceptos cuya aplicacionse desarrollara en los siguientes apartados:

1. Equilibrio de fuerzas

2. Ecuaciones constitutivas

3. Ecuaciones de compatibilidad

1.2.1. Equilibrio de fuerzas

En la figura 1.2 se ha aislado la barra 1 del sistema descrito anteriormenteen la figura 1.1. Se denotan por N las fuerzas internas, P

(e)A son las fuerzas

nodales correspondientes a los nodos A = 1, 2 de la barra e, y u(e)A son los

desplazamientos nodales, tambien empleando la numeracion local A = 1, 2,de la barra e.

1

1 2 N−N

k1

P1

1 P1

2

u1

1u

1

2

Figura 1.2: Sistema simple de muelles. Barra 1 aislada.

Imponiendo que las fuerzas internas y las fuerzas externas son iguales en

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Metodo directo. Formulacion 1D 3

los nodos 1 y 2 de la barra 1, resulta:

P(1)1 = −N1 (1.1)

P(1)2 = N1 (1.2)

Analogamente, aislando la barra 2 se obtiene:

P(2)1 = −N2 (1.3)

P(2)2 = N2 (1.4)

1.2.2. Ecuaciones constitutivas

Con las constantes elasticas de los muelles k1 y k2, se relacionan las fuerzasinternas en cada barra con los correspondientes alargamientos:

N1 = k1∆l1 (1.5)

N2 = k2∆l2 (1.6)

1.2.3. Ecuaciones de compatibilidad

Las ecuaciones de compatibilidad relacionan los alargamientos con losdesplazamientos nodales:

∆l1 = u(1)2 − u

(1)1 (1.7)

∆l2 = u(2)2 − u

(2)1 (1.8)

1.2.4. Formulacion matricial a nivel local

Sustituyendo (1.7) en (1.5), y el resultado en (1.1) y (1.2) se obtienen lasecuaciones de equilibrio que relacionan fuerzas y desplazamientos nodales dela barra 1:

P(1)1 = −k1(u

(1)2 − u

(1)1 ) (1.9)

P(1)2 = k1(u

(1)2 − u

(1)1 ) (1.10)

y que si se expresa en forma matricial, resulta:(k1 −k1

−k1 k1

)u

(1)1

u(1)2

=

P

(1)1

P(1)2

(1.11)

Procediendo de forma analoga para la barra 2 se obtiene:(k2 −k2

−k2 k2

)u

(2)1

u(2)2

=

P

(2)1

P(2)2

(1.12)

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Observacion. La ecuacion (1.11) o la (1.12) se generalizan para una barrae, expresandose:

kede = P e (1.13)

donde:

ke : Matriz de rigidez de la barra e (simetrica y definida positiva)

de : Vector de desplazamientos nodales de la barra e

P e : Vector de fuerzas nodales de la barra e

1.2.5. Ensamble

Las ecuaciones matriciales (1.11) y (1.12) deben ensamblarse para formarel sistema global de ecuaciones. Para ello se consideran las ecuaciones decompatibilidad entre los desplazamientos nodales de cada barra:

u1 = u(1)1 (1.14)

u2 = u(1)2 = u

(2)1 (1.15)

u1 = u(1)1 (1.16)

y las que establecen la equivalencia entre las fuerzas nodales de cada barra ylas fuerzas externas:

F1 = P(1)1 (1.17)

F2 = P(1)2 + P

(2)1 (1.18)

F3 = P(2)2 (1.19)

Con estas relaciones y con las ecuaciones (1.11) y (1.12), se establece elsistema global de ecuaciones que relaciona los desplazamientos nodales de laestructura con las fuerzas externas: k1 −k1 0

−k1 k1 + k2 −k2

0 −k2 k2

u1

u2

u3

=

F1

F2

F3

(1.20)

que se expresa en general como:

Kd = F (1.21)

siendo:

K : Matriz de rigidez global

d : Vector de desplazamientos

F : Vector de fuerzas externas

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Metodo directo: formulacion en 2D y 3D 5

Observacion. En la expresion (1.20), el determinante de la matriz de ri-gidez es nulo con lo cual no existe la matriz inversa. Este hecho se puedeinterpretar en el sentido de que existen autovalores nulos asociados a movi-mientos de solido rıgido debido a que el sistema estructural carece de suficien-tes condiciones de sustentacion. Por ejemplo, el vector de desplazamientos(u1, u2, u3) = (1, 1, 1) representa un movimiento de solido rıgido de la estruc-tura (que se produce con fuerzas externas nulas F = 0).

2

k2k1

1

F2 F3

1 2 3

Figura 1.3: Sistema simple de muelles con sustentacion en el nodo 1.

Finalmente, si de acuerdo con la figura 1.3, en (1.20) se impone que elnodo 1 esta fijo haciendo u1 = 0, resulta:(

k1 + k2 −k2

−k2 k2

)u2

u3

=

F2

F3

(1.22)

Ejemplo 1.1. Suponiendo que en el sistema de la figura 1.3 las fuerzasaplicadas valen F2 = 3f y F3 = f , obtener empleando las matrices de rigidezcalculadas anteriormente los desplazamientos de los nodos 2 y 3 y la reaccionen el nodo 1.

Particularizando el sistema (1.22) para las fuerzas nodales dadas y des-pejando el vector de desplazamientos:(

k1 + k2 −k2

−k2 k2

)u2

u3

=

3ff

⇒

u2

u3

=

1

k1

(1 11 1 + k1

k2

)31

f

⇒

u2 = 4

k1f

u3 =(

4k1

+ 1k2

)f

Por otra parte, sustituyendo los valores de u1 y u2 en (1.20) y despejandoF1, se obtiene la reaccion R en el nodo 1:

R = F1 = −k1u2 = −4f

que coincide, como es obvio, con el valor que se obtendrıa de imponer direc-tamente el equilibrio de la estructura.

1.3. Metodo directo: formulacion en 2D y 3D

En este apartado se generaliza la metodologıa descrita en el apartado an-terior para el analisis de estructuras articuladas en 2 y 3 dimensiones. Los

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pasos a seguir son esencialmente los mismos que los descritos anteriormentepara estructuras 1D, pero ahora es necesario hacer las consideraciones corres-pondientes a que el numero de grados de libertad de cada nodo coincide conla dimension espacial del problema. Dichas consideraciones conducen a esta-blecer los siguientes puntos para la metodologıa de solucion del problema:

Las matrices de rigidez de las barras se expresan, considerando las con-diciones de equilibrio en cada una de ellas y las ecuaciones constitutivas,en unos ejes locales asociados a cada barra.

Previamente al proceso de ensamble de las matrices locales es necesariotransformar estas para que sus componentes esten referidas a unos ejesglobales.

Con las matrices de cada barra expresadas en los ejes globales, y conlos datos correspondientes a la conectividad de la estructura, se realizael proceso de ensamble para obtener la matriz de rigidez global.

Imponiendo las condiciones de contorno, mediante la supresion de lascorrespondientes filas y columnas de la matriz de rigidez global, sellega a un sistema matricial de ecuaciones que expresa el equilibrio dela estructura completa.

Finalmente se resuelve el sistema de ecuaciones planteado en el puntoanterior para obtener los desplazamientos nodales de la estructura. Unavez calculados dichos desplazamientos nodales, postprocesando los mis-mos se pueden obtener las deformaciones y los esfuerzos en las barras,ası como la reacciones en los apoyos.

Ejemplo 1.2. Se desea obtener los desplazamientos nodales, los esfuerzosen las barras y las reacciones en la estructura de la figura 1.4, con las di-mensiones y caracterısticas mecanicas de cada barra que estan indicadas enla misma.

Planteando el equilibrio en cada barra se obtienen las correspondientesmatrices de rigidez en ejes locales k′e. Por ejemplo para la barra 3, en lafigura 1.5 se muestran las fuerzas nodales P , las fuerzas internas N y losdesplazamientos nodales u con sus componentes en los ejes locales x′, y′.Procediendo de forma analoga a la descrita en el apartado 1.2 para obtener lasecuaciones (1.11) o (1.12), y teniendo en cuenta que en este caso la ecuacionconstitutiva para dicha barra es:

N =E3A3

l3∆l3 (1.23)

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3

1 2

2

1

3

Fy3 = 3

Fx3 = 5

l1 = 10

E1A1 = 50

l2 = 10

E2A2 = 100

l3 = 10√

2

E3A3 = 400√

2

Figura 1.4: Geometrıa y caracterısticas mecanicas de la estructura de barrasdel ejemplo 1.2

resulta:

E3A3

l3

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

︸︷︷︸

k′(3)

u′(3)x1

u′(3)y1

u′(3)x2

u′(3)y2

=

P

′(3)x1

P′(3)y1

P′(3)x2

P′(3)y2

(1.24)

x

y

P′(3)x2 u

′(3)x2

φ

3

2

N

x′y′

P′(3)y1 u

′(3)y1

P′(3)y2 u

′(3)y2

1

P′(3)x1 u

′(3)x1

N

Figura 1.5: Ejemplo 1.2. Analisis del equilibrio del elemento 3

A continuacion la matriz de rigidez k′(3) se transforma para expresarla enlos ejes globales. Llamando i′, j ′ e i, j a los versores de los ejes locales

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y globales de la figura 1.5, respectivamente, la relacion entre ambos es:

|| i′ j ′ || = || i j ||L; L =

(cos φ − sen φsen φ cos φ

)(1.25)

verificando la matriz de cambio de base la relacion LT L = 1. De acuerdocon esta relacion la expresion de los vectores de desplazamientos y de fuerzasnodales en los ejes globales es:

u′eA = LT ue

A (1.26)

P ′eA = LT P e

A (1.27)

y sustituyendo (1.26) y (1.27) en (1.24) se obtiene la expresion de la matrizde rigidez del elemento 3 en ejes globales:

k(3) = Lk′(3)LT

=E3A3

l3

cos2 φ sen φ cos φ − cos2 φ − sen φ cos φ

sen φ cos φ sen2 φ − sen φ cos φ − sen2 φ− cos2 φ − sen φ cos φ cos2 φ sen φ cos φ− sen φ cos φ − sen2 φ sen φ cos φ sen2 φ

(1.28)

Sustituyendo los datos de este ejemplo y los valores del angulo φ corres-pondientes a cada barra se obtienen las siguientes ecuaciones matriciales enejes globales:

P(1)x1

P(1)y1

P(1)x2

P(1)y2

= k(1)

u

(1)x1

u(1)y1

u(1)x2

u(1)y2

; k(1) =

5 0 −5 00 0 0 0−5 0 5 0

0 0 0 0

(1.29)

P

(2)x1

P(2)y1

P(2)x2

P(2)y2

= k(2)

u

(2)x1

u(2)y1

u(2)x2

u(2)y2

; k(2) =

0 0 0 00 10 0 −100 0 0 00 −10 0 10

(1.30)

P

(3)x1

P(3)y1

P(3)x2

P(3)y2

= k(3)

u

(3)x1

u(3)y1

u(3)x2

u(3)y2

; k(3) =

20 20 −20 −2020 20 −20 −20−20 −20 20 20−20 −20 20 20

(1.31)

A continuacion es necesario realizar el ensamble de las ecuaciones (1.29)

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a (1.31) para obtener el sistema global de ecuaciones:

Fx1

Fy1

Fx2

Fy2

Fx3

Fy3

= K

ux1

uy1

ux2

uy2

ux3

uy3

(1.32)

Para realizar el ensamble es necesario considerar, al igual que en el caso1D discutido en el apartado 1.2.5, las ecuaciones de compatibilidad de losdesplazamientos nodales:

ux1 = u(1)x1 = u

(3)x1 uy1 = u

(1)y1 = u

(3)y1 (1.33)

ux2 = u(1)x2 = u

(2)x1 uy2 = u

(1)y2 = u

(2)y1 (1.34)

ux3 = u(2)x2 = u

(3)x2 uy3 = u

(2)y2 = u

(3)y2 (1.35)

y las ecuaciones que establecen la equivalencia entre las fuerzas nodales encada barra P y las fuerzas externas F :

Fx1 = P(1)x1 + P

(3)x1 Fy1 = P

(1)y1 + P

(3)y1 (1.36)

Fx2 = P(1)x2 + P

(2)x2 Fy2 = P

(1)y2 + P

(2)y2 (1.37)

Fx3 = P(2)x2 + P

(3)x2 Fy3 = P

(2)y2 + P

(3)y2 (1.38)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (1.29) a (1.38), la matriz de rigidezglobal en (1.32) resulta:

K =

5 + 20 20 −5 0 −20 −20

20 20 0 0 −20 −20−5 0 5 0 0 00 0 0 10 0 −10−20 −20 0 0 20 20−20 −20 0 −10 20 10 + 20

(1.39)

La matriz de rigidez (1.39) es singular, debiendo eliminar en ella lasfilas y columnas correspondientes a los grados de libertad cancelados por lascondiciones de sustentacion o apoyos de la estructura. En este ejemplo dichosgrados de libertad son las dos componentes del desplazamiento del nodo 1(ux1 = 0, uy1 = 0), y el desplazamiento segun la direccion y del nodo 2(uy2 = 0). De este modo, eliminando las filas y columnas primera, segunday cuarta en (1.39), la matriz de rigidez de la estructura resulta finalmente:

K =

5 0 00 20 200 20 30

(1.40)

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El vector de fuerzas externas esta formado en este caso, de acuerdo conla figura (1.4), por las fuerzas aplicadas en el nodo 3. Eliminando en (1.32)los grados de libertad impuestos en el vector de desplazamientos y las fuerzascorrespondientes a dichos grados de libertad (reacciones) en el vector de laderecha, el sistema de ecuaciones que permite calcular los desplazamientosnodales es: 5 0 0

0 20 200 20 30

ux2

ux3

uy3

=

053

⇒

ux2

ux3

uy3

=

0.000.45−0.20

(1.41)

Una vez conocidos los desplazamientos nodales, las deformaciones infini-tesimales de cada barra se calculan de manera inmediata:

ε1 =∆l1l1

= 0.0; ε2 =∆l2l2

= −0.02; ε3 =∆l3l3

= 0.0125 (1.42)

Una vez calculadas las deformaciones, los esfuerzos se obtienen mediantelas ecuaciones constitutivas:

N1 = E1A1ε1 = 0.0; N2 = E2A2ε2 = −2.0; N3 = E3A3ε3 = 7.071(1.43)

Finalmente, las reacciones se obtienen sustituyendo el vector de desplaza-mientos nodales completo en la ecuacion (1.32) y calculando las componentesdel vector de fuerzas correspondientes a las reacciones deseadas (Fx1, Fy1 yFy2):

Rx1 = −5.0; Ry1 = −5.0; Ry2 = 2.0 (1.44)

1.4. Formulacion mediante elementos finitos

1.4.1. Introduccion

Se considera una barra articulada de longitud L y area A, dispuesta segunel eje local x con uno de sus extremos en el origen del mismo, y sobre la queactua una carga b por unidad de longitud. En la figura 1.6 se muestra unelemento diferencial de la barra, convenientemente aislado, en el que se handibujado todas las fuerzas que actuan sobre dicho elemento.

Las ecuaciones que, de acuerdo con la mecanica de medios continuos,permiten tener definido el comportamiento de la barra articulada son lassiguientes:

Adσ

dx+ b = 0 (1.45)

ε =du

dx(1.46)

σ = Eε (1.47)

Aσ(0) = −f (1.48)

u(L) = u (1.49)

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Formulacion mediante elementos finitos 11

b dx

x

σ + dσσ

dx

Figura 1.6: Elemento diferencial de una barra articulada

En este sistema de ecuaciones (1.45) es la ecuacion de equilibrio, siendoσ la tension de Cauchy. La ecuacion de compatibilidad (1.46) relaciona eldesplazamiento u con la deformacion ε. La ecuacion constitutiva (1.47) esta-blece una relacion lineal entre las tension y la deformacion siendo el modulode elasticidad E la constante de proporcionalidad entre ambas. Finalmente(1.48) y (1.49) son las condiciones de contorno en tensiones y desplazamien-tos, respectivamente. Las condiciones de contorno naturales se expresan enterminos de las derivadas de u, mientras que las condiciones de contornoesenciales se expresan directamente en terminos de u.

1.4.2. Formulacion fuerte

Sea Ω = [0, L] ⊂ R la parte del eje local x ocupado por una barra arti-culada de area A. Se establece la descomposicion del dominio Ω en la formaΩ = Ω ∪ ∂Ω, siendo Ω = (0, L) el interior de Ω, y ∂Ω = 0 ∪ L la fron-tera de Ω. La formulacion fuerte del problema se establece en los siguientesterminos:

Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R, f ∈ R, encontrar el campo dedesplazamientos u ∈ R que cumple:

EAd2u

dx2+ b = 0 en Ω (1.50)

u(L) = u (1.51)

EAdu

dx

∣∣∣∣x=0

= −f (1.52)

Observacion. El requisito expresado en (1.50) de que la ecuacion diferencialse verifique en Ω, equivale a establecer:

EAd2u(x)

dx2+ b(x) = 0, ∀x ∈ Ω (1.53)

Observacion. Para obtener la solucion aproximada de un problema de con-torno algunos metodos se aplican directamente sobre la formulacion fuerte,

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como es el caso del Metodo de Diferencias Finitas. Sin embargo, el Metodode Elementos Finitos proporciona una solucion aproximada de la denomina-da formulacion debil del problema de contorno, que se tratara en el siguienteapartado.

Observacion. La solucion analıtica del problema de contorno expresado conlas ecuaciones (1.50) a (1.52) es:

u(x) = u +f

EA(L− x) +

1

EA

∫ L

x

[∫ y

0

b(z)dz

]dy (1.54)

siendo mudas las variables y y z.

Aunque el problema que se aborda mediante el Metodo de Elementos Fi-nitos en este capıtulo tiene solucion analıtica, la metodologıa que desarro-llaremos en el se generalizara posteriormente para abordar problemas mascomplejos.

1.4.3. Formulacion debil

Considerando las definiciones anteriores, la formulacion debil del proble-ma de contorno que nos ocupa se establece en los siguientes terminos:

Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R, f ∈ R, encontrar el campo dedesplazamientos u ∈ U | ∀δu ∈ V cumple:∫ L

0

EAdu

dx

dδu

dxdx =

∫ L

0

bδu dx + δu(0)f (1.55)

donde los espacios funcionales V y U son:

V =δu | δu ∈ H1(Ω), δu(L) = 0

, U =

u | u ∈ H1(Ω), u(L) = u

(1.56)

siendo H1(Ω) el espacio de Sobolev de grado 1 y orden 2, que caracteriza alas funciones de energıa finita:

H1(Ω) =

u(x) : Ω→ R |

∫ L

0

(du

dx

)2

dx <∞

(1.57)

Observacion. La formulacion debil puede interpretarse como un principio delos trabajos virtuales, siendo las funciones δu los desplazamientos virtuales.

Observacion. En el marco del analisis funcional, las funciones u ∈ U sedenominan funciones de prueba, y las funciones arbitrarias δu ∈ V funcionesde peso o variaciones.

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1.4.4. Equivalencia de las formulaciones fuerte y debil

Intuitivamente parece razonable pensar que las soluciones de las formula-ciones fuerte y debil son la misma, ya que no tendrıa sentido introducir dosformulaciones de un mismo problema de contorno, con soluciones distintas.A continuacion se demostrara la equivalencia de ambas formulaciones1.

Proposicion 1.1. Si u es solucion de la formulacion fuerte, entonces lo estambien de la formulacion debil.

Demostracion

Por ser u solucion de la formulacion fuerte, el campo de desplazamientosverifica u(L) = u y por lo tanto pertenece al espacio funcional U . Asimismo,a partir de (1.50) se verifica:∫ L

0

(EA

d2u

dx2+ b

)δu dx = 0, ∀δu ∈ V (1.58)

Integrando por partes:∫ L

0

EAdu

dx

dδu

dxdx−

∫ L

0

bδu dx− EAδudu

dx

∣∣∣∣L0

= 0 (1.59)

Imponiendo en (1.59) la propiedad δu(L) = 0 que verifican las variacionesy la condicion de contorno (1.52), resulta:∫ L

0

EAdu

dx

dδu

dx=

∫ L

0

bδu dx + δu(0)f (1.60)

Proposicion 1.2. Si u es solucion de la formulacion debil, entonces lo estambien de la formulacion fuerte.

DemostracionEl campo de desplazamientos solucion de la formulacion debil es u ∈ U ,

por lo que se verifica a priori la condicion de contorno (1.51) de la formulacionfuerte. Asimismo u verifica (1.55), ∀δu ∈ V . Integrando esta expresion porpartes e imponiendo δu(L) = 0:∫ L

0

(EA

d2u

dx2+ b

)δu dx + δu(0)

(EA

du

dx

∣∣∣∣x=0

+ f

)= 0 (1.61)

Para probar que u es solucion de la formulacion fuerte hay que demostrarque de la ecuacion (1.61) se deduce:

1En lo sucesivo supondremos funciones lo suficientemente suaves para verificar los re-quisitos necesarios de derivabilidad e integrabilidad

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i. EAd2u

dx2+ b = 0 en (0, L)

ii. EAdu

dx

∣∣∣∣x=0

+ f = 0

Para demostrar (i), dado que δu ∈ V es arbitrario se escoge de modo que:

δudef= φ

(EA

d2u

dx2+ b

)(1.62)

siendo φ una funcion suave que tiene las siguientes propiedades:

1. φ(x) > 0, ∀x ∈ (0, L)

2. φ(0) = φ(L) = 0

Sustituyendo (1.62) en (1.61) se obtiene:∫ L

0

φ

(EA

d2u

dx2+ b

)2

dx = 0 (1.63)

y como φ(x) > 0 en (0, L), el integrando en (1.63) es no negativo, debiendoverificarse la condicion (i):

EAd2u

dx2+ b = 0, en (0, L) (1.64)

Observacion. Con la definicion (1.62), y teniendo en cuenta los requisitosexigidos al definir la funcion φ(x), es inmediato comprobar que δu ∈ V. Porejemplo, se puede adoptar la expresion φ(x) = x(L− x).

Una vez demostrado que se verifica la condicion (i), es necesario demostrarque se cumple (ii). Esta demostracion es inmediata si se sustituye (1.63) en(1.61) y se tiene en cuenta que δu(0) es arbitrario.

1.4.5. Formulacion de Galerkin

La formulacion de Galerkin del problema de contorno es el punto de par-tida del metodo de elementos finitos, que permite obtener una solucion apro-ximada de la formulacion debil descrita en el apartado 1.4.3.

El primer paso en el desarrollo de esta formulacion es la construccion delos subespacios Uh y Vh, que son aproximaciones de dimension finita de losespacios funcionales U y V , respectivamente:

Uh ⊂ U , es decir: uh ∈ Uh ⇒ uh ∈ U (1.65)

Vh ⊂ V, es decir: δuh ∈ Vh ⇒ δuh ∈ V (1.66)

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Observacion. De las definiciones de los subespacios funcionales Uh y Vh sededuce que:

uh ∈ Uh ⇒ uh(L) = u (1.67)

δuh ∈ Vh ⇒ δuh(L) = 0 (1.68)

Observacion. El espacio funcional V tiene estructura de espacio lineal sobreel cuerpo de los numeros reales R. Sin embargo, U no es espacio lineal.

El metodo de Galerkin (o Bubnov-Galerkin) establece que los elementosuh ∈ Uh se construyen a partir de los elementos de Vh. La metodologıa deesta construccion se basa en que con cada elemento δvh ∈ Vh se construyeun elemento uh ∈ Uh mediante:

uh = δvh + uh (1.69)

siendo uh una funcion dada que verifica la condicion esencial de contorno:uh(L) = u.

Observacion. La idea clave del metodo de Galerkin es que los espacios Uh

y Vh contienen las mismas funciones con la unica excepcion de uh.

La formulacion de Galerkin del problema de contorno se obtiene expre-sando la formulacion debil en terminos de las funciones de los subespacios dedimension finita Uh y Vh. La ecuacion (1.55) se expresa:∫ L

0

EAduh

dx

dδuh

dxdx =

∫ L

0

bδuh dx + δuh(0)f (1.70)

Sustituyendo (1.69) en (1.70):∫ L

0

EAd(δvh + uh)

dx

dδuh

dxdx =

∫ L

0

bδuh dx + δuh(0)f (1.71)

y operando:∫ L

0

EAdδvh

dx

dδuh

dxdx =

∫ L

0

bδuh dx + δuh(0)f −∫ L

0

EAdδuh

dx

duh

dxdx (1.72)

Observacion. En la expresion (1.72) la funcion δuh es un elemento cual-quiera del subespacio Vh, mientras que δvh es una funcion incognita que esnecesario evaluar, para posteriormente obtener mediante (1.69) la aproxima-cion del campo de desplazamientos uh.

La formulacion de Galerkin del problema de contorno que nos ocupa seestablece en los siguientes terminos:

Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R, f ∈ R, encontrar el campo dedesplazamientos uh = δvh + gh ∈ Uh, con δvh ∈ Vh, tal que ∀δuh ∈ Vh secumple:∫ L

0

EAdδvh

dx

dδuh

dxdx =

∫ L

0

bδuh dx + δuh(0)f −∫ L

0

EAdδuh

dx

duh

dxdx (1.73)

BORRADOR


Observacion. La ecuacion (1.73) se puede interpretar como la expresion dela ecuacion (1.55) en terminos de un conjunto de funciones pertenecientes aespacios de dimension finita.

Observacion. En el metodo de Bubnov-Galerkin, denominado generalmentemetodo de Galerkin, las funciones δvh y δuh pertenecen al mismo subespacioVh. Existen otros metodos, denominados metodos de Petrov-Galerkin, en losque las funciones δvh no pertenecen a Vh. Dichos metodos se emplean princi-palmente en el contexto de la Mecanica de Fluidos Computacional. Asimismo,la ecuacion (1.73) suele denominarse ecuacion de Galerkin.

1.4.6. Formulacion matricial

Desarrollando la formulacion de Galerkin descrita en el apartado anteriorse obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, que permite obtenerla solucion aproximada del problema de contorno. Para ello se debe precisarla estructura del subespacio Vh. Sea Vh el conjunto formado por todas lascombinaciones lineales de funciones NA : Ω→ R, A = 1 . . . nnod− 1, siendonnod el numero de nodos de la malla, tal que un elemento δuh ∈ Vh se expresa:

δuh =

nnod−1∑A=1

cANA (1.74)

debiendose verificar:

NA(L) = 0, A = 1 . . . nnod − 1 (1.75)

Las funciones NA se denominan funciones de forma o funciones de in-terpolacion, y deben cumplir (1.75) con el fin de que los elementos de Vh

que se expresan mediante (1.74) verifiquen (1.68). La dimension del subes-pacio Vh es nnod − 1, que corresponde al numero de nodos que no tienendesplazamientos impuestos.

Asimismo, al definir las funciones de forma se establece que:

NA(xB) = δAB, siendo δAB la delta de Kornecker (1.76)

Es decir, la funcion de forma NA vale 1 en el nodo A y 0 en los demasnodos.

Para definir los elementos del subespacio Uh se introduce una funcion deforma adicional Nnnod

: Ω→ R que verifica:

Nnnod(L) = 1 (1.77)

El segundo sumando en (1.69) se expresa:

uh = uNnnod(1.78)

BORRADOR


con lo que se cumple que:uh(L) = u (1.79)

Con las definiciones anteriores, y de acuerdo con (1.69), los elementos deUh se escriben:

uh = δvh + uh =

nnod−1∑B=1

dBNB + uNnnod(1.80)

siendo dB los desplazamientos nodales que se han de calcular. Sustituyendolas interpolaciones (1.74) y (1.80) en la ecuacion de Galerkin (1.70) resulta:∫ L

0

E A

(nnod−1∑

A=1

cAdNA

dx

)(nnod−1∑

B=1

dBdNB

dx

)dx =

∫ L

0

(nnod−1∑

A=1

cANA

)b dx

+

(nnod−1∑

A=1

cANA(0)

)f −

∫ L

0

E A

(nnod−1∑

A=1

cAdNA

dx

)udNnnod

dxdx (1.81)

Reescribiendo (1.81) para sacar factor comun los coeficientes cA resulta:

nnod−1∑A=1

cA

[nnod−1∑

B=1

(∫ L

0

E AdNA

dx

dNB

dxdx

)dB −

∫ L

0

NAb dx−NA(0)f

+

∫ L

0

E AdNA

dxudNnnod

dxdx

]= 0 (1.82)

Como δuh es arbitrario los coeficientes cA en la expresion anterior tambienlo son, debiendo de anularse todos y cada uno de los corchetes en (1.82). Portanto se obtiene el siguiente sistema lineal de nnod− 1 ecuaciones algebraicascon nnod − 1 incognitas correspondientes a los desplazamientos nodales dB:

nnod−1∑B=1

(∫ L

0

E AdNA

dx

dNB

dxdx

)dB

=

∫ L

0

NAb dx + NA(0)f −∫ L

0

E AdNA

dxudNnnod

dxdx, A = 1 . . . nnod − 1

(1.83)

Definiendo los coeficientes:

KAB =

∫ L

0

E AdNA

dx

dNB

dxdx (1.84)

FA =

∫ L

0

NAb dx + NA(0)f −∫ L

0

E AdNA

dxudNnnod

dxdx, (1.85)

la expresion (1.83) se puede escribir:

nnod−1∑B=1

KABdB = FA (1.86)

BORRADOR


A su vez esta ecuacion se puede expresar en forma matricial definiendopara ello:

K = (KAB) =

K11 K12 . . . K1 nnod−1

K21 K22 . . . K2 nnod−1...

......

Knnod−1 1 Knnod−1 2 . . . Knnod−1 nnod−1

(1.87)

d = dB =

d1

d2...

dnnod−1

(1.88)

F = FA =

F1

F2...

Fnnod−1

(1.89)

Con estas definiciones, la ecuacion (1.86) se expresa:

Kd = F (1.90)

La solucion del sistema de ecuaciones (1.90) obviamente es:

d = K−1F (1.91)

suponiendo que existe K−1. Una vez conocido el vector de desplazamientosnodales d, el campo aproximado de desplazamientos uh se obtiene sustitu-yendo las componentes dB del vector d en (1.80).

Observacion. De acuerdo con la definicion (1.84), la matriz de rigidez Kes simetrica. Esta propiedad tiene especial relevancia para la solucion compu-tacional del sistema de ecuaciones.

Observacion. La ecuacion (1.21) es equivalente a la ecuacion (1.90). Noobstante, la primera se obtiene planteando directamente el equilibrio mientrasque la segunda se obtiene a partir de la solucion de la formulacion debil delproblema de contorno.

Observacion. La expresion (1.80) es conveniente escribirla en la forma:

uh =

nnod∑A=1

dANA (1.92)

siendo dnnod= u.

BORRADOR


Ejemplo 1.3. Se considera una barra que ocupa el dominio Ω = [0, 1], conmodulo de elasticidad E y seccion A. Sobre la barra actua una carga porunidad de longitud b, estando fijo el extremo x = 0. La barra se discretizacon dos elementos lineales de dos nodos de igual longitud. Suponiendo que b esconstante, obtener la expresion analıtica del desplazamiento de los puntos dela barra y la solucion aproximada mediante el metodo de Galerkin. Compararlas soluciones aproximadas con la solucion analıtica.

La ecuacion diferencial a resolver para obtener la expresion analıtica delcampo de desplazamientos es:

EAd2u

dx2+ b0 = 0 en (0, 1) (1.93)

u(0) = 0 (1.94)

du

dx

∣∣∣∣x=1

= 0 (1.95)

cuya solucion exacta se obtiene de manera inmediata:

u(x) =b0

EA

(x− x2

2

)(1.96)

Para obtener la solucion aproximada, las expresiones de las funciones deforma lineales son (ver figura 1.7):

N1(x) =

1− 2x 0 ≤ x ≤ 1/2

0 1/2 ≤ x ≤ 1(1.97)

N2(x) =

2x 0 ≤ x ≤ 1/2

2− 2x 1/2 ≤ x ≤ 1(1.98)

N3(x) =

0 0 ≤ x ≤ 1/2

2x− 1 1/2 ≤ x ≤ 1(1.99)

1 2 3

1

1 2 3

1

x x

1 2 3

1

x

N3N2N1

Figura 1.7: Representacion grafica de las funciones de forma lineales

BORRADOR


La matriz de rigidez se obtiene sustituyendo las expresiones de N2 y N3

en (1.84):

K22 =

∫ 1

0

4 dx = 4EA (1.100)

K23 = K32 =

∫ 1

12

−4 dx = −2EA (1.101)

K33 =

∫ 1

12

4 dx = 2EA (1.102)

y el vector de fuerzas sustituyendolas en (1.85) con b = b0 y f = u = 0:

F2 =

∫ 12

0

2b0x dx +

∫ 1

12

2b0(1− x) dx =b0

2(1.103)

F3 =

∫ 1

12

b0(2x− 1) dx =b0

4(1.104)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1.86) se obtienen los desplazamien-tos nodales:

EA

(4 −2−2 2

)u2

u3

=

b0

4

21

⇒

u2

u3

=

b0

EA

3/81/2

(1.105)

Una vez conocidos los desplazamientos nodales, el campo aproximado dedesplazamientos se obtiene sustituyendo en (1.80):

uh(x) =

b0

EA

3

4x 0 ≤ x ≤ 1/2

b0

EA

(3

4(1− x) +

1

2(2x− 1)

)1/2 ≤ x ≤ 1

(1.106)

En la figura 1.8 se compara la solucion exacta u(x) con la solucion apro-ximada uh(x).

1.5. Descripcion local del MEF

La formulacion mediante elementos finitos descrita en el apartado ante-rior se ha interpretado como un procedimiento para obtener la solucion dela formulacion de Galerkin del problema de contorno. Lo que caracteriza aeste procedimiento como un “metodo de elementos finitos” es la definicionde los subespacios funcionales de dimension finita mediante un conjunto defunciones de forma con las siguientes propiedades:

1. son continuas a trozos.

BORRADOR

Descripcion local del MEF 21

00.10.20.30.40.50.6

0 0.5 1

EA

b0

u(x

)

x

Solu ión analíti a u(x)Solu ión aproximada uh(x)

Figura 1.8: Comparacion de la solucion exacta y de la solucion aproximadaobtenida mediante el MEF

2. soporte local (el valor de la funcion de forma es nulo fuera de un entornodel nodo en cuestion).

En dicha formulacion las funciones de forma se han definido en todo eldominio en el que esta planteado el problema de contorno, por lo que se tratade una descripcion global del MEF. Esta descripcion es la usual a la hora deestablecer las propiedades matematicas del metodo.

En este apartado se va a desarrollar una formulacion a nivel local decada elemento. Esta descripcion local es la usual en ingenierıa por ser masutil para la implementacion computacional y para el desarrollo de elementos.En el cuadro 1.1 se comparan los “ingredientes” que intervienen a nivel deelemento en las descripciones global y local del metodo.

Descripcion DescripcionGlobal Local

Dominio [xA, xA+1] [−1, 1]Nodos A, A + 1 1, 2Grados de libertad dA, dA+1 d1, d2Funciones de forma NA(x), NA+1(x) N1(ξ), N2(ξ)Interpolacion del uh(x) = dANA(x) + uh(ξ) = d1N1(ξ)+campo incognita dA+1NA+1(x), x ∈ [xA, xA+1] d2N2(ξ), ξ ∈ [−1, 1]

Cuadro 1.1: Comparacion de las descripciones global y local del MEF

En la descripcion local la numeracion de los nodos comienza por 1 paratodos los elementos. Asimismo el dominio del elemento esta definido local-

BORRADOR


mente en un espacio isoparametrico 1D. Los dominios correspondientes a lasdescripciones local y global se relacionan mediante una transformacion afın(ver figura 1.9):

ξ : [xA, xA + 1]→ [−1, 1] (1.107)

cuya expresion es:

ξ(x) =2x− xA+1 − xA

xA+1 − xA

(1.108)

La funcion inversa de ξ(x) se obtiene despejando x en (1.108):

x(ξ) =(xA+1 − xA)ξ + xA+1 + xA

2(1.109)

A

x(ξ)

ξ(x)

21(xA) (ξ = 1)(ξ = −1)A + 1(xA+1)

Figura 1.9: Transformacion afın al espacio isoparametrico

Las funciones de forma lineales, en la descripcion local, tienen la expre-sion:

Na(ξ) =1

2(1 + ξaξ), a = 1, 2 (1.110)

Observacion. A efectos de notacion, los subındices correspondientes a lanumeracion de los nodos en la descripcion local se expresaran con letrasminusculas mientras que en la descripcion global se escribiran con letras ma-yusculas. Por ejemplo, las coordenadas de los dos nodos de un elemento sepueden expresar mediante xA y xA+1 en el marco de la descripcion global omediante xa, a = 1, 2 en la descripcion local.

En situaciones con posible ambiguedad se pondra un superındice e paradenotar una entidad en la descripcion local; por ejemplo, xe

2.

Observacion. Si en (1.109) x(ξ) se expresa en terminos de las funciones deforma (1.110) resulta:

x(ξ) =2∑

a=1

xaNa (1.111)

Esta expresion coincide con la interpolacion del campo de desplazamientosen el cuadro 1.1. Los elementos en los que el campo de desplazamientos u(ξ)se interpola con la misma expresion que la transformacion afın del espacioisoparametrico x(ξ) se denominan elementos isoparametricos.

BORRADOR


Ejemplo 1.4. Se considera un elemento cuadratico de tres nodos, de longitudle, con el nodo intermedio situado en el punto medio del elemento.

A

x(ξ)

ξ(x)

1(xA) A + 1(xA+1) A + 2(xA+2)(ξ = −1) (ξ = 1)

32(ξ = 0)

Las funciones de forma son:

N1(ξ) =1

2ξ(ξ − 1) (1.112)

N2(ξ) = 1− ξ2 (1.113)

N3(ξ) =1

2ξ(ξ + 1) (1.114)

La transformacion isoparametrica resulta:

x(ξ) =1

2xAξ(ξ − 1) + xA+1(1− ξ2) +

1

2xA+2ξ(ξ + 1) (1.115)

Teniendo en cuenta que xA+1 = (xA + xA+2)/2 y despejando ξ:

ξ(x) =2

le

(x− xA −

le

2

)(1.116)

Finalmente, las derivadas de las funciones de forma son:

dN1

dx=

dN1

dξ

dξ

dx=

2

le

(ξ − 1

2

)(1.117)

dN2

dx=

dN2

dξ

dξ

dx= − 4

leξ (1.118)

dN3

dx=

dN3

dξ

dξ

dx=

2

le

(ξ +

1

2

)(1.119)

habiendo obtenido dξ/dx derivando en (1.116).

1.5.1. Matriz de rigidez y vector de fuerzas elementales

Para desarrollar la descripcion local se considerara la malla unidimensio-nal de elementos finitos de la figura 1.10 que consta de nelm = n elementos ynnod = n + 1 nodos de coordenadas xi, i = 1 . . . n + 1. Se considera que elnodo 1 tiene una carga impuesta f y que el nodo n+1 tiene un desplazamientoimpuesto u.

BORRADOR


x1 x2 x3 x4 x5 xn+1xnxn−1

2 3 n− 1 n1 4

Figura 1.10: Malla de elementos finitos en 1D

En las expresiones (1.84) y (1.85) de la matriz global de rigidez y delvector global de esfuerzos, respectivamente, las integrales definidas en [0, L]se pueden escribir como la suma de las integrales definidas en los dominiosde cada elemento:

K =n∑

e=1

Ke (1.120)

F =n∑

e=1

F e (1.121)

siendo:

KeAB =

∫Ωe

E AdNA

dx

dNB

dxdx (1.122)

F eA =

∫Ωe

NAb dx + δA1f −∫

Ωe

E AdNA

dxudNn+1

dxdx (1.123)

Observacion. De acuerdo con la figura 1.10, el dominio en el que estandefinidas las integrales de (1.122) y (1.123) es Ωe = [xe, xe+1]

Observacion. En la expresion (1.123) se ha considerado que NA(0) = δA1,siendo δij la delta de Kronecker.

Con la propiedad (1.76) de las funciones de forma, un numero importantede los coeficientes (1.122) y (1.123) son nulos. Concretamente:

KeAB = 0, si e 6= A o e 6= A + 1, y si, e 6= B o e 6= B + 1 (1.124)

y en los nodos sin cargas puntuales directamente aplicadas o sin desplaza-mientos impuestos:

F eA = 0, si e 6= A o e 6= A + 1 (1.125)

Obviamente los terminos nulos ni siquiera han de ser considerados en lossumatorios (1.120) o (1.121). Es decir, en dichos sumatorios solo deben deintervenir sumandos no nulos. Con esta idea en mente es conveniente definirla matriz de rigidez elemental y el vector de fuerzas elemental:

ke = (keab), a = 1, 2 b = 1, 2 (1.126)

f e = (f ea), a = 1, 2 (1.127)

BORRADOR


siendo:

keab =

∫Ωe

E AdNa

dx

dNb

dxdx (1.128)

f ea =

∫Ωe

Nabdx +

δa1f e = 1

0 e = 2 . . . n− 1

−kea2u e = n

(1.129)

Las expresiones (1.128) y (1.129) se definen respecto de la numeracionlocal, mientras que en (1.122) y (1.123) interviene la numeracion global. Paradeterminar como contribuyen ke y f e a la matriz global K y al vector defuerzas global F es necesario tener informacion sobre la conectividad de lamalla para realizar el proceso de ensamble, tal y como se describe en elsiguiente apartado.

1.5.2. Ensamble de la matriz de rigidez y del vector defuerzas elementales

Una de las tareas que ha de realizar un codigo de elementos finitos esel ensamble de la matriz de rigidez y del vector de fuerzas elementales enla matriz de rigidez y en el vector de fuerzas globales, respectivamente. Elensamble consiste en, una vez que se han calculado ke y f e, asignar cadauno de sus terminos a la fila y columna correspondiente de K y F . Para elloes necesario tener informacion sobre la conectividad de la malla, almacena-da generalmente en una matriz que denominaremos ld. La informacion queproporciona la matriz ld es el numero global de ecuacion que le correspondea cada uno de los grados de libertad locales de cada elemento.

La dimension de ld es (nen · nndf)× nelm, siendo nen el numero de nodospor elemento y nndf el numero de grados de libertad por nodo. Por ejemplo,en la malla de la figura 1.10 se tiene dim(ld) = 2 × n, y en la malla de lafigura 1.4 es dim(ld) = 4× 3.

Los valores de las componentes de la matriz ld que corresponden a gradosde libertad impuestos se hacen negativos2 para indicar que no les correspondeninguna ecuacion en el sistema global. Considerando otra vez el ejemplo dela figura 1.4, la matriz ld es:

ld =

−1 1 −1−2 −3 −2

1 2 2−3 3 3

(1.130)

En este modelo hay tres ecuaciones que corresponden al desplazamientosegun x del nodo 2 (ecuacion 1 asignada en las componentes ld31 y ld12), al

2Hay otros programas, como dlearn (http://www.zace.com/dlearn.htm), en los quese asigna un cero

BORRADOR


desplazamiento segun x del nodo 3 (ecuacion 2 asignada en ld32 y ld33) y aldesplazamiento segun y del nodo 3 (ecuacion 3 asignada en ld42 y ld43). Deacuerdo con (1.130), la contribucion de cada elemento a la matriz global es:

Elemento 1 (columna 1 de ld)

K11 ← K11 + ke33 (1.131)


K11 ← K11 + ke11 (1.132)

K22 ← K22 + ke33 (1.133)

K33 ← K33 + ke44 (1.134)

K12 ← K12 + ke13 (1.135)

K13 ← K13 + ke14 (1.136)

K23 ← K23 + ke34 (1.137)


K22 ← K22 + ke33 (1.138)

K33 ← K33 + ke44 (1.139)

K23 ← K23 + ke34 (1.140)

El algoritmo asociado al proceso de ensambladura generalmente se denotamediante el operador A[·], resultando:

K =

nelm

Ae=1

ke (1.141)

F =

nelm

Ae=1

f e (1.142)

1.5.3. Calculo de la matriz de rigidez y del vector defuerzas elementales

En un codigo de elementos finitos, la matriz de rigidez y el vector defuerzas elementales se calculan dentro de la rutina del elemento.

El calculo de la matriz de rigidez elemental en 1D se realiza de acuerdocon el siguiente desarrollo:

keab =

∫Ωe

EAdNa(x)

dx

dNb(x)

dxdx

= EA

∫ 1

−1

(dNa(x(ξ))

dξ

dξ(x)

dx

)(dNb(x(ξ))

dξ

dξ(x)

dx

)dx(ξ)

dξdξ (1.143)

BORRADOR


Considerando las funciones de forma lineales definidas en (1.110), y laexpresion (1.109):

keab = EA

1

2leξaξb

∫ 1

−1

dξ = EA1

leξaξb (1.144)

siendo le la longitud del elemento e. Por tanto:

ke =EA

le

(1 −1−1 1

)(1.145)

Observacion. En general, en el calculo de la matriz de rigidez elemental lasderivadas de las funciones de forma respecto del parametro ξ no dependendel elemento, por lo que pueden evaluarse una vez al principio del calculo. Sıdepende del elemento el jacobiano dξ(x)/dx, que en este caso es igual 2/le,y en general es necesario llamar desde cada elemento a una subrutina quehaga este calculo.

El calculo del vector elemental de fuerzas nodales depende de la expresionexplıcita de b, que en general puede ser una funcion b = b(x). En teorıa esnecesario reprogramar el calculo de f e cada vez que cambia la expresion deb(x). No obstante, es habitual aproximar b(x) por su interpolacion mediantelas funciones de forma:

b(x) ≈ bh(x) =nen∑a=1

baNa(x), siendo: ba = b(xa) (1.146)

La aproximacion (1.146) suele ser suficiente en la mayor parte de loscasos practicos, y es exacta cuando b(x) es un polinomio de grado menor oigual que el grado completo de las funciones de interpolacion (en este casosi b(x) es constante o lineal). Considerando que b(x) es lineal y que en elfichero de entrada de datos se definen los valores nodales, la expresion de lascomponentes volumetricas del vector de fuerzas para el elemento barra dedos nodos (lineal) que se obtiene de (1.129) es:

f ea =

∫Ωe

Na(x)

(2∑

i=1

biNi(x)

)dx =

2∑i=1

bi

∫ 1

−1

Na(ξ)Ni(ξ)dx

dξdξ

=L

2

2∑i=1

bi

∫ 1

−1

Na(ξ)Ni(ξ)dξ (1.147)

Sustituyendo en (1.147) las expresiones de Ni(ξ) dadas por (1.110) yoperando resulta:

f e =L

6

2b1 + b2

b1 + 2b2

(1.148)

Observacion. De acuerdo con (1.129) a la expresiones (1.147) y (1.148) esnecesario sumarle en su caso los terminos de fuerza correspondientes a lascondiciones de contorno

BORRADOR


Finalmente, en problemas 2D y 3D antes de proceder al ensamblaje esnecesario expresar ke y f e en los ejes globales con un procedimiento similaral descrito en el apartado 1.3

1.6. Ejercicios

1. Se considera un elemento de barra articulada de dos nodos, en el espaciogeometrico de dimension ndim. Este elemento se implementa en un programade elementos finitos de modo que las coordenadas de los nodos se almace-nan en una matriz xl(i,j), indicando j el numero de nodo (j = 1, 2) y elındice i la direccion espacial (i = 1 . . . ndim). Analogamente, los desplaza-mientos nodales se almacenan en una matriz ul(i,j), teniendo los ındicesi y j el mismo significado que el definido anteriormente para la matriz decoordenadas nodales.

Demostrar que la deformacion infinitesimal ε = ∆l/l puede calcularsemediante la expresion:

eps = (

ndim∑i=1

(xl(i, 2)− xl(i, 1)) ∗ (ul(i, 2)− ul(i, 1)))/xlen0

siendo xlen0 la longitud del elemento elevada al cuadrado:

xlen0 =

ndim∑i=1

(xl(i, 2)− xl(i, 1)) ∗ ∗2

2. La barra de la figura tiene un extremo fijo, y tiene una carga distribuidap(x). Empleando como discretizaciones:

1. dos elemento iguales de dos nodos (funciones de forma lineales)

2. un elemento de tres nodos con el nodo interior en el centro del elemento(funciones de forma cuadraticas)

y considerando los dos casos de carga: p(x) = p0 y p(x) = p0

Lx, mediante

calculos manuales se pide:

1. Obtener la matriz de rigidez

2. Obtener el vector de fuerzas externas

3. Calcular el desplazamiento del punto medio de la barra y del extremo,comparando los resultados obtenidos con ambas discretizaciones con lasolucion exacta de elasticidad lineal.

x

L

EA

p(x)

BORRADOR

Ejercicios 29

3. Considerando ahora que en el ejemplo anterior la carga repartida escuadratica con expresion p(x) = p0

L2 x2, y que la discretizacion se hace con dos

elementos iguales de dos nodos y funciones de forma lineales, se pide:

1. Obtener el vector de fuerzas externas considerando los dos casos corres-pondientes a la expresion cuadratica de p(x) y a la interpolacion de losvalores nodales de p(x) mediante las funciones de forma.

2. Calcular los desplazamientos nodales comparando los resultados obte-nidos con los dos vectores de carga calculados en el apartado anteriory con la solucion exacta.

4. Calcular a mano los desplazamientos de los nodos 2 y 3 de la estructura1D de la figura. Dar los siguientes valores a las rigideces y a las fuerzaspara comprobar estos resultados con los obtenidos utilizando un programade elementos finitos: k1 = 100, k2 = 200, k3 = 300, k4 = 400, f2 = 20 yf3 = 30.

k1

2

3

4

1

k2

k3

k4

5

f2

f3

5. Se considera una barra de longitud L cuya seccion varıa linealmente entresus extremos (ver figura). La barra tiene una carga distribuida por unidadde longitud q0 y una carga puntual en el extremo q0L/2. Se pide:

1. Obtener la ecuacion diferencial de equilibrio y resolverla obteniendo lasolucion exacta.

2. Para un elemento de dos nodos obtener la matriz de rigidez elementaly el vector de cargas nodales para la carga distribuida uniforme, consi-derando variacion lineal de la seccion entre los nodos del elemento.

3. Con los resultados del apartado anterior resolver el problema de lafigura empleando una malla de tres elementos. Comparar la solucionobtenida con la solucion analıtica del primer apartado.

4. Repetir los calculos considerando ahora una malla de seis elementos, ycomparar igualmente los resultados obtenidos con la solucion analıtica.

5. Repetir los calculos de los apartados 3 y 4 utilizando un programa deelementos finitos y elementos “truss” de seccion constante. Compararlos resultados con los obtenidos en los apartados anteriores.

BORRADOR


x

L

EA

A/2

q0

q0L/2

6. Utilizando un programa de elementos finitos resolver la estructura delejemplo 1.2 comprobando que los desplazamientos, reacciones y esfuerzosobtenidos coinciden con los calculados analıticamente.

7. Se considera la estructura de la fi-gura formada por dos barras articula-das. Se consideraran los siguientes va-lores: luz L = 8, altura H = 3, moduloelastico E = 1000, seccion de las barrasA1 = 2 y A2 = 4, y fuerza aplicada devalor P = 12. Empleando funciones deforma lineales, se pide:

1 3

2

1

L

H2

P

1. Obtener las matrices elementales de rigidez y ensamblarlas para obtenerla matriz de rigidez global

2. Considerando las condiciones de contorno existentes resolver el sistemade ecuaciones y obtener los desplazamientos del nodo 2

3. A partir de los resultados anteriores calcular las reacciones en los apoyos

4. Calcular las tensiones en cada una de las barras

5. Resolver el problema con un programa de elementos finitos, compararlos resultados obtenidos con los calculados anteriormente a mano, yobtener la deformada de la estructura.

8. Se considera la estructura de la fi-gura formada por barras articuladas deacero, cuyo modulo elastico es E =2.1 ·105 MPa. La seccion transversal decada barra es 80 mm2 y el valor de to-das las cargas es 5000 N. La luz del arcosemicircular es de 6 m.

y

A Bx

En el apoyo B se produce un movimiento segun x de valor u = −2.5 mmDespreciando las cargas correspondientes al peso propio y utilizando un

programa de elementos finitos, se pide:

BORRADOR

Ejercicios 31

1. Dibujar la estructura deformada empleando un factor de magnificacionque permita una visualizacion adecuada de la misma.

2. Obtener el esfuerzo maximo producido por el movimiento del apoyo, ydeterminar en que barra se produce.

9. La ecuacion diferencial que rige el comportamiento de un hilo flexibleapoyado en una cimentacion elastica es:

d2u

dx2− λu + b = 0 en Ω = (0, L)

siendo u el desplazamiento vertical del hilo y λ la rigidez de la cimentacion.Considerando las condiciones de contorno:

u(L) = u

du

dx

∣∣∣∣x=0

= −h

se pide:

1. Formulacion debil del problema.

2. Expresion de la matriz de rigidez K para un elemento de dos nodos.Demostrar que K es simetrica y definida positiva. ¿Es necesario parala demostracion imponer que las variaciones δuh sean cero en x = L?¿Por que?

(Ejercicio 2, pagina 46, de la referencia [11])

10. Para modelizar la resistencia por fuste de un pilote se considera unelemento barra con soporte elastico de rigidez por unidad de longitud k =λEA/L2, siendo EA la rigidez de la barra y L su longitud. Se pide:

1. Escribir las formulaciones fuerte (ecuacion de equilibrio) y debil delproblema, considerando que hay una carga de valor P en un extremo.

2. Escribir la matriz de rigidez para un elemento de tres nodos con fun-ciones de forma cuadraticas.

3. Considerando una malla con un solo elemento obtener el desplazamien-to en el extremo del pilote para la carga P .

L

P

Resortes distribuidos de rigidez k

EA

BORRADOR


Cap´ıtulo 1 Estructuras de barras articuladas -...

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