Capítulo 1

Conjuntos

1.1 Conjuntos. Operaciones básicas

Comenzaremos dando una noción intuitiva de uno de los conceptos matemáticos

más importantes: el de conjunto. La Teoría de conjuntos, desde el punto de vista

axiomático, fue introducida por Georg Cantor. Cantor nació en San Petersburgo

en 1845, donde vivió sus primeros once años. Desde 1869 ejerció como profesor

en la universidad de Halle. Entre 1879 y 1884 Cantor publicó una serie de seis

artículos en el Mathematische Annalen en los que desarrollaba una introducción

básica a la teoría de conjuntos. Falleció en 1917.

Conjunto

Llamaremos conjunto a una colección de objetos, distintos entre

sí, que comparten una propiedad. Para que un conjunto esté bien

definido debe ser posible discernir si un objeto arbitrario está o

no en él.

Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos sus elemen-

tos entre llaves, por ejemplo

A = {1, 2, 3, 4, 5},

o de manera implícita, dando una o varias características que determinen si un

objeto dado está o no en el conjunto, por ejemplo

A = {x | x es un número natural par},

17

que se leerá: “A es el conjunto formado por los x tales que x es un número natural

par”. Esta última opción (la definición implícita) es obviamente imprescindible

cuando el conjunto en cuestión tiene una cantidad infinita de elementos.

Los conjuntos se notarán con letras mayúsculas: A, B,... y los elementos con

minúsculas, en general. Si el elemento a pertenece al conjunto A escribiremos

a ∈ A. En caso contrario escribiremos a /∈ A.

En ocasiones hay que considerar varios conjuntos en pie de igualdad. En

estos casos es frecuente denotar los distintos conjuntos con la misma letra y un

subíndice que los diferencia. Los subíndices pueden ser finitos y concretos, por

ejemplo,

X1, X2, X3, X4, X5;

finitos pero en cantidad desconocida,

X1, X2, ..., Xn, donde n ∈ N,

o arbitrarios; un ejemplo de esto sería considerar

{Ai}i∈I ,que se leería: la familia de conjuntos Ai donde i pertenece a I . Aquí I es

el conjunto de subíndices que puede o no ser finito (en los ejemplos anteriores

I = {1, 2, 3, 4, 5}, I = {1, 2, . . . , n} con n ∈ N y también I podría ser todo N).

Ejemplo 1.1.1. 1) Para cada i = 0, 1, . . . , 9, definimos los conjuntos Xi como

Xi = {Españoles cuyo año de nacimiento termina en i}.

2) Para cada n ∈ N, definimos el conjunto

An = {m ∈ Z |m es múltiplo de n}.De esta forma se tiene una familia infinita {An}n∈N de conjuntos. En particular,

si n = 5 se tiene

A5 = {. . . ,−10,−5, 0, 5, 10, . . .}.Un conjunto que carece de elementos se denomina el conjunto vacío y se

denota por ∅. Un conjunto con un único elemento se denomina unitario.

Notemos que, si X = {x} es un conjunto unitario, debemos distinguir entre

el conjunto X y el elemento x.

Subconjunto

Dados dos conjuntos A y B, si todo elemento de A es a su vez

elemento de B diremos que A es un subconjunto de B y lo no-

taremos A ⊂ B. En caso contrario se notará A 6⊂ B.

18

Definición 1.1.2. Dados dos conjuntos A y B, diremos que son iguales si tienen

los mismos elementos, es decir, si se verifica que A ⊂ B y B ⊂ A, y lo notaremos

por A = B.

Esta definición nos lleva al procedimiento más habitual de demostración en

teoría de conjuntos: la prueba por doble inclusión. Si queremos probar que dos

conjuntos A y B son iguales, lo que haremos es probar que A ⊂ B y que B ⊂ A.

A lo largo de esta sección veremos algunos ejemplos de esta técnica.

Cuando trabajamos con conjuntos concretos, siempre existe un contexto don-

de esos conjuntos existen. Por ejemplo, si A = {−1, 1, 2, 3, 4, 5} y B = {x | x ∈N es par}, el contexto donde podemos considerar A y B es el conjunto de los nú-

meros enteros, Z. En general, a este conjunto se le denomina conjunto universal

y se denota por U. De una forma algo más precisa, sin olvidar que estamos dando

nociones intuitivas, podemos dar la siguiente definición:

Conjunto universal

Conjunto universal o de referencia, que lo notaremos por U , es un

conjunto del que son subconjuntos todos los posibles conjuntos

que origina el problema que tratamos.

A lo largo de estas notas supondremos, salvo que se especifique lo contrario,

que todos los conjuntos que usamos están contenidos en U. De esta forma, dado

un conjunto A, podemos representarlo con un diagrama de Venn.

A

U

Figura 1.1: Diagrama de Venn

Proposición 1.1.3. Sean A, B y C tres conjuntos cualesquiera. Se tienen las

siguientes propiedades:

(a) A ⊂ A, ∅ ⊂ A.

(b) Si A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

19

PRUEBA: La primera propiedad se sigue directamente de la definición.

La demostración de (b) se sigue de la definición de subconjunto: todo elemen-

to de A está en B, por ser A ⊂ B y, dado que es elemento de B, está en C por ser

B ⊂ C. Así todo elemento de A está en C y hemos finalizado. �

Los subconjuntos de A distintos de ∅ y A se denominan subconjuntos propios

de A.

Complementario

Dado un conjunto A se define el complementario de A, notado

por A o Ac, como

A = {x | x ∈ U, x /∈ A}.

A

U

Figura 1.2: Complementario

Dado A ⊂ U , se dan las siguientes igualdades:

∅ = U, U = ∅, A = A.

Nos detendremos solamente en la tercera de las anteriores propiedades. En

efecto, por definición

A = {x | x ∈ U, x /∈ A},

pero para un x ∈ U , x /∈ A si y sólo si x ∈ A, por tanto los elementos de A son

precisamente los de A.

Cardinal de un conjunto

Cuando A es un conjunto finito, el número de elementos de A se

denomina cardinal de A y se notará ♯(A).

20

Unión de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B se define la unión de A y B, notado

A ∪ B, como el conjunto formado por aquellos elementos que

pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos, A ó B, es decir

A ∪B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

U

A B

Figura 1.3: Unión

Ejemplo 1.1.4. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces

A ∪ B = {a, b, c, 2, 5, 7}.

2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces

A ∪B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 7}.

3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par},

entonces

A ∪B = {Alumnos nacidos en día par o en los días impares de enero}.

Se definen de forma equivalente la unión de una cantidad finita de conjuntos

A1, ..., An, que denotaremos

A1 ∪ ... ∪An =

n⋃

i=1

Ai,

y la unión de una familia arbitrariamente grande de conjuntos {Ai}i∈I , que deno-

taremos⋃

i∈I

Ai.

21

Propiedades de la unión

La unión de conjuntos verifica las siguientes propiedades, para

cualesquiera conjuntos A, B y C:

(a) Conmutativa: A ∪ B = B ∪ A.

(b) Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

(c) A ⊂ A ∪B,B ⊂ A ∪ B.

(d) ∅ ∪A = A.

(e) A ⊂ B si y sólo si A ∪ B = B.

PRUEBA: (a) Los elementos de A ∪ B son los que pertenecen a A o a Bque, evidentemente, son los mismos elementos que pertenecen a B o a A, es decir

A ∪ B = B ∪ A. La prueba de (b) se hace igual.

(c) Sea a ∈ A. Es claro que a ∈ A ∪ B pues el elemento a verifica que está en Ao en B. Análogamente B ⊂ A ∪ B.(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos que A ⊂∅ ∪ A. Recíprocamente,sea a ∈ ∅ ∪ A. Esto quiere decir que el elemento a tiene

que estar, al menos, en uno de los conjuntos ∅ o A. Sabemos que a /∈ ∅, luego

a ∈ A.(e) Supongamos que A ⊂ B. Para probar que A ∪ B = B basta probar que

A ∪ B ⊂ B, pues la otra inclusión la tenemos por (c). Sea x ∈ A ∪ B, entonces

x ∈ A o x ∈ B. Pero si x ∈ A, como A ⊂ B se tiene que x ∈ B.Recíprocamente, supongamos que A ∪ B = B. Entonces, por (c) tenemos

A ⊂ A ∪ B = B.�

Intersección de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B se define la intersección de A y B,

notado A∩B, como el conjunto formado por aquellos elementos

que pertenecen al mismo tiempo a ambos conjuntos, A y B, es

decir

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

22

U

A B

Figura 1.4: Intersección

Ejemplo 1.1.5. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces

A ∩ B = {a, c}.2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces

A ∩B = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 3}.3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par},

entonces

A ∩B = {Alumnos nacidos en los días pares de enero}.Se definen de forma equivalente la intersección de una cantidad finita de con-

juntos A1, ..., An, y la intersección de una familia arbitrariamente grande de con-

juntos {Ai}i∈I , que denotaremos, respectivamente,

A1 ∩ ... ∩An =

n⋂

i=1

Ai, y⋂

i∈I

Ai.

Si A y B son dos conjuntos tales que A ∩ B = ∅ se dice que A y B son

disjuntos.

Propiedades de la intersección

La intersección de conjuntos verifica las siguientes propiedades,

para cualesquiera conjuntos A, B y C:

(a) Conmutativa: A ∩ B = B ∩ A.

(b) Asociativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

(c) A ∩B ⊂ A, A ∩ B ⊂ B.

(d) ∅ ∩ A = ∅.

(e) A ⊂ B si y sólo si A ∩ B = A.

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PRUEBA: (a) Los elementos de A ∩ B son los que pertenecen a A y a Bque, evidentemente, son los mismos elementos que pertenecen a B y a A, es decir

A ∩ B = B ∩ A. La prueba de (b) se hace igual.

(c) Sea a ∈ A ∩ B. Entonces a ∈ A pues el elemento a verifica que está en A y

en B. Análogamente B ∩A ⊂ B.(d) Probaremos esta propiedad por doble inclusión. Por (c) tenemos que A∩∅ ⊂ ∅.

La inclusión contraria se tiene pues sabemos que el ∅ es subconjunto de todos los

conjuntos, en particular es ∅ ⊂ ∅ ∩ A.(e) Supongamos que A ⊂ B. Para probar que A ∩ B = A basta probar que

A ⊂ A∩B, pues la otra inclusión la tenemos por (c). Sea x ∈ A, entonces x ∈ Bpues A ⊂ B. Es decir x ∈ A ∩ B.

Recíprocamente, supongamos que A ∩ B = A. Entonces, por (c) tenemos

A = A ∩ B ⊂ B.�

Diferencia de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia de A y B,

notada A \B, como el conjunto formado por los elementos de Aque no están en B, es decir

A \B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Se tiene que A \ B = A ∩ B. En efecto, sea x ∈ A \ B. Entonces x ∈ A y

x /∈ B, luego x ∈ A y x ∈ B, es decir x ∈ A ∩ B. Para demostrar la inclusión

contraria basta leer la demostración anterior de derecha a izquierda.

U

A B

Figura 1.5: Diferencia

Ejemplo 1.1.6. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces

A \B = {b}.

24

2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces

A \B = {x ∈ Q | 3 ≤ x ≤ 7}.

3) Sean A = {Alumnos nacidos en enero} y B = {Alumnos nacidos en día par},

entonces

A \B = {Alumnos nacidos en los días impares de enero}.

Notemos que, en general, A \ B 6= B \ A. En el apartado 1) del ejemplo

anterior es A \B = {a} y B \ A = {2, 5, 7}.

Diferencia simétrica de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B se define la diferencia simétrica de

A y B, notada A△B, como el conjunto formado por los elemen-

tos que pertenecen a uno sólo de los conjuntos A,B, es decir

A△B = {x | x ∈ A \B ∨ x ∈ B \ A}.

Se tiene que A△B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = (A \B) ∪ (B \ A).

U

A B

Figura 1.6: Diferencia simétrica

Ejemplo 1.1.7. 1) Sean A = {a, b, c} y B = {2, 5, 7, c, a}, entonces

A△B = {b, 2, 5, 7}.

2) Si A = {x ∈ Q | − 2 ≤ x ≤ 7} y B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x ≤ 3}, entonces

A△B = {x ∈ Q | − 4 ≤ x < 2 y 3 < x ≤ 7}.

3) Sean A = {los alumnos nacidos en enero} yB = {los alumnos nacidos en día par},

entonces

A△B = {los alumnos nacidos en los días impares de enero y en los pares del resto de meses}.

25

Veremos ahora algunas propiedades más de los conjuntos y demostraremos

algunos resultados fundamentales utilizando la técnica de la doble inclusión.

Proposición 1.1.8. Sean A y B dos conjuntos. Se satisfacen las siguientes pro-

piedades:

1. A ∩ (B \ A) = ∅.

2. A ∪ (B \ A) = A ∪ B (si A ⊂ B entonces A ∪ (B \ A) = B).

PRUEBA: La demostración de ambas afirmaciones es sencilla y se deja como

ejercicio. �

Leyes distributivas - Leyes de De Morgan

Dados tres conjuntos A, B y C se verifican las siguientes igual-

dades:

(a) Leyes distributivas:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

(b) Leyes de De Morgan (supongamos A,B ⊂ C):

C \ (A ∪B) = (C \ A) ∩ (C \B),

C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \B)

PRUEBA: Probaremos una de las leyes distributivas y una de las leyes de De

Morgan; las restantes quedan como ejercicio por ser simétricas a las probadas.

Ambos resultados se probarán por doble inclusión.

Veamos que A∩(B∪C) ⊂ (A∩B)∪(A∩C). Para ello tomemos un elemento

arbitrario x ∈ A∩ (B ∪C). Esto quiere decir que x está en A y además en B ó en

C. Esto implica que, bien está en A ∩ B, bien está en A ∩ C. En cualquier caso

x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).Demostremos ahora que (A∩B)∪(A∩C) ⊂ A∩(B∪C). Si consideramos un

elemento cualquiera y ∈ (A∩B)∪ (A∩C), y ha de pertencer a A∩B o a A∩C.

Por tanto, bien está en A y en B o en A y en C. En cualquier circunstancia ha de

26

estar en A y al menos en uno de los otros dos conjuntos B ó C. De aquíy ∈ A y

además y ∈ B ∪ C.

Pasemos a probar la segunda ley de De Morgan. Veamos primero C \ (A ∩B) ⊂ (C \ A) ∪ (C \ B). Un elemento x de C \ (A ∩ B) ha de estar en C, pero

no en A ∩ B, por lo que no puede estar en al menos uno de los dos conjuntos

A ó B. Así, x ha de pertenecer, bien a C \ A, bien a C \ B. En cualquier caso

x ∈ (C \ A) ∪ (C \B).

Si tomamos ahora un elemento z ∈ (C \ A) ∪ (C \ B), observemos que z ha

de estar, bien en C \A, bien en C \B, por lo que debe estar en C y no estar en Ao en B. Así, z ∈ C, pero nunca puede estar en A∩B, por lo que z ∈ C \ (A∩B).

�

Notemos que si en el apartado (b) del teorema anterior tomamos C = U, el

conjunto universal, la leyes de De Morgan nos dicen que:

A ∪B = A ∩ B, A ∩ B = A ∪B.

A B

C

A B

C

Figura 1.7: Ley distributiva

A B

C

A B

C

Figura 1.8: Ley de De Morgan

27

Partes de un conjunto

Dado un conjunto X , se define el conjunto de las partes de X ,

notado P(X), como el conjunto cuyos elementos son todos los

subconjuntos de X .

Ejemplo 1.1.9. Si tenemos el conjunto X = {0, 1, 2, 3}, entonces

P(X) = { ∅, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},{0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {0, 2, 3}, {1, 2, 3}, X }

Teorema 1.1.10. El conjunto P(X) es finito si y sólo si lo es X . De hecho, en

este caso,

♯ (P(X)) = 2♯(X).

PRUEBA: En cuanto a la primera afirmación, siX es infinito, lo es obviamente

P(X). La otra implicación viene dada por la fórmula sobre los cardinales que

probaremos por inducción.

El caso ♯(X) = 0 es elemental, porque entonces X = ∅ y, por tanto P(X) ={∅}. Notemos que P(X) no es el conjunto vacío, es un conjunto unitario, cuyo

único elemento es el conjunto vacío.

Supuesto cierto el resultado para todos los conjuntos que tienen, pongamos,

n elementos, tomemos X un conjunto de n + 1 elementos, x ∈ X cualquiera, y

escribamos

X = X ′ ∪ {x},

donde X ′ = X \ {x} tiene n elementos. Entonces es claro que los subconjuntos

de X son, bien subconjuntos de X ′, bien subconjuntos de X ′ a los que se ha

añadido x, y que hay tantos subconjuntos de un tipo como del otro. Dado que, por

hipótesis de inducción,

♯ (P (X ′)) = 2n

se tiene, por tanto,

♯ (P(X)) = 2 · ♯(P(X ′)) = 2 · 2n = 2n+1.

�

28

1.2 Producto cartesiano. Relaciones de equivalen-

cia.

Producto cartesiano

Dados dos conjuntos A y B, se define el producto cartesiano de

A y B como el conjunto de pares ordenados formados (por este

orden) por un elemento de A y uno de B y se denota

A× B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.

Dado (a, b) ∈ A × B, el elemento a ∈ A (respectivamente b ∈ B) se suele

denominar primera (segunda) componente del par.

Ejemplo 1.2.1. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1, 2, 3}. Entonces:

A×B = {(a, b), (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, b), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}

También se puede definir el producto cartesiano de una cantidad finita de con-

juntos (para cantidades infinitas hay dos posibles generalizaciones y no las vere-

mos por ahora ) de la forma natural

A1 × ...× An =n∏

i=1

Ai = {(a1, ..., an) | ai ∈ Ai, para i = 1, ..., n} .

Correspondencia

Una correspondencia G de A en B es un subconjunto del pro-

ducto A× B. Equivalentemente se puede definir como una regla

que asocia algunos elementos de A con algunos elementos de B.

Concretamente, G asocia a ∈ A con b ∈ B si (a, b) ∈ G.

Ejemplo 1.2.2. Sean A = {a, b, c} y B = {b, 1, 2, 3} los conjuntos del ejemplo

anterior. Entonces G = {(a, 1), (a, 3), (b, b), (b, 1), (b, 3)} es una correspondencia

de A en B.

Las correspondencias se pueden representar como sigue:

Es claro que la representación del ejemplo anterior es posible por trabajar

con conjuntos finitos (y con pocos elementos). Si los conjuntos son infinitos,

29

ba

c

b1

2

3

A B

Figura 1.9: Correspondencia

las correspondencias (no finitas) se tienen que dar definiendo propiedades de los

pares que la componen. Por ejemplo, si A = Z, B = N una correspondencia es

G = {(x, y) | x es par, y es impar}.

Relación

Sea A un conjunto. Una relación R definida en A es una corres-

pondencia de A en sí mismo.

Ejemplo 1.2.3. Sea A = {a, b, c}. Entonces R = {(a, a), (a, c), (b, c)} es una

relación en A.

Si el par (x, y) ∈ A×A está en R, diremos que x está R–relacionado con y, o

relacionado con y por R. Esto se notará frecuentemente xRy (nótese que el orden

es importante).

Posibles propiedades de una relación

Sea R una relación en A. Entonces diremos que R es:

(a) Reflexiva cuando para todo x ∈ A se tiene que xRx.

(b) Simétrica cuando xRy siempre implica yRx.

(c) Antisimétrica cuando, si tenemos xRy e yRx, entonces

x = y necesariamente.

(d) Transitiva si tenemos xRy e yRz siempre es xRz.

30

Relaciones de orden y de equivalencia

Las relaciones reflexivas, simétricas y transitivas se denominan

relaciones de equivalencia. Las relaciones reflexivas, antisimé-

tricas y transitivas se denominan relaciones de orden.

Ejemplo 1.2.4. 1) En el conjunto Z definimos las relaciones siguientes:

xRy ⇐⇒ x ≤ y, xSy ⇐⇒ x− y es par, xTy ⇐⇒ x divide a y

a) R es una relación de orden (de hecho, las relaciones de orden se denominan así

por ser éste el ejemplo fundamental). En efecto:

• Reflexiva: ∀n ∈ Z se tiene que n ≤ n, luego nRn.

• Antisimétrica: Si nRm y mRn se tiene que n ≤ m y m ≤ n, luego n = m.

• Transitiva: Si nRm y mRs es n ≤ m ≤ s, luego nRs.

b) S es una relación de equivalencia.

• Reflexiva: ∀n ∈ Z se tiene que n− n = 0 es par, luego nSn.

• Simétrica: si nSm es n−m par, luego m− n es par y, por tanto, mSn.

• Transitiva: si nSm y mSp se tiene que n−m y m− p son pares. Sumando

se tiene que n− p es par, luego nSp.

c) T no es ni de orden ni de equivalencia, pues T no verifica la propiedad antisi-

métrica ni la simétrica.

Notemos que S es de equivalencia si sustituimos la condición “x − y es par”

por la condición “x − y es múltiplo de p”, para cualquier número p que fijemos

con antelación.

2) Sea A un conjunto fijo. En P(U) definimos la relación R :

∀B,C ∈ P(U), BRC si A ∩ B = A ∩ C.

Veamos que es una relación de equivalencia.

• Reflexiva: ∀B ∈ P(U), A ∩ B = A ∩ B, es decir BRB.

• Simétrica: si BRC, es A ∩ B = A ∩ C, luego A ∩ C = A ∩ B y CRB.

31

• Transitiva: si BRC y CRD se tiene que A ∩ B = A ∩ C = A ∩D, luego

BRD.

3) En el conjunto Z la relación definida por el menor estricto, xRy ⇐⇒ x < y,verifica la propiedad antisimétrica ya que no existe ningún par de enteros n,mtales que nRm y mRn. La relación es también transitiva, pero no es reflexiva ni

simétrica.

Clase de equivalencia

Si R es una relación de equivalencia en A, denominamos clase

de equivalencia de un elemento x ∈ A al conjunto de todos los

elementos de A relacionados con x, esto es,

x = R(x) = {y ∈ A | xRy},

donde la primera notación se usa si R se sobreentiende, y la se-

gunda si no es así.

Ejemplo 1.2.5. Vamos a calcular las clases de equivalencia de las relaciones del

ejemplo anterior.

1) En Z consideramos la relación de equivalencia S, nSm si n − m es par. Sea

n un número par. Entonces m ∈ Z está relacionado con n si m− n = 2k es par,

luego m = n + 2k es par. Luego todos los elementos de la clase de equivalencia

de n son pares. Recíprocamente, si m es par se tiene que n−m es par. Por tanto,

la clase de equivalencia de n, S(n), es el conjunto de todos los números pares.

Si n es impar, es fácil ver que la clase de equivalencia S(n) es el conjunto de

todos los números impares.

Notar que si n1 y n2 son ambos números pares (impares) entonces S(n1) =S(n2). De aquíse sigue que en este ejemplo sólo tenemos dos clases de equiva-

lencia, por ejemplo S(0) = {enteros pares} y S(1) = {enteros impares}. Nótese

también que S(0) ∩ S(1) = ∅ y que Z = S(0) ∪ S(1). En el teorema siguiente se

probará que estas propiedades se verifican en cualquier relación de equivalencia.

2) Calcularemos las clases de equivalencia de la relación, en P(U), definida por:

∀B,C ∈ P(U), BRC si A ∩ B = A ∩ C, siendo A un conjunto fijo. Estudia-

remos, primero, un caso particular que nos servirá para entender mejor el caso

general. Supongamos que el conjunto A que fijamos tiene sólo dos elementos,

A = {x, y}. Veamos que, en este caso, sólo existen 4 clases de equivalencia:

R(∅),R(A),R({x}) y R({y}). En efecto: sea B un conjunto cualquiera. Las

posibilidades para A ∩ B son

32

• A ∩ B = ∅ = A ∩ ∅, de donde BR∅ y B ∈ R(∅).

• A ∩ B = A = A ∩A, de donde BRA y B ∈ R(A).

• A ∩ B = {x} = A ∩ {x}, de donde BR{x} y B ∈ R({x}).

• A ∩ B = {y} = A ∩ {y}, de donde BR{y} y B ∈ R({y}).

Observemos que en este ejemplo también se tiene que las cuatro clases ante-

riores no tienen ningún elemento en común y que la unión de todas ellas es P(U).Pasemos al caso general. Sea A un conjunto cualquiera. Veamos que exis-

ten tantas clases de equivalencia como subconjuntos de A, es decir tantas como

♯(P(A)).2-1) Si A1, A2 ⊂ A son distintos, entonces R(A1) 6= R(A2). En efecto: A1 y

A2 no están relacionados ya que A ∩ A1 = A1 6= A2 = A ∩ A2.2-2) Todo conjunto B pertenece a la clase de equivalencia de un subconjunto

de A. En efecto: basta tomarA∩B ⊂ A, entonces A∩ (A∩B) = (A∩A)∩B =A ∩ B, luego B ∈ R(A ∩ B).

Hemos visto en los ejemplos anteriores que las clases de equivalencia distin-

tas no tienen ningún elemento en común, y que la unión de todas la clases es el

conjunto total. Veamos que esta es una propiedad de cualquier relación de equi-

valencia.

Las clases de equivalencia como una partición

Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A. Enton-

ces se verifican las siguientes propiedades:

(a) Todo elemento pertenece a una clase de equivalencia.

(b) Dos clases de equivalencia son disjuntas o iguales.

Esto es, la relación R divide completamente al conjunto A en sub-

conjuntos disjuntos (las clases de equivalencia). Se dice entonces

que las clases de equivalencia son una partición de A.

PRUEBA: La afirmación (a) es trivial, ya que R es reflexiva. Para probar (b)

supongamos que tenemos dos clases de equivalencia R(x) y R(y) de tal forma

que existe z ∈ R(x)∩R(y). Tenemos que demostrar entonces que R(x) = R(y),y lo haremos por doble inclusión. De hecho, sólo probaremos que R(x) ⊂ R(y),porque la otra inclusión es absolutamente simétrica.

33

Tomamos entonces a ∈ R(x). Como z ∈ R(x), tenemos que aRx y xRz,

por lo que aRz. De la misma forma, como z ∈ R(y), se verifica que zRy. Así

tenemos aRy, luego a ∈ R(y). Observemos que hemos usado tanto la propiedad

simétrica como la transitiva para demostrar (b). �

Corolario 1.2.6. Sea A un conjunto, R una relación de equivalencia en A, x, y ∈A. Se tiene que las clases de equivalencia de x e y son iguales, R(x) = R(y), si

y sólo si xRy.

Conjunto cociente

Dada una relación de equivalencia R definida sobre un conjunto

A, el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia de

A por R se denomina conjunto cociente de A por R. La notación

usual es

A/R = {R(x) | x ∈ A}.

Ejemplo 1.2.7. Veamos los conjuntos cocientes de los ejemplos anteriores.

a) Sea la relación de equivalencia S, en Z, dada por nSm si n − m es par.

Entonces

Z/S = {S(0), S(1)}En general, si fijamos un entero p y consideramos

xSy ⇐⇒ x− y es múltiplo de p,

se tiene que, para todo x ∈ Z

S(x) = {y ∈ Z | x e y dan el mismo resto al dividirlos entre p},

por lo que

Z/S = {S(0), S(1), ..., S(p− 1)}.b) Consideremos la relación de equivalencia, en P(U), definida por:

∀B,C ∈ P(U), BRC si A ∩B = A ∩ C,

siendo A un conjunto fijo. En este caso

P(U)/R = {R(D) | D ∈ P(A)}.

34

1.3 Aplicaciones

Aplicación

Una aplicación f de A en B es una correspondencia donde todo

elemento de A tiene asociado un único elemento de B. Esto es, en

notación matemática, una correspondencia G es una aplicación si

y sólo si se verifica que

∀a ∈ A ∃!b ∈ B tal que (a, b) ∈ G.

Nota 1.3.1. Es habitual denotar una aplicación entre A y B de la forma f : A −→B. En estas condiciones, dado a ∈ A el único b ∈ B verificando (a, b) ∈ f se

denota f(a) y se denomina imagen de a (por f ).

De esta notación surge la terminología, comúnmente usada, de llamar a Aconjunto de partida (o dominio) y a B conjunto de llegada.

Ejemplo 1.3.2. 1) Sea f : R → R la correspondencia dada por

(a, b) ∈ f si b2 = a.

La correspondencia f no es aplicación, pues no todos los elementos de R poseen

una imagen (si a < 0, no existe b ∈ R con b2 = a.)2) Consideremos la correspondencia anterior donde la primera componente la su-

ponemos en R+ (los números reales positivos), es decir f ⊂ R+ × R. En este

caso, todos los elementos de R+ tienen una imagen, pero f no es aplicación, pues

la imagen no es única. Por ejemplo, (4, 2) ∈ f y (4,−2) ∈ f.3) Si consideramos f : R+ → R+, definida por

f(a) = b si b2 = a,

si es aplicación.

4) La correspondencia

f : Z− {1} → Q, f(n) =n

n− 1

es aplicación.

5) Sea A un conjunto fijo. Definimos

f, g : P(U) → P(U) f(B) = A ∩ B, g(B) = A ∪ B.

35

Ambas son aplicaciones.

6) Sea X un conjunto cualquiera. Siempre se tiene la aplicación

f : X → X, definida por f(x) = x, ∀x ∈ X,

que llamaremos aplicación identidad y notaremos por 1X .7) Sean X, Y conjuntos cualesquiera, y0 ∈ Y un elemento fijo. Siempre se tiene

la aplicación

g : X → Y definida por g(x) = y0, ∀x ∈ X,

que llamaremos aplicación constante.

Imagen y anti-imagen

Dada una aplicación f : X −→ Y y subconjuntos A ⊂ X y

B ⊂ Y , definimos:

(a) La imagen de A (o imagen directa de A), notada f(A),como

f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A con f(x) = y} ⊂ Y,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto imagen que

son imagen de un elemento de A. Si A = X se denota

f(X) = im(f) y se denomina imagen de f.

(b) La anti–imagen (o contraimagen, o imagen recíproca o

imagen inversa) de B, notada f−1(B), como

f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} ⊂ X,

esto es, el conjunto de elementos del conjunto original cuya

imagen está en B.

Nota 1.3.3. En general, si f : X → Y es una aplicación, f(X) 6= Y. Basta tomar

la última aplicación del ejemplo anterior. Sí se verifica siempre que f−1(Y ) = X.

Ejemplo 1.3.4. 1) Consideremos la aplicación

f : Z → Z definida por f(n) = 2n,

36

y A = {−1, 0, 4, 5}. Entonces f(A) = {−2, 0, 8, 10}, y la imagen de f es

im(f) = {enteros pares}.Sean B1 = {2, 3, 8,−4,−1}, B2 = {1, 3}. Se tiene que

f−1(B1) = {1, 4,−2}, f−1(B2) = ∅.

2) Sea la aplicación

f : R → R definida por f(x) = x2,

A = [0, 2]. Entonces f(A) = [0, 4], pues ∀x ∈ [0, 4], existe√x ∈ [0, 2] tal que

f(√x) = x. En este caso, la imagen de f es im(f) = [0,+∞), los números reales

no negativos.

Proposición 1.3.5. Sea f : X −→ Y una aplicación, A1, A2 ⊂ X y B1, B2 ⊂ Y .

Se verifica:

(a) f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2), f(A1 ∩A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2).

(b) f−1(B1∪B2) = f−1(B1)∪f−1(B2), f−1(B1∩B2) = f−1(B1)∩f−1(B2).

(c) f(f−1(B1)) ⊂ B1, A1 ⊂ f−1(f(A1)).

PRUEBA: Vamos a probar, por ejemplo, la segunda afirmación de (a) y la

primera de (b) y (c). Las demás son similares.

(a) Consideremos y ∈ f(A1 ∩ A2). Entonces existe x ∈ A1 ∩ A2 tal que

y = f(x). Por tanto, y ∈ f(A1) e y ∈ f(A2), por lo que se tiene el resultado.

Es importante entender que, para afirmar que la otra inclusión no es cierta,

basta con dar un contraejemplo; esto es, un caso particular donde no sea cierto el

enunciado. Para ello consideremos f : N −→ N definida por

f(x) =

{

x/2 + 1 si x es par

x+ 2 si x es impar

TomamosA1 = {1, 3, 5}, A2 = {2, 4, 6}. Claramente f(A1∩A2) = f(∅) = ∅,

pero f(A1) ∩ f(A2) = {3}.

(b) Sea x un elemento de f−1(B1 ∪B2). Entonces

x ∈ f−1(B1 ∪B2) ⇔ f(x) ∈ B1 ∪ B2 ⇔ f(x) ∈ B1 ó f(x) ∈ B2 ⇔

⇔ x ∈ f−1(B1) ó x ∈ f−1(B2) ⇔ x ∈ f−1(B1) ∪ f−1(B2).

(c) Probemos ahora que f(f−1(B1)) ⊂ B1. Si y ∈ f(f−1(B1)), es porque

existe x ∈ f−1(B1) tal que y = f(x). Pero, al ser x ∈ f−1(B1), por definición

tenemos que y = f(x) ∈ B1.

37

Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general podemos

tomar la misma aplicación que en el caso anterior y considerar B1 = {1, 3, 5}nuevamente. Entonces f−1(B1) = {1, 3, 4, 8} (por convenio, no incluimos el 0 en

N). Pero f(f−1(B1)) = {3, 5}, por lo que hemos acabado.

Veamos que A1 ⊂ f−1(f(A1)). Pongamos C = f(A1). Sea x ∈ A1, lue-

go f(x) ∈ C. Esto quiere decir, por la definición de contraimagen, que x ∈f−1(C) = f−1(f(A1)).

Para demostrar que la inclusión contraria no es cierta en general consideramos

la aplicación constante f : X → Y dada por f(x) = y0, para un elemento y0 ∈ Yfijado. Sea A cualquier subconjunto propio de X. Entonces

f−1(f(A)) = f−1({y0}) = X 6⊂ A.

�

Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Sea una aplicación f : X −→ Y .

(a) f se dice inyectiva si dos elementos distintos de X siempre

tienen imágenes distintas. Dicho de otro modo, f es inyec-

tiva si, de f(x) = f(x′), para x, x′ ∈ X , se deduce que

x = x′.

(b) f se dice sobreyectiva (o sobre) si todo elemento de Yes imagen de algún elemento de X . O sea, f es sobre si

f(X) = im(f) = Y .

(c) f se dice biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo 1.3.6. 1) Sea f : R → R la aplicación definida por f(x) = x2. Esta

aplicación no es inyectiva, pues f(x) = f(−x). Tampoco es sobreyectiva, pues

im(f) = [0,+∞) 6= R.2) Sea f : Z → Z la aplicación definida por f(n) = 2n. Esta aplicación es

inyectiva ya que, si f(n) = f(m), entonces 2n = 2m, y de aquí se tiene que

n = m. La aplicación no es sobreyectiva pues im(f) = {números pares} 6= Z.3) Sea A 6= ∅, U un conjunto fijo. Sea f : P(U) → P(A) la aplicación definida

por f(B) = A∩B. Esta aplicación no es inyectiva, pues si f(B) = f(C), tenemos

que A∩B = A∩C, y de aquí no se deduce que B = C. Basta tomar dos conjuntos

distintos B,C ⊂ A. Entonces se verifica que A ∩ B = ∅ = A ∩ C y B 6= C.

38

Veamos que esta aplicación es sobreyectiva. Sea D ∈ P(A) y pongamos

B = D. Entonces

f(B) = A ∩B = A ∩D = D.

Notar que también podemos tomar B = A ∪D, pues

f(B) = A ∩ B = A ∩ (A ∪D) = (A ∩A) ∪ (A ∩D) = ∅ ∪D = D.

Esto nos da otra forma de ver que la aplicación no es inyectiva.

4) La aplicación identidad es biyectiva.

5) Sea f : Z → Z la aplicación definida por f(n) = n + 3. Veamos que esta

aplicación es biyectiva.

Inyectiva: si f(n) = f(m) ⇒ n + 3 = m+ 3 ⇒ n = m.Sobreyectiva: si m ∈ Z, tomando n = m− 3 se tiene que f(n) = m.

Nota 1.3.7 (Aplicaciones entre conjuntos finitos). Sea f : X → Y una aplicación

entre dos conjuntos finitos. Supongamos que #X = n y que #Y = m. Se

verifica lo siguiente:

1. Si f es inyectiva, entonces n ≤ m.

2. Si f es sobreyectiva, entonces n ≥ m.

3. Si f es biyectiva, entonces n = m.

Además, si X e Y tienen el mismo cardinal entonces f es inyectiva si y sólo si es

sobreyectiva.

Nota 1.3.8. Mirándolo desde la imagen inversa de un elemento podemos decir

que:

(a) f es inyectiva si y sólo si para todo y ∈ Y , el conjunto f−1({y}) consta, a

lo más, de un elemento.

(b) f es sobre si y sólo si para todo y ∈ Y , el conjunto f−1({y}) consta, a lo

menos, de un elemento.

(c) f es biyectiva si y sólo si para todo y ∈ Y , el conjunto f−1({y}) consta,

exactamente, de un elemento.

Sólo en este último caso tiene sentido hablar de aplicación inversa.

Aplicación inversa

Sea f : X −→ Y una aplicación biyectiva. La aplicación inver-

sa de f , notada f−1 : Y −→ X , está definida por f−1(y) = xsiendo x el único elemento de X que verifica f(x) = y.

39

Ejemplo 1.3.9. 1) La aplicación inversa de la identidad es la identidad.

2) Sea la aplicación

f : Z → Z definida por f(n) = n+ 3.

Su inversa es la aplicación

f−1 : Z → Z definida por f−1(m) = m− 3.

3) Si la aplicación no es biyectiva no se puede definir la inversa. Consideremos

f : N → Z dada por f(n) = 2− n.

Si existiese la inversa f−1 : Z → N, se tendría que, por ejemplo, f−1(5) ∈ N. Pero

decir que f−1(5) = n ∈ N es decir que f(n) = 2− n = 5, luego n = −3 ∈ N.

Composición de aplicaciones

Dadas dos aplicaciones f : X −→ Y y g : Y −→ Z se define la

composición de f y g, notada g ◦ f , de X en Z como

(g ◦ f)(x) = g(f(x)), para todo x ∈ X.

Obviamente g ◦ f es una aplicación.

Ejemplo 1.3.10. 1) Sean las aplicaciones f : Z → Q, g : Q → R definidas por

f(n) =n

2, g(x) =

√x2 + 3.

La composición de f y g es

g ◦ f : Z → R dada por (g ◦ f)(n) =√

(n

2

)2

+ 3,

pues

(g ◦ f)(n) = g(f(n)) = g(n

2

)

=

√

(n

2

)2

+ 3.

2) Sea A un conjunto fijo y consideremos las aplicaciones

f, g : P(U) → P(U) definidas por f(B) = A ∩ B, g(B) = A ∪B.

En este caso podemos calcular la composición de f y g y la composición de g y

f .

40

Calculamos g ◦ f :

(g◦f)(B) = g(f(B)) = g(A∩B) = A∪(A∩B) = (A∪A)∩(A∪B) = U∩(A∪B) = A∪B,

luego la composición de f y g es la aplicación

g ◦ f : P(U) → P(U), (g ◦ f)(B) = A ∪B, ∀B ∈ P(U).

Por otro lado, f ◦ g :

(f◦g)(B) = f(g(B)) = f(A∪B) = A∩(A∪B) = (A∩A)∪(A∩B) = ∅∪(A∩B) = A∩B,

luego la composición de g y f es

f ◦ g : P(U) → P(U), (f ◦ g)(B) = A ∩B, ∀B ∈ P(U).

Nótese que f ◦ g 6= g ◦ f.Nota 1.3.11. Dadas aplicaciones entre conjuntos

X1f−→ X2

g−→ X3h−→ X4,

es elemental comprobar que (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f) (asociatividad de la compo-

sición de aplicaciones).

Proposición 1.3.12. Sea f : X → Y una aplicación. Se verifica que f es biyec-

tiva si y sólo si existe una aplicación g : Y → X verificando

g ◦ f = 1X y f ◦ g = 1Y .

En este caso se tiene que f−1 = g.

PRUEBA: Si f es biyectiva basta tomar g = f−1.Recíprocamente, supongamos la existencia de g. Veamos que f es biyectiva:

Inyectiva: si f(a) = f(b), aplicando g tenemos g(f(a)) = g(f(b)), luego

a = b por ser g ◦ f = 1X .Sobreyectiva: sea y ∈ Y y consideremos x = g(y) ∈ X. Aplicando f tenemos

que f(x) = f(g(y)) = 1Y (y) = y, luego f es sobreyectiva. �

Restricción de una aplicación

Dada una aplicación f : X −→ Y y un subconjunto A ⊂ X , se

define la restricción de f a A como la aplicación

f|A : A −→ Y

x 7−→ f|A(x) = f(x)

41

Esto es, f|A actúa exactamente como f , pero sólo sobre los elementos de A.

Esto pone de manifiesto (o debería) lo importante que es, a la hora de definir

una aplicación, determinar los conjuntos de original e imagen y no sólo cómo se

calcula la imagen de un elemento.

Ejemplo 1.3.13. Sea A un conjunto fijo y consideremos la aplicación f : P(U) →P(U) definidas por f(B) = A∩B. La restricción de f a P(A), f : P(A) → P(U)es

f|P(A)(B) = f(B) = A ∩ B = B, ya que B ⊂ A.

Ejemplo 1.3.14. Terminamos el capítulo viendo un ejemplo que pone de mani-

fiesto la importancia de, a la hora de definir una función, definir correctamente los

conjuntos original e imagen de la aplicación. Consideremos f : A → B dada por

f(x) = x2. Entonces:

• Si A = B = R, la función anterior no es ni inyectiva ni sobreyectiva.

• Si A = R y B = R+, f es sobreyectiva y no inyectiva.

• Si A = [0, 1] y B = R, f es inyectiva y no sobreyectiva.

• Si A = B = [0, 1], f es biyectiva.

Factorización canónica de una aplicación

Relación asociada a una aplicación

Dada una aplicación f : X → Y , definimos la relación asociada

a f de la siguiente forma: para a, b ∈ X

aRfb ⇔ f(a) = f(b).

Dejamos la demostración de la siguiente proposición como ejercicio.

Proposición 1.3.15. La relación Rf asociada a una aplicación es una relación

de equivalencia.

Nota 1.3.16. En realidad, la construcción del conjunto cociente por una relación

de equivalencia puede verse como un recíproco del proceso anterior: toda relación

de equivalencia R es la relación asociada a una cierta aplicación, concretamente

a la aplicación cociente π : X → X/R que a cada x ∈ X le asocia su clase de

equivalencia, π(x) = R(x).

42

La aplicación cociente π : X → X/R verifica una “propiedad universal”: Si

f : X → Y es una aplicación tal que f(a) = f(b) siempre que aRb, entonces

existe una única aplicación F : X/R → Y tal que f = F ◦ π.

Factorización canónica de una aplicación

Toda aplicación f : X → Y puede descomponerse de manera

canónica como composición f = i◦ f̄ ◦π, donde i es inyectiva, fes biyectiva y π es sobreyectiva. De hecho estas aplicaciones son

las siguientes:

Xf

//

π

��

Y

X/Rf

f̄// im(f)

i

OO

donde π es la aplicación de paso al cociente, i es la inclusión

de im(f) en Y y f̄ : X/Rf → im(f) es la aplicación dada por

f̄(Rf(x)) = f(x).

43

44