Capítulo-03-Lind-Marchal-Mason

7/28/2019 Captulo-03-Lind-Marchal-Mason

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Captulo 3Descripcin de datos, medidas detendencia central

Objetivos: Al terminar este captulo podr:

1. Calcular la media aritmtica, la media ponderada, la mediana, la moda yla media geomtrica.

2. Explicar las caractersticas, uso, ventajas y desventajas de cada medidade tendencia central.

3. Identificar la posicin de la media aritmtica, la mediana y la moda, tantoen distribuciones simtricas como asimtricas.


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Caractersticas de la media

La media aritmtica es, con mucho, la medida delocalizacin ms usada.

Es calculada sumando los valores y dividiendo entre el

nmero de valores. Las principales caractersticas de la media son:

- Requiere de una escala de intervalo.

- Todos los valores son utilizados.

- Es nica.- La suma de las desviaciones con respecto a la media

es cero.


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Media poblacional

Para datos no agrupados, la media poblacionales la suma de todos los valores de la poblacin

divididos entre el nmero total de valores de lapoblacin: donde es la media poblacional, Nes el total de observaciones de la poblacin y Xun valor particular.

N

X


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Ejemplo 1

Un parmetro es una medida caracterstica de lapoblacin.

Ejemplo 1: La familia Castro es propietaria decuatro autos. Los siguientes datos correspondenal kilometraje de cada uno de ellos:56,000 23,000 42,000 73,000Encuentre la media aritmtica del kilometraje de

los autos:= (56,000 + + 73,000)/4 = 48,500


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Media muestral

Para datos no agrupados, la media muestrales la suma de todos los valores de la muestra

dividida por el nmero de valores de lamuestra. Donde n es el nmero total devalores en la muestra.

n

X

X


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Ejemplo 2

Un estadstico es una medida caracterstica deuna muestra.

Ejemplo 2: Una muestra de cinco ejecutivosrecibi los siguientes bonos el ltimo ao($000):

14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0

4.155

77

5

0.15...0.14

n

XX


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Propiedades de la media aritmtica

Todos los datos de nivel de intervalo y de nivel de razntienen una media.

Para evaluar la media se consideran todos los valores.

Un conjunto de datos slo tiene una media la cual es unvalor nico.

La media es afectada por valores inusualmente grandeso pequeos.

La media aritmtica es la nica medida de tendenciacentral donde la suma de las desviaciones de cadavalor, respecto de la media, siempre es igual a cero.


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Ejemplo 3

Considere el siguiente conjunto de valores:3, 8, y 4. La media es 5. Ilustrando la quinta

propiedad:

0)54()58()53()( XX


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Media ponderada

La media ponderada de un conjunto denmeros X1, X2, ,Xn con pesos

correspondientes w1, w2, ,wn es calculadacon la siguiente frmula:

)21

)2211

...(

...(

n

nnw

www

XwXwXwX


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Ejemplo 6

Durante el periodo de una hora, en una tardecalurosa de sbado, Cristina sirvi 50

refrescos. Ella vendi 5 bebidas de $0.50, 15de $0.75, 15 de $0.90, y 15 de $1.15. Calculela media ponderada para el precio de estasbebidas.

89.0$50

50.44$

1515155

)15.1($15)90.0($15)75.0($15)50.0($5

wX


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La mediana

La mediana es el valor que corresponde alpunto medio de los valores despus deordenarlos de menor a mayor.

Cincuenta por ciento de las observaciones sonmayores que la mediana, y 50% son menoresque ella.

Para un conjunto par de valores, la medianaser el promedio aritmtico de los dos valorescentrales.


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Ejemplo 4

Las edades de una muestra de 5 estudiantes del colegioson:

21, 25, 19, 20, 22

Ordenando los datos en forma ascendente, tenemos:19, 20, 21, 22, 25. Entonces la mediana es 21.

Las estaturas de 4 jugadores de basquetbol, enpulgadas, son:

76, 73, 80, 75Entonces la mediana es 75.5


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La moda

La moda es el valor de la observacin queaparece con ms frecuencia.

Ejemplo 5: Las calificaciones de 10estudiantes son: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81,75, 81, 87

Dado que 81 es el dato que aparece conms frecuencia, ste es la moda.


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La media geomtrica

La media geomtrica (GM) de un conjunto de nnmeros se define como la raz ensima del productode n nmeros.

La media geomtrica es til para encontrar elpromedio de porcentajes, razones, ndices o tasas decrecimiento.

La frmula es:

nnXXXXGM ))...()()(( 321


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Ejemplo 7

La tasa de inters de tres bonos son: 5, 21 y 4 porciento.

La media aritmtica es (5+21+4)/3 =10.0

La GMda una utilidad ms conservadora porque noest demasiado influenciada por la tasa del 21 porciento.

La media geomtrica es:

49.7)4)(21)(5(3 GM


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Media geomtrica(Continuacin)

Otro uso de la media geomtrica es determinar elaumento porcentual en ventas, produccin o serieseconmicas de un periodo de tiempo a otro.

(Valor al principio del periodo)

Valor al final del periodo)( nGM


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Ejemplo 8

El nmero total de mujeres contratadas enColegios Americanos se increment de

755,000 en 1992 a 835,000 en 2000. Esto es,la media geomtrica o tasa de incremento es1.27%.

0127.1000,755000,8358 GM


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La media para datos agrupados

La media de una muestra de datosorganizados en una distribucin de

frecuencias es calculada por la siguientefrmula:

n

Xf

X


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Ejemplo 9

Una muestra de 10 cines en una granrea metropolitana cont el nmero total

de pelculas en exhibicin la ltimasemana. Calcule el nmero medio depelculas en exhibicin.

6.610

66 n

XX


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Ejemplo 9(Continuacin)

Pelculas en

cartelera

Frecuencia

f

Punto medio

de clase (X)

(f)(X)

1 hasta 3 1 2 23 hasta 5 2 4 8

5 hasta 7 3 6 18

7 hasta 9 1 8 89 hasta 11 3 10 30

Total 10 66


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La mediana para datos agrupados

La mediana de una muestra de datos agrupados en unadistribucin de frecuencias se calcula con:

donde L es el lmite inferior de la clase que contiene a lamediana, n es el nmero total de frecuencias, CFes la

frecuencia acumulada precedente a la clase mediana, fes la frecuencia de la clase que contiene a la mediana, eies la amplitud de la clase en que se encuentra lamediana.

)(2 if

CFn

Lediana


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Encontrar la clase que contiene a lamediana

Para determinar la clase que contiene a lamediana para datos agrupados:

Construya una distribucin de frecuencias

acumuladas. Divida el nmero total de datos entre 2. Determine cul clase contiene este valor.

Por ejemplo, si n = 50, 50/2 =25, entonces

determine cul clase contiene el valor en laposicin 25.


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Ejemplo 10

Pelculas encartelera

Frecuencia Frecuenciaacumulada

1 hasta 3 1 13 hasta 5 2 3

5 hasta 7 3 6

7 hasta 9 1 7

9 hasta 11 3 10


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Ejemplo 10(Continuacin)

De la tabla, tenemos: L = 5, n = 10, f= 3,i= 2, CF= 3

33.6)2(

3

32

10

5)(2

i

f

CFn

Lediana


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La moda en datos agrupados

Para datos agrupados en una distribucin defrecuencias, es posible aproximar la moda

usando el punto medio de la clase que contieneel mayor nmero de frecuencias de clase.

Las modas en el ejemplo 10 son 8 y 10. Cuandodos valores ocurren un gran nmero de veces,

la distribucin es llamada bimodal, como en elejemplo 10.


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Distribucin simtrica

Cero asimetra moda = mediana = media


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Distribucin con sesgo positivo

Asimetra positiva: media y mediana estn a la derechade la moda.

Moda


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Distribucin con sesgo negativo

Asimetra negativa: media y mediana estn a laizquierda de la moda.

Media

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