10-1

Capítol 10

Corrent altern sinusoïdal

10.1 Generació de corrent altern sinusoïdal

10.2 Característiques d’un c.a.s.

10.3 Resposta dels dipols bàsics

10.4 Impedància d’un dipol RLC en sèrie

10.5 Potència d’un dipol RLC en sèrie

10.6 Ressonància i filtres

10.7 Qüestions i problemes

Objectius • Conéixer les característiques del corrent altern, i el seu efecte

sobre resistències, condensadors i bobines.

• Interpretar el desfasament entre diferència de potencial i in-tensitat de corrent en circuits de corrent altern.

• Calcular relacions entre diferències de potencial i intensitats de corrent en dipols RLC en sèrie.

• Definir la impedància d’un circuit.

• Analitzar un circuit RLC sèrie des del punt de vista energètic.

• Conéixer el significat del factor de potència.

• Estudiar la ressonància d’un circuit RLC i les seues aplicaci-ons a filtres.

• Conéixer la notació complexa en corrent altern.

Introducció

Es parla de corrent altern en un circuit quan la intensitat i la diferència de potencial varien sinusoïdalment amb el temps i(t) = Im cos (ωt + ϕi). La utilització del corrent altern en aplicacions relacionades amb l’energia elèctrica és conse-qüència dels seus diferents avantatges tecnològics. • És de fàcil generació, tal com veurem en el primer punt del tema.

10-2

• És de fàcil transport, les línies d’alta tensió transporten grans quantitats d’energia amb poques pèrdues comparades a les que es tindrien en corrent continu.

• Utilitzant transformadors és fàcil passar de potenci-als alts, mitjançant els quals es realitza el transport d’energia, a potencials baixos per a les aplicacions domèstiques o industrials, i viceversa. Els transfor-madors, com s’ha pogut veure en el capítol 13, són sistemes passius formats per bobines de diferent nombre d’espires, en els quals, per efectes d’inducció, s’aconsegueixen relacions de transfor-mació iguals a les relacions entre el nombre d’espires de les seues bobines. (En la figura, un transformador de la central de Cortes de Pallars.)

• El corrent altern es pot convertir fàcilment en corrent continu, per a aplicacions d’electrònica i informàtica, mitjançant la utilització de circuits rectificadors com els estudiats en el capítol 10.

A més, el corrent altern presenta els avantatges mate-màtics de les funcions trigonomètriques: • La suma i la resta de funcions sinusoïdals de la mateixa pulsació donen una

funció sinusoïdal també amb la mateixa pulsació. • La derivació i la integració donen com a resultat una funció sinusoïdal. • I finalment, la transformació de funcions periòdiques en sèries de Fourier

permet aplicar els resultats del corrent altern sinusoïdal a qualsevol corrent que seguisca funcions periòdiques aplicant superposició. Aquesta possibili-tat és molt important, ja que dóna peu a utilitzar les conclusions de l’estudi de circuits de corrent altern sinusoïdal que plantejarem en aquest tema a circuits electrònics analògics i digitals.

10.1 Generació d’un corrent altern sinusoïdal

El fonament de la generació del corrent altern ja s’ha tractat en l’apartat 13.7. El gir d’un conjunt d’espires en un camp magnètic produeix una força e-lectromotriu induïda segons la llei de Faraday. En aquell apartat s’ha demostrat que la força electromotriu varia amb el temps en la forma

ε = NSBωcos(ωt + ϕ0)

És a dir, la força electromotriu és una funció sinusoïdal del temps amb

un valor màxim que depén del nombre d’espires, de la superfície d’aquestes, del camp magnètic i de la pulsació.

El principi és el mateix en tots els generadors de corrent altern: des d’una central elèctrica (nuclear, tèrmica, hidràulica, eòlica...) fins a la dinamo d’una bicicleta.

Figura 10.1. Transformador de la central de Cortes de

Pallars.

10-3

10.2 Característiques d’un c.a.s.

En una funció sinusoïdal, per

exemple u(t) = Um cos(ωt + ϕu) que representa una diferència de potencial, podem distingir els paràmetres se-güents:

• L’amplitud , Um, és el valor màxim al qual arriba la funció sinusoïdal. Tindrà les unitats de la magnitud que represente, en el nostre cas volts (vegeu la Figura 10.2).

• El període d’una funció sinusoïdal T és la durada en temps d’un cicle complet. Tindrà per unitats les del temps, els segons (vegeu la Figura 10.2).

• La freqüència f és el nombre de cicles de la funció sinusoï-dal en una unitat de temps, és a dir, en un segon. És, per

tant, l’invers del període T

f1= .

La unitat és l’hertz (Hz), l’invers del segon s-1 ≡ (Hz).

• La pulsació , ω, són els radi-ans recorreguts per unitat de temps. Atés que un cicle són 2π radians, i el període és la durada d’un cicle, la pulsació serà el quocient entre ambdós:

21

2 fT

π=π=ω . Tindrà les mateixes unitats de la freqüència, tot i que

s’utilitzen els radians per segon per assenyalar la forma d’expressar els an-gles s-1 ≡ (radians/s). La fase és ωt + ϕu, que expressarem en radians.

• La fase inicial és ϕu, i representa el valor de la fase en l’instant inicial. En alguns llibres, per raons de facilitat de lectura, s’expressa la fase inicial en graus i la pulsació en radians per segon. En operar s’hauran d’expressar ambdós termes en les mateixes unitats.

-2

0

2

temps

D.d

.p. (

V)

Um

T

1

3

-1

-3

Figura 10.2. Amplitud i període d’un c.a.s.

0

Fase (radians)

D.d

.p. (

V)

ϕu

2ππππ

0

4

-4

-2 2 4 6ωt

Figura 10.3. Fase inicial d’un c.a.s.

10-4

• El desfasament es defineix per a dues funcions sinusoï-dals. Per exemple, si estudi-em la relació entre una dife-rència de potencial u(t) = Um cos(ωt + ϕu) i una intensitat de corrent i(t) = Im cos(ωt + ϕi) en un circuit (vegeu la Figura 10.4). Ge-neralment relacionarem la fase de la diferència de po-tencial respecte de la de la intensitat. El desfasament ϕ és la diferència entre la fase inicial de la diferència de potencial i la intensitat ϕ = ϕu - ϕi.

El signe del desfasament s’utilitza per a assenyalar quina funció està avançada en temps respecte de l’altra.

• Si ϕϕϕϕ és positiu voldrà dir que la diferència de potencial està avan-çada en el temps respecte de la intensitat.

• Si ϕϕϕϕ és negatiu voldrà dir que la diferència de potencial està en-darrerida , o d’una altra manera, que la intensitat està avançada.

• Si ϕϕϕϕ és zero es diu que les dues magnituds estan en fase .

• Valor eficaç : Quan mesurem una magnitud sinusoïdal, evidentment els aparells de me-sura no poden expressar el valor instantani, ja que varia contínuament. Tampoc podem fer ús del valor mitjà, ja que serà nul (Figura 10.5):

valor mitjà: 0cos1

0

=ω= ∫T

m tdtUT

u

Els aparells de mesura de magnitud si-nusoïdals expressen el valor eficaç (U, I), que és l’arrel quadrada del valor mitjà del quadrat de la funció sinusoïdal durant un cicle (Figura 10.6):

∫ =ω=T

mm

UtdtU

Tu

0

2222

2cos

1

UU

uU mEFICAÇ ===

22

II

I mEFICAÇ ==

2

El significat físic del valor eficaç vindrà

donat pel fet de ser el valor de la mateixa magnitud, intensitat de corrent o diferència de

0

Fase (radians)

D.d

.p. (

V)

ϕu

0

3

-3-2 2 4 6

ϕiϕ

i(t)u(t)

Inte

nsita

t (m

A)

0

4

-4

Figura 10.4. Diferència de fase entre la diferència de poten-

cial i la intensitat de corrent.

-4-3-2-101234

fase (radians)

Figura 10.5. El valor mitjà d’una funció sinusoïdal és nul.

0

2

4

6

8

10

12

14

fase (radians)

2

2mU

Figura 10.6. Valor mitjà del quadrat d’una

funció sinusoïdal.

10-5

potencial, que en corrent continu produiria el mateix efecte Joule en una resis-tència elèctrica, tal com es podrà entendre quan parlem de potència d’un dipol RLC.

10.3 Resposta dels dipols bàsics

Tal com s’ha definit en el capítol 7, en els circuits elèctrics es denominen dipols tots els elements que tenen dos extrems accessibles al circuit. En aquell mateix capítol s’han definit els dipols passius com aquells dipols que no submi-nistren energia al circuit; en aquell moment l’únic dipol bàsic passiu que s’havia estudiat era la resistència. En corrent altern estudiarem també uns altres dos dipols bàsics que són el condensador i la bobina, els fonaments dels quals s’han estudiat en els temes 4 i 13, res-pectivament. En corrent altern denomi-narem dipol o impedància sèrie un e-lement format per una resistència, un condensador i una bobina connectats en sèrie, de manera que en el circuit circularà la mateixa intensitat de cor-rent pels tres. Serà l’element bàsic per a l’estudi del corrent altern en circuits, i buscarem les relacions entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent per aquest.

Per a trobar la relació entre diferència de potencial i intensitat en el dipol partirem de les relacions que hi ha en els dipols bàsics. La diferència de poten-cial en el dipol serà la suma de les diferències de potencial en cadascun dels tres dipols bàsics (vegeu la Figura 10.7):

u(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)

La relació entre la diferència de potencial i intensitat en la resistència ve donada per la resistència R a través de la llei d’Ohm:

uR(t) = Ri(t)

En la bobina , la llei de Faraday proporciona la relació entre la força elec-

tromotriu induïda, que serà la diferència de potencial entre els extrems, i la va-riació de la intensitat de corrent amb el temps a través de l’autoinducció L:

dttdi

LtuL)(

)( =

Els fenòmens d’inducció en la bobina actuen com una força contraelec-tromotriu, oposant-se sempre a les variacions de la intensitat de corrent.

En el condensador , la capacitat C és igual al quocient entre la seua càr-rega i la diferència de potencial en els extrems:

Ctq

tuC)(

)( =

L R C L R C i(t) i(t)

uR(t) uR(t) uL(t) uL(t) uC(t) uC(t)

u(t) u(t)

Figura 10.7. Dipol RLC sèrie.

10-6

Com a nosaltres ens interessa la relació amb la intensitat, en derivar l’expressió respecte del temps, la variació de la càrrega del condensador amb el temps serà igual a la intensitat de corrent que circula pel dipol:

Cti

dttduC )()(

=

D’aquesta manera, la diferència de potencial del dipol quedarà:

Ctq

dttdi

LtRitu)()(

)()( ++=

Expressió vàlida independentment que s’aplique en corrent altern sinu-

soïdal o un altre tipus de funcions. Si apliquem una diferència de potencial sinusoïdal al dipol les expressi-

ons quedarien de la manera següent: u(t) = Um cos (ωt + ϕu)

)cos()()(

)()( um tUCtq

dttdi

LtRitu ϕ+ω=++=

Com ens interessa la relació amb la intensitat, derivem l’expressió:

)sin()()()()(

2

2

um tUCti

dt

tidL

dttdi

Rdt

tdu ϕ+ωω−=++=

Aquesta equa-

ció diferencial de se-gon grau completa es pot integrar, però no ens interessa el resul-tat analític. En la Figura 10.8 es repre-senta la diferència de potencial i la intensitat de corrent enfront del temps per a un cas particular, calculada per mètodes numèrics. Del resultat destaquem que:

• Hi ha un període de temps inicial, en el qual la intensitat segueix una funció relativament complicada respecte del temps. Això és el que es denomina el règim transitori .

• Transcorregut un determinat nombre de cicles, la intensitat segueix una funció sinusoïdal d’igual freqüència que la diferència de potencial i des-fasada respecte d’aquella, que és el que es denomina el règim estaci-onari.

En els casos reals de corrent altern el resultat serà equivalent, i el temps que durarà el transitori serà negligible per a aplicacions pràctiques reals, per la qual cosa ens centrarem en l’estudi del règim estacionari. Per tant, la conclusió és que en corrent altern la diferència de potencial i la intensitat de corrent si-guen funcions sinusoïdals, d’igual freqüència i desfasades.

Temps

u(t)

i(t)

Figura 10.8. Règim transitori i règim estacionari.

10-7

D’aquesta manera, pels tres dipols bàsics circularà la mateixa intensitat:

i(t) = Im cos (ωt + ϕi) En corrent altern ens interessarà conéixer la relació entre amplituds de

diferència de potencial i intensitat en els dipols, i el desfasament entre les dues magnituds sinusoïdals. Començarem per estudiar el que passa en cada dipol bàsic.

Resistència En la resistència la diferència

de potencial podem expressar-la com:

uR(t) = URm cos (ωt + ϕR)

Com la relació amb la intensi-tat la coneixem:

uR(t) = Ri(t) = RIm cos (ωt + ϕi)

Podem ara identificar termes

de la igualtat anterior: RIm cos (ωt + ϕi) = URm cos (ωt + ϕR)

URm = RIm; ϕR = ϕi

La relació entre amplituds ve donada per la llei d’Ohm, i les dues magni-

tuds estan en fase.

Bobina En la bobina la diferència de

potencial tindrà l’expressió següent: uL(t) = ULm cos (ωt + ϕL)

Com la relació amb la intensitat la coneixem:

)sin()(

)( imL tLIdt

tdiLtu ϕ+ωω−==

Transformem la funció sinus

en cosinus per a poder comparar-la amb la de la diferència de potencial:

)2

cos()(π+ϕ+ωω= imL tLItu

I ara identifiquem termes de la igualtat:

tiempo

Dife

renc

ia d

e po

tenc

ial

Inte

nsid

ad

V

I

Figura 10.9. Intensitat i diferència de potencial en la

resistència.

tiempo

Dife

renc

ia d

e po

tenc

ial

Inte

nsid

ad

V

I

Figura 10.10. Intensitat i diferència de potencial en la

bobina

10-8

)cos()2

cos( LLmim tUtLI ϕ+ω=π+ϕ+ωω

2 ;

π+ϕ=ϕω= iLmLm ILU

La relació entre amplituds depén de la pulsació (és a dir, de la freqüèn-cia) i per tant no és constant. A freqüències baixes la diferència de potencial s’anul·la, la bobina actua com un curtcircuit. A freqüències altes actuaria com un circuit obert. A més les dues magnituds estan desfasades, la diferència de potencial està avançada 90º respecte de la intensitat.

El terme XL = Lω es denomina reactància inductiva , i té unitats de re-sistència elèctrica (Ω).

Condensador En el condensador la dife-

rència de potencial tindrà l’expressió següent:

uC(t) = UCm cos (ωt + ϕC) La relació entre les dues magni-tuds, l’obtenim a partir de la càrrega del condensador:

Ctq

tuC)(

)( =

Derivant obtenim la relació amb la intensitat:

)cos(1)()(

imC tI

CCti

dttdu ϕ+ω==

Tornem a transformar el sinus en cosinus:

π+ϕ+ωω=ϕ+ωω−2

cos)sin( CCmCCm tUtU

I identificant termes:

π+ϕ+ωω=ϕ+ω2

cos)cos(1

CCmim tUtIC

2 ;

π−ϕ=ϕω

= iCm

Cm CI

U

La relació entre amplituds depén de la pulsació, igual que en la bobina, i

per tant no és constant. Però la relació és la contrària, i a freqüències altes la diferència de potencial s’anul·la, el condensador actua com un curtcircuit. A freqüències baixes el condensador actuarà com un circuit obert. A més, les du-

tiempo

Dife

renc

ia d

e po

tenc

ial

Inte

nsid

ad

V

I

Figura 10.11. Intensitat i diferència de potencial en el

condensador.

10-9

es magnituds estan desfasades, la diferència de potencial està retardada 90º respecte de la intensitat.

El terme XC = 1/(Cω) es denomina reactància capacitiva , i té també uni-tats de resistència elèctrica (Ω).

10.4 Impedància d’un dipol RLC en sèrie

Una vegada que coneixem la resposta dels dipols bàsics, po-dem plantejar la resposta d’un dipol sèrie. Com ens interessa conéixer el desfasament entre diferència de potencial i intensitat, ϕ = ϕu - ϕi, simplificarem les ex-pressions considerant nul·la la fase inicial de la intensitat, de ma-nera que la de la diferència de potencial siga igual al desfasa-ment entre les dues magnituds:

u(t) = Um cos (ωt + ϕ)

i(t) = Im cos (ωt)

Aplicant el resultat de l’anàlisi que hem fet dels dipols bàsics a la dife-rència de potencial en el dipol:

u(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)

π−ωω

+

π+ωω+ω=ϕ+ω2

cos2

cos)cos()cos( tCI

tLItRItU mmmm

Per poder simplificar la resolució del problema, substituïm aquesta ex-

pressió en dos instants de temps singulars: En t = 0,

π−ω

+

πω+=ϕ2

cos2

cos)0cos()cos(CI

LIRIU mmmm

Um cos(ϕ) = RIm (1)

i en ωπ−=

2t ,

)cos()0cos(2

cos2

cos2

π−ω

+ω+

π−=

ϕ+π−→π−=ωCI

LIRIUt mmmm

ω−ω=ϕ

CI

LIU mmm )sin( (2)

Si ara dividim les dues expressions (1) i (2):

faseD

ifere

ncia

de

pote

ncia

l

Inte

nsid

adU mI m

ϕ

I

U

Figura 10.12. Tensió i intensitat en un dipol RLC sèrie.

10-10

RC

Lω

−ω=

ϕϕ

1

)cos()sin(

obtenim l’expressió del desfasament en un dipol RLC sèrie amb pulsació ω:

ω−ω

=ϕR

CL

1

arctg Equació 10.1

D’acord amb l’expressió, el desfasament, per a un mateix dipol, pot tenir

valors positius o negatius depenent de la freqüència del corrent altern. Si ara sumem el quadrat de les expressions (1) i (2):

( ) ( ) ( ) 22

222 1·sincos mmmmm UI

CLIRUU =

ω−ω+=ϕ+ϕ

( )

ω−ω+=

2222 1

CLRIU mm

Obtenim l’expressió de la relació entre amplituds de diferència de potencial i intensitat, Z, a la qual es denomina impedància del dipol:

ZC

LRIU

m

m =

ω−ω+=

22 1

Equació 10.2

També la impedància depén de la freqüència del corrent altern, sempre

amb valors positius però, tal com veurem en l’apartat de ressonància, amb un valor mínim per a una freqüència característica del dipol. Una forma gràfica d’expressar les expressions de la impedància i el desfasament és el triangle impe-dància. Es tracta d’un triangle en el qual la impe-dància , Z, és la hipotenusa i el desfasament , ϕ, l’angle. D’aquesta manera, el catet contigu serà la resistència del dipol, R, i el catet oposat la reac-tància del dipol, X, definida com la diferència entre la reactància inductiva i la capacitiva del dipol:

ω−ω=

CLX

1 Equació 10.3

De l’expressió de la reactància observem que podrà ser positiva o nega-

tiva per al mateix dipol depenent del valor de la freqüència del corrent altern. Podem deduir del triangle que el desfasament ϕ tindrà valors entre –90º i 90º, depenent dels valors de la reactància, ja que la resistència sempre serà positi-va.

XZ

R

ϕϕϕϕ

Figura 10.13. Triangle

d’impedàncies.

10-11

Tant la impedància com la reactància tenen les mateixes unitats que la resistència, l’ohm (Ω). La representació gràfica en els circuits d’un dipol RLC és en forma de caixa, com en la figura..

Exemple 10.1

Plantegem un dipol amb una resistència R = 2 Ω, una bobina L = 1,6 mH i un condensador C = 20 µF, en sèrie. La impedància i el desfasament depenen de la pulsació, que és 5000 radians per segon:

2

632

22

5000·1020

15000·106,12

1

⋅−⋅+=

ω−ω+= −

−

CLRZ

22)10

18(4 2

1=−+= −

º4522

arctg

1

arctg −=

−=

ω−ω

=ϕR

CL

Si pel dipol circula una intensitat i = 3cos(5000t – 60º) A, la diferència de potencial serà:

º105º60º45 ; u −=−−=ϕϕ−ϕ=ϕ iu

u = (ImZ) cos(5000t - 60º + ϕ) = 6√2 cos(5000t - 105º) V

10.5 Potència d’un dipol RLC en sèrie

Analitzarem a continuació aspectes relacionats amb l’energia en un dipol sotmés a corrent altern. La potència ins-tantània intercanviada per les càrregues que travessen un dipol en corrent altern és igual al producte de les dues funcions sinusoïdals que representen la intensitat de corrent i la diferència de potencial:

)()()()()(

)( tutidt

tdqtudt

tdWtp AB

ABAB ===

)cos()cos()( ϕ+ωω= tUtItp mm ( ))()())·cos(cos()cos()( ϕωϕωω sintsinttUItp mm −=

RLC Figura 10.14. Representació d’un dipol

RLC sèrie.

RLC

i(t) = Im cos ωt

UAB(t) = Um cos (ωt + ϕi)

A B

Figura 10.15. Tensió i intensitat en un dipol RLC

sèrie.

10-12

( )

( )( )ϕϕω

ϕϕω

ϕωϕω

ϕωωϕω

cos)2cos(

cos)2cos(2

1

)()2(2

1)cos()(cos

)()()cos()cos()(cos)(

2

2

++=

=++=

=

−=

=−=

tIU

tUI

sintsintUI

sintsinttUItp

mm

mm

mm

En aquesta expressió apareixen dos termes, un constant en el temps, i

l’altre que varia sinusoïdalment amb el temps amb una freqüència doble que la de la tensió i la intensitat. Calculem també el valor mitjà de la potència durant un cicle:

( ))cos()2cos()(1

)(0

ϕ+ϕ+ω== ∫ tIUdttpT

tpT

0)2cos( =ϕ+ωt

)cos()( ϕ= IUtp Equació 10.4

Per tant, i com el desfasament ϕ pot variar entre –90º i 90º, cos(ϕ) ≥ 0,

un dipol sèrie consumirà energia en corrent altern. Analitzem ara cada dipol bàsic per a conéixer què passa en cadascun d’aquests per separat: • En la bobina sabem que la diferència de potencial està avan-çada 90º respecte de la intensitat:

π+ϕ+ωω=2

cos)( imL tLItu

i(t) = Im cos (ωt + ϕi) La potència instantània serà:

)2

2cos()( 2 π+ωω= tILtp mL

Calculant el valor mitjà per a un cicle:

0)( =tpL

En la bobina no es consumeix energia al llarg del temps. Durant la meitat d’un cicle va augmentant la intensitat de corrent, i consumeix energia en formar el camp magnètic, però torna l’energia en disminuir el corrent i desaparéixer el camp magnètic.

tiempo

Pot

enci

a

Inte

nsid

ad

P

I

Figura 10.16. Potència en la bobina.

10-13

• En el condensador sabem que la diferència de potencial està retardada 90º respecte de la in-tensitat:

π−ϕ+ωω

=2

cos)( im

C tCI

tu

La potència instantània serà:

)2

2cos(·

)(2 π−ωω

= tCI

tp mC

Calculem el valor mitjà per a un cicle:

0)( =tpC En el condensador no es consumeix energia al llarg del temps. Durant la

meitat d’un cicle va augmentant la diferència de potencial, el condensador es carrega i consumeix energia en formar el camp elèctric, però torna l’energia en descarregar-se i desaparéixer el camp.

• En la resistència sabem que la diferència de potencial està en fase amb la intensitat de corrent:

uR(t) = RIm cos (ωt + ϕi) La potència instantània serà:

)(cos)( 22imR tRItp ϕω +=

Calculem el valor mitjà per a un cicle:

2)(

2m

RI

Rtp =

Expressió que podem transformar:

ϕ=== cos22

)( IUZR

IUZ

UIRtp mm

R

En aquesta expressió s’ha de recordar que I representa la intensitat eficaç que recorre el di-pol RLC, i U és la diferència de potencial eficaç en borns del dipol RLC.

Comparant aquesta ex-pressió amb l’Equació 10.4 veiem que en el dipol RLC, tota la potèn-cia es consumeix en la resistèn-cia.

En la resistència es consu-meix energia al llarg del temps per efecte Joule, siga el sentit que siga el de la intensitat de corrent. En resum, en un dipol de corrent altern l’única potència que es consumeix és la de l’efecte Joule en la resistència, denominada potència activa:

Pa = IUcosϕ

tiempo

Pot

enci

a

Inte

nsid

ad

P

I

Figura 10.17. Potència en el condensador.

tiempo

Pot

enci

a

Inte

nsid

ad

I

P

Figura 10.18. Potència en la resistència.

10-14

Cos(ϕ) es denomina factor de potència , i en instal·lacions en les quals es consumeix energia és important minimitzar-lo:

RIZR

IIZIUPa2cos ==ϕ=

ϕcos

IRUctIctPa =⇒=⇒=

Per a un mateix consum d’energia, Pa constant, atés que la resistència és constant, la intensitat de corrent eficaç serà també constant, i un factor de potència més alt implicarà una diferència de potencial eficaç menor. Al contrari, un factor de potència baix implicarà una diferència de potencial eficaç major. De fet, les companyies elèctriques penalitzen els consumidors que presenten impedàncies en les instal·lacions amb factors de potència reduïts, tot i que el consum d’energia siga el mateix, perquè requereixen la companyia d’un submi-nistrament amb diferències de potencial més altes que les que caldrien amb factors de potència superiors.

10.6 Ressonància i filtres

En la mecànica, la ressonància és un fenomen que consisteix en la pro-ducció d’una vibració de gran amplitud quan sobre un cos capaç de vibrar actua una força periòdica amb una freqüència característica del cos. Per exemple, en acústica seria el fenomen pel qual en situar dos diapasons d’igual freqüència pròxims, en fer vibrar un d’aquests, l’altre comença a vibrar amb una amplitud creixent.

En corrent altern la resso-nància d’un dipol afecta l’amplitud de la intensitat del corrent que cir-cula per aquest, que té un valor màxim una freqüència característi-ca del dipol denominada freqüèn-cia de ressonància fr.

Si analitzem l’expressió de la impedància del dipol i la seua dependència amb la pulsació, o la freqüència, observarem com té un valor mínim a la freqüència en què la reactància s’anul·la (vegeu la Figura 10.19):

ZC

LRIU

m

m =

ω−ω+=

22 1

LCX r

10 =ω→=

LCfr π

=2

1 Equació 10.5

0

100

200

300

400

0 2000 4000f (Hz)

Z (

Ohm

s)

f r

Figura 10.19. Mínim de la impedància a la freqüència de

ressonància.

10-15

La freqüència de ressonàn-cia és aquella en què la impedàn-cia pren el valor mínim, en la qual el desfasament en el dipol s’anul·la, i que, per tant, la impe-dància pren el valor de la resistèn-cia del dipol.

La conseqüència d’això és que l’amplitud de la intensitat de corrent, si mantenim la de la dife-rència de potencial constant, de-pén de la freqüència i passa per un màxim a la freqüència de resso-nància (vegeu la Figura 10.20):

22 1

ω−ω+

=

CLR

UI mm

Aquest fenomen té moltes aplicaci-ons. Una de senzilla és la de posar en res-sonància un circuit per a sintonitzar una emissora de ràdio. El dial d’una ràdio actua sobre un condensador de capacitat varia-ble, que forma part d’un dipol. Modificant la capacitat del dipol modifiquem la freqüèn-cia de ressonància d’aquest, i podem fer-la coincidir amb la d’emissió d’una cadena de ràdio. El senyal captat amb aquesta fre-qüència tindrà una intensitat màxima, men-tre que la resta de senyals, en no estar en ressonància, donaran una amplitud d’intensitat baixa.

Filtres Una altra aplicació del fenomen de

ressonància i de l’efecte de la freqüència sobre la impedància d’un dipol són els fil-tres. En corrent altern un filtre és un quadri-pol (element amb dues connexions d’entrada de corrent i dues d’eixida) que deixa passar el corrent quan la seua fre-qüència es troba dins d’un determinat inter-val. Els filtres més bàsics són el passaalt, que deixa passar corrents de freqüència superior a una característica del filtre, el passabaix, que deixa passar corrents de freqüència inferior a una característica del filtre, i passabanda, que deixa passar corrents de freqüència compresa dins d’un interval de freqüències ca-racterístiques del filtre.

f (Hz)

Z (

Ohm

s)

I (A

)

f r

IZ

resonancia

Figura 10.20. Mínim de la impedància, i màxim de la intensitat a la freqüència de ressonància.

Figura 10.21. Condensador variable del dial

d’una ràdio.

R

L

C

u(t) uL(t)

R

L

C

u(t) uL(t)

R

L

C

R

L

C

L

C

u(t) uL(t)

Figura 10.22. Esquema d’un filtre passaalt.

10-16

El filtre passaalt consisteix en un dipol RLC sèrie amb el qual formem un quadripol connectant el senyal altern d’entrada entre els seus extrems, i les connexions d’eixida són els extrems de la bobina (vegeu la Figura 10.22). Co-neixem la relació entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent en la bobina:

2 ;

π+ϕ=ϕω= iLmLm LIU

I també la relació entre la diferència de potencial del dipol i la intensitat de corrent, en particular la impedància, relació entre les amplituds:

22 1

ω−ω+=

CLRIU mm

Si relacionem les amplituds de la diferència de potencial a l’eixida del fil-tre i a l’entrada, entre ULm i Um, el resultat és el següent:

22 1

ω−ω+

ω=

CLR

LUU

m

Lm

Per a conéixer les característiques d’aquesta expressió, en determina-rem el valor a freqüències altes i baixes:

0)(

1

0

22

00 =ω=

ω−ω+

ω=

→ω→ω→ω R

Llim

CLR

Llim

UU

limm

Lm

1=

∞→ω

m

Lm

UU

lim

A freqüències baixes el senyal d’eixida té amplitud zero, la bobina actua com un curtcir-cuit, la diferència de potencial s’anul·la, mentre que a freqüèn-cies altes el senyal d’eixida té la mateixa amplitud que el d’entrada al dipol, la bobina ac-tua com un circuit obert. En la Figura 10.23 representem la funció per a un cas determinat en el qual no es produeix sobre-tensió, és a dir, no hi ha fre-qüències a les quals el senyal d’eixida del filtre té una amplitud superior a la d’entrada. Posteri-orment, definirem el factor de qualitat que servirà per a determinar si un dipol filtre passaalt presentarà sobre-tensió. Les freqüències a les quals es produeix l’escaló de la relació tensió d’eixida/tensió d’entrada es troben al voltant de la freqüència de ressonància, i

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

10 100 1000 10000 100000

f (Hz)

Us/

U

Figura 10.23. Resposta d’un filtre passaalt a distintes fre-

qüències.

10-17

més endavant, utilitzant el factor de qualitat, les situarem millor. El filtre deixa passar senyals de freqüència superior a la de ressonància.

El filtre passabaix consisteix en un dipol RLC sèrie amb el qual formem un quadripol connectant el senyal al-tern d’entrada entre els seus extrems, i les connexions d’eixida són els extrems del condensador (vegeu la Figura 10.24). Coneixem la relació entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent en el condensador:

2;

π−ϕ=ϕω

= iCm

Cm CI

U

Si relacionem les amplituds de la diferència de potencial a l’eixida del fil-tre i a l’entrada, entre UCm i Um, el resultat és el següent:

22 1

1

ω−ω+ω

=

CLRC

UU

m

Cm

Analitzant l’expressió de la mateixa manera que hem fet amb el filtre passaalt, podem comprovar que a freqüències altes el senyal d’eixida té ampli-tud zero, s’anul·la, mentre que a freqüències baixes el senyal d’eixida té la mateixa amplitud que la d’entrada al dipol. En la Figura 10.25 representem la funció per a un cas determinat sense sobretensió. En aquest cas serà el factor de qualitat el que ens assenyale també la possibilitat que un filtre passa-baix present sobretensió. Les freqüències a les quals es pro-dueix el salt de la funció es troben també al voltant de la freqüència de resso-nància. El filtre deixa passar senyals de freqüència inferior a la de ressonància.

Finalment, el filtre passabanda consisteix en un dipol RLC sèrie amb el qual formem un quadripol connectant el senyal altern d’entrada entre els seus extrems, i les connexions d’eixida se-ran els extrems de la resistència. Co-neixem la relació entre la diferència de potencial i la intensitat de corrent en el condensador:

URm = RIm

Figura 10.24. Esquema d’un filtre passabaix.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

10 100 1000 10000 100000

f (Hz)

Us/

U

Figura 10.25. Resposta d’un filtre passabaix a distintes fre-

qüències.

R

L C u(t) uL(t)

R

L C u(t) uL(t)

R

L C u(t) uL(t)

Figura 10.26. Esquema d’un filtre passabanda.

10-18

Si relacionem l’amplitud de la diferència de potencial a l’eixida del filtre i a l’entrada, entre URm i Um, el resultat és el següent:

22 1

ω−ω+

=

CLR

RUU

m

Rm

Analitzant l’expressió de la mateixa manera que hem fet amb els filtres passaalt i passa-baix, podem comprovar que a freqüències altes el senyal d’eixida té amplitud zero, s’anul·la, i a freqüències baixes el senyal d’eixida també té am-plitud zero. Si ara determinem el valor del màxim de la funció i la freqüència a què apareix, aquesta serà la freqüència de ressonància, en la qual la im-pedància té valor mínim:

11

22

==

ω−ω+

=

ω=ω RR

CLR

RUU

rr

m

Rm

r

A la freqüència de ressonància l’amplitud del senyal a l’entrada té la ma-teixa amplitud que a l’eixida del dipol. En la Figura 10.27 representem la funció per a un cas determinat. El filtre passabanda no presentarà mai sobretensió i deixarà passar senyals de freqüència pròxima a la de ressonància.

Si ara analitzem el valor de l’amplitud d’eixida del filtre passaalt a la fre-qüència de ressonància:

CL

RRLC

L

RL

CLR

LUU r

rr

r

m

Lm

r

11

12

2

==ω=

ω−ω+

ω=

ω=ω

Si fem el mateix amb el valor de l’amplitud d’eixida del filtre passabaix a

la freqüència de ressonància:

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

10 100 1000 10000 100000

f (Hz)

Us

/U

Figura 10.27. Resposta d’un filtre passabanda a distintes

freqüències.

10-19

CL

RRLC

CRC

CLRC

UU

r

rrr

m

Cm

r

1111

1

12

2

==ω

=

=

ω−ω+ω

=

ω=ω

Aquest valor, que caracteritza els dos filtres a la freqüència de ressonàn-cia es denomina factor de qualitat del filtre Q.

CL

RQ

1= Equació 10.6

En la figura representem

per a un cas particular les tres funcions representatives dels filtres. El factor de qualitat i la freqüència de ressonància ca-racteritzen els filtres. El factor de qualitat ens assenyala tam-bé si hi ha sobretensió en el filtre. Com depén de R, L i C, amb una mateixa freqüència de ressonància podem tenir dife-rents factors de qualitat, modifi-cant els elements del filtre. En les figures apareixen tres casos diferents amb la mateixa fre-qüència i factor de qualitat crei-xent. Factors de qualitat superi-ors a la unitat impliquen que en el filtre tindrem freqüències en les quals el senyal d’eixida tindrà amplitud supe-rior a la del senyal d’entrada, efecte que es denomina de sobretensió, i amb el qual s’ha de tenir cura per a no arribar a danyar els circuits. Aquesta conclusió i aquest advertiment amb el funcionament és general per als dipols: depenent de la freqüència i dels valors dels components, la diferència de potencial entre els extrems d’un dipol pot ser inferior a la diferència de potencial en el condensa-dor o la bobina que el formen.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

10 100 1000 10000 100000

f (Hz)

Us/

U

LC

R

Q

f r

Figura 10.28. Relació entre la tensió a l’eixida (en

l’autoinducció, resistència o condensador) i a l’entrada en un circuit RLC sèrie.

10-20

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

10 100 1000 10000 100000

f (Hz)

Us/

U

LC

R

Q

f r

0

0,5

1

1,5

2

2,5

10 100 1000 10000 100000

f (Hz)

Us/

U

LC

R

Q

f r

Figura 10.29. Relació entre la tensió a l’eixida (en l’autoinducció, resistència o condensador) i a l’entrada

per a dos circuits RLC sèrie diferents.

Transmissió de senyals per un cable conductor

La línia de transmissió de senyals elèctrics pot considerar-se en una primera aproximació com un llarg conductor amb una resistència total R, una autoinducció total L en sèrie amb la resistència i una capacitat C en paral·lel entre els dos conductors (vegeu la Figura 10.30).

El senyal u(t) que s’ha de transmetre consisteix en una tensió variable en el temps produïda per un generador i aplicada a un extrem del con-ductor. La tensió uC(t) en l’altre extrem, en borns del condensador, es considerarà l’eixida de la línia de transmis-sió (aquest model seria més apropiat per a un petit seg-ment del cable). A més se su-posa l’eixida en circuit obert.

Figura 10.30. Línia de transmissió (dalt) i model

(baix).

Considerant, doncs, el circuit com un RLC en sèrie, els senyals d’entrada i d’eixida en la línia de transmissió estan relacionats, és a dir, la tensió en el condensador uC(t) està relacionada amb la del generador u(t) depenent de les característiques del circuit. En aquest cas, les amplituds d’oscil·lació estan relacionades per

10-21

22 1

1

ω−ω+ω

=

CLRC

UU

m

Cm

Per exemple, si el senyal digital que s’ha de transmetre consisteix en

una successió alternada de 0 i 1 (Figura 10.31) pot desenvolupar-se la fun-ció en sèrie de Fourier com una suma de funcions sinusoïdals amb distin-tes freqüències

[ ]

∑∞

= +−ω+

π=

0

0

12º90)12(cos2

)(n

m

ntnU

tu

0,5 1,0 1,5 2t (ms)

-3

-2

-1

1

2

3

V (V)

Figura 10.31. Senyal d’entrada rectangular, calculat amb els primers 100 termes de la

sèrie.

La tensió d’eixida corresponent a cada terme sinusoïdal amb diferents freqüències depén de la impedància a aquesta freqüència. La tensió d’eixida total és la superposició de tots els termes amb les seues amplituds i fases. Per a realitzar el càlcul convé utilitzar la representació fasorial o complexa de la tensió d’entrada

[ ] [ ]

∑∑∞

ω=ω∆ω=ω

∞

= ωω−ω

π=

+−ω+

π=

0

02

00

0

/º90exp2

12º90)12(exp2 tjU

ntnjU

U m

n

m

i de la tensió d’eixida [ ]

∑∞

ω=ω∆ω=ω ωω

ωπ

ω−=

ω−=

0

02

20

)(

exp2

Z

tjC

U

ZC

UjU m

C

de manera que la part real d’aquesta última magnitud complexa cor-respon a la tensió real en borns del condensador.

Tot i que les sèries mostrades contenen una infinitat de termes, en els càlculs per a realitzar les figures s’han pres únicament els 100 primers ter-mes de cada sèrie. Pot observar-se com en aquest senzill model el senyal d’eixida depén de la impedància del sistema, és a dir, de la resistència, l’autoinducció i la capacitat de la línia de transmissió. Per exemple, per al senyal rectangular d’entrada amb Um = 5 V i ω0 = 2π 1000 s-1 s’obtenen se-nyals d’eixida diferents depenent dels valors de la resistència, capacitat i autoinducció de la línia de transmissió.

10-22

0,5 1,0 1,5 2

t (ms)

-3

-2

-1

1

2

3

V (V)

Figura 10.32. Senyal d’eixida amb R = 20 Ω, L = 0,5 mH i C =1 µF

0,5 1,0 1,5 2

t (ms)

-3

-2

-1

1

2

3

V (V)

Figura 10.33. Senyal d’eixida amb R = 200 Ω, L = 0,5 mH i C =1 µF

-7,5

-5

-2,5

2,5

5

7,5

0,5 1,0 1,5 2

t (ms)

V (V)

Figura 10.34. Senyal d’eixida amb R = 2 Ω, L = 0,5 mH i C =1 µF

0,5 1,0 1,5 2

t (ms)

-4

-2

2

4

V (V)

Figura 10.35. Senyal d’eixida amb R = 20 Ω, L = 5 mH i C =1 µF

0,5 1,0 1,5 2

t (ms)

-6

-4

-2

2

4

6

V (V)

Figura 10.36. Senyal d’eixida amb R = 2 Ω, L = 50 µH i C =100 nF

10.7 Qüestions i problemes

1. Per un circuit compost per dos elements purs en sèrie alimentats per una font de tensió u = 150 cos(500t + 10º) V, circula una intensitat de corrent i = 13,42cos(500t - 53,4º) A, determineu els elements esmentats. Sol: R = 5 Ω, L = 0,02 H. 2. Per un circuit compost per dos elements purs en sèrie i una font de tensió u = 200sin(2000t + 50º) V, circula una intensitat i = 4cos(2000t + 13,2º) A, de-termineu els elements esmentats. Sol: R = 29,7 Ω, C = 12,4 µF.

10-23

3. En un circuit RL en sèrie, amb R = 5 Ω i L = 0,06 H, la tensió entre els borns de la bobina és uL = 15cos200t V. Calculeu: a) La intensitat de corrent. b) L’angle de fase, el mòdul de la impedància. c) La tensió total. Sol: a) i = 1,25 cos(200t - 90º) A; b) ϕi = 67,38º; Z = 13 Ω ; c) u = 16,25cos(200t - 22,62º) V 4. Per un circuit amb una resistència R = 2 Ω, una bobina L = 1,6 mH i un con-densador C = 20 µF, en sèrie, circula una intensitat i = 3cos(5000t - 60º) A. Calculeu la caiguda de tensió en cada element i la caiguda de tensió total. Sol: uR = 6cos(5000t - 60º) V, uL = 24cos(5000t + 30º) V, uC = 30cos(5000t - 150º) V, u = 6√2cos(5000t - 105º) V 5. Una resistència de 5 Ω i un condensador es connecten en sèrie. La tensió entre els borns de la resistència és uR = 25 cos(2000t + 30º) V, si la tensió total està endarrerida 60º respecte del corrent, quin és el valor de la capacitat C del condensador? Sol: C = 57,7 µF 6. La tensió aplicada a un circuit RLC en sèrie està avançada 30º respecte del corrent que circula per aquest. El valor màxim de la tensió en la bobina és el doble de la corresponent al condensador, i uL = 10cos1000t V. Calculeu els va-lors de L i C, sabent que R = 20 Ω. Sol: L = 23,1 mH, C = 86,6 µF. 7. Pel circuit de la figura circula una intensitat i(t) =10cos(100t + 90º) A. a) Representeu gràficament d’acord amb ωt les fun-cions: i(t), uR(t), uL(t), uC(t). b) Si R = 10 Ω, L = 0,5 H i C = 200 µF, determineu la potència instantània en cadascun dels tres ele-ments per a valors de t corresponents a: ωt = 0, ωt = π/2, ωt = π,ωt = 2π. c) Calculeu la potència mitjana durant mig període en cadascun dels tres elements.

GLOSSARI

Freqüència: És el nombre de cicles de la funció sinusoïdal per una unitat de temps. Fase inicial: És la fase de la funció sinusoïdal en l’instant inicial.

R

i(t)

L

C

uR

uL

uC

A

B

10-24

Desfasament ϕ: És la diferència entre la fase inicial de dues funci-ons sinusoïdals ϕ = ϕu - ϕi. Valor eficaç: Arrel quadrada del valor mitjà del quadrat de la funció sinusoïdal durant un cicle.

2m

EFICAÇ

UU =

2m

EFICAÇ

II =

Impedància : Relació entre amplituds de diferència de potencial i intensitat en un dipol RLC.

m

m

IU

Z =

Reactància inductiva : Relació entre amplituds de diferència de potencial i intensitat en una bobina.

XL = Lω Reactància capacitiva : Relació entre amplituds de diferència de potencial i intensitat en un condensador.

XC = 1/Cω Potència activa : És la potència consumida per efecte Joule en un dipol RLC.

Pa = IUcosϕ Factor de potència : cosϕ és la relació entre la potència activa i el producte entre tensió eficaç i intensitat eficaç. Un circuit amb factor de potència baix, encara que consumisca la mateixa ener-gia que un altre amb factor de potència alt, requereix un submi-nistrament de més diferència de potencial. Freqüència de ressonància d’un circuit és aquella que produeix una impedància mínima en aquest. Depén de R, L i C.

LCfr π

=2

1

Filtre passaalt : Quadripol que a freqüències baixes, el senyal d’eixida té amplitud zero, mentre que a freqüències altes el se-nyal d’eixida té la mateixa amplitud que la d’entrada al dipol. Filtre passabaix : Quadripol que a freqüències altes, el senyal d’eixida té amplitud zero, mentre que a freqüències baixes el se-nyal d’eixida té la mateixa amplitud que el d’entrada al dipol. Filtre passabanda : Quadripol que a freqüències altes i baixes, el senyal d’eixida té amplitud zero, mentre que a freqüències pròximes al de ressonància el senyal d’eixida té la mateixa am-plitud que el d’entrada al dipol.

10-25

Factor de qualitat d’un filtre passabaix i passaalt, és la relació entre l’amplitud d’eixida del filtre i l’amplitud d’entrada a la fre-qüència de ressonància.

CL

RQ

1=

Sobretensió : en un filtre es produeix quan l’amplitud d’eixida del filtre és superior a l’amplitud d’entrada.