Cápithidraulñica capitulo1

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CAPÍTULO 1 1. MODELADO Y RESPUEST A A LAZO ABIERTO DEL SISTEMA Con la finalidad de entender el comportamiento de los sistemas dinámicos y controlar los sistemas complejos, es necesario obtener modelos matemáticos que los representan. Debido a que el sistema a considerar es por naturaleza dinámico, las ecuaciones que las describen son ecuaciones diferenciales. No obs tan te al po der ser linealizada, entonces la Trans for mada de Lap lac e puede se utilizada para simplificar el método de solución. n la práctica, la complejidad de los sistemas y la i!norancia de factores rele"antes necesitaremos la introducción a las asunciones concernientes a la operación del sistema. #or consi!uiente nosotros a menudo encontraremos $til consider ar la sistema f% si co, delineado ba jo ci er tas as unciones, y lin eal izado. n ton ces, usando las ley es f%s ica s descri bir emos el sistema

description

Este proyecto de física se hace con el fin de la aplicación de los conocimientos, estrategias ycreatividad del estudiante como persona y como ingeniero; en el desarrollo de la creación de uncarro hidráulico elaborado solo con materiales reciclables, todo proyectado auna satisfacción propia de poder observar lo capaz que se puede llegar hacer si se tiene empeño,con el valor agregado de una calificación

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CAPÍTULO 1

1. MODELADO Y RESPUESTA A LAZO ABIERTO DELSISTEMA

Con la finalidad de entender el comportamiento de los sistemas dinámicos y

controlar los sistemas complejos, es necesario obtener modelos matemáticos

que los representan. Debido a que el sistema a considerar es por naturaleza

dinámico, las ecuaciones que las describen son ecuaciones diferenciales. No

obstante al poder ser linealizada, entonces la Transformada de Laplace

puede se utilizada para simplificar el método de solución.

n la práctica, la complejidad de los sistemas y la i!norancia de factores

rele"antes necesitaremos la introducción a las asunciones concernientes a la

operación del sistema. #or consi!uiente nosotros a menudo encontraremos

$til considerar la sistema f%sico, delineado bajo ciertas asunciones, y

linealizado. ntonces, usando las leyes f%sicas describiremos el sistema

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equi"alente lineal por medio de un conjunto de ecuaciones diferenciales

ordinarias. &inalmente, utilizando 'erramientas matemáticas, tales como la

Transformada de Laplace, obtendremos una solución que describirá el

comportamiento del sistema.

Definición del Sistem C!nt"!l".

l #éndulo (n"ertido es un sistema conformado por una barra montado sobre

un carro impulsado por un actuador. l objeti"o a alcanzar, es mantener el

péndulo en posición "ertical tanto como sea posible y tener control sobre la

posición del carro, bajo esta premisa el sistema en cuestión puede ser 

modelado como un sistema lineal considerando a las des"iaciones an!ulares

por parte del péndulo insi!nificantes, en donde la bondad del dise)o "endrá

acondicionada por todos los mo"imientos que el carro necesita para

posesionarse sin que el péndulo se des"ié desde su posición "ertical más de

un cierto án!ulo, el cual debe darse en un tiempo razonable.

#or lo tanto, el sistema de control a realizar tendrá dos salidas* inclinación del

péndulo y posición del carro. Dic'as salidas serán procesadas por el

controlador a dise)ar que dará como respuesta la fuerza y el sentido a

aplicar al mo"imiento del carro.

+

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#or ende la aplicación de un modelo en el espacio de estados será el idóneo,

no obstante para fines didácticos 'aremos énfasis al control con"encional a

mas del mencionado, en donde la $nica "ariable a controlar será la

des"iación an!ular del péndulo independientemente de lo que sucede con la

posición del carro.

1.1. M!del! Mtem#tic! del Sistem.

na "ez planteado nuestros objeti"os, no resta proceder al modelado

matemático que describen el comportamiento dinámico que caracteriza

nuestro sistema el cual es el primer paso a tomar en todo proceso de

dise)o, para ello 'aremos 'incapié a las leyes f%sicas fundamentales

que nos conducirán a las ecuaciones diferenciales respecti"as que

describirán tal condición.

Considere la ilustración de la si!uiente fi!ura, en la que el péndulo se

monta en un carro controlado por una fuerza de control, considerando

de antemano el problema en dos dimensiones, en el que el péndulo

$nicamente se mue"e en el plano del papel.

-

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$I%URA. 1.1 /0 1(1T2/ DL #3NDL4 (N56T(D4, 70 D(/86/2/ DC6#4 L(76.

Definiendo el án!ulo respecto a la l%nea "ertical como θ, al i!ual que a las

coordenadas 9, y0 del centro de !ra"edad de la barra del péndulo como 9c!,

yc!0. De modo que*

θ−=   sinxxcg   :;:0

θ=   cosycg   :;<0

#ara obtener las ecuaciones de mo"imiento para el sistema, considere el

dia!rama de cuerpo libre que aparece en la fi!ura b0. l mo"imiento

=

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'orizontal del centro de !ra"edad de la barra del péndulo se obtiene

mediante*

( )θ−=   sinxdt

dmH

2

2

:;>0

l mo"imiento "ertical del centro de !ra"edad de la barra del péndulo es

( )θ=−   cosdt

dmmgV

2

2

:;?0

l mo"imiento rotacional de la barra del péndulo alrededor de su centro de

!ra"edad se describe mediante

θ+θ=θ+θ   BIcosHsinV :;+0

Donde 7 es el coeficiente de amorti!uamiento de la barra e I la inercia de la

misma. l mo"imiento 'orizontal del carro se describe mediante

2

2

dt

xdM

dt

dxbHu   =−−

:;-0

La ecuaciones :;>0 a :;-0, antes e9puestas describen el mo"imiento del

sistema del péndulo in"ertido en el carro. Debido a que estas ecuaciones

contienen sen θ y cos θ, son no lineales.

@

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1i suponemos que el án!ulo θ es peque)o, para peque)as oscilaciones del

péndulo el cual es básicamente nuestro propósito0, las ecuaciones :;<0 a

:;-0 se linealizan del modo si!uiente*

( )θ−=   x.mH :;=0

0mgV   =− :;@0

HVBI   +θ=θ+θ:;A0

HuxbxM   −=+   :;:B0

 / partir de las ecuaciones :;=0 y :;:B0, obtenemos*

( )   umxbxmM   =θ−++   :;::0

 / partir de las ecuaciones :;=0, :;@0 y :;A0, obtenemos*

( )θ−+θ=θ+θ

+θ=θ+θ

mxmmgBI

HmgBI

4 bien

xmmgBmI 2   =θ−θ+θ+ :;:<0

Las ecuaciones :;::0 y :;:<0 describen el comportamiento dinámico del

1istema #éndulo (n"ertido y en el cual, es el punto de partida para el

A

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establecimiento de nuestro controlador que proporcione los objeti"os

deseados.

De"i&ción de l $'nción de T"nsfe"enci del P(nd'l! In&e"tid!.

La facultad de obtener una apro9imación lineal de un sistema f%sico permite

al analista considerar el uso de la T"nsf!"md de L)lce. l método de

Transformada de Laplace substituye fácilmente de manera relati"a la

resolución de una ecuación al!ebraica por la dificultad intr%nseca en las

ecuaciones diferenciales.

La $'nción de T"nsfe"enci de un sistema descrito mediante una ecuación

diferencial e in"ariante con el tiempo se define como el cociente entre la

transformada de Laplace de la salida función de respuesta0 y la

transformada de Laplace de la entrada función de e9citación0 bajo la

suposición de que todas las condiciones iniciales son cero. #ara obtener la

función de transferencia de manera anal%tica de las ecuaciones del sistema

linealizado debemos primero tomar la transformada de Laplace de el sistema

de ecuaciones. l resultado de tomar la transformada de Laplace es*

:B

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUSsmSsbXSsXmM   22 =θ−++   :;:>0

( ) ( ) ( ) ( ) 222 SsXmsmgSsBSsmI     =θ−θ+θ+ :;:?0

#or el momento estaremos interesados en establecer el án!ulo T'eta como

salida de nuestro sistema, por lo que resol"iendo la ecuación :;:?0 para

s0,

( )  ( )

( )sS

g

Sm

B

m

mIsX

2

2

θ

−+

+=

:;:+0

ntonces substituyendo la ecuación obtenida :;:+0 en la ecuación :;:>0, y

reordenando tenemos.

( )

( )

( )   ( )   ( )q

bmgSq

mgmMBbSq

mIbmMBS

Sq

m

sU

s

22

3  

  +−+

  ++++

:;:-0

donde.

( ) ( )22 mmImMq     −++= :;:=0

::

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Debe se)alarse que, para los sistemas en los que se conocen con

anticipación las entradas, y en lo cuales no 'ay perturbaciones es

aconsejable emplear un control a lazo abierto, tal cual ob"iamente no es

nuestro caso. / continuación cimentaremos lo mencionado, a tra"és del uso

de la función de transferencia, espacio de estados y por $ltimo emplearemos

una simulación para finalmente encarrilarnos a una estrate!ia de control.

Dete"minción de l!s P"#met"!s $*sic!s del Sistem.

Como todo proceso de dise)o, una "ez establecido la identificación de la

necesidad con la consecuente in"esti!ación minuciosa pertinente y su

respecti"a planteamiento de la meta a lle!ar, se procede a determinar los

parámetros a partir del análisis que conlle"e a una mejor solución para fines

didácticos.

6emitiéndonos a las ecuaciones que describen el comportamiento del

sistema, en donde eliminando el diferencial de se!undo orden de 9 para

confines prácticos, se obtiene la si!uiente ecuación diferencial para θ.

:<

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( ) ( )   ( )

0mg

mmImM

mM22  =θ⋅

−++

+−θ  

:;:@0

de idéntica manera para el desplazamiento lineal 9.

θ+

=  

Mm

mx

:;:A0

#or fines prácticos, los efectos de amorti!uamiento se consideran

insi!nificantes con una se)al de control nula, percibiendo as% que θ  es

independiente de 9 el mo"imiento an!ular es independiente del mo"imiento

trasnacional0, lo contrario no es "erdad, es decir 9 si depende de θ. 1i

renombramos la si!uiente "ariable, considerando que para una barra

uniforme su inercia es ml<>, entonces

( )

( ) ( )   ( )⇒ 

  

  

++=

−++⋅+

=ωmM4

mMg3

mmImM

mgmM22

2n

:;<B0

0

2

n   =θ⋅ω−θ

#or ser una ecuación diferencial de 1e!undo !rado, 'omo!énea y lineal, por 

inspección podemos ase"erar que*

:>

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doReemp!"!n #est⇒=θ

n2n

2st s0s#e   ω±=→=ω−

Debido a la propiedad de linealidad de la ecuación diferencial, la solución es

la superposición de ambas soluciones, entonces*

( ) t2

t$

nn e%e%t   ω−ω +=θ

#ara establecer las constantes, 'acemos uso de las condiciones iniciales del

problema, donde*

( ) ( )   ⇒=θθ=θ 00 & 0 o 

( )   ( ) ⇒ωθ=   

  

    +θ=θ

ω−ωt%os'

2

eet no

tt

0

nn

:;<:0

( )   ( )t%os'mM

mtx n

2no   ωωθ 

  

  

+=

 

:;<<0

La solución es la esperada, pues se trata de funciones crecientes positi"as,

no obstante para reducir los efectos de inestabilidad, se procede a modificar 

los parámetros que inter"ienen. La razón de crecimiento de ambas funciones

depende directamente de la frecuencia natural del péndulo, reduciéndose

:?

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cuando este posee un peque)o "alor, de a'% la necesidad de centrarnos en

tal punto. #artiendo del 'ec'o de que la masa del carro es conocida, debido

a que por disponibilidad, eficiencia, tama)o y costo, este pre"iamente se lo

adquiere, la cual es de B.?<+ E!.

n base a lo mencionado, podemos disponer una serie de alternati"as

potenciales "iables, no obstante partiendo del 'ec'o de una elección

arbitraria pero justificable por los términos antes planteados, e9presamos que

inercia del péndulo, masa del carro es un factor irrele"ante pero la lon!itud

del cuestionado péndulo es factor incidente, pues entre mayor es, mejor 

controlabilidad obtendremos dentro de los limites prácticos. Como resultado

de lo mencionado ele!iremos una barra cil%ndrica de @ mm de diámetro de

acero ino9idable con una lon!itud de >> cm. B.<=B E!.0 que 'ará la función

de péndulo en nuestro sistema.

1.+. Re)"esentción del Sistem en Sim'lin,.

ste sistema es complicado modelarlo en 1imulinF debido a la

restricción f%sica pi"ote0 entre el carro y el péndulo que reducen los

!rados de libertad en el sistema.

:+

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Tanto el carro como el án!ulo de inclinación del péndulo 9 y θ

respecti"amente0 tienen un !rado de libertad, por lo cual entonces nosotros

modelaremos las ecuaciones de NeGton para esos dos !rados de libertad,

con el si!uiente proceder*

De las ecuaciones :;+0 y :;-0, despejamos el término diferencial de

se!undo !rado

   

     θ

β−θ+θ=τ=θ

   

   −−µ==

dt

dsinVcosH

I

$

I

$

dt

d

dt

dxbH

M

$(

M

$

dt

xd

)end2

2

%!*tx2

2

s necesario, sin embar!o, incluir la interacción e9istente entre las fuerzas 5

y H, del carro y la del péndulo para establecer la dinámica del sistema. La

adición de estas fuerzas requiere modelar de la dinámica del péndulo tanto

de χ  y y  como la de la "ariable θ. Con ello obtendremos pro"ec'o de las

bondades que presta el modelado a tra"és de 1imulinF no sin antes

mencionar que debemos estar sujetos al cuidado minucioso respecto alál!ebra in"olucrada, por lo que finalmente modelaremos las ecuaciones en

las que inter"ienen χ y y  para el péndulo.

:-

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H(

dt

xdm

)endx

2

cg2

==

 ∑

 dt

xdmH 

2

cg2

=⇒:;<>0

mgV(dt

ydm

)endy2

cg2

−==  ∑

 dt

ydmmgV2

cg2

=−⇒:;<?0

No obstante, χc!  y yc!  son funciones de t'eta, por consi!uiente, nosotros

podemos representar sus deri"aciones en términos de la deri"ada de t'eta.

2

2

2

2

2

2

cg2

cg

cg

dt

dsin

dt

dcos

dt

xd

dt

xd

dt

dcos

dt

dx

dt

dx

sinxx

   

    θθ+

θθ−=

θθ−=

θ−=

2

2

2

2

cg2

cg

cg

dt

dcos+

dt

dsin+

dt

yd

0dt

dy& 

dt

dsin+

dt

dy

dt

dy

cosyy

   

    θθθθ=

⇒=θ

θ=

θ+=

 

:=

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stas e9presiones pueden entonces ser substituidas dentro de las

e9presiones tanto para H y 5. n lu!ar de continuar con el ál!ebra aqu%,

nosotros simplemente representaremos estas ecuaciones en 1imulinF. 5ale

recalcar que 1imulinF puede operar con ecuaciones no lineales, de ese modo

es innecesario linealizar estas ecuaciones como procedimos en la sección

anterior.

La construcción del modelado del sistema realizado en 1(2L(NE se lo

detalla en el /péndice /.

:@

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1.-. Res)'est del Sistem L! A/ie"t!.

Los sistemas en los cuales la salida no afecta la acción de control se

denominan sistemas de control en lazo abierto. n otras palabras, en un

sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta

para compararla con la entrada. #or tanto, a cada entrada de referencia

le corresponde una condición de operación fijaI como resultado, la

precisión del sistema depende la calibración.

 /nte la presencia de perturbaciones, un sistema de control a lazo

abierto no realiza la tarea deseada. n la práctica, el control en lazo

abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y

si no 'ay perturbaciones internas ni e9ternas.

n requerimiento importante para nuestro sistema de control es de que

debe ser estable. sto si!nifica que si al sistema se aplica una entrada

de ma!nitud finita, entonces la salida deber%a también ser finita y de

nin!$n modo infinita, es decir incrementarse dentro de un l%mite, pero tal

ase"eración será puesta en tela de duda, para as% determinar la

estabilidad in'erente de nuestro sistema dinámico ori!inal.

:A

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Determinar la estabilidad de un sistema dada su función de transferencia

implica también determinar las ra%ces del polinomio del denominador de la

función y considerar si cualquiera de éstas son o no son positi"as, sin

embar!o podemos rendir una primera prueba que se aplica al re"isar los

coeficientes de la ecuación del denominador. 1i estos son todos positi"os y

nin!uno es cero, el sistema puede ser estable. 1i cualquiera de los

coeficientes es ne!ati"o, entonces el sistema es inestable y si cualquiera de

los coeficientes es cero, en el mejor de los casos el sistema es cr%ticamente

estable. #ara objeto de ilustración, a más de considerar lo antes planteado,

aplicaremos a nuestro sistema una se)al de entrada que nos permitirá

analizar el desempe)o del sistema, al obtener la respuesta ante tal

perturbación, la misma que será la base para la comparación del desempe)o

de di"ersos sistemas de control a determinar a lo lar!o del presente proyecto,

por ello al estar nuestro sistema sujeto a perturbaciones repentinas una

f'nción im)'ls! ser%a una buena se)al de prueba.

An#lisis de l "es)'est L! A/ie"t! del Sistem P(nd'l! In&e"tid!

medinte l $'nción de T"nsfe"enci 'snd! MATLAB.

La función de transferencia determinada a tra"és de la transformada de

Laplace puede analizarse usando 2atlab, para lo cual tanto el denominador 

como el numerador deben ser in!resados como "ectores, bajo la creación de

<B

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un arc'i"o;2, en donde los parámetros conocidos, como lo muestra la tabla

:;: de nuestro sistema son sustituidos en tal e9presión matemática. l

análisis de sistema en cuestión considerará a la fuerza de amorti!uamiento

cuyo efecto es retirar ener!%a del sistema, la cual es disipada en forma de

calor o de radiación, además es el resultado en !ran parte por la resistencia

que ofrece el aire y fricciones internas.

#or lo !eneral su descripción matemática es bastante complicada y no

adecuada, sin embar!o nos delimitaremos nuestro estudio utilizando el

modelo de amorti!uamiento "iscoso, tal como lo 'emos representado

anteriormente, el mismo que conduce a soluciones matemáticas manejables.

Las propiedades de amorti!uación de los materiales están listadas en

muc'as maneras diferentes, que dependen de las áreas técnicas en donde

se las aplica. l coeficiente de pérdida para mayor%a de los materiales "ar%an

de B,BB: a la unidad, dependiendo del material y las condiciones en que se

realizan las pruebas, por ello como una asunción razonable 'emos dispuesto

"alores a las constantes de amorti!uamiento que inciden en nuestro sistema

dentro de los limites tolerables, tal como lo describimos a continuación.

<:

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P"#met" !

Desc"i)ción 0l!"  

2 2asa del Carro B.?<+ E!.m 2asa del #éndulo B.<=B E!.

L Lon!itud del #éndulo B.>> m.

b Constante de amorti!uamientodebido al Carro

B.: Nms.

7 Constante de amorti!uamientodebida al #éndulo

B.B+ N.mrads.

TABLA 112  #/6J2T641 DL 1(1T2/ &K1(C4 #3NDL4 (N56T(D4

#or lo e9puesto, creamos un arc'i"o;2, copiando el si!uiente te9to para

modelar la función de transferencia y si obtener la respuesta ante tales

condiciones.

3...Res)'est del Sistem L! A/ie"t! nte 'n...3...Se4l Esclón......2 B.?<+Im B.<=BIb B.:I7 B.B+I! A.@Il B.:-+I 3..L!n5it'd medi del )(nd'l!( mMl<>I 3..Ine"ci del )(nd'l!q 2Om0M(OmMl<0;mMl0<I 3..0"i/le 'tilid

num PmMlq BQIden P: 7M2Om0ObM(OmMl<00q 7Mb;2Om0MmM!Ml0q ;bMmM!MlqQIpend tf num,den0 3..$'nción de t"nsfe"encit B*B.B:*+Iim)'lsenum,den,t0 3..%"#fica9isPB : B ABQ0

TABLA 1+2 (N1T6CC(4N1 D 2/TL/7 C4N L 14 D L/ &NC(RN DT6/N1&6NC(/

<<

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Como resultado de ejecutar tal arc'i"o en 2atlab, obtenemos como resultado

la &unción de Transferencia

  6.++6 ss7- 8 9.:;+ s7+ <1.=- s > 6.;:?

y la si!uiente respuesta del sistema

$I%URA 1+2 C42#46T/2(NT4 D(NJ2(C4 DL 1(1T2/ / L/S4 /7(6T4 /NT N/ 1/L (2#L14 C4N 14 D L/&NC(RN D T6/N1&6NC(/.

Como podemos obser"ar en la !ráfica, la respuesta es completamente

insatisfactoria, por lo que no es estable a lazo abierto además es notorio que

<>

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la amplitud de la salida sobrepasa -B radianes, la cual "iola uno de los

principales principios establecidos, por lo que el modelo es solo "álido para

peque)os "alores de θ. n realidad el péndulo parará de rotar cuando este

!olpee con el carro θABU0 debido a la restricción mecánica que esta

impone, no obstante nos proporciona una idea de la inestabilidad e9istente.

An#lisis de l Res)'est L! A/ie"t! del Sistem P(nd'l! In&e"tid!

medinte el Es)ci! de Estd!s 'snd! MATLAB.

La teor%a de control moderna contrasta con la teor%a de control con"encional

en que la primera se aplica a sistemas con entradas y salidas m$ltiples, que

pueden ser lineales o no lineales, en tanto que al se!undo sólo se aplica asistemas lineales con una entrada y una salida e in"ariante con el tiempo. 1in

embar!o antes de continuar, debemos definir estado, "ariables de estado,

"ector de estado y espacio de estados.

Estd!s.; l estado de un sistema dinámico es el conjunto más peque)o de

"ariables denominada "ariables de estado de modo que el conocimiento de

estas "ariables en t to, junto con el conocimiento de la entrada para t ≥ to,

determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo

t ≥to.

<?

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0"i/les de estd!. Las "ariables de estado de un sistema dinámico son

las que forman el conjunto más peque)o de "ariables que determinan el

estado del sistema dinámico.

0ect!" de estd!.; 1i se necesitan n "ariables de estado para describir por 

completo el comportamiento de un sistema determinado, estas n "ariables de

estado, se consideran los n  componentes de un "ector . Tal "ector se

denomina vector de estado. #or tanto un "ector de estado es aquel que

determina de manera $nica el estado del sistema t0 para cualquier tiempo t

≥ to, una "ez que se obtiene el estado en t to y se especifica la entrada µt0

para t ≥ to.

Es)ci! de estd!s.; l espacio de n dimensiones cuyos ejes coordenados

están formados por el eje 9:, el eje 9<,...,el eje 9n, se denomina espacio de

estados. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el

espacio de estados.

Ec'ci!nes en el es)ci! de estd!s. n el análisis en el espacio de

estados, nos concentraremos en tres tipos de "ariables in"olucradas en el

modelado de sistemas dinámicos* "ariables de entrada, "ariables de salida y

"ariables de estado. La representación en el espacio de estados no es $nica

para un sistema determinado, e9cepto que las "ariables de estado es i!ual

para cualquiera de las diferentes representaciones en el espacio de estados

del mismo sistema.

<+

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La cantidad de "ariables de estado necesarias para definir completamente la

dinámica del sistema es i!ual a la cantidad de inte!radores que contiene el

sistema. 1upon!a que un sistema de entradas y salidas m$ltiples contiene n

inte!radores. También supon!a que e9isten r entradas µ:t0, µ<t0I.....,µrt0 y

m salidas y:t0, y<t0,..,ymt0. 1e define las n salidas de los inte!radores

como "ariables de estado* 9:t0, 9<t0,...9nt0. / continuación el sistema se

describe mediante

( )   ( )

( )   ( )

( )   ( )t&,....,,&x,....,x,x- tx

t&,....,,&x,....,x,x- tx

t&,....,,&x,....,x,x- tx

*2$n2$nn

*2$n2$22

*2$n2$$$

µµµ=

µµµ=µµµ=

:;<+0

Las salidas y:t0, y<t0,..,ymt0, del sistema se obtiene mediante

( )   ( )

( )   ( )

( )   ( )t&,....,,&x,....,x,xgty

t&,....,,&x,....,x,xgty

t&,....,,&x,....,x,xgty

*2$n2$nn

*2$n2$22

*2$n2$$$

µµµ=

µµµ=µµµ=

:;<-0

las ecuaciones :;<+0 y :;<-0 se con"ierten en

( ) ( )t,,x- tx   µ= :;<=0

( )   t,,x/gty   µ= :;<@0

<-

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en donde la ecuación :;<=0 es la ecuación de estado y la ecuación :;<@0 es

la ecuación de la salida. 1i las funciones f yo 5 in"olucra e9pl%citamente el

tiempo t, el sistema se denomina sistema "ariante con el tiempo, caso

contrario fuese in"ariante con el tiempo y en donde este $ltimo cae dentro

nuestro estudio. 1i se linealizan las ecuaciones :;<=0 y :;<@0 alrededor del

estado de operación, tenemos las si!uientes ecuaciones de estado y salida

linealizadas*

( ) ( ) ( )tBt#xtx   µ+= :;<A0

( ) ( ) ( )tt%xty   µ+= :;>B0

en donde / se denomina matriz de estado, 7 matriz de entrada, C matriz de

salida y C matriz de transición directa. l primer paso a se!uir, es el de la

obtención matricial de las ecuaciones del sistema péndulo in"ertido en el

espacio de estado, para ello nos remitiremos al resultado de la sección

anterior, en base a la restricción de oscilaciones peque)as por parte del

péndulo, en donde las ecuaciones que describen la dinámica del sistema se

rescriben a continuación*

( )   umxbxmM   =θ−++  

xmmgBmI 2   =θ−θ+θ+

Definiendo las "ariables de estado χ:, χ<, χ> y χ? mediante*

<=

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X

X

4

3

2

$

=χθ=χ

θ=χ

Considerando que el án!ulo θ indica la rotación de la barra del péndulo con

respecto al punto #, y que es la ubicación del carro. Consideramos θ y

como salidas del sistema, o

χχ

=

θ=

=

3

$

2

$

Xy

yy

4bser"e que tanto θ como son cantidades que se miden fácilmente0. /s% apartir de la definición de las "ariables de estado y las ecuaciones que definen

su comportamiento dinámico, obtenemos*

( ) ( )

( )   ( ) ( )µ

++χ

+−χ−χ=χ

χ=χ

µ+χ−χ+−χ+=χ

χ=χ

q

mI

q

mIb

q

Bmg

q

m

q

m

q

bm

q

mMBgq

mmM

2

4

2

2$

2

4

43

42$2

2$

<@

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n donde

( ) ( )22 mmImMq     −++=

n términos de las ecuaciones matriciales, tenemos que*

( ) ( )

( )   ( )

µ

+

+

χχχχ

+−−

−+

−+

=

χχχχ

q

mI

0q

m0

qmIb0

qBmg

qm

$000q

bm0

q

mMBg

q

mmM00$0

2

4

3

2

$

224

3

2

$

:;>:0

µ

+

χχχχ

=

.

0

0.

0$00

000$

y

y

4

3

2

$

2

$

:;><0

na "ez establecido las ecuaciones de estado y de salida linealizadas,

realizamos las sustituciones pertinentes para determinar la matriz de estado

V/W, la matriz de entrada V7W, matriz de salida VCW y la matriz de transmisión

directa VDW, 'aciendo uso de 2/TL/7 en base a la correlación si!uiente*

<A

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µ+=

µ+=

%xy

B#xx

 /dicionalmente, con base a la misma se)al de entrada, es decir a la

aplicación de una fuerza impulso al carro, procederemos a la obser"ación de

la "elocidad de respuesta del sistema, sal"o el 'ec'o que esta "ez

tendremos control de respuesta del án!ulo del péndulo como de la posición

del carro. Todo lo e9puesto bajo la ejecución del si!uiente arc'i"o;2.

3...Res)'est del Sistem L! A/ie"t! nte 'n..3...Im)'ls! Unit"i!..2 B.?>+Im B.<=BIb B.:BI

7 B.B+I! A.@Il B.:-+I 3..L!n5it'd Medi del )(nd'l!( mMl<>Iq 2Om0M(OmMl<0;mMl0<I / PB : B BI  2Om0MmMlM!q ;7M2Om0q B ;mMlMbqI  B B B :I  mMl0<M!q ;7MmMlq B bM(OmMl<0qQ7 P BI  mMlqI  BI

  (OmMl<0qQC P: B B BI B B : BQD PBI BQpend ss/,7,C,D0I 3...M!del! del sistemT B*B.B+*:BI 3...Tiem)! de sim'lciónPX,T,Qim)'lsepend,T0IplotT,X0 3...Sim'lción @ 5"fic de "es)'esta9isPB : B ABQ

TABLA 1-2 (N1T6CC(4N1 N 2/TL/7 C4N L 14 D 1#/C(4 D1T/D41

>B

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na "ez ejecutado el arc'i"o;2 en 2/TL/7, obtenemos la pertinente !ráfica

de la "elocidad de respuesta del sistema ante una fuerza impulso como

entrada.

$I%URA 1-2 C42#46T/2(NT4 D(NJ2(C4 DL 1(1T2/ / L/S4 /7(6T4 /NT N/ 1/L (2#L14 N L 1#/C(4D 1T/D41.

s notorio la inestabilidad intr%nseca del sistema péndulo in"ertido, por lo cual

se 'ace factible el análisis y dise)o de un sistema de control que modifique la

dinámica del mismo, dentro de los cuales incluiremos di"ersas metodolo!%as

para lle"ar a cabo lo propuesto, sin embar!o antes de proceder por lo

e9puesto, 'aremos 'incapié al simulación, análisis a tra"és de 1imulinF.

>:

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An#lisis de l "es)'est L! A/ie"t! del Sistem P(nd'l! In&e"tid!

medinte Sim'lin,.

#ara !enerar una respuesta a lazo abierto del sistema #éndulo (n"ertido, es

necesario contener a el modelo antes descrito en un bloque del subsistema,

en la cual la perturbaremos con una función impulso, y su respuesta se

"isualizará es los )ntlls concernientes.

 / continuación presentaremos la confi!uración del bloque del subsistema,

resultante con sus respecti"as entradas y salidas utilizadas, no sin antes

mencionar que un impulso no puede ser simulada e9actamente en 1imulinF,

en lu!ar de ello usaremos un !enerador de pulsos de onda cuadrada para

producir pulsos finitos pero !randes en una lapso de tiempo finito en

inter"alos peque)os, que se apro9ima a la definición de una función impulso,

la cual se catalo!a como una se)al infinita para un tiempo infinitesimal, cuya

inte!ral es i!ual a :. #or lo mencionado, modificando para una amplitud de

:BBB a la onda cuadrada por un anc'o de pulso de B.BB:, lo!ramos as%

apro9imar el efecto de un impulso unitario. 4bteniendo lo si!uiente*

><

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$I%URA 1:2 171(1T2/ DL 24DL/D4 DL 1(1T2/#3NDL4 (N56T(D4 N 1(2L(NE.

 /ntes de empezar la simulación, debemos proceder a in!resar los

parámetros conocidos del sistema en análisis, el cual es in!resado

pre"iamente, recalcando como solo estamos interesados en el primer 

impulso y as% obtener las respuestas ante las condiciones impuestas, como lo

detallamos a continuación*

>>

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$I%URA 1?2 61#1T/ D L/ D15(/C(RN /N8L/6 DL #3NDL4 /NTN/ 1/L (2#L14 C424 D(1T67(4 N 1(2L(NE.

$I%URA 1<2 61#1T/ DL D1#L/S/2(NT4 DL C/664 /NT N/1/L (2#L14 C424 D(1T67(4 N 1(2L(NE.

>?

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He aqu% nuestro punto de partida para la e"aluación y comprobación de las

di"ersas metodolo!%as de control a usarse en este Nótese que el

comportamiento es distinto a la e9puesto en 2/TL/7, esto se debe a que

1imulinF permite la simulación de sistemas no lineales como lo es realmente

nuestro caso con respecto a θ0, sin embar!o la conclusión es la misma

debido a la inestabilidad in'erente de nuestro sistema a lazo abierto, por lo

que se 'ace necesario el análisis y dise)o de control proyecto.

1.:. Est"te5is de C!nt"!l.

Nosotros deseamos reducir el efecto no deseado de entrada, conocido

como dist'"/i!, que tiene su efecto sobre la se)al de salida, para ello

un sistema de control a lazo abierto no es satisfactorio, ya que su

condición de operación es fija, independientemente de la presencia o no

de la perturbación e9terna, de a'% el 'ec'o de recurrir a un 1istema de

Control de Lazo Cerrado o 6ealimentado.

n Sistem L! Ce""d! usa la medida de la se)al de salida y

produce a la comparación con la se)al deseada para !enerar una se)al

de error que es aplicada al actuador por medio de una ley de control a

definir. 1u aplicación a mas de la "entaja presentada denotaremos sus

caracter%stica que lo 'acen con"eniente en nuestra aplicación.

>+

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C!nt"!l de l Res)'est T"nsit!"i )" el Sistem de C!nt"!l.

na de las más importantes caracter%sticas de los 1istemas de Control es su

respuesta transitoria. La "es)'est t"nsit!"i  es la respuesta de un

1istema a una función de tiempo. Debido a que el propósito del 1istema de

Control es proporcionar una respuesta deseada, la respuesta transitoria del

1istema de Control a menudo debe ser ajustado 'asta ser satisfactorio. 1i un

sistema de control a lazo abierto no suministra una respuesta satisfactoria,

entonces el proceso debe ser reemplazado por un proceso con"eniente. #or 

lo contrario, un sistema a lazo cerrado puede a menudo ser ajustado para

rendir la respuesta deseada ajustando los parámetros del lazo de

realimentación.

Se4les de Dist'"/i! en 'n Sistem de C!nt"!l Relimentd!.

n factor adicional considerado importante en los efectos de realimentaciónen un sistema de control, es el control y la eliminación parcial de los efectos

de las se)ales de disturbio.

>-

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na se4l de dist'"/i! es una se)al de entrada indeseada que afecta las

se)ales de salida del sistema. 2uc'os sistemas de control son sujetos a

se)ales de disturbios e9tra)os que cause que el sistema proporcione una

salida ine9acta.

Los amplificadores electrónicos tiene ruido in'erente !enerado entre los

circuitos inte!rados o transistores, pro"ocando con ello se)ales no deseadas

debido a los elementos no lineales. Los sistemas realimentados tiene una

aspecto benéfico ante los efectos de distorsión, ruido y perturbaciones no

deseadas las cuales pueden ser efecti"amente reducidas.

E""!" en Estd! Est/le.

n sistema de control realimentado es "alioso debido a que proporciona al

in!eniero la 'abilidad de ajustar la repuesta transitoria. /demás, de

antemano podemos ase"erar que la sensibilidad del sistema y los efectos de

las perturbaciones pueden ser reducido si!nificati"amente. No obstante,

como un requisito mas distante, uno debe e9aminar y comparar el error deestado estable final. l e""!" en estd! est/le es el error después que la

respuesta transitorio 'a deca%do, partiendo $nicamente en una respuesta

continua. ste dependerá básicamente del tipo de sistema a tratar.

>=

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El C!st! de l Relimentción.

La adición de la realimentación para un sistema de control resulta una serie

de "entajas como la 'emos descrito. Naturalmente, sin embar!o, estas

"entajas tienes un costo complementario. l costo de la realimentación es

primero manifestado en el incremento del n$mero de c!m)!nentes  y

c!m)leidd del sistema. /!re!ar la realimentación, es necesario considerar 

"arios componentes de realimentación, de la cual el componente de medición

sensor0 es uno de los más importantes. l sensor es a menudo el

componente mas caro en un sistema de control. /demás el sensor introduce

ruido e ine9actitudes al sistema.

l se!undo costo de la realimentación es la )("did de 5nnci, cuya

factor es e9actamente el que reduce la sensibilidad del sistema a "ariaciones

parámetricas y perturbaciones. Nosotros debemos percibir que es la

!anancia salida;entrada que es reducida. l sistema de control retiene la

!anancia sustancial de ener!%a de fuerza del amplificador y actuador, en la

cual es totalmente usada en el sistema de control a lazo cerrado.

&inalmente un costo de realimentación es la incorporación de la posibilidad

de inest/ilidd. La pre!unta de estabilidad de un sistema a lazo cerrado

será referida más adelante donde podrá ser tratada mas en detalle.

>@

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La adición de la realimentación para el sistema dinámico resulta en "arios

problemas adicionales para el dise)ador. 1in embar!o, para la mayor%a de

los casos, las "entajas pesan mas que las des"entajas en el uso de un

sistema realimentado. #or consi!uiente es necesario considerar la

complejidad adicional y el problema de inestabilidad cuando dise)amos un

sistema de control.

La estrate!ia de control a seleccionar debe cumplir con el objeto de mantener 

el péndulo Vlo más cerca de la posición "erticalWI la misma que debe ser 

relati"amente fácil de implementar en la prácticaI y su efecto sobre el

comportamiento del sistema se debe poder predecir con facilidad. /l

inclinarse por una confi!uración de lazo cerradoI las0 "ariables0 de entrada

a medir para su realimentación deben realizarse, por medio de sensores

analó!icos apropiados, se!$n sea la metodolo!%a de control a se!uir. sta

información será transmitida 'acia el actuador mediante una ley de control a

establecer que a la "ez será el encar!ado de producir la fuerza de control

µθ,t0 que nos conlle"ará a los planteamientos propuestos.

>A

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=(,t)

, xConjunto

Carro-Péndulo

Sensor 

Amplificador mas

  Actuador 

Potencia Externa

Señal Proporcional a las variales de salida

$I%URA 1.92  1(1T2/ 6T64/L(2NT/D4

9isten muc'as soluciones posibles, de la cual analizaremos en el presente

proyecto los si!uientes*

a. 2étodo del Lu!ar 8eométrico de las 6a%ces.

b. bicación de #olos.

c. 6e!ulador Cuadrático Lineal.

?B