capi11

11

Transformaciones lineales del

espacio y matrices 3× 3

11.1 Transformaciones del espacio

Llamaremos transformaciones del espacio a las funciones de R3 en R3, las cuales de-notaremos mediante letras mayúsculas como P, Q, R, S, T, . . . , al igual que lo hicimoscon las transformaciones del plano.

Ejemplo 11.1

Sean U un vector no nulo de R3 y L la recta generada por U. Si X es un vector cualquierade R3, el vector Proy

UX, el cual está en L, lo llamaremos también la proyección de X

sobre L( ver figura 11.1).

Figura 11.1.

Denotaremos PU la transformación del espacio que asigna a cada vector X de R3, suproyección sobre la recta L. Es decir,

PU : R3 → R

3

X �→ PU (X) = ProyUX

La transformación PU la llamaremos proyección sobre la recta L.

Tomemos, por ejemplo, U =

⎛⎝ 1−23

⎞⎠ y hallemos para X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ las coordenadas

del vector PU (X) :

363

364 11. Transformaciones lineales del espacio y matrices 3× 3

PU (X) = ProyUX =

(X · UU · U

)U =

x− 2y + 3z14

⎛⎝ 1−23

⎞⎠ =

⎛⎝ 1

14x− 1

7y + 3

14z

−1

7x+ 2

7y − 3

7z

3

14x− 3

7y + 9

14z

⎞⎠

es decir,

PU

⎛⎝xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 1

14x− 1

7y + 3

14z

−1

7x+ 2

7y − 3

7z

3

14x− 3

7y + 9

14z

⎞⎠

Para las proyecciones PE1, PE2, PE3 sobre los ejes x, y, z respectivamente se tienen lassiguientes expresiones

PE1

⎛⎝xyz

⎞⎠ =

⎛⎝x00

⎞⎠ , PE2

⎛⎝xyz

⎞⎠ =

⎛⎝0y0

⎞⎠ , PE3

⎛⎝xyz

⎞⎠ =

⎛⎝00z

⎞⎠

las cuales se pueden obtener sin realizar ningún cálculo, dada la sencillez de su significadogeométrico �

Ejemplo 11.2

Como en el ejemplo 11.1, sea L la recta generada por un vector U de R3, U �= O. Deno-taremos SU la transformación del espacio que asigna a cada vector X de R3 la reflexiónde X respecto a la recta L, entendiéndose dicha reflexión de manera idéntica al caso delplano (vea figura 11.2).

Figura 11.2.

De igual forma que en el plano, se tiene que

SU (X) = 2PU (X)−Xasí que,

SU : R3 −→ R

3

X �→ SU (X) = 2PU (X)−XLa transformación SU la llamaremos reflexión respecto a la recta L.

Si X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ y,por ejemplo, U =

⎛⎝ 1−23

⎞⎠ entonces

SU

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = 2

⎛⎜⎝

1

14x− 1

7y + 3

14z

−1

7x+ 2

7y − 3

7z

3

14x− 3

7y + 9

14z

⎞⎟⎠−

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎜⎝−6

7x− 2

7y + 3

7z

−2

7x− 3

7y − 6

7z

3

7x− 6

7y + 2

7z

⎞⎟⎠ �

11.1. Transformaciones del espacio 365

Ejemplo 11.3

Sean U un vector no nulo de R3 y P el plano que pasa por el origen y con vector normal U.Para cada vectorX de R3, denotaremos QU (X) la proyección de X sobre el plano P, lacual se define como el punto donde la perpendicular trazada desde X al plano P intersectaa este plano, como se ilustra en la figura 11.3. En dicha figura también se muestra laproyección PU (X) del vector X sobre la recta L generada por U.

Figura 11.3.

En la figura 11.3 se aprecia que

X = QU (X) + PU (X)

o equivalentemente, queQU (X) = X − PU (X)

Tenemos así la transformación

QU : R3 −→ R

3

X �→ QU (X) = X − PU (X)la cual llamaremos proyección sobre el plano P.

Si X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ y U =

⎛⎝ 1−23

⎞⎠ se tiene que

QU

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ xyz

⎞⎠−

⎛⎜⎝

1

14x− 1

7y + 3

14z

−1

7x+ 2

7y − 3

7z

3

14x− 3

7y + 9

14z

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎝

13

14x+ 1

7y − 3

14z

1

7x+ 5

7y + 3

7z

− 3

14x+ 3

7y + 5

14z

⎞⎟⎠

Para la proyección sobre los planos coordenados no es necesario realizar ningún cálculo.

Por ejemplo, es claro que la proyección sobre el plano xy de un vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠ está dada

por

QE3

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ xy0

⎞⎠

lo cual se ilustra en la figura 11.4 �


Figura 11.4.

Ejemplo 11.4

Sea, como en el ejemplo 11.3, P un plano que pasa por el origen y con vector normal U. Paracada vector X de R3, RU (X) denotará la reflexión de X respecto al plano P, es decir,RU (X) es el otro extremo del segmento de recta trazado desde X perpendicularmente alplano P de tal modo que su punto medio es la proyección, QU (X) , de X sobre el plano P(vea figura 11.5).

Figura 11.5.

Así, por definición de RU (X) , el punto medio del segmento de extremos X y RU (X)es QU (X) , es decir,

QU (X) =1

2(X +RU (X))

Despejando RU (X) de esta igualdad se obtiene

RU (X) = 2QU (X)−X

Observe la similitud entre esta expresión para RU (X) y la expresión para SU (X), lacual es

SU (X) = 2PU (X)−XLa transformación

RU : R3 −→ R

3

X �→ RU (X) = 2QU (X)−Xla llamaremos reflexión respecto al plano P

11.1. Transformaciones del espacio 367

Si X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ y , por ejemplo, U =

⎛⎝ 1−23

⎞⎠ entonces

RU (X) = 2

⎛⎜⎝

13

14x+ 1

7y − 3

14z

1

7x+ 5

7y + 3

7z

− 3

14x+ 3

7y + 5

14z

⎞⎟⎠−

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎜⎝

6

7x+ 2

7y − 3

7z

2

7x+ 3

7y + 6

7z

−3

7x+ 6

7y − 2

7z

⎞⎟⎠

Por supuesto, la reflexión respecto a cualquiera de los planos coordenados no requiereningún cálculo. Por ejemplo, es claro que la reflexión respecto al plano xy de un vector⎛⎝ xyz

⎞⎠ está dado por

RE3

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ x

y−z

⎞⎠

lo cual se ilustra en la figura 11.6 �

Figura 11.6.

Ejemplo 11.5

Sea r ∈ R. Denotaremos Dr (como en el plano) la transformación del espacio que envíacada vector X de R3 en el vector rX, es decir,

Dr : R3 −→ R3

X �→ Dr (X) = rX

Es claro que para todo

⎛⎝ xyz

⎞⎠ de R3

Dr

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ rxryrz

⎞⎠

El efecto de Dr sobre los vectores de R3 es similar al de la transformación Dr del plano

sobre los vectores de R2 �


Ejemplo 11.6

Fijemos un número real θ , −2π < θ < 2π. Denotaremos Rzθ la transformación del espacio

que rota cada vector de R3 un ángulo de θ radianes alrededor del eje z. Para cada vector

X =

⎛⎝ x0y0z0

⎞⎠ de R3, esta transformación rota al vector X alrededor del punto

⎛⎝ 0

0z0

⎞⎠ en

el plano z = z0, un ángulo de θ radianes en el sentido antihorario si θ > 0 y en sentidohorario si θ < 0, entendiéndose que el sentido antihorario en el plano z = z0 correspondeal sentido en que se curvan los dedos de la mano derecha cuando el dedo pulgar apunta enla dirección positiva del eje z. En la figura 11.7 se ilustra el efecto de la rotación Rz

θ conθ > 0 sobre un vector X.

Figura 11.7.

Así las cosas, para cualquier vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠ de R3,

Rzθ

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ xcosθ − ysenθxsenθ + ycosθ

z

⎞⎠

La transformación Rzθ se llamará rotación por el ángulo θ, alrededor del eje z.

De manera similar Rxθ y R

yθ denotarán las rotaciones por un ángulo de θ radianes

alrededor del eje x y del eje y, respectivamente. Para cualquier vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠ de R3,

se tiene

Rxθ

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ xycosθ − zsenθysenθ + zcosθ

⎞⎠

y

Ryθ

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ xcosθ + zsenθ

y−xsenθ + zcosθ

⎞⎠

Note que los signos para Ryθ son diferentes a los signos para R

zθ y R

xθ �

Ejemplo 11.7

Fijemos un vector U de R3. Como en el plano, la transformación del espacio que envíacada vector X de R3 en X +U, se llamará traslación por el vector U y se denotará TU .

11.2. Transformaciones lineales y matrices 369

Es decir,TU : R

3 −→ R3

X �→ TU (X) = X + U

Si U =

⎛⎝x0y0z0

⎞⎠ entonces para cualquier vector

⎛⎝xyz

⎞⎠ de R3,

TU

⎛⎝xyz

⎞⎠ =

⎛⎝xyz

⎞⎠+

⎛⎝x0y0z0

⎞⎠ =

⎛⎝x+ x0y + y0z + z0

⎞⎠ �

De manera similar al caso del plano, se llaman transformación identidad y trans-

formación nula, respectivamente, las transformaciones

I : R3 −→ R3 y O : R3 −→ R

3

X �−→ I (X) = X X �−→ O (X) = O

11.2 Transformaciones lineales y matrices

Obsérvese que para cada una de las transformaciones T : R3 −→ R3, que aparecen en los

ejemplos 11.1 al 11.6, existen constantes ai, bi, ci con i = 1, 2, 3 de tal modo que la imagen

bajo T de cualquier vector

⎛⎝xyz

⎞⎠ de R3 es

T

⎛⎝xyz

⎞⎠ =

⎛⎝a1x+ a2y + a3zb1x+ b2y + b3zc1x+ c2y + c3z

⎞⎠ (11.1)

Como en el caso de las transformaciones del plano, toda transformación T : R3 −→ R3

del tipo (11.1) es llamada una transformación lineal del espacio. De manera que lastransformaciones PU , SU , QU , RU , R

xθ , R

yθ y R

zθ consideradas en este capítulo, como

también las transformaciones I y O, son transformaciones lineales del espacio. En cuanto

a la transformación TU , ésta es una transformación lineal sólo en el caso U =

⎛⎝000

⎞⎠ , caso

en el cual TU = I.Supongamos que T es una transformación lineal del espacio definida por (11.1). El

arreglo de números ⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠ (11.2)

se llama matriz de T y se denotará m (T ) . Por ejemplo, si U =

⎛⎝ 1−23

⎞⎠ ,

m (PU ) =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

14−1

7

3

14

−1

7

2

7−3

7

3

14−3

7

9

14

⎞⎟⎟⎟⎠


Por otra parte,

m (PE1) =

⎛⎝1 0 00 0 00 0 0

⎞⎠ , m (I) =

⎛⎝1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠ y m (O) =

⎛⎝0 0 00 0 00 0 0

⎞⎠

En general todo arreglo de números como el que aparece en (11.2) se dirá una matriz

3×3 (se lee “tres por tres”), una matriz de orden 3 o también unamatriz de tres filas

y tres columnas; los números a1, a2, a3 conforman la primera fila; b1, b2, b3 la segundafila y c1, c2, c3 la tercera fila. Los números a1, b1, c1 conforman la primera columna;a2, b2, c2 la segunda columna y a3, b3, c3 la tercera columna.

Denotaremos las matrices 3 × 3 mediante letras mayúsculas como A, B, C, . . . ; lamatriz m (I) se denotará I3 y se dirá la matriz identidad de orden 3, y la matriz m (O)se denotará O y se dirá la matriz nula de orden 3.

Dos matrices

A =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠ y B =

⎛⎝a′1 a′

2a′3

b′1b′2b′3

c′1c′2c′3

⎞⎠

se dicen iguales y se escribe A = B si

ai = a′

i, bi = b′

i y ci = c′

i para i = 1, 2, 3

A cada transformación lineal T del espacio hemos asociado una matriz 3 × 3, la cuales m (T ) . Por otra parte, toda matriz 3 × 3 como la que aparece en (11.2) es la matrizde una única transformación lineal del espacio, la cual es la transformación T : R3 −→ R

3

definida por (11.1). De manera que la correspondencia

T −→ m (T )

entre transformaciones lineales del espacio y matrices 3× 3 es biunívoca.

Si A =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠ y X =

⎛⎝xyz

⎞⎠ , definimos el producto AX de la matriz A por

el vector X de R3 así:

AX =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠⎛⎝xyz

⎞⎠ =

⎛⎝a1x+ a2y + a3zb1x+ b2y + b3zc1x+ c2y + c3z

⎞⎠

De manera que si T es la transformación lineal del espacio con matriz A entonces

T (X) = AX

para todo X de R3.

Ejemplo 11.8

Cualquiera sea X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ en R3,

•⎛⎝2 0 84 −3 56 7 9

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 2x+ 8z4x− 3y + 5z6x+ 7y + 9z

⎞⎠


•⎛⎝1 0 00 1 00 0 1

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ y

⎛⎝0 0 00 0 00 0 0

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠

• Si U =

⎛⎝ 1−23

⎞⎠ , PU

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎜⎝

1

14x− 1

7y + 3

14z

−1

7x+ 2

7y − 3

7z

3

14x− 3

7y + 9

14z

⎞⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝

1

14−1

7

3

14

−1

7

2

7−3

7

3

14−3

7

9

14

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ �

Al igual que para las transformaciones del plano, se tiene que:

Una transformación T : R3 −→ R3 es una transformación lineal

si y sólo siT (X + U) = T (X) + T (U) y T (rU) = rT (U)

para todo par de vectores X, U de R3 y todo escalar r

(11.3)

Las dos condiciones en (11.3) se pueden sustituir por la condición

T (rX + sU) = rT (X) + sT (U)

cualesquiera sean X, U en R3 y r, s en R.

Se tiene además que:

Si T : R3 −→ R3 es una transformación lineal, entonces

• T

⎛⎝ 000

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠

• Para cualquier vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠ de R3,

T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = T (xE1 + yE2 + zE3) = xT (E1) + yT (E2) + zT (E3)

(Por tanto, si se conocen T (E1) , T (E2) , y T (E3) ya se conoce

T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ , cualquiera sea el vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠)

• m (T ) =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠ si y sólo si T (E1) =

⎛⎝ a1b1c1

⎞⎠ , T (E2) =

⎛⎝a2b2c2

⎞⎠

y T (E3) =

⎛⎝a3b3c3

⎞⎠


Ejemplo 11.9

Consideremos la transformación del espacio

T : R3 −→ R3⎛

⎝ xyz

⎞⎠ �−→ T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 2x− z

x+ z/3x− y/2 + 4z

⎞⎠

Es claro que T es una transformación lineal pues su ley de asignación es de la forma(11.1). La matriz de T es

m (T ) =

⎛⎝2 0 −11 0 1

3

1 −1

24

⎞⎠

Comprobemos que T

⎛⎝ 000

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ y que T (E1) , T (E2) , T (E3) son, respectiva-

mente, la primera, segunda y tercera columna de la matriz m (T ) :

T

⎛⎝ 000

⎞⎠ =

⎛⎝ 2 (0)− 0

0 + 0/30− 0/2 + 4 (0)

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠

T (E1) =

⎛⎝ 2 (1)− 0

1 + 0/31− 0/2 + 4 (0)

⎞⎠ =

⎛⎝ 211

⎞⎠ = primera columna de m (T )

T (E2) =

⎛⎝ 2 (0)− 0

0 + 0/30− 1/2 + 4 (0)

⎞⎠ =

⎛⎝ 0

0−1/2

⎞⎠ = segunda columna de m (T )

T (E3) =

⎛⎝ 2 (0)− 1

0 + 1/30− 0/2 + 4 (1)

⎞⎠ =

⎛⎝ −1

1/34

⎞⎠ = tercera columna de m (T ) �

Ejemplo 11.10

Sea S una transformación lineal del espacio tal que

S (E1) =

⎛⎝ −2

34

⎞⎠ , S (E2) =

⎛⎝ 0−15

⎞⎠ y S (E3) =

⎛⎝ −2

0−3

⎞⎠

Halle la ley de asignación de S.

Solución:

Sea

⎛⎝ xyz

⎞⎠ un vector cualquiera de R3. Dado que

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = xE1 + yE2 + zE3


y puesto que S es una transformación lineal,

S

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = S (xE1 + yE2 + zE3)

= x S (E1) + y S (E2) + z S (E3)

= x

⎛⎝ −2

34

⎞⎠+ y

⎛⎝ 0−15

⎞⎠+ z

⎛⎝ −2

0−3

⎞⎠

=

⎛⎝ −2x− 2z

3x− y4x+ 5y − 3z

⎞⎠

Así, la ley de asignación de S es

S

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ −2x− 2z

3x− y4x+ 5y − 3z

⎞⎠

También podemos obtener la ley de asignación de S hallando primero m (S) como seindica a continuación:

Como S es una transformación lineal del espacio, las columnas primera, segunda ytercera de m (S) son respectivamente S (E1) , S (E2) , S (E3) ; por tanto,

m (S) =

⎛⎝−2 0 −23 −1 04 5 −3

⎞⎠

Luego, para cualquier vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠ de R3,

S

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝−2 0 −23 −1 04 5 −3

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ −2x− 2z

3x− y4x+ 5y − 3z

⎞⎠ �

Si T : R3 −→ R3 es una transformación del espacio y C es un conjunto de puntos del

espacio, la imagen T (C) del conjunto C bajo T es, como en el plano, el conjunto

T (C) = {T (X) /X ∈ C}

Respecto a la imagen bajo una transformación lineal de una recta, un segmento derecta o un paralelogramo se tienen resultados completamente análogos a los ya conocidosen el caso del plano. Se tiene, además, lo siguiente:


Si T : R3 −→ R3 es una transformación lineal entonces:

1. La imagen T (P) de un plano P bajo T es un plano, una recta o un conjuntocon un solo punto.2. La imagen T

(R3)de todo el espacio R3 bajo T, es todo R3, un plano que

pasa por el origen, una recta que pasa por el origen o es el conjunto

⎧⎨⎩⎛⎝ 000

⎞⎠⎫⎬⎭ .

3. La imagen del paralelepípedo determinado por tres vectores X,Y y Z deR3, es el paralelepípedo determinado por T (X) , T (Y ) y T (Z) si estos vectores

son L.I.1

Para probar 2. partiremos de que

R3 = {xE1 + yE2 + zE3/x, y, z ∈ R}

Por tanto,T(R3)= {T (xE1 + yE2 + zE3) /x, y, z ∈ R}

y como T es una transformación lineal,

T (xE1 + yE2 + zE3) = xT (E1) + yT (E2) + zT (E3)

luego,T(R3)= {xT (E1) + yT (E2) + zT (E3) /x, y, z ∈ R}

Así que T(R3)es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores T (E1) ,

T (E2) , T (E3) . Se tiene así que:• Si T (E1) , T (E2) , T (E3) son vectores L.I. entonces

T(R3)= R3

pues en tal caso todo vector de R3 es expresable como C.L. de los vectores T (E1) , T (E2) ,T (E3)

• Si dos de los vectores T (E1) , T (E2) , T (E3) son L.I. y el otro es C.L. de aquellosentonces T

(R3)es el plano generado por esos dos vectores linealmente independientes. A

continuación probaremos esto para el caso en que T (E1) , T (E2) son linealmente indepen-dientes y T (E3) es combinación lineal de T (E1) y T (E2) , es decir,

T (E3) = rT (E1) + sT (E2)

para ciertos escalares r y s. En este caso, toda combinación lineal de T (E1) , T (E2) y T (E3)es también una C.L. de T (E1) y T (E2) ya que si x, y, z son escalares cualesquiera

xT (E1) + yT (E2) + zT (E3) = xT (E1) + yT (E2) + z (rT (E1) + sT (E2))

= (x+ zr)T (E1) + (y + zs)T (E2)

Por otra parte, es claro que toda combinación lineal de T (E1) y T (E2) es tambiéncombinación lineal de T (E1) , T (E2) y T (E3) ya que si x, y son escalares cualesquiera,

xT (E1) + yT (E2) = xT (E1) + yT (E2) + 0T (E3)

1Cuando los vectores T (X) , T (Y ) y T (Z) son L.D., la imagen del paralelepípedo determinado por X, Yy Z no es necesariamente un paralelogramo, un segmento o un punto.


De manera que el conjunto de todas las combinaciones lineales de T (E1) , T (E2) y T (E3)(el cual es T

(R3)) es igual al conjunto de todas las combinaciones lineales de T (E1) y

T (E2) (el cual es el plano generado por estos vectores).

Se deja como ejercicio para el lector completar la prueba de la afirmación 2. y tambiénprobar lo afirmado en 1. y 3.

Ejemplo 11.11

Sea T la transformación lineal del espacio tal que

T (E1) =

⎛⎝ 1

0−1

⎞⎠ , T (E2) =

⎛⎝ 011

⎞⎠ , T (E3) =

⎛⎝ 110

⎞⎠

Halle la imagen bajo T de:

a) El segmento AB donde A =

⎛⎝ 100

⎞⎠ y B =

⎛⎝ 0−11

⎞⎠ .

b) La recta L que pasa por los puntos P =

⎛⎝ 2−14

⎞⎠ y Q =

⎛⎝ 013

⎞⎠ .

c) La recta L′ que pasa por el puntoR =⎛⎝ −5

27

⎞⎠ y tiene vector director U =

⎛⎝ −1−11

⎞⎠ .

d) El plano P generado por Y =

⎛⎝ −1

23

⎞⎠ y V =

⎛⎝ 014

⎞⎠ .

e) El espacio R3.

Solución:

Comencemos por hallar la ley de asignación de T :

Si

⎛⎝ xyz

⎞⎠ es un punto cualquiera de R3,

T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = T (xE1 + yE2 + zE3)

= xT (E1) + yT (E2) + zT (E3)

= x

⎛⎝ 1

0−1

⎞⎠+ y

⎛⎝ 011

⎞⎠+ z

⎛⎝ 110

⎞⎠

=

⎛⎝ x+ z

y + z−x+ y

⎞⎠


a) Las imágenes de A y B bajo T están dadas por

T (A) = T

⎛⎝ 100

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 + 0

0 + 0−1 + 0

⎞⎠ =

⎛⎝ 1

0−1

⎞⎠ y

T (B) = T

⎛⎝ 0−11

⎞⎠ =

⎛⎝ 0 + 1−1 + 1−0− 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 1

0−1

⎞⎠ .

Como T (A) = T (B) entonces

T(AB)= {T (A)} =

⎧⎨⎩⎛⎝ 1

0−1

⎞⎠⎫⎬⎭

b) Se tiene

T (P ) = T

⎛⎝ 2−14

⎞⎠ =

⎛⎝ 2 + 4−1 + 4−2− 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 6

3−3

⎞⎠ y

T (Q) = T

⎛⎝ 013

⎞⎠ =

⎛⎝ 0 + 31 + 30 + 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 341

⎞⎠ .

Como T (P ) �= T (Q) entonces T (L) es la recta que pasa por T (P ) y T (Q) .

c) Tenemos

T (R) = T

⎛⎝ −5

27

⎞⎠ =

⎛⎝ −5 + 7

2 + 7− (−5) + 2

⎞⎠ =

⎛⎝ 297

⎞⎠ y

T (U) = T

⎛⎝ −1−11

⎞⎠ =

⎛⎝ −1 + 1

−1 + 1− (−1)− 1

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ .

Como T (U) = O, entonces

T(L′) = {T (R)} =

⎧⎨⎩⎛⎝ 297

⎞⎠⎫⎬⎭

d) ComoP = {tY + rV/ t, s ∈ R}

la imagen de P bajo la transformación lineal T es

T (P) = {tT (Y ) + rT (V ) / t, s ∈ R}Ahora, dado que

T (Y ) =

⎛⎝ 253

⎞⎠ y T (V ) =

⎛⎝ 451

⎞⎠


entonces

T (P) =⎧⎨⎩t⎛⎝ 253

⎞⎠+ r

⎛⎝ 451

⎞⎠/ t, s ∈ R

⎫⎬⎭

Por último, como los vectores

⎛⎝ 253

⎞⎠ y

⎛⎝ 451

⎞⎠ son linealmente independientes, la

imagen del plano P bajo T es otro plano, el plano generado por dichos vectores.

e) ComoR3 = {xE1 + yE2 + zE3/x, y, z ∈ R}

entonces la imagen de R3 bajo la transformación lineal T es

T(R3)= {xT (E1) + yT (E2) + zT (E3) / x, y, z ∈ R}

donde

T (E1) =

⎛⎝ 1

0−1

⎞⎠ , T (E2) =

⎛⎝ 011

⎞⎠ y T (E3) =

⎛⎝ 110

⎞⎠

Ahora veamos si los vectores T (E1) , T (E2) , T (E3) son L.I.:Es claro que T (E1) y T (E2) son linealmente independientes. Consideremos entonces

el plano generado por estos vectores y veamos si T (E3) es o no un punto de dicho plano.Un vector normal N al plano generado por T (E1) y T (E2) es el vector

N = T (E1)× T (E2) =∣∣∣∣∣∣E1 E2 E31 0 −10 1 1

∣∣∣∣∣∣ = E1 −E2 +E3 =⎛⎝ 1−11

⎞⎠

Luego, una ecuación para dicho plano es

x− y + z = 0

Ahora, como el punto T (E3) =

⎛⎝ 110

⎞⎠ satisface esta ecuación ya que 1 − 1 + 0 = 0,

entonces T (E3) está en el plano generado por T (E1) y T (E2) y por tanto T (E3) es C.L.de T (E1) y T (E2) .

En resumen, T (E1) y T (E2) son linealmente independientes y T (E3) es combinaciónlineal de T (E1) , T (E2).

Se sigue que T(R3)es el plano generado por los vectores T (E1) =

⎛⎝ 1

0−1

⎞⎠ y

T (E2) =

⎛⎝ 011

⎞⎠ , es decir,

T(R3)=

⎧⎨⎩t⎛⎝ 1

0−1

⎞⎠+ s

⎛⎝ 011

⎞⎠/ t, s ∈ R

⎫⎬⎭ =

⎧⎨⎩⎛⎝ xyz

⎞⎠ ∈ R3 : x− y + z = 0

⎫⎬⎭ �


11.3 Operaciones con transformaciones lineales y matrices

Sean T y S transformaciones del espacio y r un escalar. Las transformaciones T + S, rTy T ◦ S se definen exactamente como si T y S fueran transformaciones del plano. Al igualque en el caso del plano, es fácil probar que si T y S son transformaciones lineales entoncesT + S, rT y T ◦ S también lo son.

Por ejemplo, una manera de probar que T +S es una transformación lineal si T y S loson, es probando que

(T + S) (tX + rU) = t (T + S) (X) + r (T + S) (U)

para todo par de vectores X, U de R3 y todo par de escalares t, r, como se muestra acontinuación:

(T + S) (tX + rU) = T (tX + rU) + S (tX + rU)

= tT (X) + rT (U) + tS (X) + rS (U)

= t (T (X) + S (X)) + r (T (U) + S (U))

= t (T + S) (X) + r (T + S) (U)

También se puede probar que T +S es una transformación lineal si T y S lo son, de lasiguiente manera:

Digamos que

m (T ) =

⎛⎝a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠ y m (S) =

⎛⎝b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

⎞⎠ (11.4)

Por tanto, para cualquier

⎛⎝ xyz

⎞⎠ de R3,

(T + S)

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = T

⎛⎝ xyz

⎞⎠+ S

⎛⎝ xyz

⎞⎠

=

⎛⎝ a11x+ a12y + a13za21x+ a22y + a23za31x+ a32y + a33z

⎞⎠+

⎛⎝ b11x+ b12y + b13zb21x+ b22y + b23zb31x+ b32y + b33z

⎞⎠

Luego,

(T + S)

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ (a11 + b11)x+ (a12 + b12) y + (a13 + b13) z(a21 + b21)x+ (a22 + b22) y + (a23 + b23) z(a31 + b31)x+ (a32 + b32) y + (a33 + b33) z

⎞⎠

Esta última igualdad prueba que T + S es una transformación lineal del espacio yademás que

m (T + S) =

⎛⎝a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33

⎞⎠

11.3. Operaciones con transformaciones lineales y matrices 379

Se hace uso de esta igualdad para definir una suma entre matrices 3× 3 así:⎛⎝a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠+

⎛⎝b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

⎞⎠ =

⎛⎝a11 + b11 a12 + b12 a13 + b13a21 + b21 a22 + b22 a23 + b23a31 + b31 a32 + b32 a33 + b33

⎞⎠

Se insiste en que, al igual que para matrices 2× 2, la suma entre matrices 3× 3 se hadefinido de modo de que ella corresponda a la suma de transformaciones lineales, es decir,de modo que

m (T ) +m (S) =m (T + S)

De manera similar se demuestra que si T es una transformación lineal del espacio conm (T ) como en (11.4) entonces rT es una transformación lineal y

m (rT ) =

⎛⎝ra11 ra12 ra13ra21 ra22 ra23ra31 ra32 ra33

⎞⎠

Se define el producto de un escalar por una matriz 3× 3 en la forma

r

⎛⎝a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠ =

⎛⎝ra11 ra12 ra13ra21 ra22 ra23ra31 ra32 ra33

⎞⎠

con lo cual se tiene quer (m (T )) = m (rT )

Consideremos ahora la compuesta T◦S de dos transformaciones lineales T y S conm (T )y m (S) como en (11.4). El lector puede probar que T ◦ S también es una transformaciónlineal, sin hacer uso de m (T ) y m (S) .

Cuando T y S son transformaciones lineales, la compuesta T ◦ S también se llamaproducto de T y S y se denota TS. Podemos calcular m (TS) de la siguiente manera:

La primera columna de m (TS) es el vector

(TS) (E1) = T (S (E1))

= T

⎛⎝ b11b21b31

⎞⎠ , pues S (E1) =

⎛⎝ b11b21b31

⎞⎠

=

⎛⎝a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠⎛⎝ b11b21b31

⎞⎠

=

⎛⎝ a11b11 + a12b21 + a13b31a21b11 + a22b21 + a23b31a31b11 + a32b21 + a33b31

⎞⎠

De manera similar se calculan las columnas segunda y tercera de m (TS) , las cualesson respectivamente, los vectores (TS) (E2) y (TS) (E3).

Se obtiene así que

m (TS) =

⎛⎝c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

⎞⎠


dondec11 = a11b11 + a12b21 + a13b31

y en general, para i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j (11.5)

Nótese que en m (TS) , el escalar cij, ubicado en la intersección de la fila i y la columnaj se obtiene a partir de la fila i de m (T ) y de la columna j de m (S) como se ilustra acontinuación :

ai1 ai2 ai3

b1j

b2j

b3j

= ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j

Se define ahora el producto de dos matrices 3× 3 de modo quem (T )m (S) = m (TS)

es decir, se define el producto de dos matrices 3× 3 de la siguiente manera:⎛⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠⎛⎝ b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

⎞⎠ =

⎛⎝ c11 c12 c13c21 c22 c23c31 c32 c33

⎞⎠ (11.6)

donde los escalares cij se calculan como ya se ha indicado. Por ejemplo (vea los elementosencerrados en rectángulos en (11.6)),

c23 = a21b13 + a22b23 + a23b33

Obsérvese que el producto de dos matrices 3 × 3 se obtiene de manera similar al de dosmatrices 2× 2.Ejemplo 11.12

Sea K la reflexión respecto al plano xy y sea J la reflexión respecto al plano yz. Entonces

para cualquier vector X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ de R3 se tiene:

J

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ −x

yz

⎞⎠ y (KJ)

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = K

⎛⎝J⎛⎝ xyz

⎞⎠⎞⎠ = K

⎛⎝ −x

yz

⎞⎠ =

⎛⎝ −x

y−z

⎞⎠

Por otra parte

K

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ x

y−z

⎞⎠ y (JK)

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = J

⎛⎝K

⎛⎝ xyz

⎞⎠⎞⎠ = J

⎛⎝ x

y−z

⎞⎠ =

⎛⎝ −x

y−z

⎞⎠

Observe que en este caso KJ = JK (vea figura 11.8), aunque en general el productode transformaciones lineales no es conmutativo. �


Figura 11.8.

Ejemplo 11.13

Sean P la proyección sobre el plano xy, Q la proyección sobre el plano yz y X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠

un vector cualquiera de R3. Entonces:

P

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ xy0

⎞⎠ , Q

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 0yz

⎞⎠

(PQ)

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = P

⎛⎝Q

⎛⎝ xyz

⎞⎠⎞⎠ = P

⎛⎝ 0yz

⎞⎠ =

⎛⎝ 0y0

⎞⎠

(QP )

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = Q

⎛⎝P

⎛⎝ xyz

⎞⎠⎞⎠ = Q

⎛⎝ xy0

⎞⎠ =

⎛⎝ 0y0

⎞⎠

(PP )

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = P

⎛⎝P

⎛⎝ xyz

⎞⎠⎞⎠ = P

⎛⎝ xy0

⎞⎠ =

⎛⎝ xy0

⎞⎠

(QQ)

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = Q

⎛⎝Q

⎛⎝ xyz

⎞⎠⎞⎠ = Q

⎛⎝ 0yz

⎞⎠ =

⎛⎝ 0yz

⎞⎠

Observe que PQ = QP, P 2 = P y Q2 = Q (vea figura 11.9). �


Figura 11.9.

Ejemplo 11.14

Considere las transformaciones lineales del espacio T y S definidas por

T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ x− 2yx+ y + z−3x+ z

⎞⎠ y S

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ xy + zz

⎞⎠

Halle la matriz de transformación lineal (4T + S)T

Solución:m [(4T + S)T ] = m (4T + S)m (T )

= [m (4T ) +m (S)]m (T )= [4m (T ) +m (S)]m (T )

Como

m (T ) =

⎛⎝ 1 −2 0

1 1 1−3 0 1

⎞⎠ y m (S) =

⎛⎝1 0 00 1 10 0 1

⎞⎠

entonces

4m (T ) +m (S) = 4

⎛⎝ 1 −2 0

1 1 1−3 0 1

⎞⎠+

⎛⎝1 0 00 1 10 0 1

⎞⎠

=

⎛⎝ 4 −8 0

4 4 4−12 0 4

⎞⎠+

⎛⎝1 0 00 1 10 0 1

⎞⎠

=

⎛⎝ 5 −8 0

4 5 5−12 0 5

⎞⎠

y así

m [(4T + S)T ] = [4m (T ) +m (S)]m (T )

=

⎛⎝ 5 −8 04 5 5−12 0 5

⎞⎠⎛⎝ 1 −2 0

1 1 1−3 0 1

⎞⎠

=

⎛⎝ −3 −18 −8−6 −3 10−27 24 5

⎞⎠


Otra manera de hallar la matriz de la transformación lineal (4T + S)T consiste enbuscar primero la ley de asignación de esta transformación, como se muestra a continuación:

Si

⎛⎝ xyz

⎞⎠ es un vector cualquiera de R3 entonces

[(4T + S)T ]

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = (4T + S)

⎡⎣T⎛⎝ xyz

⎞⎠⎤⎦

= (4T )

⎡⎣T⎛⎝ xyz

⎞⎠⎤⎦+ S

⎡⎣T⎛⎝ xyz

⎞⎠⎤⎦

= 4T

⎛⎝ x− 2yx+ y + z−3x+ z

⎞⎠+ S

⎛⎝ x− 2yx+ y + z−3x+ z

⎞⎠

= 4

⎛⎝ x− 2y − 2 (x+ y + z)x− 2y + x+ y + z − 3x+ z

−3 (x− 2y)− 3x+ z

⎞⎠+

⎛⎝ x− 2yx+ y + z − 3x+ z

−3x+ z

⎞⎠

=

⎛⎝ −3x− 18y − 8z

−6x− 3y + 10z−27x+ 24y + 5z

⎞⎠

Luego,

m [(4T + S)T ] =

⎛⎝ −3 −18 −8−6 −3 10−27 24 5

⎞⎠ �

Las operaciones suma, multiplicación por escalar y producto, definidas para transfor-maciones lineales del espacio y para matrices 3 × 3, gozan de las mismas propiedadesalgebraicas ya establecidas en el capítulo 4 para dichas operaciones con transformacioneslineales del plano y con matrices 2× 2.

En cuanto al producto de una matriz 3× 3 por un vector de R3, éste tiene también lasmismas propiedades que tiene su similar para matrices 2×2 y vectores de R2. En particularse tiene que:

• Si A =

⎛⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠ y X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ entonces

AX = x

⎛⎝ a11a21a31

⎞⎠+ y

⎛⎝ a12a22a32

⎞⎠+ z

⎛⎝ a13a23a33

⎞⎠

Nótese que el vector AX es combinación lineal de las columnas de A.

• Cualquiera sea la matriz A =

⎛⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠ , la matriz transpuesta de A,

denotada AT es


AT =

⎛⎝ a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

⎞⎠

Cualquiera sea el vector X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ , el transpuesto de X es XT =

(x y z

). Si

X y A son como se ha indicado y U =

⎛⎝ uvw

⎞⎠ , definimos los siguientes productos:

XTU =(x y z

)⎛⎝ uvw

⎞⎠ = xu+ yv + zw = X.U

XTA =(x y z

)⎛⎝ a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

⎞⎠

=(xa11 + ya21 + za31 xa12 + ya22 + za32 xa13 + ya23 + za33

)Como el lector puede comprobar fácilmente, la transpuesta y los productos aquí definidos

tienen las propiedades enunciadas en el ejercicio 30 del capítulo 4 para el caso de matrices2× 2 y vectores de R2.

11.4 Inversa para transformaciones lineales y matrices

La noción de invertibilidad para una transformación del espacio es la misma que para unatransformación del plano y en general la misma que para una función cualquiera.

Ejemplo 11.15

Sea L la recta generada por un vector U de R3, U �= O .

a) La proyección PU sobre la recta L no es una transformación invertible. Para ver esto,basta considerar cualquier recta L′ perpendicular a L que pase por el origen y dos puntosX1, X2 en L′ con X1 �= X2. Es claro que

PU (X1) = O = PU (X2)

luego PU no es uno a uno y por tanto PU no es invertible (ver figura 11.10).

b) La reflexión SU respecto a la recta L es invertible y S−1U = SU . En efecto,

SUSU = I

(ver figura 11.10). �

11.4. Inversa para transformaciones lineales y matrices 385

Figura 11.10.

Ejemplo 11.16

Para r �= 0 la transformación Dr es invertible y D−1r = D1

r

puesto que, como el lector

puede verificar,DrD1

r

= I = D1

r

Dr �

Ejemplo 11.17

Para cada θ, −2π < θ < 2π, las rotaciones Rxθ , R

yθ , R

zθ alrededor de los ejes x, y, z

respectivamente, son invertibles y

(Rxθ )−1 = Rx

−θ,(Ryθ

)−1= Ry

−θ y (Rzθ)−1 = Rz

−θ �

Ejemplo 11.18

Sea T la transformación lineal del espacio tal que

m (T ) =

⎛⎝ 1 −1 0

0 1 −1−1 0 1

⎞⎠

Veamos que la imagen T(R3)del espacio R3 bajo T no es todo R3, es decir, que T no

es sobre.

En efecto, para cada vector

⎛⎝ x0y0z0

⎞⎠ de R3,

T

⎛⎝ x0y0z0

⎞⎠ =

⎛⎝ 1 −1 0

0 1 −1−1 0 1

⎞⎠⎛⎝ x0y0z0

⎞⎠ =

⎛⎝ x0 − y0

y0 − z0−x0 + z0

⎞⎠

y se observa que el punto

⎛⎝ x0 − y0

y0 − z0−x0 + z0

⎞⎠ satisface la ecuación

x+ y + z = 0 (11.7)

pues(x0 − y0) + (y0 − z0) + (−x0 + z0) = 0

Luego, todas las imágenes bajo T de vectores en R3 caen en el plano P cuya ecuaciónes (11.7), es decir, T

(R3) ⊆ P. Así T no es sobre.

Ahora, como T no es sobre entonces T no es invertible. �


A continuación estableceremos para transformaciones lineales del espacio, resultadoscompletamente análogos a los ya establecidos para transformaciones lineales del planorespecto al concepto de invertibilidad. El primero de ellos es:

Sea T : R3 −→ R3 una transformación lineal. Si T es invertible entonces

T−1 es una transformación lineal.

La prueba de este resultado se deja como ejercicio para el lector. En segundo lugartenemos:

Una transformación lineal T : R3 −→ R3 es invertible si y sólo si

el único vector X de R3 tal que T (X) = O es X = O

Es claro que si no se cumple la condición

“El único vector X de R3 tal que T (X) = O es X = O ” (11.8)

entonces T no es uno a uno y en consecuencia T no es invertible. De manera que si T esinvertible entonces debe cumplirse (11.8).

Supongamos ahora que se cumple (11.8) y probemos que T es invertible, probando queT es uno a uno y sobre. Para probar que T es uno a uno, supongamos que X1, X2 sonvectores de R3 tales que T (X1) = T (X2) y probemos que X1 = X2 :

Si T (X1) = T (X2) entonces T (X1) − T (X2) = O, y como T es una transformaciónlineal, T (X1)−T (X2) = T (X1 −X2) , luego T (X1 −X2) = O. Ahora, usando la condición(11.8) concluimos que X1 −X2 = O de donde X1 = X2.

Para probar que T es sobre probemos que T(R3)= R3 :

ComoR3 = {xE1 + yE2 + zE3/ x, y, z ∈ R}

entoncesT(R3)= {xT (E1) + yT (E2) + zT (E3) / x, y, z ∈ R}

es decir, T(R3)es el conjunto de todas las C.L. de los vectores T (E1) , T (E2) , T (E3) .

Si probamos que estos vectores son L.I. tendremos que todo vector de R3 es C.L. de ellos,es decir, que R3 ⊆ T (R3), y como T (R3) ⊆ R3 entonces tendremos T (R3) = R3 como sedesea probar.

Ahora, los vectores T (E1) , T (E2) , T (E3) son L.I., ya que ninguno de los tres esC.L. de los otros dos, pues si (por ejemplo) se diera que T (E3) = tT (E1) + sT (E2) cont, s ∈ R entonces se tendría que T (E3) = T (tE1 + sE2) y como T es uno a uno ocurriráque E3 = tE1 + sE2, lo cual no puede ocurrir ya que E1, E2, E3 son L.I.

Se completa así la prueba de que si se da (11.8) entonces T es invertible �

El turno es ahora para el siguiente resultado:

Sea T : R3 −→ R3 una transformación lineal.

T es invertible si y sólo si las columnas de m (T ) son L.I.


Para probarlo, digamos que

m (T ) =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠ (11.9)

Es fácil ver que en la siguiente lista de afirmaciones, cada una (a partir de la segunda)es equivalente a la anterior:

i) T es invertibleii) El único vector X de R3 tal que T (X) = O es X = O

iii) El único vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠ de R3 tal que

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ es

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠

iv) Los únicos escalares x, y, z tales que

x

⎛⎝a1b1c1

⎞⎠+ y

⎛⎝a2b2c2

⎞⎠+ z

⎛⎝a3b3c3

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠

son x = 0, y = 0 y z = 0v) Ninguna de las columnas de m (T ) es combinación lineal de las otras dos (es decir,

las columnas de m (T ) son L.I.)Así que la primera y la última de las afirmaciones anteriores son equivalentes, como se

quería probar �

Otro resultado importante es:

Si T : R3 −→ R3 es una transformación lineal con m (T ) =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠

entonces

T es invertible si y sólo si

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ �= 0

Denotemos ∆ el determinante de m (T ) que aparece en el resultado anterior y sean

U =

⎛⎝ a1a2a3

⎞⎠ , V =

⎛⎝ b1b2b3

⎞⎠ y Z =

⎛⎝ c1c2c3

⎞⎠

En la prueba de dicho resultado usaremos el hecho de que para X =

⎛⎝ xyz

⎞⎠ en R3,

T (X) = O⇔ X es ortogonal a U, V, y Z


En efecto,

T (X) = O ⇔⎧⎨⎩a1x+ a2y + a3z = 0b1x+ b2y + b3z = 0c1x+ c2y + c3z = 0

⇔ U ·X = 0, V ·X = 0 y Z ·X = 0

⇔ X es ortogonal a U, V y Z

También utilizaremos el hecho ya conocido de que

∆ = U · (V × Z)Probaremos el resultado en consideración probando que:

• Si ∆ = 0 entonces T no es invertible (11.10)

• Si ∆ �= 0 entonces T es invertible (11.11)

Para probar (11.10) partamos de que ∆ = 0, es decir,

U · (V × Z) = 0 (11.12)

Supongamos V ×Z �= O. De (11.12) vemos que V ×Z es ortogonal a U ; por otra parte,sabemos que V × Z es ortogonal a V y a Z. Luego, V ×Z es un vector no nulo ortogonala los vectores U, V y Z, es decir, V × Z es un vector no nulo tal que

T (V × Z) = Oy por lo tanto,T no es invertible.

Supongamos ahora que V × Z = O. Entonces V y Z son L.D., luego existe un planoque contiene a los puntos U, V y Z. Así, cualquier vector N normal a dicho plano seráortogonal a U, V y Z, es decir, será tal que T (N) = O, concluyéndose de ello que T no esinvertible.

Hemos probado así (11.10). Ahora probaremos (11.11):Supongamos que ∆ �= 0, es decir,

U · (V × Z) �= 0Probaremos que T es invertible probando que T tiene la propiedad (11.8): Ya sabemos

que T (O) = O. Sea ahora X un vector de R3 tal que T (X) = O, es decir, X es ortogonala U, V y Z. Como X es ortogonal a V y Z entonces X es paralelo al vector V ×Z, es decir,

X = t (V × Z)para algún t ∈ R. Como además X es ortogonal a U entonces U ·X = 0, es decir,

U · (t (V × Z)) = 0o, equivalentemente,

t (U · (V × Z)) = 0Ahora, como U · (V × Z) �= 0 entonces t = 0 y así X = O. Luego, el único vector X de

R3 tal que T (X) = O es X = O, y por tanto T es invertible.Hemos probado así la implicación en (11.11). Finaliza así la prueba del resultado en el

último recuadro. �


Ejemplo 11.19

Considere la transformación

T : R3 −→ R3⎛

⎝ xyz

⎞⎠ �−→ T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ −x+ 2z

4x+ yy − 3z

⎞⎠

a) Veamos si T es o no es invertible, calculando el determinante ∆ de m (T ): Como

m (T ) =

⎛⎝−1 0 2

4 1 00 1 −3

⎞⎠

entonces

∆ =

∣∣∣∣∣∣−1 0 24 1 00 1 −3

∣∣∣∣∣∣ = (−1)∣∣∣∣1 01 −3

∣∣∣∣− 0∣∣∣∣4 00 −3

∣∣∣∣+ 2∣∣∣∣4 10 1

∣∣∣∣= − (−3− 0) + 2 (4− 0) = 11

Como ∆ �= 0, concluimos que T es invertible.

b) Dado que T es invertible, el único vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠ de R3 tal que T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠

es el vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠. Es decir, el único vector

⎛⎝ xyz

⎞⎠ tal que

−x+ 2z = 0

4x+ y = 0

y − 3z = 0

es

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ 000

⎞⎠ .

c) Como T es invertible, las columnas⎛⎝ −1

40

⎞⎠ ,

⎛⎝ 011

⎞⎠ ,

⎛⎝ 2

0−3

⎞⎠

de m (T ) son linealmente independientes. �

Volvamos a las transformaciones lineales del plano. Recordemos que para una transfor-

mación lineal T : R2 −→ R2 conm (T ) =

(a bc d

), vimos que si T es invertible y∆ =

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣entonces

m(T−1)=1

∆

(d −b−c a

)

Pues bien, para una transformación lineal T : R3 −→ R3 se tiene un resultado análogo,

solo que el cálculo de m(T−1)es un poco más laborioso. Veamos:


Supongamos que T es invertible y que m (T ) es como en (11.9); continuemos con

∆ =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ = U · (V × Z)

donde U =

⎛⎝ a1a2a3

⎞⎠ , V =

⎛⎝ b1b2b3

⎞⎠ y Z =

⎛⎝ c1c2c3

⎞⎠

Supongamos además que

m(T−1)=

⎛⎝r1 s1 t1r2 s2 t2r3 s3 t3

⎞⎠

Entonces ⎛⎝r1r2r3

⎞⎠ = T−1

⎛⎝ 100

⎞⎠ , es decir, T

⎛⎝r1r2r3

⎞⎠ =

⎛⎝ 100

⎞⎠

o equivalentemente,

U ·⎛⎝r1r2r3

⎞⎠ = 1, V ·

⎛⎝r1r2r3

⎞⎠ = 0 y Z ·

⎛⎝r1r2r3

⎞⎠ = 0

es decir, la primera columna de m(T−1)es un vector ortogonal a V y a Z y, además,

cumple que

U ·⎛⎝r1r2r3

⎞⎠ = 1

Ahora, como ∆ = U · (V × Z) y V × Z es ortogonal a V y Z tenemos que

U · (V × Z) = ∆, V · (V × Z) = 0 y Z · (V × Z) = 0

y como ∆ �= 0, ya que T es invertible, podemos escribir las igualdades anteriores en laforma

U · 1∆(V × Z) = 1, V · 1

∆(V × Z) = 0 y Z · 1

∆(V × Z) = 0

Luego, el vector1

∆(V × Z) cumple que

T

(1

∆(V × Z)

)=

⎛⎝ 100

⎞⎠

y como también

T

⎛⎝ r1r2r3

⎞⎠ =

⎛⎝ 100

⎞⎠


y T es uno a uno entonces tiene que ser⎛⎝ r1r2r3

⎞⎠ = 1

∆(V × Z)

Hemos determinado así la primera columna de la matriz m(T−1). De manera similar

se determinan sus otras dos columnas, obteniéndose que⎛⎝ s1s2s3

⎞⎠ = 1

∆(Z × U) y

⎛⎝ t1t2t3

⎞⎠ = 1

∆(U × V ) .

Tenemos así lo siguiente:

Sea T : R3 −→ R3 una transformación lineal con matriz

m (T ) =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠ y sea ∆ =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣Si T es invertible entonces

m(T−1)=1

∆

V × Z Z × U U × V

(11.13)

donde

U =

⎛⎝ a1a2a3

⎞⎠ , V =

⎛⎝ b1b2b3

⎞⎠ y Z =

⎛⎝ c1c2c3

⎞⎠

Ejemplo 11.20

Considere la transformación lineal T del ejemplo 11.19, de la cual ya sabemos que esinvertible.

a) Halle m(T−1)

b) Halle la ley de asignación para T−1

Solución:

a) Tenemos que

m (T ) =

⎛⎝−1 0 24 1 00 1 −3

⎞⎠

y vimos que el determinante ∆ de esta matriz es ∆ = 11. Luego, de acuerdo con la fórmula(11.13),

m(T−1)=1

11

V × Z Z × U U × V


donde

U =

⎛⎝ −1

02

⎞⎠ , V =

⎛⎝ 410

⎞⎠ y Z =

⎛⎝ 0

1−3

⎞⎠

El lector puede verificar que

V × Z = −3E1 + 12E2 + 4E3 =⎛⎝ −3

124

⎞⎠

Z × U = 2E1 + 3E2 +E3 =

⎛⎝ 231

⎞⎠

U × V = −2E1 + 8E2 −E3 =⎛⎝ −2

8−1

⎞⎠

Por tanto,

m(T−1)=1

11

⎛⎝−3 2 −212 3 84 1 −1

⎞⎠

b) La ley de asignación para T−1 es :

T−1

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

1

11

⎛⎝−3 2 −212 3 84 1 −1

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠

=1

11

⎛⎝ −3x+ 2y − 2z12x+ 3y + 8z4x+ y − z

⎞⎠

=

⎛⎜⎝− 3

11x+ 2

11y − 2

11z

12

11x+ 3

11y + 8

11z

4

11x+ 1

11y − 1

11z

⎞⎟⎠ �

Volvamos una vez más a las transformaciones lineales del plano. Vimos que si para unatransformación lineal T : R2 −→ R

2 existe una transformación lineal S : R2 −→ R2 tal que

ST = I (o TS = I) entonces T es invertible y T−1 = S. Pues bien, exactamente lo mismose da para transformaciones lineales del espacio. Es decir, se tiene lo siguiente.

Sea T : R3 −→ R3 una transformación lineal. Si existe una

transformación lineal S : R3 −→ R3 tal que ST = I o TS = I entonces

T es invertible y T−1 = S.

Prueba: Supongamos que S : R3 −→ R3 es una transformación lineal tal que ST = I y

sea X un vector de R3 tal que T (X) = O. Entonces

X = I (X) = (ST ) (X) = S (T (X)) = S (O) = O


Luego, el único vector X de R3 tal que T (X) = O es X = O y por tanto T es invertible.Además,

S = SI = S(TT−1

)= (ST )T−1 = IT−1 = T−1

Supongamos ahora que TS = I. Entonces, según se acaba de probar, S es invertible yS−1 = T ; luego ST = I y por tanto T es invertible y S = T−1. �

Pasemos ahora a las matrices 3 × 3. Para ellas la noción de invertibilidad se defineexactamente como lo hicimos para matrices 2× 2. Veamos:

Sea A una matriz 3 × 3 y consideremos la transformación lineal T : R3 −→ R3 cuya

matriz es A. La matriz A se dice invertible si lo es la transformación lineal T . Si éste es elcaso, la matrizm

(T−1)se dice la inversa de A y se denota A−1, es decir, A−1 = m

(T−1).

Al igual que para matrices 2× 2, la matriz A−1 (cuando existe) es tal que

AA−1 = A−1A = I3.

Por supuesto, todos los resultados establecidos para transformaciones lineales, rela-cionados con invertibilidad, pueden trasladarse a matrices 3× 3. Se tiene así que:

Para cualquier matriz A =

⎛⎝a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

⎞⎠ ,

1) Las siguientes afirmaciones son equivalentes:• A es invertible• El único vector X de R3 tal que AX = O es X = O• Las columnas de A son L.I.

•∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ �= 0

2) Si A es invertible y ∆ =

∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣ entonces

A−1 =1

∆

V × Z Z × U U × V

(11.14)

donde

U =

⎛⎝ a1a2a3

⎞⎠ , V =

⎛⎝ b1b2b3

⎞⎠ y Z =

⎛⎝ c1c2c3

⎞⎠

3) Si existe una matriz B de orden 3 tal que AB = I3 (o BA = I3) entoncesA es invertible y A−1 = B.

De acuerdo con el resultado 1), podemos determinar si tres vectores dados de R3 sonL.I., considerando la matriz A cuyas columnas son los tres vectores dados (en cualquierorden) y calculando su determinante ∆. Si ∆ �= 0, los vectores son L.I. y si ∆ = 0, ellosson L.D.


Ejemplo 11.21

Sea A =

⎛⎝−1 0 2

4 1 00 1 −3

⎞⎠

Vimos en el ejemplo 11.19 que la transformación lineal T cuya matriz es A, es unatransformación invertible, por tanto la matriz A es invertible. Como además

m(T−1)=1

11

⎛⎝−3 2 −212 3 84 1 −1

⎞⎠

(vea ejemplo 11.20), entonces A−1 es la matriz que aparece al lado derecho en la igualdadanterior. �

Ejemplo 11.22

Muestre que la matriz A =

⎛⎝2 −1 01 1 −10 1 3

⎞⎠ es invertible y halle su inversa.

Solución:

Para ver que A es invertible basta mostrar que su determinante ∆ es distinto de cero.

∆ =

∣∣∣∣∣∣2 −1 01 1 −10 1 3

∣∣∣∣∣∣ = 2

∣∣∣∣1 −11 3

∣∣∣∣− (−1)∣∣∣∣1 −10 3

∣∣∣∣+ 0∣∣∣∣1 10 1

∣∣∣∣= 2 (3 + 1) + (3− 0) + 0= 11.

Como ∆ �= 0, A es invertible. Para hallar A−1 emplearemos la fórmula (11.14) :

A−1 =1

11

V × Z Z × U U × V

donde U =

⎛⎝ 2−10

⎞⎠ , V =

⎛⎝ 1

1−1

⎞⎠ y Z =

⎛⎝ 013

⎞⎠.

Calculando los tres productos cruz que figuran en A−1 se obtiene:

V × Z =⎛⎝ 4−31

⎞⎠ , Z ×U =

⎛⎝ 3

6−2

⎞⎠ y U × V =

⎛⎝ 123

⎞⎠

Por tanto,

A−1 =1

11

⎛⎝ 4 3 1−3 6 21 −2 3

⎞⎠ (11.15)

(Téngase presente que si T es la transformación lineal del espacio cuya matriz es Aentonces T es invertible, pues A lo es, y además A−1 = m

(T−1). �

11.5. Ejercicios 395

Ejemplo 11.23

Para cada una de las siguientes colecciones de vectores, determine si ellos son L.I.

a) X =

⎛⎝ 201

⎞⎠ , Y =

⎛⎝ 0−57

⎞⎠ , Z =

⎛⎝ 1−14

⎞⎠

b) X =

⎛⎝ 121

⎞⎠ , Y =

⎛⎝ 3−14

⎞⎠ , Z =

⎛⎝ −7

7−10

⎞⎠

Solución:

a) Sea A la matriz 3× 3 con X como primera columna, Y como segunda columna y Zcomo tercera columna, es decir,

A =

⎛⎝2 0 10 −5 −11 7 4

⎞⎠

Calculemos su determinante ∆ :

∆ =

∣∣∣∣∣∣2 0 10 −5 −11 7 4

∣∣∣∣∣∣ = 2∣∣∣∣−5 −17 4

∣∣∣∣−0∣∣∣∣0 −11 4

∣∣∣∣+1∣∣∣∣0 −51 7

∣∣∣∣ = 2(−20 + 7)− 0+ (0 + 5) = −21Como∆ �= 0, la matrizA es invertible y así sus columnas son linealmente independientes

Luego, los vectores dados son L.I.

b) Consideremos la matriz

B =

⎛⎝1 3 −72 −1 71 4 −10

⎞⎠

Dejamos al lector verificar que el determinante de esta matriz es cero, de lo cual sesigue que las columnas de B son L.D., es decir, que los vectores X, Y , Z son L.D. �

11.5 Ejercicios

Sección 11.1

1. Considerar la recta L : x = 3t, y = t, z = −2t. Hallar la ley de asignación de latransformación dada en cada literal y hallar también la imagen bajo la transformación

del vector

⎛⎝ 111

⎞⎠ .

a) La proyección sobre la recta L.b) La reflexión respecto a la recta L.


2. Considerar el plano P : x − y + z = 0. Hallar la ley de asignación para cada trans-

formación dada y la imagen del vector

⎛⎝ 1−21

⎞⎠ bajo dicha transformación.

a) Proyección sobre el plano P.b) Reflexión con respecto al plano P.

3. Para cada literal hallar la ley de asignación de la transformación dada y la imagenbajo dicha transformación del vector dado.

a) Rzπ

3

,

⎛⎝ 1√

31

⎞⎠ b) Ry

π

4

,

⎛⎝ 111

⎞⎠ c) Rx

π

6

,

⎛⎝ 1

−√3−1

⎞⎠ .

Sección 11.2

4. Para cada literal determinar si la transformación T definida es una transformaciónlineal y, en caso afirmativo, hallar la matriz de T .

a) T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ zxy

⎞⎠ b) T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ x0y

⎞⎠

c) T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ xy1

⎞⎠ d) T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ x+ yy + zx+ z

⎞⎠ .

5. Sea P el plano con ecuaciones paramétricas x = t− 2s, y = 2t− s, z = −t+ s y sea

V =

⎛⎝ 111

⎞⎠ . Hallar:

a) La matriz de la transformación proyección sobre el plano P.b) La proyección del vector V sobre el plano P.c) La matriz de la transformación reflexión respecto al plano P.d) La reflexión del vector V respecto al plano P.

6. Sea T : R3 −→ R3 la transformación lineal tal que T (E1 +E2 +E3) =

⎛⎝ 3−11

⎞⎠ ,

T (−E1 +E2 +E3) =⎛⎝ 2−30

⎞⎠ y T (E1 −E2 +E3) =

⎛⎝ 210

⎞⎠ .

Hallar T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ y T

⎛⎝ −10−1525

⎞⎠ .

7. Sea T : R3 −→ R3 la transformación lineal tal que T (E3) = 2E1 + 3E2 + 5E3,

T (E2 +E3) = E1 y T (E1 +E2 +E3) = E2 −E3.a) Hallar la matriz de T.

b) Calcular T (E1 + 2E2 + 3E3) .


8. Sea T la transformación lineal del espacio tal que m (T ) =

⎛⎝1 −1 20 3 11 −1 2

⎞⎠ . Hallar:

a) T

⎛⎝ 123

⎞⎠ b) T (2E1 − 5E2 +E3)

c) La ley de asignación de T . d) La imagen de R3 bajo T .

9. Sea T : R3 −→ R3 definida por T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ x− z−x+ zx− z

⎞⎠

a) Hallar el conjunto de todos los vectores de R3 cuya imagen bajo T es el vectornulo e interpretar geométricamente dicho conjunto.

b) Hallar la imagen de R3 bajo T e interpretarla geométricamente.

10. Sea T la transformación lineal del espacio definida por T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ x− y + 2z3x+ y + 4z5x− y + 8z

⎞⎠

a) Hallar la matriz de T.

b) Mostrar que la imagen de R3 bajo T es un plano que pasa por el origen y hallaruna ecuación en la forma general para dicho plano.

c) Mostrar que el conjunto H = {X ∈ R3/T (X) = O} es una recta que pasa por elorigen y hallar unas ecuaciones paramétricas para dicha recta.

11. Sea T la transformación lineal del espacio definida por T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ x+ y + z

x− y − z−x+ y + z

⎞⎠ .

Hallar la imagen bajo T del conjunto descrito en cada literal.

a) La recta L perpendicular a la recta L1 : x− 12

=y

−1 =z + 2

3que pasa por el

punto R =

⎛⎝ 1−35

⎞⎠ y además es paralela al plano P : 2x+ 3y − z + 5 = 0

b) El segmento de recta AB donde A =

⎛⎝ 3−21

⎞⎠ y B =

⎛⎝ 110

⎞⎠.

c) El plano P que pasa por el punto Q =

⎛⎝ 111

⎞⎠ y contiene a la recta

L1 : x = 1− t, y = 2 + t, z = −1 + 2t.d) La recta L2 intersección de los planos x+ y − z = 0 y 2x− y + 3z = 2.

12. Hallar una transformación lineal T del espacio tal que la imagen de R3 bajo T es elconjunto descrito en cada literal.

a) El plano con ecuación 2x− y + z = 0


b) La recta generada por el vector

⎛⎝ 2

4−6

⎞⎠ .

Sección 11.3

13. Sean S la reflexión respecto al plano x−y+z = 0 y T la proyección sobre el plano xz.Hallar la matriz y la ley de asignación de cada una de las transformaciones siguientes:

a) T + S b) 3T − 2S c) TS d) ST e) (2S + T )S

14. Sean S y T las transformaciones lineales del espacio definidas por S

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ zyx

⎞⎠

y T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ x

x+ yx+ y + z

⎞⎠ . Hallar la ley de asignación de cada una de las trans-

formaciones siguientes:

a) TS b) ST c) S2 d) (2T − 3S)S

15. Sean T y S las transformaciones lineales del espacio tales quem (T ) =

⎛⎝1 −1 10 1 21 1 −3

⎞⎠

y m (S) =

⎛⎝−1 0 2−1 1 31 1 1

⎞⎠ . Hallar la matriz de la transformación (5T − 3S) (T + S) .

16. Hallar la ley de asignación de la transformación T que asigna a cada vector X deR3 el vector resultante de rotar el vector X en sentido antihorario, un ángulo de π

3

radianes alrededor del eje z y luego un ángulo de π6radianes alrededor del eje y.

Hallar también la imagen del vector

⎛⎝√3√3√3

⎞⎠ bajo T .

17. Hallar la ley de asignación de la transformación T que asigna a cada vector X deR3, el vector obtenido mediante una rotación de π

4radianes en sentido antihorario

alrededor del eje x, seguida de una reflexión respecto al plano yz. Hallar también la

imagen bajo T del vector

⎛⎝ 1√

2√2

⎞⎠ .

Sección 11.4

18. Sea U un vector no nulo de R3 y sea P el plano que pasa por el origen y que tienea U como un vector normal. Sean QU y RU las transformaciones proyección sobre elplano P y reflexión respecto al plano P.a) Probar que QU no es invertible.

b) Probar que RU es invertible y hallar su inversa R−1U .


19. a) Considerar la recta L : x = 1

3t, y = 2

3t, z = 2

3t y el plano P : x− 2y + 2z = 0.

i) Hallar la inversa de la transformación reflexión respecto a la recta L.ii) Hallar la inversa de la transformación reflexión respecto al plano P.b) Hallar la inversa de la transformación reflexión respecto al plano xz.

20. Sean T y S las transformaciones lineales del espacio definidas por

T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ −x+ y

x− zx+ y − z

⎞⎠ y S

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ −x− y + z

−y + z−x− 2y + z

⎞⎠ .

Probar que T es la inversa de S.

21. Sea T la transformación lineal del espacio tal que m (T ) =

⎛⎝1 2 32 2 33 3 3

⎞⎠ .

a) Mostrar que T es uno a uno y sobre.

b) Hallar m(T−1).

c) Hallar la ley de asignación de T−1.

22. a) Para cada matriz dada determinar si es invertible y, en caso afirmativo, hallar suinversa.

i) A =

⎛⎝ 1 1 02 1 1−1 1 2

⎞⎠ ii) A =

⎛⎝0 1 11 0 11 1 0

⎞⎠ iii) A =

⎛⎝ 1 2 30 1 1−1 −1 −2

⎞⎠

b) Para cada matriz A dada en el literal a) sea T la tranformación lineal del espaciocuya matriz es A. Si A es invertible, hallar la ley de asignación para T−1 y si no loes hallar la imagen de R3 bajo T .

23. Para cada literal, comprobar que la transformación lineal T es invertible mostrandoque el único vector X de R3 tal que T (X) = O es X = O; además, hallar la ley deasignación de T−1.

a) T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ −x+ y + z

x− 2z2x− z

⎞⎠ b) T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝1 3 23 2 13 2 1

⎞⎠⎛⎝ xyz

⎞⎠

c) T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ −2x− z−y − 2z−2z

⎞⎠ d) T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ = x

⎛⎝ 111

⎞⎠+y

⎛⎝ 126

⎞⎠+z

⎛⎝ −1−11

⎞⎠ .

24. a) Probar que si T y S son transformaciones lineales invertibles del espacio entoncesTS es invertible y (TS)−1 = S−1T−1.

b) Sea T la reflexión respecto a la recta generada por el vector U =

⎛⎝ 1−10

⎞⎠ y sea S

la reflexión respecto al plano que pasa por el origen y tiene al vector N =

⎛⎝ −1

01

⎞⎠

como un vector normal. Empleando el resultado en a) hallar la inversa de TS.


25. a) Sea T la transformación lineal del espacio definida por

T

⎛⎝ xyz

⎞⎠ =

⎛⎝ ax+ y2x+ ay + 2zy + az

⎞⎠

Hallar los valores de la constante a para los cuales T no es invertible.

b) Hallar una condición necesaria y suficiente sobre los números a , b y c de modo que

la transformación T con matriz

⎛⎝a 0 00 b 00 0 c

⎞⎠ tenga inversa. Hallar la ley de asignación

de T−1 cuando T sea invertible.

c) Muestre que la transformación lineal con matriz

A =

⎛⎝a d a+ db e b+ ec f c+ f

⎞⎠

donde a, b, c, d, e, y f son números reales cualesquiera, no es invertible.

d) Hallar una condición necesaria y suficiente sobre los números a, b, c y d, para que

la matriz A =

⎛⎝1 0 00 a b0 c d

⎞⎠ sea invertible. Hallar A−1 cuando A sea invertible.

26. Determinar si los vectores dados en cada literal son linealmente dependientes.

a) X =

⎛⎝ 111

⎞⎠ , Y =

⎛⎝ 012

⎞⎠ , Z =

⎛⎝ 101

⎞⎠

b) X =

⎛⎝ 101

⎞⎠ , Y =

⎛⎝ 111

⎞⎠ , Z =

⎛⎝ 010

⎞⎠

capi11

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