Capacidades matematicas

EL REA DE MATEMTICA Y EL DESARROLLO DE CAPACIDADESDada la cierta complejidad del enfoque de desarrollo de capacidades, vamos a presentar a partir de ejemplos concretos cmo desde el rea de Matemtica, mediante las sesiones de aprendizaje, se desarrollan las capacidades priorizadas del rea: Comunicacin Matemtica Razonamiento y demostracin Resolucin de problemas

1. Sin prdida de generalidad, consideramos como punto de partida de nuestra presentacin los aprendizajes esperados formulados, por un docente, a partir de los contenidos diversificados de una unidad de aprendizaje1 de cuarto grado de secundaria:

Analiza la funcin lineal Analiza la funcin valor absoluto Analiza la funcin cuadrtica Analiza la funcin raz cuadrada Interpreta sucesiones Interpreta progresiones aritmticas Interpreta progresiones geomtricas

Qu implica analizar una funcin real2 de variable real? Desde el enfoque tradicional, por ejemplo, analizar una funcin cuadrtica implica: o o o o o Hallar el dominio de la funcin cuadrtica. Hallar el vrtice de la funcin cuadrtica. Tabular y graficar la funcin cuadrtica. Hallar el rango de la funcin cuadrtica. Determinar la monotona3 y concavidad de la funcin cuadrtica.

Sabemos, a partir de nuestra labor docente y el DCN, que el desarrollo de capacidades implica apelar a constructos pedaggicos (aprendizajes esperados; indicadores) que guarden coherencia interna y dado que el desarrollo de una capacidad especfica implica un conjunto de procesos mentales y, por ende, cierto grado de complejidad; debemos tener en cuenta la gradualidad de los procesosSe parte de la premisa que el docente tiene su carpeta con la documentacin tcnico-pedaggica completa: Programacin Anual; Unidades Didcticas y sesiones de aprendizaje. 2 Las funciones lineal, valor absoluto, cuadrtica y raz cuadrada son ejemplos de funciones reales de variable real. 3 Intervalos de crecimiento y decrecimiento.1

DIRECCIN DE EDUCACIN SECUNDARIA

mentales involucrados. Es necesario explicitar que no se pueden identificar todos los procesos mentales involucrados en el desarrollo de una capacidad especfica (una aproximacin formal se puede dar desde la Neurociencia). Apelando a una figura literaria - la metfora- podemos afirmar que el desarrollo de una capacidad especfica es como ascender una escalera, esto es subir un nmero finito de peldaos de una escalera atendiendo la gradualidad de los procesos mentales involucrados; es decir, tenemos que subir sendos peldaos gradualmente. En el caso de nuestro ejemplo, analizar una funcin cuadrtica, implica que debemos asegurarnos previamente que nuestros estudiantes han logrado u obtenido al menos - los siguientes aprendizajes esperados: Identifica funciones cuadrticas. Elabora grficas de funciones cuadrticas. Infiere el comportamiento de funciones cuadrticas. Interpreta funciones cuadrticas.

AN ALIZ A IN TERPRETA IN FIERE ELABO RA ID TIFICA EN

Dado que, por ejemplo, la capacidad especfica identifica se entiende como la capacidad para ubicar en el tiempo, en el espacio o en algn medio fsico elementos, partes, caractersticas, personas, indicaciones u otros aspectos; en nuestro caso el aprendizaje esperado identifica funciones cuadrticas implica:Regla de correspondencia: Caractersticas: i) Polinomio en una variable ii)Grado absoluto 2 Caracterizacin

f(x) = ax +bx+cBsqueda y recepcin de la informacin

2

Funcin Cuadrtica

Expresin o reconocimiento

Tambin: DIRECCIN DE EDUCACIN SECUNDARIA

Grfica en el plano:3y 2

1 x

Caractersticas:1 2

-4

-3

-2

-1 -1

-2

-3

i) Vrtice (h; k) ii) Eje de simetra iii) Concavidad Caracterizacin

Funcin Cuadrtica

-4

Expresin o reconocimiento

Cada uno informacinaprendizajes esperados declarados implica un la de los conjunto de indicadores, los cuales guardan coherencia interna con sendos aprendizajes esperados, como se presenta a continuacin: Aprendizajes esperados Identifica cuadrticas IndicadoresIdentifica funciones cuadrticas en el

Bsqueda y recepcin de

funciones plano cartesiano.Identifica funciones cuadrticas a partir de su regla de correspondencia Elabora grficas de funciones cuadrticas en el plano cartesiano. grficas de funciones cuadrticas a partir de su regla de correspondencia. Infiere el comportamiento de funciones cuadrticas a partir de su eje de simetra. cuadrticas a partir de su punto de mximo o su punto de mnimo Interpreta funciones cuadrticas a partir de su punto de mximo o su punto de mnimo. Interpreta el valor mximo o el valor mnimo de una funcin cuadrtica en situaciones problemticas de la vida real.

Elabora grficas de Elabora funciones cuadrticas

Infiere el comportamiento de Infiere el comportamiento de funciones funciones cuadrticas

Interpreta cuadrticas

funciones

Hay que explicitar el hecho de que sendos indicadores deben ser contextualizados, en cuanto sea posible, a situaciones problemticas de la vida diaria, teniendo en cuenta por ejemplo - las caractersticas geogrficas, sociales, culturales y econmicas propias de la localidad donde se encuentra la Institucin Educativa. Por ejemplo, cuando se formula como indicadores: Identifica funciones cuadrticas a partir de su regla de correspondencia Identifica funciones cuadrticas en el plano cartesiano DIRECCIN DE EDUCACIN SECUNDARIA

Infiere el comportamiento de funciones cuadrticas a partir de su punto de mximo. Interpreta funciones cuadrticas a partir de su punto de mximo;

tenemos que elaborar reactivos que denoten sendos indicadores; es decir, luego de realizar las sesiones de aprendizaje relacionadas al contenido temtico funciones cuadrticas los estudiantes estn en la capacidad de: Identificar funciones cuadrticas a partir de su regla de correspondencia Identificar funciones cuadrticas en el plano cartesiano Inferir el comportamiento de funciones cuadrticas a partir de su punto de mximo. Interpretar funciones cuadrticas a partir de su punto de mximo;

lo cual se puede medir, por ejemplo, a partir del siguiente tem o reactivo:

tem 1.- Suponga que el gerente de una empresa que produce y vende CDs multimedia educativos, ha determinado que su funcin utilidad se modela mediante la regla de correspondencia U ( x) = 4 x x 2 ; donde U est expresada en miles de dlares y x est expresada en miles de CDs producidos y vendidos.

4

V(2;4)

3

2

1

1

2

3

4

A partir de la grfica adjunta de la funcin utilidad U nos piden determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1.1 Al producir y vender 2 000 cds se hace mxima la utilidad. 1.2 La utilidad mxima es $ 4 000. 1.3 La utilidad DIRECCIN DE EDUCACIN SECUNDARIA es la misma al producir y vender 1000 cds que producir y vender 3000 cds. 1.4 U(1,8) < U(3).

En buen romance, analizar la funcin cuadrtica U ( x) = 4 x x 2 implica, al menos, que el estudiante de 4 grado de secundaria: Identifique funciones cuadrticas a partir de su regla de correspondencia Identifique funciones cuadrticas en el plano cartesiano Infiera el comportamiento de funciones cuadrticas a partir de su punto de mximo. Interprete funciones cuadrticas a partir de su punto de mximo;

Lo cual se puede observar, de manera general, en el siguiente recuadro: Aprendizaje de una sesin

Indicadores 1.1 Identifica la funcin cuadrtica U ( x) = 4 x x 2 a partir de su regla de correspondencia.

Acciones realizadas por el estudiante 1.1.1 Identificar la abscisa del vrtice de U.

Instrume ntos

Prueba de 1.1.2 Identificar la ordenada del opcin vrtice U. mltiple

Analizar la funcin utilidadU ( x) = 4 x x 2

1.2 Identifica la funcin cuadrtica 1.2.1 Identificar el vrtice de la Ficha de Cotej U ( x) = 4 x x 2 en el parbola U. oo plano cartesiano. 1.2.2 Identificar la interseccin Verif de la parbola U con los ejes icaci coordenados en el plano n 1.3 Infiere el cartesiano. comportamiento de la funcin cuadrtica U ( x) = 4 x x 2 a partir 1.3.1 Discriminar los valores x de su punto de del dominio de U tal que U es creciente o decreciente a partir mximo de su punto de mximo. DIRECCIN DE EDUCACIN SECUNDARIA

1.4 Interpreta la funcin cuadrtica U ( x) = 4 x x 2 a partir 1.4.1 Identificar el valor mximo de su punto de de la funcin cuadrtica U. 1.4.2 Interpretar el valor mximo. mximo de la funcin utilidad U.

Asimismo, queda claro que en el enfoque de desarrollo de capacidades los contenidos temticos son importantes en tanto y en cuanto nos sirvan como insumos para el logro de los aprendizajes esperados formulados en cada unidad didctica y, en consecuencia, para el desarrollo de las capacidades priorizadas del rea. 2. Otro elemento a tener en cuenta en el enfoque de desarrollo de capacidades, est vinculado a la relacin de los contenidos temticos de una misma unidad; definitivamente, partimos de la premisa que el docente tiene un cmulo de informacin relacionada a su rea y la argumenta con idoneidad, adems, su metodologa de trabajo as como su didctica descansan en su experticia profesional. Por ejemplo, tomando como referencia la unidad de aprendizaje del acpite anterior podemos establecer relaciones entre los contenidos temticos funcin lineal y progresin aritmtica: 2.1 Teniendo en cuenta la formulacin de los aprendizajes esperados de la unidad de aprendizaje en mencin, cuando se presenta la informacin relacionado con Progresiones, en particular la progresin aritmtica, el estudiante de 4 de secundaria est en la capacidad de analizar funciones reales de variable real. Es decir, a partir de la regla de correspondencia f ( x) = 8 2 x el estudiante est en la capacidad por ejemplo - de elaborar la grfica de la funcin lineal f:8 (0; 8) 7 6 5 4 3 2 1 (3; 2) (2; 4) (1; 6)

f(x)=8 - 2x

DIRECCIN DE EDUCACIN SECUNDARIA(4; 0) 1 2 3 4

Es fcil ver que los valores de las abscisas crecen y los valores de las ordenadas decrecen en el primer cuadrante; por lo que identificamos dos progresiones aritmticas: x : 0; 1; 2; 3; 4; ... y : 8; 6; 4; 2; 0; ... p.a. creciente (r = 1) p.a. decreciente (r = - 2)

Adems, sin prdida de generalidad, se puede afirmar que la x variacin de las abscisas ( ) es 1 y la variacin de las ordenadas ( y ) es - 2; entonces:mf = y 2 = = 2; donde m f es la pendiente de f ; x 1

lo cual es fcil de comprobar a partir de la regla de correspondencia de la funcin lineal f:f ( x) = 8 2 x = 2 x + 8 = mx + b m = 2 b = 8

2.2 Una preocupacin permanente de los docentes est relacionada con la aplicacin de instrumentos de evaluacin durante las sesiones de aprendizaje. Como se ha podido apreciar en los ejemplos anteriores, es muy importante tener en cuenta la pertinencia de la cantidad de aprendizajes formulados por unidad didctica; adems, no existe una receta o frmula que me diga cul es la cantidad de aprendizajes esperados ideal que se deben formular por unidad didctica, mucho menos podemos pensar que una determinada unidad didctica no est bien elaborada porque tiene, por ejemplo, slo tres aprendizajes esperados formulados. Sin embargo, por cuestiones metodolgicas inherentes a nuestra labor pedaggica y por la dinmica de la misma no se sugiere atiborrarnos de una cantidad considerable de aprendizajes esperados; dado que existe el riesgo que nuestra labor pedaggica se restringa slo a aplicar instrumentos de evaluacin. Supongamos que ya hemos presentado la informacin relacionada con el contenido Funciones Cuadrticas (texto del estudiante de 4 de secundaria: pginas 21 - 26). Luego de presentar la informacin sobre Funciones Cuadrticas y teniendo en cuenta el aprendizaje


esperado de esta sesin de aprendizaje4, el docente presenta y resuelve una situacin problemtica que se puede modelar mediante la grfica de una funcin cuadrtica:

PRODUCCIN PYME. Suponga que el fabricante de una lavadora compacta de ropa diseada y fabricada para conjuntos habitacionales del PROGRAMA MI VIVIENDA ha encontrado que cuando el precio por unidad es p dlares, el ingreso R (en dlares) es R(p) = - 4p2 + 4000p. Se nos pide: Elaborar la grfica de R = R(p). Identificar su dominio. Identificar el precio unitario maximiza el ingreso. Inferir el ingreso mximo.

que

R(p) 1000000

500000

100000 p 200 400 600 800 1000

Luego que el docente ha dado solucin a la situacin problemtica presentada y teniendo en cuenta que la evaluacin es de carcter formativo para regular el proceso de aprendizaje y est dirigida a verificar los avances o dificultades en el desarrollo de los aprendizajes , se solicita a los estudiantes - de manera individual - resolver la siguiente ficha de verificacin (se entregan dos fichas de verificacin Fila A y Fila B):Tener en cuenta que se entiende la sesin de aprendizaje como la interaccin, en tiempo real, entre el docente y los estudiantes; la cual involucra un conjunto de procesos pedaggicos (motivacin, recuperacin de saberes previos; disonancia cognitiva; retroalimentacin; metacognicin; entre otros)4


FICHA DE VERIFICACIN

FILA AEnunciado El precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuacin de demanda x = -5p +100 ; 0 x 100 .

1. Formula el ingreso I como una funcin de x: I(x) = p.xI(x) 500

400

2. Elabora la grfica del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante)

300

200

100

x

20

40

60

80

100

3. Discrimina el nmero de artculos que debe venderse para maximizar el ingreso. 4. Identifica mximo. el ingreso

5. Infiere datos implcitos a partir de la regla de correspondencia y de la grfica de la funcin I.


FICHA DE VERIFICACIN

FILA BEnunciado El precio p y la cantidad vendida x de cierto producto cumplen la ecuacin de demanda x = -5p +100 ; 0 p 20 .

1. Formula el ingreso I como una funcin de p: I(p) = p.xI(p)500

400

2. Elabora la grfica del ingreso I en el plano cartesiano (primer cuadrante).

300

200

100

4

8

12

16

20

p

3. Discrimina el precio que debe fijarse para maximizar el ingreso.

4. Identifica el ingreso mximo.

5. Infiere datos implcitos a partir de la regla de correspondencia y de la grfica de la funcin I.

Finalmente se invita, de manera voluntaria, a un estudiante a exponer sus interpretaciones y comentarios sobre sus resultados; luego se reflexiona sobre los aprendizajes obtenidos. DIRECCIN DE EDUCACIN SECUNDARIA

En esta sesin de aprendizaje por ejemplo - el docente a mediado para que los estudiantes puedan inferir datos implcitos a partir de la regla de correspondencia de una funcin cuadrtica dada. Es decir, apelando a la metfora de la ascensin de la escalera, tenemos:

IN FIERE ID TIFICA EN D ISCRIM A IN ELABO RA FO U RM LA

Dado que la capacidad especfica formula se entiende como la capacidad que permite interrelacionar elementos para presentar resultados, nuevas construcciones o solucionar problemas; en nuestro caso de la Ficha de Verificacin (Fila A), implica:I ( x) = pxI ( x ) = p.x

Variables: Enunciado de la Ficha de Verificacin A I: funcin ingreso x: n de artculos p: precio Identificacin de los element os

x p = 20 5

x I ( x) = (20 ) x 5 x2 I ( x) = + 20 x 5

Bsqueda y recepcin de la informacin

Interrelacin de elementos

Presentacin de la interrelacin

3. Considerando que cada sesin de aprendizaje es una situacin nica e irrepetible5 y apelando a la perspectiva sincrnica y diacrnica6 se puede desprender de lo expuesto en 1 y 2 que en una sesin de aprendizaje en un tiempo dado convergen (sincrona) un conjunto de procesos pedaggicos: motivacin permanente, recuperacin de saberes previos, conflicto cognitivo, procesamiento de la informacin, evaluacin, retroalimentacin, metacognicin, entre otros.La sesin de aprendizaje del cuarto grado de secundaria de la seccin A no es la misma que la del cuarto grado de secundaria de la seccin B; an tratando el mismo contenido por primera vez o planteando el mismo aprendizaje esperado. 6 Curso de Lingstica General; Ferdinand de Saussure5


Asimismo, dado que en el enfoque de desarrollo de capacidades se tiene en cuenta la complejidad del aprendizaje esperado, en dicha sesin de aprendizaje se debe evidenciar la gradualidad (diacrona) de los procesos mentales involucrados en el desarrollo de una capacidad especfica. Sin embargo, si bien es cierto que la gradualidad implica cierta jerarquizacin de los procesos, sta obviamente no es absoluta. Por ejemplo, de la ascensin de la escalera dada en 1:

ANALIZA INTERPRETA INFIERE ELABORA IDENTIFICA

ELABORA se ubica un peldao inmediato posterior a IDENTIFICA; pero, como consecuencia del instrumento elaborado en 2.2:

IN FIERE IDEN TIFICA DISCRIM A IN ELABORA FORM ULA

IDENTIFICA se ubica dos peldaos inmediato posterior a ELABORA; por lo que no es necesariamente cierto que la capacidad especfica IDENTIFICA sea ms compleja que la capacidad especfica ELABORA o que la capacidad especfica ELABORA sea ms simple que la capacidad especfica IDENTIFICA. Lo cual es una riqueza del enfoque de desarrollo de capacidades, dado que no se parte de una suerte de taxonoma de los aprendizajes a rajatabla.Aunque un hombre muera a los cien aos, si no realiz sus aspiraciones, puede hablarse de una muerte prematura. Libro de Song

La abeja diligente DIRECCIN DE EDUCACIN SECUNDARIA Mil proverbios chinos

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