Capacidad de Carga (Deménegui)

8/18/2019 Capacidad de Carga (Deménegui)

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APUNTES DE CIMENTACIONESCAPACIDAD DE CARGA

Agustín Deméneghi Colina* Margarita Puebla Cadena*

Héctor Sanginés García*

En el análisis de una cimentación se debe revisar la seguridad del terreno de apoyo, tanto de capacidadde carga por resistencia al corte como por deformaciones del mismo. Esto se logra verificando que no seexcedan los estados límite de falla y de servicio del suelo de cimentación.

En este capítulo trataremos el estado límite de falla, el cual se entiende por cualquier situación quecorresponda al agotamiento de la capacidad de carga del terreno de cimentación, o al hecho de queocurran daños irreversibles que afecten significativamente la resistencia del suelo ante nuevasaplicaciones de carga (RCDF, 1993).

Los siguientes son ejemplos de estado límite de falla de una cimentación (RCDF, artículo 224):

a) Desplazamiento plástico local o general del suelo bajo la cimentación;b) Flotación;c) Falla de los elementos de la estructura de cimentación.

1. CAPACIDAD DE CARGA ÚLTIMA DE UN SUELO

En relación con el desplazamiento plástico local o general del suelo bajo la cimentación, generado por lapresión vertical conocida como capacidad de carga última por resistencia al corte del suelo, de losestudios de la teoría de la plasticidad respecto a dicha capacidad de carga, se pueden extraer lassiguientes conclusiones (Terzaghi y Peck, 1967):

Si la base de una zapata continua descansa sobre la superficie de un suelo sin peso que posee cohesión

y fricción, el terreno falla como se indica en la figura 1, a través de 5 zonas. Debido a la fricción yadhesión entre el suelo y la base de la zapata, la zona I permanece en estado elástico; actúa como sifuera parte de la zapata y penetra en el suelo como una cuña; sus fronteras forman un ángulo de 45 +/2 con la horizontal.

En las zonas II y III se genera un patrón de esfuerzos cortantes, los cuales en la zona III son iguales alestado pasivo de Rankine; las fronteras de la zona pasiva forman un ángulo de 45 - /2 con la horizontal.

Las zonas II se conocen como zonas de esfuerzos radiales, porque las rectas de esta región plásticaparten de las aristas de la zapata. La otra familia de curvas son espirales logarítmicas, cuyos centros selocalizan en las aristas de la zapata

La capacidad de carga última está dada por

qd = c Nc + pv Nq + (1/2) B N (1)

donde

* Profesores del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad de Ingeniería.

UNAM


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Nq = e tan tan2 (45 + /2) (2)

N = 2 (Nq +1) tan (3)

Nc = (Nq -1) / tan (4)Si el suelo no tiene cohesión, pero sí fricción y peso propio, el patrón de falla se muestra en la figura 1b.Las fronteras de la zona elástica I son curvas; las dos ramas se intersecan en el punto d, formando unángulo de 90 - . En las zonas II las líneas radiales son curvas. En la zona III se presenta el estadopasivo de Rankine.

La ecuación de una espiral logarítmica es (figura 2)

= o e tan (5)

[( tan ) en radianes]

La espiral logarítmica tiene la propiedad de que el ángulo entre el radio vector y la normal a la curva vale (figura 2). En cimientos profundos, Zeevaert (1973) hace la hipótesis de que la superficie de falla seextiende hasta que ésta se vuelve vertical (figura 3); por lo tanto, el ángulo entre el radio vector y lahorizontal vale .

Cabe aclarar que para la obtención de la ecuación de capacidad de carga q d (ecuación 1), se hicieron lassiguientes hipótesis: el material es incompresible, su comportamiento es rígido-plástico, y se trata de unestado de deformación plana.

Por lo demás, las limitaciones de las teorías sobre capacidad de carga no tienen una importancia prácticaseria, porque la precisión de las soluciones aún aproximadas depende en mayor medida de nuestrahabilidad para valuar las propiedades mecánicas de los suelos que entran en las ecuaciones, que de losdefectos de las propias teorías (Terzaghi y Peck, 1967).

2. EFECTO DE LA FORMA DE LA CIMENTACIÓN

La expresión de capacidad de carga que proporciona la teoría de la plasticidad (ecuación 1) es válidapara una zapata de longitud infinita. Para cimientos circulares, cuadrados y rectangulares se empleanfactores de forma obtenidos experimentalmente. Así, la capacidad de carga última está dada por

qd = c Nc f c + pv Nq f q + (1/2) B N f (6)

donde

f c = 1 + 0.25 (B/L) (7)

f q = 1 + (B/L) tan (8)

f = 1 - 0.4 (B/L) (9)

En un cimiento de planta circular se toma B = L = D , siendo D el diámetro del cimiento.

En todos los casos B/L 1.


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3. CAPACIDAD DE CARGA RESISTENTE. FACTORES DE RESISTENCIA

Definamos ahora la capacidad de carga resistente de un suelo con la siguiente expresión

qR = cNcf cFR1 + pvNqf qFR2 + (1/2)BNf FR3 (10)

donde FRi

son factores de resistencia (o factores de reducción de resistencia), los cuales miden el gradode incertidumbre que se tiene respecto a la variación de la resistencia del suelo. En general F Ri 1 .

4. PRESIÓN ÚLTIMA SOBRE EL TERRENO. FACTORES DE CARGA

La presión de contacto media entre cimiento y terreno vale

q = Q / A (11)

donde

Q = sumatoria de cargas al nivel de desplante del cimiento

A = área del cimiento

Además

q = (1/A) (Q1 + Q2 + ... + Qn)

Definamos la presión última sobre el terreno de la siguiente forma

qult = (1/A) (Q1 Fc1 + Q2 Fc2 + ... + Qn Fcn) (12)

donde Fci son factores de carga, que miden la incertidumbre que se tiene respecto a la intensidad de lascargas. En general Fci 1 , aun cuando en algunos casos particulares Fci puede ser menor que uno.

La ecuación 12 se puede poner en forma simplificada

qult = Q Fc / A (13)

5. CIMIENTO SOMETIDO A CARGA VERTICAL Y MOMENTO

La determinación de la capacidad de carga por resistencia al corte del suelo, de un cimiento sujeto acarga vertical y momento (figura 4a) se puede llevar a cabo mediante un artificio teórico que consiste enconsiderar esta condición equivalente a la de un cimento de ancho reducido sometido únicamente acarga vertical. Esta condición se obtiene de la siguiente forma: considérese un cimiento sometido a lasacciones Q y M (figura 4a); desde el punto de vista de fuerzas externas, esta condición es equivalente a

la de la figura 4b, donde se ha colocado la fuerza Q de tal forma que ocasiona el mismo momento conrespecto al centro de línea.


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La excentricidad e vale

e = M / Q (14)

Se observa en la figura 4 que se puede considerar un cimiento de ancho B’ sometido únicamente a lacarga vertical Q. De la figura 4b

B’/2 = B/2 - e B’ = B - 2 e (15)

En consecuencia, la determinación de la capacidad de carga de un cimiento sujeto a carga vertical Q ymomento M se lleva a cabo considerando un cimiento equivalente de ancho virtual B’, dado por laecuación 15, en que la excentricidad e está dada por la ecuación 14.

La capacidad del suelo se obtiene sustituyendo en las expresiones correspondientes a capacidad decarga por resistencia al corte el ancho reducido virtual B’ determinado con la ecuación 15. Asimismo, lapresión de contacto en el cimiento virtual equivalente se halla considerando el ancho reducido B’.

6. REVISIÓN DE LA SEGURIDAD DE UNA CIMENTACIÓN

Para que se cumpla con la seguridad de una cimentación, basta que se satisfaga la siguientedesigualdad

qult qR (16)

Sustituyendo las ecuaciones 13 y 10 en la expresión 16

QFc/A cNcf cFR1 + pvNqf qFR2 + (1/2)BNf FR3 (17)

La desigualdad 17 se emplea para revisar la seguridad del terreno de cimentación por capacidad decarga.

7. SUELOS FRICCIONANTES

En un suelo puramente friccionante

c = 0 y s = tan

La capacidad de carga resistente vale, de acuerdo con la ecuación 10:

qR = pv Nq f q FR2 + (1/2) B N f FR3 (18)

Usualmente FR2 = FR3 = FR , por lo tanto

qR = pv Nq f q + (1/2) B N f FR (19)

7.1 Falla general y falla local

Como mencionamos antes, la ecuación 1 se obtuvo considerando un material incompresible, hipótesisque se cumple sólo en suelos de compactos a muy compactos. Para tomar en cuenta la compresibilidad


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del material, Terzaghi y Peck (1967) recomiendan que se emplee la siguiente expresión para suelos enestado suelto

tan = (2/3) tan * (20)

donde * es el ángulo de fricción interna del suelo, determinado mediante pruebas de laboratorio o de

campo.Por su parte, Sowers (1962) indica que para suelos friccionantes con Dr mayor que 70% se debe emplearel criterio de Terzaghi para falla general, y que para Dr menor que 20% se debe usar dicho criterio parafalla local, y que para valores intermedios de Dr se debe interpolar. En consecuencia, podemos en formaconservadora usar la ecuación 20 de la siguiente manera

tan = tan * (21)

= ang tan ( tan *) (22)

donde

= 0.67 para Dr 0.5

=0.67+1.65(Dr - 0.5) para 0.5 < Dr < 0.7 (23) = 1.0 para Dr 0.7

7.2 Efecto de la presencia del nivel de agua freática (NAF)

Cuando el nivel de agua freática (NAF) queda por arriba del nivel de desplante de la subestructura, en elmomento de la falla del terreno de cimentación, debido a alta permeabilidad de los suelos friccionantes,la fracción sólida se mueve hacia cierta dirección, mientras que el agua permanece en condiciónprácticamente hidrostática. Por lo tanto, se tienen que separar las contribuciones de las fases sólida ylíquida del terreno. La contribución de la fase sólida está dada por la ecuación 18 con pv = pv’ y = ’, esdecir

qR’ = pv’ Nq f q FR2 + (1/2) ’ B N f FR3 (24)

’ = sat - w

La contribución de la fase líquida es igual a la presión del agua u al nivel de desplante de lasubestructura. La capacidad resistente total será la suma de la debida a la fase sólida y de la debida alagua, es decir

qR = qR’ + uR

qR = pv’ Nq f q FR2 + (1/2) ’ B N f FR3 + uR

Peropv = pv’ + u , u = pv - pv’, uR = pv FR4 - pv’ FR5

qR = pv’Nqf qFR2+(1/2)’BNf FR3+pvFR4-pv’FR5

qR = pv’(Nqf qFR2 - FR5) + (1/2)’BNf FR3 + pvFR4 (25)

Las Normas de Cimentaciones hacen las siguientes consideraciones: FR2 = FR3 = FR5 = FR, y FR4 = 1, porlo que la ecuación 25 queda


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qR = pv’ (Nq f q - 1) + (1/2) ’ B N f FR + pv (26)

7.3 Revisión de la seguridad del terreno de cimentación

Se recomienda en la práctica que en general el factor FR 0.45 . Por ejemplo, las Normas de

Cimentaciones recomiendan FR = 0.35 para zapatas en la zona de lomas (zona I) de la ciudad de México.La profundidad de la zona de falla bajo el desplante del cimiento vale (figura 5)

B cos exp (/4 + /2) tan h = (27)

2 cos (/4 + /2)

(Por ejemplo, para = 36, h = 1.98 B)

De acuerdo con lo tratado en los párrafos anteriores, la capacidad de carga resistente de un suelopuramente friccionante se puede obtener con la siguiente ecuación

qR = pv’ (Nq f q - 1) + (1/2) B N f FR + pv (28)Se distinguen las siguientes condiciones:

a) Cuando el NAF se encuentre a una profundidad mayor que el valor de h dado por la ecuación 27, seemplea la ecuación 28 con = m, siendo m = peso volumétrico natural del suelo arriba del NAF.

b) Cuando el NAF se encuentre por arriba del nivel de desplante, se emplea la ecuación 28 con = ’ .

c) Cuando el NAF se encuentra en una posición intermedia z (figura 5), se emplea la ecuación 28 con

= ’ + (z/h) (m - ’) (29)

Siempre se debe cumplir queqult qR (30)

donde

qult = Q Fc / A (31)

Por su parte, las Normas de Cimentaciones establecen que “en caso de que el ancho B sea mayor quela profundidad z del manto freático bajo el nivel de desplante de la cimentación, el peso volumétrico aconsiderar será

= ´ + (z/B) (m - ´) (ecuación 4 de las NC)“donde’ = peso volumétrico sumergido del suelo entre las profundidades z y (B/2) tan (45+ /2)m = peso volumétrico total del suelo arriba del nivel freático”.


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Ejemplo(Zapata sometida a carga vertical)Revisar la seguridad del terreno de cimentación por capacidad de carga, de la zapata rectangular deconcreto reforzado de la figura E-1.Columna de 25 por 30 cm. Zapata de 1.7 m de ancho por 2 m de largo en planta; espesor losa zapata =30 cm. Profundidad de desplante = 60 cmQ’ = 26 t, F

c = 1.4

Terreno de cimentación: d = 1.6 t/m3 , * = 37, Dr = 58%, ss = 2.6, Fc = 1.1, FR = 0.45Considerar las siguientes condiciones:a) Nivel de agua freática (NAF) a 20 m de profundidadb) NAF al nivel de la superficie del terrenoc) NAF a 2 m de profundidad bajo la superficie del terreno (1.4 m bajo el desplante del cimiento)SoluciónCálculo de la capacidad de carga resistente del terrenoSe emplea la ecuación 28:qR = pv’(Nqf q - 1) + (1/2)BNf FR + pv (28)

Aplicando la ecuación 23=0.67+1.65(Dr -0.5)=0.67+1.65(0.58-0.5)= 0.802

Aplicando la ecuación 22 = ang tan ( tan *)= 31.15 Usando las ecuacións 2 y 3Nq = e

tan tan2 (45 + /2) = 20.983N = 2 (Nq +1) tan = 26.571Usando las ecuaciones 8 y 9f q = 1 + (B/L) tan = 1+(1.7/2)tan(31.15) = 1.514f = 1 - 0.4 (B/L) = 1-0.4(1.7/2)= 0.66a) Nivel de agua freática (NAF) a 20 m de profundidadPresión última sobre el terrenoLa sumatoria de cargas al nivel de desplante vale

Q= 26 + 1.7(2)(0.3)2.4 +0.25(0.3)(0.3)(2.4)+((1.7)(2)-0.25(0.3))(0.3)(1.6)= 26+2.448+0.054+1.596 = 30.098 tQFc=26(1.4)+2.448(1.4)+0.054(1.4)+1.596(1.1) = 41.658 tqult = QFc/A = 41.658/1.7(2) = 12.252 t/m

2 Capacidad de carga resistenteSustituyendo en la ecuación 27h = 2.805 m < 20 mSustituyendo en la ecuación 28qR = 1.6(0.6)((20.983)(1.514)-1)+(1/2)(1.6)(1.7)(26.571)(0.66)(0.45)+1.6(0.6) = 24.984 t/m2 Se debe cumplir la desigualdad 30:

qult = 12.252 t/m

2

qR = 24.984 t/m

2

Cumpleb) NAF al nivel de la superficie del terrenoPresión última sobre el terrenoLa sumatoria de cargas al nivel de desplante valeQ= 26 + 1.7(2)(0.3)2.4 +0.25(0.3)(0.3)(2.4)+((1.7)(2)-0.25(0.3))(0.3)(1.985)= 26+2.448+0.054+1.98 = 30.482 tQFc=26(1.4)+2.448(1.4)+0.054(1.4)+1.98(1.1) = 42.081 tqult = QFc/A = 42.081/1.7(2) = 12.377 t/m

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Capacidad de carga resistentesat = 1.985 t/m

3, ’ = 0.985 t/m3 pv = 1.985(0.6)=1.191 t/m

2 pv’ = 1.191-0.6=0.591 t/m

2

Reemplazando en la ecuación 28qR = 0.591((20.983)(1.514)-1)

+(1/2)(0.985)(1.7)(26.571)(0.66)(0.45)+1.191 = 15.981 t/m2 Se debe cumplir la desigualdad 30:qult = 12.377 t/m

2 qR = 15.981 t/m2 Cumple

c) NAF a 2 m de profundidad bajo la superficie del terreno (1.4 m bajo el desplante del cimiento)Presión última sobre el terrenoQ= 30.098 tQFc= 41.658 tqult = QFc/A = 41.658/1.7(2) = 12.252 t/m

2 Capacidad de carga resistenteSustituyendo en la ecuación 27h = 2.805 msat = 1.985 t/m

3, ’ = 0.985 t/m3

Reemplazando en la ecuación 29 = 0.985 + (1.4)(1.6-0.985)/2.805 = 1.292 t/m3 pv = 1.6(0.6)=0.96 t/m

2 pv’ = pv = 0.96 t/m

2

Reemplazando en la ecuación 28qR = 0.96((20.983)(1.514)-1)+(1/2)(1.292)(1.7)(26.571)(0.66)(0.45)+0.96 = 22.914 t/m2 Se debe cumplir la desigualdad 30:qult = 12.252 t/m


Ejemplo(Zapata sometida a carga vertical y dos momentos)

Revisar la seguridad del terreno de cimentación por capacidad de carga, de la zapata rectan-gular deconcreto reforzado de la figura E-2.Columna de 25 por 30 cm. Zapata de 1.7 por 2 m; espesor losa zapata = 30 cm. Profundidad dedesplante = 60 cmQ’ = 26 t, My = 4.2 t·m, Mx = 6.8 t·m, Fc = 1.4Terreno de cimentación: d = 1.6 t/m

3 , * = 37, Dr = 58%, ss = 2.6, Fc = 1.1, FR = 0.45SoluciónCálculo de la presión última sobre el terrenoLa sumatoria de cargas al nivel de desplante valeQ= 26 + 1.7(2)(0.3)2.4 +0.25(0.3)(0.3)(2.4)+((1.7)(2)-0.25(0.3))(0.3)(1.6)= 26+2.448+0.054+1.596 = 30.098 tQFc=26(1.4)+2.448(1.4)+0.054(1.4)

+1.596(1.1) = 41.658 tex = My/Q = 4.2/30.098 = 0.1395 mey = Mx/Q = 6.8/30.098 = 0.2259 mB’ = B - 2ex = 1.421 m, L’ = L -2ey = 1.5482 mqult = QFc/A’ = QFc/B’L’= 41.658/1.421(1.5482) = 18.936 t/m2 Cálculo de la capacidad de carga resistente del terrenoSe emplea la ecuación 28:qR = pv’(Nqf q - 1) + (1/2)BNf FR + pv (28)


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Aplicando la ecuación 23=0.67+1.65(Dr -0.5)=0.67+1.65(0.58-0.5)= 0.802

Aplicando la ecuación 22 = ang tan ( tan *)= 31.15 Usando las ecuacións 2 y 3

Nq = e

tan

tan

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(45 + /2) = 20.983N = 2 (Nq +1) tan = 26.571Usando las ecuaciones 8 y 9f q = 1 + (B’/L’) tan = 1+(1.421/1.5482)tan(31.15) = 1.5547f = 1 - 0.4 (B’/L’) = 1-0.4(1.421/1.5482)= 0.6329Sustituyendo en la ecuación 28qR = 1.6(0.6)((20.983)(1.5547)-1)+(1/2)(1.6)(1.421)(26.571)(0.6329)(0.45)+1.6(0.6) = 23.224 t/m2 Se debe cumplir la desigualdad 30:qult = 18.936 t/m


8. SUELOS COHESIVOS TOTALMENTE SATURADOS

En un cimiento somero apoyado sobre un suelo cohesivo totalmente saturado la condición másdesfavorable ocurre a corto plazo, ya que la resistencia tiende a aumentar al producirse el fenómeno deconsolidación del suelo. Por lo tanto, se recomienda la ejecución de pruebas triaxiales no consolidadas-no drenadas (tipo UU, pruebas rápidas) para la determinación de la resistencia al corte del terreno (figura6).

Dado que la extracción de una muestra inalterada de arcilla produce cierta alteración de la misma,algunos autores recomiendan la ejecución de pruebas consolidadas-no drenadas para la obtención de la

cohesión aparente del material. Desde luego, la presión de confinamiento de laboratorio deberá ser lomás cercana posible a la presión de confinamiento de campo.

En una prueba rápida c = cu y = u = 0 (figura 6). Sustituyendo en las ecuaciones 2, 3 y 8

Nq = 1, N = 0, f q = 1

Además, en teoría de la plasticidad se demuestra que en un material puramente cohesivo

Nc = 2 + = 5.14

Habíamos señalado antes que la capacidad de carga resistente está dada por la ecuación 10

qR = c Nc f c FR1 + pv Nq f q FR2 + (½) B N f FR3 Sustituyendo los valores correspondientes a un suelo puramente cohesivo obtenemos

qR = 5.14 cu f c FR1 + pv FR2 (32)

Hagamos FR1 = FR FR2 = 1

Por lo tanto


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qR = 5.14 cu f c FR + pv (33)

donde

f c = 1 + 0.25 B/L

Skempton encontró que la capacidad resistente del suelo aumenta con la profundidad de empotramientodel cimiento en el estrato de apoyo (figura 7), hasta un máximo, después del cual se mantiene constante(Juárez Badillo y Rico, 1976). Por esta razón, dentro del factor de forma podemos agregar el efecto delempotramiento; el factor f c queda entonces

f c = 1 + 0.25 B/L + 0.25 D/B (34)

para D/B < 2 y B/L < 1 . En caso de que D/B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores, dichasrelaciones se tomarán iguales a 2 y 1, respectivamente (Normas de Cimentaciones, 1987).

Terreno suelto

Df D B

PROFUNDIDAD DE EMPOTRAMIENTO "D" EN

EL ESTRATO DE APOYOFIGURA 7

Cimiento

Terreno de apoyo

EjemploRevisar la seguridad del terreno de cimentación por capacidad de carga, de la zapata corrida de concretoreforzado de la figura E-3.Espesor muro de concreto reforzado 20 cm. Zapata de 1.3 m de ancho; espesor losa zapata = 20 cm.Profundidad de desplante = 50 cmQ’ = 6 t/m, Fc = 1.4Terreno de cimentación: arcilla limosa totalmente saturada, sat = 1.6 t/m

3 , cu = 2.5 t/m2, Fc = 1.1, FR = 0.7

Solución

Cálculo de la presión última sobre el terrenoLa sumatoria de cargas al nivel de desplante valeQ= 6+1.3(0.2)(2.4)+0.2(0.3)(2.4)+(1.3-0.2)(0.3)(1.5) = 6+0.624+0.144+0.495= 7.263 t/mQFc=6(1.4)+0.624(1.4)+0.144(1.4)+0.495(1.1)= 10.020 t/mqult = QFc/A = 10.020/1.3(1) = 7.707 t/m

2 Cálculo de la capacidad de carga resistente del terreno


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Se emplea la ecuación 33:qR = 5.14 cu f c FR + pv (33)dondef c = 1 + 0.25 D/B + 0.25 B/L (34)para D/B < 2 y B/L < 1 . En caso de que D/B y B/L no cumplan con las desigualdades anteriores, dichasrelaciones se tomarán iguales a 2 y 1, respectivamente. Sustituyendo valoresf c = 1+0.25(0.2/1.3)+0.25(1.3/6) = 1.0926qR = 5.14(2)(1.0926)(0.7) + (1.5)(0.3)+(1.6)(0.2) = 8.632 t/m2 Se debe cumplir la desigualdad 30:qult = 7.707 t/m


9. SUELOS COHESIVOS PARCIALMENTE SATURADOS

Consideremos un suelo plástico totalmente saturado y hagamos que éste pierda humedad; durante esteproceso se forman meniscos que producen esfuerzos de tensión en el agua del suelo, lo que a su vezocasiona esfuerzos intergranulares de compresión en la estructura sólida del terreno (Juárez Badillo yRico, 1976). A la diferencia entre la presión en el aire y la presión en el agua se le denomina succión, lacual vale (ua – uw), siendo ua = presión en el aire y uw = presión en el agua. Por lo tanto, en una arcilla

parcialmente saturada la succión produce un incremento de la presión intergranular y, por consiguiente,un aumento de la resistencia al corte, tal como se muestra en la figura 8. Vemos en esta figura que aldisminuir el grado de saturación (con el consecuente aumento de la succión) se incrementa la resistenciaal corte del terreno.

Esfuerzocortante

Φ

c Sr = 100%Sr disminuye

c'

Esfuerzo normal(Accapcarf)

VARIACIÓN DE LA RESISTENCIA AL CORTECON EL GRADO DE SATURACIÓN

FIGURA 8

Fredlund y Rahardjo (1993) consideran que la resistencia al corte de un suelo parcialmente saturado estádada por

s = c’ + ( - ua) tan ’ + (ua - uw) tan b (35)

siendo (ua - uw) = succión

En la tabla 1 se muestran valores de c’, ’ y b para diferentes suelos (Fredlund y Rahardjo, 1993).


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Cabe aclarar que, en un suelo cohesivo parcialmente saturado, al aumentar la presión de confinamiento3 se incrementan tanto la presión en el aire ua como la presión en el agua uw; si en los poros del suelose presenta un estado abierto (vacíos del aire interconectados entre sí; Marsal, 1979), la presión ua sedisipa rápidamente y el suelo se comprime. En consecuencia, aumenta el grado de saturación del suelo.Para valores altos del grado de saturación Sr , los poros pasan del estado abierto al estado ocluido (vacíos del aire no conectados entre sí); en este momento la presión del aire se aproxima a la del agua u a

uw . Este fenómeno se presenta para valores del grado de saturación cercanos a 100%. Para S r =100%, ua = uw . La ecuación 35 se transforma en

s = c’ + ( - uw) tan ’ (36)

que es la ley de resistencia de un suelo totalmente saturado.

Para calcular la capacidad de carga, se estima el valor más desfavorable de la succión en el campo, y sesustituye en la ecuación 35. Para un valor fijo de la succión, la cohesión del suelo vale

c = c’ + (ua - uw) tan b (37)

y la ecuación 35 queda

s = c + ( - ua) tan ’ (38)

Podemos observar en la ecuación 38 que para una cierta succión el suelo se puede considerar como unmaterial cohesivo-friccionante, por lo que podemos aplicar la ecuación 10 para determinar su capacidadde carga:


O bien, si hacemos FRi = FR

qR = cNcf c + pvNqf q + (1/2)BNf FR (40)

EjemploDeterminar la capacidad de carga resistente de un suelo cohesivo parcialmente saturado que tiene lassiguientes propiedades:c’ = 2.5 t/m2 , ’ = 22.5, b = 16.1, = 1.5 t/m3.Zapata corrida B = 1.5 m, L = 4 m, Df = 0.8 m.Considerar una succión en el campo (ua - uw) = 1 kg/cm

2 , con FR = 0.45 .Solución

Aplicando la ecuación 37, con (ua - uw) = 1 kg/cm2 = 10 t/m2, se obtiene c = 5.386 t/m2 , y la resistencia al

corte vale (ecuación 38)s = 5.386 + ( - ua) tan 22.5 Podemos considerar el material como cohesivo-friccionante con c = 5.386 t/m 2 y = ’ = 22.5 .Sustituyendo en las ecuaciones 2 a 9:Nq = 8.228, N = 7.644, Nc = 17.451, f c = 1.094, f q = 1.155, f = 0.85

Aplicando la ecuación 40:qR=5.386(17.451)(1.094)+(1.5)(0.8)(8.228)(1.155)+(1/2)(1.5)(1.5)(7.644)(0.85)(0.45)=54.693 t/m2


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10. SUELOS CEMENTADOS

Es frecuente encontrar en la naturaleza suelos en los que sus partículas se encuentran unidas por algúntipo de cementante. La cementación de los granos es muy variable: puede ser tan fuerte que el suelo seclasifica como roca –por ejemplo algunas tobas de consistencia dura, conocidas como piedra de cantera-, o puede ser tan débil que un pequeño aumento de humedad puede producir la pérdida completa de lacementación. Ejemplos de terrenos cementados son los suelos colapsables, las tobas y los suelosresiduales.

Uno de los problemas que se presentan en los suelos cementados consiste en que al aumentar suhumedad ocurre una disminución de la resistencia al corte, lo cual afecta obviamente la seguridad delterreno de cimentación.

Por lo anterior, en suelos cementados parcialmente saturados conviene realizar pruebas de resistencia alcorte variando el grado de saturación del terreno. El cambio de la resistencia en suelos cementados essimilar al que ocurre en arcillas parcialmente saturadas, pues en ambos materiales la resistenciaaumenta al disminuir el grado de saturación (figura 8). Es interesante notar que la mayor variación ocurreen la cohesión aparente c del suelo, mientras que el ángulo de fricción interna cambia muy poco. Sepuede inclusive trazar la variación de c en suelos cementados en función de Sr (figura 9a).

c cqu

c' cqu'

0 100 Sr, % 0 100 Sr, %

a) Cohesión b) Cohesión en prueba decompresión no confinada

VARIACIÓN DE LA COHESIÓN CON EL GRADO DE SATURACIÓNFIGURA 9

Una forma aproximada de obtener los parámetros de resistencia en un suelo cementado consiste enrealizar pruebas triaxiales drenadas en el material totalmente saturado, con lo que se obtienen c’ y ’ delsuelo. La variación de la cohesión con el grado de saturación se puede determinar a partir de pruebas decompresión simple, con lo que se obtiene una curva como la de la figura 9b. A partir de esta gráfica, elingeniero selecciona un valor desfavorable de cqu, primordialmente en función de las condiciones dedrenaje del suelo. Con esta magnitud de cqu se obtiene el valor de la cohesión c del suelo (figura 10)

c = cqu [cos - tan (1 – sen )] (41)

La capacidad de carga se calcula utilizando las expresiones 39 ó 40, con c dado por la ecuación 41 y con’ determinado con los ensayes drenados de compresión triaxial.


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Esfuerzocortante

Φ

Φ

cquc

O qu Esfuerzo(Accapcarf) normal

OBTENCIÓN DE LA COHESIÓN DEL SUELOFIGURA 10

11. OTRAS CLASES DE SUELOS

Los incisos 7 a 10 cubren una amplia gama de suelos en la práctica, pero se pueden encontrar sueloscon características intermedias entre ellos. Por ejemplo, una mezcla de arena con arcilla puede presentarbajo ciertas condiciones el comportamiento de un material cohesivo-friccionante. En estos casos, sedeben determinar las propiedades de resistencia para las condiciones más desfavorables durante la vidaútil de la cimentación, y aplicar la expresión 10


O bien, si hacemos FRi = FR

qR = cNcf c + pvNqf q + (1/2)BNf FR (43)

12. USO DE CORRELACIONES

El cálculo de la capacidad de carga de un suelo requiere de la determinación previa de sus propiedadesmecánicas. Es siempre recomen-dable obtener estas propiedades a partir de pruebas directas de campo

–como una prueba de placa- o de ensayes de laboratorio.

Sin embargo, en ocasiones no es posible obtener estas propiedades porque el costo de las pruebas deplaca es alto, o porque no se pueden extraer muestras inalteradas del suelo –como es el caso de suelospuramente friccionantes, como las arenas limpias-. Para resolver el problema, desde el punto de vistapráctico, se recurre a correlaciones entre propiedades mecánicas y propiedades índice o ensayes decampo. En general, la dispersión de valores de las correlaciones es alta, por lo que el ingeniero debeusarlas con precaución. En los siguientes párrafos presentamos algunas correlaciones que se usan concierta frecuencia en la práctica.

Suelos friccionantes

La figura 11 contiene la variación del ángulo de fricción interna en función del número de golpes N de laprueba de penetración estándar (Juárez Badillo y Rico, 1976).


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FIGURA 11


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La tabla 2 (Meyerhof, 1956) muestra los valores del ángulo de fricción interna en función de lacompacidad del suelo.

TABLA 2 ÁNGULO DE FRICCIÓN INTERNA PARA ARENAS (Meyerhof, 1956)Estado Compacidad

relativaN qc Ángulo de

fricción internakg/cm2 Grados

Muy suelto < 0.2 < 4 < 20 < 30Suelto 0.2-0.4 4-10 20-40 30-35Semicompacto 0.4-0.6 10-30 40-120 35-40Compacto 0.6-0.8 30-50 120-200 40-45Muy compacto > 0.8 > 50 > 200 > 45N = número de golpes en la prueba de penetración estándarqc = resistencia en la punta del cono

La relación entre N y qc (qc = resistencia en la punta del cono holandés, en kg/cm2) está dada por

(Schmertmann, 1970)

Suelo qc/NLimo. Limo arenoso 2

Arena de fina a media. Arena pocolimosa

3.5

Arena gruesa. Arena con poca grava 5 Arena con grava. Grava 6

Para fines prácticos, en cimientos profundos la resistencia qc se puede tomar como la capacidad decarga última del suelo.

Las figuras 12 y 13 contienen correlaciones entre qc y el ángulo de fricción interna para arenas (Tamez etal, 1987).

Suelos cohesivos

En la tabla 3 se exhibe la variación de la resistencia a la compresión simple qu de un suelo cohesivo enfunción de su consistencia y del número de golpes de la prueba de penetración estándar (Terzaghi yPeck, 1967).

TABLA 3RESISTENCIA A LA COMPRESIÓN SIMPLE EN ARCILLAS(Terzaghi y Peck, 1967) N = número de golpes en la prueba de penetración estándarConsistencia N Resistencia a la

compresión simple, qukg/cm2

Muy blanda < 2 < 0.25Blanda 2-4 0.25-0.50Media 4-8 0.50-1.0Firme 8-15 1.0-2.0Muy firme 15-30 2.0-4.0Dura > 30 > 4.0


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Cuando se emplea el cono holandés la resistencia al corte en condiciones no drenadas está dada por

cu = qc/Nk (44)

La tabla 4 muestra valores típicos del coeficiente Nk (Santoyo et al, 1989).

TABLA 4VALORES TÍPICOS DEL COEFICIENTE Nk (Santoyo et al, 1989)Tipo de suelo Nk

Arcilla normalmente consolidada (qc < 20 kg/cm2) 15-18

Arcilla suave con falla local 10-14 Arcilla preconsolidada (qc > 25 kg/cm

2) 22-26Suelos arcillosos abajo del nivel freático 14Suelos arcillosos blandos 20

Existe también una cierta correlación entre la resistencia cu y la presión vertical efectiva pv’. Así, elcociente cu/pv’ varía de 0.2 a 0.3 en arcillas normalmente consolidadas (datos de cinco suelos; 21% <índice plástico < 75%; Ladd et al, 1977). Para arcillas preconsolidadas, la relación es

(cu/pv’)pc = (cu/pv’)nc (OCR)m (44a)

siendo OCR la relación de preconsolidación. El exponente m 0.8 (Ladd et al, 1977).

13. EXPERIENCIA LOCAL

Cada localidad se asienta sobre una o varias formaciones geológicas, las cuales exhiben unaestratigrafía y propiedades típicas de cada una de ellas.

Una formación geológica presenta problemas de ingeniería propios de la misma. Por lo tanto, el ingenierodebe estar familiarizado con la estratigrafía y propiedades de dicha formación, y observar el

comportamiento de las obras construidas en ella, lo cual permite una adecuada calibración entre uso depropiedades mecánicas y conducta de las cimentaciones.

En los siguientes párrafos presentamos magnitudes de propiedades mecánicas para el subsuelo de laciudad de México, obtenidas a partir de la estadística. Cabe aclarar que estas propiedades el ingenierolas debe emplear con las reservas de caso, pues en general la dispersión de los datos es alta. Desdeluego, presentan una mayor confiabilidad aquellas correlaciones en las que se proporcionan magnitudesde la dispersión de los datos (desviación estándar o variancia).

La resistencia al corte de suelos cohesivos en condiciones no drenadas se puede obteneraproximadamente con la siguiente expresión

cu = qc/Nk (44)

En la tabla 5 se presentan los valores de c u para el subsuelo de la zona del lago de la ciudad de México,en función de la resistencia en la punta del cono q c (Santoyo, 1980).


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TABLA 5VALORES DE LA RESISTENCIA AL CORTE EN PRUEBA RÁPIDA (Santoyo, 1980)

Prueba TorcómetroTipo de suelo qc, kg/cm

2 TriaxialUU

Compresiónsimple

Laboratorio Campo Penetrómertro debolsillo

Costra seca 5 < qc < 10 qc/14 qc/20 - - -

Arcillasblandas qc > 5 qc/13 qc/16 qc/12 qc/14 -Limosarcillososduros

qq > 10 qc/24 qc/54 - - qc/29

La arcilla de la ciudad de México, que constituye la llamada formación arcillosa superior (Marsal y Mazari,1959), formación Tacubaya (Zeevaert, 1973) o serie arcillosa superior (Tamez et al, 1987), exhibe elsiguiente valor de la resistencia al corte cqu = qu/2 (qu = resistencia a la compresión simple) en función delcontenido natural de agua w (Deméneghi, 1982a):

cqu = 0.4194 – 0.0003038 w

- 0.11203 t 1.01449+(w–252.8)2/620434 (45)

(cqu en kg/cm2 y w en porciento del peso seco, 75 < w < 400%)

La ecuación 45 se obtuvo con N = 69 pares de valores (w, cqu); t es una variable aleatoria condistribución t de Student, la cual se obtiene para N-2 grados de libertad. En la tabla 6 se proporcionanvalores de t para diferentes niveles de confianza . Consideremos que un estrato de la formaciónTacubaya (o formación arcillosa superior, o serie arcillosa superior) tiene un contenido natural de agua w= 250%; tomando un = 10%, de la tabla 6: t = 1.2944. Aplicando la ecuación 45 se obtiene cqu =0.1974 kg/cm2. Esto indica que existe una probabilidad de 10% de que el valor de la cohesión en dichoestrato sea menor que 0.1974 kg/cm2. La figura 14 muestra la variación de cqu con w, para = 10%(Deméneghi, 1982b).

TABLA 6VALORES DE LA VARIABLE ALEATORIA t (t DE STUDENT)PARA N-2=67 GRADOS DE LIBERTADNiveldecon-fianza, %

2.5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t 1.9961 1.6680 1.2944 1.0446 0.8471 0.6782 0.5270 0.3870 0.2544 0.1261 0


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La tabla 7 contiene datos de resistencia al corte de suelos de la zona poniente de la ciudad de México(Deméneghi y Sanginés, 2000). Las tobas están formadas por limos arenosos y arenas limosas; enocasiones estos suelos contienen cierto porcentaje de arcilla (León, 1976). Las arenas de pómezproceden de materiales pumíticos gris claro (León, 1976) y de una laterita de pómez (Ellstein, 1992). c’ esla cohesión del suelo saturado previamente, en condiciones drenadas; c nat es la cohesión en estadonatural (sin variar su humedad natural) y es el ángulo de fricción interna.

TABLA 7PARÁMETROS DE RESISTENCIA AL CORTE. MUESTRAS ESTADÍSTICAS DETOBAS Y DE ARENAS PUMÍTICAS (Deméneghi y Sanginés, 2000)

Tobas Arenas pumíticasPropiedad mecánica c’ cnat cnat

t/m2 t/m2 grados t/m2 gradosNúmero de valores, N 7 13 20 18 18Media 6.357 26.169 37.65 4.63 31.367Variancia, s2 19.560 355.986 167.818 4.463 76.364Desviación estándar, s 4.423 18.868 12.954 2.113 8.739Coeficiente de variación 0.696 0.721 0.344 0.456 0.279

En la tabla 8 la media de la población se toma igual a la media de la muestra. La variancia de lapoblación se estima con la siguiente expresión

2 = (N-1) s2 / 21-1 (46)

donde 21-1 se obtiene para N-1 grados de libertad; para fines prácticos 1 se puede tomar igual a 40%.Esto quiere decir que la probabi-lidad de que la variancia de la población sea mayor que 2 (calculadacon la ecuación 46), es 40%. En la tabla 8 se presentan los parámetros de resistencia de las poblacionesestadísticas de las tobas y de las arenas pumíticas, usando los datos de la tabla 7.

TABLA 8PARÁMETROS DE RESISTENCIA AL CORTE. POBLACIONES ESTADÍSTICASDE TOBAS Y DE ARENAS PUMÍTICAS (Deméneghi y Sanginés, 2000)

Tobas Arenas pumíticasPropiedad mecánica c’ cnat cnat

t/m2 t/m2 grados t/m2 gradosNúmero de valores, N 7 13 20 18 18 cuadrada 4.57 10.182 16.85 14.937 14.937Media, 6.357 26.139 37.65 4.63 31.367Variancia, 2 25.680 419.547 189.231 5.080 86.910Desviación estándar, 5.068 20.483 13.756 2.254 9.323

Con los valores de la tabla 8 se pueden hacer inferencias estadísticas de las propiedades mecánicas. Enefecto, aceptando que una población estadística tiene una distribución normal de probabilidad, un valordesfavorable (poco probable) se calcula

Valor desfavorable = - z2 0 (47)

La probabilidad de que la magnitud de una propiedad mecánica sea menor que el valor desfavorablecalculado con la ecuación 47, es 2.


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27

Aplicando la ecuación 47, en la tabla 9 se presentan valores desfavorables de los parámetros deresistencia, para las tobas y para las arenas pumíticas, para distintos niveles de confianza 2. Elingeniero puede elegir un cierto nivel de confianza, de acuerdo con su criterio y experiencia, y estimar laprobabilidad de ocurrencia de una propiedad mecánica (Deméneghi y Sanginés, 2000).

TABLA 9VALORES DESFAVORABLES ESTIMADOS DE PROPIEDADES DERESISTENCIA AL CORTE (Deméneghi y Sanginés, 2000)

Tobas Arenas pumíticasNivel de

confianza 2

z2 c’ cnat cnat

% t/m2 t/m2 grados t/m2 grados5 1.6449 0 0 15.023 0.923 16.032

10 1.2816 0 0 20.020 1.741 19.41915 1.0364 1.105 4.941 23.393 2.294 21.70520 0.8416 2.092 8.931 26.073 2.733 23.52125 0.6745 2.939 12.354 28.371 3.110 25.079

30 0.5244 3.700 15.428 30.436 3.448 26.47840 0.2533 5.074 20.981 34.166 4.059 29.00550 0 6.357 26.169 37.650 4.630 31.367

El uso de la tabla 9 es como sigue: tomando por ejemplo un nivel de confianza 2 = 20%, en la tobaexiste una probabilidad de 20% de que c’ resulte menor que 2.092 t/m2, que cnat resulte menor que 8.931t/m2 y que resulte menor que 26.073°.

Cabe aclarar que los parámetros de resistencia dependen del grado de saturación del suelo. El valor deuna propiedad mecánica b en función de la variación de la humedad del terreno se puede calcular con lasiguiente expresión

b = b’ + a (bnat – b’) (48)donde a es un parámetro que depende de las condiciones de drenaje del sitio. Sus valores tentativos semuestran en la tabla 10. Por ejemplo, cuando existe una baja probabilidad de que cambie la humedad delterreno, se considera que las condiciones de drenaje son buenas; mientras que cuando existe una altaprobabilidad de que se sature completamente el suelo, se considera que las condiciones de drenaje sonmalas (Deméneghi y Sanginés, 2000).

TABLA 10VALORES APROXIMADOS DELPARÁMETRO a (Deméneghi y Sanginés, 2000)

Condiciones de drenaje aBuenas 0.6Regulares 0.3Malas 0

En la práctica conviene utilizar un nivel de confianza 2 suficientemente alejado de 50%, para tomar encuenta la dispersión de los datos estadísticos. En este sentido, podemos tomar 2 = 20%.


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Para 2 = 20% obtenemos las siguientes propiedades mecánicas de las tobas (tabla 9):

c’ = 2.092 t/m2, cnat = 8.931 t/m2, = 26.073°

Para el cálculo de la capacidad de carga, dado que las propiedades mecánicas obtenidas con este valorson conservadoras, conviene emplear un factor de resistencia relativamente alto; por lo tanto, se

recomienda un FR = 0.7 en la fórmula de capacidad de carga.Consideremos como ejemplo una zapata corrida con Df = 0.3 m, B = 0.8 m, L = 5 m, = 1.5 t/m

3, concondiciones regulares de drenaje.

a = 0.3 (tabla 10)

Sustituyendo en la ecuación 48, con c = b

c = 4.144 t/m2

Reemplazando en la ecuación 40, con FR = 0.7, hallamos una capacidad de carga resistente qR = 76.5t/m2. Tomando un factor de carga Fc = 1.4, la presión media de contacto para no exceder el estado límitede falla es q = 54.7 t/m2 55 t/m2.

Por otra parte, en una arcilla totalmente satu-rada, ligeramente preconsolidada, de un sitio cercano a laciudad de San Francisco (Young Bay Mud; índice plástico 45%), la relación cu/pv’ varía de 0.35 a 0.4(Benoit y Clough, 1986).

Ciudad Universitaria, D F, julio de 2011

REFERENCIAS

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Deméneghi, A y Sanginés, H, “Análisis estadís-tico de propiedades de los suelos de la zona poniente dela ciudad de México”, XX Reunión Nal Mec Suelos, vol 2: 379-385, Oaxaca, Oax, Soc Mex Mec Suelos,nov 2000

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29

Ladd, C C, Foott, R, Ishihara, K, Schlosser, F y Poulos, H G, “Stress-deformation and strengthcharacteristics”, IX Int Conf Soil Mech Found Eng, Tokio, 1977

León, J L, “Propiedades del suelo”, Simposio sobre Cimentaciones en Zonas Minadas de la Ciudad deMéxico: 22-36, Soc Mex Mec Suelos, México, D F, 1976

Marsal, R J, “Propiedades de los suelos compactados”, VI Congr Panam Mec Suelos Ing Ciment, vol I,Lima, 1979

Marsal, R J y Mazari, M, El Subsuelo de la Ciudad de México, Facultad de Ingeniería, UNAM, 1959

Meyerhof, G G, “Penetration tests and bearing capacity of cohesionless soils”, Jour Soil Mech Found Div,SM-1, ASCE, enero 1956

Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Construcción de Cimentaciones, Departamento delDistrito Federal, 1987

Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal, Departamento del Distrito Federal, 1987

Santoyo, E, “Empleo del cono estático en un túnel de la ciudad de México”, X Reunión Nal Mec Suelos,

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Santoyo, E, Riqing, L X y Ovando, E, El Cono en la Exploración Geotécnica, TGC Geotecnia, 1989.

Schmertmann, J H, “Static cone to compute static settlement over sand”, Jour Soil Mech Found Div, ASCE, SM3, mayo 1970

Sowers, G F, “Shallow foundations”, cap 6 de Foundation Engineering, ed por G A Leonards, McGraw-Hill, 1962

Tamez, E, Santoyo, E, Mooser, F y Gutiérrez, C E, Manual de Diseño Geotécnico, Vol 1, Covitur, SriaGral Obras, Depto Distrito Federal, 1987

Terzaghi, K y Peck, R B, Soil Mechanics in Engineering Practice, 2da ed, Wiley, 1967

Zeevaert, L, Foundation Engineering for Difficult Subsoil Conditions, Van Nostrand Reinhold, 1973

(Ms capacidad de carga)


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ASIGNATURA: MECÁNICA DE SUELOSESTABILIDAD DE TALUDES

Agustín Deméneghi Colina* Margarita Puebla Cadena*

* Profesores del Departamento de Geotecnia. División de Ingenierías Civil y Geomática. Facultad deIngeniería. UNAM

NOTA PRELIMINAR

Uno de los factores más importantes quedeterminan la falla de un talud es la resistenciaal corte del material que lo constituye. Así,sucede que si ésta es alta, permite realizarcortes verticales de gran altura (siempre ycuando no existan fisuras o discontinuidadespor las cuales ocurra la falla). Ahora bien, si laresistencia es muy baja, puede ocurrir un

colapso del suelo aún para el caso de un taludmuy tendido. Otro aspecto a tomar en cuenta esque la resistencia al corte de un suelo en untalud puede variar con el tiempo;desafortunadamente la resistencia del suelotiende a disminuir a largo plazo. Por lo tanto, untalud puede ser estable a corto plazo, pero conel transcurso del tiempo su seguridad puededisminuir, hasta eventualmente colapsar pordeficiencia de resistencia al corte.

Se pueden presentar varias clases de fallas detaludes: rotacionales, traslacionales, por volteo,

etcétera. En este capítulo veremos únicamenteel análisis de estabilidad de fallas rotacionales ytraslacionales, que son las que ocurren conmayor frecuencia en la práctica. Como es usual,veremos primeramente el caso general de unsuelo cohesivo-friccionante, y luego trataremoslos casos particulares de materialesfriccionantes y de materiales cohesivos.

DETERMINACIÓN DEL FACTOR DESEGURIDAD DE UN TALUD EN UNSUELO COHESIVO-FRICCIONANTE.MÉTODO DE BISHOP

Consideremos un suelo cohesivo-friccionantecon la siguiente ley de resistencia drenada

s = c’ + ’ tan ’ (1)

Sea el talud de la figura 1. Consideremos queuna posible superficie de falla es aquella cuya

traza en el plano es el arco de circunferenciamostrado en dicha figura 1. Dividamos elcuerpo del talud en dovelas, y hagamos eldiagrama de cuerpo libre de la dovela i (figura2). Partamos de la hipótesis de que las fuerzasTi y T j son iguales en magnitud (Whitlow, 1994).

O

q

i

W

Sh

Sv

Alfa

PROCEDIMIENTO DE DOVELASFIGURA 1

En la dovela i

Q = sobrecarga en la corona de la dovelaW = peso propio de la dovelaSh = fuerza sísmica horizontalSv = fuerza sísmica vertical

Sea V = W + Q - Sv (2)

En la base de la dovela i la fuerza actuante vale

Fa = V sen + Sh cos (3)

Y la fuerza resistente

FR = s l = sb sec (4)

Definamos el factor de seguridad de todo eltalud de la siguiente forma


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2

FR

FS = (5) Fa

donde la sumatoria abarca todas las dovelas.

Reemplazando las ecuaciones 3 y 4 en laecuación 5

sb sec FS = (6)

(V sen + Sh cos )

Q

i

b

Ti Sv

Sh

Ni Nj

Alfa Tj

W

Alfa

T

N

l

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE LA DOVELA i

FIGURA 2

Establezcamos ahora el equilibrio de fuerzasverticales en la dovela i (figura 2)

V = T sen + N cos

V = T sen + ( N’ + u l ) cos

N’ = V/cos - T tan - u l

Pero

T = s l / FS = sb sec / FS (7)

N’ = V/cos - sb sec tan / FS – u l (8)

El esfuerzo normal efectivo ’ en la base de ladovela es

’ = N’/l (9)

Y b = l cos (10)

Sustituyendo las ecuaciones 8 y 10 en laecuación 9

’ = V/b - s tan / FS – u (11)

Reemplazando la ecuación 11 en la ecuación 1

s = c’ + (V/b – u) tan ’ – s tan tan ’ / FS

c’ + (V/b – u) tan ’s = (12)

1 + tan tan ’ / FS

Sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 6

[c’b + (V – ub) tan ’] sec

1 + tan tan ’ / FSFS = (13)

(V sen + Sh cos )

Poniendo subíndices a las cantidades de cadadovela

[c’bi + (Vi – uibi) tan ] sec i

1 + tan i tan ’ / FSFS = (14)

(Vi sen i + Shi cos i)

La magnitud de la subpresión hidráulica u i enuna dovela se obtiene de la siguiente forma: En

la dovela i consideremos un punto A situado ala mitad de la base de dicha dovela. Pasemosel plano horizontal de referencia por el punto A(figura 3; Whitlow, 1994) y tracemos por estepunto una línea equipotencial paralela a las dosequipotenciales vecinas (figura 3). Las alturaspiezométricas en los puntos A y B valen

h A = 0 + u A/w

hB = zB + 0


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3


33/47

4

Dado que A y B se encuentran sobre la mismalínea equipotencial h A = hB, por lo tanto

u A/w = zB

u A = zB w

Por lo anterior, tenemos que para determinar lapresión hidráulica en el punto A se debe medirla distancia vertical entre éste y la “salida” de lalínea equipotencial (punto B). Esta distancia,multiplicada por el peso volumétrico del agua,da el valor de la presión hidráulica en el punto

A, el cual es el que debe usarse como ui en la

ecuación 14 para el cálculo del factor deseguridad de un suelo totalmente saturado bajoel nivel de agua freática.

El factor de seguridad, para una superficie defalla supuesta, se obtiene realizando tanteos,hasta que el valor supuesto y el calculado deFS con la ecuación 14 coincidan. El factor deseguridad mínimo del talud se obtiene trazandovarios arcos de circunferencia y determinandopara cada uno de ellos el factor de seguridadcon la ecuación 14, hasta hallar la magnitudmínima de FS.

En caso de que no se presente presiónhidráulica en la zona de falla del talud, podemoshacer u = 0, c’ = c, ’ = . La ecuación 14 queda

[c bi + Vi tan ] sec i

1 + tan i tan / FSFS = (15)

(Vi sen i + Shi cos i)

MÉTODO DE JANBU

Este procedimiento permite obtener el factor deseguridad de un suelo cohesivo-friccionante enforma relativamente sencilla y rápida (Janbu,1954). En él se toman en cuenta: la presenciade una sobrecarga sobre la corona del talud, lasgrietas de tensión y las condiciones hidráulicasen el talud (figura 4).

De acuerdo a este método, el factor deseguridad está dado por

FS = Ncf c / pd (16)

donde

H + q - wHw pd = (17)

d

d = w q t (18)

w, q y t se obtienen de las figuras 5 y 6.

Ncf se halla a partir de la figura 7a, donde

c = (pe tan ) / c (19)

H + q - wHw’pe = (20)

e

e = q w’ (21)

w’ se determina usando la figura 5b.

La ubicación del círculo crítico se obtiene apartir de la figura 7.


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7

EjemploObtener el factor de seguridad mínimo del taludde la figura E-1, usando el método de Janbu.Considerar una profundidad de las grietas detensión de 1.5 m. Determinar las coordenadasdel centro del círculo crítico que pasa por el piedel talud.Solución

q/H = 30/18(10) = 0.167, q = 0.915 (figura 5a)w = 1 (figura 5b, Hw = 0)Ht/H = 1.5/10 = 0.15, t = 0.91 (figura 6)Reemplazando en la ecuación 18d = wqt = (1)(0.915)(0.91) = 0.833

30 kPa

c = 20 kPa

Φ = 28°10 m

Gamma = 18 kN/m3

63°

FIGURA E-1

Utilizando la ecuación 17

H + q - wHw 18(10)+30pd = = = 252.21 kPa

d 0.833

e = qw’ = 0.915(1) = 0.915 (ecuación 21)

Sustituyendo en la ecuación 20

H + q - wHw’ 18(10)+30pe = = = 229.508 kPa

e 0.915

Empleando la ecuación 19c = (pe tan ) / c = (229.508 tan 28°)/20= 6.102De la figura 7a: Ncf = 11.75Remplazando en la ecuación 16FS = Ncf c / pd = 11.75(20)/252.21 = 0.932Coordenadas del centro del círculo críticoDe la figura 7: xo = -1.07, yo = 1.74Xo=-1.07(10)=-10.7 m, Yo=1.74(10)=17.4 m,medidos a partir del pie del talud (figura 7)

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EjemploDeterminar el factor de seguridad mínimo deltalud de la figura E-2, usando el método deJanbu. Obtener las coordenadas del centro delcírculo crítico que pasa por el pie del talud.

NAF

c' = 5 kPa 6 mΦ' = 20° 4 mGamma = 16 kN/m3

45°

FIGURA E-2

Soluciónd = wqt = 1

Utilizando la ecuación 17

H + q - wHw 16(6)pd = = = 96 kPa

d 1

Hw’/H = 4/6 = 0.667, w’ = 0.91 (figura 5b)e = qw’ = (1)0.91 = 0.91 (ecuación 21)

H + q - wHw’ 16(6)-9.81(4)pe = = = 62.37 kPa

e 0.91

Sustituyendo en la ecuación 19c = (pe tan ) / c = (62.37 tan 20°)/5 = 5.54De la figura 7a: Ncf = 13.2FS = Ncf c / pd = 13.2(5)/96 = 0.688Coordenadas del centro del círculo críticoDe la figura 7: xo = -0.12, yo = 1.67Xo=-0.12(6)=-0.72 m, Yo=1.67(6)=10.02 m,medidos a partir del pie del talud (figura 7)

----------


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MÉTODO DE BISHOP Y MORGENSTERN

El método de Bishop y Morgenstern (1960) esun procedimiento simplificado que permiteestimar el factor de seguridad en formarelativamente expedita (Whitlow, 1994). Elfactor de seguridad en este método está dadopor

unr m FS (A)

donde m y n vienen contenidos en la tabla 1; r u es el parámetro de presión de poro que vale

H

ur

w

u

(B)

'www

H u (C)

El procedimiento consiste en lo siguiente(Whitlow, 1994): a partir de los datos del suelo y

de la pendiente del talud, se calcula primero elvalor de c’/γH. Se selecciona entonces unaparte de la tabla 1 para la cual D = 1.00, y c’/γHsea un poco mayor que el del problema que seestá resolviendo. Mediante interpolación linealse obtienen valores de m y n que correspondena los valores de cot β y φ. Si se encuentra quen está subrayado, eso significa que puedeexistir un círculo más crítico (con menor FS) amayor profundidad. En este caso se usa lasección de la tabla para D = 1.25, y si esnecesario, para D = 1.50, hasta que se obtengauna magnitud de n que no esté subrayada. Esteprocedimiento se repite para una sección de latabla que corresponda a un valor de c’/γH unpoco menor que el del problema. Una vezhecho lo anterior y haciendo uso de la ecuación

A se calculan dos factores de seguridad FS1 y

FS2 para los valores de c’/γH respectivamentemayores y menores que el del problema.Finalmente se obtiene la magnitud de FSinterpolando linealmente entre FS1 y FS2.


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TABLA 1Bishop y Morgenstern (1960); Whitlow (1994)


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TABLA 1 (continuación)


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11

TABLA 1 (continuación)


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12

EjemploDeterminar el factor de seguridad mínimo deltalud de la figura E-2, usando el método deBishop y Morgenstern.Solución

052.0

616

5'

H

c

De la tabla 1: m = 0.90, n = 0.83

kPauw

24.39481.9

409.0

616

24.39

ur

56.0409.083.090.0 FS ------------

MÉTODO SIMPLIFICADO

A continuación se presenta un procedimientosimplificado (Deméneghi, 2010) para un suelocohesivo-friccionante, cuya ley de resistenciaestá dada por

s = c + tan

El análisis es específico para fallas por el pie

del talud. Debido a que este método da valoresdel factor de seguridad mayores que los que seobtienen usando otros métodos máselaborados, se recomienda calibrarlo conalguno o algunos de éstos. No obstante loanterior, el procedimiento simplificado tiene laventaja de que toma en cuenta, entre otras, lasfuerzas sísmicas que obran sobre el cuerpo deun talud.

D

Qa

Qb Wa

Sva

Sha Ca

H

φ

Wb n

Svb Ua Fa

Shb

β θ

L

Cb

φ

Ub

Fb n

B

SUPERFICIE SUPUESTA DE FALLA

FIGURA 8(Ms estabilidad de taludes figuras)

Sea el talud mostrado en la figura 8. Se suponela superficie de falla indicada en la mismafigura. Las literales tienen los siguientessignificados:

W = peso de la cuñaQ = sobrecarga sobre la cuñaSh = fuerza sísmica horizontalSv = fuerza sísmica verticalC = fuerza resistente debida a la cohesión delsueloF = fuerza resistente debida a la fricción delsueloU = fuerza de subpresión hidráulica = ángulo de fricción interna del suelo

Hagamos

Va = Wa + Qa – Sva (22)

Vb = Wb + Qb – Svb (23)

El factor de seguridad FS se define como

FS = FR / F A (24)

donde

FR = sumatoria de fuerzas resistentes

FR = (Va cos - Sha sen - Ua) tan + Ca + (Vb - Ub) tan + Cb (25)

F A = sumatoria de fuerzas actuantes

F A = Va sen + Sha cos + Shb (26)

Determinación de las fuerzas de subpresiónhidráulica

Consideremos las fuerzas de subpresiónhidráulica indicadas en la figura 9, donde

Lw = Hw’ / sen = Hw’ csc Ua = Lw w Hw’ / 2Ua = [w (Hw’)

2 csc ] / 2 (27)B = H / tan = H cot (28)Ub = B w Hw’ / 2 = (w Hw’ H cot ) / 2 (29)


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13

H

Hw'

UaLw

Ub

B

DETERMINACIÓN DE LAS SUBPRESIONES HIDRÁULICASFIGURA 9

Fórmulas para el cálculo del factor de seguridad

Para el empleo de las ecuaciones 24 a 26 se

pueden utilizar las siguientes fórmulas (figura 8)

= - (30)L = H [ sen (90°+) / sen ] (31)

Aa = H L cos / 2 (32)Wa = Aa (33)D = L cos (34)Qa = q D (35)Ca = c L (36)csh = coeficiente sísmico horizontalcsv = coeficiente sísmico verticalSha = csh (Wa + Qa) (37)Sva = csv (Wa + Qa) (38)

B = H / tan = H cot (39) Ab = H

2 cot / 2 (40)Wb = Ab (41)Cb = c B (42)Shb = csh (Wb + Qb) (43)Svb = csv (Wb + Qb) (44)

Determinación del factor de seguridad

El factor de seguridad se obtiene a partir de laecuación 24, variando el ángulo (figura 8)hasta que se alcanza el menor valor de dicho

factor de seguridad. Como la superficie de falladel talud no es necesariamente la superficie defalla crítica, se recomienda calibrar esteprocedimiento simplificado con otro u otrosmétodos, para proceder a los ajustescorrespondientes.

El uso de la ecuación 24 tiene la ventaja de quese pueden tomar en cuenta, entre otras, lasfuerzas sísmicas, y que el procedimiento se

programa fácilmente en hoja de cálculo de unacomputadora.

Ejemplo

Determinar el factor de seguridad de un taludque tiene las siguientes características (figuraE-3): c = 30 kPa, = 28°, = 18 kN/m3, H = 10m, = 75°, q = 30 kPa, csh = 0.06. Consideraruna cuña de deslizamiento con = 52°.

30 kPa

c = 30 kPa

Φ = 28°10 m

Gamma = 18 kN/m3

75°

FIGURA E-3

Solución Aplicando las ecuaciones 30 a 44 obtenemoslos siguientes valores

= 52°L = 12.69 m Aa = 39.0643 m

2 Wa = 703.157 kND = 7.813 mQa = 234.38 kNCa = 380.7 kNSha = 56.252 kNB = 2.6795 m

Ab = 13.3975 m2

Wb = 241.154 kNCb = 80.385 kNShb = 14.469 kNUsando las ecuaciones 22 a 26Va = 937.537 kNVb = 241.154 kNFR = 872.65 kNF A = 787.89 kNFS = 1.108Resolviendo el problema en hoja de cálculo decomputadora, mediante iteraciones se llega aun factor de seguridad mínimo FS = 1.105, quecorresponde a un ángulo = 54°.(Mstalud, Mstalud12)

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14

EjemploDeterminar el factor de seguridad del talud de lafigura E-2.SoluciónMediante iteraciones se encuentra que la cuñade deslizamiento crítica tiene un ángulo θ = 50°.Con este valor y aplicando las ecuaciones 30 a44 obtenemos los siguientes valores = 50°L = 7.83 m

Aa = 15.104 m2

Wa = 241.66 kND = 5.035 mQa = 0 kNCa = 39.162 kNSha = 0

B = 6 m Ab = 18 m

2 Wb = 288 kNCb = 30 kNShb = 0Usando las ecuaciones 22 a 26Va = 241.66 kNVb = 288 kNFR = 150.389 kNF A = 185.123 kNFS = 0.812(Mstalud 1110)

----------

SUELO FRICCIONANTE

En un suelo friccionante se ha observadoexperimentalmente que la superficie de falla dela cuña de deslizamiento tiende a ser plana(figura 10). Tomando en cuenta las fuerzasindicadas en la figura 10, el factor de seguridadse define

FR FS =

F A

Sea V = W + Q - Sv (45)

FR = (V cos - Sh sen - U) tan (46)

F A = V sen + Sh cos (47)

(V cos - Sh sen - U) tan FS = (48)

V sen + Sh cos

En la ecuación 48 se varía el ángulo hastaque se obtenga el menor valor de FS del taluden cuestión.

Consideremos Sh = Sv = U = 0 en la ecuación48

(W + Q) cos tan tan FS = = (49)

(W + Q) sen tan

Q

Alfa

W

Theta Sv

Sh

H

U

BetaTheta

TALUD EN UN SUELO FRICCIONANTEFIGURA 10

En la ecuación 49 el factor de seguridad mínimoFSmin se obtiene cuando = max. Pero max = (figura 10). Por lo tanto

tan FSmin = (50)

tan

La ecuación 50 indica que, en un taludsometido sólo a sobrecarga y peso propio, osometido únicamente a peso propio, el factor deseguridad mínimo depende sólo de la relaciónentre y . Así,

para < : FSmin > 1

para = : FSmin = 1para > : FSmin < 1

Fórmulas para el cálculo de las fuerzas en lacuña de deslizamiento

De acuerdo con la geometría de la figura 11 setiene que


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15

H sen ( - )B = (51)

sen sen

B sen (180° - )L’ = (52)sen

= - (53) A1 = BH/2 (54) A2 = (BL’ sen )/2 (55) A = A1 + A2 (56)W = A (57)Q = q L’ cos (58)Sh = csh (W + Q) (59)Sv = csv (W + Q) (60)csh = coeficiente sísmico horizontal

csv = coeficiente sísmico vertical

q

L'

Épsilon Alfa A1

B

A2

H

Beta

Theta

GEOMETRÍA DEL TALUDFIGURA 11

Ejemplo

Determinar el factor de seguridad mínimo deltalud de la figura E-4. Considerar H = 8 m, =18 kN/m3, csh = 0.12, csv = 0, = 44°, = 38°, = 8°, q = 30 kPa, U = 0.

30 kPa

L'

8°

B

Gamma = 18 kN/m3Phi = 44°

8 m

38°

35°

FIGURA E-4

Solución

Sea = 35°. Usando las ecuaciones 51 a 60obtenemos

B =1.186 m, L’ = 1.498 m, A1 = 4.743 m

2

, A2 =0.124 m2, A = 4.866 m2, W = 87.591 kN, Q =44.502 kN, Sh = 15.851 kN, Sv = 0Sustituyendo valores en la ecuación 48: FS =1.078Variando el ángulo se determina un FSmin =0.974, para = 37.9°(Si el talud está sometido sólo a peso propio y

sobrecarga, sin sismo, el factor de seguridadmínimo es FSmin = tan / tan = 1.236)(Mstaludfric)

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SUELO COHESIVO

En suelos puramente cohesivos la posición dela superficie de falla depende del ángulo deltalud (figura 12). Así, si > 53° la falla pasa porel pie del talud (figura 13), mientras que si <53° se presenta una falla por la base del talud(figura 14).

q

H

Beta

SUELO PURAMENTE COHESIVOFIGURA 12


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Beta > 53°

FALLA POR EL PIE DEL TALUDBETA MAYOR QUE 53°

FIGURA 13

Por lo tanto, para > 53° se pueden usar lasgráficas de Janbu o similares, correspon-dientes a falla por el pie del talud.

En cambio, para < 53° la falla será por la basedel talud, y se puede demostrar teóricamente(Taylor, 1956; Juárez Badillo y Rico, 1986) quela superficie de falla tiende a ser muy profunda(en un medio seminfinito el radio del círculocrítico tiende teóricamente a infinito); el centrodel círculo queda a la mitad de la base deltalud. El factor de seguridad queda dado

Ncf cFS = (61)

pd

Beta < 53°

FALLA POR LA BASE

BETA MENOR QUE 53°FIGURA 14

Como se trata de condiciones no drenadas:

H + qpd = (62)

d

d = q t (63)

c = (H tan )/c = 0

Para c = 0 y < 53°, la superficie de falla pasapor la base, el número de estabilidad Ncf esconstante y toma el valor N

cf = 5.525.

Reemplazando en la ecuación 61

5.525 cFS = (64)

pd

En forma aproximada, la ecuación 64 se puedeponer

5.525 cFS = (65)

H + q

EjemploDeterminar el factor de seguridad del talud de lafigura E-5.cu = 60 kPa, = 18 kN/m

3, H = 6 m, q = 30 kPa, = 45°No considerar grietas de tensiónSolución

q/H = 30/18(6) = 0.278, q = 0.91 (figura 5a)d = 0.91(1) = 0.91 (ecuación 63)Usando la ecuación 62: pd = (18(6)+30)/0.91 =151.65 kPaReemplazando en la ecuación 64

30 kPa

Gamma = 18 kN/m36 m cu = 60 kPa

45°

EJEMPLOFIGURA E-5

5.525(60)FS = = 2.19

151.65 Utilizando la ecuación aproximada (ecuación65)

5.525(60)FS = = 2.40

18(6)+30 ----------


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COMENTARIO FINAL

En los incisos anteriores se han empleado parael análisis de estabilidad de taludes la cohesiónc y el ángulo de fricción interna del suelo. Elingeniero debe tener presente que estosparámetros de resistencia pueden cambiar conel tiempo, sobre todo en lo que se refiere a lacohesión del terreno. Además, con frecuencia lacohesión del suelo disminuye con el tiempo, loque puede dar lugar a una reducción del factorde seguridad del talud con el transcurso deltiempo. Por lo tanto, deberá estimarse elmínimo valor de la cohesión, y usarse éste parael cómputo de la estabilidad del talud. En estesentido, conviene que las pruebas que se

realicen para estimar la resistencia al corte delsuelo sean pruebas drenadas.

Por otra parte, la presencia de presioneshidráulicas en el cuerpo del talud tiene unainfluencia decisiva en la estabilidad del mismo,por ello deberán estimarse también lascondiciones hidráulicas más desfavorablesdurante la vida útil, y considerar éstas para elanálisis de la seguridad del talud. Es claro queuna de las medidas más efectivas para mejorarla estabilidad de un talud consiste en usareficientes sistemas de drenaje, tanto

superficiales como subterráneos, pues ladisminución de las presiones de poro aumentasustancialmente la resistencia al corte delsuelo.

Ciudad Universitaria, D F, julio de 2011

REFERENCIAS

Bishop, A W y Morgenstern, N R, “Stability

coefficients for earth slopes”, Géotechnique, 10,1960

Deméneghi, A, Comunicación personal, 2010

Janbu, N, “Stability analysis of slopes withdimensionless parameters”, Harvard University,1954

Juárez Badillo, E y Rico, A, Mecánica deSuelos, tomo II, Limusa, México, D F, 1986

Taylor, D W, Fundamentals of Soil Mechanics,cap 16, Wiley, 1956

Whitlow, R, Fundamentos de Mecánica deSuelos, CECSA, México, D F, 1994

(Ms estabilidad de taludes 0711)


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Capacidad de Carga (Deménegui)

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