Capa Límite

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Prctica 9: Capa lmite.

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Capa lmite

1. Introduccin

El objetivo de esta prctica es obtener el perfil de velocidades del flujo de capa lmite sobre placas con distintas rugosidades.

Si consideramos el flujo de un fluido viscoso sobre una placa alineada en la direccin de la corriente (fig. 1a), en el supuesto de flujo ideal (sin rozamiento) la velocidad y la presin a travs del campo de flujo seran uniformes, con una distribucin de velocidad como la de la figura 1b. Sin embargo, si el fluido es real, a partir del borde delantero de la placa plana se forma una capa de fluido muy tenue en la inmediata proximidad de la placa que resulta frenada por el rozamiento. En esta capa la velocidad crece desde el valor nulo en la misma pared (condicin de no deslizamiento) hasta su pleno valor en la corriente exterior, ya sin rozamiento. Siguiendo a L. Prandtl, esa capa se denomina capa lmite. El espesor de esta capa aumenta progresivamente aguas debajo de la corriente (ver figura 1c). La velocidad en la capa lmite se aproxima asintticamente a la velocidad en el flujo principal. Su espesor crece progresivamente aguas abajo (fig. 2), existiendo una zona inicial de flujo laminar, que se transforma progresivamente en turbulento a medida que crece el espesor de la capa lmite.

VELOCIDAD V (PRESIN P (1.aVELOCIDAD V (1.b

VELOCIDAD V(1.cFLUJO SIN ROZAMIENTO

Fig. 1. Perfil de velocidades sobre una placa plana

V: Velocidad en la zona no perturbada

Fig. 2. Estructura de la capa lmite sobre una placa plana. (1 y 2: perfiles de velocidad).La tensin tangencial en la capa lmite laminar es proporcional al gradiente de velocidad en el contorno, de acuerdo con la ley de Newton y por tanto tendremos:

(1)

donde:

- ( : viscosidad dinmica del fluido.

En la porcin turbulenta de la capa lmite, el intercambio de cantidad de movimiento causado por las componentes de fluctuacin de velocidad, provoca la aparicin de una tensin tangencial adicional, o de Reynolds.

Para los flujos paralelos de cortadura cabe utilizar, a efectos de clculo de tensiones en la capa lmite turbulenta, la viscosidad de remolino de Boussinesq, (, tal que:

(2)

En este caso la tensin tangencial depender de (, que no es una propiedad fsica, sino que depende del flujo y de la naturaleza de la turbulencia que se desarrolla en su seno.

1.1 Ecuacin de Von KarmanEl flujo en la capa lmite fue descrito por Prandtl, cuyas ecuaciones presentan una gran dificultad de resolucin. A efectos prcticos, bastar una aproximacin al espesor de la capa lmite ((), y que se obtendr utilizando el mtodo del volumen de control.

Si consideramos el volumen de control que aparece en la figura 3; de dimensiones y, (x y la unidad (perpendicular al papel), as como la presin constante sobre el eje x y distribuciones de velocidad no uniformes; podemos aplicar la ecuacin de continuidad:

(3)

Siendo el flujo msico entrante igual a:

(4)

Fig. 3. Esquema del volumen de control empleado en el clculo del espesor de la capa lmite.

El flujo msico saliente en la direccin del eje x ser:

(5)Sustituyendo la expresin anterior en (3), tendremos que el flujo msico superior ser:

(6)

Aplicando la ecuacin de cantidad de movimiento en direccin x sobre las diversas superficies de control tenemos:

(7)

de donde el flujo de cantidad de movimiento por unidad de superficie en cada una de las caras ser:

(8)

(9)

INCRUSTAR Equation.3 (10)

Por otro lado, las fuerzas sern:

(11)

(12)

Sustituyendo las expresiones (8) a (12) en la ecuacin (7), simplificando y dividiendo por (x tendremos:

(13)

Teniendo en cuenta que:

y adems:

tendremos que la expresin (13), dividiendo por ( y multiplicando por 1 se convierte en:

(14)

Conociendo que:

y sustituyendo en el 2 trmino del 2 miembro de la expresin en (14) se llega a:

Como U no es funcin de y, y cambiando el lmite de integracin y por ( tendremos:

(15)

que es la expresin de Von Karman, y puede ser aplicada tanto al flujo laminar como turbulento.

La ecuacin de Von Karman en forma adimensional, se podra escribir como:

(16)

Para que esta ecuacin pueda ser integrada, es necesario conocer el perfil de velocidades a lo largo del espesor de la capa lmite.

1.2 Clculo de los parmetros de una capa lmite sobre una placa planaSi se considera la placa plana de la figura 2, sobre la que acta un flujo uniforme a velocidad V(, tendremos que:

;

(17)

En el caso de la capa lmite laminar, al ser la velocidad constante, la expresin (16) queda de la forma siguiente:

(18)

Puesto que el flujo es laminar la tensin tangencial en la pared ser:

(19)

Como U y ( no dependen de y, esta expresin se puede escribir:

(20)

Sustituyendo en (18) y dividiendo por U2 se obtiene:

(21)

Si consideramos que la distribucin de velocidades en la capa lmite es similar a la que encontramos en un conducto podremos considerar que:

,sustituyendo umax por U, R por ( y adems y=R-r se tendr que el perfil

de velocidades tendr la forma:

,donde

(22)

De acuerdo con (22), tendremos que la pendiente del perfil parablico evaluada en la pared es:

(23)

Sustituyendo la expresin (23) en (21) obtendremos:

,que integrando se convierte en:

(24)

Sustituyendo V( por U en (24), y separando variables:

,integrando para x=0, (=0 y x=x :

(25)

Dividiendo ambos miembros por x se llega a la expresin utilizada habitualmente en el clculo de la capa lmite laminar, y que es:

(26)

La tensin tangencial toma la forma siguiente, en funcin de (20):

(27)

Por otro lado, el coeficiente de friccin se definir como:

(28)

La bondad de la expresin (26) puede ser analizada comparando los resultados que se deducen de ella, con los de la solucin exacta de Blasius que tiene la forma siguiente:

(29)

Para el caso de la capa lmite turbulenta, y considerando que el perfil de velocidades sigue la ley de

potencia

(30)

se obtiene:

(31)

2 Descripcin de la instalacin

La instalacin disponible, para el estudio de la capa lmite sobre una placa plana, consta de los siguientes elementos (fig. 4):

1) Tnel de viento de flujo subsnico, de pequeas dimensiones y constituido por:

Ventilador centrfugo radial.

Conducto de seccin rectangular, de metacrilato y cuyas dimensiones son 147 x 74 mm2.

2) Sonda Pitot de 1mm de dimetro.

3) Manmetro inclinado de columna de alcohol ((rel = 0.784).

4) Placa plana de latn de dimensiones: 290 x 147 mm

Fig. 4. Esquema general de la instalacin.

3 Metodologa de toma de datos

La determinacin de las velocidades se realizar segn la sistemtica siguiente:

1) Medir la temperatura y presin baromtrica que reina en el laboratorio.

2) Desplazar la placa plana hacia fuera de la seccin de ensayo de tal forma que la sonda de Pitot pueda medir la velocidad del flujo sin la influencia de la placa.

3) Posicionar, con la ayuda del husillo micromtrico, la sonda de Pitot en el centro de la seccin de ensayo.

4) Nivelar el manmetro inclinado de columna de alcohol. Esto se puede lograr girando el tornillo situado a la derecha del manmetro inclinado.

5) Determinar el ngulo de inclinacin del manmetro.

6) Medir el error de cero del manmetro inclinado.

7) Poner en marcha el ventilador centrfugo.

8) Medir nuevamente la presin que marca el manmetro inclinado. Esta lectura, una vez corregida del error de cero del manmetro inclinado, sirve para evaluar la velocidad del fluido no perturbado o velocidad.

9) Desplazar la placa plana de tal forma que su extremo afilado y el extremo de la sonda Pitot estn en la misma vertical.

10) Hacer descender la sonda Pitot hasta que toque la placa plana. Prestar atencin en esta operacin evitando que la sonda se pueda deformar al apretarla excesivamente.

11) A partir de este momento ya estamos en condiciones de hacer las mediciones necesarias para determinar el perfil de velocidades del flujo de un fluido a travs de una placa plana.

La rutina experimental a seguir es:

Colocar el extremo de la sonda en el punto x = 0, y = 0.5 mm, y proceder a leer la presin que mide el manmetro inclinado.

Mover la sonda de Pitot, situndola en el punto x = 0, y = 0.75 mm. Para ello hay que girar el husillo micromtrico media vuelta (recordar que cada vuelta equivale a 0.5 mm).

Volver a leer lo que mide el manmetro inclinado.

Continuar levantando la sonda, mantenindose en el mismo plano vertical.

Cuando la lectura del manmetro inclinado coincida para dos posiciones verticales consecutivas, cambiar de plano vertical. Para ello tirar de la placa plana y desplazarla 5 cm.

Repetir la rutina experimental expuesta en los ltimos prrafos.

4 Presentacin y tratamiento de resultados

Los datos experimentales debern tomarse siguiendo un esquema como el que aparece a continuacin:

Ordenada (mm)lectura manomtrica(P (m.c.aire)VELOCIDAD (m/s)

ABCISA

X=0 cm0.5

0.75

1

1.25

1.50

.

.

.

.

.

ABCISA

X=5 cm0.5

0.75

.

La disposicin de la sonda de Pitot ser la que aparece en la figura n5.

Fig. 5 Sistemtica de toma de datos con la sonda Pitot.

El clculo de la velocidad se har a partir de la expresin:

(14)

donde:

v: velocidad del fluido (m/s).

g: aceleracin de la gravedad (m/s2).

d: lectura del manmetro (m.c.alcohol).

(: error de cero en el manmetro (m.c.alcohol).

(: ngulo de inclinacin del manmetro (18).

(al: densidad relativa del alcohol.

(air: densidad relativa del aire.

Para conocer aproximadamente el inicio de la capa lmite turbulenta, se considerar un nmero de Reynolds crtico igual a 3105 y la expresin:

(15)

donde:

V(: velocidad de flujo no perturbada (m/s).

x: distancia sobre la placa (m).

: viscosidad cinemtica (m2/s).

Rex: n de Reynolds crtico.

5 Cuestiones:

1) Determinar el perfil de velocidades sobre una placa plana y rugosa.

2) Determinar aproximadamente el inicio de la capa lmite turbulenta en cada caso.

3) Determinar el espesor terico y real de la capa lmite laminar. Justificar los resultados obtenidos.

INCRUSTAR AutoCAD.Drawing.14

INCRUSTAR Equation.3









Departamento de Mecnica de Fluidos de la Escuela de Ingenieros Industriales de Terrassa,(U.P.C.)

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