7. Ondas barotrpicasComo vimos en los captulos anteriores es posible aprender mucho sobre las circulacin ocenica estacionaria de gran escala considerando al ocano como un fludo homogneo y sin friccin. El objetivo de este captulo es describir un conjunto de ondas que existen en las ecuaciones para este tipo de ocano y que nos permitan mas adelante interpretar procesos de ajuste ocenicos. 7.1 Modelo de aguas somerasSupongamos que el ocano es homogneo pero no rota tan rpidamente como para que la aceleracin de Coriolis sea mucho mas grande que los otros trminos de aceleracin. Entonces las ecuaciones son:Supongamos ademas que el flujo horizontal es independiente de la profundidad (esto se verifica si el flujo inicial lo es), o sea consideremos flujos barotrpicos (figura 7.1). Entonces, las ecuaciones de momento horizontal se reducen a:La velocidad vertical se puede inferir de la ecuacion de continuidad: los dos primeros trminos de esta ecuacin son independientes de z, pero pueden sumar diferente de 0. Por lo tanto puede existir una velocidad vertical que vare linealmente con la profundidad permitiendo que el flujo sea divergente y por lo tanto cruce las isbaras (lo cual no puede hacer el flujo geostrfico si f es constante).Integrando la ecuacin de continuidad en la vertical:donde b es la batimetra y h es el espesor del fludo. Figura 7.1 Esquema de flujo de aguas someras.Dado que las partculas de fludo en la superficie no pueden escaparse y las partculas en el fondo no pueden penetrar la batimetra, las velocidades verticales estn dadas por Usando la altura de superficie la ecuacion de continuidad integrada se obtieneNotemos que esta forma de la ecuacin de continuidad elimina la velocidad vertical del formalismo e introduce una nueva variable . Puesto que el fludo es homogneo la presin dinmica p es independiente de la profundidad (ecuacin hidrosttica). Por otro lado, en ausencia de una presin atmosfrica constante sobre la superficie ocenica la presin dinmica p en el nivel Reference (figura 7.1) est dada poro sea por el peso del fluido por encima de ese nivel, y por lo anterior vale para todo nivel z. Sustituyendo p en las ecuaciones de momento se obtiene un sistema de 3 ecuaciones y 3 incgnitas u,v, y variables independientes x,y,t:Este sistema de ecuaciones lleva por nombre modelo de aguas someras. 7.2 Modelo de aguas someras linealizadoPara estudiar las ondas barotrpicas consideraremos algunas simplificaciones del modelo de aguas someras anterior. Se considera el caso de nmero de Rossby pequeolocual implicaconsiderar flujoslentos, deescalahorizontal grandeyde rotacin rpida. De esta forma los trminos no lineales de las ecuaciones son despreciables. Por otro lado consideramos flujos con numero temporal de Rossby del rden de la unidadpara mantener las aceleraciones locales. LacombinacindeRoyRoTimplicaconsiderarflujoslentosdeevolucin rpida (vale que L/T>>U). O sea que consideraremos fenmenos ondulatorios paraloscualeslatransmisiondeinformacion(C=L/Teslavelocidaddela onda) esmuchomsrpidaqueelmovimientodelaspartculasmateriales (U).Recordemos quelos numeros deRossby sepuedendefinir basadoenla componente local de la rotacion terrestre como Ro=UfL, RoT=1fT. Con estas restricciones las ecuaciones de momento linealizadas quedanPara linealizar la ecuacin de continuidad expandimos considerando que el fondo es plano (b=0). Si H es la escala vertical del desplazamiento de la superficie libre se obtiene que los trminos de la ecuacion anterior son del orden dePero como L/T>>U yH0, R se hace infinitamente grande por lo que la onda deja de estar atrapada y se reduce a una onda de gravedad con crestas y valles orientadas en forma perpendicular a la costa.El sentido de propagacin de la onda de Kelvin depende del hemisferio. Aqu consideramosf>0y obtenemos que las lneas de fase constante cumple y+ct=cte, oseaquey=-ct+cte, porloqueel sentidoeshaciael surenla frontera oeste. En regla general la onda de Kelvin se propaga de tal forma de tener la frontera a la derecha del sentido de propagacin en el H.N., y a la izquierda en el H.S. Es bueno resaltar que si bien el sentido de propagacin de la onda es siempre el mismo, las velocidades meridionales tienen signo arbitrario. Para una onda con desplazamiento de la superficie positivo, el equilibrio geostrfico da lugar a una velocidad v que es mxima en la altura mxima (ya que el gradiente en la direccin xes mximo), y con direccin sur (H.N.) (ver figura 7.3). Puesto quelasvelocidadesgeostrficasdisminuyenaambosladosdel mximode elevacin se generan regiones de convergencia al sur y divergencia al norte del mismo. Este patrn de convergencia-divergencia sube y baja el nivel del mar haciendo que la onda se propage.El caso de una onda con desplazamiento negativo se muestra en la figura 7.4.Figura 7.4 - Esquema de onda de Kelvin con desplazamiento negativo de la superficie.Las ondas de Kelvin pueden ser forzadas por marejadas asociadas a tormentas, o por variaciones de los vientos a lo largo de las costas. Adems, estas ondas son escenciales para describir las mareas. Para un ocano profundo (H=5000 m) en latitudes medias, el radio de deformacin de Rossby es cercano a 3000 km. Como la plataforma continental se extiende unos 100 km offshore, a esta escala el talud continental es practicamente indistinguibledeunafronteravertical. Por lotanto, unaondadeKelvin barotrpica se extiende muy lejos de la costa y ocupa una fraccin sustancial de una cuenca ocenica tpica. La mayor parte de la energa de las ondas de marea viajando a lo largo de los continentes se transmite en forma de ondas de Kelvin con una velocidad de 200 m/s. Para mares someros y regiones costeras Res del ordende200km. El decaimiento de la amplitud dela onda al alejarse de la costa se manifiesta claramenteenel Canal delaMancha(figura7.5). Lamareadel Atlntico norteentrael Canal desdeel oesteyviajahaciael estehaciael Mardel Norte. Paraello,laondaseapoyasobreFranciayaqueenel H.N. debe tener la costa a la derecha. Esto explica por qu las mareas son mayores en la costa de Francia que en la costa de Inglaterra.Figura 7.5- Lineas cotidales (une puntos con igual marea alta simultnea, punteadas) con el tiempo en horas lunares para la marea M2 en el Canal de la Mancha mostrando la progresin de la marea. Lineas de igual nivel de marea (solidas, valores en metros) muestran amplitudes mayores a lo largo de la costa de Francia. 7.5 Ondas de PoincareConsideremos ahora las ecuaciones del modelo de aguas someras linealizado sin simplificaciones adicionales. No hay fronteras y tampoco u=0. Se considerafconstante; masadelanteveremoscmocambianlassoluciones cuando f depende de la latitud. Para resolver el sistema buscamos soluciones de la formadonde el smbolo R denota la parte real. Sustituyendo, obtenemosPara que el sistema tenga solucin no trivial, el determinante debe ser nulo. Se obtiene as la relacin de dispersin para las ondas descritas por el sistema de ecuacionesy se muestra en la figura 7.6. Figura 7.6 Relacin de dispersin de las ondas de Poincare y de Kelvin para f=cte. La raz =0 corresponde a una situacin estacionaria de flujo geostrfico. Las otras dos soluciones cumpleno=.(f2+gHk2)que corresponden a ondas viajeras llamadas ondas de Poincare. De las ecuaciones anteriores tambin vale que U=(kxo+ikyf ) A/ (k2H)V=(kyoikxf ) A/(k2H)Notar que: la frecuencia es siempre mayor que la inercial. en el lmite f->0 la frecuencia est dada poro=k.(gH) , la velocidad de fase esc=o/ k=.(gH) , o sea que son ondas gravitatorias de superficie. en ellmite delongitudes deondasmenoresalradiode deformacinde Rossby k2f2/ gH las ondas de Poincare se comportan como ondas gravitatorias de superfice en un fludo que no rota. En ese lmite las ondas son tan cortas que no sienten la rotacin. enel lmitedelongitudes deondalargask2f2/ gH los efectos dela rotacin dominan y of . En este lmite la estructura del flujo es lateralmente uniforme y todas las parcelas se mueven al unsono, cada una describiendo un crculo inercial con radio V/f donde Ves el mdulo de la velocidad. estas ondas son dispersivas pues c=c(k). Como las ondas de Poincare exhiben caractersticas de ondas gravitatorias y de ondas inerciales, se las llama ondas gravito-inerciales.La velocidad de grupo cg escg=gHw (kx, ky)=gHw ko sea que cg es en la direccin de k. En la figura 7.6 cg es la pendiente de la curva.El cociente de velocidades de grupo y de fase es asimismocgw/k=gHk2w2=R2k21+R2k2>1) entonces el cociente tiende a la unidad; si la longitud de onda es mucho mayor que el radio de deformacin el cociente tiende a cero.Para visualizar el movimientodelas parceles de fluido supongamos que elegimos la direccin x como la direccin de propagacin de la onda; entonces ky=0. Por lo tanto la onda de Poincare satisfacej=Acos(kxxwt)u=(oA/ kxH) cos(kxxwt)v=(fA/ kxH) sin(kxxwt)De esta solucin podemos ver que la rotacin terrestre solo afecta la componente v de la onda, o sea la perpendicular a la direccin de propagacion. En la direccion x la onda es idntica a una onda gravitatoria de aguas someras. La solucin se muestra en la figura 7.7. Las trayectorias de las parcelas son elipses con ejes mayores en la direccin del vector nmero de onda. Larazndelosejesdelaelipsees/f, oseaquelacomponente perpendicular a la direccin de movimiento es significativa si f. Figura 7.7 Onda de Poincare propagndose hacia la derecha. Arriba muestra la elevacin de la superficie, y abajo se muestra la trayectoria de las parcelas vista desde arriba. Las parcelas se mueven en sentido anticiclnico. Las flechas marcan la posicion de la parcela de acuerdo a la elevacin de la superficie (H.N.).7.6 Ondas de RossbyPara estudiar las ondas de Kelvin y de Poincare se consider f constante, o en forma equivalente, se consider que el movimiento meridional de las parcelas es relativamente chico. Esa es la aproximacin del plano-f, que considera que el movimiento se desarrolla en un plano tangencial a la superficie terrestre. Movimientos ondulatorios de gran extensin meridional, como por ejemplo los meandros enlacorriente del Golfo, debenser descritos considerandola esfericidadterrestre. Estoes, esnecesarioconsiderarqueel parmetrode Coriolisfdependede lalatitud.En estecasolaaproximacinsedenomina plano- aunque ya no describe la dinamica en un plano. Considerando una latitud de referencia 0, se puede aproximar f comof =2Dsin2Dsin0+dfdya+...=2Dsin0+2Dacos0y=f0+0yNotarqueestaaproximacinesvlidadparamovimientosmeridionalesde longitud caracterstica L que satisfacen 0Lf0 1Considerando el plano- el modelo de aguas someras queda de la formaComo sabemos, el balance de primer orden es el geostrofismo, por lo tanto estas ecuaciones tienen trminos relativamente grandes (f0, g y H) y trminos mas chicos (0y derivadas temporales). Considerar laderivada temporal chica es equivalente a considerar RoT