1  

 Cap  4:  Potencial  eléctrico      Segundo  Leibniz,  el  resultado  de  las  interacciones  entre  partículas  se  ve  por  el  intermediar  de  un  cambio  de  energía,  cuantificado  por  el  trabajo  W    El  trabajo  describe  el  efecto  de  una  fuerza  en  un  intervalo  del  espacio-­‐tiempo  (desplazamiento  de  a  a  b):  (3.1)  

Wa→b =

F ⋅dl

a

b

∫    

 Cuando  no  hay  perdida  de  energía  (fuerza  conservativa):  (3.2)   Wab =Ua −Ub = − Ub −Ua( ) = −ΔU      

• El  trabajo  es  igual  al  negativo  del  cambio  de  energía  potencial  U    Aplicando  la  ley  de  la  conservación  de  energía:    (3.3)   Ka +Ua = Kb +Ub ⇒ Kb − Ka = − Ub −Ua( )        El  trabajo  de  una  fuerza  conservativa  es  igual  a  la  variación  de  energía  cinética  K        (3.4)   Wab = −ΔU = − Ub −Ua( ) = Kb − Ka = ΔK        Para  la  interacción  eléctrica,  la  fuerza  de  Coulomb

F = q0

E    es  conservativa  y  

tenemos  para  la  energía  potencial  U = q0V  donde  V  es  el  potencial  eléctrico  –  la  energía  potencial  por  unidad  de  carga        

  2  

Ej.  Energía  potencial  eléctrica  en  un  campo  eléctrico  uniforme    Dos  placas  paralelas  separadas  por  una  distancia  d  producen  un  campo  uniforme  

E = E    

 Por  definición  la  fuerza  eléctrica,    

F = −q0Ey ,  cuando  

la  partícula  (positiva)  se  mueve  por  abajo  sobre  el  eje  y,  sobre  una  distancia  d = b − a ,  producen  un  trabajo  igual  al  negativo  de  la  diferencia  de  energía  potencial:    

(3.5)   Wab =

F ⋅dl

a

b

∫ = −q0E cos(0)dla

b

∫ = −q0E b − a( )    

 

 

 Y  esto  corresponde  a  una  diferencia  de  energía  potencial    (3.6)   Wab = −ΔU = − Ub −Ua( ) = −q0E b − a( )      Este  resultado  implica  que  Ua = q0Ea  y  Ub = q0Eb  y  de  forma  general    

(3.7)   U = q0Ey⇒V = Uq0

= Ey  

   Que  se  mide  =  el  efecto  real  de  la  interacción  eléctrica  =  el  trabajo  

• Esto  es  la  diferencia  de  energía  potencial  (la  energía  potencial  en  un  punto  sólo  no  tiene  sentido  físico)    

 El  movimiento  natural  de  la  carga  (trabajo  positivo)  va  en  el  sentido  de  una  disminución  de  la  energía  potencial  eléctrica        

         

23 .1 Energía potencial eléctrica 781

donde es un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria de la partícu-la, y f es el ángulo entre y en cada punto de la trayectoria.

En segundo lugar, si la fuerza es conservativa, según se definió el término en lasección 7.3, el trabajo realizado por siempre se puede expresar en términos de unaenergía potencial U. Cuando la partícula se mueve de un punto donde la energía po-tencial es Ua a otro donde es Ub, el cambio en la energía potencial es DU 5 Ub 2 Ua,y el trabajo que realiza la fuerza es

(trabajo efectuado por una(23.2)

fuerza conservativa)

Cuando WaSb es positivo, Ua es mayor que Ub, DU es negativo y la energía potencialdisminuye. Eso es lo que ocurre cuando una pelota cae de un punto elevado (a) a otromás bajo (b) en presencia de la gravedad terrestre; la fuerza de la gravedad efectúa untrabajo positivo, y la energía potencial gravitacional disminuye (figura 23.1). Cuandose lanza una pelota hacia arriba, la fuerza gravitatoria hace un trabajo negativo duran-te el ascenso, y la energía potencial aumenta.

En tercer lugar, el teorema del trabajo y la energía establece que el cambio en laenergía cinética DK 5 Kb 2 Ka durante cualquier desplazamiento es igual al trabajototal realizado sobre la partícula. Si el único trabajo efectuado sobre la partícula lorealizan fuerzas conservativas, entonces la ecuación (23.2) da el trabajo total, y Kb 2Ka 5 2(Ub 2 Ua). Por lo general esto se escribe así:

(23.3)

Es decir, en estas circunstancias, la energía mecánica total (cinética más potencial) seconserva.

Energía potencial eléctrica en un campo uniformeA continuación se verá un ejemplo eléctrico de estos conceptos básicos. En la figura23.2 un par de placas metálicas paralelas con carga generan un campo eléctrico uni-forme descendente y con magnitud E. El campo ejerce una fuerza hacia abajo conmagnitud F 5 q0E sobre una carga de prueba positiva q0. A medida que la carga semueve hacia abajo una distancia d del punto a al punto b, la fuerza sobre la carga deprueba es constante e independiente de su localización. Por lo tanto, el trabajo reali-zado por el campo eléctrico es el producto de la magnitud de la fuerza por la compo-nente de desplazamiento en la dirección (descendente) de la fuerza.

(23.4)

Este trabajo es positivo, toda vez que la fuerza está en la misma dirección que el des-plazamiento neto de la carga de prueba.

La componente y de la fuerza eléctrica, Fy 5 2q0E, es constante, y no hay compo-nente x o z. Esto es exactamente análogo a la fuerza gravitatoria sobre una masa mcerca de la superficie de la Tierra; para esta fuerza, existe una componente y constan-te Fy 5 2mg, y las componentes x y z son iguales a cero. A partir de esta analogía sepuede concluir que la fuerza ejercida sobre q0 por el campo eléctrico uniforme en lafigura 23.2 es conservativa, igual que la fuerza gravitatoria. Esto significa que el tra-bajo WaSb efectuado por el campo es independiente de la trayectoria que sigue la par-tícula de a a b. Este trabajo puede representarse con una función de energía potencial U,como se hizo para la energía potencial gravitacional en la sección 7.1. La energía potencial para la fuerza gravitatoria Fy 5 2mg fue U 5 mgy; por consiguiente, laenergía potencial para la fuerza eléctrica Fy 5 2q0E es

(23.5)

Cuando la carga de prueba se mueve de la altura ya a la altura yb, el trabajo realizadosobre la carga por el campo está dado por

(23.6)WaSb 5 2DU 5 2 1Ub 2 Ua 2 5 2 1q0 Eyb 2 q0 Eya 2 5 q0 E 1 ya 2 yb 2U 5 q0 Ey

WaSb 5 Fd 5 q0 Ed

Ka 1 Ua 5 Kb 1 Ub

WaSb 5 Ua 2 Ub 5 2 1Ub 2 Ua 2 5 2DU

WaSb

FS

FS

d lS

FS

d lS

El trabajo realizadopor la fuerzagravitatoria esel mismo paracualquier trayectoriade a a b:Wa S b 52DU 5 mgh.

Objeto en movimiento en un campogravitacional uniforme

w 5 mgS S

h

a

b

23.1 Trabajo realizado sobre una pelotade béisbol en movimiento en un campogravitacional uniforme.

Carga puntual que se mueve en un campoeléctrico uniforme

S S

El trabajo realizado por la fuerzaeléctrica es el mismo para cualquiertrayectoria de a a b:

WaSb 5 2DU 5 q0Ed.

b

a

y

d

y

O

q0

F 5 q0E

ES

+

–

+

–

+

–

+

–

+

–

23.2 Trabajo realizado sobre una cargapuntual que se mueve en un campo eléctrico uniforme. Compare esta ilustración con la figura 23.1.

782 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico

– – – – –

+ ++ + +

a) La carga positiva se desplaza en dirección de E:• El campo realiza un trabajo positivo sobre la carga.• U disminuye.

ya

a

b

yb

ES

F 5 q0ES S

S

y

O– – – – –

+ ++ + +

b) La carga positiva se desplaza en dirección opuesta a E:• El campo realiza un trabajo negativo sobre la carga.• U aumenta.

yb

b

a

ya

ES

F 5 q0ES S

S

y

O

23.3 Carga positiva que sedesplaza a) en la dirección delcampo eléctrico y b) en ladirección opuesta a E

S.

ES

Cuando ya es mayor que yb (figura 23.3a), la carga de prueba positiva q0 se mueve haciaabajo, en la misma dirección que el desplazamiento tiene lugar en la misma direc-ción que la fuerza por lo que el campo realiza trabajo positivo y U disminuye.[En particular, si ya 2 yb 5 d como en la figura 23.2, la ecuación (23.6) da WaSb 5 q0Eden concordancia con la ecuación (23.4).] Cuando ya es menor que yb (figura 23.3b), lacarga de prueba positiva q0 se mueve hacia arriba, en dirección opuesta a el despla-zamiento se opone a la fuerza, el campo hace un trabajo negativo y U aumenta.

Si la carga de prueba q0 es negativa, la energía potencial aumenta cuando se muevea favor del campo y disminuye cuando se mueve en contra del campo (figura 23.4).

Sea positiva o negativa la carga de prueba, se aplica la siguiente regla general: Uaumenta si la carga de prueba q0 se mueve en la dirección opuesta a la fuerza eléctri-ca (figuras 23.3b y 23.4a); U disminuye si q0 se mueve en la misma direc-ción que (figuras 23.3a y 23.4b). Éste es el mismo comportamiento que parala energía potencial gravitacional, la cual aumenta si una masa m se mueve hacia arri-ba (en dirección opuesta a la dirección de la fuerza gravitatoria) y disminuye si m semueve hacia abajo (en la misma dirección que la fuerza gravitatoria).

CUIDADO Energía potencial eléctrica La relación que hay entre el cambio en la energíapotencial eléctrica y el movimiento en un campo eléctrico es muy importante, y se utilizará confrecuencia. También es una relación que requiere cierto esfuerzo para comprenderse del todo.Tómese el tiempo necesario para revisar el párrafo anterior y estudie con cuidado las figuras23.3 y 23.4. ¡Hacerlo le será de gran utilidad más adelante! !

Energía potencial eléctrica de dos cargas puntualesLa idea de la energía potencial eléctrica no se restringe al caso especial de un campoeléctrico uniforme. En realidad, este concepto se puede aplicar a una carga puntual encualquier campo eléctrico generado por una distribución de carga estática. Recuerde,

FS

5 q0 ES

FS

5 q0 ES

ES

;

FS

5 q0 ES

,ES

;

– – – – –

+ ++ + +

a) La carga negativa se desplaza en la dirección de E:• El campo realiza trabajo negativo sobre la carga.• U aumenta.

ya

a

b

yb

ES

F 5 q0ES S

S

y

O– – – – –

+ ++ + +

b) La carga negativa se desplaza en dirección opuesta a E:• El campo realiza trabajo positivo sobre la carga.• U disminuye.

yb

b

a

ya

ES

F 5 q0 ES S

S

y

O

23.4 Una carga negativa quese desplaza a) en dirección del campo eléctrico y b) en dirección opuesta a Compare con la figura 23.3.

ES

.

ES

782 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico

– – – – –

+ ++ + +

a) La carga positiva se desplaza en dirección de E:• El campo realiza un trabajo positivo sobre la carga.• U disminuye.

ya

a

b

yb

ES

F 5 q0ES S

S

y

O– – – – –

+ ++ + +

b) La carga positiva se desplaza en dirección opuesta a E:• El campo realiza un trabajo negativo sobre la carga.• U aumenta.

yb

b

a

ya

ES

F 5 q0ES S

S

y

O

23.3 Carga positiva que sedesplaza a) en la dirección delcampo eléctrico y b) en ladirección opuesta a E

S.

ES

Cuando ya es mayor que yb (figura 23.3a), la carga de prueba positiva q0 se mueve haciaabajo, en la misma dirección que el desplazamiento tiene lugar en la misma direc-ción que la fuerza por lo que el campo realiza trabajo positivo y U disminuye.[En particular, si ya 2 yb 5 d como en la figura 23.2, la ecuación (23.6) da WaSb 5 q0Eden concordancia con la ecuación (23.4).] Cuando ya es menor que yb (figura 23.3b), lacarga de prueba positiva q0 se mueve hacia arriba, en dirección opuesta a el despla-zamiento se opone a la fuerza, el campo hace un trabajo negativo y U aumenta.

Si la carga de prueba q0 es negativa, la energía potencial aumenta cuando se muevea favor del campo y disminuye cuando se mueve en contra del campo (figura 23.4).

Sea positiva o negativa la carga de prueba, se aplica la siguiente regla general: Uaumenta si la carga de prueba q0 se mueve en la dirección opuesta a la fuerza eléctri-ca (figuras 23.3b y 23.4a); U disminuye si q0 se mueve en la misma direc-ción que (figuras 23.3a y 23.4b). Éste es el mismo comportamiento que parala energía potencial gravitacional, la cual aumenta si una masa m se mueve hacia arri-ba (en dirección opuesta a la dirección de la fuerza gravitatoria) y disminuye si m semueve hacia abajo (en la misma dirección que la fuerza gravitatoria).

CUIDADO Energía potencial eléctrica La relación que hay entre el cambio en la energíapotencial eléctrica y el movimiento en un campo eléctrico es muy importante, y se utilizará confrecuencia. También es una relación que requiere cierto esfuerzo para comprenderse del todo.Tómese el tiempo necesario para revisar el párrafo anterior y estudie con cuidado las figuras23.3 y 23.4. ¡Hacerlo le será de gran utilidad más adelante! !

Energía potencial eléctrica de dos cargas puntualesLa idea de la energía potencial eléctrica no se restringe al caso especial de un campoeléctrico uniforme. En realidad, este concepto se puede aplicar a una carga puntual encualquier campo eléctrico generado por una distribución de carga estática. Recuerde,

FS

5 q0 ES

FS

5 q0 ES

ES

;

FS

5 q0 ES

,ES

;

– – – – –

+ ++ + +

a) La carga negativa se desplaza en la dirección de E:• El campo realiza trabajo negativo sobre la carga.• U aumenta.

ya

a

b

yb

ES

F 5 q0ES S

S

y

O– – – – –

+ ++ + +

b) La carga negativa se desplaza en dirección opuesta a E:• El campo realiza trabajo positivo sobre la carga.• U disminuye.

yb

b

a

ya

ES

F 5 q0 ES S

S

y

O

23.4 Una carga negativa quese desplaza a) en dirección del campo eléctrico y b) en dirección opuesta a Compare con la figura 23.3.

ES

.

ES

  3  

Energía  potencial  eléctrica  relacionada  a  dos  cargas  puntuales    

   

Segunda  la  ley  de  Coulomb:  

(3.8)   Fr =14πε0

qq0r2

   

 Como  la  fuerza  radial  no  es  constante  (disminuye  con  el  inverso  del  cuadrado  de  la  distancia)  el  trabajo  se  calcula  por  un  integral  de  línea:    

(3.9)   Wab =

F ⋅dl

a

b

∫ = Fr drra

rb

∫ = qq04πε0

drr2ra

rb

∫ = − qq04πε0

1rb− 1ra

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟    

Solamente  depende  de  los  punto  extremos⎯el  trabajo  correspondiente  a  una  fuerza  eléctrica  es  una  integral  de  línea  que  no  depende  del  camino    La  partícula  se  desplaza  de  a  a  b  siguiendo  dos  caminos  diferentes:    

(3.10)   Wab =

F ⋅dl

a

b

∫ = F cosϕ dla

b

∫    

Pero   cosφdl = dr ,  la  proyección  de  la  fuerza  sobre  el  camino  es  no  cero  solo  en  la  dirección  radial  

(3.11)   Wab =

F ⋅dl

a

b

∫ = Fr dra

b

∫ = qq04πε0

drr2ra

rb

∫    

 Esto  es  un  comportamiento  propio  a  una  fuerza  conservativa,  el  trabajo  no  depende  del  camino,  y  existe  un  potencial  tal  que:    (3.12)   Wab = −ΔU        Por  lo  tanto  para  un  camino  cerrado  un  fuerza  conservativa  da  siempre:  (3.13)  

Wab =

F ⋅dl∫ = −ΔU = 0    

         

23 .1 Energía potencial eléctrica 783

del capítulo 21, que cualquier distribución de carga se representa como un conjuntode cargas puntuales. Por consiguiente, es útil calcular el trabajo realizado sobre unacarga de prueba q0 que se mueve en el campo eléctrico ocasionado por una sola cargapuntual estacionaria q.

En primer lugar se considerará un desplazamiento a lo largo de una línea radial,como se ilustra en la figura 23.5, del punto a al punto b. La fuerza sobre q0 está dadapor la ley de Coulomb, y su componente radial es

(23.7)

Si q y q0 tienen el mismo signo (1 o 2), la fuerza es de repulsión y Fr es positiva; silas dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y Fr es negativa. Lafuerza no es constante durante el desplazamiento, y se tiene que integrar para obtenerel trabajo WaSb que realiza esta fuerza sobre q0 a medida que q0 se mueve de a a b.Resulta lo siguiente:

(23.8)

El trabajo efectuado por la fuerza eléctrica para esta trayectoria particular dependesólo de los puntos extremos.

En realidad, el trabajo es el mismo para todas las trayectorias posibles entre a y b.Para demostrar esto, se considera un desplazamiento más general (figura 23.6) en elque a y b no están en la misma línea radial. De la ecuación (23.1), el trabajo efectua-do sobre q0 durante este desplazamiento está dado por

Pero la figura muestra que cos f dl 5 dr. Es decir, el trabajo realizado durante un des-plazamiento pequeño depende sólo del cambio dr en la distancia r entre las cargas,el cual es la componente radial del desplazamiento. Así, la ecuación (23.8) es válidaincluso con respecto a este desplazamiento más general; el trabajo que efectúa sobreq0 el campo eléctrico producido por q sólo depende de ra y rb, y no de los detallesde la trayectoria. Asimismo, si q0 regresa a su punto inicial a por una trayectoria dife-rente, el trabajo total que se realiza en el desplazamiento de ida y vuelta es igual a cero[la integral en la ecuación (23.8) es de ra de regreso a ra]. Éstas son las característicasnecesarias para una fuerza conservativa, según se definió en la sección 7.3. Así, lafuerza sobre q0 es conservativa.

Se ve que las ecuaciones (23.2) y (23.8) son consistentes si se define como la energía potencial Ua cuando q0 está en el punto a, a una distancia ra de q, y sedefine como la energía potencial Ub cuando q0 está en el punto b, a unaqq0 /4pP0 rb

qq0 /4pP0 ra

ES

d lS

WaSb 5 3 rb

ra

F cos f dl 5 3 rb

ra

14pP0

qq0

r2 cos f dl

WaSb 5 3 rb

ra

Fr dr 5 3 rb

ra

14pP0

qq0

r2 dr 5

qq0

4pP01 1ra

21rb2Fr 5

14pP0

qq0

r2

rb

r

q0

a

ra

q

bES

ES

La carga q0 sedesplaza de a a ba lo largo de unalínea radialdesde q

23.5 La carga de prueba q0 se desplaza a lo largo de una línea recta que se extiende en forma radial desde la carga q.Conforme se desplaza de a a b, la distancia varía de ra a rb.

dr

ra

r

b

qa

rb

f

ES

FS

dlSdrS

La carga de prueba q0se desplaza de a a ba lo largo de unatrayectoriaarbitraria

q0

23.6 El trabajo efectuado sobre la cargaq0 por el campo eléctrico de carga q no depende de la trayectoria seguida, sino sólo de las distancias ra y rb.

23 .1 Energía potencial eléctrica 783

del capítulo 21, que cualquier distribución de carga se representa como un conjuntode cargas puntuales. Por consiguiente, es útil calcular el trabajo realizado sobre unacarga de prueba q0 que se mueve en el campo eléctrico ocasionado por una sola cargapuntual estacionaria q.

En primer lugar se considerará un desplazamiento a lo largo de una línea radial,como se ilustra en la figura 23.5, del punto a al punto b. La fuerza sobre q0 está dadapor la ley de Coulomb, y su componente radial es

(23.7)

Si q y q0 tienen el mismo signo (1 o 2), la fuerza es de repulsión y Fr es positiva; silas dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es de atracción y Fr es negativa. Lafuerza no es constante durante el desplazamiento, y se tiene que integrar para obtenerel trabajo WaSb que realiza esta fuerza sobre q0 a medida que q0 se mueve de a a b.Resulta lo siguiente:

(23.8)

El trabajo efectuado por la fuerza eléctrica para esta trayectoria particular dependesólo de los puntos extremos.

En realidad, el trabajo es el mismo para todas las trayectorias posibles entre a y b.Para demostrar esto, se considera un desplazamiento más general (figura 23.6) en elque a y b no están en la misma línea radial. De la ecuación (23.1), el trabajo efectua-do sobre q0 durante este desplazamiento está dado por

Pero la figura muestra que cos f dl 5 dr. Es decir, el trabajo realizado durante un des-plazamiento pequeño depende sólo del cambio dr en la distancia r entre las cargas,el cual es la componente radial del desplazamiento. Así, la ecuación (23.8) es válidaincluso con respecto a este desplazamiento más general; el trabajo que efectúa sobreq0 el campo eléctrico producido por q sólo depende de ra y rb, y no de los detallesde la trayectoria. Asimismo, si q0 regresa a su punto inicial a por una trayectoria dife-rente, el trabajo total que se realiza en el desplazamiento de ida y vuelta es igual a cero[la integral en la ecuación (23.8) es de ra de regreso a ra]. Éstas son las característicasnecesarias para una fuerza conservativa, según se definió en la sección 7.3. Así, lafuerza sobre q0 es conservativa.

Se ve que las ecuaciones (23.2) y (23.8) son consistentes si se define como la energía potencial Ua cuando q0 está en el punto a, a una distancia ra de q, y sedefine como la energía potencial Ub cuando q0 está en el punto b, a unaqq0 /4pP0 rb

qq0 /4pP0 ra

ES

d lS

WaSb 5 3 rb

ra

F cos f dl 5 3 rb

ra

14pP0

qq0

r2 cos f dl

WaSb 5 3 rb

ra

Fr dr 5 3 rb

ra

14pP0

qq0

r2 dr 5

qq0

4pP01 1ra

21rb2Fr 5

14pP0

qq0

r2

rb

r

q0

a

ra

q

bES

ES

La carga q0 sedesplaza de a a ba lo largo de unalínea radialdesde q

23.5 La carga de prueba q0 se desplaza a lo largo de una línea recta que se extiende en forma radial desde la carga q.Conforme se desplaza de a a b, la distancia varía de ra a rb.

dr

ra

r

b

qa

rb

f

ES

FS

dlSdrS

La carga de prueba q0se desplaza de a a ba lo largo de unatrayectoriaarbitraria

q0

23.6 El trabajo efectuado sobre la cargaq0 por el campo eléctrico de carga q no depende de la trayectoria seguida, sino sólo de las distancias ra y rb.

  4  

La  fuerza  como  gradiente  de  un  potencial    Una  interpretación  equivalente  para  el  trabajo  relacionado  con  una  fuerza  conservativa  es  de  considerar  el  gradiente  de  un  potencial    Por  definición,  el  trabajo  esta  igual  a  una  diferencia  de  energía  potencial:  (3.14)   Wab = −ΔU =Ua −Ub      La  energía  potencial  eléctrica  tiene  la  forma:  

(3.15)   Ur =14πε0

qq0r    

Pero  como  la  fuerza  de  Coulomb  tiene  la  forma  Fr =14πε0

qq0r2

 vemos  que    

(3.16)   Fr = −∇Ur = − ∂∂r

14πε0

qq0r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 14πε0

qq0r2

   

 En  general  para  una  fuerza  conservativa:  

• La  fuerza  surge  de  un  potencial  • La  fuerza  es  el  negativo  del  gradiente  de  la  energía  potencial  • El  trabajo  es  independiente  del  camino    

   

  5  

   Ej.  Interacción  entre  positrón  y  partícula  α    El  positrón   e+  es  la  antipartícula  del  electrón:  tiene  la  misma  masa  me = 9.11×10

−31kg  y  carga,  pero  positiva   e+ = +1.60 ×10−19C      Cuando  el  positrón  se  encuentra  a  una  distancia   ra = 1.00 ×10

−10m  (1  Å)  de  una  partícula  α  (el  núcleo  de  un  átomo  de  He  con  carga  2e+ y  masa  mα = 2mp + 2mn  )  

se  aleja  a  una  velocidad  de   3.00 ×106 m s−1 ;  cual  será  su  velocidad  cuando  llegara  a  2ra  o  al  infinito  ∞      Para  resolver  este  problema  basta  aplicar  el  principio  de  energía  cinética     Kb +Ub = Ka +Ua ⇒ Kb = Ka +Ua( )−Ub    

Por  definición  Ua =14πε0

qq0ra

≈ 4.61×10−18 J  y  Ka =12meva

2 ≈ 4.10 ×10−18 J    

 Falta  solamente  saber  la  energía  potencial  a  2ra  

  Ub =14πε0

qq0rb

= 14πε0

qq02ra

= 12Ua ≈ 2.30 ×10

−18 J    

Por  lo  tanto  Kb = Ka +Ua( )−Ub ≈ 6.41×10−18 J  

 

Usando  la  definición  de  la  energía  cinética   vb =2Kb

me

≈ 3.80 ×106 ms    

 Aplicando  la  misma  relación,  la  energía  potencial  al  infinito  es    

  U∞ = 14πε0

qq0∞

= 0    

Por  lo  tanto  K∞ = Ka +Ua( ) ≈ 4.71×10−18 J y  la  velocidad    

  v∞ = 2K∞

me

≈ 4.40 ×106 ms    

       

  6  

Diferentes  interpretación  de  la  energía  potencial  de  un  sistema  de  cargas    En  caso  que  tenemos  más  que  una  carga,  la  energía  potencial  eléctrica  es  una  suma  algebraica  de  las  energías  potenciales  individuales:  

(3.17)   U = q0

4πε0q1r1+ q2r2

++ qNrN

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= q04πε0

qirii=1

N

∑    

 Del  otro  lado,  la  distribución  de  cargas  misma  tiene  su  propia  energía  potencial:  

(3.18)   U = 14πε0

qiqjriji< j

∑    

La  suma  se  extiende  a  todas  pares  de  cargas,  no  se  permite   i = j  (auto  interacción  que  no  faz  sentido  físicamente),  y  se  cuenta  solamente  la  interacción  de  cada  pares  sólo  una  vez  ( i < j  )    Esto  lleva  a  dos  interpretación  posible  para  el  trabajo    Consideramos  un  ejemplo:    

 Empezamos  con  dos  cargas  q1 = −e  a   x = 0  y  q2 = +e  en   x = a  y  queremos  poner  una  tercera  carga   q3 = +e  a   x = 2a    Por  definición  el  trabajo  que  se  debe  hacer  sobre  q3  por  una  fuerza  externa  es  igual  a  la  diferencia  de  energía  potencial  de  U∞  a  U2a  ;  pero  por  definición  U∞ = 0  que  nos  deja  que  el  trabajo  es  igual  a:  

  W =U2a =q34πε0

q1r13

+ q2r23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= +e4πε0

−e2a

+ +ea

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+e2

8πε0a    

El  trabajo  W  >  0  que  sugiere  que  la  formación  del  sistema  implica  una  aumentación  de  energía  potencial  igual  a  un  trabajo  contra  la  repulsión  de  las  cargas  del  sistema      Del  otro  lado,  la  energía  potencial  del  sistema  formado  de  las  3  cargas  es:    

  U = 14πε0

qiqjriji< j

∑ = 14πε0

q1q2r12

+ q1q3r13

+ q2q3r23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= 14πε0

−e2

a+ −e2

2a+ e

2

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= − e2

8πε0a    

La  energía  potencial  del  sistema  es  más  baja  que  la  energía  potencial  cuando  las  partes  son  separadas  al  infinito    Se  debe  aumentar  la  energía  del  sistema,  W  >  0,  para  llevar  sus  partes  al  infinito⎯la  energía  potencial  es  igual  al  negativo  de  la  energía  de  enlace  del  sistema      

23 .2 Potencial eléctrico 787

Ejemplo 23.2 Sistema de cargas puntuales

Dos cargas puntuales se localizan en el eje x, q1 5 2e en x 5 0 y q2 5 1e en x 5 a. a) Determine el trabajo que debe realizar una fuer-za externa para llevar una tercera carga puntual q3 5 1e del infinito a x 5 2a. b) Determine la energía potencial total del sistema de tres cargas.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este problema implica la relación entre el trabajoefectuado para mover una carga puntual y el cambio en la energía po-tencial. También implica la expresión para la energía potencial de unconjunto de cargas puntuales.

PLANTEAR: La figura 23.10 presenta el arreglo final de las tres car-gas. Para determinar el trabajo que se requiere para traer a q3 del infini-to, se usa la ecuación (23.10) para encontrar la energía potencialasociada con q3 en la presencia de q1 y q2. Después se emplea la ecua-ción (23.11) para determinar la energía potencial total del sistema.

EJECUTAR: a) El trabajo que debe hacer una fuerza externa sobreq3 es igual a la diferencia entre dos cantidades: la energía potencial Uasociada con q3 cuando está en x 5 2a y la energía potencial que tienecuando está infinitamente lejos. La segunda de éstas es igual a cero,por lo que el trabajo que debe realizarse es igual a U. Las distanciasentre las cargas son r13 5 2a y r23 5 a, por lo que a partir de la ecua-ción (23.10),

Si q3 se lleva del infinito a lo largo del eje 1x, es atraída por q1 pero re-pelida con más fuerza por q2; por ello, debe hacerse un trabajo positivopara llevar q3 a la posición x 5 2a.

b) La energía potencial total del conjunto de tres cargas está dadopor la ecuación (23.11):

EVALUAR: Como el resultado en el inciso b) es negativo, el sistematiene menos energía potencial que si las tres cargas estuvieran infini-tamente alejadas. Una fuerza externa tendría que hacer trabajo nega-tivo para traerlas del infinito y acomodarlas en su arreglo, y trabajopositivo para llevarlas de regreso al infinito.

51

4pP0 1 12e 2 1 e 2

a112e 2 1 e 2

2a11 e 2 1 e 2

a 2 52e2

8pP0 a

U 51

4pP0 a

i, j

qiqj

rij5

14pP0

1q1q2

r121

q1q3

r131

q2q3

r232W 5 U 5

q3

4pP0 1 q1

r131

q2

r232 5

1e4pP0

12e2a

11ea 2 5

1e2

8pP0 a

FS

ext

23.10 Dibujo de la situación después de que se ha traído la tercera carga del infinito.

Evalúe su comprensión de la sección 23.1 Considere el sistema de tres cargas puntuales del ejemplo 21.4 (sección 21.3) y que se ilustra en la figura 21.14. a) ¿Cuál es el signo de la energía potencial total de este sistema? i) positivo; ii) negativo; iii) cero. b) ¿Cuál es el signo de la cantidad total de trabajo que tendría que hacerse para llevar las cargas infinitamente lejos una de otra? i) positivo; ii) negativo; iii) cero.

!

23.2 Potencial eléctricoEn la sección 23.1 se estudió la energía potencial U asociada con una carga de pruebaq0 en un campo eléctrico. Ahora interesa describir esta energía potencial sobre una ba-se “por unidad de carga”, al igual que el campo eléctrico describe la fuerza por unidadde carga sobre una partícula con carga en el campo. Esto lleva al concepto de poten-cial eléctrico, al que es frecuente llamar simplemente potencial. Este concepto esmuy útil en los cálculos que implican energías de partículas con carga. También faci-lita hacer muchos cálculos de campo eléctrico porque el potencial eléctrico se relacio-na estrechamente con el campo eléctrico Cuando se necesita determinar un campoeléctrico, a menudo es más fácil determinar primero el potencial y después, a partir deéste, el campo.

El potencial es la energía potencial por unidad de carga. Se define el potencial Ven cualquier punto en el campo eléctrico como la energía potencial U por unidad decarga asociada con una carga de prueba q0 en ese punto:

(23.12)

Tanto la energía potencial como la carga son escalares, por lo que el potencial es unacantidad escalar. Sus unidades se encuentran a partir de la ecuación (23.12), dividien-do las unidades de energía entre las de carga. La unidad del SI para el potencial se

V 5Uq0 o bien, U 5 q0V

ES

.

11.13 Energía potencial eléctrica y potencial

O N L I N E

  7  

El  potencial  eléctrico      Segundo  la  definición  de  la  energía  potencial  eléctrica  se  define  el  potencial  eléctrico  como:  

(3.19)   V = Uq0    

Las  unidades  del  potencial  eléctrico   V[ ] = JC= Volt  (Alessandro  Volta  1745-­‐1827)  

 Donde  1  volt  =  1  J/C    Por  definición  del  trabajo  vemos  que:  

(3.20)   Wab

q0= − ΔU

q0= − Ub

q0−Ua

q0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=Va −Vb =Vab    

Donde  Vab  es  la  diferencia  de  potencial  eléctrico  entre  a  y  b  =  voltaje    Cuando  se  considera  una  carga  unitaria  positiva,  el  voltaje  en  dos  puntos  es  igual  al  trabajo  realizado  por  la  fuerza  eléctrica  (o  el  trabajo  que  se  debe  efectuar  contra  la  fuerza  eléctrica  para  mover  una  carga  unitaria  positiva  de  b  a  a)    Se  puede  medir  el  voltaje  usando  un  voltímetro  (de  µV  a  pV  (10−12V ))    Para  una  carga  puntual:  

(3.21)   V = Uq0

= 14πε0

qr    

 Para  una  suma  de  cargas:    

(3.22)   V = 14πε0

qirii=1

N

∑    

 Para  una  distribución  continua  de  cargas:  

(3.23)   V = 14πε0

dqr∫    

   

  8  

Relación  con  campo  eléctrico      Es  más  natural  determinar  el  potencial  eléctrico  á  partir  del  campo  eléctrico  que  de  la  fuerza  de  Coulomb,  usando  la  relación  

F = q0

E    

 

(3.24)  

Wab

q0= 1q0

F ⋅dl

a

b

∫ =E ⋅dl

a

b

∫ =Va −Vb    

Para  

E ⋅dl

a

b

∫ > 0  el  potencial  eléctrico  disminuye  Va >Vb    

 

Por  definición  la  unidad  del  campo  eléctrico  

E⎡⎣ ⎤⎦ =

NC

= Vm    

 Para  sistemas  atómicos  y  nucleares  –  cuando  una  partícula  de  carga  se  desplaza  desde  un  punto  de  potencial  Vb  a  un  punto  de  potencial  Va,  el  cambio  de  energía  potencial  ΔU  es  igual  a    (3.25)   Ua −Ub = q Va −Vb( ) = qVab      Si  la  carga  es  unitaria   e = 1.602 ×10−19C ,  una  diferencia  de  potencial  Vab = 1volt    (3.26)   Ua −Ub = 1.602 ×10−19 J = 1 eV  (electrón  volt)    Acelerador  lineal      Un  protón  con  carga  e+ = 1.602 ×10−19C  se  desplaza  sobre  una  distancia   d = 0.50m  en  línea  recta  dentro  del  acelerador      El  campo  uniforme  dentro  del  

acelerador  es  de  E = 1.5 ×107 Vm  la  

fuerza  correspondiente  es  F = qE ≈ 2.4 ×10−12N  en  la  misma  dirección  que  el  desplazamiento      El  trabajo  es  igual  a  Wab = Fd ≈1.2 ×10

−12 J  

 Fermi  “National  accelerator”  puede  alcanzar  hasta  0.98  Tev  (1012 eV )  

 

o  en  unidad  de  eV  Wab ⋅1eV

1.602 ×10−19 J≈ 7.5MeV    

 

Esto  corresponde  a  una  diferencia  de  potencial  Vab =Wab

q≈ 7.5 ×106 J

Co V( )    

     

23 .2 Potencial eléctrico 791

Si bien se ha definido el electrón volt en términos de energía potencial, se usa paracualquier forma de energía, como la energía cinética de una partícula en movimiento.Cuando se habla de “un millón de electrón volts protón,” significa que hay un protóncuya energía cinética es de un millón de electrón volts (1 MeV), lo que es igual a(106)(1.602 3 10219 J) 5 1.602 3 10213 J (figura 23.13).

23.13 Este acelerador en el Fermi National Accelerator Laboratory, en Illinois, da a los protones una energía cinética de 400 MeV (4 3 108 eV). Las etapas adicionales de aceleración incrementan su energía cinética a 980 GeV, o 0.98 TeV (9.8 3 1011 eV).

Ejemplo 23.3 Fuerza eléctrica y potencial eléctrico

En el interior de un acelerador lineal, un protón (carga 1e 5 1.602 310219 C) se desplaza en línea recta de un punto a a otro punto b unadistancia total d 5 0.50 m. A lo largo de esta línea, el campo eléctricoes uniforme con magnitud E 5 1.5 3 107 V>m 5 1.5 3 107 N>C en la dirección de a a b. Determine a) la fuerza sobre el protón; b) el trabajo realizado sobre este por el campo; c) la diferencia de potencialVa 2 Vb.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Este problema usa la relación entre el campo eléctrico(que es un dato conocido) y la fuerza eléctrica (que es una de las varia-bles buscadas). También utiliza la relación entre fuerza, trabajo y dife-rencia de energía potencial.

PLANTEAR: Se da el campo eléctrico, por lo que es fácil encontrar lafuerza eléctrica que se ejerce sobre el protón. El cálculo del trabajo querealiza esta fuerza sobre el protón también es fácil porque es unifor-me, lo que significa que la fuerza es constante. Una vez que se conoceel trabajo, se determina la diferencia de potencial empleando la ecua-ción (23.13).

EJECUTAR: a) La fuerza sobre el protón está en la misma direcciónque el campo eléctrico, y su magnitud es

b) La fuerza es constante y está en la misma dirección que el cam-po eléctrico, de manera que el trabajo efectuado sobre el protón es

5 7.5 3 106 eV 5 7.5 MeV

5 1 1.2 3 10212 J 2 1 eV

1.602 3 10219 J

WaSb 5 Fd 5 12.4 3 10212 N 2 10.50 m 2 5 1.2 3 10212 J

5 2.4 3 10212 N

F 5 qE 5 11.602 3 10219 C 2 11.5 3 107 N/C 2ES

c) De la ecuación (23.13), la diferencia de potencial es el trabajopor unidad de carga, que es

Se obtiene el mismo resultado con más facilidad si se recuerda que 1electrón volt es igual a 1 volt multiplicado por la carga e. Como el tra-bajo realizado es 7.5 3 106 eV y la carga es e, la diferencia de poten-cial es (7.5 3 106 eV)>e 5 7.5 3 106 V.

EVALUAR: El resultado del inciso c) puede comprobarse con las ecua-ciones (23.17) o (23.18) para calcular la integral del campo eléctrico.El ángulo f entre el campo constante y el desplazamiento es igual acero, por lo que la ecuación (23.17) se convierte en

La integral de dt de a a b tan sólo es la distancia d, por lo que una vezmás se obtiene

Va 2 Vb 5 Ed 5 11.5 3 107 V/m 2 10.50 m 2 5 7.5 3 106 V

Va 2 Vb 5 3b

a

E cos f dl 5 3b

a

E dl 5 E 3b

a

dl

ES

5 7.5 3 106 V 5 7.5 MV

Va 2 Vb 5WaSb

q5

1.2 3 10212 J

1.602 3 10219 C5 7.5 3 106 J/C

  9  

Ejemplos  de  potencial:  esfera  conductora  con  carga          Usando  la  ley  de  Gauss  encontramos  que  el  campo  eléctrico  al  interior  de  la  esfera  es  cero      Al  exterior  de  la  esfera,  el  campo  

eléctrico  es  igual  a  E = 14πε0

qr2  y  en  la  

superficie  E = 14πε0

qR2

 

 Considerando  el  potencial  eléctrico  al  infinito  como  cero,  el  potencial  a  una  distancia  r  de  la  superficie  es  dado  por  la  eq.  (3.21):  

 

 

(3.27)   V = 14πε0

qr    

y  en  la  superficie    

(3.28)   V = 14πε0

qR    

 Al  interior  de  la  esfera  el  campo  esta  cero  

• Quiere  decir  que  no  hay  trabajo  sobre  una  carga  de  prueba  se  desplazando  al  interior  de  la  esfera  

• Implica  que  el  potencial  eléctrico  debe  ser  constante  

• Por  lo  tanto,  debe  ser  igual  al  potencial  eléctrico  a  la  superficie    V = 14πε0

qR  

     

23 .3 Cálculo del potencial eléctrico 795

Ejemplo 23.8 Esfera conductora con carga

Una esfera sólida conductora de radio R tiene una carga total q. En-cuentre el potencial en todos los lugares, tanto fuera como dentro de laesfera.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Se usa la ley de Gauss como en el ejemplo 22.5 (sec-ción 22.4) para encontrar el campo eléctrico en todos los puntos paraesta distribución de carga. El resultado se emplea para determinar elpotencial en todos los puntos.

PLANTEAR: Se elige como origen el centro de la esfera. Como se co-noce E en todos los valores de la distancia r desde el centro de la esfe-ra, se determina V como función de r.

EJECUTAR: Del ejemplo 22.5, en todos los puntos fuera de la esfera elcampo es el mismo que si la esfera se eliminara y se sustituyera poruna carga puntual q. Se considera V 5 0 en el infinito, como se hizopara una carga puntual. Por lo tanto, el potencial en un punto en el ex-terior de la esfera a una distancia r de su centro es el mismo que el po-tencial debido a una carga puntual q en el centro:

El potencial en la superficie de la esfera es

En el interior de la esfera, es igual a cero en todas partes; de otramanera, la carga se movería dentro de la esfera. De esta forma, si unacarga de prueba se desplaza de un punto a otro en el interior de la esfe-ra, no se efectúa ningún trabajo sobre la carga. Esto significa que el po-tencial es el mismo en todos los puntos del interior de la esfera y esigual a su valor en la superficie.q/4pP0 R

ES

Vsuperficie 5 q/4pP0 R.

V 51

4pP0 q

r

EVALUAR: La figura 23.17 ilustra el campo y el potencial como fun-ción de r para una carga positiva q. En este caso, el campo eléctricoapunta radialmente alejándose de la esfera. Conforme nos alejamos dela esfera, en la dirección de V disminuye (como debe ser). El campoeléctrico en la superficie tiene magnitud Esuperficie 5 0 q 0 /4pP0 R2.

ES

,

+++

+

++

+++

+

+ +++

+

+++

+ R

O

O

V

E

E 5 0r

r

qr 2E 5

14pP0

qR2E 5

14pP0

qR

V 5 1

4pP0

qrV 5

14pP0

23.17 Magnitud del campo eléctrico E y el potencial V en puntosdentro y fuera de una esfera conductora con carga positiva.

Ionización y descarga en coronaLos resultados del ejemplo 23.8 tienen numerosas consecuencias prácticas; una deellas se relaciona con el potencial máximo que puede aplicarse en un conductor en elaire. Este potencial está limitado porque las moléculas de aire se ionizan y el aire seconvierte en un conductor, a una magnitud de campo eléctrico de cerca de 3 3 106

V>m. De momento, suponga que q es positiva. Cuando se comparan las expresionesen el ejemplo 23.8 para el potencial Vsuperficie y la magnitud de campo Esuperficie en lasuperficie de una esfera conductora con carga, se observa que Vsuperficie 5 EsuperficieR.Así, si Em representa la magnitud de campo eléctrico a la que el aire se vuelve con-ductor (lo que se conoce como resistencia dieléctrica del aire), entonces el potencialmáximo Vm que se puede aplicar a un conductor esférico es

Para una esfera conductora de 1 cm de radio en el aire, Vm 5 (1022 m) (3 3 106 V>m)5 30,000 V. Ninguna cantidad de “carga” puede sobrepasar el potencial de una esferaconductora de este tamaño en el aire en más de 30,000 V, aproximadamente; si se in-tenta aumentar el potencial más allá de esto agregando carga adicional, se provocaríaque el aire circundante se ionizara y se convirtiera en conductor, y la carga adicionalescaparía al aire.

Para lograr potenciales aún mayores, las máquinas de alto voltaje como los genera-dores Van de Graaff usan terminales esféricas con radios muy grandes (véase la figura22.27 y la fotografía que abre el capítulo 22). Por ejemplo, una terminal de radio R 5 2 mtiene un potencial máximo Estasmáquinas se colocan a veces en tanques presurizados llenos de un gas como el hexa-fluoruro de azufre (SF6), que tiene un valor mayor de Em que el del aire y, por consi-guiente, es capaz de soportar campos aún más grandes sin volverse conductor.

Vm 5 1 2 m 2 13 3 106 V/m 2 5 6 3 106 V 5 6 MV.

Vm 5 REm

  10  

Una  consecuencia  importante  del  ejemplo  anterior  es  el  potencial  máximo  de  un  conductor  esférico  en  el  aire  

• Este  potencial  esta  limitado  por  la  ionización  de  las  moléculas  del  aire  que  

se  torna  conductor  (ruptura  dieléctrica)  con  un  campo  Em ≈ 3×106 Vm    

 Comparando  el  potencial  a  la  superficie  de  una  esfera  conductor  con  el  campo  eléctrico,  el  potencial  máximo  es  igual  a:  (3.29)   Vm = REm      Para  R  =  1cm,    esto  corresponde  a  30000V;  si  se  intenta  aumentar  la  carga  sobre  el  conductor,  se  provocaría  ionización,  el  aire  sería  conductor  y  la  carga  se  escaparía    Para  alcanzar  alto  voltaje  se  necesita  aumentar  R  

• Para  una  esfera  de  2m,  Vm  llega  a  6MV    Para  aumentar  las  cargas  de  los  generador  de  Van  de  Graaff    se  colocan  en  tanques  lleno  de  gas  como  SF6  (hexafluoruro  de  azufre)  que  tiene  valor  mayor  de  Em    Cuando  un  conductor  tiene  un  rayo  muy  pequeño,  objeto  afilado  o  alambre  fina,  pequeñas  cargas  son  suficientemente  par  ionizar  el  aire⎯la  corriente  resultante  y  su  resplandor  se  llama  corona    

• Para  evitar  la  corona  en  las  antenas  radio⎯la  corona  produce  estática⎯se  pone  una  esfera  metálica  en  el  extremo  de  las  antenas  

 Los  pararrayos  metálicos  son  otros  ejemplos:  permiten  de  evacuar  el  exceso  de  carga  en  la  atmósfera,  como  ocurre  durante  las  tormentas  

• En  el  extremo  romo  se  acumula  una  cantidad  sustancial  de  carga  del  signo  contrario.  

• Cuando  la  carga  atmosférica  se  descarga  a  través  de  relámpagos,  tiende  a  ser  atraída  hacia  el  pararrayos    

• Un  cable  conductor  que  conecta  el  pararrayos  con  la  tierra  permite  que  la  carga  adquirida  se  disipe  en  forma  inofensiva  

• Un  pararrayos  con  extremo  agudo  permitiría  que  se  acumulara  menos  carga  y  por  ello  sería  menos  eficaz  

 

El  mástil  metálico  en  la  parte  superior  del  edificio  Empire  State  actúa  como  pararrayos  

 

   

796 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico

a

y

dy

O

q0

b x

ES

23.19 Las placas paralelas con carga de la figura 23.2.

Ejemplo 23.9 Placas paralelas con cargas opuestas

Encuentre el potencial a cualquier altura y entre las dos placas parale-las con cargas opuestas que se estudiaron en la sección 23.1 (figura23.19).

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: De la sección 23.1 se conoce la energía potencialeléctrica U, para una carga de prueba q0 como función de y. La metaaquí es obtener el potencial eléctrico V debido a las cargas en las pla-cas como función de y.

PLANTEAR: De la ecuación (23.5), U 5 q0Ey en un punto a la distan-cia y sobre la placa inferior. Esta expresión se utiliza para determinar elpotencial V en ese punto.

EJECUTAR: El potencia V(y) en la coordenada y es la energía potencialpor unidad de carga:

Se ha elegido que U(y) y, por lo tanto, V(y) sean igual a cero en el pun-to b, donde y 5 0. Incluso si elegimos que el potencial sea diferente decero en b, se cumpliría que

El potencial disminuye conforme se mueve en la dirección de de laplaca superior a la inferior. En el punto a, donde y 5 d y V(y) 5 Va,

donde Vab es el potencial de la placa positiva con respecto a la pla-ca negativa. Es decir, el campo eléctrico es igual a la diferencia depotencial entre las placas dividida entre la distancia que las separa. Pa-ra una diferencia de potencial dada Vab, cuanto más pequeña sea la dis-tancia entre las dos placas, mayor será la magnitud de E del campoeléctrico. (Esta relación entre E y Vab se cumple sólo para la geometríaplana descrita. No se aplica para situaciones tales como cilindros o es-feras concéntricos en los que el campo eléctrico no es uniforme.)

Va 2 Vb 5 Ed y E 5Va 2 Vb

d5

Vab

d

ES

V 1 y 2 2 Vb 5 Ey

V 1 y 2 5U 1 y 2

q05

q0 Ey

q05 Ey

EVALUAR: El resultado nos dice cómo medir la densidad de carga so-bre las cargas en las dos placas de la figura 23.19. En el ejemplo 22.8(sección 22.4) se obtuvo la expresión E 5 s>P0 para el campo eléctricoE entre dos placas conductoras con densidades de carga superficiales1s y 2s. Al igualar esta expresión con E 5 Vab>d se obtiene lo si-guiente:

La densidad superficial de carga en la placa positiva es directamenteproporcional a la diferencia de potencial entre las placas, y su valor sse determina midiendo Vab. Esta técnica es útil porque no hay instru-mentos disponibles que lean directamente densidades superficiales decarga. En la placa negativa la densidad superficial de carga es 2s.

CUIDADO El “potencial cero” es arbitrario Quizá piense quesi un cuerpo conductor tiene un potencial igual a cero, necesariamentedebe tener también una carga neta de cero. ¡Pero no es así! Comoejemplo, la placa en y 5 0 en la figura 23.19 tiene un potencial de cero(V 5 0), pero tiene una carga por unidad de área, 2s, distinta de cero.Recuerde que no hay nada especial en la placa en que el potencial esigual a cero; este lugar se puede definir donde se desee. !

s 5P0 Vab

d

?

El resultado del ejemplo 23.8 también explica lo que sucede con un conductor concarga y cuyo radio de curvatura es muy pequeño, como un objeto afilado o un alam-bre fino. Como el potencial máximo es proporcional al radio, incluso potenciales relativamente pequeños aplicados a puntas agudas en el aire producen campos sufi-cientemente elevados inmediatamente afuera de las puntas para ionizar el aire que lasrodea y convertirlo en un buen conductor. La corriente resultante y el resplandor aso-ciado a ella (visible en un cuarto oscuro) se llama corona. Las impresoras láser y lasmáquinas de fotocopiado utilizan una corona de alambres muy finos para distribuircargas sobre el tambor que forma las imágenes (figura 21.2).

En situaciones en que es importante evitar que exista una corona, se usan conducto-res de radio grande. Ejemplo de esto es la esfera metálica en el extremo de las antenasde radio para automóviles, lo que evita que se presente la corona, la cual provocaría es-tática. Otro ejemplo es el extremo romo de los pararrayos metálicos (figura 23.18). Sihay un exceso de carga en la atmósfera, como ocurre durante las tormentas, en el ex-tremo romo se acumula una cantidad sustancial de carga del signo contrario. Como re-sultado, cuando la carga atmosférica se descarga a través de relámpagos, tiende a seratraída hacia el pararrayos y no hacia otras estructuras cercanas que podrían resultardañadas. (Un cable conductor que conecta el pararrayos con la tierra permite que lacarga adquirida se disipe en forma inofensiva.) Un pararrayos con extremo agudo per-mitiría que se acumulara menos carga y por ello sería menos eficaz.

23.18 El mástil metálico en la parte superior del edificio Empire State actúa como pararrayos. Es azotado por relámpagos hasta 500 veces al año.

  11  

Ej.  Placas  paralelas  con  cargas  opuestas    

 

El  potencial  en  la  coordenada  y  es  la  energía  potencial  por  unidad  de  carga    

  V y( ) = U y( )q0

= q0Eyq0

= Ey    

Se  ha  elegido  que  U b( ) = 0 ,  si  no  habría  sido  V y( )−Vb = Ey    

El  potencial  disminuye  conforme  se  mueve  de  la  dirección  del  campo  eléctrico  de  la  placa  superior  a  la  placa  inferior;  por  definición    

  Va −Vb = Ed⇒ E = Va −Vbd

= Vabd    

Donde  Vab  es  el  potencial  de  la  placa  positiva  con  respeto  a  la  placa  negativa    

A  partir  de  este  resultado  podemos  medir  la  densidad  superficial  de  carga,  usando  el  hecho  que  E =σ ε0  encontramos  que  

  E = Vabd

= σε0

⇒σ = ε0Vabd

   

La  densidad  superficial  de  carga  en  la  placa  positiva  es  directamente  proporcional  a  la  diferencia  de  potencial  entre  las  placas    

 

   

796 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico

a

y

dy

O

q0

b x

ES

23.19 Las placas paralelas con carga de la figura 23.2.

Ejemplo 23.9 Placas paralelas con cargas opuestas

Encuentre el potencial a cualquier altura y entre las dos placas parale-las con cargas opuestas que se estudiaron en la sección 23.1 (figura23.19).

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: De la sección 23.1 se conoce la energía potencialeléctrica U, para una carga de prueba q0 como función de y. La metaaquí es obtener el potencial eléctrico V debido a las cargas en las pla-cas como función de y.

PLANTEAR: De la ecuación (23.5), U 5 q0Ey en un punto a la distan-cia y sobre la placa inferior. Esta expresión se utiliza para determinar elpotencial V en ese punto.

EJECUTAR: El potencia V(y) en la coordenada y es la energía potencialpor unidad de carga:

Se ha elegido que U(y) y, por lo tanto, V(y) sean igual a cero en el pun-to b, donde y 5 0. Incluso si elegimos que el potencial sea diferente decero en b, se cumpliría que

El potencial disminuye conforme se mueve en la dirección de de laplaca superior a la inferior. En el punto a, donde y 5 d y V(y) 5 Va,

donde Vab es el potencial de la placa positiva con respecto a la pla-ca negativa. Es decir, el campo eléctrico es igual a la diferencia depotencial entre las placas dividida entre la distancia que las separa. Pa-ra una diferencia de potencial dada Vab, cuanto más pequeña sea la dis-tancia entre las dos placas, mayor será la magnitud de E del campoeléctrico. (Esta relación entre E y Vab se cumple sólo para la geometríaplana descrita. No se aplica para situaciones tales como cilindros o es-feras concéntricos en los que el campo eléctrico no es uniforme.)

Va 2 Vb 5 Ed y E 5Va 2 Vb

d5

Vab

d

ES

V 1 y 2 2 Vb 5 Ey

V 1 y 2 5U 1 y 2

q05

q0 Ey

q05 Ey

EVALUAR: El resultado nos dice cómo medir la densidad de carga so-bre las cargas en las dos placas de la figura 23.19. En el ejemplo 22.8(sección 22.4) se obtuvo la expresión E 5 s>P0 para el campo eléctricoE entre dos placas conductoras con densidades de carga superficiales1s y 2s. Al igualar esta expresión con E 5 Vab>d se obtiene lo si-guiente:

La densidad superficial de carga en la placa positiva es directamenteproporcional a la diferencia de potencial entre las placas, y su valor sse determina midiendo Vab. Esta técnica es útil porque no hay instru-mentos disponibles que lean directamente densidades superficiales decarga. En la placa negativa la densidad superficial de carga es 2s.

CUIDADO El “potencial cero” es arbitrario Quizá piense quesi un cuerpo conductor tiene un potencial igual a cero, necesariamentedebe tener también una carga neta de cero. ¡Pero no es así! Comoejemplo, la placa en y 5 0 en la figura 23.19 tiene un potencial de cero(V 5 0), pero tiene una carga por unidad de área, 2s, distinta de cero.Recuerde que no hay nada especial en la placa en que el potencial esigual a cero; este lugar se puede definir donde se desee. !

s 5P0 Vab

d

?

El resultado del ejemplo 23.8 también explica lo que sucede con un conductor concarga y cuyo radio de curvatura es muy pequeño, como un objeto afilado o un alam-bre fino. Como el potencial máximo es proporcional al radio, incluso potenciales relativamente pequeños aplicados a puntas agudas en el aire producen campos sufi-cientemente elevados inmediatamente afuera de las puntas para ionizar el aire que lasrodea y convertirlo en un buen conductor. La corriente resultante y el resplandor aso-ciado a ella (visible en un cuarto oscuro) se llama corona. Las impresoras láser y lasmáquinas de fotocopiado utilizan una corona de alambres muy finos para distribuircargas sobre el tambor que forma las imágenes (figura 21.2).

En situaciones en que es importante evitar que exista una corona, se usan conducto-res de radio grande. Ejemplo de esto es la esfera metálica en el extremo de las antenasde radio para automóviles, lo que evita que se presente la corona, la cual provocaría es-tática. Otro ejemplo es el extremo romo de los pararrayos metálicos (figura 23.18). Sihay un exceso de carga en la atmósfera, como ocurre durante las tormentas, en el ex-tremo romo se acumula una cantidad sustancial de carga del signo contrario. Como re-sultado, cuando la carga atmosférica se descarga a través de relámpagos, tiende a seratraída hacia el pararrayos y no hacia otras estructuras cercanas que podrían resultardañadas. (Un cable conductor que conecta el pararrayos con la tierra permite que lacarga adquirida se disipe en forma inofensiva.) Un pararrayos con extremo agudo per-mitiría que se acumulara menos carga y por ello sería menos eficaz.

23.18 El mástil metálico en la parte superior del edificio Empire State actúa como pararrayos. Es azotado por relámpagos hasta 500 veces al año.

  12  

Ej.  Línea  de  carga  infinita  o  cilindro  conductor  

 

El  campo  eléctrico  a  una  distancia  r  de  una  línea  recta  de  carga  tiene  la  forma    

  Er =12πε0

λr    

Por  definición  de  la  diferencia  de  potencial    

  Va −Vb =

E ⋅dl

a

b

∫ = Er dra

b

∫ = λ2πε0

drra

b

∫ = λ2πε0

ln rbra    

Si  se  toma  el  punto  b  al  infinito  con  potencial  cero,  Va =λ2πε0

ln∞ra= ∞  

Este  resultado  es  una  consecuencia  de  una  distribución  de  carga  que  se  extiende  al  infinito;  pero  como  la  definición  de  V  =  0  es  arbitraria,  escogimos  que  Vb  =  0  a  un  punto  r0  arbitraria;  por  lo  tanto    

  V r( ) = λ2πε0

ln r0r    

Para  un  cilindro,  se  puede  tomar  V  =  0  a  la  superficie  del  cilindro  y  para  r  >  R  

  V r( ) = λ2πε0

ln Rr    

En  el  interior  del  cilindro,   E = 0  y  el  potencial  tiene  el  mismo  valor  (cero)  que  en  

la  superficie    

 

 

   

23 .3 Cálculo del potencial eléctrico 797

Ejemplo 23.10 Una línea de carga infinita o un cilindro conductor con carga

Encuentre el potencial a la distancia r de una línea muy larga de cargacon densidad lineal de carga l (carga por unidad de longitud).

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Un enfoque para este problema consiste en dividir lalínea de carga en elementos infinitesimales, como se hizo en el ejemplo21.11 (sección 21.5), para determinar el campo eléctrico que produceesa línea. Después se puede integrar como en la ecuación (23.16) paradeterminar el potencial neto V. Sin embargo, en este caso el objetivo sesimplifica mucho porque ya se conoce el campo eléctrico.

PLANTEAR: Tanto en el ejemplo 21.11 como en el 22.6 (sección22.4), se encontró que el campo eléctrico a una distancia r de una línearecta y larga de carga (figura 23.20a) sólo tiene una componente radial,dada por

Esta expresión se utiliza para obtener el potencial por integración de , como en la ecuación (23.17).

EJECUTAR: Como el campo sólo tiene una componente radial, el pro-ducto escalar es igual a Erdr. Así, el potencial de cualquier pun-to a con respecto a cualquier otro punto b, a distancias radiales ra y rb

de la línea de carga, es

Si se toma el punto b en el infinito y se establece que Vb 5 0, se en-cuentra que Va es infinito:

Esto demuestra que si se trata de definir V como cero en el infinito, en-tonces V debe ser infinito a cualquier distancia infinita de la línea de carga. Ésta no es una manera útil de definir V para este problema.La dificultad estriba en que la distribución de carga en sí se extiende al infinito.

Para sortear la dificultad se debe recordar que V puede definirse como cero en cualquier punto que se desee. Se establece que Vb 5 0

Va 5l

2pP0 ln

`

ra5 `

Va 2 Vb 5 3b

a

ES # d l

S5 3b

a

Er

dr 5

l

2pP0 3 rb

ra

drr

5l

2pP0 ln

rb

ra

ES # d l

S

ES

Er 51

2pP0 l

ren el punto b a una distancia radial arbitraria r0. Así, el potencial V 5 Va en el punto a a una distancia radial r está dado por V 2 0 5

o bien,

EVALUAR: De acuerdo con el resultado, si l es positiva, entonces Vdisminuye conforme r aumenta. Es así como debería ser: V decrececonforme nos movemos en la dirección de

Del ejemplo 22.6, la expresión para Er con la que se comenzótambién se aplica fuera de un cilindro conductor largo con carga porunidad de longitud l (figura 23.20b). De esta forma, nuestro resulta-do también da el potencial para ese cilindro, pero sólo para valoresde r (la distancia desde el eje del cilindro) mayores o iguales que elradio R del cilindro. Si se elige que r0 sea el radio del cilindro R, demanera que V 5 0 cuando r 5 R, entonces en cualquier punto para elque r . R,

En el interior del cilindro, y V tiene el mismo valor (cero) queen la superficie del cilindro.

ES

5 0,

V 5l

2pP0 ln

Rr

ES

.

V 5l

2pP0 ln

r0

r

1l/2pP0 2 ln 1 r0 /r 2 ,

a)Er

r

b)

Er

Rr

+ + + + + + + + + + + + +

+ ++

++

++ + ++

+

+

+ + + +

+

+

23.20 Campo eléctrico afuera de a) un alambre largo con cargapositiva, y b) un cilindro largo con carga positiva.

Ejemplo 23.11 Anillo de carga

Una carga eléctrica está distribuida de manera uniforme alrededor deun anillo delgado de radio a con carga total Q (figura 23.21). Determi-ne el potencial en un punto P sobre el eje del anillo a una distancia xdel centro del anillo.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Del ejemplo 21.10 (sección 21.5), ya se conoce elcampo eléctrico en todos los puntos a lo largo del eje x, por lo que el problema se resuelve por integración de , como en la ecuación(23.17), para obtener V a lo largo de este eje. En forma alternativa, sepodría dividir el anillo en segmentos infinitesimales y usar la ecuación(23.16) para encontrar V.

PLANTEAR: La figura 23.21 muestra que es mucho más fácil encon-trar V en el eje empleando el enfoque de segmentos infinitesimales.

ES

r 5 !x 2 1 a 2a

O x P

Q

23.21 Toda la carga en un anillo con carga Q está a la misma distancia r de un punto P situado sobre el eje del anillo.

continúa

  13  

Superficies  equipotenciales    

Superficies  equipotenciales  =  superficie  en  3D  sobre  la  cual  el  potencial  eléctrico  es  igual  en  todos  los  puntos    

• Cuando  una  partícula  se  mueve  sobre  una  superficie  equipotencial  el  campo  eléctrico  no  hace  trabajo  

• Líneas  de  campo  eléctrico  y  superficies  equipotenciales  son  siempre  perpendiculares  (aceleración  es  cero  sobre  el  equipotencial,  que  explica  que  el  trabajo  es  cero)  

 

Cuando  todas  las  cargas  están  en  reposo,  la  superficie  de  un  conductor  siempre  es  una  superficie  equipotencial    

• Cuando  todas  las  cargas  están  en  reposo,  el  campo  eléctrico  justo  afuera  de  un  conductor  debe  ser  perpendicular  a  la  superficie  en  cada  punto,  si  no  un  trabajo  seré  hecho  por  el  campo  (y  habría  una  corriente)  

 

 

 

   

23 .4 Superficies equipotenciales 799

23.23 Las curvas de nivel en un mapa topográfico son curvas de elevación constante, es decir, de energía potencialgravitacional constante.

las curvas de nivel en un mapa topográfico en realidad son curvas de energía poten-cial gravitacional constante. Las curvas de nivel están muy cerca unas de otras en lasregiones en las que el terreno está muy inclinado y hay grandes cambios en la eleva-ción en una distancia horizontal pequeña; en cambio, las curvas de nivel están muyseparadas en los sitios en que el terreno tiene poca pendiente. Una pelota que se suel-ta cuesta abajo experimentaría la mayor fuerza gravitatoria ahí donde las curvas denivel están muy cercanas entre sí.

Por analogía con las curvas de nivel en un mapa topográfico, una superficie equi-potencial es una superficie tridimensional sobre la que el potencial eléctrico V es elmismo en todos los puntos. Si una carga de prueba q0 se desplaza de un punto a otrosobre tal superficie, la energía potencial eléctrica q0V permanece constante. En unaregión en la que existe un campo eléctrico, es posible construir una superficie equipo-tencial a través de cualquier punto. Los diagramas por lo general muestran sólo algu-nas superficies equipotenciales representativas, a menudo con iguales diferencias depotencial entre superficies adyacentes. Ningún punto puede estar en dos potencialesdiferentes, por lo que las superficies equipotenciales para distintos potenciales nuncase tocan o intersecan.

Superficies equipotenciales y líneas de campoComo la energía potencial no cambia a medida que una carga de prueba se trasladasobre una superficie equipotencial, el campo eléctrico no realiza trabajo sobre esa car-ga. De ello se deriva que debe ser perpendicular a la superficie en cada punto, demanera que la fuerza eléctrica siempre es perpendicular al desplazamiento de unacarga que se mueva sobre la superficie. Las líneas de campo y las superficies equi-potenciales siempre son perpendiculares entre sí. En general, las líneas de camposon curvas, y las equipotenciales son superficies curvas. Para el caso especial de uncampo uniforme, en el que las líneas de campo son rectas, paralelas y están igualmen-te espaciadas, las superficies equipotenciales son planos paralelos perpendiculares alas líneas de campo.

La figura 23.24 muestra tres configuraciones de cargas. Las líneas de campo en elplano de las cargas están representadas por líneas rojas, y las intersecciones de las su-perficies equipotenciales con este plano (es decir, las secciones transversales de estassuperficies) se indican con líneas azules. Las superficies equipotenciales reales sontridimensionales. En cada cruce de una línea equipotencial y una línea de campo, lasdos son perpendiculares.

En la figura 23.24 aparecen dibujadas superficies equipotenciales de manera que las diferencias de potencial entre superficies adyacentes sean iguales. En las regionesen que la magnitud de es grande, las superficies equipotenciales están cerca entre sí E

S

q0 ES

ES

+ ++ +–

V 5 170 VV 5 150 VV 5 130 VV 5 150 V

V 5 170 VV 5 270 VV 5 250 V

V 5 230 V

V 5 170 VV 5 150 V

V 5 130 VV 5 0 V

V 5 130 V

c) Dos cargas iguales positivas

Secciones transversales de superficies equipotencialesLíneas decampo eléctrico

b) Un dipolo eléctricoa) Una sola carga positiva

23.24 Secciones transversales de superficies equipotenciales (líneas azules) y líneas de campo eléctricas (líneas rojas) para arreglos decargas puntuales. Hay diferencias de potencial iguales entre superficies adyacentes. Compare estos diagramas con los de la figura 21.29,que sólo muestran líneas de campo eléctricas.

Tanque de agua

800 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico

porque el campo efectúa una cantidad relativamente grande de trabajo sobre una car-ga de prueba en un desplazamiento más bien pequeño. Éste es el caso cerca de la cargapuntual en la figura 23.24a o entre las dos cargas puntuales en la figura 23.24b; observeque en estas regiones las líneas de campo también están más próximas. Ésta es una ana-logía directa con la fuerza de la gravedad cuesta abajo, que es mayor en las regiones deun mapa topográfico donde las curvas de nivel están más cerca una de otra. A la inver-sa, en las zonas en que el campo es más débil, las superficies equipotenciales están másseparadas; en la figura 23.24a esto ocurre en radios mayores, a la izquierda de la carganegativa o a la derecha de la positiva en la figura 23.24b, y a distancias mayores de am-bas cargas en la figura 23.24c. (Tal vez parezca que dos superficies equipotenciales seintersecan en el centro de la figura 23.24c, violando la regla de que esto nunca puedesuceder. De hecho, se trata de una sola superficie equipotencial en forma de “8”.)

CUIDADO E no necesita ser constante sobre una superficie equipotencial En unasuperficie equipotencial dada, el potencial V tiene el mismo valor en todos los puntos. Sin em-bargo, en general la magnitud del campo eléctrico E no es la misma en todos los puntos sobreuna superficie equipotencial. Por ejemplo, sobre la superficie equipotencial con la leyenda “V 5230 V” en la figura 23.24b, la magnitud E es menor a la izquierda de la carga negativa de loque es entre las dos cargas. En la superficie equipotencial con forma de “8” en la figura 23.24c,E 5 0 en el punto medio entre las dos cargas; en todos los demás puntos de esta superficie, E esdistinto de cero. !

Equipotenciales y conductoresEl siguiente es un enunciado importante acerca de las superficies equipotenciales:Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductor siemprees una superficie equipotencial. Como el campo eléctrico siempre es perpendicu-lar a una superficie equipotencial, el enunciado se puede demostrar si se prueba quecuando todas las cargas están en reposo, el campo eléctrico justo afuera de unconductor debe ser perpendicular a la superficie en cada punto (figura 23.25). Sesabe que en todos los lugares del interior del conductor; de otro modo, las car-gas se moverían. En particular, en cualquier punto apenas dentro de la superficie, lacomponente de tangente a la superficie es cero. Se deduce que la componente tan-gencial de también es igual a cero inmediatamente afuera de la superficie. Si nofuera así, una carga podría recorrer una trayectoria rectangular parcialmente dentro yparcialmente fuera (figura 23.26) y volvería a su punto de partida con una cantidadneta de trabajo realizado sobre ella. Esto violaría la naturaleza conservativa de loscampos electrostáticos, por lo que la componente tangencial de justo fuera de la su-perficie debe ser igual a cero en todos los puntos de la superficie. Así, es perpendicu-lar a la superficie en cada punto, lo que prueba nuestra aseveración.

Por último, ahora es posible demostrar un teorema que se citó sin la prueba corres-pondiente en la sección 22.5. Es el siguiente: en una situación electrostática, si unconductor contiene una cavidad en cuyo interior no hay carga, entonces no puede ha-ber carga neta en ningún lugar de la superficie de la cavidad. Esto significa que si seestá dentro de una caja conductora con carga, se puede tocar con seguridad cualquierpunto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga. Para probar este teo-rema, primero se demuestra que todos los puntos en la cavidad están al mismo poten-cial. En la figura 23.27, la superficie conductora A de la cavidad es una superficieequipotencial, como se acaba de demostrar. Suponga que el punto P en la cavidad es-tuviera a un potencial diferente; entonces se podría construir una superficie equipo-tencial B diferente que incluyera al punto P.

Ahora considere una superficie gaussiana, como se ilustra en la figura 23.27, entrelas dos superficies equipotenciales. En virtud de la relación entre y las equipoten-ciales, se sabe que el campo en cada punto entre las equipotenciales se dirige de Ahacia B, o bien, en todos los puntos se dirige de B hacia A, lo que depende de cuál superficie equipotencial esté a un potencial mayor. En cualquier caso, es evidente queel flujo a través de esta superficie gaussiana es diferente de cero. Pero la ley de Gaussafirma que la carga encerrada por la superficie gaussiana no puede ser cero. Esto con-tradice nuestra suposición inicial de que en la cavidad no hay carga. Por lo tanto, elpotencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared de la cavidad.

Entonces, toda la región de la cavidad debe estar al mismo potencial. Pero paraque esto sea verdadero, el campo eléctrico dentro de la cavidad debe ser igual a cero

ES

ES

ES

ES

ES

ES

5 0

ES

+++

+

++++

++

–

–

–

–

–

–

–

–

–SE

Secciones transversales de lassuperficies equipotenciales

23.25 Cuando las cargas están en reposo,una superficie conductora siempre es unasuperficie equipotencial. Las líneas decampo son perpendiculares a una superficie conductora.

Un campo eléctrico imposibleSi el campo eléctrico inmediatamente afuerade un conductor tuviera una componentetangencial E i, una carga podría moverse enuna espira con trabajo neto realizado.

Vacío

ConductorE 5 0

E' Ei

E

S

S

23.26 En todos los puntos de la superficiede un conductor, el campo eléctrico debeser perpendicular a la superficie. Si tuviera una componente tangencial, se realizaría una cantidad neta de trabajosobre una carga de prueba al moverla enuna espira como la que se ilustra, lo que es imposible porque la fuerza eléctrica esconservativa.

ES

Sección transversal de una superficieequipotencial a través de P

Superficie gaussiana (en sección transversal)

Superficiede la cavidad

A

Conductor

B

P

23.27 Cavidad en un conductor. Si la cavidad no contiene carga, todos los puntos de tal cavidad están al mismo potencial, el campo eléctrico es igual a cero en cualquier lugar de ella, y no haycarga en ningún lugar sobre su superficie.

  14  

 

En  una  situación  electrostática:  

• Si  un  conductor  contiene  una  cavidad  en  cuyo  interior  donde  no  hay  carga,  entonces  no  puede  haber  carga  neta  en  ningún  lugar  de  la  superficie  de  la  cavidad  

• Se  puede  tocar  con  seguridad  cualquier  punto  de  las  paredes  interiores  de  la  caja  sin  sufrir  una  descarga    

• Esto  es  porque  todos  los  puntos  en  la  cavidad  están  al  mismo  potencial  

Demostración:  

1) La  superficie  conductora  A  de  la  cavidad  =  superficie  equipotencial  2) Suponga  el  punto  P  a  un  potencial  diferente;  sobre  una  superficie  

equipotencial  B  diferente  (incluyendo  al  punto  P  )  3) Considere  una  superficie  gaussiana  entre  A  y  B  4) En  virtud  de  la  relación  entre  

E  y  las  equipotenciales,    el  campo  en  cada  

punto  entre  las  equipotenciales  se  dirige  de  A  hacia  B,  o  vice-­‐versa  (depende  de  cuál  superficie  esté  a  un  potencial  mayor)  

5) El  flujo  a  través  de  esta  superficie  gaussiana  es  diferente  de  cero    6) Pero  la  ley  de  Gauss  afirma  que  la  carga  encerrada  por  la  superficie  

gaussiana  no  puede  ser  cero  7) Esto  contradice  la  suposición  inicial  de  que  en  la  cavidad  no  hay  carga  8) Por  lo  tanto,  el  potencial  en  P  no  puede  ser  diferente  del  que  hay  en  la  pared  

de  la  cavidad  

   

800 C APÍTU LO 23 Potencial eléctrico

porque el campo efectúa una cantidad relativamente grande de trabajo sobre una car-ga de prueba en un desplazamiento más bien pequeño. Éste es el caso cerca de la cargapuntual en la figura 23.24a o entre las dos cargas puntuales en la figura 23.24b; observeque en estas regiones las líneas de campo también están más próximas. Ésta es una ana-logía directa con la fuerza de la gravedad cuesta abajo, que es mayor en las regiones deun mapa topográfico donde las curvas de nivel están más cerca una de otra. A la inver-sa, en las zonas en que el campo es más débil, las superficies equipotenciales están másseparadas; en la figura 23.24a esto ocurre en radios mayores, a la izquierda de la carganegativa o a la derecha de la positiva en la figura 23.24b, y a distancias mayores de am-bas cargas en la figura 23.24c. (Tal vez parezca que dos superficies equipotenciales seintersecan en el centro de la figura 23.24c, violando la regla de que esto nunca puedesuceder. De hecho, se trata de una sola superficie equipotencial en forma de “8”.)

CUIDADO E no necesita ser constante sobre una superficie equipotencial En unasuperficie equipotencial dada, el potencial V tiene el mismo valor en todos los puntos. Sin em-bargo, en general la magnitud del campo eléctrico E no es la misma en todos los puntos sobreuna superficie equipotencial. Por ejemplo, sobre la superficie equipotencial con la leyenda “V 5230 V” en la figura 23.24b, la magnitud E es menor a la izquierda de la carga negativa de loque es entre las dos cargas. En la superficie equipotencial con forma de “8” en la figura 23.24c,E 5 0 en el punto medio entre las dos cargas; en todos los demás puntos de esta superficie, E esdistinto de cero. !

Equipotenciales y conductoresEl siguiente es un enunciado importante acerca de las superficies equipotenciales:Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductor siemprees una superficie equipotencial. Como el campo eléctrico siempre es perpendicu-lar a una superficie equipotencial, el enunciado se puede demostrar si se prueba quecuando todas las cargas están en reposo, el campo eléctrico justo afuera de unconductor debe ser perpendicular a la superficie en cada punto (figura 23.25). Sesabe que en todos los lugares del interior del conductor; de otro modo, las car-gas se moverían. En particular, en cualquier punto apenas dentro de la superficie, lacomponente de tangente a la superficie es cero. Se deduce que la componente tan-gencial de también es igual a cero inmediatamente afuera de la superficie. Si nofuera así, una carga podría recorrer una trayectoria rectangular parcialmente dentro yparcialmente fuera (figura 23.26) y volvería a su punto de partida con una cantidadneta de trabajo realizado sobre ella. Esto violaría la naturaleza conservativa de loscampos electrostáticos, por lo que la componente tangencial de justo fuera de la su-perficie debe ser igual a cero en todos los puntos de la superficie. Así, es perpendicu-lar a la superficie en cada punto, lo que prueba nuestra aseveración.

Por último, ahora es posible demostrar un teorema que se citó sin la prueba corres-pondiente en la sección 22.5. Es el siguiente: en una situación electrostática, si unconductor contiene una cavidad en cuyo interior no hay carga, entonces no puede ha-ber carga neta en ningún lugar de la superficie de la cavidad. Esto significa que si seestá dentro de una caja conductora con carga, se puede tocar con seguridad cualquierpunto de las paredes interiores de la caja sin sufrir una descarga. Para probar este teo-rema, primero se demuestra que todos los puntos en la cavidad están al mismo poten-cial. En la figura 23.27, la superficie conductora A de la cavidad es una superficieequipotencial, como se acaba de demostrar. Suponga que el punto P en la cavidad es-tuviera a un potencial diferente; entonces se podría construir una superficie equipo-tencial B diferente que incluyera al punto P.

Ahora considere una superficie gaussiana, como se ilustra en la figura 23.27, entrelas dos superficies equipotenciales. En virtud de la relación entre y las equipoten-ciales, se sabe que el campo en cada punto entre las equipotenciales se dirige de Ahacia B, o bien, en todos los puntos se dirige de B hacia A, lo que depende de cuál superficie equipotencial esté a un potencial mayor. En cualquier caso, es evidente queel flujo a través de esta superficie gaussiana es diferente de cero. Pero la ley de Gaussafirma que la carga encerrada por la superficie gaussiana no puede ser cero. Esto con-tradice nuestra suposición inicial de que en la cavidad no hay carga. Por lo tanto, elpotencial en P no puede ser diferente del que hay en la pared de la cavidad.

Entonces, toda la región de la cavidad debe estar al mismo potencial. Pero paraque esto sea verdadero, el campo eléctrico dentro de la cavidad debe ser igual a cero

ES

ES

ES

ES

ES

ES

5 0

ES

+++

+

++++

++

–

–

–

–

–

–

–

–

–SE

Secciones transversales de lassuperficies equipotenciales

23.25 Cuando las cargas están en reposo,una superficie conductora siempre es unasuperficie equipotencial. Las líneas decampo son perpendiculares a una superficie conductora.

Un campo eléctrico imposibleSi el campo eléctrico inmediatamente afuerade un conductor tuviera una componentetangencial E i, una carga podría moverse enuna espira con trabajo neto realizado.

Vacío

ConductorE 5 0

E' Ei

E

S

S

23.26 En todos los puntos de la superficiede un conductor, el campo eléctrico debeser perpendicular a la superficie. Si tuviera una componente tangencial, se realizaría una cantidad neta de trabajosobre una carga de prueba al moverla enuna espira como la que se ilustra, lo que es imposible porque la fuerza eléctrica esconservativa.

ES

Sección transversal de una superficieequipotencial a través de P

Superficie gaussiana (en sección transversal)

Superficiede la cavidad

A

Conductor

B

P

23.27 Cavidad en un conductor. Si la cavidad no contiene carga, todos los puntos de tal cavidad están al mismo potencial, el campo eléctrico es igual a cero en cualquier lugar de ella, y no haycarga en ningún lugar sobre su superficie.

  15  

Gradiente  de  potencial  y  campo  eléctrico    

Por  definición  del  trabajo:  

(3.30)   Va −Vb =

E ⋅dl

a

b

∫    

Si  V →V x, y, z( )  una  función  escalar,  entonces:        

(3.31)   Va −Vb = dVb

a

∫ = − dVa

b

∫    

Donde  dV  (una  diferencial  total)  es  el  cambio  infinitesimal  de  potencial  que  acompaña   d

l  

(3.32)   − dV

a

b

∫ =E ⋅dl

a

b

∫    

Por  lo  tanto:    (3.33)   −dV =

E ⋅dl    

 

En  componentes  cartesianas:  

(3.34)   E ⋅dl = Exdx + Eydy + Ezdz    

 y  por  definición  de  la  diferencial  total:  

(3.35)   −dV = − ∂V∂x

dx − ∂V∂y

dy − ∂V∂z

dz    

 De  manera  que  identificamos  que:    

(3.36)   Ex = − ∂V∂x,Ey = − ∂V

∂y,Ez = − ∂V

∂z    

 En  forma  vectorial:  

(3.37)  

E = − ∂V

∂xi + ∂V

∂yj + ∂V

∂zk⎡

⎣⎢⎤⎦⎥= −∇V    

 El  campo  eléctrico  es  el  gradiente  del  potencial  eléctrico      Por  definición,  entonces,  en  cada  punto  la  dirección  de  

E  es  aquella  en  la  que  V  

disminuye  con  más  rapidez    • Esto  es  ⊥  a  la  superficie  de  equipotencial  que  pasa  por  el  punto    

       

  16  

Ej.  Campo  de  una  carga  puntual      

El  potencial  de  una  carga  puntual  es  V = 14πε0

qr  donde   r = x2 + y2 + z2    

Aplicando  la  definición  

E = − ∂V

∂xi + ∂V

∂yj + ∂V

∂zk⎡

⎣⎢⎤⎦⎥  

 

Derivamos  por  x,   ∂V∂x

= ∂∂x

14πε0

qx2 + y2 + z2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = − 1

4πε0qx

x2 + y2 + z2( )3 2= − qx

4πε0r3  

 De  la  misma  manera,  encontramos  que:  

  ∂V∂y

= − qy4πε0r

3    y    ∂V∂z

= − qz4πε0r

3  

 Por  definición  entonces:  

 

E = − ∂V

∂xi + ∂V

∂yj + ∂V

∂zk⎡

⎣⎢⎤⎦⎥=

= − − qx4πε0r

3 i −qy

4πε0r3 j −

qz4πε0r

3 k⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

= q4πε0r

2xi + yj + zk

r⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= q

4πε0r2 r