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Cicerón Jiménez Sierra

CAPÍTULO 3

UNA INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA DE PREDICADOS.

“Muchas palabras no dan prueba del hombre sabio, porque el sabio no ha de hablar sino cuando la necesidad demanda, y las palabras han de ser medidas y correspondientes a la necesidad”

Thales de Mileto

TEMAS Pag.

Una introducción a la lógica matemática y conjuntos para estudiantes de ingeniería

2

BIBLIOGRAFIA

Bertrand Russell [Trelleck, 1872 – Plas Penrhyn, 1970]

Información tomada de Génesis y evolución del pensamiento científico. Documento de

Henri Poincaré disponible en http://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm

Biografía y Vidas: http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htm

Bertrand Russell

Filósofo y matemático británico. Su abuelo, el notable político y orador John Russell, había sido nombrado conde por la reina Victoria, y

desempeñó los cargos de Primer Lord del Tesoro y Primer Ministro. Los padres del joven Bertrand, de mentalidad liberal con ciertos matices radicales, hubieran deseado para su hijo una brillante carrera política. Y así, luego de la formación recibida en el Trinity College de Cambridge, el joven fue

enviado en 1888 y para largo tiempo a los Estados Unidos, a fin de que pudiera estudiar allí la vida política y las instituciones del país.

http://www.euclides.org/menu/articles/article101.htm

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/c/cantor.htm

3


De nuevo en la patria y, en calidad de "fellow", en el Trinity College, se vio alejado de tal institución en 1916 debido a la actitud pacifista intransigente adoptada en el curso de la primera Guerra Mundial. Ello le valió asimismo cuatro meses de cárcel, durante los cuales redactó su Introducción a la filosofía matemática (Introduction to Mathematical Philosophy, 1919).

Anteriormente, en 1900, había publicado un importante libro acerca de Leibniz, y en 1910 Principia Mathematica (en colaboración con el filósofo A. N. Whitehead), texto que proponía una interpretación "logística" de las matemáticas. Dicha tesis de la reducción absoluta de tal ciencia a la lógica había sido también sostenida en Principles of Mathematics, en 1903. La "teoría de los tipos", la de los números como "clases de clases" y la "paradoja de Russell" fueron los resultados más significativos de esta amplia labor de investigación.

En 1920 nuestro autor se hallaba en Rusia. El mismo año llegó hasta Pekín, y en tal ocasión fue considerado muerto por numerosos periódicos europeos; ello se redujo, en la realidad, a una mera pulmonía. Vuelto a Inglaterra, el filósofo publicó, entre 1921 y 1927, algunos libros que difundieron ulteriormente su celebridad: Análisis de la Mente (Analysis of Mind, 1921) y Análisis de la Materia (Analysis of Matter, 1927). Con su segunda esposa, Dora Black, con la cual contrajo matrimonio en 1921 (en 1894 se había casado con Alys Smith), estableció en Londres, de 1927 a 1932, una escuela infantil inspirada en una pedagogía progresiva y despreocupada.

En 1936 celebró terceras nupcias con Patricia Spence, y en 1938 fue llamado a la Universidad de Chicago en calidad de "visiting professor" de Filosofía. El año siguiente enseñó en la California University, de Los Ángeles. En 1940 su cargo en el City College de Nueva York dio lugar a una polémica extremadamente áspera, y provocó apasionadas protestas en algunos ambientes: se le reprochaba la exposición en forma singularmente cruda de sus opiniones acerca de la vida sexual.

Además de las investigaciones de carácter lógico-matemático, Russell, en

efecto, había realizado, con singular fortuna, el estudio de problemas sociales y ético-políticos, y publicado, en consecuencia, textos como Matrimonio y Moral (Marriage and Morale, 1929), La Conquista de la Felicidad (The Conquest of Happiness, 1930) y La Educación y el Orden Social (Education and the Social Order, 1932). En tales obras el autor se revelaba escritor delicado y agudo, a quien el racionalismo y la elegante ironía inducían a soluciones con frecuencia paradójicas, pero siempre muy estimulantes.

En 1950 recibió el premio Nobel de Literatura. En 1952, a los ochenta años, se unía en cuartas nupcias a Edith Finch, y en 1953 publicaba la novela Satanás en los Suburbios y Otras Narraciones (Satan in the Suburbs and Other Stories). En 1955 dio a la imprenta el testamento espiritual de Albert


4

Einstein, y se manifestó abiertamente en favor de la prohibición de la guerra atómica y de los conflictos bélicos en general.

Tomado de Biografías y Vidas:

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/r/russell_bertrand.htm

Friedrich G. Frege

Junto con Boole y Peano, el matemático y lógico Friedrich G. Frege, 1848-1925, partiendo

del análisis de los fundamentos de la matemática lleva a cabo la más profunda renovación y

desarrollo de la lógica clásica hasta el momento. Es el primero en introducir los

cuantificadores u operadores y en elaborar una Teoría de la Cuantificación.

INTRODUCCIÓN

La Lógica de Predicados o Lógica de Primer Orden, L1 , es una generalización de la Lógica

de Proposiciones, L0. Ahora, en L1, se atenderá a la estrucura interna de las proposciones

atómicas, que comprende concetivos, términos, predicados y cuantificadores.

Un término es la expresión con la que se nombra o se designa un único objeto. Es la

expresión verbal de un concepto o idea. Mientras que, el predicado de una proposción es

todo lo que se dice del sujeto.

Ejemplo 53. Término y predicado de una proposición

Proposición Término Predicado

Neil es ingeniero electrónico “Neil” “es ingeniero electrónico”

Tatiana es química es farmacéutica “Tatiana” “es química es farmacéutica”

5 + 6 = 11 “5 + 6” “es igual a 11”

Este triángulo es equilátero “Este triángulo” “es equilátero”

7 pertenece al conjunto de los reales “7” “pertenece al conjunto de los

reales”

Variable. Una variable es el término más importante de la matemática; su función gramatical

en L1 es semejante a los pronombres y nombres comunes del lenguaje natural en el que

hablamos. Se simbolizan por 1 2 3, , ,..., , , ,...x y z x x x Veamos una ilustración de como se

introducen las variables en el Lenguaje de Predicados.

PROPOSICIÓN EN LENGUAJE

NATURAL

PROPOSICIÓN CON VARIABLES

Todo triángulo equilátero es isósceles Para todo x, si x es un triángulo equilátero

entonces x es isósceles.

http://www.biografiasyvidas.com/biografia/r/russell_bertrand.htm

5


Algunos números enteros son

naturales

Existe por lo menos un x tal que, x es entero y x

es natural.

Cualquier número irracional es real Para todo x, si x es número irracional entonces x

es real.

Alguna persona que estudia las

matemáticas es disciplinado

Existe por lo menos un x tal que, x es persona

que estudia las matemáticas y x es disciplinado.

Todo abogado es deshonesto Para todo x, si x es abogado entonces x es

deshonesto.

Algunos estudiantes son responsables Existe por lo menos un x tal que, x es estudiante

y x es responsable.

Ahora podemos dar una definión de término.

Definición. Un término es una expresión con la que se nombra o se designa un único objeto

o es una variable que puede ser sustituida por una expresión que nombre o designe un objeto

único.

4.1 PROPOSICIÓN CUANTlFICADA

Función proposicional. Una función proposicional es una expresión que tiene la forma de

proposición pero su valor de verdad “verdadero” o “falso” está indeterminado debido a la

presencia de variables. Consta de un término, representado por una variable y un predicado

representado con una letra mayúscula obtenida de la principal palabra del predicado. Una

variable es una cantidad que toma cualquier valor dentro de un universo U de valores. Así

por ejemplo,

: 5 7; ..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...xI x U

es una función proposicional donde x es una variable que toma sus valores en el universo de

los números enteros. xI se lee I sub x.

Una función proposicional puede convertirse en proposición de dos maneras. La primera,

consiste en sustituir la variable por un valor determinado del universo. En el ejemplo

anterior, si a x le damos el valor de 8, tenemos 8 + 5 = 7 la cual es una proposición falsa,

mientras que si x es 2 se tiene 2 + 5 = 7, una proposición verdadera. La proposición resultante

mediante este procedimiento se le llama proposición particular debido a que se ha tomado

un valor particular del universo.


6

La segunda forma de convertir una función proposicional en proposición consiste en un

procedimiento de cuantificación. Un cuantificador es una expresión que cuantifica los

individuos del universo que cumplen una condición determinada dada en la función

proposicional; se clasifica en universal y existencial.

El cuantificador universal le da sentido a la función proposicional introduciendo todos los

valores del universo como su conjunto solución. Cuantifican universalmente, entre otras

expresiones, todo(a), cualquier(a), para todo, para cualquier, ningún(a), nadie. El

cuantificador universal es simbolizado .

La anterior función proposicional : 5 7; ..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...xI x U se

convierte en proposición cuando se cuantifica su variable universalmente:

xx U I : , 5 7Para todo x U x (F)

Esta proposición enuncia que todos los números enteros cumplen la propiedad que al ser

sumados con 5 dan 7, lo cual es evidentemente falso.

Por otro lado, el cuantificador existencial le da sentido a la función proposicional en forma

tal que introduce solo algunos valores del universo en su conjunto solución. Cuantifican

existencialmente, entre otras expresiones, algún(a), existe por lo menos uno, existe aunque

sea uno, hay unos y existe un único. El cuantificador existencial es denotado . El símbolo

! significa existe un único.

La función proposicional : 5 7; ..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,...xI x U se convierte

en proposición cuando se cuantifica su variable existencialmente:

xx U I : , 5 7Existe por los menos un x U tal que x (V)

Esta proposición enuncia que algunos números enteros cumplen la propiedad que sumados

con 5 dan 7, lo cual es verdadero.

Ejemplo 53. Proposiciones cuantificadas

Consideremos la función proposicional : xP x es primo y su universo de valores para la

variable 1,2,3,4,5,6,...x , la cual hace referencia a la propiedad de ser primo en el

universo de los números naturales. Son proposiciones cuantificadas:

xx P : Para todo x , x es número primo (F) (1)

: Todo número natural es primo (2)

: Cualquier número natural es primo (3)

7


Ésta es una proposición cuantificada universalmente. La primera forma está escrita en

lenguaje matemático mientras que la segunda y tercera formas están escritas en lenguaje

español normal.

El diagrama evidencia la falsedad de la proposición porque lo correcto es que “todo primo es

natural” y no al revés. También es proposición,

: , xx P Existe por lo menos un x tal que x es número primo (V) (1)

: Algún número natural es primo (2)

: Hay números naturales que son primos (3)

Este diagrama evidencia la verdad de la proposición porque tan solo hay algunos números

naturales que son primos.

Ésta, está cuantificada existencialmente. Al igual que en el caso anterior, la primera forma

está escrita en lenguaje matemático mientras que la segunda y tercera formas están escritas

en lenguaje español normal.

Las expresiones xx P y xx P son los símbolos para denotar una

proposición cuantificada. Contienen el cuantificador, la variable, el universo y una letra para

representar el predicado generalmente relacionada con la palabra principal del predicado.


Formar las proposiciones cuantificadas con la función proposicional y su universo:

: yF y es fiel en la relación de pareja ; U = hombres de Neiva

Solución

yy U F : Para todo y U , y es hombre fiel en la relación de pareja

: Todo hombre de Neiva es fiel en la relación de pareja

Dejemos que el género femenino determine el valor de verdad de esta proposición, que creo

debe ser verdadera para ellas.

yy U F :

Correcto Incorrecto


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Existe por lo menos un y U tal que, y es hombre fiel en la relación de pareja

Algún hombre de Neiva es fiel en la relación de pareja

Algunos hombres de Neiva son fieles en la relación de pareja


Formar las proposiciones cuantificadas con la función proposicional y su universo:

:uE u es número entero; 1,2,3,4,5,...U = conjunto de los números naturales

Solución

Los números que tienen la propiedad de ser enteros son:

..., 3, 2, 1,0,1,2,3,4,... = Números enteros

La relación entre naturales y enteros gráficamente se muestra a continuación:

En diagramas de Venn:

Así, las proposiciones son:

uu U E : Para todo u U , u es número entero

: Todo número natural es entero

: Cualquier número natural es entero

: Ningún número natural es no entero

uu U E : Existe al menos un u U tal que, u es números entero

: Algún número natural es entero

: Hay números naturales que son enteros

: Existe números naturales que son enteros

9



Expresar la proposición cuantificada en la forma literal x y x y y x

Solución

El símbolo representa el conjunto de los números reales. A continuación una

representación de este conjunto de números:

33 5 60, 1, 2, 3,... , , ,... 2, 3, 6,... , ...

4 2 5Irracionales

Racionales

e

En este ejemplo, es el universo para la función proposicional :xS x y y x , dondeS

significa suma. Los símbolos y e son los números pi y euler respectivamente.

La interpretación literal de la proposición cuantificada es:

x y x y y x [Lenguaje de la lógica matemática]

Para todo x y para todo y , x y y x [Lenguaje matemático]

Para todos los números reales, el orden de los sumandos no altera el total [Lenguaje español]

En el conjunto de los números reales, el orden de los sumandos no altera la suma o total.


Interpretar literalmente la proposición cuantificada ! 0x y x y y x

Solución

La función proposicional implícita en la proposición cuantificada es 0x y y x y el

universo de valores de las variables ,x y es , el conjunto de los números reales. Su

interpretación en lenguaje matemático y en lenguaje español ordinario es

! 0x y x y y x [Lenguaje de la lógica matemática]

Para todo x , existe y tal que, 0x y y x [Lenguaje matemático]

Para cualquier número real existe un único real tal que sumados dan cero [Lenguaje español

ordinario].


Consideremos las proposiciones simples:

p: 3 es un número impar (V); [proposición particular]

xx P :Todo número entero impar es primo (F); [proposición cuantificada]

Formalice y enuncie su conjunción, disyunción, condicional y bicondicional

Solución


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Conjunción

xp x P : 3 es número impar y todo número impar es primo (F)

Disyunción

xp x P : 3 es número impar o todo número impar es primo (V)

Condicional

Condicional directo

xp x P : Si 3 es número impar entonces todo número impar es primo (F)

Condicional recíproco

xx P p : Si todo número impar es primo entonces 3 es impar (V)

Bicondiconal

xp x P : 3 es número impar si y solo si todo número impar es primo (F)

4.2 EL TÉRMINO NINGUN EN LAS PROPOSICIONES CUANTIFICADAS Y

NEGACION DE LAS PROPOSICIONES CUANTIFICADAS

El término ningún. El término ningún niega la existencia de elementos del universo que

cumplen la condición de la función proposicional. Por ejemplo, decir que “ninguna persona

me quiere” significa que “todas personas no me quieres”. Para expresar una proposición que

contiene el término ningún en otra equivalente con el cuantificador universal se sigue la

fórmula siguiente

~x xNingún x U P x U P


Escribir y simbolizar las proposiciones que contienen el término ningún (cuantificador

universal negativo) en otra equivalente con cuantificador positivo.

1. Ningún cristiano es ateo (V)

U = conjunto de cristianos

: xA x es ateo

~

x

x

Ningún x U A Ningún cristiano es ateo

Todo cristiano es no ateo V

x U A

2. Ninguna persona es no lectora (V)

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U = conjunto de personas

: xA x es lector

~

x

x

Ningún x U A Ninguna persona es no lector

Toda persona es lectora F

x U A

Negación de las proposiciones cuantificadas universalmente. La fórmula para la negación

de una proposición cuantificada universalmente (xU)(Px) es

~ ~x xx U P x U P ,

la cual expresa literalmente: “No es cierto que, para todo x de U se cumple la propiedad P,

equivale a, existe por lo menos un x en U tal que no cumple la propiedad P”.

Negación de las proposiciones cuantificadas existencialmente. La fórmula para la

negación de una proposición cuantificada existencialmente (xU)(Px) es

~ ~x xx U P x U P ,

la cual se expresa literalmente: “No es verdad que, existe algún x de U que cumple la

propiedad P, equivale a, cualquier x en U no cumple la propiedad P”.

Ejemplo 60 Proposiciones cuantificadas

Negar las proposiciones siguientes:

1. uu U E : Todo número natural es entero (V)

2. uu U E : Algún número natural es entero (V)

3. 0x y x y y x (V)

4. xp x P : Si 3 es número impar entonces todo número impar es primo (F)

Solución

1.

~ ~

lg

u uu U E u U E

A ún número natural no es entero F


12

2.

~ ~

u uu U E u U E

Todo número natural no es entero F

3. ~ 0 0x y x y y x x y x y y x

4. ~ ~x xp x P p x P

3 es número impar y algún número impar no es primo (V)

PRACTICA 4

"El éxito no es para quienes se quedan pensando que pueden hacer algo sino para

quienes lo hacen"

Anónimo

Cuantificar universal y existencialmente las funciones proposicionales para formar

proposiciones. Simbolizar las proposiciones. Negar cada proposición.

1. x es felino; U = conjunto de gatos

2. y es responsable; U = conjunto estudiantes

3. z es fácil de leer; U = conjunto de libros de matemáticas

4. w es número racional; U = conjunto de los números enteros

5. w es número real; U = conjunto de los números racionales

6. t es número complejo; U = conjunto de los números reales

7. v es polígono; U = conjunto de los triángulos

8. m es polígono; U = conjunto de las figuras geométricas

9. n es región plana; U = conjunto de los ángulos

Expresar literalmente en lenguaje matemático y en lenguaje español las siguientes

proposiciones cuantificadas. Dar su valor de verdad. Escriba por lo menos una proposición

particular de cada proposición cuantificada. Negar cada proposición.

10. x y xy yx : Propiedad conmutativa de la multiplicación de reales

11. , 0 1x y y xy yx : Propiedad del recíproco multiplicativo en los

reales

12. x y z xy z x yz : Propiedad asociativa de la multiplicación de

reales

13. x y z x y z x y z : Propiedad asociativa de la

adición de reales.

14. x y z x y z xy xz : Propiedad distributiva de la

multiplicación de reales respecto a la suma.

15. x y x y y x

http://www.frasedehoy.com/call.php?file=autor_mostrar&autor_id=175

13


16. x y x y y x

17. x y xy yx

18. 10 0x x

19. 10 0x x

20. 2 9 3 3x x x x

21. 2 9 3 3x x x x

Sean las proposiciones:

xx C R : Todo cuadrado es rombo (V); : xR x es rombo ; U C cuadrados

xx R C : Algún rombo es cuadrado (V); : xC x es cuadrado ; U R rombo

Simbolizar y expresar literalmente las fórmulas bien formadas y dar su valor de verdad.

Negar cada proposición.

22. x xx C R x R C

23. x xx C R x R C

24. x xx C R x R C

25. x xx R C x C R

26. x xx C R x R C

27. Completar la tabla tal como se ilustra. Expresar una proposición con el término ningún

en otra equivalente con el cuantificador universal

Frase con el término “ningún” Frase con cuantificador universal

Ningún número par es primo equivale todo número par no es primo

Ningún hombre de Neiva es bueno equivale

(Ningún xZ)(x es primo) equivale

equivale todo pato vuela

(Ningún xZ)(x es primo) equivale

Negar las proposiciones

28. Ningún número entero es natural.

29. Ningún triángulo rectángulo es no equilátero.

Algunas de las siguientes proposiciones son particulares y otras cuantificadas. Negar estas

proposiciones.

30. Algún número racional no es entero y 1

2 es racional.


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31. Si el sábado estudio fundamentos entonces no estudio geometría.

32. Estudio o escucho rock.

33. Si aprueba el semestre en limpio entonces se va de vacaciones a San Andrés.

34. Si hay oxígeno entonces hay vida.

35. Algún huilense es activo o todo huilense es honesto.

36. Si un auto anda entonces tiene combustible.

37. Si 2³ = 6 entonces 2.2.2 = 6.

38. Un conjunto es vacío si y solo si no carece de elementos.

39. Si alguna figura no es la mitad de un paralelogramo entonces su área 𝐴 ≠𝑏ℎ

2.

40. Paso al tablero si y solo si no me califica.

41. Toda circunferencia tiene longitud y todo círculo tiene área.

Kurt Gödel (1906-1978). Lógico y matemático

estadounidense de origen austriaco. En 1931 publicó el

artículo «Sobre proposiciones formalmente indecidibles del

Principia Mathematica y sistemas relacionados», en el que

propuso sus dos teoremas de la incompletitud, el primero de

los cuales establece que ninguna teoría finitamente

axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Peano

(esto es, abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la

vez consistente y completa.

En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría

fundacional de las matemáticas que establezca los axiomas

y las reglas de inferencia asociadas a los mismos, de modo

que sea posible estipular con precisión qué es y qué no es un

axioma, la teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar los postulados de

Peano), incompleta (existirá al menos una proposición matemáticamente válida que no será

derivable de la teoría) o inconsistente.

El segundo teorema de la incompletitud, corolario del primero, afirma que si una teoría es

finitamente axiomatizable, consistente y capaz de derivar los postulados de Peano, entonces

dicha teoría no puede probar su propia consistencia. Mediante la demostración de las

imperfecciones del sistema axiomático como herramienta, heredada de los antiguos griegos,

para la elaboración de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de Gödel echó

definitivamente por tierra las empresas formalistas (Hilbert) y logicistas (Russell y

Whitehead) y, en definitiva, más de un siglo de intentos de desarrollar una fundamentación

de las matemáticas basada en dichos instrumentos.

15


Aporta múltiples contribuciones a la lógica matemática, destacando la demostración de la

consistencia de la hipótesis cantoriana del continuo y el teorema y prueba de incompletez

semántica. En Sobre las proposiciones indecidibles de los sistemas de matemática formal

establece que es imposible construir un sistema de cálculo lógico suficientemente rico en el

que todos sus teoremas y enunciados sean decidibles dentro del sistema. Con este teorema se

demostró definitivamente que era imposible llevar a cabo el programa de la axiomatización

completa de la matemática propugnado por Hilbert y otros, ya que, según él, no puede existir

una sistematización coherente de la misma tal que todo enunciado matemático verdadero

admita demostración. Siempre habrá enunciados que no son demostrables ni refutables. Para

probar esta aserción se sirvió de la matematización de la sintaxis lógica.

4.3 INFERENCIA

4.3.1

copi

DEMOSTRACIÓN DE LA VALIDEZ DE UNA ARGUMENTACIÓN

Se puede demostrar la validez de los argumentos que contienen proposiciones cuantificadas

mediante cuatro reglas de inferencia, Instanciación Universal, UI; Generalización Universal,

GU; Generalización Existencial, GE; y, Instanciación Existencial, IE. Obsérvese la siguiente

gráfica.

1. Instanciación Universal (IU)


16

Como ya se sabe, una propiedad de las proposiciones cuantificadas universalmente es:

x U Fx si y solo si Fc es verdadera para todo c U , donde c es una constante del

universo U. Es decir, x U Fx es verdadera si y solo si todas las instancias de

sustitución Fc son verdaderas. Esto implica que toda instanciación de sustitución puede

inferirse de la proposición cuantificada:

___________

x U Fx

Fc

Ejemplo. Demostración de la validez de un argumento

“Todo número natural es entero. 100 es número natural. Luego, 10 es entero”.

Formalicemos el argumento:

Todo número natural es entero: x Nx Ex

100 es natural: 100N

Así:

Paso 1 Conclusión

1 1 x Nx Ex Premisa

2 2 100N Premisa

3 1,2 100E Regla de inferencia IU

2. Generalización Universal (GU)

EVALUACIÓN GENERAL

1. Es tautología

A. p p

B. p p

A. Si algún número no es primo entonces 2

no es primo o 0.5no es primo

B. 2 no es primo o no es primo y todo

número no es primo

17


C. p p

D. p p *

2. “ x c y c es condición necesaria para

que x y ”. Esta proposición también se

escribe correctamente

A. x c y c es condicioón suficiente

para x y

B. Si x y entonces x c y c *

C. Si x c y c implica que x y

D. x y siempre que x c y c

3. “Si una fbf es disyunción entonces entonces

no es conjunción”. La contrarrecíproca de este

condicional es

A. Si una fbf es conjunción entonces no es

disyunción*

B. Si una fbf no es conjunción entonces

entonces es disyunción

C. Si una fbf es no es disyunción entonces es

conjunción

D. Si una fbf no es conjunción entonces no es

disyunción

4. “Alguna fbf no es tautología”. La negación de

esta proposición es

A. Toda fbf no es tautología

B. Ninguna fbf es tautología

C. Ninguna fbf no es tautología*

D. Alguna fbf es tautología

5. “Si ninguna fbf no es tautolgía entonces

alguna fbf es contradicción”. La

contradirecta de este condicional es

A. Si alguna fbf es tautología entonces

ninguna fbf es contradicción

B. Si alguna fbf no es tautolgía entonces toda

fbf no es contradicción*

C. Si toda fbf no es contradicción entonces

alguna fbf es tautología

D. Si toda fbf es contradicción entonces

alguna fbf no es tautología

6. “Si 2 es primo y 0.5 es primo entonces algún

número es primo”. La negación de esta

proposición es

C. algun número es primo y 2 no es primo o

0.5no es primo

D. *2 es primo y 0.5 es primo y todo

número no es primo

7. La regla de razonamiento que permite deducir

m n de las premisas m n t

y t es

A. Tollendo ponens *

B. Ponendo ponens

C. Tollendo tollens

D. Simplificación

8. La regla de razonamiento que permite deducir

u de la premisa r s u es

A. Conmutativa de la disyunción

B. Simplificación*

C. Ponendo ponens

D. Tolendo tollens

9. De las premisas w z u , v u

, v se deduce

A. z w

B. z w *

C. z w

D. z w

10. De las premisas a b c , d e

a b d se deduce

A. c e

B. c e

C. c e *

D. c e


18

¿Cuánto sabemos? EvaluaciónSaber Pro 1

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON UNA RESPUESTA

Tres valores son esenciales en la vida: responsabilidad, respeto y honestidad. Lea lo

suficientemente despacio para comprender la pregunta y conteste en la hoja de respuestas

señalando una sola opción A, B, C o D. Señale aquellas ítems que NO comprende. Por ningún

motivo conteste al azar.

1. La regla de razonamiento que permite

deducir

a b de las premisas

a b c y c es

A. Tollendo ponens*

B. Conmutativa de la disyunción

C. Ponendo ponens

D. Tolendo tollens

2. “Si una fbf es disyunción entonces entonces no es conjunción”. La contradirecta de este condicional es A. Si una fbf es disyunción entonces

entonces es conjunción B. Si una fbf es no es disyunción

entonces es conjunción* C. Si una fbf no es conjunción

entonces no es disyunción D. Si una fbf es conjunción entonces

no es disyunción 3. La negación de esta proposición

“Cualquier número real es

racional”.

es

A. Algún número real no es racional*

B. Cualquier número real no es

racional

C. Todo número real es racional

D. Algún real es racional

E.

4. “Si alguna fbf no es contradicción

entonces ninguna fbf es tautología”.

La contrarrecíproca de este

condicional es

A. Si ninguna fbf es tautología

entonces alguna fbf no es

contradicción

B. Si alguna fbf es tautología

entonces toda fbf es contradicción

C. Si toda fbf es tautología entonces

toda fbf es contradicción

D. Si alguna fbf es tautología

entonces toda fbf es contradicción*

5. “Si todo número es primo entonces 2

es primo y 0.5 es primo”. La

negación de esta proposición es

A. Si algún número no es primo

entonces 2 no es primo o 0.5no es

primo

B. Si algún número no es primo

entonces 2 no es primo o 0.5no es

primo

19


C. Todo número es primo y 2 no es

primo o 0.5no es primo*

D. Todo número es primo o 2 no es

primo o 0.5no es primo


deducir

a b de las premisas

a b c y c es

A. Ponendo ponens

B. Adición

C. Tolendo tollens*

7. “Alguna fbf no es tautología”. La




C. Ninguna fbf no es tautología*

D. Alguna fbf es tautología

8. Consideremos la siguiente hipótesis:

“Este triángulo es isósceles o

equilátero. Además, si este triángulo

es equilátero, tiene los tres lados

iguales. Pero, este triángulo no tiene

los tres lados iguales”

La conclusión que se obtiene de la

anterior hipótesis es

A. este triángulo es equilátero e

isósceles.

B. *este triángulo es isósceles.

C. este triángulo no tiene los tres

lados iguales.

D. este triángulo no es isósceles

LAS PREGUNTAS 8 A 10 SE

CONTESTAN CON EL SIGUIENTE

TEXTO DONDE SE HA

INTRODUCIDO PARTE DE UNA

DEMOSTRACIÓN

PREMISAS DE

APOYO PASO

CONSECUENCIAS LÓGICAS O

CONCLUSIONES

JUSTIFICACIÓN DEL PASOS

DADO

1p 1 z y Premisa

2p 2 z s m Premisa

3p 3 m q u Premisa

4p 4 q u Premisa

5 ? 6 m ?

9. La consecuencia lógica o conclusión

en el paso 5 es

A. q u

B. q u

C. q u *

D. q u

10. La justificación del paso 6 de la

demostración es

A. Ley de De Morgan en los pasos 5 y

3

B. Modus tollendo tollens en los

pasos 5 y 3*

C. Modus tollendo ponens en los

pasos 5 y 3

D. Modus ponendo ponens en los

pasos 5 y 3

11. El conjunto de premisas de apoyo para

la conclusión en el paso 6 es

A. 2, 3p p

B. 1, 3p p

C. 2, 4p p

D. 3, 4p p *

12. La negación de la fórmula bien

formada de la lógica

x U Fx p q ∼ es

A. x U Fx p q ∼ ∼ ∼

B. x U Fx p q ∼ ∼ ∼

C. x U Fx p q ∼ ∼

*D. x U Fx p q ∼

13. La negación de la proposición

5 10 1 10y y y y

es


20

A.

5 10

1 10

y y

y y

B.

5 10

1 10

y y

y y

C.

5 10

1 10

y y

y y

*

D.

5 10

1 10

y y

y y

14. “Que n sea par es condición suficiente

y necesaria para que 1n sea impar”.

Esta afirmación también se puede

escribir como

A. “ n es par si y solo si 1n es

impar”*

B. “Si n es par entonces 1n es

impar”

C. “Si 1n es impar entonces es

par”

D. “ 1n es impar y n es par”

15. “Si un número n es entero entonces

n es par o n es impar”. La

contrarrecíproca de este condicional

es

A. Si n es par o es impar entonces es

número entero

B. Si n no es par o n no es impar

entonces n no es entero

C. Si n no es par y n no es impar

entonces n no es entero *

D. Si n no es entero entonces n no es

par o no es impar

16. “Ninguna fbf no es tautología”. La




C. Alguna fbf no es tautología*

D. Ninguna fbf no es tautología

17. “Si ninguna fbf no es tautolgía

entonces toda fbf es contradicción”.

La contrareciprca de este condicional

es

A. Si alguna fbf es tautología

entonces ninguna fbf es

contradicción

B. Si alguna fbf no es contradicción


tautología*

C. Si alguna fbf es contradicción

entonces toda fbf no es tautología

D. Si alguna fbf no es tautolgía


contradicción

18. “Si algún número es primo entonces

17 es primo o 0,17 es primo”. La


A. 17 no es primo y 0,17 no es primo

y algún número es primo*

B. Si algún número no es primo

entonces 2 no es primo o 0.17 no

es primo

C. 17 no es primo o no 0,17 no es

primo y todo número no es primo

D. algun número es primo y 17 no es

primo o 0.17 no es primo


deducir

x w de las premisas x y y

y w es

A. Ponendo ponens

B. Adición

C. Silogismo transitivo *

D. Tollendo ponens


deducir

r s u de la premisa u es

A. Simplificación

B. Adición*

C. Tolendo tollens

D. Silogismo disyuntivo

21. De las premisas v , v u ,

w z u , se deduce

A. z w

21


B. z w C. z w *

D. z w

22. De las premisas a b c

,

d e a b d

se deduce

A. c e B. c e *

C. c e

D. c e

23. Considere el siguiente razonamiento.

La lógica matemática es fácil y le

gusta a los estudiantes de

ingeniería. Si la lógica matemática

es fácil, el estudiante de ingeniería

deduce. Si le gusta a los

estudiantes de ingeniería, habrá

aplicaciones lógicas. Por

consiguiente, los estudiantes de

ingeniería deducen y hacen

aplicaciones lógicas.

Se borró las que no son


22

23


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