El Modelo Bsico de Equilibrio General Competitivo

Franz Hamann

Seminario de Macroeconoma InternacionalUniversidad Javeriana

Introduccin

Vamos a introducir los elementos centrales del modelo macroe-conmico bsico de economa cerrada y no monetaria.

Iniciamos con el caso determinstico y de horizonte finito. Pos-teriormente analizamos el caso estocstico.

Al exponer el modelo seremos rigurosos en definir la estructurade mercado y los derechos de propiedad de los agentes econmi-cos.

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Los agentes en la economa son: individuos, firmas y gobierno.

Existe un slo bien final que es producido por las firmas y con-sumido por los hogares.

Los individuos maximizan su utilidad sujetos a:

restriccin de presupuesto

restriccin de tiempo.

Las firmas maximizan beneficios sujetas a una restriccin detecnologa.

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Una Economa Determinstica

Los derechos de propiedad

Los individuos son dueos de todos los factores de producciny dueos de las firmas.

Todos los individuos reciben la misma dotacin inicial de fac-tores y de acciones en las firmas.

Las firmas no poseen ni factores de produccin ni acciones enotras firmas.

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Cada perodo las firmas arriendan el capital y contratan servicioslaborales para producir un bien final, el cual es vendido a losindividuos. Los beneficios que resultan de la actividad productivase le entregan a los individuos.

Cada perodo los individuos le arriendan los factores de produc-cin a las firmas, reciben los beneficios de las firmas y compranel bien final, el cual deciden si consumir o acumular en formade capital.

La estructura y organizacin de mercado

En la economa existe un nmero grande de firmas e individuosque operan en un ambiente de competencia perfecta.

Todas las transacciones tienen lugar en un mercado unificadoque abre en el perodo inicial (perodo 0) y ocurren en el mo-mento 0. Los precios y las cantidades se determinan simultnea-mente en ese momento.

Despus de que este gran mercado ha cerrado, t = 0,1,2, ..., T ,no existirn ms negociaciones y los agentes econmicos simple-mente se comprometen a intercambiar las cantidades de bienesy factores que han contratado.

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La convencin de precios en estos mercados es la siguiente:

pt es el precio de una unidad del bien final para entrega en elperodo t, expresado en cualquier unidad de cuenta.

wt es el precio de una unidad de trabajo para entrega en elperodo t, expresado en unidades del bien final del perodo t.Es decir, wt es el salario real.

rt es el precio de arrendamiento de una unidad de captal paraentrega en el perodo t, expresado en unidades del bien finaldel perodo t. Es decir, rt lo podemos pensar como la tasade inters real.

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El Problema de las Firmas

Existe un nmero grande de firmas en competencia perfecta.Todas disponen de una tecnologa F , que al combinar traba-jo con capital, dado el nivel de productividad constante en eltiempo, z, les permite producir bienes finales.*

Todas las firmas son idnticas. Esto nos permite hablar de unafirma representativa.

*F : R2+ R y es contnuamente diferenciable, montonamente creciente ycncava en k y l por separado. Adicionalmente, F es homognea de grado 1.Si no se emplea alguno de los insumos no se produce: F (0,0) = F (0, L) =F (k,0) = 0. Fk > 0 y Fl > 0 k, l > 0. Finalmente, las condiciones de Inada:lmk0 Fk(k,1) = y lmk Fk(k,1) = 0.

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Dada una secuencia de precios, {pt, wt, rt}Tt=0 el problema queenfrenta la firma representativa es escoger la demanda de in-sumos y la oferta de bienes finales, tales que maximice el flujodescontado de utilidades netas:

max{yt,kdt ,ldt }Tt=0

pi =Tt=0

pt[yt rtkdt wtldt

]sujeto a:

yt F (kdt , ldt ),t

El Problema de los Individuos

Existe un gran nmero (constante en el tiempo) de individuosidnticos. Podemos hablar de un individuo representativo. Suspreferencias estn descritas por la funcin de utilidad instan-tnea u.*

Dada la misma secuencia de precios que enfrentan las firmas,{pt, wt, rt}Tt=0, el individuo representativo escoge una secuenciade demandas de consumo e inversin y una secuencia de ofertasde capital y trabajo, dado un stock de capital inicial, que es desu propiedad.

*Suponemos que u es contnuamente diferenciable y creciente en ct y ot y estric-tamente cncava. Adicionalmente, lmc0 uc(c, o) =.

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Al comienzo del perodo t el stock de capital es propiedad delindividuo, ste escoge cunto invertir, descuenta lo que se de-precie el capital durante t, y as se determina el stock de capitaldisponible para el perodo siguiente.

Vamos a denotar el stock de capital que es propiedad del indi-viduo al comienzo del perodo como t y el stock de capital queel inviduo ofrece a las firmas para arrendarlo como kst . Es claroque en todo momento del tiempo: 0 kst t.

El individuo puede asignar el tiempo disponible entre trabajo yocio, de tal forma que: 0 ot+ lst 1.

Dada {pt, wt, rt}Tt=0, el problema del individuo es:

max{ct,xt,t+1,kst ,lst}Tt=0

Tt=0

tu(ct, ot)

sujeto a:

Tt=0

pt [ct+ xt] Tt=0

pt [rtkst + wtl

st ] + pi

t+1 = (1 )t+ xt,t

0 < ot+ lst = 1, t

0 kst t,t

ct 0 y t+1 0 ambas t

0 dado8

Ntese que el stock de capital ofrecido a las firmas y el stock decapital de propiedad del individuo deben ser no-negativos. Sinembargo la inversin s puede ser negativa (es decir, la inversines reversible).

Ahora caracterizamos el equilibrio competitivo.

Equilibrio Competitivo

Definicin: Un equilibrio competitivo es una secuencia de pre-cios {pt, wt, rt}Tt=0, una secuencia de cantidades para la firmarepresentativa {yt, kdt , ldt }Tt=0, una secuencia de cantidades parael individuo representativo

{ct, xt, t+1, k

st , l

st

}Tt=0

tales que:

1. {yt, kdt , ldt }Tt=0 resuelve el problema de la firma, dada la se-cuencia de precios.

2.{ct, xt, t+1, k

st , l

st

}Tt=0

resuelve el problema del individuo rep-resentativo, dada la secuencia de precios.

3. todos los mercados se equilibran: kst = kdt , l

st = l

dt y ct+xt = yt

en todo momento del tiempo.

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Caracterizacin del Equilibrio Competitivo

Antes de formalizar la solucin, especulemos acerca de la natu-raleza de la solucin.

Las preferencias son estrictamente montonas entonces pt >0,t. Como los retornos marginales de los factores son positivos,wt > 0,t y rt > 0,t.

Como todos los mercados se equilibran, entonces kt = kst = kdt ,t

y lt = lst = ldt , t denotan las cantidades transadas de capital y

trabajo.

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Consideremos la firma representativa: si pt > 0,t en todos losperodos ofrecer toda su produccin, luego yt = F (kt, lt),t.

Ahora, dado que cada perodo arrienda el capital y paga servicioslaborales, su problema es:

maxkt,lt

pt [F (kt, lt) rtkt wtlt] ,t (1)

Las condiciones de primer orden son:

rt = Fk(kt, lt),twt = Fl(kt, lt), t

Este resultado combinado con el hecho de que hemos supuestoque F es homognea de grado uno, implica que pi = 0.

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Ahora consideremos el individuo representativo: dado que ofre-cer capital no le genera desutilidad al individuo, en todos losperodos el individuo ofrecer todo su capital disponible al comien-zo del perodo. Esto es t = kt,t.

Qu valor debe tomar kT+1? Despus de T , la vida termi-na, y no tiene sentido tener kT+1 > 0. Dado que kT+1 0,por la restriccin impuesta anteriormente, entonces: kT+1 = 0(condicin de transversalidad).

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As, el problema del individuo representativo es:

max{ct,xt,kt,lt}Tt=0

Tt=0

tu(ct,1 lt) (2)

sujeto a:Tt=0

pt [ct+ xt] Tt=0

pt [rtkt+ wtlt] (3)

kt+1 = (1 )kt+ xt,t (4)

ct 0, kt+1 0,t (5)

k0 = 0 dado.

Hay alguna implicacin del supuesto lmc0 uc(c, o) =?

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Para caracterizar formalmente la solucin, construimos:

L =Tt=0

tu(ct,1lt)+ Tt=0

pt[rtkt+ wtlt ct kt+1+ (1 )kt

]

Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

tuc(ct,1 lt) pt = 0 (6)

tul(ct,1 lt) + ptwt = 0 (7)

[(rt+1+1 )pt+1 pt

]= 0 (8)

Tt=0

pt[rtkt+ wtlt ct kt+1+ (1 )kt

] = 0 0

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Antes de re-definir el equilibrio competitivo, con todas las con-sideraciones anteriores, es conveniente analizar algunas carac-tersticas de las decisiones del individuo representativo.

Qu vemos al juntar la ecuacin (6) con la ecuacin (8)?

Y la ecuacin (7) en conjuncin con la ecuacin (6)?

Qu podemos decir de las ecuaciones (7) y (8)?

Esta ltima relacin es importante: existe un trade-off intertem-poral entre trabajo presente y trabajo futuro. Ntemos queuc = ul/w, entonces:

ult+1(ct+1,1 lt+1)ult(ct,1 lt)

=wt+1

wt(1 + rt+1 )

La oferta de trabajo no slo depende del salario corriente sinodel salario futuro y de la tasa de inters.

Dada una tasa de inters, un aumento en wt relativo a wt+1,aumenta la oferta de trabajo en el perodo corriente con respectoa la oferta de trabajo futuro. Por qu?

Dado el salario intertemporal relativo, un aumento en la tasa deinters induce un aumento de la oferta de trabajo. Por qu?

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En consecuencia, un equilibrio competitivo est caracteriza-do por unas secuencias de precios {pt, wt, rt}Tt=0 y cantidades{ct, lt, kt+1

}Tt=0

todas positivas tales que las firmas maximizanbeneficios, es decir, resuelven el problema (1), y los individuosmaximizan la utilidad sujetos a sus restricciones, es decir, resuel-ven el problema (2)-(5), y adicionalmente la oferta agregada esigual a la demanda agregada F (kt, lt) = ct+ kt+1 (1 )kt,t.

De ahora en adelante simplificamos toda nuestra notacin (elim-inando los superndices s para la oferta y d para la demanda) yaque supondremos que la oferta y la demanda se equilibran enlos mercados.

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