Resistencia de Materiales 2 Facultad de Ciencias e Ingeniería PUCP

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CAPÍTULO 1 SECCIONES DE VARIOS MATERIALES 1.1 ANÁLISIS DE SECCIONES COMPUESTAS DE VARIOS MATERIALES Se analizará secciones compuestas por varios materiales, sometidas a efectos de carga axial (P o N), momento flector (M) y fuerza cortante (V). Se busca la distribución de esfuerzos en cada material y las deformaciones correspondientes Hipótesis:

- Las deformaciones son pequeñas. - Las secciones planas antes de la deformación permanecen planas después de la

deformación (Navier). - Los materiales permanecen en el rango lineal y elástico. - No ocurre deslizamiento entre los distintos materiales.

1.2 CARGA AXIAL, MOMENTO FLECTOR Y FUERZA CORTANTE Efecto de la carga axial (P) Hallar la distribución de esfuerzos en cada material es un problema hiperestático, pues solamente se cuenta con una ecuación de equilibrio (suma de fuerzas axiales). Se debe utilizar las tres condiciones de la Resistencia de Materiales:

- Equilibrio - Compatibilidad - Leyes constitutivas (propiedades del material)

Equilibrio Si P es la carga total y Ni la carga en cada material (i), entonces: P = Σ Ni El esfuerzo en cada material de área Ai será σi = Ni / Ai, por tanto Ni = σi Ai Es decir, P = Σ σi Ai ….. (1) En la ecuación (1) los esfuerzos σi son las incógnitas. Compatibilidad La hipótesis de secciones planas (Navier) permite afirmar que la deformación longitudinal de cada material es la misma e igual a la deformación longitudinal del elemento. Por tanto, si el elemento tiene longitud L y deformación longitudinal Δ, la deformación de cada elemento será: δi = εi L = Δ = constante, y entonces εi = constante = ε ….. (2) Leyes constitutivas En cada material se cumple la ley de Hooke. En el material “i” se tendrá: σi = Ei εi = Ei ε …… (3)

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Remplazando (3) en (1): P = Σ Ei ε Ai = ε Σ Ei Ai ; se despeja ε = P/Σ Ei Ai Al reemplazar ε en (3) se obtiene: σi = Ei ε = Ei [ P/Σ Ei Ai ] Si ahora se divide numerador y denominador entre el módulo de elasticidad Ek, de uno cualquiera de los materiales: σi = (Ei/Ek) P/ [ Σ (Ei/Ek) Ai ] (4) Se define la relación “n” entre los módulos de elasticidad como: ni = Ei/Ek ….. (5) Se conoce como el área transformada al material k al sumando del denominador en la ecuación (4). Área transformada al material k = Σ (Ei/Ek) Ai = Σ ni Ai ……. (6) σi = (ni) P / ATRANSF k …… (7) Para hallar el esfuerzo axial σi en el material “i” es necesario transformar el área de la sección al material “k”, usando las ecuaciones (5) y (6); y luego aplicar la ecuación (7). Con los esfuerzos calculados se debe verificar el equilibrio de fuerzas (P = Σ Ni = Σ σi Ai ) y la compatibilidad de deformaciones (Δ = constante). En ingeniería civil se tienen varios casos comunes de secciones formadas por dos materiales de módulos de elasticidad diferentes, sometidos a carga axial, siendo los más frecuentes:

- Concreto armado: columnas de concreto con barras de acero interiores (Fig. 1.1). - Albañilería confinada: muro de albañilería construido solidariamente con columnas

de concreto en los bordes. En este caso se suele despreciar el aporte de las barras de acero dentro de las columnas (Fig. 1.2).

Fig. 1.1 Fig. 1.2

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Módulos de elasticidad de materiales comunes Los módulos de elasticidad Ei de los materiales se obtienen mediante pruebas de laboratorio, en probetas sometidas a carga axial, de tracción ó de compresión. En los materiales dúctiles como el acero, el módulo E se halla de un ensayo a tracción. En el rango elástico la carga y la deformación son proporcionales (Fig. 1.3). En los materiales frágiles como el concreto o la albañilería e incluso la madera (Fig. 1.4), el módulo E se halla del ensayo a compresión de probetas estándar. Si el esfuerzo a la rotura es “f” (f’c para el concreto, f’m para la albañilería), se cumple aproximadamente que la carga y la deformación son proporcionales para esfuerzos menores a la mitad del esfuerzo de rotura “f”.

Fig. 1.3 Barra de acero en tracción (izq.) y gráficos de carga –deformación global y local donde se determina el módulo E (der.)

Fig. 1.4 Probetas a compresión: madera, concreto y albañilería

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Los módulos de elasticidad típicos de los materiales más comunes son: MATERIAL E (GPa) E (kg/cm2) Acero 200 a 210 2.0 a 2.1x106 Concreto 20 a 22 2.0 a 2.2x105 Albañilería de ladrillos de arcilla

3.18 32500

Madera grupo A Madera grupo B Madera grupo C

9.316 7.355 5.394

95000 75000 55000

La relación de los módulos “n” se debe redondear a uno o dos decimales como máximo. Por ejemplo, (a ) n (acero/concreto) = 2x106 / 2.2x105 = 9 (b ) n (concreto / albañilería ) = 2.0x105 / 32500 = 6.15 Efecto del momento flector (M) En el caso de elementos de un solo material, hallar los esfuerzos que produce un momento flector es también un problema hiperestático. Recordemos el proceso: Equilibrio Se analiza el equilibrio de una rebanada. Sea σ el esfuerzo en una fibra de la sección, ubicada a una distancia “y” del eje neutro. Como en flexión pura no hay fuerza axial externa la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales será:

(1) La ecuación de equilibrio de momentos es:

(2) Para tener una expresión de σ se necesita utilizar las condiciones de compatibilidad y leyes constitutivas. Compatibilidad La hipótesis de secciones planas (Navier) permite afirmar que si є es la deformación unitaria de una fibra de la sección, ubicada a una distancia “y” del eje neutro, y ρ es el radio de curvatura de la sección:

(3) El signo negativo se debe a que para un momento positivo, las fibras inferiores del elemento se alargan, pues están en tracción, y las superiores (y>0) se acortan, pues están en compresión.

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Leyes constitutivas Si E es el módulo de elasticidad del material:

(4) Remplazando (4) en (1):

(5)

como E y ρ son diferentes de cero, entonces: lo que nos permite afirmar que la superficie neutra del elemento en flexión pasa por el centroide de la sección transversal. al reemplazar (4) en (2):

de donde: (6) Finalmente, si se reemplaza (6) en (4) se obtiene la conocida expresión para calcular esfuerzos normales por flexión:

(7) Elemento de dos materiales (material 1 y material 2) Compatibilidad: la ecuación no cambia. Es decir:

(3) Leyes constitutivas Son diferentes para cada material. Por tanto los esfuerzos estarán relacionados con sus respectivos módulos de elasticidad:

(8)

(9) Equilibrio Las ecuaciones son las mismas pero deben desdoblarse para diferenciar un material del otro. Así para el equilibrio de fuerzas:

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Al remplazar σ1 y σ2 se tendrá:

Es decir:

(10) Esta ecuación permite ubicar la superficie neutra. Para el equilibrio de momentos se tiene:

Si se denomina , e , entonces:

, y por tanto la expresión para hallar ρ, el radio de curvatura de la sección es:

(11) Remplazando (11) en (8) y (9) se hallan los esfuerzos en cada material:

(12)

(13) Las ecuaciones (10), (12) y (13) se pueden reescribir utilizando la relación entre los módulos de elasticidad de los materiales (E1/E2) relación a la que se representa con la letra n

( ).

Ecuación que permite determinar el centroide de la sección transversal, por donde pasa la superficie neutra. Se acostumbra trabajar con el denominador de las ecuaciones (12) y (13) como se indica:

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(i) Si se multiplica por “n” el ancho de cada fibra de la sección con el material “1”, se forma una nueva sección, construída toda del material “2”. A esta nueva sección se le llama “sección transformada” y su momento de inercia respecto al eje neutro es Remplazando este valor en las ecuaciones (12) y (13):

(ii)

(iii) Por tanto una sección conformada por dos materiales se puede analizar como si fuese de un solo material, utilizando para el efecto la sección transformada.

• La superficie neutra pasará por centroide de la sección transformada. • Los esfuerzos en el material 2 se calculan como si se tratara de un solo material • Los esfuerzos en el material 1 (el material transformado) también se calculan como

si fuera de un solo material, tomando en cuenta que se debe multiplicar por el valor de n, como se advierte en la ecuación (ii).

Efecto de la fuerza cortante (V) La hipótesis de Navier se cumple cuando las cargas externas originan únicamente momento flector (M) en la sección. Cuando se presenta además fuerza cortante (V), se producen esfuerzos cortantes (τ) cuyo efecto es hacer que la sección sufra un cierto alabeo, por lo que en rigor ya no es plana. Sin embargo, para deformaciones pequeñas, se puede trabajar con las hipótesis usuales, y utilizar el valor promedio de este esfuerzo, en un cierto ancho (t) de la sección. La ecuación del esfuerzo cortante en un elemento de un solo material es:

tIQV

prom =τ (14)

Para una viga hecha de dos o más materiales con distintos módulos de elasticidad, es posible demostrar que se puede obtener el esfuerzo cortante promedio (τprom) con la siguiente expresión:

(15) Donde QT e IT son el momento estático y el momento de Inercia en la sección transformada, y “t” es el ancho real de la sección donde se calcula el esfuerzo cortante promedio τprom.

CAP. 1 SECCIONES DE VARIOS MATERIALES PROBLEMAS P1p1 11-2, P1p1 12-1, P1p2 11-2, P1p2 12-2, E1p1 12-2, E1p1 13-1, E1p1 13-2, E1p1 14-1, P1p1 14-2, P1p3 14-2, E1p1 14-2 P1p1 11-2

P1p1 12-1

P1p1 14-2

P1p2 11-2,

E1p1 14-1

P1p2 12-2

E1p1 14-2

E1p1 13-1

E1p1 13-2

E1p1 12-2

P1p3 14-2